Escuela de Formación BásicaDepartamento de Sistemas de Representación

Apunte de apoyo para clase teórica de la materiaREPRESENTACIÓN GRÁFICA

Tema: POLIEDROS

Contenidos:

• Introducción a la representación de poliedros• Clasificación y ejemplos• Contorno aparente y leyes de visibilidad

Autor: Prof. Arq. Rubén Darío Morelli

Bibliografía consultada:1- Apunte del Departamento publicación N.º 14 “Poliedros-Superficies poliédricas” (M. Werber – E. Lúpori)2- Imágenes de internet adaptadas para Representación Gráfica

• www.pauloporta.com/Xeometria/poliedros• www.mariomarin-poliedros.com

Este trabajo fue realizado 100% con Software Libre en entorno Linux-Kubuntu. Se utilizaron los siguientes programas:

1- LibreOffice (Texto y salida PDF) / https://es.libreoffice.org2- FreeCAD (modelado de prismas y pirámides) / https://www.freecadweb.org3- Spectacle (captura recorte de pantalla) / en Linux Kubuntu4- Gimp (edición de imágenes) / https://www.gimp.org5- Inkscape (edición para aplicar el membrete centenario FCEIA) / https://inkscape.org/es/

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POLIEDROS

Los poliedros son cuerpos geométricos formados por caras planas que encierran un volumen. Esas caras planas sonpolígonos consecutivos (polígonos cerrados y unidos por un lado o arista común). El término poliedro es de origengriego (polyedron) y significa “muchas caras” (poli = muchas y edro = caras).

La superficie poliédrica es el conjunto de caras o polígonos consecutivos que determina el poliedro. Una superficiepoliédrica puede ser abierta si no encierra un espacio o volumen interior, como por ejemplo un “biombo” y estádeterminada por dos o más polígonos consecutivos (Figura 1), o cerrada si encierra un espacio o volumen (Figura 2).

Figura 1 – Superficie poliédrica abierta y biombo Figura 2 – Superficie poliédrica cerrada o Poliedro

CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS

El estudio de los poliedros es complejo, aquí se hará una clasificación clásica, apuntando a los cuerpos que se puedentrabajar en el curso de 1er. año, dejando en claro que pueden existir distintas maneras de clasificar y además puedenexistir más familias de poliedros con características especiales que no son de interés para nuestro estudio.

a ) En una clasificación rápida podemos dividir a los poliedros en dos grandes grupos o conjuntos:

1- POLIEDROS CONVEXOS: Cuando ninguna recta puede intersectarlo en más de dos puntos, o cuando el plano decualquiera de sus caras deja a todo el poliedro de un lado o semi-espacio, y nada en el otro semi-espacio (Figura 3).

2- POLIEDROS CÓNCAVOS: Cuando existe alguna recta que puede intersectarlo en más de dos puntos, o cuando elplano de alguna cara del poliedro divide al cuerpo de modo que una parte del poliedro está en un semi-espacio delplano y otra parte en el otro semi-espacio que dicho plano genera (Figura 4). Desde el punto de vista de un análisis, sepuede afirmar que los poliedros cóncavos están conformados por la unión de poliedros convexos.

Figura 3– Poliedro CONVEXO Figura 4 – Poliedro CÓNCAVO

b) En una clasificación basada en la regularidad de sus caras podemos distinguir:

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1. POLIEDROS REGULARES: Se demuestra que son solamente cinco, llamados LOS SÓLIDOS DE PLATÓN, enreferencia al filósofo griego que los estudió y definió: Tetraedro, Cubo o Hexaedro, Octaedro, Dodecaedro e Icosaedro(ver páginas 4 y 5) .En cada uno de ellos se verifica que sus caras son polígonos regulares iguales (triángulos equiláteros, cuadrados opentágonos), todas sus aristas y sus ángulos son iguales, y en cada uno de sus vértices confluyen el mismo número dearistas. Son poliedros convexos. Los poliedros regulares tienen muchas propiedades geométricas interesantes, una deellas es la dualidad o polaridad entre ellos (ver página 5). También la propiedad de las 3 “esferas especiales” que cadauno tiene: esfera inscripta, esfera media y esfera circunscripta (como se detalla en la página 4).

2. POLIEDROS SEMI-REGULARES o DE ARQUÍMEDES (ARQUIMEDIANOS): Son poliedros convexos que seobtienen a partir de los poliedros regulares en base a truncamientos, de modo que sus caras son polígonos regularesde distinto tipo, pero todas sus aristas son iguales (ver página 6)

3. ANTIPRISMAS O TOLVAS O POLIEDROS DE TRANSICIÓN: Son poliedros convexos que no son ni prismas nipirámides, y se caracterizan por generarse a partir de dos polígonos paralelos bajo ciertas condiciones de posición,uniendo sus vértices. Generalmente las caras laterales son triangulares o trapezoidales (ver página 6).

4. POLIEDROS IRREGULARES: Son los prismas y las pirámides. Estos son poliedros convexos cuyas caras sonpolígonos de distinto tipo, pudiendo ser polígonos regulares e irregulares.

4.1. PRISMAS: Los prismas son poliedros que poseen dos polígonos paralelos llamados bases o “directrices” y unconjunto de polígonos que son las caras laterales, en igual cantidad que lados tiene una base directriz. Cuando elpolígono base directriz es regular, el poliedro es un “prisma regular”. La “altura” de un prisma es la distancia mínimaentre sus bases (“h” en los ejemplos) .

4.1.1. PRISMA RECTO → Cuando las aristas laterales son perpendiculares a la base. En el prisma recto, laaltura “h” es igual a la verdadera magnitud de las aristas laterales y las caras laterales son rectángulos. Figura 5.

4.1.2. PRISMA OBLICUO → Cuando las aristas laterales son oblicuas a la base. En el prisma oblicuo, laaltura “h” es igual a la distancia mínima entre sus bases y es una medida menor que la verdadera magnitud de lasaristas laterales. Las caras laterales de un prisma oblicuo pueden ser todas paralelogramos no rectángulos o bienparalelogramos no rectángulos alternados con paralelogramos rectángulos, como en el ejemplo de la Figura 6.

PRISMA RECTO PRISMA OBLICUO

Figura 5. Prisma recto. Proyección diédrica y axonometría Figura 6. Prisma Oblicuo. Proyección diédrica y axonometría

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4.2. PIRÁMIDES: Las pirámides son poliedros que poseen un polígono base y un punto exterior al que concurrenlas aristas laterales, llamado “vértice cúspide” o simplemente “cúspide”. La “altura” de una pirámide es la mínimadistancia entre el vértice cúspide y la base (“h” en los ejemplos).

4.2.1. PIRÁMIDE RECTA → Cuando la base es un polígono regular y el vértice cúspide se encuentra sobrela recta perpendicular que contiene al centro de la base, decimos que la pirámide es “recta regular”, ver Figura 7. Larecta que define el centro de la base y el vértice cúspide se denomina “eje” de la pirámide. La altura de una pirámiderecta es igual a la verdadera magnitud del segmento que define el eje de la misma.

4.2.2 PIRÁMIDE OBLICUA → Cuando la base es un polígono regular o no, y el vértice cúspide se encuentradesplazado con respecto a la normal al centro de la base, es decir que es “excéntrico”, la pirámide es “oblicua”, verFigura 8. En la pirámide oblicua “no existe un eje” como en el caso de la pirámide recta.

PIRÁMIDE RECTA PIRÁMIDE OBLICUA

Figura 7. Prisma recta regular. Proyección diédrica y axonometría Figura 8 Prirámide oblicua. Proyección diédrica y axonometría

CONTORNO APARENTE Y VISIBILIDAD DE LAS PROYECCIONES DE UN POLIEDRO

El contorno aparente (CA) de un poliedro es el polígono cerrado que encierra la representación del poliedro, queespacialmente puede ser un polígono alabeado o plano. En el CA los rayos de proyección son rasantes al poliedro, losrayos de proyección interiores al CA son secantes con el poliedro, es decir, tienen intersección.

Contorno Aparente Es “aparente” porque cada proyección de un poliedro tiene un CA diferente. En la figura, el plano deproyección es el papel, y los rayos de proyección son perpendiculares al papel, proyectando cada rayo comopunto, infinitos rayos-puntos exteriores al cuerpo, infinitos rayos-puntos interiores al cuerpo que lo atraviesan,e infinitos rayos-puntos rasantes al poliedro que determinan el CA, polígono de color rojo en el ejemplo.Leyes de visibilidad (al leer trata de razonar con la imagen ejemplo):1- En una proyección, el CA es siempre visible.2- En el interior del CA hay aristas y vértices visibles y no visibles.3- A una arista visible que no pertenece al CA, concurren caras visibles.4- A una arista no visible que no pertenece al CA, concurren caras no visibles.5- A un vértice visible que no pertenece al CA, concurren aristas visibles.6- A u vértice no visible que no pertenece al CA, concurren aristas no visibles.7- A una arista del CA concurren caras visibles y no visibles.8- A un vértice del CA concurren aristas visibles y no visibles.Una línea del CA puede representar una cara proyectante del poliedro (en este caso no la hay en el ejemplo).En las figuras 5 a 8 hay líneas de CA que contienen caras, por ejemplo las bases y algunas caras laterales.

Figura 9. Contorno aparente en la proyección de un poliedro y leyes de visibilidad.

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