Ensayo Beca Concursable- Mat

ENSAYO BECAS CONCURSABLES

MATEMÁTICA

C u r s o : Matemática

2

PSU MATEMÁTICA

INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS 1. Esta prueba consta de 70 preguntas. Usted dispone de 2 horas y 15 minutos para

responderla. 2. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el

desarrollo de los ejercicios. 3. Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala. 4. Antes de responder las preguntas N° 64 a la N° 70 de esta prueba lea atentamente las

instrucciones que aparecen a continuación de la pregunta N° 63.

ESTAS INSTRUCCIONES LE FACILITARÁN SUS RESPUESTAS

SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

es menor que es congruente con es mayor que es semejante con es menor o igual a es perpendicular a es mayor o igual a es distinto de ángulo recto es paralelo a ángulo trazo AB logaritmo en base 10 pertenece a conjunto vacío valor absoluto de x función parte entera de x

�

≅

∼

⊥

≠

//

AB

≤

>

≥

<

log

φ

[x]

|x|

∈

3

1. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es divisible por 180?

A) 23 ⋅ 34 ⋅ 52 ⋅ 7 B) 22 ⋅ 32 ⋅ 54 C) 24 ⋅ 32 ⋅ 5 D) 22 ⋅ 3 ⋅ 54 E) 25 ⋅ 32 ⋅ 5

2. Si x : y = 4 : 5, ¿cuál es el valor de 2x + y?

A) -1 B) 3 C) 13 D) 14 E) No se puede determinar

3. Si el numerador y el denominador de una fracción propia aumentan en una misma cantidad,

entonces es verdad que la fracción resultante

A) tiene el mismo valor que la fracción original B) es siempre mayor que la fracción original C) es siempre menor que la fracción original D) es mayor o igual que la fracción original E) es menor o igual que la fracción original

4. ¿Cuál de los siguientes números es el menor?

A) 13

B) 1

2 3

C) 33

D) 3

E) 1

3 3

5. Si a < b y c < 0, ¿cuál de las siguientes opciones es siempre verdadera?

A) ac < bc B) a + c > b + c C) a – c < b – c

D) ac

< bc

E) Ninguna de las anteriores

4

6. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente con AB

?

A) A 1B 1

−

−

B) 3 + A3 + B

C) 2

2

A

B

D) -1B

A

E) 2A

2 + B

7. 364

29 0,2

−

=

A) 34

B) 43

C) 2 D) 4 E) 18

8. En la serie: 8, 4, 12, 6, 18, 9, x, …, el valor de x es

A) 19 B) 20 C) 22 D) 24 E) 27

9. Si n es un número real mayor que 1, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones aumenta(n) su

valor cuando n aumenta?

I) n – 1n

II) 1

n(n 1)−

III) 3n3 – 2n2

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III

5

10. Si cierto número se disminuye en p unidades, resulta el número t, entonces dicho número está representado por

A) p – t B) p + t C) t – p D) -pt E) pt

11. Si a(b + 1) = c, entonces b =

A) c – 1 B) c

C) c 1

a−

D) c – a – 1

E) ca

– 1

12. Al simplificar la fracción 26a 13a + 6

3a 2−

− se obtiene

A) 3a – 2 B) 3a – 3 C) 2a – 6 D) 2a – 3 E) 2a2 + 3a – 3

13. En una industria trabajan H hombres y M mujeres. ¿Qué parte de las personas que trabajan

en esta industria son mujeres?

A) MH

B) M + H

H

C) M

H M−

D) M

H + M

E) M

6

14. Si cada uno de los lados de un rectángulo aumenta su longitud en un 100%, entonces el área del rectángulo aumenta en un

A) 100% B) 200% C) 300% D) 400% E) 500%

15. En la fórmula T = 2Lg

, g es una constante. ¿Por cuál de los siguientes números se debe

multiplicar L para que T se cuadruplique?

A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 32

16. ¿Cuál es el valor de x en la ecuación 2x - 0,2x = 9?

A) 0 B) 4,1 C) 4,5 D) 5 E) 18

17. La escala de un mapa es tal que, tres cuartas partes de un centímetro de dicho mapa

equivalen a 10 kilómetros. Si la distancia en el mapa entre 2 ciudades es 12 cm, la distancia real entre dicha ciudades es de

A) 80 km B) 90 km C) 120 km D) 150 km E) 160 km

18. 7 6 6 6 6 6 62 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 =

A) 2 7 3

B) 3 7 3 C) 2

D) 2 3

E) 3 2

7

19. Si a2 + b2 = 10 y a : b = 1 : 2, entonces 2b2

– 2a3

=

A) 313

B) 423

C) 35

D) 106

E) 3313

20. Un decímetro es equivalente a 0,1 metro. ¿Cuántos metros son 0,5 decímetros?

A) 5,0 B) 1,0 C) 0,5 D) 0,002 E) 0,05

21. Si a = -b + 5, entonces 8ab + 4b2 + 4a2 =

A) 10 B) 20 C) 25 D) 50 E) 100

22. ¿Cuál(es) de los siguientes binomios es (son) divisor(es) del trinomio c2 + c – 20?

I) c – 4 II) c – 5

III) c + 4

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III

8

23. Al dividirse a + a

a 1− por a -

aa 1−

se obtiene

A) -1 B) -a

C) a

a 2−

D) -a

a 2+

E) a 2

a−

24. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa con toda seguridad un número irracional si n

es un número impar?

A) 3n

B) n + 3 C) n 3−

D) 3 n

E) n 3

25. Si r1 < 53

y r2 > -13

, entonces el número real r = r1 − r2 es tal que

A) r < -2 B) r > 2 C) r < 2 D) r > 1 E) r < -1

26. Los puntos (3, 1) y (5, p) se encuentran separados por 13 unidades. Uno de los valores de p es

A) 17 B) 10 C) 4

D) 7 E) -3

9

27. El recíproco (inverso multiplicativo) de 1

2x 1− es 11. ¿Cuál es el valor de x?

A) -5

B) 12

C) 2 D) 5 E) 6

28. ¿Cuál es el valor de u si ( 2 u + 2 u) 8 = 15?

A) 158

B) 2

C) 434

D) 223

E) 158

29. Si x

12

es igual a 2x + 2, entonces ¿cuál es el valor de x?

A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2

30. Si m > 0, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) igual(es) a 2 2m m

16 9+ ?

I) 5m12

II) m4

+ m3

III) 7m12

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) Ninguna de ellas

10

31. x

y + z =

A) xy xzy + z

−

B) xy + xz

y z−

C) xy xzy z

−

−

D) xy – xz

E) xy + xz

y + z

32. Si f(x) = x2 + 1, entonces f(a – 1) =

A) a2 B) a2 – 1 C) a2 – 2 D) a2 – 2a + 1 E) a2 – 2a + 2

33. Sean las funciones f(x) = x + 5 y g(x) = 3 – x. Si los gráficos de estas funciones se

intersectan en el punto P, ¿cuáles son las coordenadas de P?

A) (4, -1) B) (-1, 4) C) (-1, 2) D) (3, 5) E) (5, 3)

34. Si f(x) = x 1x 1

−

+, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) f(-1)= 0

II) f(1) = 0 III) f(0) = 0

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo I y III

11

35. El conjunto solución de la ecuación x – 2 = x es igual a

A) {5} B) {4} C) {1, 4} D) {-1, 4} E) {-5}

36. Si log (c + 8) = 1, entonces 2 log c =

A) -16 B) 2 C) 4 D) log2 E) log4

37. Si a y b son distintos de cero, una de las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática:

x2 – (a + b) x + ab = 0 es

A) b B) -a

C) a2

D) -b

E) 1a

38. Al dibujarse en un triángulo rectángulo la altura que cae sobre la hipotenusa, se forman 2

triángulos que siempre

A) son congruentes. B) tienen igual área. C) son semejantes. D) tienen igual perímetro. E) todas las anteriores.

39. El área del ∆OSP de la figura 1, no supera los 54 cm2, pero es mayor que 24 cm2. Si 3x = y,

entonces ¿cuál de las siguientes opciones es verdadera?

A) 4 < x < 6 B) 4 < x ≤ 6 C) 16 ≤ x < 36 D) 16 < x ≤ 36 E) 16 ≤ x ≤ 36

fig. 1

O

S

P

y

x

12

40. ¿Cuánto mide el ángulo ACB en la circunferencia de centro O (fig. 2), si �AOB = 85º y

�DOE = 15º?

A) 50º B) 35º C) 30º D) 15º E) 5º

41. ABCD es un paralelogramo y E es un punto cualquiera de AB (fig. 3). ¿En qué razón están las

áreas del triángulo DEC y el paralelogramo ABCD?

A) 1 : 2 B) 1 : 3 C) 1 : 4 D) 2 : 3 E) 3 : 4

42. Los lados de cierto triángulo miden 18 mm, 10 mm y 20 mm. El lado mayor de un triángulo

semejante a éste mide 30 mm, ¿cuál es el perímetro de este último triángulo?

A) 70 mm B) 72 mm C) 90 mm D) 108 mm E) 110 mm

43. En la figura 4, BC es tangente, en el punto B, a la circunferencia de centro O. Si BC = 8 cm

y AC = 12 cm, ¿cuál es el área del círculo?

A) 5π cm2 B) 8π cm2 C) 9π cm2 D) 20π cm2 E) 40π cm2

A

D O

BA

EA

CA fig. 2

A E

D C

B

fig. 3

O B A

C

D fig. 4

13

44. En el cuadrilátero MNPQ (fig. 5), NP = PQ , MN ⊥ NP , MQ ⊥ PQ . ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) MN = NQ .

II) MN = MQ .

III) MP = MQ .

A) Sólo II B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

45. El área total de un cubo es igual a 150 cm2. ¿Cuál es el volumen de este cubo?

A) 30 cm3 B) 50 cm3 C) 100 cm3 D) 125 cm3 E) 150 cm3

46. En la figura 6, ¿para qué valores de x se verifica que L1 // L2?

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 12

47. Un cuadrado que tiene lado a, está ubicado de tal manera que sus diagonales coinciden con

los ejes de un sistema de coordenadas. ¿Cuáles son las coordenadas del vértice que queda bajo el origen?

A) a

- , 02

B) a

0, -2

C) a 2

0,2

D) a 2

0, -2

E) a 2

- , 02

M N

Q

P

fig. 5

2x – 3

x – 3 x – 4

x

L1 L2

fig. 6

14

48. Si C representa la cantidad de ejes de simetría de un cuadrado T representa la cantidad de ejes de simetría de un triángulo equilátero y R representa la cantidad de eje de simetría de un rombo, entonces ¿cuál de las siguientes relaciones es verdadera?

A) C < T < R B) C > T > R C) C = T = R D) C = R > T E) C = R < T

49. Las coordenadas de la imagen del vértice D que se obtienen al rotar el rectángulo ABCD

(fig. 7) con centro en el origen y en 180º, son

A) (-1, 4) B) (4, 1) C) (-1, -4) D) (-4, -1) E) (1, -4)

50. En el plano cartesiano, un círculo de área 49π tiene su centro en el origen. ¿Cuál(es) de los

siguientes puntos se ubica(n) fuera del círculo?

I) (4, 5) II) (4, 6)

III) (5, 5)

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

51. Las rectas L1 y L2 del gráfico (fig. 8) son paralelas. La pendiente de L2 es

A) 34

B) -43

C) - 34

D) 45

E) -45

fig. 7

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6

A

D

B

C y

x

3

0 4

y

x

L1

L2 fig. 8

15

52. En la circunferencia de la figura 9, CE = ED = 12

AE . Si EB = 3, entonces CD =

A) 6 B) 9 C) 12 D) 15 E) 18

53. En el triángulo rectángulo ABC de la figura 10, AB = 2 y AC = 4. ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Área ∆ABC = 12

II) BC = 12

III) tg �BAC = 12

A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) Sólo II y III

54. Si en el triángulo rectángulo ABC de la figura 11, BC = 5 y AC = 12, entonces

2AD +

2DB + 2 AD · DB =

A) 13 B) 13 C) 17 D) 169 E) 289

55. La figura 12, en el sistema cartesiano muestra una figura achurada. Si se le aplica una

traslación VT(-3, 5) y luego una rotación de 90º, con centro en el origen del sistema, entonces ¿cuáles serán las nuevas coordenadas del punto E?

A) (-9, -2) B) (0, 9) C) (-9, 0) D) (-2, 9) E) (-9, 2)

E D

B

A

C

fig. 9

A B

C

fig. 10

A D B

C

fig. 11

fig. 12

A B

F E

D C

0 x

y

2

4

6

2 3 4 1

16

56. De acuerdo al gráfico de la figura 13, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) El control lo rindieron 36 alumnos.

II) El promedio del curso fue 4,25. III) El 25% obtuvo nota 5.

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

57. El señor Riquelme tiene que sacar una de veinticuatro fichas numeradas que hay en una urna

Si las fichas están numeradas del 1 al 24, ¿cuál es la probabilidad que saque una ficha que tenga un número divisible por 3?

A) 16

B) 18

C) 19

D) 14

E) 13

58. Las figuras corresponden a discos que tienen sectores de igual área y unas flechas que giran y

marcan un número. ¿En cuál de los siguientes discos es más fácil conseguir un 2?

A) B) C) D) E)

2

4

6

8

10

2 3 4 5 6 7 NOTAS

ALUMNOS Notas obtenidas por el 4º

A en el control 1

fig. 13

2

1 3 2

1

2

1 3

2

3

1 1 2

3

1

2

3

1

1

2

3

1

1

3

2

2

17

59. Mario lanza dos dados y obtiene 9 puntos. A continuación Claudio también tiene que lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad que tiene Claudio de obtener un puntaje mayor que Mario?

A) 14

B) 29

C) 16

D) 517

E) 136

60. En una bolsa hay 50 bolitas, de las cuales 20 son de distintos colores y el resto son blancas.

¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bolita de la bolsa, ésta sea blanca?

A) 25

B) 12

C) 35

D) 13

E) 23

61. Dados los siguientes datos: 6; 8; 4; 12; 8; 7; 4; 13; 15; 7; 8, la suma, aproximada, de la media aritmética, la moda y la mediana es igual a

A) 20 B) 22 C) 24 D) 25 E) 26

62. La media aritmética de las edades de 4 personas es 48 años. Si ninguna de ellas tiene menos

de 45 años, ¿cuál es la máxima edad que puede tener una de ellas?

A) 51 B) 53 C) 57 D) 54 E) 60

18

63. La figura 14, muestra las estaturas de los alumnos de un curso. ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son) correcta(s)?

I) La moda es 160 cm.

II) La mediana es 167,5 cm. III) El 70% del total de alumnos mide igual o menos de un 1,7 mts.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo I y III

ESTATURAS (cm)

Fi

150 2 155 1 160 6 165 1 170 5 175 3 180 2

fig. 14

19

Evaluación de Suficiencia de Datos

Instrucciones Para las Preguntas N° 64 a la N° 70 En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución.

Usted deberá marcar la letra: A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta,

pero la afirmación (2) por sí sola no lo es. B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta,

pero la afirmación (1) por sí sola no lo es. C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para

responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente. D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la

pregunta. E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para

responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución. Ejemplo:

P y Q en conjunto tiene un capital de $ 10.000.000, ¿cuál es el capital de Q?

(1) Los capitales de P y Q están en razón de 3 : 2.

(2) P tiene $ 2.000.000 más que Q.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

En este ejemplo, usted puede observar que con los datos proporcionados en el enunciado más los indicados en la condición (1) es posible llegar a la solución, en efecto:

P : Q = 3 : 2, luego

(P + Q) : Q = 5 : 2, de donde $ 10.000.000 : Q = 5 : 2

Q = $ 4.000.000 Sin embargo, también es posible resolver el problema con los datos proporcionados en el enunciado (P + Q = $ 10.000.000) y en la condición (2) (P = Q + $ 2.000.000). Por lo tanto, usted debe marcar la clave . Cada una por sí sola, (1) ó (2).

D

20

64. La expresión (-1)n + (-1)n – 1, representa siempre un entero si :

(1) n ∈ lR.

(2) n ∈ lN.


65. N es un número divisible por 70 si :

(1) N es un número divisible por 2 y por 5.

(2) N es un número divisible por 2 y 7.


66. El valor del log 3 0,25 se puede conocer si :

(1) se conoce el valor de log 2.

(2) se conoce el valor de log 5.


67. El triángulo ABC de la figura 14 es equilátero si :

(1) sen �BAC = 32

(2) AB = AC y �BAC = 60º


A B

C

fig. 14

21

68. En la figura 15, ABCD es un trapecio en que M y N son puntos medios de AD y BC respectivamente. ¿En que razón están las áreas de los trapecios MNCD Y ABNM?

(1) AB = 5 y CD = 3

(2) AM = BN


69. El producto a · b es un número irracional si :

(1) a es racional y b es irracional.

(2) a es natural y b es irracional.


70. El triángulo ABC es isósceles de base AB (fig. 16). ¿Cuánto mide el ángulo BDE?

(1) CD = CE

(2) �ACD = 30º


A B

M N

D C

fig. 15

A D B

C

E fig. 16

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