REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”

BARQUISIMETO – ESTADO LARA

CALCULO NÚMERICO

Integrantes:María Gil 20.046.589Yennifer Troconis 19.263.419Elia Guere 17.611.133Rosimar Hernández 20.543.304Prof. Liliana Lina

INTRODUCCIÓN

El cálculo numérico es la rama de la matemática que se encarga de diseñar

algoritmo para a través de números y reglas matemáticas simples, simules procesos

matemáticos más complejos aplicadas a procesos del mundo real.

El cálculo numérico se puede definir como la disciplina ocupada de describir,

analizar y crear algoritmos numéricos que nos permiten resolver problemas

matemáticos, en los que estén involucradas cantidades numéricas, con una presión

determinada. Estudia el error que existe entre el valor real y el encontrado

utilizando un computador que en su estructura solo puede trabajar en cantidades

finitas.

En el contexto de cálculo numérico, un algoritmo en un procedimiento que

nos permite llevar a una solución aproximada de un problema mediante un número

finito de pasos que pueden ejecutarse de manera lógica.

En general, estos métodos se aplican cuando se necesitan un valor numérico

como solución un problema matemático, y los procedimientos “exactos o analíticos”

así como las manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales,

métodos de integración, etc son incapaces de dar una respuesta. Debido a ello, son

procedimientos de uso frecuente por físicos e ingenieros cuyo desarrollo se ha

favorecido por la necesidad de estos de obtener soluciones

Para la aplicación de este tema se proporcionará un recorrido por la del

computador, convergencia, interacción del punto fijo y por último el método para la

resolución de ecuaciones y la interpolación polinominal.

ERRORES DE REDONDEO Y ARITMÉTICA DE COMPUTADORA

El error de redondeo es resultado directo de las limitaciones de los

computadores: la aritmética de la máquina sólo comprende valores con un número

finito de dígitos; así que cuando se combinan valores a través de una operación

aritmética los errores son automáticos.

Los números se almacenan en la computadora como una secuencia de dígitos

binarios o bits (unos o ceros), pero para analizar los efectos de los errores de

redondeo, se supone que los números se representan en la forma normalizada

decimal de punto flotante

La secuencia de dígitos 

Se conoce como la mantisa y el índice n como el exponente.

El manejo finito que hace el computador de los números implica que existe un

número máximo, digamos k, de dígitos por medio del cual puede representarse un

valor; esto es, la mantisa sólo debe contener k dígitos. Cualquier número real puede

escribirse en la forma:

La forma de punto flotante mencionada anteriormente, y denotada por fl(x), se

obtiene finalizando la mantisa de x después de k dígitos. Hay dos formas de hacerlo.

a) Corte o truncamiento: 

Los dígitos se  cortan de la mantisa para dar:

b) Redondeo:

Si , entonces el dígito se mantiene sin cambio, truncando luego para

dar finalmente:

Si , entonces el dígito se aumenta en 1 y luego se trunca el número x.

También hay restricciones respecto al tamaño del exponente; n debe satisfacer la

desigualdad

donde M  y  m son enteros positivos que pueden variar según la máquina en que se

trabaje.

Si n llega a ser mayor que M, entonces se dice que el número se ha

desbordado (overflow); es decir, es demasiado grande para representarlo en la

máquina. Por otro lado, si n es menor que - m, entonces se dice que se ha producido

un vaciamiento (underflow); en este caso algunos computadores reajustan el valor

del número a cero y continúan el cálculo, y otros dan un mensaje de error.

Ejemplo:

Escriba los siguientes números en expresión punto flotante usando redondeo y

truncamiento en el 5to dígito:

(a) X = 0,2606483

Sol:

Usando Truncamiento:

Fi (x)= 0,26064 x 100

Usando Redondeo:

Fi (x)= - 0,26064 x 100- 100-5

= - 0,26064 x 100-0,0000,1

= - 0,26065

(b) 34,972603…

Soluc.

La expresión normalizada es:

0,34972603 x 102

Usando truncamiento:

F1(x) = 0,34972 x 102

Usando redondeo:

F1(x) = 0,34972 x 102 x 102+102-5

= 34,972 + 0,001

= 34,973 = 0,34973x 102

El error que resulta al reemplazar un número cualquiera x por su forma de

punto flotante fl(x) se conoce como error de redondeo independientemente de si se

aplica corte o redondeo).

Durante un cálculo, la acumulación de errores de redondeo puede

descomponer por completo el resultado, de modo que es esencial poder identificar

las operaciones tendientes a producir grandes errores de redondeo. Pueden utilizarse

dos medidas para cuantificar estos errores.

es una aproximación a x, entonces se define el error absoluto como

, y el error relativo como : x≠0

Ejemplo:

Escriba la expresión punto flotante por redondeo a 5 dígitos y calcule los errores

absolutos y relativos para x = 0,3459216 x 106

Solución:

F1 (x) = 0,34592x106

Ahora veamos:

Error Absoluto = 1X – F1(x)1

= 10,3459216x106-0,34592x106

= 0,16 x 101

Error Relativo: 1 X−F 1 ( x )1

1x 1

= 10,3459216 x106−0,34592 x 106

10,3459216 106

= 0,46253x10-5

Se dice que los números x  y  coinciden hasta s dígitos (cifras) significativos  si s es el

mayor número entero no negativo para el cual

Ejemplo:

Suponga q x = s determine los posibles valores de F1 (x) que aproximen a x con 3

dígitos significativos.

Solución:

Sabemos que

¿¿

|5−f 1(5)||5|

<5 x103

-k

−5 x10−3<5−f 1 (5 )

5<5 x 10−3

−0,005<5−f 1 (5 )

5<0,005

−0,025<5−f 1 ( x )<0,025

−5,025<−f 1 ( x )<4,975

−5,025< f 1(x)<4,975

asi que :

F1(x) € (4,975; 5,025)

Además de dar una representación inexacta de los números, la aritmética

realizada en la computadora no es exacta, supondremos una aritmética de k dígitos.

Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división en el sistema del punto

flotante (F), se denota por +, -, x y ÷ respectivamente. Estas operaciones están

definidas por:

x (+) y = fl(fl(x) + fl(y))

x (-) y = fl(fl(x) - fl(y))

x (x) y = fl(fl(x) . fl(y))

x (÷) y = fl(fl(x)÷fl(y))

Esta aritmética idealizada corresponde a efectuar la aritmética exacta en la

representación del punto flotante de x e y, y luego a la conversión del resultado

exacto a su representación de punto flotante.

Ejemplo:

Suponga que x = 3,14153265…. Y y = 2,718321109 se relacionan con una

aritmética de 6 dígitos por redondeo. Determine el resultado de las operaciones

entre x y y.

Solución:

X = 0,314153265 x 101

F1 (x) = 0,314153 x 101

Y = 0,271832109 x 101

F1 (Y) = 0,271832 x 101

x + y = F 1 [ F 1 ( x )+F 1( y) ]

= F 1 [0,314153 x101+0,271832 x101 ]

= F 1 [ 5,85985 ]

= 0,585985 x101

x - y = F 1 [ F 1 ( x )+F 1( y) ]

= F 1 [0,314153 x101−0,271832 x 101 ]

= F 1 [ 0,42321 ]

= 0,423210 x100

x (x) y = F 1 [ F 1 ( x ) . F 1( y )]

= F 1 [0,314153 x101 .0,271832 x 101 ]

= F 1 [ 8,53968383 ]

= 0,853968 x101

x ÷ y = F 1 [ F 1 ( x ) ÷ F 1( y )] ,F 1( y)≠ 0

= F 1 [0,314153 x101 ÷ 0,271832 x 101 ]

= F 1 [ 1,155688072 ]

= 0,115569 x 101

Ejercicios:

1. Dado que x = 1/9, y = 6/7 y se utiliza redondeo de cinco cifras para los

cálculos aritméticos donde intervienen x y y complete la siguiente tabla de

valores utilizando los cálculos apropiados:

Operación Resultado Error absoluto Error Relativo

x (+) y

x (x) y

Solución:

x = 0, >>>>>>>>>>

F1 (x) = 0, >>>>> x 100

y = 0,8571428575

F1 (y) = 0, 85714x 100

Luego:

x + y = F 1 [ F 1 ( x )+F 1( y) ]

= F 1 [0 ,≫¿>x100+0,85714 x100 ]

= F 1 [ 0,96825 ]

= 0,96825x100

Error Absoluto:

= ¿

= 10,9682539682-0,96825x100

= 3,9682 x 10 -6

= 0,39682 x 10-5

Error Relativo:

¿¿¿

¿|0,9682539682−0,96825 x 100|

|0,9682539682|

¿4,0983 x 106

¿0,40983 x10−5

x (x) y = F 1 [ F 1 ( x ) . F 1( y )]

= F 1 [0 ,≫¿>x100.0,85714 x 100 ]

= F 1 [ 0,0952368254 ]

= 0,0,95237 x 10−1

Error Absoluto: = ¿

= |0,09523809522−0,95237 x10−1|

= ¿0,10952 x10−6

= 0 ,>010952 x10−5

Error Relativo:

¿¿¿

¿|0,9523809522−0,95237 x 10−1|

|0,9523809522|

¿1,14998>x 10−5

¿0 ,≫500 x10−4

Ahora:

Operación Resultado Error Absoluto Error Relativo

x (+) y = 0,96825x100 = 0,39682 x 10-5 ¿0,40983 x10−5

x (x) y = 0,0,95237 x 10−1 = 0 ,>010952 x10−5 ¿0 ,≫500 x10−4

2. Utilice una mantisa de cuatro cifras decimales para calcular las raíces de:

X2 + 0,40.2x100x+0,8x104= 0

Solución:

Utilizando la formula estándar para las raíces de una ecuación cuadrática

ax2+bx+c = 0

luego

b2-4ac = 0,1602 – 0,0003

= 0,1599

Así, nos da como raíces:

x=12

(−0,4002 ±√0,1599 )

x=12

(−0,4002 ± 0,3999 )

f 1 ( x1 )=0,00032

=0,0002

f 1 ( x2 )=0,80012

=0,4000

Que es el resultado exacto redondeado a dicha precisión.

ALGORTITMO Y CONVERGENCIAS

Un algoritmo es un procedimiento que describe, sin ambigüedades, una serie finita

de pasos a realizar en un orden específico. El objeto el algoritmo es poner en

práctica un procedimiento para resolver un problema o aproximarse a una solución

del problema.

Usaremos un seudocódigo para describir los algoritmos. Este seudocódigo especifica

la forma de la entrada por proporcionar y la forma de la salida deseada. No con

lodos los procedimientos numéricos se obtienen una salida satisfactoria para una

entrada elegida de manera arbitraria. Como consecuencia, el algoritmo se

incorpora una técnica para detenerlo, independiente de la técnica numérica, para

evitar ciclos infinitos.

En los algoritmos se usan dos símbolos de puntuación:

Un punto (.) indica el fin de un paso,

el punto y coma (;) separa las tareas dentro de un paso.

Las sangrías se usan para indicar que los grupos de enunciados deben considerarse

como una sola entidad.

Las técnicas de formación de ciclos en los algoritmos son controladas por un conta-

dor, como por ejemplo,

Para i = 1, 2,...,n

Establezca xi = ai + i * h

o por una condición, como

Mientras í < N ejecute Pasos 3-6.

Para permitir una ejecución condicional, usamos las construcciones estándar

Si ... entonces

o

Si ... entonces

otras construcciones

Los pasos en los algoritmos siguen las reglas de la construcción estructurada de

programas han organizado de modo que haya pocas dificultades para traducir el

seudocódigo a cualquier lenguaje de programación adecuado para las aplicaciones

científicas.

A los algoritmos se les añaden comentarios escritos en cursivas y tiendo de parénte-

sis para distinguirlos de los enunciados de los algoritmos.

EJEMPLO 1 Un algoritmo para calcular

∑i=1

N

x1+x2+…+xN

Donde N y los números x1, x2, . . .,xN están dados, se describe como sigue:

ENTRADA N, x1, x2.....xn

SALIDA SUMA =∑i=1

N

x i

Poso 1 Establezca SUMA =0. (Inicializa el acumulador.)

Paso 2 Para i = 1,2,..., N haga

fijar SUMA = SUMA + xi (Agrega el siguiente término.)

Poso 3 SALIDA (SUMA);

PARAR.

El N-ésimo polinomio de Taylor para f(x) = In x desarrollado en torno a x0 = 1 es

PN (x) = ∑i=1

N (−1 )i+1

i(x−1)i

y el valor de In 1,5 con ocho cifras decimales es 0,40546511. Suponga que querernos

calcular el valor mínimo de N necesario para que

|ln1,5−PN (1,5)| < 10-5

sin usar el término del residuo en el polinomio de Taylor. En los cursos de cálculo

aprendimos que si ∑n=1

∞

an es una serie alternante con límite A cuyos términos

disminuyen en magnitud, entonces A y la N-ésima suma parcial AN = ∑n=1

∞

an difieren

por menos que la magnitud del (N + l)-ésimo ténnino; es decir,

|A−A1|≤|aN +1|

El siguiente algoritmo usa esta cota.

ENTRADA valor x, tolerancia TOL, número máximo de iteraciones M.

SALIDA grado N del polinomio o un mensaje de error.

Paso 1 Establezca N = 1;

y = x-1;

SUMA = 0;

POTENCIA = y;

TÉRMINO = y;

SIGNO = -1. (Se usa para ejecutar la alternancia de signos.)

Paso 2 Mientras N ≤ M realice los Pasos 3-5.

Paso 3 Fijar SIGNO = -SIGNO. (Alterna los signos.)

SUMA = SUMA + SIGNO * TÉRMINO; (Acumula los términos.)

POTENCIA = POTENCIA * y;

TÉRMINO = POTENCIA(N + 1). (Calcula el siguiente término.)

Paso 4 Si |T É RMINO| < TOL entonces (Verifica Ia precisión.)

SALIDA (N);

PARAR. (El procedimiento tuvo éxito.)

Paso 5 Fijar N = N + 1. (Prepara la siguiente iteración.)

Paso 6 SALIDA(E1 método falló); (El procedimiento no tuvo éxito.)

PARAR.

La entrada de nuestro problema es x= 1,5, TOL=10-5 y tal vez M = 15. lista elección

de M proporciona una cola superior para el número de cálculos que estamos

dispuestos a realizar, reconociendo la posibilidad de que falle el algoritmo si se

excede esta cola. El hecho de que la salida sea el valor de N o el mensaje de error

depende de la precisión del dispositivo utilizado para realizar los cálculos.

Nos interesa elegir métodos que produzcan resultados precisos (según las

circunstancias) para una amplia variedad de problemas. Uno de los criterios que siempre

tratarernos de imponer sobre un algoritmo es que los cambios pequeños en los datos

iniciales produzcan otros correspondientes en los resultados finales. Un algoritmo que

satisfaga esta propiedad es estable; en caso contrario, inestable. Algunos algoritmos sólo

son estables para ciertas elecciones de datos iniciales; a estos se les llama condicionalmente

estables. Caracterizaremos las propiedades de estabilidad de los algoritmos siempre que sea

posible.

Para continuar nuestro análisis del crecimiento de los errores de redondeo y su

relación con la estabilidad de un algoritmo, suponga que se introduce un error de magnitud

E0 > 0 en cierta etapa de los cálculos y que se denota por En la magnitud del error después

de n operaciones sucesivas. Los dos casos que surgen con más frecuencia en la práctica se

definen como sigue.

Suponga que E0 > 0 denota un error inicial y En representa la magnitud de un error

después de n operaciones sucesivas. Si En ≈ CnE0, donde C es una constante independiente de

n, entonces se dice que el crecimiento del error es lineal. Si En ≈ CnE0 para alguna C > 1

entonces el crecimiento del error se denomina exponencial.

Normalmente es inevitable el crecimiento lineal del error y, cuando C y E() son

pequeños, por lo general son aceptables los resultados. Por otro lado, hay que evitar el

crecimiento exponencial del error, pues el término Cn crece incluso para valores de n rela-

tivamente pequeños. Esto conduce a imprecisiones inaceptables, sin importar el tamaño de

E0. En consecuencia, un algoritmo que exhibe un crecimiento lineal del error es estable, pero

no así un algoritmo con crecimiento exponencial del error. (Véase la figura 1.13

Ejemplo 3 La ecuación recursiva

Pn=103

Pn−1−Pn−2 para n=2, 3 . . .

Tiene la solución

Pn=C1( 13 )

n

+c2 3n

Pata cualquier constantes c1 y c2 pues

103

Pn−1−Pn−2=103 [c1(1

3 )n−1

+c23n−1]−[c1( 13 )

n−2

+c23n−2]

¿c1( 13 )

n−2[ 103

∗1

3−1]+c2 3n−2[ 10

3∗3−1]

¿c1( 13 )

n−2

( 19 )+c2 3n−2 (9 )=c1( 1

3 )n

+c2 3n=Pn

Si p0 = 1 y p1 = 13

-, tenemos c1 = 1 y c2 = 0, de modo que pn = ( 13 )

n

para toda n.

Suponga que usa una aritmética de redondeo a cinco cifras para calcular los

términos de la sucesión dada por esta ecuación. Entonces p0 = 1.0000 y p1 =

0.33333, lo cual requiere modificar las constantes a c1 = 1.0000 y c2 = -0.12500 X

10-5. Así que la sucesión ( pn )n=0∞ generada esta dada por

pn = 1.0000 ( 13 )

n

−0,12500 x10−5 (3 )n ( - ] - 0.12500 X 10-5 (3)", y el error de

redondeo,

pn− p̂n=0,12500 x10−5 (3n )

crece en forma exponencial con n. Esto se refleja en las imprecisiones extremas

después de los primeros términos, como se muestra en la tabla 1.5 Por otro lado, la

ecuación de recurrencia.

pn=2 pn−1−pn−2 para n= 2, 3, . . .

Tabla 1.5

Tiene la solución pn = c1 + c2n para las constantes c1 y c2 porque

3 Pn−1−pn−2=2 (c1+c2 (n−1 ) )−(c1+c2(n−2))

¿c1 (2−1 )+c2 (2 n−2−n+2 )=c1+c2 n=pn

Si p0 = 1 y p1=13

, las constantes en esta ecuación se convierten en c1 = I y c2 = −23

,

de modo que pH = 1 - |n, Con una aritmética de redondeo a cinco cifras se obtiene pf)

= 1.0000 y p1 = 0.33333. En consecuencia, las constantes con redondeo a cinco

cifras son c1 = 1.0000 y c2 = -0.66667. Así,

p̂n=1.0000−0,66667 n = 1.0000 -0.66667n,

y el error por redondeo es

pn− p̂n=(0,66667−23 )n

que crece linealmente con n. Esto se refleja en la estabilidad que aparece en la tabla

1.6

.

Los efectos del error por redondeo se pueden reducir mediante una aritmética

de orden superior, como la opción de precisión doble o múltiple en la mayor parte de

las computadoras. El uso de la aritmética de doble precisión presenta las desventajas

de más tiempo de cómputo y no se elimina el crecimiento del error por redondeo,

sino solamente se pospone hasta realizar otros cálculos.

Un método para estimar el error de redondeo consiste en usar aritmética de

intervalos (es decir, conservar los valores máximo y mínimo en cada paso), de modo

que, al final, obtenemos un intervalo que contiene al valor real. Desafortunadamente,

se necesitaría un intervalo muy pequeño para una ejecución razonable.

Puesto que se usa frecuencia las técnicas iterativas relacionadas con

sucesiones, esta sección concluye con un breve análisis de cierta terminología usada

usadas para describir la rapidez a la que ocurre la convergencia cuando se empica

una técnica numérica En general, quisiéramos que la técnica convergiese lo más

rápido posible. Se usa la siguiente definición para comparar las razones de

convergencia de varios métodos

Suponga que {βn }n=1

∞ es una sucesión cuyo valor de convergencia es cero y

que {∝n }n=1

∞ converge a un número α. Si existe una constante positiva k tal que

|αn−α|≤ k|βn| para n grande,

entonces decimos que {∝n }n=1

∞converge a α con rapidez de convergencia O ( βn ). Esta

expresión se lee “O mayúscula de βn". Se indica escribiendo ∝n=α +O ( βn )

Aunque la definición permite comparar {∝n }n=1

∞ con una sucesión arbitraria {βn }n=1

∞, en

casi todas las situaciones usamos

βn=1

nn

para algún número p > 0. Por lo general, se tiene interés en el mayor valor de p tal

que ∝n=∝+o (1/np)

Suponga que, para n ≥1,

∝n=n+1

n2y ∝̂n=

n+3

n3

Aunque limn → ∞

α n=0 y limn → ∞

α̂ n=0, la sucesión { α̂n } converge en este límite mucho más

rápido que la sucesión {αn }, usando la aritmética de redondeo a cinco cifras, como

se muestra en la tabla 1.7.

Si βn=ln

y β̂n=l

n2, vemos que

|αn−0|=n+1

n2≤

n+n

n2=2∗1

n=2 βn

|α̂n−0|=n+3

n3≤

n+3 n

n3=4∗1

n2=4 β̂n

de modo que

α n=0+O( 1n ) y α̂n=0+O( 1

n2 )

La rapidez de convergencia de α n a cero es similar a la convergencia de {l//n}

a cero, en tanto que {αn } converge a cero con una rapidez similar a la de la sucesión

{1/n2}, la cual converge más rápido.

También usamos la notación "O mayúscula" para describir la rapidez de convergen-

cia de funciones.

EJEMPLO 5 El tercer polinomio de Taylor de

cos h=1−12

h2+ 124

h4cos ε (h)

para algún número ε (h) entre cero y h. En consecuencia,

cos h+12

h2= 124

h4 cos ε (h)

De este resultado se deduce que

cos h+12

h2=1+O(h4)

pues |(cos h )+ 12

h2¿−1|=| 124

cos ε (h)|h4 ≤124

h4. Esto implica que, cuando h →0,

cos h+12

h2 converge a su límite, 1, casi tan rápido como h4 converge a 0.

a p b

b p a

y=x

y-g(x)p=g

INTERACCIÓN DE PUNTO FIJO

Un punto fijo de una función g es un número para el cual g (p) = p.

Dado un problema de buscar una raíz f(p)=0, podemos definir una función g

con un punto fijo en p de diversas formas; por ejemplo g(x) = x – f(x) o como g (x) =

x+4f(x); pero si la función g tiene un punto fijo en p. entonces la función definida por

f(x) = x-g(x) tiene un cero (0) en p.

A continuación se mostraran las condiciones que se deben cumplir para

verificar la existencia y unidad del punto fijo.

Teorema 1.1

a) Si g∈c[ a , b ] y g¿entonces g tiene un punto fijo en [ a , b ]

b) Si g ´(x) existe en (a,b) y existe una constante positiva k<1 con [ g ´ ( X)]<k,

para toda x∈(a , b)

Entonces el punto fijo en (a,b) es único (ver figura 1.1).

Ejemplo:

0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4

- 4 - 3 -2 -1

y=x

X=y2-2

- y

y

x- x

La función g(y) = y2-2, para -2< y <3, tiene puntos fijos en x = -1 y en x = 2 ya que:

G (-1) ) (-1)2 – 2 = -1 y g(2) = 22-2=2

Gráficamente se observa lo siguiente:

Demostración (Teorema 1.1)

a) Si g(a) = a o si g(b) = b, entonces g tendrá un punto fijo en un extremo.

Supongamos que no es así, entonces deberá ser cierto que g(a)> y que g (b) <b.

la función h(x) = g (x)-x es continuo en [ a , b ] y tenemos:

h (a )=g (a )−a>0 y h (b )=g (b )−b<0

El teorema del valor intermedio establece que existe una pϵ (a,b) para la cual h(p)

=0. Ese número p es un punto fijo de g.

0 = h(p) = g (p) – p implica que g (p) = p

b) Supongo además que |g´ (x )|≤ k<¿ y que p u q son puntos fijos en (a,b) tal

que p≠q. según el teorema de valor medio, existe un número. Ejemplo

entre p y q y por tanto en (a,b) tal que:

g ( p )−g(q)2

= g´(€), por lo tanto:

|p−q|=|g ( p )−g (q)|=|g (∈)||p−q|≤ k|p−q|<|p−q|

La cual es una contradicción que se debe solo a la suposición p≠q. por tanto p=q y el

punto fijo en (a,b) es único.

Ver ejemplo:

En ocasiones se observa que |g´ (x )|≤1 en (a,b), y no puede utilizarse el teorema 1.1

para determinar unidad sin embargo, si g es decreciente y se puede observar que el

punto fijo ha de ser único debemos utilizar la técnica de interacción de punto fijo o

interacción funcional para obtener una solución.

Para aproximar el punto fijo de una función, escogemos una aproximación inicial po y

generamos la sucesión { pn } n=0haciendo Pn=g(Pn-1).

y = xy = g(x)

x

(P2, P3)

(P2, P2)

(P0, P1) (P1, P1)

P3= g (p2)

P2= g (p1)

P1= g (p0)

P0

a p Po b

b

a

x

y

y = x

y = g(x)P = g(p)

Para cada n> 1. Si la secuencia converge en p y si g es continúa entonces:

P= lim pn = lim g (pn-1) = g (lim pn-1) = g (p), y obtener la solución:

Figura 1.2

Geométricamente el método transforma la ecuación f (x)= 0 en una ecuación

equivalente de punto fijo x = g(x), tomando una estimación inicial P0 del punto fijo p

de g y se pi+1 = g (pi), con i = 1, 2, 3 ……..

Al tener la función y = g(x) interceptada con la recta y = x obtenemos el punto fijo p

Figura 1.3

y

Algoritmo de Punto Fijo: Para obtener una solución a p=g(p) dada una

aproximación inicial Po:

Para obtener una solución a p=g(p) dada una aproximación inicial Po.

Entrada: Aproximación inicial xo; Tolerancia TOL; Numero máximo de iteraciones

No.

Salida: Solución aproximada p o mensaje de fracaso.

Paso 1. Tome i =1

Paso 2. Mientras i≤No haga Pasos 3-6

Paso 3. Tome p=g(xo). (Calcule pi)

Paso 4. Si p-po < ΤΟL entonces

Salida (p); (Procedimiento terminado satisfactoriamente). Parar

Paso 5. Tome i=i+1

Paso 6. Tome po=p (redefina po)

Paso 7. ('El método fracasó después de No iteraciones No=', No);(Procedimiento

terminado sin éxito)

Ejemplo:

La ecuación x3 + 4x2 – 10 = 0 tiene una raíz única en [ 1,2 ]. Hay muchas formas para

convertirla en la forma x = g(x) mediante un simple manejo algebraico. Por ejemplo

para obtener la función que se describe en (c) podemos manejar la ecuación x3

+ 4x2 – 10 = 0

4 x2=10−x3 , asi x2=14

(10−x3)

x=±12(10−x3)1 /2

Para obtener una solución positiva elegimos g3(x) como se muestra aquí. No es

importante derivar las funciones que se indican, pero debemos verificar que el punto

fijo de cada una sea realmente una solución de la ecuación original

x3 + 4x2 – 10 = 0

a) X = g1 (x) = x – x3 – 4x2 + 10

b) x=g2 ( x )=( 10x

−4 x)1 /2

c) x=g3 ( x )=12

(10− x3 )1 /2

d) x=g4 ( x )=( 104+x )

1/2

e) x=g5 ( x )=x− x3+4 x2−103 x2+8 x

Con P0 = 1.5 la tabla 2.2 proporciona los resultados del método de interacción

de punto fijo para las cinco opciones de g.

La raíz real es 1.365230013, según se señaló en el ejemplo 1-. Al comprara los

resultados del algoritmo de bisección que vienen en el ejemplo observamos que

se obtuvieron excelentes resultados con las opciones (c), (d) y (e) ya que el

método de bisección requiere 27 interacciones para garantizar la exactitud.

Conviene señalar que la opción (a) ocasiona divergencia y que (b) se torna

indefinida porque contiene la raíz cuadrada de un número negativo.

Aun cuando las funciones de este ejemplo son problemas de punto fijo para el

mismo problema de búsqueda de raíz difieren ampliamente como métodos para

aproximar solución a este tipo de problemas. Su propósito es ilustrar la pregunta

que es preciso contestar.

1 Po 3

e2

3

1

y = g(x)y = x

x

y

¿Cómo podemos encontrar de punto fijo capaz de producir una sucesión que

convenga confiable y rápidamente en una solución en un problema de búsqueda

de raíz?

n (a) (b) (c) (d) (e)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

15

20

25

30

1.5

-0.875

6.732

-469.7

1.03x108

1.5

0,8165

2.9969

(-8.65)1/2

1.5

1.286953768

1.402540804

1.345458374

1.375170253

1.360094193

1.367784968

1.363887004

1.365916734

1.364878217

1.365410062

1.365226680

1.365230236

1.365230006

1.365230013

1.5

1.348399725

1.367376372

1.364957015

1.365264748

1.365225594

1.365230576

1.365229942

1.36523022

1.365230012

1.36530014

1.365230013

1.5

1.373333333

1.365262015

1.365230014

1.365230013

CÁLCULO NUMÉRICO

Ejemplo 1.4.6 Aplique el método de punto fijo para determinar una aproximación de

√3 con una exactitud 10-4.

Solución:

En primer, lugar determinemos la función g(x) que: vamos a utilizar para aplicar la

iteración de punto fijo

Partiendo de que x = √3, tenemos ' . '

x2 = 3= x2 -3 = 0 .y f(x)=x2-3

Así, g(x) = x — f(x), esto es g(x) — x — (x2 — 3).

Como no tenemos la aproximación inicial po, apliquemos el método de bisección

para encontrarlo. La función f(x) = x2 - 3 tiene tominio todo R. Supongamos que la

raíz está n el intervalo [0,2]. En los extremos del intervalo tenemos que f(0) = -3 y

f(2) — 1, tienen signos distintos, así que debe existir al menos una raíz de f en [0,2].

po=2−02

=1

Evaluemos g en p0, al resultado lo llamaos p\ y aplicamos la tolerancia.

g(1) =3 y |3-1| = 2>10-4

Tomando a pi = 3,

g(3) = -3 y |3 + 3| - 6 > 10-4

Nótese que lo que se está obteniendo es una divergencia pues el error aumenta. ¿Por

qué sucede esto? Pues porque g(x) ∈ [O, 2] p. m toda ∈ [O, 2] g(0) = 3 Entonces

debemos conseguir otra junción auxiliar.

x=√3→ x2=3 → x=3x

, x ≠ 0→ x−3x=0→

12 (x−3

x )=0

→ f ( x )=12 (x−3

x )

Por tanto g(x) = x−12 ( x−3

x )La función f tiene dominio R - {0 }. Supongamos que la raíz está en el intervalo

[ 1,2 ] . f 1=−1 y f (2 )=14

, como tienen signos distintos podemos aplicar bisección

para conseguir a po.

Po=2+12

=32=1,5

Realicemos las interaciones necesarias:

g (1,5 )=1,75 y|1,5−1,75|=2,5 x 10−1>10−4

Sea P1= 1,75

g (1,75 )=1,7321 y|1,7321−1,75|=1,79 x10−2>10−4

Tomemos ahora p2 = 1,7321

g (1,7321 )=1,7320 y|11,7320−1,7321|=1 x10−4=Tol

Sea P3= 1,7320

g (1,7320 )=1,7320 y|1,7320−1,7320|=0<10− 4

En conclusión la solución es p= 1,7320

INTERPOLACIÓN POLINOMICA DE LAGRANGE

En el campo de los matemáticos se presentan diversos problemas donde se

involucran uno o más funciones que al momento de resolver no tienen una solución a

través de métodos exactos el análisis numérico Hene, entre sus aplicaciones dar

solución numérica dichos problemas.

Entre las técnicas elementales para definir funciones involucradas en estos

problemas consiste en utilizar la interpolación polinomica.

Dados los datos:

x x0 x1 xn

y y0 y1 yn

Podría utilizarse para obtener una estimación razonable para la solución de

problema una predicción de este tipo puede obtenerse por medio de una función que

corresponda a los datos, este proceso se denomina interpolación.

El problema general de la interpolación de funciones consiste a parir del

conocimiento del valor de una función y eventualmente de sus derivadas en un

conjunto finito de puntos aproximar el valor de la función fuera de ese conjunto

finitos de puntos.

Definición:

Dados n+1puntos correspondientes a los datos:

x x0 x1 xn

y y0 y1 yn

Los cuales representan gráficamente como puntos en el plano, si existe una

función f definida en el intervalo I [ xo , xn ], tal que yi = f (xi) para i = 0, 1,2,…,n

entonces a f se le llama función de interpolación de los datos para aproximar valores

dentro de I.

Funciones como las trigonométricas, exponenciales, logarítmicas,

polinómicas, combinaciones de estas, etc., pueden interpolar los mismos datos.

La interpolación va a depender de la característica de los datos, así como

también de los valores que se esperen.

Existen varios tipos de interpolación entre las cuales están:

Interpolación trigonométrica

Interpolación multivariable

Interpolación de Taylor

Interpolación por polinomios de Lagrange

El conjunto de funciones de la forma:

Pn(x) = anxn+an-1xn-1+ a1x+ao; son conocidos como polinomios donde n es un

estero no negativo y ao,… an….. son constantes reales. Son de gran importancia

debido a que aproximan de manera uniforme a las funciones continuas.

Un polinomio de interpolación es una función polinomica que así como interpola

datos, es de menor grado posible.

Lea una función cualquiera, definida y continua en [ a , b ], debe existir un

polinomio que este tan propicio a la función como se quiera.

Teorema Aproximación de Weierstrass:

Suponga f esta definida y es continua en [ a , b ] para cada ϵ >0, existe un polinomio p

(x)con la propiedad de que:

x

y

a b

Y=f(x)+

Y=f(x)-

Y=p(x)

Y=f(x)

|f ( x )−p (x)|<∈ , x∈ [ a , b ]

Cuando la información para aproximar es restringida es de gran utilidad hacer uso

de los polinomios interpolantes de Lagrange

Consideramos como problema determinar un polinomio de grado 1 que pase por los

puntos (xo,yo) y (x1, y1)diferentes es el mismo que el de aproximar una función para

la cual f(xo) = yo y f(x1) = y1 a través de un polinomio de primer grado (p(x) o lj (x).

Sea p(x) = (x−x1)(x0−x1)

yo+( x−x0 )(x1−x0)

=ej y

Las funciones:

Lo ( x )=(x−x1)(x0−x1)

y li ( x )=( x−x0 )(x1−x0)

x

X0 X1

f(x)

y1 = f(x1)

y0 = f(x0)P(x)

Se define entonces:

P (x) = L0 (x) f (x0) + Li (x) f (x1)

Así; cuando x = x0 y x = x1 respectivamente

P (x0) = 1.y0 + o.y1 = y0 = f (x0)

P (x1) = 0.y0 + 1.y1 = y = f (x0)

Donde el polinomio lineal que pasa por (x0, fx0)y (x1, fx1) viene dado por L0 (x) y L1(x)

cuando:

X = x0, L0 (x0) = 1 y L1 (x0)= 0

X = x1, L0 (x1) = 1 y L1 (x10)= 1

Para generalizar consideremos ahora un polinomio de grado a lo más n que pase

por los n+1 puntos (x0, (f(x0),(x1, f(x1)), (xn,f(xn)

y

X

X0 X1

F

P

X2 Xn

Y

En general para cada k = 0, 1, 2,….,n, tenemos una función Ln,k(x) con la propiedad

de que Ln,k (xi) = 0

Cuando i≠k y Ln,k (kn) = 1

Para satisfacer que Ln, k (xi) = 0 para cada i≠k, en el numerador de Lk se requiere

del termino.

(x-x0) (x-x1) …. (x-xk-1) (x – xk+1)… (x – xn)

Y para que Ln, k (Kk) = 1, el denominador debe ser igual a

(x-x0) (x-x1) …. (x-xk-1) (x-xk+1)…… (x-kn) cuando x = xk

Por lo tanto:

ln , k ( x )=( x−xo )…… ( x−xk−1 ) ……( x−xn)

( xk−x0 ) … .. ( xk−xk−1 ) … .. ( xk−k n )

X

X0 X1 Xk-1

Y

Xk Xk+1

Xn-1 Xn

1

¿∏i=o

n (x− xi)(xk−xi)

Teorema:

Si xo, x1, …..xn son (n+1) números diferentes y f una función cuyos valores

están dados en esos puntos, entonces existe un único polinomio p de grado a lo más n

con la propiedad,

F(xk) = p(xk) para cada k 0,1,2….,n

Y, p (x) = f (xo) Ln, 0 (x) +…. F (xn) Ln, n (x)

¿∑k=0

n

f ( xk ) ln , k (x)

Donde:

ln , k ( x )=( x−xo )…… ( x−xk−1 ) ……( x−xn)

( xk−x0 ) … .. ( xk−xk−1 ) … .. ( xk−k n )

¿∏i=o

n (x− xi)(xk−xi)

Ejemplos:

Usando los siguientes datos calcular el polinomio de lagrange:

i 0 1 2 3

f(xi)

x

1

-2

-1

0

3

2

-2

4

Solución:

Se debe calcular primero los coeficientes polinómicos , L0,L1,L2 y L3

L0 ( x )=(x−x1)(x−x2)(x−x3)

(x0−x1)(x0−x2)(x0−x3)=([ x−0

2.

x−2−4

.x−4−6 ] .1)

L0 ( x )=−x3−6 x2−848

L1 ( x )=(x−x1)(x−x2)(x−x3)

(x0−x1)(x0−x2)(x0−x3)=([ x+2

2.

x .2−2

.x .4−4 ] .1)

L0 ( x )= x3−4 x2−4 x+1616

L2 (x )=(x−x1)(x−x2)(x−x3)

(x0−x1)(x0−x2)(x0−x3)=([ x+2

4.

x−02

.x−4−2 ] .3)

L0 ( x )=3 x3−6 x2−24 x16

L3 (x )=(x−x1)(x−x2)(x−x3)

(x0−x1)(x0−x2)(x0−x3)=([ x+2

6.

x−04

.x−2

2 ] .−2)L0 ( x )=−x3+4 x

24

Luego:

P4 ( x )= x3−6 x2+8 x48

− x3−4 x2−4 x+1616

−3 x3−6 x2−24 x16

− x3+4 x24

P4 ( x )=−748

(-x3+6x2-8x-x3+4x2+4x-16-3x3+6x2+24x-x3-4x)

P4 ( x )=−748

= (6x3+16x2+16x-16)

P4 ( x )=¿ 0,875x3-2,333x2 – 2,333x +2,333

Por medio del polinomio interpolante de Lagange, hallar el valor aproximado de la

funcion f(x) en el punto x= 3.5, si f(x) es una función discreta representada por la

siguiente tabla de valores:

x 1 4 6f(x) 1.5709 1.5727 1.5751

Los coeficientes polinómicos son: L0x = ( x−4 )(x−6)(1−4 )(1−6)

L1x = ( x−1 )(x−6)(4−1 )(4−6)

L2x = ( x−1 )(x−4)( x−1 )(x−4)

0 1 2 3 4 5 6 7

Los coeficientes evaluados en x = 3,5 son

L0 (3.5) = 0.08333 L1 (3.5) = 1.04167 L2 (3.5) = -0.12500

Luego

El polinomio interpolante de lagrange es:

Así el valor del polinomio interpolante en x = 3.5 vale 1.57225, este valor es una

aproximación a f(3.5).

0 1 2 3 4 5 6 7

Numéricamente el calculo de Pn(x) a través de los polinomios base necesita de la

evaluación de n+1polinomios de grado n. Además si se quiere añadir un nuevo

punto de interpolación , debemos cambiar todos los polinomios base de lagrange.

Un método más directo para el cálculo

CONCLUSIÓN

Después de haber elaborado este trabajo que es de gran importancia para

ampliar nuestros conocimientos como futuros ingenieros y atendiendo a los objetivos

de cálculos numéricos se concluye:

Con errores y redondeo y aritmética de computadoras estudiamos el error

que existe entre el valor real y el valor encontrado de una determinada cantidad

finita mediante el uso del computador.

Por su parte en algoritmos y convergencias se observó que a través de un

número finito de paso ejecutados de forma lógica se puede calcular o aproximar

alguna cantidad o función.

También se estudió el método de punto fijo el cual se inicia con una

aproximación inicial generando una sucesión de aproximación que converge a la

solución de f(x)=0, es decir, donde la gráfica de la función corta el eje de las

abscisas a lo que es igual donde se encuentran las raíces de dicha función. Un punto

fijo es aquel que evaluado en la función da el mismo.

En cuanto a la interpolación polinomial existen diversos tipos de funciones

que pueden interpolar los mismos datos de modo que a la hora de elegir el tipo de

interpolación a usar se deberá conocer la naturaleza de los datos y los valores

intermedios que se esperan.

Es de mencionar que el uso de los métodos antes mencionados se puede dar

solución numérica a problemas matemáticas que no pueden ser resueltos a través de

métodos exactos (como los noto en cálculos anteriores).

Esperando así que este trabajo sea de gran utilidad para aquellos que desean

conocer a cerca de este tema.