ENSEÑANZA DE LA SUMA Y LA RESTACuando se trata de la enseñanza de la resolución de problemas lo que intentamos es proveer a las niñas y los niños de los conocimientos necesarios para que puedan decidir y ejecutar de forma autónoma el tipo de estrategia que mejor se adapte a la situación particular.

1. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ADITIVOS

Cuando se pregunta de manera aparentemente ingenua qué es sumar, la respuesta más repetida es “juntar y contar”. Pues bien, si juntamos y contamos, lo que estamos evitando precisamente es sumar.Precisamente cuando yo puedo sumar, no necesito volver a contar una colección que resulta de la unión de otras. Los más pequeños usan el conteo como estrategia para sus primeras nociones aditivas, pero en un momento ya no necesitarán contar, para esto deben haber desarrollado el significado de adiciónEl significado del concepto de adición se va a construir adecuadamente a partir de una variedad de contextos donde dicho concepto va a cobrar sentido. De las variadas situaciones contextualizadas, el niño que ha desarrollado los significados de la adición, debe descontextualizar dicho conocimiento e identificar las particularidades de la noción. Solo en este caso podemos decir que el niño o la niña ha realizado de manera significativa un aprendizaje.

Las nociones de la adición y sustracción forman parte de un mismo concepto que puede ser trabajado desde distintos significados. No se recomienda enseñar primero la adición y luego la sustracción como nociones desconectadas, pero ¿cómo podemos trabajar estas dos nociones de manera simultanea?

Veamos el siguiente ejemplo:

Para resolver este problema, el estudiante puede utilizar la estrategia de conteo empezando por el número menor y llegando al número mayor, o buscar qué número sumado con 5 le da 8, o plantear una expresión del tipo: 5 + ___ = 8 la que puede resolver por tanteo.

En el caso planteado no se está utilizando la sustracción como operación, por supuesto resulta claro que también se podría resolver el problema planteando una sustracción e interpretando la respuesta.

A partir de lo anterior, queremos poner en evidencia que las situaciones no se pueden catalogar exclusivamente como de adición o sustracción pues la estructura implícita en su resolución puede abordarse mediante el uso de cualquiera de las dos operaciones; es decir depende de la estrategia que utilice el niño en su resolución; por ello, es necesario que usemos otra clasificación para los problemas de sumas y restas.

Para trabajarlas simultáneamente se recomienda clasificar las situaciones a partir de su significado global, estos son:

Combinar (juntar y separar) Cambiar o transformar (agregar y quitar) Igualar Comparar

1

Juan tiene 5 soles, ¿cuántos soles más necesita para comprar una pelota de 8 soles?

Esta clasificación incluye situaciones de nociones aditivas y de sustracción de manera simultanea,

estas situaciones son conocidas como problemas de estructura aditiva o como Problemas Aritméticos

Elementales Verbales (PAEV).

A partir de la clasificación anterior, el docente debe estimular el razonamiento de los estudiantes proponiéndoles diversos problemas que incorporen esta clasificación y sus combinaciones.

La estructura aditiva se conseguirá en la medida en que el estudiante enfrente las más diversas situaciones. La ampliación del campo numérico ayuda muy poco, o nada, a la comprensión, a las operaciones mentales y a la elaboración de modelos que el estudiante debe realizar para resolver problemas aritméticos.

Obsérvese los siguientes problemas:

Desde el punto de vista de las habilidades involucradas, ambos problemas tienen la misma complejidad pues poseen igual estructura (Combinación - juntar). La aparente mayor dificultad del primero se sustenta solo en el cálculo aritmético, más no en la comprensión de la estructura aditiva implicada. Dicho de otro modo, si un estudiante tiene clara la estructura aditiva de combinación sabe que en ambos casos puede sumar para hallar el resultado, y esto es lo realmente importante. La forma de hacer el cálculo es irrelevante: puede hacerlo mentalmente, con lápiz y papel o usando una calculadora.

Al tratarse de problemas, debemos recordar que una forma de mejorar las habilidades de los estudiantes para resolver problemas aditivos es importante incorporar no solo diversos problemas y situaciones combinadas de estos en el trabajo pedagógico, si no además el modelo de resolución de problemas que implican las fases que el estudiante debe seguir al momento de resolver estas situaciones (comprensión, diseño o adaptación de la estrategia, ejecución de la estrategia, metacognición).

1.1. Tipos de problemas aditivos y sustractivos: Problemas Aditivos de Enunciado Verbal - PAEV

El análisis global del texto del problema es uno de los más importantes al momento de investigar las dificultades cognitivas en el proceso de solución de los PAEV. Este sirve básicamente para comprender los procesos utilizados por los niños para resolver los problemas. Desde la perspectiva del análisis global, los PAEV se pueden clasificar en las categorías siguientes:

1. Problemas de combinación2. Problemas de cambio (transformación)3. Problemas de igualación4. Problemas de comparación

1.1.1 PROBLEMAS DE COMBINACIÓN

En estos problemas se trabajan la adición y sustracción en acciones de “juntar” y “separar”.

Los problemas de combinación son problemas verbales en los que existe una relación entre conjuntos que son partes de un todo (parte-parte-todo). Podemos desconocer (es decir tener como incógnita en el problema) una parte, otra parte o el todo; pero en este último caso, dado que no existe ninguna diferencia conceptual entre cada una de las partes se suelen considerar solamente dos tipos de situaciones de combinación: la que pregunta por el todo o por una de las partes.

2

Juan tiene 365 chapitas y María 435. ¿Cuántas chapitas tienen juntos?

Juan tiene 6 chapitas y María 3. ¿Cuántas chapitas tienen juntos?

Veamos el siguiente problema:

Es importante mencionar que para resolver situaciones como el ejemplo mostrado, además de juntar las partes, previamente los estudiantes, tienen que darse cuenta que tanto “patos” como “loros” son conjuntos disjuntos (sin elementos comunes) y que la unión de estos forman partes de otro conjunto que incluye a los anteriores sin que sobren ni falten elementos.

La solución de problemas de combinación requiere que el niño identifique si hay grupos que forman la parte de un todo y si dichas partes se juntan o se separan.

Ejemplos de problemas de combinación:

Combinación 1 En el salón hay 10 niñas y 7 niños. ¿Cuántos estudiantes hay en el salón?

Combinación 2 En la canasta hay 15 panes. 8 son de yema y el resto de camote, ¿cuántos panes son de camote?

En el primer ejemplo se están juntando las partes de un todo (significado de la adición como juntar), la incógnita es el todo (¿Cuántos estudiantes hay en el salón?). En el segundo ejemplo se están separando en partes un todo (significado de la resta como separar), la incógnita es una de las partes (¿Cuántos panes son de camote?). El primer caso resulta muy familiar y sencillo para los estudiantes el segundo contrariamente les resulta más complejo.

La estructura de los PAEV de COMBINACIÖN se muestra a continuación:

Parte Parte Todo

Combinación 1 dato dato incógnita

Combinación 2 dato incógni

ta dato

1.1.2. PROBLEMAS DE CAMBIO O TRANSFORMACIÓN

En estos problemas se trabaja la adición y sustracción en acciones de “agregar” y “quitar”.

Los problemas de cambio parten de una cantidad a la que se añade o quita algo para dar como resultado una cantidad mayor o menor. Es decir son situaciones en las que se describe el aumento o disminución de una cantidad inicial a través del tiempo, generando una cantidad final.

3

Hay 5 patos y 4 loros. ¿Cuántas aves hay?

Todo: Cantidad de aves

Parte: Hay 5 patos Parte: Hay 4 loros Patos: 5 Loros: 4

PARTEPARTE TODO

PARTE PARTETODO

En este tipo de problemas considera tres cantidades: el inicio, el cambio y el final, de las cuales, dos cuales quiera, podrían ser los datos y el otro la incógnita. De esta manera podemos plantear varios tipos de problemas. Como además se tiene dos posibilidades para el cambio: aumentar (crecer) o disminuir (decrecer), entonces se tienen seis tipos de problemas de esta estructura.

La solución de problemas de cambio o transformación requiere que el niño identifique si hay cantidades que varían en el tiempo y si dicha cantidad aumenta o disminuye.

Ejemplos: Raquel tenía S/. 10. Luego gastó S/. 7. Ahora, ¿cuánto dinero le queda? Karen tenía S/. 16. Luego Lola le dio algunos nuevos soles. Ahora Karen tiene S/. 25. ¿Cuánto

dinero le dio Lola? Miguel tenía algunas galletas, luego se comió 5 galletas. Ahora tiene 17 galletas, ¿cuántas

galletas tenía al inicio?

Las tres situaciones mostradas son de cambio, pues en todas existe una situación inicial (el dinero que tenía Raquel y Karen y la cantidad de galletas que tenía Miguel), un evento que produce el cambio (el gastó que realizó de Raquel, el dinero que Lola le dio a Karen y las galletas que se comió Miguel) y una situación final (el dinero que le quedan a Raquel, el dinero que tiene Karen y las galletas que tiene Miguel.

Para el primer caso la incógnita está ubicada en la situación final: Los soles que le quedan a Raquel (este es el caso más familiar y sencillo para los niños y niñas), en el segundo caso la incógnita está en el evento que genera el cambio: la cantidad de soles que le dio Lola a Karen (este caso es más complejo que el anterior), y en el tercer caso al incógnita esta en la situación inicia: la cantidad de galletas que tenía Miguel al inicio (este es el caso más complejo para los niños y niñas).

Tanto el primer como el tercer ejemplo usan la sustracción en acciones de “quitar” y el segundo ejemplo usa la adición en acciones de “agregar” (a pesar que para resolver el problema se tiene que realizar una resta).

El caso menos complejo para los estudiantes es el primer caso, donde se gasta la cantidad de dinero inicial de Raquel y el caso más complejo es el tercer ejemplo donde la incógnita está en la situación inicial.

Ejemplos de problemas de cambio:

4

Cambio 1

Karen tenía S/. 12. Le dan S/. 6. ¿Cuánto dinero tiene ahora?

Cambio 2 Karen tiene S/. 15. Da S/. 6 soles. ¿Cuánto dinero le queda?

Cambio 3 Karen tenía S/. 9. Lola le dio algunos soles. Ahora tiene S/. 14. ¿Cuántos soles le dio Lola?

Cambio 4 Karen tenía S/. 14. Le dio algunos soles a Lola. Ahora tiene S/. 10. ¿Cuántos soles le dio a Lola?

Cambio 5 Karen tenía algunos soles. Lola le dio S/. 6. Ahora tiene S/. 15. ¿Cuántos soles tenía Karen?

Cambio 6 Karen tenía algunos soles. Le dio 6 soles a Lola. Ahora tiene 12 soles. ¿Cuántos soles tenía Karen?

La estructura de los PAEV de CAMBIO se muestra a continuación:

Inicial Cambio Final Crecer DecrecerCambio 1 dato dato incógnita

Cambio 2 dato dato incógnita

Cambio 3 dato incógnita dato

Cambio 4 dato incógnita dato

Cambio 5 incógnita dato dato

5

INICIO CAMBIO FINAL

INICIO CAMBIO FINAL

INICIO CAMBIO FINAL

INICIO CAMBIO FINAL

INICIO CAMBIO FINAL

INICIO CAMBIO FINAL

Cambio 6 incógnita dato dato

1.3.3. PROBLEMAS DE COMPARACIÓN

Son situaciones en las que se expresa una relación de comparación entre dos cantidades. La relación se establece en el enunciado mediante conectores como “más que”, “menos que”, “mayor que”, etc.

Tiene tres partes: la referencia, lo que se compara y la diferencia (cuánto más o cuánto menos tiene uno con respecto al otro) y dos de ellos podrían ser los datos y el tercero la incógnita, asimismo el conjunto de referencia puede ser el mayor o el menor, de esta manera también encontraríamos seis tipos de problemas de comparación.

La solución de problemas de comparación requiere que el niño identifique si se están realizando comparaciones de datos.

Juana tiene 10 años de edad y José tiene 7 años. ¿Cuántos años más que José tiene Juana?

En el ejemplo mostrado se está comparando la edad de Juana respecto de la edad de José, es decir José es la referencia, la edad de Juana es lo que se compara y la diferencia entre sus edades es la diferencia. En este caso la incógnita es la diferencia.

A continuación se muestra un ejemplo para cada tipo de PAEV de comparación:

Comparación 1

César tiene 8 caramelos. Manolo tiene 13 caramelos. ¿Cuántos caramelos tiene Manolo más que César?

Comparación 2

César tiene 12 figuritas. Manolo tiene 7 figuritas. ¿Cuántas figuritas tiene Manolo menos que César?

Comparación 3

César tiene 7 años. Manolo tiene 3 años más que César. ¿Cuántos años tiene Manolo?

Comparación 4

César tiene 5 lápices. Manolo tiene 2 lápices menos que César. ¿Cuántos lápices tiene Manolo?

Comparación 5

César tiene 10 bolitas. César tiene 6 bolitas más que Manolo. ¿Cuántas bolitas tiene Manolo?

Comparación 6

César tiene 2 hermanos. César tiene 3 hermanos menos que Manolo. ¿Cuántos hermanos tiene Manolo?

La estructura de los PAEV de COMPARACIÓN se muestra a continuación:

Referencia Comparada Diferencia más menos

6

REFERENCIA

DIFERENCIA

COMPARADA

REFERENCIA

DIFERENCIA

COMPARADA

REFERENCIA

COMPARADA

DIFERENCIA

REFERENCIA

COMPARADA

DIFERENCIA

COMPARADA

REFERENCIA

DIFERENCIA

COMPARADA

REFERENCIA

DIFERENCIA

Comparación 1 dato dato incógnita

Comparación 2 dato dato incógnita

Comparación 3 dato incógnita dato

Comparación 4 dato incógnita dato

Comparación 5 incógnita dato dato

Comparación 6 incógnita dato dato

7

1.1.4. PROBLEMAS DE IGUALACIÓN

Algunos autores (Carpenter y Moser, 1982; Fuson, 1992) han propuesto una categoría adicional que puede considerarse una “mezcla” de las categorías de cambio y comparación; son los problemas de igualación, en los que la relación comparativa entre dos cantidades no se expresa de forma estática (como en los problemas de comparación) sino dinámicamente.

Los problemas de igualación son aquellas situaciones en las que se expresa una relación entre cantidades ligadas por las frases “tantos como” o “igual que”. Como ya se dijo, es una relación dinámica en la que se compara una cantidad con otra con el fin de igualar dos cantidades.

Tiene tres partes: la referencia, lo que se iguala y la diferencia (lo que falta o sobra para igualar).

La solución de problemas de igualación requiere que el niño identifique si se están realizando igualaciones de datos.

Ejemplo:

Javier tiene 15 canicas. Si a Pepe le regalan 6 canicas, tendrá tantas canicas como Javier. ¿Cuántas canicas tiene Pepe?

En el ejemplo mostrado se están comparando la cantidad de canicas que tiene Javier y Pepe con el fin de igualarlas. En este caso la referencia son las canicas de Javier (“tiene tantas canicas como Javier”) y la cantidad de canicas de Pepe es el comparado,

Ejemplos de problemas de Igualación:

Igualación 1 Javier tiene S/. 15. Pepe tiene S/. 10. ¿Cuánto dinero tiene que ganar Pepe para tener tanto como Javier?

Igualación 2 La maleta de Javier pesa 13 Kg. La maleta de Pepe pesa 17 Kg. ¿Cuántos kilogramos tiene que perder la maleta de Pepe para pesar tanto como la maleta de Javier?

Igualación 3 Javier tiene 12 canicas. Si Pepe gana 4 canicas, tendrá tantas canicas como Javier. ¿Cuántas canicas tiene Pepe?

Igualación 4 Javier tiene 8 soles. Si Pepe pierde 5 soles, tendrá tantos soles como Javier. ¿Cuántos soles tiene Pepe?

Igualación 5 Pepe tiene S/. 15. Si Pepe gana S/. 4, tendrá tanto dinero como Javier. ¿Cuánto dinero tiene Javier?

Igualación 6 Pepe tiene S/. 12. Si Pepe pierde S/. 5, tendrá tanto dinero como Javier. ¿Cuánto dinero tiene Javier?

La estructura de los PAEV de IGUALACIÓN se muestra a continuación:

8

REFERENCIA COMPARADA DIFERENCIA

REFERENCIA COMPARADA DIFERENCIA

REFERENCIA

COMPARADA

DIFERENCIA

REFERENCIA

COMPARADA

DIFERENCIA

COMPARADA DIFERENCIA

COMPARADA

REFERENCIA

DIFERENCIA

REFERENCIA

Referencia Comparada Diferencia más menos

Igualación 1 dato dato incógnita

Igualación 2 dato dato incógnita

Igualación 3 dato incógnita dato

Igualación 4 dato incógnita dato

Igualación 5 incógnita dato dato

Igualación 6 incógnita dato dato

1.2. Complejidad de los PAEVAlgunos estudios nos muestran como se ordena la complejidad de estos problemas, lo cuál nos permitirá analizar cómo debemos organizar la enseñanza de estas estructuras a lo largo de educación primaria:

Tipo de problemas Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 Nivel 4Combinar 1 xCombinar 2 xCambio 1 xCambio 2 xCambio 3 xCambio 4 X*Cambio 5 xCambio 6 xComparar 1 X*

Comparar 2 X*Comparar 3 xComparar 4 xComparar 5 X*Comparar 6 X*

* En algunos casos, estos problemas estaban en el nivel anterior.

Se considera que los problemas de comparación tienen la misma dificultad que los problemas de igualación.Es recomendable trabajar, situaciones variadas desde muy pequeños, es decir, hay contextos en los que las situaciones de comparación 1 y 2 pueden ser trabajados desde el primer grado usando el material concreto por ejemplo, así los estudiantes tengan dificultades para resolverlo.

1.3. Representaciones de los PAEVLos primeros trabajos con los niños para abordar situaciones aditivas deben partir de los mismos objetos concretos, poco a poco los niños y niñas se van desprendiendo de los objetos y empiezan a usar la representación.Una manera, imprescindible a la recurre el estudiante en su proceso de aprendizaje de las sumas y restas es recurrir a sus dedos. Luego recurre a representaciones gráficas como por ejemplo el diagrama de Venn. Por ejemplo ante la siguiente situación de combinación:

9

En tu puesto de frutería, ¿Cuántas manzanas vendiste la primera vez? 7, ¿y la segunda vez cuántas vendiste? 5. ¿Cuántas manzanas vendiste en total?

En esta situación, los niños podrán usar sus dedos para representar la primera cantidad:

Mientras que el segundo se presentará solo parcialmente de la misma forma, solo que al llegar a diez y comprobando que los dedos se acaban, el niño puede por sí mismo, seguir el conteo, construyendo una imagen mental de los elementos restantes.Para el caso de los problemas de combinación, usar los dedos, se hará más complicado si ambas partes son mayores a la decena. De esta manera se les “obliga” a realizar representaciones gráficas, por ejemplo si se tratará de manzanas y naranjas podría usar una representación como la siguiente:

En este caso se separan de manera natural los dos conjuntos que forman parte del total.

Representaciones gráficas como la anterior, usando un diagrama de Venn, parten de manera natural del mismo niño, es decir no son impuestas por el profesor. La critica al uso de estas representación parte del hecho de que no son adecuadas para los problemas de Cambio ya que no nos permite representar la acción realizada: agregar, quitar, vender, regalar, etc.

En los problemas de cambio, cuando las cantidad involucradas no exceden a la decena lo más natural es usar los dedos, sin embargo, cuando se excede de la decena, los obliga a recurrir a procedimientos escritos para que constituyan una ayuda externa a la memoria.Por ejemplo ante la siguiente situación de cambio:

Como la situación empieza con una cantidad que es mayor a la decena, el niño queda casi imposibilitado de usas sus dedos como recurso. A partir de sus necesidades, o a sugerencia del docente, el niño debe usar representaciones gráficas. Estas representaciones son ya una abstracción de las situaciones ya que las bolitas o palitos se usan tanto para representar soles, como para representar cantidad de lápices, o cantidad de canicas, etc. Gráfica 1 Gráfica 1

10

Te dieron S/. 12 por las manzanas que vendiste. Luego te dieron S/. 7 por las fresas que vendiste. ¿Cuántos soles tenías al final?

NaranjasManzanas

La diferencia entre ambas gráficas es que en el primer caso se distinguen con claridad las dos cantidades que se deben sumar. En el segundo caso ambas cantidades quedan diluidas. Estas representaciones ya no corresponden a un diagrama de Venn.Otra representación más elaborada que pueden crear los niños, es:

Dado que una situación de cambio es una secuencia temporal de eventos, el niño tiene que identificar dicha secuencia y además la acción que genera el cambio.

¿Estas representaciones nos sirven para situaciones comparativas y de igualación?Observa la siguiente situación comparativa:

11

Primero: S/. 12 Final: S/.

Me dieron: S/. 7

Tienes cinco caramelos y Rosa tiene tres. ¿Cuántos caramelos tienes tú más que Rosa?

Esta situación inicialmente, no la podrá representar con los dedos, ya que implica que se desarrolle una estrategia sustractiva típica: el “Conteo progresivo”. Consiste en representar con dedos la cantidad pequeña (tres caramelos) y, a continuación, añadir extensiones de dedos hasta disponer de la cantidad grande (cinco caramelos). Posteriormente, se cuentan los dedos extendidos para hallar la diferencia.

Una adecuada representación gráfica o concreta le ayudaría a desarrollar estrategias de “Emparejamiento”, esta consistiría en representar con material cada uno de los conjuntos a comparar, emparejar los elementos uno a uno entre ambas cantidades y contar los elementos sin la correspondiente pareja.

Lo que pretendemos resaltar con estos párrafos es que los niños desarrollan diversas estrategias y diversas representaciones según la situación dada que no necesariamente funciona para todos los casos aditivos. Cuando logran construir las nociones aditivas, podrán generalizar sus estrategias para todos los casos y usar sumas o restas directamente.

1.4. Actividades para problemas

Las siguientes actividades están pensadas en niños y niñas del nivel primario, algunas para niños que aún no han desarrollado las nociones aditivas ni las nociones de números, más bien están en proceso de construcción de dichas nociones y otras, en estudiantes de los grados más altos, para que conozcan otras significados de la adición o diversas estrategias de solución.

A continuación se brinda pautas e ideas de actividades y juegos que puede realizar con los niños del aula de manera permanente. Es decir, no basta con realizarlos una vez o una vez a la semana, si no que puede ir intercalando o realizando varios de ellos en diversos momentos del día. Puede aprovechar los espacios de recreo, de descanso, antes de la hora de la lonchera, antes de la hora de salida, para cerrar un tema y empezar otro de la misma o de diferentes áreas del currículo, etc. La intención es que el niño de a pocos vaya desarrollando, además de las nociones aditivas y de números, habilidades diversas como la representación, argumentación, comparación, análisis, el pensamiento estratégico, etc. Desde la perspectiva anterior, es necesario dejar que los niños y niñas tomen decisiones respecto de algunas reglas o elementos del juego, por ejemplo se puede dejar que decidan respecto de cómo escogen al jugador que empieza (puede ser por votación o sacando la mayor carta, o lo que ellos propongan alguna solución) o en qué momento se termina el juego, pues quizá, si insistimos en que sigan jugando el juego puede dejar de ser interesante para ellos, por lo tanto dejan de estar involucrados en la tarea.Debe darles suficiente libertad para que puedan modificar las reglas de los juegos o actividades y debe dar algunas recomendaciones o pautas si se alejan de su objetivo pedagógico (“¿…qué les parece si hacemos esto o aquello?”, y esperan la opinión o los puntos de vista de los niños).Si se trata de repartir cartas o fichas, permita que ellos mismos sean quienes lo hagan ya que estarán desarrollando estrategias para el conteo, para ordenar y no repetir ni omitir al contar (correspondencia uno a uno), etc. No importa si en los primeros ensayos no tienen igual cantidad

12

de cartas o fichas, cuando se den cuenta de las ventajas o desventajas que produce una mala repartición de cartas, ellos mismos serán cuidadosos al momento de repartir y los participantes también reclamaran en caso les falte o les sobre alguna, realizaran comparaciones entre ellos para demostrar y justificar que efectivamente el reparto es incorrecto e injusto. El desarrollo del pensamiento estratégico es fundamental, ya que esto les brindará las suficientes herramientas al momento de diseñar estrategias en la resolución de problemas que usted les proponga, por lo tanto, si por ejemplo, inicialmente no se dan cuenta que es importante que todos los participantes del grupo deban tener la misma cantidad de cartas o fichas al inicio, no intente explicarles el por qué ni intente forzarlos a usar las reglas, solo podría preguntarles si les parece lo mismo que algunos tengan más o menos cartas, si no se dan cuenta o no les interesa responder a su pregunta, déjelos que jueguen, y sistemáticamente luego de varias veces de realizar el juego, mientras van diseñando y desarrollando sus estrategias para ganar, se darán cuenta de las ventajas o desventajas que esto puede generar.

Así mismo, constantemente debe pedir a los niños y niñas que registren los puntos obtenidos o perdidos, inicialmente lo harán usando representaciones figurales o gráficas y de manera desordenada, luego de muchos intentos, mejoraran sus sistemas de representación y empezaran a usar los números, el orden, tablas, colores, para diferenciar características o jugadores. Como se dijo inicialmente, la idea es que estos juegos se desarrollen diariamente, intercalándolas hasta que se hayan logrado comprender las nociones que estás detrás y hasta que hayan podido diseñar estrategias, para repartir, para contar, para registrar su información, para ganar, etc.

1.4.1 Actividades de Cambiar y Combinar

Actividad 01: Armando collaresUna actividad tradicional, sobre todo en las aulas del nivel inicial es ensartar bolas en un hilo fuerte con el objeto de formar collares de distinta longitud en los que se puedan alternar los colores. Si bien se trata de una actividad que trabaja la motricidad fina, para nosotros debe ser una oportunidad para proponer e invitar a resolver un problema elemental de sumas o restas

Actividad 02: La buena cestaSe colocan sobre la mesa hojas con dibujos de canastas que por dentro llevan huevos en cantidades diferentes. Cada alumno va a recibir una consigna que le indica cuántos huevos debe colorear y además cómo debe colorearnos, por ejemplo: Una vez recibida la consigna, los niños y niñas deben encontrar cuál de las canastas responde a sus necesidades (en nuestro ejemplo, la canasta con 5 huevos). Solo pueden empezar a colorear una vez que estén seguros de haber escogido la cesta adecuada. Los niños van acumulando puntos según si han seguido la consigna y si no sobra ningún huevo al colorear lo indicado.

Actividad 03: EL Trencito viajero

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¿Cuántas bolas tienes en tu collar? Si tienes cinco y te doy dos bolas más, ¿cuántas tendrá tu collar?

Si ahora tienes siete bolas y quitas todas las rojas, ¿cuántas bolas blancas te van a quedar?

3 , 2

Es usual también trabajar en clase los medios de transporte, dentro de ellos los trenes. También podemos aprovechar este espacio para trabajar la resolución de problemas.Debe destinar algunos espacios del aula como estaciones donde el tren tendrá que hacer algunas paradas para que pueda dejar y recoger pasajeros. Puede colocar carteles con los nombres de las estaciones: La estación de Tarapoto, de Cuñumbuqui, de Juanjui, etc.Uno de los niños hace de locomotora (primer vagón con el motor), y al ritmo de una canción que usted se puede inventar alusiva a los trenes, los niños se van agarrando en fila india avanzando por distintos sectores de aula. El recorrido puede empezar con tres niños, por ejemplo, a los que se les va sumando o restando algunos más de acuerdo a las instrucciones del profesor.

Se pueden hacer sucesivos cambios tanto para aumentar el número de niños que forman el tren como para disminuirlo.Luego puede formar trenes de colores cortos (el tren rojo, amarillo por ejemplo). Finalmente en un momento dado, puede hacer que los pasajeros de estos trenes puedan unirse para trabajar situaciones de combinación. El tren rojo viene de Juanjui y llega a Tarapoto. El tren amarillo viene de Cuñunbuqui y también llega a Tarapoto. Los dos trenes ahora deben unirse para ir a Moyobamba. ¿Cuántos niños forman el último tren?Puede pedirles que representen esta última situación con las regletas de Cuisenaire, realizando la correspondencia de colores (regleta roja y amarilla) para que los niños busquen la regleta que es igual de larga que las dos anteriores juntas.

Actividad 04: El mercadillo en el aulaEn diversos rincones del salón se instalan vendedores de fruta, de productos lácteos, de carnes, pescados, productos de aseo, etc. Los artículos pueden ser cajas o envolturas de productos, o elaborados con plastilina o dibujados en un papel.El dinero estará formado por fichas de distintos tamaños, que representarán un, cinco y diez nuevos soles. Más adelante o para los estudiantes de los grados superiores podrá usar fichas que representen un, cinco, diez, cien nuevos soles, sobre todo cuando trabaje al enseñanza del sistema de numeración decimal. Cada tienda debe colocar precios a sus artículos. Un grupo de la clase hará de los vendedores y el otro grupo de compradores. En otro momento pueden intercambiar los roles.En este contexto del mercadillo en el aula surgen variadas situaciones que le dan credibilidad al juego. Algunos niños pondrán precios muy elevados a sus productos y nadie podrá comprarlos, otros querrán gastar todo su dinero en un único producto. Conviene que cada comprador parta de una cantidad fija de dinero.

Podría asignar diferentes tipos de problemas tanto a los compradores como a los vendedores.La idea es que los niños mismos, mediante la discusión conjunta y el trabajo cooperativo puedan resolver las situaciones propuestas.Antes de que los niños cambien de roles, pídales a todos los estudiantes que hagan un balance del dinero que tienen entre todos. Luego recoge todo el dinero y lo vuelve a repartir.Este balanceo puede dar lugar a problemas como los siguientes:

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¿Cuántos niños forman el tren? Tres. Muy bien. Juanito, Ángel y María que se pongan detrás del y tren. ¿Cuántos niños hay ahora en el tren?

¿Cuántos soles tiene? Catorce. Si te gastas S/. 6 en comprar esto, ¿cuántos soles te quedan?Tienes S/. 12. Si vendes tres manzanas, ¿cuánto dinero tendrás al final?Cambio con la situación final desconocida.

Tienes S/. 7. ¿Cuántos soles tienes que ganar en la venta para tener S/. 12?Tienes S/. 15. Gastas Si vendes tres manzanas, ¿cuánto dinero tendrás al final?Cambio con la situación final desconocida.

Tienes S/. 15. Gasta en la frutería de manera que al final de todas tus compras te quedan S/. 6 para el otro puesto. ¿Cuántos soles podrás gastar en la frutería?Problemas de Cambio con la situación de cambio desconocida.

Actividad 05: Ordenando los huevosEsta actividad es elemental y puede plantearla a los niveles más elementales. Consiste en formar una docena de huevos de plastilina para guardarlos en un recipiente con 12 huecos de los puede conseguir en casa.

En el transcurso de la actividad se pueden plantear preguntas del tipo:

Luego, en otro momento esta situación puede repetirse sobre una placa de puntos de manera que, más adelante, se pueda representar la situación exclusivamente con este material.

Actividad 06: Árbol de manzanasCada jugador debe armar 20 bolas de plastilina en forma de manzana además debe tener el dibujo de un árbol grande en un papelógrafo. Se tira un dado por cada jugador y cada uno tendrá que colocar tantos manzanas en su árbol como puntos haya marcado el dado. Gana aquel que termine de colocar antes sus manzanas.Mientras ellos van jugando puede plantear las siguientes preguntas:

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Pedro tiene S/. 7, Carmen S/. 9 y yo S/. 6. ¿Cuánto tenemos entre todos?Problemas de Combinación con la situación final desconocida.

Si yo he dado S/. 6 y en total tenemos S/. 22, ¿cuánto dinero han puesto los demás?Problemas de Combinación con el dato parcial desconocido.

Si has hecho 6 huevos y tu compañero te da cuatro más, ¿cuántos huevos tienen entre los dos? Problemas de Cambio con el dato final desconocido.

Has hecho 8 huevos y sabes que tienes que hacer algunos más para llegar a la docena, ¿cuántos te faltan hacer? Problemas de Cambio con el cambio desconocido.

Tengo 7 manzanas colocadas en mi árbol. Me ha salido un cuatro, ¿cuántas manzanas tendré colocadas luego de colocar las manzanas que me indica el dado?

Problemas de Cambio con la situación final desconocida.

Tengo 15 manzanas colocadas en el árbol. ¿Cuánto te tiene que salir en la próxima tirada para que coloques las 20 manzanas?

Problemas de Cambio con el cambio desconocido.

Actividad 07: Los bolosArme 6 u 8 bolos con botellas de gaseosa de plástico vacías (puede llenarlos con arena o algunas piedras para que no pierda el equilibrio tan rápidamente. Cada bolo debe tener un valor numérico diferente según los fines pedagógicos que persigan, por ejemplo, algunos pueden valer 10 puntos, otros 100, otros 2, otro 8 para tratar de formas decenas completas, otros 17 y 3 para formar 2 decenas completas, etc.Adicionalmente necesita una pelota por cada juego de bolos.El juego consiste en colocar de 6 a 8 bolos que los niños procuran derribar en dos lanzamientos de la pelota. En este caso, se tira la pelota por primera vez y se retiran y anotan los bolos tumbados. Luego en un segundo tiro se debe intentar tumbar los bolos que quedan. Luego del segundo tiro se deben sumar y anotar los bolos derribados y adicionarlos al primer grupo de bolos.Se sugiere dar un papelógrafo a los niños para que ellos mismos desarrollen sus propias estrategias tanto para resolver las situaciones como para sus representaciones.Durante el juego se pueden plantear algunas preguntas:

El juego se va haciendo más complejos para los niños conforme van sumando los resultados parciales obtenidos en varias tiradas, ya que el resultado final supera la decena. Ellos los obliga a llevar un registro de los bolos derivados cada vez que sea difícil hacerlo con los dedos. Los bolos se deben colocar de tal manera que no haya forma de recordar o de volver a mirar los puntos si no es realizando anotaciones en un papel (si a los niños no se les ocurre registrar en un papel por sí mismos, usted debe hacer la sugerencia).

Actividad 08: Juegos sobre caminos.Todos los juegos sobres caminos o circuitos con premios y castigos en general, son motivo de inmensa concentración sobre para los niños. Estos juegos encierran tanto problemas de cambio como de combinación.Cuando se tira el dado se deben avanzar tantas casillas como marca. Ellos pre supone un adecuado dominio de las representaciones de los puntos del dado. De esta forma se cambia la posición de la ficha en un aumento registrado por la cantidad representada en el dado.Si en vez de un dado se tiran dos, para avanzar tantas casillas como indica la suma de ambos números, el problema viene a ser de combinación. En este segundo ejemplo se pueden plantear las siguientes preguntas:

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En el primer lanzamiento has tirado 3 bolos y 2 en el segundo, ¿cuántos bolos has derribado al final?Problemas de Combinación con la situación final desconocida.

Has conseguido cinco bolos en el primer tiro. ¿Cuántos tendrás que derribar en el segundo tiro para tumbar los ocho bolos que había al principio?Problemas de Cambio con el cambio desconocido.

Te ha salido un seis, ¿a qué casilla tienes que ir? Problemas de Cambio con la situación final desconocida.

Te ha salido un cuatro y un seis, ¿en qué casilla debes poner tu ficha ahora? Problemas de Combinación con la situación final desconocida.

Estás en la casilla 15, si quieres llegar a la casilla 21 que te regala 10 puntos, ¿cuánto deberías sacar en el dado? ¿Cuánto deberías sacar en la siguiente tirada con los dados para llegar a la meta?¿Cuánto te falta para llegar al final?Problemas de Cambio con el cambio desconocido.

Actividad 09: Cálculo de edadesEl cálculo de las edades es siempre un tema complejo para los niños en sus primeros trabajos con los números.Su concepto del tiempo no está bien asentado aún, entre otros motivos porque no es directamente perceptible. Para trabajar el tema de las edades, y sus representaciones, por el momento es natural en los niños usar sus dedos y la extensión de estos. De esta manera podrán resolver situaciones como:

También puede usar para representar las Placas de Puntos o los Cuadrados Unifix:

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Ahora tienes 6 años. Dentro de 4, ¿cuántos años tendrás?Problemas de Cambio la situación final desconocida.

Tienes seis años, ¿cuántos te faltan para cumplir los 11 años?Problemas de Cambio con el cambio desconocido.

Por ejemplo:

También las regletas de Cuisenaire, veamos:

Actividad 10: Medios de transporteLos medios de transporte son un medio muy adecuado para introducir problemas aditivos. El número de pasajeros que suben implica un problema de cambio aumentado, mientras que el de cambio disminuyendo se da si los viajeros bajan del autobús o del vehículo que se trate.Esta situación la pueden representar de diversas maneras, pero una interesante es usando la “Máquina operadora de Dienes”.La máquina operadora de Dienes consiste, como es conocido, en una “entrada” donde se coloca el conjunto de partida, un “operador” que ejecuta el cambio aumentando o disminuyendo, y una “salida” que cuantifica el resultado. Su utilidad se reduce a los problemas de Cambio pero en ellos su potencialidad es grande por cuanto las acciones ejecutadas (cambiar fundamentalmente) son especialmente transparentes.

Además de los problemas mencionados ya, cuando es el final o el mismo cambio las cantidades desconocidas, otros problemas pueden surgir en este contexto, como es el caso de que la cantidad inicial sea la incógnita.

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Hay varios pasajeros en el autobús. Suben tres más y entonces ahora son 12. ¿Cuántos pasajeros había al inicio?Problemas de Cambio la situación inicial desconocida.

Hay varios pasajeros en el autobús. Se bajan 4 y ahora quedan 8, ¿Cuántos pasajeros había dentro antes de que se bajen los 4?Problemas de Cambio la situación inicial desconocida

Este último ejemplo, también puede resolverse usando la “Máquina operadora de Dienes”, en este caso un niño haría de operador, otro de salida y el resto de niños del grupo tiene que determinar la cantidad inicial. Ver el siguiente dibujo:

Dado que esta situación es compleja conviene que sean los propios niños de manera cooperativa, los que la alcancen solo si su capacidad se los permite. No los fuerce resolviendo y explicando cómo se resuelve este tipo de situaciones.

Actividad 11: ganar y perderMateriales. Dos dados de distintos colores. El dado puede tener las cifras habituales u otras (solo con 1, 2 y 3 puntos dos veces cada uno) o usando los guarismos de los números de su representación con puntos. Chapas, taps, fichas, etc.Actividad:

En cada grupo un niño hace de “banco” y tiene todas las fichas. Luego este reparte a todos los participantes del grupo cierta cantidad de fichas acordadas inicialmente. Inicialmente se puede jugar con un solo dado. Con lo que se sugiere que cada niño empiece el juego con 3 chapas, taps, fichas, etc.La idea del juego es que el niño gane la cantidad de fichas, chapas, taps o puntos que marca el dado y que vaya registrando cuántas fichas tiene al final de cada ronda. Así mismo, si juega con dos dados iguales puede hacer que ganen tantos objetos o tantos puntos como sumen los dados. Luego cuando el niño ya comprenda la idea de ir agregando o ganando cantidades u objetos, puede introducir el dado de otro color, que representará la acción de quitar o perder (en este caso quizá sea conveniente empezar con 6 chapas, taps, fichas o más y no con 3 como se señaló al inicio. Dicho en otras palabras, si los dados son de distinto color, uno hace que se ganen puntos y el otro que se pierdan puntos. (Recuerde permitir que los niños desarrollen sus propias estrategias de resolución).Gana el niño que al final tiene más fichas. Luego rotan los roles otro niño hace de “banco”.Si trabajamos en una pista con casilleros, un color puede significar avanzar y otro color puede significar retroceder. Otra variante del juego podría ser: se les entrega a los niños una caja forrada y cerrada con una ranura para poder ingresar más fichas y con una cantidad inicial de fichas que ellos desconocen.

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Luego se les pide que tiren un dado, y esa será la cantidad de fichas que deberán introducir en la caja. Finalmente, deberán adivinar cuántas fichas había inicialmente. Se les recuerda a los niños que agregaron una determinada cantidad de fichas y se les invita a abrir la caja para que puedan manipular las fichas y desarrollar sus propias estrategias. Si es necesario, se les pide que dejen el dado con la cantidad de fichas que se agregaron para que no se les olvide dicha cantidad.

1.4.2 Actividades de Comparar e igualar:

Actividad 12: Construcción de torresLa actividad consiste en entregar a los niños bloques de construcción y cada niño debe formar la torre más alta que pueda. Todas las piezas deben ser iguales y sobre todo deben ser de la misma altura de manera que la cantidad de piezas colocadas deba ser suficiente para comparar las alturas de las torres.Surgen así de manera fácil las comparaciones realizadas entre las torres de dos niños o entre una torre y la realizada por el mismo niño un momento antes.Cuando los niños han realizado su torre puede preguntar:

Actividad 13: Actividades de emparejamientoEsta es una actividad sencilla en la que se invita a los niños a trazar una línea entre cada elemento del primer conjunto con un elemento del segundo, pudiéndose precisar después dónde sobran elementos y cuántos sobran. Antes de usar representaciones gráficas es preferible que trabaje con material concreto. Para el ejemplo dado, algunas chapas podrían representar a los perros y algunos frejoles podrían representar los huevos.

Actividad 14: Fichas para completarSe preparan fichas con un diagrama de Venn incompleto, ejemplo:

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¿Cuál es la torre más alta? La de Juan. ¿Cuántos pisos tiene una más que la otra? Problemas de Comparación con diferencia desconocida.

¿Cuántos pisos tiene la torre que has hecho antes? ¿Cuánto le falta a esta para ser tan alta como la que has hecho antes?Problemas de Comparación con diferencia desconocida.

La torre de tu compañero tiene 12 pisos y la tuya tiene ahora 8, a ver pon los pisos que le falta a la tuya para ser igual a la de tu compañero ¿Cuántos pisos tienes que colocar? Problemas de Igualación con diferencia desconocida.

Aquí tienes varios perros y varios huesos. Si cada perro se come un hueso, ¿habrá perros sin hueso o sobrarán huesos? ¿Cuántos? Problemas de Igualación con diferencia desconocida.

Si sobran perros, ¿cuántos huesos habrán que añadir para que todos los perros coman?Problemas de Igualación con diferencia desconocida.

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El problema consiste en dibujar los elementos que faltan para igualar a la cantidad numérica que viene señalada.Está actividad la puede realizar con material concreto si desea o con representaciones gráficas como la mostrada.

Puede retomar la actividad 5: Ordenando huevos para plantear preguntas de igualación. Ejemplo:

Actividad 15: Cuatro en rayaEste es el típico juego conocido por todos, que consiste en formar una línea horizontal, vertical o diagonal con 4 fichas seguidas. El juego comienza cuando un niño pone una ficha, sigue la ficha o marca hecha por el otro niño, y así se van turnando hasta que uno de ellos consigue la línea de cuatro marcas Seguidas.Si no cuenta con el juego, puede usar una papelógrafo cuadriculado de 6 x 6 y pegarlo en la pared, de tal manera que el niño no podrá poner una marca o pieza en la segunda fila si de abajo no hay otra marca hecha previamente. Si ésta última regla les resulta compleja, la puede omitir sin problemas y los niños podrán poner sus fichas donde les convenga. Este juego de comparación entre cantidades pequeñas (las 4

marcas que hay que hacer y las marcas que se tienen hechas) los lleva a realizar comparaciones. Los niños que juegan suelen decir expresiones del tipo: “¡Me faltó una!”, que nos da cuenta que está realizando comparaciones.

Actividad 16: El mercadillo en el aula (parte 2)La actividad del mercadillo en el aula propuesto anteriormente puede ser retomada y ampliada para formular situaciones de comparación e igualación. Por ejemplo:

Al momento de que los niños intercambien roles, es importante que cada miembro de un equipo disponga de la misma cantidad inicial de dinero. De esta forma, los que han ganado más repartirán su exceso de dinero con el resto lo que generará ciertos problemas de igualamiento.

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¿Cuántos huevos has hecho ya? Cinco, ¿Cuántos te faltan para obtener 12? Problemas de Igualación con diferencia desconocida.

¿Quién de ustedes dos ha vendido más? Yo, ¿Cuántas piezas más que tu compañero has vendido?

Mira. Tu compañero ha vendido ya 8 manzanas, ¿cuántas más tienes que vender tú para vendas lo mismo que él?Problemas de Igualación con diferencia desconocida.

Si en este equipo pablo tiene S/. 9, Jorge S/. 6 y Carmen S/ 12, ¿cómo pueden repartir el dinero de manera que todos tengan lo mismo al final?

Actividad 17: Los bolos (parte 2)La actividad de los bolos también puede ser complementada con preguntas de igualación y comparación, veamos:

Actividad 18: Cálculo de edades (parte 2)La situación anterior puede ser ampliada con las siguientes preguntas:

Actividad 19: Juegos de escondite:Organización del aula: Todo el salón (a menos que todo el aula sea muy grande).Materiales. 10 objetos iguales, 10 naranjas por ejemplo.Actividad: Divide a los niños del aula en dos grupos, de tal forma que algunos niños puedan esconder objetos y el otro encontrarlos. Para esto puede preguntarles: ¿quién quiere esconder naranjas?, ¿quién quiere encontrarlas?, ayude a que ellos mismos se organicen y decidan quien va a hacer una u otra cosa.Cuando el grupo que encuentra ha encontrado tres naranjas (por ejemplo), puede preguntarles: ¿cuántas más tiene que buscar?, luego cuando hayan encontrado 7 naranjas puede preguntar: ¿cuántas naranjas me faltan encontrar?Gana el grupo que encuentra las diez naranjas. Otro juego de escondite puede que con palitos de chupete o baja lenguas. Se les muestra el total de palitos a los niños, luego se esconden todos bajo la mesa con las dos manos. Luego, se sacan, por ejemplo, cuatro en una mano. Finalmente se les pregunta por cuántos palitos hay bajo la mesa y por qué creen eso. Cuando este juego se haga muy fácil, entonces empiece ha hacerles algunas preguntas con la intención que se den cuenta de una “trampa” por ejemplo, puede esconder uno o dos palitos entre sus piernas, podría preguntarles a los niños y niñas qué creen que ha pasado? Este tipo de “bromas” da ha los niños la oportunidad de consolidar su razonamiento.

Actividad 20: Siempre diez1:1 Actividad extraída del informe de resultados de la ECE 2010. Pág. 20.Plantee esta actividad solo si grupo ya posee los saberes previos para comprender la situación.

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De los dos, ¿quién ha derribado mas bolos en total?, ¿Por cuántos ha ganado?

Jorge ha tirado 16 bolos en sus tres tiradas. Tú llevas once en tus dos tiradas anteriores. ¿Cuántos tienes que tirar ahora para igualar a Jorge?

Tú llevas 11 puntos de tu primera tirada, si Juan lleva 23 puntos en su segunda tirada, ¿cuántos puntos tendrás que tirar para igualar a Juan?

¿Cuántos años tienes?, ¿y tu hermano?, ¿quién es el mayor? Jeremías.¿Cuántos años más que tú tiene Jeremías?

Colocar una ficha por cada año que tengas aquí arriba. Ahora coloca acá abajo, otras fichas por cada año que tenga Jeremías. ¿Puedes responderme ahora la pregunta?

Organización del aula: Parejas de niños.Materiales. Diez piedritas, semillas o frijoles y dos platos o papeles por pareja de niñosActividad:

Antes de plantearles el problema inicie con algunas actividades de exploración. Por ejemplo:• Pídales que libremente distribuyan las diez piedritas en dos platos (u hojas de papel).• Luego, pídales que expresen oralmente cómo las distribuyeron.• Deje que comparen sus respuestas.• Pregúnteles: ¿Todas sus respuestas son iguales? Por ejemplo, algunas de sus respuestas podrían ser:

Continúe con las preguntas de exploración:

¿Podemos tener dos piedritas en un plato y siete en el otro?¿Podemos tener la misma cantidad de piedritas en cada plato?

Luego, plantéeles la siguiente situación y escríbala en la pizarra:

Tengo diez piedritas y deseo colocarlas en dos platos. ¿Cómo las puedo colocar para que un plato tenga dos piedritas más que el otro?

Para comprender el problema: Pídales que escuchen la situación con mucha atención. Puede repetirla las veces que sean necesarias o dejar que la lean hasta que les quede clara. Luego pregúnteles:• ¿En qué consiste la situación?• ¿Cuántas piedritas tenemos?• ¿En cuántos platos debemos colocarlas?• ¿Qué debemos tomar en cuenta para repartir las piedritas?Oriente la conversación para que los niños concluyan que se debe tener en cuenta tres condiciones:• Usar las diez piedritas• Distribuirlas en dos grupos• Que un grupo tenga dos más que el otro

Para diseñar o adaptar una estrategia:Pídales que vuelvan a poner sus piedritas tal como las pusieron al inicio.Pregúnteles si la distribución que hicieron antes cumplía las tres condiciones.Pídales que le expliquen cuál o cuáles son las condiciones que no se están cumpliendo, de darse el caso.Pregúnteles qué pueden hacer para que en un plato tengan dos piedritas más que en el otro.Conversen al respecto.

Para aplicar la estrategia:Pídales que pongan en práctica lo conversado en la fase anterior.Permita que realicen diversos ensayos.Conforme vayan encontrando posibles respuestas, recuérdeles que deben comprobar si cumplen las condiciones dadas.Si luego de varios intentos, no lograran encontrar una respuesta correcta, sugiérales que inicien colocando la misma cantidad de piedritas en cada plato. Luego, recuérdeles que en un plato debe

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haber más piedritas que en el otro. Pregúnteles: ¿De dónde sacarían piedritas para aumentar a uno de los platos? ¿Cuántas piedritas sacarán?Luego de sacar piedritas de un plato para colocarlas en el otro, ¿cómo son las cantidades de piedritas en cada plato?, ¿iguales?, ¿diferentes?, ¿una mayor que la otra?, ¿por cuánto?, etc.

Para reflexionar: Finalmente, haga que verifiquen si su nueva distribución cumple con las condiciones dadas.Pídales que comparen sus respuestas.Luego pregúnteles: ¿Cómo hicieron para encontrar sus respuestas? ¿Todas las respuestas son iguales?Luego plantee otras actividades:• Pídales que distribuyan las diez piedritas en los platos, de manera que se coloque la menor cantidad posible en uno de los platos. Espere respuestas como cero piedritas o una piedrita. Discutan sus argumentos.• ¿Se puede colocar las diez piedritas de tal manera que en un plato se tenga tres piedritas más que en el otro? (Como el problema no ti ene solución, asegúrese de que el niño compruebe sus conclusiones y que las argumente).• ¿Es posible colocar las diez piedritas de tal manera que en ambos platos tengamos cantidades impares de piedritas?¿Y cantidades pares en los dos platos? ¿Y una cantidad impar en un plato y otra par en el otro? (Esta última situación no es posible).Gradúe las preguntas de esta última fase de la resolución del problema tomando en cuenta los saberes previos de los niños y niñas con los que esta trabajando.

Actividad 21: La tienda de juguetes2:Organización del aula: Grupos de cuatro niños.Materiales. 10 billetes de papel de S/. 1 cada billete por grupo Arme una tienda con productos y carteles con sus respectivos precios o coloque en la pizarra la siguiente situación:

2 Actividad adaptada del informe de resultados de la ECE 2010. Pág. 18. Plantee esta actividad solo si grupo ya posee los saberes previos para comprender la situación.

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Para comprender el problema:Pídales que lean el problema las veces que sean necesarias y luego pregúnteles:• ¿Cuánto cuesta una muñeca?• ¿Cuánto cuesta un trompo?• ¿Cuánto dinero tienen?• ¿Cuál es el juguete más caro? ¿Y el más barato?• ¿Qué juguetes cuestan menos de S/. 5?• ¿Qué juguetes pueden comprar con su dinero?• ¿Puedo comprar dos juguetes?, ¿cuáles y por qué?• ¿Qué nos pide el problema?• ¿Habrá una única respuesta al problema? ¿Por qué?

Para diseñar o adaptar una estrategia:Pregúnteles, a los niños:¿Se puede comprar todos los juguetes?, ¿de qué depende? Oriéntelos a considerar que solo puede gastar S/. 10 como máximo.¿Podrá comprar dos pelotas? ¿Se puede comprar algo más si compra las dos pelotas? Tenga en cuenta que se puede comprar más de un juguete del mismo tipo considerando el dinero disponible.¿Es necesario gastar todo el dinero? Oriente a los niños para que concluyan que no es necesario gastar todo el dinero; la única condición es que el gasto sea menor que S/. 10.¿Qué podemos hacer para resolver el problema? Algunos responderán que pueden jugar con los billetes y los precios, otros dirán que pueden hacer un gráfico o un dibujo, otros dirán que pueden juntar los precios y comparar con los S/. 10, otros dirán que pueden sumar y luego restar, etc.Si es necesario, pídales a los niños que hagan simulaciones con los productos y con sus billetes, para que así prueben qué juguetes pueden comprar con S/. 10.

Para aplicar la estrategia:Algunos niños podrán realizar sus cálculos directamente sin realizar una simulación. Permítales que los hagan y monitoree constantemente su trabajo.Oriéntelos para que busquen diversas respuestas; sin embargo, si no encuentran todas las respuestas posibles, no insista, ya que esto se puede retomar en la fase de reflexión.

Para reflexionar: Pídales sus respuestas.Pídales que verifiquen las respuestas y que expresen si son válidas.Pídales que busquen otras respuestas y que las verifiquen.Pregúnteles, ¿cuántos juguetes pueden comprar?Permita que los estudiantes se den cuenta de que la cantidad de juguetes que pueden comprar depende del precio de los juguetes.Luego pregúnteles:• ¿Cómo hicieron para encontrar sus respuestas?• ¿Por qué encontraron diferentes respuestas?• ¿Todos los problemas deben tener una sola respuesta?Conversen acerca de que hay problemas que tienen una única respuesta, otros tienen varias respuestas (como este caso), y otros no tienen respuesta.Como actividad adicional, proponga:

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Observe la siguiente lista de precios:

Si tienes S/. 10, ¿qué juguetes podrás comprar?

Si la

Lista de precios:

Muñeca: S/. 5Carrito: S/. 2Trompo: S/. 1Pelota: S/ 3

Si quieres regalar una muñeca a tu hermanita y un carrito a su hermanito, ¿qué juguetes puedes comprarte para ti?

Gradúe las preguntas de esta última fase de la resolución del problema tomando en cuenta los saberes previos de los niños y niñas con los que esta trabajando.Esta última actividad trabaja la resolución de problemas de varias etapas que aluden a la adición en sus significados de combinar, comparar e igualar y combinaciones de estos. Asimismo, analizar problemas de varias respuestas. Por lo que es considerada una actividad más integradora.

1.5. Enseñanza de los algoritmos de adición y sustracción

1.5.1 Por qué no debemos enseñar algoritmos“¿Por qué queremos que los niños reinventen la aritmética? Los algoritmos de hoy son el resultado de siglos de construcción por parte de matemáticos adultos. Al tratar de enseñarles una forma predeterminada los resultados de siglos de reflexión de personas adultas, privamos a los niños la posibilidad de pensar por su cuenta. Los niños de hoy inventan los mismos tipos de procedimientos que inventaron nuestros antepasados y necesitan pasar por un proceso similar de construcción para llegar a ser capaces de comprender los algoritmos de los adultos.Los primeros métodos de los niños son indiscutiblemente ineficaces. Sin embargo, cuando los niños tienen libertad de pensar por su cuenta, inventan procedimientos cada vez más eficaces, como hicieron nuestros antepasados. Cuando tratamos de que los niños pasen por alto el proceso constructivo, les impedimos comprender la aritmética. (Kamii 1994, pág 47)”.Algunas investigaciones nos dicen que la enseñanza de los algoritmos convencionales son perjudiciales para el aprendizaje de los niños y niñas ya que:

Los algoritmos fuerzan a los niños a renunciar a su propio pensamiento numérico. Los algoritmos “malenseñan” el valor de la posición e impide que los niños desarrollen el

sentido numérico. Los algoritmos hacen que los niños dependan de la distribución espacial de la cifras.

Estas afirmaciones se sustentan sobre unos resultados reveladores. Se recogieron los resultados de operaciones resueltas por tres clases diferentes. Una de las clases pertenecía a un profesor que enseñaba con algoritmos, la otra clase con algunos algoritmos y la tercera clase sin algoritmos (incluso cuidaba e impedía que los padres les enseñará los algoritmos en casa). Los resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla.

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Se observa claramente las dificultades que tienen los niños de la clase “con algoritmos” para resolver sumas en horizontal, mientras que los niños “sin algoritmos” han desarrollado estrategias que se adaptan a estas situaciones. Similarmente, los niños de la clase “con algoritmos”, tienen dificultades en el manejo del valor de posición lo cual se evidencia en las restas (que incluyen un cero en las decenas). Es sabido que los algoritmos tradicionales provocan que el niño trabaje con distintas columnas de manera aislada, olvidando la relación entre estas. Por eso la técnica usual de la sustracción puede provocar con determinados números (por ejemplo: 504 – 306) una cantidad importante de errores, superior desde luego a los estudiantes y clases que utilizan otras técnicas alternativas.

Cuando hablamos de técnicas de cálculo no nos referimos solo a los algoritmos definitivos, más o menos conocidos, que nos proporciona de manera automática cualquier resultado. También nos referimos a otras técnicas más artesanales. Estas técnicas artesanales, inicialmente puede ser que no funcionen con la misma calidad que los algoritmos pero surgen espontáneamente al comprender el significado de las operaciones y van a jugar un papel importante en la enseñanza del cálculo.Se debe intentar que el estudiante haga evolucionar sus técnicas hasta conseguir justificar y construir las técnicas definitivas y los algoritmos. Además hay que tener en cuenta que toda técnica de cálculo va a hacer uso de unos resultados previos que se deben conocer cuando las ejecutamos (las famosas tablas de multiplicar, por ejemplo). A partir de dichos resultados y de diversas transformaciones la técnica nos va a permitir la obtención de otros resultados provenientes de cálculos más difíciles.Así pues parte del trabajo sobre la enseñanza del cálculo, consistirá de una familiarización con determinados resultados que el niño debe ser capaz de reproducir con rapidez, si queremos que las técnicas se ejecuten de manera automática. Lo importante es que este trabajo no sea el centro de las tareas escolares, sin embargo, debemos desarrollar estrategias que permitan que el estudiante recuerde tanto el 7+8 como el 15-7, la memorización de tablas no permite que el niño recuerde las sumas en ambos sentidos.

¿Recuerda usted con la misma rapidez el 7+8 como el 15-7?

1.5.2 Algoritmos de adición y sustracción:Los algoritmos los usamos cuando las personas disponemos de un repertorio de resultados previos, y cuando se quiere obtener un resultado que no está en dicho repertorio, se hacen transformaciones de los números hasta que se pueda utilizar dicho repertorio.Así para realizar la adición de 35 + 41, se necesita conocer previamente los resultados de 3 + 4 y 5 + 1. De esta manera procedemos:

Como observan, lo primero que hay que asegurar es el aprendizaje de hechos numéricos sencillos.

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Operación GradoPorcentaje de éxito en la resoluciónCon

algoritmosAlgunos

algoritmosSin

algoritmos7+12+186 Segundo 12% 26% 45%6+53+185 Tercero 32% 20% 50%

504 – 306 Tercero 38% 74%

504 – 306 Cuarto 29% 80%

35 +41

30 + 5 +40 + 1

30 + 5 +40 + 170 + 6

35 +4176

1.5.3 Memorización de los hechos numéricos:En un hecho que en un momento de los inicios de la escolaridad, el estudiante aplique hechos aditivos previamente memorizados.Cuando el niño independiza sus estrategias de las estructuras aditivas es cuando podemos hablar de problemas de sumas y restas, y cada uno encierra toda la variedad que ya hemos mencionado anteriormente.Es aquí donde las sentencias numéricas, las representaciones canónicas, que son las representaciones simbólicas numéricas de las situaciones, adquieren real valor y la niña y el niño podrán hacer uso de hechos conocidos una y otra vez.¿Debemos enseñarles largas listas de sumas y restas entre dos números de un dígito?¿Se tienen que agrupar de alguna manera, de manera similar a la multiplicación? ¿Se puede favorecer la memorización de otra manera?

Lo que recomendamos es brindar estrategias para los que niños y las niñas puedan deducir un hecho de otro anterior pero más sencillo, por ejemplo:

1. Ceros: La suma de ceros no supone ningún problema. Cuando se suma cero todo queda igual. 2. Conmutatividad, esta es una de las primeras propiedades que descubren de manera intuitiva. 3. Conteo ascendente: Cuanto se domina la secuencia numérica y se sabe contarla

ascendentemente de dos en dos, de tres en tres, sumar 1, 2 ó 3 a cualquier número es algo sencillo de resolver. Aunque al principio haya que apoyarse en los dedos para llevar la cuenta.

4. Dieces: Sumar 10 a un número de una cifra es muy simple. En el lenguaje escrito basta con incorporar un 1 a la izquierda del número dado, o lo que es lo mismo, sustituir el 0 del 10 por el número en cuestión.

5. Dobles: Otros de los primeros hechos aditivos que los niños pueden memorizar son los dobles: 2+2, 5+5, etc. En el caso de las restas, ellos implica la facilidad de resolver: 4-2; 10-5, etc.

6. Dobles más/ menos uno: A partir de los dobles se pueden deducir una serie de resultados aditivos y sustractivos cuando un elemento de la operación sea el doble más/ menos uno del otro elemento. Ejemplo:

3+2, es lo mismo que (2+2) + 1 o también (3+3) – 1 9-5, es lo mismo que (10-5)-17. Dobles más o menos dos: Ejemplos: 8+6, es lo mismo que (6+6) + 2 Para el caso de las restas no es muy aplicativo.8. Los nueves: Sumar nueve es como sumar diez menos uno. 9. La familia del diez: Aproximarse a las sumas básicas por familias es un enfoque digno de tener

en cuenta. Se trata de organizar los datos por parejas que sumen lo mismo.

10. Buscando el diez (BD): A veces, cabe la posibilidad de recurrir a la descomposición de uno de los sumandos de tal manera que se pueda completar el otro a diez: 7 + 4 = (7 + 3) + 1; 8 + 5 = (8 + 2) + 3

1.5.4 Actividades para la memorización de los hechos numéricos:

28

Actividad 22: Juego del encuadramientoSe dispone de una colección de fichas numeradas del 1 al 10 y el siguiente tablero.

Reglas:1. Cada jugador coge sus números. Uno jugara sobre las casillas

blancas y el otro sobre las casillas negras.2. Por turnos cada jugador coloca una de sus fichas en una de sus casillas libres.3. El juego se termina cuando ambos han colocado todos sus números4. Se considera que se ha realizado un encuadramiento, cuando un número es igual a la suma

o resta de los otros dos que lo rodean.5. Gana quien, al terminar, ha conseguido más encuadramientos.

Por ejemplo: En el siguiente juego han ganado los negros, ya que han encuadrado cuatro mientras que los blancos solo tres.

Actividad 23: Doble guerraOrganización del aula: en parejas o en grupos de 3Materiales: 40 cartas del 1 al 5 (8 de cada número) por pareja o grupos de 3Actividad:Se reparten las cartas de manera que cada niño o niña tengan igual número de cartas. Si sobran algunas se apartan.Cada niño debe repartir sus cartas en dos pilas iguales, las cuales deberán estar colocadas boca abajo. La intención es que cada niño saque al centro de la mesa dos cartas por turnos, el que tiene mayor suma de puntos se lleva todas las cartas que se han puesto al centro de la mesa.

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5 41

8 2 5

6

94

2 8 10 3

17

3

106

976

Se trata de que los niños inicialmente descubran quien tiene mayor cantidad de puntos a partir del establecimiento de relaciones del tipo: “la carta 4 no se toma en cuenta porque todos tenemos esa carta, por lo tanto gana Carlos que tiene la carta 5”, “Verónica y Sebastian tenemos las mismas cartas, por lo que solo hay que compararlo con las cartas del Carlos”, “Carlos tiene mayor cantidad de puntos, pues 4 + 1 es 5, y solo una de las cartas de Carlos es 5”.Inicialmente los niños no realizaran ese tipo de relaciones, sin embargo, aún sin saber sumas, contaran los puntos de las cartas para hallar el total de puntos y determinar el total, luego de a pocos, hay que fomentar que establezcan el tipo de relaciones descritas en el párrafo anterior. Quizá para algunos casos se podría agregar una regla al juego, por ejemplo: “que en esta tirada no vale realizar sumas”, y que tienen que ver otra manera de realizar comparaciones. Puede variar las cartas usando números del 1 al 10 (4 de cada número) o usando cartas con representaciones simbólicas (dibujo de un círculo, de dos círculos, etc.) de los números además de los guarismos.

Actividad 24: Diversas descomposiciones:A pesar de que recomendamos no trabajar tablas, si recomendamos usar diversas descomposiciones del número. Por ejemplo:

Puede realizar concursos con los niños para ver quien encuentra más composiciones y descomposiciones de un mismo número en dos minutos.

Actividad 25: El bingoEsta idea es una adaptación del bingo tradicional. Los bolos o bolas con números deben ser del intervalo que le convenga a sus fines pedagógicos. En este caso como la idea es que aprendan hechos numéricos podemos usar bolos del 1 al 20.Cada tarjeta debe tener unos 9 ó 10 números como se muestra. Puede elaborar distintos tipos de tarjetas según sus necesidades. A continuación algunos ejemplos de tipos de tarjetas:

30

91 + 82+73+64+5

910 - 111 -213 - 3Etc.

131 + 122+113+105+86+7

1314 - 115 -216- 3Etc.

4

1

5 4

1

4Cartas de SebastianCartas de

Verónica

Cartas de Carlos

1+3 10+8

7+6 4+10

5+6 9+9 2+7

9+5 5+5

Conforme van saliendo los bolos, menciona. El número y separa los números para luego poder verificar que el ganador haya realizado bien sus cálculos. Los niños deben ir marcando las operaciones correspondientes en sus tarjetas, gana el primer niño que logra completar toda su tarjeta. Una vez que un niño diga bingo, todo el resto del salón debe verificar que efectivamente sus resultados coincidan con los números que han salido.

Actividad 26: El dominoEsta actividad es una adaptación del dominó tradicional. Debe adaptar las fichas de tal manera que pueda obtener sumas iguales, veamos:

Actividad 27: Adivina la cantidadOrganización del aula: en parejasActividad:Uno de los niños o el profesor coge una determinada cantidad de fichas, los niños tienen que averiguar dicha cantidad. El que adivina intenta decir un número una primera vez, y el otro niño deberá decir: “más” o “menos”. Luego cuando tengan más consolidada la noción de número podrán ir dando más pautas, por ejemplo: “una más”, “dos menos”, “diez más”, etc.La cantidad a adivinar la debe ir regulando según los saberes previos de los niños. Inicialmente puede ser solo con números menores que 6, luego con mayores a la decena o mayores a 20. Asimismo se puede ir desprendiendo del material concreto según vayan evolucionando en sus estrategias..

Actividad 28: El solitario del 10Organización del aula: Grupos de 4 a 6 niños, de a pocos puede ir disminuyendo el tamaño de los grupos.Materiales: 40 cartas numeradas del 1 al 10 por grupo. Las cartas consisten en 4 grupos de cartas numeradas del 1 al 10 (con representación numérica y simbólica simultáneamente). Un juego de cartas tradicional podría servir luego de extraer las cartas de reyes y de explicar que el 1 es representado por el As.

31

3 +2

10+10

8-6 15-7

7+5 9+7 2+13

20-5

13-6

3 - 2

10-7

8- 5 13-7

7-3 19-7 13- 614-5

11-6

2+ 3

6

5

8+ 1

9

5+ 2

7

4+1

Actividad:

El niño debe tener 40 cartas distribuidas en dos grupos de 20 cada una.EL primer grupo de 20 cartas se extienden sobre la mesa formando un montón. Solo se pueden recoger cartas bajo dos condiciones:

Que no haya ninguna carta sobrepuesta encima Que la suma de las cartas siempre sea 10. (inicialmente la indicación puede ser que solo

puede recoger dos cartas que al juntar los puntos o al sumar el resultado sea 10. Luego puede ir dejando abierta la cantidad de cartas y solo deja la condición que sumen 10).

Los niños deben deducir que si encuentran una carta 10 solos la podrá recoger sin necesidad de tener un par. Las cartas que puede juntar las colocan a un lado y sigue tratando de sacar más cartas. El solitario termina cuando hayan salido todos los pares de cartas, o cuando el juego queda bloqueado (por ejemplo: si hay una carta visible, y la única carta 2 no la puede sacar pues esta media con otra carta encima. Luego pueden colocar el segundo montón de cartas que les quedan y continuar con el juego para tratar de seguir sacando más cartas.Asegúrese que ellos decidan donde colocar el segundo montón. Encima de lo que queda en el primer montón, al lado, de a pocos ellos se irán dando cuenta de que es lo que les conviene para lograr obtener más cartas.

Actividad 29: MundoOrganización del aula: Grupos de 3 ó 4 niños.Materiales. Una tiza para pintar el suelo o maskintape o gutapercha de colores, una teja piedra plana una pizarra o papelógrafo.Actividad: Esta es un juego habitual que se puede realizar en el patio o en un espacio similar. Con la cinta maskintape, la gutapercha de colores o con la tiza se dibuja en el piso algunas de las siguientes figuras a las que llamaremos Mundo.

El juego consiste en tirar una piedra plana de manera que caiga en una de las casillas del Mundo, se gana la cantidad escrita en las casillas en la que ha caído la piedra o teja; si la piedra queda entre dos casillas, es el jugador quien elije la casilla ganadora; si cae fuera del mundo, el jugador gana 0 puntos. Los niños y niñas van registrando sus puntos (con números o con símbolos según puedan) en la pizarra o papelógrafo para que no se olviden sus puntos y para poder realizar verificaciones posteriores. Se juegan en grupos de 3 ó 4 alumnos, gana el grupo que haya obtenido más puntos con un lanzamiento por jugador. Actividad 30: Triángulos equiláteros o cuadrados.

32

7 86

4 5321

91 5

4 2

7 6

9 37

325

Estos materiales siguen el mismo principio que el dominó, solo que cada pieza ofrece más cantidad de emparejamientos que la ficha de dominó, ya que el triángulo admite tres emparejamientos por pieza, mientras que el cuadrado ofrece cuatro. Admiten todas las combinaciones que se han señalado para los dominios de números y operaciones.

33