ESCUELA POLITÉCNIC NACIONAAL DISEÑO DE FILTROS ......o Labor Espe_ cífica Señal de Retroali^...
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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
DISEÑO DE FILTROS ACTIVOS
AUXILIADO POR COMPUTADOR
TESIS PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL
TITULO DE INGENIERO EN LA ESPE
CIALIZACION DE ELECTRÓNICA Y
TELECOMUNICACIONES
MARIO CALVACHE CALVACHE
QUITO, MARZO DE 1982
-
CERTIFICACIÓN:
Certifico que el presente
trabajo ha sido realizado
en su totalidad por el s_e
ñor Mario Calvache Calva-
che.
ING. GÜALBERTO HIDALGO
Director de Tesis
-
AGRADECIMIENTO
Un profundo agradecimiento a los profesores de la
Facultad de Ingeniería Eléctrica de la Escuela Politécni-
ca Nacional; en especial a los que integran el Departamen
to de Electrónica,, quienes han aportado con sus coñoci
raientos en mi realización como profesional.
Al Ingeniero Gualberto Hidalgo, quien como mi 'Do.
rector de Tesis ha aportado con muchas y valiosas inicia
tivas para la culminación del presente proyecto.
-
DEDICATORIA
A mis padres ,
Esposa, e
Hija
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IÍ N D I C E
CAPITULO I
EL DISEÑO EN INGENIERÍA
Pag,
1.1 Introducción 1
1.2 Concepto del Diseño en Ingeniería - 4
1.3 Morfología del Diseño ' 5
1.4 La Computadora en e'l 'Diseño de
Ingeniería 12
1.5 Capacidad de la Computadora en el
Diseño de Ingeniería 14
1.6 Conceptos mas importantes relativos
al Diseño Auxiliado por Computadora 15
. CAPITULO II
UTILIZACIÓN DEL COMPUTADOR PARA EL
DISEÑO DE FILTROS
2.1 Requisitos de la Computadora 24
2.2 Definición de los tipos de Aplicación
englobados dentro del diseño de filtros
-
Pag
por computador _ 28
CAPITULO III
SÍNTESIS DE FILTROS ACTIVOS
3.1 Introducción y Definición de filtros
Activos 39
3.2 Solución Práctica para el Problema
de Filtrado 43
3.3 Funciones de Aproximación 53
3.4 Método de Síntesis de los Filtros
Activos 81
3.5 Criterios de Elección 105
3.6 Criterio de Ajuste 128
CAPITULO IV
ANÁLISIS DEL PROGRAMA PARA LA
SOLUCIÓN DEL DISEÑO
4.1 Introducción y Algoritmo Funcional 137
4.2 Programa y Organigrama General para
el Diseño de Filtros Activos 142
4.3 Subrutinas del Programa 150
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CAPITULO V
SIMULACIÓN
5.1 Aplicación del Programa en un Ejem
pío Práctico 206
5.2 Filtro Pasa Bajo de Tchebycheff 206
5.3 Conclusiones 217
ANEXO I
FUNCIONES DE MAGNITUD
ANEXO II
TABLAS PARA SÍNTESIS DE
FILTROS ACTIVOS
ANEXO III
LISTADO DEL PROGRAMA PARA EL
"DISEÑO DE FILTROS ACTIVOS
POR COMPUTADOR"
Bibliografía
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PREFACIO
El presente proyecto está orientado hacia la uti-
lidad que presenta el computador para el Diseño de Fil-
tros Activos. Los primeros capítulos están referidos ex
elusivamente a conceptos básicos acerca del diseño en In
geniería y la utilidad que presenta el computador para el
mismo. Otro capitulo se basa en el estudio teórico sobre
filtros activos, tomando en consideración la solución -
práctica para el problema del filtrado, las funciones de
aproximación necesarias y la explicación de métodos para
la síntesis de los filtros, igualmente un estudio sobre
los principales filtros elementales, del tipo pasa alto
y pasa bajo, así como los criterios que se debe tomar en
cuenta para una buena elección del filtro que satisfaga
los parámetros exigidos por el diseñador.
Por otra parte se ha previsto la realización de
un programa con ayuda del computador para el diseño de
filtros activos. Sin embargo, no es posible contemplar -
todos los parámetros que intervienen en el diseño de los
filtros por cuanto es necesario un profundo conocimiento
de altas matemáticas y experiencias prácticas.
-
No obstante, con base al estudio teórico realiza-
do y las técnicas de optimización aplicadas a la síntesis
de filtros activos, podemos decir que el programa realiza
do en el computador es bastante útil para la realización
del diseño de filtros activos prototipos simples que pue-
dan resolver muchos problemas de filtrado, de acuerdo a
los parámetros propuestos por el diseñador.
-
CAPITULO I
EL DISEÑO EN INGENIERÍA
1.1 INTRODUCCIÓN
Indudablemente existen numerosas formas de lograr
un propósito específico, muchas de las cuales, si no es
que la mayoría, son desconocidas para un ingeniero al
principio de un proyecto propuesto. A él le corresponde
descubrir y explorar un cierto número de posibilidades.
Los conocimientos adquiridos con su preparación y expe-
riencia son una fuente importante, pero no la única para
tener soluciones, también tiene que emplear su ingenio.
Al evaluar las diversas posibilidades debe confiar excesi_
varaente en su juicio o criterio personal, el que utiliza
en vez de efectuar una investigación exhaustiva de todas
las alternativas (algo que obviamente no tiene tiempo de
realizar). El juicio o criterio personal, que se adquie-
re con la experiencia, es un aspecto exigente del trabajo
diario de un ingeniero. La capacidad creativa necesaria
para inventar soluciones, y el criterio utilizado en su
evaluación, significan que la práctica de la ingeniería -
tiene más de arte que de lo que se podría haber supuesto.
-
- 2
A un ingeniero debe interesarle la productividad_
de sus creaciones, tanto desde su punto de vista técnico
(¿puede hacerse realmente?),- como económico (¿podrá hacer
se a un costo admisible?), la comunicación o contacto con
la gente requiere la mayor cantidad de tiempo de trabajo
de un ingeniero, mientras que el estar sentado ante su me
sa o laboratorio le consume un tiempo mucho íneñor de lo
que generalmente se piensa. Una sorprendente proporción
de su tiempo se eraplea haciendo consultas, dando instruc-
ciones , contestando preguntas, proporcionando consejos o
recomendaciones, intercambiando ideas, y buscando aproba-
ción. .Consecuentemente, la incapacidad de mantener reía
ciones personales satisfactorias puede llegar a ser un se_
vero obstáculo para el éxito de un ingeniero..
En general, el resultado del trabajo de un inge-
niero es algo tangible; un aparato físico, una estructura
o un proceso. Tal hecho es, probablemente, el motivo de
un concepto erróneo común acerca de la ingeniería. Como
el resultado del trabajo de un ingeniero es un dispositi-
vo, una estructura, una máquina o un mecanismo, la gente
cree que los ingenieros pasan la mayor parte de su tiempo
trabajando en esas cosas, pero éste no es generalmente el
caso. Un ingeniero suele realizar la mayor parte de la -
resolución del problema con trabajo abstracto. Trabaja
-
mucho más con información (es decir, examinando hechos y
observaciones, calculando, pensando y comunicando ideas)
que con cosas u objetos tangibles * Además los técnicos -
son asnalmente los encargados de construir los prototipos
de las obras o creaciones del ingeniero cuando es necesa
rio. Así pues, el trabajo en ingeniería es muy diferente
de lo que cree la mayoría de la gente.
Es difícil lograr una plena apreciación del papel
que desempeña la ingeniería, si no se comprende la dife-
rencia básica entre la ciencia y la ingeniería. .Estas d_i
fieren en los procesos básicos característicos de cada u
na (investigación versns diseño), los objetivos de interés
que tienen día a día, y el producto .final primario (cono-
cimiento versus obras y aparatos físicos).
En definitiva, el ingeniero no existe solamente -
para la aplicación de la ciencia, sino que existe para re_
solver problemas, y en tal acción utiliza los conocimien-
tos científicos disponibles.
El ingeniero desarrolla un dispositivo físico, o
una estructura mediante un proceso creativo llamado ¿ise_
ño. Algunos cíe los primeros intereses del ingeniero, a
medida que realiza el diseño, son la factibilidad económi
-
caf la seguridad para la vida humana, la aceptación del
público y la manofacturabilidad de sus obras.
1.2 CONCEPTO DEL DISEÑO DE INGENIERÍA
Puesto que diseño es una palabra ordinaria y no
todos los posibles significados son oportunos., en ingenie-
ría es común añadirle la frase complemantaria "de ingenie
ría" y hablar de "diseño de ingeniería". El diseño es la
parte medular de la ingeniería y todo lo que se efectúa -
para resolver un problema, se hace mediante ese procedi-
miento, por tanto, ya que el proposito principal del inge
niero es diseñar, es conveniente dar una definición de lo
que es un ingeniero:
Un ingeniero planea, controla (esto es diseña) la
acción reciproca entre energía, materia, hombres y dinero
para cumplir en forma óptima un propósito deseado. El prp_
ducto común de un esfuerzo de ingeniería es dar servicio,
por lo tanto el servicio proporciona un plan para duplicar
objetos que satisfagan una necesidad deseada»
El diseño de ingeniería, por exigir la predicción
exacta y cierta tentativa de optimización, se vuelve por
tanto una complicada síntesis de factores técnicos, socia
-
5 -
les y económicos
1.3 MORFOLOGÍA DEL DISEÑO
No existe una filosofía del diseño de ingeniería,
los diseñadores normalmente adaptan sus capacidades, peri
cías y aptitudes al problema que tienen a la mano, y du-
rante un largo período de tiempo, superan a sus competido
res en la lucha por satisfacer la demanda del mercado.
Un nodelo de diseño de "circuito abierto" podría
ser semejante al representado en la figura 1. Si no se -
puede devolver al diseñador datos informativos sobre el
comportamiento ríe la demanda en el mercado, entonces el -
diseño que ce está probando no podrá ser corregido en sus
errores.
Supóngase que se agrega un circuito de retroalimen_
tación como se representa en la figura 2, en una sitúa -
.ción al evaluar el diseño, tal sistena de retroalimenta -
ción podría ser lo único que se necesite para hacer peque_
ñas modificaciones que se adapten a la demanda en el mer_
cado. Por ejemplo si la retroaliraentación es procedente
de la disminución de las ventas en el mercado, se puede -
estimular mejoras y perfeccionamientos en el diseño para
-
ConocimientoTécnico
La funciónde Diseno
Una necesidado Labor
Especifecada
DecisiónCurso deAcción
El DiseñoFinal
Reproduccióndel Diseño
Sin retornoa la funciónde Diseño
Cons e cuenci asNecesidad SaJtisfecha oInsatisfecha
Fig. 1 Una vista Macroscópica del Proceso de
Diseño en Ausencia del retorno prove -
niente de la Demanda del Mercado
-
contrarestar tal disminución.
Como .el mercado existe solo durante un breve tieru
po, a medida que las necesidades se vuelven más apremian-
tes, las recompensas son para quienes entreguen al merca
do el mejor diseño. En tal situación, la información re
troaliraentada podría consistir en sólo dos señales: "si"
(éxito) y "no" (fracaso).
Cuando es preciso comprometer grandes cantidades
de capital y otros recursos antes de poder contar con al_
gana información sobre la demanda en el mercado, será ne_
cesario buscar y utilizar otras retroalimentaciones. En
todo caso el mercado tiene que simularse en la forma más
realista posible, merced a un procedimiento de ensayo y
evaluación.
En el cuadro de DECISIÓN de la. figura 2 podríamos
notar que se toman decisiones provicionales cuyos resulta^
dos son, el diseño preliminar y la realización de modelos
experimentales, asi como también, la prueba de dichos mo-
delos, mediante la construcción real o en forma de simula_
ción. Los resultados obtenidos modifican la decisión ha_s_
ta que las pruebas son satisfactorias y la decisión provi_
cional ya satisfactoria se convierte en la decisión defi-
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ConocimientoTécnico
La Función deDiseño
Decision-Cur_so de Acción
El DisenoFinal
Reproduccióndel Diseño
Una Necesidado Labor Espe_
cífica
Señal deRetroali^mentación
Consecuencias!Necesidad Sa-tisfecha o insatisfecha
Fig . 2 Una vista Macroscópica del Proceso
de Diseño en presencia del Retorno,
proveniente de la Demanda de Merca_do.
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- 9 -
initiva, el recuadro de decisión ampliada lo tenemos en la
figura 3=
En el proceso de diseño, nos vamos dando cuenta -
que existen retroalimentaciones y acciones que se deben -
tomar, y éstas a su vez nos dan a entender la poca o nin
nuna importancia de pretender una visión un tanto refina-
da del proceso de diseño, sin embargo es importante desta
car aquí que de la observación de la figura 3, existen
procedimientos evaluativos que pueden ocurrir en todos -
los pasos del proceso de diseño.
El ingeniero que se enfrenta a la competencia en
un mercado que no le proporcione, o no pueda proporcionar
le una retroacción significativa a tiempo de prevenir un
desastre o de mejorar su posición competitiva, no afronta
una labor sin esperanzas. Existe un estratagema aprove-
chable para él, aunque de él dependen las tácticas especl
ficas que se empleen para alcanzar su meta, esta * estrata-
gema es producir aquel diseño que supere a todos los de-
más .
Diseñar es especificar con precisión la forma en
que ha de ejecutarse una determinada tarea. Para especi-
ficar se requiere poder creador y comprensión. La compren
-
10
rDecisión
'"I
DecisiónTentativa
DisenoPreliminar
Construcciónde Prototrpcso Modelos Experimentales
Fig. 3 Una Ampliación del Bloque de Decisión
del Proceso de Diseño.
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- 12 -
PROVISIONAL, podría ampliarse para revelar una anatomía -
corno la representada en la figura 4. Los recuadros se re
lacionan con las cosas que deberán hacerse e indican ' la
lógica secuencial (es decir el orden lógico); pero no se
dice cómo desempeña tales funciones, simplemente desplie-
gan un estratagema de diseño. La táctica tiene que apor-
tarla el diseñador para ajustar el estratagema al proble_
ma que tenga inmediatamente a la mano.
1.4 LA COMPUTADORA EN EL DISEÑO DE INGENIERÍA
La decisión como un esfuerzo humano está ocurrien.
do constantemente, así por ejemplo algunas decisiones cp_
lindan con la acción inconsciente en algunos individuos,
pero pese a ello son decisiones, porque entrañan la pre-
sencia de alternativas; se escoje una, y se altera el cur_
so de los acontecimientos„
Una decisión es evaluada por quien la toma, y /o
por otros que valoran su contribución al logro de los obje_
tivos, inmediatos y de largo plazo, del diseñador y de su
sistema social.
Dentro del significado de decisión tenemos la ca-
pacidad y oportunidad para escoger entre dos o más alter-
-
- 11
sión se basa en la experiencia y se codifica en el análi-
sis r mediante el uso de técnicas matemáticas deductivas y
empíricas. Si un diseñador procede como sigue, es decir:
1. Define su problema en términos cuantitativos;
2. Decide cómo reconocerá el mérito de la solu-
ción satisfactoria;
3. Decide cómo reconocerá el mérito de la solu-
ción, y ordena sus soluciones en consecuencia;
4. Genera alternativas (posibles soluciones);
5. Por medio del análisis, descarta las alternati^
vas insatisfactorias y conserva las satisfacto
rias;
6. Elige la solución de más altos méritos entre
las alternativas factibles;
7. Toma una decisión, y la pone en ejecución.
El ingeniero estará entonces procediendo de una ma_
ñera completamente compatible con las capacidades de una -
computadora„
En el recuadro de la figura 3 designado DECISIÓN
-
- 13 -
r DecisiónTentativa
Definir elProblema
GenerarAlternativas
Analizar lasAlternativas
rus ^-^ •coñtra\oel problema^atisfactoria
AlternativaSatisfactoria
Des cartarAlternativa
NO Recordar laAlternativa
Ordenar lasAlternativas
Satisfactorias
Seleccionarla mejor A^ternativa
1
Fiq. 4 Una Ampliación del Bloque Decisión Tentativa
dentro del Proceso de Diseño,
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- 14 -
nativas; para que haya decisiones tiene que haber alterna
tivas. Cada alternativa entraña y conlleva una variedad
de consecuencias. Sus ventajas y desventajas pueden ser
claramente previsibles, o pueden estar ocultas en una nú
be de incertidumbre, o tal vez jamas sean observables.
La capacidad para valorar cualitativamente los relativos
méritos de las diversas alternativas es importante para -
el empleo de la computadora en el diseño»
En general diremos que todo graduado en ingenie -
ría deberá tener un conocimiento de trabajo de por lo me-
nos un algoritmo adecuado para la realización efectiva -
del diseño auxiliado por computadora, entonces poseerá u
na base sobre la cual decidir si la asistencia de la com-
putadora es factible en una situación dada.
1.5 CAPACIDAD DE LA COMPUTADORA EN EL DISEÑO DE INGENIERÍA
El advenimiento de la computadora fue un avance -
que produjo consecuencias de grandes alcances para el di_
seño. Desde sus inicios, las computadoras se han emplea-
do, y se siguen empleando, para el análisis, pues calcu -
lan con rapidez, exactitud y sin fatiga.
El graduado de ingeniería de hoy trabajará en un
-
- 15
mundo profesional donde la computadora forma parte inte -
grante del proceso de diseño- Es importante para el nue-
vo ingeniero estar consciente de lo que sabe es posible,
pues se le llamará a usar sus conocimientosf su imagina-
ción y su poder creativo para de esa forma llegar a satis
facer cualquier problema que pueda sucitar en un diseño.
El ingeniero debe conocer ante todo las capacida-
des del computador. ¿Qué puede hacer una computadora?
Puede sumar, restar, multiplicar, dividir y ejecutar ' una
multitud de otras acciones concertadas a las cuales pode
mos llamar simplemente "cálculo". Los cálculos pueden e_
fectuarse con gran rapidez, con gran precisión, y sin el
más leve indicio de fatiga.
La utilidad de la capacidad de cálculo de la com-
putadora , es evidente en la fase de ANÁLISIS del diseño ,-
cuando los costos de programación y servicio pueden justi
ficarse desde el punto de vista económico.
1.6 CONCEPTOS MAS IMPORTANTES RELATIVOS AL DISEÑO AUXI-
LIADO POR COMPUTADORA
En la actualidad existen muchas técnicas de cálcu_
lo por computadora, por lo que definiremos primeramente -
-
16 ~
lo que es el diseño auxiliado por computadora.
"El diseño auxiliado por computadora es una técni
ca en la que el hombre y computador forman un equipo para
resolver problemas en el cual, mediante la unión de las -
mejores características de cada uno de ellos, se logra -
que este equipo trabaje mejor que cualquiera de los dos
por separado".
Como puede comprenderse perfectamente, hay 'que
descartar la idea de que el diseño auxiliado por computa-
dor quiere indicar, un conjunto de programas de análisis,
que 'pueden ser requeridos por el diseñador. No deben así
confundirse las aplicaciones del computador como mero ele_
mentó de análisis o corno ayuda en el diseño. Tal es así
que se ha llegado a hablar en lugar de diseño auxiliado -
por computador, de diseño aumentado por computador, desta_
cando de esta forma la profunda unión entre el hombre y -
computador, en este tipo de diseño, es decir en las apli-
caciones del diseño auxiliado por computador.
Actualmente se ha buscado sustituir el esquema -
clásico de diseño-construcción, por el de diseño-simula~
ción-construcción, ya que la simulación es una de las ma_
nifestaciones más típicas del diseño auxiliado por compu-
-
- 17
tadora. Normalmente, toda simulación presupone la busque
da y desarrollo de un modelo de diseño que se va ha estu
diar.
Un ejemplo de esto lo representamos en la figura
5, por lo que podemos decir que las características de un
problema de diseño que hacen aplicables el diseño auxilia
do por computador son varias o una de las siguientes:
a. El modelo es factible y compatible con la ca
pacidad del computador. Es decir, el proble-
ma puede programarse para una solución rápida.
b. El diseño es de una naturaleza secuencial»
c. El número de variables es elevado de forma
que la solución es difícil de hallar.
d. Los cálculos son laboriosos.
e. Existen beneficios de antemano, por ejemplo,
se tiene información del producto final antes
de ser fabricado.
f. Se tiene una experiencia previa para el dise-
-
_ 1 <JL <
Especifica-ciones
El DiseñoFinal
V
El Modelodel Diseño
El Análisisdel Diseño
Alterar el^Diseno Autómata,camente , ysecuenc-Lalmen
te
NO
Construccióndel Prototipo
Se alteranlos Modelos
Fig. 5 Diagrama de un Proceso de Diseno
por Computador.
-
- 19 -
ño que facilita el desarrollo de un modelo»
En general, el proceso de diseño auxiliado por com
putador lo representamos en la figura 6.
El proceso de diseño de un sistema lo hemos repre-
sentado en la figura 7, algunos bloques de este diagrama -
bien pudieran ser sustituidos por bloques como el anterior
representado en la figura 6, es decir 7 si es que el diseño
auxiliado por computadora es aplicable/ asi por ejemplo, -
el bloque de búsqueda en el catálogo de componentes dispo-
nibles para el diseño, de tal forma que éste bloque deter_
mine si alguno de sus componentes cumple los requisitos y
se pueda ordenar el diseño adecuado, a su vez ordenar el jL
nicio de un diseño con nuevos componentes. Esta tarea se
la puede asignar con muchas ventajas a un computador, el -
cual nos puede indicar el comienzo de un nuevo diseño si
el componente requerido no existe o no es satisfactorio.
Aunque sería deseable que el proceso total del di
seño fuese automático, ésto no es posible en la actualidad.
Por ejemplo, el "interfase" entre el bloque de búsqueda en
el catálogo de componentes y el diseño con nuevos componen
tes, requiere de la acción de un operador humano. Esto es
debido a que por ejemplo el bloque de búsqueda da por lo -
-
Optimizamosel Modelo
- 20 -
Entrada al Blo_que del Diseño
Síntesis
Se obtieneun Modelo
Análisis
Cálculo (seevalúan re-sultados fi-nales)
Salida del Blo-que de Diseño
Optimizamosla Síntesis
Fig . 6 Diagrama de un Proceso de Diseño
Auxiliado por Computador.
-
- 21 -
Requisitos SíntesisEspecificado,nes de Com-ponentes
Simulación
Búsquedade
Catálogos
Diseño connuevos Com-ponentes
\t\> \'
Control deCalidad
(Producción)
Fig . 7 Diagrama de Bloques del Diseño de
un Sistema.
-
- 22 -
general un listado de salida de sus componentes, y si es
tos componentes no son adecuados al diseño, el computador
podría rechazarlos, pero estos diseños con un mínimo de
modificaciones podrían ser usados o al menos servir de mo
délo inicial para el bloque de un diseño con nuevos compo
nentes, por lo que es necesario ese "interfase" humano.
En un proceso de diseño, primeramente hacemos una
síntesis del modelo y luego el análisis. Este análisis -
puede reducirse generalmente a subrutinas standard por ccm
putador y por lo tanto el principal problema radica en la
determinación del modelo sobre el que van a trabajar esas
subrutinas.
Sin un modelo realista, el computador será solo -
útil para el diseño y por lo tanto no se conseguirá ningu.
no de los beneficios de la aplicación del diseño auxilia-
do por computador.
Por lo tanto en la actualidad se trata de desarro
llar programas capaces de tomar decisiones en lo que a di
seño se refiere; ello va unido al desarrollo de programas
de optimización cada vez más elaborados y complejos, de
técnicas de descomposición, etc. que permitan evitar el
uso de una configuración hibr ida--computador-hombre en los
-
- 23 -
procesos de diseño, cuyo principal inconveniente es que -
el ahorro del costo de diseño, es proporcional a la ampli
tud del uso que del diseño auxili-ado por computador se ha
ga en el mismo.
Desde el punto de vista económico, el costo de de_
sarrollo de un programa de computador será fácilmente ab-
sorbido por la venta de grandes cantidades de los sistemas
diseñados con ayuda del computador. El costo de la pro-
gramación deberá justificarse comparándola con el del di-
seño manual.
-
CAPITULO II
UTILIZACIÓN DEL COMPUTADOR PARA EL
DISEÑO DE FILTROS
2.1 REQUISITOS DE LA COMPUTADORA
Si un ingeniero incorpora una computadora en el
sistema que diseña, la razón es que su solución requiere_
cuando menos unos de los siguientes medios:
1. Un medio económico de almacenar información,
2. Un medio económico de procesar información,
3. Un medio de manejar información a velocidades
a las que sólo una computadora es capaz de -ha_
cerlo.
4. Un medio de rastrear o seguir muchos eventos
o variables que interactúan y cambian frecuen
temente, en situaciones en que la computadora
es el mejor medio, sino el único, de lograrlo.
Por lo que antes de introducirnos en lo que se re
-
- 25 -
fiere a la ayuda del computador en el diseño de filtros -
tendremos una introducción acerca de los requisitos que
debe tener una computadora para realizar cualquier tipo -
de cálculos con el fin de facilitar y acelerar la prepara
ción de programas y lenguajes especiales que faciliten la
comunicación entre el hombre y la máquina.
El lenguaje empleado por el usuario de la computa
dora suele calificarse como un lenguaje orientado al pro
blema. Esto equivale a afirmar que el lenguaje y su • gra
mática fueron creados para ajustarse a la naturaleza de
los problemas. Entre los lenguajes de la computación fi.
guran entre otros el MAD (Michigan Algotithm Decoder), el
Fortran, etc., adecuados para las necesidades de la comu
nidad científica y de ingeniería cuando se trata de ecua
ciones algebraicas y diferenciales, manejar matrices y ve_c
tores, etc., otro lenguaje también muy utilizado en cuan-
to se refiere a programas desarrollados con miras a a-pLi
caciones también 'científicas es el BASIC en sus versiones
más potentes, que incluso se encuentran disponibles en al.
gunos compiladores de computadoras.
El lenguaje FORTRAN es el más usado en programas
en especial de ingeniería que funcionen en tiempo compar-• : ''>•'. ~ ̂
tido y que por lo general son más potentes y precisan por "•' /;..X,
-
- 26 -
ello mayor capacidad que el BASIC por ejemplo, en lo que
a su implementación con un computador se refiere.
En cuanto a los procedimientos de entrada-salida
(I/O, abreviatura de "imput-output") para computadoras de
lenguaje FORTRAN, éstos están al alcance de los usuarios
de las diversas modalidades particulares' de máquinas, ya
sean por intermedio del fabricante de la computadora o -
del propio centro de computación.
Los efectos de computación de tiempo compartido -
sobre la ingeniería, dan un indicio de la gran influencia
que tienen las computadoras, ya que desde un terminal un
ingeniero puede iniciar búsquedas de información, solici-
tar datos de los archivos departamentales, resolver ecu£
ciones y hacer casi cualquier cosa que haya de ser reali-
zada por la computadora. Puede escribir un programa de
computadora, ensayarlo,"limpiarlo" (quitarle los defectos
y equivocaciones) inmediatamente después, y cuando ha ob
tenido un programa utilizable dar instrucciones de almace_
narlo a la computadora. Todo el que quiera emplear tal -
programa puede solicitarlo así desde cualquier terminal y
lo tendrá a su disposición inmediatamente.
El asunto que interesa en este contexto es la na
-
- 27 -
turaleza déla presentación de los resultados (salidas) ,
obtenidos de la computadora, en cuanto se relacione con -
el diseño; un diseñador puede recordar datos informativos
relacionados con unas cuantas alternativas, pero si la com
putadora fuera a documentar un centenar de alternativas f
la única alternativa al azar sería conservar físicamente
juntas las informaciones de entrada y salida, por lo que
se debe tener F tomar en cuenta o formularse algunas re-
glas capaces de ordenarse en expedientes y carpetas de va
rias clases, que evitarán al diseñador sufrir considera-
bles confusiones y malos ratos en su trabajo de ingenie-
ría con computadora.
En cuanto a los problemas de ingeniería, si éstos
tuvieran que resolverse y programarse a partir de cero en
cada ocasión, la computadora tendría poco uso'en la sala
de diseño. Los gastos generales de planear el problema -
de computadora y de eliminar sus fallas serían cuantiosas,
y por lo tanto en muchos casos el uso de la computadora -
se volvería económicamente irrealizable.
Por tanto un diseñador funciona porque es capaz -
de correlacionar y concentrar sobre un problema todo un
conjunto de respuestas condicionadas, ordenadas y organi-
zadas por el intelecto en forma que permita resolver un
-
- 28 -
problema complicado. A la computadora se le puede "ense-
ñar" un repertorio similar de respuestas condicionadas
que los humanos tienen que organizar para integrar con e
lias la solución a un problema. Una vez que la computado
ra ha "aprendido" ese repertorio, puede hacérsela recor-
dar el entrenamiento previo. A esa aptitud de la computa
dora, equivalente al aprendizaje de respuestas condiciona
das a los problemas elementales y a recordar una vez a-
prendidas, se llama la Aptitud de Subrutina de la computa
dora.
2.2 DEFINICIÓN DE LOS TIPOS DE APLICACIÓN ENGLOBADOS DEN
TRO DEL DISEÑO DE FILTROS POR COMPUTADOR
Después de establecer en los párrafos anteriores -
introductoriamente como se puede usar un computador en un
diseño cualquiera de ingeniería, sería conveniente ya ce_
ñirse a las características propias del diseño por compu-
tador de los filtros activos que nos interesa en este tra.
bajo.
Los trabajos desarrollados para la síntesis de
filtros, son por lo general de gran capacidad de memoria
requiriendo por lo tanto de un computador potente y carac_
-
29 -
terizándose sobre todo el programa autosuficiente; es de-
cir :
1. Los datos precisados por el programa están -
presentes durante toda la pasada del programa,
y por consiguiente todos deberán haber sido
suministrados inicialmente por el usuario.
2. Las tomas de dicisiones internas a lo largo -
del programa, deberán estar previstas por el
programador de forma que el proceso lógico o
el algoritmo se verifique totalmente»
Para el diseño por computadora de filtros activos
(o pasivos) podríamos indicar que generalmente precisará,
usar un computador suficientemente potente, una lectora -
de fichas, unidades de memoria de "masa", es decir, cin-
tas o discos magnéticos. En determinados casos en los
que se conectan terminales remotos a un computador traba-
jando en tiempo compartido, podrá dado el caso, ser de
gran interés disponer de un teletipo o pantalla alfanume"-
rica. Por otro lado para los programas que utilizan len
guaje BASIC por ejemplo un rniniordenador será suficiente.
Los periféricos, serán los adecuados, lectora de cintas y/6
de fichas, impresora, teletipo, y una o varias unidades
-
- 30 -
de disco.
Con respecto a las aplicaciones involucradas en
un diseño por computador de filtros en general, podemos -
resumir así sus principales características:
2.2.1 ANÁLISIS
Ciñiéndonos al estudio de filtros activos, nos
preguntaremos ¿qué tipo de análisis nos va a ser de utili
dad?. Podríamos decir, que nos será de utilidad el ana la.
sis en frecuencia y en régimen transitorio del filtro.
A pesar de que existen programas generalizados de análisis,
la tendencia es incluir en los programas de síntesis una
o varias subrutinas que permitan el análisis (por ser es_
tructuras fijas) de cada sección del filtro, y del filtro
total en cascada de las anteriores secciones. La utilidad
de estos resultados pueden ser dobles:
1. Permitir un adecuado ajuste de las frecuencias
de resonancia (o de corte) y del factor de ca-
lidad, de cada etapa del filtro, como también
su sensibilidad.
2. Comprobar que el circuito con los componentes
-
- 31 -
físicos obtenidos, pueda realizar la función
de aproximación a la característica real del
filtro pedida; en función de la frecuencia se
puede obtener; módulo y fase de la función de
transferencia, retardo de grupo, impedancia -
'de entrada, etc.
2.2.2 CALCULO
En todos los programas de ingeniería, y por lo
tanto también en el diseño de filtros por computador, es
preciso realizar un número considerable de cálculos basa-
dos en los datos de entrada del programa.
Es así, de sumo interés, disponer de una bibliote
ca de subrutinas que faciliten la solución de los cálculos
o problemas más comunes. A título de ejemplo, podemos in
dicar algunas subrutinas de gran interés:
1 . Cálculo de raíces de un polinomio de coeficieri
tes reales o complejos.
2. Producto de polinomios.
3. Operaciones de todo tipo de matrices.
-
- 32 -
4. Dibujo por impresora de gráficas.
5 a Generación de números aleatorios.
6. Transformadas directas e inversas de Fourier.
etc . . .,
De estas y de otras subrutinas, se dispone por lo
general dentro de las subrutinas científicas de los fabri
cantes de computadoras.
No obstante es una norma de interés para todos
los usuarios de un centro de cálculo dedicado en parte al
diseño de filtros por computadores, el implementar las -
subrutinas que siendo sólo propias o útiles en esta apli-
cación , no se encuentran dentro de las bibliotecas antes
citadas. Así por ejemplo, el diseño de un ecualizador
que se use en muchos diseños, y que por simplicidad sería
un programa demasiado pequeño, para pasarlo como tal todas
las veces precisadas.
2.2.3 OPTIMIZACION
La optimización es el proceso de buscar el valor,
-
- 33 -
la condición o la solución óptimas. Desafortunadamente,
en la mayor parte de los problemas de ingeniería la opti-
mización es más compleja y consume más tiempo que en cual
guier otra aplicación.
Las aplicaciones de optimización se las podría re
sumir de la siguiente forma:
Se debe minimizar (o maximizar) una función que
depende de un determinado número de parámetros. Esta fun
ción en .determinados casos representará, un compromiso en
tre el costo de un circuito y su rendimiento; en otros ca
sos medirá con un determinado criterio, el error en la a-
proximación a una determinada característica del circui-
to diseñado. En cualquier caso son dos las característi-
cas de los programas de optimización;
1. Son relativamente lentos dependiendo, del al.
gorítmo usado, que podrá converger lenta o rá
pidamente hacia la solución óptima, dependien
do del caso tratado, y del número de variables
a optimizar. La dependencia con el numero de
variables no es fija, pero podemos indicar a
título de orientación, que en determinados ca
sos es muy extrema, elevándose el tiempo • de
-
- 34 -
pasada del programa de forma más que proporcio
nal al número de variables.
2. Son de gran tamaño (es decir, ocupan mucha me-
moria del computador), y de gran complejidad -
de programación.
Podemos de.cir, que en cuanto a los méritos y des-
ventajas de las técnicas secuenciales de optimización son
tales que hacen de estos métodos un complemento en lugar
de reemplazar a los basados en la teoría clásica de redes.
Los métodos de optimización deben ser usados- en aquellos
casos en que no sea posible resolver los problemas de di-
seño por métodos clásicos r ya que éstos pueden programar-
se con mayor facilidad, con mayor rapidez y menor capaci-
dad de memoria, lo cual debe tenerse siempre en cuenta.-
Los criterios que se utilizarán para seleccionar
el mejor diseño debe identificarse durante el análisis del
problema. Realmente, los criterios cambian muy poco de
problema a problema, el costo "de construcción o fabrica-
ción, y otros semejantes se aplican casi en todos los c_a
sos. Pero lo que sí cambia significativamente es la im-
portancia relativa de cada uno de estos criterios . De ahí
que en la mayor parte de los problemas la tarea primordial
-
- 35 -
del ingeniero con respecto a los criterios es conocer la
importancia relativa asignada a varios de ellos»
Por lo tanto el análisis del problema comprende
mucho trabajo de reunión y procesamiento de información.
El resultado es una definición del problema en detalle,
que se.espera maximice las probabilidades de hallar una
solución óptima. Ahora ya está uno listo para iniciar la
búsqueda de tal solución,,
2.2.4 SIMULACIÓN
El objetivo de la simulación es llegar mediante
una serie de técnicas, a una mejor comprensión del compo_r
tamiento de los sistemas. Por medio de la simulación, se
sustituyen:
1. La construcción y experimentación.
2. El modelo inforrnacional o matemático y el anjí
lisis del comportamiento del sistema usando -
el modelo de éste.
.El diagrama funcional de una aplicación de tipo -
general, es el que lo representamos en la figura 8.
-
- 36 -
Plantear elProblema
Determinarlos Modelos
Analizarel SistemaSimulado
OptimizamosParámetrosdel Modelo
Analizamos elSistema bajotodas las con
diciones
Construir elPrototipo
Experimenta-ción y Medi-
das
(producción J
Buscamos lafalta delModelo
Replanteodel Problema
Fig. 8 Diagrama de una Aplicación
General de Simulación.
-
- 37
Con respecto a dicho diagrama podemos hacer las -
siguientes observaciones:
1. Esta aplicación de simulación es del todo ge
neral como podemos observar en el diagrama, -
ya que incluso hay bloques de ANÁLISIS y de -
OPTIMIZACION.
2. Planteado el problema, se pasa al estudio de
las leyes físicas o matemáticas que intervie-
nen en él. De este estudio, se obtiene un mo
délo matemático informacional que intente
describir lo que se deduce de las leyes físi
cas. Una vez analizado el sistema usando el
modelo hallado,, se pasa a una fase de optimi-
zación, seguida de una fase de construcción 7
al final de los cuales, de la comparación de
los resultados de la simulación y de la expe-
rimentación, se puede pensar si el resultado
es satisfactorio para la construcción en serie
del sistema.
-
CAPITULO III
SÍNTESIS DE FILTROS ACTIVOS
3.1 INTRODUCCIÓN Y DEFINICIÓN DE FILTROS ACTIVOS
3.1.1 INTRODUCCIÓN
El problema del filtrado o, dicho de otra manera,
de la separación y selección de las señales eléctricas en
función de su frecuencia, han sido siempre de una gran im
portañola en la técnica de las telecomunicaciones 0
Durante algunos años se observó que una línea, na
tural o artificial, la cual comprende una secuencia de bo
binas en serie y capacidades en paralelo, constituía un
filtro pasa bajo, mientras que la combinación inversa ( c
en serie, y L en paralelo) formaba un filtro pasa alto.
La asociación de circuitos resonantes en serie y de cir -
cuitos tanque (combinación de bobinas y condensadores en
paralelo) en paralelo conducía a la obtención de un fil
tro pasa banda, así como la combinación inversa de ésta -
formaba un filtro limitador de banda. Varias generaciones
de diseñadores orientaron sus esfuerzos en este sentido ,
-
39 -
creando estructuras cada vez más perfectas, junto con sus
correspondientes métodos de cálculo, con el afán de obte
ner filtros de todas las clases que dispusiesen de una -
banda de paso muy regular, bandas laterales fuertemente a
tenuadas y un corte los más franco posible en sus limites.
Esta técnica se halla todavía en uso y posiblemete segui-
rá empleándose en el margen de las altas frecuencias. Su
principal inconveniente reside en que cuando más bajas
son las frecuencias que se consideran, mayores son los con
densadores necesarios, y, sobre todo, las bobinas, llegan
do incluso a valores inadmisibles en la época actual, de
marcada tendencia a la miniaturizacion de los componentes.
Podría pensarse en obtener filtros que estuvieran
constituidos solamente por resistencias y condensadores ,
sin la participación de bobinas, pero al cabo de mucho
tiempo f con éstos elementos sólo se han alcanzado caracte_
rísticas mediocres de filtrado, junto con el inconvenien-
te de un considerable amortiguamiento.
La llegada del transistor y más recientemente, -
del amplificador operacional integrado, ha permitido cons
truir circuitos resonantes de un tipo nuevo, utilizando -
únicamente resistencias y condensadores junto con estos e_
lementos activos. Los filtros obtenidos de esta forma ,
-
- 40 -
llamados filtros activos, presentan numerosas ventajas, -
principalmente en el campo de las bajas frecuencias, nota
bles propiedades selectivas, con el único inconveniente -
de una cierta variación de las características con la ten
sión aplicada, defecto éste que se conoce con el nombre -
de "sensibilidad11 (a las variaciones se entiende) . Por
otro lado, estos filtros activos son ligeros, poco volurni
nosos y de un costo razonable.
Por lo que este capítulo nos permite profundizar
en parte los conocimientos en el campo de la técnica del
filtrado, y un estudio de los circuitos activos tanto peí
sa bajo como pasa altos que serán realizados en un progra.
ma de computadora en la parte IV de este trabajo.
3.1.2 DEFINICIÓN
Un filtro eléctrico es de una manera general, un
circuito que proporciona una modificación de la amplitud
o la fase de los componentesf pero cuando nos referimos -
concretamente a filtros pasivos o filtros activos, teñe
mos que tomar en consideración que los circuitos resonan-
tes eléctricos (con -LC, de cavidad resonantee etc.) . se
basan en el fenómeno de intercambio de energía electrostá
tica y- electromagnética, siguiendo las leyes clásicas del
-
- 41 -
electromagnetismo; si el circuito resonante se exita me-
diante una fuente de energía exterior y después se deja -
en reposo/, dicho circuito pierde lentamente la energía que
ha almacenado, oscilando en su frecuencia de resonancia„
La amplitud de esta oscilación decrece más o menos rápida
mente, según el valor del coeficiente de sobretensión, pe
ro el circuito resonante disipa pasivamente la energía re
cibida, los que utilizan circuitos resonantes de este ti
po son filtros pasivos.
Por el contrario, cuando se excita un circuito re
sonante constituido por resistencias y condensadores aso-
ciados a elementos activos, como transistores, por ejemplo,
estos últimos suministran al circuito una energía más o -
menos considerable, la cual se opone al decrecimiento de
la oscilación inicial. Llegando al límite, si esta ener-
gía suministrada es suficientemente importante; en este -
caso el circuito resonante posee un coeficiente de sobre -
tensión infinito y contituye un oscilador. Los filtros -
que utilizan circuitos resonantes de este tipo son filtros
activos.
De esta manera, podemos establecer la siguiente -
definición:
-
- 42 -
"Filtro activo es el que recibe energía de una -
fuente interna. Filtro pasivo el que no recibe energía •=-
de ninguna fuente interna".
Los circuitos resonantes activos pueden tener un
coeficiente de sobretensión tan grande como se desee. Por
consiguiente, teóricamente se pueden realizar filtros ac
tivos con las características que se quieran; pero esto -
no es posible en la práctica, ya que cuanto mayor sea el
coeficiente de sobretensión mayor será también el riesgo
de oscilación expontánea. En otros términos, cuanto mayor
es el valor del Q del circuito, mayor es su inestabilidad.
Por eso nos limitaremos a definir circuitos en los que la
estabilidad debida al valor del coeficiente de sobreten -
sión es suficiente para que se pueda obtener relaciones -
viables. El riesgo de inestabilidad es el principal in-
conveniente de los filtro activos, y también es el factor
que limita sus características y sus aplicaciones.
En cuanto a ventajas de los filtros activos tene-
mos, su reducido volumen ya que se emplean circuitos inte_
grados, .y no es necesario el empleo de inductancias, el -
filtro tendrá, en definitiva, el volumen impuesto por el
tamaño de los condensadores. De igual forma su pequeño -
peso, y su costo reducido que también están determinados
-
- 43 -
por los condensadores. En cuanto a los ajustes, los fil-
tros activos presentan mucha facilidad, actuando simple -
mente sobre el elemento activo =
Cuando las frecuencias con las que trabaja un fil-
tro son muy bajas, los circuitos resonantes activos que -
solo utilizan resistencias y condensadores son, con mucho,
los que permiten obtener las mejores características.
Por estas razones , los filtros activos son los que resul-
tan más convenientes en el campo de las frecuencias muy -
bajas, por otro lado como son poco voluminosos y, a menu-
do, de reducido costo, pueden compararse con ventaja a
los filtros pasivos en el campo de las audiofrecuencias ,
Estas cualidades los hacen también estimables pa
ra ciertas aplicaciones en frecuencias de hasta algunos -
centenares de Hz., cuando el volumen y el precio de costo
son factores determinantes y cuando los coeficientes de -
sobretensión que se precisan no son demasiado elevados.
3.2 SOLUCIÓN PRACTICA PARA EL PROBLEMA DEL FILTRADO
Los filtros eléctricos tienen por objeto separar
ciertas señales útiles de otras indeseables, mezcladas con
ellas. Por consiguiente, para la realización de un filtro
-
- 44 -
se necesita conocer ei espectro de frecuencias que tiene
la señal útil. El filtro ideal sería el que transmitiera
todos los componentes útiles sin atenuación y sin desfase,
eliminando a la vez totalmente las señales indeseables,
Así, un filtro de tales características transmitirá la se
nal útil sin deformación ni retardo y no dejará pasar las
señales que no se desean.
Veamos pues, 'que para cada caso de filtro a reali
zar, debe definirse el margen de frecuencias que se quie
re dejar pasar sin atenuación y que se llama banda pasan-
te del filtro; pero también se debe definir los márgenes
de frecuencia en las que la atenuación debe ser grande y
que son las bandas de corte.
Pueden definirse cuatro tipos de filtros, según -
la posición respectiva que ocupan las bandas de paso y de
corte con relación a la frecuencia cero, (como muestra la
figura 9).
Filtro pasa bajo, en los que la banda de paso
se extiende desde la frecuencia cero hasta una
frecuencia de corte fe.
- Filtro pasa alto , cuya banda" de paso abarca
-
I- 45 -
desde una frecuencia de corte fe. hasta el in
finito a
Filtro pasa banda, en las que la banda de pa
so está situada entre las frecuencias de cor-
te fe" y fe .
Filtros de corte de banda o recortadores de -
banda/ en los que la banda atenuada está comprendi-
-t-da entre las frecuencias de corte fe y fe „
A (dB) A (dB)
A (dB) A (dB)
\i
f - f 4- f f -c e _ e f 4- fc
Fig. 9. Curvas de respuesta de diversos filtros
ideales: a) Paso bajo,- b) Paso alto; c)
Paso de banda; d) Recortador de banda.
-
46
Con la práctica se ha llegado a la conclusión de que
con un número finito de componentes, no es posible reali-
zar redes que presenten una curva de respuesta semejantes
a las representadas en la figura 9. Solamente se puede -
llegar a una aproximación de éstas, conseguida en mayor o
menor grado. Los circuitos realizables en la práctica
presentan tres imperfecciones i
La atenuación en la banda de paso no es nula.
La atenuación en las bandas cortadas tienen -
un valor finito.
La transición entre las bandas de paso y las
cortadas no se realiza bruscamente, sino de
forma progresiva.
En razón de estas consideraciones, la curva de
respuesta de amplitud de un filtro real tendrá, por ejem-
plo, la forma representada en la- figura 10, que correspon
de a un filtro pasa banda. Podemos observar en ella que
la atenuación de la banda de paso, en lugar de ser nula ,
es inferior a v\ cierto valor máximo Amáx. Asimismo, la
atenuación de las bandas cortadas, en lugar de ser infini
ta, es sencillamente superior a un cierto valor mínimo
Amin. Además, podemos observar que entre la banda pasan
-
- 47 -
te y la atenuada existe otra de transición, cuyas frecuen-
cias limites son fa, que es la primera frecuencia atenua-
da, y fp, que es la ultima frecuencia de paso.
Cuanto más se aproxime el filtro real al ideal, -
más estrechas son las bandas de transición, menor es la a
tenuación Amáx, y más elevada es la atenuación Amin.
A (dB)
Amín
Amax -i -r-x—K-
Fig. 10 Curva de respuesta de un filtro pasa/
banda real.
Igualmente con la experiencia se ha demostrado que
cuanto más se acerca un filtro real al ideal, mayor n^me
ro de componentes se necesitan para su realización y, en
consecuencia, resulta más caro. Por lo tanto, la primera
-
etapa que debe considerarse en la realización de un fil-
tro consiste en hallar un término medio entre unas carac-
terísticas aceptables y un razonable numero de componen -
tes. Para lograr este objetivo se define una plantilla -
en cuyo interior debe situarse la curva de respuesta capaz
de resolver el problema que nos ocupa. Las plantillas de
los filtros de pasa bajo, de pasa alto, de pasa banda y
de corte de banda tienen las formas representadas en la -
figura 11.
A más de los valores Amáx, Amin, fa y fp definidos
anteriormente existe otro valor característico en la plan
tilla de un filtro de pasa bajo (o de pasa alto), la se-
lectividad K = fp/fa (o K = fa/fp). f la cual expresa la in
clinación de la pendiente de la banda de transición. Cuan
to más se aproxime un filtro al ideal, más cerca de la u-
nidad estará su selectividad. Por lo tanto, este valor -
es muy importante, ya que permite expresar el grado de per_
facción de un filtro.
En un filtro real cada una de los componentes su
fre un desfase variable con la frecuencia. Aún en el ca.
so de que el filtro se aproxime al ideal en lo que con-
cierne a la atenuación, el desigual desfase al que son so
metidos los diferentes componentes del espectro comprendí
-
- 49 -
das en la banda de paso puede extrañar una deformación de
la señal útil, que puede llegar a ser muy molesta.
A (dB)
Amín
Amax
fp *-
-
- 50 -
nal sin deformación es suficiente que en toda la banda de
paso se cumpla la relación: —— = cte.L c dto
La magnitud T se llama tiempo de propagación de
grupo de un filtro a lo largo de la banda de paso y refle
ja su aptitud para transmitir señales transitorias sin de_
formación. Así, un filtro ideal tiene un tiempo de propa
gación de grupo constante en toda la banda de paso.
Hemos visto que para definir la plantilla dentro
de la cual se pueda inscribir la curva de respuesta del -
filtro a realizar se precisa el conocimiento previo del -
problema que hay que resolver.
En este sentido intervienen dos simplificaciones
utilizadas universalmente, las cuales permiten reducir la
realización de cualquier filtro a la simple construcción
de .un filtro equivalente pasa bajo de frecuencia de corte
unidad llamado filtro prototipo (ver fig. lia) . Estas
simplificaciones consisten en la normalización de las uñó.
dades de frecuencia y de impedancia y en la transposición
de la frecuencia.
Como consecuencia de lo dicho anteriormente, el
método práctico que permite realizar un filtro que respon.
-
- S i -
da a unas características determinadas quedará definido -
de la siguiente manera:
Los datos físicos del problema permitirán de
terminar la naturaleza del filtro a emplear -
(pasa bajo, pasa alto, etc.) y definirá la -
forma de la plantilla en cuyo interior deberá
quedar situada la curva de respuesta de ampli
tud. Esta plantilla será un término medio en
tre unas características satisfactorias y -un
precio de costo aceptable.
La plantilla en cuestión, delimita las bandas
de paso y las atenuadas; quedará totalmente -^
definidos una vez conocidos los siguientes va
lores característicos:
Amáx: Atenuación máxima tolerada en la banda
de paso.
Amín: Atenuación mínima exi-gida para las ban
das eliminadas.
k: Selectividad del filtro, que determina
la pendiente de corte./
fp o fo: Frecuencia de corte de un filtro de
-
- 52 -
pasa bajo o de pasa alto, o también frecuen
cia central de un filtro de pasa banda o re
cortador de banda.
Los tres parámetros Amáx, Amín y K, permitirán
determinar las funciones de transferencia, la
configuración y el valor de los elementos del
filtro prototipo, es decir, del de pasa bajo
normalizado correspondiente a la plantilla ele
gida inicialmente.
Si el filtro que debemos construir no es de p_a
sa bajo, podremos obtener de una forma senci
lia. mediante la transposición de los elementos
del filtro prototipo, la configuración y el va.
lor de los elementos del filtro deseado, No
obstante, si esta transposición hace aparecer
elementos indeseables en la realiza!con de los
filtros activos, tales como las inductancias,
se efectuará primeramente la transposición de
la función de transferencia, a la del filtro pro
totipo, y se sintetizará la red activa del fi_l
trado con ayuda de esta última.
La última operación que deberá efectuarse será la
conversión de las unidades normalizadas en valores-rea
-
53 -
les, lo que permitirá obtener los valores de los elementos
en unidades c.lásicas: ohmios, faradios y henrios.
3.3 FUNCIONES DE APROXIMACIÓN
En el apartado anterior hemos visto que el conoci-
miento de los datos relativos a un problema de filtrado
permite definir la plantilla del filtro de pasa bajo norma
lizado o prototipo, que sirve de base para la construcción
del filtro deseado.
La realización de cualquier filtro se reduce a la
de un filtro pasa bajo normalizado, llamado prototipo. Por
su parte, el filtro prototipo puede estar totalmente 3efi
nido por su plantilla, o lo que es lo mismo, por sus tres
magnitudes características: Amáx, Amín y k. Fig. 12.
A (as)
Amín
Amax
1 1/K
Fig. 12 Plantilla de un filtro prototipo defi_
nido por Amáx, Amín y k.
-
- 54 -
Por lo tanto, el problema a resolver está en el
diseño de una red cuya curva de respuesta pueda inscribir
se en el interior de la plantilla establecida.
Aquí demostraremos que para realizar un filtro
prototipo de pasa bajo partiendo de su plantilla se nece
sita la ayuda de ciertas funciones matemáticas r llamadas
funciones de aproximación las cuales nos permitirán hallar
la función de transferencia del filtro a construir deter-
minando en consecuencia, la estructura y el valor de sus
elementos.
Para determinar la función de transferencia de un
filtro cuya curva de respuesta quede inscrita en una plan,
tilla determinada, se buscará una función que relacione -
la magnitud A (oí) expresada ya sea por una expresión ma
temática, un conjunto de valores dados o una función ra
cional, que exprese el amortiguamiento en función de la
frecuencia y cuyo gráfico pueda inscribirse en el interior
déla plantilla; es decir una función que constituya una _a
proximación conveniente a la curva de respuesta ideal.
Las especificaciones de magnitud usualmente están dadas -
ya sea en medidas lineales o logarítmicas. En este ulti-
mo caso, se usa decibeles (20 log A (oí) }, abreviado dB.
-
- 55 -
El filtro que deseamos realizar está compuesto, -
como es natural de elementos lineales, concentrados e in
variables en el tiempo, tales como resistencias, condensa
dores y amplificadores . De ello resulta que su función *-
de transferencia podrá expresarse mediante una función ra
cional de variable compleja p = jco :
F (P) = (1)E(p)
expresión en la que P(p) es un polinomio par.
Además este filtro ha de ser estable, es decir, -
no debe aparecer ninguna señal en la salida cuando no exi_s
ta en la entrada. Esto significa que F(p) es un polino-
mio de Hurwitz; o sea, que todas sus raíces tienen la par
te real negativa. Esto quiere decir, a su vez, que el -
grado de P(p) es como máximo, igual a F(p).
Estas consideraciones, imponen una forma de expre
sión particular para la atenuación en función de la fre -_
cuencia.
En efecto, expresando en unidades lineales, tene_
mos que:
-
- 56
1
Í A ( ü J ) } 2
V2
V1
2
— P í r-. 1 T•C *.P J ¿ t p J (2,
P =
y también, considerando la función de transmisión
1H(p) = es decir, la inversa de la función de trans
ferencia, tenemos
V2V1
= H(P) H(-p)E(p) E(-p)
ÍP(P2)}2= h(w2) (3)
Las expresiones (2) y (3), denotan que la función
de aproximación, al cuadrado,.es:
Una fracción racional,
Una función al cuadrado de la frecuencia,
De grado 2n en tu si H(p) es de grado n en p.
3.3.1 CONDICIONAMIENTOS
Para que el 'gráfico de la función A (u) pueda ins-
cribirse en el interior de la plantilla de pasa bajo, la
amplitud de A(CÜ) debe presentar una forma particular:
Con valores de frecuencia f
-
- 57 -
A(w) = V2VI
debe ser cercano a la unidad, es
decir-, la atención debe ser pequeña en la ban
da de paso. Expresada en decibeles, la reía-
V2ción A(to) =
VI debe ser cercana a cero.
Con valores de frecuencia f>fa, el valor
V2VI debe ser elevado, lo que quiere
decir que la atenuación debe ser grande en la
banda atenuada.
Con valores de frecuencia comprendidos entre -
fa y fp, A-(w). debe aumentar rápidamente desde
la unidad hasta un valor elevado.
VI
Vemos que en cualquier caso A(co) >1, es decir,
V2 (si existe un amplificador de ganancia A0 en
el filtro, lo dicho anteriormente sólo tiene valor con u
na aproximación de un factor multiplicativo), por ello es
preferible poner A(w) en la forma siguiente:
A(Ü>) = A( (4)
K(co2) se llama función característica del filtro. Su es-
tudio matemático resulta más sencillo, ya que K(w2) varia
-
al rededor de cero en la banda de paso» Por esta razón
en el estudio teórico del filtrado se trata la función ca
racterlstica con preferencia a la función de aproximación
K(w2) es también una fracción racional en w2 cuyo
denominador es el mismo que el de A(w2). :
51ÍP(a>2).}2 2
Por otra parte, a estos condicionamientos expu'es_
tos hay que añadir una consideración de tipo económico.
En este sentido, A(u) debe ser de menor grado posible,
pues cuando más alto sea el grado de A (tu) , mayor será el
orden de la función de transferencia F(p). del correspon-
diente' filtro y mayor será el numero de componentes para
su realización.
3.3.2 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CARACTERÍSTICAS
En la banda de paso, la atenuación del filtro d_e
be ser inferior a Amáx. Si ésta se expresa en decibeles r
el valor de k(w2) resulta:
-
- 59 -
Amáx = 20 log / 1 + K(ü)2)
10
(6Amáx/10 „ ^2
En la banda atenuada, la atenuación del filtro de_
be ser superior al valor Amín . Expresada en decibelios ,
el valor de K(w2) resulta i
Amín = 20 log / 1 + K(OJ2)
En resumen, la función característica de un filtro
de pasa bajo debe satisfacer las siguientes condiciones:
Ser función par de la frecuencia,. es decir,
función de co2 ;
Ser fracción racional en ü)2 cuyo denominador
.sea un cuadrado;
Tener un valor pequeño, inferior a:
/ „ - Ai'tiáx/l O -i i j je = / 10 - 1 en la banda de paso;
Tener un valor elevado, superior a:
L = / 10 m:Ln/ - -3 en la banda atenuada;
-
- 60 -
- Ser de grado lo menor posible.
Si la función de transferencia del filtro es de
orden n, el grado de la función característica es de gra
do 2n. Por ejemplo, K(w2) = (w2) es una función cara_c
terística satisfactoria.
Cuando conocemos la función característica de un
filtro que responde a una determinada plantilla de paso -
bajo y satisface las condiciones que acabamos de estable
cer, existe una sola forma de determinar su función de
transferencia.
En efecto, asociando las relaciones (3), (4) y (5)
podemos escribir (suponiendo que A0 = 1):
E ( p ) E ( -p )
( P ( P 2 ) } 2
N ( W 2 )— 1 -i-
p = j (Ü ÍP ( O J 2 ) }2
de donde':
E(p) S(-p) ='{p(p2)}2 + N(p2) (8)
La ecuación (8) es de grado 2n si n es el grado
del numerador de la función de transferencia del filtro.
Por consiguiente r el segundo miembro de esta ecuación tie
-
- 61 -
ne 2n raices. En el plano complejo estas raices están
dispuestas siguiendo una doble simetría con relación a los
ejes real e imaginario. En efecto, si p0 es una raíz,
también p0* lo es, ya que la expresión E(p).E(-p) tienen
coeficientes reales. Asimismo ~p0 es también una raíz,
ya que la expresión es el producto de E(p) por E(-p) .
Hemos visto que E(p) , que es el denominador de u
na función de transferencia, es un polinomio de Hurwitz ,
es decir, que todas sus raíces tiene la parte real negat;L
va. Por consiguiente podemos obtener E(p) factorizando
las n raíces de parte real negativa: pl, p2, ..... pn .
E(p) - (p-pl) (p-p2) ... (p-pn) (9)
En resumen para obtener la función de transferen-
cia — ̂- de un filtro de orden n-, del cual se conoce su
función característica :
Se busca las' raíces de la expresión:
ÍP(p2)}2 + N(p2)
E(p) puede obtenerse conservando solamente las n
-
62 -
raices de parte real negativa y factorizándolas como se
indica en la expresión (9), En cuanto a P(p); no es más
que el polinomio P(w2) en el que ha sustituido p por jw.
Las funciones características que responden a las
condiciones enunciadas anteriormente son numerosas y son
las únicas que se utilizan en el diseño de filtros, éstas
se dividen en dos categorías principales: funciones poli.
nómicas y funciones características, de las cuales sola-
mente las primeras serán estudiadas ya que estas nos con_
ducen a la realización de los filtros llamados polinomia-
§ les; de ellos estudiaremos las funciones de Butterv/orth ,Tchebyscheff y Bessel que son tema de este proyecto.
3.3.3 FILTROS DE BUTTERWORTH
Los filtros de Butterworth poseen la propiedad de
tener una curva de respuesta lo más plana posible 'en el
origen, es decir, para la frecuencia cero como lo demues-
tra la figura 13.
Para satisfacer estas exigencias, la función 'ca
racterística de Butterworth (es decir la inversa de la
función de transferencia) de grado n, Bn(w2)f así como sus
-
- 63 -
i
n - 2
Fig. 13 Curva de respuesta de amplitud de los
filtros de Butterworth de diferente
orden.
n primeras derivadas, deberá ser nulas para w = 0. Por
consiguientef se tiene:
K(co2) = Bn(ü)2) = e2(u)2)n
de lo que resulta:
-
- 64 -
A (ü)J) = / 1+£2OJ2n = / 1 + (-1 10)P =
Para 01 = 1, es decir, para la frecuencia de corte,
se tiene:
A = Amax = / 1 + £'
o, puesto en unidades logarítmicas
e =
estando Amáx expresado en dB.
i .0
0.5 -
0.5 1.0 1.5 2.0
Fig. 14 Magnitud de las funciones de Butterworth
de varios ordenes.
-
65
Las funciones de transferencia de los filtros de
Butterworth se obtiene buscando las raices de parte
real negativa de la expresión 1 + (-1) p2 y factorizan-
do según la expresión (9).
Si por el contrario a la función cuadrada de niacf
nitud o función de transíerenica lo representamos de la
forma siguiente :
(jco) V2V1
= N Cp). w C-p) =1 +E
Cuya demostración se encuentra en el anexo, donde
H es el valor de N(0) y el máximo valor que w(jtu) | alean
za, y donde e se usa para ajustar la relación a la cual la
magnitud decrece. El valor de e usualmente se escoge i.
gual a 1. y la función se refiere entonces como una fun
ción de Butterworth. Bn este caso N (jto) = 3.01 dB para
0 3 = 1 , por lo tanto, la frecuencia u = 1 rad/seg. usual_
mente está referida corno la función de -3 dB o frecuencia
de los 3 dB abajo. De (12) vemos que la pendiente de -
(jw) a esta frecuencia es proporcional a n/2. En la
figura 14 representamos curvas de la magnitud de la fun
ción Butterworth para n = 2,5 y 10.
La localización de los polos de una función de red
-
- 66 -
H(p), que tenga una característica de magnitud Butterworth
puede ser hallada usando (12) (con e= 1) 0 Asi obtenemos:
N(p) N(-p) =H 2
1 + ÜT 1 + (-1 )
Haciendo cero el^denominador polinomial de (13) en
contramos que los polos están localizados en valores de p
que satisfagan la relación;
P = {-(-Dn}1/2n (14)
por lo tanto para n par,
p = (-D e Ck = 1, 3, 5 4n-D,
y para n impar.
P =
De estas relaciones vemos que los polos de F (p)
F(-p) sean equiangulares espaciadas al rededor del circulo
unitario. Reteniendo solamente las singularidades del se-
rniplano izquierdo, encontramos que los polos de N (p) están
dados como sk = 6k + j cok donde:
-
67 -
ók = -Sen • TT2n
2k — 1Wk = Cos — TT
2n
k = 1 , 2 , 3 , . . . , n (15.;
El denominador polinomial caracterizado por estas
raíces se llaman polinomios Butterworth. Al diseñar una
función de red para conocer ciertos requerimientos especl_
fieos, la relación dada en (12) puede ser usada para de-
terminar el valor de n, esto es, determinar el orden del
filtro que se necesita.
Los filtros de Butterworth resultan muy sencillos
de "calcular. Presentan una respuesta transitoria sati_s
factoría, pero la pendiente de su corte es mediocre para
un determinado orden n. También presentan la ventaja de
tener una curva de respuesta poco sensible a las variacio_
nes de los componentes, lo cual resulta bastante útil -
cuando no se pueden definir con precisión los ele'mentos -
de un filtro; como por ejemplo, en el caso de frecuencias
elevadas . Estos filtros se usan preferentemente en apId-
eaciones que no exigen una alta precisión.
-
- 68 -
3.3.4 FILTROS DE TCHEBYCHEFF
Los filtros de Tchebycheff se calculan de manera
que su atenuación en la banda de paso oscile el mayor nú
mero posible de veces entre cero y Amáx para un filtro de
orden dado. De esta manera, en los filtros de Tchebycheff
la imperfección que constituye esta atenuación residual -
que existe en la. banda de paso queda uniformemente repar_
tida a lo largo de toda esta banda de paso y se dice que
tiene una característica de igual rizado. Por el cpntr_a
rio, la atenuación aumenta de forma continua en la" banda
atenuada, como se observa en'la figura 15- donde tenemos -
la curva 'de respuesta de amplitud del filtro de Tchebycheff
de orden 3 y 4. En esta figura se puede observar que en
los filtros de orden par, la atenuación es igual a Amáx -•
para la frecuencia cero.
= 4
= 3
O 0,5 1 1.5 2.5 f
Fig. 15 Curva de respuesta de los filtros Tchebycheffde diferente orden para una ondulación en labanda de paso Amáx = 1 dB.
-
- 69 -
Por lo tanto, la aproximación de magnitud de igual
rizado pasa bajo puede desarrollarse escribiendo la fun-
ción cuadrada de magnitud o función de transferencia
N (jtú) 2 en la forma :
N(ju) 2 = ~ . (16)
donde Tn (w) es un polinomio de orden n, y el valor de e
determina los limites de variación de la Función caracte_
rlstica de magnitud. Como Kn(w2) = e2Tn2(w) en (16).
tenemos:
e = /10AmSx/n°-i
Donde Amáx está expresado en dB.
Estas funciones oscilan n veces entre los valo-
res O y e 2 .
La atenuación de los filtros de Tchebycheff en fun
ción de la frecuencia se expresa, aplicando la relación -
(4), mediante la fórmula:
A (tu) = / i + £2Tn2 (ü))
-
- 70 -
Como los polinomios de Tchebycheff pueden ser pa
res o impares, Tn2(to)- es necesariamente función de w2 „
Las funciones de transferencia de los filtros de
Tchebycheff se obtienen, como en el caso anterior, buscan
do las raices de la expresión 1 + £2Tn2 (w) y facterizando
las raices -de parte real negativa de acuerdo, con la ecua
ción (9). Esta búsqueda se realiza con bastante sencilles
de la siguiente manera:
Un grupo de polinomios Tn (.co). de Tchebycheff se los
define como sigue:
T1 (tú) = ü)
T2 (Cu) = 2tú2-l
T3 (tú) = 4ü)3-3W
Tn+1 (ü)) = 2üJTnlü3) -Tn-1 (üj). (17)
donde la última expresión es válida para todo n > 1 . Los
polinomios de Tchebyscheff pueden también ser escritos u.
sando -las expresiones trigonométricas:
Tn (tu) = Cos (n Cos ü» O < tu < 1 (18 a)
_ 1Tn (tú) = Gosh(n Cos tú) tu > 1 (18 b)
-
- 71 -
Curvas de magnitud de funciones de igual rizado -
para n = 2,5 y 10 (para e = 1) se muestran en la figura 16,
N(jco)
A
1 .0
0.5
n= 10
0.5 1 .0 1.5 2 (ü
Fig. 16 Magnitudes de igual rizado (3dB)
para funciones de varios ordenes
Usando la expresión N(jto) dado en (16) para
determinar la localización de los polos para una función
de red de igual rizado y siguiendo el desarrollo dado pa.
ra una función general de red cuadrada podemos escribir:
N (p) N (-p) = N (jo))=P/J 1+e^Tn'
(p/j)
-
- 72
De aquí los polos del producto N(p) NC-p) son las
raíces de Tn2(p/j) = -1/e2 o Tn(p/j) = ±j/e. Usando la
forma trigonométrica para Tn(to) dado en (18) podemos es
cribir:
(p/j) = Cos (n Cos 1p/j) = ±j/e (20)
para resolver esta ecuación primero definamos una función
complej a,
oí = y + jv = Cos n ?- (21)
sustituyendo esta expresión en (20) obtenemos:
Cos n (y+ jV) = Cos ny Cosh n"0-j Sen- n]J Senh nV=±j/£ (22)
Igualando las partes reales del segundo y tercer
miembro de esta relación da;
Cos ny Cosh nV = O
ya que Cosh nV > 1 para todos los valores de nV, esta
igualdad requiere que Cos ny = O „ Esto puede ser escrito
en la forma:
-
- 73 -
2k-12n k = 1 , 2 , 3 , . . . , 2n (23)
siendo n entero.
Igualando las partes imaginarias de (22):
Sen ny. Senh nV = ±j/£
y reconociendo que para los valores de u definidos por
(23) r sen ny = ±1 , obtenemos:
-iV = l/n Senh 1 /£ (24!
donde hemos retenido solamente los valores positivos para
v, la ecuación (21) puede ahora ser puesta en la forma;
p = j Cos (]1 +JV) = Sen u Senh V+j Cos p. Cosh V (25)-te K . k
Esta relación especifica los polos del producto -
N(p) N (-p) . Los polos del semiplano izquierdo están asig
nados a N(p) para completar la determinación de la función
de red. Así podemos ver que los polos de N(p) estarán en
S1 = Sk + jo), , donde:k k'
-
- 74
Ók = -Sen y SenhK.
üik = Cos y Cos vK.
k = 1 , 2, . .. , n (26)
y donde y y V están definidas en (23) y (24).K.
El lugar geométrico de los polos- pueden estar de_
terminados empezando con la relación trigonométrica bás:L
ca Sen2y + Cos2y = 1 . Insertando la relación paraJC K.
SenzuT y- Cos2yn de (26). obtenemos :k k
Ók - 1 (27)SenhzV Cos V
Esta relación representa una elipse en el origen
del plano s , con un semieje ordenado de longitud Cosh V(K.
y un semieje abcisa de longitud Senh v como muestra la
figura 17,
Senh V
Fig „ 17 Los lugares geométricos de los polos defunciones de magnitud de igual rizado.
-
- 75 -
El lugar geométrico definido por (27) puede ser
usado en un método alternado para encontrar la localiza -
ción de los polos de una función de igual rizado. Para
hacer ésto, primero definirnos una normalización de fre
cuencia tal que la banda de paso tenga un rango O < to < oj ,
•idonde: o> = : . De (26) la localización de los poc Cosh v v̂-
los normalizada es entonces definida comos
6 Sen y Tanh VK (28)
oí = eos yK
El lugar geométrico elíptico para esos polos tie
nen un semieje ordenado de longitud unidad y un semieje
abcisa de longitud Tanh v. Comparando la determinación
de los polos dada por (28) con aquellas dadas por '(15) pa-
ra el caso de magnitud máximamente plana vemos que, para
la normalización de frecuencia dada de la función de i-
gual rizado, las partes imaginarias de la localización de
los polos de los dos tipos de función son las mismas, sin
embargo las magnitudes de las partes reales de los polos
de igual rizado han decrecido por un factor de Tanh v,
Como resultado, la equiangularidad plana debe usarse para
determinar gráficamente la localización de los polos de
igual rizado.
Los filtros de Tchebycheff presentan un gran inte
-
- 76 -
res práctico, ya que de todos los filtros polinomiales -
son los que tienen el corte más abrupto para un orden n
dado. Por el contrario, desafortunadamente los filtros -
de Tchebycheff no presentan una regularidad del tiempo de
propagación demasiado buena en la banda de paso, ni su
comportamiento frente a transitorios es tan bueno corno el
de los filtros de Butterworth. Por ello estos filtros so
lo se utilizan cuando estos defectos, asi como la ondula-
ción de paso, no representan un inconveniente.
3.3.5 FILTROS DE BESSELL
Los filtros de Bessell, también llamados de Thom-
son , son filtros polinomiales en los que a diferencia .de
los anteriores, el criterio de optimización es la regula-
ridad del tiempo de propagación de grupo en la banda de
paso „
Para calcular estos filtros se busca directamente
la función de transferencia sin la mediación de la función
característica, puesto que el mayor interés reside en el
tiempo de propagación de grupo y no en la atenuación» El
proceso de cálculo es el siguiente:
-
77 -
La función de transferencia de un filtro que ten-
ga un tiempo de propagación de grupo de T = 1 seg. perfec_
tamente constante, es;
F(P) = e pT = e p = -—r—Jca .— (29)Cosh p + Senh p
Una aproximación de orden n de esta función de -
transferencia se puede obtener desarrollando Coth p en se_
rie :
4 6
„ ^Cosh p /-)/-,Coth p - - - T—̂ - - - (30,Senh p 3 5
P P •••
y también en fracción continua:
Coth p = 1 r - -̂ - Oí).
p
Por lo tanto, los polinomios de F(p) que figuran
en el denominador de las funciones de transferencia obt_e
nidas de esta forma son polinomios de Bessell0
Es preciso tener en cuenta un detalle importante.
-
- 7:
Los polinomios.de Bessell se han calculado toman
do como unidad el tiempo de propagación de grupo. Por
consiguiente, se obtendrá curvas de respuesta de amplitud,
en las que la atenuación en la frecuencia unidad, será
arbitraria.
Este resultado es poco cómodo y no coherente., con
el método de cálculo de los demás filtros, es por esto -
que daremos una tabla de los valores de los polos para di
ferentes valores de n, que será de mucha utilidad para
próximos capítulos'. También aquí hemos calculado las -
funciones de transferencia tomando como frecuencia unidad
aquella para la cual la atenuación es de 3dB.
La figura 18 nos da a título de ejemplo, la forma
de la atenuación y del tiempo de propagación de grupo de
los filtros de Bessell de orden 5.T resuelta casi constan
te hasta 1.5 veces la frecuencia de corte en 3dB. con-
que la atenuación en este punto sólo es de 7.5 dB „
Puede decirse que la curva de variación del
tiempo de propagación de grupo en función de la frecuen-
cia de los filtros de Bessell tienen.la misma, forma que
la correspondiente a la atenuación de los filtros de But-
terworth, es decir, resulta nula en el origen, así como
-
- 79 -
A(dB)
10
0.5 1 1,5 F=f/f3dB
Fig. 1! Curvas de respuesta de ampli tud ( A )
y en t iempo de propagac ión de grupo
(T) correspondientes a un f i l t ro de
Bessell de orden 5,
n
2
4
6
8
10
Polos
— 1
— 2- 2
- 2- 3- 4
- 2- 4
- 5__ 5
- 3- 4- 5- 6- 6
.50000 +
. 10379 +
.89621 +
.51593 -f
.73571 +
.24836 +
.83898 +
.35829 +
.20484 +
.58789 +
. 1 0892 +
.88622 +
.96753 +
.92204 +
.61529 +
-i_J
jjjjjjjjjjjjjj
0
20
420
6420
86402
.86603
.65742
.86723
.49267
.62627
.86751
.35391
. 41 444
.61618
.86701
. 23270
.22499
.38495
.86767
.61157
Tabla 1 . Localizacion de los polos para una función deBessell,
-
- 80
sus n primeras derivadas, decreciendo después contfnuamen
te. Por el contrario, la figura 18 demuestra que la ate-
nuación en la banda atenuada es mediocre. Por esta razón
sólo se elegirá este tipo cuando no se acepte ninguna de
formación en régimen transitorio. Tal el caso cuando se
quiere transmitir impulsos sin deformación, como por ejem
pío/ en la cabeza de lectura de un registrador numérico.
Debemos tener en cuenta la siguiente observación:
los filtros de Bessell se han concebido tomando como cri
terio fundamental su comportamiento' frente al tiempo de
propagación de grupo. Si transponernos en frecuencia un
filtro de pasa bajo de Bessell para obtener, por ejemplo,
uno de pasa banda, la forma de la atenuación en función -
de la frecuencia quedará conservada, pero no así el tiem
po de-propagación de grupo. Por esta razón la transposi-
ción de un filtro pasa bajo de Bessell no representa nin
gün interés. Si se desea obtener un filtro de pasa banda
que tenga un tiempo de•propagación de grupo muy regular 7
será preciso sintetizarlo directamente sin pasar por el
prototipo, siguiendo una técnica muy especial cuya des-
cripción cae fuera del propósito de este trabajo.
-
3.4 MÉTODO DE SÍNTESIS DE LOS FILTROS ACTIVOS
El conocimiento de los datos fundamentales rela-
tivos a un problema de filtrado nos permite definir la -
plantilla del filtro prototipo, acabamos de ver que esta
plantilla permite a su vez escoger el tipo de filtro que
debemos realizar , después de calcular su función de trans
ferencia.
En este apartado estudiaremos los diversos proce-
dimientos que permiten determinar la estructura y, a con
tinuación calcular el valor de los elementos del filtro -
partiendo de su función de transferencia, este conjunto
de operaciones se llama síntesis del filtro. Nos limita
remos a estudiar la síntesis de los filtros que utilizan
elementos activos combinados con resistencias y condensa-
dores .
Inicialmente, vamos a proceder al estudio de los
principales tipos de elementos activos que sirven para -
realizar los filtros y posteriormente, los métodos genera
les de síntesis.
En este apartado presentaremos métodos para re al i.
za:: funciones de redes por medio del uso de circuitos de.
-
- 82 -
filtros que contienen elementos activos, comunmente lia
mados como "filtros activos RC" o "filtros sin inducto -
res". Hay muchas razones que hacen que estos "filtros -
activos RC" sean atractivos, y efectivamente son preferi
bles con relación a los filtros RLC puramente pasivos „
Por ejemplo, los filtros activos RC usualmente pesan me
nos y requieren de menos- espacio que los pasivos. Esto
es una consideración en satélites y otras aplicaciones -
del aerotransporte. Como otro ejemplo, los filtros acti
vos pueden ser fabricados en microminiatura usando técni.
cas de circuitos integrados. De esta manera pueden pro
ducirse en masa y baratamente. Notablemente en la indus_
tria de las telecomunicaciones, están ahora siendo mod_i
ficadas como para el uso de filtros activos exclusivamen-
te. Como resultado, la producción anual de filtros acti
vos es ahora de millones y muchas compañías ofrecen es-
tos artículos como artículos estándar.
3.4.1 EL FILTRO AMPLIFICADOR RC
Existe un método general de usar filtros activos
RC para realizar funciones de redes, éste es el denomina
do método de "cascada", se lo ha denominado de esta man_e
ra debido a que la función de red que se va a realizar -
-
- 83
es primero descompuesta en productos de términos de según
do orden. Cada término es entonces realizado individual-
mente por su circuito activo RC y una conexión cascada o
serie de circuitos se utiliza para realizar toda la fun
ción de red. Los circuitos activos RC individuales por -
supuesto, deben ser diseñados de tal manera que no se in
teraccionen entre ellos cuando se realiza la conexión en
cascada, es decir, deben estar aislados unos de otros .
Existe un segundo método para realizar funciones
de red y es el método "directo", el cual consiste en com
binar un solo elemento activo con una red de resistencias
y condensadores , siguiendo un método de identificación pa
so a paso. Este método tiene la ventaja de usar un único
elemento activo, pero es objeto de complicados cálculos -
en cuanto el orden del filtro es superior a 3 o 4 y condu
ce frecuentemente a una complicada red cuyas cualidades -
prácticas a menudo dejan mucho que desear. E