INSTITUTO TECNOLÓGICO DE LA LAGUNA

Vibraciones mecánicas: Transformada de Laplace

Ecuaciones Diferenciales MCJ Agustín Flores Ávila

Rodolfo Javier Cayetano Salazar - 11130612 Oscar Adrián González Medina - 11130676

Héctor Ricardo García Fernández - 11130740

28/05/2013

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1. Prólogo

En el siguiente trabajo plantearemos un problema de vibraciones en el que el funcionamiento

deficiente de un sistema se convierte en un problema, cosa que hay que resolver. También se

verá un ejemplo de la aplicación de la transformada de Laplace para resolver ecuaciones

diferenciales de un sistema Masa- Resorte-Amortiguador y la forma en que se amortigua éste al

aplicarle una señal.

2. Problema

Las instalaciones de “El Siglo de Torreón” se encuentra divididas por sectores: producción,

publicidad, bodega y gerencia. En el área de producción se encuentra un almacén que alberga

rollos de papel para prensa (más de 150kg de peso), botes de tintas y varios suministros para esta

área. Está ubicado en la primera planta, exactamente arriba de los túneles bajo tierra que

comunican toda la instalación de El Siglo de Torreón (para darle un movimiento más libre a las

personas que van de un lado al otro de la instalación). En estos túneles, se han dado reportes de

pequeñas grietas en las pare des que no estaban hace 5 meses.

Al analizar la causa de estas grietas, se llegó hasta el compresor de 12 HP que se encuentra en

el almacén de producción. Este compresor suministra de aire a presión a toda el área de

producción, el cual es usado primordialmente para soplar residuos de papel y manchas de polvo

en los rodillos de las prensas.

Este compresor, que antes no se escuchaba en los alrededores del almacén, presenta

vibraciones de grandes magnitudes, que son resentidas en el piso de concreto del almacén, lo que

ha provocado las grietas en los túneles.

3. Justificación

Ya que las vibraciones en el compresor, que antes no ocurrían, se han dado tan rápidamente y

con consecuencias estructurales (el agrietamiento de ciertas áreas en el techo de los túneles de

acceso), es muy necesario resolver ese problema para evitar daños más graves, pérdida de tiempo

para la producción o hasta cobro de vidas en el caso de un derrumbe.

3

4. Marco Teórico

4.1 Física

4.1.1 2ª Ley de Newton

La segunda ley de Newton es descrita como sigue:

Si la fuerza resultante que actúa en una partícula es diferente de cero, la partícula tendrá

una aceleración proporcional a la magnitud de tal resultante y en su misma dirección.

Si una partícula es sometida a fuerzas de diferentes magnitudes, una tras otra; provocaran

diferentes aceleraciones, entonces:

���� =

���� =

���� = ������i

Esta constante es la masa de la partícula. Por esto, la 2ª ley de Newton se simplifica a:

� = � ∗ �

Con “F” como la fuerza resultante de todas las fuerzas en la partícula, “m” la masa de la

partícula y “a” la aceleración que experimenta.

4.1.2 Principio de d’Alambert

Jean Le Rond d’Alambert, matemático francés, propuso una ampliación del sistema de fuerzas

para los problemas de dinámicaii

Siendo la 2ª ley de Newton: � = ∑� = � ∗ ��, d’Alambert propuso una fuerza de inercia para

obtener un sistema en equilibrio. Esta fuerza está dada por:

��� =−� ∗ ��

Esto nos da un sistema de fuerzas en equilibrio de la forma

� + ��� = 0

Estas fuerzas de inercia son solo fuerzas imaginarias para simplificar el cálculo de fuerzas y

reacciones en un sistema dinámico. Para resolver el sistema solo se aplican las ecuaciones

básicas de estática: ∑� = 0 y ∑� = 0

Este procedimiento es más comúnmente usado en el movimiento de un cuerpo rígido de manera

lineal. Al existir movimiento angular, el proceso se hace muy complicado.

4

4.1.3 Ley de Hooke

Los resortes tienen un límite hasta el cual pueden ser estirados este límite se conoce como límite

de elasticidad, si el resorte es estirado hasta un punto antes de llegar a dicho límite y luego se

retira la fuerza el resorte vuelve a su estado original, en cambio, si lo estiramos hasta un punto

después del límite de elasticidad el resorte queda permanentemente deformado y jamás regresa a

su estado original. Si el resorte es estirado dentro del límite de elasticidad el resorte obedece la

ley de Hooke que enuncia “la tensión de un resorte es directamente proporcional a su extensión.

T =-k*x”iii

Donde

x es la deformación que sufre del resorte

k es la constante de restitución del resorte y se define como la proporcionalidad que existe entre

la fuerza y la deformación

El signo negativo nos indica que la fuerza del resorte se opone a la fuerza externa que lo está

estirando.

Si el resorte se estira más allá de su límite de elasticidad deja de obedecer la ley de Hooke.

4.1.4 Ley de amortiguamiento

Sean cuales sean los procesos físicos siempre existe alguna perdida, pues, no existe el

movimiento continuo, y en este caso se producen por el amortiguamiento de este movimiento

vibratorio armónico simple:

“El amortiguamiento se comporta como una fuerza proporcional a la velocidad, como lo son las

fuerzas de rozamiento con fluidos (aire, agua...) y por ello la fórmula es la misma. C es un

coeficiente de rozamiento viscoso.” iv

F=c*v = c*x'

4.2 Matemáticas

4.2.1 Ecuaciones Diferenciales

Las ecuaciones diferenciales se definen como “una ecuación que contiene derivadas o

diferenciales”v este tipo de ecuaciones se utilizan para modelar sistemas es los que está presente

el cambio, este cambio se representa con la derivada contenida en la ecuación.

El orden de una ecuación diferencial es el mismo que el orden máximo de las derivadas que

aparecen.

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El grado de una ecuación está dado por el máximo exponente que aparezca en la derivada

“Una solución de una ecuación diferencial de orden n en un intervalo I es una función definida

en dicho intervalo que puede derivarse al menos n veces y que, al sustituirse junto con sus

derivadas, satisface a la ED”vi

esto quiere decir que una vez que tenemos la solución a la

ecuación la derivamos el número de veces de la mayor derivada de la ecuación y sustituimos el

valor, si la ecuación se satisface la solución en correcta. Podemos encontrar entre tres tipos de

soluciones los cuales son:

o Solución general: la solución general de una ecuación diferencial de grado n dada

por F(x,y,y’,y’’,…,yn)=0 es una función ϕ=(x,C1,C2,…,Cn) que depende de n

constantes de modo que ϕ satisface la ecuación para todos los valores de las

constantes.

o Solución particular: una solución particular es la que se obtiene de la solución

general para valores concretos de las constantes. Una curva integral es la gráfica

de la solución particular

o Solución singular: es una función que satisface la ecuación diferencial y que no se

obtiene de la solución general.

Las condiciones iniciales son los valores que se tienen inicialmente cuando t = 0, estos valores

deberían conocerse si se busca una solución única. Normalmente se presentan con el subíndice 0,

por ejemplo: v0 es la velocidad inicial, m0 la masa inicial, T0 la temperatura inicial, etcétera.

4.2.2 Transformada de Laplace

La transformada de Laplace es un método por el cual se transforma una ecuación diferencial

(típicamente) para simplificarla.

La transformada de Laplace de una f(t) con t>0 es:

��� = � ���� ���!�∞

"vii

Para conseguir la transformada es más común usar tablas con fórmulas ya definidas de

transformadas comunes, simplificando mucho el método.

De esta manera también es fácil conseguir la transformada inversa.

La transformada es de uso muy común para resolver ecuaciones diferenciales difíciles, pues al

transformar la función, el problema solo recae en despejes algebraicos y regresar al dominio del

tiempo (transformada inversa de Laplace).

Ejemplo:

Tenemos la función

4e2− t

sin 4t( )

6

Aplicando la fórmula correspondiente, en este caso:

eat

sin kt( )k

s a−( )2

k2

+

Nos queda la transformada de Laplace que es:

16

s 2−( )2

16+

5. Enunciado del problema

Se tiene un sistema Masa-Resorte-Amortiguador con M=2, D=2 y K=5. A éste sistema se le

aplica una fuerza como la mostrada en la figura; considerando que X(0) = X’(0) = 0 determine:

a) El desplazamiento máximo en amplitud y en tiempo.

b) Número de ciclos del desplazamiento antes de llegar a cero, considerando cero el 5% de

la amplitud máxima.

c) Clasifique su sistema, es decir si es sobre, sub ó críticamente amortiguado.

d) Determine coeficiente de amortiguamiento, frecuencia angular (rad/seg), período y

frecuencia (CPS).

e) La posición para t=1 seg, t=3 seg y t=5 seg.

g t( ) 1 1 t≤ 2≤if

0 otherwise

:=f t( ) Φ t 1−( ) Φ t 2−( )−:=

1− 0 1 2 3

0.5−

0.5

1

1.5

1

f t( )

g t( )

1 2

t

7

f(0) = f'(0) = 0

2x'' + 2x' + 5x = u(t-1) - u(t-2)

Aplicamos Laplace a la ecuación inicial con la señal de entrada:

2[ x(s) + x(0) + x'(0)] + 2[ x(s) -x(0) ] +5[x(s)] =

Obtuvimos la siguiente expresión, factorizamos y despejamos para x(s)

2[ x(s)] + 2[ x(s)] +5[x(s)] =

Con los valores de masa, resorte y amortiguador obtuvimos la H(s)

H t( ) Es la transformada inversa de Laplace de

Aplicamos el escalón a H(t):

s2

s se

s−e

2− s−

s

s2

se

s−e

2− s−

s

x s( )e

s−e

2− s−

s 2s2

2s+ 5+( )

M 2:= D 2:= K 5:=

H s( )1

M sD

2M+

2K

M

D2

4M2

−

+

⋅

:=H s( )

1

2 s1

2+

2

⋅9

2+

→

H s( )

H1 t( ) H t( )Φ t( ):=

x s( ) 2s2

2s+ 5+( ) es−

e2− s−

s→

H t( )1

2 s1

2+

2

⋅9

2+

invlaplace

sin3 t⋅

2

e

t

2−

⋅

3→:=

8

Usamos la transformada inversa de Laplace e integramos x(s) para obtener x(t):

Representa una integral de la transformada inversa de Laplace

es−

e2− s−

2s2

2s+ 5+invlaplace

e

1

2

t

2−

sin3 t⋅

2

3

2−

⋅ Φ t 1−( )⋅

3

e

1t

2−

sin3 t⋅

23−

⋅ Φ t 2−( )⋅

3−→

X t( )

e

1

2

t

2−

sin3 t⋅

2

3

2−

⋅ Φ t 1−( )⋅

3

e

1t

2−

sin3 t⋅

23−

⋅ Φ t 2−( )⋅

3−:=

1

s

x t( )

0

t

τX τ( )⌠⌡

d:=

1− 0.182 1.364 2.545 3.727 4.909 6.091 7.273 8.455 9.636 10.818 12

0.1−

0.1

0.20.18766

0.20852

H1 t( )

x t( )

t

V t( )tx t( )

d

d:=

9

Revisamos que se cumplan las condiciones iniciales:

Un ciclo completo para la función senoidal se completa en 2π, por lo tanto, si la frecuencia de

nuestra función es 1.5 (como se demostrará más abajo), conseguimos cuando cumple un ciclo

esta función senoidal de la siguiente manera:

a) Usando "trace" obtuvimos los desplazamientos máximos (prácticos) de amplitud y tiempo:

Para

Para

b) 5% de la amplitud para:

Ciclos de h(t) =

c) Clasificación del sistema: Sub-amortiguado

d) Coeficiente de amortiguamiento, frecuencia angular, período y frecuencia.

Como se vio en el inciso C), el coeficiente de amortiguamiento es

Esta está dada en

Esta está en unidades de tiempo (segundos).

H t( ) Ampmax 0.20852 Tiempomax.aproximado 10.2

x t( ) Ampmax 0.18766 Tiempomax.aproximado 10

hamp t( ) 0.010426:= xamp t( ) 0.009383:=

10.2

Frecuencia2.435=

ξD

2 M⋅0.5=:=

ξ 0.5=

Frecuencia angularK

Mξ

2− 1.5=:=Rad

s

Periodo2π

Frecuenciaangular

4.189=:=

V 0( ) 0= x 0( ) 0=

Frecuencia2π

1.54.189=:=

10

Esta frecuencia se obtiene dividiendo la cantidad de ciclos en el tiempo que toma llegar a esos

ciclos. Sus unidades, por supuesto, son

Finalmente graficamos la velocidad:

Frecuencia ciclos2.435

10.20.239=:=

ciclos

s

e) Posición para t=1, 3 y 5 seg.

x 1( ) 0=

x 3( ) 0.118=

x 5( ) 0.047−=

11

6. Análisis de resultados

• Después del proceso de resolución del problema se llegó a una señal muy parecida a la

original, solo que amortiguada y con un período menor.

• Las condiciones iniciales se cumplen.

• Se trata de un sistema sub-amortiguado.

• Siendo un sistema sub-amortiguado, la oscilación que genera después de quitar la fuerza

es relativamente poca, pero si este sistema fuera usado en sistemas como automóviles

máquinas de producción en serie, esta oscilación sería muy mala para estabilizarla.

• A pesar de que la magnitud de la señal de entrada (Puerta, en este caso) fuese más grande

que 1, la amortiguación daría una gráfica muy parecida, sin variar mucho la cantidad de

ciclos que hace.

• Como lo dice la señal de entrada, la fuerza es aplicada en t = 1, por lo que x(t) comienza

en 1 y es impulsada durante 1 segundo, lo que provoca que en el tiempo mayor a 2

empiece a oscilar pero de manera amortiguada.

7. Conclusiones y observaciones

Como vimos en todo el desarrollo del problema, la función fue evolucionando desde lo más

simple (el planteamiento de una ecuación diferencial de 2o orden) a lo más complicado (la

resolución particular del sistema con una señal de entrada determinada). Esta es la forma más

fácil de resolver cualquier problema, pues es necesario comprenderlo en todo sentido para luego

agregar dificultad.

En este caso, primero definimos las leyes que usaríamos, como la 2a ley de Newton, para luego

dar pie a resolver nuestro problema de vibraciones mecánicas.

La primera parte sobre el planteamiento del problema se ve cómo será aplicada la señal de

entrada y la forma de la ecuación diferencial. Al experimentar con esta señal de entrada nos

dimos cuenta que mientras mayor sea la magnitud de la puerta, mayor será la amplitud de la

gráfica arrojada por la solución de la ecuación. Esto también aplica para magnitudes negativas.

El desarrollo del problema fue muy sencillo gracias a la transformada de Laplace, la cual se

puede hacer de varias maneras para este caso.

MathCad tiene un buen motor para transformar directamente e inversamente la ecuación, lo que

simplifica mucho las cosas. Sin embargo, optamos por usar las propiedades de las transformadas

para dejar un trabajo más simple y rápido para MathCad.

12

Obtuvimos la x(t), la respuesta particular, con una convolución de la h(t) con la señal de entrada.

Solo está planteada porque la evaluación simbólica de esta operación usa muchos recursos de

MathCad, necesitando mucho tiempo para procesar. Como podemos graficar sin necesidad de

evaluar simbólicamente, decidimos solo poner la gráfica. Esta gráfica arroja los datos necesarios

para obtener las respuestas al problema.

Para hacer más práctica la toma de datos, tomamos como el 0 absoluto un 5% del valor de la

amplitud normal. Gracias a esto, el tiempo de oscilación de las funciones no rebasa los 12

segundos (con estos valores de masa, resorte y amortiguador), lo cual es un tiempo un poco largo

para automóviles y otros medios de transporte, siendo este tipo de sistemas inconvenientes para

dichos vehículos.

Por último, al graficar la velocidad (es decir, la derivada de x(t)) nos percatamos sobre unas

discontinuidades de la función (las varias "rayas" en la gráfica sinusoidal de la velocidad). Esto

se debe a la repentina aplicación de una fuerza constante (la señal de entrada: una puerta) en el

sistema.

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8. Referencias Bibliográficas

iBeer, Ferdinand; Johnston, E. Russell, 2010, 9

a ed. Vector mechanics for engineers: Dynamic.

McGraw-Hill. iiFranklin Riley, William, 2005. Ingeniería mecánica: Dinámica. Reverté S.A.. España

iiiSilva, Anabelle, 2007. Ley de Hooke. Recuperado de:

http://fismat.uia.mx/fismat/PAGINA/HTML/Mec%C3%A1nica%20%C3%8Dndice/Mov

imiento%20arm%C3%B3nico%20simple%20en%20un%20resorte%20y%20la%20ley%

20de%20Hooke/Movimiento%20arm%C3%B3nico%20simple%20en%20un%20resorte

%20y%20la%20ley%20de%20Hooke.html iv

Pcpaudio. (s.f). Vibración, amortiguamiento y resonancia. Recuperado de:

http://www.pcpaudio.com/pcpfiles/doc_altavoces/amortiguamiento/amortiguamiento.html v, William, 2011. Cálculo diferencial e integral. México: Limusa

vi Soluciones a ecuaciones diferenciales, 2010, Recuperado de:

http://canek.uam.mx/Ecuaciones/Teoria/1.ConceptosBasicos/ImpSoluciones.pdf vii

Murray, 1994. 3ª ed. Ecuaciones diferenciales aplicadas. Prentice Hall