Calculo del Radio Terrestre:

Eratostenes al Desnudo

Alumno: Carlos Andres Munera

Guıa: Miguel Monsalve

Curso: Astronomıa

Maestrıa en la Ensenanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Facultad de Ciencias Exactas

Universidad Nacional de Colombia

Sede Medellın2010

Indice general

1. Estado del Arte: Difraccion de Reflexion Refractada 4

1.1. Vivencia Cotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1. Preludio Docente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Precedentes 10

2.1. Movimiento del Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.1. Dıa Solar Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.2. Dıa Sidereo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.3. De Ptolomeo a Copernico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2. Geometrıa Plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1. Datos Historicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.2. Algunos Conceptos Basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3. Trigonometrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.1. Datos Historicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.2. Algunos Conceptos Basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3.3. Teorema de Pitagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1

3. Eratostenes 43

3.1. Ubicacion Espacio Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.1.1. Epoca y Lugar de Incidencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.1.2. Su Educacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1.3. Referencias Personales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.1.4. Hazanas (Algunos Aportes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.1.5. Logro Motivador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2. Calculo Del Radio Terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.1. Conjeturando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4. Relaciones y Patrones Expuestos 54

4.1. Detalles Tecnicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.1.1. Posible Proceder de Eratostenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.1.2. Observaciones Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2. Medida Conjunta Del Radio Terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2.1. Practica en Equipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5. Medicion del Radio Terrestre 61

5.1. Practica 1: Similar a Eratostenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.1.1. Guıa Para Medir el Radio Terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.2. Practica 2: Otro Metodo Para Medir el Radio Terrestre . . . . . . . . . . 63

5.2.1. Construccion Reloj Solar de Cuadrante Ecuatorial . . . . . . . . . 64

5.2.2. Observatorio Solar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.2.3. Guıa 2: Estimar la Medida del Radio Terrestre . . . . . . . . . . . 69

2

Agradecimientos

A mi hija Victoria.

Por ser fuente constante de mi inspiracion.Y por ser, simplemente..

Victoria.

Capıtulo 1

Estado del Arte: Difraccion deReflexion Refractada

En el pasar del tiempo, al ir creciendo como ser humano, social, comen-zamos a relacionar e inquietarnos. En principio, experimentamos simplessensaciones, percibidas de porciones del mundo que nos rodea, ayudadosunicamente por nuestros sentidos naturales, independientes entre sı. YNotamos del universo:

El Movimiento

Estrellas en un vaiven cosmico, Tierra y satelites girando, trasladandose(en nuestras mentes en un vaiven cosmogonico).

Oceanos y mares agitados ondulando. Rıos con aguas en constante fluir.Viento soplando calmo o Huracan tormentoso.Vehıculos de toda ındole viajan a todo lugar, lentos o raudos.Maquinaria, bielas y engranajes giran y crujen.Sensores de precision asombrosa leen y corroboran datos.Cuerdas musicales vibran al temblar del aire.

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Pero, al razonar ciertas respuestas sensoriales, patrones observados quesuceden alrededor e intentar explicarlos, replicarlos, predecirlos o pronos-ticarlos, magicamente, estos sentidos ’paren’ un sexto sentido no factico:el ENTENDIMIENTO.

Se inicia ası, El viaje sin regreso .

Buscando, siempre adaptando nuevos sentidos no naturales, protesis arti-ficial, metamorfoseando la naturaleza para sondear mas alla, en busquedade ”sin lımites”.

Dispositivos sensoriales que permitan develar secretos del universo localy, con nuestras ciencias como amalgama, potenciar el saltar, de un estadomecanico a uno cuantico, pasando por situaciones electricas, electronicas,mecatronicas . . .

Creciendo en inferencias inductivas, logicas, deductivas, en interpolacioneslineales y multi variables, regresiones maximo verosımiles, extrapolandopor abduccion, ¿magia?.

Nos entrometemos irreverentes, desafiando la prioritaria e in negociablemision que nos destino la Naturaleza (y nos revelo la Biologıa), sucumbi-endo al eterno placer de descubrir mundos in imaginados pero mas realesque el que toscamente construimos en un inicio (fantasıa burda. Prejuiciosadeclaracion para vanamente calmar nuestra sedienta y curiosa conciencia).

Pero siempre adelante, sin dejar de transpirar, el ser humano en su es-fuerzo por comprender cada vez mas, logra de manera exponencial (segunla calidad de sus argumentos), crear sus mayores obras de arte (inclu-so, mas sublimes que las bellas creaciones del arte), experiencias inesper-adas, jamas sonadas, pero acordes con el compas de partituras que compo-nen nuestro universo, nuestra existencia misma vista desde nuestra propiaimaginacion, en una espiral Arquimediana, que espero, nunca termine.

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1.1. Vivencia Cotidiana

Todos los dıas, al levantarme, aprecio, sin falla conocida, que el sol, o muchos con lasmismas caracterısticas pero solo uno a la vez, en las mananas sale por una region cercanaal punto cardinal que denominamos Este (Oriente), durante el transcurso del dıa se elevapor encima de nuestras cabezas y, al terminar el dıa, comenzando la noche, desciendepara ocultarse por una region cercana a otro punto cardinal que denominamos Oeste (Oc-cidente), siempre moviendose en lınea recta y a una velocidad angular uniforme. Supongoque es un solo sol y que repite este ciclo (girar alrededor de la tierra, aparentemente)desde antes de los hombres (y seguramente despues de ellos) en promedio, a velocidad an-gular constante. Esto me lleva a pensar en la forma de la tierra y su tamano. El aparentehundimiento de un barco que se adentra en el oceano, visto desde la playa, o la sombracurva de la tierra, que logro apreciar algunas noches despejadas sobre la superficie lunar,entre muchas otras experiencias de vida, me llevan a postular como candidata para laforma geometrica de la tierra, a la esfera (aproximadamente).La idea, aquı, es emprender, como el buen inspirador Eratostenes, una empresa que asimple vista parece monumental e imposible para un solo hombre, pero que en la medi-da en que este utiliza su genio para combinar y asociar, astutamente, herramientas conconocimientos heredados (baluartes de la humanidad), vislumbra a lo lejos un espejismoque cada vez se concretiza mas, hasta materializarse y cambiar la vision del mundo.A continuacion se busca tejer la trama y urdimbre, del contexto conceptual y protagonico,que enmarca la proeza realizada por el gran Eratostenes, el hombre, y se detalla su posi-ble experiencia basados en registros historicos, mitos tipificados y nuestras propias con-jeturas, concluyendo con otra experiencia similar, la cual creo, igual de hermosa por sertestimonio preciso y concreto de interdisciplina espacio temporal entre Matematica idealy Fısica vivencial (se abaratan los costos en todo sentido).

1.1.1. Preludio Docente.

El maestro, despues de presentar un tema, debe fijar sus esfuerzos en un conjunto de ejem-plos, ejercicios y cuestionamientos relacionados ıntimamente con cada parte y el todo delos topicos presentados. Los ejemplos ilustran la aplicacion basica de los conceptos.A menudo indican con detalle, la exposicion de sugerencias sobre la organizacion ysobre como abordar los problemas del tema estudiado. Deben haber, tambien, intercala-dos con los ejemplos, un conjunto de ejercicios propuestos. A diferencia de los ejemplospropiamente dichos, con su amplitud y detalle, los ejercicios se piensan mas esquematicos.

6

Los ejercicios sirven al proposito de adquirir cierta destreza y confianza en la aplicacionde lo estudiado. En ocasiones se dan sugerencias de trabajo, resultados parciales, seofrece soluciones esbozadas omitiendo desarrollos intermedios, proponiendo variantes oaplicaciones del ejemplo, dando solo el resultado. Los ejercicios deben proponerse comoproblemas que el estudiante intenta por sı mismo solucionar. El estudiante debeacudir a la solucion propuesta solo para cotejar su propia solucion o para orientarse encaso de que encuentre dificultades que no haya superado.

El aprendizaje de la Fısica no es pasivo. Requiere abordar problemas diversos.1

Despues un conjunto de situaciones, no numeroso, cuidadosamente elegido, de modo queabarque un abanico razonablemente amplio, sin caer en trivialidad por un lado, ni endificultad excesiva (desalentadora) por el otro. En ocasiones se dan resultados finales obien algunos casos particulares para cotejar.

Metodo, Orden y Claridad en la aplicacion de modelos fısicos, son esenciales al estu-diar y solucionar situaciones problema.

Consideracion al Ensenar Trigonometrıa

En secundaria el alumno adquiere conocimientos geometricos en cada curso. En 5o setratan conceptos como angulo, recta, mediatriz, bisectriz, relacion angular, polıgonos,simetrıas en figuras planas. De 6o a 8o se trabajan triangulos, cuadrilateros, polıgonosregulares y la circunferencia. En 9o los estudiantes asimilan el teorema de Pitagoras, elteorema de Thales, los poliedros, perımetros, areas, volumenes. Es en 10o cuando ven enque consiste la trigonometrıa como tal. Luego, en 11o, descubren la utilidad de la mismaen todo tipo de calculos geometricos. Posteriormente, el estudiante continua ampliandosus conocimientos y aplicaciones sobre la trigonometrıa, tal y como viene recogido enlos currıculos vigentes. El tratamiento de esta unidad en el grado 10o no es facil, ya quela trigonometrıa, pese a ser visual, es de las ramas de la matematica mas tecnicas quese ven en la escuela. Por ello, la unidad de trigonometrıa que se imparta en este gradodebe ser tratada por el profesorado con especial cuidado, intentando siempre motivar yanimar a los alumnos para que confıen en sus propias capacidades y hacerles ver el ladomas practico de la trigonometrıa. [1]

La unidad dedicada a la trigonometrıa, en secundaria, debera tener objetivos propiosbasicos, como:

1Es allı donde se decantan, afianzan y esclarecen los conceptos flexibilizando su aplicacion.

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Conocer las razones trigonometricas de un angulo y sus relaciones. Utilizar la cal-culadora para efectuar calculos trigonometricos.

Aplicar relaciones trigonometricas para calcular distancias y angulos reales.

Utilizar conocimientos geometricos para efectuar mediciones indirectas en situa-ciones de contextos cotidianos.

Desarrollar y utilizar equivalencias de expresiones trigonometricas.Podemos ampliar la lista de objetivos incluyendo:

• Identificar la semejanza entre figuras planas.

• Conocer el enunciado del teorema de Thales.

• Definir las razones trigonometricas en el triangulo rectangulo, de un anguloagudo y de un angulo cualquiera en la circunferencia unitaria.

• Obtener angulos con la calculadora a partir de razones trigonometricas.

• Obtener el signo de las razones trigonometricas de un angulo en funcion delcuadrante en el que se encuentre.

• Hallar razones trigonometricas de un angulo a partir de una de ellas. Obten-er relaciones entre las razones trigonometricas de angulos complementarios,angulos suplementarios y angulos opuestos.

• Resolver un triangulo rectangulo conociendo dos lados, conociendo un lado yun angulo.

• Aplicar relaciones trigonometricas en problemas diversos: calculo de distancias,de areas, etc.

Una observacion mas

El esquema general de la presentacion de contenidos por temas sera siempre el mismo ydebe corresponder con las explicaciones que se den desde el primer tema, sirviendo comoguıa. A medida que se va explicando la estructura general, el estudiante debe desarrollartodas las actividades propuestas. El maestro apoyara, en la medida de lo posible, ysiempre con esa intencion como premisa, la explicacion con contenido dinamico queresalte la zona a la que se hace referencia. La idea inicial con los materiales que el maestroprepare, deben propender por hacer un desarrollo visual y manipulable de los conceptostrigonometricos mas habituales en la ensenanza secundaria, que sirvan para comprendery ver la Trigonometrıa.

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Figura 1.1: Visiones.

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Capıtulo 2

Precedentes

Siempre nos estan diciendo la verdad de las cosas, y por inercia y simple comodidad,aceptamos esas aseveraciones, sin objetar, en muchas ocasiones, que sus inferenciaschocan de frente, con las experiencias cotidianas del diario vivir.

Aquı trataremos, en lo posible, conjeturar y deducir, recurriendo unicamente a las eviden-cias aportadas por el empirismo y nuestra propia percepcion del mundo que nos rodea.Se buscara estar acorde al sistema de referencia del que podemos dar fe, un ser humanoparado en la superficie del planeta, sin informacion directa del espacio exterior.

2.1. Movimiento del Sol

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Remembranza

Desde Copernico sabemos que la Tierra gira alrededor de su eje completando una vueltaen 23 horas 56 minutos y 4 segundos, aproximadamente, (un dıa sidereo).No obstante se sigue con la concepcion tolemaica, asumiendo que el movimiento de laesfera celeste es aparente (siendo la Tierra la que gira realmente). [2]Situado en el plano del horizonte y al cabo de un dıa observamos a los astros dar unavuelta alrededor del eje del mundo, en direccion este - sur - oeste mirando hacia el sur, obien en sentido este - norte - oeste mirando hacia el norte. Los unicos puntos de la esferaceleste que permanecen fijos son los polos celestes; todos los demas, con las estrellasparecen girar en cırculos concentricos alrededor de la tierra, idea que apoya la creenciade ser a imagen y semejanza de Dios.1

2.1.1. Dıa Solar Medio

Movimiento diurno del Sol. Segun estemos en el hemisferio norte o en el sur elsentido del movimiento diurno del Sol sera visto de distinta manera. El movimiento dela esfera celeste observado en el transcurso de un dıa (incluido el sol), es un movimientoretrogrado, de sentido horario mirando hacia el Sur, y de sentido anti horario mirandohacia el Norte (ver figura 2.1).Tomemos como ejemplo el Sol que sale por el Este y se pone por el Oeste, desde elhemisferio Norte se aprecia como un movimiento en sentido horario, aunque ligeramentemas lento que las estrellas lejanas. Estas se mueven acordes al tiempo sidereo, mientrasque el movimiento aparente del Sol es acorde al tiempo solar. [6]. En la figura 2.1

Figura 2.1: Movimiento aparente del sol

1¿Dios necesita esfınteres para evacuar sus divinas heces, al igual que cualquier animal? (simio).

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Figura 2.2: Esquema del movimiento del sol, visto desde distintos marcos referenciales.

se representa a dos observadores que desde hemisferios distintos miran el movimientoaparente de nuestra estrella. En perspectiva, el Sol se representa como un disco sobreel Ecuador, interpuesto entre el observador norte y el observador sur. Es evidente queel observador norte ve al Sol en direccion Sur, mientras que el observador sur lo ve endireccion Norte. En el hemisferio norte la luz del Sol y su calor proceden del sur, mientrasque en el hemisferio sur proceden del norte.2.Se denomina dıa, del latın dies, al tiempo que tarda la Tierra desde que el sol esta en elpunto mas alto sobre el horizonte hasta que vuelve a estarlo. Esta fue la primera formaque tuvo el hombre de medir el tiempo. [10] La Astronomıa mostro que, dependiendo dela referencia usada para medir un giro, se trata de tiempo solar o de tiempo sidereo. 3

En caso de no acompanar el termino dıa con otro vocablo, se entiende como dıa solarmedio, base del tiempo civil. Se divide en 24 horas, cada hora en 60 minutos y cadaminuto en 60 segundos, durando cerca de 86.400 segundos. Con igual referencia, el Sol,tiene el ano tropical o ano tropico, lapso que demora la Tierra en su movimiento anual.En un ano tropico la Tierra da 365.24219 vueltas en torno a su eje. [2]

2Ambos observadores coincidiran en que amanece por el este, y el ocaso sucede en el oeste.3El primero toma como referencia al Sol y el segundo toma como referencia a las estrellas.

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2.1.2. Dıa Sidereo

Rotacion de la Esfera Celeste. Llamado dıa sideral , es el lapso entre dos transitossucesivos del equinoccio medio o, de manera equivalente, es el lapso entre dos culmina-ciones sucesivas de una estrella en el meridiano local. Para un observador determinadoel dıa sidereo comienza cuando Aries atraviesa su meridiano (ver figura 2.2).

En un ano tropico la Tierra da 365.242189 vueltas en torno a su eje respecto al Sol,pero respecto a las estrellas da una vuelta mas (366.242189). [11] Se puede obtener unaaproximacion suficientemente buena del valor de una hora sideral:

Un ano Tropico:365.242189 dıas = 8765.8125 horas.

Un dıa Sidereo:8765.8125 h

366.242189= 23.9345 horas.

El dıa sidereo resulta ser algo menor de 24 horas: 23 horas 56 minutos 4 segundos, aprox-imadamente. Supongamos que hoy alineamos una estrella y anotamos la hora. Mananala estrella alcanzara la misma alineacion unos 3 minutos 55.9 segundos antes. Por otraparte, hay que distinguir entre el periodo de rotacion de la Tierra respecto a las estrellasy el dıa sidereo propiamente dicho. Al ser el equinoccio medio un punto movil debido a laprecesion, el dıa sidereo es 0.0084 segundos mas corto que el periodo rotacional respectoa las estrellas. [2] Resumiendo:

Periodo rotacional respecto a las estrellas:

366.242189 dıas civiles.

Dıa sidereo (medio):

23 horas 56 minutos 4.0905 segundos.

La duracion del dıa y la noche cambia en el transcurso del ano, siendo de 12 horas(en todas las latitudes) en los equinoccios, de mas de 12 horas en primavera y verano(alcanzando el dıa mas largo en el solsticio de verano, con la noche mas corta), y demenos de 12 horas en otono e invierno (alcanzandose en el solsticio de invierno el dıamas corto y la noche mas larga). Este efecto se acentua mas cuanto mayor es la latitud.

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En alguna epoca del ano hay dıa o noche permanente en las regiones polares (tanto delHemisferio Norte como del Hemisferio Sur) caracterizadas por estar a una latitud que,en valor absoluto, es mayor que λ = 90o − 23o26′ = 66o34′.4

2.1.3. De Ptolomeo a Copernico

La astronomıa observacional, desde los comienzos de la civilizacion, ha obtenido durantemilenios datos de una precision maravillosa. Pero el problema esencial es como interpre-tar esos datos. Y esto puede verse en una forma patetica en la transicion del modelogeocentrico desarrollado por Ptolomeo (siglo II d.C.) al modelo heliocentrico propuestopor Copernico (1473-1543). [8]Las observaciones de Ptolomeo lo obligaron a concebir un modelo de cırculos que incluıa

Figura 2.3: Idea en la que se basa el movimiento de los astros segun Ptolomeo.

una orbita deferente alrededor de la tierra y un epiciclo con centro en un punto sobre ladeferente (figura 2.3). Ası, un planeta, visto desde la tierra, se mueve sobre el epiciclomientras el centro de este se mueve alrededor de la tierra describiendo orbita deferente.Se adopta aquı un punto de vista simplificado deferente - epiciclo para tratar de dar

unas pistas sobre la forma como se paso de un modelo a otro, y para extraer consecuen-cias importantes que se derivan de ese cambio de mirada. En realidad, este modelo decırculos se fue sobrecargando de epiciclos de epiciclos para ponerse a tono con los datosobservacionales y se complicaba cada vez mas. Se precisaba una simplificacion.El movimiento, segun Ptolomeo, de los planetas conocidos para Copernico (los visibles asimple vista) podrıa simplificarse en la figura 2.4, referente a deferentes y epiciclos consus respectivos perıodos.

4Esta es precisamente la definicion de cırculo polar.

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Figura 2.4: Ajuste en epiciclos y deferentes para el movimiento de los astros, segun Ptolomeo.

Mientras para los planetas interiores el perıodo de la deferente es 1 ano, para los planetasexteriores es el epiciclo el que dura 1 ano. ¿No deberıa asignarse esta circunstancia auna proyeccion en el cielo de la propia orbita de la Tierra? Copernico vio en la deferentede Venus (ejemplo de un planeta interior) la propia orbita de la Tierra alrededor delSol (figura 2.5). Tambien vio en el epiciclo de Jupiter (ejemplo de planeta exterior) laproyeccion del movimiento de la propia Tierra en el movimiento observado de Jupiter(figura 2.5). El perıodo de los epiciclos fue la clave. [8]

Al final de este reporte se incluye un apendice que busca revelar el secreto para el exitologrado por el modelo tolemaico, durante tantos siglos.

15

Figura 2.5: Vision de Copernico cambiando el marco de referencia.

2.2. Geometrıa Plana

2.2.1. Datos Historicos

La historia del origen de la Geometrıa es similar a la de la Aritmetica, siendo sus concep-tos mas antiguos (consecuencia de las actividades practicas). [21] Los primeros hombresllegaron a formas geometricas a partir de la observacion de la naturaleza. [10]

El sabio griego Eudemo de Rodas 5, atribuyo a los egipcios el descubrimiento de lageometrıa, ya que, segun el, necesitaban medir constantemente sus tierras debido a quelas inundaciones del Nilo borraban continuamente sus fronteras. [21] 6

5Eudemo de Rodas. Vivio 300 anos a.C. Filosofo griego, natural de Rodas, discıpulo de Aristoteles.Sus escritos como los de otros de su escuela, se han confundido con los de su maestro.

6Recordemos que, precisamente, la palabra geometrıa significa medida de tierras. [14]

16

Los egipcios se centraron principalmente en el calculo de areas y volumenes. Sin em-bargo, hasta ahı, el desarrollo geometrico adolece de falta de teoremas y demostracionesformales. Tambien se tienen nociones geometricas en la civilizacion mesopotamica, con-stituyendo los problemas de medida el bloque central en este campo: area del cuadrado,del cırculo, volumenes de determinados cuerpos, semejanza de figuras.

Las culturas china e indiaLa no sobresalieron en geometrıa, limitandose a la resolucionde problemas sobre distancias y semejanzas de cuerpos. [16]La geometrıa plana es una rama de las matematicas. Se ocupa de las propiedades delespacio, como: punto, recta, plano, polıgono, poliedro, curva, superficie, etc. Sus orıgenesse remontan a la solucion de problemas relativos a medidas y es la justificacion teoricade instrumentos, como el compas, el teodolito y el pantografo. [21]

Ası mismo, la geometrıa da fundamento teorico a inventos como el sistema de posi-cionamiento global (en combinacion con el analisis matematico y con las ecuacionesdiferenciales). La geometrıa se propone ir mas alla de lo alcanzado por la intuicion.[19] Por ello, es necesario un metodo riguroso en el que no se cometan errores; para con-seguirlo se han utilizado historicamente los sistemas axiomaticos.

El primer sistema axiomatico fue el de Euclides7, pero hoy se sabe que este sistemaeuclıdeo es incompleto. David Hilbert 8 propuso a principios del siglo XX otro sistemaaxiomatico, ya completo. [26]

7Matematico y geometra griego, que vivio alrededor del 300 a. C. Se le conoce como El Padre de laGeometrıa. Su vida es poco conocida. Vivio en Alejandrıa (Egipto) durante el reinado de Ptolomeo I.(algunos autores arabes afirman que Euclides era hijo de Naucrates). Se barajan tres hipotesis:a) Euclides fue un personaje historico que escribio Los elementos y otras obras atribuidas a el.b)Euclides fue el lıder de un equipo de matematicos que trabajaba en Alejandrıa. Todos ellos con-tribuyeron a escribir las obras completas de Euclides, incluso firmando los libros con el nombre deEuclides despues de su muerte.c) Las obras de Euclides fueron escritas por un equipo de matematicos de Alejandrıa, que tomo el nombreEuclides del personaje historico Euclides de Megara, que habıa vivido unos cien anos antes. [16]

8David Hilbert (23 de enero de 1862, Konigsberg, Prusia Oriental - 14 de febrero de 1943, Gottingen,Alemania). Matematico aleman, reconocido como uno de los mas influyentes del siglo XIX y principiosdel XX. Hilbert y sus estudiantes proporcionaron partes de la infraestructura matematica necesaria parala mecanica cuantica y la relatividad general. Fue uno de los fundadores de la teorıa de la demostracion,la logica matematica y la distincion entre matematica y metamatematica. Adopto y defendio vivamentela teorıa de conjuntos y los numeros transfinitos de Cantor. Un ejemplo famoso de su liderazgo mundialen la matematica es su presentacion en 1900 de un conjunto de problemas que establecieron el cursode gran parte de la investigacion matematica del siglo XX. En la pugna por demostrar correctamentealgunos de los errores cometidos por Einstein, en la teorıa general de la relatividad, David Hilbert seadelanto a las correcciones de Einstein, sin embargo nunca se otorgo el merito. [14]

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Como en todo sistema formal, debe tenerse en cuenta que las definiciones, axiomas yteoremas no solo pretenden describir el comportamiento de unos objetos. Cuando se ax-iomatiza algo, se convierte ese comportamiento en el objeto de estudio, pudiendo olvidarya los objetos iniciales del estudio (que se denominan modelos). Esto significa que enadelante, las palabras punto, recta y plano deben de perder todo significado visual. Si seconserva la idea de punto, recta y plano como lo que comunmente se comprende comotales, las definiciones y axiomas, e incluso algunos de los teoremas pareceran evidentes ycarentes de importancia. Algunos tipos de geometrıas, son:Geometrıa Euclidea, Geometrıa analıtica, Geometrıa hiperbolica, Geometrıa proyec-tiva, Geometrıa elıptica, Geometrıa ampudiana, Geometrıa analıtica, Geometrıa difer-encial, Geometrıa proyectiva, Geometrıa descriptiva, Geometrıa espacial, Geometrıa deincidencia, Geometrıa de dimensiones bajas y Geometrıa plana.La Geometrıa plana estudia las propiedades de superficies y figuras planas, como eltriangulo o el cırculo, y se conoce como geometrıa Euclıdea, en honor a Euclides. Suextenso tratado: Los Elementos se mantuvo como texto autorizado de geometrıa has-ta la aparicion de las llamadas Geometrıa no euclideas en el siglo XIX. Estudia laspropiedades del plano y el espacio tridimensional. En ocasiones los matematicos usan eltermino para englobar geometrıas de dimensiones superiores con propiedades similares.Sin embargo, con frecuencia, geometrıa euclidiana es sinonimo de geometrıa plana. [26]Una parte importante de la geometrıa plana son las construcciones con regla y compas.Definiciones de Geometrıa Euclideana mas especıficas, pueden ser:

1. Desde un punto de vista historiografico, la geometrıa euclidiana es aquella geometrıaque postulo Euclides, en su libro Los elementos, dejando al margen las aporta-ciones que se hicieron posteriormente, desde Arquımedes hasta Steiner. [26]

2. Segun la contraposicion entre metodo sintetico y metodo algebraico analıtico, la ge-ometrıa euclidiana serıa, el estudio sintetico de los invariantes de un espaciovectorial real de dimension 3 dotado de un producto escalar. 9

3. Segun el Programa de Erlangen,10 la geometrıa euclidiana serıa el estudio de losinvariantes de las isometrıas en un espacio euclidiano (espacio vectorial realde dimension finita, dotado de un producto escalar).

9Frecuentemente denominado producto escalar habitual.10Erlangen es una ciudad universitaria de Franconia Media, en el Estado federado de Baviera, que

se encuentra en el sur de Alemania. Es la octava ciudad de Baviera. Las ciudades mas cercanas sonFurth (14 km al sur) y Nuremberg (16 km al sureste). Junto con los pueblos vecinos, constituyen el areametropolitana de Nuremberg, una de las once mas importantes de Alemania. [26]

18

Figura 2.6: Fragmento de Los elementos de Euclides, en papiro, hallado en Oxirrinco, Egipto.

2.2.2. Algunos Conceptos Basicos

El punto Es la representacion del mınimo lugar geometrico. Es el primer objeto y origende los demas. No tiene dimensiones y generalmente se representa por un pequeno cırculo,nombrandolo con una letra mayuscula.Un segmento Es el conjunto de puntos que se encuentran entre dos puntos fijos, dados,A y B. La longitud del segmento es la distancia entre sus extremos A y B.Una Recta es el conjunto de puntos comprendidos entre dos puntos fijos consideradosa una distancia infinita. No tiene origen ni fin (su longitud es infinita).Una semirrecta es cada una de las partes en que un punto divide a una recta. Lasemirrecta tiene origen, pero no fin.

Angulos y Tipos de angulos. Un angulo es cada una de las 4 regiones en que quedadividido el plano al dibujar en el 2 rectas que se cortan. Recogemos aquı la nomenclaturapara algunos de los tipos de angulos mas usuales, de una manera parecida a la realizadapor los matematicos griegos, concretamente a la recogida por Euclides.

Angulo Recto: Cuando dos lıneas que se cortan forman 4 angulos iguales, cadauno de ellos es un angulo recto y a ambas rectas se les llama perpendiculares.

Angulo LLano: Fijamos un punto cualquiera sobre una recta. Cada una de lasregiones que queda a ambos lados de la misma es un angulo llano. En consecuencia,un angulo llano equivale a dos angulos Rectos.

Angulo Agudo: aquel que es menor que un angulo Recto.

Angulo Obtuso: aquel que es mayor que un angulo Recto.

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Dos angulos se dicen Complementarios si juntos suman un angulo Recto.Dos angulos se dicen Suplementarios si suman dos angulos rectos (un angulo Llano).

La figura 2.7 muestra dos rectas paralelas, L1 y L2,11 cortadas por una secante. Esta

Figura 2.7: Rectas paralelas cortadas por una secante

disposicion origina ocho angulos, cuatro entre L1 con la recta secante y cuatro mas, cor-respondientes, entre L2 y la recta secante.

Los angulos que estan en la misma configuracion se denominan correspondientes. Ası,en la figura 2.7 son angulos correspondientes: α con θ, β con ε, χ con µ y δ con ν.

Afirmacion. Angulos correspondientes entre paralelas cortadas por una misma secante,son congruentes (tienen medida igual).

Tambien relacionamos los angulos β con θ y δ con µ llamandolos angulos alternos inter-nos entre paralelas cortadas por una misma secante. 12

Analogamente, relacionamos los angulos α con ε y χ con ν llamandolos angulos alternosexternos entre paralelas cortadas por una misma secante. 13

Afirmacion. Angulos opuestos por el vertice, son congruentes.Prueba. En la figura 2.8 vemos que,

ω + σ = λ+ σ ⇐⇒ ω = λ

11En Geometrıa Plana se puede considerar que dos rectas son paralelas si su interseccion es vacıa.12Son los angulos que se encuentran al interior de las paralelas pero en lado opuesto de la secante.13Son los angulos que se encuentran al exterior de las paralelas pero en lado opuesto de la secante.

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Afirmacion. Angulos alternos internos entre paralelas cortadas por una misma secante,

Figura 2.8: Angulos opuestos por el vertice

son congruentes y angulos alternos externos entre paralelas cortadas por una mismasecante tambien son congruentes (tienen igual medida).

Medida de Angulos. La manera mas extendida en nuestro entorno para dar la me-dida de los angulos se basa en el principio de definir:

Un Grado Sexagesimal como la medida del angulo que resulta de dividir un angulototal de circunferencia en 360 partes iguales.Cuando hablamos simplemente de grados en el contexto de la medida de angulos nosreferiremos siempre a grados sexagesimales y la manera de expresar un angulo de xgrados es: xo [1].

En las calculadoras, cuando queremos trabajar en grados sexagesimales debemos ele-gir el modo adecuado que, normalmente se denota por DEG. Lo mas probable es queesta division tan arbitraria de 360 partes tenga que ver con la medida del tiempo yel hecho observado de que el movimiento de traslacion de la Tierra alrededor del Sol(o del Sol alrededor de la Tierra como se penso y defendio en algun momento) durabaaproximadamente 360 dıas. Con ello, un grado serıa una aproximacion del angulo que serecorrıa en el periodo de un dıa en ese movimiento.

Un angulo llano (una semicircunferencia) mide 180o y un angulo recto (14

de circun-ferencia) mide 90o. Sin embargo, la palabra Sexagesimal la motiva el hecho de que, cadagrado se divide en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos.14

14La division en 360 partes tiene una motivacion historica pero es totalmente arbitraria y, de hecho,con ser la mas extendida, no es la unica que se usa.

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La popularizacion de esta medida contrasta con la dificultad de dibujar un angulo deun grado sexagesimal si no se cuenta con un instrumento de medida adecuado (un trans-portador de angulos, por ejemplo).15

Definicion: Un Grado Centesimal o Gradian es la medida del angulo que resulta dedividir un angulo total de circunferencia en 400 partes iguales. Muchas calculadoras ad-miten este tipo de grados y es habitual que se abrevie con el modo GRAD que no hayque confundir con el anterior. En nuestro medio, la medida de angulos en Gradianes noes habitual. La otra medida de angulos mas usual, es el Radian.

Definicion: El RadianPuesto que la longitud de la circunferencia es proporcional al radio, se puede definirel Radian como la medida de un angulo central de una circunferencia tal que el arco queabarca tiene la misma longitud que el radio.

En particular, ya que la longitud de la circunferencia, en funcion del radio r, es 2πr,el angulo total de la circunferencia sera de 2π radianes. De este modo podemos concluirque, el radio r es la razon de proporcionalidad entre la medida de un arco y la medida desu angulo central correspondiente, en radianes, de acuerdo a la figura 2.9, tenemos que:

r =AB

θ=Longitud del arcoAB

Angulo AOB

Asociada tradicionalmente a un capıtulo tan importante de la actividad humana comoes el de la observacion astronomica, la nocion de angulo es basica en geometrıa (y ob-viamente en trigonometrıa). Su aparente sencillez no ha de ocultar el hecho de que eltratamiento de los angulos como magnitudes susceptibles de ser medidas encierra unaconsiderable complejidad; en efecto, un sistema de medicion de los angulos que permitacompararlos eficazmente con otras magnitudes geometricas, como la longitud o la super-ficie, requiere tratarlos como magnitudes lineales, lo que solo se consigue adecuadamenteasociandolos a arcos de circunferencia.

Pero el calculo de la longitud de la circunferencia hace intervenir una magnitud irracional,el numero π; esto implica que cuestiones aparentemente sencillas, como por ejemplo ladivision de un angulo cualquiera en tres partes iguales, no puedan resolverse medianteuna construccion geometrica que se sirva exclusivamente de la regla y el compas.

15Si nos limitamos a manejar solo regla y compas, no es posible hacerlo.

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Figura 2.9: Arco subtendido por el angulo θ

Triangulos. El triangulo es el polıgono mas simple y fundamental, ya que todo polıgonopuede resolverse vıa triangulos, trazando todas las diagonales a partir de un vertice, ouniendo todos los vertices con un mismo punto interior al polıgono.

Clasificacion de los triangulos por Lados

Isosceles. Es el triangulo que tiene dos lados iguales, el tercer lado se llama base.Los angulos en la base son iguales. Recıprocamente, si dos angulos de un trianguloson iguales, entonces los lados opuestos a dichos angulos tambien seran iguales.

Equilatero. Es el triangulo que tiene los tres lados iguales. Luego, es isosceles paracualquier par de lados (los tres angulos de un triangulo equilatero son iguales, cadauno mide 60o). Recıprocamente, si los tres angulos de un triangulo son iguales, esequilatero. Cabe mencionar que al triangulo que tiene los tres angulos iguales se lellama equilatero, pero tambien es llamado equiangulo.

Escaleno. Triangulo que tiene sus tres lados distintos entre sı.

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Clasificacion de los triangulos por angulos

Acutangulo. Un triangulo que tiene sus tres angulos agudos (cada uno mayor que0o pero menor que 90o).

Rectangulo. Cuando uno de los angulos es recto (igual a 90o).

Obtusangulo. Cuando uno de los angulos es obtuso (mayor que 90o pero menorque 180o).

Postulados de Geometrıa Plana

La presentacion tradicional de la geometrıa euclidiana se hace en un formato axiomatico.16

Euclides planteo cinco postulados en su sistema, los cuales son:

1. Dados dos puntos se puede trazar una y solo una recta que los une.

2. Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua en cualquier sentido.

3. Se puede trazar una circunferencia con centro cualquiera y radio arbitrario.

4. Todos los angulos rectos son iguales.

5. Si una recta al cortar a otras dos, forma angulos no rectos, esas dos rectas prolon-gadas se cortan del lado en el que estan los angulos menores que dos rectos.

El ultimo postulado, conocido como postulado de las paralelas, fue reformulado como:

5. Por un punto exterior a una recta, pasa una unica paralela a dicha recta.Este postulado parece menos obvio que los otros cuatro. Muchos geometras, incluidoEuclides, intentaron deducirlo de los anteriores. Cuando intentaron reducirlo al absurdonegandolo, surgieron dos nuevas geometrıas: la elıptica, llamada geometrıa de Riemanno riemanniana (dada una recta y un punto exterior a ella, no existe recta alguna que pasepor el punto y sea paralela a la recta dada) y la hiperbolica o de Lobachevsky (existenvarias rectas paralelas que pasan por un punto exterior a una recta dada).

16Un sistema de axiomas es aquel que, a partir de un cierto numero de postulados que se presumenverdaderos (conocidos como axiomas) y a traves de operaciones logicas, genera nuevos postulados cuyovalor de verdad es tambien positivo.

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El quinto postulado resulto que si bien es compatible con los otro cuatro, es en ciertomodo independiente. [19]

Es decir, tanto el quinto postulado como la negacion del quinto postulado, son compati-bles con los otros postulados. Una limitacion del trabajo de Euclides fue no reconocer laposibilidad de sistemas geometricos perfectamente consistentes donde el quinto axiomano era valido.

Es decir, para Euclides y los geometras posteriores hasta el siglo XVIII paso inadver-tida la posibilidad de geometrıas no euclidianas, hasta el trabajo de Nikolai Lobachevski17, Gauss 18 y Riemann 19.

Durante el siglo XIX se considero que las geometrıas no euclidianas eran un artefactomatematicamente interesante, e incluso con cierto interes practico pero limitado, comoes el caso de la trigonometrıa esferica usada en astronomıa.

17Nikolai Ivanovich Lobachevski (1 de diciembre de 1792 - 24 de febrero de 1856). Matematico ruso delsiglo XIX. Entre sus logros se encuentra la demostracion de varias conjeturas relacionadas con el calculotensorial aplicados a vectores en el espacio de Hilbert. Aplico un tratamiento crıtico a los postuladosfundamentales de la geometrıa euclidiana. Nacio en Nizhni Novgorod y estudio en la Universidad deKazan. Enseno en Kazan desde 1812 hasta 1846, y llego a ser profesor de matematicas en 1823. Antes deLobachesvski, los matematicos intentaban deducir el quinto postulado de Euclides a partir de los otrosaxiomas; sin embargo, Lobachevsky se dedico a desarrollar una geometrıa en la cual el quinto postuladopuede no ser cierto o, mejor dicho, no ser valido. Para esto, entre otras cuestiones propuso un sistemageometrico basado en la hipotesis del angulo agudo, segun la cual, en un plano, por un punto fijo pasanal menos 2 paralelas a una recta (en realidad tal solucion da nocion de la existencia de triangulos curvos).Entre sus obras destacan Sobre los principios de la geometrıa (1829) y Geometrıa imaginaria (1835).Murio en Kazan en 1856. [26]

18Johann Carl Friedrich Gauss (30 de abril de 1777, Brunswick - 23 de febrero de 1855, Gottingen).Matematico, astronomo y fısico aleman. Contribuyo en la teorıa de numeros, analisis matematico, ge-ometrıa diferencial, geodesia, magnetismo y optica. Considerado Prıncipe de las matematicas y el mayormatematico desde la antiguedad. Influencio muchos campos de la matematica y de la ciencia. Fue de losprimeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos. Fue un nino prodigio de quien existenmuchas anecdotas acerca de su asombrosa precocidad, e hizo sus primeros descubrimientos mientras eraadolescente. Completo su magnum opus, Disquisitiones Arithmeticae a los veintiun anos (1798),aunque no serıa publicado hasta 1801. Un trabajo que fue fundamental para que la teorıa de los numerosse consolidara y ha moldeo esta area hasta hoy. [26]

19Georg Friedrich Bernhard Riemann (Breselenz, Alemania, 17 de septiembre de 1826 - Verbania,Italia, 20 de julio de 1866). Matematico aleman, realizo contribuciones en analisis y geometrıa diferencial,allanando el camino para el desarrollo de la relatividad general. Su nombre esta conectado con la funcionzeta, la integral de Riemann, el lema de Riemann, las variedades de Riemann, las superficies de Riemanny la geometrıa de Riemann. [26]

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Pero en cierto modo se consideraba, que la geometrıa del espacio fısico era euclidianay por tanto las geometrias no euclidianas eran solo un artificio abstracto util para ciertosproblemas pero en ningun modo descripciones realistas del mundo. Sin embargo, el tra-bajo de Albert Einstein. 20, hizo ver que entre las necesidades de la fısica moderna estanlas geometrıas no euclidianas, para describir el espacio - tiempo curvo.

Cualquier conjunto de objetos que verifique las definiciones y axiomas cumplira todoslos teoremas de la geometrıa en cuestion, y su comportamiento sera identico al del mod-elo tradicional. Por ejemplo, si en la nocion de punto se considera el modelo en el queun punto cualquiera es un polinomio cualquiera de segundo grado:

f(x) = ax2 + bx+ c

Si una recta es entonces una familia de polinomios o en lo consiguiente una familia debinomios o monomios de la manera:

λ · f(x) : λ ∈ R

y un plano es entendido como el conjunto:

λ · f(x) + µ · g(x) : λ, µ ∈ R

Todos los resultados de las distintas geometrıas son validos para este modelo. [19]

20Albert Einstein (Ulm, Alemania, 14 de marzo de 1879 - Princeton, Estados Unidos, 18 de abrilde 1955). Fısico aleman, nacionalizado suizo y estadounidense. En 1905, publico su teorıa de la rela-tividad especial. Probablemente, la ecuacion mas conocida de la fısica a nivel popular, es la expresionmatematica de la equivalencia masa energıa, E = mc2, deducida por el como una consecuencia logicade esta teorıa. Publico trabajos que sentaron las bases de la fısica estadıstica y la mecanica cuantica.En 1915 presento la teorıa de la relatividad general, reformulando por completo el concepto de gravedad.Una de las consecuencias fue el surgimiento del estudio cientıfico del origen y evolucion del Universo porla rama de la fısica denominada Cosmologıa. En 1919, cuando las observaciones britanicas de un eclipsesolar confirmaron sus predicciones acerca de la curvatura de la luz, fue idolatrado por la prensa. Por susexplicaciones sobre el efecto fotoelectrico y sus contribuciones a la fısica teorica, en 1921 obtuvo el Pre-mio Nobel de Fısica y no por la Teorıa de la Relatividad, pues el cientıfico a quien se encomendo la tareade evaluarla, no la entendio, y temieron correr el riesgo de que posteriormente se demostrase erronea.Ante el ascenso del nazismo en diciembre de 1932, el cientıfico abandono Alemania con destino a EstadosUnidos, donde impartio docencia en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. Se nacionalizo es-tadounidense en 1940. Intento integrar en una teorıa la fuerza gravitatoria y la electromagnetica. Aunquees considerado el padre de la bomba atomica, abogo en sus escritos por el pacifismo, el socialismo y elsionismo. Fue proclamado como el mas eminente cientıfico por la celebre revista Time. [26]

26

Congruencia de Triangulos

La congruencia de triangulos estudia los casos en que dos o mas triangulos presentanangulos de igual medida, ası como lados de igual medida. Para que se de la congruenciade dos o mas triangulos, sus lados respectivos deben ser congruentes (igual medida). Lasfiguras congruentes son aquellas que tienen la misma forma y el mismo tamano. Laspartes coincidentes de las figuras congruentes se llaman homologas o correspondientes.Para corroborar que dos triangulos son congruentes se debe asegurar la congruencia detodos los lados de uno con todos los lados correspondientes del otro y la congruencia detodos los angulos de uno con todos los angulos correspondientes del otro.

Congruencia de triangulos Dos triangulos son congruentes cuando sus tres lados ytres angulos tambien lo son. Puede demostrarse la congruencia de dos triangulos si sesabe ciertas de sus partes correspondientes son homologas. Las condiciones mınimas paraque dos triangulos sean congruentes se denominan criterios de congruencia. Son:

Criterio LLL: Si en dos triangulos los tres lados de uno son respectivamente con-gruentes con los del otro, entonces los triangulos son congruentes.

Criterio LAL: Si los lados que forman un angulo, y este, son congruentes con doslados y el angulo comprendido por estos de otro triangulo, entonces los triangulosson congruentes.

Criterio ALA: Si dos angulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentescon los mismos de otro triangulo, entonces los triangulos son congruentes.

Criterio LLA: Si dos triangulos que tienen dos lados y el angulo opuesto al mayorde ellos es respectivamente congruente, entonces son congruentes.

Razones y Proporciones

Una razon es una forma de comparar dos cantidades expresadas en la misma unidadde medida. En una proporcion se cumple lo que se denomina propiedad fundamental,y se conoce como producto cruzado, pues en realidad corresponde a la igualdad que sepresenta al multiplicar los terminos extremos entre sı y lo mismo entre los terminosmedios, quedando:

a

b=c

d⇐⇒ a · d = b · c

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La proporcionalidad es una relacion entre magnitudes medibles. Es uno de los escasosconceptos matematicos ampliamente difundido en la poblacion. Esto se debe a que esen buena medida intuitiva y de uso muy comun. La proporcionalidad directa es un ca-so particular de las variaciones lineales. El factor constante de proporcionalidad puedeutilizarse para expresar las relaciones entre las magnitudes.

Semejanza de Triangulos

Una semejanza es la composicion de una materia (una rotacion y una posible reflexiono simetrıa axial) con una homotecia (una transformacion afın que, a partir de un puntofijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. En general una homotecia derazon diferente de 1 deja un unico punto fijo, llamado centro de la transformacion).En la rotacion se puede cambiar el tamano y la orientacion de una figura pero no sealtera su forma. Por lo tanto, dos triangulos son semejantes si tienen similar forma.

En el caso del triangulo, la forma solo depende de sus angulos (no ası en el caso deun rectangulo, por ejemplo, donde uno de sus angulos es recto pero cuya forma puede

ser mas o menos alargada, es decir que depende del cocientebase

altura).

Se puede simplificar ası la definicion: dos triangulos son semejantes si sus angulos soniguales dos a dos. Una similitud tiene la propiedad (que la caracteriza) de multiplicartodas la longitudes por un mismo factor.

Por tanto, son iguales todas las razoneslongitud imagen

longitud origen, lo que da una segunda car-

acterizacion de triangulos semejantes:

Dos triangulos son semejantes si las razones de los lados correspondientesson congruentes.

Corolarios

Todos los triangulos equilateros son semejantes.

Si dos triangulos tienen dos angulos iguales, los terceros tambien son iguales.

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2.3. Trigonometrıa

La trigonometrıa es la rama de las matematicas que estudia las relaciones entre los ladosy los angulos de triangulos, de las propiedades y aplicaciones de funciones trigonometricasde angulos.Sus dos ramas son, fundamentalmente, la plana, que se ocupa de figuras contenidas enun plano, y la esferica, que se ocupa de triangulos que forman parte de la superficie deuna esfera.

Incidencia

Las aplicaciones iniciales de la trigonometrıa se hicieron en campos de la navegacion, lageodesia y la astronomıa [10] [21], en las que el principal problema era determinar unadistancia inaccesible (como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que nosea posible medir de forma directa).Otras aplicaciones de la trigonometrıa se pueden encontrar en fısica, en quımica y, engeneral, en todas las ramas de ingenierıa, sobre todo en el estudio de fenomenos periodicos,como el sonido o el flujo de corriente alterna.

2.3.1. Datos Historicos

Inicios. Hace ya mas de 3000 anos los babilonios y los egipcios empleaban angulos detriangulos y razones trigonometricas para medir, en agricultura los primeros, y en con-struccion de piramides los segundos.Aplicaron los primeros estudios de astronomıa para calcular la posicion de cuerpos ce-lestes y la prediccion de sus orbitas, en los calendarios y el calculo del tiempo, y ennavegacion para mejorar la exactitud de la posicion y de las rutas. [2] [16]Los egipcios establecieron medir los angulos en grados, minutos y segundos, manteniendosehasta hoy.

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En el siglo II a.C. el astronomo Hiparco de Nicea21, conocido como Hiparco de Ro-das (190 a.C. - 120 a.C.), de Bitinia22, compilo una tabla trigonometrica para resolvertriangulos, comenzando con un angulo de 7o, yendo hasta 180◦ con incrementos de 7◦, latabla da la longitud de la cuerda delimitada por los lados del angulo central dado quecorta a una circunferencia de radio r. [14] 300 anos mas tarde el astronomo Tolomeo23

utilizo r = 60, pues los griegos habıan adoptado el sistema numerico sexagesimal (base60) de los babilonios. Tolomeo incorporo en su libro de astronomıa, el Almagesto, unatabla de cuerdas con incrementos, desde 0◦ a 180◦, con un error menor que 1

3600de unidad

angular, y a lo largo del libro da ejemplos de como calcular elementos de un triangulo.Tolomeo domino el pensamiento cientıfico hasta el siglo XVI por teorıas yexplicaciones astronomicas.

Maduracion. A finales del siglo VIII los astronomos arabes, que recibieron la herenciade las tradiciones griegas, y de la India, prefirieron trabajar con la funcion seno. A finalesdel siglo X completaron la funcion seno junto con las otras cinco funciones. Descubrierony demostraron varios teoremas fundamentales de la trigonometrıa tanto para triangulosplanos como esfericos. Varios matematicos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez der = 60, lo que produjo los valores modernos de las funciones trigonometricas. Los arabescalcularon tablas precisas en division sexagesimal, destacando Abu al - Wafa al - Buzad-jami (940 d.C. - 997 d.C.) por las divisiones en cuarto de grado, con cuatro posicionessexagesimales. Occidente conocio la trigonometrıa arabe a traves de traducciones de li-bros de astronomıa, desde el siglo XII. En el siglo XV, el primer trabajo importante enesta materia en Europa fue, De triangulus escrito por el matematico y astronomo alemanJohann Muller24. Durante el siguiente siglo, El astronomo aleman Georges Joachim 25

(conocido como Retico), introdujo el concepto de funciones trigonometricas como pro-porciones en vez de longitudes de ciertas lıneas.

21Hiparco fue un astronomo, geografo y matematico griego (nacido en Nicea alrededor de 190 a.C. ymuere alrededor de 120 a.C.). Nace dos anos antes de la muerte de Eratostenes, del que fue sucesor enla direccion de la Biblioteca de Alejandrıa. Entre sus aportaciones cabe destacar: el primer catalogo deestrellas, el descubrimiento de la precesion de los equinoccios, distincion entre ano sidereo y ano tropico,mayor precision en la medida de la distancia Tierra - Luna y de la oblicuidad de la eclıptica, la invencionde la trigonometrıa y de los conceptos de longitud y latitud geograficas. [26]

22Hoy Iznik, Turquıa.23Claudio Ptolomeo, (Tolemaida, Tebaida, 100 d.C. Canope, 170 d.C.) Astronomo, quımico, geografo

y matematico greco egipcio, llamado en espanol Ptolomeo (o Tolomeo). [26]24Konigsberg in Bayern (Franconia), 6 de junio 1436 - Roma, 6 de julio de 1476. Prolıfico astronomo

y matematico aleman. Su nombre real es Johann Muller Konigsberg. [26]25Primer Vizconde de Goschen; Londres, 1831 - Seacox Heath, 1907. Polıtico britanico. Brillante

economista, consiguio reducir la deuda publica. [26]

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Desarrollo. En el siglo XVII, aparece Sir Isaac Newton26 En las universidades se iniciacon Calculo diferencial (Newton comienza su desarrollo del calculo con integracion) paracontinuar con Calculo integral, partiendo de funciones reales de variable real, para llegara funciones multi variables de variable compleja. Uno de los fundamentos del trabajode Newton fue la representacion de funciones matematicas utilizando series infinitas depotencias de la variable x. Newton encontro la serie para sin(x) y series similares paracos(x) y tan(x). Con la invencion del calculo las funciones trigonometricas fueron in-corporadas al analisis, donde todavıa hoy desempenan un papel importante tanto en lasmatematicas puras como en las aplicadas.27

Por ultimo, en el siglo XVIII, el matematico suizo Leonhard Euler28 fundo la trigonometrıamoderna y definio las funciones trigonometricas utilizando expresiones con exponencialesde numeros complejos. Esto convirtio a la trigonometrıa en una de las muchas aplicacionesde los numeros complejos. Tambien se le debe a este matematico el uso de las minuscu-las latinas a, b, c para los lados de un triangulo plano o esferico y el de las mayusculascorrespondientes A,B,C para los angulos opuestos.

La Trigonometrıa es la parte de las matematicas que analiza las medidas de los tresangulos y los tres lados de un Triangulo. Las relaciones entre sus angulos, sus lados, ...

26Nacio el 4 de enero de 1643 y murio el 31 de marzo de 1727. Fısico, filosofo, teologo, inventor,alquimista y matematico ingles, autor de los Philosophiae naturalis principia mathematica, mas cono-cidos como los Principia, donde describio la ley de gravitacion universal y establecio las bases de lamecanica clasica mediante las leyes que llevan su nombre. Entre sus descubrimientos cientıficos destacael desarrollo del calculo matematico y comparte con Leibniz el credito por el desarrollo del calculo in-tegral y diferencial, que utilizo para formular sus leyes de la fısica. [14] Entre sus hallazgos cientıficosse encuentran, entre muchos otros, su propuesta de una teorıa sobre el origen de las estrellas y fue elprimero en demostrar que las leyes naturales que gobiernan el movimiento en la Tierra y las que gob-iernan el movimiento de los cuerpos celestes son las mismas. Es, a menudo, calificado como el cientıficomas grande de todos los tiempos, y su obra como la culminacion de la revolucion cientıfica.

27Al tiempo que Newton, en Inglaterra, desarrolla el Calculo (de forma geometrica), otro hombre enAlemania: Leibniz, desarrolla la misma teorıa (de manera algebraica), generandose para Leibniz unproblema por derechos de autor, hasta el punto de solicitar infructuosamente , de manera reiterada, unaaudiencia (en Inglaterra) con la Real Sociedad de Ciencias (de la cual Newton fue director). [26]

28Su nombre completo era Leonhard Paul Euler. Fue un respetado matematico y fısico. Nacio el 15 deabril de 1707 en Basilea (Suiza) y murio el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo (Rusia). Se leconsidera el principal matematico del siglo XVIII y como uno de los mas grandes de todos los tiempos.Vivio en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida y realizo importantes descubrimientos en areastan diversas como el calculo o la teorıa de grafos. Se le conoce por sus trabajos en los campos de lamecanica, optica y astronomıa. Euler ha sido uno de los matematicos mas prolıficos, y se calcula quesus obras completas reunidas podrıan ocupar entre 60 y 80 volumenes. [14] El asteroide (2002) Eulerrecibio ese nombre en su honor. [26]

31

Pero la mayor parte de las relaciones y resultados que se estudian en Trigonometrıa sebasan en algunos principios basicos de Geometrıa y, fundamentalmente, en la Propor-cionalidad. El maestro desde antes de comenzar el tema como tal, debe ir introduciendocuestiones basicas relacionadas con angulos y triangulos, con proporcionalidad, ...Para la mayorıa de los alumnos de secundaria, muchos conceptos y procedimientos ge-ometricos que siempre han sido competencia de la Matematica, son ahora vistos comoDibujo Tecnico y, en muchos casos, sin sus justificaciones formales. Por ello, el maestrodebe introducir muchos resultados auxiliares, necesarios o no, que acerquen la GeometrıaPlana a las Matematicas, su lugar natural.Debemos procurar que una premisa basica este siempre presente y guıe muchos de nue-stros procesos para comprender mejor los conceptos y resultados que estudiamos:

Si se puede dibujar con regla y compas, se puede calcular

Recordaremos ası a los maestros griegos y sus sencillas herramientas de trabajo. Ver lageometrıa y, en este caso, la Trigonometrıa, de forma constructivista, tiene enormesbeneficios en la comprension de conceptos estudiados en secundaria y universidad.

2.3.2. Algunos Conceptos Basicos

La distancia desde un punto situado al pie de una montana hasta su cima, por ejemplo,o desde una embarcacion hasta un determinado punto de la costa, o la que separa dosastros, pueden resultar inaccesibles a la medicion directa; en cambio, el angulo que formala visual dirigida a un accidente geografico, o a un punto de la boveda celeste, con otravisual fijada de antemano (como puede ser la dirigida segun la horizontal), acostumbraser facil de medir mediante instrumentos relativamente sencillos.

El objetivo de la trigonometrıa es establecer las relaciones matematicas entre las me-didas de las longitudes de los segmentos que forman los lados de un triangulo con lasmedidas de las amplitudes de sus angulos, de manera que resulte posible calcular las unasmediante las otras.

Un tipo particular de triangulos, los triangulos rectangulos, se caracterizan por satisfaceruna relacion metrica, el llamado teorema de Pitagoras (ver la tercer subseccionde la tercer seccion del segundo capıtulo, 2.3.3 ), que es la base de nuestro concepto demedida de las dimensiones espaciales.

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Funciones Trigonometricas

La razon se define como la comparacion por cociente (division) de dos magnitudes de lamisma especie (se trata de un numero abstracto). Las funciones trigonometricas son fun-ciones cuyos valores son extensiones del concepto de razon trigonometrica en un triangulorectangulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio uno).

Definiciones mas modernas las describen como series infinitas o como la solucion deciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extension a valores positivos y negativos,e incluso a numeros complejos.

Dado un angulo agudo, tomemos un punto cualquiera sobre uno de sus lados; por ejem-plo, el punto M , situado sobre el lado OM (O es el vertice). Si por M trazamos unaperpendicular, que cortara al otro lado del angulo, en el punto S, quedan determinadostres segmentos, los cuales forman un triangulo rectangulo.

En un triangulo rectangulo, al lado mas grande (el que esta frente al angulo de 90o)se le denomina hipotenusa, y a los otros dos lados se les llama catetos. Con los tres

segmentos definidos, se pueden obtener seis razones distintas, que son:

33

1. Seno, sin(θ): Se obtiene dividiendo el cateto opuesto entre la hipotenusa.

sin(θ) =opuesto

hipotenusa

2. Coseno, cos(θ): Se obtiene dividiendo el cateto adyacente entre la hipotenusa.

cos(θ) =adyacente

hipotenusa

3. Tangente, tan(θ): Se obtiene dividiendo el cateto opuesto entre el cateto adya-cente.

tan(θ) =opuesto

adyacente=

sin(θ)

cos(θ)

4. Cotangente, cot(θ): Se obtiene dividiendo el cateto adyacente entre el catetoopuesto.

cot(θ) =adyacente

opuesto=

cos(θ)

sin(θ)=

1

tan(θ)

5. Secante, sec(θ): Se obtiene dividiendo la hipotenusa entre el cateto adyacente.

sec(θ) =hipotenusa

adyacente=

1

cos(θ)

6. Cosecante, csc(θ): Se obtiene dividiendo la hipotenusa entre el cateto opuesto.

csc(θ) =hipotenusa

opuesto=

1

sin(θ)

Las funciones seno y coseno son funciones analıticas. Su serie de Maclaurin viene dadapor:

sin(x) =∞∑i=1

(−1)kx2k+1

(2k + 1)!=x

1!− x3

3!+x5

5!. . .

cos(x) =∞∑i=1

(−1)kx2k

(2k)!=

1

0!− x2

2!+x4

4!. . .

Estas identidades son usadas como las definiciones de las funciones seno y coseno. Confrecuencia se utilizan como punto de partida para el tratamiento riguroso de las funcionestrigonometricas y sus aplicaciones (por ejemplo en las Series de Fourier).Debido a que la teorıa de las series infinitas puede ser desarrollada a partir de la base delsistema de numeros reales, independientemente de cualquier consideracion geometrica.La diferenciabilidad y continuidad de estas funciones es entonces establecida a partir delas definiciones de series por si misma.

34

Figura 2.10: Razones trigonometricas de angulos notables

Relacion con la exponencial compleja. Existe una relacion importante entre laexponenciacion de numeros complejos y las funciones trigonometricas:

eix = cos(x) + i sin(x)

Esta relacion puede probarse usando el desarrollo en serie de Taylor para la funcion ex-ponencial y el obtenido en la seccion anterior para las funciones seno y coseno. Separandoahora en parte real e imaginaria en la expresion anterior se encuentran las definicionesde seno y coseno en terminos de exponenciales complejas:

cos(x) =eix + e−ix

2

sin(x) =eix − e−ix

2i

La importancia de los radianes. Los radianes especifican un angulo midiendo lalongitud alrededor del camino del circulo unitario y constituyen un argumento especialpara las funciones seno y coseno. En particular, solamente los senos y cosenos que mapeanradianes a radio satisfacen las ecuaciones diferenciales que los describen tradicionalmente.Si un argumento para el seno o el coseno en radianes es escalado por frecuencia,

y = f(x) = sin(kx)

35

Figura 2.11: Signos de razones trigonometricas en diferentes cuadrantes del plano cartesiano

entonces las derivadas escalan por amplitud.

y′ = f ′(x) = k cos(kx)

k es una constante que representa un mapeo entre unidades. Si x esta en grados, entonces

k =π

180o. Ası, la segunda derivada de seno en grados no satisface la ecuacion diferencial

y′′ = −y, sino y′′ = −k2y. El coseno de la segunda derivada se comporta similar. Estoquiere decir que estos senos y cosenos son funciones diferentes, y que la cuarta derivadadel seno es nuevamente el seno, unicamente si el argumento esta definido en radianes.El concepto de razon Trigonometrica de un angulo agudo se generaliza sin problema acualquier tipo de angulo. De hecho, las relaciones de proporcionalidad son genericas. Sinembargo, para hacer esta generalizacion, no nos vale el patron de un triangulo rectangu-lo porque todos sus angulos son menores o iguales a un recto. Por ello se trabaja conla circunferencia goniometrica. Un goniometro es un instrumento que sirve para medirangulos. Una circunferencia goniometrica es una circunferencia especial que se utilizapara medir angulos y definir las razones trigonometricas de los mismos.Consideremos una circunferencia de radio 1. Como todas las relaciones trigonometricasson razones de proporcionalidad, el valor del radio nos resultara indiferente pero, si loconsideramos como 1, simplificara los calculos. Los angulos se situaran sobre la circun-ferencia siguiendo los siguientes principios:1. El vertice en el centro de la circunferencia.2. Uno de sus lados coincide con el semieje positivo de las abscisas x.3. El otro lado se coloca donde le corresponda, abriendo el angulo en sentido contrario alas agujas del reloj.4. Cuando se abre el angulo en el mismo sentido de las agujas del reloj, se considera suvalor como negativo.

36

Identidades Trigonometricas Basicas.

No perdamos de vista que las funciones trigonometricas aparecen al relacionar los catetosy la hipotenusa de todo triangulo rectangulo.29 Pero, al analizar estas relaciones comofunciones en un plano cartesiano, ellas pasan a definirse en terminos de proyecciones sobreel eje x 30 y sobre el eje y 31 de una varilla de longitud 1, sujeta en uno de sus extremosen el origen (0, 0), con posibilidad de girar, de tal manera que su otro extremo recorrela trayectoria de la circunferencia unitaria (radio 1). Esta idea nos puede servir para

Figura 2.12: Varilla fija en el origen. El otro extremo recorre la circunferencia unitaria

comprender varias propiedades de las funciones trigonometricas, en particular sin(α) ycos(α). Por ejemplo, la figura 2.12 muestra que podemos reemplazar a x con cos(α) y ay con sin(α), y ası obtenemos una de las identidades fundamentales.

cos2(α) + sin2(α) = 1

29Es posible que la trigonometrıa se originara como consecuencia de relacionar longitudes de gnomones,con sus sombras y los angulos involucrados, practicas obligatorias para los hombres que iniciaron laastronomıa. Luego, seguramente, para ubicar rutas marıtimas.

30Podemos imaginar al coseno del angulo como la longitud de la sombra de la varilla en el eje x cuandoesta es iluminada con la fuente de luz ubicada en el lugar ad.

31Podemos imaginar al seno del angulo como la longitud de la sombra de la varilla en el eje y cuandoesta es iluminada con la fuente de luz ubicada en el lugar op.

37

Algunas identidades trigonometricas

Razones de la suma y diferencia de 2 angulos

a) sin (α± β) = sin (α) · cos (β)± cos (α) · sin (β)b) cos (α± β) = cos (α) · cos (β)∓ sin (α) · sin (β)

c) tan (α± β) =tan (α)± tan (β)

1∓ tan (α) · tan (β)

Razones del angulo doble. Si en las anteriores identidades, hacemos α = β,donde 2α = α + β, tenemos que

a) sin (2α) = sin (α) · cos (α) + cos (α) · sin (α) = 2 · sin (α) · cos (α)b) cos (2α) = cos (α) · cos (α)− sin (α) · sin (α) = cos2 (α)− sin2 (α)

c) tan (2α) =tan (α) + tan (α)

1− tan (α) · tan (α)=

2 · tan (α)

1− tan2 (α)

Razones del angulo medio

a) sin(α

2

)= ±

√1− cos (α)

2

b) cos(α

2

)= ±

√1 + cos (α)

2

c) tan(α

2

)= ±

√1− cos (α)

1 + cos (α)

Sumas y Diferencias de senos y cosenos

a) sin (α) + sin (β) = 2 · sin(α + β

2

)· cos

(α− β

2

)b) sin (α) − sin (β) = 2 · cos

(α + β

2

)· sin

(α− β

2

)c) cos (α) + cos (β) = 2 · cos

(α + β

2

)· cos

(α− β

2

)d) cos (α) − cos (β) = −2 · sin

(α + β

2

)· sin

(α− β

2

)

38

Dos Teoremas Para Todo Triangulo

Si en un triangulo cualquiera trazamos una de sus alturas, el triangulo queda divididoen dos triangulos rectangulos. Haciendo esto con cada una de las tres alturas relativasa cada uno de los lados y recordando los resultados iniciales basicos que expresabanla proyeccion ortogonal de un lado del triangulo sobre la base en funcion del Cosenoy la altura en funcion del Seno, obtenemos dos Teoremas de mucha utilidad practicaen problemas que tengan como objetivo resolver triangulos cualesquiera. Anteriormentese presentaron resultados para triangulos rectangulos, pero en general, las situacionesproblema que involucran triangulos no necesariamente rectangulos.

Figura 2.13: Esquema de un triangulo generico

Teorema del Seno. Para todo triangulo, de acuerdo a las convenciones de la figura2.13, se cumple que:

4ABC :a

sinα=

b

sin β=

c

sin θ

Teorema del Coseno. Para todo triangulo, de acuerdo a las convenciones de la figura2.13, se cumple que:

4ABC :a2 = b2 + c2 − 2bc cos (α)b2 = a2 + c2 − 2ac cos (β)c2 = a2 + b2 − 2ab cos (θ)

39

2.3.3. Teorema de Pitagoras

Pitagoras de Samos. Filosofo y matematico. Nacio en la isla de Samos (582 a.C.). Dejoven viajo a Mesopotamia y Egipto y luego regreso a Samos. Sus doctrinas eran reglasestrictas de conducta. Su escuela (rigurosamente esoterica) estaba abierta a hombres ymujeres, (la conducta discriminatoria estaba prohibida). Sus estudiantes pertenecıan atodas las razas, religiones, y estratos economicos y sociales. Aprendio a tocar la lira, aescribir poesıa y a recitar a Homero. El esfuerzo para generalizar un teorema matematico apartir de casos particulares muestra el metodo pitagorico para la purificacion y perfecciondel alma. El universo era un cosmos, conjunto ordenado en el que los cuerpos celestesguardaban disposicion armonica. En un sentido sensible, la armonıa era musical; pero sunaturaleza inteligible era de tipo numerico y, si todo era armonıa, el numero resultabaser la clave de todas las cosas. Los pitagoricos atribuıan todos sus descubrimientos aPitagoras por lo que es difıcil determinar con exactitud cuales resultados son obra delmaestro y cuales de los discıpulos. Entre sus descubrimientos estan:

Una prueba del teorema de Pitagoras. Si bien los pitagoricos no descubrieron esteteorema (ya era conocido y aplicado en Babilonia y la India desde hacıa tiempo),sı fueron los primeros en demostrar formalmente el teorema. Tambien demostraronel converso del teorema (si los lados de un triangulo satisfacen la ecuacion, entoncesel triangulo es recto).

Ternas pitagoricas. Es una terna de numeros enteros (a, b, c) tales que a2 + b2 = c2.Aunque los babilonios ya sabıan generar tales ternas en ciertos casos, los pitagori-cos extendieron el estudio encontrando resultados como cualquier entero impar esmiembro de una terna pitagorica primitiva.

Solidos regulares. Los pitagoricos descubrieron el dodecaedro y demostraron quesolo existen 5 poliedros regulares.

Numeros perfectos. Estudiaron aquellos numeros que son iguales a la suma de susdivisores propios (por ejemplo 6=1+2+3). Encontraron una formula para obtenerciertos numeros perfectos pares.

Numeros amigables. Un par de numeros son amigables si cada uno es igual a lasuma de los divisores propios del otro.

Numeros irracionales. El descubrimiento de que la diagonal de un cuadrado de lado1 no puede expresarse como un cociente de numeros enteros marca el descubrimientode los numeros irracionales.

40

Medias. Los pitagoricos estudiaron la relacion entre las medias aritmetica, geometri-ca y armonica de dos numeros y obtuvieron la relacion

2ab

a+ b≤√ab ≤ a+ b

2

Numeros figurados. Un numero es triangular, cuadrangular, pentagonal, etc., si talnumero de guijarros se pueden acomodar formando el polıgono correspondiente conlados 1,2,3, etc.

Pitagoras protesta contra la imagen de dioses mitologicos. Ensena la existencia de ununico Dios que mantiene el mundo unido en la justicia. Este Dios no piensa como hu-mano ni tiene forma humana. Su cuerpo es una esfera y la divinidad se manifiesta en elmovimiento circular del fuego de los astros. Pitagoras muere cerca del ano 507 a.C. [26]Pitagoras fue el iniciador de la filosofıa idealista. Segun el, los numeros constituyen lasustancia de las cosas, ellas guardan una relacion numerica que las distingue de las demas.Uno de sus muchos aportes es el teorema que lleva su nombre.El teorema dice que, en todo triangulo rectangulo, El cuadrado de la hipotenusa esigual a la suma de los cuadrados de los catetos.A continuacion se da una pequena demostracion del teorema.Como lo muestra la figura 2.14, primero se elaboro un cuadrado de lados (a + b), los

cuales se pueden separar en dos segmentos, a y b; despues, se unen los cuatro puntos enque se cortan los lados (a+ b), y se forma lo que aparentemente es otro cuadrado.

Para demostrar que efectivamente es un cuadrado, se puede observar con facilidad que suslados son iguales, ya que las hipotenusas de los cuatro triangulos que forman el cuadradoson iguales, pues sus catetos son a y b, por lo tanto la hipotenusa mide lo mismo en todoslos triangulos; a esta le llamaremos c.

Para confirmar que sus angulos son rectos, basta suponer que uno de los angulos deltriangulo mide Ao y el otro medira (90o − Ao), por lo tanto al juntar estos dos angulos,mediran 90o y el angulo que queda en medio, para completar los 180o que deben medirlos tres juntos, tendra que medir, 90o; ası, los otros tres angulos, del cuadrado internotambien son rectos.

Por ultimo, vamos a medir el area de las figuras.El area del cuadrado interno mide c2. El area del cuadrado grande mide

(a+ b)(a+ b) = a2 + 2ab+ b2

41

Figura 2.14: Cuadrado formado con cuatro triangulos rectangulos congruentes

y el area de los cuatro triangulos mide

4ab

2= 2ab

Por lo tanto si al area del cuadrado grande le restamos la de estos triangulos, obtendrıamosla del cuadrado interno, es decir,

a2 + 2ab+ b2 − 2ab = a2 + b2

Finalmente, igualamos las dos areas que obtuvimos del cuadrado interno:

c2 = a2 + b2

Ası, queda demostrado el teorema de Pitagoras, uno de los mas grandes filosofos ymatematicos de la historia.

42

Capıtulo 3

Eratostenes

Este capıtulo busca identificar, lo mas veraz posible, el tiempo en el que datamos losprimeros rastros sobre el conjeturar, pero aun mas relevante, sobre el demostrar, el hechode que nuestro planeta tiene forma geometrica casi esferica. 1 Tambien trata este capıtulode determinar, con fundamento, el lugar geografico donde se gesto la idea de una tierraredonda, y su vivir para tratar de estimarlo. Ademas, este capıtulo pretende, en espe-cial, dar reconocimiento a la mente humana que concibio la idea de redondear nuestroplaneta, y del como registro, con rigurosidad cientıfica, estimaciones muy precisas queargumentan, sin lugar a duda, dicha afirmacion.2 Apesar de que ninguna de las obras deEratostenes nos llego completa, sabemos suficiente para considerarlo una de las figurasmas importantes de aquella edad de oro de las ciencias, la epoca helenıstica. [20]

1Sabemos, desde Sir Isaac Newton, que la forma de la superficie terrestre, vista desde lejos, no esexactamente esferica sino, achatada en los polos (debido a la rotacion alrededor de un eje, presentandosefuerzas centrıfugas que en el pasar de los millones de anos, la deformaron, experimentando mayor ve-locidad tangencial cerca del ecuador).

2No perdamos de vista que, mil setecientos anos despues, la humanidad esta quemando, en holocausto,a las personas que se atreven afirmar que la tierra es redonda, entre otras herejıas.

43

3.1. Ubicacion Espacio Temporal

3.1.1. Epoca y Lugar de Incidencia

Figura 3.1: Alejandrıa, Egipto (Norte de Africa). Fuente: Google earth

Museo de Alejandrıa. El Museo de Alejandrıa era un santuario que acogıa un zo-ologico, jardines, una gran sala para reuniones e incluso un laboratorio. Durante siglos,los Ptolomeos apoyaron y conservaron la biblioteca que, desde su origen, mantuvo unambiente de estudio y de trabajo. Dedicaron grandes sumas a la adquisicion de libros,con obras de Grecia, Persia, India, Palestina, Africa y otras culturas, predominando laliteratura griega. La biblioteca del Museo constaba de diez estancias dedicadas a la inves-tigacion, cada una dedicada a una disciplina diferente. Gran numero de poetas y filosofos,que llegaron a ser mas de cien en sus mejores anos, se ocupaban de su mantenimiento,con dedicacion total. [16] En realidad se consideraba el edificio del Museo un verdaderotemplo dedicado al saber. Desde el principio, la biblioteca fue un apartado al servicio delMuseo. Pero mas tarde, al adquirir importancia y volumen, se creo un anexo. Se cree queesta segunda biblioteca (biblioteca hija) fue creada por Ptolomeo III Evergetes (Entre el246 a. C. y el 221 a. C.), y se establecio en la colina del barrio de Racotis (hoy Karmuz),en un lugar de Alejandrıa alejado del mar, en el antiguo templo erigido por los primerosPtolomeos al dios Serapis, llamado el Serapeo, considerado uno de los edificios mas bellosde la Antiguedad. [26] En la epoca del Imperio romano, los emperadores la protegieron ymodernizaron en gran medida, incorporando calefaccion central mediante tuberıas (paramantener los libros, secos en depositos subterraneos).3

3Los redactores de la biblioteca eran conocidos en Grecia por su trabajo sobre los textos homericos.Los redactores mas famosos generalmente llevaron el tıtulo de bibliotecario principal.

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Figura 3.2: Cirene, Libia (Norte de Africa). Fuente: Google earth

Eratostenes Nacio en Cirene, ahora llamada Shaha (en una region del norte de Africa,que ahora es parte de Libia) en el ano 276 a.C.4 (fig. 3.2)Destaco en diversas actividades intelectuales. Como Astronomo midio la oblicuidad dela eclıptica, la distancia entre el sol y la luna, entre otros (ver figura 3.4).

A Eratostenes se le atribuye la invencion, hacia 255 a.C., de la esfera armilar que aun seempleaba en el siglo XVII. Aunque debio de usar este instrumento para diversas obser-vaciones astronomicas, solo queda constancia de la que le condujo a la determinacion dela oblicuidad de la eclıptica. Determino que el intervalo entre los tropicos (el doble de laoblicuidad de la eclıptica) equivalıa a los 11

83de la circunferencia terrestre completa, resul-

tando para dicha oblicuidad 23o51′19”, cifra que posteriormente adoptarıa el astronomoClaudio Ptolomeo. Segun algunos historiadores, Eratostenes obtuvo un valor de 24o. [13]

Ademas, segun Plutarco5, de sus observaciones astronomicas durante los eclipses, Er-atostenes dedujo que la distancia al Sol era de 804 millones de estadios, la distancia a laLuna 780 mil estadios y, segun Macrobio6, que el diametro del Sol era 27 veces mayorque el de la Tierra. [20]

Realmente el diametro del Sol es 109 veces el de la Tierra y la distancia a la Lunaes casi tres veces la calculada por Eratostenes, pero el calculo de la distancia al Sol,admitiendo que el estadio empleado fuera de 185 metros, fue de 148′752060 km, muysimilar a la unidad astronomica actual. [3]

4Algunos investigadores ubican su nacimiento en el ano 273 a.C. [26]5Mestrio Plutarco, de Queronea, hoy desaparecida (48 d.C. - 120 d.C.). Nacio en la region griega de

Beocia, probablemente durante el gobierno del emperador romano Claudio. Fue historiador, biografo yensayista griego. [26]

6Macrobio fue un escritor y gramatico romano, del ultimo cuarto del siglo IV d.C., de cuyos datosbiograficos poco se conoce con certeza. [26]

45

3.1.2. Su Educacion

Fue discıpulo de Lisanias de Cirene y del poeta Calımaco, y tambien gran amigo deArquımedes. Otros filosofos que influyeron en Eratostenes, fueron Ariston de Quios yArcesilao de Pitane. Alrededor del ano 236 a.C. Ptolomeo III Evergertes de Egipto lollamo para que se hiciera cargo de la Biblioteca de Alejandrıa7, sucediendo a Apoloniode Rodas, puesto que ocupo hasta el fin de sus dıas. [7]Eratostenes fue tutor del prıncipe heredero, el futuro Ptolomeo IV Philopator y mantuvosiempre una cercana relacion con la casa real. El apellido de Eratostenes fue Pentath-los, nombre que se reservaba al atleta vencedor en las cinco competiciones de los JuegosOlımpicos. Suidas 8 afirma que tambien era conocido como el segundo Platon. [17]Es posible que Eratostenes fuera responsable de la conservacion de varias obras cientıficasrealizando una labor de edicion similar a la llevada a cabo con los textos literarios porotros directores de la biblioteca (Zenodoto, Aristofanes y Aristarco). Trabajo con proble-mas de matematicas, solucionando el ”problema de Delos”.9 El construyo un instrumentoal cual llamo Mesolabio, con el que era posible calcular medidas deseadas e invento elprimer reloj solar moderno, al que denomino Scrapel. [3] En las figuras 3.3 y 3.5 semuestra reconstrucciones del siglo XIX con la vision del mundo de Eratostenes de Cirene.Mas simetrico que exacto, las particiones fueron los precursores de paralelos y meridianos(despues de Dicearco). La informacion geografica que fue recogida por Alejandro Magnoy sus sucesores fue la fuente principal utilizada por Eratostenes, estudioso con la visionpara poner esta informacion en un marco logico. [13]

El primer uso de mapas del mundo se introdujo, tempranamente, por Anaximandro, yHerodoto, basados en suposiciones precipitadas. Tampoco cabe duda de que los hallazgosresultantes de las conquistas de Alejandro Magno y la ampliacion de los conocimientosgeograficos bajo sus sucesores, gradualmente han encontrado su lugar en estos mapas.Los estudiosos modernos conciben a Eratostenes como el padre de la geografıa cientıfica,al menos digno de ser el alfa en esa materia, sobre todo por su notable medicion de lacircunferencia de la tierra. [13]

7La Bilblioteca de Alejandrıa habıa sido planeada por Ptolomeo I Soter y llevada a cabo por su hijoPtolomeo II Philadelfo. En el Museo florecıa una actividad intelectual, poetica, musical o cientıfica. Elnombre viene porque las hijas de Zeus, las nueve musas, siendo al principio fuentes de inspiracion de lospoetas epicos, despues lo fueron de todos los poetas y los musicos y finalmente de todos los hombres deletras, filosofos y cientıficos. [17] Anteriormente, el mismo Platon en su Academia o Aristoteles despuesen su Liceo tenıan unos jardines con un pequeno templo para el culto de las musas, el Museo.

8Suidas fue un lexicografo griego del siglo X. Lego un glosario, recopilacion imprecisa que abarcafragmentos de interes sobre la historia literaria, entre otros.

9Como duplicar el volumen cubico del altar existente en el templo de Apolo situado en Delos.

46

Figura 3.3: Mapas de Eratostenes.

Segun declaraciones de Estrabon10, Eratostenes hizo objeto de su especial atencion elreformar el mapa del mundo, cambiandolo de como habıa existido, para reconstruir-lo con principios cientıficos. Este es el punto de vista filosofico que constituye su meritoespecial, y lo faculta para ser llamado con justicia el padre de la geografıa sistematica.

Con respecto a la idea fundamental de toda geografıa: La posicion y la figura de latierra, Eratostenes aprobo el punto de vista vigente entre los astronomos de su epoca,desde los tiempos de Aristoteles11 y Euclides. La idea del globo terraqueo, presente en lamente de Eratostenes y de de sus contemporaneos, no difirio de la del geografo moderno.La diferencia entre teorıa geocentrica y teorıa heliocentrica del universo era irrelevante.

10de Amasia, Ponto, nacio en el 64 o 63 a. C. y murio entre el 19 y el 24 d. C. Fue geografo e historiadorgriego, conocido principalmente por su obra Geografıa. [26]

11384 a. C. - 322 a. C. Fue filosofo, logico y cientıfico de la Antigua Grecia. Sus ideas ejercieronenorme influencia sobre la historia intelectual de Occidente por mas de dos milenios. [16] Aristotelesescribio cerca de 200 tratados (de los cuales solo nos han llegado 31) sobre enorme variedad de temas,incluyendo logica, metafısica, filosofıa de la ciencia, etica, filosofıa polıtica, estetica, retorica, fısica,astronomıa y biologıa. Transformo muchas, si no todas, las areas del conocimiento que toco. Reconocidocomo el padre fundador de la logica y de la biologıa, pues si bien existen reflexiones y escritos previossobre ambas materias, es en su trabajo donde se encuentran las primeras investigaciones sistematicas alrespecto. Entre muchas otras contribuciones, Aristoteles formulo la teorıa de la generacion espontanea,el principio de no contradiccion, las nociones de categorıa, sustancia, acto, potencia, etc. Algunas desus ideas, que fueron novedosas para la filosofıa de su tiempo, hoy forman parte del sentido comun demuchas personas. Aristoteles fue discıpulo de Platon y de otros pensadores (como Eudoxo) durante los20 anos que estuvo en la Academia de Atenas, luego fue maestro de Alejandro Magno en el Reino deMacedonia, y finalmente fundo el Liceo en Atenas, donde enseno hasta un ano antes de su muerte. [26]

47

3.1.3. Referencias Personales

Arquımedes 12 Tal vez el mayor matematico de la antiguedad, se dirigio cartas conEratostenes y le dedico su obra monumental El Metodo. Se cree que Eratostenes fue elprimero en auto llamarse philologos, y parece ser que era conocido como betha.13 Perola historia demuestra que era un lıder en numerosos campos como la astronomıa, lageografıa, la literatura, la poesıa, la filosofıa y las matematicas. Incluso siendo solo elsegundo mejor en muchas cosas, en una era de sorprendente progreso en las ciencias ylas artes, Eratostenes es uno de los mayores genios de todos los tiempos. [3]

Escribio muchos libros de los cuales solo se tienen noticias por referencias bibliografi-cas de otros autores. Su principal motivo de celebridad es la determinacion del tamanode la Tierra. Invento y empleo un metodo trigonometrico, ademas de las nociones delatitud y longitud, al parecer ya introducidas por Dicearco (por lo que bien merece eltıtulo de padre de la geodesia).

12Arquımedes de Siracusa. 287 a. C. - 212 a. C. Fue matematico griego, fısico, ingeniero, inventory astronomo. Aunque se conocen pocos detalles de su vida, es considerado uno de los cientıficos masimportantes de la antiguedad clasica. Entre sus avances en fısica se encuentran sus fundamentos enhidrostatica, estatica y la explicacion del principio de la palanca. Es reconocido por haber disenadoinnovadoras maquinas, incluyendo armas de asedio y el tornillo de Arquımedes, que lleva su nombre.Experimentos modernos han probado las afirmaciones de que Arquımedes llego a disenar maquinascapaces de sacar barcos enemigos del agua o prenderles fuego utilizando una serie de espejos. Se consideraque Arquımedes fue uno de los matematicos mas grandes de la antiguedad y, en general, de toda lahistoria. Uso el metodo de exhauscion para calcular el area bajo el arco de una parabola con la sumatoriade una serie infinita, y dio una aproximacion extremadamente precisa del numero π Tambien definio laespiral que lleva su nombre, formulas para los volumenes de las superficies de revolucion y un ingeniososistema para expresar numeros muy largos. Enuncio el principio de hidrostatica que lleva su nombrey que explica la flotacion de los botes, entre otros objetos. Murio durante el sitio de Siracusa (214 a.C. - 212 a. C.), cuando fue asesinado por un soldado romano, a pesar de que existıan ordenes de queno se le hiciese dano alguno. A diferencia de sus inventos, los escritos matematicos de Arquımedes nofueron muy conocidos en la antiguedad. Los matematicos de Alejandrıa lo leyeron y lo citaron, pero laprimera compilacion integral de su obra no fue realizada hasta el 530 d. C. por Isidoro de Mileto. Loscomentarios de las obras de Arquımedes escritas por Eutocio en el siglo VI las abrieron por primeravez a un publico mas amplio. Las relativamente pocas copias de trabajos escritos de Arquımedes quesobrevivieron a traves de la Edad Media fueron una importante fuente de ideas durante el Renacimiento,mientras que el descubrimiento en 1906 de trabajos desconocidos de Arquımedes en el Palimpsesto deArquımedes ha ayudado a comprender como obtuvo sus resultados matematicos. [26]

13Su curiosidad cientıfica lo ocupo en muchas actividades de interes para diferentes areas, impidiendolesobresalir como el principal, el alfha en alguna de ellas. Muchos contemporaneos de su epoca, des-denadores, envidiosos, lo apodaron el β, la segunda letra en el alfabeto griego. Decıan que el era elsegundo mejor entre sus pares en todo. Otra version dice que ese apodo se lo gano por representar unanueva fuerza del conocimiento, una segunda era de la verdad.

48

Eratostenes termina su vida a edad avanzada (cerca de 80 anos). Se cree que, al quedarseciego, renuncio a tomar alimento y perecio. Suidas afirma que, tras perder la vista, sedejo morir de hambre a la edad de ochenta anos; sin embargo, Luciano afirma que llego ala edad de ochenta y dos, y Censorino sostiene que fallecio cuando tenıa ochenta y dos. [17]

3.1.4. Hazanas (Algunos Aportes)

Figura 3.4: Tabla realizada por Eratostenes sobre la oblicuidad de la eclıptica (traducida).

Como historiador y geografo midio el radio de la tierra y realizo numerosos mapas de-tallados del mundo, como era conocido en ese momento. [5] En la figura 3.5 podemosapreciar uno de los mapas disenados por Eratostenes sobre el mundo conocido en suepoca y recreado en la actualidad. [3] [17]

49

Figura 3.5: Mapa disenado por Eratostenes.

Como cronografo, filosofo y poeta 14 escribio el poema Elegiaco, el poema largo Erıgone,Hermes y los Catasterismos (Katasterismoi)15. Como crıtico teatral es autor de un trata-do sobre la Comedia Antigua. [17]

Como matematico escribio un metodo para encontrar numeros primos (la Criba de Er-atostenes)16 y un tratado sobre las proporciones.17 Estudio en Alejandrıa y Atenas, Tuvocontacto con las ensenanzas de Zenon de Citio. [3]

3.1.5. Logro Motivador

Eratostenes tuvo el merito de hacer una valiosa aportacion: Su exitosa medida, nuncaantes hecha, sobre la circunferencia del globo terrestre. Una vez que la idea fue aceptada,su medicion era un paso logico, incluso para los eruditos griegos que eran mas dados a laespeculacion filosofica que a la cuantificacion y la experimentacion. [13] [20]

14Los pensadores de ese tiempo, astronomos, filosofos, frecuentemente era mitografos y llamados poetas.15Eratostenes destaco como mitografo, explicando las disposiciones de las estrellas del firmamento en

terminos de historias sucedidas a sus deidades. [17]16Es un algoritmo que permite hallar todos los numeros primos menores que un numero natural dado

N . Se forma una tabla con todos los numeros naturales comprendidos entre 2 y N y se van tachandolos numeros que no son primos de la siguiente manera: cuando se encuentra un numero entero que noha sido tachado, ese numero es declarado primo, y se procede a tachar todos sus multiplos. El procesotermina cuando el cuadrado del mayor numero confirmado como primo es mayor que N.

17En mi parecer, el teorema de Tales, sobre la proporcion, es un concepto crucial para el desarrollode las matematicas, y de las ciencias.

50

El no era de hecho el primero que habıa intentado la solucion de este problema, que,naturalmente, llevarıa a cabo la atencion de los astronomos y geometras, tan pronto co-mo se convino en que la tierra era de una forma esferica. Aristoteles se refiere al calculode los matematicos, que habıan investigado el tema (sin nombrarlos) donde la circunfer-encia de la tierra era de 400 mil estadios (distincion que puede pertenecer a Eudoxo deCnido). Un calculo de 300 mil estadios se acredita a Dicearco, discıpulo de Aristoteles.Aristarco de Samos18, ha sido llamado el Copernico de la Antiguedad a causa de su adhe-sion a principios heliocentricos en lugar de geocentricos, (quiza, sea mas correcto llamara Copernico el Aristarco del Renacimiento).Los astronomos de la epoca veıan a los planetas y al Sol dar vueltas sobre nuestro cieloa diario. La Tierra, para muchos, debıa encontrarse por ello en el centro de todo. Losplanteamientos del reconocido Aristoteles hechos unos pocos anos antes no dejaban lugara dudas y venıan a reforzar dicha tesis. La Tierra era el centro del universo y los planetas,el Sol, la Luna y las estrellas se encontraban en esferas fijas que giraban en torno a la Tier-ra. Pero existıan ciertos problemas a tales afirmaciones. Algunos planetas como Venus y,sobre todo, Marte, describıan trayectorias errantes en el cielo. Es decir, a veces se movıanadelante y atras. Antes que Aristarco, Heraclides Pontico encontro una posible solucional problema al proponer que los planetas podrıan orbitar el Sol y este a su vez la Tierra.Esto ya fue un gran salto conceptual pero aun era un modelo parcialmente geocentri-co. Hubo que esperar a Aristarco para que este propusiera el primer modelo heliocentrico.Sus revolucionarias ideas astronomicas no fueron bien recibidas y fueron pronto desechadas.No fue hasta Copernico, unos mil setecientos anos mas tarde, que empezo a plantearseel modelo heliocentrico como una alternativa consistente. Por desgracia, del modelo he-liocentrico de Aristarco solo nos quedan las citas de Plutarco y Arquımedes. Los trabajosoriginales probablemente se perdieron en uno de los varios incendios que padecio la bib-lioteca de Alejandrıa.En un periodo posterior a Arquımedes se habla de 300 mil estadios como la mediciongeneral. Pero no tenemos informacion del modo por el cual sus autores llegaron a sus re-sultados. El metodo seguido por Eratostenes fue plenamente establecido y explicado porel astronomo Cleomedes.19 Es notable que, si bien la medicion terrestre fue inexacta, laobservacion de latitud como se deduce del gnomon en Alejandrıa, era una aproximacionmuy cercana a la verdad.

18310 a. C. - 230 a. C. Fue un astronomo y matematico griego, nacido en Samos, Grecia. El es laprimera persona, que se conozca, que propone el modelo heliocentrico del Sistema Solar, colocando elSol, y no la Tierra, en el centro del universo conocido. Aristarco fue uno de los muchos sabios que hizouso de la emblematica Biblioteca de Alejandrıa. [26]

19Las fechas de su nacimiento y muerte no se conocen. Los historiadores han sugerido que escribio suobra en algun momento entre mediados del siglo I y el IV d. C. basados en que Cleomedes se refiereextensamente en sus escritos a la obra del astronomo Posidonio de Rodas (135 a, C. - 51 a. C.).

51

El propio Eratostenes era consciente de la imperfeccion de sus datos, y se considera elresultado de su calculo solo como una aproximacion a la verdad. Por lo tanto, se sintio enlibertad para agregar 2000 estadios a los 250 mil obtenidos por su proceso, a fin de tenerun numero que podrıa ser facilmente divisible en 360 grados. [20]Una vez que el valor de 252 mil estadios fue aceptada, fue posible tambien calcular lacircunferencia de un cırculo paralelo. Ası, Eratostenes calculo que el paralelo de Rodas,36◦ de latitud norte, era menor de 200 mil estadios de circunferencia. Para obtener elequivalente en estadios de un grado de latitud no tenıa mas que dividir por 360, es decir,700 estadios, y para obtener el equivalente de un grado de longitud en Rodas se podrıadividir, por ejemplo, 195 mil estadios por 360, es decir, 541,67 estadios.Ası se establecio la base de un sistema bastante preciso de las coordenadas para cualquierasignacion de seccion del Mediterraneo basado en el paralelo de Rodas.Habiendo sentado las bases de lo que se ha llamado en los tiempos modernos geodesia(la determinacion de la figura y dimensiones de la Tierra), Eratostenes paso a examinarla parte de la misma que en su tiempo podıa ser habitada.

3.2. Calculo Del Radio Terrestre

Al contrario de la opinion popular, Cristobal Colon no fue el primero en proclamar quela Tierra es redonda. Los griegos, entre otros, habıan deducido la forma de la Tierra milsetecientos anos antes. Entre ellos se encuentra Eratostenes, quien calculo la circunfer-encia del mundo con precision sorprendente. Los estudiosos modernos no estan segurosdel valor exacto de la circunferencia de la Tierra que Eratostenes calculo debido a quegrabo su resultado en unidades llamadas estadios.

No sabemos cuanto miden los estadios de Eratostenes, pero las estimaciones actualesindican que su valor de 252 mil estadios es equivalente a una circunferencia en algunaparte entre 39.690 y 46.620 kilometros. En su tiempo, algunos papiros de Alejandrıaregistraban que en cierto dıa del ano, en el solsticio de verano, los rayos solares caıanverticalmente en la ciudad de Siena (hoy Aswan, al sur de Egipto. Actualmente se en-cuentra allı una represa del rio Nilo), situada casi en el mismo meridiano que Alejandrıa,senalando que el sol se reflejaba en lo profundo de los pozos, a la hora del mediodıa. Elconcluyo que el Sol debe estar directamente sobre el pozo para que ilumine el fondo sinproducir sombras sobre sus paredes. En Alejandrıa Eratostenes se dio cuenta que en esemismo momento los objetos verticales producıan una pequena sombra, esto significabaque el Sol no estaba directamente sobre la ciudad, como si lo estaba sobre Siena. [4]

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3.2.1. Conjeturando

Esta observacion apoya la idea de una Tierra redonda en vez de plana, suponiendo quelos rayos solares son paralelos cuando llegan a la Tierra (esta ultima hipotesis es validaporque el Sol se encuentra lo suficientemente lejos para aceptarla). Entonces, penso que simedia ese dıa en la ciudad de Alejandrıa, a la misma hora, el angulo que los rayos solaresformaban con la vertical, midiendo la sombra que sobre la lınea meridiana formaba ungnomon, conocerıa el angulo del arco de meridiano entre Alejandrıa y Siena. Eratosteneshallo ese angulo resultando de 7 grados. [4]

Historia Complementaria

En Alejandrıa, Eratostenes clavo una vara vertical llamada Gnomon, y midio la lon-gitud de su sombra el dıa del solsticio de verano, calculando ası la altitud del Sol desdeAlejandrıa20, encontrando un valor de 82,8 grados. La altitud del Sol en Siena es de90 grados (pues en ese instante esta sobre su cenit). [3] Eratostenes conocedor de lageometrıa hallo la diferencia entre estos dos angulos, que es 7,2 grados (equivalente alangulo entre Siena y Alejandrıa medido desde el centro de la Tierra). El arco subtendidopor este angulo representa una seccion de la circunferencia completa de la Tierra, y sepregunto cuantas de esas secciones se necesitan para completar la circunferencia terrestre,dividiendo los 360 grados conocidos para formar una circunferencia con la distancia an-gular entre Alejandrıa y Siena, dando como resultado casi 50 de esas secciones.

El proximo paso serıa determinar la distancia entre las dos ciudades. Al parecer, Er-atostenes pago a un hombre que hizo, a pie, tal medicion (contrato a un Behamista).21

(tambien se cree que correlaciono estos datos con los informados por comerciantes quehabitualmente recorrıan dicha distancia en caravanas), determinando que esa distanciaequivalıa aproximadamente a 5.000 estadios.22 Ası, Eratostenes tenıa todos los datos quenecesitaba para calcular el valor de la circunferencia terrestre. Multiplico la distancia en-tre Alejandrıa y Siena por el numero de secciones equivalentes a la circunferencia, dandocomo resultado 250 mil estadios, un valor aproximado a 39.670 kilometros. Valor muycercano al actual, de 40.030 kilometros.

20La altitud es el angulo tomado desde el horizonte del observador hasta el objeto celeste medido.21En la epoca existıan profesionales encargados, por administraciones publicas, para medir terrenos

y distancias entre puntos geograficos (de interes para el impuesto publico, rentas, entre otros). Unbehamista era una clase de topografo que tenia la especialidad de caminar a pasos iguales.

22Se cree que un estadio corresponde al tamano de un estadio atletico, cerca de 160 metros.

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Capıtulo 4

Relaciones y Patrones Expuestos

4.1. Detalles Tecnicos

4.1.1. Posible Proceder de Eratostenes

En su tiempo, Eratostenes penso que dos estacas clavadas verticalmente en el suelo, auna distancia de varios kilometros, sobre un mismo meridiano, darıan sombras distintasa una misma hora en virtud de la curvatura de la superficie del planeta. En la figura 4.1los angulos que forman los rayos de sol con la direccion de la estaca son,

a1 = tan−1(sd

)y a2 = tan−1

(s′

d

)Siendo s y s’ la sombra de cada estaca sobre la lınea meridiana en cada lugar y la longitudde la estaca que supondremos (por conveniencia) es d en ambos casos.

En la figura 4.1 al observar el triangulo que se forma, con angulos a, a1 y (180 − a2),donde a es el angulo del arco de meridiano comprendido entre las posiciones que ocupanambas estacas, y a1 y a2 son los angulos que forman los rayos solares con la direccion delas estacas, vemos que, al sumar 180o los tres angulos del triangulo son:

a1 + (180− a2) + a = 180

Es decir,a1− a2 + a = 0 =⇒ a = a2− a1

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Figura 4.1: Detalle del hecho

Conocido el angulo a, y la longitud L del arco de meridiano subtendido entre ambospuntos de colocacion de las estacas, sera posible, mediante una simple regla de tres (porproporcionalidad), encontrar la longitud total, X, de la circunferencia planetaria, y lamedida del radio terrestre, R: X es a 2π como L es a a.Esto es,

X

2π=L

a⇐⇒ X =

2πL

a=⇒ 2πR =

2πL

a⇐⇒ R =

L

a=⇒ R =

L

a2− a1

Si una de las dos estacas, en un determinado momento diera sobre la lınea meridianasombra nula, es decir, si en una de las estacas fuera cero el angulo que forma la direccionde los rayos solares con la estaca (dicho de otra manera, si en uno de los dos lugares losrayos inciden perpendicularmente), tendrıamos que a1 = 0, por lo cual a = a2− 0 = a2.Es decir, el angulo a, que corresponde al arco de meridiano terrestre comprendido entreambas posiciones de las estacas, es, precisamente el angulo a2, que formarıan los rayossolares con la segunda estaca sobre la lınea meridiana.Suponiendo que Siena y Alejandrıa tienen igual longitud (distan 3o), Eratostenes midio lasombra en Alejandrıa el dıa del solsticio de verano al medio dıa, encontrando que el zenithde la ciudad distaba 1

50parte de la circunferencia (7o12′) del de Aswan.

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Posteriormente, Eratostenes tomo la distancia estimada entre ambas ciudades (bien pu-do obtener el dato en la propia Biblioteca de Alejandrıa), fijandola en 5000 estadios, dedonde dedujo que la circunferencia de la Tierra era de 250 mil estadios, de modo que acada grado corresponden 700 estadios. Admitiendo que Eratostenes uso el estadio de 185m, el radio aproximado serıa de 6616 kilometros, con un error cercano al 17 %).Hay quienes defienden la idea en la que Eratostenes uso el estadio egipcio (300 codosde 52,4 cm), en cuyo caso la circunferencia polar calculada habrıa sido de 39614,4 km,frente a los 40008 km considerados en la actualidad, es decir, un error menor al 1 %. [4]

Sobre los calculos realizados por Eratostenes se han escrito varios trabajos, uno de ellos,de Dennis Rawlins 1 argumenta que el unico dato que Eratostenes obtuvo directamentefue la inclinacion del zenith de Alejandrıa, con un error de 7′ (7 minutos de arco) 2,mientras otras fuentes, desconocidas, son de exactitud notablemente superior.

150 anos mas tarde, Posidonio re hizo el calculo de Eratostenes y obtuvo una circunfer-encia sensiblemente menor, valor que adoptarıa Ptolomeo y en el que se basarıa CristobalColon para justificar la viabilidad del viaje a las Indias por occidente.3

El trabajo de Eratostenes es considerado por muchos como el primer intento cientıfi-co, genuino, en medir las dimensiones de nuestro planeta.

4.1.2. Observaciones Importantes

Ya sabemos que el paralelo ecuatorial de la tierra no es paralelo a la eclıptica. Esto es,el eje de rotacion del planeta no es perpendicular al plano que contiene su trayectoria altrasladarse alrededor del sol.Ası, a traves del ciclo que dura este viaje (aproximadamente un ano), el tiempo deduracion del dıa y la noche fluctua en cierto intervalo, y solo en ciertos momentos delano, en algunos lugares del mundo (muy proximos al tropico) al medio dıa no tienensombra (proyeccion), pero no todos a la vez (el tiempo depende del lugar geografico deinteres). Con esto, es posible que Eratostenes no necesitara del equinoccio para realizarsu medicion, como se puede deducir del procedimiento explicado anteriormente.

1Nacio en 1937 en Baltimore, Maryland. Astronomo estadounidense, historiador y editor.2Esta afirmacion fue el punto de partida para el desarrollo de la actividad central en este reporte.3Quiza con las mediciones de Eratostenes el viaje no se habrıa llegado a realizar, al menos en aquella

epoca y con aquellos medios.

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Simplemente requirio medir en dos puntos de la superficie terrestre en los que la lıneaimaginaria que los une sea lo mas paralela posible al meridiano mas cercano (debentener diferente latitud). Lo que sigue es reconocer el dıa en que en alguno de esos dospuntos al medio dıa se quede sin sombra (uno de los puntos debe estar situado proximoal eje del Ecuador y el otro no salirse de la region subtropical) y realizar sus medicionessimultaneamente (o en tiempos diferenciados exactamente por un numero entero de anos,por su naturaleza cıclica) en dichos puntos. Incluso, los calculos se pueden realizarsin necesidad de considerar un lugar sin sombra al medio dıa. Esto, porque elangulo formado por los dos lugares, con el centro de la tierra como vertice,es precisamente la diferencia de los angulos (a = a2− a1)

4.2. Medida Conjunta Del Radio Terrestre

4.2.1. Practica en Equipo

El 26 de marzo del ano 2009 fue el dıa senalado para la realizar la experiencia colectivade la medida del Radio de la Tierra, idea iniciada por las instituciones educativas deEspana. Participaron en la experiencia 930 centros escolares, repartidos por el territorioespanol, por su entorno geografico inmediato y tambien por America Latina. [23]Finalmente se recogieron datos de 639 centros escolares. Proceden basicamente de Espana(632) o su entorno geografico proximo (Andorra, Italia, Francia y Marruecos aportandatos de un centro cada uno); de los centros de America Latina suministraron datos trescentros escolares (dos de Mexico y uno de Colombia). [23]

Objetivos de la Practica

El caracter de la experiencia, orientada mas a la participacion y a los metodos detrabajo que al propio resultado numerico final, permitio una reflexion previa sobre losdatos que se deseaba obtener. Los datos de la Tierra son bien conocidos. La longitud deun meridiano de la Tierra mide aproximadamente 40.000 km. Aunque haya perdido elcaracter de definicion del metro patron, es un dato facil de recordar. Se puede deducir:

el radio de la Tierra, dividiendo entre 2π : 6.366,2 km

la longitud de un arco de meridiano de 1o:40.000Km

360o= 111,11 km/grado

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Figura 4.2: Grafico de dispersion con las medidas tomadas por los colegios.

Los puntos recibidos se representan en la grafica 4.2. La eleccion de los ejes de coorde-nadas, Angulo altura del Sol en abscisas y Distancia al paralelo 40oN en ordenadas, escon la finalidad de que la pendiente de la nube de puntos proporcione directamente larelacion kilometros/grado. [23]

Resultados de la Practica

La ecuacion que mejor define la serie de puntos es:

y = −118,84x+ 6.253,2

El valor negativo de la pendiente indica que a medida que el observador incrementa ladistancia al paralelo 40oN, desplazandose hacia el Norte (que fue la direccion elegida parael signo positivo), disminuye el angulo altura del Sol. Los tres puntos situados mas cercadel extremo inferior derecho corresponden a los observadores de America Latina.El grupo de puntos entre estos y el conjunto principal de puntos corresponden a obser-vadores de las Islas Canarias. Con los datos de esta grafica, el calculo es:

Radio Terrestre =118,84 km

grado× 360grados

2π= 6.809km

[23]

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Figura 4.3: Tipos de gnomon.

Figura 4.4: Ejemplo para trazar las direcciones.

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Figura 4.5: Medellın Cartagena. Fuente: google earth (2010)

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Capıtulo 5

Medicion del Radio Terrestre

5.1. Practica 1: Similar a Eratostenes

5.1.1. Guıa Para Medir el Radio Terrestre

Materiales. Gnomon, Nivel, Papel, Cinta, Marcadores, Brujula, Reloj, Compas, metro.

Montaje. Primero, se ubica un lugar despejado (con el nivel asegurar horizontalidad).Con la brujula orientar la direccion norte - sur. Colocar el papel en direccion oriente -occidente (para que las sombras del gnomon no se salgan de la hoja para su registro. [23]

Luego ubicar el gnomon, asegurando su verticalidad con el nivel. Es conveniente queel gnomon este dentro del papel para marcar su ubicacion, (se usa luego en los calculos).La figura 4.3 muestra algunos ejemplos de gnomon.

Procedimiento. Se conviene utilizar un unico reloj (para evitar confusiones), este sera lareferencia a la hora de tomar los datos. Para cada medida se hara una marca sobre elpapel en el punto exacto donde termina la sombra del Gnomon, escribiendo la hora.

Para mayor exactitud se conviene hacer la marca en el paso de un minuto a otro, osea, contar los segundos y marcar en el segundo sesenta y escribir la hora.Repetir este procedimiento cada 5 o 10 minutos, media hora antes y despues del supuestomedio dıa local, segun sea conveniente. [23]

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Calculos. Despues de hechos los registros unir cada uno de los puntos marcados, esasera la trayectoria de la sombra. Luego calcular el punto de menor sombra.Con centro en el lugar donde se ubico el gnomon se traza un arco de circunferencia quecorte la lınea trazada por la trayectoria de la sombra en dos puntos.1 A partir de estospuntos se trazara una mediatriz. Unir el punto encontrado con el punto donde se ubico elgnomon mediante una lınea y esa sera la ubicacion de la sombra mas corta (tambiendara la direccion norte - sur). [23] Un ejemplo de este paso se muestra en la figura 4.4Con la cinta metrica medir la distancia desde la ubicacion del gnomon al punto en-contrado de menor sombra. Ya solo queda calcular el angulo θ a partir de la relaciontrigonometrica:

tan(θ) =sombra del gnomon

altura del gnomon

El angulo θ obtenido equivale al angulo que se forma al prolongar el gnomon hacia elcentro de la Tierra y otro lado supuesto sobre el ecuador terrestre. Ası, en la figura 4.5,la distancia de S a A, que llamaremos d, sera la distancia entre los dos observadores,que en nuestro caso sera la distancia al ecuador terrestre. Este dato se puede calculara traves de mapas o de informacion geografica (por ejemplo, google earth). Con estosvalores estimados, y las siguientes relaciones se puede obtener los datos buscados.

360o

θ=

Circunferencia de la Tierra

d

La circunferencia terrestre alrededor de los polos es de 40.008 km. Comparar este numerocon el resultado obtenido y estimar el error.Esta experiencia se replico el pasado 22 de septiembre de 2010, tomando a las ciudadesde Medellın y Cartagena como puntos en cuestion para realizar las mediciones de lassombras de los gnomones al medio dıa. Los gnomones utilizados en cada ciudad tenıanla misma longitud, 1 m. La sombra registrada, al medio dıa, del gnomon ubicado enMedellın fue 0,11 m, y en Cartagena fue 0,18 m. Con estos datos, podemos calcular elangulo de inclinacion respectivo en cada ciudad.

Medellın:

a1 = tan−1(

0,11m

1m

)= 6,3o

Cartagena:

a2 = tan−1(

0,18m

1m

)= 10,3o

1Observe que en estos puntos la sombra del gnomon debera ser la misma.

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De aquı, a = 10,3o − 6,3o = 4o = θ.

De acuerdo a la anterior practica, la medida del radio terrestre, R, esta dada por:

R =457,6km

4o=

457,6km× 45

π= 6.557,96km ' 6.558km

El valor hallado se encuentra muy cercano al real (6.367km).

El porcentaje de error es 2.99 %.

Que el error encontrado este por debajo del 3 % genera enorme gratificacion por el trabajorealizado y su verificacion cientıfica.

5.2. Practica 2: Otro Metodo Para Medir el Radio

Terrestre

La practica anterior, aunque valida, deja sabor amargo, por necesitar un dato que nose mide directamente (la distancia superficial desde el punto donde se realiza la practi-ca hasta el ecuador terrestre o hasta el otro lugar de medicion sobre el mismo meridiano).

Despues de reflexionar, durante un buen tiempo, sobre la manera de medir en la re-alidad la distancia entre estas dos ciudades sin usar datos de terceros (como googleearth), surgieron variados metodos, rudimentarios, extranos, novedosos, pero todos ellosrequieren de logıstica, mucho tiempo y considerables costos.

Al final, entre suenos inducidos, espontaneamente, aparecio, por abduccion, un meto-do alterno, innovador y revolucionario para estimar el radio terrestre.La experiencia que aquı se desarrolla, disminuye, considerablemente, los costos y esfuer-zos para alcanzar tal fin.

El metodo expuesto es hermoso por su simpleza y se convierte en un verdadero ejemplo,testimonio de integracion entre matematica abstracta y fısica experimental.

Es una simbiosis que fusiona la intuicion matematica con el pensamiento dinamico quela fısica galileana enraizo dentro de nuestra vision del mundo.

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Los inconvenientes que conlleva realizar la practica de manera analoga a la experien-cia registrada por el gran Eratostenes son:

1. Los dos lugares geograficos donde se hagan las mediciones, deben estar lo masproximo posible a la misma lınea meridiana.

2. Uno de los lugares donde se realicen las mediciones debe estar lo mas proximoposible al Ecuador terrestre.

3. Las mediciones se deben hacer al medio dıa en un dıa de solsticio. 2

4. Medir, lo mejor posible, la distancia superficial que separa a los dos lugares dondese hacen las medidas.

Gracias al procedimiento senalado y realizado en las pasadas secciones, de la anterior listade inconvenientes se obvia que uno de los lugares deba estar cerca del Ecuador terrestre.Pero el metodo que a continuacion se expone, no tiene alguno de esos inconvenientes.

5.2.1. Construccion Reloj Solar de Cuadrante Ecuatorial

Los relojes de sol de cuadrante solar estan formados por un estilete, cuya sombra seproyecta sobre un plano o cuadrante en el que se encuentran dibujadas las lıneas horariasque permiten determinar la hora. Por la orientacion del cuadrante se distinguen variostipos de relojes de sol. Aquı se indica como construir un reloj de cuadrante ecuatorial3

Otros relojes similares son, de cuadrante horizontal, de cuadrante vertical orientado (ver-tical y orientado hacia el Sur), Cuadrante vertical declinante (vertical, pero no se orientaexactamente hacia el Sur. Es tıpico en la fachada de las casas).

Un reloj solar de cuadrante ecuatorial se construye con carton o madera contrachapada.Esta formado por dos piezas: una rectangular que sera el cuadrante y otra triangular quehara de estilete y soporte. Cada una de ellas lleva una ranura, que permite encajarlas.Se comienza recortando el cuadrante, que es un rectangulo el doble de largo que ancho.Sus dimensiones podran ser las que se desee.

2Esto con motivo de garantizar que en uno de los lugares en cuestion, en ese momento no haya sombra,es decir, que el sol se encuentre en su zenith.

3Es paralelo a un plano que corta al planeta tierra por el ecuador.

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Figura 5.1: Esquema de un reloj de cuadrante ecuatorial

A la mitad del largo se hace una ranura que llegue hasta la mitad del ancho (ver figura5.2). Las lıneas horarias se dibujan a intervalos de 15o en las dos caras del cuadrante:la cara de primavera-verano y la de otono-invierno. Las trazadas en la figura 5.2 sonvalidas para un reloj que se vaya a utilizar en el hemisferio norte, para el hemisferio surse intercambian la de primavera-verano por la de otono-invierno.Para construir la segunda pieza, el estilete, se debe conocer la latitud del lugar dondese ubicara el reloj.4 Se trata de un triangulo rectangulo donde uno de los angulos debeser igual a la latitud, para que el cuadrante quede paralelo al ecuador. En esta piezatambien se debera realizar una ranura (la lınea que aparece a trazos en la figura 5.2) quepermitira ensamblarla con la primera. Una vez construidas y montadas las dos piezas, elreloj debe colocarse en un lugar horizontal y orientado correctamente. Si el reloj se vaa usar en el hemisferio norte, la cara de primavera-verano debera mirar hacia el Norte(como se muestra en la figura 5.3), mientras que si se va a usar en el hemisferio sur lohara hacia el Sur. Para determinar la direccion Norte-Sur se puede utilizar una brujula.5

4La latitud de Medellın es, aproximadamente, 6.2o5Se debe tener en cuenta que el Norte geografico no coincide con la direccion senalada por la aguja

de la brujula, que apunta al Norte magnetico.

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Figura 5.2: Caras de un reloj de cuadrante ecuatorial

Otro metodo consiste en utilizar la sombra de un objeto vertical (una plomada) almediodıa, que indica la direccion Norte-Sur. 6

En primavera y verano el Sol incide sobre la cara superior (la de primavera-verano),donde se vera la sombra del estilete. En otono e invierno la sombra del estilete se proyectaen la cara inferior (la de otono-invierno), mientras que la superior permanece en sombra.

6Tener en cuenta que deben ser exactamente las 12 horas del tiempo solar verdadero, que no coincidencon las 12 horas de los relojes.

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Figura 5.3: Reloj de cuadrante ecuatorial en uso

5.2.2. Observatorio Solar

Para el desarrollo de la practica es fundamental determinar los puntos cardinales conexactitud. Para ello, se construyo un cırculo solar.Materiales Gnomon, Cuerda, tiza, cinta metrica.ProcedimientoSe ubico un gnomon en un espacio despejado, plano y horizontal. Con centro en el yradio igual a la longitud del gnomon se trazo una circunferencia.7

Forma 1El pasado 22 de septiembre del presente ano, cerca de las 6:00 a. m. se ubico otro gnomonsobre la circunferencia trazada, de tal manera que este, el gnomon del centro de la cir-cunferencia y el punto en el horizonte por donde sale el sol esten colineales. Se marcadicho punto sobre la circunferencia. A las 6:00 p. m. se ubico un gnomon sobre la cir-cunferencia, de tal forma que este, el gnomon del centro de la circunferencia y el puntoen el horizonte donde se esconde el sol esten colineales. Se marco dicho punto sobre lacircunferencia. En ambos casos, se procedio a identificar la colinealidad mirando por unsolo ojo (con el fin de evitar el problema del paralaje).

7Esto con el fin de que, al momento de medir angulos, estos correspondan, lo mas posible, con lasunidades de radianes, estrechamente relacionados con las proporciones entre longitudes de sombras delgnomon y la longitud del gnomon mismo

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Figura 5.4: Reloj solar de cuadrante ecuatorial

Se tenso la cuerda haciendo coincidir dos de sus puntos con los puntos senalados sobre lacircunferencia, y se trazo la lınea.8 Esta lınea prolonga, imaginariamente, sus extremoshacıa los puntos cardinales Oriente (Este), por donde salio el sol, y Occidente (Oeste),por donde se escondio el sol. Con la ayuda de la cuerda y geometrıa plana basica seconstruyo una recta vertical a la recta dada, pasando por el centro de la circunferencia.9

8Por la particularidad de esta fecha (solo pasa dos veces al ano), la sombra del extremo superior delgnomon del centro de la circunferencia recorre, durante el dıa una trayectoria proxima a dicha lıneatrazada (es uno de los dos dıas que mas se acerca, aunque no exactamente, pues Medellın no esta en elecuador terrestre.

9Con la cuerda se fija una medida mayor al radio de la circunferencia (preferiblemente menor aldiametro). Desde cada punto encontrado sobre la circunferencia se senalan los puntos donde estas trayec-torias se cortan. Luego se traza una lınea por estos dos puntos. Esa recta es perpendicular a la rectadada. Con ayuda de dos escuadras se traslada la ultima recta en forma paralela para que pase por elcentro de la circunferencia.

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Esta lınea prolonga sus extremos hacıa los puntos cardinales Norte y Sur.Lista la construccion del observatorio solar. Ya resta comenzar a registrar la sombra delgnomon durante varios dıas y en diferentes horas de cada dıa para encontrar los patronesque el sol sigue en su movimiento aparente alrededor de la tierra, comenzando un viajefascinante por el camino del descubrimiento permanente de los movimientos celestes.

Forma 2 Durante cualquier dıa soleado se procede igual que se hizo para la practica1, encontrando los puntos terminales de la sombra del gnomon durante el recorrido delsol, preferiblemente entre las 11:00 a. m. y la 1:00 p. m. con intervalos de 10 minutos.Ver Capıtulo 4 seccion 1 subseccion 1 (4,1,1). En este caso se hizo uso primordial delreloj solar que se construyo anteriormente, para seguir la trayectoria del sol y marcar lospuntos necesarios para encontrar los puntos cardinales.

5.2.3. Guıa 2: Estimar la Medida del Radio Terrestre

Materiales utilizados. Gnomon, Dos vasijas, dos tablas de madera, papel, cinta adhe-siva, silicona, tiza o marcador, cinta metrica, cronometro, pie de rey, plomada.

Montaje. Con la ayuda del disco solar, se traza una lınea (puede ser imaginaria) Ori-ente - Occidente, con al menos 200m de longitud.10 En cada extremo se ubica una vasijallena de agua y en cada una de ellas se monta una tabla de madera, de manera que flote,fijandola a su vasija con cinta, para que no rote (despues de estar en reposo, buscandono inclinar la tabla al tensionar la cinta). Encima de cada tabla se fija un gnomon garan-tizando su perpendicularidad con la superficie (a parte, se fija el gnomon con siliconay la ayuda de una plomada sobre una tarjeta plastica, como un credencial, por ejem-plo). Sobre cada tabla se traza una lınea recta que pase por el gnomon, buscando quecoincida (paralela) con la lınea trazada (puede ser imaginaria) inicialmente (Este - Oeste).

Procedimiento. En cualquier dıa del ano, a cualquier hora del dıa, con sol (preferi-blemente cerca del medio dıa), se marca en la vasija que esta mas al oriente la sombradel gnomon y se mide la hora y el angulo formado entre esta sombra y la lınea marcadasobre la tabla. Este angulo se calca en la hoja que esta sobre la otra vasija (o sobre laotra tabla).

10Resulta que, por la latitud de Medellın, la luz solar barre de Este a Oeste, cerca de 461m por segundo.A medida que aumenta la latitud, la tasa de barrido disminuye (a medida que un punto sobre la tierrase aproxima al eje de rotacion, su velocidad tangencial disminuye).

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Al siguiente dıa, minutos antes de la hora en que se realizo las medidas el dıa anterior, seubica una persona cerca de cada vasija. El que esta mas al occidente se encarga de medirel tiempo con un cronometro sensible a decimas de segundo, pendiente a la senal delcompanero. El otro experimentador indicara con precision el momento en que la sombrade su gnomon coincida con el angulo ya marcado (el dıa anterior).En ese mismo instante su companero pone a correr el cronometro. Sin perder tiempo,este detiene el cronometro en el momento en que observa que la sombra del gnomon ensu vasija (la que esta al Occidente) esta exactamente sobre el angulo que se calco el dıaanterior. Se registra el tiempo.11

Resultados. El gnomon del disco solar tiene longitud 130cm = 1.3m. El 22 de septiem-bre al medio dıa formo una sombra de longitud 15.5cm = 0.155m. Con estos dos datosse puede calcular la inclinacion de Medellın respecto al Ecuador terrestre. De acuerdo alas practicas anteriores:

a = θ = cos−1(

0.155m

1.3m

)= 6.799o ' 6.8o

En esta oportunidad se percibio al sol recorrer sobre la superficie terrestre 165m en di-reccion Este - Oeste (paralelo a los paralelos), en cuatro decimas de segundo.

Considerando que la tierra rota con velocidad angular constante, o que, aparentemente,el sol tarda 24 horas en darle una vuelta completa a la tierra (da igual), por simple reglade tres, si en 0.4 segundos recorre 165m = 0,165km, entonces en 86.400 segundos (= 24horas), recorrera:

X =86.400s× 0.165km

0.4s= 35.640km

En retrospectiva, lo que se hizo fue recorrer un segmento de arco de una circunferenciaimaginaria, sobre la superficie terrestre paralela al Ecuador terrestre, de tal manera queel angulo con vertice en el centro de la tierra, formado por una lınea que cruza el Ecuadorterrestre y otra, sobre el mismo meridiano, que pasa por la circunferencia en cuestion,mide aproximadamente, 6.8o (ver figura 5.10).

Ası, el perımetro de esta circunferencia mide aproximadamente, 35.640 kilometros. Luego,su radio es,

r =35.640km

2π= 5.672,28km

11La mayor dificultad es visualizar con precision la sombra del gnomon y la senal del companero.

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Con esto, tenemos un triangulo rectangulo con hipotenusa aproximadamente igual al ra-dio terrestre, donde uno de sus catetos mide 5.672, 28km y el angulo formado entre estosdos lados es, aproximadamente, 6.8o(ver figura 5.10).12

De aquı podemos calcular el radio de la tierra, basados en las anteriores practicas.

5.672,28km

R= cos(6.8o) =⇒ R =

5.672,28km

cos(6.8o)= 5.712,46km

Analisis. El resultado aquı encontrado supera todas las expectativas que se tenia.13

El primer inconveniente surgio al intentar estimar, con la exactitud mınima requerida, elinstante en el cual la sombra del gnomon pasa justamente sobre la lınea considerada. Setrato de resolver a partir de la practica y promedios con las mejores repeticiones.

Otra dificultad fue el lugar a utilizar (la distancia elegida es insuficiente para medirtiempos que sean susceptibles a ser mesuradamente percibidos por el cerebro humano).Para ello se cambio el lugar donde se realizo el ejercicio, y se tomo varios tiempos repi-tiendo la experiencia durante tres dıas consecutivos, para luego promediar esos tiempos.14

Aunque todos los puntos de la tierra poseen la misma velocidad angular, de fısica sesabe que sus velocidades tangenciales dependen de su distancia al eje de rotacion, siendomayor la velocidad tangencial a medida que se aleja de dicho eje.

Conociendo los datos actuales, mas precisos, se encuentra que la velocidad tangencial, deun arbol plantado en Medellın, es cercana a 1.661 km/h, velocidad increıblemente alta.15

Ası las cosas, esta experiencia puede ser aun mas factible de replicar, con mucha masprecision (por contar intervalos de tiempo mucho mas grandes), en latitudes superioresa los 50o, como por ejemplo en Argentina, o Estados Unidos.

En lugares cercanos al eje ecuatorial, la experiencia desarrollada requiere distancias su-periores a los 500 metros, para reducir, considerablemente, los errores humanos al medirlos tiempos.

12Alternos internos entre paralelas cortadas por una misma secante.13Al principio, el autor desarrollo el experimento en la terraza de su estancia (donde contaba con 20

metros de Este a Oeste).14La experiencia inicial, realizada en la terraza del autor fue inviable.15Razon por la cual se desecho la primera practica, realizada sobre la terraza del autor

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Con la ayuda de dos foto Compuertas acopladas, 16 adaptadas para esta practica, per-mitira obviar el error humano al medir tiempos.

Con esto, las distancias requeridas para la practica, podran ser mucho menores a lassugeridas (Seguramente la terraza del autor podra ya servir).

% de Error.

Latitud de Medellın

|6.31o − 6.79o|6.31o

× 100 % = 7.6 %

Longitud del radio Terrestre

|6.367,47km− 5.672,28km|6.367,47km

× 100 % = 10.92 %

Los resultados que la presente practica expone ya, aquı, en ningun momento pretenden,ingenierilmente hablando, coincidir con valores reales.Para ello, la repeticion de esta practica requiere, adicionalmente, un analisis de errores yun procedimiento mas tecnico y preciso.

Con este reporte, el autor, aspira entregar a la humanidad (con humildad)un metodo novedoso (innovador), revolucionario para estimar la medidadel radio terrestre con un camino mas simple que el empleado por el granEratostenes.

Es un metodo que, hasta el dıa de hoy, el autor considera de su propiaautorıa, ya que, despues de una exhausta investigacion, no conocio fuentealguna en todo el mundo, que lo referenciara.

16como las utilizadas en los laboratorios de fısica, como parte de la maestrıa en la Ensenanza de lasCiencias Exactas y Naturales, de la universidad Nacional de Colombia, sede Medellın, 2010 (En Internethay muchas guıas para su construccion y cuyo costo es muy bajo).

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Figura 5.5: Construccion del Disco Solar

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Figura 5.6: Uso del reloj solar

Figura 5.7: Materiales utilizados durante la practica

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Figura 5.8: Montaje inicial (necesito replicarse en un espacio mas amplio)

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Figura 5.9: Procedimiento inicial (necesito replicarse en un espacio mas amplio)

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Figura 5.10: Vista lateral del modelo considerado

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Apendice: Porque el Exito dePtolomeo el Astronomo

Inicios. Con los babilonios antiguos observando el cielo para predecir el movimiento delos cuerpos celestes, ayudados de datos constituidos en tablas, se inicio la exploracion delmundo aplicando las matematicas. Este PODER predictivo florecio en la edad antiguacon los esfuerzos de matematicos griegos desarrollando metodos formales y, mas tarde,con los astronomos helenısticos construyendo el movimiento del universo en terminos demovimientos circulares. Matematicos de la antigua Grecia, como Apolonio o Eudoxo,fundaron las bases de la astronomıa analizando las propiedades de las curvas conicas.17

En la antiguedad, los pensadores sesgaron su vision imaginativa en relacion con la as-tronomıa, circunscribiendo todos los movimientos celestes como resultado de la super-posicion de traslaciones circulares, los epiciclos y las deferentes. El astronomo Ptolomeode Alejandrıa no tuvo otro igual en el manejo maestro de dichas construcciones, siendoaun, la figura que identificamos con el modelo geocentrico de un universo encerrado enel interior de la esfera de las estrellas fijas.A pesar de que hoy en dıa, consideramos algunas afirmaciones de esa epoca erroresmonumentales, reconocemos en ellas maravillosos logros de calculo, como lo fueron lasestimaciones de Eratostenes (empleando semejanza de triangulos) acerca del radio ter-restre y de la distancia Tierra-Sol, y la deteccion por Hiparco de la precesion de losequinoccios.18

17Hoy dıa llamamos conicas al conjunto de curvas planas que se pueden obtener intersectando unplano con la superficie de un cono de revolucion. Segun las distintas posiciones relativas del cono y elplano que lo corta, pueden aparecer distintos tipos de curvas conicas. Si el plano es perpendicular al ejedel cono, se obtiene una circunferencia. Cuando, de un modo mas general, la direccion normal al planodifiere de la direccion del eje menos de lo que difiere la generatriz del cono, se obtiene una elipse. Si esparalelo a una generatriz se obtiene una parabola; y por ultimo, si la direccion normal al plano difierede la del eje mas que la generatriz, se obtiene una hiperbola.

18Con precision admirable para la epoca, en torno al ano 130 a.C. Hiparco de Nicea comparo observa-ciones antiguas con las suyas y concluyo que en los 169 anos precedentes el punto de interseccion entre

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Despues de mas de mil anos, poco vario nuestra imagen del cosmos y su descripcionmatematica, hasta que el monje polaco Nicolas Copernico (1473 - 1543), retomando unavieja idea de Aristarco de Samos, dispuso al Sol en el centro de su modelo astronomico.El aleman Johannes Kepler (1571 - 1630) fue un poco mas alla y adopto la elipse, no lacircunferencia, como la figura geometrica que reproducıa matematicamente las trayecto-rias orbitales de los cuerpos celestes. Con ello finalizaban dos milenios de prevalencia delmovimiento circular en el pensamiento astronomico occidental. Sin embargo, los metodosmatematicos empleados hasta ese momento, eran en esencia los mismos de los antiguosgriegos: construcciones geometricas mas o menos elaboradas.

Solo hasta las obras de Newton y Leibniz se dispuso de uno de los instrumentos mas po-tentes creados por el pensamiento humano, el calculo infinitesimal en sus dos vertientes,diferencial e integral. Como sabemos, la diferencial de una funcion nos proporciona unaaproximacion lineal de dicha funcion, df = f ′(x)dx, cuya exactitud dependera del valordel incremento dx de la variable independiente. Los fenomenos de la naturaleza, y entreellos los movimientos astronomicos, suelen hallarse muy alejados de la linealidad pero,en su mayorıa, sı pueden aproximarse linealmente para distancias pequenas o intervalosde tiempo muy breves. De ahı la utilidad fısica del Calculo.Ademas, Newton formulo la ley de la gravitacion universal, consiguiendo explicar desdeuna perspectiva mas profunda las observaciones realizadas anos antes por Kepler. De el-las se deducıa que las orbitas de los planetas no eran circulares, sino elıpticas, situandoseel Sol en uno de sus focos. Las posiciones de los planetas sobre su trayectoria de modoque su separacion del Sol sea mınima y maxima respectivamente, se denominan perihelioy afelio. De la conservacion del momento angular en sus orbitas, se deriva el hecho deque los planetas se muevan mas deprisa cuando estan cerca de su perihelio que cuandolo estan de su afelio.Newton paso de explicaciones meramente geometricas a explicaciones dinamicas delmovimiento de los astros. Dicha dinamica era gobernada por ecuaciones diferenciales,comenzando ası, la sucesion de los metodos geometricos a los analıticos.

Newton y Leibniz crearon las bases del calculo infinitesimal, pero carecıan de tecnicasnecesarias para resolver las ecuaciones diferenciales surgidas al aplicar esta herramientaa problemas mecanicos.

la eclıptica y el ecuador celeste se ha movido dos grados. Hiparco conocio la posicion del Sol entre lasestrellas tan exactamente (aunque las estrellas no eran visibles por el dıa) usando la sombra proyectadapor la Tierra sobre la Luna, durante un eclipse lunar. En tal caso, el Sol, la Tierra y la Luna forman unalınea recta y por tanto el centro de la sombra de la Tierra esta apuntando sobre la esfera celeste que sesitua exactamente opuesta al Sol.

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Esa tarea correspondio a los grandes matematicos de los siglos XVIII y XIX.19

En el siglo XIX se logro explicar la razon por la cual la astronomıa geocentrica dePtolomeo funcionaba tan bien para acomodar todos los movimientos celestes, por ir-regulares que fuesen, combinando mas y mas epiciclos. La respuesta se hallaba en laobra del matematico y fısico frances Jean Fourier, quien mostro que cualquier funcionperiodica se puede expresar mediante combinaciones de funciones de onda sencillas.Una funcion periodica de periodo T , es decir, f(t) = f(t + T ), se representa como unasuma de senos y cosenos. Es decir,

f(t) =1

2a0 +

∑an cos(nωt) +

∑bn sin(nωt)

donde las sumas recorren el ındice n desde 1 hasta infinito. Los coeficientes se calculancon el promedio integral del producto de la funcion f(t) por el seno o el coseno cor-respondiente. El valor simple ω se denomina frecuencia fundamental mientras que susmultiplos, 2ω, 3ω, ..., nω, son llamados armonicos.

Las funciones no periodicas son insertables en el marco del desarrollo trigonometrico deFourier suponiendo que su periodo es infinito. Entonces se procede de modo semejantepero ahora se opera con integrales en lugar de sumas de senos y cosenos.

Gracias a ello se comprendio el Exito de la AstronomıaPtolomeica.

Una orbita, por su propia definicion, es un movimiento periodico, y siempre podra de-scomponerse como una suma de senos y cosenos. Estas funciones trigonometricas a su vezse llaman funciones circulares, porque sus valores pueden representarse como la proyec-cion sobre el diametro de una circunferencia de un radio vector de dicha circunferenciaque gira uniformemente. Entonces, cualquier movimiento repetido al cabo de un cier-to periodo, como eran los desplazamientos celestes observados en la antiguedad, podıadescribirse finalmente como la combinacion de un numero arbitrariamente grande dedesplazamientos circulares.

19Euler, los Bernoulli, Poisson, D’Alembert, Lagrange, Laplace, Legendre, Gauss, etc.

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Bibliografıa

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