LOGICA

- EQUIVALENCIAS LOGICAS

- LEYES LOGICAS

- SIMPLIFICACIN

- EJERCICIOS

AUTOR: LUIS R. PACHECO HUAROTTO

EQUIVALENCIAS LOGICASDos proposiciones compuestas o Frmulas Lgicas P y Q son equivalentes, si unidos por el bicondicional , el resultado es una Tautologa; es decir que ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.Se denota: P Q o P Q Se lee: P es equivalente a Q o viceversa Ejemplos: a) [(pq) r] [p (qr)] (Exportacin) b) (pq) [p (p q)] (Expansin 1) c) (pq) [q (p q)] (Exp. 2) d) p p (q ~q) (Exp. 3) e) p p (q ~q) (Exp. 4)

LOS TRES PRINCIPIOS LGICOS CLSICOSLa tradicin aristotlica ha considerado como fundamentales a los principios lgicos otorgndoles mxima jerarqua. Dichos principios pueden transformarse a frmulas cuya evaluacin de sus matrices lgicas nos revele que se trata de una tautologa. Esto significa que no podemos privilegiar slo a estas tautologas por sobre otras igual de vlidas. Dichos principios son los siguientes:

1. Principio de Identidad: Una proposicin solo es idntica a s mismo. Forma Lgica: pp 2. Principio de No-contradiccin: No es posible que una proposicin sea verdadera y falsa al mismo tiempo. Forma Lgica: ~(p~p)

3. Principio de Tercio Excluido: Toda proposicin es necesariamente verdadera o necesariamente falsa. No existe una posibilidad intermedia. Forma Lgica: p~p

LEYES DE EQUIVALENCIAS NOTABLES (LEYES LGICAS O TAUTOLGICAS)

Leyes Conmutativas (Conm.) (pq) (q p) (pq) (qp) (pq) (qp) (p q) (p q)Leyes Asociativas (Asoc.) p(qr) (pq)r p(qr) (pq) r p (q r) (p q) rLeyes Distributivas (Distrib.) (pq) r (pr) (qr) (pq) r (pr) (qr) p(qr) (pq)(qp) p(qr) (pq)(qp)

LEYES DE EQUIVALENCIAS NOTABLES

Doble Negacin (DN) ~~pp ~~~p ~pTeoremas de De Morgan (DM) ~(pq) ~p~q ~(pq) ~p~q pq ~(~p~q) pq ~(~p~q)Idempotencia (Idem.) pp p pp pDef. del condicional (Def. cond.) pq ~pq pq ~(p~q)

LEYES DE EQUIVALENCIAS NOTABLES

Def. del bicondicional (Def. Bicondicional) p q (pq) (qp) pq [ (pq) (~p~q) ]Def. de la disyuncin fuerte (Def. DF) p q ~ (p q) p q (pq) (~p~q)Absorcin (Abs.) p (p q) p p (p q) p p (~p q) pq p (~p q) pqTransposicin (Trans.) pq ~q~p p q (~ q ~p)

LEYES DE EQUIVALENCIAS NOTABLES

Ley de Exportacin: a) ( p q) r p (q r) b) ( P1P2 Pn) r ( P1 P2Pn-1) (Pn r)Consideremos que T es una frmula tautolgica, C es una frmula contradictoria y Q es una frmula consistente (Proposicin). Leyes de Complemento o Adicionales T Q Q ( V es Neutro de la Conjuncin : p V p ) C Q C T Q T C Q Q ( F es neutro de la Disyuncin : p v F p )

T Q Q C Q T Q T T Q C ~Q

OBSERVACIN: ESTAS LEYES SON MUY TILES PARA SIMPLIFICAR LOS PROBLEMAS, PUESTO QUE ES VALIDO REEMPLAZAR UNA PROPOSICIN POR SU EQUIVALENTE SIN ALTERAR EL RESULTADO.Ejemplos:1.- Demostrar que: (pq) (~q ~p) Solucin: (pq) (~q ~p) ~ (~q ) V ~p Ley de la Condicional q V ~p Ley de la Doble Negacin ~p V q Ley Conmutativa p q Por Definicin 2.- Simplificar la siguiente proposicin: A = (~pq) (q p)Solucin: A = ~ (~pq) V (q p) Ley de la Condicional = ( p v ~q) v (~q v p ) Ley de Morgan y Condicional = ( p v ~q) v ( p v ~q) Ley Conmutativa = p v ~ q Idempotencia

EJERCICIOS1.- Demostrar que:a) p ~q ~(p q) b) p (q v ~q) pc) ~ [~ (p q) ~q ] v q q 2.- Simplificar y representar mediante Circuito: a) ~ [ p ~(q v r) ] b) ~(p) (p ~ q) R: p (q v r) R: ~ p v p c) (p v q) [(~p v q) (p q) ] R: p v ~ q3.- Determinar si a) y b) son proposiciones equivalentes:a) p (r v ~ q) b) (q ~p) v ( ~r ~ p) Nota: Se puede determinar la equivalencia mediante la tabla de verdad o mediante la simplificacin.

EJERCICIOS4.- Demostrar que las siguientes equivalencias son tautolgicas: 1. [(pq) (rs)] ~(~s~r)~(~q~p) 2. [(pq)r] [(pr) (~qr)] 3. [(pq) r] s ~[~(pq)r] s 4. ~(pqr) ~p~q~r 5. p[~p(qr)] (p~pq)r5.- Responda las siguientes preguntas: 6. Cul es la relacin entre bicondicional y equivalencia? 7. Qu es una tautologa? Qu cosas pueden ser tautolgicas? 8. Cul es la relacin entre lgica proposicional y teora de conjuntos? 9. Podemos leer lgicamente las equivalencias usando las tablas de verdad? Cmo? D unos ejemplos. 10. Si lo son en qu sentido son importantes los principios lgicos? qu correcciones le haras a los principios lgicos?

BIBLIOGRAFA:ESPINOZA, E. (2005) Matemtica Bsica. Lima. 2 Edicin.FIGUEROA, R. (1992) Matemtica Bsica 1. Lima. 5 Edicin.GARCA, . (2007) Lgica. Lima: UNMSM.SEMINARIO, R. y VILLANUEVA, J. (1992). El Gran Saber. Logica. Lima. Editora Rival S.A.PISCOYA, L. (1997) Lgica. Lima: UNMSM.DEAO, A. (2001) Introduccin a la Lgica Formal. Madrid: Alianza Editorial. LLANOS, M. (2003) Lgica Jurdica. Lima: Logos.http://profe-alexz.blogspot.com/2010/05/logica-proposicional.html Autor: LUIS R. PACHECO HUAROTTO