Enseñando a Didactizar, Aprendiendo a Matematizar: Ideas y ...€¦ · capacitación de docentes...
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Educación Matemática Realista Ideas y experiencias en torno a la capacitación de docentes Ana Bressan - Betina Zolkower GRUPO PATAGÓNICO DE DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA (GPDM) www.gpdmatematica.org.ar
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Educación Matemática Realista
Ideas y experiencias en torno a la capacitación de docentes
Ana Bressan - Betina Zolkower
GRUPO PATAGÓNICO DE DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA
(GPDM)www.gpdmatematica.org.ar
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¿Qué nos convocó?
Mejorar nuestra práctica en la enseñanza de la
matemática y solucionar los problemas de
aprendizaje emergentes tomando al enfoque de la
EMR como objeto de estudio.
Grupo Patagónico de Didáctica de la Matemática
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“La imagen de la matemática se enmarca dentro de la imagen del mundo, la imagen del matemáticodentro de la del hombre y la imagen de la enseñanza de la matemáticadentro de la de la sociedad.”
(Freudenthal 1991, p.132)
Hans Freudenthal(1900-1990)
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Una idea central, sino la más importante, es que la matemática
debe ser conectada con la realidad, permanecer cercana a los alumnos y ser relevante para
la sociedad en orden a constituirse en un valor humano.
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Entendemos como realidad aquello “que el sentido común experimenta como real a un cierto escenario.”
(Freudenthal 1991, p. 17)
Es importante enfatizar que el significado del término realista en esta corriente proviene del holandés, zich realis-eren y significa imaginar; o sea, una situación
es realista si se presenta ante el sujeto que aprende como razonable, realizable o susceptible de ser
imaginada (Freudenthal 1991; van den Heuvel-Panhuizen 1996, Streefland 1991).
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“[La realidad] no es una cosa. Es tantas cosas como gente hay y para una persona puede ser tantas cosas como posee en su comprensión interna y circunstancias externas”…
(Freudenthal 1991, p. 17)
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El quehacer matemático es una actividad estructurante u organizadora de matematizaciónque está al alcance de todos los seres humanos. De esto se deduce la consigna de una matemática para todos (Freudenthal 1973, 1991)
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[La matemática como una actividad humana] es una actividad de resolución de problemas, de reconocer (o encontrar) problemas, pero es también una actividad de organización de la disciplina misma…
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Esta actividad puede estar dirigida a considerar un fragmento de la realidadque llama a ser organizado de acuerdo con patrones matemáticos o bien, un asunto matemático: resultados nuevos o viejos, nuestros o de otros, que requieren ser organizados de acuerdo con nuevas ideas, ser mejor entendidos o elaborados en contextos más amplios o por medio de un abordaje axiomático. (Freudenthal, 1973, p. 44)
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Matematizar involucra:- la búsqueda de lo esencial dentro y a través de situaciones, problemas, procedimientos, algoritmos, formulaciones, simbolizaciones y sistemas axiomáticos; - el descubrimiento de características comunes, similitudes, analogías e isomorfismos; - la ejemplificación de ideas generales;- el encarar situaciones problemáticas de manera paradigmática;- la irrupción repentina de nuevos objetos mentales y operaciones;- la búsqueda de atajos y la abreviación progresiva de estrategias y simbolizaciones iniciales con miras a esquematizarlas, algoritmizarlas, simbolizarlas y formalizarlas; y- la reflexión acerca de las propias actividades, considerando los fenómenos a matematizar desde diferentes perspectivas. (Freudenthal, 1991, 35-36).
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El aprendizaje es un proceso discontinuode matematización progresiva que
involucra distintos niveles y en el que loscontextos y modelos poseen un papel central como puente para favorecer la suba de nivel (Freudenthal, 1991, van den Heuvel-Panhuizen, 1991, 1996,
2003)
SITUACIONAL
REFERENCIAL
GENERAL
FORMAL
REFLEXIÓN
REFLEXIÓN
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PROCEDIMIENTOSY NOTACIONESCONVENCIONALES
“MODELOPARA”
“MODELO DE”
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MATEMATIZACIÓN HORIZONTAL
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Un contexto es un fragmento de la realidad el cual, dentro de un
proceso de enseñanza-aprendizaje, se presenta a los alumnos para su
matematización
(Freudenthal 1991)
A continuación se presentan ejemplos de contextos: encabezados de diarios, dibujos, materiales concretos,
rompecabezas, problemas de enunciado, fotos, diagramas, etc.(Ver www.gpdmatematica.org.ar)
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Rompecabezas pitagórico
Usar todas las piezas para armar dos cuadrados congruentes
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Problema de las hormigas
Veinticinco hormigas marchan en filas de 2, 3 y 4 y en todos los casos sobra una, pero cuando están formadas en filas de 5 no sobra ninguna. ¿Cuál es el próximo número de hormigas que cumple esta propiedad? ¿Y el siguiente? ¿Notas algún patrón en ellos? Si es así, usá símbolos para describirlo.
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ica Escultura de ladrillos: Esta fotografía ha sido tomada por B.
Zolkower en el PS1 Museum (Long Island City, NY)
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Algunas de las preguntas que generó esta imagen
1) Si tuviera que cubrir el interior de la construcción ¿cuántos ladrillos necesitaría? ¿Se cubrirá con ladrillos enteros?
2) Un artista plástico quiere realizar esta obra:
a) ¿Cuántos ladrillos requiere la construcción de la misma?
b) ¿Podrá trasladar en el baúl de un auto mediano que tiene una capacidad de 0,5m³ aproximadamente?
c) Atendiendo a la organización de ladrillos:c1- ¿Cuántos ladrillos hay en cada capa?c2- ¿Cuál es la mínima capa que se puede armar?c3- ¿Cuántos ladrillos tendrá la capa 20? ¿Y la 100?c4- Encontrar una fórmula que permita calcular el número de ladrillos para cualquier número de capa?
d) ¿Qué área ocupa la construcción sobre el piso con una capa? ¿Y con dos capas? ¿Y con 20?. Generalizar para la capa n.
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3900 – 19 =
3900 – 48 =
3700 – 48 =
3800 – 480 =
3800 – 1480 =
3835 – 148 =
3860 – 1505 =
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MATEMATIZACIÓN HORIZONTAL
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“El modelo es simplemente un intermediario, a menudo indispensable, a través del cual se idealiza o simplifica una realidad o teoría compleja con el fin de volverla susceptible a un tratamiento matemático formal”
(Freudenthal 1991, p. 34)
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Algunos de los modelos que se trabajan en la EMR
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Funciones de los modelos en la EMR: representacional, de trabajo y de reflexión
Teo contestó correctamente 27 de las 40 preguntas de su prueba final. Si para pasar de grado necesita el 60% de preguntas
correctas ¿habrá pasado de grado? (6to grado, evaluación final)
TABLA DE RAZONES MODELO DE BARRAS LÍNEA NUMÉRICA DOBLE
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La enseñanza de la matemática debe tomar la forma de reinvención guiada
(Freudenthal, 1991), o sea, un proceso en el que los alumnos re-inventan ideas y herramientas matemáticas a partir de
organizar o estructurar situaciones problemáticas en interacción con sus
pares y bajo la guía del docente.
La reinvención guiada requiere de la fenomenología didáctica, o sea, de
la búsqueda de contextos y situaciones problemáticas que den
lugar de modo más o menos natural a la matematización
(Freudenthal, 1983)
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Si la actividad primordial de los alumnos es matematizar, ¿cuál es la de los
docentes?
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Según Freudenthal (1991) es la de didactizar,entendida ésta también como una actividad organizadora que se da tanto a nivel horizontal como a nivel vertical.
Horizontalmente, los docentes trabajan en torno a fenómenos de enseñanza-aprendizaje que emergen en sus aulas y en las de otros; verticalmente, reflexionan y generalizan a partir de estas situaciones con el apoyo de las teorías hasta reinventar su propia caja de herramientas didácticas para facilitar la matematización.
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Currículo, investigación y desarrollo
La EMR concibe al currículo como un proceso que requiere del diseño de secuencias didácticas que, lejos de ser elaboraciones académicas restringidas a objetivos instruccionales, se enmarquen dentro de una filosofía educativa que busca explícitamente promover cambios en la enseñanza formalista y algorítmica (top-down) de la matemática en las aulas.
El motor de este proceso es la investigación para el desarrollo (educativo), una metodología cualitativa/ interpretativa basada en experiencias de aulas donde se implementan secuencias didácticas y se observan, registran y analizan hitos, saltos y discontinuidades en el aprendizaje de los alumnos. Su objetivo es llevar a la conciencia el proceso de desarrollo y explicarlo.
La reflexión conjunta de investigadores, diseñadores curriculares y profesores acerca de estos fenómenos, lleva a mejorar las secuencias didácticas, con miras a guiar de modo efectivo los procesos de matematización generándose así desarrollos educativos. Mientras que el desarrollo curricular, según Freudenthal, se centra en el desarrollo de materiales curriculares, el desarrollo educativo es mucho más que un diseño instruccional; es una innovación estratégica total fundada, por una parte, en una filosofía educativa explícita, y por otra, incorpora el desarrollo de toda clase de materiales (adaptándolos) como parte de esa estrategia. (Freudenthal, 1991; Gravemeijer, 1994)
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Uno podría quedarse con la didactizacióncomo actividad central en la capacitación docente, sin embargo ésta se organiza en función de la matematización progresiva en los alumnos, y nuestros docentes necesitan comprender este proceso y la mejor forma es hacérselo vivir. A continuación veremos como se fueron presentando ambos procesos en nuestro grupo
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Surgen tres cuestiones ….
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Cuestión 1
¿Qué es un contexto realista? ¿Cuál es la función del mismo?
¿Cómo puede el docente reconocer buenos contextos y
distinguirlos de pseudos-contextos o contextos
artificiales o “camuflados”?
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El colectivo (ver www.gpdm.org.ar)
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D - Construir y resolver cadenas de sumas y restas:(Si)
Registro clase. 1er. año. 2001.
A - Fed. 1er grado.
C - Flo. 1er grado.
B - Registro clase. 1er. grado. (M: profesora)M: ¿Cómo hacemos para decir que subieron? ¿Cómo hacemos para decir que bajaron? ¿Cómo lo ponemos?Ca 1: Poné otro colectivo.Jo 2: Cambiále el número.Flo 3: Borrále el número.Je : Podemos usar un más.Ma: ¿Por qué?Je: Porque cuando suben hay más personas.…..Ma : ¿Bajaron o subieron? Se: Se bajó 1Ma: ¿Cómo lo pongo?Se : Menos, poné.
Función de los contextos
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a) 60 ÷ ½ b) 36 x 2 ½= c) 14 x 3 1/2 =
d) 0,02 x 2500 = e) 8 x 37 ½= f) 0,6 x 0,06=
g) 10 ½ x 20= h) 1, 5 ÷ 0, 3= i) 6 ÷ 1/6 =
¿Por qué en un caso sí y en otro no?(ver www.gpdm.org.ar)
Efectos de la contextualización
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Ejemplos de situaciones problemáticas presentadas al grupo de alumnos de 1er año en relación con los cálculos anteriores:
1) Don Juan Sandoval tiene una plantación de lúpulo en El Bolsón y hace cerveza casera. Envasa la misma en barriles de 60 litros. Este verano decidió vender cerveza en la feria artesanal de los sábados. El envase más conveniente le pareció que era el de medio litro. ¿Cuántas botellas puede envasar con cada barril?
2) La pista de patinaje del Puerto Bariloche tiene 36 metros de contorno. ¿Cuánto se recorre si se dan dos vueltas y media?
3) ¿Crees que alcanzarán $14 para comprar 3 docenas de facturas si cada docena cuesta $4? ¿Y si compro 3 docenas y media y no me quieren dar vuelto, me estarán engañando?
4) Cada hoja para hacer fotocopias cuesta 2 centavos. Si cada resma tiene 500 hojas, ¿cuánto cuestan 5 resmas?
¿Por qué en un caso sí y en otro no?(Ver www.gpdm.org.ar)
Efectos de la contextualización
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¿Por qué en un caso sí y en otro no?(ver www.gpdm.org.ar)
Respuestas correctas: 51%No contestan: 7,2%
Respuestas correctas: 13,4%No contestan:31% (Abandonan la tarea sin resolver)
CUENTAS
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Como lo expresa Silvia (docente de 4º grado), “al presente tenemos otras miradas al respecto: … uno trata de analizar si un cierto contexto o situación es imaginable, razonable o no. Con el tiempo, el ejercicio y el estudio, uno se vuelve más exquisito. Capaz que le doy mil vueltas a las cosas hasta decidirme a usarlas con esos chicos. También me pasa que empiezo a hilar más fino y trato de reparar en todas las sutilezas (¿Cómo está hecha la pregunta? ¿Qué variante se puede generar?, etc.). Es bueno ejercitarse en ‘pescar’ situaciones significativas de la vida cotidiana. Por ejemplo, durante el saludo matutino, la pregunta de Marco, uno de los chicos de 4to del año pasado: ¡¿Y cuántas veces más va a saludar Laura (la directora) hasta fin de año?! Un problema que hasta el día de hoy los chicos recuerdan
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a Cuestión 2
¿Qué se entiende por matematización progresiva?
¿Qué condiciones favorecen procesos de matematización
progresiva en el aula?
El Grupo se dedica a analizar los niveles de matematización en las clases. A continuación el material registrado por una
docente en su cuaderno de aula. Se observan las estrategias y modelos diferentes que usan los alumnos, incluyendo los
saberes que traen de fuera de la escuela
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Un ejemplo de actividad en espiral:El siguiente fue un problema en que se pudieron estudiar los distintos niveles de matematización en base a las producciones de maestros y profesores dentro del Grupo
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los del rectángulo. Los triángulos rectángulos en D y B son también triángulos isósceles congruentes (Figura 1). Las flores deben ser plantadas en el paralelogramo restante. FRIED M. Y AMIT M. 2005, p. 419
Flores y césped deben ser plantados sobre un terreno rectangular cuyas dimensiones son 6m x 10m. El césped debe ser plantado en cuatro triángulos rectángulos cuyos ángulos rectos son
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1. ¿Qué área está destinada a las flores y qué área al césped?2. ¿Qué superficie es mayor, la de las flores o la del césped?3. Si queremos bordear con conejitos rojos al paralelogramo de
adentro, cada 10cm ¿cuántos se necesitarían?4. Si se quiere alambrar el terreno de flores y /o pasto ¿cuánto
alambre se necesita?5. ¿Qué parte del terreno está cubierta de flores y qué parte está
cubierta de pasto? 6. Si el triángulo DKN se cubre con ½ kg de semillas de pasto
¿cuántas semillas necesitaríamos para todo el terreno?7. Si queremos hacer paralelogramos sucesivos (concéntricos) de
flores para poner distintos colores de flores, a 10cm uno de otros ¿qué cantidad de flores de cada clase de color se necesitan?
8. ¿Cómo se puede rediseñar el cantero manteniendo las mismas áreas de pasto y flores?
Preguntas propuestas por los docentes:G
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a9. Mirando el material ¿Qué parte es DK de DC? ¿Qué parte es
el segmento DN de DA?10. ¿Cómo se prueba que los triángulos NDK y MLB son
isósceles y congruentes?11. ¿Es el triángulo CKL congruente con el NAM?12. ¿Cómo podemos conocer las dimensiones del
paralelogramo?13. ¿Será NKLM un paralelogramo?14. Si los triángulos HLM y NAM son congruentes ¿Será
realmente un paralelogramo?15. ¿Será siempre un paralelogramo?16. Si se supone que hay distintas posibilidades de
paralelogramos ¿todos cubren la misma área? ¿Cuál sería el área máxima?¿Qué sucede con el área de los triángulos al variar el área de los paralelogramos?
17. ¿Cuándo deja de haber superficie para las flores?
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Cuestión 3 ¿Qué papel le toca al docente en lo
que hace al manejo de la afluencia y variedad de producciones de los alumnos en aras a favorecer procesos de matematización progresiva?
¿Cómo se puede organizar el discurso en el aula para fomentar la elaboración y el intercambio de ideas matemáticas, la argumentación, la justificación y la prueba?
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Se reconoce la centralidad de la interacción para favorecer la reflexión y la suba en el nivel de matematización:
“Después de algunos comentarios de Silvia [otra integrante del grupo] sobre la interacción en su clase, comienzo a darme cuenta de que al dictar un problema o cuando lo leemos en voz alta, algunos alumnos ya comienzan a anticipar formas de resolución o resultados, empiezan a elaborar algunas conjeturas acerca de lo que puede suceder y algunos en la resolución toman estas ideas y luego se encargan de comprobarlas o refutarlas. Este aporte, lo pude aplicar en mi aula. Antes no dejaba que ningún alumno hablara antes de que todos los aspectos del problema a resolver estuvieran entendidos.” (Elba, docente 4º gr.)
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La EMR propone que, siendo el aprendizaje una actividad social, los alumnos han de reinventar objetos, modelos, operaciones y estrategias, no en forma individual sino en interacción con sus pares y el docente y bajo la guía de este último. La interacción tanto de toda la clase como en grupos pequeños da lugar a explicar, comparar, contrastar, poner a prueba y evaluar una multiplicad de ideas matemáticas, abriendo el juego didáctico que, bajo la guía de un docente diestro, hace posible que los alumnos se apropien de modelos cada vez más sofisticados para matematizar la realidad, incluida la matemática misma. Para que esto ocurra, los alumnos deben poder y querer participar en una comunidad de aprendizaje donde la validez de las ideas no depende sólo de la autoridad del docente sino también, y sobre todo, de la fuerza retórica de la argumentación y la razón (Dekker y Elshout-Mohr, 2004; Elbers, 2003; Gamoran Serrín, 2002; Sadovsky y Sessa, 2005; Zack y Graves, 2001).
Del principio de matematización progresiva se deduce que las condiciones óptimas para la reinvención se dan en aulas heterogéneas, o sea, integradas por alumnos con distintos niveles de habilidades y destrezas matemáticas (Freudenthal, 1887,1991). En este escenario, el espectro de soluciones que los alumnos generan durante una determinada lección frente a un problema dado funciona para el docente como un mapa de ruta indicando posibles trayectorias para las lecciones que siguen.
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¿Qué hemos aprendido en el GPDM a lo largo de estos años?
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• Que matemática para todos no es lo mismo que exigir para todos la misma matemática.
• A dar algunas respuestas al problema del sentidodel aprendizaje de la matemática.
• Ahora comprendemos mejor en qué consiste matematizar y cómo generar el proceso en los alumnos
• Reconocemos el valor de las construcciones y producciones libres de los alumnos.
• Valorizamos el papel de la reflexión (en la actividad de matematizar y de didactizar) para fomentar la evolución de modelos y herramientas (tanto en los alumnos como en los docentes).
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a Ideas sobre la capacitación docente• El estudio integrado de la matemática y su didáctica
lleva mucho tiempo e involucra adoptar un compromiso personal en relación con capacitarse profesionalmente en forma continua.
• Es necesario trabajar con los niveles de matematización, no sólo de los alumnos sino también de los propios docentes
• Resolver problemas matemáticos abiertos, no rutinarios y que permitan un tratamiento en espiral, crea oportunidades para conectar aprendizajes anteriores, ampliarlos y profundizarlos.
• El “problema de articulación” entre niveles de escolaridad pasa más por generar espacios de estudio conjunto entre sus docentes que por “dividir qué le toca enseñar a cada uno”.
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“Hasta que empecé a trabajar en el grupo yo pensaba que los conceptos “los tenía yo” y les daba a los alumnos las herramientas para que ellos pudieron comprenderlos, adquirirlos y aplicarlos, nunca se me ocurrió pensar en la reinvención por ejemplo; por más que buscara problemas o situaciones motivantes, era yo la que proporcionaba y elaboraba el material para que los alumnos respondieran lo que yo quería que respondan.” … “Cuando tuve la oportunidad de llevar al aula situaciones didácticas dentro del marco de la matemática realista se me “movió” la estructura: los protagonistas eran los alumnos, tenía que estar atenta a la infinidad de cuestionamientos y soluciones que se planteaban, a coordinar las discusiones, a maravillarme de cómo era “observable” la matematización progresiva, la diferencia entre el principio y el final, la satisfacción del producto.”(Adriana, profesora de Nivel Medio y del Instituto de Profesorado de Enseñanza Elemental)
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Algunas líneas actuales de investigación delInstituto Freudenthal (www.fi.uu.nl)
- procesos de modelización y de simbolización; - evaluaciones de series curriculares realistas; - diseño e implementación de pruebas de evaluación realistas; - diseño y prueba de materiales multimedia interactivos para la formación y capacitación de profesores; - diseño de secuencias didácticas basadas en el uso de la calculadora y otras tecnologías; -diseño o adaptación de secuencias didácticas para sectores específicos de la población escolar (educación especial, bilingüe, etc.) y diferencias de rendimiento en relación al género, nivel socio-económico, diferencias étnicas y culturales, y nivel de manejo del idioma holandés.
La meta de la Institución es que el aprendizaje de la matemática, tanto dentro como fuera de la escuela, sea una actividad desafiante en la cual las aptitudes de los estudiantes sean usados de manera óptima, posibilitándoles construir el conocimiento matemático y las capacidades que necesitarán más tarde, tanto en la vida diaria como en la profesión que hayan elegido.
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