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1 Alejandro Núñez Jiménez, 2º GIE 1, Termodinámica, Problema Moodle 1

ENUNCIADO:

Se tiene cierta cantidad de un gas ideal que trabaja siguiendo un ciclo, el cual

representado en un diagrama p-V, es un rectángulo. Sean: ;

respectivamente, las presiones inferior y superior del ciclo; y sean y , los volúmenes

inferior y superior, respectivamente. El volumen es el doble de . Calcular el

rendimiento del motor, expresando su valor en porcentaje (%) con un decimal. Se sabe,

además, que el calor específico molar a presión constante cumple que

, siendo

y R la constante de los gases ideales.


En primer lugar, interpretando la información del enunciado, realizamos el gráfico

del ciclo termodinámico descrito para un motor. Tal y como se describe el ciclo, resulta un

rectángulo, cuyas bases son paralelas al eje horizontal a una altura de y su paralela a una

presión Se cierra el ciclo con dos procesos isocoros a volúmenes: y .

De este modo el ciclo termodinámico descrito está compuesto de los siguientes

procesos abiertos: una expansión isobara AB, un proceso isocoro BC, una comprensión

isobara CD y un proceso isocoro DA que completa el ciclo. Podemos deducir que el sentido

del ciclo es ABCDA, ya que se nos menciona que es el de un motor, por lo tanto el trabajo

neto será negativo, es decir, el sistema realiza un trabajo contra el exterior. Mientras que, el

calor será netamente positivo, requiriendo la aportación de un calor desde el exterior del

sistema. Tal es el funcionamiento de

cuales producen un trabajo a partir de una aportación de calor.

Si acudimos ahora al primer principio de la termodinámica para comenzar a resolver

el problema, nos encontramos con:

Como el proceso descrito es cíclico, terminando en la misma posición A desde la que

se partía, la variación de energía interna es necesariamente nula debido a su condición de

función de estado. Luego:

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3

Pre

sió

n

Volumen

A

C D

B


Esta igualdad proclama que el calor total intercambiado con el entorno es igual al

trabajo intercambiado con el exterior a lo largo del ciclo. Dado que lo que buscamos es

determinar el rendimiento del motor que describe este ciclo termodinámico, habrá que

discriminar el calor que desprende el sistema a lo largo del ciclo, del calor que absorbe, es

decir, aquel que le tenemos que proporcionar y que supondrá la inversión de energía por

nuestra parte, para producir el trabajo del ciclo. De este modo, la expresión del rendimiento

queda:

(en tanto por uno).

Si aplicamos la igualdad que hemos averiguado antes entre el trabajo y el calor del

ciclo, el rendimiento también lo podríamos expresar cómo:

Ahora que ya hemos identificado nuestro objetivo, podemos proceder a calcular todo

lo necesario para poder sustituir en la expresión del rendimiento. Para ello vamos a

comenzar por el trabajo realizado durante el ciclo.

El trabajo realizado durante el ciclo, si tomamos una representación del ciclo en un

diagrama pV como el que encabeza esta solución, es equivalente al área encerrada por el

ciclo, calculándose de manera sencilla como:

En nuestro caso particular, donde: ; alcanzamos una expresión:

Para calcular el calor absorbido a lo largo del ciclo conviene determinar en qué fases

del mismo el flujo de calor era entrante o saliente. Para determinar en cada caso cuál es su

sentido, nos fijaremos en la variación de la temperatura, guiándonos por la ecuación del

calor en cada caso:


Proceso AB:

Durante este proceso de expansión isobara, la variación de

temperatura es positiva, siendo el flujo de calor entrante según la

ecuación:

Sabemos que la temperatura aumenta por el sentido del proceso,

que va atravesando isotermas de un gas ideal.

Proceso BC:

Durante este proceso, el flujo es saliente, ya que la variación de

temperatura es negativa:

Proceso CD:

Durante este proceso, la variación de temperatura en negativa y, por

tanto, el flujo del calor es saliente:

Proceso DA:

Durante este último proceso, la variación de temperatura es positiva

y retorna al valor inicial, dando un flujo entrante de calor:

Si tenemos en cuenta la expresión del diferencial de la temperatura en cada

proceso, para un gas ideal:

Proceso isobárico:

Proceso isocoro:

Introduciendo estas expresiones en las fórmulas del calor intercambiado en

cada proceso:

Procesoisobárico:

Proceso isócoro:


Finalmente, podemos concluir que:

Podemos simplificar estas expresiones, sabiendo que:

Luego:

=

=

Introduciendo todos los resultados obtenidos en nuestra expresión del

rendimiento:

La expresión final que hemos alcanzado es:

También podemos utilizar la expresión que dejaba el rendimiento en función exclusiva de

los calores intercambiados durante el ciclo como:


Si sustituimos el valor que tiene en nuestro problema obtenemos una expresión

final:

Sustituyendo nuestros datos concretos: N=31.6 ; y expresando el rendimiento en %:

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