ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL - Repositorio Digital...

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

FACULTAD DE CIENCIAS

PROCESOS DE LÉVY Y ALGUNAS APLICACIONES EN LAS

FINANZAS

TRABAJO PREVIO A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE INGENIEROMATEMÁTICO

PROYECTO DE INVESTIGACIÓN

DANIEL ALEJANDRO AYALA LÓ[email protected]

Director: DR. LUIS ALCIDES HORNA [email protected]

QUITO, MARZO 2017

DECLARACIÓN

Yo DANIEL ALEJANDRO AYALA LÓPEZ, declaro bajo juramento que el traba-jo aquí escrito es de mi autoría; que no ha sido previamente presentado para ningúngrado o calificación profesional; y que he consultado las referencias bibliográficas quese incluyen en este documento.

A través de la presente declaración cedo mis derechos de propiedad intelectual, co-rrespondientes a este trabajo, a la Escuela Politécnica Nacional, según lo establecidopor la Ley de Propiedad Intelectual, por su reglamento y por la normatividad institu-cional vigente.

Daniel Alejandro Ayala López

CERTIFICACIÓN

Certifico que el presente trabajo fue desarrollado por DANIEL ALEJANDRO AYA-

LA LÓPEZ, bajo mi supervisión.

Dr. Luis Alcides Horna HuaracaDirector del Proyecto

AGRADECIMIENTOS

A mi familia por su cariño y apoyo incondicional.

Al Dr. Luis Horna por sus consejos y sugerencias al realizar este proyecto.

A los profesores de la Facultad de Ciencias por compartir sus conocimientos.

A mis amigos de la universidad y a todos quienes estuvieron pendientes del progreso

de este trabajo.

DEDICATORIAA mi familia, les quiero mucho.

Índice de contenido

Índice de figuras iii

Índice de tablas vi

Índice de códigos vii

Notación viii

Resumen ix

Abstract x

1. Preliminares 1

1.1. Procesos Estocásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Proceso de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2. Proceso de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3. Proceso de Poisson compensado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.4. Proceso de Poisson compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.5. Medida aleatoria de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2. Finanzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.1. Definiciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.2. Modelos financieros, precios de activos . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Procesos de Lévy 24

2.1. Distribuciones infinitamente divisibles y la representación de

Lévy-Khintchine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2. Ejemplos de procesos de Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

i

2.3. Descomposición de Lévy-Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4. Propiedades de las trayectorias de los procesos de Lévy . . . . . . . . . 33

2.5. Propiedades distribucionales de los procesos de Lévy . . . . . . . . . . 37

2.6. Procesos estables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.7. Procesos de Lévy y martingalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3. Simulación de Procesos de Lévy 42

3.1. Proceso de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2. Proceso de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3. Proceso de Poisson compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.4. Proceso de Lévy salto-difusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.5. Proceso de Lévy α-estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4. Aplicaciones en las Finanzas 67

4.1. Modelos basados en procesos de Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.1.1. Modelo de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.1.2. Modelo de Merton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.1.3. Modelo de Kou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2. Aplicaciones prácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2.1. JPMorgan Chase & Co. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2.2. Corporación Favorita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Conclusiones 84

Recomendaciones 86

Referencias 87

A. Algunas definiciones de Teoría de la medida 89

B. Función característica, momentos y cumulantes 92

C. Modelo de series temporales 94

D. Datos para los modelos financieros 99

ii

Índice de figuras

1.1. Cinco trayectorias simuladas del precio de un activo con el modelo de Louis

Bachelier, ecuación (1.12). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2. Distribución del logaritmo de los retornos de JPM vs. distribución normal. . 16

1.3. Distribuciones del logaritmo de los retornos simulados por el modelo de Black-

Scholes vs. distribución normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4. Evolución diaria del precio de las acciones de JPM vs. evoluciones diarias

simuladas con el modelo de Black-Scholes (2013-2016). . . . . . . . . . . . . 19


simuladas con el modelo de Black-Scholes (2013). . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6. Logaritmo de los retornos de las acciones de JPM. . . . . . . . . . . . . . . 21

1.7. Logaritmo de los retornos de la primera simulación utilizando el modelo de

Black-Scholes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.8. Logaritmo de los retornos de la segunda simulación utilizando el modelo de

Black-Scholes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.9. Logaritmo de los retornos de la tercera simulación utilizando el modelo de

Black-Scholes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.10. Logaritmo de los retornos de la cuarta simulación utilizando el modelo de

Black-Scholes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.11. Logaritmo de los retornos de la quinta simulación utilizando el modelo de

Black-Scholes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1. Trayectoria simulada de un proceso de Wiener en el intervalo [0, 2]. . . . . . 29

2.2. Trayectoria simulada de un proceso de Poisson con parámetro λ = 4 en el

intervalo [0, 8]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3. Trayectoria simulada de un proceso de Poisson compuesto con parámetro λ =

10 en el intervalo [0, 10]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1. Trayectorias de procesos de Wiener en el intervalo [0, 1]. . . . . . . . . . . . 45

iii

3.2. Trayectorias de procesos de Poisson con parámetro λ = 20, λ = 10 y λ = 5

en el intervalo [0, 1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3. Trayectorias de procesos de Poisson compensados con parámetros λ = 100,

λ = 50 y λ = 25 en el intervalo [0, 1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.4. Trayectorias de procesos de Poisson compuesto con parámetros λ = 100, λ =

50 y λ = 25 en el intervalo [0, 1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.5. Trayectorias de procesos de Lévy salto-difusión con parámetros (γ = 0, σ2 = 1

y λ = 20), (γ = 2, σ2 = 4 y λ = 10) y (γ = 4, σ2 = 1 y λ = 5) en el intervalo

[0, 1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.6. Proceso de Lévy α-estable con parámetros α = 0,5, σ = 2, β = 1 y µ = 4 en

el intervalo [0, 1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.7. Trayectoria de un procesos de Lévy α-estable con distribución S0,4(1;−1; 1). 60

3.8. Trayectoria de un procesos de Lévy α-estable con distribución S1,6(1; 0,5; 1). 61

3.9. Trayectoria de un procesos de Lévy α-estable con distribución S2(1;−0,5; 1). 62

3.10. Trayectoria de un procesos de Lévy α-estable simétrico con distribución

S0,4(1, 0, 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64


S1,7(1, 0, 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65


S2(1, 0, 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66


simuladas por procesos de Levy α-estables (2013-2016). . . . . . . . . . . . 71

4.2. Distribuciones del logaritmo de los retornos simulados por procesos de Lévy

α-estables vs distribución normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.3. Logaritmo de los retornos con la primera simulación de un modelo basado en

un proceso de Lévy α-estable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.4. Logaritmo de los retornos con la segunda simulación de un modelo basado en


4.5. Logaritmo de los retornos con la tercera simulación de un modelo basado en


4.6. Logaritmo de los retornos con la cuarta simulación de un modelo basado en


4.7. Logaritmo de los retornos con la quinta simulación de un modelo basado en


iv

4.8. Comparación entre la serie real y las predicciones del precio de las acciones

de JPMorgan Chase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.9. Evolución diaria del precio de las acciones de la Corporación Favorita. . . . . 77

4.10. Logaritmo de los retornos del precio de las acciones de la Corporación Favorita. 78

4.11. Distribución del logaritmo de los retornos de la Corporación Favorita vs. dis-

tribución normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.12. Evolución diaria del precio de las acciones de la Corporación Favorita vs.

evoluciones diarias simuladas por procesos de Levy α-estables. . . . . . . . . 80

4.13. Distribuciones del logaritmo de los retornos de la Corporación Favorita simu-

ladas por procesos de Lévy α-estables vs. distribución normal. . . . . . . . . 81

4.14. Distribuciones del logaritmo de los retornos de la Corporación Favorita simu-

ladas por procesos de Lévy α-estables vs. distribución normal. . . . . . . . . 81

4.15. Evolución diaria del precio de las acciones de la Corporación Favorita vs.

evoluciones diarias simuladas por procesos de Levy α-estables. . . . . . . . . 82

4.16. Comparación entre la serie real y las predicciones del precio de las acciones

de la Corporación Favorita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

C.1. Prueba de Dickey-Fuller para la serie de precios de JPM. . . . . . . . . . . 95

C.2. Prueba de Dickey-Fuller para la serie de precios de JPM con una diferenciación

no estacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

C.3. Información estadística del modelo GARCH(2, 1) de JPM. . . . . . . . . . 97

v

Índice de tablas

1.1. Precios de un activo financiero con σ2 = 1 simulado cinco veces con el

modelo de Louis Bachelier, ecuación (1.12). . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2. Prueba de normalidad del logaritmo de los rendimientos de JPM vs.

prueba de normalidad de los logaritmos de los rendimientos simulados

por el modelo de Black-Scholes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1. Tiempos de ocurrencia de eventos raros de tres procesos de Poisson con pará-

metros λ = 20, λ = 10 y λ = 5, respectivamente, en el intervalo [0, 1] . . . . 46

3.2. Tiempos de ocurrencia de sucesos raros de tres procesos de Lévy salto-difusión

con parámetros (γ = 0, σ2 = 1 y λ = 20), (γ = 2, σ2 = 4 y λ = 10) y (γ = 4,

σ2 = 1 y λ = 5) en el intervalo [0, 1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.1. Parámetros estimados por máxima verosimilitud del precio de cierre de

las acciones de JPM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.2. Predicciones del precio de JPM del mes de julio de 2016 empleando pro-

cesos de Lévy α-estables y un modelo GARCH(2, 1) de series temporales. 75

4.3. Parámetros estimados por máxima verosimilitud del precio de cierre de

las acciones de la Corporación Favorita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.4. Parámetros estimados del precio de cierre de las acciones de la Corpo-

ración Favorita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.5. Predicciones del precio de la Corporación Favorita del mes de julio de

2016 empleando procesos de Lévy α-estables. . . . . . . . . . . . . . . . 83

C.1. Predicciones del precio de JPM del mes de julio de 2016 con un modelo

GARCH(2, 1) de series temporales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

D.1. Datos de JPMorgan Chase & Co. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

D.2. Datos de la Corporación Favorita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

vi

Índice de códigos

3.1. Proceso de Wiener. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2. Proceso de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3. Proceso de Poisson compensado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.4. Proceso de Poisson compuesto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.5. Proceso de Lévy salto-difusión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.6. Proceso de Lévy α-estable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.7. Proceso de Lévy α-estable simétrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

vii

Notación

Rd Espacio de dimensión d de números reales.

R+ Espacio de los números reales positivos.

N Espacio de los números naturales.

C Espacio de los números complejos.

# Número de.

lıms→t− Xs Límite cuando s tiende a t por la izquierda de Xs.

lıms→t+ Xs Límite cuando s tiende a t por la derecha de Xs.

P(X = a) Probabilidad de que la variable aleatoriaX tome el valor

a.

E[X ] Esperanza matemática de la variable aleatoria X.

E[X|F ] Esperanza de la variable aleatoria X condicionada por

la filtración F .

Var(X) Varianza de la variable aleatoria X.

i.i.d. Independientes e igualmente distribuidos.

〈x, y〉 = ∑di=1 xiyi Producto escalar del vector x con el vector y.

x ∧ y = mınx, y Mínimo entre x y y.

1A(x) =

1 si x ∈ A,

0 si x /∈ A.Función indicatriz de x en el conjunto A.

N (µ, σ2) Distribución normal con media µ y varianza σ2.

exp(λ) Distribución exponencial con parámetro λ.

Poi(λ) Distribución de Poisson con parámetro λ.

U(a, b) Distribución uniforme en el intervalo [a, b].

sgn(x) =

1 si x > 0,

0 si x = 0,

−1 si x < 0.

Función signo de x,

Γ(z) =∫∞

0xz−1e−xdx Función gamma de z.

C∞(R) Espacio de las funciones continuamente diferenciables en

R.

viii

Resumen

Desde 1900 con Louis Bachelier, los precios de activos financieros han sido modela-

dos principalmente por procesos de Wiener. En las últimas décadas, se han observado

dificultades en las propiedades estadísticas de los rendimientos de los activos pues es-

tos no provienen de una distribución normal como se creía, debido a que presentan

alta curtosis, colas pesadas, entre otras que, generalmente, son causadas por el cambio

brusco (saltos) en el precio de los activos. Por este motivo, en este trabajo se presenta

una introducción a los procesos de Lévy que son una clase extensa de procesos estocás-

ticos con incrementos independientes y estacionarios provistos de la propiedad cádlág,

con distribuciones infinitamente divisibles y que presentan otras propiedades genéricas

que permiten modelar de mejor manera a los precios de los activos financieros, ya que

nos permiten representar los saltos tanto en sus trayectorias como en sus distribuciones.

El trabajo consiste de cuatro capítulos. En el primer capítulo se inicia estudiando

las principales definiciones y propiedades de los procesos estocásticos y finalmente se

abordan las dificultades que tienen los procesos de Wiener al modelar precios de ac-

tivos financieros. En el segundo capítulo se resumen definiciones y propiedades de los

procesos de Lévy. En el tercer capítulo se realizan simulaciones de algunos procesos

de Lévy con en el software estadístico R. Finalmente, en el cuarto capítulo se presen-

tan algunos modelos basados en procesos de Lévy utilizados en finanzas y se simulan

precios de activos con datos provenientes de la bolsa de valores de Nueva York (NYSE).

Todo esto con el fin de observar las propiedades y utilidad de los procesos de Lévy

en las finanzas.

ix

Abstract

Asset prices have been modeled mainly by Wiener processes since 1900. In recent

years, many works have observed difficulties in the statistical properties of the asset

returns because it does not come from a normal distribution as believed, due to the high

kurtosis and heavy tails, which generally are caused by sudden changes (jumps) of the

asset prices. Therefore, this work presents an introduction to Lévy processes which are

a class of stochastic processes provided with independent and stationary increments,

the cádlág property, infinitely divisible distributions and other generic properties which

allow a better modeling of the assets prices, because they can represent the pathwise

jumps of assets prices and their distributions.

x

Capítulo 1

Preliminares

En este capítulo se presenta una introducción al estudio de los procesos de Lévy.

Iniciamos dedicando una sección a los procesos estocásticos con algunas definiciones,

ejemplos y propiedades. Finalmente, en la segunda sección se relatan algunos problemas

que presenta un modelo clásico en finanzas para calcular el precio de activos financie-

ros. Estos resultados nos permitirán desarrollar y tener una mejor comprensión de los

siguientes capítulos.

Este capítulo toma como principales referencias a [1], [2] y [3].

1.1. Procesos Estocásticos

Los procesos estocásticos son herramientas matemáticas que juegan un papel im-

portante en varios campos como la ingeniería, física, economía, entre otros, debido

a que nos ayudan a comprender y modelar el comportamiento aleatorio de diversos

fenómenos que se presentan en la naturaleza. A continuación se presenta su definición.

Definición 1.1 (Proceso estocástico). Un proceso estocástico es una familia de varia-

bles aleatorias Xt : t ≥ 0 definidas en un espacio de probabilidad1 (Ω,F ,P).

Ya que el posible precio de las acciones de una empresa que cotiza en bolsa es

incierto pues este depende de factores económicos, sociales, entre otros, los precios de

las acciones de dicha empresa en un tiempo determinado (un minuto, un día, un mes,

un año y demás) corresponden un ejemplo de proceso estocástico.

Algunas definiciones que representan propiedades importantes y que las utilizaremos

en el siguiente capítulo, se verán a continuación. Para ello, tomemos X = Xt : t ≥ 0un proceso estocástico definido en el espacio de probabilidad (Ω,F ,P).

1Ver la Definición A.7 del anexo A.

1

Definición 1.2 (Incrementos independientes). El proceso estocástico X tiene incre-

mentos independientes si para todo n ∈ N y toda colección t0, t1, . . . , tn tal que 0 ≤ t0 <

t1 < · · · < tn, los incrementos Xt0 , Xt1 −Xt0 , Xt2 −Xt1 , . . . , Xtn −Xtn−1 son variables

aleatorias independientes.

Esta propiedad nos dice que los desplazamientos que presenta el proceso estocástico

X en intervalos disjuntos de tiempo son independientes unos de otros.

Definición 1.3 (Incrementos estacionarios). El proceso estocástico X tiene incremen-

tos estacionarios si para todo 0 ≤ s < t, el incremento Xt − Xs tiene la misma

distribución que Xt−s.

Es decir, la distribución del incremento Xt − Xs del proceso estocástico X en el

intervalo de tiempo t − s, depende únicamente de la longitud de dicho intervalo y no

de su valor en s y t.

Definición 1.4 (Continuidad en probabilidad). El proceso estocástico X es continuo

en probabilidad (o continuo estocásticamente) si para todo t ≥ 0 y ǫ > 0,

lıms→t

P(|Xs −Xt| > ǫ) = 0.

En otras palabras, el proceso estocástico X es continuo en probabilidad si para todo

t ≥ 0, Xs converge en probabilidad a Xt. Es decir, a medida que t se acerca a s, Xt se

acercará al valor de Xs con mayor probabilidad.

Definición 1.5 (Trayectorias de un proceso estocástico). Las funciones

Xt(ω) : R+ −→ R

t 7−→ Xt(ω),

con ω ∈ Ω, se llaman trayectorias del proceso estocástico X.

A lo largo de este trabajo se representarán a las trayectorias mediante gráficos

bidimensionales, en donde el eje de las abscisas estará representada por un intervalo de

tiempo de 0 a t y el eje de las ordenadas por los valores que toma el proceso estocástico

X en ese intervalo de tiempo.

Definición 1.6 (Función càdlàg). Una función f : [0, T ] → R se dice càdlàg si es

continua a la derecha con límites a la izquierda. Es decir; si para todo t ∈ [0, T ], los

límites

f(t−) = lımx→t−

f(x) y f(t+) = lımx→t+

f(x)

existen, y

f(t) = f(t+).

2

De la definición anterior es importante notar que, además de que cualquier función

continua es càdlàg, estás pueden tener discontinuidades que las llamaremos “saltos de

f en t” y las denotaremos por

∇f = f(t)− f(t−).

donde t es un punto de discontinuidad de la función f .

Definición 1.7 (Proceso estocástico càdlàg). El proceso estocástico X se dice que tiene

la propiedad càdlàg (o simplemente càdlàg) si sus trayectorias son funciones càdlàg.

Esta propiedad que presentan algunos procesos estocásticos es muy importante ya

que nos permitirá, en los siguientes capítulos, representar eventos imprevistos que se

presentan principalmente en las finanzas. Un ejemplo puede ser la caída abrupta del

precio de una acción en la bolsa de valores en un determinado instante de tiempo.

Definición 1.8 (Modificación). Sean X = Xt : t ≥ 0 y Y = Yt : t ≥ 0dos procesos estocásticos definidos en el mismo espacio de probabilidad (Ω,F ,P). El

proceso estocástico Y es una modificación del proceso estocástico X si para todo t ≥ 0,

P(Xt = Yt) = 1.

Definición 1.9 (Martingala). Sea (Ω,F ,P) un espacio de probabilidad dotado de una

filtración2 Ft. El proceso estocástico X adaptado a la filtración Ft se dice martingala

si para todo s > t,

E[Xs|Ft] = Xt.

El concepto de martingalas fue introducido por Paul Lévy y su estudio consistía

en demostrar la inexistencia de estrategias de juego infalibles, ya que como muestra

su definición, si condicionamos la ganancia neta esperada de un juego al azar con

información del pasado, en el siguiente turno s se obtendrá el valor del turno anterior

t y de esa manera el juego será justo, es decir sin pérdidas ni ganancias para los

involucrados.

Como se observará en el capítulo 2, un proceso de Lévy es un proceso estocástico que

cumple las propiedades anteriores, es por eso la importancia de definir estas propiedades

en este capítulo. A continuación se presentan algunos procesos estocásticos, que serán

fundamentales para desarrollar el siguiente capítulo ya que al cumplir las propiedades

anteriores, se convierten en los ejemplos más básicos de procesos de Lévy.

2Ver las Definiciones A.6 y A.8 del anexo A.

3

1.1.1. Proceso de Wiener

Ampliamente estudiado a principios del siglo XX, fue presentado como un modelo

para el fenómeno físico de movimiento browniano (movimiento aleatorio de partículas

en fluidos observado inicialmente por Robert Brown) por Einstein y Smoluchowski

y como una descripción de la evolución dinámica de los precios de las acciones por

Bachelier.

Definición 1.10 (Proceso de Wiener). Un proceso estocástico B = Bt : t ≥ 0 se

dice proceso de Wiener (o movimiento browniano), si:

1. B0 = 0, casi seguramente.

2. B tiene incrementos independientes.

3. B tiene incrementos estacionarios.

4. Para todo t > 0, Bt tiene distribución N (0, σ2t).

El proceso de Wiener B con σ2 = 1, se conoce como proceso de Wiener estándar.

Una transformación importante de este proceso, conocida como proceso de Wiener

con tendencia γ y varianza σ2, es la siguiente:

Wt =√σ2Bt + γt

donde Bt : t ≥ 0 es un proceso de Wiener estándar, σ2 la varianza y γ ∈ R la

tendencia del proceso. A menudo a este proceso se lo conoce también como proceso de

Wiener con tendencia γ, que mide el comportamiento del proceso, y volatilidad σ, que

mide la intensidad de cambio del mismo.

Algunas propiedades importantes del movimiento browniano son:

Es una martingala.

Tiene trayectorias continuas.

Tiene la propiedad de autosimilitud. Es decir, para todo a > 0,

(Bat√a

)

t≥0

tiene la misma distribución que (Bt)t≥0.

4

Debido a que no siempre es fácil encontrar la función de densidad de algunos proce-

sos estocásticos como se verá en el capítulo 2, es de mucha importancia la utilización de

la función característica3 ya que nos permitirán caracterizar a los procesos estocásticos,

en especial a los procesos de Lévy, de forma única. En este capítulo se presentarán las

funciones características de todos los procesos estocásticos presentados. Así, la función

característica de un proceso de Wiener está dada en la siguiente proposición.

Proposición 1.1 (Función característica de un proceso de Wiener). Sea W = Wt :

t ≥ 0 un proceso de Wiener con tendencia γ y varianza σ2, la función característica

del proceso W es

ΦWt(z) = exp

−1

2σ2z2t+ izγt

, ∀z ∈ R. (1.1)

Demostración. La demostración es inmediata, basta con recordar que Wt tiene distri-

bución normal con varianza tσ2 y tendencia tγ.

1.1.2. Proceso de Poisson

Los procesos de Poisson son de gran utilidad en la modelización de una gran canti-

dad de fenómenos aleatorios debido a que cuentan eventos raros a lo largo del tiempo.

Algunos ejemplos son:

1. Las visitas diarias a una determinada página web en un día.

2. Los reclamos mensuales de clientes presentados a un empresa de telecomunica-

ciones.

3. El número de clientes que llega a un banco en un tiempo determinado.

Existen varias formas de definir a un procesos de Poisson, en este trabajo se los

definirá a partir de un proceso de conteo el cual se presenta a continuación.

Definición 1.11 (Proceso de conteo). El procesos estocástico Ct : t ≥ 0 se llama

proceso de conteo si Ct es el número de sucesos (eventos o saltos) que ocurrieron en el

intervalo de tiempo [0, t].

Definición 1.12 (Proceso de Poisson). Un proceso de Poisson con intensidad λ es un

proceso de conteo Pt : t ≥ 0 con:

1. P0 = 0.

3Ver la Definición B.1 del anexo B.

5

2. Incrementos independientes.

3. Incrementos estacionarios.

4. Para todo t > 0, Pt tiene distribución de Poi(λt).

Algunas propiedades importantes, demostradas en [2, Proposición 2.12], son las

siguientes:

Para cualquier t > 0, Pt es finito casi seguramente.

Para cualquier evento ω, su trayectoria es constante a trozos y aumenta en saltos

de tamaño uno.

Sus trayectorias son càdlàg.

Es continuo en probabilidad.

Observemos cómo es la función característica de este proceso.

Proposición 1.2 (Función característica de un proceso de Poisson). La función ca-

racterística del proceso de Poisson Pt : t ≥ 0 con intensidad λ es:

ΦPt(z) = expλt

(eiz − 1

), ∀z ∈ R. (1.2)

Demostración. La demostración es inmediata pues Pt tiene distribución de Poisson con

intensidad λt.

Por lo tanto, un proceso de Poisson Pt : t ≥ 0 cuenta el número de sucesos (even-

tos o saltos) n ≥ 1, de tamaño uno, que ocurrieron hasta el instante de tiempo t y

cuyos tiempos de ocurrencia T1, T2, . . . , Tn son variables aleatorias independientes con

distribución exp(λ).

El procedimiento de contar sucesos define una medida en [0, t] conocida como medida

aleatoria. La idea de esta medida será de gran utilidad en el trabajo pues nos permitirá

observar algunas propiedades interesantes de los procesos de Lévy como los saltos en

sus trayectorias que en finanzas representan eventos raros como caídas en los precios de

activos financieros. La definición formal de medida aleatoria se presenta a continuación.

Definición 1.13 (Medida aleatoria). Sea A ⊂ R+ un conjunto medible4 y sea T1, T2, . . .

una sucesión de tiempos de ocurrencia de sucesos, la medida

M(ω,A) = #n ≥ 1, Tn(ω) ∈ A (1.3)

4Ver la Definición A.2 del anexo A.

6

se llama medida aleatoria y representa el número de sucesos (eventos o saltos) ocurridos

en el conjunto medible A, tal que M(ω, .) es una medida a valores enteros positivos y

M(A) es finita casi seguramente para cualquier conjunto acotado A.

Es importante observar que:

M(ω, .) depende de ω ∈ Ω, que le proporciona la aleatoriedad a la medida; y

si asociamosM a un proceso de Poisson, aM se la conoce como medida aleatoria

de salto asociada al proceso de Poisson Pt : t ≥ 0 cuyo parámetro λ determina

el valor esperado de la medida aleatoria así:

E[M(A)] = λ|A| (1.4)

donde |A| es la medida de Lebesgue de A. Es decir, si A ⊆ R+ tal que A = [a, b],

su medida de Lebesgue es |A| = b− a.

A partir de lo anterior podemos expresar el proceso de Poisson Pt : t ≥ 0 en

términos de la medida aleatoria M de la siguiente manera:

Pt(ω) =M(ω, [0, t]) =

∫

[0,t]

M(ω, ds). (1.5)

1.1.3. Proceso de Poisson compensado

Definición 1.14 (Proceso de Poisson compensado). El proceso Ct : t ≥ 0 se dice

proceso de Poisson compensado si, para todo t ≥ 0

Ct = Nt − λt, (1.6)

donde Nt : t ≥ 0 un proceso de Poisson con parámetro λ.

La característica más importante de un proceso de Poisson compensado es que el

proceso es una martingala, lo que significa que la mejor predicción del valor futuro del

proceso, al tiempo t+ 1, es la del valor presente, es decir, al tiempo t.

La función característica del proceso se presenta a continuación.

Proposición 1.3 (Función característica de un proceso de Poisson compensada). Sea

Ct : t ≥ 0 un proceso de Poisson compensado con parámetro λ. Su función caracte-

rística es:

ΦCt(z) = expλt

(eiz − 1− iz

), ∀z ∈ R. (1.7)

7

Al igual que el proceso de Poisson, se puede asociar una medida aleatoria al proceso

de Poisson compensado Ct : t ≥ 0, llamada medida aleatoria compensada y definida

por:

M(ω, [0, t]) =M(ω, [0, t])−∫

[0,t]

λds

=M(ω, [0, t])− λt,

donde M(ω, [0, t]) es la medida aleatoria de un proceso de Poisson y λ su intensidad.

Por la ecuación (1.4), M(A) con A ∈ R+ verifica que

E[M(A)] = 0 y Var(M(A)) = λ|A|,

por lo que se dice que el proceso de Poisson compensado es un proceso de Poisson

centrado.

1.1.4. Proceso de Poisson compuesto

Definición 1.15 (Proceso de Poisson compuesto). Sea N = Nt : t ≥ 0 un proceso

de Poisson, y sean X1, X2, . . . variables aleatorias i.i.d. con distribución F e indepen-

dientes del proceso N . El proceso estocástico

Yt =N∑

k=1

Xk

se llama proceso de Poisson compuesto con intensidad λ y función de distribución

de tamaño de salto F . Comúnmente las variables aleatorias Xk son conocidas como

tamaños de salto.

Mediante su definición, se deducen algunas propiedades.

Sus caminos son funciones càdlàg constantes a trozos.

Los tiempos de salto T1, T2, . . . tienen la misma distribución que los tiempos de

salto del proceso de Poisson N .

Su función característica se presenta en la siguiente proposición.

Proposición 1.4 (Función característica de un proceso de Poisson compuesto). Sea

Yt : t ≥ 0 un proceso de Poisson compuesto con intensidad λ y función de distribución

8

de tamaño de salto F , entonces la función característica del proceso Yt es:

ΦYt(z) = exp

tλ

∫

R

(eizx − 1)dF (x)

, ∀z ∈ R. (1.8)

Demostración. La demostración de esta proposición se obtiene condicionando E[eizYt ]

con N , así:

ΦYt(z) = E[eizYt ]

= E[eiz∑N

t=1Xt ]

=∑

n≥0

E[eiz∑N

t=1Xt |N = n]P(N = n)

=∑

n≥0

E[eiz∑n

t=1Xt ]e−λλn

n!

=∑

n≥0

(∫

R

eizxdF (x)

)n

e−λλn

n!

= exp

λ

∫

R

(eizx − 1)dF (x)

.

1.1.5. Medida aleatoria de Poisson

Unas definiciones relevantes a considerar, son extensiones de la definición de medida

aleatoria y de medida aleatoria de salto asociada a un proceso de Poisson en espacios

más generales, pues como se mencionó anteriormente nos serán útiles para comprender,

en el capítulo 2, como están compuestos los procesos de Lévy.

Definición 1.16 (Medida aleatoria). Sea X = Xt : t ≥ 0 un proceso estocástico.

Para cualquier conjunto medible B ∈ [0, t]× Rd \ 0, la medida

JX(B) = #(Tn,X = XTn −XTn−1) ∈ B (1.9)

se llama media aleatoria del proceso X.

La medida aleatoria de salto asociada al proceso estocástico X, contiene toda la

información de las discontinuidades o saltos del proceso, es decir, los tiempos T1, T2, . . .

en los que ocurren los saltos antes del tiempo t y el tamaño X de dichos saltos.

La medida aleatoria de salto de un proceso de Poisson en su forma general se define

así:

9

Definición 1.17 (Medida aleatoria de Poisson). Sean (Ω,F ,P) un espacio de pro-

babilidad, E ∈ Rd \ 0 y µ una medida de Radon5 en (E, ε). Una medida aleatoria de

Poisson en E con intensidad de medida µ, es una medida aleatoria a valores enteros

M : Ω× ε −→ N

(ω,A) 7−→ M(ω,A),

tal que

Para (casi todos) los sucesos ω ∈ Ω, M(ω, .) es una medida de Radon a valores

enteros en E: para cualquier conjunto medible acotado A ⊂ E, M(A) < ∞ es

una variable aleatoria a valores enteros.

Para cada conjunto medible A ⊂ E, M(., A) = M(A) es una variable aleatoria

de Poisson con intensidad µ(A):

P(M(A) = k) = e−µ(A)[µ(A)]k

k!.

Para conjuntos medibles disjuntos A1, . . . , An ∈ ε, las variablesM(A1), . . . ,M(An)

son independientes.

Con estas generalizaciones obtenemos el siguiente resultado para los procesos de

poisson compuesto.

Proposición 1.5 (Medida aleatoria de salto de un proceso de Poisson compuesto).Sea Yt : t ≥ 0 un proceso de Poisson compuesto con parámetro λ y distribución F .

Su medida de salto JY , definida por:

JY (B) = #(t, Yt − Yt−) ∈ B, (1.10)

para cualquier conjunto medible B ⊂ Rd × [0,∞[, es una medida aleatoria de Poisson

en [0, t]× Rd con intensidad de medida

µ(dt× dx) = ν(dx)dt

= λF (dx)dt.

La demostración de la proposición anterior se encuentra en [2, Capítulo 3].

Esta proposición implica que todo proceso de Poisson compuesto Y = Yt : t ≥ 05Ver la Definición A.10 del anexo A.

10

puede ser representado de la siguiente forma:

Yt =∑

s∈[0,t]

Ys =∫

[0,t]×Rd

yJY (ds× dt), (1.11)

donde JY es una medida aleatoria de Poisson con intensidad de medida ν(dx)dt, pues

Yt representa una suma finita del número de eventos o saltos ocurridos en el intervalo

de tiempo [0, t] cuyo tamaño de salto depende de un proceso de Poisson.

1.2. Finanzas

Como se menciona en [4], las finanzas estudian la forma en que la gente asigna sus

recursos a lo largo del tiempo con la esperanza de obtener beneficios que se desconocen

anticipadamente con certeza. De aquí yace una de las principales causas para estudiar

a los procesos estocásticos en las finanzas pues estos nos proporcionan un método para

estudiar, modelar y predecir los posibles beneficios de una inversión a lo largo del

tiempo.

En esta sección, se presentan algunas definiciones básicas en finanzas tomadas prin-

cipalmente de [5], [6], una breve historia de los principales modelos financieros basado

en procesos estocásticos utilizados para obtener precios de activos y algunos de los

inconvenientes que tienen estos modelos, y que son la principal razón por la que se

realiza este trabajo.

1.2.1. Definiciones básicas

Iniciaremos definiendo a un Instrumento Financiero, el cual es un contrato moneta-

rio que se presenta entre las partes, es decir, es un contrato entre un emisor que oferta

algún producto y un inversor que invierte en el producto ofertado. A estos productos

los llamaremos activos financieros y los definiremos a continuación.

Definición 1.18 (Activo financiero). Un activo financiero es cualquier posesión que

pueda producir beneficios económicos. Los emiten empresas en búsqueda de financiación

y pueden ser acciones, opciones, bonos, títulos de renta fija o variable, entre otros.

Estos activos financieros se comercializan en mercados financieros que son espacios

físicos como la bolsa de valores de Nueva York y/o virtuales en los que se realizan

intercambios de instrumentos financieros.

Los instrumentos financieros se pueden clasificar en:

Instrumentos en efectivo cuyo valor está determinado por el mercado y son fácil-

mente transferibles: Los ejemplos más claros son los préstamos y depósitos.

11

Instrumentos derivados que son instrumentos cuyo valor se deriva de distintas

circunstancias, de una o más entidades y que pueden ser negociados en las bolsas

de valores. Ejemplo de instrumentos derivados son acciones, opciones, entre otros.

En este trabajo nos enfocaremos principalmente en instrumentos derivados ya que

al depender, su valor, de diversas circunstancias aleatorias; presentan un interesante

problema que puede ser modelado empleando procesos estocásticos.

Todo inversionista espera una ganancia después de un tiempo de su inversión inicial,

a esta ganancia se la conoce con el nombre de rentabilidad y se define a continuación.

Definición 1.19 (Rentabilidad, rendimiento o retorno). Se llama rentabilidad a la

ganancia relativa de una inversión. Si S0 es la inversión inicial y St el valor que se

obtiene al tiempo t, la rentabilidad R se calcula así:

Rt =St − S0

S0.

A partir de aquí, notaremos St al precio de un activo financiero en el instante de

tiempo t y llamaremos logaritmo del retorno o rendimiento del precio de un activo

financiero a:

rt = ln

(StSt−1

)

El empleo de los retornos es importante ya que nos permitirá comparar precios de

activos financieros de mejor manera, ya que no es lo mismo ganar un dólar cuando se

han invertido diez que ganar un dólar cuando se han invertido mil. Para las aplicacio-

nes emplearemos el logaritmo de los retornos ya que utilizaremos un análisis técnico,

es decir, emplearemos principalmente gráficos para analizar el precio de los activos fi-

nancieros, específicamente de acciones ya muchas personas se encuentran interesadas

en conocer cualquier información que les permita predecir su precio en un determina-

do tiempo; y al suponer que estos se distribuyen normalmente, los logaritmos de los

retornos también lo harán.

Como ya se ha dicho, en este trabajo nos enfocaremos en la valoración de activos

financieros específicamente de acciones6, que son títulos emitidos por sociedades que

representa el valor de una de las fracciones iguales en que se divide su capital social y que

generalmente confieren beneficios de participación en la empresa, para las aplicaciones

en las finanzas debido a la facilidad en la obtención de los datos en las bolsas de valores

de Nueva York y de Quito , pero es importante mencionar que los procesos de Lévy se

pueden emplear en una gran cantidad de problemas en Finanzas por las características

que presentan.

6Definición tomada de la dirección web de la referencia [7].

12

1.2.2. Modelos financieros, precios de activos

Un antiguo problema en finanzas es la valoración de activos financieros por la im-

precisión que se tiene al calcular su valor debido a la aleatoriedad que presentan los

mercados financieros. A continuación se presenta una breve historia de algunos mode-

los que influyeron en el estudio de las matemáticas financieras y varios problemas que

presentan principalmente al calcular el valor de activos financieros.

En 1900 Louis Bachelier fue el primero en proponer un modelo basado en un pro-

ceso de Wiener para describir activos financieros en su tesis doctoral Théorie de la

Spéculation. El modelo predice el precio S de un activo financiero que depende de su

precio inicial S0, un término σ que mide la desviación estándar del precio del activo

(volatilidad) y una variable aleatoria W con distribución N (0, 1). Para diferentes ins-

tantes de tiempo t, la variable aleatoria W se convierte en una función que depende

del tiempo, que como se observó en la sección anterior, corresponde a un proceso de

Wiener Wt. Así, el modelo que propuso Bachelier es el siguiente:

St = S0 + σWt. (1.12)

Lamentablemente, ya que Wt tiene distribución N (0, t), el modelo permite tener

precios de activos St negativos. Un ejemplo de esto se presenta a continuación.

Calculemos el precio de un activo en 12 instantes de tiempo (período mensual) cuyo

precio inicial es S0 = 1 dólar, presenta una volatilidad σ = 1 y consideremos Wt un

proceso de Wiener estándar simulado.

La tabla 1.1 y la figura 1.1 presentan cinco simulaciones de los precios del activo y

sus trayectorias, en ambos se observa el inconveniente de los precios negativos lo cual

es absurdo.

Esta primera dificultad al describir precios de activos financieros, motivó a la inves-

tigación y generó una amplia teoría de los procesos estocásticos con particular énfasis

en los procesos de Wiener para modelos financieros.

Uno de los modelos más populares se presentó en 1973 por Fisher Black y Myron

Scholes cuyo trabajo The Pricing of Option and Corporate Liabilities fue publicado en

The Journal of Political Economy. El conocido y muy utilizado modelo Black-Scholes

propone una ecuación diferencial estocástica para obtener el precio de acciones, está

13

Tiempo (t) S1t S2

t S3t S4

t S5t

0 1 1 1 1 11 0,37 0,38 1,62 0,61 0,892 0,56 -1,84 1,56 0,55 1,773 -0,28 -0,71 1,41 1,65 2,174 1,32 -0,76 -0,06 2,41 1,555 1,65 -0,77 -0,54 2,25 1,96 0,83 0,17 -0,12 1,99 0,777 1,31 0,99 1,24 2,69 2,28 2,05 1,59 1,13 3,25 4,189 2,63 2,51 1,52 2,56 3,8110 2,32 3,29 1,47 1,85 2,7711 3,83 3,36 0,09 2,21 3,3412 4,22 1,37 -0,33 2,98 3,2

Tabla 1.1: Precios de un activo financiero con σ2 = 1 simulado cinco veces con elmodelo de Louis Bachelier, ecuación (1.12).

0 2 4 6 8 10 12

−2

01

23

4

t

S(t

)

Figura 1.1: Cinco trayectorias simuladas del precio de un activo con el modelo de LouisBachelier, ecuación (1.12).

14

dada por:dStSt

= µdt+ σdWt, (1.13)

donde la primera parte de la ecuación (1.13), µdt representa un crecimiento determi-

nístico pues µ, la tendencia, mide el crecimiento promedio del precio del activo; y la

segunda parte de la ecuación, σdWt representa la parte aleatoria del modelo ya que Wt

es un procesos de Wiener estándar y σ, al igual que en el modelo de Bachelier, mide

la volatilidad del precio del activo. Al ser la volatilidad proporcional al precio St de la

acción, se asegura que el precio siempre sea positivo.

En [8, capítulo 4] se muestra que la solución a la ecuación diferencial (1.13) es:

St = S0 exp

(µ− σ2

2

)t+ σWt

(1.14)

Al proceso St, se lo conoce comúnmente como Movimiento Browniano Geométrico.

La ecuación (1.14), al estar basada en el movimiento browniano geométrico, supone

que los logaritmos de los rendimientos de un activo financiero se distribuyen normal-

mente. Sin embargo, se han presentado infinidad de estudios en los que se argumenta

que los rendimientos de los activos financieros en su mayoría no se distribuyen nor-

malmente. Uno de estos estudios es el realizado por Rama Cont en [3], en el que se

presentan las denominadas “Propiedades estadísticas estilizadas de los rendimientos de

los activos” que son propiedades estadísticas comúnmente observadas en los rendimien-

tos de los precios de diferentes activos, instrumentos y mercados financieros.

A continuación se realizará una comparación de algunas de las propiedades esti-

lizadas de los rendimientos del precio de cierre diario de las acciones de JPMorgan

Chase & Co7. (JPM-NYSE), comprendidas en el período enero 2013 a junio 20168, con

las propiedades que presentan los rendimientos de los precios simulados utilizando el

modelo de la ecuación (1.14) de Black-Scholes en el mismo período de tiempo, con el

fin de evidenciar algunos de los problemas que presenta este modelo.

Colas pesadas: En general la distribución de los rendimientos de un activo pre-

senta la forma acampanada de la distribución normal, lo que lleva a confusiones pues

en realidad estas distribuciones presentan un pico más pronunciado que se denomina

como leptucurtosis (curtosis positiva mayor a 3), y colas pesadas que en la práctica

significa una mayor probabilidad de obtener valores extremos (saltos). Esto lo podemos

7Una breve reseña de la empresa JPMorgan Chase se encuentra en 4.2.1.8Los datos se muestran en el anexo D.

15

apreciar en las figuras 1.2 y 1.3, en donde se comparan, en la primera la distribución

del rendimiento del logaritmo del precio de JPM con su respectiva distribución normal

teórica y en la segunda las distribuciones del rendimiento del logaritmo del precio de

JPM simuladas por la ecuación (1.14) con su distribución normal teórica, es decir, con

la misma media y varianza. Se observa que mientras los rendimientos de JPM presentan

las características antes mencionadas de leptocurtosis y colas pesadas, los rendimientos

simulados se asemejan mucho más a la distribución normal por el movimiento brow-

niano que se emplea en la simulación.

−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10

010

20

30

40 Rend. Precio

Dist. Normal

Figura 1.2: Distribución del logaritmo de los retornos de JPM vs. distribución normal.

Efectivamente, al realizar la prueba de Jarque-Bera para probar si los datos pro-

vienen de una distribución normal, obtenemos los resultados de la tabla 1.2, en donde

se verifica que los rendimientos de los precios de JPM no proviene de una distribu-

ción normal pues su p-valor es menor a 0.05, mientras que los rendimientos de los

datos simulados efectivamente pertenecen a una distribución normal debido a que su

p-valor supera a 0.05. De esta manera vemos que los modelos basados en el movimien-

to browniano no modelan correctamente la distribución real de los logaritmos de los

rendimientos de los precios de los activos financieros.

Otro problema que presentan los modelos basados en el movimiento browniano

geométrico y que es el más importante por el que se estudian los procesos de Lévy, es

que el movimiento browniano no puede representar los cambios bruscos o saltos que a

menudo presentan los precios de los activos financieros en sus trayectorias, pues como

se observó en la sección anterior una característica de estos procesos estocástico es la

continuidad de sus trayectorias.

16

−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10

010

20

30

40 S1

S2

S3

S4

S5

Dist. Normal

Figura 1.3: Distribuciones del logaritmo de los retornos simulados por el modelo de Black-Scholes vs. distribución normal.

JPM S1 S2 S3 S4 S5Media 0,00037 0,00091 0,00028 0,00102 0,00068 0,00024

Des. est. 0,01363 0,01046 0,01007 0,01056 0,01031 0,01014Asimetría -0,07985 0,01419 -0,02970 0,02471 -0,04058 0,04210Curtosis 5,96403 2,69389 3,31769 3,10776 3,01430 2,77682

Jarque-Bera 323,436 3,46914 3,83445 0,51596 0,24932 2,08862p-valor 0,00000 0,17647 0,14701 0,77260 0,88279 0,351933

Tabla 1.2: Prueba de normalidad del logaritmo de los rendimientos de JPM vs. pruebade normalidad de los logaritmos de los rendimientos simulados por el modelo de Black-Scholes.

17

En la figura 1.4 se muestra de color negro la evolución diaria del precio de las

acciones de JPM y de otros colores, cinco evoluciones diaria simuladas de los precios

utilizando la ecuación (1.14). Se observa que la trayectoria de los precios de JPM tiene

saltos mientras que las trayectorias simuladas basadas en un proceso de Wiener son

siempre continuas.

Finalmente, la invariancia de escalas del movimiento browniano, propiedad que se

muestra comparando las figuras 1.4 y 1.5, es otra dificultad que tienen los modelos

basados en el movimiento browniano para modelar precios de activos. En las figuras

miramos que las trayectorias simuladas con el movimiento browniano al recortar el

período de tiempo a un año son parecidas a sus trayectorias de tres años, es decir, son

invariantes en escalas de tiempo. Mientras que la trayectoria del precio de JPM en la

figura 1.5 no presenta la propiedad de invariancia de escalas ya que prácticamente se

mueve por saltos cuando acortamos el período de tiempo a un año.

Lo antes dicho se corrobora con los gráficos siguientes, en ellos se observa que las

cinco simulaciones de los rendimientos por el modelo de Black-Scholes están dentro

de una banda, lo que indica que los precios no presentan cambios bruscos en todo el

período considerado, mientras que los rendimientos del precio real presentan altibajos

motivo del cambio brusco del precio.

Todas las dificultades anteriormente mencionadas son el motivo por el cual se realiza

este trabajo, ya que como veremos en el próximo capítulo los procesos de Lévy tienen

propiedades generales importantes que nos ayudarán a resolver estos inconvenientes.

18

2013−

01−

02

2013−

07−

19

2014−

02−

04

2014−

08−

20

2015−

03−

09

2015−

09−

22

201

6−

04−

08

406080100120

Tie

mpo

Precio

Fig

ura

1.4:

Evo

luci

óndia

ria

del

pre

cio

de

las

acci

ones

de

JP

Mvs.

evol

uci

ones

dia

rias

sim

ula

das

con

elm

odel

ode

Bla

ck-S

chol

es(2

013-2

016)

.

19

2013−

01−

02

2013−

02−

28

2013−

04−

25

2013−

06−

20

2013−

08−

15

2013−

10−

10

201

3−

12−

05

4045505560

Tie

mpo

Precio

Fig

ura

1.5:

Evo

luci

óndia

ria

del

pre

cio

de

las

acci

ones

de

JP

Mvs.

evol

uci

ones

dia

rias

sim

ula

das

con

elm

odel

ode

Bla

ck-S

chol

es(2

013).

20

2013 2014 2015 2016

−0.1

00.0

00.1

0

Figura 1.6: Logaritmo de los retornos de las acciones de JPM.

2013 2014 2015 2016

−0.1

00.0

00.1

0

Figura 1.7: Logaritmo de los retornos de la primera simulación utilizando el modelo deBlack-Scholes.

21

2013 2014 2015 2016

−0.1

00.0

00.1

0

Figura 1.8: Logaritmo de los retornos de la segunda simulación utilizando el modelo deBlack-Scholes.

2013 2014 2015 2016

−0.1

00.0

00.1

0

Figura 1.9: Logaritmo de los retornos de la tercera simulación utilizando el modelo deBlack-Scholes.

22

2013 2014 2015 2016

−0.1

00.0

00.1

0

Figura 1.10: Logaritmo de los retornos de la cuarta simulación utilizando el modelo deBlack-Scholes.

2013 2014 2015 2016

−0.1

00.0

00.1

0

Figura 1.11: Logaritmo de los retornos de la quinta simulación utilizando el modelo deBlack-Scholes.

23

Capítulo 2

Procesos de Lévy

En el presente capítulo se estudia a los procesos de Lévy, nombrados en honor al

matemático francés Paul Lévy (1886-1971) quien fue el primero en estudiar estos fenó-

menos aleatorios y es considerado uno de los padres fundadores de la teoría moderna de

los procesos estocásticos. Se empezará por la definición formal y luego se verán algunas

propiedades y ejemplos clásicos de procesos de Lévy.

Como referencias principales se este capítulo se han tomado [2], [9], [10], [11] y [12].

Definición 2.1 (Proceso de Lévy). Un proceso estocástico Xt : t ≥ 0 sobre un

espacio de probabilidad (Ω,F,P) con valores en Rd se llama proceso de Lévy si tiene

las siguientes propiedades:

1. X0 = 0 casi seguramente.

2. Tiene incrementos independientes.

3. Tiene incrementos estacionarios.

4. Es continuo en probabilidad.

5. Es càdlàg.

Nota 2.1. La propiedad 5. no es una verdadera restricción para que un proceso sea de

Lévy debido a que cualquier proceso que cumpla con las propiedades 1. a 4. (conocido

como proceso de Lévy en ley) tiene una única modificación1 que satisface las anteriores

propiedades y es càdlàg, el teorema y su demostración se encuentran en [13, Teorema

30] o en [9, Teorema 11.5], por lo que se la puede asumir sin pérdida de generalidad.

1Ver la Definición 1.8

24

Mediante la definición anterior nos podemos dar cuenta de lo amplia que es la

clase de procesos de Lévy, es por eso que se han relacionado con otras herramientas

estadísticas, algunas de ellas las veremos a continuación.

2.1. Distribuciones infinitamente divisibles y la repre-

sentación de Lévy-Khintchine

Las distribuciones infinitamente divisibles están fuertemente relacionadas con los

procesos de Lévy como se observará. Para ello primero definiremos una distribución

infinitamente divisible, luego daremos algunos ejemplos y finalmente mostraremos la

relación con los procesos de Lévy.

Definición 2.2 (Distribución infinitamente divisible). Una distribución de probabilidad

F de una variable aleatoria X en R se dice infinitamente divisible si para cualquier

entero n ≥ 2, existen n variables aleatorias independientes igualmente distribuidas

Y1, . . . , Yn tales que Y1 + · · ·+ Yn tiene distribución F .

Como la distribución de la suma de variables aleatorias i.i.d. está dada por la

convolución de la distribución de las variables aleatorias, es decir F = µ∗n, donde µ es

la distribución de las variables aleatorias i.i.d.; una distribución infinitamente divisible

se puede definir también como una distribución que tiene raíz n-ésima bajo convolución.

Además se puede caracterizar a una distribución infinitamente divisible mediante su

función característica de la siguiente forma:

Caracterización 2.1. La distribución de una variable aleatoria X es infinitamente

divisibles, si para todo n ∈ N, existe una variable aleatoria X(1/n), tal que

ΦX(z) = [ΦX(1/n)(z)]n.

Lo expresado anteriormente, se encuentra en [12, pág. 8] y en [10, pág. 25].

Algunos ejemplos de distribuciones infinitamente divisibles son:

Ejemplo 2.1 (Distribución normal). La distribución de una variable aleatoria X con

distribución N (µ, σ2) es infinitamente divisible.

25

En efecto, para todo z ∈ R,

ΦX(z) = exp

(izµ − 1

2z2σ2

)

= exp

[n

(izµ

n− 1

2z2σ2

n

)]

=

[exp

(izµ

n− 1

2z2σ2

n

)]n

= [ΦX1/n(z)]n,

donde X1/n tiene distribución N

(µn, σ

2

n

).

Ejemplo 2.2 (Distribución de Poisson). La distribución de Poisson con intensidad λ

de una variables aleatoria X es infinitamente divisible.

Efectivamente, para todo z ∈ R,

ΦX(z) = exp[λ(eiz − 1)]

= exp

[n

(λ

n(eiz − 1)

)]

=

[exp

(λ

n(eiz − 1)

)]n

= [ΦX1/n(z)]n,

donde X1/n tiene distribución de Poi(λn

).

Ejemplo 2.3 (Distribución de Poisson compuesta). La distribución de Poisson com-

puesta con intensidad λ y distribución F , de una variables aleatoria X, es infinitamente

divisible.

Para este fin, es suficiente con tomar una variable aleatoria X1/n con distribución

de Poisson compuesta con intensidad λny distribución F para comprobar la caracteri-

zación.

Más ejemplos de distribuciones infinitamente divisibles, que no serán demostradas

en este trabajo pero se pueden demostrar de forma similar a las anteriores, son: la

distribución exponencial, la distribución gamma, entre otras.

Enunciaremos una primera propiedad de los procesos de Lévy que nos permitirá

observar la relación con las distribuciones infinitamente divisibles.

26

Proposición 2.1. Si Xt : t ≥ 0 es un proceso de Lévy, entonces para cada t ≥ 0, Xt

tiene una distribución infinitamente divisible. Recíprocamente, si F es una distribución

infinitamente divisible, entonces existe un proceso de Lévy Xt : t ≥ 0 tal que X1 tiene

distribución F .

Demostración. ⇒) Sea X = Xt : t ≥ 0 un proceso de Lévy, para todo t ≥ 0 y para

todo n ≥ 2 podemos escribir

Xt = Y1(t) + . . .+ Yn(t),

donde

Yk(t) = X

(kt

n

)−X

((k − 1)t

n

).

Como X es un proceso de Lévy, entonces tiene incrementos independientes y estacio-

narios, por lo tanto las variables aleatorias Yk(t) son i.i.d.

⇐) Ver [10, pág. 65].

Esta proposición restringe a las distribuciones de los procesos de Lévy ya que estas

deben ser infinitamente divisibles; además, nos menciona que la distribución de Xt está

determinada por el conocimiento de la distribución de X1 y por lo tanto, el único grado

de libertad que tenemos que especificar de un proceso de Lévy es la distribución de Xt

en algún instante de tiempo (por lo general t = 1).

Otra propiedad importante, conocida como representación de Lévy-Khintchine que

nos permitirá caracterizar a cada proceso de Lévy de forma única por medio de su fun-

ción característica, será enunciada posterior a la definición de un instrumento necesario

conocido como Medida de Lévy que nos permitirá modelar los cambios bruscos de los

precios de las acciones en los ejemplos presentados a lo largo del trabajo.

Definición 2.3 (Medida de Lévy). Sea Xt : t ≥ 0 un proceso de Lévy en Rd. La

medida de borel2 ν en Rd \ 0 dada por:

ν(A) = E[#t ∈ [0, 1] : Xt 6= 0,Xt ∈ A], A ∈ B(Rd)

se llama medida de Lévy. Además, ν es una medida de Radon que cumple:

∫

Rd\0

(|x|2 ∧ 1)ν(dx) <∞.

Como se observa en su definición, ν(A) representa el número esperado, por unidad

de tiempo, de saltos cuyo tamaño pertenece al conjunto A.

2Ver la Definición A.9.

27

Teorema 2.1 (Representación de Lévy-Khintchine). Sea Xt : t ≥ 0 un proceso de

Lévy con distribución infinitamente divisible F en Rd, entonces su función característica

puede ser representada por

ΦXt(z) = etψ(z), z ∈ Rd, (2.1)

donde ψ : Rd → C es una función continua llamada exponente característico (o símbolo

de Lévy) de Xt definida por

ψ(z) = −1

2〈z, Az〉 + i〈γ, z〉+

∫

Rd

(ei〈z,x〉 − 1− i〈z, x〉1|x|<1)ν(dx) (2.2)

con A una matriz d × d simétrica definida no negativa, ν la medida de Lévy y γ un

vector en Rd. La representación de (2.2) por A, ν y γ es única. Consecuentemente; si

A es una matriz d× d simétrica definida no negativa, ν una medida de Lévy y γ ∈ Rd,

entonces existe una distribución infinitamente divisible F con función característica de

la forma (2.1).

La demostración del Teorema 2.1 es compleja y requiere de otras herramientas que

están fuera del estudio de este trabajo por lo que no se realizará. La demostración se

encuentra en [9, pág. 40].

Nota 2.2. En el caso de valores reales, es decir, si F es una distribución infinitamente

divisible en R, su exponente característico se escribe como:

ψ(z) = −1

2Az2 + iγz +

∫

R

(eizx − 1− izx1|x|<1)ν(dx) (2.3)

Como mencionamos anteriormente, la representación de Lévy-Khintchine nos pro-

porciona una herramienta muy importante al momento de caracterizar cada proceso

de Lévy, la cual tiene un nombre y será presentada a continuación.

Definición 2.4 (Tripleta característica). Llamamos a la tripleta (A, ν, γ), formada en

el Teorema 2.1, como tripleta característica de la distribución F . En la que A representa

a la matriz de covarianza gaussiana, ν a la medida de Lévy de la distribución F y γ a

un término de tendencia que determina la velocidad del movimiento.

Las propiedades presentadas en esta sección, nos indican que la colección de todas

las distribuciones infinitamente divisibles está en correspondencia uno a uno con la

colección de todos los procesos de Lévy y que un proceso de Lévy se caracteriza de

forma única por su tripleta característica. Fue por eso importante enunciar las funciones

características de los procesos estocásticos del capítulo 1 ya que al poder modelar los

precios de las acciones mediante procesos estocásticos (procesos de Wiener) que a

28

continuación veremos son procesos de Lévy nos permitirán conocer de antemano toda

la información que sabemos a partir de su función característica.

2.2. Ejemplos de procesos de Lévy

Mediante la definición de proceso de Lévy, las funciones infinitamente divisibles y la

representación de Lévy-Khintchine, presentamos algunos ejemplos clásicos de procesos

de Lévy. Todos estos procesos fueron descritos en el Capítulo 1.

Ejemplo 2.4 (Proceso de Wiener). Comparando las definiciones de proceso de Wiener

y de proceso de Lévy (Definición 1.10 y Definición 2.1), vemos que un proceso de Wie-

ner es un proceso de Lévy. Por medio de su distribución, la cual es normal, podemos

asegurar que es infinitamente divisible (Ejemplo 2.1) y por lo tanto podemos caracte-

rizar al movimiento browniano mediante su función característica (Teorema 2.1), que

fue expresada en la ecuación (1.1) y cuya tripleta característica es

(A = σ2, ν = 0, γ = γ).

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

−1.0

0.0

Proceso de Wiener

t

W(t

)

Figura 2.1: Trayectoria simulada de un proceso de Wiener en el intervalo [0, 2].

Ejemplo 2.5 (Proceso de Poisson). Por la definición 1.12, el proceso de Poisson con

intensidad λ es un proceso de Lévy. Como la distribución de una variable aleatoria del

29

proceso es de Poisson y la distribución de Poisson es infinitamente divisible (ejemplo

2.2), existe una única representación del proceso por medio de su función característica,

la cual se encuentra en la ecuación (1.2) y por el Teorema 2.1 tiene tripleta característica

(A = 0, ν = λδ1, γ = 0),

donde δ1 es la medida de Dirac en 1.

0 2 4 6 8

05

10

15

Proceso de Poisson

t

N(t

)

Figura 2.2: Trayectoria simulada de un proceso de Poisson con parámetro λ = 4 en elintervalo [0, 8].

Ejemplo 2.6 (Proceso de Poisson compuesto).

Proposición 2.2. Sea Y = Yt : t ≥ 0 un proceso de Poisson compuesto con inten-

sidad λ y distribución F . El proceso Y es un proceso de Lévy.

Demostración. La demostración de la proposición se obtiene demostrando que los in-

crementos del proceso de Poisson compuesto Y son independientes y estacionarios, lo

cual se logra por los incrementos independientes y estacionarios del proceso de Poisson

y las variable aleatorias independientes con distribución F . Finalmente, la continuidad

en probabilidad se obtiene por la continuidad en probabilidad del proceso de Pois-

son. La demostración detallada se encuentra en [10, demostración de la Proposición

1.3.11].

30

Dado que la distribución de Poisson compuesto es infinitamente divisible (ejem-

plo 2.3), el proceso de poisson compuesto tiene una única representación a través de

su función característica (teorema 2.1) descrita en la ecuación (1.8) y cuya tripleta

característica es:(A = λ

∫

0<|x|<1

xF (dx), ν = λF (dx), γ = 0

).

0 2 4 6 8 10

05

10

Proceso de Poisson compuesto

t

X(t

)

Figura 2.3: Trayectoria simulada de un proceso de Poisson compuesto con parámetro λ = 10en el intervalo [0, 10].

Una característica basada en la forma de las trayectorias de los proceso de Levy que

conlleva a una propiedad más fuerte que la proposición 2.2 se enuncia a continuación.

Proposición 2.3. Yt : t ≥ 0 es un proceso de Poisson compuesto si y solo si es un

proceso de Lévy y sus trayectorias son funciones constantes a trozos.

Demostración. La demostración completa está en [2, Proposición 3.3].

Otros ejemplos de procesos de Lévy se citarán a lo largo de este y los siguientes

capítulos.

31

2.3. Descomposición de Lévy-Itô

En esta sección presentamos un resultado muy importante en la teoría de los pro-

cesos de Lévy llamada descomposición de Lévy-Itô, que nos permitirá describir las

trayectorias de un proceso de Lévy en una parte continua y en una parte con saltos.

Teorema 2.2 (Descomposición de Lévy-Itô). Sea X = Xt : t ≥ 0 un proceso de

Lévy en Rd y ν su medida de Lévy. Entonces, se tiene que:

ν es una medida de Radon en Rd \ 0 que verifica:

∫

|x|≤1

|x|2ν(dx) <∞ y

∫

|x|≥1

ν(dx) <∞

La medida de salto de X, denotada por JX , es una medida aleatoria de Poisson

en [0,∞[×Rd con intensidad de medida ν(dx)dt.

Existe un vector γ ∈ Rd y un movimiento browniano Bt : t ≥ 0 con matriz de

covarianza A, tales que:

Xt = γt+Bt +X lt + lım

ǫ→0Xǫt , (2.4)

donde

X lt =

∫

|x|≥1,s∈[0,t]

xJX(ds× dx),

y

Xǫt =

∫

ǫ≤|x|<1,s∈[0,t]

xJX(ds× dx)− ν(dx)ds =

∫

ǫ≤|x|<1,s∈[0,t]

xJX(ds× dx).

Los términos de la ecuación 2.4 son independientes y la convergencia del último término

es casi segura.

Demostración. La demostración completa del teorema se encuentra en [9, pág. 125]

La descomposición de Lévy-Itô nos indica que todo proceso de Lévy se puede des-

componer como la suma de tres procesos independientes; el primero γt+Bt, que pro-

porciona la parte continua al proceso es un movimiento browniano con tendencia γ y

matriz de covarianza A; el segundo X lt un proceso de Poisson compuesto3; y el tercero

Xǫt un proceso de Poisson compuesto compensado4.

3Ver la proposición 1.5 y su implicación.4Ver la sección 1.1.3.

32

Los dos últimos términos de la ecuación (2.4), aportan la parte discontinua al pro-

ceso ya que incorporan saltos a Xt descritos por la medida de Lévy ν. Es importante

mencionar algunas cosas con respecto a la medida ν:

La condición∫|x|≥1

ν(dx) < ∞ significa que X tiene un número finito de saltos

con valor absoluto mayor a 1, por lo tanto X lt es un proceso de Poisson compuesto

con un número finito de saltos.

ν puede tener una singularidad en cero, es decir, pueden existir infinitos pequeños

saltos cerca de cero cuya suma no necesariamente converge. Por ello el tercer

término de (2.4) se presenta centrado, convirtiéndose en un proceso compensado

(martingala, ver la sección 1.1.3) que cuando ǫ→ 0 se obtiene la convergencia de

este término.

Para finalizar esta sección y gracias a la descomposición de Lévy-Ito, de forma

general, un proceso de Lévy se puede aproximar con arbitraria precisión a un proceso

de Lévy salto-difusión pues posee una parte continua y otra parte con un número finito

de saltos en cada intervalo de tiempo que representan sucesos “raros”. Un proceso de

Lévy salto-difusión se define así:

Definición 2.5 (Proceso de Lévy salto-difusión). Sea Wt : t ≥ 0 un proceso de

Wiener con tendencia γ y varianza σ2 y sea Yt : t ≥ 0 un proceso de Poisson

compuesto con parámetro λ y distribución F . El proceso Dt : t ≥ 0, definido por

Dt = Wt + Yt, ∀t ≥ 0

se llama proceso de Lévy salto-difusión.

Para los ejemplos en las finanzas, la descomposición de Lévy-Itô nos permitirá obte-

ner valores y simular trayectorias de los precios de las acciones de un activo financiero

de manera más real pues, al poder representarlos en una parte continua y en una parte

discontinua, los valores normales del precio (cuando no haya eventos imprevistos) serán

modelados con procesos continuos como el de Wiener y los cambios abruptos del precio

(cuando existan eventos imprevistos) se modelarán con procesos discontinuos como el

proceso de Poisson compensado.

2.4. Propiedades de las trayectorias de los procesos

de Lévy

Como se presentó en la sección anterior, un proceso de Lévy puede estar formado

por un movimiento browniano y un proceso de Poisson compuesto, dos procesos esto-

33

cásticos con trayectorias que se comportan de forma diferente, es por esto necesario

estudiar algunas propiedades de sus trayectorias utilizando la descomposición de Lévy-

Itô a partir de su tripleta característica (A, ν, γ). Antes de presentar las propiedades se

enunciarán algunas definiciones importantes.

Definición 2.6 (Proceso de Lévy de actividad finita/infinita). El proceso de Lévy

Xt : t ≥ 0 tiene actividad finita, si todas las trayectorias del proceso tienen un

número finito de saltos en cada intervalo finito de tiempo. Es decir si:

ν(Rd) =

∫

Rd

ν(dx) <∞.

Consecuentemente, se define un proceso de Lévy de actividad infinita como el proceso

que tiene infinitos saltos en cada intervalo finito de tiempo. Es decir si:

∫

Rd

ν(dx) = ∞.

Algunas diferencias entre estos procesos son:

Los procesos de actividad finita, en la mayoría de casos, tienen una componente

browniana; mientras que los procesos de actividad infinita no necesariamente

tienen esta componente.

Los saltos de los procesos de actividad finita representan eventos “raros”, mientras

que los procesos de actividad infinita se mueven básicamente por infinitos saltos.

La distribución de los tamaños de los saltos en un proceso de actividad finita

es conocida, mientras que esta no existe en los procesos de actividad infinita,

únicamente se producen infinitas veces.

Los procesos de Lévy salto-difusión son ejemplos de procesos de Lévy de actividad

finita, mientras que los procesos varianza gamma son ejemplos de procesos de Lévy

de actividad infinita debido a que son procesos determinados por cambios de tiempo

aleatorios que carece de componente browniana y cuyas trayectorias tienen infinitos sal-

tos. Más información acerca de la construcción y función característica de los procesos

varianza gamma se encuentra en [14].

Definición 2.7 (Función de variación total). La variación total de una función f : [a, b] →Rd se define por

TV (f) = sup

n∑

i=1

|f(ti)− f(ti−1)|, (2.5)

donde el supremo se toma sobre todas las particiones finitas a = t0 < t1 < · · · < tn−1 <

tn = b de un intervalo [a, b].

34

Definición 2.8 (Función de variación finita/infinita). Si TV (f) <∞, la función f se

dice de variación finita. Si TV (f) = ∞, la función f es de variación infinita.

En una dimensión, toda función creciente o decreciente es una función de variación

finita y cada función de variación finita puede ser obtenida como la diferencia de dos

funciones crecientes.

Definición 2.9 (Proceso de Lévy de variación finita/infinita). Un proceso de Lévy se

dice de variación finita, si sus trayectorias son funciones de variación finita. De igual

manera, un proceso de Lévy es de variación infinita si sus trayectorias son funciones

de variación infinita.

Un ejemplo de proceso de Lévy de variación finita es el proceso de Poisson, mientras

que un proceso de Wiener es un ejemplo de un proceso de Lévy variación infinita.

A continuación se presentan algunas propiedades de los procesos de Lévy que se

obtienen mediante su tripleta característica.

Proposición 2.4. Un proceso de Lévy tiene trayectorias constantes a trozos si y solo

si su tripleta característica (A, ν, γ) está dada por:

A = 0.

∫Rd ν(dx) <∞.

γ =∫|x|≤1

xν(dx).

O equivalentemente, si su exponente característico es de la forma:

ψ(z) =

∫

Rd

(ei〈z,x〉 − 1)ν(dx), ∀z ∈ Rd

con ν(Rd) <∞.

Demostración. Se demuestra utilizando la proposición 2.3, que nos dice que las tra-

yectorias de un proceso de Lévy son funciones constantes a trozos si y solo si es un

proceso de Poisson compuesto, combinada con la ecuación (1.8) que nos da la función

característica de un proceso de Poisson compuesto.

Proposición 2.5. Un proceso de Lévy es de variación finita si y solo si su tripleta

característica (A, ν, γ) satisface:

A = 0, y

∫|x|≤1

|x|ν(dx) <∞.

35

Demostración. Para la demostración se utiliza la definición de variación finita y la

descomposición de Lévy-Itô. Esta se encuentra en [2, Proposición 3.9].

Como consecuencia de la proposición anterior, la representación de Lévy-Khintchine

y la descomposición de Lévy-Itô se pueden simplificar para el caso de variación finita

como sigue:

Corolario 2.1. Sea (Xt)t≥0 un proceso de Lévy de variación finita con tripleta carac-

terística (0, ν, γ). Entonces X puede ser expresada como la suma de sus saltos entre 0

y t y un término de tendencia lineal:

xt = bt +

∫

[0,t]×Rd

xJX(ds× dx) = bt +

Xs 6=0∑

s∈[0,t]

Xs (2.6)

y su función característica por:

E[ei〈z,Xt〉] = exp

t

[i〈b, z〉 +

∫

Rd

(ei〈z,x〉 − 1)ν(dx)

], ∀z ∈ R

d (2.7)

donde b = γ −∫|x|≤1

xν(dx).

Una clase importante de procesos de Lévy es la de los subordinadores (o procesos

de Lévy crecientes).

Definición 2.10 (Subordinador). Un proceso de Lévy Xt : t ≥ 0 es un subordinador,

si sus trayectorias son crecientes casi seguramente.

La tripleta característica de un subordinador en R, está dada en la siguiente pro-

posición:

Proposición 2.6. Si X es un subordinador, entonces su tripleta característica toma

los valores:

A = 0.

ν(−∞, 0) = 0 y

∫ ∞

0

(x ∧ 1)ν(dx) <∞.

γ ≥ 0.

O equivalentemente, su exponente característico tiene la forma:

ψ(z) = iγz +

∫ ∞

0

(eizx − 1)ν(dx), ∀z ∈ R.

36

La proposición anterior nos indica que un subordinador no está compuesto por un

proceso de Wiener, está compuesto únicamente de saltos positivos de variación finita

y de un término de tendencia γ positivo. Algunos ejemplos de subordinadores son los

procesos de Poisson, los procesos Gamma y los procesos de variación cuadrática5.

Está sección nos indica que los procesos de Lévy, de forma general, pueden repre-

sentar cambios bruscos (saltos), que en el capítulo 1 fueron un problema al modelar

precios de activos financieros.

2.5. Propiedades distribucionales de los procesos de

Lévy

En la sección 2.1 se observó que si Xt : t ≥ 0 es un proceso de Lévy entonces

para cualquier t > 0, la distribución de Xt es infinitamente divisible y su función

característica es de la forma (2.1). Sin embargo Xt no siempre tiene una densidad

conocida como se verá en la sección 2.6, por eso se presenta un resultado que nos

ayudará con este inconveniente.

Proposición 2.7 (Existencia de una densidad suave). Sea Xt : t ≥ 0 un proceso de

Lévy en R con tripleta característica (σ2, ν, γ). Entonces se tiene que:

Si σ > 0 o ν(R) = ∞, entonces Xt tiene una densidad continua ft(.) en R.

Si la medida de Lévy verifica que existe β ∈ [0, 2] tal que

lım ınfǫ→0

ǫ−β∫ ǫ

−ǫ

|x|2dν(x) > 0,

entonces para cada t > 0, Xt tiene una densidad suave ft(.) ∈ C∞(R) tal que

∀n ≥ 1,∂nft∂xn

(t, x) −−−−→|x|→∞

0.

La cola de la distribución de un proceso Lévy y sus momentos6 están determinados

por la medida Levy como se muestra en la siguiente proposición.

Proposición 2.8. Sea Xt : t ≥ 0 un proceso de Lévy en R con tripleta caracte-

rística (σ2, ν, γ). El n-ésimo momento absoluto de Xt, E[|Xt|n] es finito para algún t,

o equivalentemente, para todo t > 0 si y solo si se tiene que∫|x|≥1

|x|nν(dx) < ∞.

5Ver [2, Proposición 3.11].6Ver la definición B.2 del anexo B.

37

Así, los momentos de Xt se pueden calcular mediante la diferenciación de su función

característica y la forma de los cumulantes7 de Xt son:

E[Xt] = t

(γ +

∫

|x|≥1

xν(dx)

),

c2(Xt) = Var(Xt) = t

(A+

∫ ∞

−∞

x2ν(dx)

),

c3(Xt) = t

∫ ∞

−∞

xnν(dx), para n ≥ 3.

La forma de los cumulantes descrita en la proposición anterior, implica que todas las

distribuciones infinitamente divisibles son leptocúrticas pues c4(Xt) > 0, y que tanto la

curtosis como la asimetría de los incrementos de X bajen en escalas grandes de tiempo.

2.6. Procesos estables

Una clase grande de procesos de Levy es la de los procesos estables que son procesos

estocásticos cuyas variables aleatorias provienen de una distribución estable.

Definición 2.11 (Distribución estable). Una variable aleatoria X tiene distribución

estable F si para todo n ≥ 1, existen variables aleatorias independientes X1, X2, . . . , Xn

tales que X1 +X2 + · · ·+Xn tiene la misma distribución que anX + bn, con an > 0 y

bn ∈ R.

Notar que si se resta bn/n y se divide para an a cada variable aleatoria Xi (i =

1, . . . , n) de la definición anterior, se observa que una distribución estable es infini-

tamente divisible. En [10] se enuncia que el único posible valor que puede tomar anes

an = n1/α,

con α ∈ (0, 2] conocido como índice de estabilidad. Si bn = 0, a la distribución se la

conoce como estrictamente estable. La distribución F que tiene índice de estabilidad

α, se la conoce como distribución α-estable.

Por la caracterización 2.1, se puede caracterizar a una distribución estable por su

función característica así:

Caracterización 2.2. La distribución de una variable aleatoria X se dice distribución

estable si para todo n ≥ 1, existen an > 0 y bn ∈ R tal que su función característica

tiene la forma:

[ΦX(z)]n = ΦX(zan)e

ibnz, ∀z ∈ R.

7Ver la definición B.3 del anexo B.

38

Si bn = 0, la distribución se dice estrictamente estable y

[ΦX(z)]n = ΦX(zan), ∀z ∈ R.

Luego por la proposición 2.1, dado que las distribuciones estables son infinitamente

divisibles, existe un proceso de Lévy asociado a cada distribución estable.

Definición 2.12 (Proceso de Lévy α-estable). Un proceso de Lévy Xt : t ≥ 0 se dice

α-estable si para todo t ≥ 0, Xt tiene distribución α-estable.

Por el teorema 2.1, se puede caracterizar a los procesos de Lévy α-estables mediante

su tripleta característica (A, ν, γ) así:

Teorema 2.3. Sea Xt : t ≥ 0 un proceso de Lévy α-estable con 0 < α ≤ 2, su

tripleta característica es (0, ν, γ), con medida de Lévy:

ν(x) =A

xα+11x>0 +

B

|x|α+11x<0,

para algún A > 0 y B > 0.

La demostración del teorema se encuentra en [9, Teorema 14.3].

Así, la función característica del proceso de Lévy α-estable Xt : t ≥ 0 es:

ΦXt(z) =

exp−σα|z|α

(1− iβsgn(z) tan πα

2

)+ iµz si α 6= 1,

exp−σ|z|(1 + iβ 2

πsgn(z) log |z|

)+ iµz si α = 1,

donde α ∈ (0, 2] determina la forma de la distribución (curtosis de la distribución),

σ > 0 se conoce como parámetro de escala, β ∈ [−1, 1] la asimetría de la distribución

y µ ∈ R un parámetro de cambio. El ejercicio 1.4 de [11, pág. 28] muestra como se

obtiene el exponente característico del proceso de Lévy α-estable a través de su medida

de Lévy, obteniendo así que

σ = (A+B)Γ(−α) cos(πα

2

)y β =

A− B

A+B.

Además, si α = 2 se tiene que A = B.

Si β = 0 y µ = 0, el proceso de Lévy Xt : t ≥ 0, se conoce como proceso de Lévy

α-estable simétrico y su función característica es:

ΦX(z) = exp−σα|z|α

Dos ejemplos de procesos de Lévy α-estables son:

39

El proceso de Cauchy, con α = 1, β = 0 y µ = 0.

El proceso de Wiener estandar, con α = 2, β = 0 y µ = 0.

Notar que los ejemplos anteriores son procesos de Lévy α-estables simétricos.

Es importante mencionar que la función de densidad de una distribución α-estable

Sα(σ, β, µ) asociada a un proceso de Lévy α-estable Xt : t ≥ 0 no siempre se conoce

de forma cerrada excepto para tres casos:

1. La distribución normal, con S2(σ, 0, µ) tiene densidad

f(x) =1

2σ√πexp

−(x− µ)2

4σ2

. (2.8)

2. La distribución de Cauchy, con S1(σ, 0, µ) tiene densidad

f(x) =σ

π[(x− µ)2 + σ2]. (2.9)

3. La distribución de Lévy 1/2-estable, con S1/2(σ, 1, µ) tiene densidad

f(x) =( σ

2π

)1/2 1

(x− µ)3/2exp

− σ

2(x− µ)

1x>µ. (2.10)

Una característica importante de los procesos α-estables es la propiedad de autosi-

militud, propiedad enunciada en el capítulo 1 para el proceso de Wiener estándar.

Definición 2.13 (Proceso de Lévy autosimilar). Un proceso de Lévy Xt : t ≥ 0 se

dice autosimilar si para todo n ≥ 1, existe an > 0, tal que

(Xnt√an

)

t≥0

tiene la misma distribución que (Xt)t≥0.

Por lo tanto, existen varios procesos de Lévy autosimilares cuya distribución es

estrictamente α-estable con α ∈ (0, 2].

2.7. Procesos de Lévy y martingalas

Las martingalas son herramientas importantes en teoría de probabilidad y en ma-

temáticas financieras, por lo que es importarte estudiarlas con los procesos de Lévy.

Veamos dos proposiciones importantes.

40

Proposición 2.9. Sea Xt : t ≥ 0 un proceso estocástico con incrementos indepen-

dientes. Entonces

1.(

eizXt

E[eizXt ]

)t≥0

para todo z ∈ R, es una martingala.

2. Si para algún z ∈ R y para todo t ≥ 0 se tiene que E[ezXt ] < ∞, entonces(ezXt

E[ezXt ]

)t≥0

es una martingala.

3. Si para todo t ≥ 0 se tiene que E[Xt] < ∞, entonces Mt = Xt − E[Xt] es una

martingala con incrementos independientes.

4. Si para todo t ≥ 0 se tiene que Var(Xt) <∞, entonces (Mt)2 − E[(Mt)

2] es una

martingala.

Por lo tanto, si Xt : t ≥ 0 es un proceso de Lévy, se cumplen todos los puntos

de la proposición anterior pues sus incrementos son independientes. A continuación se

presenta un resultado para hacer de un proceso de Lévy una martingala a través de su

tripleta característica.

Proposición 2.10. Sea Xt : t ≥ 0 un proceso de Lévy en R con tripleta característica

(A, ν, γ).

(Xt) es una martingala si y solo si∫|x|≥1

|x|ν(dx) <∞ y

γ +

∫

|x|≥1

xν(dx) = 0.

exp(Xt) es una martingala si y solo si∫|x|≥1

exν(dx) <∞ y

A

2+ γ +

∫ ∞

−∞

(ex − 1− x1|x|≤1)ν(dx) = 0.

41

Capítulo 3

Simulación de Procesos de Lévy

Este capítulo muestra métodos y códigos para simular varios procesos de Lévy. Para

ello, se utilizará el software estadístico R y no se tomará en cuenta el tiempo de con-

vergencia de cada algoritmo o código utilizado, debido que el objetivo de este capítulo

es dar a conocer una forma de simular algunos procesos de Lévy, mas no de dar los

mejores algoritmo para simularlos.

Se tomarán como referencias principales a [2], [15] y [16].

Empezaremos simulando trayectorias de algunos ejemplos básicos de procesos de

Lévy que se dio a conocer en el capítulo anterior ya que nos servirán para simular otros

procesos de Lévy más complicados.

3.1. Proceso de Wiener

Para construir un código en R que nos permita simular un proceso de Wiener

Wt : t ≥ 0 en sus diferentes formas, se debe tomar en cuenta que una forma sencilla

para realizarlo es mediante la discretización de su trayectoria continua, es decir, calcu-

lar el valor de Wt cuando t es un punto.

Primero, se debe considerar un intervalo de tiempo [0, T ] en el que se quiere simular

una trayectoria del proceso, un entero N suficientemente grande que representa el

número de pasos para realizar la discretización, la tendencia γ y la varianza σ2 del

proceso. El valor de la tendencia y la varianza dependerán del tipo de proceso de

Wiener que queramos, así:

Para un proceso de Wiener general, γ = 0 y σ2 ∈ R+ \ 0.

Para un proceso de Wiener estándar, γ = 0 y σ2 = 1.

42

Para un proceso de Wiener con tendencia, γ ∈ R y σ2 ∈ R+ \ 0.

La condición 1 de la definición de proceso de Wiener nos indica que debemos fijar

los valores de t0 y W0, ya que al tiempo t = 0 el proceso toma el valor W0 = 0.

Para la discretización, creamos una secuencia de tiempos 0 = t0 < t1 < t2 < · · · <tN = T de tamaño dt = T/N . Así tendremos N + 1 puntos de tiempo en el intervalo

[0, T ] tales que

tj = j ∗ dt, ∀j = 0, 1, . . . , N.

Para cumplir con las condiciones 2, 3 y 4 de la definición de proceso de Wiener,

generamos N variables aleatorias dw con distribución N (0, dt) (o equivalentemente,

variables aleatorias con distribución Normal(0, 1) escaladas por√dt) y calculamos el

valor Bj en cada tiempo tj , así

Bj = Bj−1 + dwj, ∀j = 1, 2, . . . , N.

Finalmente, realizamos lo siguiente con el fin de poder obtener una trayectoria de

un proceso de Wiener ya sea en su forma general, estándar o con tendencia.

Wj = (σ2)1/2 ∗Bj + γ ∗ tj , ∀j = 0, 1, . . . , N.

El código en R es el siguiente:

proc_wiener <− function (T, N, tend , va r i )

set . seed (1 )

t0 <− 0

w0 <− 0

dt <− T/Nt <− seq ( t0 , T, dt )dw <− c (w0 , sqrt (dt )∗rnorm(N) )

B <− cumsum(dw)

W<− sqrt ( va r i )∗B + tend∗tplot ( t , W, type=" l " , col="blue " , main="Proceso deWiener " ,

xlab=" t " , ylab="W( t ) " )

Código 3.1: Proceso de Wiener.

Nota 3.1. El valor del entero N dependerá del intervalo [0, T ] de tiempo en el cual se

simula la trayectoria del proceso. Tomando en cuenta que el proceso de Wiener tiene

43

trayectorias continuas, el intervalo debe tener la mayor cantidad de subintervalos posi-

ble. En los ejemplos presentados se tomó N = 1000 y para poder repetir el experimento

se ocupó la función set.seed() de R.

La figura 3.1 presenta cuatro trayectorias simuladas de diferentes procesos de Wie-

ner que se obtienen con el código 3.1, de color verde un proceso de Wiener con tendencia

γ = 6 y varianza σ2 = 3, de azul un proceso con tendencia γ = 2 y varianza σ2 = 1, de

celeste un proceso de Wiener estándar y de rosado un proceso de Wiener con varianza

σ2 = 5 y sin tendencia.

3.2. Proceso de Poisson

Para simular una trayectoria de un proceso de Poisson Nt : t ≥ 0 con parámetro

λ, consideremos lo siguiente.

Primero, se debe especificar el intervalo de tiempo [0, T ] para simular una trayec-

toria y el parámetro λ del proceso. Por la condición 1 de la definición de proceso de

Poisson, inicializamos el proceso en cero, es decir, t0 = 0 y N0 = 0.

Aprovechando que los tiempos de ocurrencia entre eventos sucesivos siguen una dis-

tribución exponencial, generamos xk con k = 1, . . . variables aleatorias independientes

exponenciales con parámetro λ de forma que el tiempo de ocurrencia de un evento k

esté dado por:

tk = tk−1 + xk, ∀k = 1, . . . .

Considerando que las trayectorias de un proceso de Poisson son constantes a trozos

y aumentan en saltos de tamaño uno, del tiempo tk−1 al tiempo tk el valor del proceso

tomará el valor k − 1, para todo k = 1, . . .. La simulación finalizará cuando el tiempo

tk+1 supere al tiempo T .

El código en R es:

proc_poisson <− function (T, lambda )

set . seed (10)

t <− 0

N <− 0

while (max( t ) <= T)

44

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

−2024P

roceso

de W

ien

er

t

W(t)

tend=

6,

var=

3te

nd=

−2,

var=

1te

nd=

0,

var=

1te

nd=

0,

var=

5

Fig

ura

3.1:

Tra

yect

oria

sde

pro

ceso

sde

Wie

ner

enel

inte

rval

o[0

,1]

.

45

x <− rexp (1 , lambda )

t <− c ( t , max( t )+x)N <− c (N, max(N)+1)

tk <− t [ 1 : ( length ( t )−1) ]

Nk <− N[ 1 : ( length (N)−1) ]

return ( l i s t ( "Total de eventos "=max(Nk) , "Eventos"=Nk, "

Tiemposde ocur r enc i a "=tk , "Grá f i c o "=plot ( s tep fun (c ( tk ,

T) , c (0 , Nk , N[ length (N) −1]) ) , v e r t i c a l s=T, do . points=F, col="blue " , main="Proceso dePoisson " , xlab=" t " ,

ylab="N( t ) " ) ) )

Código 3.2: Proceso de Poisson.

Nota 3.2. Utilizamos la función stepfun() de R que nos permite graficar la trayectoria

constante a trozos de un proceso de Poisson.

La figura 3.2 corresponde al gráfico obtenido en la simulación de tres trayectorias

de tres procesos de Poisson con parámetros λ = 20, λ = 10 y λ = 5. La tabla 3.1

muestra sus respectivos tiempos de ocurrencia, ambos obtenidos con el código 3.2.

Suceso Tλ=20 Tλ=10 Tλ=5

1 0,03775909 0,1865352 0,34612532 0,09684123 0,2270101 0,46913193 0,10412657 0,2416753 0,71571524 0,11111633 0,4147463 0,91653215 0,13291976 0,4236989 0,95737246 0,27766819 0,4903887 0,999137 0,33914629 0,59782548 0,36613043 0,74898839 0,41395881 0,880415910 0,42131111 0,896068911 0,49084786 0,970580812 0,5289493613 0,5908295314 0,8120262415 0,864753416 0,9165156

Tabla 3.1: Tiempos de ocurrencia de eventos raros de tres procesos de Poisson con paráme-tros λ = 20, λ = 10 y λ = 5, respectivamente, en el intervalo [0, 1]

Debido que el proceso de Poisson compensado es importante en los procesos de

Lévy ya que son procesos de Poisson centrados, también se simuló en R para observar

46

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

051015P

roceso

de P

ois

so

n

t

N(t)

lam

bda=

20

lam

bda=

10

lam

bda=

5

Fig

ura

3.2:

Tra

yect

oria

sde

pro

ceso

sde

Poi

sson

con

par

ámet

roλ=

20,λ=

10yλ=

5en

elin

terv

alo

[0,1]

.

47

la forma de sus trayectorias. Para ello se modificó ligeramente el código 3.2 a fin de

obtener la ecuación (1.6).

El código es el siguiente:

proc_poisson_compensado <− function (T, M, lambda )

set . seed (100)

t <− 0

N <− 0

dt <− T/Mtt <− seq ( t , T, dt )while (max( t ) <= T)

x <− rexp (1 , lambda )

t <− c ( t , max( t )+x)N <− c (N, max(N)+1)

tk <− c ( t [ 1 : ( length ( t )−1) ] , T)

Nk <− N[ 1 : ( length (N)−1) ]

C <− numeric ( 0 )

for ( i in 1 : length ( t t ) )

for ( j in 1 : ( length ( tk )−1) )

i f ( ( t t [ i ] >= tk [ j ] ) & ( t t [ i ] <= tk [ j +1]) )

C[ i ] <− N[ j ] − lambda∗ t t [ i ]

return ( l i s t ( "Tiempos"=tk , "Eventos"=Nk, "Total_eventos "=

max(Nk) , "Grá f i c o "=plot ( tt , C, type=" l " , col="blue " ,

main="Proceso dePoisson compensado " , xlab=" t " , ylab="C

( t ) " ) ) )

Código 3.3: Proceso de Poisson compensado.

Nota 3.3. Se discretizó el código 3.2 para simular una trayectoria de un proceso de

48

Poisson compensado pues era necesario para observar sus saltos.

La figura 3.3 muestra el gráfico de tres trayectorias simuladas de tres procesos de

Poisson compensados con parámetros λ = 100, λ = 50 y λ = 25 utilizando el código

3.3.

3.3. Proceso de Poisson compuesto

Por la definición de proceso de Poisson compuesto, simular una trayectoria del

proceso es sencillo. Basta con especificar el tiempo [0, T ] a simular una trayectoria y

el parámetro λ del proceso, luego simular un proceso de proceso de Poisson Nt : t ≥0 con el código 3.2, generar xt variables aleatorias i.i.d con cualquier distribución y

finalmente, realizar la siguiente suma:

Yt =Nt∑

i=1

xi, ∀t ≥ 1.

Nuevamente, antes se inicializa el proceso en cero, es decir Y0 = 0.

El código en R se presenta a continuación:

proc_poissoncomp <− function (T, lambda )

set . seed (100)

t <− 0

N <− 0

x <− 0

while (max( t ) <= T)

y <− rexp (1 , lambda )

t <− c ( t , max( t )+y)N <− c (N, max(N)+1)

x <− c (x , rnorm ( 1 ) )

tk <− t [ 1 : ( length ( t )−1) ]

Nk <− N[ 1 : ( length (N)−1) ]

xk <− cumsum( x [ 1 : ( length (N)−1) ] )

return ( l i s t ( "Total de eventos "=max(Nk) , "Tiemposde

ocur r enc i a "=tk , "V. a . "=x , "Tamanode s a l t o "=xk , "Grá

f i c o "=plot ( s tep fun (c ( tk , T) , c (0 , xk , xk [ length ( xk ) ] ) ) ,

49

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

−10−505P

roceso

de P

ois

so

n c

om

pen

sad

o

t

C(t)

lam

bda=

100

lam

bda=

50

lam

bda=

25

Fig

ura

3.3:

Tra

yect

oria

sde

pro

ceso

sde

Poi

sson

com

pen

sados

con

par

ámet

rosλ=

100,

λ=

50yλ=

25en

elin

terv

alo

[0,1]

.

50

v e r t i c a l s=T, do . points=F, col="blue " , main="Proceso de

Poisson compuesto" , xlab=" t " , ylab="X( t ) " ) ) )

Código 3.4: Proceso de Poisson compuesto.

Nota 3.4. El código permite generar variables aleatorias con cualquier distribución

únicamente modificando la línea x <- c(x, rnorm(1)) por variables aleatorias de

alguna distribución ya programada en R, por ejemplo: rnorm() para variables aleatorias

normales, rexp() para variable aleatorias exponenciales, runif() para variables aleatorias

uniformes, entre otras. Además, se debe observar que las trayectorias de un proceso

de Poisson compuesto son càdlàg constantes a trozos, por lo que utilizamos la función

stepfun() de R que nos permite graficar este tipo de trayectorias.

La figura 3.4 pertenece al gráfico de tres trayectorias simuladas de tres procesos de

Poisson compuesto con parámetros λ = 100, λ = 50 y λ = 25 utilizando el código 3.4.

3.4. Proceso de Lévy salto-difusión

Como se dijo en el capítulo anterior, un proceso de Lévy se puede aproximar de

forma simple por un proceso de Lévy salto-difusión, que es un proceso formado por un

proceso de Wiener con tendencia y volatilidad y un proceso de Poisson compuesto. Por

este motivo es importante simularlo.

La simulación de una trayectoria del proceso en R es sencilla, basta con simular un

proceso de Wiener Wt : t ≥ 0 con el código 3.1 y un proceso de Poisson compuesto

Nt : t ≥ 0 con el código 3.4 y realizar la suma de estos procesos en cada instante de

tiempo t, así:

St = Wt +Nt, ∀t = 1, 2, . . . , N.

El código en R es el siguiente.

proc_s a l t o_d i f <− function (T, N, tend , var i , lambda )

set . seed (100)

# proceso de Wiener con tendenc ia y var ianza

tc <− 0

b0 <− 0

dt <− T/N

51

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

−8−4024P

roceso

de P

ois

so

n c

om

pu

esto

t

X(t)

lam

bda=

100

lam

bda=

50

lam

bda=

25

Fig

ura

3.4:

Tra

yect

oria

sde

pro

ceso

sde

Poi

sson

com

pues

toco

npar

ámet

rosλ=

100,

λ=

50yλ=

25en

elin

terv

alo

[0,1]

.

52

tk <− seq ( tc , T, dt )db <− c (b0 , sqrt (dt )∗rnorm(N) )

B <− cumsum(db)

W<− sqrt ( va r i )∗B + tend∗tk

# proceso de Poisson compuesto

PC <− 0

x <− 0

while (max( tc ) <= T)

y <− rexp (1 , lambda )

tc <− c ( tc , max( tc )+y)PC <− c (PC, max(PC)+1)

x <− c (x , rnorm ( 1 ) )

tck <− c ( tc [ 1 : ( length ( tc )−1) ] , T)

PCk <− PC[ 1 : ( length (PC)−1) ]

xk <− cumsum( x [ 1 : ( length ( x )−1) ] )

# d i s c r e t i z a c i ón d e l proceso

S <− numeric ( 0 )for ( i in 1 : length ( tk ) )

for ( j in 1 : ( length ( tck )−1) )

i f ( ( tk [ i ] >= tck [ j ] ) & ( tk [ i ] <= tck [ ( j +1) ] ) )

S [ i ] <− W[ i ] + xk [ j ]

return ( l i s t ( "Total de s a l t o s "=max(PCk) , "Tiemposde s a l t o s

"=tck [ 2 : ( length ( tck )−1) ] , "Grá f i c o "=plot ( tk , S , type=’ l

’ , col="blue " , main="Proceso deLévy sa l t o−d i f u s i ón" ,

xlab=" t " , ylab="S( t ) " ) ) )

Código 3.5: Proceso de Lévy salto-difusión.

Nota 3.5. Se debe tener en cuenta que el proceso de Wiener está discretizado y el

53

proceso de Poisson compuesto no, por eso se tiene que discretizar a todo el proceso de

Lévy salto-difusión en cada instante de tiempo t1, t2, . . . , tN del proceso de Wiener.

La figura 3.5 pertenece al gráfico de tres trayectorias simuladas de tres procesos de

Lévy salto-difusión con parámetros (γ = 0, σ2 = 1 y λ = 20), (γ = 2, σ2 = 4 y λ = 10)

y (γ = 4, σ2 = 1 y λ = 5) utilizando el código 3.5, el proceso tiene 6 saltos cuyos

tiempos de ocurrencia se muestran en la tabla 3.2.

Evento Tγ=0,µ2=1,λ=20 Tγ=2,µ2=4,λ=10 Tγ=4,µ2=1,λ=5

1 0,0179464 0,03413681 0,028037692 0,05855674 0,04559558 0,04036673 0,15907948 0,09029794 0,238292024 0,26933888 0,15831642 0,385494435 0,35630269 0,15908788 0,391030656 0,43058105 0,31641592 0,467657677 0,45135043 0,35705239 0,692045438 0,60463824 0,3715984 0,862980549 0,66536744 0,47543141 0,910127410 0,72803658 0,49209897 0,9120897811 0,78955845 0,5387882 0,9520464512 0,79646199 0,6067790313 0,84298411 0,7035168614 0,85422165 0,795617615 0,86329112 0,7959533816 0,88087404 0,8807913717 0,88547841 0,9291536718 0,91838252

Tabla 3.2: Tiempos de ocurrencia de sucesos raros de tres procesos de Lévy salto-difusióncon parámetros (γ = 0, σ2 = 1 y λ = 20), (γ = 2, σ2 = 4 y λ = 10) y (γ = 4, σ2 = 1 y λ = 5)en el intervalo [0, 1].

3.5. Proceso de Lévy α-estable

Antes de simular una trayectoria de un proceso de Lévy α-estable tengamos en

cuenta algunas situaciones que se presentan en [2, capítulo 6].

Las variables aleatorias α-estables son cerradas en convolución, es decir que si X1

y X2 tienen distribución Sα(σi, βi, µi) con i = 1, 2, entonces X1+X2 tiene distribución

Sα(σ, β, µ) con

σ = (σα1 + σα2 )1/α, β =

β1σα1 + β2σ

α2

σα1 + σα2y µ = µ1 + µ2.

54

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

−50510P

roceso

de L

évy s

alt

o−

dif

usió

n

t

S(t)

(0,

1,

20)

(2,

4,

10)

(4,

1,

5)

Fig

ura

3.5:

Tra

yect

oria

sde

pro

ceso

sde

Lév

ysa

lto-

difusi

ónco

npar

ámet

ros

(γ=

0,σ2=

1yλ=

20),

(γ=

2,σ2=

4yλ=

10)

y(γ

=4,

σ2=

1yλ=

5)en

elin

terv

alo

[0,1]

.

55

Si Xt : t ≥ 0 es un proceso de Lévy α-estable tal que X1 sigue una distribución

Sα(σ, β, µ), entonces Xt sigue una distribución Sα(σ1/αt , β, µt). Por lo tanto, se observa

que el parámetro de asimetría β no cambia en el tiempo, por lo que se puede obtener

una variable aleatoria estable X mediante una variable aleatoria X con distribución

Sα(1, β, 0) de la siguiente manera:

1. Si α 6= 1, entonces X = σX + µ tiene distribución Sα(σ, β, µ).

2. Si α = 1, entonces X = σX + 2πβσ ln(σ) + µ tiene distribución Sα(σ, β, µ).

Simular variables aleatorias con distribución Sα(1, β, 0) no es sencillo pues como se

mencionó en la sección 2.6 las funciones de densidad no son conocidas excepto para

tres casos (distribución normal, de Cauchy y de Lévy 1/2-estable). En los artículos [16]

y [17] se muestra una forma de simular este tipo de variables aleatorias que, tras un

largo trabajo, se encuentran demostradas en [17]. Aquí utilizaremos el algoritmo 1 que

es el principal resultado de estos trabajos.

Algoritmo 1 Variable aleatoria con distribución estable Sα(1, β, 0).Entrada: α ∈ (0, 2] y β ∈ [−1, 1].Salida: Una variable aleatoria X con distribución Sα(1, β, 0).1: Generar una variable aleatoria U con distribución U(−π

2, π2).

2: Generar una variable aleatoria Y con distribución exp(1).3: si α 6= 1 entonces4:

X = Sα,β ×sin (α (U +Bα,β))

(cos(U))1α

×(cos (U − α (U +Bα,β))

Y

) 1−αα

con

Sα,β =

[1 + β2

(tan

(πα2

))2] 1

2α

, y

Bα,β =arctan

(β tan

(πα2

))

α.

5: fin si6: si α = 1 entonces7:

X =2

π

[(π2+ βU

)tan(U)− β log

(Y cos(U)π2+ βU

)].

8: fin si9: devolver X

Ahora, para simular la trayectoria de un proceso de Lévy α-estable se debe discreti-

zar al proceso en t1, t2, . . . , tN instantes de tiempos, simular N variables aleatorias con

distribución Sα(1, β, 0) y según el caso, aplicar 1. (α 6= 1) o 2. (α = 1) para simular un

56

proceso de Lévy α-estable con distribución estable Sα(σ, β, µ).

A continuación se muestra el código en R.

proc_e s t a b l e <− function (T, N, alpha , beta , sigma , mu)

set . seed (100)

t0 <− 0

dt <− T/Ntk <− seq ( t0 , T, dt )X <− 0

i f ( alpha !=1)

S <− (1+(beta^2)∗ ( ( tan ( ( p i∗alpha )/2) ) ^2) ) ^(1/(2∗alpha ))

B <− (atan (beta∗tan ( ( p i∗alpha )/2) ) )/alphaU <− runif (N, −pi/2 , p i/2)Y <− rexp (N)

X <− c (X, dt^(1/alpha )∗S∗ ( ( sin ( alpha∗(U+B) ) )/( cos (U) )

^(1/alpha ) )∗ ( ( cos (U−alpha∗ (U+B) ) )/Y)^((1−alpha )/alpha ) )

PX <− cumsum(X)

Xk <− sigma∗PX+mu∗tk

i f ( alpha==1)

U <− runif (N, −pi/2 , p i/2)Y <− rexp (N)

X <− c (X, dt^(1/alpha )∗(2/pi )∗ ( ( ( p i/2)+beta∗U)∗tan (U)−beta∗log ( (Y∗cos (U) )/ ( ( p i/2)+beta∗U) ) ) )

PX <− cumsum(X)

Xk <− sigma∗PX+(2/pi )∗beta∗sigma∗log ( sigma )+mu∗tk

plot ( tk , Xk , type=" l " , col="blue " , main="Proceso deLévy

e s t a b l e " , xlab=" t " , ylab="S( t ) " )

Código 3.6: Proceso de Lévy α-estable.

La figura 3.6 corresponde al gráfico de la simulación de una trayectoria de un proceso

de Lévy α-estable con parámetros α = 0, 5, σ = 2, β = 1 y µ = 4 utilizando el código

57

3.6. Observar que el proceso corresponde a la distribución de Lévy S1/2(σ, 1, µ) cuya

densidad es conocida y está dada en la ecuación (2.10).

Los gráficos en las figuras 3.7, 3.8 y 3.9 pertenecen a trayectorias de procesos de

Lévy α-estables con distribución estable descrita en cada gráfico. Notar que:

si α se acerca a cero la trayectoria del proceso se parece a un proceso de Poisson,

si α se acerca a dos su trayectoria se parece a un proceso de Lévy salto-difusión,

y

cuando α = 2 su trayectoria tiene la forma de un proceso de Wiener.

Un algoritmo más sencillo para simular trayectorias de procesos de Lévy α-estables

pero únicamente simétricos, es decir procesos con distribución estable Sα(σ, 0, 0), se

presenta en [2, capítulo 6]. Para ello, se realizan los pasos 1 y 2 del algoritmo 1 para

simular variables aleatorias con distribución Sα(1, β, 0) pero, para cualquier valor de

α ∈ (0, 2], el incremento Xi con i = 1, 2, . . . , N es

Xi = (ti − ti−1)1α × sin(αUi)

(cos(Ui))1α

×(cos((1− α)U)

Yi

) 1−αα

,

así, la trayectoria discretizada del proceso de Lévy α-estable simétrico es la suma de

sus incrementos. Así:

Xti =i∑

j=1

Xj.

El código en R es el siguiente.

proc_e s t a b l e_sim <− function (T, N, alpha )

set . seed (2 )

t0 <− 0

y <− numeric ( 0 )dt <− T/Ntk <− seq ( t0 , T, dt )U <− runif (N, −pi/2 , p i/2)x <− rexp (N)

for ( i in 1 :N)

y [ i ] <− dt^(1/alpha )∗( sin ( alpha∗U[ i ] ) / ( cos (U[ i ] ) ) ^(1/alpha ) )∗ ( ( cos ((1− alpha )∗U[ i ] ) )/x [ i ] ) ^((1−alpha )/alpha )

58

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

024P

roceso

de L

évy e

sta

ble

t

S(t)

Fig

ura

3.6:

Pro

ceso

de

Lév

yα-e

stab

leco

npar

ámet

rosα=

0,5,

σ=

2,β=

1yµ=

4en

elin

terv

alo

[0,1]

.

59

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.00.30.6P

roceso

de L

évy e

sta

ble

t

S(t)

Fig

ura

3.7:

Trayectoria

deun

procesos

deLévyα-estab

lecondistribu

ción

S0,4(1;−

1;1).

60

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.01.0P

roceso

de L

évy e

sta

ble

t

S(t)

Fig

ura

3.8:

Trayectoria

deun

procesos

deLévyα-estab

lecondistribu

ción

S1,6(1;0,5;1).

61

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

−1.00.01.0P

roceso

de L

évy e

sta

ble

t

S(t)

Fig

ura

3.9:

Trayectoria

deun

procesos

deLévyα-estab

lecondistribu

ción

S2(1;−

0,5;1).

62

yk <− c (0 , y )

E <− cumsum( yk )

plot ( tk , E, type=" l " , col="blue " , main="Proceso deLévy

alpha−e s t a b l e sim é t r i c o " , xlab=" t " , ylab="E( t ) " )

Código 3.7: Proceso de Lévy α-estable simétrico.

Al igual que en los procesos de Lévy α-estables, se presentan las figuras 3.10, 3.11

y 3.12 con diferentes trayectorias simuladas de procesos α-estables simétricos variando

α y σ según el caso. En las figuras también se observa lo mencionado cuando β 6= 0

y µ 6= 0, es decir que, a medida que α se acerca a cero, la trayectoria se parece a un

proceso de Poisson; cuando α se acerca a dos, la trayectoria se parece a un proceso de

Lévy salto-difusión; y cuando α es dos, la trayectoria se parece a un proceso de Wiener.

63

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.000.040.08P

roceso

de L

évy a

lph

a−

esta

ble

sim

étr

ico

t

E(t)

Fig

ura

3.10

:Trayectoria

deun

procesos

deLévyα-estab

lesimétrico

condistribu

ción

S0,4(1,0,0).

64

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

−1.0−0.50.00.5P

roceso

de L

évy a

lph

a−

esta

ble

sim

étr

ico

t

E(t)

Fig

ura

3.11

:Trayectoria

deun

procesos

deLévyα-estab

lesimétrico

condistribu

ción

S1,7(1,0,0).

65

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

−1.5−0.5P

roceso

de L

évy a

lph

a−

esta

ble

sim

étr

ico

t

E(t)

Fig

ura

3.12

:Trayectoria

deun

procesos

deLévyα-estab

lesimétrico

condistribu

ción

S2(1,0,0).

66

Capítulo 4

Aplicaciones en las Finanzas

En este capítulo se desarrollará la teoría de algunos modelos conocidos para deter-

minar el precio de activos financieros desde el punto de vista de los procesos de Lévy,

iniciaremos con el modelo Black-Scholes y continuaremos con modelos basados en pro-

cesos que permiten saltos. Finalmente se realizará un ejemplo práctico utilizando un

proceso de Lévy α-estable para simular el precio de un activo financiero y se comparará

con lo descrito en el capítulo 1.

Las principales referencias bibliográficas de este capítulo son [2], [12] y [3].

4.1. Modelos basados en procesos de Lévy

Al igual que en el capítulo 1, supongamos que St representa el precio de un activo

financiero al tiempo t y su valor está dado por la ecuación:

St = S0 expXt, (4.1)

con S0 el precio inicial del activo y Xt un proceso de Lévy.

Enunciaremos algunas características de varios modelos basados en procesos de

Lévy que, en las últimas décadas, han ido tomando fuerza en las finanzas ya que son

de utilidad en la gestión de riesgos, cálculo de opciones, entre otros.

4.1.1. Modelo de Black-Scholes

En este modelo se considera que los logaritmos de precios de los activos están dis-

tribuidos normalmente con media µ y varianza σ2, por lo que el modelo es el siguiente:

67

St = S0 expBSt, (4.2)

con BSt = µt + σBt un proceso de Wiener con tendencia µ y volatilidad σ.

Por la proposición 2.1, se tiene que BS1 sigue un distribución N (µ, σ2), su densidad

es conocida y está dada por:

fBS1(x) =1

σ√2π

exp

−(x− µ)2

2σ2

.

Ahora por la representación de Lévy-Khintchine (teorema 2.1), su función caracte-

rística es:

ΦBSt(z) = exp

t

(izµ − σ2z2

2

), z ∈ R,

y su tripleta característica es (A = σ2, ν = 0, γ = µ).

4.1.2. Modelo de Merton

El modelo de Merton considera el modelo de Black-Scholes con discontinuidades, es

decir, considera saltos en el precio de los activos cuyo tamaño de salto está distribuido

normalmente, el modelo es:

St = S0 expMt, (4.3)

con Mt = µt + σBt + Yt, en donde µt + σBt un proceso de Wiener con tendencia µ y

volatilidad σ, y Yt =∑Nt

k=1Xt es un proceso de Poisson compuesto con Xk (k = 1, . . .)

variables aleatorias que tienen distribución N (µX , σ2X) y densidad

fX(x) =1

σX√2π

exp

−(x− µX)

2

2σ2X

.

La función de densidad de Mt no es conocida.

La representación de Lévy-Khintchine nos indica que el proceso tiene tripleta ca-

racterística (A = σ2, ν = λ × fX , γ = µ) y, por lo tanto, función característica de la

forma:

ΦMt(z) = exp

t

[izµ − σ2z2

2+ λ

(eizµX−

σ2Xz2

2 − 1

)], z ∈ R.

68

4.1.3. Modelo de Kou

Al igual que el modelo de Merton, el modelo de Kou considera el modelo de Black-

Scholes con saltos pero con tamaños de salto que siguen una distribución doble expo-

nencial1. El modelo de Kou es:

St = S0 expKt, (4.4)

con Kt = µt + σBt +Dt donde µt + σBt es un proceso de Wiener con tendencia µ y

volatilidad σ, y Dt =∑Nt

i=1 Lt es una clase de proceso de Poisson compuesto, donde las

variables aleatorias Li (i = 1, 2, . . .) tienen distribución doble exponencial con paráme-

tros p ∈ [0, 1] que representa la probabilidad de saltos positivos, y λ1 > 0, λ2 > 0 que

son los parámetros de las variables aleatorias exponenciales que nos darán el tamaño

de los saltos positivos y negativos respectivamente del proceso.

La densidad de las variables aleatorias L es:

fL(x) = pλ1eλ1x1x<0 + (1− p)λ2e

λ2x1x>0, (4.5)

La función de densidad del proceso Kt no es conocida.

Su tripleta característica es (A = σ2, ν = λ × fL, γ = µ), por lo que su función

característica es:

ΦKt(z) = expt[izµ − σ2z2

2+ λ

(pλ1

λ1 − iz− (1− p)λ2

λ2 − iz− 1

)], z ∈ R.

4.2. Aplicaciones prácticas

4.2.1. JPMorgan Chase & Co.

JPMorgan Chase es una empresa de servicios financieros creada en el año 2000

mediante la fusión de Chase Manhattan Corporation y J.P. Morgan & Co. Con ac-

tivos financieros de más de 2,4 billones de dólares, es líder en inversiones bancarias,

servicios financieros, gestión de activos financieros e inversiones privadas. Actualmente,

JPMorgan Chase la más importante institución bancaria de Estados Unidos.2

Realizaremos un ejemplo práctico en el que simularemos el precio de las acciones de

1Una variables aleatoria tiene distribución doble exponencial si su función de distribución tiene laforma de la ecuación (4.5).

2Tomado de https://es.wikipedia.org/wiki/JP_Morgan_Chase.

69

JPMorgan Chase & Co. (JPM-NYSE) del capítulo 1 empleando un proceso de Lévy α-

estable, pues como se observó en el capítulo 2 y 3 su función característica nos permite

establecer cuatro parámetros: α y β que determinan la forma de la distribución ya que

nos indican la curtosis y la asimetría (eventos raros o saltos), respectivamente, y σ y µ

parámetros que determinan la escala y el cambio de la trayectoria. Así observaremos

las mejoras que presenta el modelo basado en el proceso de Lévy en comparación a lo

obtenido en el capítulo 1 con el modelo basado en el movimiento browniano geométrico.

Consideremos el modelo de la ecuación (4.1) con Xt un proceso de Lévy α-estable.

Calcularemos el precio St de las acciones de JPM utilizando el código 3.6 de R para

simular una trayectoria del proceso de Lévy α-estable.

Dado que la densidad no es conocida para muchos casos de procesos de Lévy α-

estables, como se observó en el capítulo 2, es difícil estimar los parámetros necesarios

para simular este proceso, por esta razón emplearemos el software “stable”3 que nos

ayudará a estimar los parámetros α, β, µ y σ del proceso de Lévy α-estable por el

método de máxima verosimilitud, opción de estimación de parámetros proporcionada

por el software, a fin de simular los precios de JPM. La tabla 4.1 nos presenta los

parámetros calculados por el software stable por el método de máxima verosimilitud y

la tabla D los precios simulados con está información.

α β σ µ1,82956 -0,23572 3,63151 58,14020

Tabla 4.1: Parámetros estimados por máxima verosimilitud del precio de cierre de lasacciones de JPM.

Simulado algunas trayectorias del precio de JPM por procesos de Lévy α-estables

con los parámetros antes descritos, se presentan los gráficos de evolución en la figura

4.1 tanto del precio real (color negro) como de sus trayectorias simuladas (otros colores)

en donde se evidencian saltos en las trayectorias simuladas y el gráfico de las densi-

dades, figura 4.2, de las trayectorias simuladas en las cuales se observa alta curtosis y

asimetría en comparación a la distribución normal.

Al observar la figura 1.6 del capítulo 1, podemos decir que las trayectorias simula-

das del precio de las acciones de JPM por procesos de Lévy efectivamente presentan

3Software estadístico creado por el profesor John Nolan que permite calcular den-sidades estables, funciones de distribución acumulada, cuantiles, generar números aleato-rios estables y estima los parámetros α, β, µ y σ con diferentes pruebas. Se encuen-tra disponible tanto la versión de paga “STABLE” como una versión gratuita “stable” enhttp://fs2.american.edu/jpnolan/www/stable/stable.html.

70

2013−

01−

02

2013−

09−

23

2014−

06−

13

2015−

03−

05

2015−

11−

20

406080100120

Tie

mpo

Precio

Fig

ura

4.1:

Evo

luci

óndia

ria

del

pre

cio

de

las

acci

ones

de

JP

Mvs.

evol

uci

ones

dia

rias

sim

ula

das

por

pro

ceso

sde

Lev

yα-e

stab

les

(201

3-20

16).

71

−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10

010

20

30

40 S1

S2S3S4S5Dist. Normal

Figura 4.2: Distribuciones del logaritmo de los retornos simulados por procesos de Lévyα-estables vs distribución normal.

cambios bruscos debido a los altibajos que tienen las figuras 4.3, 4.4, 4.5, 4.6 y 4.7 de

los logaritmos de los retornos simulados.

Con el fin de realizar algunas predicciones del precio de JPM del mes de julio

del 2016, se efectuaron varias simulaciones con los parámetros de la tabla 4.1 y se

promediaron estos resultados. La tabla 4.2 muestra el precio real de las acciones de

JPM en el mes de julio de 2016, las predicciones obtenidas por los procesos de Lévy

α-estables (Predicción PL), las predicciones conseguidas por un modelo GARCH(2, 1)

de series temporales presentado en el anexo C (Predicción ST) y sus respectivos errores

en comparación con el precio real. En la tabla se observa que en el mayor número de

días del mes de julio, el error que se obtiene a partir de los procesos de Lévy es menor

que el error que se alcanza con el modelo de series temporales.

72

2013 2014 2015 2016

−0.1

00.0

00.1

0

Figura 4.3: Logaritmo de los retornos con la primera simulación de un modelo basado enun proceso de Lévy α-estable.

2013 2014 2015 2016

−0.1

00.0

00.1

0

Figura 4.4: Logaritmo de los retornos con la segunda simulación de un modelo basado enun proceso de Lévy α-estable.

73

2013 2014 2015 2016

−0.1

00.0

00.1

0

Figura 4.5: Logaritmo de los retornos con la tercera simulación de un modelo basado en unproceso de Lévy α-estable.

2013 2014 2015 2016

−0.1

00.0

00.1

0

Figura 4.6: Logaritmo de los retornos con la cuarta simulación de un modelo basado en unproceso de Lévy α-estable.

74

2013 2014 2015 2016

−0.1

00.0

00.1

0

Figura 4.7: Logaritmo de los retornos con la quinta simulación de un modelo basado en unproceso de Lévy α-estable.

Fecha Real Predicción PL Predicción ST Error PL Error ST01/07/2016 61,259998 62,7383527 62,20164 1,4783547 0,94164205/07/2016 59,549999 63,3516827 62,13938 3,8016837 2,58938106/07/2016 60,189999 62,5443076 62,066 2,3543086 1,87600107/07/2016 60,580002 62,5995116 62,1414 2,0195096 1,56139808/07/2016 61,830002 62,939851 62,18296 1,109849 0,35295811/07/2016 62,27 63,6860516 62,14099 1,4160516 0,1290112/07/2016 63,200001 63,580337 62,09151 0,380336 1,10849113/07/2016 63,16 63,1902824 62,14235 0,0302824 1,0176514/07/2016 64,120003 62,6515303 62,17037 1,4684727 1,94963315/07/2016 64,18 63,0284532 62,14207 1,1515468 2,0379318/07/2016 63,959999 62,921418 62,10871 1,038581 1,85128919/07/2016 63,860001 63,1558843 62,14299 0,7041167 1,71701120/07/2016 63,93 63,7112812 62,16188 0,2187188 1,7681221/07/2016 63,689999 63,5301884 62,1428 0,1598106 1,54719922/07/2016 64,040001 63,6497431 62,12031 0,3902579 1,91969125/07/2016 63,869999 63,6635798 62,14342 0,2064192 1,72657926/07/2016 64,129997 63,7141855 62,15616 0,4158115 1,97383727/07/2016 64,330002 61,644135 62,14329 2,685867 2,18671228/07/2016 64,099998 61,6894575 62,12813 2,4105405 1,97186829/07/2016 63,970001 62,2437102 62,14371 1,7262908 1,826291

Tabla 4.2: Predicciones del precio de JPM del mes de julio de 2016 empleando procesosde Lévy α-estables y un modelo GARCH(2, 1) de series temporales.

75

Finalmente se presenta un gráfico en donde se comparan la serie real y las predic-

ciones de los modelos en la Figura 4.8. En el gráfico se observan las variaciones un poco

abruptas que presentan las series tanto la real como la simulación con el proceso de

Lévy que era lo se esperaba, mientras que la serie que se obtuvo con el Modelo GARCH

es prácticamente constante.

jul 04 jul 11 jul 18 jul 25

60

62

64

Serie real vs. predicciones

Tiempo

Pre

cio

Serie realPredicciones Proceso de LévyPredicciones Modelo GARCH

Figura 4.8: Comparación entre la serie real y las predicciones del precio de las acciones deJPMorgan Chase.

4.2.2. Corporación Favorita

Para terminar este trabajo, se realizará el análisis anterior con información ecuato-

riana con el objetivo de evidenciar las misma dificultades de los retornos en el mercado

ecuatoriano. Para ello se tomó información de la Corporación Favorita C.A. que es

una empresa ecuatoriana de servicios y comercio que abrió sus puertas en el año 1952

con un pequeño local que se dedicaba a la venta de jabones, velas y artículos de im-

portación llamada Bodega La Favorita, en 1957 se constituyó como Supermercados La

Favorita C.A y en 2008 cambió su denominación a Corporación Favorita C.A. Actual-

mente cotiza en la Bolsa de Valores de Quito y se encuentra entre las tres empresas

más grandes del país estructurada en cuatro áreas: Comercial, Industrial, Inmobiliaria

y Responsabilidad Social.4

4Tomado de https://es.wikipedia.org/wiki/Corporaci%C3%B3n_Favorita.

76

La información tomada consiste de el precio de las acciones de la Corporación Fa-

vorita en la Bolsa de Valores de Quito comprendida en el período enero 2013 a junio

2016, los datos se encuentran en la tabla D.

Las figuras 4.9 y 4.10 presentan respectivamente, la evolución diaria del precio de

las acciones en la que se observan saltos principalmente a finales de marzo e inicios

de abril de cada año, y el logaritmo de los retornos del precio en donde se evidencian

dichos saltos. La figura 4.11 muestra la distribución del logaritmo de sus retornos en

comparación con la distribución normal, observamos el problema de la alta curtosis y

colas pesadas como en el caso anterior.

2013 2014 2015 2016

2.0

3.0

4.0

5.0

Tiempo

Pre

cio

Figura 4.9: Evolución diaria del precio de las acciones de la Corporación Favorita.

Evidentemente, el mercado ecuatoriano presenta los problemas de los hechos estili-

zados descritos en el capítulo 1. Por está razón, se realizan simulaciones de trayectorias

con procesos de Lévy α-estables a fin de poder capturar las propiedades de este ac-

tivo financiero. Las figuras 4.12 y 4.13 muestran algunas trayectorias simuladas y sus

distribuciones, respectivamente, a partir de los parámetros de la tabla 4.3 que fueron

obtenidos en el software R a través del paquete StableEstim, que al igual que el software

stable, nos proporciona parámetros estimados por el método de máxima verosimilitud.

77

2013 2014 2015 2016

−0.3

−0.1

0.1

Tiempo

Pre

cio

Figura 4.10: Logaritmo de los retornos del precio de las acciones de la Corporación Favorita.

−0.3 −0.2 −0.1 0.0 0.1

050

100

150

Dist. Rendimiento Corp. FavoritaDist. Normal

Figura 4.11: Distribución del logaritmo de los retornos de la Corporación Favorita vs.distribución normal.

78

α β σ µ1,1813480 -0,9990000 0,3724042 4,0453099

Tabla 4.3: Parámetros estimados por máxima verosimilitud del precio de cierre de lasacciones de la Corporación Favorita.

Sin embargo, los parámetros estimados por el paquete StableEstim de R no resul-

taron favorables para el análisis, pues como se observa en las figuras 4.12 y 4.13 las

trayectorias simuladas presentan una tendencia al alza y las distribuciones tienen muy

alta curtosis y asimetría. Así, se proponen nuevos parámetros que fueron obtenidos

realizando varias simulaciones hasta obtener trayectorias parecidas a la original, los

nuevos parámetros se presentan en la tabla 4.4.

α β σ µ1,5 -0,4788 0,562082 -4

Tabla 4.4: Parámetros estimados del precio de cierre de las acciones de la CorporaciónFavorita.

Con estos nuevos parámetros, se observa en la figura 4.14, que las distribuciones

del logaritmo de los retornos simulados se asemejan a la distribución obtenida con los

precios reales, figura 4.11, que es lo que buscábamos además de presentar los saltos en

los precios de las acciones de la Corporación Favorita.

Nuevamente, se simulan algunas trayectorias para obtener predicciones del mes de

julio de 2016, las que se presentan en la tabla 4.5 y en la Figura 4.16. Al igual que JPM

se buscó un modelo de series temporales para obtener predicciones y comparar con las

obtenidas por los procesos de Lévy pero, tras varias pruebas, no se encontró un modelo

válido. Las predicciones obtenidas no fueron tan buenas como en el ejemplo anterior,

tal vez debido al rápido decrecimiento en el valor de las acciones de la Corporación

Favorita en el último año o por la falta de información histórica del precio de las

acciones en general del mercado ecuatoriano.

79

2013

2014

2015

2016

234567

Tie

mpo

Precio

Fig

ura

4.12

:E

volu

ción

dia

ria

del

pre

cio

de

las

acci

ones

de

laC

orpor

ació

nFav

orita

vs.

evol

uci

ones

dia

rias

sim

ula

das

por

pro

ceso

sde

Lev

yα-e

stab

les.

80

−0.010 −0.005 0.000 0.005 0.010

0400

800

1400

S1

S2

S3

S4

S5

DiS. Normal

Figura 4.13: Distribuciones del logaritmo de los retornos de la Corporación Favorita simu-ladas por procesos de Lévy α-estables vs. distribución normal.

−0.06 −0.04 −0.02 0.00 0.02

050

150

S1S2S3S4S5DiS. Normal

Figura 4.14: Distribuciones del logaritmo de los retornos de la Corporación Favorita simu-ladas por procesos de Lévy α-estables vs. distribución normal.

81

2013

2014

2015

2016

2.02.53.03.54.04.55.0

Tie

mpo

Precio

Fig

ura

4.15

:E

volu

ción

dia

ria

del

pre

cio

de

las

acci

ones

de

laC

orpor

ació

nFav

orita

vs.

evol

uci

ones

dia

rias

sim

ula

das

por

pro

ceso

sde

Lev

yα-e

stab

les.

82

Fecha Predicción Real2016-07-01 2,239480381 1,702016-07-04 2,240455402 1,702016-07-05 2,243020697 1,692016-07-06 2,239743186 1,682016-07-11 2,23483733 1,632016-07-12 2,230339242 1,612016-07-13 2,234112567 1,622016-07-14 2,230207007 1,642016-07-15 2,231890003 1,562016-07-18 2,230584622 1,602016-07-19 2,229280458 1,562016-07-20 2,228053183 1,592016-07-25 2,225306867 1,592016-07-26 2,223308704 1,592016-07-27 2,222827949 1,562016-07-28 2,222122063 1,582016-07-29 2,221100509 1,59

Tabla 4.5: Predicciones del precio de la Corporación Favorita del mes de julio de 2016empleando procesos de Lévy α-estables.

jul 04 jul 11 jul 18 jul 25

1.6

2.0

2.4

Serie real vs. predicciones

Tiempo

Pre

cio

Predicciones Proceso de Lévy

Serie Real

Figura 4.16: Comparación entre la serie real y las predicciones del precio de las accionesde la Corporación Favorita.

83

Conclusiones

1. Los procesos estocásticos son un poderoso instrumento matemático para modelar

eventos aleatorios. Especialmente tienen gran acogida en las finanzas desde 1900

con el movimiento browniano ya que presenta propiedades interesantes que se

asemejan al comportamiento de activos financieros.

2. El análisis de las propiedades estadísticas estilizadas de los rendimientos de los

activos financieros ha motivado que se estudien procesos estocásticos más sofisti-

cados y con propiedades generales como los procesos de Lévy, ya que los precios

de activos financieros presentan cambios bruscos (saltos) y sus retornos no pro-

vienen de distribuciones normales como se pensaba, y que los modelos basados

en el movimiento browniano no permiten modelar.

3. Los procesos de Lévy son procesos estocásticos independientes, estacionarios, que

tienen la propiedad cádlág, distribuciones infinitamente divisibles y que se puede

representar de forma única por su tripleta característica (σ, ν, γ), en donde σ

representa la volatilidad del proceso, ν es una la medida de Lévy que representa

los saltos del proceso y γ es la tendencia del proceso.

4. Ejemplos de procesos de Lévy son: el proceso de Wiener, el proceso de Pois-

son, el proceso de Poisson compuesto, procesos de salto-difusión, subordinadores,

procesos estables, entre otros, cada uno con propiedades en sus trayectorias y

distribuciones que permiten o no, saltos en el proceso.

5. La simulación de procesos de Lévy es importante porque nos permite visualizar

principalmente las trayectorias de estos procesos, actividad que fue relativamente

sencillo gracias al software estadístico R.

6. Estimar parámetros para modelos basados en procesos de Lévy requiere algunas

veces de software especializado como stable, ya que las densidades de muchos

procesos de Lévy son desconocidas y requieren de métodos de optimización para

obtenerlos.

7. Los procesos de Lévy efectivamente ayudan a modelar los saltos en los precios de

activos financieros y el comportamiento de sus distribuciones, pues a través de la

84

medida de Lévy y las distribuciones infinitamente divisibles podemos representar

saltos, momentos y cumulantes de los procesos que modelan de mejor manera los

distribuciones de los retornos de los activos.

8. El mercado ecuatoriano también presenta los hechos estilizados de los retornos

de los activos financieros por ende, podemos emplear procesos de Lévy para

simularlos y obtener predicciones.

85

Recomendaciones

1. Ya que los procesos de Lévy permiten caracterizar de forma general varios pro-

cesos estocásticos, se recomienda su estudio en pregrado, pues de esa manera se

tendría una amplia visión de esta clase de procesos estocásticos y sus beneficios.

2. Es necesario realizar simulaciones de los procesos de Lévy para observar las ca-

racterística que en la teoría son difíciles de percibir.

3. Para profundizar en la estimación de parámetros de muchos de los procesos de

Lévy, se requiere el conocimiento de métodos numéricos debido a que general-

mente sus funciones de densidad son desconocidas y es muy difícil realizar una

estimación de máxima verosimilitud de forma tradicional.

4. Debido a la dificultad para obtener precios de activos en las bolsas de valores del

Ecuador, se recomienda emplear información de bolsas de valores extranjeras si

se desea replicar este trabajo.

5. A fin de obtener mejores resultados al emplear esta poderosa herramienta como

son los procesos de Lévy, se recomienda construir bases de datos más confiables

y con mayor información histórica de las empresas ecuatorianas.

86

Referencias

[1] M. Lefebvre, Applied stochastic processes. Springer Science & Business Media,

2007.

[2] P. Tankov, Financial modelling with jump processes. CRC press, 2003, vol. 2.

[3] R. Cont, “Empirical properties of asset returns: stylized facts and statistical issues,”

Quantitative Finance, pp. 223–236, 2001.

[4] Z. Bodie and R. C. Merton, Finanzas. Pearson Educación, 2003.

[5] [Online]. Available: https://es.wikipedia.org/wiki/Mercado_financiero

[6] [Online]. Available: https://es.wikipedia.org/wiki/Instrumento_financiero

[7] [Online]. Available: https://es.wikipedia.org/wiki/Acci%C3%B3n_(finanzas)

[8] L. Jiang and C. Li, Mathematical modeling and methods of option pricing. World

Scientific, 2005.

[9] K.-i. Sato, Lévy processes and infinitely divisible distributions. Cambridge uni-

versity press, 1999.

[10] D. Applebaum, Lévy processes and stochastic calculus. Cambridge university

press, 2009.

[11] A. E. Kyprianou, Fluctuations of Lévy Processes with Applications: Introductory

Lectures. Springer Science & Business Media, 2014.

[12] A. Papapantoleon, “An introduction to lévy processes with applications in finance,”

arXiv preprint arXiv:0804.0482, 2008.

[13] P. E. Protter, Stochastic integration and differential equations. Springer, 2013,

vol. 21.

[14] D. B. Madan, P. P. Carr, and E. C. Chang, “The variance gamma process and

option pricing,” European finance review, vol. 2, no. 1, pp. 79–105, 1998.

87

[15] R. Y. Rubinstein and D. P. Kroese, Simulation and the Monte Carlo Method.

Wiley, 2007, vol. 2.

[16] J. M. Chambers, C. L. Mallows, and B. Stuck, “A method for simulating stable

random variables,” Journal of the american statistical association, vol. 71, no. 354,

pp. 340–344, 1976.

[17] R. Weron, “On the chambers-mallows-stuck method for simulating skewed stable

random variables,” Statistics & probability letters, vol. 28, no. 2, pp. 165–171, 1996.

[18] G. F. Lawler, Introduction to stochastic processes. CRC Press, 2006.

[19] D. Chamorro, Espacios de Lebesgue y de Lorentz. Quito, Ecuador: Escuela Poli-

tecnica Nacional, 2010.

[20] J. Cerdá, Análisis real. Edicions Universitat Barcelona, 1996, vol. 23.

[21] W. Schoutens, Lévy Processes in Finance: Pricing Financial Derivatives. Wiley,

2003.

[22] S. Ross, Simulation. Academic Press, 2013, vol. 5.

[23] R. M. L. Alegría, “Valoración de opciones: una contrastación del modelo de difusión

con saltos de merton,” Ph.D. dissertation, Universidad de La Laguna, 1995.

[24] P. Carr, H. Geman, D. B. Madan, and M. Yor, “The fine structure of asset returns:

An empirical investigation,” The Journal of Business, vol. 75, no. 2, pp. 305–333,

2002.

[25] F. Black and M. Scholes, “The pricing of options and corporate liabilities,” The

journal of political economy, pp. 637–654, 1973.

88

Anexo A

Algunas definiciones de Teoría de la

medida

Las definiciones, a continuación escritas, fueron tomadas principalmente de [19] y

de [20].

Definición A.1 (Espacio topológico). Una familia τ de partes de un conjunto X define

una topología sobre X si se verifica que:

El conjunto vacío ∅ y el conjunto X pertenecen a τ .

La intersección finita de elementos de τ pertenecen a τ .

La reunión cualquiera de elementos de τ pertenece a τ .

Los elementos de τ son llamados conjuntos abiertos, sus completos, cerrados; y el

espacio (X, τ), espacio topológico.

Una topología es separada si, para todo par de puntos distintos x1 y x2, existen dos

abiertos U y V tales que x1 ∈ U , x2 ∈ V y U ∩ V = ∅. Se habla, entonces, de espacio

topológico separado.

Definición A.2 (σ-álgebra, espacio medible, conjunto medible). Un subconjunto A ⊂P(X) de partes de X es una σ-álgebra si se verifica:

Los conjuntos ∅ y X pertenecen a A .

Si A ∈ A , entonces AC ∈ A .

Para toda familia numerable (An)n∈N de elementos de A , tenemos

+∞⋃

n=0

An ∈ A y+∞⋂

n=0

An ∈ A .

89

El conjunto X dotado de una σ-álgebra A , se llama espacio medible y se denota por

(X,A ). Los elementos de la σ-álgebra A , se llaman conjuntos medibles.

Definición A.3 (σ-álgebra engendrada). Sea K ⊂ P(X) un conjunto cualquiera de

partes de X. La intersección de todas las σ-álgebras que contienen K, se llama la

σ-álgebra engendrada por K. Esta es la más pequeña σ-álgebra que contiene K.

Definición A.4 (σ-álgebra Boreliana). Sea X un espacio topológico. La σ-álgebra

engendrada por los abiertos de X se llama σ-álgebra boreliana de X. Denotamos la

σ-álgebra boreliana por B(E).

Un conjunto boreliano (o un boreliano) de un espacio topológico X es todo elemento

de la σ-álgebra boreliana B(E).

Definición A.5 (Medida, espacio medido). Sea (X,A ) un espacio medible. Una me-

dida sobre (X,A ) es una función µ : A → R+ ∪ 0 que verifica:

µ(∅) = 0.

Para toda sucesión de elementos disjuntos (An)n∈N de A ,

µ

(⋃

n∈N

An

)=

∑

n∈N

µ(An).

La tripleta (X,A , µ) se llama espacio medido.

Definición A.6 (Filtración). Una filtración sobre (X,A , µ) es una familia creciente

de σ-álgebras (At)t≥0 tal que para todo t ≥ s ≥ 0, se tiene que As ⊆ At ⊆ A .

At se interpreta como la información conocida al instante t, la cual crece con el

tiempo.

Definición A.7 (Espacio de probabilidad). Sea (X,A , µ) un espacio medido. Si µ(X) =

1, (X,A , µ) se llama espacio de probabilidad y a la medida µ se la conoce como medida

de probabilidad.

Definición A.8 (Espacio de probabilidad filtrado). Un espacio de probabilidad (X,A , µ)

equipado con una filtración, se llama espacio de probabilidad filtrado.

Definición A.9 (Medida de Borel). Sea X un espacio topológico separado. Una medida

boreliana sobre X es una medida cuyo dominio de definición es la σ-álgebra de los

borelianos B(X).

90

Una medida de Borel µ es regular exteriormente en el boreliano A si

µ(A) = ınfA⊂U, U abierto

µ(U).

Una medida de Borel µ es regular interiormente en el boreliano A si

µ(A) = supK⊂E, K compacto

µ(K).

Definición A.10 (Medida de Radon). Se llama medida de Radon a toda medida de

Borel regular exteriormente en todo boreliano y regular interiormente en todo abierto.

91

Anexo B

Función característica, momentos y

cumulantes

Lo presentado en este anexo se encuentran principalmente en [2, Capítulo 2].

Las funciones características son de mucha utilidad porque las propiedades proba-

bilísticas de las variables aleatorias corresponden a las propiedades analíticas de sus

funciones características. A continuación se presenta su definición.

Definición B.1 (Función característica). La función característica de una variable

aleatoria X con función de distribución F , es la función ΦX : R → R definida por

ΦX(z) = E[eizX ] =

∫

R

eizxdF (x), ∀z ∈ R. (B.1)

Las funciones característica son siempre continua y cumplen ΦX(0) = 1. Además,

si dos variables aleatorias tienen la misma función característica, entonces estas son

idénticamente distribuidas. Y, si Xi con i = 1, 2, . . . , n son variables aleatorias inde-

pendientes, la función característica de Sn = X1 +X2 + · · ·+Xn es el producto de sus

funciones características, es decir:

ΦSn(z) =

n∏

i=1

(ΦXi(z)), ∀z ∈ R.

Definición B.2 (Función generadora de momentos). La función generadora de mo-

mentos de una variable aleatoria X se define por:

MX(z) = E[ezX ], ∀z ∈ R. (B.2)

La función generadora de momentos no siempre está bien definida pues no converge

92

para algunos valores de z. Cuando MX está bien definida se tiene que:

MX(z) = ΦX(−iz). (B.3)

Si la función generadora de momentos está definida en una vecindad [−ǫ, ǫ] de cero,entonces los momentos de X son finitos y se pueden calcular por:

mn(X) =∂MX

∂zn(0). (B.4)

Los cuatro primeros momentos de X son:

El primer momento representa la media.

El segundo momento es la varianza.

El tercer momento es la asimetría.

El cuarto momento representa la curtosis.

Definición B.3 (Función generadora de cumulantes). Sea X una variable aleatoria y

ΦX su función característica, la función generadora de cumulantes se define por:

CX(z) = ln(E[eizX ]) = ln(ΦX(z)), ∀z ∈ R. (B.5)

Los cumulantes de X se pueden calcular así:

cn(X) =1

in∂CX∂zn

(0).

A partir de la ecuación (B.2), se tiene que:

c1(X) = m1(X) = E[x],

c2(X) = µ2(X) = m2(X)−m1(X)2 = V ar(X),

c3(X) = µ3(X) = m3(X)− 3m2(X)m1(X) + 2m1(X)3,

c4(X) = µ4(x)− 3µ2(X).

Finalmente, podemos definir la asimetría (s) y la curtosis (k) de X a través de los

cumulantes así:

s(X) =c3(X)

c2(X)3/2, k(X) =

c4(X)

c2(X)2. (B.6)

93

Anexo C

Modelo de series temporales

Se realizará un modelo de series temporales de los datos de JPM a fin de comparar

las predicciones de este modelo con las predicciones de los procesos de Lévy. Para ello

se utilizará el software estadístico EViews.

Primero, se efectúa la prueba de Dickey-Fuller para detectar raíces unitarias y de

esa forma ver si la serie es estacionaria o no. La figura C.1 muestra los resultados de la

prueba en donde, por el t-estadístico y el p-valor de la prueba aumentada de Dickey-

Fuller, podemos concluir que la serie presenta una raíz unitaria y por lo tanto es no

estacionaria con el 95% de confianza.

Para solucionar el problema anterior, se realiza una diferenciación no estacional y

se ejecuta nuevamente la prueba de Dickey-Fuller. En la figura C.2 se observa que,

por el t-estadístico y el p-valor de la prueba aumentada de Dickey-Fuller, la serie con

una diferenciación no estacional no presenta raíces unitarias y por lo tanto la serie es

estacionara.

A partir de las autocorrelaciones y las autocorrelaciones parciales de la serie dife-

renciada se definió el modelo que se presenta en la figura C.3, el cual es un modelo

GARCH(2, 1) y como se observa todos sus coeficientes son significativos.

Para validar el modelo, se observaron los residuos y los residuos al cuadrado esti-

mados por el modelo y estos resultaron no correlacionados, validando el modelo.

Finalmente, la tabla C.1 muestra predicciones para el mes de julio de 2016 con el

modelo de la figura C.3.

94

Null Hypothesis: JPM has a unit rootExogenous: ConstantLag Length: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=20)

t-Statistic Prob.*

Augmented Dickey-Fuller test statistic -2.790166 0.0601Test critical values: 1% level -3.437558

5% level -2.86461110% level -2.568459

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Augmented Dickey-Fuller Test EquationDependent Variable: D(JPM)Method: Least Squares

Sample (adjusted): 2 881Included observations: 880 after adjustments

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

JPM(-1) -0.013441 0.004817 -2.790166 0.0054C 0.803629 0.282177 2.847964 0.0045

R-squared 0.008789 Mean dependent var 0.019864Adjusted R-squared 0.007660 S.D. dependent var 0.797579S.E. of regression 0.794519 Akaike info criterion 2.380109Sum squared resid 554.2461 Schwarz criterion 2.390973Log likelihood -1045.248 Hannan-Quinn criter. 2.384264F-statistic 7.785029 Durbin-Watson stat 1.995185Prob(F-statistic) 0.005382

Figura C.1: Prueba de Dickey-Fuller para la serie de precios de JPM.

95

Null Hypothesis: D(JPM) has a unit rootExogenous: NoneLag Length: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=20)

t-Statistic Prob.*

Augmented Dickey-Fuller test statistic -29.67820 0.0000Test critical values: 1% level -2.567595

5% level -1.94118410% level -1.616457

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Augmented Dickey-Fuller Test EquationDependent Variable: D(JPM,2)Method: Least Squares

Sample (adjusted): 3 881Included observations: 879 after adjustments

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

D(JPM(-1)) -1.002373 0.033775 -29.67820 0.0000

R-squared 0.500794 Mean dependent var 0.001172Adjusted R-squared 0.500794 S.D. dependent var 1.129826S.E. of regression 0.798273 Akaike info criterion 2.388405Sum squared resid 559.4965 Schwarz criterion 2.393841Log likelihood -1048.704 Hannan-Quinn criter. 2.390484Durbin-Watson stat 1.997312

Figura C.2: Prueba de Dickey-Fuller para la serie de precios de JPM con una diferenciaciónno estacional.

96

Dependent Variable: D(JPM)Method: ML - ARCH

Sample (adjusted): 6 881Included observations: 876 after adjustmentsConvergence achieved after 16 iterationsMA Backcast: 2 5Presample variance: backcast (parameter = 0.7)GARCH = C(3) + C(4)*RESID(-1)^2 + C(5)*RESID(-2)^2 + C(6)*GARCH(-1

Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.

AR(4) 0.674259 0.185408 3.636630 0.0003MA(4) -0.704363 0.178485 -3.946332 0.0001

Variance Equation

C 0.013389 0.004361 3.070193 0.0021RESID(-1)^2 0.159601 0.027860 5.728630 0.0000RESID(-2)^2 -0.117352 0.026091 -4.497769 0.0000GARCH(-1) 0.938577 0.013799 68.01614 0.0000

R-squared 0.001228 Mean dependent var 0.018995Adjusted R-squared 0.000085 S.D. dependent var 0.798963S.E. of regression 0.798929 Akaike info criterion 2.285008Sum squared resid 557.8630 Schwarz criterion 2.317716Log likelihood -994.8335 Hannan-Quinn criter. 2.297519Durbin-Watson stat 2.005758

Inverted AR Roots .91Inverted MA Roots .92 .00-.92i .00+.92i -.92

Figura C.3: Información estadística del modelo GARCH(2, 1) de JPM.

97

Fecha Predicción01/07/2016 62,2016405/07/2016 62,1393806/07/2016 62,06607/07/2016 62,141408/07/2016 62,1829611/07/2016 62,1409912/07/2016 62,0915113/07/2016 62,1423514/07/2016 62,1703715/07/2016 62,1420718/07/2016 62,1087119/07/2016 62,1429920/07/2016 62,1618821/07/2016 62,142822/07/2016 62,1203125/07/2016 62,1434226/07/2016 62,1561627/07/2016 62,1432928/07/2016 62,1281329/07/2016 62,14371

Tabla C.1: Predicciones del precio de JPM del mes de julio de 2016 con un modeloGARCH(2, 1) de series temporales.

98

Anexo D

Datos para los modelos financieros

Tabla D.1: Datos de JPMorgan Chase & Co.

Date Close Date Close Date Close

02/01/2013 44,66 05/03/2014 58,16 05/05/2015 64,400002

03/01/2013 44,57 06/03/2014 58,900002 06/05/2015 63,919998

04/01/2013 45,360001 07/03/2014 59,400002 07/05/2015 64,5

07/01/2013 45,41 10/03/2014 59,200001 08/05/2015 65,489998

08/01/2013 45,5 11/03/2014 58,189999 11/05/2015 65,449997

09/01/2013 45,470001 12/03/2014 57,919998 12/05/2015 65,360001

10/01/2013 46,150002 13/03/2014 57,419998 13/05/2015 65,519997

11/01/2013 46,139999 14/03/2014 56,799999 14/05/2015 66,050003

14/01/2013 45,880001 17/03/2014 57,580002 15/05/2015 65,879997

15/01/2013 46,349998 18/03/2014 58,060001 18/05/2015 66,419998

16/01/2013 46,82 19/03/2014 58,299999 19/05/2015 67,010002

17/01/2013 46,439999 20/03/2014 60,110001 20/05/2015 66,480003

18/01/2013 46,459999 21/03/2014 60,169998 21/05/2015 66,650002

22/01/2013 46,540001 24/03/2014 61,07 22/05/2015 66,470001

23/01/2013 46,23 25/03/2014 60,93 26/05/2015 65,730003

24/01/2013 46,369999 26/03/2014 59,900002 27/05/2015 66,470001

25/01/2013 47,16 27/03/2014 59,919998 28/05/2015 66,199997

28/01/2013 46,639999 28/03/2014 60,040001 29/05/2015 65,779999

29/01/2013 47,119999 31/03/2014 60,709999 01/06/2015 66,080002

30/01/2013 47,130001 01/04/2014 60,669998 02/06/2015 66,019997

31/01/2013 47,049999 02/04/2014 60,48 03/06/2015 66,699997

01/02/2013 47,849998 03/04/2014 60,66 04/06/2015 66,330002

04/02/2013 47,68 04/04/2014 59,810001 05/06/2015 67,419998

05/02/2013 48,790001 07/04/2014 59 08/06/2015 66,889999

99

06/02/2013 48,610001 08/04/2014 58,849998 09/06/2015 67,18

07/02/2013 48,23 09/04/2014 59,27 10/06/2015 68,260002

08/02/2013 48,630001 10/04/2014 57,400002 11/06/2015 68,519997

11/02/2013 48,66 11/04/2014 55,299999 12/06/2015 68,25

12/02/2013 49,139999 14/04/2014 54,959999 15/06/2015 67,989998

13/02/2013 48,68 15/04/2014 54,799999 16/06/2015 68,370003

14/02/2013 49,220001 16/04/2014 55,259998 17/06/2015 68,139999

15/02/2013 48,880001 17/04/2014 55,220001 18/06/2015 68,779999

19/02/2013 49,450001 21/04/2014 55,029999 19/06/2015 68,080002

20/02/2013 48,610001 22/04/2014 55,810001 22/06/2015 68,959999

21/02/2013 48,25 23/04/2014 56,049999 23/06/2015 69,75

22/02/2013 48,91 24/04/2014 56,189999 24/06/2015 69,019997

25/02/2013 47,700001 25/04/2014 55,700001 25/06/2015 68,650002

26/02/2013 47,599998 28/04/2014 55,490002 26/06/2015 68,949997

27/02/2013 49,279999 29/04/2014 56,099998 29/06/2015 67,199997

28/02/2013 48,919998 30/04/2014 55,98 30/06/2015 67,760002

01/03/2013 48,91 01/05/2014 55,720001 01/07/2015 68,07

04/03/2013 49,099998 02/05/2014 55,580002 02/07/2015 67,519997

05/03/2013 49,490002 05/05/2014 54,220001 06/07/2015 67,330002

06/03/2013 50,029999 06/05/2014 53,34 07/07/2015 66,800003

07/03/2013 50,630001 07/05/2014 54,049999 08/07/2015 65,43

08/03/2013 50,200001 08/05/2014 54,360001 09/07/2015 66,110001

11/03/2013 50,48 09/05/2014 54,009998 10/07/2015 67,050003

12/03/2013 50,279999 12/05/2014 54,650002 13/07/2015 68,089996

13/03/2013 50,16 13/05/2014 54,619999 14/07/2015 69,040001

14/03/2013 51 14/05/2014 54,360001 15/07/2015 69,190002

15/03/2013 50,02 15/05/2014 53,509998 16/07/2015 69,559998

18/03/2013 49,509998 16/05/2014 53,310001 17/07/2015 69,209999

19/03/2013 49,200001 19/05/2014 53,830002 20/07/2015 69,260002

20/03/2013 49,119999 20/05/2014 53,720001 21/07/2015 69,099998

21/03/2013 48,349998 21/05/2014 54,119999 22/07/2015 70,080002

22/03/2013 48,779999 22/05/2014 54,549999 23/07/2015 69,639999

25/03/2013 48,52 23/05/2014 54,529999 24/07/2015 68,910004

26/03/2013 48,639999 27/05/2014 55,139999 27/07/2015 68,010002

27/03/2013 47,77 28/05/2014 55,450001 28/07/2015 68,050003

28/03/2013 47,459999 29/05/2014 55,720001 29/07/2015 68,940002

01/04/2013 47,830002 30/05/2014 55,57 30/07/2015 69,040001

02/04/2013 48,279999 02/06/2014 55,349998 31/07/2015 68,529999

100

03/04/2013 46,849998 03/06/2014 55,599998 03/08/2015 68,529999

04/04/2013 47,490002 04/06/2014 55,68 04/08/2015 68,459999

05/04/2013 47,91 05/06/2014 56,630001 05/08/2015 68,730003

08/04/2013 48,580002 06/06/2014 56,970001 06/08/2015 68,25

09/04/2013 48,68 09/06/2014 57,419998 07/08/2015 68,050003

10/04/2013 49,25 10/06/2014 57,900002 10/08/2015 68,889999

11/04/2013 49,310001 11/06/2014 57,27 11/08/2015 68,230003

12/04/2013 49,009998 12/06/2014 57,040001 12/08/2015 67,239998

15/04/2013 47,93 13/06/2014 57,040001 13/08/2015 67,550003

16/04/2013 48,490002 16/06/2014 56,869999 14/08/2015 67,889999

17/04/2013 46,790001 17/06/2014 57,419998 17/08/2015 68,07

18/04/2013 46,639999 18/06/2014 57,779999 18/08/2015 68,209999

19/04/2013 47,23 19/06/2014 57,299999 19/08/2015 67,599998

22/04/2013 47,349998 20/06/2014 57,549999 20/08/2015 65,940002

23/04/2013 48,169998 23/06/2014 58,189999 21/08/2015 63,599998

24/04/2013 48,720001 24/06/2014 57,419998 24/08/2015 60,25

25/04/2013 49 25/06/2014 57,529999 25/08/2015 59,91

26/04/2013 48,880001 26/06/2014 57,389999 26/08/2015 62,91

29/04/2013 48,919998 27/06/2014 57,529999 27/08/2015 64,480003

30/04/2013 49,009998 30/06/2014 57,619999 28/08/2015 64,129997

01/05/2013 48,009998 01/07/2014 57,57 31/08/2015 64,099998

02/05/2013 48,080002 02/07/2014 56,970001 01/09/2015 61,450001

03/05/2013 47,57 03/07/2014 57,049999 02/09/2015 62,57

06/05/2013 48,18 07/07/2014 56,669998 03/09/2015 62,68

07/05/2013 49,139999 08/07/2014 55,759998 04/09/2015 61,5

08/05/2013 49,759998 09/07/2014 56,02 08/09/2015 63,16

09/05/2013 49,040001 10/07/2014 55,560001 09/09/2015 62,18

10/05/2013 48,959999 11/07/2014 55,799999 10/09/2015 62,66

13/05/2013 49,669998 14/07/2014 56,290001 11/09/2015 62,560001

14/05/2013 50,23 15/07/2014 58,27 14/09/2015 62,380001

15/05/2013 51,09 16/07/2014 58,709999 15/09/2015 63,580002

16/05/2013 50,970001 17/07/2014 57,860001 16/09/2015 64,139999

17/05/2013 52,299999 18/07/2014 58,23 17/09/2015 62,650002

20/05/2013 52,290001 21/07/2014 58,240002 18/09/2015 60,939999

21/05/2013 53,02 22/07/2014 58,669998 21/09/2015 61,450001

22/05/2013 53,630001 23/07/2014 59 22/09/2015 60,91

23/05/2013 53,349998 24/07/2014 59,169998 23/09/2015 60,639999

24/05/2013 53,66 25/07/2014 59,009998 24/09/2015 60,220001

101

28/05/2013 54,599998 28/07/2014 59,189999 25/09/2015 61,470001

29/05/2013 54,669998 29/07/2014 58,639999 28/09/2015 59,98

30/05/2013 55,619999 30/07/2014 58,91 29/09/2015 59,84

31/05/2013 54,59 31/07/2014 57,669998 30/09/2015 60,970001

03/06/2013 54,490002 01/08/2014 56,48 01/10/2015 61,419998

04/06/2013 54,040001 04/08/2014 56,650002 02/10/2015 60,810001

05/06/2013 53,029999 05/08/2014 56,060001 05/10/2015 62,02

06/06/2013 53,5 06/08/2014 56,23 06/10/2015 62,049999

07/06/2013 54,27 07/08/2014 55,91 07/10/2015 62,130001

10/06/2013 54,360001 08/08/2014 56,34 08/10/2015 62,130001

11/06/2013 53,490002 11/08/2014 56,32 09/10/2015 61,93

12/06/2013 53,18 12/08/2014 56,349998 12/10/2015 61,720001

13/06/2013 54,169998 13/08/2014 56,720001 13/10/2015 61,549999

14/06/2013 53,130001 14/08/2014 56,98 14/10/2015 59,990002

17/06/2013 53,849998 15/08/2014 56,75 15/10/2015 61,889999

18/06/2013 54,110001 18/08/2014 57,23 16/10/2015 62,43

19/06/2013 53,549999 19/08/2014 57,560001 19/10/2015 62,220001

20/06/2013 52,48 20/08/2014 57,639999 20/10/2015 62,52

21/06/2013 51,959999 21/08/2014 58,5 21/10/2015 62,060001

24/06/2013 50,919998 22/08/2014 58,490002 22/10/2015 63,189999

25/06/2013 52,080002 25/08/2014 59,34 23/10/2015 63,869999

26/06/2013 52,5 26/08/2014 59,740002 26/10/2015 63,900002

27/06/2013 53,150002 27/08/2014 59,59 27/10/2015 63,639999

28/06/2013 52,790001 28/08/2014 59,16 28/10/2015 65,5

01/07/2013 52,490002 29/08/2014 59,450001 29/10/2015 65,209999

02/07/2013 52,799999 02/09/2014 59,669998 30/10/2015 64,25

03/07/2013 52,77 03/09/2014 59,700001 02/11/2015 65,540001

05/07/2013 53,990002 04/09/2014 59,709999 03/11/2015 65,779999

08/07/2013 54,700001 05/09/2014 59,91 04/11/2015 65,849998

09/07/2013 54,889999 08/09/2014 59,889999 05/11/2015 66,440002

10/07/2013 54,830002 09/09/2014 59,060001 06/11/2015 68,459999

11/07/2013 55,139999 10/09/2014 59,220001 09/11/2015 67,389999

12/07/2013 54,970001 11/09/2014 59,759998 10/11/2015 67,68

15/07/2013 54,889999 12/09/2014 60,029999 11/11/2015 67,349998

16/07/2013 55,009998 15/09/2014 59,939999 12/11/2015 66

17/07/2013 55,27 16/09/2014 59,990002 13/11/2015 65,559998

18/07/2013 56,369999 17/09/2014 60,310001 16/11/2015 66,510002

19/07/2013 56,16 18/09/2014 61,32 17/11/2015 66,129997

102

22/07/2013 56,560001 19/09/2014 61,110001 18/11/2015 67,449997

23/07/2013 56,669998 22/09/2014 60,91 19/11/2015 67,660004

24/07/2013 56,630001 23/09/2014 60,939999 20/11/2015 67,540001

25/07/2013 56,5 24/09/2014 61,630001 23/11/2015 66,879997

26/07/2013 56,049999 25/09/2014 60,150002 24/11/2015 66,779999

29/07/2013 55,689999 26/09/2014 60,560001 25/11/2015 66,860001

30/07/2013 55,330002 29/09/2014 60,330002 27/11/2015 67,169998

31/07/2013 55,73 30/09/2014 60,240002 30/11/2015 66,68

01/08/2013 56,540001 01/10/2014 59,77 01/12/2015 67,610001

02/08/2013 56,490002 02/10/2014 58,84 02/12/2015 66,660004

05/08/2013 56,099998 03/10/2014 60,299999 03/12/2015 65,800003

06/08/2013 55,490002 06/10/2014 60,18 04/12/2015 67,889999

07/08/2013 55,299999 07/10/2014 59,27 07/12/2015 67

08/08/2013 54,830002 08/10/2014 60,400002 08/12/2015 65,959999

09/08/2013 54,52 09/10/2014 59,080002 09/12/2015 65,459999

12/08/2013 54,09 10/10/2014 58,52 10/12/2015 65,610001

13/08/2013 54,290001 13/10/2014 58,16 11/12/2015 64,07

14/08/2013 54,150002 14/10/2014 57,990002 14/12/2015 64,269997

15/08/2013 53,290001 15/10/2014 55,529999 15/12/2015 66,099998

16/08/2013 53,290001 16/10/2014 55,080002 16/12/2015 67,529999

19/08/2013 51,830002 17/10/2014 56,200001 17/12/2015 66,279999

20/08/2013 52,119999 20/10/2014 56,630001 18/12/2015 64,400002

21/08/2013 51,630001 21/10/2014 57,93 21/12/2015 65,540001

22/08/2013 52,209999 22/10/2014 57,450001 22/12/2015 65,68

23/08/2013 52,32 23/10/2014 58,060001 23/12/2015 66,730003

26/08/2013 51,799999 24/10/2014 58,740002 24/12/2015 66,599998

27/08/2013 50,599998 27/10/2014 58,639999 28/12/2015 66,379997

28/08/2013 50,580002 28/10/2014 59,630001 29/12/2015 67,07

29/08/2013 50,700001 29/10/2014 59,290001 30/12/2015 66,589996

30/08/2013 50,529999 30/10/2014 59,389999 31/12/2015 66,029999

03/09/2013 51,130001 31/10/2014 60,48 04/01/2016 63,619999

04/09/2013 51,869999 03/11/2014 60,880001 05/01/2016 63,73

05/09/2013 52,110001 04/11/2014 60,25 06/01/2016 62,810001

06/09/2013 52,560001 05/11/2014 61,150002 07/01/2016 60,27

09/09/2013 52,860001 06/11/2014 61,23 08/01/2016 58,919998

10/09/2013 53,669998 07/11/2014 61,470001 11/01/2016 58,830002

11/09/2013 53,259998 10/11/2014 61,93 12/01/2016 58,959999

12/09/2013 52,240002 11/11/2014 61,369999 13/01/2016 57,34

103

13/09/2013 52,59 12/11/2014 60,560001 14/01/2016 58,200001

16/09/2013 53,139999 13/11/2014 60,23 15/01/2016 57,040001

17/09/2013 53,09 14/11/2014 60,279999 19/01/2016 57,009998

18/09/2013 53,41 17/11/2014 60,380001 20/01/2016 55,509998

19/09/2013 52,75 18/11/2014 60,529999 21/01/2016 55,25

20/09/2013 52,799999 19/11/2014 60,599998 22/01/2016 56,950001

23/09/2013 51,459999 20/11/2014 60,119999 25/01/2016 55,66

24/09/2013 50,32 21/11/2014 60,450001 26/01/2016 57,080002

25/09/2013 51,700001 24/11/2014 60,959999 27/01/2016 57,040001

26/09/2013 51,889999 25/11/2014 60,299999 28/01/2016 57,279999

27/09/2013 52,240002 26/11/2014 60,34 29/01/2016 59,5

30/09/2013 51,689999 28/11/2014 60,16 01/02/2016 58,860001

01/10/2013 51,959999 01/12/2014 60 02/02/2016 57,029999

02/10/2013 52,09 02/12/2014 61,080002 03/02/2016 57,41

03/10/2013 51,939999 03/12/2014 61,540001 04/02/2016 58,400002

04/10/2013 52,669998 04/12/2014 61,380001 05/02/2016 57,75

07/10/2013 51,830002 05/12/2014 62,700001 08/02/2016 56,540001

08/10/2013 50,869999 08/12/2014 62,669998 09/02/2016 56,200001

09/10/2013 50,75 09/12/2014 62,450001 10/02/2016 55,52

10/10/2013 52,52 10/12/2014 60,68 11/02/2016 53,07

11/10/2013 52,509998 11/12/2014 61,139999 12/02/2016 57,490002

14/10/2013 52,709999 12/12/2014 60,040001 16/02/2016 58,349998

15/10/2013 52,310001 15/12/2014 59,16 17/02/2016 58,77

16/10/2013 54 16/12/2014 58,43 18/02/2016 57,810001

17/10/2013 54,209999 17/12/2014 59,77 19/02/2016 57,82

18/10/2013 54,299999 18/12/2014 61,48 22/02/2016 58,57

21/10/2013 54,27 19/12/2014 61,93 23/02/2016 56,119999

22/10/2013 53,619999 22/12/2014 61,939999 24/02/2016 56,139999

23/10/2013 52,75 23/12/2014 62,48 25/02/2016 57,009998

24/10/2013 52,48 24/12/2014 62,48 26/02/2016 57,540001

25/10/2013 52,77 26/12/2014 62,549999 29/02/2016 56,299999

28/10/2013 52,68 29/12/2014 62,959999 01/03/2016 59,200001

29/10/2013 52,73 30/12/2014 63,150002 02/03/2016 59,759998

30/10/2013 52,599998 31/12/2014 62,580002 03/03/2016 59,959999

31/10/2013 51,540001 02/01/2015 62,490002 04/03/2016 60,049999

01/11/2013 52,509998 05/01/2015 60,549999 07/03/2016 59,939999

04/11/2013 52,040001 06/01/2015 58,98 08/03/2016 58,779999

05/11/2013 51,950001 07/01/2015 59,07 09/03/2016 59,119999

104

06/11/2013 52,099998 08/01/2015 60,389999 10/03/2016 58,610001

07/11/2013 51,650002 09/01/2015 59,34 11/03/2016 59,34

08/11/2013 53,959999 12/01/2015 58,830002 14/03/2016 59,119999

11/11/2013 54,099998 13/01/2015 58,84 15/03/2016 59,200001

12/11/2013 53,970001 14/01/2015 56,810001 16/03/2016 58,919998

13/11/2013 54,139999 15/01/2015 54,990002 17/03/2016 58,75

14/11/2013 54,400002 16/01/2015 55,93 18/03/2016 60,48

15/11/2013 54,869999 20/01/2015 55,709999 21/03/2016 60,459999

18/11/2013 55,740002 21/01/2015 55,889999 22/03/2016 60,240002

19/11/2013 56,150002 22/01/2015 57,59 23/03/2016 59,939999

20/11/2013 56,099998 23/01/2015 56,68 24/03/2016 59,48

21/11/2013 57,220001 26/01/2015 56,77 28/03/2016 59,400002

22/11/2013 57,459999 27/01/2015 56,200001 29/03/2016 59,029999

25/11/2013 57,650002 28/01/2015 54,75 30/03/2016 59,709999

26/11/2013 57,169998 29/01/2015 55,669998 31/03/2016 59,220001

27/11/2013 57,48 30/01/2015 54,380001 01/04/2016 59,869999

29/11/2013 57,220001 02/02/2015 55,470001 04/04/2016 59,200001

02/12/2013 56,98 03/02/2015 56,720001 05/04/2016 58,360001

03/12/2013 56,860001 04/02/2015 56,380001 06/04/2016 58,810001

04/12/2013 57,189999 05/02/2015 56,77 07/04/2016 57,32

05/12/2013 55,82 06/02/2015 57,889999 08/04/2016 57,740002

06/12/2013 56,060001 09/02/2015 57,82 11/04/2016 58,200001

09/12/2013 56,509998 10/02/2015 58,459999 12/04/2016 59,279999

10/12/2013 56,700001 11/02/2015 58,369999 13/04/2016 61,790001

11/12/2013 56,07 12/02/2015 59,57 14/04/2016 62,59

12/12/2013 56,310001 13/02/2015 59,669998 15/04/2016 61,869999

13/12/2013 56,169998 17/02/2015 60,099998 18/04/2016 62,27

16/12/2013 56,419998 18/02/2015 59,369999 19/04/2016 63,32

17/12/2013 55,720001 19/02/2015 59,23 20/04/2016 64,239998

18/12/2013 57,240002 20/02/2015 59,799999 21/04/2016 63,599998

19/12/2013 57,23 23/02/2015 59,349998 22/04/2016 63,970001

20/12/2013 57,700001 24/02/2015 60,82 25/04/2016 63,599998

23/12/2013 58,240002 25/02/2015 61,139999 26/04/2016 63,93

24/12/2013 58,25 26/02/2015 61,580002 27/04/2016 64,110001

26/12/2013 58,200001 27/02/2015 61,279999 28/04/2016 63,599998

27/12/2013 58,139999 02/03/2015 61,77 29/04/2016 63,200001

30/12/2013 57,950001 03/03/2015 61,970001 02/05/2016 63,790001

31/12/2013 58,48 04/03/2015 62,130001 03/05/2016 62,560001

105

02/01/2014 58,209999 05/03/2015 62 04/05/2016 61,57

03/01/2014 58,66 06/03/2015 60,889999 05/05/2016 61,240002

06/01/2014 59 09/03/2015 61,5 06/05/2016 61,599998

07/01/2014 58,32 10/03/2015 59,959999 09/05/2016 61,209999

08/01/2014 58,869999 11/03/2015 60,240002 10/05/2016 62,040001

09/01/2014 58,759998 12/03/2015 61,369999 11/05/2016 61,810001

10/01/2014 58,490002 13/03/2015 61 12/05/2016 61,77

13/01/2014 57,700001 16/03/2015 61,849998 13/05/2016 61,200001

14/01/2014 57,740002 17/03/2015 61,610001 16/05/2016 61,66

15/01/2014 59,490002 18/03/2015 61,75 17/05/2016 61,66

16/01/2014 58,990002 19/03/2015 61,200001 18/05/2016 64,040001

17/01/2014 58,110001 20/03/2015 61,75 19/05/2016 63,389999

21/01/2014 58,169998 23/03/2015 61,139999 20/05/2016 63,509998

22/01/2014 57,59 24/03/2015 60,459999 23/05/2016 63,459999

23/01/2014 56,470001 25/03/2015 59,610001 24/05/2016 64,540001

24/01/2014 55,09 26/03/2015 59,540001 25/05/2016 65,519997

27/01/2014 55,09 27/03/2015 59,549999 26/05/2016 65,029999

28/01/2014 55,740002 30/03/2015 60,959999 27/05/2016 65,43

29/01/2014 55,529999 31/03/2015 60,580002 31/05/2016 65,269997

30/01/2014 56 01/04/2015 59,950001 01/06/2016 65,690002

31/01/2014 55,360001 02/04/2015 60,52 02/06/2016 65,809998

03/02/2014 54,310001 06/04/2015 60,470001 03/06/2016 64,639999

04/02/2014 54,950001 07/04/2015 60,849998 06/06/2016 65,279999

05/02/2014 55,209999 08/04/2015 61,049999 07/06/2016 65,059998

06/02/2014 56,48 09/04/2015 61,470001 08/06/2016 65,25

07/02/2014 56,619999 10/04/2015 61,700001 09/06/2016 64,75

10/02/2014 56,740002 13/04/2015 62,07 10/06/2016 63,84

11/02/2014 57,43 14/04/2015 63,040001 13/06/2016 63,27

12/02/2014 57,52 15/04/2015 64,209999 14/06/2016 62,080002

13/02/2014 58,029999 16/04/2015 63,810001 15/06/2016 61,970001

14/02/2014 58,150002 17/04/2015 62,84 16/06/2016 62,220001

18/02/2014 58,490002 20/04/2015 63,240002 17/06/2016 62,279999

19/02/2014 57,259998 21/04/2015 62,310001 20/06/2016 62,369999

20/02/2014 57,580002 22/04/2015 62,939999 21/06/2016 62,950001

21/02/2014 57,610001 23/04/2015 62,799999 22/06/2016 62,709999

24/02/2014 58,029999 24/04/2015 62,599998 23/06/2016 64,050003

25/02/2014 57,029999 27/04/2015 62,34 24/06/2016 59,599998

26/02/2014 56,75 28/04/2015 62,759998 27/06/2016 57,610001

106

27/02/2014 56,689999 29/04/2015 63,599998 28/06/2016 59,52

28/02/2014 56,82 30/04/2015 63,259998 29/06/2016 61,200001

03/03/2014 56,209999 01/05/2015 63,610001 30/06/2016 62,139999

04/03/2014 57,259998 04/05/2015 64,720001

Fuente: https://es-us.finanzas.yahoo.com.

Tabla D.2: Datos de la Corporación Favorita.

Fecha Precio Fecha Precio Fecha Precio

03/01/2013 3,99 28/02/2014 4,72 24/04/2015 3,34

04/01/2013 3,99 05/03/2014 4,72 27/04/2015 3,33

07/01/2013 3,97 06/03/2014 4,72 28/04/2015 3,32

08/01/2013 3,98 07/03/2014 4,7 29/04/2015 3,3

09/01/2013 3,99 10/03/2014 4,73 30/04/2015 3,31

10/01/2013 3,98 11/03/2014 4,72 04/05/2015 3,3

11/01/2013 3,97 12/03/2014 4,73 05/05/2015 3,3

14/01/2013 3,98 13/03/2014 4,72 06/05/2015 3,3

15/01/2013 3,98 14/03/2014 4,7 07/05/2015 3,27

16/01/2013 3,98 17/03/2014 4,71 08/05/2015 3,26

17/01/2013 3,98 18/03/2014 4,71 11/05/2015 3,25

18/01/2013 3,99 19/03/2014 4,7 12/05/2015 3,21

21/01/2013 4 20/03/2014 4,65 13/05/2015 3,24

22/01/2013 3,98 21/03/2014 4,68 14/05/2015 3,18

23/01/2013 4 24/03/2014 4,65 15/05/2015 3,15

24/01/2013 3,99 25/03/2014 4,65 18/05/2015 3,16

25/01/2013 4 26/03/2014 4,63 19/05/2015 3,13

28/01/2013 4,05 28/03/2014 4,04 20/05/2015 3,17

29/01/2013 4,01 31/03/2014 4,04 21/05/2015 3,1

30/01/2013 4,05 01/04/2014 4,03 22/05/2015 3,12

31/01/2013 4,1 02/04/2014 4,04 25/05/2015 3,17

01/02/2013 4,1 03/04/2014 4,04 26/05/2015 3,1

05/02/2013 4,15 04/04/2014 4,04 27/05/2015 3,1

06/02/2013 4,15 07/04/2014 4,03 28/05/2015 3,1

07/02/2013 4,12 08/04/2014 4,03 29/05/2015 3,09

08/02/2013 4,15 09/04/2014 4,03 01/06/2015 3,07

13/02/2013 4,15 10/04/2014 4,01 02/06/2015 3,06

14/02/2013 4,1 11/04/2014 4 03/06/2015 3,07

15/02/2013 4,09 14/04/2014 4 04/06/2015 3,07

107

18/02/2013 4,2 15/04/2014 4 05/06/2015 3,05

19/02/2013 4,1 16/04/2014 4 08/06/2015 3,05

20/02/2013 4,2 17/04/2014 4 09/06/2015 3,04

21/02/2013 4,18 21/04/2014 4 10/06/2015 3,05

22/02/2013 4,24 22/04/2014 3,99 11/06/2015 3,05

25/02/2013 4,24 23/04/2014 4 12/06/2015 3,05

26/02/2013 4,34 24/04/2014 4 15/06/2015 3,05

27/02/2013 4,34 25/04/2014 4 16/06/2015 3,05

28/02/2013 4,3 28/04/2014 3,99 17/06/2015 3,05

01/03/2013 4,3 29/04/2014 4 18/06/2015 2,99

04/03/2013 4,32 30/04/2014 3,99 19/06/2015 3,03

05/03/2013 4,31 02/05/2014 4 22/06/2015 3,05

07/03/2013 4,31 05/05/2014 4,01 23/06/2015 3

08/03/2013 4,35 06/05/2014 4 24/06/2015 3

11/03/2013 4,34 07/05/2014 4 25/06/2015 3

12/03/2013 4,34 08/05/2014 4,01 26/06/2015 2,99

13/03/2013 4,35 09/05/2014 4,01 29/06/2015 2,99

14/03/2013 4,4 12/05/2014 4 30/06/2015 2,98

15/03/2013 4,45 13/05/2014 4 01/07/2015 2,96

18/03/2013 4,45 14/05/2014 4 02/07/2015 2,99

19/03/2013 4,45 15/05/2014 4 03/07/2015 2,97

20/03/2013 4,45 16/05/2014 4 06/07/2015 2,99

21/03/2013 4,47 19/05/2014 4 08/07/2015 3

22/03/2013 4,45 20/05/2014 4 09/07/2015 2,98

25/03/2013 4,48 21/05/2014 4 10/07/2015 2,98

26/03/2013 4,48 22/05/2014 3,99 13/07/2015 3

27/03/2013 4,9 23/05/2014 4 14/07/2015 2,97

01/04/2013 4,11 26/05/2014 3,99 15/07/2015 2,98

02/04/2013 4 27/05/2014 3,99 16/07/2015 2,97

03/04/2013 4,04 28/05/2014 3,99 20/07/2015 2,98

04/04/2013 4 29/05/2014 4 21/07/2015 2,98

05/04/2013 4,05 30/05/2014 3,98 22/07/2015 2,98

08/04/2013 4,04 02/06/2014 3,99 23/07/2015 2,96

09/04/2013 4,02 03/06/2014 3,99 24/07/2015 2,97

10/04/2013 4 04/06/2014 3,99 27/07/2015 2,97

11/04/2013 4,02 05/06/2014 3,99 28/07/2015 2,96

12/04/2013 4 06/06/2014 3,99 29/07/2015 2,97

15/04/2013 4 09/06/2014 3,99 30/07/2015 2,94

108

16/04/2013 4 10/06/2014 4 31/07/2015 2,95

17/04/2013 4 11/06/2014 3,99 03/08/2015 2,97

18/04/2013 4 12/06/2014 3,99 04/08/2015 2,95

22/04/2013 4 13/06/2014 3,99 05/08/2015 2,94

23/04/2013 4 16/06/2014 3,98 06/08/2015 2,92

24/04/2013 4 17/06/2014 3,98 07/08/2015 2,9

25/04/2013 4 18/06/2014 3,99 11/08/2015 2,88

26/04/2013 4 19/06/2014 3,98 12/08/2015 2,83

29/04/2013 4 20/06/2014 3,99 13/08/2015 2,7

30/04/2013 4 23/06/2014 3,99 14/08/2015 2,83

02/05/2013 4 24/06/2014 3,98 17/08/2015 2,83

03/05/2013 4,02 25/06/2014 4 18/08/2015 2,78

06/05/2013 4,02 26/06/2014 4 19/08/2015 2,77

07/05/2013 4 27/06/2014 4 20/08/2015 2,76

08/05/2013 4,02 30/06/2014 4 21/08/2015 2,69

09/05/2013 4 01/07/2014 4 25/08/2015 2,83

10/05/2013 4,02 02/07/2014 4 26/08/2015 2,69

13/05/2013 4,02 03/07/2014 4 27/08/2015 2,67

14/05/2013 4 04/07/2014 3,99 28/08/2015 2,68

15/05/2013 4,02 07/07/2014 4 31/08/2015 2,67

16/05/2013 4,02 08/07/2014 4,02 01/09/2015 2,7

17/05/2013 4,02 09/07/2014 4,02 02/09/2015 2,65

20/05/2013 4,02 10/07/2014 4,03 03/09/2015 2,65

21/05/2013 4 11/07/2014 4,04 07/09/2015 2,65

22/05/2013 4,02 14/07/2014 4,04 08/09/2015 2,64

23/05/2013 4,02 15/07/2014 4,04 09/09/2015 2,59

27/05/2013 4,02 16/07/2014 4,05 10/09/2015 2,6

28/05/2013 4,02 17/07/2014 4,05 11/09/2015 2,58

29/05/2013 4,02 18/07/2014 4,05 15/09/2015 2,56

30/05/2013 4,02 21/07/2014 4,06 16/09/2015 2,5

31/05/2013 4,02 22/07/2014 4,05 17/09/2015 2,49

03/06/2013 4,01 23/07/2014 4,07 18/09/2015 2,47

04/06/2013 4,03 24/07/2014 4,08 21/09/2015 2,39

05/06/2013 4,03 25/07/2014 4,08 22/09/2015 2,33

06/06/2013 4,03 28/07/2014 4,07 23/09/2015 2,23

07/06/2013 4,03 29/07/2014 4,07 24/09/2015 2,29

10/06/2013 4,02 30/07/2014 4,08 25/09/2015 2,18

11/06/2013 4,03 31/07/2014 4,09 28/09/2015 2,18

109

12/06/2013 4,03 01/08/2014 4,1 29/09/2015 2,1

13/06/2013 4,03 04/08/2014 4,11 30/09/2015 2,1

14/06/2013 4,05 05/08/2014 4,12 01/10/2015 2,1

17/06/2013 4,03 06/08/2014 4,13 02/10/2015 2,17

18/06/2013 4,01 07/08/2014 4,14 05/10/2015 2,17

19/06/2013 4,03 08/08/2014 4,14 06/10/2015 2,14

20/06/2013 4,01 11/08/2014 4,15 07/10/2015 2,1

21/06/2013 4,03 12/08/2014 4,15 08/10/2015 2,1

24/06/2013 4,02 13/08/2014 4,15 12/10/2015 2,1

25/06/2013 4,03 14/08/2014 4,16 13/10/2015 2,1

26/06/2013 4,03 15/08/2014 4,15 14/10/2015 2,1

27/06/2013 4,03 18/08/2014 4,15 15/10/2015 2,1

28/06/2013 4,03 19/08/2014 4,16 16/10/2015 2,1

01/07/2013 4,03 20/08/2014 4,16 19/10/2015 2,1

02/07/2013 4,03 21/08/2014 4,15 20/10/2015 2,1

03/07/2013 4,04 22/08/2014 4,16 21/10/2015 2,1

04/07/2013 4,03 25/08/2014 4,16 22/10/2015 2,1

05/07/2013 4,05 26/08/2014 4,17 23/10/2015 2,1

08/07/2013 4,05 27/08/2014 4,13 26/10/2015 2,2

09/07/2013 4,02 28/08/2014 4,16 27/10/2015 2,22

10/07/2013 4,05 29/08/2014 4,15 28/10/2015 2,3

11/07/2013 4,04 01/09/2014 4,15 29/10/2015 2,35

12/07/2013 4,03 02/09/2014 4,16 30/10/2015 2,4

15/07/2013 4,03 03/09/2014 4,15 04/11/2015 2,4

16/07/2013 4,03 04/09/2014 4,16 05/11/2015 2,39

17/07/2013 4,05 05/09/2014 4,16 06/11/2015 2,36

18/07/2013 4,05 08/09/2014 4,15 09/11/2015 2,36

19/07/2013 4,03 09/09/2014 4,17 10/11/2015 2,39

22/07/2013 4,03 10/09/2014 4,16 11/11/2015 2,38

23/07/2013 4,04 11/09/2014 4,16 12/11/2015 2,42

24/07/2013 4,05 12/09/2014 4,15 13/11/2015 2,37

25/07/2013 4,05 15/09/2014 4,16 16/11/2015 2,38

26/07/2013 4,05 16/09/2014 4,16 17/11/2015 2,37

29/07/2013 4,03 17/09/2014 4,15 18/11/2015 2,38

30/07/2013 4,05 18/09/2014 4,15 19/11/2015 2,35

31/07/2013 4,05 19/09/2014 4,14 20/11/2015 2,38

01/08/2013 4,05 22/09/2014 4,14 23/11/2015 2,37

02/08/2013 4,05 23/09/2014 4,14 24/11/2015 2,37

110

05/08/2013 4,06 24/09/2014 4,15 25/11/2015 2,37

06/08/2013 4,05 25/09/2014 4,15 26/11/2015 2,37

07/08/2013 4,06 26/09/2014 4,14 27/11/2015 2,38

08/08/2013 4,06 29/09/2014 4,15 30/11/2015 2,38

09/08/2013 4,07 30/09/2014 4,14 01/12/2015 2,38

12/08/2013 4,07 01/10/2014 4,15 02/12/2015 2,39

13/08/2013 4,06 02/10/2014 4,15 04/12/2015 2,38

14/08/2013 4,07 03/10/2014 4,15 07/12/2015 2,37

15/08/2013 4,08 06/10/2014 4,14 08/12/2015 2,38

16/08/2013 4,1 07/10/2014 4,15 09/12/2015 2,37

20/08/2013 4,11 08/10/2014 4,14 10/12/2015 2,37

21/08/2013 4,1 09/10/2014 4,14 11/12/2015 2,28

22/08/2013 4,11 13/10/2014 4,14 14/12/2015 2,34

23/08/2013 4,1 14/10/2014 4,14 15/12/2015 2,3

26/08/2013 4,1 15/10/2014 4,14 16/12/2015 2,31

27/08/2013 4,1 16/10/2014 4,13 17/12/2015 2,31

28/08/2013 4,1 17/10/2014 4,13 18/12/2015 2,32

29/08/2013 4,1 20/10/2014 4,14 21/12/2015 2,28

30/08/2013 4,11 21/10/2014 4,14 22/12/2015 2,31

02/09/2013 4,11 22/10/2014 4,14 23/12/2015 2,31

03/09/2013 4,1 23/10/2014 4,14 24/12/2015 2,33

04/09/2013 4,08 24/10/2014 4,14 28/12/2015 2,32

05/09/2013 4,09 27/10/2014 4,13 29/12/2015 2,3

06/09/2013 4,1 28/10/2014 4,12 04/01/2016 2,28

09/09/2013 4,1 29/10/2014 4,12 05/01/2016 2,28

10/09/2013 4,1 30/10/2014 4,13 06/01/2016 2,29

11/09/2013 4,1 31/10/2014 4,14 07/01/2016 2,29

12/09/2013 4,1 04/11/2014 4,13 08/01/2016 2,28

13/09/2013 4,1 05/11/2014 4,15 11/01/2016 2,29

16/09/2013 4,1 06/11/2014 4,15 12/01/2016 2,28

17/09/2013 4,1 07/11/2014 4,15 13/01/2016 2,26

18/09/2013 4,1 10/11/2014 4,15 14/01/2016 2,25

19/09/2013 4,1 11/11/2014 4,16 15/01/2016 2,2

20/09/2013 4,1 12/11/2014 4,16 18/01/2016 2,2

23/09/2013 4,1 13/11/2014 4,17 19/01/2016 2,18

24/09/2013 4,1 14/11/2014 4,15 20/01/2016 2,15

25/09/2013 4,1 17/11/2014 4,18 21/01/2016 2,18

26/09/2013 4,1 18/11/2014 4,18 22/01/2016 2,15

111

27/09/2013 4,1 19/11/2014 4,19 25/01/2016 2,08

30/09/2013 4,1 20/11/2014 4,19 26/01/2016 2,08

01/10/2013 4,1 21/11/2014 4,19 27/01/2016 2,05

02/10/2013 4,1 24/11/2014 4,19 28/01/2016 2,08

03/10/2013 4,1 25/11/2014 4,19 29/01/2016 2,1

04/10/2013 4,05 26/11/2014 4,19 01/02/2016 2,09

07/10/2013 4,1 27/11/2014 4,19 02/02/2016 2,08

08/10/2013 4,1 28/11/2014 4,19 03/02/2016 2,09

09/10/2013 4,1 01/12/2014 4,2 04/02/2016 2,1

10/10/2013 4,1 02/12/2014 4,2 05/02/2016 2,08

14/10/2013 4,1 03/12/2014 4,2 10/02/2016 2,09

15/10/2013 4,1 04/12/2014 4,19 11/02/2016 2,05

16/10/2013 4,1 05/12/2014 4,2 12/02/2016 2,09

17/10/2013 4,1 08/12/2014 4,19 15/02/2016 2,08

18/10/2013 4,1 09/12/2014 4,19 16/02/2016 2,08

21/10/2013 4,1 10/12/2014 4,2 17/02/2016 2,09

22/10/2013 4,1 11/12/2014 4,2 18/02/2016 2,1

23/10/2013 4,1 12/12/2014 4,2 19/02/2016 2,1

25/10/2013 4,1 15/12/2014 4,19 22/02/2016 2,1

28/10/2013 4,11 16/12/2014 4,19 23/02/2016 2,1

29/10/2013 4,11 17/12/2014 4,19 24/02/2016 2,1

30/10/2013 4,11 18/12/2014 4,19 25/02/2016 2,1

31/10/2013 4,11 19/12/2014 4,2 26/02/2016 2,08

01/11/2013 4,12 22/12/2014 4,18 29/02/2016 2,07

04/11/2013 4,12 23/12/2014 4,18 01/03/2016 2,08

05/11/2013 4,13 24/12/2014 4,19 02/03/2016 2,08

06/11/2013 4,13 29/12/2014 4,18 03/03/2016 2,05

07/11/2013 4,13 30/12/2014 4,19 04/03/2016 2,05

08/11/2013 4,15 05/01/2015 4,18 07/03/2016 2,03

11/11/2013 4,15 06/01/2015 4,18 08/03/2016 2,04

12/11/2013 4,16 07/01/2015 4,17 09/03/2016 2,05

13/11/2013 4,16 08/01/2015 4,18 10/03/2016 2,05

14/11/2013 4,18 09/01/2015 4,17 11/03/2016 2,08

15/11/2013 4,19 12/01/2015 4,18 14/03/2016 2,1

18/11/2013 4,21 13/01/2015 4,18 15/03/2016 2,1

19/11/2013 4,22 14/01/2015 4,18 16/03/2016 2,15

20/11/2013 4,2 15/01/2015 4,16 17/03/2016 2,18

21/11/2013 4,22 16/01/2015 4,15 18/03/2016 2,2

112

22/11/2013 4,2 19/01/2015 4,15 21/03/2016 2,31

25/11/2013 4,23 20/01/2015 4,16 22/03/2016 2,2

26/11/2013 4,25 21/01/2015 4,17 23/03/2016 2,19

27/11/2013 4,23 22/01/2015 4,15 24/03/2016 2,2

28/11/2013 4,25 23/01/2015 4,16 28/03/2016 2,16

29/11/2013 4,26 26/01/2015 4,14 29/03/2016 2,16

02/12/2013 4,31 27/01/2015 4,15 30/03/2016 2,15

03/12/2013 4,35 28/01/2015 4,17 31/03/2016 1,97

04/12/2013 4,38 29/01/2015 4,1 04/04/2016 1,97

05/12/2013 4,32 30/01/2015 4,11 05/04/2016 1,97

09/12/2013 4,39 02/02/2015 4,15 06/04/2016 2

10/12/2013 4,4 03/02/2015 4,1 07/04/2016 2

11/12/2013 4,39 04/02/2015 4,15 08/04/2016 2

12/12/2013 4,41 05/02/2015 4,1 11/04/2016 1,98

13/12/2013 4,45 06/02/2015 4,1 12/04/2016 2

16/12/2013 4,41 09/02/2015 4,15 14/04/2016 1,99

17/12/2013 4,44 10/02/2015 4,09 15/04/2016 2

18/12/2013 4,5 11/02/2015 4,15 18/04/2016 2

19/12/2013 4,5 12/02/2015 4,08 19/04/2016 2

20/12/2013 4,55 13/02/2015 4,09 20/04/2016 1,97

23/12/2013 4,59 18/02/2015 4,15 21/04/2016 1,96

24/12/2013 4,6 19/02/2015 4,09 22/04/2016 2

26/12/2013 4,6 20/02/2015 4,09 25/04/2016 1,99

27/12/2013 4,62 23/02/2015 4,15 27/04/2016 1,99

30/12/2013 4,6 24/02/2015 4,1 29/04/2016 1,98

02/01/2014 4,61 25/02/2015 4,15 02/05/2016 1,97

03/01/2014 4,6 26/02/2015 4,09 03/05/2016 1,95

06/01/2014 4,6 27/02/2015 4,1 04/05/2016 1,97

07/01/2014 4,68 02/03/2015 4,15 05/05/2016 1,9

08/01/2014 4,6 03/03/2015 4,1 06/05/2016 1,92

09/01/2014 4,6 04/03/2015 4,15 09/05/2016 1,95

10/01/2014 4,6 05/03/2015 4,1 10/05/2016 1,9

13/01/2014 4,61 06/03/2015 4,1 11/05/2016 1,9

14/01/2014 4,6 09/03/2015 4,15 12/05/2016 1,85

15/01/2014 4,63 10/03/2015 4,1 13/05/2016 1,9

16/01/2014 4,63 11/03/2015 4,15 16/05/2016 1,88

17/01/2014 4,63 12/03/2015 4,12 17/05/2016 1,88

20/01/2014 4,64 13/03/2015 4,15 19/05/2016 1,86

113

21/01/2014 4,63 16/03/2015 4,16 20/05/2016 1,86

22/01/2014 4,7 17/03/2015 4,15 23/05/2016 1,88

23/01/2014 4,7 18/03/2015 4,16 24/05/2016 1,88

24/01/2014 4,7 19/03/2015 4,16 26/05/2016 1,88

27/01/2014 4,7 20/03/2015 4,15 30/05/2016 1,88

28/01/2014 4,66 23/03/2015 4,16 31/05/2016 1,86

29/01/2014 4,7 24/03/2015 4,2 01/06/2016 1,86

30/01/2014 4,7 25/03/2015 4,25 02/06/2016 1,86

31/01/2014 4,7 26/03/2015 4,3 03/06/2016 1,86

03/02/2014 4,7 27/03/2015 4,15 06/06/2016 1,86

04/02/2014 4,7 30/03/2015 4,78 07/06/2016 1,86

05/02/2014 4,7 01/04/2015 3,45 08/06/2016 1,85

06/02/2014 4,7 02/04/2015 3,6 09/06/2016 1,84

07/02/2014 4,7 06/04/2015 3,75 14/06/2016 1,83

10/02/2014 4,7 07/04/2015 3,5 15/06/2016 1,83

11/02/2014 4,7 08/04/2015 3,45 16/06/2016 1,82

12/02/2014 4,7 09/04/2015 3,49 17/06/2016 1,81

13/02/2014 4,71 10/04/2015 3,48 20/06/2016 1,8

14/02/2014 4,72 13/04/2015 3,46 22/06/2016 1,79

17/02/2014 4,74 14/04/2015 3,44 23/06/2016 1,75

18/02/2014 4,72 15/04/2015 3,44 24/06/2016 1,79

19/02/2014 4,72 16/04/2015 3,42 27/06/2016 1,77

20/02/2014 4,72 17/04/2015 3,4 28/06/2016 1,74

21/02/2014 4,73 20/04/2015 3,38 29/06/2016 1,73

24/02/2014 4,72 21/04/2015 3,4 30/06/2016 1,71

25/02/2014 4,73 22/04/2015 3,37

26/02/2014 4,73 23/04/2015 3,36

27/02/2014 4,73

Fuente: http://www.bolsadequito.info/estadisticas/informacion-estadistica/.

114

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL - Repositorio Digital...

Documents

Transcript of ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL - Repositorio Digital...