ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

TÉCNICAS' DE VARIABLES- DE ESTADO APLICADAS

AL ANÁLISIS DE REDES LINEALES INVARIANTES

TESIS PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL TITULO

DE IKGENIEBO EN LA ESPECIALIZACIÓN DE

ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES

EDV/IfT CHAVEZ ESTEVEZ

QUITO - AGOSTO - 1980

CERTIFICACIÓN

Certifico que el presente

trabajo ha sido realizado

por el fír. Edwin Chájre,& E.

bajp mi

33 g» Aürado Mena P*

AGRADECIMIENTO, .

A mis Profesores en la Escuela Politécnica

Nacional, y en. forma particular al. Ingenie-

ro Alfredo Mena , Director de Tesis, que -

con su valiosa dirección hizo posible es.te

trabajo, de igual manera al Ing,, Carlos -

Mosquera Sotomayor, quien gustosámente -

atendió mis inquietudes..

A mis padree y familiares

' Í N D I C E

Pá£.

CAPITULO PRIMERO

INTRODUCCIÓN '..„

CAPITULO SEGUNDO

TEORÍA DE GRÁFICAS DE REDES

2.1 Notaciones y definiciones . . « * . . . « » . . « . « « . « « o * » . . . *

2*1-1 Nudo ...... * *..........*».

2*1-2 Brazo . .., ....«....*,..

2.1-3 Graf o . . . * . . . » . . * . . « . * . * . * . . . « . , » . < , * . . . » « « « . » « . . . «

2«l-¿f Lazo . *.*.. . < , . * , . . 4 . • • » * » . . . . . . i »» . . . . . » . . . * . . ***

2«1- 5 Árbol ,..,.. a. » « . . . . * « . « . . . . . . « . « « * . a . » < > o v . • « » o . « .

2.1-6 Arreglo de corte .•*.....*.* * . » i > »

2.1-7 Lazo fundamental . • * . . »* • • . »

2*1-8 Arreglo de corte fundasiental * . « . o « . * . » o » . . * . « . * * *

2.2 Matriz de Incidencia y Ley de Corrientes de

Kirchhoff . « . a . » . * . * * . « « . * * . » .

2»2-l Matriz de Incidencia Aumentada ,»• * . .» . « * * •> o o o . » . *

2.2-2 Matriz de Incidencia . . . . . « « * » . « > » O . o

2.2-3 Ley «íe Corrientes de Kirchhof f 9 a * . C Q

2.2~¿f Matriz de arreglos de corte iLundaiaental.es « * • « . . * *

2*3 Matriz d'e Lazo y Ley do Voltajes de Kirchhof f ...»

2.3-1 Matriz de lazo aumentada . < . * . . < . . * . . . . < > . * . « * « < > » < > . . .

2.3-2 Ley de Voltajes de Kirchhoff .....,......*«.•.«.».

2.3-3 Matriz de lazo fundamental • « . * « • • • • • . • • * • • « « « • • * » »

¿f

k

k

'¿f

*f

5

5

6

6-

7

8

10

11

12

CAPITULO TERCERO

LA ECUACIÓN DE ESTADO

3.1 Introducción »......*... » 2l?

3.2 Consideraciones preliminares 18

3«2-l Lazo capacitivo único * 18

3.2-2 Arreglo de corte inductivo único ............ 19

3.3 Pasos básicos para la notación de variables:

de estado de redes simples ' • • • • • • • * » • » • » • • 0 « • • • • • • 1-9

3.4 Concepto de estado y orden de complejidad-

de una red ».«.,. . . . . . . « . * . . . « * * « o * o « . ...... <> ' 23

3»5 Formulación de variables de estado-

de redes propias » 0 * . . * » . * . * » a « . . 26

3*5-1 Red o malla propia 26

3.5-2 Árbol propio .......*..,.*.** • •* • » • • 26-

3.5-3 Redes propias lineales invariantes ern el tiempo .» 26

3.6 Formulación de Variables' de estado de -.

redes generales o.... ..*...«. ....«.* 33

3.6-1 Árbol normal ....„ » « « . « . » . » 33

3»6-2 Redes generales lineales inv-ariantes en el tiempo o 34

CAPITULO CUARTO

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO

4.1 Introducción . „ . . < » <, « « . . . e » . . . . » * » 43

4.2 Solución de la ecuación do -estado-

de redes lineales invariantes en el tiempo ....,,. 44

4o3 Métodos para calcular £ ' « „ < > . > « < , » . < , . * . .» .«. * > . . * » " 46

III

Pag.

¿f.3~l MStodo de las series ¿f6

¿f.3-2 Método de la Transformada de Lapüiaee ..«,.. /f?

¿f.¿t Solución numérica de la ecuación de estado-

Método de Eunge-Kutta .. ....... ......... ¿f8

CAPITULO QUINTO

PROGRAMA DIGITAL PARA EL ANALISIS DE REDES-

LINEALES INVARIANTES EN EL TIEMPO

5.1 Descripción díel programa . , .» . . .* . . . .» . * * . . . » v * * ° ° * * -51

5.2 Diagrama de flujo del programa principal . « . * » » » * . » . 5¿f

5.3 Subrutinas . . . . .<, . . . .*. . .» * » » 76

5.3-1 Subrutina ADDTN •., ..,........,. = , * ?6

5.3-2 Subrutina TRANP . . . » a « , , , . . . . » 7?

5.3-3 Subrutina PRODC » » . . « . . • • « « • » 73

5<,3-¿f Subrutina IMPRM .* 79

5.3-5 Subrutina IMPTA .*, . .o. 79

5.3-6 Subrutina RESUL » « . •• . . .»•» o » . » » » • . * * • • « • • 80

5.3-7 Subrutina INVERT *. . .»».. 81

5.3-8 Subrutina INVAT « o.. . .* 85

5.3-9 Subrutina RUNTA «• e.. .,..<,..... *.. 86

5.3-10 Subrutina ECUAC ..., „,.. .'... 88

5.3-11 Subrutina GRAFY e o »*, . .• 0 92

5.¿f Listados del programa principal . . . .« . . ••».** e » « o « « . 97

5.5 Listados de las subrutinas 109

IV

Pag.

CAPITULO SEXTO

EJEMPLOS DE APLICACIÓN UTILIZADO EL PROGRAMA

6.1 Ejemplo 1,- Aplicación del metodo-

para una red general » . * , « . . . . . » « *• 117

6.2 Ejemplo 2.~ Aplicación del método para una red propia l¿fO

CAPITULO SÉPTIMO

MANUAL DE USO DEL PROGRAMA

Descripción . . . . . . < , . . » < > • « . . . » < > * < > lL-52

Recomendaciones e interpretación de resultados . » « » . » . • « • • 158

CAPIOTLO OCTAVO

CONCLUSIONES .•....«... «, •». .*. .*. .••• 160

BIBLIOGRAFÍA .•, . . .0 0 .««.. . .. . .«*. • • • • . , . . .*o.o». . . . 162

CAPITULO PRIMERO

INTRODUCCIÓN

Este trabajo cubre en una manera general., el análisis de re-

des pasivas lineales invariantes en el tiempo mediante el criterio

de variables de estado, desarrollado de tal manera que se requiere

únicamente de un elemental conocimiento de análisis de circuitos y

teoría de redes»

Debido al gran alance en la utilización, de computadores digi-

tales en el análisis y diseño de redes, su aplicación en el tema a

tratarse es de gran importancia» La formulación matrieial en pro-

blemas de redes y la implementación de programas para su solución;

permiten, al estudiante tratar redes de gran escalia sin mayor pro-

blema.

El primer paso en. el estudio analítico de un sistema en for-

ma general, es establecer un grupo de ecuaciones matemáticas qu_e

describan el sistema. A causa de los diferentes métodos analíticos

usados, o a causa de las diferentes cuestiones requeridas, a menudo

se usan diferentes ecuaciones matemáticas para describir el mismo

sistema. Por ejemplo, en análisis de redes,, ai estamos interesados

solamente en las propiedades de salida, usamos .Tía. función de trans-

ferencia para describir la red, si queremos conocer la corriente y

voltaje de cada rama de la red, el análisis de lazos o el análisis

de nudos tienen que ser usados para encontrar un grupo de ecuacio-

nes integro-diferenciales que describen la red. Un procedimiento

alternativo es introducir un grupo de variables auxiliares llama-

das variables de estado para conseguir un grupo sinuil!.táneo de ecua-

ciones diferenciales de primer orden que describen, totalmente elll -

comportamiento dinámico del sistema.

La representación de las ecuaciones, dinámicas de un sistema

en forma de ecuaciones diferenciales de primer orden es ventajosa^

"ya que hay muchos métodos, tanto analíticos como numéricos para re-

solverlas. A decir por ejemplo, un. grupo de ecuaciones diferencia-

les de primer orden es mucho más fácil programar en un computador

que la función de transferencia»

El estado de un sistema puede ser considerado $ ser la mini-

ma cantidad de información, necesaria en cualquier tiempo para carac-

terizar completamente cualquier posible comportamiento futuro del

sistema.

Estas variables de estado de una red' en consideración se de-

notan por X. La ecuación de estado de redes lineal.es, escrita en. -

forma normal, pire de ser representada por

X = A X + B U

donde X representa el vector de estado n-dimensional, $ TJ es el

vector de entrada m.-dimensional.

Resolviendo la ecuación para el vector X, podemos obtener -

cualquier voltaje o corriente de ramas de una red por simples ma-

nipulaciones. En general, podemos considerar cualquier numero de

voltajes o corrientes de ramas como la "salida" y denotar el co~ ?

rrespondiente vector de salida por Y, asi este vector puede ser

escrito como una combinación lineal del vector de estado y el vec-

tor de entrada por

-Y = C X + D U

En base a estos conceptos se ha -desarrollado el presente tra-

bajo, que se lo describe de la siguiente manera:

En el capitulo 2 se presenta una breve descripción de la teoría de

gráficas de redes; la formulación m a t ricial, de una red, sus rela-

ciones y su aplicación en el análisis de redes de gran escala.

El capitulo 3 trata sobre la representación da redes linea-

les invariantes e.n el tiempo por medio de variables de estado» Fór-

mulas topológicas son usadas para desarrollar un procedimiento ge-

neral y sistemático para la obtención de la ecuación de estado pa-

ra redes de gran escala*

El capitulo ¿f es concerniente a la solución de la ecuación

de estado. Se describen brevemente métodos analíticos, y un méto-

do numérico, el Método de Runge~Kutta5 para obtener la solución

de la ecuación de estado.

En el capitulo 5 se implementa un programa de computadora

que obtiene la ecuación de estado de una red lineal invariante

en el tiempo a partir de los datos de una red ea consideración^ y

luego halla la solución para el vector de estado X de la ecuación,

de estado obtenida.

Los capítulos 6 y 7 contienen ejemplos de aplicación y el

manual de uso del programa implementado respectivamente.

CAPITULO SEGUNDO

TEOEIA DE GRÁFICAS DE REDES

2.1 NOTACIONES Y DEFINICIONES

Se introduce primero algunas definiciones básicas usadas en

teoría de gráficas de redes. El gráfico de una red es simplemente un

diagrama que muestra la Interconección de los elementos de una red,

en este diagrama todo elemento de red de dos terminales se represen-

ta por un segmento de linea llamado brazo o rama, y cada punto termi-

nal del elemento ée denota por un punto llamado nuda. La colección de

estos brazos y nudos se denomina gráfico o grafo de la red en conside-

ración..

2*1-1 NUDO .- Un nudo, n , se define "a ser un punto terminal de un

segmento de linea.

2.1-2 BKA.ZO •- Un brazo, b , es un segmento de línea asociado con -__——__ j£

dos nudos n. y n. en sus puntos terminales, un brazo-L J

a veces se denota por el par |"n, ,n.l,; esto significa que el brazo b,

es incidente a los nudos n.- y n..i J

2.1-3 GEAFO •- Un gráfico o grafo, G5 es una colección de nudos y -

brazos con la condición que los brazos se interconec-

tan solamente en los nudos.

2'1- f LAZO .- Un lazo es un camino tal que sus nudos inicial, y ter-

minal coinciden. A un lazo dado, usualmente le asigna-

mos una dirección.

2«l-5 ÁRBOL .- Un árbol T de un gráfico conectado G es un subgráfi-

co conectado con las siguientes propiedades:

a) El árbol T contiene a todos los nudos del gráfico Q

b) El árbol T no contiene ningún lazo.

Los "brazos de T se llaman brazos de árbol y los brazos de G que no

son brazos de árbol se llaman enlaces o cuerdas.

a.1-6 ABRBGLO D3 GQHTE. (CTJTSET)..- Un arreglo de corte de un grá-

fico conectado es un grupo de

un mínimo número de brazos que cuando se suprimen dividen al gráfico

en dos subgráficos separados. Esto significa que si algún brazo de

un arreglo de corte no se suprime el gráfico permanece conectado,

Se considera que un gráfico conectado Q con N-t-1 nudos y B brazos -

tiene un árbol T con exactamente N brazos de árbol y B-N cuerdas o

enlaces.

2.1-7 LAZO FUNDAMENTAL.- Un lazo fundamental de un gráfico G con

respecto a un árbol T es.ua lazo que es-

tá formado por una cuerda o enlace y un grupo único de brazos del *

árbol T.

2,1-8 ARREGLO PE COKTE FUNDAMENTAL*- Un arreglo de corte funda-

mental de un gráfico G con

respecto a un árbol T es un arreglo de corte que está formado por -

un brazo de árbol y un grupo único de enlaces o cuerdas de T.

Aplicando estas definiciones a un gráfico, tenemos un árbol T en

a) Gráfico G

lineas sólidas. Los lazos fundamentales correspondientes a T son 1_ ,

lp, 1,, y 1.• Los arreglos de corte fundamentales correspondientes*— / H~

a T son c , c , c , c,, y c^. Luego se define que para un gráfico --j- ^~' . i * .

conectado G con N+l nudos y B brazos pueden haber varios árboles

distintos. A cada árbol T del gráfico G corresponde K arreglos de -

corte fundamentales y B-N lazos fundamentales.

En las siguientes dos secciones usamos las definiciones y re^

sultados básicos anotados para derivar la representación matricial

de' un gráfico y una generalización de las Leyes de Kirchhoff.

2,2 MATRIZ DE INCIDENCIA Y LEY DE CORHIENTES DE KIHCHHOFJT.

Un gráfico de una red es simplemente un diagrama que muéstra-

la topología y estructura de la red, En esta sección mostramos co-

mo un gráfico puede ser representado por una .matriz cuyos elementos

son +1 o «1, y luego proceder a dar una representación en forma de

matriz de la Ley de corrientes de Kirchhoff.

Suponer que un. gráfico orientado bajo consideración consiste

de N+l nudos y B brazos. Marcamos estos brazos y nudos arbitraria-

mente con b , b ,...., b« y n- , n.,...«, ZL, ., 5 respectivamente; lue-

go tenemos;

2»2-1 MATRIZ PE INCIDENCIA AUMENTADA*- La matriz A =(a, .) de orden••""l —' "V"~l "" . — .. --T-T r g ^

(N-f-l)xB se dice ser la ma-

triz de incidencia aumentada de un gráfico si

a, ,=+1 cuando b es incidente a n, y es en dirección opuesta a §1

=-1 cuando b es incidente a IL y está dirigido hacia élj -&

=0 cuando b, no es incidente a n .j K

Hagamos una ilustración de esta definición mediante el siguien-

te gráfico orientado

Fig. 2.2-1

A =a

1n

J.n

2 •n3

n;H

-10

0

1_

2

1

-1

0

0

3

0

-1

0

1

k

0

1-1

0

50

0

-11

(2.2-1)

Consideremos la matriz de incidencia aumentada dada en (2.2-1)

Si añadimos todas las filas de esta matriz a la última fila, obtene-

son li-mos una fila de ceros; esto significa que las filas de Aa,

nealmente independientes. De aquí, el rango de A es menor quea

Se concluye que el-rango de la matriz de incidencia aumentada

A de un gráfico conectado G con N+l nudos y B brazos es N. Puestoa

que A tiene N+l filas, implica que solamente N de estas filas son

linealmente independientes.

2.2-2 MATRIZ DE INCIDENCIA.- La matriz de incidencia A de un grá-

fico G con N+l nudos y B brazos es una

matriz (NxB) obtenida de la matriz de incidencia aumentada de G, A *

al suprimir una de sus filas.

El nudo correspondiente a la fila suprimida se llama nudo de

referencia o dato.

De la matriz A dada en (2.2-1), si nosotros hacemos n. el nu-3. ¿f

do de referencia, la correspondiente matriz de incidencia puede ser

obtenida al ser suprimida la última fila:

A =

- 1 1 0 0 0

0 - 1 - 1 1 O

O O 0 - 1 - 1

(a,2-2)

.2.2-3 LEY DE CORRIENTES DE KIHCHHOFF. (KCL) '.-

Para cualquier red eléctrica la suma algébrica de todas las

corrientes entrantes y salientes a un. nudo es igual a cero.

Esta ley no depende de la naturaleza de los elementos, sola-

mente depende de la topología de la red* Para poner esta ley en for-

ma analltica3 considerar "una red con B brazos y jf+1 nudos, asignar-i

una dirección arbitraria a las corrientes en cada brazo, y asignar

un signo negativo o positivo según las corrientes entren o salgan

- de un nudo

B

ak. i. , O para k = 1 ,2 ,* .*» , N+l (2.2-3) (a)

3=1

donde a, . es la misma definida en 3*2-1-, Aplicando a la gráfica de

la Fig. 2.2-1

n-, : -i, + 3 =r O

2 '

n

n3 '

¿f := O

Escrito en forma matricial

- 1 1 0 0 0

O -1 -1 1 O

O O O -1 -1

1 0 1 0 1

= o a (2.2-3)

donde A es la matriz de incidencia NxB definida en 2.2-2. Se

debe mencionar que la aplicación de KCL no se limita a nudos

de una red, se puede aplicar a cualquier arreglo de corte de

una red. Así para cualquier red eléctrica la suma algébrica de

todas las corrientes entrantes o salientes a unr-arreglo de cor-

te es igual a cero.

De acuerdo a la definición de.arreglo de corte fundamental

en 2.1-8, denotemos a estos arreglos por líneas punteadas que

intersectan los "brazos o ramas del gráfico siguiente. Un árbol

T escogido del gráfico se muestra con líneas sólidas, y los en-

laces con líneas segmentadas. En general se considera un gráfico

u

,Fig. 2.2-íf

Arreglos de corte fundamentales de un gráfico G

G con N-HL nudos y B brazos o ramas. Se marcan los brazos de ár-

bol T por b-, hasta b^ (el árbol T tiene exactamente N brazos) y

marcar los brazos restantes con b^ , hasta bg. También denotar

los arreglos de corte fundamentales correspondientes a los bra-

zos de árbol b- b2, , b^ pOr GI, c2,,..9J CN,. respectivamen-

te, y orientar a c en la misma dirección que el brazo de árbol

b., para k = l, 2,,*.., N

10

La propiedad básica de los arreglos de corte fundara entalles,

es que producen KCL ecuaciones linealmente independientes.

2.2-/f MATBIZ PE ARREGLOS DE CORTE FUNDAMENTALES

La matriz de arreglos de corte fundamentales Qf. de un gráfico

G con N+l nudos y B brazos correspondiente a un árbol. T es una ma~ .

triz NxB

. * Ukj) (2.2-¿f)(a)

donde:

q. . = 1 cuando el brazo b. esta en- c, y tiene la misma orientaciónK3 3 K-

= -1 cuando el brazo b. está en c, y tiene dirección opuesta

= O cuando el brazo b no está en c.

Puesto que hay N arreglos de corte fundamentales en un grá-

fico de N+l nudos, para obtener todas las ecuaciones de arreglos

de corte fundamentales linealmente independientes,, es suficiente

aplicar solamente las leyes KCL.a los arreglos de corte fundamen-

tales. Por ejemplo aplicando KCL en el gráfico de la Fig. 2.2-íf y

poniendo los resultados en forma raatricial

bl b2 b3 \ b6 b7 b8- b9 -*" '

L O O O O I O O - 1 1i

0 1 0 0 0 | 0 -1 -1 0

0 0 1 Ó O 1 Í O 1 0 11

0 0 0 1 0 ¡-1 1 00

0 0 0 0 1 ¡ 1 0 0 1- 1 -

V2

J- -J,

J

±5±

^•± 7

Q

~t

—

0

0

0

0

0-J

311

o equivalentemente

donde Q denota a la matriz 5x9 • Se deduce el siguiente teorema:

TEOREMA»- El rango de la matriz de arreglos de corte fundamentales

de un gráfico con N-t-1 nudos es N.

Puesto que b- hasta b son brazos de árboHL y puesto que la -

orientación de los arreglos de corte es la misma que la orientación

de los brazos de árbol, la matriz de arreglos de corte fundamentales

Q puede ser partida en la forma

Qf = í I ¡ F! . (2.2-/f)(c)L t -

donde I es la matriz identidad NxH correspondiente a los brazos de

árbol, y E es una matriz Nx(B-N) que corresponde a los brazos de -

enlace de T. D.o (2,2-4)(c) es claro que Q es de rango N, puesto -

que tiene una matriz no singular I de NxN. Tal partición se la pue-

de ver en la matriz desarrollada anteriormente,

2.3 MATBIZ DE LAZO Y LEY DE VOLTAJES DE KIRCHHOFF.

En esta sección se muestra que para una red con N+l nudos y-

B brazos otro grupo de B-N ecuaciones linealmente independientes -

pueden ser obtenidas al considerar la Ley de volta¿es de Kirchhoff

(KVL).

' Se empieza por introducir la matriz* de lazo aumentada, la que

representa a todos los lazos en un gráfico, y luego proceder a ob-

tener un grupo de ecuaciones linealmente independientes.

Considerar a un gráfico orientado G con B brazos o raiaas y -

L lazos; llamemos a los brazos arbitrariamente b_ , b ,»..., b y -i c. n

a los lazos 1-, , I-,....» 1T . Asignemos una orientación arbitraria -JL c. Lt

a los lazos.

2.3-1 MATOIZ, DE LAZO AUMENTADA

Una matriz B = (*>: . . ) de orden (LxB) se dice ser la matriz: -'a K. j.

de lazo aumentada de un gráfico orientado G- con B brazos y L lazos si

= 1 cuando el brazo

orientación. -

está en un. lazo 1 y- tiene la misma -

= -1 cuando el brazo b. está en un lazo 1. y tiene la -j K

orientación opuesta.

= O cuando el brazo b no está en el lazo 1,j. ^

Considere el gráfico orientado G' mostrado en. la Fig.» 2.3-1; teaemo-s

K+l = 5 nudos, B = 7 brazos y L = k lazos. Llamar los brazos b, -

hasta b y los lazos 1. hasta 1, ; escoger direcciones arbitrarias-

para los lazos, A continuación, se da la matriz, de lazo

n,

Fig, 2.3-1

13

blxl12B = ,

a IT-•}\1

0

0

1

ba0

-i0

1

b30

0

10

\0

-10

b50

-1.

0

1

b61

-10

0

b710

0

-1

Por simples operaciones de filas y columnas, podemos mostrar que -

el rango de B es exactamente 3. En forma general:cL

TEOREMA*- El rango de la matriz de lazo aumentada de un gráfico -

G con N-t-1 nudos y B brazos es exactamente N".

La matriz de lazo aumentada de un gráfico puede también ser usada-

para representar a la Ley de Voltajes de Kirchhoff (KVL) aplicada -

a los lazos de un gráfico en consideración.

Para dar un procedimiento sistemático para obtener ecuaciones

de lazo linealmente independientes, debemos hacer uso de la defini-

ción- de lazos fundamentales. Se muestra que para cada grupo de la -

zos fundamentales corresponde una matriz de la-so fundamental con -

B-ÍT filas linealmente independientes. -

Considerar una red con N+l nudos y B brazos. Marquemos a los

brazos b_ hasta b_. Denotar la calda- de voltaje a través del brazoJL n

b por v , e indicar la dirección de la.caída de voltaje por una -j j

flecha. A cada braso de enlace o cuerda de T corresponde un lazo -

fundamental; denotar estos lazos fundamentales 1-, hasta 1T y asig--i- Jj

nar la misma dirección al lazo fundamental que la dirección del bra-

zo de enlace que forma el correspondiente lazo fundamental. Si la-

dirección de la calda de voltaje a través de un brazo es la misma -

que la dirección del .-.lazo, asignar un. signo positivo a la calda - .

de voltaje, de otra manera será negativo. Con esta convención de •

signos se formula: •

2.3-2 LEY DE VOLTAJES' DE K1RCHHOFF. (KVL)

Para cualquier circuito eléctrico la suma algébrica de las •

caídas de voltaje en cualquier lazo es igual a cero.

KVL es completamente general y se aplica a cualquier circui-

to prescindienfo de la naturaleza de sus elementos. En forma ana •

lltica se expresa como

z3=1

b. . v . = Oka 3 para k = 1,2,....9L (2.3-2)(a)

donde b, , es la misma definida en 2.3-1

Asi KVL para un gráfico b V99 ¿& —

"?>_

' v

Figa 2.3-2

Donde hemos denotado los brazos de árbol b.. ,b ,.,.'. ,b (oí -

árbol T tiene exactamente N brazos)> y los brazos de enlace por -

\, . , , . . . . ,b_. Por definición a cada enlace o cuerda de T correspon--H+JL J3

de un lazo fundamental, y se denota el laz-O fundamental correspon-

diente a b . por 1. , donde k=l,2,... ,B-IT, y se escoge la orienta-

ción de 1, a ser la misma que la de b.k

315

b b b b b b b b b1 2 3 4 5 6 7 8 9

11l•L21,

1-s

" 1 —0 0 0 1 - I t l 0 0 0

i0 1 - 1 - 1 0 f 0 1 0 0

11 1 0 0 0 1 0 0 1 0

1-1 0 - 1 0 -1 l 0 . 0 0 1

V-,1-LV0

2Y3

Y.4-

Tf

5Y6Vo7

Q> 1

—

--

0

0-

0

0

que escrita en forma matricial será

= O

(2.3-2)

(2.3-2)(c)

2.3-3 MAO?SIZ DE LAZO FUNDAMENTAL

La matriz de lazo fundamental B- ¿e un gráfico orientado G -

con N-vl nudos y B bracos correspondiente a un árbol T es ur¿a matriz

B = (2.3-3) (a)

donde ("b. .) está definida en 2.3-1

De acuerdo al procedimiento recién discutido, la matriz de -

lazo fundamental puede ser partida asi;

T '= i-F1 ! I (2.3-3)(b)

donde I es una matriz identidad (B-N)x(B-N), que corresponde a los

brazos de enlace d'e T, y la F es la misma matriz como en (2.2-4

De aquí se deduce que el rango de la matriz de lazo fundamen

tal de un gráfico conectado con N+l nudos y B brazos ee (B-N).

16

Las representaciones particulares de la matriz de lazo fun-

damental dada en (2»3-3)(*>) y la matriz de arreglos de corte fun-

damentales dada en (2.2-¿f)(c) son extremadamente útiles en. las de-

rivaciones sistemáticas de las ecuaciones, de estado,que se. anali-

zaran en el siguiente capitulo.

CAPITULO TERCERO

LA ECUACIÓN DE- ESTADO

3.1 INTRODUCCIÓN

El estado de un sistema puede ser considerado a ser la mínima can-

tidad de información necesaria en cualquier tiempo para caracteri-

zar completamente cualquier posible futuro comportamiento del -

sistema.

Para los presentes propósitos, loe estados vienen a ser los-

grupos de condiciones Iniciales independientes que las redes puedan,

soportar. De esta manera, el estado (condición inicial al tiempo t )

más la excitación (desde el tiempo t ) determinan completamente la

respuesta del sistema, para redes que pueden ser caracterizadas por

un grupo de variables auxiliares (llamadas Tariabl.es de estado) .F

En este capitulo concentraremos el es.tudio en obtener las ecua-

ciones de estado directamente de la red. En. seccioaea posteriores -

se introducirá un método sistemático para obtener las variables de

estado desde las variables 'de la red, tales como voltajes capaciti-

vos, corrientes inductivas,etc. y el empleo de las leyes KVL,KCL -

juntamente con las relaciones de Voltaje-Corriente (VCR) para es -

criblr las ecuaciones dinámicas de la red en términos de estas; va-

riables. La propiedad básica de las variables-, de estado es que

producen un grupo de ecuaciones diferenciales de priznex* orden, que -

describen completamente el comportamiento de la red» Otra ventaja -

importante del uso de las variables de estado so.bre otras variables

auxiliares (tales como corrientes de lazo o voltajes de nudo) es -

que las técnicas desarrolladas para escibir las ecuaciones de es -

tado de redes lineales e invariantes en el tiempo pueden ser fácil-

mente generalisadas a redes no lineales y variantes con el tiempo.

Por esta razón el método de variables de estado es, en algunos ca-

sos, preferido sobre otros métodos de análisis»

Ciertamente dos grupos de variables de red con mayor signi-

ficación fisica usualmente califican como variables- de estado para

redes cerradas RLC; primero, voltajes a través de capacitores y co-

rrientes en inductancias,y, segundo, cargas a través de capacitores

y flujos en inductancias. La primera -clase de variables es parti-

cularmente apropiada para redes lineales invariantes en el tiempo.

En el resto de este capitulo damos primero una discusión in-

formal concerniente a la selección de las variables de estado y la

notación de las ecuaciones de estado de redes simples por inspección.,

y luego un análisis detallado de la formulación en general de un -

método sistemático para escribir las ecuaciones de estado que na-

cen uso de los resultados de la teoria de gráficas del capitulo

anterior.

3.2 CONSIDERACIONES PRELIMINARES

En esta sección se da un método para, escoger las variables de esta-

do y escribir las ecuaciones de estado de redes RLC simples por -

inspección. Primeramente se definen, los siguientes términos;

5«2-l LAZO CAPACITIVO ÚNICO

Un lazo es llamado lazo capacitivo único si está formado de capaci-

tores solamente (dos o más) y posiblemente algunas fuentes indepen-

dientes de voltaje*

3.2-2 AHHEGLO DE CORTE INDUCTIVO UKICO

Un arreglo de corte se llama un arreglo de corte inductivo -

único si esta formado de inductancias solamente- (dos o más) y po-

siblemente algunas fuentes independientes de corriente.

Puesto que una de las propiedades de las variables de estado

es que sus correspondientes ecuaciones do estado representan el conr.-

portamiento dinámico de la red bajo estudio, la selección como va-

riables de estado a ser los voltajes en capacitores y corrientes -

en inductancias garantiza que las ecuaciones dinámicas resultantes

son un grupo de ecuaciones diferenciales de primer orden, Además -

si la red en consideración no tiene lazos capacitivos únicos o -

arreglos de corte inductivos únicos, las ecuaciones de estado re-

sultantes son linealmente independientes.

3.3 PASOS BÁSICOS PARA LA NOTACIÓN DE VARIABLES

DE ESTADO PE RSDES SIMPLES,

FASO !•- Si no hay lazos capacitivos únicos y arreglos de corte -

inductivos únicos en una red, escog.er como variables de

estado a ser los voltajes a través de condensadores y corrientes

en las inductancias.

PASO 2.- Escribir las ecuaciones linealmente independientes por

las leyes KVL y KCL*

PASO 3*~ Usar las relaciones Voltaj.e-Corriente de rama para expre-

sar todas las variables de red que no son las variables -

20

de estado escogidas en las ecuaciones obtenidas en. el PASO 2.

Las ecuaciones resultantes contienen únicamente las variables

de estado y sus derivadas. Luego se transfieren todas las derivadas

hacia el lado izquierdo, las ecuaciones resultantes serán las ecua-

ciones de estado deseadas en la forma normal» Este procedimiento es

útil para redes simples. Para redes más complicadas uno tiene que -

recurrir a procesos más sistemáticos.

Tratemos sobre un ejemplo lo' anotado anteriormente;

V,

U(t)

Fie* 2.3-1.

Puesto que no hay lazos capacitivos únicos y arreglos do -

corte inductivos únicos, el procedimiento de solución es;

PASO 1.- Escoger las variables de estado, a ser voltajes a través

de condensadores y corrientes en las inductancias (este -

grupo de variables es adecuado ei la red en estudio es lineal e in-

variante en el tiempo)

Xl(t) = Vl(t)

x2(t) = v2(t)

x3(t).= i

Vt} =

21

donde X, denota la Variable de estado- k. ,K tn

PASO 2«- Usar las notaciones del Paso 1 para escribir las ecua-

ciones independientes KCL y KVL

: I = I - X - U

KCL n2 : ?i = -1^ - X,

n3 : X6 = \ X2

Xl ' Xl B T3 " T5KVL 12 : ^ = V^ + V6

13 s X2 = % - V3 ' .

PASO 3»- Escribir las relaciones de Vo.ta¿e-Corriente de brazos pa-

ra expresar I JI2>V3>V4>^r5>V6>I5)I6- 6U t^rrírl-n:OS de xi a x

« •= C X ~ C

^ - v - y3 3 3

2-*

V' , = L i X.

Ic T, = R. I.5 6 6 6

PASO ¿u- R e emplazan do YCR en las ecuaciomea KCL j KVL del Paso 2

y eliminando I¿ e I,-, conseguimos;

v V V

xl " "C X3 ' G

+ L X, = X, - T X,

X- - Lz X^ = - Xn + ER XT -I- Re U2 3 5 i > j >

Operando algébricamente se resuelve es.tas ecmacioaea para -« • • •X-, * X^, X?> y Xi * y poniendo el resultado en forma matricial obtene1 2* 3 V .

moe:

xlX2

?3

. 1"D .L "D

5 6

0

0 -c

-tí r— "r JA f. _5 6

_ Lfr "

R

O en una forma más compacta

.cl

X(t) = A X ( t ) + B U(t)

VK6

X.£

X-

C3.3-3)

donde X es un vector columna cuyos elementos son y^9 X2> X,» X. •

A es la matriz (¿fX¿f) y B es el vector columna dado en (3*5-2); esta

ecuación representa las ecuaciones dinámicas de la red. La ecuación.

(3*3-3) <ie aquí en adelante se llamar! la ECUACIÓN DE ESTADO de re-

des lineales e inTariantes en el tiempo en la forma normal»

Resolviendo (3*3-2) para X, podemos obtener cualquier volta -

je o corriente de rama por simples manipulaciones, por ejemplo9 si.

la sralida deseada de esta red es VV» el voltaje en la resistencia»

podemos escribir KVL para el lazo 1-

Vv = X, - L, X,6 1 íf ¿f

y usando la última ecuador* de (3 «3-2) se obtiene

V, = ~ ¿ Xp + 5 6 X, , 3 6 X. , 5 6 ITr

o Vx- = C*16

donde ^C -

X + DU

0 " D = .S3B<

en general, podemos considerar cualquier mílmeroi de voltaj.ee

y corrientes de rama como la "salida" y denotar el. correspondiente

vector de salida como Y; luego este rector salida puede ser escri-

to como una combinación lineal del vector d& estado y el vector de

entrada U( t ) ;

y = C x(t) '+ D U(t) (3.3-W

donde C y D son matrices con apropiadas dimensiones»

La mayor dificultad en plantear la ecuación de e atado de re-

des lineales e invariantes en el tiempo será en el Paso ¿f, que es

la eliminación de las no variables de estado» Esta dificultad será'

resuelta cuando usemos partición, topológica para abreváar el pro-

ceso de eliminación; que es un método particularmente propio para

análisis de redes de gran escala.

3-4 CONCEPTO DE SSTADO Y OHDEN DB COMPLEJIDAD DE TOA RBD

Al escoger como variables auxiliares los voltajes capacitivos

y corrientes inductivas, las ecuaciones dinámicas de la red resul-

tante serán en la forma de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Tales variables auxiliares son llamadas VARIABLES DS ESTADO-

de la red en consideración y son denotadas por X. Laa ecuaciones -

de estado de redes' lineales, escritas en £orma normal., como se v-iÓ

pueden, ser representadas por

X = A Z + B U (3»¿f-l)

donde X representa el vector de estado n- dimensional.; y U es el- -

vector de entrada m- dimensional» cuyos elementos son fuentes de vol

taje y corriente independientes de la red.

Dado el estado al tiempo t ,• X(t ) » eX estado al tiempoo o

pueden ser obtenidas resolviendo la ecuación diferencial- precedente,

y ademas habiendo resuelto para X ( t ) , todo voltaj.e o corriente de -

rama pueden ser obtenidas a través de ecuaciones algébricas. Más -

precisamente j Y denota los voltajes y/o corrientes de rama

Y * C X + D U C3-V2)

De la teoria de ecuaciones diferenciales * sabemos que- para -

resolver (3*4-1) necesitamos n condiciones inicial e a independientes

X(t0) B [Xx(to-), X2(t0), ---- , Xn(to)JT; dado x(ta) y ü(t) para -

, el estado X( t ) y consecuentemente Ha salida Y(t) pueden ser .

obtenidas para todo t$st . por esta rasan, X(t ) se llama el -

ESTADO DE LA EED al tiempo tQ*

La formulación de las variables de estado para el ejemplo de

la sección anterior fue extremadamente simple 0 Generalizando para

redes de mayor escala la selección de variables de estado a ser to

dos los voltajes capacitivos y todas las corrientes inductivas, es

una conjetura cercanamente correcta, pero no enteramente; no todos

los voltajes capacitivos y todas las corrientes inductivas son -

independientemente especifícateles cuando hay laxos capacitivos -

únicos y arreglos de corte inductivos únicos en la red» ASÍ que,

para encontrar las ecuaciones de estado debemos eliminar del grupo

de ecuaciones que gobiernan, la red todas las no variables de estado;

.todos los voltajes y corrientes de resitencia, y aquellos voltales

capacitivos y corrientes inductivas correspondientes a ciertos -

miembros de lazos capacitivos y arreglos de corte inductivos.

Si el número total "de capacitores e inductancias en una red

es n, y si es que no hay lasos capacitivos únicos ni arreglos de cor

te inductivos únicos en la red, el número de ecuaciones, diferencia-

les de primer orden linealmente independientes, que describen la redi

es exactamente n; para resolver estas ecuaciones necesitamos a con-

diciones Iniciales independientes, luego necesitamos especificar -

los voltajes en los capacitores y corrientes. Iniciales en¡ las in-

ductancias. Estas condiciones iniciales pueden también ser tomadas

para ser el estado de la rea al tiempo t • por lo "tanto, las varia-

bles de estado escogidas en esta manera son linealmente indep endien-

tes y describen completamente el comportamiento dinámico de la recU

Por esta razón, se dice que el ORDEN DE COMPLEJIDAD de tal red es -

igual al número de sus .elementos alfflacenadores de energla^o.^ equi-

valentemente, es igual al número de condiciones iniciales indepen~

dientes de la red, o también es el número de variables de estado -

independientes que especifican completamente- el comportamiento de

la red.

En una red en general, el orden de complejidad de una red es

igual al número total de sus elementos almacenantes de energía

26

menos el numero total de lazos capacitivos únicos y arreglos de cor-

te inductivos únicos independientes»

3.5 FORMULACIÓN DE LAS VARIABLES DE ESTADO DE REDES PROPIAS

3.5-1 RED O MALLA PROPIA*- Se llama con tal nombre a una red que

NO contiene lazos capacitivos únicos ni

arreglos de corte inductivos únicos, de acuerdo a lo ya definido -

previamente»

Se asume que los "brazos o ramas de la red en estudio son sim-

ples; o sea, asumimos que un brazo es una fuente independiente de -

voltaje o de corriente o .que tiene solo resistencias3 capacitores -r

o inductancias, pero no una combinación de éstos»

Definamos un árbol propio para la red en consideración;

3.5-2 AKBOL PROPIO.- Un árbol propio de una malla cerrada compues-

to de resistencias, capacitores, inductancias

y fuentes independientes, es un árbol que contiene a todas las fuen-

tes de voltaje, todos los capacitores y posiblemente algunas resis-

teitcias& pero no inductancias ni fuentes de corriente.

3.5-3 REDSS PROPIAS. LINEALES INVABIANTES E£T__EL. TIEMPO «~

Se introduce un método de formulación de variables de estado para

redes propias;

PASO 1.- Escoger un árbol propio para la red: y num.erar los brazos

de la red en el siguiente orden;

27

!•- Todas las fuentes de voltaje de brazos de árbol.

2.- Todos los capacitores de brazos de árbolí.

3»- Todas las resistencias de brazos de árbol.,

¿f.- Todas las resitencias de ramas de enlace.

5.- Todas las in\ductancias de ramas de enlace.

6..- Todas las fuentes de corriente de ramas de enlace.

La partición del vector de voltaje V, y ell vector de co-

rriente de ramas i, es la siguiente;

b " [ v c g r 1

ib = FiY ic ig ir i1 i± T (3.5-2) •i

donde

V y i son los vectores voltaje y corriente de las^ fuentes de voltaje.

V y i son los vectores voltaj,e y corriente da losbrazos capacitivos.

V y i son. los vectores voltaje y corriente de laaCE" £&p ° resistencias de brazos de árbol.

V y i son los vectores volta¿e y corriente de las.resistencias de enlace.

V., y i, son los vectores voltaje y corriente de lasinductancias de enlace.

Ai* y i, son los vectores voltaje y corriente 'de lasfuentes de corriente de enlace.

Por simplicidad de notación, asumimos qu_e el número de ele-

mentos en cada subvector está representado por su correspondiente

índice. Por ejemplo i es un vector columna con, v elementos y i

número de las fuentes de voltaje en la red es TÍ, el número de ca-

pacitores en la red es c,etc. '

Recordando las ecuaciones llnealmente independientes KVL y

KCL que están dadas por:

Bf > ~ °

Q^ i* = O

(3.5-3)

cf b " A

donde B,. y O,, son las matrices de lazo y de arreglos de corte fun-x. i

damentales correspondientes al árbol propio escogido previamente. '

De acuerdo al Capitulo 2, B» y Q- pueden ser partidas como;

Qf = [I ' F I ' (3.5-6)

donde I denota la matriz identidad y F es la submatriz fundamental.

Si ahora partimos I y F con respecto a las particiones de V-, y i, ,.

las ecuaciones KCL y KVL pueden ser escritas como

T ' O O T^ T*1 F

™ Zcc ° FIr FIl Fci

° ° ^ V Fgl Fgi.

.

_FT _FT -FT 1 0 0vr cr gr rrrn m m

-F -F -F n 0 I T T 0vi el Si 11T1 I1 T -r

_ —

iY

ici

S.ir

VIV gVrVli

= o

= O (3-5-8)

29

Las dimensiones de las submatrices de F están determinadas por lias

dimensiones de sus subvectores asociados en i. y Y, . Por eiemplLo -

F tiene v filas y r columnas, F , tiene Y- filas y 1 columnas, ete.

PASO 2.- Escoger las Tariables de estado a ser los voltajes capa-

citivos de loa "brazos de árbol y las corrientes inductivas

de enlaces de árbol. Las ecuaciones resultantes serán lirLealmenvte-

independientes.

X(t) = (3.5-9)

donde V y i-, BOU vectores columna respecti^am-ente. Las relacionesC _L

de voltaje-corriente de ramas son por consiguiento:

ic - qc (3.5-10)

VY = (3-5-130

qc = CCVC ' - (3.5-13)

/, = Lnl, (3-5-13)

(3.5-15)

De estas ecuaciones se deduce que

Vc = c;1ic (3*5-10) (a)

^1 = ^l (3.5-H)(a)

donde:

O es una matriz diagonal cuyos elementos diagonales son lascapacitancias de brazos de árbol.

L-, ee una matriz cuadrada cuyos elementos diagonales son lasinductancias propias y los elementos fuera de diagonal sonlas inductancias mutuas pertenecientes a enlaces de árbol,-

30

B y G son matrices diagonales cuyos elementos de diagonals son resistencias de enlace y conductancias de bracos

de árbol, respectivamente.

En todo el resto, se asume que estas matrices son no singulares pa-

ra cada t. Esta condición se satisface para casi todas las rede®

prácticas.

PAgO 3«- Debemos usar añora las ecuaciones obtenidas en. los Pasos

1 y 2 para expresar todas las no variables de estado ea -

términos de las variables de estado V e i-, y las fuentes de vol-C _L

taje y corriente independientes V e i . • Las ecuaciones (3»5~?)v 1

y (3»5-8) en. forma más explicita;

Fcr

\ Fcr Vc -'Fgr \ ° . ' (

* Fcl Tc - Fgl Vg ' = ° í 3.5-20)

-•1 -1Multiplicando (3.5-17) y (3-5-20) por C y 1-, respectivamente se

obtiene:

< + <Fcr ir + Cc Fcl ^ + Cc Fci ^ = ° (

LI\ Lí Fíl V, - Ll'Fcl Vc - LÍFÍ. V£ - °

y reemplazando V\ C"1 i , (3-5-24)c w c

h. * Ll' Vl - (3,5-25)

331

resulta

-1 TLl Fcl

-1

- c;S-cr

l

(3.5-26)

(3.5-2?)

o equivalentemente

Fcl

-iKK

+° -C;IFCÍ~

«•i n1L-, F , 01 vi

V

>_+

/~1 "C1Vy J.

— 1 T1T "Ci f"}

V^.

r

(3.5-28)

En estas ecuaciones las únicas no variables; de estado son i y V ;

i y V son los vectores de fuentes de corriente y voltaje. Para -

eliminar estas no variables de estado * podemos reemplazar i y V

en (3.5-18) y (3-5-19) de (3*5-U) 7 (3.5-15)

P T r - i - T P -í ~ — T? T"* — T? -1 ( T\— PCntr^. V- + IH X^ c - .£ - Jj- - if . 1,. V-?e^~¿-:7^ -

m TF V + R i = F V + Fgr g. r r cr c

Resolviendo estas dos ecuaciones para T_ e i

(3.5-30)

-1 T " -1 TF R F V; -»• F R F Tr g r r c r c g r r v r v + F -, -,

lCgl li-, + Fr

—1— 1 T- T1 —1 T —i = R F V + F V - F G F -, i, - F Q F - i.r r c r c v r v gr g, gl 1 • gr g

(3.5-3D

(3.5-32)

donde se usa las notaciones

- B

(3.5-33)

(3.5-34)

Reemplazando Vg e iy en (3.5-28) y después de algunas manipulaciones

directas se obtiene-

32

c ce_

- ;c el

-i T n1 11-i -i (3.5-35)

don.de las correspondientes submatrices están dadas por;

ce cr cr

H"el + F E ~ F G ~ F ,el * * cr K gr ^g f gl

,T

H

*•'! Tlv

Hci4

4 ^r i

4 FTel

cr

"

T

(3.5-36)

(3.5-37)

(3.5-38)

(3.5-39)

(3-5-40)

(3.5-41)

(3.5-4.2)

-1 TFr c

La ecuación (3*5-35) es la ecuación de estado en la forma normal.

Escribiendo esta ecuación en una forma más compacta;

X(t) B A X(t) + B U(t) (3.5-W

donde X( t) es el vector de estado definido era C3«5-9); el número

de elementos en X(t ) es igual al número total de capacitores e ia-

ductancias de la red. Los elementos de U ( t ) son. las fuentes inde-

pendientes de voltaje y corriente, A y B' aon matrices invariantes

en el tiempo con dimensiones apropiadas y están definidas por:

'c' Hcc-~ÍTT "'cr Hcl

33

A es una matriz cuadrada, y

B =

C~1H ,c el

(3.

La ecuación (3-5-35) puede ser ahora usada para formulación siste-

mática de la ecuación de estado de redes lineales- invariantes en -

el tiempo que no tengan lazos capacitivos únicos: ni arreglos de -

corte inductivos únicos.

3.6 FORMULACIÓN DE VARIABLES DE ESTADO DE PEDES GENERALES

En la anterior sección se vio en detalle un método para ob -

tener la forma normal de las ecuaciones de estado de una clase de -

redes que no tienen lazos capacitivos únicos ni arreglos de corte -

Inductivos únicos» En esta sección, extendemos esta condición y da-

mos un proceso sistemático para obtener las ecuaciones de estado ~

de cualquier red compuesta de capacitores, inductancias, resisten-

cias y fuentes independientes dé voltaje y corriente;.

Se usa el método topológlco similar al de redes propias pa-

ra hallar la ecuación de estado. Otra vez se debe enfatizar que es-

tas aproximaciones sistemáticas son más convenientes para redes de

gran escala»

3.6-1 ABBOL NORMAL,- Un árbol normal de una red conectada y com-

puesta de elementos de dos terminales como -

resistencias, capacitores, inductancias y fuentes independientes de

voltaje y corriente es un árbol que contiene a todas las fuentes de

voltaje, ninguna de las fuentes de corriente, tantos como capaci-

tores sea posible, y tan pocas como inductancias sea posible.

Kotar que en esta definición excluimos Ha posibilidad de te-

ner algunos lazos de fuentes de voltaje únicamente o algunos arre-

glos de corte de fuentes de corriente únicamente*

Para un árbol normal particular, .escogemos todos los volta-

jes capacitivos de brazos de árbol y todas las corrientes- de irt~

ductancias de enlaces de árbol como variables de estado» Esta se-

lección constituye un grupo conveniente de variables de estado 11-

nealmerrte independientes*

3.6-3 REDES GENERALES LINEALES INVARIANTES EN EL TIEMPO

PASO 1»- Escoger un árbol normal y numerar los brazos de la red-en

el siguiente orden;

1.- Todas las fuentes de voltaje con los vectores .de voltajey corriente V y i .

2«- Capacitores de brazos de árbol con. los vectores de volttaj.ey corriente V y i .c e

3.- Resistencias de brazos dé árbol con los vectores de voltajey corriente V y i .

g- &¿f.- Inductancias de brazos de árbol con los vectores de voltaje

y corriente V^ y i .

5.- Capacitores de enlaces de árbol con los vectores de voltaje

6.- Resistencias de enlaces de árbol coa los vectores do voltajey corriente V y 1 .r r

7.- Inductancias de enlaces de árbol con vectores de voltajey corriente V.. y 1- •

8.- Todas las fuentes de corriente con vectores de voltajey corriente V. y 1. .

Los rectores voltaje y corriente de ramas o brazos pueden, ser re-

partidos en la forma:

b •N•Cs i

; vc g V. (3.6-1)

(3.6-2)"b I ~v ! ^c ! ~g ¡ -f* ; ~s ¡ ~r

donde v, c, g, y , s, r, 1, i denotan el número de elementos en los

vectores V , V , V , VL , V > V , V.., y V, respectivamente. Como en

el caso de redes propias, se puede escribir las ecuaciones KCL y -

KVL en la forma

Qf ±b = O n [i ¡ F]

B = O•f* Vi """ f ~

La partición particular de V, e i, garantizan que las ecuaciones

KCL y KVL pueden ser escritas como:

IVT

0

0

0

0

I ^ce

0

0

0

0

gg

o •

0

0

0

-W

F

F

F

F)

vs

es cr F cl

vi

ci

iV-

ic

i -••air

ii

= O (3¿6-3)

-i

-I

T1

,Tvr

.,Tvi

,T

Tes

-FTcrTelT

-Foi

m

gsT

-FgrT

" glT

-FSí

-F s ss

*'

0 0 0

0 0

o i11 oXX

0 0 • I

"vV

VcV

gVvs

V r

vi

= O f3.6-/f)

36

donde las dimensiones de las subraatrices de F están determinadas

por el orden de sus subvectores asociados en i, y V\ Por ejemplo,

tiene v filas y 1 columnas,F

."Osando la definición de árbol normal se demuestra que

F = 0 - F = 0gs

PASO z.- Escoger todos los voltajes capacitivos de brazos de árbol

y todas las corrientes de indnctancias de rautas de enlace

como variables de estado. Esto es, escoger el vector de estado X a

ser -

X = P\fc Ijl* (3.6-5)

Las relaciones voltaje-corriente de ramas pueden ser escritas eomo

ic = 4C (3.6-6)

V-j^ = ' . (3.6-7a)

V = #*• ' (3.6-7b)

qc = Cc Vc • (3.6-8a)

q6 = Cs Vs • (3.6-8b)

1 = h. 1l * ^V (3.6-9)

Vp = Rr ir (3.6-10)

i = GK T (3.6-11)6 & G

-(3.6-13)

G- , C , Q , E' matrices diagonales que son: matriz; capacitiva de -c7 s g r ^ -^

brazo de árbol, matriz capacitiva de rama de enlace, matriz, conduc-

tiva de brazo de árbol, matriz resistiva de rama de enlace, respec-

tivamente»

3?

L, es una matriz simétrica cuyos elementos diagonal.es son. las ia—

ductancias propias de las raiaas de enlace y los elementos luera de

diagonal son inductanci'as mutuas de las mismas inductandas de en-

lace si es que están acopladas mutuamente: entre ellae»

Ly_ es matriz simétrica cuyos elementos diagonales son las induc-

tancias propias de "brazos de árbol y los elementos fuera de diago-

nal son inductancias mutuas de lae mismas iaductancias de brazos

de árbol si es que tienen acoplamiento mutuo entre ellas»

rpM- -^ = fC, representan matrices de inductancias mutuas entre induc-id <rl

tancias de brazos de árbol e inductancias de ramas de enlace.

PASO 3»- Como en el caso anterior, éste es el paso más crucial en

la formulación de las variables de estado. Debemos elimi-,

nar todas las no variables de estado entre las ecuaciones (3«6-3)

y (3.6-¿j-)* Para este propósito, reescribimos las ecuaciones KCL y

KVL derivadas previamente; estas ecuaciones juntas con el resultado

de F F O ' , = 0 » F = O , producen.

1c + Fcs ^ ^ Fcr S + Fcl + Fci

+ F i + F - ^- = ° (3.6-17)

- FT V; - FT V -f V n O (3.6-18)VS V CS C S . '

F T - V - FT V - FT V -*• V = 0 (3.6-19)vr v cr c gr g r v ^ '

38

V

Como un primer paso en el proceso de eliminación, reemplacemos Los

valores de i , i , V- , y V^ en las ecuaciones (3*6-15) y (3«6-*20)c s J. «

1c + Fcs cr + F cl Fci

T Ty V = F V + F VJ s es c YS T (3.6-18)

proaucen

dt

Ahora

+ F C FT C""1es s es c • C' V = -c c cr

- ddt

T ~~F C Fx V,,CS S VS V

(3.6-22)

m mT

Cl C(3-6-20)

y ~íj--jj -

producen

(3.6-17)

dt

T»

F

I -

. V + F% V -í- F* V + dTi T el c ¿L g -5^

Adoptamos las siguientes notaciones contenientes-

(3-6-23)

Y £A es s es r v-c c (3.6-24)

A M. -1 .-1Jl (3.6-25)

39

V - M . C C T C

O =

donde M ='

£ [i -

y tambiéndt

C FT -.-1C6 C

(3.6-26)

(3.6-2?)

(3.6-28)

•"i iln y* i*-1 •"!JL. _LJ Q -L J—

•

4- V é M Cc e

('. 3.6-29)

(3.6-30)

(3.6-31)

Resolviendo (3.6-16) y. (3*6-19), para Y e i" , es. decir 3Lo mismao -^

que en la sección anterior (3*5-3D y (3.5-32) se tiene

= - G F E ^ V + Fgr r * cr c gr Vv Fn*-i ^gL ]

= R F- - Fgr

i, --F;^ G"* F^ i.J- gr & gi n

con las notaciones respectivas

AG = G + F I? Fg; gr r gr

AE = H

— 1 -í"F 'g gr (3.6-35)

(3.6-32)

('3-6^33)

Reemplazando el valor de V e i en <3.6-22) y (3«6-23) y diespues& *

de algunas manipulaciones se tiene

= H cc Hcl Hci

3 = H V + H i + H- V + w i + i.V TLC c 11 1 lv v li i (3.6-37)

donde las correspondientes sutamatrices están ya definidas para re

des propias en la sección anterior, o sea de (3»5-36) a (3.5-43)

y también se ha usado la notación;

40

c F- A. T •= F C F Y

CS 8 VS T (3.6-38)

± (3-^-39)

Sustituyendo v y J por SUB correspondientes expresiones, y poniendo-

eni forma matricial el resultado, se obtiene finalmente

V V

(3.6-40)

C;VlHCV CClM"lHCÍ -^«"^CS CB F^8

dondeA T -1

M = I + F C F Ces s • es c

O-

A•p --

T -1

La ecuación (3»6-¿fO)

cual tiene la forma

don.de

X(t ) =

X ( t ) A

U( t ) é

ecuación-, de.estado, en forma normal, la

A X(t) + B U(t)

T (3.6-42)

V^ T

A = -i -i (3.6-44)

¡ÍJL

B =

CZ M~ H_ c" M" H . -C"IM"IF c FT oc cv, c ci c es s ve

L, P L-'P-'

Si es que en la red no existen acoplamientos mutuos entre las iudua-

taacias de brazos de árbol con las irtductanciae do rantas de enlace

entonces M, -^i <r = O, - y la ecuación- de estado se reduce a;

-!_-:

— i — iC M Hc d

-G—1 —1

Li-> JT H-, j -L P"1]V.

i

donde

M = Fcs Cs Fcs-1

Wotar que si la red en estudio es propia en el. sentido de la defi-

nición 3,5-1, luego F = O y F^ = 0; de aquí se puede concluir que

M = I P a l ±± = 0

Consecuentemente A y B definidas recientemente vendrán a ser idént-

ticas a aquellas definidas en la sección anterior» Además ü(t) se

[ -] .rnV i. , como en el caso de redes propias; por

consiguiente se puede escribir:

VCc Hcc Cc Hcl

.-1.Jl

-1Jl •

r iV c

Íl

•f

-l -iCc Rcv Cc Hci

-1 -1T U T ULl HlY Ll Hli

-

Vv

*i

(3.6-48)

Las ecuaciones deducidas anteriormente pueden añora ser usa-

das para formulación sistemática de las ecuaciones de estado de re-

des lineales invariantes en el tiempo* La utilidad y significado -

de estas ecuaciones vienen a ser manifiestas cuando se analizan -

redes de gran escala. En "base a estos análisis y resultados gene -

rales, en el Capitulo 5 se implementará un1 programa de computadora

que obtenga la ecuación de estado a partir de los datos de una red

considerada.

CAPITULO CUARTO

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO

¿f.l _ INTRODUCCIÓN"

En el anterior capitulo se vio que una red compuesta de ele-

mentos lineales puede ser representada por ua grupo de ecuaciones

.diferenciales de primer orden llamadas ecuaciones de estado. Si la

red en estudio contiene únicamenite elementos invariantes en el tiem-

po, eus ecuaciones de estado pueden; ser representadas en la forma

X(t) = A X(t) + B ü(t) X(tQ) = XQ (¿f.l-D

Y(t) = C X(t) + D U(t)

donde X(t.) es un. n-vector columna que denota el estado de la red,

U ( t ) es un m-"vector columna que representa las fuentes y posible-

mente sus derivadas, Y ( t ) es un p-vector columna que denota las -

salidas de la red, y A, Bp, C, D son matrices invariantes ert el

tiempo con apropiadas dimensiones. El estado inicial X representa

la condición inicial en los capacitores e inductancias.

Las dos ecuaciones son llamadas ecuaciones de estado de -

entrada-salida» Dadas las condiciones iniciales y las salidas, po-

demos generalmente resolver las ecuaciones diferenciales de estado-

de entrada para el estado X ( t ) . La salida, Y ( t ) , puede luego ser -

obtenida resolviendo un grupo de puramente ecuaciones algébricas.

El mayor problema, por consiguiente, es la solución; de las ecuacio-

nes diferenciales de estado, y que en. este capitulo se presenta un

método sistemático de resolución de tales ecuaciones diferenciales

Se muestra que una solución analitica de las ecuaciones de estado

de redes lineales e invariantes en el tiempo de la forma (¿t-.l-l)

pueden ser fácilmente obtenidas.

r

¿f.2 SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE ESTADO DE REDES

LÍMALES E INVARIANTES m EL TIEMPO

Considerar las ecuaciones de estado lineales e invariantes en el

tiempo

X(t) = A X(t ) «- B ü( t ) , X(to) <= XQ (¿f.2-1)-

donde X(t) es un vector n, D"(t) es un vector m, y A» B son matri-

ces constantes (nxn) y (nxm) respectivamente. La solución de -

(¿f.2-1) se da en la-siguiente forma,tA(t-t ) f A(t-r)

X(t) = XQ + / p B U(t) dr (¿f.ar2)

At - 0donde p es una matriz nxn llamada matriz transición de estado

y está definida por

At^ ^22 _L 3 3 '**-- 2! . 3 í

o en una forma mas compacta

.At

donde la serie infinita puede ser mostrada a ser convergente para

cada t finito. Tenemos algunas definiciones de la matriz: de tran-

sicióno

(¿ = 1 (W-¿f)At

Tomando la deriva.da de £

o equivalentemente

At At At- A e = £ A (4.2-5)

Se procede a probar que X( t ) de (¿f.2-2)' es la solución de la ecua-

ción de estado (¿f.2-1); debe satisfacer a) ILas condiciones inicia-

les y b) la ecuación diferencial

La primera condición se satisface obviamente puesto que

t

^A( t -t ) . ( A(t -2)X(to) « e *o + / £ B U < * > ^ - XQ

Ao -al utilizar (¿f.2-4) y el hecho de que el resultado de la integral.

es cero, puesto que sus limites son iguales» Para probar si cumple

la segunda condición, se consigue diferenciando ambos lados de -.

(¿f 2-2) y usando

^ ^ .X(t) = A * + B Ü( • + A B'

X(t) « A \C - Xrt + g B U(T) di + B U(t)

to

de aquí se obtiene ' X(t) = A X ( t ) + B U( t)

que prueba que X( t ) es la solución de la ecuación de estado,

La respuesta o la salida de la red lineal invariante en el tiempo

en estudio puede ser obtenida usando (4»l-2) y (4»¿-2)

Y(t) = C X( t ) + D ü(t)

D ü ( t >

Por lo tanto, dados los coeficientes de las matrices A» B, C y D,

las condiciones iniciales X , y el vector entrada U ( t ) , el vector

salida puede ser completamente determinado para todo t¿t por la

expresión (¿f«2-?)« Notar .que la respuesta de la red consiste de -

dos partes separadas; primero, la respuesta a entrada cero, Y . ( t )

dado por A(t-t )Y ( t ) ' = C Í ? X

y, segundo, la respuesta al estado cero, Y (t) diado poro s

A(t-Z)(t) £• c G> B U(T) dZ + D U(t)

OS

De (4*2-7) es claro que el calculo de la respuesta de una red li -

neal invariante en el tiempo env-uelve el calculo de la matriz, de -At

transición ^ y luego de simples integraciones y multiplicaciónAt

de matrices se obtiene X ' ( t ) . Generalmente el calculo d'e ee

la mayor tarea en obtener la respuesta de redes lineales invarianites

en el tiempo» Hay algunos métodos- de cálculo de la matriz de transi-

ción, y los más básicos se analizarán! a continuación.

if.3 MÉTODOS PARA CALCULAR £

¿f. 3-1 MÉTODO DE LAS SERIES

Puesto que las series infinitas (4»2~3) es convergente para cada t

finito, puede ser aproximado por las series finitas

At

donde n se escoge grande como que el lado derecho de la ecuación es

aproximadamente igual al lado izquierdo. Esta relación puede ser -At

usada para calcular ^ para pequeños t. Sin embargo este método

es únicamente útil si se emplea un computador digital. La mejor

ventaja de este método es la simpleza de programación, y su prin-

cipal desventaja es la Salta de precisión para t grandes.

Considerar la parte homogénea de la ecuación diferencial lineal

invariante en el tiempo dada por (4»2-l), por conveniencia, asumir.

que el tiempo inicial 'es igual a cero; esto es

X( t ) = A X(t) , X(0) = XQ (4.3-2)

Tomando la Transformada de Laplace de ambos -lados-j produce^

s X(s) - XQ = A X(s)

(si - A) X(s) i XQ

X(s) = (si - A)"^"

tomando la transformada inversa de Laplace, se tiez&e

X(t) « jr£(-i - A)"1]: ocomparando esta ecuación con. la solución a entrada cero de (4«2-l)

produce • ' . .At &—f 'C = £ (si - A)"1; . (4*3-3)

Por consiguientes para obtener -<2 , podemos primero^ invertir la

matriz compleja nxn (si - A) y luego tomar la transformada inversa

de Laplace»

• _ A t

es práctico solo si la dimensión de A es pequeño» La principal di-At

£1 cuitad en calcular 2 para matrices con grandes dimensiones

surge en cal collar e invertir (si - A ) » Mis precisamente, para uita

matriz Á de dimensión n, debemos calcular un cíe terminante de orden

n y n. determinantes de orden n-1. Debemos tam.bién calcular las -

raicee de^un polinomio de grado n para estar en condición de ert-

contrar la transformada inversa de Laplace. Para grandes matrices

esto lleva un gran esfuerzo.

AtEn general, estos son los métodos básicos para calcular £

Existen otros métodos analíticos para el cálculo de la matriz de -

transición, que están fuera del alcance del presente trabajo. Se —

introduce un método de solución numérica para la ecuación de estado,

¿f.¿f SOLUCIÓN NUMÉRICA DE LA ECUACIÓN DE ES TAPO «r

MÉTODO DE EÜNGE - KÜCTA

La derivación de la ecuación de estado para redes generales

lineales invariantes en el tiempo se trató con amplitud en el ca-

pítulo anterior» Se mostró que una red puede ser representada por:

X =r A X + B U

que equivale a un sistema de ecuaciones diferenciales, de primer or-

den. Se considera un método de solución para una ecuación diferen-

cial ordinaria de primer orden con una condición inicial, y que -

puede ser generalizado para el manejo de ecuaciones diferenciales

simultáneas, que es el caso de nuestro interés.

En general una ecuación que envuelve la derivada de una fun-

ción o de una variable. -.-como la ecuación anterior puede ser repre-

sentada como una ecuación escalar

x'= f ( x, u, t ) , x(tQ) = XQ (¿f.A-D

donde x' = •—- 9 es función de las variables x, u y es dependiente

del tiempo t.

Kl Método de Punge - Kutta, se basa en un. método mas simpLe, el mé-

todo de Euler, que se introduce en primer lugar.

La soluci'on de (/f.¿f-l) a un tiempo t + h. se aproxima en tér-

minos de x(t) y h. fíe divide el intervalo de interés T en n segmen-

tos iguales, cada uno do longitud h, asi

~L / i i — \ =n

Por tanto, para un tiempo- cualquiera t.

t, = t + k hk o

Uk = U(tk} = u (to * k h)

= x ( t ) ' = x ( t + k h )

Se observa que la derivada de. x al tiempo t puede ser aproximada

por

- x(t

Usando esta ecuación con (/f.¿f-l) resulta

x,^x * h f(x , u , t )i o • o' o* o (¿f.4-7)

La interpretación geométrica puede ser representada por

I x(t) solución aproximada

solución real

y en general para un t, cualquiera

> V

que es la llamada fórmula de integración de Euler. En esta ecuación

usamos la pendiente de x(t) al tiempo t, para aproximar x( t ) •

Si escogemos el promedio de las derivadas de x( t) al tiempo t,

y t , resulta la siguiente fórmula aprorLmativa.

hV V + f(xk+i>

que se denomina Método de Runge-Kutta de segundo orden. Siguiendo

uit procedimiento analítico semejante se llega a obtener un resulta-

do conocido como el Método de Runge-Kutta de cuarto orden; y que ee

puede definir de la siguiente manera:

Una solución aproximada para una ecuación diferencial escalar

¿(t) = f (r, u, t) , x(to> = XQ

es, ,k+l fk + 1

donde= h

= h f

k3 = h fk,, = h f

A, ik'

1

x, + k-,

donde

La propiedad básica del Método de Runge-Kutta de cuarto orden es

el de maximizar la precisión de cálculo»

Este método de solución numérica será el empleado para resol-

ver la ecuación de estado de redes lineales invariantes en el tiem-

po que se obtenga al usar el programa detallado en el siguiente

capítulo»

CAPITULO QUINTO

PROGRAMA DIGITAL PARA EL ANÁLISIS DE

REDES LINEALES INVARIANTES EN EL TIEMPO

5.1 DESCRIPCIÓN DEL PROGRAMA

En este capitulo se presenta el- desarrollo del programa, que•

obtiene la ecuación de estado X(t) - A X(t-) + B U(t) directamente

de la red y encuentra la solución para cada variable de estado, en-

tregándonos una tabla de valores y sus gráficos respectivos.

La obtención de la ecuación de estado, como se vio en el ca-

pitulo ¿f, se basa en las ecuaciones linealmente independientes KVL

y KCL que están dadas por

.Bf Tb = O (5.31-1)

Qf ±b = O (5.1-2)

donde B es la matriz de lazos fundamentales y Q es la matriz, de

arreglos de corte fundamentales de la red correspondientes a un -

árbol escogido previamente» Estas matrices son partidas de la si-

guiente manera, como se vio

Bf = -

donde I denota la matriz identidad y F es la suhniatriz-; fundamental*

A partir de los datos de entrada de la red, se puede directa-

mente construir la matriz de incidencia. A. E3L programa implementado

construye la matriz; de arreglos de corte fundamentales Q~9 base del

desarrollo, sin necesidad de formar los respectivos arreglos de cor-

te según la teoría de topología de redes. Dicha obtención directa

de la matriz:, Q^ se la consigue a partir de la matriz 'de incidencia

A según el siguiente análisis:

La matriz de incidencia de la red podemos partirla en la forma

A = FAt' Ail (5.1-5)L * ¡ -1 Jdonde At y A-. son eubmatrices correspondientes a brazos y enlaces

•de árbol respectivamente* La ley de corrientes de Kirchhoff puede

ser escrita como

i,A,

'bt

"bl

donide

ib =

= At 1bt + Al

es el vector de corrientes de rama de la red

Luego

, ,bt— -fv AT ÍU1t i bl

en forma raatricial tenemos -

Por tanto

I

.fl J AL_ i

-1t A

= o

(5.1-6)

donde la matriz I tiene n columnas como brazos' de árbol tiene la red

— 1y el producto A. A-, tiene 1 columnas como enlaces de árbol tiene

la red. También se concluye que a n brazos de árbol corresponden

n arreglos de corte fundamentales.

Qf =

x = = F

donde F es la submatriz fundamental de Qf, y X es una matriz (nocí)

Usando losresultados de la ecuación (5-1-6) 4 podemos directamente

a partir de los datos de entrada construir la matriz de incidencia

A. Después que la matriz A es construida de los datos de entrada

de la red, debe ser partida en HA^ { A-, * Esta matriz partida es

P —1 ~iluego manipulada en la forma I í A, A-, usando operaciones de -L ¡ T: i-J

fila fundamentales. Luego de obtenida la matriz- Qf > se prosigue

en el desarrollo del programa hasta obtener la ecuación de estado.

Se ha desarrollado un programa principal y varios subprogra-

mas. El programa principal es el que se encarga de establecer el

orden que se llaman los distintos subprogramas para que todo el

conjunto trabaje perfectamente y pueda llevar a cabo su propósito.

A continuación se presenta en forma de bloques y en una mane-

ra muy general la descripción y funciones del programa principal.

Lectura de datos de elementospertenecientes a brazos de ár-bol, según la topología de lared.

Construcción parcialde la matriz de in-cidencia A

Lectura de datos de elementospertenecientes a enlaces deárbol, según la topología dela red»

Construcción totalde la matriz de in-cidencia A

Calculo de la matriz de arre-glos de corte fundamentales -Q- a partir de la matriz de -

incidencia.

Partición de la submatriz fundamentalF de la matriz de arreglos de corte -fundamentales Q, en F ,F >F -. »F . »

Calculo de las submatrices de la e-cuación de estado: H , H 1 > H 1 1 , H ,

C-C C_L. JLJL C T

" H-, ^, y otras auxiliares

Cálculo y escritura de las matricesinvariantes en el tiempo A y B de -la ecuación de estado.

V

Evaluación de la ecuación de estadopor el Método de Runge-Kutta para -un intervalo de tiempo.

Impresión de tablas de resultadosy grafización de las variables deestado.

De igual manera se presenta el diagrama de flu¿o del programa -

principal en una forma resumida. Un listado de la significación!

de todas las variables empleadas en el programa ee halla al inicio

del mismo.

5.3 DIAGRAMA DE FLUJO DEL PSOGSAMA PRINCIPAL

Por simplicidad, el diagrama de flujo se lo divide en par-

tes,de acuerdo al número que tienen los bloques de descripción an-

teriores.

55

IKTCIO

Dimensionamierlto de VariablesDeclaración del tipo de varia-bles .Inicialización de datos.

Escribir títulos

Poner a cero todos los elementosde los arreglos iniciales:

NEG,IDJER,GG,CC,LLi tCS,LBTíMaii»

Lectura y escritura de loetiempos inicial y final pa-ra rauestreo; THf,TFItr

Lectura y escritura del nú-mero de nudos y ramas tota-les de la red; NT,IBR

Poner a cero contadores del Hu-mero de .elementos de la red;LCI=0,V!P=0,ca?=0,Ga?=0,BT=0,CL=0,EL=rO,BL=0,IL=0

= NT -

56

DO 1 = 1 , NTJD ¿[10

Lectura cíe datos de ua•atento de brazo de árbol

si

Escribir los datos delelemento(condeasador,reseistencia,induct.):

Escribir los datos de lafuente de voltaje:

A(NUD1*IBC) =1.0

si

rto A(NUD2,IBC) = -1.0

si

IA

si

LCI=LCI+1CC(CT,CT)=VALXEST(LCI)=CI

GC-(GO?JGT)=IAAL

Escribir meiisajet(El elemento no co-rresponde al árbolpropio"

58

EEC(VT)=VALEEAN(VT)=ANG

EEDE(VT)=DEF

FI1

A

I

DO K - 1 » ¿f

FNE(VT»K)=FTO(K)

~-c -(350

Leer y escribir datos dela derivada de la fuentede

r

DEEC(VT)=VALDEEA1T(VT)=ADEET(VT)=DT

DO K = l, 252

ritt

DFNE(Vrf,K)=FOT(K)

-^ 252

\t

BT=BT+1LBT(BT,BT)=VAL

no

Lee datos de una induc-tancia mutua:MUT>VALOR,ICOP,ISG

1 r

LBT(BT,ICOP)=VALORSIGN(BT,ICOP)=ISG

Si.

Escribe:"La corrientesale del punto »

Escribe; "La corrieniteentra al punto*..."

60

DO N = 1,ICP2

Lee datos de una inductaacia mutua:MVALOÍMCOPjISG

\

MTL(BOMCOP)=VALORSGH1(BT,ICOP)=ISG

si

Escribe:"La corrienteeale del punto..»."

Escribe; "La corriertteentra al punto...."

DO I = 1,BT 420

i SIGN(I ,J )SIGK(J,I

si

él

LBT(I,J)=(-1)£BT(I,J)

SIGN(I,J)«BLK

DO I = NT» IBR 59,0

de datos de un elemen-to do enlace de árbolr

AKG,DT,MASP,DEF,IDP»GI

Escribir los datos del ele-mento (condensador,resistea-cia,iaduct):lO?Y,lBC,NUDl,3ÍÜD2,CI,VAÍ

Escribir los datos defuente de corriente:

A(KUD1,IBC) = 1.0

62

A(HUB2,IBC)= «1.0

Escribir mensaje.:"El elemento no corres-ponde a rama de enlace"

63

no

V

r

1

BL=BL+1LCI=LCI+1LL(BL,BL)=VALXEST(LCI)=CI

—<^ DO ff = 1,ICKL 5¿9>

Lee datos do unaductancia mutua;MÜT,VALOR,ICOP,ISG

V

SIQÍ(BIJ,iaOP)=ISG

si

Escribe:"La corriente sale del

¿e .... "

Escribe:"La corrien-te entra al puato.."

'520

Lee datos de un¡adub-tancia mutua:MUT,VALOE,ICOP,ISG

MLT(BL,ICOP)=VALORSGNa(BL,ICOP)=ISG

Escribe:"La corrientesale del punto.,.*"

IL=IL-flJJC(IL)=VAL

JJDE(IL)=DEF

Escribe:"La corrienteentra al punto...."-

p^-X DO K =

AII

(580)

Leer" y escribir datos dela derivada de fuente decorriente;VAL,FUK(4-) >

DJJC(IL)=VALIXJJAK(IL)=ANGDJJT(IL)=I>TDJJDE(IL)=DEF

DO K =

DFNJ(IL,K)=FUN(K)

SIGN(I,J=SIGN(J,I

LL(r,J)=(-l)«,L(I»JO

MTL(I,J")=(-l)xMTL(I»J)MLT(r,J)=(-l)3d-SLT(I,J)

CALL IMPHí(CC,CT»CT)CALL IMPRÍ-í(GG,GT,GT)

si

CALL IMPRM(LBT,BT,BT)CALL IMPRM(MTL»BT,BL)CALL IMPRM(MLT,BL,BT)

CALL IMPRM(CS,CL,CL)

67

CALL IMPRK(RR»RL,RL)CALL IMPRM(LL»BL,BL)

Se escriben, los ele-mentos de la matrizde lacideaci

r DO I = 1,NUD

DO J = 1>NUD

AT(I,J)=A(I,J)

DO . I = 1,NUDK=0

760

DO J = 1,IBR

V

A L ( I , K ) =

-= ^760}

CALL INVERTÍ AT>X,NUD)

K = IBR-NTJD

10

68

Q(I,K)=rQ(I,M)xX(I,L)xAL(L»J)

Escribe la matris dearreglos de corte - .fundamentales

AL(I,K)=

DO I = 1,VT 870

si

DO J = 1,CLI5J)= AL(I,J)

DO J = 1,RLNC= J+CLFVE(I,J}= AL(I,NG)

11

T]rA

11

VDO J=1,BL

1ÍC:=J+CL+KL'FVL(I > % T)=AL(I ,NC)

±DO J= 1,ILC=rJ'+CL+RL+

?VI(I 5 J )=AL(I ,NC)

no

DO J=13CLFGS(K,J)=AL(I,cT)

DO J = 1,BLNC=JT+CLFCR(K > 1 J)=AL(I ,NC)

DO ¿T = 1,HLNC=J+CIi+RL

FCL(K,J)=AL(I, í lC)

DO J = 1,ILNC=J-+CL+RL+BL

FCI(K ? J)=:AL(I J HC)

_ , i

0¿

71

13

LO J = 1»BL

I

A DO J = 1,ILKC=J+CL+RL+BL

FTI(K,J )=AL(I>NC)

Invertir matrices

T'ransponer matricesÍ^FCÍ^FGL

FCL,FCS,FTL

Calcula matriz Hce

Calcula matriz H _

Calcula matriz. H.11

V

cv

Calcula ntatriz E-,

V

72

Calcula matriz Hci

Calcula matriz H-, .

Calcula mat.riz H.le

Calcula matrices-1 -1• M y P

Escribe detalles dela ecuación de esta-do DX = AX + BU _

Calcula los respecti-vos elemerrtos de lamatriz A

V

Guarda ea arreglo AINTlos elementos de la ma-triz A

ICalcula los respecti-vos elementos de la -matriz B

Guarda ea arreglo BIHTlos elementos de la -matriz B

91

\f

= M

1=1

)ovaos

oooi * T = i oa

•0001 /U - NLjffi) = H

75

17

DO J" = 1, 101

Escribir: Tablas detiempo y variables deestado,TIME,DATO

I ^_

.DO 1 = 1 » KCT 3>

r

*

DO J = 1» 101 5>

NL = HL+1

VT(IIL) = DATO(J,I)

CALL GRAFY(0?IME,VY,NL»I)

76

Subprogramas llamados: 11

En el anterior diagrama de flujo se ha omitido la mayoría de Te-

ces que se llaman a los subprogramas para realizar las operaciones

requeridas. En una forma general se indica la operación que llama

a un grupo de subprogramas para llegar a cabo su propósito Riendo

sencillo localizar la secuencia en el listado del programa princi-

pal adjunto.

Los subprogramas a llamarse son; ADDTW,TRANP,PBODC,IMPRM,

IMPTA,EESUL,INVEET,IWAT>RÜNTA»ECÜAC»GKAFY» cuya descripción se

la nara a continuación»

STJBRUTIETA ADDTN .- Subprograma. para sumar dos matrices

A + B = C , en donde a. . + b. , = c ,

Manera de llamar al subprograma: CALL ADDTlf(A,B,C>Ní1IL>NCOL)

1 = 1 ,

DO J = 1, RCOL 10

SUM(I, tT) = O.'OSÜM(I Í J )=A( I»J )+B( I , J )

I 10

DO 1 = 1 ,

= i, NCOL

= SUM(I»J)

S'ÜBBinriNA TRAKP,- Subprograíita para transponer matrices

Manera de llamar al subprograma: CALL TEANP(AM»AMT,IFIL,ICOL)

DO 1 = 1 , IFIL 10

DO J = 1, ICOL

,I) = AM(I , J )

I « _ _

78

5.3-3 SUBRÜTINA PRODC.- Subprograma que multiplica dos matrices

A r B '= C , ea donde

A(NFIL,NCOL) x B(KCOL,NCL) = C(NFIL,NCL)

Manera de llamar a la subrutina: CALL PRODC(A»B,C»KFIL»KCOL»MCL)

i-^^O00" x = 1> WILPLO

DO J = 1, HCL

PR(I»J)= 0.0

I

— — -< DO 1 = 1 , NFIL

J =

K =. i,

PR(r,J) = PR(T,J)+ A(I ,K)x

!_ -* « _

DO 1 = 1 , NFIL- 30s>

DO J7 = 1, NCL 30.

RETURN

79

S'UBEÜTINA IMPRM.- Subprograma para impresión de

matriz A(NFIL,NCOL)

Escribir

(A(I,J)»J=1,NCOL)

si

DO I = 1,NFIL

EacriLbir

(A(I»J )»J=1»NC)

Escri.bir

(A(I,J) ,J=NC,HCOL

Manera de llamar; CALL IMP3RM(A,

5.3-5 5ÜBRÜTIKA IMPTA»- Subprograma para impresión d.e títulos

en las tablas de resultados: TIEMPO,

X 1 , ' X 2 , X 3 » , X N variables de espado.

Manera de llamar.v al subprograma: 'CALL IMPTA(KCT.J)

80

KCT - número de variables de estado

<T - indicador

L

TIEMPO,

(IX(I)>I=ai,KCT TIEMPO,

(IX(I) ,I=a,KCO?

5«3-6 . SÜBRTJTINA HESÜL.- Subprogranra para guardar en arresto BATO

los valores de las variables de estado,

y en TIME los valores de variación del tiempo que se calculara en

el programa.

Manera de llamar al subprograma: CALL HESUL(DATO,TIME»T,XEST,M>KCT)

T - tiempo

XEST - arreglo que contiene a las variables de estado que se van

calculando

81

TIKE(M) = T

DO I = 1,KCT

DATO(M^J) = XESTÍJT)

5.3-7 S'UBRTTTIHA INVEHÍ*.- Subprograma para inversión de matrices

tfe orden N = 20

Manera de llamar al subprograma: CALL IWERT(A,XȒf,NK)

A - matria que se va a invertir

X - matriz inversa de A

N - orden de la matriz

NK - contador del número de llamada del subprograma*

Esta subrutina de inversión se basa en el método del elem,en-

to piTot, Gauss-Jordan, y que en una manera general se describe el

proceso mediante la siguiente matriz a invertirse:

210022 1

o

o

1Se construye la matriz, identidad

' al lado derecho.

Suponiendo que el elemento a-, sea el mayor en v/alor absoluto de

la columna (el programa encuentra el elemento pivot) .

1

a2l

a!2

"11

a22

1

"íl

0

0

1

a.11

a.11

En la columna 2.y a partir de la fila 2 en adelante encuentra el

elemento pivot y asi sucesivamente para el resto de columnas»

1a-,

a O11

a•21 a11

alla22~a12a21 alla22"a!2a21

*22

alla22"a2lal2

O • 1 a'21

a21a!2"alla22 alla22~a21.a12

La matriz resultante del lado derecho será la matriz inmersa * El

proceso generalizado se indica en el siguiente diagrama de flujo:

INICIO

DO I n 1,N 10

DO J = 1,N 10

C(I,J)=A(I,J)

I

L

no

Escribe mensaje:11 Problema inversión

de la matriz ..."IP»C(IM,IP)

= IP,NI

CL = C(IP,J)C'(IP»J)=C(IM»J)C(IM,J)=CL

CL = a(ip,ip)C'(IP,IP)= 1.0

t!4\

V

J = 1003>

= CCIP>J)/CL

ei

85

*IP1 = IP+1

CL = C(I,IP)C(I,IP) = O/O

iDO J = IP1,H1

1^ _

4~

5.3-8 S'UBRÜTINA INVAT.- Este eubprograiaa es idéntico a la

subrutina INVERT. Se le llama en el

programa principal para invertir la matriz AT(30,30).

'*'

5.3-9 SÜB-RUTINA RÜKTA»- Subprograma para aplicar el Método de

Runge-Kutta .de cuarto orden para encon-

trar la solución del sistema de ecuaciones diferenciales de esta-

do para un intercalo de tiempo determinado.

X(t) = DX = f fx( t ) , U ( t ) , t] X ( t - > = XQ Q.

cuya solución es .

donde

k2 = h f (xk ^.f (xk +-f- if (X + kz k+1

_h_2

h. = incremento de tiempo =" _T_n

« U < ' \ . * T

CALL EUNTA(N,K,I,XEST,DX,T¿ffl)

8?

-/DO J = H,N 1CV>

Zr(J) = Z(J)+2.0xDX(J)Z(J) = DX(J) •Y(J) = XEST(J-)

XEST(J)=Y(J)+0.5xHxDX(J)XEST(J) =

2.0xDX(J)

XEST(J) = Y(tT) + Hx DX(J)

L. L_

XESO?(J)=Y(J)+(Z(J)+DX(J))xH/6.o

= T + E/2

5.5-10 STJBRUTINA ECÜAG.- Subprograma para construcción y

luación de las ecuaciones diferenciales

para un determinado tiempo»

Manera de llamar al subprograma:

CALL ECÜAC(VT,EEC,EEAÍi,EEDE,EET,FNE,KCT,r)EEC>r)EEAÍÍ»DEEDE5DEET»

El programa principal transfiere al subprograma en. arreglos res-

pectivos los valores de las fuentes de vol.ta¿e y corriente con. sus

derivadas» Estos valores, que en una forma general» van a ser un

valor constante, una- función dependiente del tiempo, contenida en

arreglos alf anuméricos (SIN,COS,EXP,T) , un valor de frecuencia V

y un valor de ángulo de def asamiento» y que en. forma explícita va

a ser» por ejemplo:

10 SIÍTX wt + j¿ ) o solamente un valor constante.

Se debe construir y evaluar para un. tiempo fe el vector de

entrada ü(t) que contiene a las fuentes y sus derivadas y luego

obtener el valor DX de la ecuación diferencial evaluada.

Para conseguir este propósito, en el subprograma inicializ-a-

mos un arreglo FUÑO, 3) Que contiene caracteres alf anuméricos; (SIÍF,

COS ,EXP) y un- arreglo FUT que se inicializa con el carácter (T)*

Se comparan los arreglos alf anuméricos FKE,FNJ,DFNE>DFNJ tramsf.e-

.ridos como argumentos con los arreglos FTJN y FUT> resultado del

cual se determina el tipo de función requerida y se evalúa para el

tiempo, guardándose en el arreglo U. Seguidamente con los valores

de las variables de estado contenidas en XEST, se consigue el valor-

89

de DX = AX + BU , que luego será utilizado en la subrutina RUNTA»

81

TTCl)=EEC(l)xSIN(EEAÍT(I)xT+EEDE(I))

si

Ü(I)=EEC(I)X.COS(EEAN(I)XT+EEDE(I))

U(I)=EEC(I)xEXP(EEAJ5T(I)3iT)

9.0

r

DO I = 1,IL

DO J = 1,3

IND = I+VT

NJ(I,L)=FÜN(J»L)

U(IND)=JJC(I)XSIN(JJAlT{I)Xa?-fJJDE(I))

JJO?(I)= FÜT

U(IND)=JJC(I)XT

2y91

Igual análisis paralas derivadas de lasfuentes de Toltaj.e ycorriente: DFNE,DFK<r

i= 1,KCT

U DO I = 1»KCTv

A(I)=A(I)+AINT(I,,T)XXEST(«r)

DO J = 15KFT

B(I)=B(I)+BINT(I,J-)XU(J)

92

__ SUBRffTINA GRAFY,- Subprograma para representar -gráfica-

mente las variables de estado en funci'ón

del tiempo» • • '

Manera de llamar al subprograma: CALL GRAFY(TIKE,VY»NL>I)

Se graf izará en un plarto de coordenadas, el cual dispone de IpO -

puntos para el eje del tiempo y 50 puntos para el eje Y (varia-

ción de la variable de estado) *

Estableciendo la diferencia .entre valores máximos y manimos

del tiempo y variación de la variable, se define

DT = VT - VT . y DS: = VY - VY _,max min w max min

Un punto de variación en los dos. ejes, se determinará, de acuerdo a

TJT' T)YET tr ÍT^T- y EY = ~^"- respectivamente

Para determinar el lugar que un punto ocupará en el gráfico par?-

timos del siguiente criterio

VT , ' VT ' V'Tmin max

_____ __ f ________ ^ gráfico1 HVT 101

Al punto mínimo del tiempo corresponde el punto 1 del gráfico, y

al máximo- corresponde el punto 101, asi a cualquier punto VT del

tiempo será un punto' NVT del gráfico; luego se puede establecer la

proporción:

VT - VT , VT - VT .tnar min = min101-1 KVT-1

93'

Despejando NVT (punto del gráfico ea el ej.e del. tiempo) y- adicio-

nando un valor de redondeo será igual a:

- VT min 0.5DT

De igual manera se consigue la situación del punto eru el ej;e "ver-

tical del gráfico

VY_ fnía-

VY .

min

^ 1ti

f >1

• 1 .nr '

VY - VY , V? " - VYHciSL luUi . El 3.X

TJ.

1 - NVY

- VY > 50-f 1 + 0.5

Acora en el gráfico que representa la variación de la funcionóos

ejes están mostrados en- lineas de puntos» La situación del ej.e ho-

rizontal se determina con;

E j e T ^

cuyo valor resultante representara la situación del ej,e del tiempo

cuando el valor de VY sea igual a cero. El ej;e Y aparecerá siempre

qus el intervalo de -tiempo, tenga • un valor inicial igual a cero>

caso contrario este e je no será grafizado.

A continuación se detalla el diagrama de fluj,o respectivo.

y

VTMAX=VT(1)VYMAX=VY(1)VTMIH=VT(1)VYMIN=VY(1)

>

DO I =

f

2,NP 30

DT = VTMAX-VTMINDY = VYMAX-VYMIN

95

1

VET = DT/lOO.OET = DY/50.0

-\ I =1,10

TIM(I )= ET I 10+VTMIN

i -,

SIS(I)=VYMAX

i = 1,30

¿F = I+lSIS(J)=VYMAX-EYKT

DO I = 1,101 20

DO I = 1,51,10DO J=l,101

30

NGE(I,J)='-'

I *__

96

iA

. - /DO I = 1,101,10\O J= 1,51

si

L : 3a

tíEY=( 50.xVYMAX) /DY -*-

= 1,101

KVT=:(VT(I)-VTMIK)X100A)TIsrVY=-(VY(I)-VYÍ'ÍAX))C50/DY

97

L

(TIM(I),r=2,10,2)

LISTADOS DEL PROGBAMA PRINCIPAL ( Ver pa£. 93 )

( Ver pag. 109)

98

N I V 360N-F 0—479 3-8 MAINPGM DATE 18/07/80 TIME

£. £* i**^*t************* A***********^******^^**^**^******C TÉCNICAS DE VARIABLES DE ESTADO APLICADAS AL ANALISIS-C DE REDES LINEALES INVARIANTES EN EL TIEMPO

C— ****#********#****=^:f •T**:ó:;***:i *;£***:**:*»;** k * ** * <•* #* **: * *í= **

C SIGNIFICADO DE VARIADLES

C- TIN- TIEMPO INICIAL PARA MUESTREOC TFIN- TIEMPO FINAL PARA «UESTREO . -C Ns- NUMERO DE PUNTOS PARA GRAFIZACIONC A_ MATRIZ DE INCIDENCIAC O- MATRIZ DE ARREGLOS DE CORTE FUNDAMENTALESC—. ftT_ MATRIZ DE SRAZOS DE ÁRBOLC AL- MATRIZ DE ENLACES DE ÁRBOL - . •C X- MATRIZ INVERSA DE ATC GG- MATRIZ DE RESISTENCIAS DE BRACOS DE ÁRBOLC— 'CC- MATRTZ DE CAPACITANCIAS DE BRAZOS DE ÁRBOL

. C CS- MATRIZ DF CAPACITANCIAS OE E-S'LACES DE ÁRBOLC LBT- MATRIZ DE IN'DUCTANCI AS DE BRAZOS DE ÁRBOLC—• 10- MATRIZ DE IDENTIOADC- RR- MATRIZ DE RESISTENCIAS DE ENLACES O£ AR3OLC LL— MATRIZ OE INDUCTANCIAS DE ENLACES OE AREDLC VT- NEMERO DE FUENTES DE VOLTAJE DE BRAZOS DE ÁRBOLC CT- NUMERO DE CONDENSADORES DE BRAZOS DE ÁRBOLC- GT- NUMERO DE RESISTENCIAS DE DRAZCIS DE AR30LC OT_ HUMERO DE INDUCTANCIAS DE BRAZOS DE ÁRBOLC CU- NUMERO DE CONDENSADORES DE ENLACES DE ÁRBOLC RL- NUMERO-DE RESISTENCIAS DE ENLACES OE ÁRBOLC- EL- NUMERH OE INDUCTANCIAS DE ENLACES DE ARBOLC IL- NUMERO DE PUENTES DE CORRÉENTE DE ENLACES DE ARSCL "C- NT- NUMERO TOTAL DE NUDOS DE LA P.SD INCLUYENDO EL NUCO CEROC OE REFERENCIAC NUD- NUMERO TOTAL DE NUDOS DE LA RED MENOS EL NUDO CERO 'C DE REFERENCIAc IBR- K'UC.ERO TOTAL DE RAMAS DE LA .RED ~C ITY- TIPO DE ELEMENTOC- TYPE- ARREGLO QUE CONTIENE LAS SIGLAS DE ELEMENTOS: RESISTENCIA,(: CONDENSADOR. 1NDUCTANCI A. FUENTES DS VOLTAJE Y CORRIENTE; .c . ( R , C « L t E t J ) .O IDO- NUMERO DEL B R A Z O ' .C- NU01 — NUDO I DEL BRAZOC NUD2- NUDG 2 DEL B^AZOC VAL- VALOR DEL ELEMENTOC- MUT- SIGNO DE INDUCTANCIA MUTUA (M)C ICP1— NUMERO DS ACOPLAMIENTOS MUTUOS QUE TIENE UNA INDUCTANCIAO—. CQM OTRAS TNOUCTANCIAS DENTRO OE UN MIS'-ÍQ GRUPO

- C ICP2- NUMERO DE ACOPLAMIENTOS MUTUOS QUE TIENE UNA INOUCTANCIAC • CON OTRAS tNOUCTANCXAS C!UE PERTENECEN A OTRO GRUPOC CI- VALOR DE CONDICIONES INICIALESC XEST- ARRE'GLQ PARA GUARDAR LAS CONDICIONES INICIALES Y LOSc VALORES CALCULADOS DE LAS VARIABLES DE ESTADOC . #* EEC.EEAN.E£T*£EDESFNE. JJC-JJAM,JJT.JJDE.FNJ **C- -VARIABLES USADAS PARA GUARDA15. EL VALOR Y FUNCIÓNO DE LAS FUENTES DE VOLTAJE Y CORRIENTEC £*DEEO DF.EAN*DEET-.DEEGE,OFME1OJJC,DJJAN,DJJT, DjjDEiDFNj**c -VARIARLES USADAS P A R A GUARDAR EL VALOR Y FUNCIÓN DE LASc D E R I V A D A S DE LAS FUENTES DE VOLTAJE Y CGRFUEKTE-c DT_ FUNCIÓN DEL TIEMPO (T)C MASP- S IGNOS *•( í'AS PARÉNTESISC TOP- S I GNQS ) ) DOÍ1LE °ARENTESI SC FUN- ARREGLO CUE CONTIENE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASc M A S USUALES (SLN»COS,EXF|C OLK- BLANCO .c FVR- MATRIZ OUE RELACIONA EL NUMERO DE FUENTES DE VOLTAJE DEC GRAZOS CON EL NUMERO OE RESISTENCIAS DE ENLACEC FVL- MATPIZ QUE RELACIONA EL Nlí'-'.ERO DE FUENTES DE VOLTAJE DEc BRAZOS CON EL NUMERO DE INDUCTANCIAS DE ENLACEC FVI- MATRIZ OUE RELACIONA EL NUMERO DE FUENTES DE VOLTAJE DEc BRAZOS CON EL NUMERO DE FUE^4T£S DE CORRIENTE DE ENLACEC FCR- MATRIZ OUE RELACIONA EL NUMERO DE CAPACITORES DE BRAZOSc CON FL NUMERO OE RESISTENCIAS DE ENLACEC FCL- MATRIZ OUE RELACIONA EL NUMERO DE CAPACITORES DE BRAZOSc CON EL NUMERO OE INDUCTANCIAS DE ENLACEC FCI- MATRIZ OUE RELACIONA EL NUMERO DE CAPACITORES DE BRAZOS.C CON EL NUMERO DE FUENTES DE CORRIENTE DE ENLACEC FGR- MATRIZ. QUE RELACIONA EL NUMERO DS RESISTENCIAS DE BRAZOSc (CONDUCTANCIAS) CQN EL NUMERO OE RESISTENCIAS DE EKLACEC FGL- MATRIZ OUc RELACIONA EL NUMERO DE RESISTENCIAS DE BRAZOSC (CONP>UCTANC: AS) CON f£L NU-'-íERO DE INDUCTANCIAS DE ENUACEC FGI- MATRIZ OUE RELACIONA EL NUMERO OE RESISTENCIAS DE 3RAZOS

99

POS FORTRAN IV 3GON-FO-479 3—3 HAINPGM DATE 1S/07^80 TIME

0 0 0 1000200030004ooos0006000700080009ODIO001 I0012001300140015001 6O O I T00130019002000210 0 2 2002300240025002600270028002Q"0030

CON EL NUMERO DE FUENTES DE CORRIENTE

: FVS-FCS-

FTL-

FTI-

. FCRT

S R A Z O SMATRIZCON ELMATRIZCON ELVATRIZCON EL

ccccccccccccccccccccc-cccc

íCONDUCTANCIAS)DE ENLACESMATRIZ OUE RELACIONA EL NUMERO DE FUENTES DE VOLTAJE DE

CON EL NUMERO DE CONDENSADORES DE ENLACES 'DE ÁRBOLOUE RELACIÓN/, EL NUMERO DE CONDENSADORES DE BRAZOSNUMERO DE CONDENSADORES DE FNLACES DE ÁRBOLOUE RELACIONA EL NU'-ERO DE INDUCTANCU AS DE BRAZOSNUMERO DE INDUCTANCIAS DE ENLACES DE ÁRBOLOUE RELACIONA EL NU'-'-ERO DE I MDUCTA NCI AS DE BRAZOSNUMERO DE FUENTES DE CORRIENTE DE ENLACES DE ÁRBOL

FGRT,FGLT,FCLT, FVLT, F VRT-, FCST. FTLT , FVST - MATRICES TRANS-PUF5TAS DE LAS MATRICES DEFINIDAS ANTERIORMENTE -

RRIN«GGIN,CCIN.LLIN - MATRICES INVERSAS DE LAS MATRICES -RR,GG,CC,LL DEFINIDAS ANTERIORMENTE

RIN*G!N,MtK|,PlN - MATRICES INVERSAS DE MATRICES R.G.M.P INTERHE-DÍAS PARA EL CALCULO DE LAS SUBHATRECES DE LA ECUACIÓN—DE ESTADO

P1.P2.P3 - MATRICES AUXILIARES PARA CÁLCULOS INTERMEDIOSSTGN. SGN1 t-SGN2 - MATRICES PARA COMPARAR SIGNOS (ETS) CONFORME

LA CORRIENTE ENTRA O SALE DEL PUNTO DE REFERENCIADE UNA INDUCTAN'CIA QUE TIENE ACOPLAMIENTO

HTL— MATRIZ OUE REPRESENTA INDUCTANCIAS MUTUAS ENTRE BRAZOSY ENLACES DE ÁRBOLMATRIZ OUE REPRESENTA INDUCTANCtAS MUTUAS ENTRE ENLACESY BRAZOS DE AR60L • ' '

HCC, HCL, HLL, HCV, HLV, HCI, HLl, HLC **-SUBHATRICES DE LA ECUACIÓN DE ESTADO-

AI NT- MATRIZ A INVARIANTE EN EL TIEMPO £>E LA ECUACIÓN DE ESTADOBINT- MATRIZ B INVARIANTE EN EL TIEMPO DE LA ECUACIÓN DE ESTADO .MEG— MATRIZ NEGATIVA "ARA CAMBIAR DE SIGNO OTRAS MATRICESTRAN'D- SUBPROGRAMA PARA TRANSPONER MATRICESPRODC- S'J'a^RGGRA-MA PAPA MULTIPLICACIÓN DE MATRICESAODTN- SURPROGRAWA PARA SUMAR MATRICESINVERT- SU3PROGRAMA ^ARA INVERSIÓN DE MATRICESINVAT- SU50RQGRAM/- PAPA INVERTIR LA MATRIZ AT

PARA IVPRIMER MATRICESOUE APLICA EL MÉTODO DE RUÑGE-KUTTA ' "PAPA PONER TÍTULOS EN LAS TABLAS CE VALORES

GUARDAR LOS VALORESVARIABLES DE ESTADOEVALUACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALESGRAFIZAR LAS VARIABLES DE ESTADO

VTI- VARIACIÓN EN EL EJE DEL TIEMPOVY— VARIACIÓN EN EL EJE Y

**,-

IMPRM-RUNTA-IMPTA-RESUL-

ECUAC-GRAFY-

SU3PROGP.AMASUP.PROGRAMA

SUBPRO GRAMA P A R ADEL TIEMPO Y LASSUTPRO GRAMA P AR.ASUS^ROGRAM A P A R A

PROGRAMA TSECH EOVIN CHAVEZ ESTEVEZTF.CS'ICAS DE V A R I A B L E S DE ESTADO APLICADAS ALANÁLISIS DE PEDES INVARIANTES EN EL TIEMPO:fc£;y;fc-«^£;K***1*A***:**:#**-***f;i!<:$=**::* *-.l:4;ji: *rif: *: ^c *** +:»:t *

DÍ >'=-,'SiaNAMIENTO E TN IC I AL IZ AC ION DE VA.-RIABLESD I M E W S i a N A ( 3 0 » 5 0 > j O ( 3 0 , 5 0 ) , A T ( 3 0 . 3 0 Í . A L ( 3 0 , 2 0 > . X l 3 0 * 3 0 >DIMENSIÓN R R C 2 0 r 2 0 í t G G C 2 0 » 2 0 Í . C C t 2 0 t , 2 0 ) - . C S ( 2 0 T 2 0 >DIMENSIÓN F V S C 20, 20) ,FVTÍÍ 20 « 20} íFVLÍZO.20 ) , PVI ( 20 .20)orwiTNsroN Fcst 20, 20 i ,FCRÍ 20, 20) .FCLÍ 20 .20) ,FCI í 20 .20 >DI MENStOH FGRÍ ?0 ,20 í , FGLt 2 0 * 2 0 ) .FGI E 20, 20 ) .FTH20 , 20 ] , FT H 2.0. . 20 }DI WENSIGN FCRTC20,EOÍ »FGRTÍ20,20).FGLT(20,20)Dtf /F iNSrON FVRT t?Or20 } .FVLTÍ 20 ,20 ) .FCLTI 20 ,20)D 1MENSION F V S T C 2 0 , P . 01 ,FTLT( 20 ,20 1 ,FCST( 20 ,20)DIMENSIÓN RRINC20, 20 ) ,GGIM( 20,20 ) .CCIMC 20 ,20)DIHENStON RINÍ 20 ,20) ,GÍ NÍ20. ?0í ^ P r N ( 2 0 , 20)DIMENSIÓN P 1 C 2 0 . 2 0 ) . P 2 ( 2 0 . 2 0 ) , P 3 Í 2 0 . 2 0 )DIMENSIÓN HCCt 2 0 * 2 0 } * HCLÍ 20 , 20 ) ,HLL( 20. 20 J ,HCV(20 ,20)DI MANSIÓN KL V £ 20,20) . HC I C 2 O , ?.0) ,HLI (20, 20) , HLC 120,20)DI MF.NSION DATO í-1 O I , 20 ) , T I ME t 1 O 1 >DIMENSIÓN XESTÍ 20> , D X t 20 • T V Y C 1 01 )DIMENSIÓN A INT( 20, 20 ) , GINTÍ20 »20 )D TWENSION EECt 2 0 Í , J J C Í 2 0 ) . E E A N ( 2 0 ) , J J A N Í 2 0 )DIMENSIÓN DEFCÍ 2 0 ) > D J J C : 2 0 Í . D E E A N E 2 0 ) ,DJJAN(20)DIMENSIÓN EFDE (20 I , JJDEÍ 20) ,EET(20) , J J T ( 2 Ó )DI PENSIÓN DESDEÍ20 ) , DJJDEÍ 20 I .DEETÍ 20 í *DJJTC20 )REAL LLI 20,20) , LBTÍ20 ,20) ,MTLÍ 20 ,20 ) ,KLTÍ2O .20) •REAL Ll. EN( 20 ,20 1 ,M INÍ 20,20 }, NEGÍ 20,20)REAL I O C 2 0 , 20) . JJC» JJAN.JJDSINTEGER VT, CT, GT, f3TvCL,RL r ^ ÍL . IL,TYPE(S> '1NTEGER SIGUÍ 20, 20 f . 8LK.ENTR* DTINTEGER F U N t 4 ) , F N E C 2 0 , 4 ) . F N J C 2 0 » A t ,DFNE(20,4-t ,DFN JC20 ,4)I N T E G H R SGN Ií 20 , 2 0 ) -SGN2I 20, 20) *INTEGER ^r£T,DEET,D JJTDATA T Y P E / ^ R ' . ' C ' . ' L * , 'E * .»J •/DATA BLKr ' • / . ENTRx " E • S . . - '

LOO

JOS FORTRAN IV 360N-FQ-479 3-8 MAINPGM DATE 16/07/80 TIME

00310033

0033003*-

0035003600370038

0039OO40004-100*2006-300440045004600470048004Q0050005100520053005400550056005T005300590060006100620063006*0065006600670066

00700071007200730074

007500760077O 0780079

0080

00820033

008400^5

0036008700680039009000910092

0094

0095O0960097

c ESCRIBIR TÍTULOS 'WRITEC3»100)

100 FORMATCIH1•Z4X.'ESCUELA POLITÉCNICA NACIÓNAL',/.25X,'FACULTAD DE IINGENIERÍA ELÉCTRICA" . )WRITEC3,110)

110 F O R M A T C / , 2 5 X . « T É C N I C A S DE V A R I A B L E S DE ESTADO APLICADAS A L * , / , 2 5 X ,3 ' A N Á L I S I S DE REDES I N V A R I A N T E S EN EL T I E M P O ' , x )

R S A D C 1 .103) C E E T ( I ) ,I = .U20Í1 03 F O R M A T C 2 0 A l )

W R I T E I 3 , 1 0 4 ) ( E E T I I ) , 1 = 1 , 2 0 )104 F O f i M A T C /, 25X, ' P R O G R A M A TSECH **ED Vi I N CHAVEZ ESTEVEZ**' . / , 25X , « E J

I E C U C I O N 'POR: ' , /. 42 X» • ** • ,20 A l ' . ' ** ' *r f )C PONER A CERO TODOS LOS ELEMENTOS DE LOS ARREGLOS

DO 120 1=1,30 . • . 'DO 120 J= l , 30 . 'A T Í I-, J ) = 0 . O • ' • . ' .ALCI ,J )=0 .O . •

120 X t t , J } = 0.0DO 121 1=1.30 . • ' • 'D O 1 2 1 J=f , 5 0 • • - . ' -AC T , J ) = 0.0 '

121 O í ! , J ) = 0 . O - ' ' • .D O 123 1=1,20 • • • ' " .0 0 1 2 3 J = l , 2 0 ' ' • • • • . -

• 123 NEGÍ t .J > = 0.0 • ' . ' 'DO 124 1=1,20 ' ' .

124 N E G É I.I )=-1.0 ' ,. •DO 125 r = l , 2 0 . .00 125 J=l .20 ' - - . • . . ' : (

125 I D ; i , j ) = o . o ' •DO 126 1=1,20

1 2 6 I D C I , I ) = 1 . 0DO !27 1=1,20XESTÍ I>=0.0 'EET[í1=3LKDO 127 J=l,20 'R R I I . J l ^ O . OGG[ I » J ) = 0 . 0 -C C ! I , J ) = 0 . 0 • ' •LL t I *J1=0.0 ' , . -A I I-íTf I, J ) = 0.0 " ' .B I N T t I , J ) = 0 . 0C S ( I , J ) = 0 , 0 ' . . .L B T ( I . J ) = 0 . 0MTLC I , J l = 0 .O

. KLTÍ I , J > = 0 . OS G N l ( t , J » = S L K - ,5GN2Í I . J ) = BLK

- 1S7 S I G N Í I , J ) = B L KC L E C T U R A DE T I E M P O I N I C I A L Y F I N A L PARA MUESTREO

Rc.*.D( 1 , 171 1 T I N . T F I N - •171 F O R M A T C 2 F 1 0 » 0 >

• NP=101W R I T E C 3 , 1 7 2 > T I N , T F I M . N P

• 172 F O R M A T C / / , I S X , 'DATOS DE MUESTREO' . / / ,20X. 'T IEKPO I N I C I A L = - ' . E 1 0 . 32 , e S E G . • . / « 2 0 X . ' T I E M P O F I N A L = ' .E10.3, ' S E G . » . / , 2 0 X , ' N U M E R O DE PU3NTO3 P A R A LOS G R Á F I C O S = ' , 1 3 , / í

C LECTURA DEL NUMERO DE NUDOS Y BRAZOS TOTALES DE LA REOR E A D C 1 -. 180 1NT, I8R

1BO F O R M A T I 2 I 2 ) ' - ' .-W R I T E Í 3-, 190 )NT. IBR

190 F O R M A T Í / - / - , 1 5X. ' DATOS DE LA R E O ' , / / * 20X» ' NUDOS = • , 12 . SX . • ORAZQS =12,/ 11

VÍRITEO, 200 I200 FORMÁTÍ 10X^ • TIPO BRAZO NUDO 1 NUD02 CONDICIÓN

1R30L' , 13X, ' INIC. TtOj'./)

cc

15X.•A

GT=0 ' ' .ST=0 ' " • 'CL=0RL=0 • •BL=0 - ' •IL^O ' *LECTURA DE DATOS DE LOS ELEMENTOS PERTENECIENTESA BRAZOS DE ÁRBOL SEGÚN LA TOPOLOGÍA DE LA REDNUD=NT-1 ' • 'DO 41 O 1 = 1 ,NUDR E A D M » 2 V O ) I T Y , I F3C . N U D 1 » N U D 2 .VAÍ- . ICP1 , ICP2 , Í F U N T J ) . J=L .45 . A N G . D T . M

101

?OS FORTRAN IV 350N-FO-479 3-8 MAIMPGM DATE 18/07/80 TIME

G09800990100O 10 io 10 a0103

0104

0113

011401150116Olí 7011801 190120012101220123O 124

0125'01260127O IR80129O 1310o i:?i01320133013401350136013701380139O 14-0O 14-101*20 14301 44014-5014601 4701 48O 1490150OL51

01520 15301 54

015501 56015701 53O 1590 16001510 X 6 201 63O I G A -

0165

1ASP,DEF,IDP.CI210 F O R M A T [ A 2 , 3 I 3 , F 1 0 , 0 , 2 I 2 , 4 A l , F 1 0 . 0 , l X » A l , A 2 . F 1 0 . 0 . A 2 f F 1 0 , 0 )

I F { I T Y . E O . T Y P E Í 4 ) 1 G O TO 191X R I T E C 3 . 2 2 O > r T Y » I ñ C . N U D I , N U D 2 . C I » V A L

220 F O R M A T C 1 2 X , A 2 . 3 ( 3 X » r 3 ) » l X , E 1 0 , 3 . 1 X , E 1 0 . 3./ÍGO TO 227

191 WRITEÍ3.222)ITY.IBC,NUO1,NUD2*VAL.E FUÑÍJ) .J=I,4 ) ,ANG.OT,MASP,DEF . I1DP

222 FORMATC12X.A2,3(3X,r3),12X,EI0.3,lX.4AI.El0.3.1X.Al,A2,E10.3,A2,/ÍC SE CONSTRUYE PARCIALMENTE LA MATRIZ DE INCIDENCIA A

227 IFf N'UDJ -GT.O ) A t N U D l » I EC )= 1.0IFÍNUD2-GT-0 >A(NUD2, IBC )=-1.O •IFCITY.EG.TYPE(4 y )GQ TO 240 'I F ( I T Y . E O . T Y P E C 2 Í ) G O TO 260IF ÍTTY .EQ.TYPEÍ1 ) )GO TO 270 • -I F Í ITY.EQ.TYPEí 3) ) G O T O 2 8 O . . . . . . . .VíRITEt3,230 5 IBCFO^'ílAT í SX. * EL ELEMENTO DEL BRAZO1 .13»' NO CORRESPONDE' %/5X,» AL AR

1GOL PROPIO* i./,5X,'***: EJECUCIÓN CANCELADA ***«,LH1 frGO TO 2800

C SE GUARDA EL VALOR- DE LOS ELEMENTOS EN SUS RESPECTIVAS MATRICES24-0 VT-VT+1 .

EFC( VTÍ=VAI_E É A N C V T ) = A N G " 'EET(VT>=DT . • • 'EEDEIVT )=DEF • - ' • . ' - '•DO 250 K=l , 4 .,

250 FNEÍ V T , K ) = F U N t KíR E A D l 1 « 2 2 3 ) V A L » tFUNC J) »J=l,*> .ANG.DT,MASP,DEF.IDP

2 2 3 F O R M * . T C 1 1 X . F I O . O , 4 X » 4 A I * F 1 0 , 0 , 1 X , A 1 » A 2 , F 1 0 » O . A 2 )

230

224 FOR.MATC 19X. 'DERIVADA DE LA FUENTE* -,4X»El0.3.1X.4Al.E10.3»lX.AIi.A2»1 El 0.3»A2./ )DEECtVT)=VAL ' . 'DEEANÍVTí=ANGDEET;VT>=DT . .DEEOEÍVTl^DEF - " -.DO 252 K= 1,4

252 D F N E t V T , K ) = F U N t K JGO TO 410 - ,

2 6 0 CT=CT+-1 - - " . . .

CCÍCT,CT)=VALXESTÍLCI)=CIGO TQ 410

270 GT-GT-í-J

280

300

GO TO 4 1 0 •8T=8T-HLBTÍOT.BT)IF Í ICPI .GT .OJGQ TO 290GO TO 350 ' . ' . ' '

290 DO 340 N=1,ICP1 . . ••REAOÍ1 ,300JMUT.VALOR. ICOP, ISGFORM ^Tt A2,F10 .0. 12, A l ) .LHT(BT, ICOP )=VALOR

• SIGNÍBT» ICOP)= ISGIFÍ ISG.EQ.ENTR )GD TO 320 . . . .WRITE13,310)MUT.BT. tCOP*VALOR»BT, I8C, ICOP

310 FORMATÍ 21X-, A2 .2 I 1 , 19X,EZ10.3, X.21 X , ' L A CORR I ENTE -S ALE DEL PUNTO DE1LA INDUCTAMCIA LM2*1 DEL SRAZO « F2» /»21 X» » QUE ESTA ACOPLADA CON L2A 1NDUCTANCIA L' I2v* DE BRAZO DE ÁRBOL',/)

GO TO 340 ' ,.320 WRITEÍ3 1 330»HUT- ,BT , ICOP , VALOR , BT, IBC, ICOP330 F O R M A T t 2 1 X . A 2 . 2 I 1 * í 9 X » £ 1 0 . 3 , / . 2 1 X . * L A CORRIENTE ENTRA AL PUNTO DE

1LA INDUCTANCIA L ' 12»* DEL BRAZO • I 2 » s r 2 1 X » ' QUE ESTA ACOPLADA CON l_2A INOUCTANCtA L* I2 ,» DE BRAZO OS Á R B O L ' . s }

340 CONTINUÉ ' -350 IF ( ICP2.GT.O)GO TO 360

GO TO 410 " .360 DO 400 N~l * TCP 2 •

READt1 .300 )MUT,VALOR, ICOP, ISGMTLÍ RT» ICOP) = VALORS G N 1 í B T » T C G P ) = I S G 'IF Í rSG .EQrENTR)GQ TO 330VÍRITEÍ 3*370 t MUT, RT. I CCP, VALOR «BT, IBC, ICOP

370 F a R M A T : 2 1 X r A 2 , 2 I l » I 9 X « E t ü . 3 , / » 2 1 X , ' í _ A CORRIENTE SALE DEL PUNTO DE1LA INDUCTANCIA L«I2, ' DSL Q R A Z O ' I 2 * /, 2.1 X, • OUE ESTA ACOPLADA CON L2A IHDUCTAttCIA L'ia,* DE ENLACE DE ÁRBOL'»^)

GO TO 4OO

DOS FORTRAN iv 360N-FO-479 3-8 MAINPGM DATE 18/07X60 TIME I01660167

01 68O 169O 170O 171017Z017301740 1T501760 17701730179

01 SO

0181

0182

018301 8401 850186

0187• O 1 F-801 fi90190O 1910 1020193019*

O V 9 S019601 97019801990200020 102020203020402050206020702080209021 O021 1021 2.021302140215021 602L7021 S02190220022102220223022*0225022K0227022H02290230023102320233023402350236

380 V.'R ITE(3, 390 1MUT.BT, ICQP* VALOR,BT , IBC , ICOP390 F O H M A T T 21X , AÍ?r2 I l » 1 9 X . E 1 0 - 3 . / * 2 1 X, ' LA CORRIENTE ENTRA AL PUNTO DE

1LA INDUCTANCIA L'12. ' DEL B R A Z O • 12 , / .21X. * QUE ESTA ACOPLADA CON L2A INDUCTANCIA L'I2.' DE ENLACE DE ÁRBOL' . / )

400 CONTINUA41 O CONTINUÉ ' ' "

IF ÍBT .EQ.0 )GO TO 440DO 420 1=1,BTDO 420 .1=1 , 8TIFtS fGMC I . J ) .EO.SIGNÍJ.I ) ) G O TO 420LBT[ I ,J )= í - l ) *LBTl I ,J>

420 CONTINUÉDO 430 1=1,20 . . . . .DO 430 J=l,20 . .

430 SIGN(I .J)=PLK440 W R F T E C 3 . 4 5 0 )4SO F Q R M A T Í I O X . ' T T P O BRAZO NUDO I NUD02 CONDICIÓN VALOR • , / . I4X.»E

1NLACE* . I3X, ' IN IC. T í O > ' . / ) • . . .DO 590 I = NT,ISRLECTURA DE D A T O S DE LOS ELEMENTOS PERTENECIENTESA ENLACES DE ÁRBOL SEGÚN LA TOPOLOGÍA DE LA REDREAO í i . 2 10 > ITY» ISC.NUD1 -NUD2»VAL-, ICP1 , ICP2. '

1 ÍFUHÍ J U J=l T M + ANG.DT ,MASP. DEF, IDP.CII F Í I T Y . S n . T Y P E t S ) ) G O TO 451W R I T E C 3 x 2 2 0 í ITY.IBC,NUD1,NUD2.CI,VALGO TO 459W R I T E ( 3 > 2 2 2 > ITY, ISC.NUDI.NU02.VAL» CFUNÍJ) .J=l,4 I . A W G , D T , M A S P ,

1 IDPTOTALMENTE LA MATRIZ DE INCIDENCIA A

= 1 .0=-1.0470430 •490570

451

459 I B

460

470

430

490

E CONSTRUYEIFÍ NUD1 ,GT-0 )A iNUDlI f = f N U D 2 . G T - 0 ) A (NUD2.TF{ ITY.EC5 .TYPEÍ 2} ) GOI F Í I T Y . E n . T Y P E Í 1 ) ) G OIFC ITY*EO.TYPEt3 ) ) GOIFÍ TTY.En.TYPEtS) ) GOW R I T E ( 3 » 4 6 0 ) t B CF Ó R M A T E 5 X » ' E L ELEMENTO

1UNA R/vMA DE ENLACE' , /»GC TO 2000

YOTUTOTO

DEL B R A Z O 1 , 1 3 * » NO CORRESPONDE'. /5X.EJECUCIÓN CANCELADA ***«*1H1)

ING

CS tCL»CL) =GO TO 590=lL=RL-«-lRRÍRL.RU)=VALGO TO 590

LCI = LCH-1LLCBL,ciL)=VAL .XEST(LCI )=CII F f r C P l . G V . O Í G O TO 500GO TO 530

500 DO 520 N=l»ICP1R E A D Í I . 3 0 0 ) M U T . V A L O R . I C O P . I S GL L C B L . f C O P ) = V A L O RSí G«í BU-, ICOP )=ISGIF( ISG.EO.ENTR)GO TO 510

' WRITEÍ3*37C)MUY,BL,ICOP,VALOR,BL.IBC.ICOPGO TO 520

510 WRITEt3,39O >MUT,BL.ICOP,VALOR,BL, IBC,ICOP520 CONTINUÉ530 IFÍ ICP2 ,GT.O)GO TO 540

GO TO 590.540 DO 5SO N=1,ICP2

READ(1,300)MUT,VALOR.ICOP,ISGMLTÍBL.ICO°)-VALORSGN2ÍSL*ICOP)=ISGIF( ISG.EO.Et-'TR )GO TO 550Y/RITE (3* 310 )MUT*BL, I COP , VALOR , BL , I BC . ICOPGO TO 560

550 WRITEC3,330)MUT,BL,ICOP,VALOR,BL.IBC.ICOP560 CONTINUÉ

GQ TO 590570 IL=IL*-1

JJCfIL)=VALJJAN! IL ) = ANGJJTEIL)=D1JJDECIL)=D£FDO 500 K=l «A-

580 F.N J C ILr K3-FUN t K)READÍI.223¡VAL*(FUNtJ)«.[=1,4),ANG,DT,HASP,DEF.IDP

JOS FORTRAN IV 360N-FO-479 3-8 MAINPGM DATE 18/07/81

0237023802390240024-10242024302440245024602470248024902500251025202530254025502560257

: 0253025Q

i 026002510262

1 02630264-0265O 266026702680259027002710272027302T4027502760277027S0279029002610282

02830264023502860287025802890290

, ANG,DT.N:ASP,DEF, IDP

029202930294029502Q60297

029802990300030103020303030403050306030703060309031 O031 L031203130314

WR ITEÍ3,22^)VAL.;FUN;J), j=iDJJCt IL)=VALD J J A N Í I L ) = A N GD JJT: ID-DTOJJDEÍILí=OEF00 531 K=l,4

5 3 1 ' O F N J C I L . K ) = F U N Í K >590 CONTINUÉ

DO 600 1=1,BLDO 600 J=l, RL • •I F < S I G N Í I » J ) * E Q . S I G N t J . I ) l G O TO 600LLC I .J» = (-l í*LLtI,J>

600 CONTINUÉ - • . •I F Í 8 T - E Q . Ü J G O TO 620

DO 610 1=1 ,BTDO 610 J = l , B LIF fSGNl t I,J) .EQ-SGN2ÍJ. I> )GO TO 610MTLÍI ,J)-C-l)*MTL(I.J>MLTÍJ . ! )=( - ! ) *KLT(J . IJ

. 610 CONTINUÉ7> 620 W R I T E Í 3 . 6 2 1 ) - f^-

621 F Ó R M A T E / / / , 2 5 X - ' M A T R I Z CC" . /> e~CALL I M P R M C C C . C T . C T >WR.ITEt3.623) '

623 FORMATÍ/,25X,'MATRIZ GG«,/)CALL IMPPMÍGG,GT.GT1IFÍBT.EQ.OJGO TO 627 .WRITEl3-624)

624 FORMATÍ/,25X,'MATRrZ LBT»,/| ;CALL JMPRMCLBT,BT.BT)WRITEC3.625} " . .

625 F O R M A T Í / , ?.5X. ' MATRIZ HTL*,/>CALL IMPRMtKTLV8T.BL»W R I T E C 3 . 6 2 6 >

626 FORMAT; / .2sx» * MATRIZ MÍ_T',/)CALL IMPRM(MLT»8U,BTI

627 IFÍCL.EO»01GO TO 629 -WRITEÍ3,628) ; - '.

628 FORMATÍ/,2SX,'MATRIZ CS'./) .- •CALL IMPRM(CS,CL,CL)

629 WRtTEC3,630 ) . '630 F O R M A T Í / , 2 5 X . T M A T R I Z R R * , / )

CALL IKP-RMí RR.RL, RL IV / R I T E Í 3, 631 ) • '

631 F O R M A T Í / . 2 5 X t * H A T R r Z LL'./Í-> CALL tMPnMILL.8L.BL) <Sr—C SE ESCRIRE LA MATRIZ DE INCIDENCIA A

U R I T E Í 3 . 7 2 0 )720 .FDRMATC-/ / /T?.OX » 'MATRIZ DE I NCID^NC I A ' . / >

I F ( I B R . G T . 2 0 J G O TO 722DO 730 1=1,NUD

730 WRITEÍ3»740 í í A i I,J ) ,J=1,IBR>740 FORMATÍ15X ,20FS.1 I

GO TO 727722 fB=IBR/2

DO 723 1=1.MUD723 W R I T E t 3 , 7 2 4 ) í A C I , J ) . J=l , IB)724 F O R M A T t IOX.25F4 .C.2X, ' ',/)

I 8 = t B + lDO 725 1=1,NUD * . '

725 W R T T E Í 3 , 7 2 6 ) C A C I . J ) * J = I S » I B R )726 F O R M A T E I X , ' - * . - . * . . . » .25F4.O )

C CALCULA LA MATRIZ DE ARREGLOS DE CORTE FUN'D AMcNT ALES727 DO 750 1 = 1 , N U D

DO 750 J=1,NUD •'750 ATt I .J > = AC I.JJ

DO 760 1=1,NUO

DO 760 J=NT.IBR • •

7 6 0 A L C I » K ) = A ( I , J )CALL INVAT tAT .X .NUD)K=IBR-NUDDO 770 1=1,NUD0 ( 1 , 1 ) = 1 .0DO 770 J=l,KM=J+NUDDO 770 L=l,NUD • -

770 Of I, M i=QÍ l f M » + X Í I , l _ ) * A U ( L , J )WRITE I3»780 )

104

IOS FORTRAN IV 360N-FQ-479 3-8 MAINPGM DATE 19/07/80 TÍME

03 I S031 6031 7031 8031 903200321O 3?. E032303240325O 3?. 60327032803290330033103320333

033403^50336033703380739034003410342034303*40345034-60347034803*903500351

' 0352035303540355035603570353035903600361036203630364-03ÍÍS0366036703680369037003710372037303740375037603770378037903800"38103820383038403850366

038803890390039103920393

780 FORMATÍ///.20X.'MATRIZ DE ARREGLOS DE CORTE FUNDAMENTALES QF • , ,IFÍIBR.GT.20)GO TO 791DO 790 1=1.NUD

790 VRTTEC3»740)ICCI«JÍ.J=l,IBR)GO TO 794 '

791 ia=IBR/2DO 792 1=1«NUD

79.2 #RITE(3.724) I0: I, J), J=l , IB) - -1B=IB+1DO 793 1=1,NUD .

793 WRÍTEÍ3,726)íOfI,J),J=IB,IBR)794 DO 800 1=1".20 . ' . .

DO 800 J=l,20800 ALÍI,J)=0.0

DQ 810 Í=1,NUDK=0 - 'DO 810 'J=NT,IER . . .

810 AL t t ,K>=OÍ I.J)C PARTCC10N DE LA SUBMATRIZ F DE LA MATRIZ QF

DO 870 1=1.VT vIF(CL.EQ.O)GO TO 830DO 820 J=l.CL

820 FVStt,J)=AL(I,J)830 DO 840 J=l,RL

NC=J -fCL840 FVRÍI,JJ=AL(I»NC)

DO 850 J=1,BL

850 FVLÍI,J1DO 860 J=l.TL

860 FV I! I , J )=ALt I , NC >870 CONTINUÉ

NK-VT+iNL=VT+CT. .K=0DO 950 r^NK.NL

IF(CL.EQ.01GO TO 910DO 900 J = l *CL

900 FCSCK* J í=AL( I, J>910 DO 920 J=1,RL

920 FCRÍK, J)=AL( IrNCÍDO 930 J=l .BL

930 FCL(K,J)=AL?I«NC)DO 940 J=l, IL

940 FCH K, J ) = ALÍ I ,NC)950 CONTINUÉ

NL-VT+CT-t-GT .K = 0DO 1010 I=NK»NLK=K+1DO 980 J=l ,RL

980 FGRÍK, J>=AL( I » NC)OO 990 J=l .EL

990 FGLÍ K. J)=ALÍ I . NC J00 1000 J=l,IL

10OO FGltK, J)=AL t I,NC>10 10 COI^TINUE

i 'FCBT.EO.O )GO T0.1070NK--VTÍ-CT-Í-GT-*-!NL-VT+CT4-GT4-BTK=0DO 1050 I=NK,NLK-K+1DO I 030 J = l .BL

1030 FTLC K. J }=ALtI,NC)DO 1*040 J=l . IL

1040 FTIÍ K, J 1=AL( I , NC )1050 C O N T I N U É

DOS FORTRAN IV 360N-FO-479 3-8 MAINPGM DATE 18/07x1

0394039G039603Q70398O399

-040004010402O 4030404040504060407040804090410

1 041 1í 0412i 0413¡ 0414i 0415

0416' 0417! 0418

04190420042104220423042404250426042704280429043004310432043304340435047Í60437

' 0438"0439= 0440

04410442

, 044304440445044604470443.0449045004510452O 4530454045504560457045304590460046104620463046404650466046704680469 •0470O 4710472

c CALCULO DE LAS SUBMATRICES DE LA ECUACIÓN DE ESTADO1070 N=1

CALL INVERT:RR,RRIN,RU,N> • '

CALL INVERTCGG»GGtN,GT,N>N=N+-1CALL

CALL TNVERTCLL^LLIN. BL.NICALL TRANPÍ FGR, FGRT , GT . RL)CALL TRANP ( FCR .FCRT, CT, RL) •CALL TRAN'Pf FGL ,FGLT. GT , BL }CALL TRANP CFVR.FVRT, VT.RL )CALL TRAfJPÍ FVL,FVLT.VT»BL>CALL TRAND(FCL,FCLT, CT,BL)CALL TKANP{ FCSíFCST.CT.CL)CALL- TRANPÍFTL,í=TLT,'BT.BL>CALL TRANSÍ FVS,F VST, VT,CL)CALL PROCCÍ FGR,RRIN, GIN.GT, RL.RL)CALL PRO DCf GIN. FGRT. GIN, GT,RL,GT>CALL A D O T N Í GG, G I N » G I N . G T , G T )N=N+1CALU INVERTCGrN«GIN»GT,N)CALL PRODCtFGRTrGGIN, R I N, RL. GT, GT)CALL PRDDCtRIN *FGR ,R I N , P,L, GT ,S1_)CALL ADDTN(RR,R IN.RIN.RL.RLÍ

CALLCALLCALLCALLCALLCALLCALL

,/)

CALL IN\L PROOCÍFCR.RIN,HCC,CT.RL.RL)

CALL Pf iODC(HCC»FCRT,HCC,CT 5 SL,CT)CALL PRODC(NEG»HCC,HCC,CT,CT.CTIV,'RIT€Í 3, 10 S O )

,25X. 'MATRIZ HCC'»/>IMPRMfKCC.CT.CT)PRODCC FCfí,RIN.HCL,CT,RL»RL)PRODCEHCL,FGRT,HCL.CT,RL,GT)PROOCÍ HCUt GGIN.HCL»CT,GT.GT)PRHOCÍHCL.FGL,HCL.Ct.GT,BL>PIÍOnCtHEG, FCL .FCL,CT.CT ,BL»ADDTN1 í FCL , HCL , HCL . CT , BD

V / R I T E C 3 » 1090 11090 F O R M A T t / , 2 5 X , ' M A T R I Z HCL*

CALL l 'MPRM(HCLvCT,BL)CALL PRnDC(FGLT,GIN,HLL,BL,GT.GT)CALL- PROOCÍHLL »FGL,HLL,BL,GT.BL)CALL PRGDC[NEG,HLL,HLL,BL.BLiQLlWRITEÍ 3» 1100)F O R H A T Í / , a 5 X , ' M A T R I Z HLL1,/>CALL IMPRI-K HLL , BL, ELI • • 'CALL PRODC(FCR,RIN.HCV,CTT.RL»RL1CALL PROOCCHCV.FVRT,HCV«CT,RL.VT>CALL PRODCINEG,HCV,HCV,CT,CT»VT)W R I T E f 3 » 1 1 1 0 )

1110 FÓRMATE/ ,25X, ' MATRIZ HCV1,/)CALL IMPR.v, í HCV,CT,VT )

PRODCÍFGLT.GIN,HLV.BL,GT,GT)PROOCCHLV,FGR,HLV»BL-.GT,RL)PP.OOCÍHLV ,RRIN,HLV, BL»RL»RL>PRODCÍ HLV,FVRT,HLV,aL.RL, VT)PROOCÍNEG-h-LV ,HLV,BL.BL«VT)ADOTNC FVLT,HLV,HLV,BL,VT>

WRITE Í3 , 1120 í1120 F O R M A T f / » 2 5 X , ' M A T R I Z HLV»»/ )

CALL [MPRMt HLVrBL,VTíPRODCÍ FCR.PIN.HCI,CT,RL,RL)PROOCÍ HCI sFGRT,HCI .CT.RL.GT)

GGIN.HCI,CT,GT.GT)PROOCCHCI ,FGI ,KCI ,CT»GT, IL )

A O O T W r F C I , HCI ,HC I»CT. ID

j l l O OU-

CALLCALLCALLCALLCALLCALL

r1130

1 140

CALLCALLCALL PRÜDCÍHCICALLCALLCALLWRITEÍ3, 1 130)F O R M A T t / . Z S X » ' HATRIZ HCI'»/)CALL tMPRMl HCI , CT , IDCALL. PRCDCÍFGLTíGIN, HL I *SL,GT.GT>CALL PROOC t HLI ,FGI , HL I , BL » GT ^ IL)CALL PRODC(MEG,KLI , HL I , 3L » BL » IL JW R I T E Í 3 , 1 140)FORMATÍ/ , ,25X, • MATRIZ HL I ' , / )CALL IMORMÍHUI ,9L. IDCALL PRODCCFGLT.GIN, HLC , BL» GTT GT )

106

JOS FORTRAN IV 360N-FO-479 3-3 MAINRGM

047304-740475047604-77047804790 4 Q O

043204S3O 48*048504B604-87048804P904900491049204930494049504960497

0499050005010502

0503050405050506050705080509051 O051 1

05120513051 40515051 6051 7

0518051 905200521052205230524

osasO 5? 605270528O 5 29053.0

0531053205330534

053505360537O 53 B

053905400541

CALL PROOCIHLC.FGR.HLC.BL«GT,RL)CALL PRODCt HLC>RUIN.HLC,BL,RL,RL)CALL PROPCÍ HLC ,FCRT. HLC .HL •> RL . CT )CALL PROOCÍMEG«HLC.HLC,BL,BL,CT»CALL ADDTMCFCLT,HLC,HLC,BL«CT)

£ '• WRTTEí 3, 1 1 50)/USO FORMATt / »25X, • MATRIZ HLC*./)! CALL IMPRM(HLC,RL,CT)

C' LL PRODCCFCS»CS, MIN.CT.CL.CLÍPRODC:HINyFCST.MIN,CTtCL,CT)PRDÜCÍM IN , CCr.N, M (N.CT.CT.CTíADDTNC1D.MIN.4IN,CT,CT)

. CALLCALLCALLN=N+1CALLCALLCALLCALLCALLCALLCALLCALLCALLCALLCALLCALLCALL

INVERTÍ MEN»MIN ,CT.N)PRODCCFTLT.LBT,Pl,BL.BT,BT)

i , FTL .Pl.tBL.8T.BL)Í Pl .LLIK'.Pl .BL.BL.BL)

PRODCCMLT,FTL,P2,BL,BT, RLÍPRQDCtP2íLLIN,P2.6L-,BL,RL)PROnCÍNEGtP2,P2^6L,BL,BL)OROQCCFTLT, MTL , P3-. BL ,BT . BL )PRDDCt P3,LLIN,P3,BL, I3L , BL )PRnDCCNEG,P3.P3T3L,BL, BL)ADDTN(P3,P2,PrN,BL,eDAODTNfPIN,P 1 .PIN.3L.BLIADOTNÍ ID ,PIN,PIN,SL,BLJ

CALL rHVEHTXPINiPIN. BL , N »WRITEÍ3 . 1 1 60)

1160 F O R M A T C / / / , 2 5 X . ' ECUACIOhf DE EST ADO • . // -,?_ SX , • NOTAC T ON GENERAL -..=-.1., 0>Í = A * X Í T )+5*Ut T ) •- *f/ ,25.X, -DONDE : « , / » 32X. * X (T 1 = VECTOR DE E2STADO ' */ . 32X* *DX = ' D E R I V A D A CRL VECTOR DE ESTADO '. /• , 32X .' A Y B M A T3RI CSS tNVARI ANTES EN EL TIEMPO1 « / « 3 2 X * ' U ( T J = VECTOR ENTRADA • »/ ,394X, 'CFUENTES INDEPENDIENTES DE VOLTAJE Y CORR I ENTE ) • , / }

W R I T E f 3 » l l 7 0 ) . '1170 F C R M A T C / . 2 5 X - . • VECTOR DE ESTADO X Í T ) « , / J

KVT=VT+1KCT=VT-í-CT " . .1=0 . . • •DO 1 180 . J = KVT,KCT " *1= H-l • .WR 1TEÍ 3, 1 190) I. J» JFC1RMATÍ25X, ' X, ' » T2, • = VC',r2.' tVOLTAJE EN EL CONDENSADOR1E BRAZO DE ARROL 1 ' . X >

11801190 I2. D

DO 1200-CL-t-RL+BL

J=KFT,KGT

1200 V/RITEÍ3,1210)I*J,J12-10 FOPMAT; asx v^x' , [2. • = iLi

l DE ENLACE D£ A R 3 0 L ) * . / )WR 1 T E Í 3, 1211)

1211 F O R M A T Í / / , 2 5 X » * VECTOR DE

DO 1212 J=l , VT1= I-i-l

1212 WRITEÍ3» 1213) I . J, J1213 FO RM AT f 25X , » U * , 12. '

1 DE ÁRBOL ) ' ,s i

i2. ÍCORRIENTE EN LA INDUCTANCIA

ENTRADA U [ T.) « , / )

= EE 1 » r 2 ,

DO 1214 J=KFT,KGT

1214 W R I T E Í 3 , 1 2 1 5 ) I . J , J1215 FORMATt 25X, IU' -, í-2» '

ICE DE ÁRBOL ) ' , / " )DO 1216 J = l » V T1=1+1

1216 W R T T E Í 3 . 1 2 1 7 ) I , J , J1217 F O P M A T Í 2 5 X , ' U ' , 12» '

1' -, I2 t ' ) ',/ JDO 1218 J=KFT,KGT

tFUENTE DE VOLTAJE »,r2.' DE BRAZO

ÍFUENTE DE CORRIENTE ' . 12» • DE ENLA

= DEE',12»' CDERIVADA DE LA FUENTE DE VOLTAJE

1218 WRITE(3*1219)I.J»J1219 FORMATÍ 25X . 'U' , 12» *

1E '. 12, ')'./)C ---- BORRAR LOS ARREGLOS

DO 1220 1=1 ,20DO I 220 J=l ,20P3f I v J )=0. O

= DJJ'.t (DERIVADA DE LA CUENTE DE CORRIGNT

P3. GG.CC.LL.-RIN. RR. Pl .P2

10?

FORTRAN IV 36CN-FQ-479 3-8 MAINPGM DATE 18/07/81

0542054305440545O S4fi

'054 Y0548

054905500551055?.05530554

055505560557055-8ossg05600561Q5620563056405650566056T056'80569057.0057105730573057405750576057705780579

.058105820583

'05R405850536

•05B705880589

• 0590059105920593

05940595059605070598

•055906000601060?.06030604060506060607060fi060906 10061 1

.061 206130614

061506160617

G G ( i , j ) = o » occ i i . J )=o .oLLÍI ,J t=0.0R C N £ I , J ) = 0 . 0RR( I .J)=0, OP! ( I , J )=0.0

1220 o?.: r , j }=o .o . ' iC CALCULA ELEVFNTOS DE LA H A T R T Z A

CALL PRODCtCClN , M tN , P 1 , CT , CT . CT )CALL PRODCCLLIN.P[N,P2,BL.BLiBL*CALL PRODCCPl ,HCC,P3 ,CT ,CT ,CT)CALL PROnctPl»HCL,GG»CT.CT,8LTCALL PP.mCÍ P2. KuC, CC, BL , BL.CT)CALL PRODCÍP?. , HLL. LLtOL.BL, BL)

C GUARDA EN ARREGLO A íNT LOS ELEMENTOS DE LA MATRIZ A

00 1260 1=1.CTDO 1240 J=1,CT .

1240 A I N T ( J » I ) = P 3 ( J » I )DO 1250 J=K8T,KCT

1250 A1NT C J. D=CCC KDT, I>1260 CONTINUÉ

DO 1290 I=K8T.KCTKET=I-CTDO 1 270 J=l,CT -

1270 AIN'Tt J. I J=GGÍ J,KET)DO 1?.80 J=KBT.KCTKDT=J-CT

1290 AINT(J, I)=LL(KOT>KET11290 CONTINUÉ

WRITEÍ3.1300)1300 FÓRMATE//,25X.«MATRCZ A DE LA ECUACIÓN DE ESTADO'./)

CALL IMPRMÍ AINTeKCT.KCT >DO 1310 1=1,20DO L310 J=1,XQP3 [ I , J 1 = 0.0 • -.GG(I,J)=0.OCC C T ,J1=0.0

1 3 1 O LL í I v J ) =0 «, O: CALCULA LOS ELEMENTOS DE LA MATRtZ B

CALL PROOCIPI,HCV.PS-CT,cr,VT)CALL PRQOC CP1 ,HCI .GG,CT,CT, tL)CALL DROOC.:P2. HLV , CC , BL * EL, VT >CALL PRQOCCP2.HLF.LL.8L,BLtILfCALL PROOCf PI'. FCS,R IN.CT. CT-, CDCALL PRQOC [R I N - CS , R I ti -. CT , CL . CUVCALL PÍÍOnCtR IN wFVST.R IN.CT.CL.VTíCALL PRQOCfNRG«RIN,RIN,CT,CT-»VT>CALL PRQDCCFTLT-LBTTRR,BL.BT»3T)CALL PROnCÍMEG* RR . RR , EJL .BL.8T )CALL ADDTNÍMLT.RR.PR^RL.8T)CALL PROOCf RR , FTI .RP-. BU«ET. IDCALL PROnCÍP2,RR,RR,BL.BL.tUi

: CU AROA EN ARREGLO BI NT LOS ELEMENTOS DE LA MATRIZ 8KBT=CT+Í

DO 1340 1=1,VTDO 1320 J=l,CT

1320 B [NTCJ.I)=P3CJ. I )00 1330 J=K0T,KCT

1330 SINTÍ J. I)=CCCKDT» I )1340 CONTINUÉ

1350

1360 BINTÍJ,I)=LL(KGT.KOT)1370 CONTINUÉ

KET=VT+IL+1

KFT=VT-HILDO 1370 T=KET,KFTKDT=I-VTDO 1350 J- l .CTRINT( JE I }=GGÍ J ,KDT)DO 1360 J^KBT.KCT

DO 1390 I=KET, KFTKDT=I~Í VT-MU)DO 1380 J=1,CT

108

JOS FORTRAN T V 360N-FC—479 3-8 MAINPGM DATE 18/07/80 TIME

1061 8061 90620O 62106220623062406250626

'0627062806290630063106320633

¡0634¡0635:0636¡O 6371063S,0639

i .'06*0

. :G641,06*2¡t,061-30644064506460647061-80649¡0650i .'O65l; O 6 5?.:0653>OG54

¡0656¡0657:0fi5806590660066106620663006406650666066706680669

'0671:0672-0673.'Ofi74067506760677OG760679OfiSO0681OÓR2

.068306840685

1380 BINTt J , I )=RINC J.KDT) '1390 CONTINUÉ

KET=Í 2*VTH-tl_MKFT=( 2*VT ) *-t 2* I I_JDO 1410 I=KET,KFTKDT=I-: t 2 * V T ) + IDDO 1400 J=K8T,KCT -KGT=J-CT

1400BlNTfJ,!;)=RRfKGT.KOT)-1410 CONT INUE

WR ITSC3-, 14^0 >1420 FORMA! ( //, 25X, 'MATRIZ B DE

CALL IMPRMÍ BINT.KCT.KFTí"

LA ECUACIÓN DE ESTADO1

T=TIN . -17 M=l -14 CALL RESULÍ DATO. T IM£. T ,-XEST . M, KCT)

K= OM=l . •T F Í I S W . E Q . 1 J G O TO 16I F Í T . G T - O ) G O TO 1 ' '

16 H=(TFIN-T1/ 1000.0C : CONSTRUCCIÓN Y EVALUACIÓN ÜE LAS ECUACIONES DIFERENCIALESC POR EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA PARA UN INTERVALO DE TIEMPO

N=0DO 2 L=l., 1000

3 CALL E GUACÍ VT.EEC.EEAN, EEDE -, EET »FNE-, KCT , DEEC, OSEAN'. DEEOE . DEET ,10FNEírL.JJC-,JJAN,JJOE.JJT,FNJ.OJJC,OJJAN,DJJDE-,DJJT.OFNJ.TrOX12AINT» B INT.KFT,XEST tCALL RUMTAtKCT,K.I.XEST.DX.T.HJ 'GO TO Í3,4},[ • •

IFtN.N'E. I O J G O TO 2H = M4-1CALL RESULfDATO«TIME,T,XEST,M.KCT)

CONTINUÉ '•TABLAS DE RESULTADOS Y GRAFIZACtONIFÍ t S W . E O . O ,AND,TINB KE.O. ) G O TO 15N-KCT/10IFtKCT.GT.10.AND.KCT,LT.20)N=N-HIFIKCT.LT.10)N=1D O 6 I - I . NCALL IMPTAtKCT,!» ' -DO 9 J=l. 1 01IFt KCT -GT . 10.AND,I,EO.1 )GOIFÍKCT .GT . 10 ) G O TO 8WR ITEÍ3-, 10 )TIHE( J ) , í DATOÍ J,L)F O RM AT í 2 X +E1 O.3 » 9[ 1X,E1 O.3 )GO TO 9V/R ETE C3, 10 Í T I W E C J I » ( D A T O C J ^ L ) ,L=11GO TO 9WRITE(3 ,10 J T I M E t J ) , C D A T O t J , L ) ,L=1 »I O)CONTINUÉCONTINUÉDO 11 1=1.KCTNl_=0DO 1 2 J=l » 1 01NL=NL-i-lVY ÍNL ; -DATO(JT I )CALL GRAFYÍT IME.VY.HL, I )CONT TNUEGO TO 2800T= O . OTF=TFINTFIN=TINGO TO 14T = TINTFIN-TF

TO 7

L=1 ,KCT)1X,E9.2)

KCT)

12

1 I

15

GO TO 17 -2800 CALL EXIT

END

109

>OS FORTRAN IV 360N-FO-4-79 3-E ADDTN DATE 18/07/80 TIME

0001

000200030001000500060007oooa000900 10001 1

SUBROUTtNE ADDTN'Í A - B •» C . NF IL , NCOL )C SUBRUTINA P A R A SUMAR DOS MATRICESc A- MATRIZ-1C D= MATRIZ-2C C= M A T R I Z RESULTADO OH L¿ SUMA DE LAS MATRICES A Y BC SUM= M A T R I Z A U X I L I A R PARÍ REALIZAR LA SUMAc Ní=IL- NUMERO DE FILASC -MCOL = NUMERO DE COLUMNAS

. 01 MENSION A [ 2 0 ,20) » B ( 2 0 . 2 0 ) « C C 2 0 , 2 0 ) »SUMC20,20íDQ 10 1=1,NFILDO 10 J--1 .NCOLSUMÍ I •> J 1=0. O

1 0 SUin I , J ) = A Í I ,J ) + Q ( I . J ) . . .DQ 20 1 = 1,NFILDD 20 J=l.NCOL

20 C C I,JJ=SUMl I,J»RETURN" , . .END

IOS FORTRAN

OO01

00020003O O O A -00.0500060007

I'V 36CN-FO-479 3-0 TRANP DATE is/07/so TIME

SU3ROUTINE TRANP í AM » AMT -. IPIL. . ICOL)C SUSRUTINA PARA TRANSPONER MATRICESC AM=MATRIZ ORIGINALC AMT-MATRIZ TRANSPUESTAC IFrL=NUMGRO Oí- FILAS De LAC ICOL^NUMERO HE COLUMNAS DE

MATRIZ ORIGINALLA MATRIZ ORIGINAL

D ! MENS ION AMÍ1Í0.20Í . AMT [20, ZO )00 10 1=1,IFILDO 10 J~l.ICOLA H T C J t I » = A M l T , J )RETURNEND

>OS FORTRAN

000 J.

IV 360N-FQ-A79 3-í PROOC DATE 13/07/80 TIME -

000200030004-0005000600070008OOO900100 0 1 100 12001 3O O Í 4

SUnROUTINE PRODCtA,B.C,NFIL,NCOL.HCL)C •- SUefíUTINA PARA MULTIPLICAR .003 :-ÍATR£CE3c A~ MATRIZ-1C B= MATR CZ-2c c= MfiTRI? PRODUCTO DE LAS MATRICES A Y B 'c PR_ M A T R I Z AUXIL IAR PARA HACER EL DRODUCTQ DE MATRICES 'C NPIL= NUMERO DE FILAS DE LA í-'ATRIZ AC NCOL= NUMERO DE COLUMNAS DE LA f -SATRIZ A Y NUMERO OE FILAS DE BC NCL= NUMERO DR COLUMNAS DE L >'« MATRIZ 8

DIMENS tON A í 2 0 ,20) ,B í20 .20 ) ,C í20 ,20) .PR t20,20)DO 10 1=1iNFILDO 10 J=t.NCL

10 PRÍ I , J }=0 .0DO 20 1 = 1 .MFIL00 20 J=l.NCL ' 'DO 20 K=1*NCOL

20 PRt I . J)=PR( I , J J * - A t I . K I * B t K « J )DO 30 I = 1 , N F I L " -.DO 30 J=l.NCL

30 C( I,J J^PRÍ t,J)RETURNEND

FORTRAN

0001

00020003O O O A000500060007000800090010001 1001 200 13001 A-001500160017

IV 360N-FO-479 3-E IMPttM DATE 18X07/80 T I M E

I M p R W Í A-, NFU.jNCOL í "C SUBP^ÜGÍ-iAMA PARA IMPRIMIR .MATRICESc A- M A T R I Z OUE SE VA A T « P R [ M I Rc N pT^_ MULERO Du FILAS DE LA MATRIZC NCOL- NUMERO DE COLUMNAS 'DE LA MATRIZ

DIMENSÍON A í20 * 20 >1 F ( N C O L . G T , 1 2 ) G O TQ 30DO 10 1 = 1 » N F I LWq ITEÍ 3 .30 M A i I, J ) 6J=I,NCOL1FO R*"» AT C O X . I2F8 »3)GO Vn so

30 NC=NCUL/2DO 4-0 1 = 1 , N^IL

, . . . .*,/»

1020

50 F O R M A T C 2 0 X , l Q F e * 3 ^ 3 X . 'NC-NC+1DO 60 í~ i ,WFIL

60 V/R ITET 3 .70 } í A i I . J) , J = NC . NCOL >70 F ü R M A T ; 9 X » ' ......,*,-í.X.10F8.3»80 RETURN

END

no

ios FORTRAN

0001

0 0 0 200030004000500060007OOOñ0009oot o001 10012001300 I 4001500160017001 8

I V 360N-FO-479 3-8 IMPTA DATE 16/07/00 T I M E

SUBROUT INF: T M p T A f K C T , J >C SURRUTINA P A R A IMPRFS ION DE TÍTULOS DE TASLAS DE RESULTADOSc KCT- NUMERO DE ECUACIONES DIFERENCIALES ¡VARIABLES DE ESTADO»

D I M E N S 1 0 N I X ( 2 0 ÍI F C K C T . G T . 10. AND.J.EC. l íGO TO 1 2OI F I K C T .GT. 1 0 ) G O TO 1*0OO 100 1=1,KCT

100 IX< I >= IW R I T E C 3 * 11 O ) t I X C I ) .1 = 1 .KCT)

110 F Ó R M A T E IH1. 4X, TIEMPO' . 2 X . 9 Í • X* ,12.' ' ) . * X ' . I2. />GO TO 160 . . . " , ' -

120 DO 130 1=1,10 .130 IX; I )=I

WR ITE(3 . 110 J ( I X Í I ) . I = U 10)GO TQ 160

140 DO 150 1 = 11 ,KCT150 X X I I ) = I

WR ITEÍ3. 1 10 J ( IX( I ) , 1 = 1 1 efCCT), 160 RETURN1 END ' . ..

IOS FORTRAN IV 360N-FO-479 3-8 RESUL DATE 18/07/80 TIKE

0001

0002000300040005O0060007

10

SUBROUTINE RESULEDATa,TIue,T,XEST,M.KCT)SUBPROGRA«A PARA GUARDAR EN DATO,LOS VALORS DE RESPUESTA

PUNTOS DE VARIACIÓN OcL TI C-MPQOUE GUARDA LOS VALORES DE VARIABLES DE ESTADOOUE GUARDA LOS PUNTOS DE VARIACIÓN DEL TIEMPOQUE CONTIENE LOS VALORES DE LAS VARIABLES DE ESTADO

Y EN TIME LOSDATO- ARREGLOJIME- ARREGLOXEST- ARREGLOT- TIEMPOKCT- NUMERO DE ECUACIONES DIFERENCIALES (VARIABLES DE ESTADO)DI MENSION DATO C I O 1., 20 ) » T I ME ( 1 O I ) .XESTÍ20)TIMEÍM)=T . . .DO 10 1=1 ,KCTDATO í M, I Í = XEST{ I )RETURN - 'END - ' -

>OS FORTRAN IV 360N-FO-479 3-É RUNTA DATE 18/07/80 TIM€ 16,

0001

0002000300040005000600070008

• 000^0010OOÍ 1001200 1300 1400 1500160017001 a00100020002100220023002*00250026

SURROUTINE RUNTA í N , K» I , XEST» OX-. T, H )C SU8R UT 1 NA P AR A APL I CAR EL I-ETOOO DE RUNGE-KUTTAC N'= NUMERO DE EACUACION'ES D T FEPENC t ALESC XEST= ARREGLO OUE GUARDA LAS CONOICirNES INICIALES Y LOSC VALORES DE LAS V A R I A B L E S DE ES1ADOc , DX= ARREGLO OUE GUARDA LOS VALORES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

.C K- CONTADOR P A R A D IR f=CC ICNA H IENTO DE ENTRADA A UNAc INSTRUCCIÓN EN LA SUBRUTTN'Ac j_ CONTADOR P A R A OIRECC IONAH IENTO DE RETORNO AL PROGRAMA PRINCIPALC T- TIEMPO i.C H- INTERVALO DE TIEMPO

DIMENSIÓN YíSO) ,Z(20),XESTC20) ,DX(20>tí-K.i-1 • .GOTOC1«2*3,4.5).K

2 DO 10 J=1,NZ C J ) = D X ( J )Y í J i = X H S T f J )

10 X E S T C J )=Y[ J J-*-*5*H*DX( J)25 T=T4-.5*H

1 1=1 • 'RETURN '

3 00 15 J=l»N . .7. ( J ) = Z í J ) -í-2 . O * DX C J í

15 XEST Í j } =Y Í J )+ .5#H*DX tJ )1=1 -RETURN

4 DO 20 J=1,N7.í J)=zí Ji <-a .o*nx( j) • .

20 X E S T t J J=Y( J Í4-H^OX( J) ' • . .GO TO 25

5 00 30 J=l.N30 XEST(J )=Y (JH" (Z ( J ) - * -DX(J ) ) *H /6 .0

1"= 2 • 'K=0RETURNEND

01131

>OS FORTRAN IV 360N-FO-479 3-8 tNV'ERT DATE 18/07/80

0001" SUBROUTINE INVERTÍA. X,N ,NN>C CALCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZC A= MATRIZ DE ENTRADA ( NXN iC X= INVERSA OS LA MATRIZ A CNXN)c N- GROEN DE LA MATRIZ AC C^ MATRIZ AUXILIAR NXÍHN)'C E"S= LIMITE DE TOLERANCIAc NN= CONTADOR • .

0002 DIMENSIÓN A t 20 . 20 ) . X [ 20 , 20 ) » C t 20 . 40 )0003 . DATA EPS/I.OE-- 6/0004 N1=2#N ' . '

C SE CARGA LA f-'ATRIZ A Y SE CONSTRUYE LA MATRIZ- IDENTIDAD0005 IFÍ N.EQ.Ot RETURN - .0006 DO 10 1=1, NOOOT000800090010001 1001 20013001 4001 500160017

0018

0019OOEO0021OOZZOOE3002400250026002700280029

003000310032

OO3300340035

0036003T0038

0039004000*1

004200430044

004500460047

004800490050

'0051-00520053

00540055 '

0056005700580059

• . •l'O

20

- 30C

C'

•

"~

4050

C ' "~

51210

52220

53230

54240

55250

56260

57270

.58230

70C

80C

DO 10 J = 1,N 'Ct I , J ) = A( I , J)DO 30 1=1, N'DO 30 J-l ,NIFC I . EC. J) GO TO 20K=J4-Ncí r , K >=o. o .GO TO 30 .K= J-f-N ' 'Cí I-.K ) = 1.0 . .CONTINUÉINVERSIÓN DE LA MATRIZDO 130 IP=1-»NENCUENTRA EL ELEMENTO PIVOT EN LA COLUMNA IPI M= I P . . ' ~ 'IST=IP+1 ' . -• •IFl IPsGE.N) GO TO 50 .DO 40 I=ISTiNAPN=AQSCCC IM, IP) » . ,A»M=ABSf Cí I •• IP ) )ÍFÍ APN.GE.APM) GO TO 40 •I M ~ I • ' •CONTINUÉAPIs'sABSÍCt IK, IP) ) ' -IF (APN.Ge.EPS ) GO TO 70ELEMENTO DIAGONAL BANDERA CERCANO A CEROGO TO [ 51 . 52. 53 , 54, 55, 56,57. 58) ,NNWR rre 1 3 , ?. i o 1 1 p , c í i M , t p )FORMATÍ2QX, «PROBLEMA INVERSIÓN MATRIZ RR' ,/, 2QX »' EL EMENTO1 ',12.' = • .E13.5.2X. «REVISAR DATOS . E JECUC I 0 N CANCELADA',CALL EXITWR I TE (3, 220 t IP ,'Ct IM, IP)FORMATÍ20X. ' PROBLE'-tA INVERSIÓN MATRIZ GG» e/,20X. ' ELEMENTO

1 '.I2.1 = «,E13. 5. 2X, -REVISAR D ATO 3 . E JECUC I ON CANCELADA- ,CALL EXITVÍRITE [ 3.230 1 IP » Ct IM» IP)FORMATC20X. 'PROBLEMA INVERSIÓN MATRIZ CC ',/, 20 X, • ELEMENTO

1 >.IÍ,* = ', £13. 5, 2X, ' REVISAR D ATO S . E JECUCI 0 N CANCELADA',CALL EX ITWRITE(3. 240 ) IP, Ct IM, IP)FORM.ATÍ20X, 'PROBLEMA INVERSIÓN MATRIZ LL ' ,X 020X, ' ELEMENTO

1 '.E2.* = ',E13. 5, 2Xt 'REVISAR DATOS. EJECUCIÓN CANCELADA' ,CALL EXITVÍRITEÍ7-T250 ) IP,C(IM, IP")FQRHATÍ20X. 'PROBLEMA INVERSIÓN MATRIZ G ',/, 20 X ,' ELEMENTO

1 ',12.' s= ' .E13. 5, 2X, 'REVISAR 0 ATOS . E JECUCI ON CANCELADA',CALL EXITWP. ITE { 3. 260 ) IPTC< IM, IP1FnRMATÍ20X, PROBLEMA INVERSIÓN MATRIZ R l ,/. 20X .* ELEMENTO

1 '.I?.,1 = ', E13. 5. 2X. 'REVISAR D ATOS . E JECUC I ON CANCELADA»,CALL EXITWR ITE( 3,270 ) IP^Ct t M , IP)FORMATÍ 20X . «PROBLEMA INVERSIÓN MATRIZ M *,/, 20 X e ' ELEMENTO

1 ',12.' = • .E13. 3, 2X. -REVISAR DATOS . EJECUC 1 ON CANCELADA',CALL EXÍTWR ITE( 3. 280 ) IP ,C( IM, IP)FORM4TÍ20X . 'PROBLEMA INVERSIÓN MATRIZ P * s / - 20 X •, « ELEMENTO

1 'tI2t' = •, El J .5, 2X« 'REVISAR D ATOS , E JECUC t ON CANCELADA',CALL EXITIFtIM.EO.IPJGO TO 90rMTERCASBIO DE FILAS A LA POSICIÓN DEL ELEMENTO PIVQTDO 80 J= TP.N1CL~CÍ IP'. j )CÍIP,JI— C(IM,JÍCt IM, J)=CLENCUENTRA LA CONSTANTE DE MULTIPLICACIÓN Y PONE C(I»I)=1

TIME

•

.-

,

•

DIAGONAL/)

DI AGONAL/í

DIAGONAL/)

DI AGONAL/ )

DIAGONAL/)

DIAGONAL/)

DI AGONAL/}

DI AGONAL/J

312

)OS FORTRAN TV 36ON-FO-479 3-8 INVERT DATE 16/07/80

OOGO 90 CL = C( IP, IP)0061 Cí IP» IP) = 1 .0 •

C DIVIDE LOS ELEMENTOS 06 UNA FILA POR EL ELEMENTO PIVOT0062 • 00 100 J=IST»Nl "OOG3 100 C( IP,J )=Ct IP.J)/CL

C HACE CEROS LOS ELEMENTOS DE LA COLUMNA DEL ELEMENTO PtVOTooea DO iao r = i.K0065 r F { I . E O . I P l < 3 0 T a i 2 00066 IP 1=IPfl " ' . '0067 CL~CtI,IPÍ0068 CIT«IP)=Q.O ' "0069 DO 110 J=IP1,N10070 1 Í O C Í I » J Í = C C I » J í-CL*Ct IP . J) .-0071. 130 CONTINUÉ • .0072 130 CONTINUÉ

C CARGA LA MATRIZ INVERSA EN X '0073 • M-N+10074 DO 140 I - l . N0075 DO 140 J=M,Ml0076 K=J-M0077 1 4 0 X Í I . K ) = C Í I , J )0078 RETURN • . .0079 END

113

XJS FORTRAN IV 360N-FQ-479 3-E INVAT DATE 18/07X80 T I M E

000 I

000200030004

00050006000700080009001 O001 I001200130014001500160017

0018

00190020002100320023002400250026002700280029

00300031

00320033

0034003500360037

00380039

0040004-1

004200430044004S0046 .0047004600490050

OO51005200530054005S00560057

Cx=N =

(NXN)

SUBROUTINE INVATtA .X ,N) .INVERSIÓN DE LA MATRIZ A T C 3 0 , 3 0 )A= M A T R I Z DE ENTRADA ÍNXN)

INVERSA DE LA M A T R I Z AORDEN DE LA MATRIZ A

C- MATRIZ A U X I L I A R HX12N)EPS= LIMITE OE TOLERANCIADIÍ45NS ION A t 3 0 , 3 0 ) , X ( 3 0 , 3 0 ) . C C 3 0 . 6 0 »DATA EPS/1,OE-6/

SE C A R G A LA MATRIZ A Y SE CONSTRUYE LA MATRIZ IDENTIDADTF ÍN .EO.O IRETURNDO 10 1-1,NDO 10 J=l,N . '

10 C( I.J) = A l I , J > . ' . .DO 30 I~l,N . * 'DO 30 J=1,NIFt I .EO aj >GO TQ 20 s

GO TO 30*20 K—J-í-N

C( I. K 1=1 .0- . . •30 CONTINUÉ

C INVERSIÓN DE LA MATRIZOO 130 IP=!,N

C ENCUENTRA EL ELEMENTO PIVOT EN LA COLUMNA IPt M= I P

4050

IFt IP .G£.N)GO TO 50'DO 40 I=IST.NA D N = A 3 S ( C t I M » I P ) )A P M = A 8 S ( C t I , IP MI F Í A P N - G E . A P M ) G O TO 40

CONTINUÉAPN=ABStC Í T M , IP ) )IFÍ APN. GE-EP5 ).GO TO 70J

ELEMENTO DIAGONAL BANDERA CERCANO A CEROW R I T E t 3 , 6 0 ) I P , C ( I M , I P )

'PROBLEMA INVERSIÓN MATRIZ AT* ' , / , 20X ,'ELEMENTO DIAGONAL'REVISAR OATOSoEJECUCION CANCELADA'./}

70C

80C

90

C

100C "

1 101 20130

C

TO 90FILAS A LA POSICIÓN DEL ELEMENTO PIVOT

í r O R M A T C 2 0 X ,1 * , 12, ' = ' ,E1CALL EX1T1F{ IM.EO. IP íGOINTERCAM8[O DE00 80 J=IP,N1CU=C(IP,J)Cí 10,J)=Ct IM,J í -Cí IM, J )=CLENCUENTRA LA CONSTANTE DE MULTIPLICACIÓN Y PONE C(I.I)=1CL=CCIP»IP)Cí IP, I " ) -1.ODIVIDE LOS ELEMENTOS DE UNA FILA POR EL ELEMENTO PIVOTDO 100 J=IST,NlC t IP » J ) —C t I f3 , J ) /CLHACE CEROS LOS ELEMENTOS DE LA COLUMNA DEL ELEMENTO PIVOTDO 120 1^1,NI F ( I . E O . I P J G O TO 120IPI=IP+iCL=CII.IP)C ( t , I P ) = 0 . 0 -DO 1 10 J = í Pl-, NICí I , J ) = CÍ I ,J)-CL*CÍIP.J íCONTINUÉCONTINUÉCARGA LA MATRIZ INVERSA EN X ' •

DD I 40 1-1,NDO 140 J=M,NlK=J-N

140 X t I . K)=sCl I. J)RETURN

" END

lllf

IOS FORTRAN IV 360N-FO-

0001

00020003 '0004 '000500060007oooa00090010 -001100120 0 1 300140 0 1 5001600170 0 1 80019

0020002100220023 .0024002500260027002800290030003100320033 "0034 .0035003600370038003900400041

00420943004400450 0 4 60047ODA- e •004900500051005200530054

SUBÍ1 DEE'2T, 0

C SUfilC-: DE 1C VT-C IL-C KCT-C T- 'C DX-c — — Air-rC DIN"C KFT-CC XES"C EECcC EEAfC

• C EETCC EEDIC 'C FNEf~

DIf!D i VID I Me

• D I MíD I |.ÍED I MII NT!INTÍREA!DATJDOM=0DOM=M-N= 1K-2L=3IFCl

I FUÑÍ100 CCJ NI

GO "110 Uí I

GO "1 20 Uí I

GO ':

130 U( IGO 1

140 IFÍIUí íGn •

150 U C I160 CON"

DO ;M=0DOM = M-N=lK= 2L— 3IND=T F ( F

1 FUÑÍL70 CON"

GO 1180 UC If

GO '190 Uí 11

GO 1200 Ut lí

GO '. 21 0 IF{.

Uí líGQ '

220 Uí II230 CON!

ECUAC DATE 18X07^80 T I M E

T I ME ECUACfVT» EEC. EF.AN , EEDE . EET, FNE ,KCT, DEEC, DEEAN.DEEDE.1 DEET, DFNE. IL» J JC , J JAN» J JO E i J JT* FNJ , D J JC , O J J AN » D J JDE » O J JT , DFN J -,

1NT, B IN~UKFT,XEST1tNA PARA CONSTRUCCIÓN Y EVALUACIÓN

LAS ECUACIONES DIFERENCIALESNUMERO OE FUENTES DE VOLTAJENUMERO DE FUENTES DE CORRIENTENUMERO DE ECUACIONES DIFERENCIALES EVARIABLES DE ESTADO!

T IEM»QVALOR DE LA DERIVADA DE X CON RESPECTO AL TIEMPO T- MATRIZ A CE LA ECUACIÓN DE ESTADO- MATRIZ H DE LA ECUACIÓN DE ESTADONUMERO TOTAL DE FUENTES DE VOLTAJE Y CORRIENTE,CON sus RESPECTIVAS DERIVADAS- ARREGLO QUE CONTIENE A LAS VARIABLES DE ESTADO

EECtJJC, DEEC, DJJC- VALOPES CONSTANTES DE LAS FUENTES DE VOLTAJE' Y CORRIENTE Y SUS RESPECTIVAS DERIVADAS

EEAN. JJAN.DEEAN.DJJAN- VALORES DE W=2*PI*F DE LAS FUENTES DEVOLTAJE Y CORRIENTE CON SUS DERIVADAS

EET* JJT, DEET, DJJT- FUNCIÓN DEL TIEMPO ÍT) OE LAS FUENTES DEVOLTAJE- Y CORRIENTE Y SUS DERIVADAS

EEDE.JJDE* DEEDE.DJJDE- VALORES EN RAO, DEL ÁNGULO DE DEFASAMIENTGDF, LAS FUENTES DE VOLTAJE Y CORRIENTE Y SUS DERIVADAS

FNE.FNJ ,DFNE, DFNJ- FUNCIOMF.S TRIGONOMÉTRICAS MAS USUALES. (SIN,COS,EXP)

NSlON EECC20) , FEANC 20 ) .EEDEC20Í , DHECt 20 í , DEEANE 20 ) .DEEDEÍ20 )NSIÓN DJJC í 20) , DJJANÍ 2O) .DJJDEÍ20)NSIÓN U(?.0) » A(20) *3{ 20 )

DIMENSIÓN JJCÍ20) , JJ AN(20) , JJDEÍ 20 )ENSIÓN AI NT (2 0.20) ,R!NTÍ20,20)ENSIÓN DXI 20 ) . XFSTÍ 20tF.GER VT, EETÍ 20 ! »FN£C 20 , 4 ) .DEETf 20) .DFNEC20.4) , FN J ( 20 * 4 }EGER JJTC20) .DJJTC20} , OFN JÍ20.4) -FUNC3.3) ,FUT /L JJC.J JAN »J JDEA !=UN/' S« * « C » ,tE*,'I«,*0- » * X * .«N'.'S'.'P'160 1=1 , VT

100 J=l ,3 • • ' _

IFCFNEÍ T* Ni -EO .FUÑÍ J,N) ,AND, FNE( I , K) ,EQ . FUN ( J , K ) . AND . FNE C I »L) .EQF U N C J i D I C O TO ( 110, 120*130) »HCONTINUÉGO TO 140Uí I)=EECC I ) *S INCEEANC I) *T-t-EEDE( I J lGO TO 160Uí I )=EEC;i J *CQStEEANÍ I) *T^EEDEÍ 1) )GO TO 160U( I)=EEC( t l ^EXPCEEANt I)*7)GO TO 160 ' . •IFÍ EET{ I ) .EQ.FUTJGO TQ 150Uí I )=EECl I ) -GO TQ 150 • 'UC I)=EECÍ I) *TCONTINUÉ . ,DO 230 1=1 . IL

T F t F N J C I - N) ,EC.FUN( J, N!- . ANO. FNJ ( I , K } .EQ.FUNt J,K) . AND . FN J CI * Uí . EQFUN't J tLÍ ÍGO TO f 1 80» 1 90,200) ,MCONTINUÉGO TO 210UC IND)~JJCt I ) *S IN(JJAN[ r)*T*-JJDE( I) 1

230Uí IND) = JJCÍ I J^COSÍ JJANt lt *TtJJDE( I ) )GO TO 230Ut IND >=JJCC I i*EXPt JJ ANt U *T)GO TO 230IFC JJTC I ) .EO.FUTJGO TO 220Uí IND)=J'JC( I )GQ TO 230Uí IND ) = JJCÍ I )*T

115

IOS FORTRAN IV 360N-FO-479 3-0 ECUAC DATE 18/07/80 TIME

005500560057005800590060006100630063

006400550066'0067006R00690070007 10072007300740075O 0760077007800700080OOñlooa?.0033003A-0085

00360037oona008900900 0 9 10092009300940095OOQ6009700980099O 1000 1 0101 0201030 1 0 40105010601 07o íos0109O L I O01 1 1

DO 300 1=1 , VTM=0 .DO 240 J=l,3 •'M=[>+1N=lK=2l_=3I N O = I + V T - M LIFÍDFNEÍ I,N) .EQ.FUHC J rN) . AND.OFN=Í l ,K ) ,EQ,FUNCJ ,K ) . AND.DFNEl I , l_ )

IcO.FUNt J » l _ > )GQ TO ( 2 5 0 T 2 6 0 » 2 7 0 ) , M240 CONTINUE

GQ TQ 2QO250 U( IND)=DEEC( I»*S IN(DEEAN( I ) *T+OEEDECI»

GO TO 300260 U( rND)=DEECC I í *COS(DEEAN( I )*TH-DEEDECI > >

GQ TO 300270 U C INO) = DEECÍ I í *EXPÍDE-ANI I) *T )

GO TO 300200 rF íDEETC I ) .EQ.FUTJGO TO 290

Uí IND Í=OEECCI)GO TO 300

290 UIIND)=OEECII>*T300 CONTINUÉ

DO 370 1=1, ILH = C ' •DO 310 J=l,3W.= M V 1 "N=lK=2

IND=I*[ 2*VT) + t1_ ' '•' 'IFtDFNJ í I , N) .EO.FUNf J .N) «• AND.DFNJÍ I . K ) .EQ .FUN C J t K í . AN'D.DFNJt I ,L )

1 SO . FU N Í J t D J G O T O 1320,33 0 ,340) , M310 CONTINUÉ

GO TO 350320 u; INO)=OJJC c t )*SIN;DJJANÍ r Í * T + D J J D E E t ) )

GO TO 370330 U{IND)=DJJC(I)*CaS(DJJAN(I)+T+DJJDEÍI)}

GO TO 370340 U{rNO)=DJJCÍI)*EXP;DJJANÍI)*T)

GO TO 370350 IFOJJTÍ I ) . EQ.FUT1GO TO 360 • '

Uí IN'D )=OJJC( I )GO TO 370

360 U C IND)=DJJCCI I*T . .370 CONTINUÉ • •

OO 400 J=l.KCTA C J ) = 0 . 0

400 B[ J )=0.0DO A 10 1 = 1 ,KCTnn 4 io J= I»KCT

410 Aí I ) = A C I )+A INT( I, J)*XEST(J)DO 4?.0 1=1, KCTDO 420 J=l .KFT

420 ñí M=BC I í +-ETMTÍ I . J)*Uf J >DO 430 1=1,KCT

430 DXf I ) = A C r í+9( I )RETURNEND

11.6

>OS FORTRAN

0001

00020003000400050006.000700060009001000110012001300140015001 60017001 80019 '00200021002200330024002500X50027'00280029003000310032003300340035003600370038003900400041004200430 0 4 4004500460047004800490050005100520053005400550056

IV 360N-FO-479 3-8 GRAFY DATE 1S/07/80

c ----

10

29

98

20

30

31

3250

70

80

85

8690

95

L O O

SU3.P.OUTINE G R A F Y t V T , V Y , N P * I N V )P R O G R A M A P A R A G Í Í A F T Z A R FUNCIONES EN BASE A COORDENADASvr- VARIACIÓN EN EL EJE DEL TIEMPOVY- V A R I A C I Ó N EN EL EJE YN°- NUMERO DE PUNTOS P A R A GRAFIZACIONINV- N'E'-IEPO DE VARIABLES DE ESTADOOI^-ENSION V T Í 1 0 1 ) o V Y Í 1 0 1 } ,NGR(5 l ,101) .S13(51) .T IM{ Í0>INTEGER BLANC,RHOR,RVER.PUNT,ASTDATA B L A N C i R H O R * R V E R s P U N T , A S T / ' • v ' - ' . « I1 » • . * , » * ' /V T M A X = V T t 1 )V Y H A X = V Y ( 1 1 'VT/-ÍIN=VT; i) .V Y M I N - V Y Í 1 )DO 10 1 = 2 , N PI FCVT Í I ) » G T « V T M A X ) V T M A X = V T Í I>T F C V T C I ) . L T - V T M I N ) V T M I N = V T { I )IFÍ V Y ( I ) ,GT . V Y M A X ) V Y Í / A X = V Y Í I )I F ( V Y ( I ) . L T , V Y M I N ) V Y M I N = V Y t I > • • •CONTINUÉI F ( V Y M I N . G T . O . 0 ) V Y M t N = 0 . 0 ' 'DT=VTUAX-VTMIND Y = V Y M A X — V Y M I NET=DT/100.0 - •

DO 29 r=í ,10'S I S ( 1 Í = V Y M A X * . 'D O 9 8 I = 1 , S OJ= I + lS I S Í J ) = V Y M A X - E Y * F L O A T Í I )DO 20 1=1,101DO 20 J=l,51N G R C J » t ) = B L A N C0 0 3 0 1 = 1 . 5 1 , 1 0DO 30 J=l » I 01 " •• 'NGRI I * J Í=RHOR . 'DO 31 1 = 1. 1 01 , I ODO 3 I J=l ,51M G R [ J , I ) = R V E RT F Í V T U I H . G T . O . 0 ) G O TO 50DO 32 1=1,51N G R f I . I í = P U N TWEY=Í 50» 0 * V Y M A X ) / O Y 4 - 1 .5DO 70 1=1,101N G R C N S Y * I } = P U N T00 80 1 = 1 , N PNVT-Í VTÍ I t -VT MI N 1*100 .0/DTM .5NVY=-{ V Y Í T 1 -VYMAX ¡ *"Sü . OxDY-(-1 .5N G R r N V Y , N V T ) = A S TCONTINUÉW R I T E C 3 . 8 5 ) I N VF O R M A T Í 1 H 1 T 2 5 X , ' G R Á F I C O DE.DO 86 1=1,51V;R I T E C 3 . 9 0 } s is t r ) , ÍKGP.Í t ,K)FQR'-IATÍ SX. E i 0 . 3 * 2 X , f 01 Al )WR I TE ( 3 , 95 ! ( T I ,V { I ) , I = 1 , 9 * 2 1F O R M A T C 1 7 X , • \ * 1 0 ( 9 X , s j D ),/,17

.WR 1TEC 3, 100 } { T I W ( I I -, 1 = 2 . 1 O » 2)FORMATÍ 17X , • | ' , 1 4X * E 1 O. 3 , 4-í 1 O XRETURNEN O

LA VARIABLE DE ESTADO X' ; I2,/ / / (

,X=l,101)

E10,3) )

CAPITULO SEXTO

EJEMPLOS DE APLIG AGÍ Olf UTILIZAMPO,

EL PROGRAMA DE TÉCNICAS DE VARIABLES, PE_

ESTADO

117

En este capitulo se analizarán ejemplos; de aplicación utili-

zando variables de estado para redes lineales invariantes en el -

tiempo. Se seguirá paso a apaso el proceso analítico para luego

comparar los resultado con los obtenidos usaudo el programa. Se -

obtendrá primeramente la ecuación de estado X(t) = A X(.t) + B U(t)

para luego encontrar la solución de la forma

t

,A(t-tJB= 6 X +o

El programa hace el proceso analítico hasta deducir la ecuación, de

estado, y luego aplica el Método de Runge-Kutta coa el objeto de

hallar la solución para cada variable de estado.

6.1 EJEMPLO 1, - APLICACIÓN DEL MÉTODO PARA UNA KSP GENERAL '

Considerar la red mostrada en la Fig:. 6.1. Se han- escogido valo-

res arbitrarios a los elementos.

1.23H

lOt

I.05F Fi£» 6.31

Escogemos un árbol normal, de acuerdo a la definición. 3«6-1.

este árbol debe contener a todas las fuentes de voltaje, ninguna

cte las fuentes de corriente, tantos como capacitores sea posible,

y tan pocas como inductancias sea posible. Numeramos los brazos -

de acuerdo a lo establecido en el PASO 1 de la sección 3»6-2 de-

formulación de Variables de estado para redes generales-.

118

La red considerada tiene N+l= 7 nudos y B= 10 brazos. El árbol es-

cogido tendré N= 6 brazos de árbol y B-N= ¿f enlaces de árbol.. Es-

cogemos un sentido arbitrario de la corrientes que circula por la

red. Según el gráfico de la FÍ£» 6.2, directamente las variables

de estado a escogerse son los voltajes capacitivos de brazos de -

árbol y la corriente de inductancia die brazo de enlace, esto es

Fig. 6.2

n3&W3" "3 O "6 V 6

De acuerdo a la teoría de topología de redes, denotamos los arre-

glos de corte fundamentales por c-, C-,.,.., c¿ (hay 6 brasos de

árbol,serán 6 arreglos de corte fundacieiitales)

c.'1 \

6*3

El vector Toltaje y el vector corriente de ramas correspondientes

a la red en estudio de acuerdo a la partición topológica de redes

generales (3.6-1) y (3*6-2) ee

Ti : : i i T r

vi¡ V2 v:

1319

H-•[= .]La matriz:

b

' ! ! • ! i ide arreglos de corte fundamentales de la red es

1"l

0

0

0

0

0

2

0

1

0

0

0

0

30

0

10

' 0

0

matriz

^0

0

0

1 .

0

0

i de

•50

0

0

0

1

0

ntldad

6

0

0

0

0

0

1

7-1

-1

1

0

0

0

8

0

1

0

0

0

0

9

0

0

0

-1

1

-1

ciatri' 2

TÍO

0

1

0

0

-11

0 J

F

'3

4 <-6

Partiendo la submatriz F de acuerdo a (3*6-3)

F =

F , "F F 1 í FYÍ~1

F 1 F F ^ F .es I cr el ci

F F F , F _

F 1 F F -, F.

—

"-1 t 0 r 0 j 0 "

- 1 ) 1 " O l í

1 1 11 0 ' 0 | 0_ j —

0 | 0 ' -1 1 0

0 ! 0 I 1. 1 -11 11 i 1

0 I 0 1 -1 | 0

puesto que el número de elementos de la res es;

TF=I, e=2, g=l, 2^=2, s=l, r=l, 1=1, 1=1 » y como se escogió un

árbol normal y como se definió previamente Frt =0> F, = O, F.._= Ogs - ^

De la figura 6»2 conseguimos inmediatamente las matrices:

C =c O

o

c.

' 0.01 O

O 0.05Br =

M56

65

0.3 -0.76

-0.76 0.7

0.54O

o cs ,

Aplicando (3-5-33) y (3.5-34) se obtiene

-1 TG = G + F E F~^g gr r gr

-R = R + F G^ F^r . gr g gr

G = :—= fo.ll-K, U J

4

R = Rn =

Ademas todas las matrices H definidas en (3*5-36) a

reemplazando los datos resultan inmediatamente? ;

. r-0.02 O'

H = - Fca crT1cr

LO O

H _ = - F . + Fel el cr

>T G-4£l

_•/ TH = - F R Fcir cr vr

Ggr g gl

. "[-10]

O

O

O

O

T fp —Á -.A TH., = F . - F , G F R FIv -vrl gl gr r vr

H , = - F . + Fci ci cr

gl

T

-Q F

Si

gr g: gi

t»j- 1

O

F R Fgr r cr

— -í— -Se calcula las matrices auxiliares M y P

T -4M a I + F C F Ces s es c

siendo

= I -

M"0.1712?

0.82873

0.16574

0,83^25

I2L

Por tanto las matrices A y B invariantes en el tiempo de la ecua-

ción de estado para redes generales dadas en. (3,6-44) resultan

A =

""-0

-0

-

—0

0

0

•342541436 0

•331491713 0

0 0

-17.12707182

-16.57458564

0

0

p-3.74531835^

-0.828729270 0

0.165745845 0

0 0.194756554_

B =

Tenemos la ecuación de estado

donde X(t) =r

¿X(t) = A X(t-) + B U(t)

"v1 "±10

|l

10 1"

t10

la solución del vector de estado X(t) que viene dada por

X( t ) =.0^ —

B

donde se ha escogido como condiciones iniciales

" O

X(tQ) = 1

1*5

X(t) =

-121.774 ( £ * -1 ) - 50t

1 + 4xlO~8. -~ - 38.709.t - 117.84599 ( 6-0.3425

0.052 -t- 1.448.-3.7453

122

Evaluando el vector de estado X ( t ) para un intervalo de tiempo

( O a 5 seg. ) se tiene la siguierrte tabla de resultados.

t

0

0.51.0

1.52.0

2.5

3.0

3.54.0

4*55.0

xl

0

-5.83194-14.68106

-26.07244-39.605900-54.944270-71.803445-89-944038-109.164347-129.294418-150.191047

x2

1

0.194894-3.53006-9.71526

-17.97345-27.97832-39.45494•-52.17165-65.9332V'-80.57524-95.95907

X3

1.50.274578

0*0862135--0.0572591060.0528084000.0521242630.0520191010.052002936

0.052000451-

0.052000069

0.052000011

Los datos de entrada al programa- correspondientes a este ej,emrpl.o

se detallan a continuación y cuya manera de utilización se ex- -

pucará en el capítulo siguiente. Los resultados obtenidos al ~

usar el programa también se adjuntan.

En. este ejemplo, los resultados obtenidos analíticamente son. los

mismos que al usar el programa, como se puede verificar»

Con el ejemplo anterior se ha comprobado la valides de apli-

cación del método numérico de solución, para la ecuación de estado

(método de Runge-Kutta)» pues sus resultados son satisfactorios»

Al resolver analíticamente, el principal problema radica en

encontrar la solución de la ecuación de estado^ según la compleji-

dad de las matrices A' y B. Primeramente se tiene dificultad ea en-

contrar la matriz de transición ^ , y en segundo lugar influye

notoriamente el vector de 'entrada TJ( t ) , segím la complejidad dé-

las fuentes»

ÍNJ H

V,

Zl

OL

- - - u 1

1

- ,sL-

I:

- ™- -

- - -

£/

_ _

_

„

- :— - - -

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- -

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Si

Oí

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( (-_-

- -- _-

- 0'

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+ - - •4- -

1 - _L1 ! - •*-

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\K

- --

1 - L -

0 0

_ . 1 1 _ -

- 0 0 -

__ - -t ~ __ 1-

3 e 0 3 3 3 0 5 1 0 Q

0 0 t z 5 1 L L Z e 0 0

• 0 f 0 0 ' 0 0 ó 0 0 0

1 L T -^ 0 0 1 0 0 1 L 0

s i 0 z 0 0 9 0 0 L 9 T

_ - - 5

- - V

2 Z L 9 S V £ Z e ñ_ - - sIC

til

¿

- F 9 9 - ~ ñ c H £1

0 6 S L L 9 "Z s ^ c ~ L \* - _ 0 ul 13'0 0 0 0 L Q

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IKlO

VlI

VJ

> 3

12/f

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONALFACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

TÉCNICAS DE VARIABLES DE ESTADO APLICADAS ALANÁLISIS DE REDES INVARIANTES EN EL TIEMPO

PROGRAMA TSECH **EDVfIN CHAVEZ ESTEVEZ**EJECUCIÓN POR:

** USUARIO **

DATOS DE MUESTREO

T I E M P O I N I C I A L = 0.0TIEMPO FINAL = 0.500E 01 SEG.NUMERO DE PUNTOS PARA LOS GRÁFICOS = 1 0 1

DATOS DE LA RED

NUDOS = ~T BRAZOS = 10

TIPO BRAZO NUDCH NUD02 CONDICIÓN VALORAR3OL

E I 3

DERIVADA

C

C

R

L

2

3

4

5

Z

3

4-

5

INIC. Tf 0)

1

DE LA

0

0

6

0

FUENTE

•o. o

0.1 OOE 01

0 «0

0.0

0. I OOE 02 (0.0

0. IOOE 02 0.0

0, 100E-01

0.500E-01

C. IOOE 02

0.300E 00

T*( 0.0

0.0

M L2 0.760E 00LA CORRIENTE ENTRA AL PUNTO DE LA INDUCTANCIA L 1 DEL BRAZOQUE ESTA ACOPLADA CON LA INDUCTANCIA L 2 DE BRAZO DE ÁRBOL

M 1 1 0.540E 00LA CORRIENTE ENTRA AL PUNTO .DE LA INDUCTANCIA L 1 DEL BRAZO

, " QUE ESTA ACOPLADA CON LA INDUCTAKCIA L í DE ENLACE DE ÁRBOL

U 6 6 O - 0.0- 0.700E 00

M 21 . 0.760E 00L*. CORRÉENTE SALE DEL PUNTO DE LA INDUCTANCIA L 2 DEL ERAZO

• QUE ESTA ACOPLADA CON LA INDUCTANCIA L 1 DE 0RAZO DE ÁRBOL

TIPO BRAZO HUD01 NUDO2 CONDICIÓN VALORENLACE INIC. TtO)

C 7 1 2 0 . 0 0. 150E 01 '. ' ' '

R . 8 2 0 0 . 0 Q.500E 0 2

U 9 5 ' 4 0.150E 01 0.123E 01

M i l 0.54-Qe 00LA CORRIENTE ENTRA AL PUNTO DE LA INDUCTANCIA L 1 DEL ERAZOQUE ESTA ACOPLADA CON LA INDUCTANCIA L 1 DE BRAZO DE ÁRBOL

J .10 2 5 ' O . l O O E ' O l ( 0 . 0 T-K 0.0

DERIVADA DE LA FUENTE 0.100E 01 0.0 0.0

MATRIZ CC

0*010 0.00*0 d.oso

MATRIZ GG

O . 10O

-4'

125

MATRIZ LBT.

O . 3 0 0 -O-760-O .760 '0.700

MATRIZ MTL

0.5*0O. O

MATRIZ MLT

0.54-0 0.0

M A T R I Z CS

1 .500

MATRIZ RR

50 .000

MATRIZ UL

1 .230

MATRIZ DE INCIDENCIA

1.0 0-0 00.0 I . 0 01*0 0 ,0 10.0 0 . 0 - 0o » o o.o a0.0 0.0 0

0 00 00 00 10 00 -1

0 00 00 00 00 10 0

0 0.0 10 0 . 0 - 10 0.0 00 Q o O 00 0*0 00 1.0 0

0 00 10 00 00 00 0

0 0.0 0 .00 0.0 1,00 0.0 0,0a -i .0 o.o0 1.0-1.00 0 ,0 0.0

MATRIZ DE ARREGLOS DE CORTE FUNDAMENTALES QF

1.0 0 . 0 0 .0 00.0 1.0 0.0 0O.O 0.0 1.0 00-0 0 .0 0.0 10.0 0.0 0.0 00.0 0 . 0 0 .0 0

0 00 00 00 0Ó 10 0

0 0-0 -10 0.0 -I0 0.0 10 0.0 0o o .o c0 1 . 0 0

0 00 10 00 00 00' 0,

0 00 '00 00 -10 10 -1

0 0 .00 1.00 0 .00 0 .00 -1 .00 0.0

MATRIZ HCC

-O ..020O .0

0.00.0

0.0O .0

MATRIZ H1_L

-10 .000

MATRIZ HCV

O .0O .0

MATRIZ HLV

O .0

MATRIZ. HCI

-1 .000O .0

MATRIZ HLt

0.0

MATRIZ' H1_C

0 .0 0.0

* <-\6

ECUACIÓN DE ESTADO

NOTACIÓN GENERAL ., DX A*X(T)1-B*U(T)

DONDE :X(T) = VECTOR DE ESTADODX = DERIVADA DEL VECTOR DE ESTADOA Y B MATRICES INVARIANTES EN EL TIEMPOUíT} = VECTOR ENTRADA

CRUENTES INDEPENDIENTES DE VOLTAJE Y CORRIENTE)

VECTOR DE ESTADO X(T) ^ -

X 1 =• VC 2 (VOLTAJE EN EL CONDENSADOR 2 DE BRAZO DE ÁRBOL)

X. 2 = VC 3 (VOLTAJE EN EL CONDENSADOR 3 DE BRAZO DE ÁRBOL.»

X 3 = IL 9 (CORRIENTE EN LA INDUCTANCIA 9 OE ENLACE DE ÁRBOL)\ . " •

VECTOR OE ENTRADA U(T1

U 1 - EEE 1 tFUENTE DE VOLTAJE 1 DE BRAZO DE AREQLÍ

.U 2. = JJ10 (FUENTE DE CORRIENTE 10 OE ENLACE' DE ÁRBOL)

U 3 - DE£ 1 íDERIVADA DE LA FUENTE DE VOLTAJE II

U * = DJJ10 (DERIVADA DE LA FUENTE DE CORRIENTE 10}

MATRIZ A DE LA ECUACIÓN DE ESTADO

-0.343 0.0-O ,331 0. O0.0 . O, O

0.00.0-3.745

MATRIZ B DE LA ECUACIÓN DE ESTADO

0.0 -17.127 -0.829 0.00.0 -16,574 0.166 0.00.0 0.0 0 - 0 O.195

O.A70Ro»o.O» 48SEC,490SO0.500E

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E

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0

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C)E

0

1

H

1-31

Se ha tratado el mismo ejemplo anterior sin los acoplamientos

inductivos. Como se observa, para la obtención de la ecuación de

estado no interviene el vector de entrada IJ(~t) , por tanto se cam-

biará con ot-ro tipo de fuentes para su ejecución en eül programa.,

qu_e repetimos, dificulta notoriam-eirte para encontrar la solución

de la ecuación de estado»

Al no existir acoplamientos inductivos, quiere decir que

Mjo. = O y M, = O y la matriz Lesera solo de inductancias pro-

L^ 0

0 L6=

"0.3 o

0 0.7

Se obtienen los mismos resultados que el caso" anterior, únicamente

varían las matrices A y B, siendo

A =

-0.3¿f25¿fl¿f36 O

-0.33Hf91713 O

O ' o

O

O

TI

O

O

O

-1?. 1270718a -0.828729270 O

O

O O

Los datos de ingreso para este caso, de igual maniera se presentan.

adjuntos a los resultados al usar el programa»

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133

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONALFACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

TÉCNICAS DE VARIABLES DE ESTADO APLICADAS AL.ANÁLISIS DE REDES INVARIANTES EN EL TIEMPO

PROGRAMA TSECK **EDWIN CHAVEZ ESTEVEZ**EJECUCIÓN POR:

** USUARIO **

DATOS DE MUESTREO '

TIEMPO INICIAL = 0.0 SEG.'•TIEMPO FINAL = "0.500E 01 SEG.

NUMERO DE PUNTOS PARA LOS GRÁFICOS = 101

DATOS DE LA RED ' .

NUDOS = 7 fiRAZOS = 1 0 .

TIPO BRAZO NUD01 NUDO2 CONDICIÓN VALORÁRBOL INIC. TI 0)

V.

E 1 3 .1' 0.500E 01 COSÍ O,37TE 03 T+( O.IOSE 01))

DERIVADA DE LA FUENTE ' -0.1B8E O* SINT 0.377E 03 Tí-t 0.105E Oí))

c

c

R

U

L

TIPO

C

R

L

J

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3

4

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6

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8

9

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5

6

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1

2"

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2

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0

6

0

0

NUD02

2

0

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5

0.

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0.

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01

010.100E 01 SINt O. 377E 03 T-K O. i O SE" 01 >)

DERIVADA DE LA FUENTE 0.377E 03 CO S C 0-377S 03 T + C O. IOSE 0 1 » )

MATRIZ CC

0. 0 1 0 0 . O0 . 0 - O. OSO

MATRIZ GG

O . 100

MATRIZ L8T

0.300 O.'O0.0 0.700

MATRIZ MTL

0.00.0 .

•Sf

MATRIZ MLT

0.0 0.0

MATRIZ CS

. .1-*500 . . .

MATRIZ RR

50.000

MATRIZ LU

1 . 23 O

MATRIZ DE INCIDENCIA

1.0 0 .0 00 .0 1. 0 01.0 0.0 !0 .0 0 . 0 00.0 0 . 0 00.0 0 .0 0

0 00 00 00 10 00 - 1

0 00 00 00 00 10 0

0 0.0 I0 0 . 0 - 10 0.0 00 O.O 00 0 .0 00 1.0 0

0 0.0 00 1.0 00 0 .0 00 0 . 0 - 10 0 .0 10 0,0 0

0 00 10 00 00 -1

,0 0

MATRIZ DE ARREGLOS DE CORTE FUNDAMENTALES OF

1 . 00 .00. 00.00. 00. 0

010000

000000

0. 00- 01.00.00.00.0

0.00. 00, Q1 .00 .00 .0

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0 00 00 0

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-1 0

0.01. 00. 00.0

-1 .00. 0

MATRIZ HCC

-O .020O .0

O. O0.0

MATRIZ HCL

0.0• O .0

MATRIZ HLL

-10.000

MATRIZ HCV

O .0O .0

MATRIZ HLV

0.0

M A T R I Z HCI

-1 .000O .0

MATRIZ HL.I

0,0

MATRIZ HLC

0.0 0,0

-ar

135

ECUACIÓN DE ESTADO ' • _•

NOTACIÓN GENERAL ,' D X - A*X (T ) + 8* U ( T)

- DONDE :XÍTI = VECTOR DE ESTADODX = DERIVADA DEL VECTOR DE ESTADOA Y B MATRICES INVARIANTES EN EL TIEMPOU(T) = VECTOR ENTR'ADA

• [FUENTES INDEPENDIENTES DE VOLTAJE Y CORRIENTE)

VECTOR DE ESTADO X(T)

X I - VC 2 [VOLTAJE EN EL CONDENSADOR 2 DE BRAZO DE ÁRBOL)

X a = VC 3 (VOLTAJE EN EL CONDENSADOR 3 DE BRAZO OE ÁRBOL»

X 3 = IL 9' (CORRIENTE EN LA 1NDUCTANCIA 9 DE ENLACE OE ÁRBOL) i

VECTOR DE ENTRADA UTT)• " '

U 1 = EE 1 (FUENTE DE VOLTAJE 1 DE BRAZO DE ÁRBOL)

U'2 = JJ10 [FUENTE DE CORRIENTE 10 t>E ENLACE OE AREOL)

U 3 = DEE i (DERIVADA DE LA FUENTE DE VOLTAJE 1)

U 4 = D^JJIO í DERIVADA DE LA FUENTE DE CORRIENTE 10»

' MATRIZ A DE LA ECUACIÓN DE ESTADO

-O.343 0.O 0.0 '-O .331 0 . 0 0 . 0 . —0.0 0,0 -4.45-1-

MATRIZ B OE LA ECUACIÓN DE ESTADO

o.o -iT.127 -o.aag' o .o0.0 -16.574 0 . 1 6 6 0 . 0O.0 0 .0 0 .0 0.135

TI EMPO0.0.o.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0,0»0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.o.0,0.0.0.0.0.0.0 c-0.0,0.0.0.0*0.0.0.0.0.0.0*0-0.0..0.0.0,0 .0.a.0.0,0.0 .0.0 .0.0.0.0.0*0.0.0,0.0.0.0.o.0.0.0.0.0.0,0.Q.o.0.Q.0.

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1

6.2 EJEMPLO 2»- APLICACIÓN BEL MÉTODO PARA TOA RED PROPIA

Considerar la red mostrada em la figura 6,.2-1» S~ean todos los ele

mentos invariantes en el tiempo y no cero para todo t o.

R L R

D i20

^5 ' -> —

• J V O Q ' J

0.5H

— 2F -—»— __

¿t

- 3F (:

~A,\ _

•P\t

10sen(500U30°)Puesto que la red no tiene lazos capacitivos únicos ni arreglos de

corte inductivos únicos, escogemos un árbol propio que seguní su de-

finición debe contener a todas las fuentes de. voltaje, todos los ¿¿

capacitores, pero ninguna inductanda ni fuentes d'e corriente.

a.2

"1 "" vl ^5 Fig» 6.2-2

La red considerada tiene N-í-1 = 7 nudos y B= 10 brazos^ El. árfco3L

propio escogido tendrá N=6 brazos de árbol y B-fc ¿i- enlaces de «

árbol. Escogemos un sentido arbitrario de la corriente que cir-

cula y marcamos los brazos de acuerdo al procedimiento dado es e3L

PAS'O 1 de la formulación de variables cié estado de redes propias.

De acuerdo a la topología de redes, denotamos los arreglos de cor-

te fundamentales por c , c ,...», c¿3 (hay 6 braaos de árbo!3 co-

rresponderán 6 arreglos de corte fundamentales), y los lazos fíat»

damentales por 1^, 1 ? »«.» . , 1,( habrán ¿f lazos fundamentales como -

•enlaces de árbol existen)

c.

10

De acuerdo al árbol propio escogido, tomamos como variables de es-

tado a ser los voltajes capacitivos de brazos de árbol % las co-

X(t) = V

El vector voltaje de rama y el vector corriente, de? rama correspondí

dientes a la red en estudio y de acuerdo a la partición topológLca

de redes propias es;

Í violi -Í

r i 11 10

T

T

Por coneiguien.te ^ a 2,- c = 2, g. = 2, r = 2, 1 = 1 9 i

luego la matriz de arreglos de corte fundamentales ee;

bl b2 b3 b4 b5 b6 b? b8 b'

10

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0

-1 _

La submatriz F partida será

0142

F =

H1 i T-P 1 T?t i p '

T¡i 1 "R1 1 Tí1

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De la fig. 6*2-2 conseguimos inmediatamente;

R. =

G =

C =

H?

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Rr

O

4

20

O

0.1 O

o o.;— 1

2 O

O 3 Ll =Aplicando (3*5-33) 7 (3«5-3¿f) se obtieíte;

-.G = a + F E Fg gr r gr

—R = R + F G Fr gr g gr

0.35 O

O 4.0-t

25 O

O 14

Con todos estos resultados se pueden, calcular Hías matrices R

definidas en (3«5-36) a (3*5-43) y que -Cieñen, a ser;

Hce

Hel

-0.04

O

-í

1

O

-0.0714286

H.11 - [o]

143-0.04

HCV s=

O -0.0714286

[O O] Hci0.2

O

E.le

Usando todos estos resultados se obtiene finalmente;

X(t) = A X(t) + B U(t)

-0.02 O .

O -0.023Q095

2 -2

-0.5

0.333

0

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•0.02 O

O -0.0236095

O O

'"a0.3L

O

O •10

Las matrices obtenidas analíticamente, eoncuerdan. con las del

programa. La solución de esta ecuación por el método analítico,

teniendo como vector de entrada las fuentes de dato anotadas,, pre-

sentan dificultad en su obtención. El programa nos ahorra bas.tan-

te trabajo al encontrar directamente la solución de la ecuación

de estado. •

A continuación se adjuntan los datos usados para usar el pro-

grama, cuya utilización se detalla en el siguiente capitulo. Ade-

más seguidamente se presentan los resultados obtenidos en el pro-

grama con los datos de este ejempltfj»

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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONALFACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

TÉCNICAS DE VARIABLES DE ESTADO APLICADAS ALANÁLISIS DE REDES INVARIANTES EN EL TIEMPO

PROGRAMA TSECHEJECUCIÓN POR:

**EDWIN CHAVEZ ESTEVEZ**

** USUARIO. **

DATOS DE MUESTREO

TIEMPO INICIAL 0.0 SEG.TIEMPO FINAL = 0.500E 01 SEG.NUMERO DE PUNTOS PARA LOS GRÁFICOS = 101

DATOS DE LA RED

NUDOS = 7 BRAZOS = 10

TIPO BRAZO NUD01 NUD02 CONDICIÓN VALORÁRBOL í C * T t O )

1 0 1

DERIVADA DE LA FUENTE

O. IOOE 02 SINC 0.500C 03 T4-( O .524E 00 í J

O . S O O E 04 COSÍ 0 .500E 03 T-t-t 0.524-E 0 0 ) )

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MATRIZ CC

2.000O . O

O .03» 000 JL

MATRIZ GG

O .100O .0

O .0O . 200

MATRIZ RR

20 .000O .0

O .04. 000

MATRIZ LL

0.500 '

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MATRIZ DE INCIDENCIA

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0 .0-1.0

0, 00. 01.00 . 0

0 .00. 01 »00. 00. 00.0

0 .00 -00 .01 .00 .00.0

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MATRIZ DE ARREGLOS DE CORTE FUNDAMENTALES OF

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0.0 0 0 0 .0 0 0 0 . 0o

0.00. O0. Oo. o1.0

0-0 -1*00.0 0.00.0 -1.00.0 0.00,0 0 .0

0.0 0.01,0 0.00.0 1.01.0 — 1 . 01.0 0.0

0.00.00.0o.o0.0

1 .0 1.0 0.0 0 . 0 — 1 . 0

MATRIZ HCC

-O .0400.0

O .0-O .071

MATRIZ HCL

-1 .0001 .000

MATRIZ HLL

0.0 '

MATRIZ HCV

-0.04-0 O. O0.0 .' -O. 071

MATRIZ HLV

0.0 0.0

MATRIZ HCI

0 .2000.0

MATRIZ HLI

0.0

MATRIZ HLC

1 .000 -1.000

147

ECUACIÓN DE ESTADO

NOTACIÓN GENERAL ....... DX = A*XCT J -*-8*Uf TI

DONDE : ' • 'X ( T ) ~ VECTOR DE ESTADODX = DERIVADA DEL VECTOR DE ESTADOA Y B MATRICES INVARIANTES EN EL TIEMPOU C T J ~ VECTOR ENTRADA

tFUENTES INDEPENDIENTES DE VOLTAJE Y CORRIENTE)

VECTOR DE ESTADO X(TI

X 1 = VC 3 (VOLTAJE EN EL CONDENSADOR 3 DE BRAZO DE ARSOL)

X 2. =. VC 4. (VOLTAJE EN EL CONDENSADOR * DE BRAZO DE ÁRBOL)

X 3 1= IL 9 (CORRIENTE EN LA INDUCTANCIA 9 DE ENLACE DE ÁRBOL)

VECTOR DE ENTRADA UÍT) •

U I ~ EE I (FUENTE DE VOLTAJE .! DE BRAZO DE ÁRBOL)

U 2 = EE 2 (FUEWTH DE VOLTAJE 2 DE BRAZO DE ÁRBOL)

U 3 = JJ10 (FUENTE DE CORRIENTE 10 DE ENLACE DE 'ARBOL)

U 4 = DEE 1 (DERIVADA DE LA FUENTE DE VOLTAJE 1)

. U S = DEE 2 (DERIVADA DE LA FUENTE DE VOLTAJE 2) -

U 6 = DJJIO (DERIVADA.DE LA FUENTE DE CORRIENTE 10»

MATRIZ A DE LA ECUACIÓN DE ESTADO

-0.020 O , O -0,5000.0 — 0 . 0 2 A 0.3332 ^ 0 0 0 -?.-. 000 -0.0

MATRIZ B' DE LA ECUACIÓN DE ESTADO - . . . .

-0 .020 0 .0 0 . 1 0 0 O o O 0 .0 0 . 0 - . •0.0 -O,024 0.0 0.0 0 ,0 0.00.0 - 0 . 0 0.0 0,0 O .O . 0 . 0

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J O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O Ot M I I i I I I i I I I I I I I I I

CAPITULO SÉPTIMO

MANUAL DE US O DEL PROGRAMA

isa

El programa TSECH es un programa de computador, diseñado

para proveer al usuario la información necesaria para el análi-

sis de redes lineales invariantes en el tiempo utilizando el cri-

terio de variableu de estado»

El programa TSECH esta capacitado para hacer el estudio de

una red que contenga un número maxiino de 31 nudos (incluido el nu-

do de referencia) y 50 ramas o brazos. Cada brazo debe contener •-

un solo elemento, a ser fuentes independientes de voltaje; o co-

rriente, resistencias, capacitores e inductancias, pero no una -

combinación de estos. Esta previsto para una red que contenga -

hasta 10 fuentes independientes, sean de voltaje o corriente,

Escoge automáticamente hasta un. número máximo de 20 variables de

estado, a ser los voltajes en capacitores de brazos de árbo31 y, -

corrientes en inductaneias de ramas de enlace de un árbol escogido.

Para utilizar el programa, el usuario deberá suministrar -

cierta información al computador, efectuando la entrada de datos -

mediante el uso de tarjetas IBM de 80 columnas. Esta información

deberá ser obtenida de acuerdo al siguiente procedimiento:

Si se tiene una red, se deberá analizar si tiene lazos ca-

pacitivos únicos y arreglos de corte inductivos únicos» segúm -

las definiciones (3.2-1) y (3.2-2), resultado de lo cual, la red

será propia o general»

De igual manera, según el tipo de red^ se escoge un árbol

propio o normal de acuerdo a las definiciones (3-5-2) y (3«6~1)

153

respectivamente. Como resultado la red.en consideración, si es -

propia, va a tener un árbol que contiene a todas las fuentes de -

voltaje, todos los capacitores y posiblemente algunas resistencias

pero no inductancias ni fuentes de corriente/ Si la red es general,

tiene un árbol con todas las fuenvtes de volta¿es nigurta de las -

fuentes de corriente, tantos como capacitores sea posible y tan.

pocas como inductancias sea posible»

Si la red contiene JT+1 nudos y B brazos, el árbol escogido

de la red sea propio o normal, tendrá N brazos de árbol y B-N en-

laces de árbol o cuerdas.

Numeramos todos loe brazos de la red en el orden indicador

en el PASO 1 de (3*5-3) o (3*6-2) de formulación de variables de

estado para redes propias y redes generales respectivamente»

En la red, tomamos un nudo de referencia (tierra) y lo de-

notamos con el numero O. A continuación se numerarán todos los -'

nudos de acuerdo a los brazos que correspondan, empezando por -

aquellos que están unidos al de referencia por su respectivo bra-

zo» Seguidamente establecer una dirección arbitraria a la corrien-

te que circula por todas las ramas de la red y tendrán el numero

correspondiente a la rama. Con- esta irtfornLación obtenida estamos

ep_ capacidad de suministrar los datos al programa.

• La nomenclatura usada para declarar el tipo de elemento de

la red' considerada se detalla mediante:

E - fuente de voltaje

C - Capacitor

R - Resistencia

L - Inductancia propia

M - Inductaneia Mutua .

J - fuente de corriente.

Se consideran 3 tarjetas iniciales^ cuyo contenido es el

siguiente:

.TARJETA 1

En las columnas 1 a 20 poner el nom.bre del usuario o cualquier

otra información»

TARJETA 2

Esta tarjeta contiene el tiempo inicial (columnas 1 a Xo) $ tiem-

po final de muestreo (columnas 11 a 20). Se usará el formato FULO»O

TARJETA 3

Número total de nudos de la red, incluyendo el nudo cero de refe-

rencia (columnas 1 y 2. Formato 12).

Numero total de ramas de la red (columnas 3 y k* Formata 12).

A continuación cendran el resto de tarjetas. Cada una de ellas -

tendrá los datos de 1 elemento de la red9 de acuerdo al orden de

los elementos pre-establecido, j con las siguientes especificacio»

nes de campo:

- Tipo de elemento: E > C, S, L, J o M según, cual elemento sea.

(columnas 1 y 2. Formato A2) .

- Número del brazo en el cual está ubicado el elemento»

(columnas 3,¿f y 5. Formato 13).

- Nudo del que parte la corriente (columnas 6} 7 y 8. Formato 13)

155

- Nudo al que llega la corriente (columnas 9,310 y H-. Formato 13)

- Valor del elemento (columnas 12 a 21. Formato FIO.O).

Para los capacitores de brazos de árbol e inductartcias de enlaces

de árbol, cuyos voltajes y corrientes serán tomados como variables

de estado por el programa, necesitan especificarse sus condiciones

iniciales al tiempo t (columnas 56 a 65» Formato FlO*0)•

Si es que una fuente de voltaje o corriente es una función depen-

diente del tiempo, sea trigonométrica o exponencial, en una manera

generalizada puede expresarse como;

- A een(wt+($).)

A cos(wt+(0))

cuyo valor constante A>O irá en el campo especificado anteriormen-

te como valor del elemento'(columnas 12 a 23U Formato F£0»0)

El tipo de función que corresponda al elemento deberá ir en la

siguiente forma: SIHí( , COS( , EXP( , (columnas 26 a 29» Formato A¿f)

Si es que la función no es ninguna de las anotadas, de¿ar el espar-

ció respectivo en blanco.

El valor de w a multiplicarse por el tiempo t ('columnas. 30 a 39»

Formato F10.0)* La columna ¿fO es un espacio en blanco, pero se pue-

de poner el signo de multiplicación x para una me¿or interpretación

del usuario.

En la columna ¿fl deberá ir explícitamente la letra T (si es que

es función del tiempo t).

Las columnas ¿f2 y ¿f3 se asigna para detallar los signos +(

en Formato A2.

156

Valor de $ en radianes (columnas kk a 53* Formato FlQ«0)

Las columnas 5¿f y 55 se asigna para especificar los signos ))

si es que es necesario.

A continuación de cada tarjeta que contenga los datos de una fueía-

te de voltaje o corriente deberá, ir obligadamente una tarjeta que

contenga los datos de la derivada de la fuente, con los mismos -

campos asignados para lectura de datos de la fuente respectiv-a»

Para las derivadas de laa^fuentes ya no es necesario especificar

el tipo de elemento.

Si es que la red en consideración tiene acoplamientos inductivos,

se debe seguir el procedimiento que se explica para proporcionar

los datos de información al programa:

Numerar implicitamente .todas las inductancias> de acuerdo al orden,

ya establecido, empezando desde el número 1 hasta el número de intr-

ductancias existentes dentro de. un mismo grupo (brazos cíe árbol, o

enlaces de árbol)•

Para cada tarjeta de datos de una inductancia de brazo o de enlace

de árbol, ademas de informar el brazo de Iocalizaci6n y los nudos,

se debe especificar en las columnas 2.2, y 23 (Formato 12) el numero

de acoplamientos que tiene esa inductancia' con otras dentro de un

mismo grupo, y en las columnas. 2¿f y £5 (Formato 12), el número de

acoplamientos que tiene esa inductanícia con otras inductamcias

que pertenecen al otro grupo»

Seguidamente irán tantas tarjetas como acoplamientos tenga dentro

del mismo grupo la inductaacia respectiva, con las siguientes espe-

cificaciones:

Tipo de elemento (Inductancia Mutua - M - )-.

(columnas 1 y 2 . Formato A2)

Valor de la inductancia mutua.- (columnas 3 a 12 . Formato F3LO»0)

Numero de la inductancia con la que esta acoplada «- (columnas

13 y 1¿(- • Formato 12)

En la columna 15 deberá especificarse la letra M E " 6 " S " ,

según la corriente entre o salga al punto de referencia que tiene

la inductancia que está siendo detallada en ese m.om.ento.

Luego irán tantas tarjetas como acoplamientos tenga esa inductaní-

cia con otra pertenecientes al otro grupo, con las mismas especifi-

caciones ya indicadas»

El procedimiento se realiza para cada inductancia que tenga acopla-

miento, y las que no tengan acoplamiento no se regirán al criterio

explicado anteriormente»

Para los datos que Tan con Formato I, los números deberán ajustar-

se al lado derecho del campo, Para el Formato FlLOoO, los datos irán,

en cualquier posición dentro del campo establecido*

Para una mejor interpretación del procedimiento de información al

programa, se pueden ver los datos de entrada para los eiemplos -

analizados en el capítulo aniterior.

158

RECOMENDACIONES S INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS

En cuanto a las recomendaciones, las unidades con las que se tra -

bajan son: para voltajes en general, voltios; para las corrientes,

amperios; para resistencias en ohmios, para los condensadores: en -«

faradios, para las bobinas en henrios; y. el tiempo en segundos.

En cuanito a los resultados, éstos son claros por si solos» -

ya que se listan los datos de ingreso, se calculan las distintas -

nat rices intermedias y finalmente las matrices A y B de la ecuación

de estado; una evaluación del vector de estado y su correspondiente

grafización. Las unidades del gráfico estárn de acuerdo a las reco-

mendaciones hechas anteriormente.

Respecto al tiempo de muestreOj es decir el tiempo que se e-

valuan las variables de estado, el programa presenta dos posibili-*

dades de uso: un. intervalo desde un tiempo inicial t = O hasta un

tiempo cualquiera, como en el caso de los ejemplos realizados ; die

O a 5 seg., o si se quiere un intercalo dif"erente» por ejemplo de

5 a 10 seg. En el primer caso, el eje de variación en el sentido Y

aparecerá al tiempo igual a cero, mientras que en el segundo caso

no aparecerá el eje Y. Se presenta esta alternativa por cuanto se-

puede realizar diferentes intervalos de muestreo y unir luego sus

correspondientes gráficos.

En lo que se refiere a la graflzación de las variables ea £un-

ción del tiempo, el programa ha sido acondicionado para que pue.da-

llenar completamente el gráfico, sin. importar que los valores de »

159

las funciones sean muy pequeños o grandes, facilitando de esta m.a-

ñera la vieualizaciÓn de dichas funciones, $ por consiguiente el -

comportamiento de los elementos de la red. en consideración para un

intervalo de tiempo deseado.

CAPITULO OCTAVO

C O N C L U S I Ó N ' E S

160

Resumiendo el contenido del presente trábalo, se ha h-echo un

análisis teórico y una aplicación sistemática acerca de una pequeña

parte de lo que abarca el campo de variables de estado, en este ca-

so la formulación directa de las variables de. es.tada1 de una red li-

neal e invariante en el tiempo*

El trabajo realizado sobre técnicas de variables de estado ha

sido hecho con el propósito de tener una herramienta de fS.6il uso

para comprobación de resultados conseguidos en la práctica. El usua-

rio para utilizar el programa no necesita profundizarse en los cono-

cimientos teóricos acerca de variables de estado., socamente hacer —

uso del programa y obtener los resultados deseados.

Como se ha indicado anteriormente, ei programa nos ahorra -

bastante trabajo analítico, por cuanto a aprtlr de los datos de la

red construye la ecuación de estado y evalúa el sistema de ecua-

ciones diferenciales resultantes para obtener las- soluciones res-

pectivas, que de hecho en la practica demanda mucho esfuerzo para

redes de mediana o gran escala.

Se puede indicar que el método de construcción del sistema de

ecuaciones diferenciales a partir de las matrices A y B y U(t) y .su

respectiva evaluación por el Método de Ruc.g.e-Ku'tta nos demanida un

tiempo efe ejecución del computador bastante elevado (alrededor de

200 seg) ya que se ha escogido un\o de tiempo muy pequeño-.

h = (TFIN-TIN)AOOO * pero este inconveniente se recompensa al mi-

nimizar los errores de cálculo9 entregando los resultados com bas-

tante precisión y confiabilldad»

161

Dentro del campo de variables de estado., la aplicación es- -

grande, por lo que el presente trabaj,o es considerado minimo. Se

sugiere como alcances a esta tesis, tratar sobre formulación de

variables de estado de redes lineales que TrajdlaJí en el tiempo. En«

este caso la ecuación de estado serai de la forma X(t) = A(t)x(t) +

B(t)U(t), pero su desarrollo analítico es similar al descrito an-

teriormente. Otro caso de análisis será la formulación de varia-

bles de estado para redes no lineales. Por tanto quedará, como un.

trabajo pendiente completar el campo de análisis de las. variables

de estado»

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162

B I B L I O G R A F Í A

1.- PEIKARI5 BEHROUZ

11 Fundamentáis of ííotwork analysis and syrtthesie n

Preatice-Hall5 Eléctrica! Engine eriag; Series

2»- E, S. KUH 8r R. A* ROHRER

" Tiie state-variable aproacb to Network Analysis !l

Proceedings of the IEEE , Julio 196-5

3.- JENSEN & WATKINS

;| Netv/ork Analysis, theory and computer me¡tlioda »

Prentice-Hall, Eléctrica! Engimeering; Series

if.- DERUSSO, ROY, & GLOSE

" State Variables for Engiáeers rt

5.- B. D0 McCRAKSN & W. S» DORN

" Métodos Numéricos y Programación Fortran "

6.- MOSQUERA CARLOS - .

" Métodos Ntiméricos de simulación lineal en el dominio ¿eli

tiempo para circuitos RLC" ". Tesis de Grad'o»