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Teoría de copulas Definición Función de distribución de probabilidad (bi o multivariante), cuyas distribuciones marginales son uniformes [0,1]. Propiedades Continuidad, Diferenciabilidad e Invariancia

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Teoría de copulas

Definición

Función de distribución de probabilidad (bi o multivariante), cuyas distribuciones marginales son uniformes [0,1].

Propiedades

Continuidad, Diferenciabilidad e Invariancia

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Medidas de asociación:

*Tau de Kendall

*Rho de Spearman

*Coeficiente de correlación lineal de Pearson

Cuantifican relaciones no necesariamente lineales, se utilizan directamente como funciones de evaluación para contrastar la independencia de variables.

*Dependencia negativa “perfecta”(-1),variables aleatorias contramonotonicas

*Dependencia positiva “perfecta”(1), comonotonicas

Conforme se aleja de -1 y 1 la medida, es sinónimo de falta de dependencia entre las variables.

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Ventajas

*Reflejan relación de dependencia

*Las relaciones se cuantifican de

forma relativamente fácil

*No dependen de la variación que

presenten las distribuciones marginales.

Desventajas

No hay ningún indicio de cual es la

forma paramétrica de la copula.

Por lo tanto, para proceder con un análisis

paramétrico tradicional se debe asumir una

forma funcional para la copula.

Tipos de copulas en función del conocimiento de su forma

1. Copulas paramétricas

Responden a una misma ecuación paramétrica definen una familia de copulas. En ellas participan parámetros que relacionan la dependencia entre las variables asociadas.

2. Copulas no paramétricas (empíricas)

En ellas no participa ningún parámetro, tienen una estructura empírica que les permite ajustarse de forma local a los datos.

Dentro de uno y otro grupo, gozan de popularidad la clase de cópulas arquimedianas caracterizadas por la facilidad con que pueden ser construidas y por la gran variedad de estructuras de dependencia que permiten reproducir.

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Cópulas elípticas

Se asocian a distribuciones elípticas (simétricas)

Las copulas Normales y de Student son cópulas elípticas, son simétricas y de utilización relativamente

simple, ya que se conocen bien las distribuciones asociadas.

Copula Normal

Se asocia a la distribución normal multidimensional.

Sea una matriz diagonal definida positiva con diag(ρ) = 1 y la distribución normal bivariada estándar y matriz de correlación ρ. La copula normal se define de la siguiente forma:

Donde x y y se distribuyen de manera conjuntamente normal con coeficiente de correlación de Pearson θ ∈ [−1, 1] y Φ−1() es la función inversa de la distribución normal estándar.

La densidad de la copula normal:

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La copula de Student: Es la función de dependencia asociada a la distribución t multidimensional. Por ejemplo, en el caso bivariado:

Donde x e y se distribuyen conjuntamente tv de Student con ν grados de libertad ycoeficiente de correlación de Pearson θ ∈ [−1, 1] y es la función inversa de la distribución t de Student con ν grados de libertad.

Tabla con medidas de dependencia para copula Gaussiana y de Student.

En el caso bivariado el parámetro θ es el valor del coeficiente de correlación lineal de Pearson. Para el caso multivariado es la matriz de correlación.

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Copulas de valor extremo

Su estructura deriva de la función de distribución generalizada de valor extremo multivariada.

Es muy importante en el análisis de valores extremos en la medición de riesgos.

Tienen la forma:

Forma alternativa:

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Copulas arquimedianas

Permiten, a diferencia de las elípticas (simétricas) y de las de valor extremo (muy orientadas a dependencias en las colas), recoger muchos tipos de estructuras de dependencia adicionales. Otra ventaja de este tipo de copulas es la facilidad con la que pueden ser construidas.

La función generadora que las representa es:

La cual debe ser continua, estrictamente decreciente, convexa y cumple que φ(1)=0, es la pseudo- inversa de φ.

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Copula de Frank

La función de distribución:

Y la función de densidad:

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Copula de Gumbel

Función de distribución:

Función de densidad:

El coeficiente de correlación de Kendall, en función de su parámetro α, se define como:

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Copula de ClaytonLa función de distribución para la copula de Clayton es:

y la densidad:

El coeficiente de correlación de Kendall, en función de su parámetro α, se define como:

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Teorema de Sklar: interpretación probabilística: es la relación entre copulas y funciones de distribución de variables aleatorias.

Sea una función de distribución bidimensional cuyas marginales son Fx y Fy. Entonces, existe una cópula C / ∀(x, y)∈ [− ∞,∞], tal que:

F(x, y)= C(Fx (x), Fy ( y))

asegura no solamente que las copulas son funciones de distribución conjuntas, sino que el reciproco también es cierto: las funciones de distribución conjuntas se pueden reescribir en términos de las marginales y una única subcópula, que a su vez puede extenderse (en general, no de forma única) a una copula.

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1. Determinar las funciones marginales.

2. Proponer un conjunto inicial de familias de copulas candidatas que, por sus características, se perfilan como adecuadas para reflejar la relación existente entre las variables. Esta propuesta se hará de acuerdo al conocimiento o intuición sobre la forma de dicha relación.

3. Selección de una copula por familia. En el caso paramétrico se trata de determinar los valores asociados a los parámetros correspondientes a cada familia para lo cual, se suelen utilizar expresiones que permitan el calculo de dichos parámetros a partir de la estimación muestra de alguna medida de asociación como el cociente de correlación de Spearman o la Tau de Kendall.

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Seleccionar la copula adecuada:

Log- Verosimilitud y criterios de información: Se comparan varias copulas a partir de dos estadísticos.

1.- El valor de la función de log verosimilitud evaluada en el estimador de máxima verosimilitud.

2.-Criterio de información de akaike reformulado.

Comparar entre copulas paramétricas y empíricas utilizando estadísticos de bondad de ajuste.