Proceso Ergódico

Proaño, Luis Enrique

Escuela Superior del Ejercito (E.S.P.E.L), Electrónica e Instrumentación

Ergodicidad

El cálculo de los distintos momentos estadísticos (esperanza y auto-correlación) supone la integración sobre todo el espacio de medida. Esto significa conocer un modelo para el proceso, o tener registrados todos los experimentos posibles.

En la práctica, interesa poder estimar esperanza y auto-correlación a partir de algunas trazas del proceso, y muy comúnmente, solo se dispone de una única traza. Por ejemplo, si se quiere estudiar la temperatura media anual del Río de la Plata, se dispone de un único registro, y no tiene sentido comenzar el experimento varias veces.

Entonces interesa saber si las medias temporales para un único experimento tienen alguna relación con las medias estadísticas sobre todos los experimentos posibles.La media y auto-correlación temporales se definen como:

( x )= limN→∞

12N+1 ∑

n=−N

N

x [n ]

(1)

(x [n ] , x [n+m ])= limN →∞

12N+1 ∑

n=−N

N

x [n ] x [n+m ]

(2)Donde x[n] corresponde a un único experimento. Existe un conjunto de

procesos llamados ergódico para los cuales las medias estadísticas coinciden con las medias temporales.

Evidentemente, un proceso ergódico debe ser estacionario ya que las medias temporales justamente integran a lo largo del tiempo para obtener resultados constantes. Un proceso no estacionario tiene medias estadísticas no constantes.

En la práctica, generalmente se asume que un proceso es ergódico en base a elementos intuitivos. Entendiendo los orígenes físicos de un proceso, se puede discriminar si en el hay correlaciones a largo plazo, o si por el contrario es la superposición de fenómenos de corto plazo independientes.

Proceso Ergódico

X ( t ) es un proceso ergódico si y solo si todas sus medias estadísticas de la familia pueden ser intercambiadas por sus correspondientes medias temporales. Es decir una simple realización temporal es representativa de todo el proceso. Que un proceso sea ergódico implica que éste sea estacionario, pero al revés no. Por lo tanto:

Si la serie de tiempo X t es estacionaria y

ergódica con E [X t ]=μ , entonces el promedio de la serie de tiempo converge a μ , es decir:

Xt=t−1∑i=1

n

Xi=¿>u

(3)Ergocidad respecto a la media

Ergodicidad de la esperanza o media de una función muestra X (t) de un proceso aleatorio X(t) es definido como:

x=E [ x ( t ) ]= limT →∞

1T

∫−T /2

T /2

x (t )dt=¿∫−∞

∞

x ( t ) fdp(x)dx (t)¿

(5)

La auto correlación de una función muestra es definida como

Rxx ( τ )=E [ x ( t ) x ( t+τ ) ]=∫−∞

∞

x (t ) x (t+τ) fdp (x )dx

(6)

Los valores de x y Rxx ( τ ) dependen de la función muestra de P.A. Proceso ErgódicaSi la naturaleza del P.A. Es tal, que los promedios estadísticos conjuntos y los promedios temporales (x) son iguales, se conoce como Proceso ErgódicoUn proceso estacionario X (t) se conoce como ergódico en la auto-correlación si:

E [ x (t ) x ( t+τ ) ]=Rxx (τ)(7)

Si X (t) es ergódico, todas sus promedios estadísticos pueden determinarse de una función de muestra Definición: Un P.E. X (t) es ergodico respecto a la media si:X (t) es estacionario en sentido amplioEl promedio temporal es igual a la media

Mx (S )=nx ∀S

Condiciones para que X (t) (Wss) sea ergódico respecto a la media

Teorema1: Condición necesaria y suficiente

limT→∞

12T

∫−2T

2T

(1− |τ|2T )Cx (τ )dt=0

(8)Teorema 2: Condición suficiente

∫−∞

∞

|Cx (τ )|dt<∞

(9)Teorema 3: Condición suficiente

Cx (0 )<0 lim|τ|→∞

Cx (τ )dt=0

(10)

Análisis de resultados

X (t)= A con A variable aleatoria uniforme en (0,1)Promedio estadístico (“vertical”): nx=E[x(t)]=E[A]=1/2Promedio temporal (“horizontal”):

Mx= limT →∞

12T

∫−2T

2T

Adt=A

nx no es igual a Mx entonces no es ergódico respecto a la media