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Mara Mayela Calvo Ballestero

Enseanza eficaz de la resolucin de problemas en matemticas

Educacin, vol. 32, nm. 1, 2008, pp. 123-138,

Universidad de Costa Rica

Costa Rica

Cmo citar? Fascculo completo Ms informacin del artculo Pgina de la revista

Educacin,

ISSN (Versin impresa): 0379-7082

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Universidad de Costa Rica

Costa Rica

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Introduccin

A pesar de que se han realizado grandes esfuerzos por mejorar la calidad y cobertura del sistema educativo, la deser-cin y el rezago escolar continan; actual-mente la preocupacin crece, dado que los ndices de reprobacin en lugar de dismi-nuir, aumentan; de acuerdo con el Estado de la Educacin Costarricense (Programa Estado de la Nacin en Desarrollo Humano Sostenible, 2005, p. 26).

La reprobacin incrementa la probabilidad de deser-cin del sistema educativo, tiene efectos psicolgicos adversos en los estudiantes reprobados y aumenta el nmero de aos que necesita la poblacin estudiantil para graduarse, lo que representa un costo financie-ro adicional para el Estado y las familias.

El Estado de la Educacin Costarricense, (Programa Estado de la Nacin en Desarrollo Humano Sostenible, 2005) muestra algunas percepciones de los nios y las nias que repiten la educacin primaria, entre las principales razones que mencionan se encuentran: la falta de esfuerzo por parte de los estudiantes, estu-dios escolares poco interesantes, lo cual

EnsEanza EfIcaz dE la rEsolucIn dE problEmas En matEmtIcas

Mara Mayela Calvo BallesteroEstudiante de la Maestra en Planificacin Curricular

Universidad de Costa RicaSan Jos, Costa Rica

resumen: El presente artculo surge debido a la pre-ocupacin existente a causa del bajo rendimiento en matemtica, factor que ha sido causante de la deser-cin y repitencia en el sistema educativo costarricense. La resolucin de problemas ha sido considerada una de las reas de la matemtica que mayor dificultad ha presentado para la poblacin estudiantil. Los nios y las nias son capaces de resolver mecnica-mente las operaciones fundamentales bsicas (suma, resta, multiplicacin y divisin), pero no saben cmo aplicarlas para la solucin de un problema, ya que slo se les ha enseado a actuar de forma mecnica y repetitiva, por ello es fundamental tomar conciencia acerca de la problemtica vivida en torno a este tema, y a su vez tomar las medidas necesarias para lograr el mejoramiento en los procesos de enseanza y apren-dizaje de la resolucin de problemas.

palabras clave: Resolucin de problemas, ensean-za, aprendizaje, matemtica.

Recibido: 27-XI-2007 Aceptado 11-III-2008 Corregido 20-IV-2008

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genera falta de atraccin hacia ellos y difi-cultad al realizar los deberes escolares.

En el contexto educativo costarricen-se, una de las materias de mayor ndice de reprobacin es la matemtica, en el desa-rrollo de esta asignatura ha predominado un enfoque curricular academicista, el cual segn explica Castillo (2003), se caracteri-za por la transmisin de conocimiento del docente hacia el estudiante, quien se con-sidera el protagonista por poseer el saber, esta actitud genera que los alumnos y las alumnas tengan un rol pasivo en los proce-sos de enseanza y aprendizaje.

Una de las reas de la matemtica que mayor dificultad adquiere para los estudiantes y las estudiantes es la reso-lucin de problemas; los nios y las nias son capaces de resolver mecnicamente las operaciones fundamentales bsicas (suma, resta, multiplicacin y divisin), pero no saben cmo aplicarlas para la solucin de un problema, ya que slo se les ha enseado a actuar de forma mecnica y repetitiva. Segn Kamii (1994), citado por Ruiz y otros (2003, p. 326) ...La resolucin de problemas debera darse al mismo tiempo que el aprendizaje de las operaciones en vez de despus, como aplicaciones de stas...; por lo tanto, el aprendizaje simultneo de ambos facilitara la comprensin y asimila-cin de las operaciones aritmticas.

La metodologa empleada en la ense-anza de la resolucin de problemas en matemticas, es un elemento clave para el logro satisfactorio de los contenidos en esta rea, Polya (1965), citado por Echenique (2006, p. 10), explica ...que el profesor tiene en sus manos la llave del xito ya que, si es capaz de estimular en los alumnos la curio-sidad, podr despertar en ellos el gusto por el pensamiento independiente; pero, si por el contrario dedica el tiempo a ejercitarles en operaciones de tipo rutinario, matar en ellos el inters.... Los estudiantes y las estudiantes deben ser introducidos de forma agradable con actividades que man-tengan el inters en la materia y evite abs-tracciones que conllevan a la desmotivacin

abstract: This article comes from the current concern about the students low performance in mathematics, as a factor that has caused many of them to drop the school and repeat the same grade. Problem solving has been considered one of the most difficult areas of mathematics for students. Even though boys and girls are able to solve mechanically basic arithmetic operations (addition, subtraction, multiplication, and division), they do not know how to apply them for solving problems. This is because students have been taught to act in a mechanical and repetitive way. Therefore, it is important to make people conscious about this situation of the Costa Rican educational system. In addition, specific actions must be taken in order to improve the teaching-learning processes of the problem solving.

Key words: Problem solving, teaching, learning, math.

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ante la falta de comprensin de los diversos conceptos.

Es necesario un cambio para erradi-car la concepcin de la matemtica como una materia aburrida y difcil, se debe tomar conciencia acerca de la problemtica vivida en torno a este tema, pero tambin es necesario tomar las medidas necesarias para lograr el mejoramiento en el proceso de enseanza-aprendizaje de la resolucin de problemas.

Debido a lo anterior, se presentarn aspectos referentes a las dificultades que muestran los estudiantes con respecto al aprendizaje de la matemtica, la metodolo-ga que se debe emplear para obtener una enseanza eficaz en relacin al tema y que promueve el desarrollo de la inteligencia lgico matemtica en los nios y las nias de educacin primaria.

Se considera que para ensear la resolucin de problemas en matemtica se debe aplicar una metodologa que ayude al estudiante a hallar la solucin correcta de una manera comprensiva; para lograr esto es importante reconocer aspectos referentes al papel del docente y del alumno en este proceso, as como la influencia que tiene la actitud que muestren ambos sujetos.

En el siguiente apartado se presen-tan los fundamentos tericos que sustentan este artculo, los cuales corresponden a investigaciones realizadas que han permi-tido mejorar en cierta medida el trabajo realizado por el personal docente en las clases de matemtica.

fundamentos tericos

Tern y otros (2005), explicaron que las clases de matemtica inician a partir de la definicin de contenidos carentes de significados para estudiantes de niveles de educacin bsica, ya que por lo general se alejan de sus vivencias. Como consecuencia de ello, se les dificulta reconocer la impor-tancia de la matemtica y los lleva a pre-guntarse para qu sirve esta materia?

En torno a esta problemtica, se han realizado algunos trabajos cuyos aportes se consideran valiosos para el rea en estu-dio, entre ellas se pueden mencionar las siguientes:

A) Pinteo y otros (1999) estudiaron la mejora del rendimiento en el rea de matemticas a travs de la resolucin de problemas con alumnado de edu-cacin primaria. Esta investigacin tiene como base estudios realizados en Estados Unidos y Espaa, los cua-les muestran resultados mediocres o muy bajos en cuanto a la resolucin de problemas de dos operaciones por parte de los estudiantes de la escuela elemental y media de estos pases.

Con la investigacin se tena la pre-tensin de lograr una mejora sustan-cial de los procesos de enseanza y aprendizaje en el rea de matemti-cas aplicando un modelo de resolu-cin de problemas.

Cualquier sesin sigue este esquema general de trabajo:

a. Introduccin por parte de la perso-na instructora con los componentes manipulativos.

b. Explicacin de los componentes grfi-cos y simblicos.

c. Realizacin por parte de los sujetos de los problemas. Esta tarea fue rea-lizada individualmente, en parejas o en pequeos grupos.

d. Correccin de la tarea, cuando la mayora del grupo haba terminado el trabajo. Se promovi la discusin de las soluciones aportadas por el alumnado, lo cual favorece a la creacin de un conflicto cognitivo en el caso de la existencia de soluciones divergentes. Se hace especial hincapi en la comprobacin del resultado volviendo a leerse la pregunta del problema y comprobando si la solucin aportada se corresponde con lo pedido. Se tuvo especial cuidado en el tratamiento de los errores cometidos por el

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alumnado, tratando de considerarlos como algo natural durante el proceso de enseanza-aprendizaje.

En los resultados se logr conocer que la aplicacin del programa instruccio-nal en resolucin de problemas aritmticos a un grupo de alumnos y alumnas muestra resultados sensiblemente superiores en las puntuaciones finales, respecto a las inicia-les en las diversas categoras semnticas de problemas.

B) Snchez (2001) realiz una investi-gacin acerca de las dificultades de los alumnos de sexto grado de edu-cacin primaria para la resolucin de problemas matemticos. Esta se adentra en un grupo de alumnos que mostraron dificultad en esta rea, se hizo un anlisis retrospectivo de las enseanzas y aprendizajes a las cuales han sido sujetos a lo largo de su educacin primaria. Desentra as que las dificultades para no resol-ver correctamente los problemas, no radican en el alumno mismo, sino que entran otros aspectos en juego, tales como la metodologa empleada por el docente o la actitud que ste tenga hacia la materia.

El objetivo principal de la investi-gacin fue conocer y comprender la relacin que existe entre las dificul-tades para la resolucin de problemas matemticos presentes en los alum-nos de sexto grado y la forma en cmo les ensearon las matemticas en los grados anteriores, y as es posible estar en condiciones de establecer correlaciones entre ambos aspectos.

De acuerdo a los resultados se eviden-cia que la presencia de dificultades se debe a que no se tom en cuenta durante su enseanza, la maduracin psicogentica, se ha olvidado, ignora-do o desconocido que la concepcin y comprensin por parte del estudiante de los contenidos matemticos estn

en relacin con el nivel de desarrollo en que se encuentre.

Segn la investigadora, no se da un seguimiento lgico y continuo entre los elementos del proceso de ensean-za, en mltiples ocasiones se empieza por lo ltimo, es decir, la ejercitacin de mecanizaciones para luego apli-carlas a la resolucin de problemas.

C) Ruiz y otros (2003, p. 321) realizaron una investigacin llamada El len-guaje como mediador de la aritmtica en la primera etapa de educacin bsica. Este trabajo tuvo como fun-damento la perspectiva constructivis-ta de Piaget y la corriente histrico-cultural propuesta por Vigotsky. Su propsito fue disear, ejecutar y eva-luar estrategias didcticas para pro-mover el desarrollo del pensamien-to aritmtico, utilizando el lenguaje como mediador en nios y nias de la primera etapa de educacin bsi-ca de la escuela rural Mirabelito de Trujillo en Mxico.

Se retoman algunas ideas importan-tes acerca de las mejores formas para ensear los conceptos numricos en los primeros aos de escolarizacin, entre las estrategias didcticas ms sobresalientes en la investigacin se encuentran: Promover la comunicacin oral y

escrita, como forma de hacer con las palabras las mismas accio-nes que se hacen con los objetos; en este sentido, la promocin de la aritmtica oral debe ser tan importante como la escrita.

Propiciar el desarrollo de la rever-sibilidad, como estrategia cogniti-va, mediante la cual en la accin de devolverse debe lograrse la comprensin de las nuevas relacio-nes que aparezcan y de la forma diferente en que se manifiestan las acciones preliminares.

Tomando en cuenta lo anterior, se plantea la pertinencia de comenzar a

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transformar la prctica pedaggica y, por tanto, el aprendizaje de los cono-cimientos bsicos mediante la pers-pectiva de la investigacin-accin.

Los hallazgos evidenciaron que los nios y las nias tratan de describir e interpretar el proceso de resolucin de problemas, mostraron satisfaccin por el trabajo cooperativo y desarrollo progresivo de la autonoma en la rea-lizacin de las actividades escolares. De este anlisis surgi una afirma-cin general, la cual se refiere a que cada estudiante es capaz de desa-rrollar conocimientos aritmticos y lingsticos significativos cuando se promueven estrategias didcticas tales como: el juego, la resolucin de problemas, la reversibilidad, la inte-raccin verbal, adems, la lectura y escritura fueron asumidas como pro-cesos generadores de significados.

D) Tern y otros (2005) desarrollaron La investigacin-accin en el aula: tendencias y propuestas para la ense-anza de la matemtica en sexto grado. Esta investigacin tuvo como propsito determinar la aplicabili-dad de un conjunto de estrategias constructivistas para la enseanza y el aprendizaje de la matemtica en sexto grado de la educacin bsi-ca. La metodologa utilizada fue la investigacin-accin participativa, que implic un trabajo de campo caracterizado por la observacin y participacin intensiva a largo plazo en una unidad educativa del estado de Trujillo. Se seleccionaron como categoras de anlisis: la prctica pedaggica desarrollada por la maes-tra y el trabajo cooperativo.

Se menciona la necesidad de repensar la manera como se trabaja la mate-mtica, la cual se imparte de manera mecnica y repetitiva. Este problema es inherente a todas las etapas del proceso educativo: planificacin, eje-cucin y evaluacin; por lo general se

planifica en funcin del programa de estudio y no en funcin del alumno, lo cual hace que la materia no sea significativa para el estudiante.

El diseo y aplicacin de estrate-gias metodolgicas constructivistas para facilitar el aprendizaje, condujo a logros tanto para el grupo de estu-diantes como para la maestra. En el alumnado permiti: desarrollar acti-tudes positivas tendentes a mejorar el aprendizaje de la matemtica, formu-lar, proponer e inventar nuevos pro-blemas matemticos, desarrollar un pensamiento crtico, crear y recrear el conocimiento matemtico. De igual manera, se logr desarrollar en los nios y las nias habilidades para el trabajo independiente y autnomo en la realizacin de actividades y consoli-dacin de valores para la convivencia.

En relacin con la maestra, se consi-gui mejorar su prctica pedaggica, optimizar, presentar situaciones rea-les o simuladas que permitieron a los nios y las nias asumir actitudes reflexivas relacionadas con la cons-truccin de conceptos matemticos y, perfeccionar su capacidad crea-tiva para disear otras estrategias metodolgicas tendentes a mejorar el aprendizaje de la matemtica.

Cada una de las investigaciones cita-das, surge ante una necesidad evidente de mejora de los procesos de enseanza y aprendizaje de la matemtica, en los cuales hasta el momento no han sido utilizadas estrategias didcticas pertinentes que favo-rezcan la adquisicin de conceptos matem-ticos de manera significativa.

En muchos casos, los educadores y las educadoras que actualmente se encuentran enseando matemticas en las aulas de educacin general bsica pasaron por un sistema de enseanza donde predominaba el enfoque tradicional.

Como consecuencia de lo anterior, y una posible causa de la problemtica existente en

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torno a la enseanza de la matemtica, es que en la actualidad esta asignatura as como los conceptos y destrezas que involucra, carezca de significado para la mayora del personal docente, por lo que imparten sus clases de la misma manera en que les fue enseada, es decir, mecnicamente sin alcanzar la com-prensin de cada proceso al momento de efec-tuar alguna operacin matemtica.

Por lo tanto, es necesario replantear el enfoque curricular predominante hasta el momento en la metodologa empleada, ya que no es el alumno o la alumna quien debe estar en funcin del contenido, sino todo lo contrario; el currculo debe concebirse de tal manera que beneficie tanto a los grupos de estudiantes como a la sociedad en general.

Se debe tener presente que no toda la poblacin estudiantil llega a comprender los contenidos matemticos fijados en los curr-cula oficiales de la enseanza obligatoria; a cierta parte de la poblacin estudiantil se les dificulta, otros pierden el inters y esto evitar que se esfuercen lo suficiente, pero a todos les ser necesario alcanzar cierto dominio en la utilizacin de conceptos bsi-cos en matemtica, pues resultan indis-pensables, tanto para su futura ocupacin laboral como para su vida.

Se debe estimular la adquisicin del conocimiento lgico matemtico de manera que cada alumno sea capaz de descubrir la importante relacin existente entre esta materia y la vida cotidiana.

El conocimiento lgicomatemtico

Gonzlez y Jarillo (1994) explican que el conocimiento lgico matemtico no se toma de los objetos sino de las acciones efectuadas sobre ellos. Es por medio de la accin que los objetos sern incorporados a los esquemas y estructuras de los sujetos; adems, los sujetos no conocen ms pro-piedades de las cosas que aquellas que su accin les permite conocer.

Se debe tomar en cuenta por tanto, que el conocimiento lgico matemtico se acrecienta por medio de la relacin con el entorno, de aqu deriva la importancia de propiciar en las clases de matemtica momentos en los cuales los nios y las nias puedan estar en contacto con mate-rial concreto proveniente del medio externo que los rodea. De esta forma, los alumnos y las alumnas sern capaces de comprender el sentido de la matemtica al descubrir que esta se encuentra presente en todos los elementos del entorno, as como en las acti-vidades que realizan, ya que la matemtica no se encuentra solamente en el aula sino en cada una de las ocupaciones existentes.

Echenique (2006, p. 10) explica que se debe ensear a los alumnos a pensar matemticamente, es decir, a que sean capaces de abstraer y aplicar ideas mate-mticas en un amplio rango de situaciones y, en este sentido, los propios problemas sern las herramientas que les llevarn a ello.

Es importante tener presente que la adquisicin del conocimiento matemtico va paralela al desarrollo del pensamiento lgico, y el eje central en torno al cual gira esta adquisicin y desarrollo, es la resolu-cin de problemas.

La resolucin de problemas, es un aprendizaje que ha de realizarse a lo largo de la vida, contribuye a desarrollar en los nios y las nias estrategias mentales bsicas que les facilita resolver situaciones de la vida real, aplicando los conocimientos que se han adquirido durante los diferentes niveles educativos.

Ante esto, es necesario que las situa-ciones problemticas que se le presenten a la poblacin estudiantil, puedan ser relacio-nadas con la realidad que lo rodea, ya que le ser ms fcil a un estudiante pensar de manera lgica cuando es capaz de vivenciar el problema y de manipular objetos con el fin de lograr una mayor comprensin de la situacin.

Es fundamental saber estimular el pensamiento lgico matemtico mediante

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diversidad de actividades que tiendan a incrementar la creatividad, con la cual los nios y las nias logren descubrir el conoci-miento as como poner en prctica el acervo que ya poseen. Se debe reconocer que la lgica en matemtica es una destreza que puede y debe ser desarrollada y fortalecida durante el periodo escolar.

La enseanza de la matemtica debe ser atendida con especial cuidado, con el fin de lograr que los nios y las nias desa-rrollen sus habilidades correspondientes al periodo en que se encuentran.

Enseanza de la matemtica

La matemtica es una materia que generalmente despierta sentimientos encon-trados, hay quienes la aprecian, as como aquellos quienes despus de haber termi-nado un ao lectivo no quieren saber nada de ella; esto se debe principalmente por las experiencias o habilidades que haya teni-do cada individuo. De este modo, algunas personas sienten frustracin ante ejercicios o problemas matemticos, y otros, por el contrario se sienten motivados y satisfechos al enfrentarse a esta disciplina.

El ambiente que se genere en los procesos de enseanza y aprendizaje es un factor decisivo para propiciar ambos tipos de sentimientos; por ejemplo ante la falta de un ambiente propicio y de una metodo-loga adecuada durante la enseanza de la matemtica, la experiencia resultante no podr ser muy positiva.

El alumno ser capaz de compren-der de una mejor manera aquello que puede relacionar con sus experiencias, pues encontrar que posee mayor relevancia en su vida cotidiana. Lamentablemente esto no ocurre con frecuencia, ya que en su mayora los docentes utilizan como eje cen-tral de la actividad matemtica la pizarra y limitan la participacin de sus estudiantes; por lo general, las actividades escolares fomentan la memorizacin y el estudiante

no es capaz de poner en prctica la infor-macin que ha aprendido de memoria, o en la mayora de los casos la olvida fcilmente despus de resolver un examen.

De ah que las estrategias de apren-dizaje utilizadas adquieran tanta importan-cia durante el proceso de enseanza. Con respecto a esto el Ministerio de Educacin Pblica (2005, p. 18) plantea que las acti-vidades y situaciones que se diseen, tienen que enfocarse hacia la comprensin, asimi-lacin e interiorizacin de conceptos de la matemtica, a partir de la manipulacin que el nio y la nia hagan de los materia-les o recursos didcticos (...).

Es fundamental para la enseanza significativa de la matemtica buscar el modo de conexin entre el aprendizaje nuevo con los conocimientos que ya posee y facilitar de esta manera la comprensin del nuevo aprendizaje. El docente no puede desechar los conocimientos previos de sus estudiantes como si fueran intiles; por el contrario, debe destacarlos y aprovecharlos para fomentar la confianza en s mismo al reconocer que la informacin que traen consigo es importante para el proceso de enseanza.

Es bien sabido que dentro del aula escolar hay estudiantes con multiplicidad de habilidades y capacidades, y esto no debe ser una limitante en el aprendizaje de la matemtica, por tanto, es responsabilidad del docente generar el ambiente propicio para desarrollar al mximo la capacidad de cada estudiante aunque no todos lleguen al mismo nivel.

En la enseanza de la matemtica se ha dejado de lado el pensamiento analtico y reflexivo, el cual ha sido substituido por la memoria y la mecanizacin generada principalmente por la repeticin de ejerci-cios. Segn explica Snchez (2001), la ense-anza ha transcurrido en representaciones simblicas que no han sido abordadas en forma concreta; de este modo las operacio-nes matemticas se convierten en manipu-laciones simblicas, al no ser aprendidas por medio de la manipulacin de materiales

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concretos, se obstaculiza la comprensin de los procesos matemticos.

Con el fin de trabajar la comprensin lgica de los problemas matemticos, es fundamental que cada educador tenga pre-sente cules son las habilidades que debe fomentar durante sus clases.

desarrollo de habilidadesintelectuales

Es importante que la enseanza de la matemtica no se centre exclusivamente en la adquisicin de conocimientos ya que esto constituye una de las principales preocu-paciones en el trabajo docente, al tener que abarcar un plan determinado.

En mltiples ocasiones por esta preocupacin se descuida el desarrollo de habilidades intelectuales que son indis-pensables para lograr la comprensin de los procesos matemticos. El desarrollo de ciertas habilidades podr propiciar que la persona sea competente en la materia, de este modo ser capaz de comprender los contenidos y procesos bsicos al momento que los interrelaciona de manera adecuada con situaciones de su vida diaria.

Las actividades realizadas en una clase de matemtica deben contribuir al desarrollo de la capacidad de pensamiento del alumno, con miras a que cada individuo dentro del aula aprenda a razonar mate-mticamente y aumente su capacidad para resolver problemas.

Con el desarrollo de ciertas habili-dades, se busca adems incrementar la inteligencia lgica matemtica en la pobla-cin estudiantil, la cual consiste en la facilidad para identificar diversidad de figuras geomtricas, resolver operaciones numricas complejas con facilidad y gusto, utilizar el pensamiento abstracto y solucio-nar problemas que pueda relacionar con la vida cotidiana.

Se reconoce en este aspecto la impor-tancia de la matemtica, no slo para

abarcar una serie de contenidos, sino para el desarrollo de destrezas tiles en la vida, con las cuales logren resolver, en un futuro, problemas de su propio entorno e incluso sean capaces de proponer solucio-nes ante los problemas sociales que deba enfrentar.

El programa de matemtica que pro-pone el Ministerio de Educacin Pblica para I ciclo de la educacin general bsica establece una serie de habilidades que deben ser desarrolladas con el fin de lograr la comprensin de la matemtica. A conti-nuacin se explica cada una de ellas:

clasificacin: esta habilidad es bsica en la construccin de los dife-rentes conceptos matemticos, como son los de nmero, y las operaciones numricas. Esta habilidad se desarro-lla en la medida en que el estudiante descubra por s mismo los criterios de clasificacin, no basta con que los cla-sifique a partir de un criterio dado.

flexibilidad del pensamiento: implica que el estudiante reconozca que un problema puede ser resuelto de diferentes maneras. El docente debe contemplar que en mltiples ocasiones los alumnos utilizan estra-tegias para resolver un problema o ejercicio sin que les hayan sido ense-adas.

Estimacin: es una habilidad que permite dar una idea aproximada de la solucin de un problema o ejercicio, se desarrolla proponiendo al nio que d respuestas aproximadas, lo cual permitir tener una idea de lo razonable del resultado que obtenga. La estimacin pone en evidencia el manejo que se tiene del sistema de numeracin y el clculo mental.

Generalizacin: el desarrollo de esta habilidad permitir al alumno genera-lizar relaciones matemticas o estra-tegias de resolucin de problemas.

Imaginacin espacial: esta habilidad implica que los alumnos

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desarrollen procesos que les permitan ubicar los objetos en un plano determinado, interpretar figuras tridimensionales, estimar longitudes, reas o volmenes.

reversibilidad del pensamiento: se refiere a seguir una secuencia en orden progresivo, al reconstruir procesos mentales en forma directa o inversa; es decir, que tengan la habilidad de hacer acciones opuestas simultneamente (MEP, 2005). Por medio de esta accin los estudiantes no solo deben ser capaces de resolver un problema, sino de plantearlos a partir del resultado.

Es importante reflexionar sobre la dificultad que conlleva la tarea de ense-ar a resolver problemas matemticos y al mismo tiempo de la necesidad de desarro-llar en los nios y las nias las habilidades citadas anteriormente. Ante la escasa esti-mulacin que se les da dentro de las aulas, surge una seria problemtica, la cual se expone en el siguiente apartado.

problemtica en torno a lametodologa empleada

Los mtodos tradicionales empleados actualmente en la enseanza de la mate-mtica generan mayor desmotivacin por parte de los estudiantes hacia la materia. La metodologa influye en gran medida en la actitud que puedan presentar los estudiantes, por lo tanto, si el docente se preocupa por presentar el contenido de forma atractiva, ser posible que sus alum-nos muestren una actitud ms positiva independientemente de su habilidad hacia la materia.

La prctica pedaggica refleja que en el sistema educativo costarricense existe gran preocupacin por parte de los docen-tes por cumplir con cada uno de los conte-nidos y objetivos que propone el Ministerio

de Educacin Pblica, esto genera que las estrategias didcticas utilizadas sean poco significativas, adems adquiere gran relevancia el libro de texto, con lo cual el protagonismo del alumno disminuye.

Este primer hecho hace que la tarea de resolver problemas se torne ms difcil, ya que por la prisa que ocasiona abarcar el currculo preescrito, no se le da el tiempo necesario al estudiante para que interiorice cada problema y trate de resolverlo por s mismo. Adems la resolucin de proble-mas es vista como un tema ms dentro del programa escolar, y al igual que todos los otros, se pretende asignarle un tiempo para ser estudiado, por lo que deja de ser el eje central de la matemtica.

El docente debe desarrollar estrate-gias de aprendizaje que faciliten la com-prensin, por lo que no debe abandonar en el libro de texto la conduccin del trabajo del alumno, la interaccin entre el docente y el estudiante es fundamental para el ade-cuado desarrollo del proceso de enseanza de la matemtica.

Gonzlez y Jarillo (1994, citado en Tern y otros (2005, p. 172) afirma que es condicin necesaria y urgente, repensar la manera como se trabaja la matemtica dentro de las aulas de la Escuela Bsica, esto porque generalmente esta disciplina es enseada de una manera descontextua-lizada a los mbitos de la vida real de los alumnos y las alumnas y sin ninguna rela-cin con otras reas curriculares.

Para que cada estudiante pueda encon-trarle sentido a la matemtica como una materia necesaria para la vida es funda-mental la actuacin del docente, quien tiene la responsabilidad de integrar en sus clases diversos aspectos cotidianos con el fin de hacer ver a sus estudiantes la significativi-dad de la materia. Adems, es fundamental que exista una relacin entre la matemtica con las dems materias y de este modo hacer conscientes a los estudiantes de su impor-tancia en todo plano de la vida.

Es necesario que las situaciones pro-blemticas planteadas al alumnado se

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presenten en contextos y situaciones rea-les de acuerdo con su entorno, su edad y las experiencias previas que posea. Por esta razn, el docente debe ver en el libro de texto un apoyo a su labor, ya que en ciertas ocasiones no se encuentra contex-tualizado al ambiente que vive el nio y la nia o los ejercicios y problemas no se ajustan a la capacidad que poseen, motivo que contribuye a acrecentar la falta de sentido en la materia.

Es fundamental conocer qu tipo de dificultades surgen como consecuencia de una enseanza poco eficaz en la resolucin de problemas con el fin de trabajar en la mejora del proceso de enseanza aprendi-zaje de esta rea. Si el docente no reconoce cules son las principales limitaciones que debe enfrentar no ser capaz de mejorar su labor, pues primero se debe tomar concien-cia sobre aquello que requiere un cambio.

Puig (1996, p. 22) explica que

el profesor de matemticas debera luchar por posibilitar que cada alumno desarrolle, dentro de sus capacidades, la comprensin y destrezas matemticas exigidas para la vida adulta, para el trabajo y para posteriores estudios y aprendizajes, teniendo presen-tes las dificultades que algunos alumnos experimen-tarn para lograr una comprensin apropiada.

Con respecto a lo anterior, se eviden-cia la importancia de la enseanza de la matemtica, no slo para abarcar una serie de contenidos, sino para el desarrollo de destrezas tiles en la vida.

De esta manera, la resolucin de problemas matemticos, debe aprovecharse para desarrollar en la poblacin estudian-til destrezas bsicas como la comprensin, el anlisis, la creatividad con las cuales logren en un futuro resolver problemas de su propia vida e incluso sean capaces de proponer soluciones ante los problemas sociales que deba enfrentar. De ah la importancia de la resolucin de problemas matemticos.

resolucin de problemas matemticos

Los alumnos deben construir concep-tos matemticos a partir de la resolucin de problemas, ya que esta habilidad les permi-te hallar la relacin entre la matemtica y su vida. Ruiz y otros (2003, p. 325) explican que la resolucin de problemas se concibe como generadora de un proceso a travs del cual quien aprende combina elementos del conocimiento, reglas, tcnicas, destre-zas y conceptos previamente adquiridos para dar solucin a una situacin nueva. As, la resolucin de problemas puede consi-derarse como el eje central de la enseanza en matemtica.

De acuerdo con Buschiazzo y otros (1997, p. 58) desde el punto de vista mate-mtico, el problema implica una dificultad, ya que se plantea una situacin nueva que se debe dilucidar por medio del razonamien-to. La superacin de esta dificultad que se habr de alcanzar a travs de algn camino constituye la resolucin del problema.

A partir de lo anterior se reconoce que el problema debe conformar un reto para el alumno, y debe ser adecuado al nivel de formacin de cada grupo. De este modo, no se puede pretender que todos en el aula resuelvan siempre los mismos problemas; al considerar que dentro de una misma clase se pueden encontrar estudiantes con dis-tintas capacidades cognitivas, es lgico que resuelvan problemas con diferentes niveles de dificultad, de manera que constituya un verdadero reto para todos.

Un problema no se debe responder de manera inmediata, lo cual no quiere decir que la situacin planteada debe estar ms all de lo que podra resolver el nio o la nia de acuerdo a su etapa de desarrollo cognitivo; sino que la situacin que se le presenta no es idntica a alguna que haya resuelto anteriormente por lo que ameri-ta un esfuerzo mayor para comprender-la. Normalmente, cuando los alumnos se enfrentan a un reto as, no son capaces de

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resolverlo, no porque no puedan, sino por-que no estn acostumbrados a hacerlo y no estn conscientes que requiere mayor par-ticipacin de su parte por lo que se dejan vencer fcilmente.

Es importante que los alumnos y alum-nas sean capaces de explicar y justificar el proceso seguido en la resolucin de problemas y comprendan la razn de las soluciones que proponen, es necesario que entiendan por qu ciertos procedimientos conducen a la respues-ta esperada y otros no.

Segn establecen Ruiz y otros (2003, p. 327) dejar hablar [a] los nios sobre sus acciones, permite al maestro acceder a su pensamiento. De ah que se valore el brindar espacios en los cuales se d la oportunidad para expresarse oralmente y as conocer cmo piensan el nio y la nia; con el fin de poder entender su pensamien-to y de este modo utilizar la mejor estra-tegia para guiarles hacia la bsqueda de una solucin eficaz del problema. En este proceso es fundamental tomar en cuenta los distintos ritmos de aprendizaje, ya que muchos alumnos necesitarn ms tiempo de discusin y trabajo oral, antes de poder abordar por escrito los problemas.

Es necesario evitar la enseanza de mtodos mecnicos para resolver un proble-ma, por lo general los docentes acuden a un nico procedimiento para resolverlos y no dejan libertad de pensamiento a sus estu-diantes, quienes deben utilizar la misma estrategia de solucin que le fue enseada. Por el contrario, se debe impulsar a cada estudiante a hallar la solucin del proble-ma por s mismo, debe ser capaz de recono-cer que existe ms de una forma para darle solucin y no limitarse a una nica manera de hacerlo.

El profesor debe ayudar a los alum-nos y alumnas a comprender la mejor forma en que pueden aplicar los conocimientos o destrezas que posean o estn aprendiendo y cmo han de hacer uso de ellas en la resolucin de problemas. Para facilitar la utilizacin de las destrezas y habilidades adquiridas, los problemas han de guardar

relacin tanto con situaciones cotidianas como con otras menos familiares.

Segn Buschiazzo y otros (1997, p. 74) la resolucin del problema no debe involucrar clculos largos, que hagan fati-gar y al cabo de los cuales se pueda perder el hilo del razonamiento y an el inters por su resolucin. El docente debe plantear problemas que supongan verdaderos retos para sus estudiantes; es importante que los problemas tengan una presentacin diversa para evitar la mecanizacin, pues por lo general los alumnos no buscan compren-derlos sino identificar el tipo de operacin al que hace referencia el problema.

Los nios y las nias deben enfren-tarse al problema de manera creativa y ser ellos quienes propongan la mejor forma de solucin, para esto es necesario que estn en contacto con el material necesario que les permita apoyar su pensamiento. Adems, es fundamental que utilicen el conocimien-to que poseen para generar uno nuevo que les permita comprender la informacin rele-vante para resolver el problema.

Ser muy probable que cometan erro-res al intentar solucionarlo pero no se debe ver como falta de inteligencia, por lo que es importante analizar el procedimiento seguido para detectar las razones que le han impedido tener xito.

Comnmente en las clases de mate-mtica se observa que los estudiantes olvi-dan con frecuencia lo que deben hacer cuan-do se retoma un contenido que ha sido visto anteriormente. Esto se da principalmente por su falta de intervencin en el proceso de resolucin de ejercicios y problemas; por tanto, es necesario incentivar la participa-cin de los nios y las nias como sujetos del proceso enseanza aprendizaje, cada estudiante debe reconocer su capacidad de pensamiento y determinar sus avances y errores en el transcurso del aprendizaje.

Ante la resolucin de problemas los alumnos deben reflexionar sobre la situa-cin y las acciones que realizan en el proce-so, es fundamental una actitud crtica ante el propio trabajo y el de los dems.

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Los nios deben ser partcipes acti-vos en el proceso de enseanza, para lo cual se deben planear diversas actividades que sean atractivas e interesantes con el fin de motivarlos a participar con entusiasmo.

Es fundamental la existencia de un ambiente en el cual se tolere la reflexin, la duda, la exploracin y la discusin sobre las diferentes maneras de comprender una misma situacin problemtica. Crear un clima de tranquilidad es fundamental para facilitar la concentracin a la hora de plan-tear el problema y evitar as que los estu-diantes se precipiten a resolver el problema muchas veces de manera errnea, por el simple hecho de terminarlo.

Buschiazzo y otros (1997) explican ciertas tareas importantes que posee el docente en la enseanza de resolucin de problemas, entre las cuales se destacan:

seleccin de problemas: para esto el docente debe tener en cuenta las caractersticas del grupo en gene-ral con el fin de contextualizar la situacin problemtica; adems debe contemplar las caractersticas indivi-duales, para adecuar el problema al nivel cognitivo de sus estudiantes.

orientar la resolucin: el educador debe actuar como gua en la resolu-cin del problema, debe permitir que sea el estudiante quien proponga las soluciones y se d cuenta de sus errores. Esto no quiere decir que el docente se muestre como un simple espectador, sino que oriente el proce-so de manera que evite dar una nica ruta de solucin a sus alumnos.

Estimular la resolucin de pro-blemas: ser comn que en el proce-so los estudiantes sientan desnimo ante la dificultad que se les presente, ante esto el educador debe motivarlos para que muestren una actitud posi-tiva en todo momento.

debe ser modelo ante la resolu-cin de problemas: mediante la actitud que tenga, el docente puede

transmitir una serie de sentimien-tos a sus estudiantes; por lo que es indispensable que sea optimista y muestre gusto ante los problemas que se estn resolviendo. Por tanto debe evitar comentarios o gestos que puedan desanimar a los nios o a las nias.

Para lo anterior es relevante la tarea del educador o la educadora, quien debe preparar sus clases de manera adecuada para facilitar la enseanza a sus estu-diantes; dentro de las particularidades del proceso de enseanza y aprendizaje de la matemtica, al igual que en cualquier rea del conocimiento, uno de los elementos cla-ves del mismo viene a estar representado por la figura del docente el cual en su con-dicin de mediador, deber estar preparado y capacitado para convertir el ambiente educativo en un laboratorio de experiencias que conduzca a cada estudiante a crear y construir su conocimiento utilizando al mximo sus habilidades de acuerdo con su nivel de desarrollo.

Cada una de las funciones menciona-das son necesarias para incentivar la bs-queda de soluciones por parte del alumnado. Para lograrlo, se debe estimular el razona-miento mediante la aplicacin de diversos mtodos ante una misma situacin.

mtodos de resolucin deproblemas

Se debe tener claro que no existen recetas mgicas para dar solucin a un problema, pero se pueden utilizar ciertos pasos que son esenciales para hacerlo, en los siguientes prrafos se explican algunos mtodos que facilitan este proceso.

Echenique (2006, p. 23) aclara que

Durante muchos aos y todava en nuestros das, la mayor parte de los problemas matemticos que se proponen en clase tienen como finalidad aplicar los contenidos o algoritmos que se han estudiado en la unidad didctica de la que forman parte.

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Estas actividades no potencian la bsqueda de procedimientos de resolucin, sino que, ms bien al contrario, a menudo se presentan como bateras de problemas que los alumnos resuelven de forma mecnica.

Generalmente se les pide que los traba-jen de forma individual, por lo que no discu-ten las razones por las que lo resolvieron de esa manera o por qu aplicaron cierto algorit-mo, en otros casos se dejan como tareas y se revisan al da siguiente slo las respuestas. De este modo los estudiantes no son capaces de salir de la mecanizacin; para evitarlo se proponen algunos mtodos de los cuales el docente se puede valer para impartir sus cla-ses de manera ms significativa.

1. Polya (1949), citado por Echenique (2006), establece cuatro etapas en la resolucin de un problema:

comprender el problema: implica entender tanto el texto como la situacin que presen-ta el problema, diferenciar los distintos tipos de informacin que ofrece el enunciado y com-prender qu debe hacerse con la informacin que es aportada. Se debe leer el enunciado des-pacio, tratando de contestar las siguientes interrogantes:

Cules son los datos? (lo que conocemos).

Cules son las incgnitas? (lo que buscamos).

Despus hay que tratar de encontrar la relacin entre los datos y las incgnitas y si es posible, se debe hacer un esque-ma o dibujo de la situacin.

disear un plan: es la parte fundamental del proceso de resolucin de problemas. Una vez comprendida la situacin planteada y teniendo clara cul es la meta a la que se quiere llegar, es el momento de plani-

ficar las acciones que llevarn a ella, es necesario abordar cuestiones como para qu sir-ven los datos que aparecen en el enunciado, qu puede cal-cularse a partir de ellos, qu operaciones utilizar y en qu orden se debe proceder.

Ejecucin del plan: consiste en la puesta en prctica de cada uno de los pasos diseados en la planificacin. Es necesaria una comunicacin y una justifi-cacin de las acciones seguidas: primero calculo, despus, por ltimo hasta llegar a la solucin. Esta fase concluye con una expresin clara y con-textualizada de la respuesta obtenida.

Examinar la solucin: es con-veniente realizar una revisin del proceso seguido, para ana-lizar si es o no correcto el modo como se ha llevado a cabo la resolucin. Es preciso contras-tar el resultado obtenido para saber si efectivamente da una respuesta vlida a la situacin planteada, reflexionar sobre si se poda haber llegado a esa solucin por otras vas, utili-zando otros razonamientos.

Las etapas anteriormente menciona-das, normalmente no se dan dentro de las aulas y son indispensables para conocer el modo de pensar, razonar y actuar de los estudiantes y de esta forma ayudarlos a corregir sus errores.

2. Pinteo y otros (1999) establecen que la presentacin de un tema matemti-co debe estar basada en la resolucin de problemas, de este modo se pone nfasis en los procesos de pensamien-to de los estudiantes. De acuerdo con De Guzmn (2000 citado por Pinteo y otros, 1999, p. 207),

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la forma de presentacin de un tema matem-tico basada en el espritu de la resolucin de problemas debera proceder ms o menos del siguiente modo:

1. Propuesta de la situacin problema de la que surge el tema (basada en la his-toria, aplicaciones, modelos, juegos...).

2. Manipulacin autnoma por el alumna-do.

3. Familiarizacin con la situacin y sus difi-cultades.

4. Elaboracin de estrategias posibles.5. Ensayos diversos por el alumnado.6. Herramientas elaboradas a lo largo de

la historia (contenidos motivados).7. Eleccin de estrategias.8. Ataque y resolucin de los problemas.9. Generalizacin.10. Nuevos problemas.

En todo el proceso el eje principal ha de ser la propia actividad dirigida por el profesorado, colocando al alumnado en situacin de partici-par, sin aniquilar el placer de ir descubriendo por s mismo lo que los grandes matemticos y matemticas han logrado con tanto esfuerzo.

3. Ruiz y otros (2003), en su investiga-cin, disearon y aplicaron estrate-gias para promover la construccin de aprendizajes de contenidos mate-mticos relacionados con la lectura, la escritura y el juego. En esto des-tac algunos elementos importan-tes para la enseanza de conceptos matemticos, localizados en la revi-sin de literatura:

- Explorar los conceptos numricos desa-rrollados por los nios en forma natu-ral con la finalidad de reconocer las reglas implcitas seguidas por stos y construir sobre ellas otros conceptos numricos (Resnick,1989; Kamii, 1994, citado en Ruiz y otros, 2003, p. 323).

- Promover la resolucin de problemas como estrategia didctica que permite el desarrollo del razonamiento aut-nomo, al posibilitar la construccin y reconstruccin de soluciones (Resnick, 1989; Kamii, 1994; Ministerio de Educacin, 1997, citado en Ruiz y otros, 2003, p. 323).

- Promover la comunicacin oral y escri-ta, como forma de hacer con las pala-bras las mismas acciones que se hacen

con los objetos, a fin de desarrollar la internalizacin de las acciones exter-nas y la capacidad lingstica al sus-tentar afirmaciones usando diversas formas argumentativas, desde el len-guaje comn hasta el lenguaje formal (...).

- Propiciar el desarrollo de la rever-sibilidad, como estrategia cognitiva, mediante la cual en la accin de devol-verse debe lograrse la comprensin de las nuevas relaciones que aparezcan y de la forma diferente en que se mani-fiestan las acciones preliminares (...).

- Considerar la importancia de la acti-vidad ldica, lo cual implica ofrecer [a cada estudiante] la oportunidad de construir y reconstruir la realidad con la ayuda de instrumentos simblicos y reglas, mediante los juegos. En el juego se realizan los mayores logros del [edu-cando] (Ruiz, 2003, p. 323).

Quizs el mtodo ms sencillo de aplicar sea el propuesto por Polya (1949), citado por Echenique (2006), a partir de este, el docente puede ser capaz de integrar aspectos que resaltan los otros modelos. En pgina siguiente se da un ejemplo concreto de cmo se puede aplicar en una clase de resolucin de problemas.

Los mtodos citados pueden consti-tuir el punto de partida hacia el mejora-miento de la enseanza de la resolucin de problemas en matemticas, no se trata que el docente los siga al pie de la letra, mucho menos que elija solamente uno para apli-carlo por el resto de su vida.

La idea central es que tome de cada uno lo que ms le convenga segn sus necesidades, siempre y cuando propicie la participacin activa de los nios y las nias y tenga presente que son ellos y ellas quienes deben hallar la estrategia de resolucin.

Es fundamental que los mtodos que se proponen sean aplicados desde la etapa inicial de la escolaridad, ya que se deben formar desde pequeos y de este modo los problemas y el enfrentarse a ellos sea visto con naturalidad y parte del trabajo cotidia-no en el aula.

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a manera de conclusin

No basta con presentar problemas matemticos para que los educandos los resuelvan. Es necesario darles un trata-miento adecuado, analizando las estrate-gias y tcnicas de resolucin utilizadas, se debe dar oportunidad a cada estudiante de expresarse para conocer su modo de pen-sar ante las diversas situaciones que se le presentan.

Cada docente debe promover la asi-milacin e interiorizacin de conocimientos matemticos en sus estudiantes, con el fin de que adapten esos conocimientos para resolver problemas que no les sean tan habituales, as como para plantearse otras cuestiones a partir de ellos.

En este sentido, los modelos de resolucin de problemas ocupan un papel importante pues son fundamentales para el mejoramiento de la enseanza de los

mismos, para aplicarlos se debe dedicar un espacio en el horario escolar y conseguir un clima propicio en el aula que favorez-ca la adquisicin de destrezas. Si bien es cierto, el aplicar algn mtodo conlleva ms tiempo del que se acostumbra dedicar normalmente a la resolucin de problemas; no se debe tomar como prdida de tiempo, pues durante el proceso cada estudiante ser capaz de adquirir mayor comprensin y habilidades intelectuales necesarias para toda su vida.

Se debe tener presente que la mate-mtica no se aprende por transmisin directa de lo que explica el docente o de la informacin que se obtiene de los libros de texto; sino que se aprende en interaccin con situaciones problemticas las cuales obligan al estudiante a modificar su estruc-tura cognitiva por el contacto con una multiplicidad de acciones que requieren distintas habilidades.

Objetivos:Aplicar las cuatro fases del mtodo de resolucin de problemas de George Polya.Analizar cada una de las acciones que se llevan a cabo para resolver un problema.

Primer momento Presentacin del problema: conviene que al iniciar el problema sea sencillo, luego se pasa a otros problemas con mayor grado de dificultad.

Segundo momento Comprensin del problema:Se debe leer el enunciado despacio.Determinar cules son los datos que conocemos?Cules son las incgnitas? (lo que buscamos).Hay que tratar de encontrar relacin entre los datos y las incgnitas.Si se puede, se debe hacer un dibujo o esquema que aclare la situacin.

Tercer momento Diseo del plan:

Se pueden formular algunas preguntas generadoras.Se parece el problema a otros que ya conocemos?Es posible plantear el problema de otra forma?Imaginar un problema parecido pero ms sencillo, se puede relacionar con casos de la vida real.Son necesarios todos los datos?

Cuarto momento Ejecucin del plan:Se debe comprobar cada uno de los pasos.Antes de hacer algo se debe pensar: Qu se consigue con esto?Se debe acompaar cada operacin matemtica de una explicacin, contando lo que se hace y para qu se hace

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