ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE MINAS …
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ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE
INGENIEROS DE MINAS
Titulación: Ingeniero Técnico de Minas
PROYECTO FIN DE CARRERA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA A
LOS RECURSOS NATURALES
VIGILANCIA POR ANÁLISIS DE RUIDO DE
SENSORES DE TEMPERATURA
Elias Martínez Lobelle Septiembre 2013
TITULACIÓN: INGENIERO TÉCNICO DE MINAS
ESPECIALIDAD: RECURSOS ENERGÉTICOS, COMBUSTIBLES
Y EXPLOSIVOS
Autorizo la presentación del proyecto
“Vigilancia por análisis de ruido de sensores de temperatura”
Realizado por
Elias Martínez Lobelle
Dirigido por
Cristina Montalvo Martín
Firmado: Prof. Cristina Montalvo Martín
Fecha:………………………………………………
I
ÍNDICE
RESUMEN ................................................................................. VII
ABSTRACT ............................................................................... VII
Documento 1: MEMORIA ............................................................. 1
1 Objetivos y alcance ................................................................... 2
2 Antecedentes ............................................................................. 3
2.1 Sensores de temperatura (TRPs y Termopares) ................................................. 3
2.1.1 Características de las TRPs ......................................................................... 3
2.1.2 Características de los Termopares .............................................................. 6
2.2 Sensores de temperatura en centrales nucleares ................................................. 8
2.3 Señales .............................................................................................................. 12
2.4 Herramientas .................................................................................................... 12
2.4.1 Autocorrelación ........................................................................................ 12
2.4.2 Transformada de Laplace .......................................................................... 13
2.4.3 Transformada de Fourier .......................................................................... 18
3 Análisis de sistemas ................................................................ 25
3.1 Sistemas de primer orden ................................................................................. 25
3.1.1 Obtención del tiempo de respuesta ........................................................... 27
3.2 Sistema de segundo orden ................................................................................ 31
4 Análisis estadístico .................................................................. 37
4.1.1 Desviación típica ....................................................................................... 37
4.1.2 Sesgo ......................................................................................................... 39
4.1.3 Curtosis ..................................................................................................... 41
4.1.4 Histogramas de casos anómalos ............................................................... 43
5 Análisis espectral .................................................................... 45
5.1 Teorema del muestreo ...................................................................................... 45
II
5.1.1 Aliaising .................................................................................................... 45
5.2 Modelo autorregresivo (AR) ............................................................................ 46
5.2.1 Cálculo de los coeficientes autorregresivos .............................................. 46
5.2.2 Criterio de información de Akaike ........................................................... 47
5.3 Ajuste ............................................................................................................... 48
5.3.1 Estacionariedad de la señal ....................................................................... 49
5.3.2 Filtro .......................................................................................................... 50
5.3.3 Remuestreo ............................................................................................... 55
5.3.4 Proceso de solape ...................................................................................... 55
5.4 Estimación del tiempo de respuesta por medio de la PSD ............................... 58
5.5 Calibración cruzada .......................................................................................... 62
5.6 Cálculo de la incertidumbre ............................................................................. 63
5.7 Estudio de un caso particular ........................................................................... 65
6 Conclusiones ........................................................................... 70
7 Bibliografía ............................................................................. 71
7.1 Bibliografía general .......................................................................................... 71
7.2 Páginas Web ..................................................................................................... 71
Documento 2: ESTUDIO ECONÓMICO .................................... 72
Documento 3: ANEXOS .............................................................. 76
ANEXO A: Ruido ........................................................................ 77
Primer ciclo (C1) medidas 4_2 ....................................................................................... 78
Segundo ciclo (C2) medidas 4_2 de diciembre .............................................................. 82
Segundo ciclo (C2) medidas 4_3 de diciembre .............................................................. 87
Segundo ciclo (C2) medidas 4_2 de junio ...................................................................... 91
Segundo ciclo (C2) medidas 4_3 de junio ...................................................................... 96
Tercer ciclo (C3) medidas 4_2 de julio ........................................................................ 100
Tercer ciclo (C3) medidas 4_3 de julio ........................................................................ 103
Tercer ciclo (C3) medidas 4_2 de septiembre .............................................................. 108
Tercer ciclo (C3) medidas 4_3 de septiembre .............................................................. 111
III
ANEXO B: AIC .......................................................................... 114
Primer ciclo (C1) medidas 4_2 ..................................................................................... 115
Segundo ciclo (C2) medidas 4_2 de diciembre ............................................................ 118
Segundo ciclo (C2) medidas 4_3 de diciembre ............................................................ 123
Segundo ciclo (C2) medidas 4_2 de junio .................................................................... 127
Segundo ciclo (C2) medidas 4_3 de junio .................................................................... 132
Tercer ciclo (C3) medidas 4_2 de julio ........................................................................ 136
Tercer ciclo (C3) medidas 4_3 de julio ........................................................................ 139
Tercer ciclo (C3) medidas 4_2 de septiembre .............................................................. 144
Tercer ciclo (C3) medidas 4_3 de septiembre .............................................................. 147
ANEXO C: PSD ......................................................................... 150
Primer ciclo (C1) medidas 4_2 (print -dmeta) .............................................................. 151
Segundo ciclo (C2) medidas 4_2 de diciembre ............................................................ 155
Segundo ciclo (C2) medidas 4_3 de diciembre ............................................................ 159
Segundo ciclo (C2) medidas 4_2 de junio .................................................................... 164
Segundo ciclo (C2) medidas 4_3 de junio .................................................................... 168
Tercer ciclo (C3) medidas 4_2 de julio ........................................................................ 173
Tercer ciclo (C3) medidas 4_3 de julio ........................................................................ 176
Tercer ciclo (C3) medidas 4_2 de septiembre .............................................................. 180
Tercer ciclo (C3) medidas 4_3 de septiembre .............................................................. 183
IV
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1: Comparación de resistencia relativa frente a temperatura en distintos
materiales de una TRP ...................................................................................................... 4
Figura 2: Ilustración del elemento sensor de un TRP ....................................................... 5
Figura 3: Ensamblaje de un TRP ...................................................................................... 6
Figura 4: Componentes básicos del circuito de un termopar ............................................ 7
Figura 5: Sensor típico de un termopar ............................................................................. 8
Figura 6: Diagrama simplificado del lazo de refrigeración primario de una planta PWR 9
Figura 7: Representación de la respuesta de una TRP a un escalón de temperatura en el
reactor ............................................................................................................................. 10
Figura 8: parte imaginaria y parte real de para una frecuencia de 3 Hz .............. 21
Figura 9: Nuevas funciones resultado de los productos y ..... 22
Figura 10: Respuesta a una delta de Dirac de un sistema de primer orden (tau=0,1) ..... 26
Figura 11: Respuesta al escalón de un sistema de primer orden (tau=5) ........................ 28
Figura 12: Respuesta a la rampa de un sistema de primer orden (tau=10) ..................... 29
Figura 13: Obtención de tau mediante el ajuste por una recta de mínimos cuadrados del
régimen permanente ........................................................................................................ 30
Figura 14: Carro .............................................................................................................. 31
Figura 15: Respuestas al escalón .................................................................................... 33
Figura 16: Respuestas a rampa ....................................................................................... 34
Figura 17: Respuestas a delta de Dirac ........................................................................... 35
Figura 18: Respuestas a armónicos ................................................................................. 36
Figura 19: Histogramas de los termopares del C2 (segundo ciclo) medidas de diciembre
4_2 .................................................................................................................................. 43
Figura 20: Histogramas de los termopares del C2 (segundo ciclo) medidas de junio 4_3
........................................................................................................................................ 44
Figura 21: Histogramas de los termopares del C3 (tercer ciclo) medidas de septiembre
4_2 .................................................................................................................................. 44
Figura 22: AIC del termopar CET4 de las medidas del C1 ............................................ 48
Figura 23: Ejemplo de una señal estacionaria en media ................................................. 49
Figura 24: Ejemplo de una señal estacionaria en varianza ............................................. 50
Figura 25: Modelo AR y PSDy antes del filtrado ........................................................... 51
Figura 26: Modelo AR y PSDy sin solapar .................................................................... 57
V
Figura 27: Modelo AR y PSDy solapadas y ajustadas ................................................... 58
Figura 28: Evolución del tiempo de respuesta de los distintos termopares .................... 61
Figura 29: Evolución del tiempo de respuesta de las TRPs ............................................ 62
Figura 30: PSDy del termopar CET2 septiembre del tercer ciclo medidas4_2 (filtradas)
........................................................................................................................................ 66
Figura 31: AIC del termopar CET2 septiembre del tercer ciclo medidas4_2 (señal
filtrada) ............................................................................................................................ 67
Figura 32: PSDy del termopar CET2 septiembre del tercer ciclo medidas4_2 (sin filtrar)
........................................................................................................................................ 68
Figura 33: señal de ruido del termopar CET2 septiembre del tercer ciclo medidas4_2 . 69
Figura 34: respuesta del compensador de atraso-adelanto para una entrada del tipo
rampa .............................................................................................................................. 74
VI
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 1: Transformadas de Laplace de varias funciones ................................................ 15
Tabla 2: Comparación entre órdenes de magnitud de DFT y FFT ................................. 23
Tabla 3: Resultados de las desviaciones típicas de los termopares y las TRPs .............. 38
Tabla 4: Datos de Sesgo de los termopares y las TRPs .................................................. 40
Tabla 5: Datos de curtosis de los termopares y las TRPs ............................................... 42
Tabla 6: Tiempos de respuesta de varios sensores, obtenidos con señales filtradas a
frecuencias de corte de 1,25 Hz y 2,5 Hz ....................................................................... 52
Tabla 7: Ejemplos de la transformada de Fourier de una señal par y otra impar ........... 53
Tabla 8: Transformada de Fourier de señal par e impar filtrada .................................... 54
Tabla 9: Remuestreo de una variable .............................................................................. 55
Tabla 10: Datos del tiempo de respuesta de los termopares y las TRPs ......................... 60
Tabla 11: Media total, valores máximos y mínimos de TRPs y Termopares ................. 63
Tabla 12: Incertidumbre de medida ................................................................................ 64
Tabla 13: Media e incertidumbre del tiempo de respuesta de los termopares y las TRPs
........................................................................................................................................ 65
VII
RESUMEN
En este proyecto se van a aplicar las técnicas de análisis de ruido para caracterizar la
respuesta dinámica de varios sensores de temperatura, tanto termorresistencias de
platino como de termopares. Estos sensores son imprescindibles para él correcto
funcionamiento de las centrales nucleares y requieren vigilancia para garantizar la
exactitud de las medidas. Las técnicas de análisis de ruido son técnicas pasivas, es decir,
no afectan a la operación de la planta y permiten realizar una vigilancia in situ de los
sensores.
Para el caso de los sensores de temperatura, dado que se pueden asimilar a sistemas de
primer orden, el parámetro fundamental a vigilar es el tiempo de respuesta. Éste puede
obtenerse para cada una de las sondas por medio de técnicas en el dominio de la
frecuencia (análisis espectral) o por medio de técnicas en el dominio del tiempo
(modelos autorregresivos). Además de la estimación del tiempo de respuesta, se
realizará una caracterización estadística de las sondas. El objetivo es conocer el
comportamiento de los sensores y vigilarlos de manera que se puedan diagnosticar las
averías aunque éstas estén en una etapa incipiente.
ABSTRACT
In this project we use noise analysis technique to study the dynamic response of RTDs
(Resistant temperature detectors) and thermocouples. These sensors are essential for the
proper functioning of nuclear power plants and therefore need to be monitored to
guarantee accurate measurements. The noise analysis techniques do not affect plant
operation and allow in situ monitoring of the sensors.
Temperature sensors are equivalent to first order systems. In these systems the main
parameter to monitor is the response time which can be obtained by means of
techniques in the frequency domain (spectral analysis) as well as time domain
(autoregressive models). Besides response time estimation the project will also include
a statistical study of the probes. The goal is to understand the behavior of the sensors
and monitor them in order to detect any anomalies or malfunctions even if they occur in
an early stage.
1
Vigilancia por análisis de ruido de sensores de
temperatura
Documento 1: MEMORIA
2
1 Objetivos y alcance
El objetivo que se persigue en el presente proyecto consiste en averiguar el tiempo de
respuesta de los instrumentos de medida que controlan la temperatura de entrada y
salida del núcleo de una central nuclear, termorresistencias de platino y Termopares
respectivamente.
Para ello se usan las técnicas de análisis de ruido. Mediante estas técnicas y él estudio
estadístico de las señales de los sensores a lo largo de un cierto periodo se lleva a cabo
la visualización de los sensores y de su tiempo de respuesta a lo largo del tiempo
transcurrido. Gracias a la monitorización y control de la deriva que presentan los
sensores es posible identificar problemas en los instrumentos de medida y validar su
correcto funcionamiento.
Mediante las técnicas mencionadas se puede realizar un mantenimiento predictivo de
toda clase de instrumentos de medida. Para este proyecto se han estudiado las
termorresistencias de platino (TRP) o RTDs (resistance temperature detectors) y los
termopares de salida del núcleo CETs (core exit thermocouples).
3
2 Antecedentes
2.1 Sensores de temperatura (TRPs y Termopares)
2.1.1 Características de las TRPs
Una TRP (Termorresistencia de platino) está compuesta de seis elementos:
Sensor
Estructura de soporte
Material aislante
Cables conectores
Vaina
Termopozo
Hoy en día, el elemento sensor de todas las TRPs está hecho de platino. Antes el
elemento sensor era níquel o cobre. En la figura 1 se compara la resistencia relativa con
la temperatura para el caso del platino, cobre y níquel. El platino es más lineal que el
cobre y el níquel además de abarcar mayor rango de temperatura. El cobre y el níquel
tienen mayor resistencia relativa de salida pero el cobre solo es útil hasta 250ºC. El
níquel no sigue una dinámica lineal.
Además de abarcar un amplio rango de temperatura y seguir una dinámica lineal, el
platino tiene la ventaja de poderse fabricar en diámetros pequeños. Es un metal noble
(químicamente inactivo) que no se oxida y puede hacerse con gran pureza. Los
diámetros de cable de platino usados para las TRPs están en un rango entre 0,05-0,5
mm.
4
Figura 1: Comparación de resistencia relativa frente a temperatura en distintos materiales de una TRP
Para construir el elemento sensor de una TRP se enrolla el cable de platino alrededor de
una estructura soporte. A continuación se conectan cuatro cables de platino a dos puntos
del extremo de la estructura soporte tal como se ve en la figura 2. A estos cables se les
llama cables conectores. Las TRPs están compuestas de cuatro cables conectores. Dos
de ellos se utilizan para medir la resistencia de los cables conectores y restarla al bucle
de resistencia. A dos de los cables conectores se les aplica una corriente constante. Los
otros dos se usan para medir la caída de potencial en el elemento de platino del cual se
resta la resistencia de la TRP.
5
Figura 2: Ilustración del elemento sensor de un TRP
La resistencia en el punto de congelación (0ºC) de una TRP industrial es típicamente de
100 ohmios o 200 ohmios.
Durante la fabricación del elemento sensor se mide la resistencia del cable de platino en
un baño de hielo a su vez ajustando el largo del cable hasta obtener una resistencia de
100 ohmios o 200 ohmios en el punto de congelación del agua.
La siguiente ecuación da la resistencia del cable en función de su largo :
La resistividad del cable (una propiedad intrínseca del elemento metálico) viene dada
por la letra griega ro . El área de la sección del elemento se calcula mediante la
ecuación siguiente:
es el diámetro.
La construcción de la TRP se completa cuando se inserta el montaje de la figura 2 en la
vaina (figura 3).
6
Figura 3: Ensamblaje de un TRP
Se distinguen dos tipos de TRPs: de inmersión directa y montadas dentro de un
termopozo. Las TRPs de inmersión directa tienen mejor tiempo de respuesta
comparadas con las TRPs de termopozo. Sin embargo, las TRPs de inmersión directa
son difíciles de reemplazar.
2.1.2 Características de los Termopares
Un termopar está compuesto de dos metales (cables) unidos el uno al otro por un
extremo y sin unir por el otro (figura 4). El punto donde se juntan los dos cables se
llama unión de medida. Por el otro extremo, en la unión de referencia, los cables están
unidos a un indicador de temperatura. Si la unión de medida y la unión de referencia se
encuentran a temperaturas diferentes se produce un voltaje llamado fuerza
electromagnética (f.e.m.). La magnitud de la f.e.m. depende de las propiedades de
ambos metales y la diferencia de temperatura entre la unión de medida y la unión de
referencia. Para calibrar termopares se inserta la unión de referencia en un baño de hielo
(0ºC).
7
Figura 4: Componentes básicos del circuito de un termopar
Para medir en entornos a altas temperaturas se insertan los dos cables dentro de una
vaina que aísla eléctricamente (figura 5). Una vez dentro de la vaina, esta se sella
herméticamente para proteger de la humedad. Si la humedad lograra entrar dentro del
termopar, esté daría una señal ruidosa.
8
Figura 5: Sensor típico de un termopar
Si hiciera falta más protección de la que provee la vaina, está puede ser insertada dentro
de un termopozo. Este es el caso de termopares usados en entornos con fluidos a alta
velocidad o muy reactivos. Además de proteger el sensor, el uso del termopozo hace
más fácil reemplazar el termopar.
2.2 Sensores de temperatura en centrales nucleares
La mayoría de temperaturas de procesos críticos en plantas nucleares se miden usando
Termorresistencias de platino y termopares.
Por ejemplo, en reactores de agua a presión, en inglés, pressurized water reactor
(PWR), la temperatura del lazo de refrigeración primaria se mide usando TRPs y la
temperatura del agua que sale del núcleo se mide usando termopares. El propósito de los
termopares es de control y no se les requiere gran precisión y rendimiento del tiempo de
respuesta.
Las TRPs relacionadas con la seguridad nuclear deben pasar pruebas ambientales y
sísmicas. El Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE) establece los
requerimientos necesarios para demostrar que pueden sobrevivir un loss of coolant
accident (LOCA) y un evento sísmico sin dejar de proveer un servicio fiable.
9
Las características más importantes de las TRPs para la seguridad y eficiencia de
plantas nucleares son: gran fiabilidad ante accidentes, estar bien calibradas y tener
tiempos dinámicos de respuesta pequeños.
La figura 6 representa un diagrama simplificado de la rama de refrigeración primaria en
una planta PWR.
Figura 6: Diagrama simplificado del lazo de refrigeración primario de una planta PWR
La potencia térmica P es el producto de la diferencia de temperatura ∆T del núcleo y el
caudal másico en la rama de refrigeración primaria. La ∆T es típicamente de 30ºC.
Un error de un grado en la medida de ∆T corresponde con un 3,33 % de potencia de
salida. Es importante calibrar bien TRPs para la economía de una planta nuclear. La
calibración debe ser de 0,3 ºC o mejor, antes de instalarse.
10
Figura 7: Representación de la respuesta de una TRP a un escalón de temperatura en el reactor
En la figura 7 se ilustra la importancia que tiene el tiempo de respuesta de las TRPs en
plantas nucleares. En ella está representada la respuesta a un escalón de temperatura del
refrigerante primario en una central PWR. Para garantizar que el sistema funcione de
forma segura, las TRPs deben de activar de inmediato una acción que mitigue el efecto,
y si es necesario, un scram del reactor. Es por eso que los requisitos del tiempo de
respuesta de TRPs del refrigerante primario en plantas PWR son tan importantes. Estos
requisitos varían de planta a planta. En plantas donde las TRPs se instalan dentro de
termopozo en el lazo de refrigeración primaria, el tiempo de respuesta debe de estar en
un rango entre 4,0-8,0 s. Hay gran contraste con los 1,0-3,00 s de tiempo de respuesta
requerido de las TRPs de inmersión directa instaladas en lazos de bypass. Algunas
plantas usan líneas de bypass para ayudar a recoger toda el agua del reactor de los lazos
de refrigeración y mezclarla antes de medir la temperatura del refrigerante primario. Las
TRPs de los lazos de bypass deben de tener tiempos de respuesta rápidos para
compensar el tiempo que tarda el agua desviada del lazo de refrigeración primaria en
alcanzar el lugar donde se mide su temperatura.
11
Método para detectar problemas con TRPs y termopares de salida del núcleo.
Examinar el tiempo de respuesta de TRPs y termopares in situ (mientras la central está
en operación) permite medir el tiempo de respuesta “in service” de los sensores para
cumplir los requisitos especificados y pasar regulaciones.
Otras ventajas de examinar el tiempo de respuesta in situ son: prever mantenimiento
futuro, detectar fallos incipientes y controlar la deriva de los sensores además de planear
el reemplazo de los mismos.
Finalmente, examinar el tiempo de respuesta permite a las plantas distinguir entre
problemas del sensor y problemas del cable o conector y hacer un diagnóstico de
anomalías del sensor o proceso.
No se examina el tiempo de respuesta de los termopares en centrales nucleares
regularmente como sucede con las TRPs dado que no es tan importante para la planta
nuclear. Cuando se examina el tiempo de respuesta de un termopar, las centrales
nucleares prefieren usar el método de análisis de ruido.
El método de análisis de ruido está basado en el hecho de que la salida de todos los
procesos de los sensores de planta nuclear contienen fluctuaciones debidas al flujo
neutrónico, transferencia de calor de carácter aleatorio, turbulencias, vibraciones y otros
fenómenos mecánicos y termo hidráulicos. Estas fluctuaciones (ruido) se pueden extraer
de la salida del sensor y analizar para obtener el tiempo de respuesta del sensor. El
método se compone de tres pasos: obtención de la información, cualificar la
información y analizar la información.
La salida normal de un termopar es una señal DC la cual contiene superpuesta el ruido
procesado (señal AC). Durante la obtención de la información, se extrae el ruido de la
salida del termopar mediante la extracción de la componente DC de la señal y la
amplificación de la componente AC. Esto se consigue con equipos de procesamiento de
señal, amplificadores, filtros y otros componentes. La señal AC se digitaliza usando una
frecuencia de muestreo alta (e.g. 1kHz) y almacenándola para el análisis.
Durante el análisis, la información del ruido se analiza en el dominio de la frecuencia o
el tiempo. Para el análisis en el dominio de la frecuencia, se debe obtener la Power
Spectral Density (PSD) de la señal del ruido mediante el algoritmo Fast Furier
Transform. A continuación se superpone la PSD con un modelo matemático del
termopar del cual se calcula el tiempo de respuesta. Las PSDs de las plantas nucleares
12
tienen diversas formas dependiendo de la planta, la instalación y servicio del termopar,
las condiciones de proceso y otros efectos. Para el análisis en el dominio del tiempo, la
información del ruido es procesada mediante el modelo autorregresivo (AR). Este
modelo proporciona la respuesta al impulso y al escalón de las cuales se calcula el
tiempo de respuesta del sistema. Normalmente se analiza el ruido tanto en el dominio de
la frecuencia como en el del tiempo y los resultados se promedian para obtener el
tiempo de respuesta del sistema.
2.3 Señales
Las señales son las medidas de las TRPs y termopares. Se llama señal a los datos
obtenidos de una TRP o un termopar durante el período de tiempo que este se encuentra
midiendo sin interrupción. Es decir, si un termopar está tomando medidas entre las 9 am
y las 10am del día 26 de marzo de 2011 por ejemplo, esas medidas compondrán una
señal.
Hay centrales nucleares que funcionan durante 12 meses pero las hay también que
funcionan durante 24 meses o incluso centrales que funcionan indefinidamente. Las
centrales que si necesitan hacer paradas cada cierto tiempo, por ejemplo las que
funcionan durante 12 meses, el décimo tercer mes se les recarga el combustible gastado
y de nuevo se ponen en funcionamiento. Esos períodos de 12 meses que la central está,
aportando electricidad a la red, se llaman ciclos.
Las diferentes señales se identificarán por: el ciclo, mes y momento (período del día)
que fueron tomadas, además de, el termopar o TRP con que fueron tomadas.
2.4 Herramientas
A continuación se exponen los métodos de cálculo (herramientas) necesarios para el
tratamiento de las señales mediante la técnica de análisis de ruido.
2.4.1 Autocorrelación
La autocorrelación C se forma hallando el valor medio en todo el proceso del producto
del valor de la función en un instante t por el valor de la función en un instante
separado del anterior un intervalo .
13
A continuación se tiene un ejemplo para su cálculo:
El resultado de realizar la autocorrelación de un vector con un número de puntos dado
es un vector nuevo cuyo número de puntos equivale a , siendo el número de
puntos del vector sin correlacionar. Es importante tener en cuenta esta faceta de la
autocorrelación para cálculos posteriores.
2.4.2 Transformada de Laplace
Definición de la transformada de Laplace
Sea f (t) una función del tiempo t. La transformada de Laplace de f (t) es la siguiente
función de s:
El comportamiento de un termopar se puede aproximar por una función diferencial de
primer orden. Esta ecuación representa como responde el sistema (termopar) a
diferentes tipos de entradas. Para facilitar el cálculo se usa la transformada de Laplace
14
tanto de la función de respuesta al impulso del sistema como de las diferentes entradas
(escalón, rampa, impulso y aleatoria). Con la transformada de Laplace de estas
funciones se puede resolver el cálculo para obtener la respuesta del sistema
algebraicamente. Una vez calculada la respuesta se utiliza la transformada inversa de
Laplace para ver la respuesta en el dominio t y poder interpretar como responde el
sistema.
Transformada inversa de Laplace
El proceso inverso de encontrar la función del tiempo f(t) a partir de su transformada de
Laplace F(s) se denomina transformada inversa de Laplace. La transformada inversa de
Laplace se encuentra a partir de F(s) mediante la siguiente integral de inversión:
La integral de inversión es complicada y, por tanto, no se recomienda su uso. Un
método conveniente para obtener las transformadas de Laplace es usar una tabla de
transformadas de Laplace. En este caso, la transformada de Laplace debe tener una
forma que se reconozca de inmediato en tal tabla. Con mucha frecuencia, es posible que
la función en cuestión no aparezca en las tablas de transformadas de Laplace. Si una
transformada específica F(s) no se encuentra en la tabla, puede expandirse en fracciones
parciales y escribirse en términos de funciones simples de s para las cuales ya se
conocen las transformadas inversas de Laplace.
El método de fracciones parciales se basa en el hecho de que encontrar la transformada
de Laplace o su inversa es una operación lineal. Por ello, si una transformada se pudiera
descomponer en una suma de transformadas más simples, se podría encontrar la inversa
de la transformada global obteniendo por separado la inversa de cada función más
simple y luego sumándolas.
Para obtener cada transformada inversa que componen la suma de transformadas
simples obtenidas de la descomposición en fracciones parciales, se utiliza una tabla de
transformadas de Laplace (tabla 1).
15
Tabla 1: Transformadas de Laplace de varias funciones
Transformada de Laplace del escalón
La función escalón se define como:
, para
, para
Si
La transformada de Laplace es una integral impropia dado que el límite superior es
infinito. Para resolver se sustituye infinito por otra variable, en este caso he escogido w.
Se hace una sustitución en u:
Transformada de Laplace de la rampa
La función rampa se define como:
, para
16
, para
Si
Resolvemos con integración por partes:
Para resolver v, se hace una sustitución por u igual que en el ejemplo de escalón.
L’Hôpital:
Transformada inversa de la respuesta al escalón
El denominador puede escribirse como el producto de dos factores:
Entonces la función puede expresarse en forma de fracciones parciales como la suma de
dos términos:
Donde A y B son constantes.
17
Al hacer s=0 se elimina uno de los términos.
Sustituyendo A en la ecuación obtendremos el otro término, B:
Dividimos el nominador y denominador de la segunda fracción por τ:
Miramos en la tabla de transformadas de Laplace (tabla 1) las fracciones con las que
corresponden y sustituimos.
Transformada inversa de la respuesta a la rampa
Al hacer s=0 se elimina uno de los términos.
Sustituyendo A en la ecuación obtendremos el otro término, B:
Se multiplica el numerador y denominador de la segunda fracción por s:
La segunda fracción se puede descomponer de nuevo en dos fracciones.
18
Al hacer s=0 se elimina uno de los términos.
Sustituyendo C en la ecuación obtendremos el otro término, D:
Finalmente nos queda:
Miramos en la tabla de transformadas de Laplace (tabla 1) las fracciones con las que
corresponden y sustituimos.
2.4.3 Transformada de Fourier
La transformada de Fourier (continua)
La transformada de Fourier cambia la información, del dominio del tiempo al dominio
de la frecuencia. Esta información puede ser una señal, una función de onda, un voltaje,
datos financieros, etc.…
(1)
En la ecuación (1) aparece la función continua en el dominio del tiempo. Una
manera de representar esta función es como suma de amplitudes que ocurren en cada
punto del tiempo. El valor de la función en el tiempo δ(t-t1) es igual a . Si se
define para todo el rango del tiempo obteniendo , , , se puede
representar la función como la suma de las amplitudes correspondientes en cada
momento del tiempo.
19
Cualquier señal en el dominio del tiempo es por lo tanto una suma de números que
representan la amplitud de la señal en puntos discretos del tiempo.
Otra manera de representar una señal en el dominio del tiempo es haciendo la suma de
funciones que cubren todo el rango del tiempo. Funciones que cubren todo el rango del
tiempo son esencialmente ondas.
Describimos una onda sinusoidal como la magnitud M de dicha onda por una
exponencial. Aplicando el teorema de Euler se puede descomponer dicho producto en
una suma de un número real y otro imaginario.
Donde A representa la amplitud de la parte real y B, la amplitud de la parte imaginaria.
Se puede reproducir sumando todas las posibles combinaciones de ondas
sinusoidales que tienen la amplitud correcta.
(2)
El proceso de cálculo de la transformada de Fourier se puede resumir en el algoritmo
representado a continuación.
20
Para entender el algoritmo que sigue el proceso de cálculo de la transformada de Fourier
se presenta un ejemplo.
Se va a realizar la transformada de Fourier de la siguiente función:
Donde y tienen frecuencias de y respectivamente.
Lo primero que pide el algoritmo es asignar un valor de omega.
Si por ejemplo, el valor asignado de n, tiene una frecuencia , el resultado
de la parte real y la parte imaginaria de a lo largo de todo el tiempo, es el
representado en la figura 8.
Comienzo n = asignar valor
Sumatorio a lo largo de
todo t
Multiplicar por δt
Incrementar n Ultima n?
Fin
21
Figura 8: parte imaginaria y parte real de para una frecuencia de 3 Hz
Se procede a multiplicar el valor de por los valores de la parte real y la parte
imaginaria obtenidos anteriormente para cada instante de tiempo.
De esta manera se obtienen dos nuevas funciones (figura 9). Una resultado del producto
de la parte real y la función y la otra resultado de la parte imaginaria y la
función .
A continuación se resuelven las integrales definidas de la ecuación (2). Estas, no son
más que los sumatorios de los valores obtenidos de la multiplicación del paso anterior
para la parte real y la parte imaginaria respectivamente.
El resultado de las dos integrales dará el valor de las dos áreas finales, resultado del
sumatorio de las áreas comprendidas entre las nuevas funciones (resultado de la
multiplicación anterior) y el eje de abscisas para la parte real y la imaginaria
respectivamente.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2
-1
0
1
2
tiempo
f(t)
parte real de ejw t
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2
-1
0
1
2
tiempo
f(t)
parte imaginaria de ejw t
22
Figura 9: Nuevas funciones resultado de los productos y
En la imagen a de la figura 9, el sumatorio de las áreas coloreadas dará otra área
correspondiente al valor de la parte real del número complejo para
de frecuencia . El sumatorio de las áreas de la imagen b corresponde al valor
de la parte imaginaria para la misma frecuencia.
Se obtiene de esta forma el valor de , transformada de Fourier de la función
para de frecuencia .
Para acabar, se incrementa el valor de . Si se trata del último valor se termina el
algoritmo y se da por concluido el cálculo de la transformada de Fourier.
FFT
Fast Fourier transform (FFT) es un algoritmo para calcular eficientemente la
transformada de Fourier.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2
-1
0
1
2
tiempo
a
f(t)·ejw t
f(t)
parte real de ejw t
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2
-1
0
1
2
tiempo
b
f(t)·ejw t
f(t)
parte imaginaria de ejw t
23
La Discrete Fourier Transform (DFT) es una operación para evaluar la transformada de
Fourier continua de una señal muestreada
con un número finito de
muestreos . Se define como:
Para el análisis espectral y filtrado, computar la DFT supone un gran número de
operaciones. Se desarrollan algoritmos eficientes para reducir el número de operaciones.
A estos se les llama Fast Fourier Transform Algorithms o Algoritmos FFT.
A continuación vemos el número de cálculos que supone hacer la DFT.
Ejemplo: N=2
Se observa que para cada valor de k hacen falta: N multiplicaciones complejas y N-1
sumas complejas. Dado que hay tantas k igual al valor de N, para cualquier valor de N,
se necesitan realizar N2 multiplicaciones complejas y N
2-N sumas complejas.
El número de operaciones complejas necesarias para computar DFT tiene un orden de
magnitud igual a N2. El número de operaciones complejas de algoritmos FFT es de un
orden de magnitud igual a Nlog2N.
Supongamos que una operación compleja tarda 1 ns. En la tabla 2 vamos a comparar el
tiempo de cálculo entre DFT y FFT para distintos valores de N.
Tabla 2: Comparación entre órdenes de magnitud de DFT y FFT
N DFT: N^2 (ns) FFT: Nlog2N (ns)
1,00E+03 1,00E+06 9,97E+03
1,00E+06 1,00E+12 1,99E+07 1,00E+09 1,00E+18 2,99E+10
Vemos a continuación el ejemplo expuesto en la fila 3 de la tabla 2
24
Concluimos que sale a cuenta realizar la transformada de Fourier con un algoritmo FFT
cuando hay que tratar muchos datos.
El algoritmo FFT usado para el cálculo de las señales en este proyecto es una función
integrada del programa MATLAB.
25
3 Análisis de sistemas
Se pretende determinar el comportamiento del sensor por medio de la ecuación modelo
también llamada función de transferencia que relaciona la señal de entrada al sistema
con la de salida.
La función de transferencia que se muestra a continuación, se define como el cociente
entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada.
En lo sucesivo, se analizarán las respuestas del sistema a entradas tales como la función
escalón, rampa e impulso. Se supone que las condiciones iniciales son cero.
El proceso de cálculo para la obtención de la respuesta del sensor a una cierta entrada es
el que se muestra a continuación.
H(s): función de transferencia
e(t): entrada al sistema en el dominio del tiempo
s(t): salida del sistema en el dominio del tiempo
E(s): transformada de Laplace de la entrada
S(s): transformada de Laplace de la salida
A continuación, se explican los sistemas de primer y segundo orden por medio de
simulaciones realizadas con MATLAB.
3.1 Sistemas de primer orden
Son aquellos cuya función de transferencia es de la forma:
(3)
H1(s): función de transferencia de primer orden
26
Respuesta al impulso (delta de Dirac) de un sistema de primer orden. La
transformada de Laplace de la entrada impulso es la unidad y la salida será igual a la
función de transferencia:
Para simularlo se crea como entrada una matriz fila compuesta de 0 excepto un solo
valor igual a la unidad, situado en la mitad de la longitud del vector:
En la figura 10 aparece la salida producto de una entrada tipo función delta de Dirac a
un sistema de primer orden. El sistema de primer orden es el modelo matemático que
mejor asemeja la respuesta física de un sensor de temperatura. Si un sensor se encuentra
en un baño de temperatura constante en el cuál se produce un repentino aumento de
temperatura durante un solo instante para luego volver a las condiciones iniciales, se
puede intuir, que el sensor medirá igualmente un repentino aumento de temperatura y
debido al calentamiento residual, este medirá una bajada residual hasta volver a medir
las condiciones iniciales (figura 10).
Figura 10: Respuesta a una delta de Dirac de un sistema de primer orden (tau=0,1)
28 28.5 29 29.5 30 30.5 31 31.5 320
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t
salida
entrada
27
3.1.1 Obtención del tiempo de respuesta
De las respuestas de los sistemas de primer orden a las entradas del tipo función escalón
y rampa se puede determinar el tiempo de respuesta. Es decir, el tiempo que tarda el
sensor en dar la respuesta después de experimentar una entrada simulado mediante la
función de transferencia correspondiente.
Respuesta al escalón de un sistema de primer orden. Dado que la transformada de
Laplace de la función escalón es 1/s, sustituyendo E(s)=1/s en la ecuación (3) y
reordenando los términos:
Se obtiene:
A continuación se aplica la transformada inversa de Laplace:
Si hacemos t=τ se obtiene 0,632 lo que indica que cuando han transcurrido τ segundos
la salida s(t) alcanza un 63,2% de su amplitud.
Para simularlo se crea como entrada una matriz fila cuya primera mitad está compuesta
de 0 y la otra mitad es igual a la unidad:
En la figura 11 aparece la salida producto de una entrada tipo función escalón a un
sistema de primer orden. Si un sensor se encuentra en un baño de temperatura constante
en el cuál se produce un repentino aumento de temperatura la cual mantiene constante,
se puede intuir, que el sensor medirá un aumento progresivo hasta que la medida iguala
la temperatura real del baño (figura 11).
28
Figura 11: Respuesta al escalón de un sistema de primer orden (tau=5)
Respuesta a la rampa de un sistema de primer orden. Dado que la transformada de
Laplace de la función rampa es 1/s2, sustituyendo E(s)=1/s
2 en la ecuación (3) y
reordenando los términos:
Se obtiene:
A continuación se aplica la transformada inversa de Laplace:
0 10 20 30 40 50 600
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t
salida
entrada
29
Figura 12: Respuesta a la rampa de un sistema de primer orden (tau=10)
La respuesta a la rampa, salida del sistema de primer orden, se divide en dos partes.
Se puede distinguir el régimen transitorio que corresponde con la parte de la salida en la
que domina el término de la exponencial. Por otra parte, el régimen permanente
corresponde con la parte de la salida a partir de la cual se aprecia una recta de pendiente
constante ( se hace despreciable) (figura 12).
Resulta que la parte de la salida que más se asemeja con una recta, no tiene pendiente
constante.
El tiempo de respuesta será la diferencia en tiempo entre la entrada y la salida (en
régimen permanente). Para determinar el tiempo de respuesta se debe calcular la
derivada en cada punto de la salida. La derivada en un punto de una función es por
definición la pendiente de esa función en dicho punto. Si se realizan las derivadas en
todos los puntos de la función, se obtendrán valores que cada vez se aproximen más al
valor de la pendiente de la rampa de entrada.
30
Se debe establecer un rango de tolerancia a partir del cual el valor se aproxime lo
suficiente al valor de la pendiente de entrada para poder considerarlo régimen
permanente
A continuación se aproximan los puntos del régimen permanente por medio de una recta
de mínimos cuadrados. La resta del corte de ambas rectas con el eje de abscisas
determina el valor del tiempo de respuesta (figura 13).
Figura 13: Obtención de tau mediante el ajuste por una recta de mínimos cuadrados del régimen
permanente
31
3.2 Sistema de segundo orden
Figura 14: Carro
El sistema representado en la figura 14 está compuesto por un carro de masa m,
conectado a la pared por medio de un muelle o resorte y un amortiguador.
El amortiguador es un dispositivo que proporciona fricción viscosa o amortiguamiento.
Está formado por un pistón y un cilindro lleno de aceite. El aceite resiste cualquier
movimiento relativo entre la varilla del pistón y el cilindro, debido a que el aceite debe
fluir alrededor del pistón (o a través de orificios en el pistón) de un lado del pistón al
otro. El amortiguador esencialmente absorbe energía que se disipa como calor.
En este sistema, m representa la masa, b denota el coeficiente de fricción viscosa y k es
la constante del resorte.
La segunda ley de Newton establece que
Donde m es la masa, a es la aceleración de la masa y ∑F es la suma de las fuerzas que
actúan sobre la masa.
Aplicando la transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación y re ordenando los
términos, se obtiene la función de transferencia.
Se define omega y gamma como:
32
(1) Sistema subamortiguado o subcrítico. γ<ω
Una k más grande significa un muelle más rígido. Un muelle rígido se diferencia
de otros muelles porque se contrae y relaja con dificultad.
Si la ω crece, la frecuencia natural del muelle fn también crece (directamente
proporcional). El muelle oscila a una frecuencia mayor apreciándose mayor
vibración.
En este tipo de sistema, la mayor parte de la energía es absorbida y se disipa en
el muelle y el amortiguador tiene menos efecto dado que tiene un coeficiente de
fricción viscosa b pequeño (ejerce menos resistencia).
(2) Sistema sobreamortiguado o supercrítico. γ>ω
En este caso la constante del muelle es pequeña y con lo cual el muelle será de
tipo poco rígido causando mayor oscilación en la salida del sistema. Es un
muelle que se deja contraer y relajar con facilidad
La oscilación del sistema viene determinada por el muelle.
(3) Sistema crítico. γ=ω
(4) Sistema nada amortiguado. k=0
Es un sistema compuesto solamente por el carrito con su masa y un
amortiguador. No hay muelle.
Debido a la falta de un muelle, este tipo de sistema oscilará hasta estar en
reposo.
Como veremos más adelante, si la entrada es un armónico, cuya frecuencia es la
frecuencia natural del sistema, este entrará en resonancia.
En la figura 15 se representan las diferentes respuestas que tiene un sistema de segundo
orden cuando se le aplica una entrada de tipo escalón.
33
Figura 15: Respuestas al escalón
Descripción de las respuestas (figura 15).
- La salida de un sistema tipo subamortiguado a la entrada escalón será una
función con oscilación de alta frecuencia al principio pero cuya oscilación
disminuirá debido al amortiguamiento hasta que finalmente sea una recta.
- La entrada escalón del sobreamortiguado produce un gran salto en amplitud que
enseguida se ve amortiguado de forma que no da tiempo a oscilar.
- En el caso de tratarse de un sistema tipo crítico produce la misma respuesta que
el sobreamortiguado pero de igual amplitud a la entrada.
- Cuando el sistema no está amortiguado (solo se compone de muelle), este
produce una salida de gran amplitud y oscilación. La función de respuesta a la
entrada escalón no se ve reducida como sucede en otros casos debido a que no
hay amortiguación con componente de fricción que la afecte.
0 50 100 150 200 250 300 350 4000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
tiempo(s)
y
respuestas a escalon
escalon
salida esc10(subamortiguado)
salida esc20(sobreamortiguado)
salida esc30(crítico)
salida esc4(nada amortiguado)
34
En la figura 16 se han simulado las diferentes respuestas de un sistema de segundo
orden cuando se le aplica una entrada de tipo rampa.
En ella se observa que cuando se trata de un sistema crítico, la salida al sistema se
asemeja a la salida de un sistema de primer orden. Es decir, el sistema de segundo orden
crítico se comporta como un sistema de primer orden cuando se ve expuesto a las
entradas tipo escalón (figura 15) y rampa (figura 16).
Figura 16: Respuestas a rampa
En la simulación representada en la figura 17 aparecen las diferentes respuestas de un
sistema de segundo orden cuando se le aplica una entrada de tipo rampa.
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
tiempo(s)
y
respuestas a rampa
rampa
salida ram10(subamortiguado)
salida ram20(sobreamortiguado)
salida ram30(crítico)
salida ram4(nada amortiguado)
35
Figura 17: Respuestas a delta de Dirac
Para la simulación representada en la figura 18 se ha usado como entrada un armónico
de frecuencia igual a la frecuencia natural del sistema.
0 50 100 150 200 250 300 350 400-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
tiempo(s)
y
respuestas a Dirac
d Dirac
salida deL1(subamortiguado)
salida deL2(sobreamortiguado)
salida deL3(crítico)
salida deL4(nada amortiguado)
36
Figura 18: Respuestas a armónicos
La frecuencia natural de un objeto es la frecuencia producida de forma natural por el
choque de objetos, también se define como la frecuencia a la cual el objeto o sistema
entra en resonancia.
La salida producida por él sistema es un armónico cuya amplitud crece a medida que
aumenta el tiempo. El sistema ha entrado en resonancia. Si el tiempo tiende a infinito, la
amplitud de la respuesta del sistema también tiende a infinito. Este fenómeno se conoce
como resonancia.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
tiempo(s)
y
respuesta a armonicos
entrada armonico1
entrada armonico2
salida arm1(subamortiguado)
salida arm2(nada amortiguado)
37
4 Análisis estadístico
A continuación se van a definir distintos parámetros estadísticos que se calcularan para
las señales con el fin distinguir, que señales son válidas y cuáles pueden dar problemas
durante el proceso de análisis de ruido.
Los parámetros estadísticos se calculan sobre el ruido de la señal, el cual, se va a
describir más adelante.
4.1.1 Desviación típica
La desviación típica o standard deviation (σ) se define como la raíz cuadrada de la
varianza.
Donde n es el nº de puntos de la señal y la media.
La desviación típica da información de cómo están distribuidos los datos de la señal
alrededor de la media. Pueden estar alejados, dispersos o cerca de la media. Informa de
dónde están concentrados el mayor número de datos de una señal.
Un valor de la desviación típica pequeño indica que los datos están concentrados cerca
de la media. Sin embargo, un valor alto de la desviación típica indica que los datos se
encuentran desperdigados sobre un amplio rango de valores.
En la tabla 3 aparecen los resultados de las desviaciones típicas de las señales de los
termopares y las TRPs. Salvo algunos casos aislados, el valor de la desviación típica de
los termopares y las TRPs se encuentra entre 0,049 – 1,227 y 0,163 – 0,407
respectivamente. Los pocos casos que presentan valores muy dispares en comparación
con la gran mayoría de los resultados, se han dejado fuera para los cálculos del
promedio de la desviación típica, dado que falsean la estadística. Lo mismo sucede a
continuación con los cálculos de sesgo y curtosis. El promedio de los valores de
desviación típica de los termopares y las TRPs de la tabla 3 es de 0,241 y 0,248
respectivamente.
38
Tabla 3: Resultados de las desviaciones típicas de los termopares y las TRPs
C1mar4_2 C2dic4_2 C2dic4_3 C2jun4_2 C2jun4_3 C3jul4_2 C3jul4_3 C3sep4_2 C3sep4_3
CET1 0,28882821 0,34727045 0,08794702 0,37711082 0,37427913 0,10931744 0,11245822 0,10184532 0,22228868
CET2 0,22179951 0,27205186 0,06883291 0,23991033 0,22804508 0,07552556 0,07183736 1755,96663 1,22660525
CET3 0,05676165 874,527005 0,05975635 0,20030208 0,19256168 0,05948493 0,05349082 0,05583127 1,00375489
CET4 0 0,26337967 0,06879346 0,24913842 0,24705945 0,06585137 0,05780774 0,05755699 0,82173728
CET5 0 0,06996416 0,0655966 0,07312242 14,0577819 0,06438675 0,05837563 0,05655923 1,17319647
CET6 0,20892225 0,29771042 0,05370513 0,24301035 0,21807644 0,05846914 0,0504135 0,04941727 1,14531681
RTD1 0,23688556 0,40748861 0,26449003 0,28920044 0,2363748 0 0,22651238 0 0
RTD2 0,20102892 0,28149307 0,23776076 0,23865228 0,17293328 0 0,1627493 0 0
RTD3 0,21414744 0,3108125 0,29352519 0,28820607 0,21410825 0 0,18925138 0 0
39
4.1.2 Sesgo
El sesgo o skewness es una medida de asimetría. Las medidas de asimetría son
indicadores que permiten establecer el grado de simetría (o asimetría) que presenta una
distribución de probabilidad de una variable aleatoria sin tener que hacer su
representación gráfica.
Como eje de simetría consideramos una recta paralela al eje de ordenadas que pasa por
la media de la distribución. Si una distribución es simétrica, existe el mismo número de
valores a la derecha que a la izquierda de la media, por tanto, el mismo número de
desviaciones con signo positivo que con signo negativo. El valor del sesgo es nulo.
Decimos que hay asimetría positiva (a la derecha) si hay valores más separados de la
media a la derecha. Diremos que hay asimetría negativa (a la izquierda), si hay valores
más separados de la media a la izquierda.
El sesgo se calcula de la siguiente manera:
En la tabla 4 aparecen los resultados del sesgo de las señales de los termopares y las
TRPs. Salvo algunos casos aislados, el valor del sesgo de los termopares y las TRPs se
encuentra entre -0,419 – 1,326 y -0,47 – 1,409 respectivamente. El promedio de los
valores del sesgo de los termopares y las TRPs de la tabla 4 es 0,237 y 0,44
respectivamente.
40
Tabla 4: Datos de Sesgo de los termopares y las TRPs
C1mar4_2 C2dic4_2 C2dic4_3 C2jun4_2 C2jun4_3 C3jul4_2 C3jul4_3 C3sep4_2 C3sep4_3
CET1 0,59656634 0,63079244 0,41261951 0,98046447 0,89306728 0,8759361 1,32634946 1,08978385 -0,05388855
CET2 0,08965421 0,29316539 -0,06536201 0,04410082 0,05373249 0,07167538 0,1347932 0,80898989 0,97258124
CET3 0,31520482 -10,0523898 0,41969172 0,13176113 0,14905935 0,12349422 0,03013827 0,17375316 0,19280529
CET4 0 0,20483522 0,09312725 -0,00683337 -0,03763377 -0,10376712 -0,22998025 -0,05303558 0,18806318
CET5 0 -0,24364243 -0,23060335 -0,41935115 0,01623493 -0,16858253 0,44592745 0,39206137 0,95718556
CET6 0,08483044 0,13162503 -0,04445928 -0,10789001 -0,20696758 -0,36862199 -0,0357738 0,24623772 1,22672632
RTD1 -0,29374629 -0,47013338 -0,06404375 0,02655123 0,17500764 0 -0,20573943 0 0
RTD2 0,74644793 0,31195057 0,63333589 0,17018619 0,42327696 0 0,8650502 0 0
RTD3 1,09435037 0,53704037 0,90585761 0,47208483 1,17820498 0 1,40883463 0 0
41
4.1.3 Curtosis
La curtosis es una medida de la tendencia puntiaguda de una distribución de
probabilidad. Distribuciones de probabilidad con curtosis presentan tendencias
más puntiagudas que la distribución normal. Distribuciones de probabilidad con curtosis
presentan tendencias menos puntiagudas respecto a la distribución normal.
La curtosis se calcula de la siguiente manera:
En la tabla 5 aparecen los resultados de la curtosis de las señales de los termopares y las
TRPs. Salvo algunos casos aislados, el valor de la curtosis de los termopares y las TRPs
se encuentra entre 2,716 – 10,75 y 2,459 – 6,213 respectivamente. El promedio de los
valores de curtosis de los termopares y las TRPs de la tabla 5 es de 4,668 y 3,512
respectivamente.
42
Tabla 5: Datos de curtosis de los termopares y las TRPs
C1mar4_2 C2dic4_2 C2dic4_3 C2jun4_2 C2jun4_3 C3jul4_2 C3jul4_3 C3sep4_2 C3sep4_3
CET1 4,08680831 3,93279365 3,91251708 5,09732345 4,34055399 5,46638551 8,89160226 7,87145751 3,34865347
CET2 2,85103896 2,75386992 4,16424938 3,00265024 3,19672178 3,63078567 3,24748522 17,4615071 3,63443303
CET3 10,7499782 773,031556 9,67541033 3,17449995 3,23019591 5,14129934 7,83363993 7,44099486 3,1317559
CET4 0 2,99306596 2,8253572 2,96066399 2,71605869 5,16598267 8,39468819 3,05892282 3,15559386
CET5 0 5,69212032 4,71493812 3,59112547 1,61005805 4,69864293 6,54717336 7,60762431 4,20910154
CET6 2,82341313 2,76502537 4,68186802 3,2317193 3,44753924 3,31550236 3,1694111 8,9462374 4,197947
RTD1 3,25724893 3,48568822 2,45915824 2,57888327 3,39939245 0 3,16129929 0 0
RTD2 3,79256797 2,54590467 3,73005455 2,53005681 3,22172212 0 4,85797969 0 0
RTD3 4,60555711 3,08540024 3,96334459 3,04443903 4,71886001 0 6,21308338 0 0
43
4.1.4 Histogramas de casos anómalos
En las figura 19, 20 y 21 están representados los histogramas de diferentes señales en
las que alguno de los histogramas presenta una anormalidad característica respecto a la
dinámica normal de los otros histogramas.
Las medias 4_2 del termopar CET3 del segundo ciclo (C2) tomadas en diciembre
(figura 19) presentan una desviación típica de 874 (tabla 3) y una curtosis de 773 (tabla
5Tabla 5), muy por encima de las respectivas medias cuyos valores son 0,24 y 4,67.
Podemos establecer por lo tanto que las medidas tomadas en esta fecha y hora por el
termopar CET3 están fuera de rango.
Figura 19: Histogramas de los termopares del C2 (segundo ciclo) medidas de diciembre 4_2
Lo mismo mencionado antes ha sucedido en otros dos casos pero con otros termopares
y en distintas ocasiones.
Las medidas 4_3 del termopar CET5 del segundo ciclo (C2) tomadas en junio (figura
20Figura 20) tienen desviación típica de 14 (tabla 3) por encima de la media y curtosis
de 1,61 (tabla 5) por debajo de la media.
-1 -0.5 0 0.5 10
500
1000
1500
2000CET1
-1 -0.5 0 0.5 10
200
400
600
800
1000CET2
-1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.5
0
0.5
1CET3
-1 -0.5 0 0.5 10
200
400
600
800
1000CET4
-1 -0.5 0 0.5 10
1000
2000
3000
4000CET5
-1 -0.5 0 0.5 10
200
400
600
800
1000CET6
44
Figura 20: Histogramas de los termopares del C2 (segundo ciclo) medidas de junio 4_3
Las medidas 4_2 del termopar CET2 del tercer ciclo (C3) tomadas en septiembre (figura
21Figura 21) tienen desviación típica de 1756 (tabla 3) muy por encima de la media y
curtosis de 17 (tabla 5) también por encima de la media.
Figura 21: Histogramas de los termopares del C3 (tercer ciclo) medidas de septiembre 4_2
-1 -0.5 0 0.5 10
200
400
600
800
1000CET1
-1 -0.5 0 0.5 10
200
400
600
800
1000CET2
-1 -0.5 0 0.5 10
200
400
600
800
1000CET3
-1 -0.5 0 0.5 10
200
400
600
800CET4
-1 -0.5 0 0.5 10
50
100
150
200CET5
-1 -0.5 0 0.5 10
200
400
600
800
1000CET6
-0.2 -0.1 0 0.1 0.20
2000
4000
6000CET1
-0.2 -0.1 0 0.1 0.2-1
-0.5
0
0.5
1CET2
-0.2 -0.1 0 0.1 0.20
2000
4000
6000CET3
-0.2 -0.1 0 0.1 0.20
500
1000
1500
2000
2500CET4
-0.2 -0.1 0 0.1 0.20
2000
4000
6000CET5
-0.2 -0.1 0 0.1 0.20
1000
2000
3000
4000
5000CET6
45
5 Análisis espectral
5.1 Teorema del muestreo
El teorema del muestreo permite obtener el eje de frecuencias de las señales para poder
pasar del dominio del tiempo al de la frecuencia.
Las medidas de este trabajo fueron muestreadas a una frecuencia de 1000 Hz. Es decir,
se tomaba una medida cada milésima de segundo, mil medidas en el transcurso de un
segundo. Estas medidas se remuestrearon a una frecuencia de 50 Hz.
Las formulas necesarias para crear el eje de frecuencias se describen a continuación:
Siendo:
: Frecuencia de Nyquist
: Frecuencia de muestreo o Sampling frecuency
: Número de puntos de la señal
5.1.1 Aliaising
Cuando se obtienen muestras periódicas de una señal sinusoidal, puede ocurrir que se
obtengan las mismas muestras que se obtendrían de una señal sinusoidal igualmente
pero con frecuencia más baja. Específicamente, si una sinusoide de frecuencia f Hz es
muestreada s veces por segundo, y s ≤ 2·f, entonces las muestras resultantes también
serán compatibles con una sinusoide de frecuencia fm - f, donde fm es la frecuencia de
muestreo. En la jerga inglesa de procesamiento de señales, cada una de las sinusoides se
convierte en un "alias" para la otra.
Está demostrado rigurosamente que para evitar el aliasing es necesario asegurarse de
que en la señal analógica a muestrear con una frecuencia s, no tenga componentes
sinusoidales de frecuencia mayor a s/2. Esta condición es llamada el criterio de Nyquist,
y es equivalente a decir que la frecuencia de muestreo s debe ser al menos dos veces
mayor que el ancho de banda de la señal.
46
5.2 Modelo autorregresivo (AR)
5.2.1 Cálculo de los coeficientes autorregresivos
El modelo autorregresivo (AR) es un modelo de serie temporal que permite predecir
futuros valores de la serie. Se basa en la hipótesis de que el instante actual, , está
determinado por los instantes anteriores, .
La ecuación que rige el modelo autorregresivo es la siguiente:
Siendo:
: Conjunto de datos estacionarios en el momento actual.
: Coeficientes del modelo autorregresivo.
: Valor de los datos en k momentos anteriores.
: Componente aleatoria sin información (ruido blanco).
En este apartado se trata de obtener el modelo autorregresivo con las ecuaciones de
Yule-Walker.
Para ello se debe determinar el orden del modelo. El orden del modelo AR corresponde
con el número de coeficientes autorregresivos del que éste se compondrá.
Más adelante, trataremos de determinar cuál es el orden adecuado según el criterio de
información de Akaike.
Si a cada punto de la señal, x, se le resta la media de la señal se obtiene la componente
de ruido de dicha señal.
Se hace la media:
Se resta la media a cada punto de la señal xi y se obtiene el ruido r.
47
Antes de proceder a calcular los coeficientes autorregresivos se debe hacer la
autocorrelación del ruido.
Este conjunto de n ecuaciones recibe el nombre de ecuaciones de Yule-Walker, y
permiten obtener los coeficientes autorregresivos aj para un modelo de orden n a partir
de los n primeros valores de la autocorrelación de la respuesta del sistema.
La matriz Cj-k por su inversa es igual a la matriz identidad. La matriz identidad es una
matriz que cumple la propiedad de ser elemento neutro del producto de matrices. Esto
quiere decir que el producto de cualquier matriz por la matriz identidad no tiene ningún
efecto.
La matriz de coeficientes autorregresivos aj queda despejada para su uso.
5.2.2 Criterio de información de Akaike
El criterio de información de Akaike ayuda a elegir el orden del modelo. El orden del
modelo da el número de coeficientes autorregresivos. El criterio de información de
Akaike da como resultado un valor de amplitud concreto para un cierto número de
coeficientes autorregresivos. Estos valores de amplitud se representan en un gráfico en
el eje de las ordenadas y a su vez, en el eje de abscisas, irá representados los distintos
órdenes del modelo.
Un número elevado de coeficientes dará lugar a un buen ajuste pero no es práctico. Un
número bajo de coeficientes puede no ser suficiente para representar bien el modelo.
La fórmula para calcular el AIC (Akaike information criterion) es como sigue:
Donde N es el número de puntos de la señal y n es el orden del modelo AR
48
En la figura 22 se ha representado el AIC del termopar CET4. Como puede verse, en
este caso se seleccionarían 4 coeficientes autorregresivos para la representación del
modelo. Un solo coeficiente autorregresivo daría un mal ajuste. Dos coeficientes darían
un buen ajuste y podría darse por válido el modelo. Incluyendo solamente dos
coeficientes más, es decir, con cuatro coeficientes no se complica mucho el cálculo y se
obtiene un modelo válido. Si aumentamos el número de coeficientes por encima de
cuatro, se complica el cálculo y apenas se mejora el ajuste del modelo.
Figura 22: AIC del termopar CET4 de las medidas del C1
5.3 Ajuste
El proceso de ajuste de una PSDy con el modelo AR requiere seguir los siguientes
pasos.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6
-5.95
-5.9
-5.85
-5.8
-5.75
-5.7
-5.65x 10
4
ordenn
AIC
CET4
AIC
49
5.3.1 Estacionariedad de la señal
Primero elegimos el rango de la señal que sea más estacionario. La parte que más
interesa de la señal, es la parte que sea estacionaria tanto en media como en varianza.
Una señal estacionaria en media se encuentra siempre centrada en torno a una constante.
En el caso que vemos a continuación esa constante es el eje de abscisas.
Vemos que a partir de la mitad la señal sufre un cambio de amplitud. Esto no afecta a la
media sin embargo tendrá efecto sobre la varianza.
Valor medio de :
Varianza:
Este es el caso de una señal estacionaria en media, no estacionaria en varianza (figura
23Figura 23).
Figura 23: Ejemplo de una señal estacionaria en media
En la siguiente gráfica se aprecia la misma amplitud a lo largo de todo el eje de tiempos.
Dado que la amplitud no varía tampoco lo hará la varianza. Puede verse un cambio en la
media debido a que la señal se sale del eje de abscisas y sufre una translación progresiva
0 20 40 60 80 100 120 140 160-3
-2
-1
0
1
2
3
t
50
a lo largo de una recta inclinada. Este es el caso de una señal estacionaria en varianza,
no estacionaria en media (figura 24).
Figura 24: Ejemplo de una señal estacionaria en varianza
5.3.2 Filtro
Una vez que se ha elegido el rango de datos a utilizar, se procede al filtrado de la señal.
En la zona de altas frecuencias de una PSDy sin filtrar, aparecen una serie de picos que
no se encuentran en la dinámica del sensor (figura 25).
0 20 40 60 80 100 120 140 160-20
0
20
40
60
80
100
120
t
51
Figura 25: Modelo AR y PSDy antes del filtrado
Estos picos son una serie de resonancias que dificultan un buen ajuste del modelo AR
por lo que interesa eliminarlos.
Dado que estos picos se encuentran en un rango de frecuencias altas donde no hay
información relevante, está totalmente justificado el filtrado de esta parte de la señal.
No se debe elegir una frecuencia de corte menor a 2,5 Hz dado que alteraría la señal
dándo tiempos de respuesta ( ) incongruentes.
A continuación se muestra en la tabla 6 los tiempos de respuesta de los termopares y
TRPs del segundo ciclo (C2), medidas4_2 del mes de junio, obtenidos para una
frecuencia de corte de 2,5 Hz y 1,25 Hz.
10-3
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET6
PSDy
H(w) modeloAR
52
Tabla 6: Tiempos de respuesta de varios sensores, obtenidos con señales filtradas a frecuencias de corte
de 1,25 Hz y 2,5 Hz
f=1,25 Hz f=2,5 Hz
CET1 0,20747888 0,8169156
CET2 0,12986029 0,26871337
CET3 0,17938873 0,40692799
CET4 0,24216146 0,40042914
CET5 0,2310059 0,54873623
CET6 0,24288325 0,58413857
RTD1 1,2934497 2,20236029
RTD2 0,74079392 1,77146371
RTD3 0,93933523 4,02406572
Se puede observar en la tabla 6 que los valores de tiempos de respuesta para la
frecuencia de corte de 1,25 Hz rondan la mitad o menos que los de frecuencia 2,5 Hz.
Esto es debido a que el filtro a frecuencias de corte demasiado bajas no solo elimina la
parte de frecuencias altas donde se encuentran los picos no deseados si no también parte
de la información que contribuye a un cálculo correcto del tiempo de respuesta.
Dado que la frecuencia de corte debe ser un múltiplo de la frecuencia de muestreo
anterior, el próximo múltiplo es frecuencia de corte 5 Hz. Esta frecuencia filtra poco
para el propósito que se persigue. El criterio a seguir es no coger una frecuencia de corte
demasiado baja de manera que se pierda información crucial y se falsee el resultado del
tiempo de respuesta ni tampoco demasiado alta de forma que apenas se haya filtrado la
parte que se desea eliminar para poder llevar a cabo un buen ajuste con pocos
coeficientes autorregresivos.
También se aplica el filtrado a las señales de TRPs.
Los picos aparecen en la zona de frecuencias altas. Para deshacernos de las amplitudes
correspondientes a ese rango de frecuencias y mantener el resto de la señal nos
crearemos un filtro pasa bajos.
La señal se encuentra en él dominio del tiempo. Para identificar las frecuencias donde
aparecen los picos correspondientes a resonancias que distorsionan un buen ajuste del
modelo AR con la PSDy, hay que pasar la señal del dominio del tiempo al dominio de la
frecuencia mediante la transformada de Fourier.
53
Cuando se hace la transformada de Fourier, dependiendo de si la señal es par o impar
surgen complicaciones. A continuación se verán ejemplos de transformada de Fourier
de señal par e impar.
Tabla 7: Ejemplos de la transformada de Fourier de una señal par y otra impar
TF señal par frecuencia TF señal impar Frecuencia
6.0229+0i 1 -8.9748+0i 1 0.14074+0.56391i 2 -6.9248-2.2054i 2 -0.40108-3.4109i 3 2.9924-0.73762i 3 6.637+0.4799i 4 0.47772-0.85723i 4
0.085418+5.3743i 5 3.3873-4.9263i 5 1.0332+1.3585i 6 0.79134+4.6745i 6
-9.4193-1.0425i 7 3.5944+0.23738i 7 2.3951-2.3352i 8 2.7276-1.148i 8 -1.685-3.0685i 9 1.2347+2.2145i 9 3.5058+1.479i 10 0.39292-4.8704i 10
6.2394+0i 11 -3.9728+5.1041i 11 3.5058-1.479i 12 -3.9728-5.1041i 12
-1.685+3.0685i 13 0.39292+4.8704i 13 2.3951+2.3352i 14 1.2347-2.2145i 14 -9.4193+1.0425i 15 2.7276+1.148i 15 1.0332-1.3585i 16 3.5944-0.23738i 16
0.085418-5.3743i 17 0.79134-4.6745i 17 6.637-0.4799i 18 3.3873+4.9263i 18
-0.40108+3.4109i 19 0.47772+0.85723i 19 0.14074-0.56391i 20 2.9924+0.73762i 20
-6.9248+2.2054i 21
La transformada de Fourier de una señal que contiene una serie de datos (vector), da
como resultado, un vector donde el primer valor es un número real y en el caso de
tratarse de una señal par, el primer valor después del valor que corresponde con la mitad
de la longitud del vector, también es un valor real. El resto de valores son complejos y
dependientes entre sí. Es decir, el último valor del vector, transformada de Fourier, está
relacionado con el segundo valor del vector y será el conjugado de éste. Lo mismo
sucede con el resto de valores.
A continuación se escoge la frecuencia de corte. La frecuencia de corte será aquella a
partir de la cual se dejará pasar por el filtro todos los datos de mi señal iguales o
inferiores a dicha frecuencia y el resto de valores se hacen nulos.
Para el ejemplo se ha escogido una frecuencia de corte igual a 4 Hz. Todos aquellos
valores de la transformada de Fourier por encima de frecuencia 4 Hz se harán nulos,
54
teniendo en cuenta, los valores iguales y menores a frecuencia 4 dependen de sus
conjugados y estos no deben hacerse nulos.
Tabla 8: Transformada de Fourier de señal par e impar filtrada
6.0229+0i -8.9748+0i 0.14074+0.56391i -6.9248-2.2054i -0.40108-3.4109i 2.9924-0.73762i 6.637+0.4799i 0.47772-0.85723i
0+0i 0+0i 0+0i 0+0i 0+0i 0+0i 0+0i 0+0i
0+0i 0+0i 0+0i 0+0i 0+0i 0+0i 0+0i 0+0i
0+0i 0+0i 0+0i 0+0i 0+0i 0+0i 0+0i 0+0i 0+0i 0+0i
6.637-0.4799i 0+0i -0.40108+3.4109i 0.47772+0.85723i 0.14074-0.56391i 2.9924+0.73762i
-6.9248+2.2054i
Por último se hace la transformada inversa de Fourier y el resultado será la señal filtrada
(figura 26).
Antes de utilizar el filtro con las señales se hará una simulación para validar el filtro.
Para ello, se utilizará como señal, una señal periódica compuesta de armónicos de
distintas frecuencias.
Siendo t el tiempo y x la señal, se tendrá que:
Se utiliza como frecuencia de corte del filtro la frecuencia de 8 Hz, podrá comprobarse,
que el armónico de frecuencia igual a 10 Hz ya no forma parte de la señal filtrada. La
señal filtrada deberá ser igual a:
55
El resultado es fácil de comprobar. Se dibuja por un lado, el gráfico correspondiente a la
señal filtrada y por otro lado, el gráfico que representa una nueva señal periódica que
contiene los armónicos de frecuencias igual e inferior a la frecuencia de corte.
Deberá dibujarse solo la parte real del resultado de la transformada inversa de Fourier
de la señal de salida del filtro.
5.3.3 Remuestreo
Consiste en reducir la frecuencia de muestreo de una variable x conservando cada
enésima muestra empezando por la primera muestra de la variable.
Si una variable x está muestreada a 60 Hz y queremos remuestrearla a una nueva
frecuencia igual a 20 Hz, se debe conservar cada 60/20 muestra de la variable inicial.
Se obtiene de esta manera la nueva variable x (remuestreo).
Tabla 9: Remuestreo de una variable
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x (re muestreo) 1 4 7 10
La nueva frecuencia de muestreo 20 Hz, debe de ser un múltiplo de la frecuencia de
muestreo inicial para que la división de ambas sea un número entero.
La frecuencia de corte elegida para el filtrado de la mayor parte de las señales es de 2,5
Hz.
Dado que la frecuencia de muestreo de la señal anterior al remuestreo es de 50 Hz y se
obtiene una frecuencia de muestreo nueva igual a 5 Hz, la señal remuestreada estará
compuesta por cada décimo (50/5) valor de la señal inicial.
5.3.4 Proceso de solape
Una vez filtrada la señal, el siguiente paso consiste en calcular el criterio de Akaike de
la señal para seleccionar el número de coeficientes AR adecuado.
56
Se debe comprobar que el orden del modelo AR elegido según el criterio de
información de Akaike es tal que la pendiente del modelo AR corresponde con la
pendiente de la PSDy.
El último paso en el ajuste para conseguir el solape del modelo AR y la PSDy deseado
consiste en normalizar la PSDy respecto a un cierto valor.
Dado que los primeros valores de la PSDy no son representativos de ella, se erigirá un
valor de entre los primeros que permita solapar el modelo AR con la PSDy.
Esto se consigue escogiendo como punto inicial de la medida en dB del eje de
ordenadas, un valor distinto al primero de forma que la PSDy se traslada a lo largo del
eje Y (ordenadas) para solapar con el modelo AR.
El eje de ordenadas (dB) viene determinado por:
desde i=1 hasta i=n.
Siendo n el número de puntos de la PSDy.
El primer punto que se representa es nulo ya que:
57
Figura 26: Modelo AR y PSDy sin solapar
Si en lugar de dividir por él primer valor de la PSDy, divido por el séptimo valor, el 0
del eje de ordenadas estará a una amplitud igual a la amplitud del séptimo valor de
PSDy:
De esta forma el modelo AR y la PSDy quedan solapadas tal como se muestra en la
figura 27.
10-3
10-2
10-1
100
101
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET6
PSDy
H(w) modelo AR
58
Figura 27: Modelo AR y PSDy solapadas y ajustadas
5.4 Estimación del tiempo de respuesta por medio de la PSD
En este apartado se va a obtener el tiempo de respuesta teniendo en cuenta que el
sensor, ya sea TRP o termopar, es equivalente a un sistema de primer orden.
Si la frecuencia es de valor:
(4)
Sabiendo además que:
Se sustituye en la ecuación que da el valor de la amplitud, la cual se resuelve
mediante el cálculo de números complejos, factorización y las propiedades de los
logaritmos tal y como se muestra a continuación.
10-3
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET6
PSDy
H(w) modelo AR
59
Se obtiene finalmente el valor de la amplitud -3 dB. Esto demuestra que la caída a 3 dB
siempre se produce a una frecuencia igual a:
Dado que no se tendrá una caída de 3 dB exacta debido a la resolución de la frecuencia,
se establece un rango. Se buscaran aquellas frecuencias para una caída entre 3,2 dB y
2,8 dB. La frecuencia que se encuentre en la mitad de este rango será la que se utilice
para averiguar el tiempo de respuesta.
En la tabla 10 se muestran los tiempos de respuesta de los termopares y las TRPs
calculadas mediante la caída a 3 dB. Más adelante se tratará de excluir aquellas medidas
incongruentes que pueden significar un mal funcionamiento del sensor y se dará un
valor más exacto y preciso del valor real del tiempo de respuesta por medio de la
calibración cruzada y el cálculo de la incertidumbre.
60
Tabla 10: Datos del tiempo de respuesta de los termopares y las TRPs
C1mar4_2 C2dic4_2 C2dic4_3 C2jun4_2 C2jun4_3 C3jul4_2 C3jul4_3 C3sep4_2 C3sep4_3
CET1 0,35818607 0,66249862 0,3405949 0,8169156 0,47933724 0,6256225 0,63414265 0,73744191 2,99036077
CET2 0,29794271 0,79306405 0,55433558 0,26871337 0,33847282 0,34130819 0,30349099 1,53027851
CET3 0,30749936 0,88573186 0,80880725 0,40692799 0,64163253 0,67344902 0,837916 0,55245648 0,1706541
CET4 0 0,31161503 0,57184092 0,40042914 1,0793024 0,31799934 0,45843787 0,58729608 0,15731145
CET5 0 0,5830936 0,70247699 0,54873623 11,2396318 1,07220172 0,97298306 0,8600246 1,10867117
CET6 0,91302331 1,09747247 0,81487331 0,58413857 0,55717833 1,14770889 0,93128378 0,80880725 1,61361051
RTD1 2,99036077 3,74654395 2,91026182 2,20236029 4,7933724 0 2,71624436 0 0
RTD2 2,3966862 2,50730249 1,86256756 1,77146371 2,26353697 0 1,15996201 0 0
RTD3 3,46754599 4,72390324 3,62165915 4,02406572 4,46505923 0 3,46754599 0 0
61
Los tiempos de respuesta de los termopares CET2, CET3, CET5 y CET6 evolucionan
de forma similar. Estos termopares sufren grandes fluctuaciones en amplitud de sus
tiempos de respuesta.
Figura 28: Evolución del tiempo de respuesta de los distintos termopares
Las TRPs (figura 29) presentan una evolución similar. El tiempo de respuesta de la
primera medida del segundo ciclo (C2 diciembre) aumenta respecto al primer ciclo, sin
embargo, en junio del segundo ciclo, vuelve a bajar el tiempo de respuesta hasta valores
inferiores al de partida en RTD1 y RTD2.
No hay medidas de las TRPs para el ciclo 3, de modo que, a diferencia de los
termopares, sólo hay datos de tiempo de respuesta de dos ciclos.
C1 C2dic C2jun C3jul C3sep0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
tau
CET1
CET2
CET3
CET4
CET5
CET6
62
Figura 29: Evolución del tiempo de respuesta de las TRPs
5.5 Calibración cruzada
La calibración cruzada, introducida por H.M. Hashemian, es un método de calibración
in situ de TRPs y termopares. La idea es que la media total de las medidas de todos los
instrumentos de medida de un mismo tipo (TRPs o termopares) es la que más se acerca
a representar el valor real del entorno donde se mide. Luego, a la media de cada uno de
los instrumentos en particular, se le substrae la media total para obtener el valor de la
desviación que presenta ese instrumento. Si el valor de la desviación supera el criterio
aceptado, ese instrumento se quita del cálculo de la media total. El proceso de cálculo se
repite hasta que se hayan identificado todos los instrumentos mal calibrados.
Esta misma idea se puede trasladar a los resultados de tiempo de respuesta. De entrada
se observa que alguno de los valores es excesivamente alto como para tratarse de un
valor válido de tiempo de respuesta. Estos valores se excluyen del cálculo de la media
total porque falsean el resultado estadístico.
C1 C2dic C2jun C3jul C3sep1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
tau
RTD1
RTD2
RTD3
63
Este es el caso del termopar CET5 en junio del segundo ciclo (C2jun4_3) (tabla 10).
El cálculo de la media total y de los valores máximos y mínimos de los tiempos de
respuesta tanto de los termopares como de TRPs está representado en la tabla 11 que se
muestra a continuación.
Tabla 11: Media total, valores máximos y mínimos de TRPs y Termopares
Media Termopar Máximo Mínimo
0,711165942 2,99036077 0,15731145
Media RTD Máximo Mínimo
3,060580103 4,7933724 1,15996201
5.6 Cálculo de la incertidumbre
El tiempo de respuesta es una medida indirecta. Las medidas indirectas son aquellas que
se obtienen por el cálculo del valor del mensurando a partir de las medidas de otras
magnitudes. Es decir, el tiempo de respuesta, se obtiene a partir de una fórmula
matemática de la cual forma parte el parámetro que se mide.
En este caso se trata de un solo parámetro (frecuencia) y la fórmula matemática se
obtiene despejando el tiempo de respuesta de la ecuación (4):
Las incertidumbres de las medidas indirectas se han calculado mediante las formulas
que se exponen a continuación:
64
Siendo:
: Magnitud de entrada.
: Incertidumbre expandida de medida
: Incertidumbre de medida.
: Incertidumbre típica de tipo A debida a la respetabilidad de las medidas.
: Coeficiente de sensibilidad.
: Incertidumbre típica de la magnitud de entrada.
: Incertidumbre típica de tipo B debida a la resolución.
: Semirango (la mitad de la resolución de la magnitud de entrada). Se utilizará en
resolución del eje de frecuencia la gráfica de la PSD.
: Factor de cobertura (95%) igual a 2.
En la tabla 12 están expuestas las incertidumbres de medida correspondientes a cada
termopar y TRP.
Tabla 12: Incertidumbre de medida
Incertidumbre de medida (expandida)
CET1 0,52
CET2 0,31
CET3 0,59
CET4 0,39
CET5 0,75
CET6 0,52
RTD1 1,2
RTD2 0,89
RTD3 0,76
Se puede decir que la medida que más se aproxime al valor real, se encuentra en una
franja centrada en la media de los tiempos de respuesta de cada termopar y TRP
más/menos los valores de la incertidumbre de la medida correspondiente (tabla 13).
65
Tabla 13: Media e incertidumbre del tiempo de respuesta de los termopares y las TRPs
Media del tiempo de respuesta
Incertidumbre
CET1 0,85 ± 0,52
CET2 0,55 ± 0,32
CET3 0,59 ± 0,59
CET4 0,49 ± 0,39
CET5 2,1 ± 0,75
CET6 0,94 ± 0,53
RTD1 3,0 ± 1,2
RTD2 1,8 ± 0,89
RTD3 3,5 ± 0,76
5.7 Estudio de un caso particular
En la figura 30 viene representada la PSDy de las medidas4_2 tomadas en septiembre
del segundo ciclo (C2). En ella se puede observar que está PSDy contrasta de las otras
(contenidas en el ANEXO C). Presenta una forma errática, es decir, no sigue la
dinámica de las otras PSDy y a simple vista se puede observar que no va a haber un
único valor definido para la caída a 3 dB.
66
Figura 30: PSDy del termopar CET2 septiembre del tercer ciclo medidas4_2 (filtradas)
Si se observa la gráfica del criterio AIC de la PSDy filtrada (figura 31), éste también se
sale de la dinámica que presentan los otros AIC (contenidos en el ANEXO B). No hay
ningún número por debajo de 20 coeficientes autorregresivos que den un buen ajuste del
modelo AR a la PSDy. El orden del modelo AR necesario supondría muchos
coeficientes autorregresivos para ajustar bien la PSDy, la cual, oscila con un rango de
amplitud grande y a una frecuencia elevada. Es por eso que sería difícil observar un
único valor válido de la caída a 3dB.
10-3
10-2
10-1
100
101
-20
-15
-10
-5
0
5
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET2
PSDy
H(w) modeloAR
67
Figura 31: AIC del termopar CET2 septiembre del tercer ciclo medidas4_2 (señal filtrada)
Si se comprueba que antes de filtrar la señal del termopar CET2 la PSDy cae enseguida
y no alcanza un valor de -3 dB o por debajo, es razonable pensar que no va a ser posible
obtener un valor del tiempo de respuesta.
En consecuencia, en septiembre del tercer ciclo (C2sep4_2), no hay un valor para el
tiempo de respuesta del termopar CET2 (tabla 3).
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.8272
-6.827
-6.8268
-6.8266
-6.8264
-6.8262
-6.826
-6.8258x 10
4
orden n
AIC
CET2
AIC
68
Figura 32: PSDy del termopar CET2 septiembre del tercer ciclo medidas4_2 (sin filtrar)
Este suceso anómalo ocurre porque las medidas de partida tienen una desviación típica
de 1756 (tabla 3). Un valor tan grande significa que las medidas se encuentran muy
dispersas respecto a la media. A continuación, en la figura 33, se aprecia este efecto. Se
observa que las otras señales (contenidas en el ANEXO A), difieren de esta por tener
una distribución más cercana a la media.
10-3
10-2
10-1
100
101
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET2
PSDy
H(w) modelo AR
69
Figura 33: señal de ruido del termopar CET2 septiembre del tercer ciclo medidas4_2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x 104
-6
-4
-2
0
2
4
6
8x 10
-4
medidas
am
plit
ud
CET2 señal de ruido
señal
70
6 Conclusiones
En este proyecto se han analizado las señales de los sensores de temperatura
pertenecientes a una central nuclear. Los resultados obtenidos indican que uno de los
termopares puede estar funcionando de manera indebida ya sea por problemas del
circuito eléctrico del sensor, un fallo en el aislamiento o debidos a la deriva.
El análisis estadístico de una de las señales del CET5 muestra valores anómalos. Esto va
a afectar al análisis de ruido haciendo que éste se salga de la dinámica general que
muestran el resto de sensores. Mediante la técnica de análisis de ruido se han calculado
los tiempos de respuesta de los sensores. Se ha averiguado que el CET5 presenta en un
determinado caso un tiempo de respuesta superior a los demás sensores. Esto ha
afectado a la incertidumbre haciéndola aumentar. Se puede concluir que el CET5 debe
ser reemplazado.
A lo largo del proyecto han surgido señales problemáticas de analizar mediante los
métodos disponibles. Concretamente, la señal de septiembre del CET2, presenta valores
con gran dispersión. No ha sido posible calcular su tiempo de respuesta. Sin embargo, el
análisis de ruido resulta ser una buena herramienta para la vigilancia de sensores. Las
técnicas de análisis de ruido presentan grandes ventajas al llevarse a cabo in situ y no
interferir en la operación normal de la planta. A su vez, el análisis estadístico es un buen
complemento para el análisis de ruido, dando por válidas las conclusiones además de
aportar información significativa.
71
7 Bibliografía
7.1 Bibliografía general
BALBÁS, Miguel. CHICHARRO, José Manuel. GARCÍA BERROCAL, Agustín.
(2002): Ruido blanco en la excitación de sistemas mecánicos. Fundación Gomez Pardo,
Madrid
HASHEMIAN, H.M. JIANG, Jing (2009): “Nuclear plant temperature
instrumentation’’ Elsevier
HASHEMIAN, H.M. (2005): Sensor performance and reliability. ISA The
Instrumentation, Systems, and Atomation Sociaty, Durham
OGATA, Katsuhiko (1998): Ingeniería de control moderna, 3ª. Ed. A Simon & Schuster
Company
MEADE, M.L. DILLON, C.R. (1993): Señales y sistemas Modelos y comportamiento.
Addison-Wesley iberoamericana, Wilmigton, Delaware, E.U.A
JIN-HO PARK, HAN-YOUNG YOON, HEE-CHEOL KIM, CHONG-CHUL LEE
(1992): “Obtimization of Dynamic Terms in Core Overtemperature Delta-T Trip
Function” Journal of the Korean Nuclear Society Volume 24
7.2 Páginas Web
es.wikipedia.org
72
VIGILANCIA POR ANÁLISIS DE RUIDO DE
SENSORES DE TEMPERATURA
Documento 2: ESTUDIO ECONÓMICO
73
En este documento se van a estudiar las pérdidas económicas de las centrales nucleares
debidas a un mal seguimiento de los tiempos de respuesta de las TRPs. Para ello se van
a introducir los conceptos de over temperatura delta-t trip function (OT∆T) y departure
from nuclear boiling (DNB) entre otros.
OT∆T (Over temperatura delta-t trip function) se usa para contolar que el DNBR
(departure from nuclear boiling ratio) no sobrepase el límite establecido ya que si lo
hiciera y no se iniciara la parada del reactor a tiempo, podría producirse la entrada en
ebullición del agua en el reactor y debido a ello el sobrecalentamiento de las barras de
combustible.
DNB es el punto a partir del cual, la transferencia de calor de las barras de combustible
al agua del reactor baja, debido al efecto aislante de la manta de gas, que se forma
alrededor de las barras de combustible por la entrada en ebullición del agua del reactor.
DNBR es la proporción de flujo de calor necesaria para causar el DNB respecto al flujo
de calor actual del reactor.
A continuación se va a ver cómo influye los tiempos de respuesta de las TRPs en el
cálculo de OT∆T, ecuación (5).
(5)
Donde es la diferencia de temperatura medida entre el lazo caliente y el lazo frío,
es la diferencia de temperatura indicada, que no debe ser sobrepasada por la medida
y que se ajusta dependiendo de las variaciones de presión y temperatura del reactor.
En la ecuación (5) aparece el siguiente conjunto:
Donde y son constantes de tiempo y s, es el operador matemático de Laplace. Este
conjunto se conoce como compensador de atraso-adelanto, en inglés, lead-lag
compensator y es el parámetro que se introduce en la ecuación (5) para compensar los
tiempos de respuesta de las TRPs.
74
El compensador de atraso-adelanto tiene la función de amplificar la entrada en la etapa
inicial y más adelante, hace que la salida converja gradualmente con los valores
originales de entrada.
Se va a considerar un caso en él que la temperatura en el reactor aumenta gradualmente
durante un cierto tiempo y cuando finalice, se mantenga constante. Esto es un cambio
de temperatura del tipo rampa. La medida que se obtendrá de las TRPs estará retrasada
debida al tiempo de respuesta y por lo tanto corresponderá con un valor de temperatura
inferior al que realmente se tendrá en ese instante ya que la temperatura siguió subiendo
en los instantes posteriores. Si la medida de temperatura de las TRPs se hace pasar por
un compensador de atraso-adelanto, de modo que esta queda amplificada para que
concuerde con el valor real, se habrá conseguido compensar los tiempos de respuesta de
las TRPs que de otro modo me estarían dando un valor que no es válido. La figura 34 es
el resultado de la simulación del compensador de atraso-adelanto aplicado a una entrada
del tipo rampa.
Figura 34: respuesta del compensador de atraso-adelanto para una entrada del tipo rampa
Si se considera una central nuclear de 1000 MW de potencia donde debido a problemas
de las TRPs, el tiempo de respuesta de estas ha aumentado, las taus del cálculo en la
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000
500
1000
1500
tiempo
entrada
salida
75
ecuación (5) dejaran de ser válidos. La amplificación de las medidas de temperatura
podría ser insuficiente de modo que el DNBR sobrepasaría el límite establecido
causando un DNB y la alarma de la medida de OT∆T saltaría y pararía el reactor
demasiado tarde.
La parada del reactor a tiempo no hubiera supuesto daños en el reactor y al día siguiente
se podría haber puesto en marcha de nuevo, causando unas pérdidas de:
Para el cálculo económico se ha supuesto un precio del KWh de 0,05 €.
Sin embargo, si no se hubiera detectado a tiempo la subida de temperatura debido a que
los tiempos de respuesta de las TRPs se hubieran salido de rango, el reactor hubiera
entrado en ebullición. Esto hubiera significado posibles daños y la parada del reactor.
Suponiendo que reemplazar las TRPs y las reparaciones necesarias hubieran tardado
una semana, la planta hubiera estado parada causando unas pérdidas de 8400000 €.
Con la vigilancia de los tiempos de respuesta de las TRPs en las centrales nucleares se
pueden evitar pérdidas económicas pudiendo programar el reemplazo de TRPs o
cambiando las constantes de tiempo acorde con los nuevos valores de tiempo de
respuesta.
76
VIGILANCIA POR ANÁLISIS DE RUIDO DE
SENSORES DE TEMPERATURA
Documento 3: ANEXOS
77
VIGILANCIA POR ANÁLISIS DE RUIDO DE
SENSORES DE TEMPERATURA
ANEXO A: Ruido
78
Primer ciclo (C1) medidas 4_2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x 104
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
Tiempo
Am
plit
ud
CET1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x 104
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
CET2
79
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x 104
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
CET3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x 104
-6
-4
-2
0
2
4
6
8x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
CET6
80
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x 104
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
RTD1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x 104
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
RTD2
81
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x 104
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
RTD3
82
Segundo ciclo (C2) medidas 4_2 de diciembre
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Tiempo
Am
plit
ud
CET1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
CET2
83
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
CET3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
CET4
84
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
CET5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-0.01
-0.008
-0.006
-0.004
-0.002
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
Tiempo
Am
plit
ud
CET6
85
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
RTD1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-6
-4
-2
0
2
4
6x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
RTD2
86
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-6
-4
-2
0
2
4
6
8x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
RTD3
87
Segundo ciclo (C2) medidas 4_3 de diciembre
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
CET1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
CET2
88
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
CET3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
CET4
89
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-2
-1
0
1
2
3
4
5x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
CET5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
CET6
90
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
RTD1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-6
-4
-2
0
2
4
6
8x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
RTD2
91
Segundo ciclo (C2) medidas 4_2 de junio
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-4
-2
0
2
4
6
8x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
RTD3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Tiempo
Am
plit
ud
CET1
92
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
CET2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-6
-4
-2
0
2
4
6
8x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
CET3
93
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
CET4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
CET5
94
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
CET6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-6
-4
-2
0
2
4
6x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
RTD1
95
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
RTD2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-6
-4
-2
0
2
4
6
8x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
RTD3
96
Segundo ciclo (C2) medidas 4_3 de junio
0 1 2 3 4 5 6 7
x 104
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Tiempo
Am
plit
ud
CET1
0 1 2 3 4 5 6 7
x 104
-0.01
-0.008
-0.006
-0.004
-0.002
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
Tiempo
Am
plit
ud
CET2
97
0 1 2 3 4 5 6 7
x 104
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
CET3
0 1 2 3 4 5 6 7
x 104
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
CET4
98
0 1 2 3 4 5 6 7
x 104
-6
-4
-2
0
2
4
6
8x 10
-4
Tiempo
Am
plit
ud
CET5
0 1 2 3 4 5 6 7
x 104
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
CET6
99
0 1 2 3 4 5 6 7
x 104
-6
-4
-2
0
2
4
6x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
RTD1
0 1 2 3 4 5 6 7
x 104
-3
-2
-1
0
1
2
3
4x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
RTD2
100
Tercer ciclo (C3) medidas 4_2 de julio
0 1 2 3 4 5 6 7
x 104
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
RTD3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
CET1
101
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-3
-2
-1
0
1
2
3
4x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
CET2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-3
-2
-1
0
1
2
3
4x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
CET3
102
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
CET4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
CET5
103
Tercer ciclo (C3) medidas 4_3 de julio
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
CET6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-6
-4
-2
0
2
4
6
8x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
CET1
104
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
CET2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-4
-3
-2
-1
0
1
2x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
CET3
105
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-5
-4
-3
-2
-1
0
1x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
CET4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-2
-1
0
1
2
3
4
5x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
CET5
106
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10x 10
-4
Tiempo
Am
plit
ud
CET6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
RTD1
107
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
RTD2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
RTD3
108
Tercer ciclo (C3) medidas 4_2 de septiembre
0 2 4 6 8 10 12
x 104
-6
-4
-2
0
2
4
6
8x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
CET1
0 2 4 6 8 10 12
x 104
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
CET2
109
0 2 4 6 8 10 12
x 104
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
CET3
0 2 4 6 8 10 12
x 104
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
CET4
110
0 2 4 6 8 10 12
x 104
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
CET5
0 2 4 6 8 10 12
x 104
-2
-1
0
1
2
3
4
5x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
CET6
111
Tercer ciclo (C3) medidas 4_3 de septiembre
0 2 4 6 8 10 12
x 104
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5x 10
-3
Tiempo
Am
plit
ud
CET1
0 2 4 6 8 10 12
x 104
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
Tiempo
Am
plit
ud
CET2
112
0 2 4 6 8 10 12
x 104
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
Tiempo
Am
plit
ud
CET3
0 2 4 6 8 10 12
x 104
-0.025
-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Tiempo
Am
plit
ud
CET4
113
0 2 4 6 8 10 12
x 104
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
Tiempo
Am
plit
ud
CET5
0 2 4 6 8 10 12
x 104
-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
Tiempo
Am
plit
ud
CET6
114
VIGILANCIA POR ANÁLISIS DE RUIDO DE
SENSORES DE TEMPERATURA
ANEXO B: AIC
115
Primer ciclo (C1) medidas 4_2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5.9
-5.8
-5.7
-5.6
-5.5
-5.4
-5.3
-5.2
-5.1x 10
4
orden n
AIC
CET1
AIC
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5.8
-5.7
-5.6
-5.5
-5.4
-5.3
-5.2x 10
4
orden n
AIC
CET2
AIC
116
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.946
-6.944
-6.942
-6.94
-6.938
-6.936
-6.934
-6.932x 10
4
orden n
AIC
CET3
AIC
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6
-5.95
-5.9
-5.85
-5.8
-5.75
-5.7
-5.65x 10
4
orden n
AIC
CET6
AIC
117
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.8
-6.79
-6.78
-6.77
-6.76
-6.75
-6.74
-6.73
-6.72
-6.71x 10
4
orden n
AIC
RTD1
AIC
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.23
-6.225
-6.22
-6.215
-6.21
-6.205
-6.2x 10
4
orden n
AIC
RTD2
AIC
118
Segundo ciclo (C2) medidas 4_2 de diciembre
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.225
-6.22
-6.215
-6.21
-6.205
-6.2
-6.195
-6.19
-6.185
-6.18
-6.175x 10
4
orden n
AIC
RTD3
AIC
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5.8
-5.7
-5.6
-5.5
-5.4
-5.3
-5.2
-5.1
-5x 10
4
orden n
AIC
CET1
AIC
119
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5.65
-5.6
-5.55
-5.5
-5.45
-5.4
-5.35
-5.3
-5.25
-5.2x 10
4
orden n
AIC
CET2
AIC
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-7.495
-7.49
-7.485
-7.48
-7.475
-7.47x 10
4
orden n
AIC
CET3
AIC
120
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5.75
-5.7
-5.65
-5.6
-5.55
-5.5
-5.45
-5.4x 10
4
orden n
AIC
CET4
AIC
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.932
-6.93
-6.928
-6.926
-6.924
-6.922
-6.92
-6.918
-6.916x 10
4
orden n
AIC
CET5
AIC
121
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5.95
-5.9
-5.85
-5.8
-5.75
-5.7
-5.65
-5.6
-5.55x 10
4
orden n
AIC
CET6
AIC
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.645
-6.64
-6.635
-6.63
-6.625
-6.62
-6.615
-6.61
-6.605
-6.6x 10
4
orden n
AIC
RTD1
AIC
122
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.24
-6.235
-6.23
-6.225
-6.22
-6.215x 10
4
orden n
AIC
RTD2
AIC
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.225
-6.22
-6.215
-6.21
-6.205
-6.2
-6.195
-6.19
-6.185x 10
4
orden n
AIC
RTD3
AIC
123
Segundo ciclo (C2) medidas 4_3 de diciembre
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-7
-6.95
-6.9
-6.85
-6.8
-6.75x 10
4
orden n
AIC
CET1
AIC
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.585
-6.58
-6.575
-6.57
-6.565
-6.56
-6.555
-6.55x 10
4
orden n
AIC
CET2
AIC
124
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-7.034
-7.032
-7.03
-7.028
-7.026
-7.024
-7.022
-7.02
-7.018
-7.016x 10
4
orden n
AIC
CET3
AIC
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.817
-6.8165
-6.816
-6.8155
-6.815
-6.8145
-6.814x 10
4
orden n
AIC
CET4
AIC
125
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.922
-6.92
-6.918
-6.916
-6.914
-6.912
-6.91
-6.908x 10
4
orden n
AIC
CET5
AIC
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-7.145
-7.14
-7.135
-7.13
-7.125
-7.12
-7.115
-7.11x 10
4
orden n
AIC
CET6
AIC
126
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.75
-6.74
-6.73
-6.72
-6.71
-6.7
-6.69
-6.68x 10
4
orden n
AIC
RTD1
AIC
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.245
-6.24
-6.235
-6.23
-6.225
-6.22
-6.215x 10
4
orden n
AIC
RTD2
AIC
127
Segundo ciclo (C2) medidas 4_2 de junio
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.22
-6.215
-6.21
-6.205
-6.2
-6.195
-6.19
-6.185
-6.18x 10
4
orden n
AIC
RTD3
AIC
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5.7
-5.6
-5.5
-5.4
-5.3
-5.2
-5.1
-5
-4.9x 10
4
ordenn
AIC
CET1
AIC
128
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5.6
-5.55
-5.5
-5.45
-5.4
-5.35
-5.3
-5.25
-5.2
-5.15x 10
4
ordenn
AIC
CET2
AIC
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5.7
-5.65
-5.6
-5.55
-5.5
-5.45
-5.4
-5.35
-5.3
-5.25x 10
4
ordenn
AIC
CET3
AIC
129
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5.75
-5.7
-5.65
-5.6
-5.55
-5.5
-5.45
-5.4x 10
4
ordenn
AIC
CET4
AIC
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.806
-6.804
-6.802
-6.8
-6.798
-6.796
-6.794
-6.792
-6.79
-6.788x 10
4
ordenn
AIC
CET5
AIC
130
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5.85
-5.8
-5.75
-5.7
-5.65
-5.6
-5.55
-5.5
-5.45x 10
4
ordenn
AIC
CET6
AIC
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.425
-6.42
-6.415
-6.41
-6.405
-6.4
-6.395
-6.39
-6.385x 10
4
ordenn
AIC
RTD1
AIC
131
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.222
-6.22
-6.218
-6.216
-6.214
-6.212
-6.21
-6.208
-6.206x 10
4
ordenn
AIC
RTD2
AIC
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.23
-6.225
-6.22
-6.215
-6.21
-6.205
-6.2
-6.195
-6.19
-6.185x 10
4
ordenn
AIC
RTD3
AIC
132
Segundo ciclo (C2) medidas 4_3 de junio
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5.7
-5.6
-5.5
-5.4
-5.3
-5.2
-5.1
-5
-4.9x 10
4
ordenn
AIC
CET1
AIC
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5.6
-5.55
-5.5
-5.45
-5.4
-5.35
-5.3
-5.25
-5.2
-5.15x 10
4
ordenn
AIC
CET2
AIC
133
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5.42
-5.4
-5.38
-5.36
-5.34
-5.32
-5.3
-5.28
-5.26
-5.24x 10
4
ordenn
AIC
CET3
AIC
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5.65
-5.6
-5.55
-5.5
-5.45
-5.4x 10
4
ordenn
AIC
CET4
AIC
134
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-8.37
-8.365
-8.36
-8.355
-8.35
-8.345
-8.34
-8.335
-8.33x 10
4
ordenn
AIC
CET5
AIC
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5.85
-5.8
-5.75
-5.7
-5.65
-5.6
-5.55
-5.5x 10
4
ordenn
AIC
CET6
AIC
135
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.63
-6.625
-6.62
-6.615
-6.61
-6.605
-6.6
-6.595x 10
4
ordenn
AIC
RTD1
AIC
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.214
-6.212
-6.21
-6.208
-6.206
-6.204
-6.202
-6.2
-6.198
-6.196x 10
4
ordenn
AIC
RTD2
AIC
136
Tercer ciclo (C3) medidas 4_2 de julio
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.16
-6.155
-6.15
-6.145
-6.14
-6.135
-6.13x 10
4
ordenn
AIC
RTD3
AIC
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-8.85
-8.8
-8.75
-8.7
-8.65
-8.6
-8.55
-8.5
-8.45
-8.4x 10
4
ordenn
AIC
CET1
AIC
137
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-8.16
-8.155
-8.15
-8.145
-8.14
-8.135
-8.13x 10
4
ordenn
AIC
CET2
AIC
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-8.718
-8.716
-8.714
-8.712
-8.71
-8.708
-8.706
-8.704x 10
4
ordenn
AIC
CET3
AIC
138
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-8.765
-8.76
-8.755
-8.75
-8.745
-8.74x 10
4
ordenn
AIC
CET4
AIC
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-8.76
-8.755
-8.75
-8.745
-8.74
-8.735
-8.73
-8.725x 10
4
ordenn
AIC
CET5
AIC
139
Tercer ciclo (C3) medidas 4_3 de julio
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-8.97
-8.96
-8.95
-8.94
-8.93
-8.92
-8.91
-8.9x 10
4
ordenn
AIC
CET6
AIC
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-7.1
-7.05
-7
-6.95
-6.9
-6.85
-6.8
-6.75
-6.7x 10
4
ordenn
AIC
CET1
AIC
140
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.6228
-6.6226
-6.6224
-6.6222
-6.622
-6.6218
-6.6216
-6.6214
-6.6212
-6.621
-6.6208x 10
4
ordenn
AIC
CET2
AIC
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.974
-6.972
-6.97
-6.968
-6.966
-6.964
-6.962
-6.96x 10
4
ordenn
AIC
CET3
AIC
141
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-7.05
-7.045
-7.04
-7.035
-7.03
-7.025
-7.02x 10
4
ordenn
AIC
CET4
AIC
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.94
-6.935
-6.93
-6.925
-6.92
-6.915x 10
4
ordenn
AIC
CET5
AIC
142
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-7.15
-7.14
-7.13
-7.12
-7.11
-7.1
-7.09x 10
4
ordenn
AIC
CET6
AIC
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.78
-6.76
-6.74
-6.72
-6.7
-6.68
-6.66x 10
4
ordenn
AIC
RTD1
AIC
143
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.23
-6.225
-6.22
-6.215
-6.21
-6.205x 10
4
ordenn
AIC
RTD2
AIC
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.235
-6.23
-6.225
-6.22
-6.215
-6.21
-6.205
-6.2
-6.195
-6.19x 10
4
ordenn
AIC
RTD3
AIC
144
Tercer ciclo (C3) medidas 4_2 de septiembre
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-7.1
-7.05
-7
-6.95
-6.9
-6.85
-6.8
-6.75
-6.7x 10
4
ordenn
AIC
CET1
AIC
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.8272
-6.827
-6.8268
-6.8266
-6.8264
-6.8262
-6.826
-6.8258x 10
4
ordenn
AIC
CET2
AIC
145
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.988
-6.986
-6.984
-6.982
-6.98
-6.978
-6.976
-6.974
-6.972
-6.97x 10
4
ordenn
AIC
CET3
AIC
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-7.06
-7.055
-7.05
-7.045
-7.04
-7.035
-7.03x 10
4
ordenn
AIC
CET4
AIC
146
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-7.062
-7.06
-7.058
-7.056
-7.054
-7.052
-7.05
-7.048
-7.046x 10
4
ordenn
AIC
CET5
AIC
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-7.165
-7.16
-7.155
-7.15
-7.145
-7.14
-7.135
-7.13
-7.125
-7.12x 10
4
ordenn
AIC
CET6
AIC
147
Tercer ciclo (C3) medidas 4_3 de septiembre
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6.73
-6.72
-6.71
-6.7
-6.69
-6.68
-6.67
-6.66
-6.65
-6.64x 10
4
ordenn
AIC
CET1
AIC
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-4.52
-4.51
-4.5
-4.49
-4.48
-4.47
-4.46
-4.45x 10
4
ordenn
AIC
CET2
AIC
148
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-3.775
-3.77
-3.765
-3.76
-3.755
-3.75x 10
4
ordenn
AIC
CET3
AIC
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-3.99
-3.985
-3.98
-3.975
-3.97
-3.965x 10
4
ordenn
AIC
CET4
AIC
149
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-4.48
-4.475
-4.47
-4.465
-4.46
-4.455
-4.45
-4.445
-4.44
-4.435x 10
4
ordenn
AIC
CET5
AIC
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-4.54
-4.535
-4.53
-4.525
-4.52
-4.515
-4.51
-4.505
-4.5
-4.495
-4.49x 10
4
ordenn
AIC
CET6
AIC
150
VIGILANCIA POR ANÁLISIS DE RUIDO DE
SENSORES DE TEMPERATURA
ANEXO C: PSD
151
Primer ciclo (C1) medidas 4_2 (print -dmeta)
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET1
PSDy
H(w) modelo AR
152
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET3
PSDy
H(w) modelo AR
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET2
PSDy
H(w) modelo AR
153
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET6
PSDy
H(w) modelo AR
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)RTD1
PSDy
H(w) modelo AR
154
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)RTD2
PSDy
H(w) modelo AR
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)RTD3
PSDy
H(w) modelo AR
155
Segundo ciclo (C2) medidas 4_2 de diciembre
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET1
PSDy
H(w) modelo AR
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET2
PSDy
H(w) modelo AR
156
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET3
PSDy
H(w) modelo AR
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET4
PSDy
H(w) modelo AR
157
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET5
PSDy
H(w) modelo AR
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET6
PSDy
H(w) modelo AR
158
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modeloA
R)RTD1
PSDy
H(w) modelo AR
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR )RTD2
PSDy
H(w) modelo AR
159
Segundo ciclo (C2) medidas 4_3 de diciembre
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)RTD3
PSDy
H(w) modelo AR
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET1
PSDy
H(w) modelo AR
160
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET2
PSDy
H(w) modelo AR
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET3
PSDy
H(w) modelo AR
161
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET4
PSDy
H(w) modelo AR
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET5
PSDy
H(w) modelo AR
162
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET6
PSDy
H(w) modelo AR
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)RTD1
PSDy
H(w) modelo AR
163
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)RTD2
PSDy
H(w) modelo AR
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)RTD3
PSDy
H(w) modelo AR
164
Segundo ciclo (C2) medidas 4_2 de junio
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET1
PSDy
H(w) modelo AR
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET2
PSDy
H(w) modelo AR
165
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET3
PSDy
H(w) modelo AR
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modeloA
R)CET4
PSDy
H(w) modelo AR
166
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET5
PSDy
H(w) modelo AR
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modeloA
R)CET6
PSDy
H(w) modelo AR
167
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modeloA
R)RTD1
PSDy
H(w) modeloA
R
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)RTD2
PSDy
H(w) modelo AR
168
Segundo ciclo (C2) medidas 4_3 de junio
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)RTD3
PSDy
H(w) modelo AR
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET1
PSDy
H(w) modelo AR
169
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modeloA
R)CET2
PSDy
H(w) modelo AR
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modeloA
R)CET3
PSDy
H(w) modelo AR
170
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET4
PSDy
H(w) modelo AR
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET5
PSDy
H(w) modelo AR
171
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET6
PSDy
H(w) modelo AR
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)RTD1
PSDy
H(w) modelo AR
172
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)RTD2
PSDy
H(w) modelo AR
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)RTD3
PSDy
H(w) modelo AR
173
Tercer ciclo (C3) medidas 4_2 de julio
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET1
PSDy
H(w) modelo AR
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET2
PSDy
H(w) modelo AR
174
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET3
PSDy
H(w) modelo AR
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET4
PSDy
H(w) modelo AR
175
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET5
PSDy
H(w) modelo AR
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modeloRAR)CET6
PSDy
H(w) modelo AR
176
Tercer ciclo (C3) medidas 4_3 de julio
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET1
PSDy
H(w) modelo AR
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET2
PSDy
H(w) modelo AR
177
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET3
PSDy
H(w) modelo AR
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET4
PSDy
H(w) modelo AR
178
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET5
PSDy
H(w) modelo AR
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET6
PSDy
H(w) modelo AR
179
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)RDT1
PSDy
H(w) modelo AR
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)RDT2
PSDy
H(w) modelo AR
180
Tercer ciclo (C3) medidas 4_2 de septiembre
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)RDT3
PSDy
H(w) modelo AR
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET1
PSDy
H(w) modelo AR
181
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET2
PSDy
H(w) modelo AR
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET3
PSDy
H(w) modelo AR
182
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET4
PSDy
H(w) modelo AR
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET5
PSDy
H(w) modelo AR
183
Tercer ciclo (C3) medidas 4_3 de septiembre
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET6
PSDy
H(w) modelo AR
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET1
PSDy
H(w) modelo AR
184
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modeloA
R)CET2
PSDy
H(w) modelo AR
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modeloA
Rpropio)CET3
PSDy
H(w) modelo AR
185
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET4
PSDy
H(w) modelo AR
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET5
PSDy
H(w) modelo AR
186
10-2
10-1
100
101
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency(Hz)
PS
D &
H(d
B)
PSDy & H(modelo AR)CET6
PSDy
H(w) modelo AR