Equilibrio Estructuras Marcos y Maquinas

IntroducciónEQUILIBRIO DE CUERPOS

RÍGIDOS

INTRODUCCIÓN

Cuando un cuerpo está en equilibrio, el efecto de las fuerzas actuantes sobre el cuerpo debeser cero. Por lo tanto, la fuerza resultante y el momento resultante deben ser ambos cero:

�� = �� = 0�� = �� = 0

Estos requerimientos son ambos necesario para que un cuerpo esté en equilibrio

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

El diagrama de cuerpo libre el paso mas importante en la solución de problemas en mecánica

En este se debe definir el cuerpo a analizar con todas las fuerzas que actúen en el cuerpo.

1. Decidir el cuerpo o sistema que quiere aislarse.2. Seleccionar las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo, estas deben indicarse

sobre el diagrama de cuerpo libre. Estas son las acciones ejercidas por el suelo alcuerpo y por otros cuerpos que no se han considerado en el diagrama, también debeincluirse le peso, cuando es apreciable, en el centro de gravedad del cuerpo.

3. Fuerzas Externas Conocidas: Estas deben señalarse en el diagrama, considerando sumagnitud y dirección. Generalmente entre las fuerzas conocidas se tiene el peso yaquellas que se colocaron con algún propósito.

4. Fuerzas Externas Desconocidas: generalmente son las reacciones a través del suelo uotros cuerpos que se opongan a movimientos del cuerpo. Las reacciones obligan alcuerpo a quedarse en la misma posición.

5. El diagrama también puede debe incluir dimensiones puesto que son importantes parael calculo de los momentos de las fuerzas

DosdimensionesEQUILIBRIO

REACCIONES EN LOS PUNTO DE APOYO

Una fuerza con una línea de acción conocida:

Cable Corto Eslabón Corto

Impiden el movimiento en una dirección

Superficie no

rugosa

REACCIONES EN LOS PUNTO DE APOYO

Una fuerza de magnitud y dirección desconocida:Impiden movimiento todas las direcciones, pero permiten el giro

Pernos sin fricción,articulación o bisagra

Superficie rugosa∝

Reacciones equivalentes a una fuerza y un parSe oponen a cualquier movimiento, lo restringen por completo

Apoyo fijo

∝

EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO

�� = 0�� = 0�� = 0

Suma de momentos respecto a cualquier punto �

Condiciones necesarias y suficientes para que un cuerpo esté en equilibrio

Categorías de equilibrio1. Colineales

�� = 0

� ��

�� 2. Concurrentes

�� = 0�� = 0

��

��

��

��


�� = 0�� = 0�� = 0

Suma de momentos respecto a cualquier punto �

Condiciones necesarias y suficientes para que un cuerpo esté en equilibrio

Categorías de equilibrio

� 3. Paralelas

��

��

�

�� = 0 �� = 0

4. Caso general

� ��

��

�

��

�� = 0 �� = 0�� = 0


� �

� ��

�� = 0 �� = 0 �� = 0

Con las ecuaciones triviales se puede resolver el sistema:

Conestas ecuaciones se encuentra el valor de � y de � Finalmente, con esta se calcula lareacción en �

Las fuerzas en � y � impiden que se mueva la armadura, son restricciones

� �

� �

��

��

��

�

�

�


� �

� ��

� �

� �

��

��

��

�

�

�Las fuerzas en � y � impiden que se mueva la armadura, son restricciones

�� = 0 �� = 0 �� = 0

No se puede adicionar ninguna otra ecuación, pero si pueden ser remplazadas

�� = 0 �� = 0 �� = 0

Por lo tanto otros dos conjuntos de ecuaciones de equilibrio posibles pueden ser:

REACCIONES ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

� �

� ��

� �

� �

��

��

��

�

�

��

Mas incógnitas (�, �, � , �) que ecuaciones, se considera estáticamente indeterminadas

RESTRICCIONES PARCIALES

� �

� ��

� �

� �

� �

��

��

�

�

�

Menos incógnitas (�, �) que ecuaciones, se considera estáticamente indeterminadasLa estructura no está completamente restringida

RESTRICCIONES IMPROPIAS

� �

� ��

� �

� �

� �

��

��

�

�

�

El hecho de que el numero de incógnitas sea igual al numero de ecuaciones no garantiza queel cuerpo esté estáticamente determinado. Las restricciones en la figura no garantiza que laestructura no se mueva. Por otro lado solo existirían dos ecuaciones para determinar lasincógnitas (�, �, �) lo cuál haría estáticamente indeterminado el sistema.

��

EQUILIBRIO DE UN CUERPO SUJETO A DOS FUERZAS

Si un cuerpo sujeto a dos fuerzas está en equilibrio, entonces las dos fuerzas que actúan sobre

este deben tener la misma magnitud, la misma línea de acción y sentidos opuestos.

�

��

��

�� = 0 Para esto la línea de acción de �� debepasar por �

� ��

�� = 0Para esto la línea de acción de � debepasar por � . Por lo tanto las fuerzastienen la misma línea de acción

�

� ��

��

�� = 0�� = 0

Para que esto se cumpla las dos fuerzas debentener la misma magnitud y en sentidos opuestos

� ��

��

EQUILIBRIO DE UN CUERPO SUJETO A TRES FUERZAS

Si un cuerpo sujeto a tres fuerzas está en equilibrio, entonces las fuerzas que actúan sobre este

deben ser concurrentes o paralelas

�

��

�� Suponiendo a � y �� concurrentes en un punto �. Demodo que el cuerpo esté en equilibrio, el momento de ��debe ser cero con respecto al punto �, por lo cual la ��debe ser concurrente con las otras dos fuerzas.

�La única excepción para este caso, de presenta cuandolas fuerzas son paralelas.

El carro pesa 1400 !. determine la fuerza normal que ejerce cada llanta cuando este se encuentra en equilibrio

Un carpintero sostiene una tabla de 12#$como se muestra en la figura. Si él ejerce fuerzas verticales en la tabla, determine las fuerzas en � y �.

La tolva de cemento y su carga tienen una masa de 4 toneladas (1 tonelada es equivalente a 1000 !) con centro de gravedad en % y es elevada a una velocidad constante a lo largo de una línea vertical mediante la tensión del cable &. En el diseño se piden dos patines en �, uno a cada lado de la tolva, y otros dos en �. Determine la fuerza que soporta el pin � y el �.

TresDimensionesEQUILIBRIO

EQUILIBRIO EN TRES DIMENSIONES

�� = 0�� = 0

�� = 0 �� = 0

En el caso de tres dimensiones se deben cumplir las siguientes ecuaciones

�� = 0

�� = 0

Estas ecuaciones se pueden resolver para un máximo de seis incógnitas, las cuales songeneralmente las reacciones

De forma vectorial:

��' = 0 ��( = � )' × �' = 0

Si se igualan a cero las componentes unitarias de la sumatoria de fuerzas y de momentos seobtienen seis ecuaciones

EQUILIBRIO EN TRES DIMENSIONES

Categorías de equilibrio

�� = 0

�� = 0

�� = 0

1. Concurrentes en un punto

2. Concurrentes en una línea

�+

�

�� = 0 �� = 0 �� = 0

�� = 0

�� = 0

3. Paralelas�+

� �+

� �� = 0

�� = 0

�� = 0

4. General

�� = 0

�� = 0

�� = 0

�� = 0 �� = 0�� = 0

�+

�

REACCIONES EN LOS PUNTOS DE APOYO

Cable flexible con peso despreciable

Tensión de magnitud desconocida&en la dirección del cable

Un solo punto de contacto y superficie lisa

Fuerza , de magnitud desconocidanormal a la superficie

Rodillo sobre superficie rugosa o

rueda sobre riel

Fuerza , de magnitud desconocidaen dirección normal a la superficie yuna fuerza � en dirección el eje delrodillo


Rotula (bola y cuenca)

Una fuerza desconocida -

Superficie rugosa con un punto de

contacto

Una fuerza , de magnituddesconocida normal a la superficie yuna fuerza desconocida de fricción �en el plano de la superficie

Bisagra y cojinete que soportan

sólo carga radial

Una fuerza - de magnituddesconocida normal al eje delcojinete o bisagra


Bisagra y cojinete que

soportan carga axial

Junta universal

Apoyo fijo

Fuerza desconocida - y momento Cde magnitudes desconocidas dirigidoen sentido del eje de la junta

Una fuerza desconocida -

Una fuerza desconocida - y

momento desconocido �'

Determine la tensión en los cables ��, ��, y ��.

Una fuerza vertical . se aplica en el pedal de modo que se produzca una tensión & en el rodillo vertical de control. Determine las reacciones en los rodamientos � y �.

Determine la tensión &�/ y &01 en los cables de soporte que se generan debido a la tensión de 1.2 ,del cable ��. Suponga que no se generan momentos en la base del poste � en el eje � y �, pero que si existe respecto en el eje +.

Determine la fuerza que actua en los ejes de cada barra. El bloque de cemento pesa1000N.

Los cables AB, AC, y AD soportan la carga de 100 Kg, el cable AB, se encuentra sobre el eje x y posee un resorte de constante elástica k=1.5 kN/m. Determine la tensión en cada cable, de modo que se soporte la carga de 100 Kg, al igual que la deformación del resorte en el cable AB.

Un hombre se para al final del trampolín, el cual es soportado por los dos resortes A y B.Cada uno tiene una rigidez k= 15 kN/m. En la posición que se muestra el trampolín seencuentra horizontal. Si el hombre tiene una masa de 40 kg, determine el ángulo deinclinación que el trampolín forma con la horizontal después que él salta del mismo.Desprecie el peso del trampolín y supóngalo rígido. La distancia entre los resortes es de 1m

La puerta uniforme de 30 por 40 34 pesa 200 #$ y se sostiene en posición abierta mediantela barra AB en un ángulo de 5 = tan9 :4/3=. Calcule la fuerza de compresión �> en labarra y la fuerza que soporta la bisagra �en dirección normal a la bisagra. Suponga quelas bisagras actúan en los extremos del borde inferior.

ESTRUCTURAS

INTRODUCCIÓN

El equilibrio en estructuras formadas porvarias partes conectadas entre sí, además deanalizarse las fuerzas externas a estas,también se calculan las fuerzas que mantienenunidas las partes que la componen. Las cuales,viendo la estructura como un todo, sedenominan fuerzas internas.

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ArmadurasPlanas (2D)ESTRUCTURAS

DEFINICIÓN

Esta compuesto por elementos que se conectan solo en sus extremos mediante nodos paraforma una estructura rígida.

��

�

�

.

Los elementos de la armadura son por logeneral delgados y solo soportan cargaslaterales, las cuales deben estar aplicadas enlos nodos y no sobre los elementos.

Cuando se tengan cargas distribuidas, porejemplo en un puente, se deberá colocar unaespecie de piso que mediante travesaños ylargueros se transmita la carga a los nodos.

Cada elemento debe tratarse comoun cuerpo sometido a dos fuerzas,una en cada nodo

Imagen modificada de: http://www.in.gov/dnr/historic/3716.htm

ARMADURAS SIMPLES

La forma básica de la armadura es el triangulo. Tres barras unidas por pines en sus extremos,lo cual forma un marco que no se colapsa.

� �

� �

Se deforma ante la aplicación deuna fuerza

La única posibilidad para que sedeforme es que se presentecambios de longitud en suselementosArmadura rígida, sus elementosno colapsaran

� �

�

ARMADURAS SIMPLES

Se pueden agregar otros dos elementos a la armadura básica. Este procedimiento se puederepetir tantas veces como se desee, al final, se tendrá una armadura rígida, llamadaarmadura simple.

� �

�

��

� Cada vez que se agreguen doselementos, se deben unir a dos nodos yaexistentes, y además entre sí por otronuevo nodo (estos nodos no deben sercolineales).

Una armadura simple no tiene que estarformada necesariamente por triángulos. Yuna armadura rígida no necesariamentetiene que ser simple.

ARMADURAS SIMPLES

� �

�

��

�

Si se tiene presente que cada vez que se agregan dos nuevos elementos el numero de nodosaumenta en uno, entonces para una armadura simple el numero de elementos se define como:

? = 24 − 3

Donde 4 es el numero de nodos que se tiene.

La condición anterior es necesaria pero nosuficiente, pues un elemento ? puede estardispuesto de tal manera que no contribuyacon la estabilidad de la estructura.

CONDICIONES DE LA ARMADURA

Si los elementos están soldados en las conexiones, se asume que la conexión es pinada silas líneas de centro de los elementos son concurrentes en un punto.

También se asume que todas las cargas estánaplicadas sobre las conexiones pinadas

MÉTODO DE LOS NODOS

Este método encuentra las fuerzas en los miembros de la estructura, al satisfacer lascondiciones de equilibrio en cada nodo. En otras palabras, emplea el equilibrio de fuerzasconcurrentes.

��

�

� %

.


1. Diagrama de cuerpo libre de toda la armadura Determinar las reacciones en los apoyos.

��

�

� %

.-� -A

�� = 0 �� = 0 �� = 0

2. Selección del primer nodo Se puede empezar un nodo donde al menos una fuerza seaconocida y donde no hayan mas de dos fuerzas desconocidas

�-�

Análisis del punto �

��1

��

Si determinar la condición de los elementos (si están a tensión oa compresión), se suponen los elementos a tensión, luego si alrealizar los cálculos estos alguno da «negativo», entonces elelementos estará a compresión.

�

�


3. Encontrar otro nodo donde haya al menos una fuerza conocida

B.

C.

D. E. F.

G.

-� -A��

��1

��1��1

��1

�10 �10

��0�� A

��0

��0��0

��A

�A0

�A0

.

4. Repetir el procedimiento hasta que se hayan encontrado las fuerzas en todos los nodos

REDUNDANCIA DE RESTRICCIONES

Si existen mas restricciones externos que los necesarios para asegurar la estabilidad, entoncesla estructura como un todo es estáticamente indeterminada, y los soportes extra se denominanredundancia externa.

Si una estructura posee mas miembros internos que los necesarios para prevenir el colapso,entonces los miembros extra son redundancia interna y la estructura también será estáticamenteindeterminada.

Para una estructura que es estáticamente determinada externamente, existe una relacióndefinida de el numero de elementos y nodos necesarios para evitar la redundancia interna.El equilibrio de un nodo puede especificarse mediante dos ecuaciones, por lo tanto para cada24 ecuaciones deberán haber 4 nodos. Por otro lado, para toda la estructura compuesta por? elementos de dos fuerzas y teniendo el máximo de 3 incógnitas externas debido areacciones, por lo tanto habrán ? + 3 incógnitas (? tensiones y tres reacciones).

Por lo tanto, para que la armadura sea estáticamente determinada par toda armadura planase debe satisfacer:

? + 3 = 24 Donde ?: ,J?K)LMKK#K?K4NLO4: ,J?K)LMK4LMLO

CONDICIONES ESPECIALES DE CARGA

Si en un nodo se conectan cuatroelementos sobre dos líneas rectas quese intersecan el polígono de fuerzasdebe se un paralelogramo y lasfuerzas de los elementos opuestosdeben ser iguales

�

�

��

��

��

��A��/

.En este caso las fuerzas de loselementos AB y AD (elementosopuestos) deben ser iguales, y la delelemento AC debe ser igual a P

�

�

�� = ��A�� = .

.

��A

��

CONDICIONES ESPECIALES DE CARGA

Cuando se retira la fuerza P, elelemento AC debe ser un elemento de

fuerza cero�

�

��

��A

�� = ��A�� = 0

�

�

�

En un nodo que conecta a doselementos solo actúan dos fuerzas.Para que este en equilibrio estasdeben tener la misma línea de acción,y magnitud pero en sentidos opuestos.

��A

�

��

En este caso, para que el perno � este en equilibroambos elementos �� y �� deben ser de fuerza cero

MÉTODO DE LAS SECCIONES

Se puede calcular la fuerza en cualquier elemento al seleccionar una sección donde se corte elelemento que se quiere analizar. Por lo tanto, no es necesario calcular nodo a nodo hastallegar al elemento en cuestión. Seleccionando la sección de la estructura, donde no se cortenmas de tres miembros con fuerza desconocida, pues sólo se tienen tres ecuaciones deequilibrio.

��

�

� %

.


1. Diagrama de cuerpo libre de toda la armadura

��

�

� %

.-� -A

�� = 0 �� = 0 �� = 0

Supongamos que se quiere determinar la fuerza delelemento �%. Se corta la armadura donde se corten treselementos de fuerza desconocida, entre ellos el elemento�%

2. Punto de corte de la armadura:

��

�

� %

.-� -A

-�


De modo que la sección permanezca en equilibrio es necesarioaplicar a cada miembro cortado la fuerza que le ejercería sootra parte.

3. Aplicación de las fuerzas:

��

�

.-��

�

%

-A

Para estructuras simples se tienen elementos de dos fuerzas, ya sea de compresión o detracción, en la dirección del elemento.

�10��0

��

��

�10

Se selecciona uno de los dos lados para realizar los cálculos.


Se aplican las ecuaciones de equilibrio a cualquiera de lassecciones obtenidas, tratándola como un solo cuerpo enequilibrio, el resultado el final debe ser el mismo

4. Calculo de las incógnitas:

��

%

-A��

��

�10

��

�

.-�

�10��0

��

�� = 0

�� = 0

�� = 0

�� = 0

�� = 0

�� = 0

Determine la fuerza en cada elemento de la estructura.

Determine la fuerza en el elemento D%

Estructurasespaciales(3D)

ESTRUCTURAS

ESTRUCTURAS ESPACIALES SIMPLES

Una armadura rígida en el espacio esta constituida por seiselementos unidos en sus extremos para formar un tetraedro��.

��

�

�Si se agregan tres elementos ��y��a tres nodos deesta armadura y se conectan a un nuevo nodo se puedeobtener una armadura rígida mas grande, la cual se definecomo una estructura simple en el espacio (los cuatro nodos nodeben estar en el mismo plano).

��

�

�

�

En este caso en numero de elementos ? estadefinido como:

? = 34 − 6

Donde 4 es el numero de nodos.

ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

Cuando una estructura es estáticamente determinada externamente (considerando laestructura como un todo), existe una relación entre le numero de nodos y el numero deelementos para que no exista redundancia interna.

Debido a que cada nodo tiene tres ecuaciones de equilibrio, entonces habrán 3R ecuacionesde este tipo paraRnodos. Para la estructura compuesta por ? elementos y considerando 6incógnitas de reacciones (para el caso general de una estructura estáticamente determinada),se debe cumplir que S+ G = Dn de modo que la estructura pueda ser estáticamentedeterminada internamente.

La condición anterior es necesaria pero no suficiente, pues un elemento ? puede estardispuesto de tal manera que no contribuya con la estabilidad de la estructura.


El método de los nodos de una armadura puede extenderse a una armadura espacialsatisfaciendo las siguientes ecuaciones para cada nodo:

�� = 0 �� = 0 �� = 0


El método de las secciones de una armadura plana puede aplicarse a una estructura en elespacio. Para esto se deben resolver 6 ecuaciones para la sección de la estructura:

�� = 0 �� = 0 �� = 0

�� = 0 �� = 0 �� = 0

En este caso no deben existir mas de 6 fuerzas desconocidas

MARCOS Y MAQUINAS

MARCOS Y MAQUINAS

Las estructuras llamadas marcos o maquinas son aquellas donde al menos uno de suselementos esta sometido a la acción de fuerzas múltiples, es decir un elemento sobre el cualactúan tres o mas fuerzas. Las cargas en estos miembros no están dirigidas a lo largo deestos, por lo cual no se pueden analizar por los métodos con los cuales se analizan lasestructuras.Marcos: Están diseñados para soportar cargas y son estructuras estacionarias.

Máquinas: Están diseñadas para transmitir y modificar fuerzas; estas pueden o no serestacionarias y siempre tendrán partes móviles. Estas pueden ser herramientassimples o mecanismos complejos, pues el propósito principal es transformar unafuerza de entrada en una de salida.−.

.

−T

T

−.

. −T

T

−.−T

�

�

.

�

� T

CUERPOS RÍGIDOS INTERCONECTADOS

En estos casos se analiza el equilibrio de varios cuerpos rígidos interconectados sometidos amúltiples fuerzas. Para esto, se aísla cada miembro mediante un diagrama de cuerpo libre,posteriormente se aplican las ecuaciones de equilibrio.

Principio de acción y reacción:

Este deberá tenerse en cuenta para mostrar la interacción entre los diferentes elementoscuando se representen las fuerzas en los diferentes diagramas de cuerpo libre.

Indeterminación estática

Al igual que en las estructuras, si el marco contiene mas elementos o soportes (reacciones) quelos necesarios para prevenir que colapse, se consideran como estáticamente indeterminadas.


1. Establecer las cargas externas:Se calculan las reacciones y cargas externas del armazón considerándola como un solocuerpo rígido.

�

��

�

� �

�

��

�

� �

.

.

�

� �


2. Establecer las cargas internas:Desmembrar la estructura y considerar en equilibrio cada parte por separado.

�

� ��

� �

.

�

� �

�

��

�

��

��

��

��

��

�� = 0 �� = 0 �� = 0

Se aplican las ecuaciones para cada elementoconsiderando la ley de acción y reacción

�

� �

� �

.T


3. En caso que falten cargas de reacciónSe podrá completar las reacciones cuando se hayan determinado todas las cargas internas

�

� �

� �

.

�

� �

�

�

�

� ��

�

�

��

��

�

�� = 0

�� = 0

�� = 0

T

.T

Equilibrio Estructuras Marcos y Maquinas

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