ERRORES

OBJETIVOS

Identificar las causas de errores en las medidas.

Clasificar los errores según sus causas.

.

Expresar matemáticamente el error de una medida.

Determinar el error del resultado de una operación matemática en la cual se

emplean medidas con errores.

MARCO TEÓRICO

Todas las medidas están sujetas a un margen de error producido por diversos factores,

por lo que no existe una medida exacta. Por ejemplo, al medir la longitud de un borrador un

grupo de estudiantes obtuvo los valores siguientes:

Medida Medida (L)

1 12.8 cm

2 12.7 cm

3 12.9 cm

4 12.8 cm

Observe que si tomamos 12.8 cm como valor intermedio, la diferencia de este número

con los restantes es 0.1 cm. Por tanto la medida de la longitud del borrador está afectada por

una incertidumbre o error de 0.1 cm. De estas cuatro medidas ninguna es incorrecta.

Podemos expresar el valor de la longitud como (12.8 0.1) cm, lo cual significa que nuestra

medida (L) está ubicada en el rango 12.7 cm L 12.9 cm. El valor 0.1 se denomina error

absoluto y se expresa en las mismas unidades que la medida.

El cociente obtenido al dividir el error absoluto entre la medida se denomina error

relativo y, si el resultado se multiplica por 100, error relativo porcentual.

El error relativo y el error relativo porcentual no tienen unidades.

Error relativo = 0 1

12 8

.

. = 0.008

Error relativo porcentual = 0 1

12 8

.

. x 100 = 0.8 %

Según los factores que provocan el error o incertidumbre de una medida, los errores

pueden clasificarse en:

1. Errores Sistemáticos

Son los que afectan una medida siempre en el mismo sentido, es decir, afectan todas

las medidas en la misma proporción. Son provocados por desperfectos en la construcción o

calibración de un instrumento o por usarlo bajo condiciones diferentes de aquellas para las

cuales se ha construido. Por ejemplo, un voltímetro que mide siempre 0.1 V menos o un

barómetro que se usa a 30º C en lugar de 25º C, que es la temperatura para la cual se calibró.

Los errores sistemáticos pueden detectarse y corregirse siempre que se realice una

nueva medida.

2. Errores Accidentales

Provienen del mal manejo del instrumento de medida, las lecturas incorrectas de las

escalas e índices, así como de condiciones fluctuantes de la corriente eléctrica, la humedad,

la temperatura, etc., que afectan el funcionamiento de los equipos. Aquí se incluyen también

los errores debidos a la naturaleza del objeto a medir. Por ejemplo, al medir la longitud del

borrador una causa del error es su borde irregular.

3. Errores Burdos

Son los provocados por interferencias del medio ambiente (vibraciones, ruido, etc.)

que se suman a los efectos que se quieren medir. Otras veces son producidos por el

desconocimiento de lo que se está haciendo o calculando, o del instrumento que se maneja.

Apreciación de un Instrumento

La apreciación de un instrumento es el valor correspondiente al intervalo entre dos

marcas de su escala. En los instrumentos de medida que emplearemos en el laboratorio el

error de la medida coincide con la apreciación del instrumento.

Por ejemplo, en las reglas que usted encontrará en el laboratorio, su apreciación es de

0.1 cm, que coincide con el error o incertidumbre de las medidas que se realizan con ellas.

No debe confundirse la apreciación del instrumento con la estimación de la lectura,

que es el valor más pequeño que se puede leer o estimar con ayuda de una escala, aunque

éste no esté marcado en la misma.

Ejemplo:

Determine la apreciación de los instrumentos cuyas escalas aparecen en los dibujos y

realice las lecturas de las medidas indicadas.

a) Figura 1.1

Apreciación = = 1

10

cm = 0.1 cm

Lectura: (2.4 0.1) cm

b) Figura 1.2

Apreciación = 10

5

dm = 2 dm Lectura: (21 2) dm

c) Figura 1.3

Apreciación = (100 mL/10) = 10 mL

Lectura: (16 1) x 101 mL

Valor de un intervalo de la escala

Número de subdivisiones del intervalo

éste intervalo

cm

d) Figura 1.4

e) Fig. 1.5

Apreciación = 1.0 𝑐𝑚

5 = 0.2cm

Estimación de la lectura= 0.2 𝑐𝑚

2 = 0.1cm

Lectura: (4.7 0.1) cm

Esta lectura no es 4.8, sino 4.7, porque se puede subdividir el espacio comprendido entre las

marcas en dos partes, por lo cual el error corresponde a la estimación de la lectura del

instrumento.

¿Exacto o preciso?

La exactitud es la cercanía o coincidencia de una medida con su valor aceptado llamado

patrón o estándar. La precisión indica la concordancia entre las medidas que han sido realizadas

de la misma forma. La exactitud supone la comparación con un valor verdadero o teórico,

mientras que la precisión supone la repetición del mismo valor, aunque éste no coincida con el

valor patrón.

Clases de Errores o Incertidumbres Atendiendo al Tipo de Medida

a) Mediciones con incertidumbres tipo A

Cuando al realizar varias veces una medida, los valores obtenidos difieren en una cantidad

no mayor que la apreciación del instrumento, tenemos una incertidumbre de tipo A.

Apreciación = 1

5

V = 0.2 V

Lectura: (4.0 0.2) V

Esta lectura no es 4, sino 4.0. Este cero indica que el

instrumento permite leer hasta la décima y que, en

este caso, hay cero décimas.

1.0 4.0 3.0 2.0 5.0 0 cm

b) Medidas con incertidumbres tipo B

Cuando las diferencias entre las medidas de un mismo evento o magnitud son mayores

que la apreciación del instrumento o la estimación de la lectura, tenemos una incertidumbre del

tipo B. En este caso, el valor medido debe reportarse como el promedio de las medidas y su error

como la desviación media de las medidas.

Por ejemplo, cuando se mide varias veces el tiempo que tarda en caer un objeto usando un

cronómetro, hay una incertidumbre que sobrepasa la apreciación del cronómetro, porque es

muy difícil echar a correr el cronómetro justo en el instante en que se suelta el objeto y

detenerlo justo cuando el objeto toca el suelo.

Ejemplo:

Tiempo (t) de 10 vueltas, Desviación

en segundos t - t en s

3.20 3.565 – 3.20 = 0.36

4.02 3.565 – 4.02 = 0.46

3.33 3.565 – 3.33 = 0.24

3.79 3.565 – 3.79 = 0.22

3.90 3.565 – 3.90 = 0.34

3.15 3.565 – 3.15 = 0.42

Total = 21.39 s Total = 2.04

Promedio 𝑡̅ = 21.39 𝑠

6= 3.565 𝑠 Promedio 𝑡̅ =

2.04 𝑠

6 = 0.34 s

Luego el tiempo de diez vueltas es (3.6 0.3) s. La incertidumbre se redondea

siempre a una cifra significativa. Note que al redondear la desviación media a 0.3 obtenemos

un error que es del orden de la décima, por eso se redondea el promedio (𝑡̅) también hasta la

décima. Al realizar las operaciones para hallar la incertidumbre, debe emplearse más de una

cifra significativa en los resultados intermedios. En nuestros cálculos se emplearán 2 cifras

significativas cuando calculemos las desviaciones, por eso se ha empleado el valor promedio

como 3.565 con un dígito más, de modo que las desviaciones tengan todas dos cifras

significativas.

Cálculo del Error en las Operaciones Matemáticas Fundamentales

Cuando se realizan operaciones con medidas, los errores de éstas se acumulan. De

manera que el resultado siempre es menos preciso que las medidas individuales.

Sean (M M) y (N N) dos medidas donde M y N son sus incertidumbres

correspondientes. Emplee las siguientes reglas para calcular el error absoluto en las

operaciones matemáticas fundamentales:

Suma y Resta

Se suman o se restan las medidas y el error absoluto resultante es la suma de los

errores absolutos de las medidas en ambos casos.

(M M) + (N N) = (M + N) (M + N)

(M M) - (N N) = (M - N) (M + N)

Ejemplos:

a) (25.86 0.01) cm + (36.09 0.04 cm) + (27.41 0.02) cm = (89.36 0.07) cm

b) (27.9 0.5) m - (4.1 0.5) m = (24 1) m

Recuerde que el redondeo final se realiza en función de la magnitud del error absoluto del

resultado, el cual tiene una sola cifra significativa.

Multiplicación

El error absoluto del resultado se obtiene sumando los errores relativos de cada

medida y multiplicando este resultado por el producto de las medidas.

(M M) (N N) = MN MN M

M

N

N

Ej. Resuelva el siguiente producto:

(6.2 0.2) m x (4.2 0.1) m

6.2 m x 4.2 m = 26.04 m2

Error = 26 ((0.2

5.2) + (

0.1

4.3)) = 26 (0.032 + 0.023) = 1.4

El resultado del producto es (26 1) m2

Potenciación

Para hallar el error absoluto en la potenciación, se determina la potencia y se

multiplica por el producto del exponente y el error relativo de la medida.

(M M)x = Mx Mx M

M

x

Ejemplo: Calcule el área (A) de un cuadrado de (23.7 0.1) cm de lado.

(A A) = [(23.7 ± 0.1)𝑐𝑚]2

A = (23.7)2 = 561.69 cm2

A = 5.6 x 102 (2 𝑥 (0.1

23.7))= 5.6 x 102 (2 x 0.0042) = 4.7 cm2

A A = (562 5) cm2

División

El error absoluto de la división se obtiene multiplicando el cociente de las medidas

por la suma de los errores relativos de cada medida.

M M

N N =

𝑀

𝑁 ± [(

𝑀

𝑁) ((

∆𝑀

𝑀) + (

∆𝑁

𝑁))]

Type equation here.

Ejemplo: Determine la densidad de una pieza metálica cuya masa (m) es

(21.6 0.1) g y su volumen es (8.3 0.7) cm3

d = 𝑚

𝑉 =

21.6 𝑔

8.3 𝑐𝑚3 = 2.0602 𝑔

𝑐𝑚3⁄

∆𝑑 = 𝑚

𝑉((

∆𝑚

𝑚) + (

∆𝑉

𝑉)) = (

21.6

8.3) ((

0.1

21.6) + (

0.7

8.3)) =

2.6 (0.084 + 0.0046) = 2.6 (0.089) = 0.23

(d d) = (2.6 0.2) g/cm3

Importante: Recuerde que la última cifra de la cantidad medida o calculada ocupa el lugar de la

cifra significativa de la incertidumbre. Ejemplos:

Resultados

Valores a reportar

A A A A

26.07 0.13 26.1 0.1

316.97 11.4 (3.2 0.1) x 102

7846.94 49.3 (785 5) x 101 ó (7.85 0.05) x 103

0.00642 0.00087 0.0064 0.0009

Para una expresión general A = 𝑀𝑥𝑁𝑦

𝐿𝑧 el error absoluto se obtiene de la siguiente

forma:

ΔA = 𝑀𝑥𝑁𝑦

𝐿𝑧 (𝑥∆𝑀

𝑀+ 𝑦

∆𝑁

𝑁 + 𝑧

∆𝐿

𝐿)

Ejemplos:

Determine la expresión del error absoluto para las ecuaciones siguientes:

1. A = 𝐵2𝐶3

𝐿

∆A = (𝐵2𝐶3

𝐿) (2

∆𝐵

𝐵+ 3

∆𝐶

𝐶+

∆𝐿

𝐿)

2. BA pero 2/1

BA

∆𝐴 = 𝐵½ (∆𝐵

𝐵 ) = 𝐵(½−1) (

∆𝐵

2) = 𝐵(−½) (

∆𝐵

2) = (

∆𝐵

2𝐵½ ) =

∆𝐵

2√𝐵

3. DCB

A 2

, pero DB

B

C

CCBA

2

DCB

BCCBCBA

2 luego, D

BCCBA

2

4. A = (𝐶3√𝐵) + 𝐿2

A C BB

B

C

CL

L

L

3 21

2

3 2

A C BB

B

C

CL L

31

2

32

5. A B C

Haga (𝐵 + 𝐶) = u A = 2/1

uu

u

uuA

2

12/1

∆𝐴 = (𝑢½

𝑢) (

∆𝑢

2) = 𝑢(½− 1) (

∆𝑢

2) = 𝑢(−½) (

∆𝑢

2) =

∆𝑢

2√𝑢

u = B + C, porque u es una suma; sustituyendo, A = B + C

2√(𝐴+𝐵)

6. AC B

D

3

2 4 E2

Observe que A es una resta de dos términos.

Haga u = (C3 + B). Como u u

1

2

A = (𝑢1/2

𝐷2 ) - (4𝜋𝐸2)

E

EE

D

D

u

u

D

uA 24

2

2

1 2

2

2/1

Pero

u C

C

CB

33

u C C B 3

2

Sustituyendo u y u por su expresión tenemos:

AC B

D

C C B

C B

D

DE E

3

2

2

3

3

2

28

( )

MATERIALES Y EQUIPOS

Péndulo simple

Cronómetro digital

PROCEDIMIENTO

Mida 6 veces el tiempo de 5 oscilaciones de un péndulo simple usando un cronómetro.

Sabiendo que el período es el tiempo de una oscilación y que la frecuencia es el inverso del

período, calcule el período y la frecuencia de este péndulo.

Ejercicios

1. Realice las lecturas de las medidas indicadas en las figuras:

2. Determine el período de un péndulo, si la tabla siguiente contiene el tiempo de cinco

oscilaciones para seis experimentos.

3. Determine el volumen de un cubo de (5.8 0.1) cm de arista.

Experimento

Tiempo (s)

1 12.43

2 14. 56

3 11. 87

4 12.34

5 13.89

6 13.67

4. Halle la expresión del cálculo de la incertidumbre de las siguientes áreas y volúmenes.

Figura Área o volumen Expresión del error

Triángulo A = bh/2 A ______________________

Rectángulo A = bh A ______________________

Trapecio A = B b

h

2 A _______________________

Círculo A= r2 A ______________________

Cilindro V = r h2

V ______________________

Esfera V =d

3

6 V ______________________

Paralelepípedo V = bal V ______________________

5. Halle la expresión de la incertidumbre para las fórmulas siguientes, si a, b y c son medidas.

a. A = a b

c

b. A = 3a2 + b2 + c

c. A = a

bc

2

d. A = (a2) (b2) + c

e. A = (√(𝑎 − 𝑏)) + 𝑐

f. A = (𝑎−𝑏)3

𝑐2

g. A = (𝑎2

𝑏) + 3(√𝑐)

6. Si a = (5.08 0.02)

b = (4.2 0.1)

c = (8.41 0.01)

Calcule el valor de (A ± ΔA) en los seis casos del problema anterior. Incluya todos los

cálculos.

7. Escriba correctamente las siguientes cantidades:

6.9475 0.008 61.6 3.8 9364.87 53.1 0.00634 0.02