Equilibrio de Cuerpos Rígidos «centros de gravedad ... · Cuando la densidad del material es...

Estática

Equilibrio de Cuerpos Rígidos –

«centros de gravedad»

«centroide»

«áreas compuestas»

Se define como el punto de un cuerpo rígido donde se puede considerar que

está ubicado todo el peso del cuerpo (para estudios estáticos o dinámicos de

cuerpo rígido).

Estática

Equilibrio de Cuerpos Rígidos – «centros de gravedad»

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Cuando la densidad del material es constante, el centro de gravedad está

ubicado en el centroide de la figura. Si un cuerpo tiene planos de simetría, el

centroide se encuentra en estos planos.

Estática


Se define como el punto de un cuerpo rígido donde se puede ubicar todo el

peso del cuerpo para estudios estáticos o dinámicos del cuerpo.


Estática

peso, 𝑊 = σ∆𝑤

=𝜌𝑖 ∙ 𝑔𝑖 ∙ ∆𝑣𝑜𝑙𝑖

= න𝐶𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜

𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑑 𝑣𝑜𝑙

= 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑉𝑂𝐿

𝑊

∆𝑤 = 𝜌𝑖 ∙ 𝑔𝑖 ∙ ∆𝑣𝑜𝑙𝑖

𝒑𝒆𝒔𝒐 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑

𝒑𝒆𝒔𝒐 = (𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑. 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛) ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑

𝑊



Estática


Momento de todas las fuerzas= Momento del peso

∆𝑴𝒊 = 𝑀

𝑀

𝑥𝑖 ∙ ∆𝑤𝑖 = ҧ𝑥 ∙ 𝑊

σ 𝑥𝑖 ∙ ∆𝑤𝑖

𝑊= ҧ𝑥

𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 𝑥𝑖 ∙ 𝑑𝑤𝑖

𝑊= ҧ𝑥

𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 𝑦𝑖 ∙ 𝑑𝑤𝑖

𝑊= ത𝑦

Y

Xҧ𝑥

Y

X𝑥𝒊

∆𝑴𝒊

𝑀 = ҧ𝑥 ∙ 𝑊∆𝑴𝒊= 𝑥𝑖 ∙ ∆𝑤𝑖



Estática


𝑀

𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 𝑥𝑖 ∙ 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑑(∆𝑉)𝑖

𝜌 ∙ 𝑔. V= ҧ𝑥

Y

Xҧ𝑥

𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 𝑥𝑖 ∙ 𝑑𝑤𝑖

𝑊= ҧ𝑥

𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 𝑥𝑖 ∙ 𝑑(𝑉)𝑖

V= ҧ𝑥

𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 𝑥𝑖 ∙ 𝑒𝑠𝑝. 𝑑(𝐴)𝑖

𝑒𝑠𝑝. 𝐴= ҧ𝑥

𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 𝑥𝑖 ∙ 𝑑(𝐴)𝑖

𝐴= ҧ𝑥

𝑊

Si g y ρ son constantes

Si se trata de una lámina de espesor constante


ubicado en el centroide de la figura. Si un cuerpo tiene planos de simetría,

el centro de gravedad se encuentra en estos planos.

Estática


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ubicado en el centroide de la figura. Si un cuerpo tiene planos de simetría,

el centro de gravedad se encuentra en estos planos.

Estática


El centroide de un cuerpo se especifica con respecto a un eje de referencia

dado.

Estática

Equilibrio de Cuerpos Rígidos – «centroide»

Lámina rectangular de

espesor constante, t y

densidad constante, 𝝆

ҧ𝑥 = 𝑥0 +𝑏

2

peso, 𝑊 = 𝑀 ∙ 𝑔

Volumen, V= 𝑏 ∙ 𝑎 ∙ 𝑡

Masa, M= 𝜌 ∙ 𝑉

ത𝑦 = 𝑦0 +𝑎

2

b

a

Y

X

ഥ𝒙

ഥ𝒚

𝑥0, 𝑦0

Estática


Centroide de Placas planas de densidad y espesor constante.

b

a

r

l2

l1

l2

3

l1

3

σ𝑥𝑖 ∙ ∆ 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑡 ∙ 𝐴𝒊𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑡 ∙ 𝑨

= ҧ𝑥

σ𝒙𝒊 ∙ ∆𝑤

𝑊= ഥ𝒙

σ𝑥𝑖 ∙ ∆𝐴𝒊𝑨

= ҧ𝑥

𝑥 ∙ 𝑑𝐴

𝑨= ҧ𝑥

𝑦 ∙ 𝑑𝐴

𝑨= ത𝑦

Estática


Estática


(a en radianes)

Estática

Equilibrio de Cuerpos Rígidos – «Centroide»

Ejemplo 1 resueltoEn la figura se presenta una placa en forma de rectángulo con sus dimensiones y,

además se muestra la ubicación de un punto de referencia. Determine:

1. La coordenada X del centroide de la placa con respecto

al origen XY

2. La coordenada Y del centroide de la placa con respecto

al origen XY

3. El peso de la placa si la densidad del material es de 2800

Kg/m3 y el espesor es constante de 25 mm.

Estática


Ejemplo 1 resueltoEn la figura se presenta una placa en forma de rectángulo con sus dimensiones y,

además se muestra la ubicación de un punto de referencia. Determine:


al origen XY


al origen XY


Kg/m3 y el espesor es constante de 25 mm.

𝑊 = 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑡 ∙ 𝑨

ഥ𝒙 = 13.1 𝑚 − 36.82 = −𝟓. 𝟑 𝒎

ഥ𝒙

ഥ𝒚

ഥ𝒚 = −11.8 𝑚 − 15.72 = −𝟏𝟗. 𝟔𝟓𝒎

𝑊 = 2800𝑘𝑔𝑚3 ∙ 9.81

𝑚𝑠2∙ 0.025𝑚 ∙ 15.7 ∗ 36.8 𝑚2 = 𝟑𝟗𝟔𝟕𝟒𝟕 𝑵

Estática


Ejemplo 2 resueltoEn la figura se presenta una placa en forma de círculo con sus dimensiones y, además

se muestra la ubicación de un punto de referencia. Determine:


al origen XY


al origen XY


lb. s2/pie4 y el espesor es constante de 2 pul. (g = 32.2

pies/s2)

Estática


Ejemplo 2 resueltoEn la figura se presenta una placa en forma de círculo con sus dimensiones y, además

se muestra la ubicación de un punto de referencia. Determine:


al origen XY


al origen XY


lb. s2/pie4 y el espesor es constante de 2 pul. (g = 32.2

pies/s2)

𝑊 = 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑡 ∙ 𝑨

ҧ𝑥 = −𝟏𝟓. 𝟒 𝒊𝒏

ത𝑦 = 2.5 𝑖𝑛 − 37.9 𝑖𝑛 = −𝟑𝟓. 𝟒 𝒊𝒏

𝑊 = 30𝑙𝑏 𝑠2

𝑝𝑖𝑒4∙ 32.2𝑝𝑖𝑒

𝑠2∙ 212𝑝𝑖𝑒 ∙ 𝜋

37.912

2𝑝𝑖𝑒2 = 𝟓𝟎𝟒𝟓 𝒍𝒃

Estática


Ejemplo 3 resueltoEn la figura se presenta una placa en forma de cuarto de circulo con sus dimensiones,

además se muestra la ubicación de un punto de referencia con respecto al origen.

Determine:

1. La coordenada X del centroide de la placa con

respecto al origen XY

2. La coordenada Y del centroide de la placa con

respecto al origen XY

3. El peso de la placa si la densidad del material es de

7800 Kg/m3 y el espesor es constante de 0,025 m.

ഥ𝒙 = 5.2 +4 ∗ (22)

3 ∗ 3.14= 𝟗. 𝟑𝟒 𝒎

Estática


Ejemplo 4 resueltoEn la figura se presenta una placa en forma de semi-circulo con sus dimensiones,

además se muestra la ubicación de un punto de referencia con respecto al origen.

Determine:


al origen XY


al origen XY

3. El peso de la placa si la densidad del material es de 5,5

lb. s2/pie4 y el espesor es constante de ½ pulg.

ഥ𝒚 = 9.51 𝑓𝑡 − 14 𝑓𝑡 = −𝟒. 𝟒𝟗 𝒇𝒕

Estática

Equilibrio de Cuerpos Rígidos – «centroide»- Área compuesta

Ejemplo 5 resueltoLocalizar el centroide de la placa mostrada en la figura.

Considérese que tanto la densidad del material como el

espesor de la placa son constantes

A, mm2 ഥ𝒙, mm ഥ𝒚, mm ഥ𝒙*A, mm3 ഥ𝒚*A, mm3

Fig. 1

Fig. 2

σ 𝑥𝑖 ∙ 𝑤𝑖

𝑊= ഥ𝒙

σ 𝑥𝑖 ∙ 𝜌𝑔𝑡𝐴𝑖𝜌𝑔𝑡𝐴

= ഥ𝒙σ𝒙𝒊 ∙ 𝐴𝑖

𝐴= ഥ𝒙


Fig. 1

Fig. 2

Estática

Localizar el centroide de la placa mostrada en la figura.

Considérese que tanto la densidad del material como el e



Fig. 1 7200 120 15

Fig. 2 8100 225 165

1

2


𝑊= ഥ𝒙



𝐴= ഥ𝒙


Ejemplo 5 resuelto

Estática





Fig. 1 7200 120 15 864000 108000

Fig. 2 8100 225 165 1822500 1336500

1

2


𝑊= ഥ𝒙



𝐴= ഥ𝒙


Ejemplo 5 resuelto

Estática





Fig. 1 7200 120 15 864000 108000

Fig. 2 8100 225 165 1822500 1336500

15300 2686500 1444500

1

2


𝑊= ഥ𝒙



𝐴= ഥ𝒙


Ejemplo 5 resuelto

Estática

En la figura se muestra una placa con sus respectivas dimensiones, si el punto de

referencia tiene coordenadas (x,y) con respecto al origen, determine:


al origen XY


al origen XY


lb. s2/pie4 y el espesor es constante de 3,0 pul.


Ejemplo 6 resuelto

Estática




al origen XY


al origen XY



1

2


Ejemplo 6 resuelto

Estática




al origen XY


al origen XY



𝐴1 = 400 ∗ 391 𝑖𝑛2 𝐴2 =𝜋4 150 2 𝑖𝑛2

𝐴1 = 𝟏𝟓𝟔𝟒𝟎𝟎 𝒊𝒏𝟐 𝐴2 = 𝟏𝟕𝟔𝟕𝟏 𝒊𝒏𝟐

2R 1501

391

400


Ejemplo 6 resuelto

ҧ𝑥1

ത𝑦11

200, -200391

400

Estática




al origen XY


al origen XY



ҧ𝑥2

ത𝑦22

200, -200

180

176

180

R 75

ҧ𝑥1 = 200 − 3912= 𝟒. 𝟓 𝒊𝒏

ҧ𝑥1 = 𝟒. 𝟓 𝒊𝒏

ҧ𝑥2 = 200 − 176 = 24 𝑖𝑛

ҧ𝑥2 = 𝟐𝟒 𝒊𝒏

ത𝑦2 = −200 + 180 = −20 𝑖𝑛

ത𝑦2 = −𝟐𝟎 𝒊𝒏ത𝑦1 = 𝟎

𝐴1 = 𝟏𝟓𝟔𝟒𝟎𝟎 𝒊𝒏𝟐

𝐴2 = 𝟏𝟕𝟔𝟕𝟏 𝒊𝒏𝟐


Ejemplo 6 resuelto

Estática




al origen XY


al origen XY



Fig A, in2 ഥ𝒙, in ഥ𝒚, in ഥ𝒙*A, in3 ഥ𝒚*A, in3

1 156400 4.5 0 703800 0

2 -17671 24 -20 -424115 353420

138729 279685 353420

ഥ𝒙 =279685

138729= 2.02 𝑖𝑛 ഥ𝒚 =

353420

138729= 2.55 𝑖𝑛


Ejemplo 6 resuelto

Estática

𝑊 = 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑡 ∙ 𝑨

ҧ𝑥 = 𝟐. 𝟎𝟐 𝒊𝒏

ത𝑦 = 𝟐. 𝟓𝟓 𝒊𝒏

𝑊 = 20𝑙𝑏𝑠2

𝑓𝑡4∙ 32.2 𝑓𝑡

𝑠2∙3

12𝑓𝑡 ∙

138729

122𝑓𝑡2 = 𝟏𝟓𝟓𝟏𝟎𝟕 𝒍𝒃




al origen XY


al origen XY




Ejemplo 6 resuelto

Estática


Ejemplo 1En la figura se muestra una placa con sus respectivas dimensiones, si el punto de

referencia tiene coordenadas (x, y) con respecto al origen, determine:


al origen XY


al origen XY


Kg/m3 y el espesor es constante de 2.5 m.

153,1 m

900,34 m

2,26*109N

Estática

La placa tiene un espesor de 30 mm y fue fabricada de un acero con densidad 7800 Kg/m3.

La gravedad es g = 9.81 m/s2. Las dimensiones de la placa son a = 87.0 mm, b = 174.0 mm,

c = 120.0 mm, d = 35.0 mm y alpha = 60.0 grados. Determinar:

a. El peso de la placa.

b. La coordenada centroidal con respecto al eje Y.

c. La coordenada centroidal con respecto al eje X.

d. La magnitud de la fuerza de tensión del cable BA.

a. La reacción en el apoyo C.


Ejemplo 2

-50.3mm

67.14mm

66.57 N

36.29N

18.14i+35.14j

Estática


Ejemplo 3La placa tiene un espesor de 5,0 mm y fue fabricada de un acero con densidad de

7800 Kg/m3. La gravedad es = 9,81 m/s2.

Las dimensiones de la placa son a = 245,5 mm, b = 491,0 mm, c = 327,33 mm

Determinar:

a. El peso de la placa.b. La coordenada centroidal con respecto al eje Y.c. La coordenada centroidal con respecto al eje X.d. La reacción en el apoyo B.e. La magnitud de la reacción en el apoyo A.

1+

3+

2 +

4-

Estática


Ejemplo 3La placa tiene un espesor de 5,0 mm y fue fabricada de un acero con densidad de

7800 Kg/m3. La gravedad es = 9,81 m/s2.

Las dimensiones de la placa son a = 245,5 mm, b = 491,0 mm, c = 327,33 mm

Determinar:

a. El peso de la placa.

b. La coordenada centroidal con respecto al eje Y.

c. La coordenada centroidal con respecto al eje X.

d. La reacción en el apoyo B.

e. La magnitud de la reacción en el apoyo A.

398.02mm

695.78mm

386.4N

-115.9 N

403.4N

Fig A, in2 ഥ𝒙, in ത𝒛, in ഥ𝒙*A, in3 ത𝒛*A, in3

1 16800 60 -70 1008000 -1176000

2 -4900 85 -105 -416500 514500

11900 591500 -661500

Una placa metálica esta sostenida mediante tres cuerdas como se muestra

en la figura, si se sabe que la tensión del cable B es de 156.0 lb.

Determinar:

Estática

Equilibrio de Cuerpos Rígidos – «Centroides»

Ejemplo 4

a. El peso de la placa.b. La tensión en la cuerda C.c. La tensión en la cuerda A.

49,7 in 70,3 in

55,6 in

x

y

z

Una placa metálica esta sostenida mediante tres cuerdas como se muestra

en la figura, si se sabe que la tensión del cable B es de 156.0 lb.

Determinar:

Estática


Ejemplo 4

a. El peso de la placa. 496.6 lbb. La tensión en la cuerda C. 119.2 lbc. La tensión en la cuerda A. 221.4 lb

49,7 in 70,3 in

55,6 in

x

y

z

Estática


Ejemplo 5La placa tiene un espesor de 5.0 mm y fue fabricada de un acero con densidad de

7800 Kg/m3. La gravedad es = 9.81 m/s2. Las dimensiones de la placa son a =

245.5 mm, b = 491.0 mm, c = 327.33 mm, theta=30°. Determinar:

a. El peso de la placa.b. La coordenada centroidal con respecto al eje Y.c. La coordenada centroidal con respecto al eje X.d. La magnitud de la fuerza de tensión del cable BC.e. La fuerza de reacción en el apoyo A.

Estática


Ejemplo 5La placa tiene un espesor de 5.0 mm y fue fabricada de un acero con densidad de

7800 Kg/m3. La gravedad es = 9.81 m/s2. Las dimensiones de la placa son a =

245.5 mm, b = 491.0 mm, c = 327.33 mm, theta=30°. Determinar:

a. El peso de la placa. 373.025Nb. La coordenada centroidal con respecto al eje Y. 991.8 mmc. La coordenada centroidal con respecto al eje X. 240.3 mmd. La magnitud de la fuerza de tensión del cable BC. 679.209Ne. La fuerza de reacción en el apoyo A. -588.2i+33.6j

Estática


Ejemplo 6La placa posee un espesor de 7.0 mm y fue fabricada de un acero con densidad de

7800 Kg/m3. La gravedad es g = 9.81 m/s2. Las dimensiones de la placa son a =

122.5 mm, b = 245.0 mm, c = 530.0 mm. Determinar:

a. El peso de la placa.b. La coordenada centroidal con respecto al eje Y.c. La coordenada centroidal con respecto al eje X.d. La fuerza de reacción en el apoyo Ae. La magnitud de la fuerza de reacción en el apoyo B

Estática


Ejemplo 7La placa tiene un espesor de 7.0 in y fue fabricada de un material con peso

especifico de 0.31 Lb/in2. Las dimensiones de la placa son a = 21.75 in, b = 38.0

in, c = 87.0 in, d = 43.5 in. Determinar:

a. El peso de la placa.b. La coordenada centroidal con respecto al eje Y.c. La coordenada centroidal con respecto al eje X.d. La fuerza de reacción en el apoyo Ae. La magnitud de la fuerza de reacción en el apoyo B

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