TEMA 4.2. EQUILIBRIO DE LA PARTICULA EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO.

SUBTEMA 4.2.1. EQUILIBRIO DE LA PARTICULA EN EL PLANO.

Primera condición del equilibrio (traslacional).

“Un cuerpo se encuentra en equilibrio traslacional si y solo si la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre el es igual a cero”. Cuyas ecuaciones son las siguientes:

ΣFx= 0 y ΣFy= 0.

Segunda condición del equilibrio (rotacional).

Para que un cuerpo esté en equilibrio de rotación, la suma de los momentos o torcas de las fuerzas que actúan sobre él respecto a cualquier punto debe ser igual a cero”. Matemáticamente esta ley se expresa con la ecuación:

ΣM=0. ΣM= M1 + M2 + M3 + … Mn= 0.Στ =0. Στ = τ1 + τ2 + τ3 + … τn = 0.

PRIMERA LEY DE NEWTON: Ley de la inercia

“Todos los cuerpos tienden a permanecer en el estado de movimiento que tienen a menos que una causa externa (fuerza) altere dicha condición” En forma general si un cuerpo está en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme, “querrá” seguir en ese estado a menos que una fuerza externa se aplique a ese cuerpo y le haga cambiar esta condición de reposo o movimiento.

TERCERA LEY DE NEWTON. Ley de acción y reacción

“Si un cuerpo ejerce una fuerza sobre un segundo cuerpo, éste ejercerá a su vez una fuerza sobre el primero de igual magnitud pero de sentido contrario”

CONCEPTO DE DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

a) Hacer un dibujo que represente claramente el problema que se desea resolver (solo si no se proporciona la figura, si aparece, siga con el paso B).

b)  Construye un diagrama de cuerpo libre sustituyendo por medio de fuerzas todo aquel efecto que recibe el cuerpo, provocado por su contacto con otros cuerpos o por la fuerza gravitacional y que originan que se encuentren en equilibrio. Indique la magnitud, dirección y sentido de las fuerzas conocidas. Use símbolos para señalar las cantidades que se desconocen.

c) Haga un sistema de referencia utilizando ejes rectangulares y coloque al cuerpo en equilibrio en el origen del sistema de coordenadas.

d) Aplique las ecuaciones de equilibrio que necesite para encontrar las respuestas a las incógnitas buscadas.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA PRIMERA CONDICION DEL EQUILIBRIO.

La resolución de problemas en las cuales se utiliza la primera condición del equilibrio (traslacional), es el procedimiento inverso al cálculo del vector resultante, por el método analítico (Teorema de Pitágoras), ya que en este tipo de problemas, se asume de antemano que la resultante es igual a cero, es decir, ahora de lo que se trata es hallar la magnitud de las fuerzas o vectores que mantienen a un cuerpo en equilibrio.

En estos problemas, se hace uso de igual forma de las funciones trigonométricas coseno, para las componentes X de las fuerzas o vectores y el seno, para las componentes, en ocasiones también se usa la función tangente si se desconoce el ángulo o ángulos con los cuales se aplican las fuerzas. Mediante una serie de despejes y sustitución de valores en las ecuaciones que se obtengan, se hallan los valores de las fuerzas o vectores. Los signos de las X y las Y en los cuadrantes, de igual forma se deben de tener en cuenta, para obtener los resultados correctos como se observan en los siguientes ejercicios.

1.- Una pelota de 100 N suspendida de un cordel es tirada hacia un lado por otro cordel B y mantenida de tal forma que el cordel A forme un ángulo de 30° con la pared vertical. Dibuje el diagrama de cuerpo libre y encuéntrese las tensiones en los cordeles A y B de acuerdo a la siguiente figura.

100 N

A

BΘ= 30°

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE.

B

A

W = 100 N

Θ= 60°

X

Y

En el diagrama de cuerpo libre que la cuerda A, forma un ángulo de 60° con el eje X, en el segundo cuadrante, esto se sustenta en el teorema sobre triángulos que dice que “En un triángulo, la suma de los ángulos internos es igual a 180°”, si la cuerda A, forma con la pared vertical, un ángulo de 30°, la pared forma con el eje X, un ángulo de 90°, entonces, la cuerda A, forma un ángulo de 60° con el eje X.

Cuadro de fuerzas.

F θ comp. X comp. Y A 60° - A cos 60° A sen 60° B 0° B 0 W 0° 0 -100 N ΣFx =- A cos60°+ B = 0 ΣFy = A sen 60°-100 N = 0Pasando - A cos60° del otro lado de la igualdad con diferente signo:ΣFx = B = A cos60° ΣFx = B = A (0.5). Como desconocemos A y B, esta última

expresión queda como la ecuación 1.Pasamos del otro lado de la igualdad el peso de 100 N, con diferente signo:ΣFy = A sen 60° = 100 N. ΣFy = A (0.8660) = 100 N. De esta última expresión podemos despejar A, pasando el valor de 0.8660,

dividiendo al peso de 100 N:A = 100 N = 115.47 Newtons. 0.8660Ahora regresamos a la ecuación 1: B = A (0.5). Y sustituimos el valor de A para

hallar B tenemos: B = 115.47 N x 0.5 = 57.73 Newtons.Entonces los valores de A = 115.47 Newtons. Y B = 57.73 Newtons.

2.- Dos cuerdas T1 y T2, sostienen un objeto cuyo peso es de 500 N, como se ve en la figura siguiente, elaborar el diagrama de cuerpo libre y hallar las tensiones de las cuerdas T1 y T2.

500 N

40°

T1T2

Diagrama de cuerpo libre.

40°

T1

X

Y

T2

W = 500 N

Como observamos en el diagrama de cuerpo libre, la cuerda T1, forma un ángulo de 40°, respecto al eje X en el primer cuadrante, esto es debido a que es un ángulo alterno interno, respecto al ángulo que forma T1, respecto al techo, la cuerda T2, está en forma horizontal sobre el eje X, entre el segundo y tercer cuadrantes, y el peso W, se encuentra sobre el eje Y, hacia abajo entre el tercer y cuarto cuadrantes.

Cuadro de fuerzas.

F θ Comp. X Comp. Y T1 40° T1 cos 40° T1 sen 40° T2 0° - T2 0 W 0° -500 N ΣFx =T1 cos 40°- T2 =0 ΣFy= T1 sen 40°-500 N = 0.

Pasamos T2 del otro lado de la igualdad con signo positivo: ΣFx = T1 cos40° = T2. ΣFx = T1 (0.7660) = T2. Como desconocemos T1 y T2, esta última expresión queda provisionalmente como la ecuación 1. De la ΣFy, pasamos el peso del otro lado de la igualdad, con signo positivo: ΣFy= T1 sen 40° = 500 N. Ahora sacamos el seno de 40° : ΣFy= T1 (0.6427) = 500 N. Despejando el valor de T1, tenemos: T1 = 500 N = 778 Newtons.

0.6427 Ahora regresamos a la ecuación a la ecuación 1, T1 (0.7660) = T2. y sustituimos el valor de T1, para hallar T2, tenemos: T2 = 778 N x 0.7660 = 596 Newtons. Las tensiones son entonces: T1 = 778 Newtons. Y T2 = 596 Newtons.

3.- Un cuerpo cuyo peso es de 500 N está suspendido de una armadura como se ve en la figura. Determinar el valor de la tensión de la cuerda y el empuje de la barra.

Esquema y diagrama de cuerpo libre.

T

E

35°

500 N

E

T

Tx

T y

35°

Cuadro de fuerzas.

F θ comp. X comp. Y T 35° -T cos 35° T sen 35° E 0° E 0 W 0° 0 -500 N

ΣFx = -T cos 35° + E = 0 ΣFy =T sen 35°- 500 N = 0.De la ΣFx, pasamos -T cos 35°, del otro lado de la igualdad con signo positivo:ΣFx = E = T cos 35°. Ahora sacamos el coseno de 35°. E = T (0.8191). Como

desconocemos E y T, esta última expresión queda provisionalmente como la ecuación 1. Ahora de la ΣFy, pasamos el peso del otro lado de la igualdad con signo positivo:

ΣFy = T sen 35° = 500 N. Ahora sacamos el seno de 35°.T (0.5735) = 500 N. Despejando T, tenemos: T = 500 N = 871. 68 Newtons. 0.5735Ahora regresamos a la ecuación 1 para hallar el valor del Empuje E, y sustituyendo el

valor de T, tenemos:E = 871.68 N x 0.8191 = 714.08 Newtons .Entonces los resultados son:T = 871. 68 Newtons. Y E = 714.08 Newtons.

Como el cuerpo está en equilibrio: ΣFx = 0 = E + (-Tx) ΣFy = 0 = Ty + (-P) Sustitución: ΣFx = E – T cos 35°= 0 E = T cos 35°. ΣFy = T sen 35°- P = 0 T sen 35° = P T = P_____ = 500 N = 871.68 N sen 35° 0.5736 Sustituyendo el valor de la tensión para encontrar el del empuje

tenemos: E = T cos 35° = 871.68 N x 0.8192 = 714.08 N.

4.- Calcular el ángulo, la tensión y el empuje de la siguiente armadura:

T

E

θ= ¿

900 N

E

T

Tx

T y

θ= ¿

3 m

5 m

Solución: Primero debemos hallar el ángulo que forma la tensión T con el eje x: Vemos que la componente Y, del triángulo rectángulo es de 3 metros y la componente X, es de 5 metros, por lo cual vienen siendo los catetos opuesto y adyacente del ángulo en cuestión por lo cual se puede utilizar la función trigonométrica tangente: (cateto opuesto entre adyacente):

tan θ= 3 m = 0.6 . θ = tan-1 0.6 = 31°. 5 m Una vez hallado el ángulo ya podemos hallar la

tensión y el empuje.

Cuadro de fuerzas.

F θ comp. X comp. Y T 31° -T cos 31° T sen 31° E 0° E 0 W 0° 0 -900 N

Fx = -T cos 31° + E = 0 ΣFy =T sen 31°- 900 N =0

De la ΣFx, pasamos -T cos 31° del otro lado de la igualdad con signo positivo. ΣFx = E = T cos 31° , ahora sacamos el coseno de 31° . E = T (0.8571). Como

desconocemos E y T, ésta última expresión queda como la ecuación 1. Ahora de la ΣFy, pasamos el peso del otro lado de la igualdad con signo positivo: ΣFy = T sen 31° = 900 N. Ahora se saca el seno de 31°. ΣFy = T (0.5150) = 900 N. De esta expresión despejamos la tensión T.

T = 900 N = 1747.57 Newtons. 0.5150 Ahora regresamos a la ecuación 1, para hallar el valor del empuje E: E = 1747.57 N x 0.8571 = 1498.02 Newtons. Entonces los resultados son: θ = 31°, T = 1747.57 N, E = 1498.02 N.

5.- Encontrar las tensiones de las cuerdas T1 y T2 de la figura siguiente que soportan un peso de 300 N.

300 N

34° 56°

T1T2

Diagrama de cuerpo libre.

X

Y

T1

56°34°

W = 300 N

Cuadro de fuerzas.

F θ comp. X comp. Y T1 56° T1cos 56° T1 sen 56° T2 34° -T2 cos 34° T2 sen 34° W 0° 0 -300 N ΣFx = T1cos 56°-T2 cos 34° = 0. ΣFy =T1 sen 56° + T2 sen 34°-300 N = 0. De la ΣFx, pasamos T2 cos 34°, del otro lado de la igualdad con signo positivo: ΣFx = T1cos 56° = T2 cos 34°. Ahora sacamos los cosenos de los ángulos: ΣFx = T1 x 0.5591 = T2 x 0.8290. Ahora despejamos T1, para expresarlo en relación a T2 en una sola

cantidad: T1 = 0.8290 T2 0.5591 T1 = 1.4827 T2. Ecuación 1. Como desconocemos T1 y T2, esta última expresión queda provisionalmente

como la ecuación 1. Seguimos con la sumatoria de fuerzas Y. Primero pasamos el peso del otro lado de la igualdad con signo positivo: ΣFy =T1 sen 56° + T2 sen 34° = 300 N. Ahora sacamos los senos de los ángulos: ΣFy = T1 (0.8290) + T2 (0.5591) = 300 N. Ahora, sustituimos el valor de T1, obtenida en la ecuación 1: ΣFy = 1.4827 T2 (0.8290) + T2 (0.5591) = 300 N. Se realizan las multiplicaciones: ΣFy = T2 (1.2291) + T2 (0.5591) = 300 N.

Dado que las dos cantidades tienen como factor común a T2, entonces se pueden sumar: ΣFy = T2 (1.7882) = 300 N. Ahora despejamos a T2: T2 = 300 N = 167.76 newtons. 1.7882 Ahora regresamos a la ecuación 1, para hallar el valor de T1: T1 = 1.4827 x 167.76 N = 248.73 newtons. Entonces los valores de T1 = 167.76 N y T2 = 248.73 N.

6.- Un tanque de acero debe colocarse en la fosa mostrada en la figura de abajo. Sabiendo que α = 20°, determínese la magnitud de la fuerza P requerida si la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en A debe de ser vertical.

Diagrama de cuerpo libre.

X

Y

α= 20°

P = ?

425 lb

30°

R

Cuadro de fuerzas.

F θ comp X comp. Y P 20° P cos 20° P sen 20° 425 lb 30° - 425 cos 30° 425 sen 30° ΣFx = P cos 20° - 425 cos 30° = 0. ΣFy = P sen 20° + 425 sen 30° = 0. ΣFx = P cos 20° = 425 cos 30°. ΣFx = P (0.9396) = 425 (0.8660). ΣFx = P (0.9396) = 368 lb. Despejando P

tenemos: P = 368 lb = 391.7 lb. 0.9396

7.- Dos cables se amarran juntos en C y se cargan como se muestra en la figura. Determínese la tensión en el cable AC.

Diagrama de cuerpo libre.

X

YTAC

50°30°

500 N

TBC

Cuadro de fuerzas.

F θ comp. X comp. Y TAC 50° TAC cos 50° TAC sen 50° TBC 30° - TBC cos 30° TBC sen 30° W 0° 0 - 500 N ΣFx = TAC cos 50° - TBC cos 30° = 0. ΣFx = TAC cos 50° = TBC cos 30°. ΣFx = TAC (0.6427) = TBC (0.8660). Despejando

TAC tenemos: TAC = TBC 0.8660. = TAC = TBC 1.3474 ec. 1. 0.6427

ΣFy = TAC sen 50° + TBC sen 30° - 500 N = 0. Pasando el peso del otro lado de la igualdad con signo positivo: ΣFy = TAC sen 50° + TBC sen 30°= 500 N. Sacando los senos de los ángulos: ΣFy = TAC (0.7660) + TBC (0.5) = 500 N Sustituyendo el valor de TAC de la ecuación 1, tenemos: ΣFy = TAC (0.7660) + TBC (0.5) = 500 N ΣFy = TBC (1.3474) (0.7660) + TBC (0.5) = 500 N. Efectuando la multiplicación: ΣFy = TBC (1.0321) + TBC (0.5) = 500 N. Como TBC es un factor común a

ambas cantidades, estas se pueden sumar: ΣFy = TBC ( 1.5321) = 500 N. Despejando el valor de TBC tenemos: TBC =

500 N = 326.34 Newtons. 1.5321 Para encontrar el valor de TAC regresamos a la ecuación 1: TAC = TBC 1.3474 TAC = 326.34 N x 1.3474 = 439.7 Newtons.

8.- La vista desde el helicóptero en la figura de abajo muestra a dos personas que jalan a una obstinada mula. Encuentre la fuerza que una tercera persona tendría que ejercer sobre la mula para hacer la fuerza resultante igual a cero. Las fuerzas se miden en Newtons.

Diagrama de cuerpo libre.

60°

F1 = 120 N

75°

F2 = 80 N

R

X

Y

Cuadro de fuerzas.

F θ comp X comp. Y F1 60° 120 N cos 60° 120 N sen 60° F2 75° - 80 N cos 75° 80 N sen 75° R 0° 0 0. ΣFx = 120 N cos 60°- 80 N cos 75°. ΣFx = 120 x 0.5 - 80 N x 0.2588 ΣFx = 60 N – 20.70 N = 39.3 N i componente en x. ΣFy = 120 N sen 60°+ 80 N sen 75°. ΣFy = 120 N (0.8660) + 80 N (0.9659) ΣFy = 103.92 N + 77.27 = 181.19 N j componente en y. Este problema se resolvió en una

forma diferente a los 7 primeros, lo que se hizo, fue hallar las componentes de la resultante de las dos fuerzas que ejercen las dos personas, en este caso 39.3 N y

181.19 N, pero como lo que se pide en el problema es la fuerza que ejercería una tercera persona para que la fuerza resultante sea cero, entonces la respuesta del ejercicio es:

R = - 39. 3 N i (componente en X) y – 181.19 N j (componente en Y). Expresado en las componentes rectangulares de la fuerza. Recordando que el vector equilibrante es de la misma magnitud, y dirección que la fuerza resultante, pero de sentido contrario.