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Enseñando proporcionalidad aritmética en 1º de E.S.O.

Sergio Martínez (IES Leonardo de Chabacier, Calatayud)

José M. Muñoz(F. Educación, Universidad de Zaragoza)

Antonio M. Oller(Centro Universitario de la Defensa, Zaragoza)

Zaragoza, 27 de febrero de 2015

Esquema charla

• Presentación y motivación

• Tratamiento escolar de la proporcionalidad

• Una propuesta didáctica para 1º E.S.O.

• Secuenciación y desarrollo de la implementación

• Valoración

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Esquema charla





• Valoración

Concursante eliminada¿Qué hubiese pasado si la pregunta se formula …?

Si un caramelo vale 20 céntimos, ¿cuántos céntimos valen 7 caramelos?

Situación multiplicativa elemental (4º Ed. Primaria)

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Regla de tres - Algoritmo para resolver problemas devalor perdido entre magnitudes directa o inversamenteproporcionales y que, escolarmente, consiste en:

1. Disponer los datos de una manera específica (matriz 2x2 en un papel).

2. Evaluar si las magnitudes son directa o inversamenteproporcionales con algún argumento basado en el contextode la situación.

3. Plantear y resolver una ecuación algebraica (Ed. Secundaria)o bien, multiplicar y dividir esos datos en un ordendeterminado (Ed. Primaria) atendiendo a la disposiciónespacial que tienen esos datos sobre el papel y que dependendel paso anterior.

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Completa la regla de tres: Si un caramelo vale 20 céntimos, ¿cuántos céntimos valen 7 caramelos?

¿La concepción del que elabora la pregunta y posiblemente de la concursante viene determinada por la enseñanza de la

proporcionalidad?

¿La enseñanza refuerza el uso de la Regla de Tres como técnica de resolución principal (casi única) aplicada de

manera acrítica y automática?

Problema de un reciente libro de texto de una popular editorial

extraído de la página donde se presenta la Regla de Tres

Proporcionalidad aritmética

• Es uno de los objetos de enseñanza “clásicos” enEducación Matemática.

• Presente en todos los niveles de la Educación Obligatoria(Ed. Primaria y Secundaria) y por tanto, también en laFormación inicial de maestros y profesores.

• Culmina la formación aritmética de los estudiantes yposee distintas aplicaciones prácticas (ver PISAcompetencia financiera).

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• Es uno de los objetos de enseñanza “clásicos” enEducación Matemática.

• Presente en todos los niveles de la Educación Obligatoria(Ed. Primaria y Secundaria) y por tanto, también en laFormación inicial de maestros y profesores.

• Culmina la formación aritmética de los estudiantes yposee distintas aplicaciones prácticas (ver PISAcompetencia financiera).

• Despierta mucho interés por parte de la investigación enEducación Matemática debido a la gran riqueza desituaciones, conceptos, técnicas, razonamientos yprocesos cognitivos que envuelve.

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• Estas dificultades pueden ser achacadas adiversos factores…uno de ellos es la manera en que se enseña.

• Para caracterizar la enseñanza que habitualmentese realiza en el aula, se estudian libros de texto:

“Los libros de texto en muchas ocasiones determinan el currículo real”(Monterrubio y Ortega, 2009)

Esquema charla





• Valoración

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Tratamiento de la proporcionalidad aritmética

Diversos estudios (Martínez, Muñoz y Oller, 2014; Oller, 2012; ...)señalan (entre otras):

• Predominio de conocimientos procedimentales frente a losde tipo conceptual.

• Presentación de técnicas orientadas a la aplicación acríticay automática (regla de tres).

• Se considera prioritariamente la razón interna entrenúmeros entendida como su cociente e identificada con unafracción.

• No se define la razón externa entre cantidades de magnitudentendida como la cantidad de una nueva magnitud.

Si 7 caramelos cuestan 35 céntimos, ¿cuánto céntimos valen28 caramelos?.

Precio total 35 70

Números caramelos 7 14 28

Procesos de covariación ⇒ Razón interna 4

A cuádruple de caramelos, cuádruple de precioLuego, 28 caramelos me costarán 35x4 = 140 céntimos

Procesos de invarianza ⇒ Razón externa 5 cent./caramelo

Cada caramelo cuesta 5 céntimos (precio unitario)Luego, 28 caramelos me costarán 28x5 = 140 céntimos

x 4

x 4

⋯ 5

• Se considera prioritariamente la razón interna entrenúmeros entendida como su cociente e identificada con unafracción. No se define la razón externa entre cantidades demagnitud entendida como la cantidad de una nuevamagnitud.


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• Predominio de conocimientos procedimentales frente a losde tipo conceptual.

• Presentación de técnicas orientadas a la aplicación acríticay automática (regla de tres).

• Se considera prioritariamente la razón interna entrenúmeros entendida como su cociente e identificada con unafracción.

• No se define la razón externa entre cantidades de magnitudentendida como la cantidad de una nueva magnitud.

• Gran cantidad de manipulaciones aritméticas (oalgebraicas) de números (o expresiones algebraicas) y pocapreocupación en el manejo de las magnitudes y por dotarde significado a las operaciones entre esos números oexpresiones. Tendencia a la algebrización.



• La proporcionalidad entre magnitudes casi se da porsupuesto (salvo en su introducción y esporádicamente).Así, al estudiante solo le queda identificar si es directao inversa (y en algunos casos con argumentos erróneosdel tipo a más, más o a más, menos, etc.).

• Proporcionalidad simple directa e inversasimultáneamente en 1º ESO, pese a las orientacionescurriculares y lo alejado de estos fenómenos.

• Predominio de problemas de valor perdido: apenas hayproblemas de comparación y escasos problemas deproporcionalidad compuesta (cuyas técnicas deresolución aparecen desconectadas de la simple).

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Esquema charla





• Valoración

Objetivo

Apoyándonos en resultados de investigaciones sobre elracional y la proporcionalidad aritmética realizados enlas Universidades de Zaragoza y Valladolid desde 2001(3 tesis doctorales y diversos artículos de investigación)

Diseño de una propuesta didáctica original para 1º y 2º E.S.O.

Implementación en algunos Institutos de Secundaria

Evaluación del desarrollo de la implementación

Investigación mediante la metodología de Investigación-Acción

Acción

Planificación

Obser-vación

Refle-xión

Acción

Planificación

Obser-vación

Refle-xión

Oller (2012) y Martínez (en curso)

…

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Ideas clave de la propuesta para 1º E.S.O.

1. Identificación y manipulación de magnitudes(frente a ordinales, códigos, etc.).

2. Idea de razón (“tanto por uno” y cumplimiento deuna condición de regularidad).

3. Relación de proporcionalidad simple directa ycompuesta (tipo directa-directa) caracterizadas entérminos de razones externas y cantidades demagnitud.

4. Ampliación tipología de problemas (comparacióncuantitativas y cualitativa).

5. Aplicaciones de la proporcionalidad (porcentajes).

Esquema charla





• Valoración

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SecuenciaciónDuración aproximada propuesta:

12 sesiones por curso (incluida sesión para prueba final).

1º E.S.O.• Razón entre dos magnitudes: Razón como tanto por

uno. Razón como resultado de un reparto igualitario.Razón inversa.

• Condición de regularidad: Magnitudes relacionadas.Uniformidad en las unidades de las magnitudesimplicadas.

• Distinción de parejas de Magnitudes DirectamenteProporcionales (MDP).

• Problemas de comparación con MDP: comparación delas razones.

• Problemas de valor perdido con MDP.• Proporcionalidad compuesta.• Porcentajes.

Desarrollo de la implementación

2009-10 2 grupos (1º ESO) IES Avempace (Zaragoza)

2013-14 3 grupos (1º ESO) IES Leonardo Chabacier (Calatayud)

2014-15 1 grupo (2º ESO) IES Leonardo Chabacier (Calatayud)

2015-163 grupos (1º ESO)

¿1 grupo (2º ESO)?IES Leonardo Chabacier (Calatayud)

2016-17 3 grupos (2º ESO) IES Leonardo Chabacier (Calatayud)

…

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Sesión 1: Magnitudes.

Queremos que los alumnos doten de significado a las cantidades que aparecen enlas situaciones de proporcionalidad y las operaciones que realizan entre dichascantidades. Para ello, es imprescindible hacer énfasis en el concepto demagnitud y su identificación en diferentes situaciones.

Sesiones de 1º E.S.O.

Objetivos

• Introducir el concepto de magnitud y elvocabulario asociado.

• Distinguir magnitudes de propiedades nomedibles.

• Identificar la necesidad de la unidad demedida.

• Asociar la cantidad a la unidad demedida utilizada

• Conocer los diferentes significados de unnúmero e identificarlos.

Contenidos

• Propiedades medibles y no medibles.

• Cantidad de magnitud.

• Valor numérico de una cantidad demagnitud.

• Unidades de medida.

• Magnitudes habituales.

• Cardinalidad como magnitud.

• Números como cantidad de magnitud,como ordinal y como identificador.


Algunas producciones de los alumnos


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Con este fin, presentamos actividades en la que los alumnos tienen que distinguir entre números utilizados para expresar una cantidad de magnitud y números empleados para otros fines (identificadores, ordinales, etc.).

Sesión 2: Razón como “tanto por uno”

La razón (a/b) entre una cantidad a de una magnitud A y una cantidad b de una magnitud B se identifica con la cantidad de la magnitud A que se relaciona con una unidad de la magnitud B.


Objetivos

• Calcular las razones externas asociadas auna situación de proporcionalidad.

• Interpretar las razones como tanto poruno asociándolas al resultado de unreparto igualitario.

• Identificar la Condición de Regularidadasociada a una situación deproporcionalidad.

• Reconocer en qué situaciones puede o nocalcularse una razón entre las magnitudesinvolucradas.

Contenidos

• Razones (externas) asociadas a unasituación en la que se ven involucradas dosmagnitudes (proporcionales).

• Razón inversa.

• Condición de regularidad.

• Cantidad de magnitud.

• Valor numérico de una cantidad demagnitud.

• Unidades de medida.

• Magnitudes habituales.

• Números como cantidad de magnitud,como ordinal y como identificador.

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Sesión 2: Razón como “tanto por uno”



La condición de regularidad consiste en explicitar las condiciones necesarias para que tenga sentido establecer la razón entre las cantidades de las magnitudes involucradas: que las unidades de ambas magnitudes sean constantes y que a cada unidad de una de ellas le corresponda siempre la misma cantidad de la otra.

Sesión 3: Magnitudes directamente proporcionales


Objetivos

• Profundizar en el concepto de razón,cálculo e interpretación.

• Profundizar en la condición deregularidad asociada a una situación en laque se pueden calcular las razones.

• Introducir el concepto de “Magnitudesdirectamente proporcionales”.

Contenidos

• Razón y condición de regularidad.

•Magnitudes directamente proporcionales.

• Vocabulario asociado a las situaciones deproporcionalidad directa.

Proporcionalidad simple directa como aquella relación entre dosmagnitudes que hace que tenga sentido definir la razón entre ambas.

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Sesiones 4 y 5: Problemas de comparación


Objetivos

• Resolver razonadamente problemas decomparación cuantitativa de razones.

• Resolver razonadamente problemas decomparación cualitativa de razones

Contenidos



• Identificación, análisis y resolución deproblemas de comparación cuantitativa.

• Identificación, análisis y resolución deproblemas de comparación cualitativa.

Ampliamos la tipología de problemas que tradicionalmente se proponen como proporcionalidad aritmética. Los problemas de comparación cualitativa y cualitativa se basan en evaluar dos situaciones de proporcionalidad distintas mediante la comparación e interpretación de sus razones.



Comparación cuantitativa:

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Comparación cualitativa:



Comparación cualitativa:

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Sesiones 6 y 7: Problemas de valor perdido


Objetivos

• Resolver razonadamente problemas devalor perdido en situaciones deproporcionalidad directa previo cálculo dela razón unitaria que resuelve pormultiplicación.

Contenidos



• Identificación, análisis y resolución deproblemas de valor perdido en situacionesde proporcionalidad directa.

En todas estas sesiones se incluyen problemas en los que las magnitudes noson directamente proporcionales y en los que todos los datos no soncantidades de magnitud, para obligar a los alumnos a que identifiquen lasmagnitudes y evalúen la relación entre ellas.

Sesiones 6 y 7: Problemas de valor perdido


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Sesión 8: Proporcionalidad compuesta


Objetivos

•Reconocer situaciones deproporcionalidad en las que intervienentres magnitudes.

• Resolver problemas de proporcionalidaden los que intervienen tres magnitudes.

•Reducir los problemas deproporcionalidad con tres magnitudes aun problema de proporcionalidad directacon dos magnitudes realizandooperaciones con las magnitudesinvolucradas.

Contenidos

• Identificación, análisis y resolución deproblemas de valor perdido de tipo“directa-directa” con tres magnitudes.

• Identificación, análisis y resolución deproblemas de comparación con tresmagnitudes reducibles a dos magnitudesprevia multiplicación de dos de ellas.

• Amalgamación de magnitudes parareducir problemas de tres magnitudes aproblemas con dos magnitudes.

Sesión 8: Proporcionalidad compuesta


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Sesiones 9 y 10: El porcentaje como tanto por cien.

Calculo directo e inverso


Objetivos

• Interpretar el porcentaje como tanto porcien.

• Calcular el porcentaje que representa unacantidad respecto de otra, asociando elproceso al cálculo de una razón.

• Calcular un porcentaje de una cantidad,asociando el proceso a la resolución deproblemas de valor perdido.

• Calcular razonadamente el totalconocidos la parte y el porcentaje asociadoa la parte.

Contenidos

• Porcentajes.

• Cálculo del porcentaje que una cantidadrepresenta respecto de otra.

• Cálculo de la cantidad que representa unporcentaje de otra cantidad.

• Cálculo de la cantidad total conocidos laparte y el porcentaje asociado a ella.




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Esquema charla





• Valoración

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Valoración de la implementación

Valoración de la propuesta

INSTRUMENTOS

• Diario de clase

• Producciones escritas alumnos

• Grabaciones de sesiones concámara digital

• Entrevistas alumnos

• Grupo de controlHasta el momento 5 grupos de 1º ESO

(115 alumnos aprox.)


Fortalezas

• La implementación de la propuesta en el aula esviable.

• Los alumnos emplean y amplían sus conocimientosprevios sobre el significado de las operacionesaritméticas con naturales y racionales a la hora deresolver problemas.

• Se evita el recurso a técnicas algorítmicas y surgende manera espontánea otros procedimientos pararesolver los problemas propuestos.

• Los alumnos son capaces de resolver otros tipos desituaciones problemáticas con éxito distintas a lasde valor perdido.

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Fortalezas

• Mejoran (en cantidad y calidad) los procesos deargumentación que realizan los alumnos.

• Los resultados en problemas de valor perdido en elgrupo de control no son mejores que los resultadosde nuestros grupos.

• Posteriormente, los estudiantes han aplicado demanera espontánea estas ideas en otros ámbitos.

• Se ha implicado todo el profesorado delDepartamento del IES fomentando discusión ydebates. Perspectivas favorables para continuarmás allá de 2015-16.


Debilidades

• Dificultades al operar con fracciones provocan quelos alumnos escojan el número racional comorepresentación decimal, principalmente.

Incidir en la fracción ysus operaciones desdesignificados de medida ycociente

Aunque se sigue un procedimiento adecuado, seobtiene resultado inexacto al aproximar.

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Debilidades

• Trabajo complejo con porcentajes debido a lainstrucción previa recibida (Ed. Primaria).

Trabajo previo con losmaestros de Primaria enejercicio y en formaciónen la misma línea queseguimos

Difícil incorporar nuevas técnicas sobre algocuando ya se poseen otras.


Debilidades

• “Ayudas” externas (familias, profesores de apoyo,etc.) basadas en la enseñanza tradicional de laproporcionalidad.

Entrevistas y circulares a lasfamilias para hacerlespartícipes de la experiencia ypedir colaboración.

Cuadernillo con las ideasclave de la propuesta.

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Debilidades

• Cambios en la metodología de trabajo en el aula• trabajo en parejas,• ausencia de libros de texto,• institucionalización posterior a la realización de problemas

• Aspectos de la propia naturaleza investigadora delproceso• uso de la cámara digital• recogida diaria de fichas

El transcurso de lassesiones supuso lanormalización deestas situaciones

Gracias por su atención

Sergio Martínez - [email protected] José Mª. Muñoz - [email protected] M. Oller - [email protected]

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