7/26/2019 Ensayo Tema 02

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Instituto Universitario Politcnico

Santiago MarioExtensin Barinas

Departamento de Ingeniera Industrial

Mecnica Aplicada

ENSAYOCentro de gravedad de un cuerpo tridimensional, centroides de un

volumen, cuerpos compuestos, determinacin de centroides de volmenes

por integracin.

Por:

TSU Leonel Quintero

C.I. 11164618

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INTRODUCCION

Es un punto que se define el centro geomtrico de un objeto. Su localizacin

puede determinarse a partir de frmulas semejantes utilizadas para determinar el

centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo. En particular, si el material de

que est compuesto un cuerpo es uniforme u homogneo, la densidad o el peso

especfico sern constantes en todo el cuerpo. Las Formulas resultantes definen al

centroide de un cuerpo, ya que son independientes del peso del cuerpo y

dependen solamente del cuerpo.

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CENTROIDE DE UN VOLUMEN

El centro de gravedad G de un cuerpo tridimensional se obtiene dividiendo

el cuerpo en pequeos elementos.

: =

dnde:

W= Peso

r = Vector de posicin del origen a el centro de gravedad del volumen.

r = Vector de posicin del origen a cualquier punto del volumen.

= Pesos de los elementos pequeos.Incrementando el nmero de elementos y disminuyendo el tamao de estos

=

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Descomponiendo los vectores r y r en sus componentes rectangulares

CENTROIDE DE UN VOLUMEN

Si el cuerpo est hecho de un material homogneo de peso especfico , lamagnitud dw del peso de un elemento infinitesimal se puede expresar en

trminos del volumen dV de dicho elemento y la magnitud del peso total (W)

puede expresarse en trminos del volumen total (V):

= = Sustituyendo dW y W en la segunda relacin

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.- El punto cuyas coordenadas son , , tambien se le conoce como el centroidedel volumen del cuerpo.

.- La integral se conoce como el primer momento del volumen con respectoal eje y z.

.- Las integrales y , definen cada un a los primeros momentos en losplanos x z, x y respectivamente.

CUERPOS COMPUESTOS

Un cuerpo puede dividirse en varias formas comunes, por tanto, su centro

de gravedad puede determinarse al expresar que el momento con respecto a O es

igual a la suma de todos los momentos con respecto a O y para definir , , :

= xW

Y = Z =

Si el cuerpo est hecho de un material homogneo:

= xV Y = Z =

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Descomposicin del Cuerpo Compuesto:

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DETERMINACIN DE CENTROIDES DE VOLUMEN POR INTEGRACIN

El centroide de un volumen limitado se determina al evaluar las integrales:

Sustituyendo las dimensiones que aparecen en la figura:

=

=

=

Por lo tanto:

= = 0

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EJEMPLO

= + = + = + 1dy = + 1dyObteniendo el diferencial de x

x= = 32

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Por lo tanto:

= + 1dy

= + 1dyx= =

+ 1dy

= ([3

2] + 1 )

([32]

+ 1)

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CONCLUSION

El centro de gravedad es el punto de aplicacin de la resultante de todas las

fuerzas de gravedad que actan sobre las distintas porciones materiales de un

cuerpo, de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante

aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de

todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo.

En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto

al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales

que constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo.

El centro de gravedad de un cuerpo no corresponde necesariamente a un

punto material del cuerpo. As, el Centro de Gravedad de una esfera hueca est

situado en el centro de la esfera que, obviamente, no pertenece al cuerpo.

En fsica, adems del centro de gravedad aparecen los conceptos de centro

de masa y de centro geomtrico o centroide que, aunque pueden coincidir con el

centro de gravedad, son conceptualmente diferentes.