Ensayo algebra lineal “números complejos”

Ingeniería Industrial

Ortiz Solórzano Juan Carlos

Instituto Tecnológico Superior de Uruapan

Uruapan, Mich. 18/04/2023

Introducción

Dentro del presente se establecerá una manera para saber manejar las matrices, sus

propiedades y operaciones a fin de expresar conceptos y problemas mediante ellas, en los

sistemas de ecuaciones lineales; así como en otras áreas de las matemáticas, y de la

ingeniería, para una mejor comprensión y una solución más eficiente. Utilizar el

determinante y sus propiedades para probar la existencia y el cálculo de la inversa de una

matriz.

Cuando los sistemas de ecuaciones lineales son extensos, mayormente se utilizan matrices

por su facilidad de manejo.

Uno de los propósitos de esta unidad de trabajo tiene la finalidad de poder comunicarse con

el lenguaje matemático en forma escrita; modelar matemáticamente fenómenos y

situaciones, pensamiento lógico, resolución de problemas.

2.1 Definición de una matriz, notación y orden

Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos o entradas de

la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas

horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales de la matriz.

Notación

Generalmente, una matriz se nombra por una letra mayúscula y de sus elementos, una vez

distribuidos en las filas y columnas respectivas, se encierran con corchetes o con paréntesis,

por ejemplo:

Orden de una matriz

El orden de una matriz es el número de filas y de columnas que tiene esa matriz; si el

número de filas de una matriz A es “m” y el de columnas es “n”, se suele denotar como

leyéndose “matriz A de orden m por n”

Elemento genérico

El símbolo “ ”, llamado elemento genérico de una matriz, se usa para indicar que el

elemento por el designado ocupa el lugar correspondiente a la fila “i” y a la columna “j”

En consecuencia, una notación del tipo “ ” debe interpretarse que se trata del elemento

“a”, que ocupa el lugar correspondiente a la fila 2 columna 3. Así la matriz:

Por ello, otra forma de anotar una matriz A, de m filas, y n columnas, que

tiene como elemento genérico a “ ”, es: se puede

anotar de esta forma

Operaciones con matrices

Transpuesta. Sea A una matriz de m x n, entonces la transpuesta de A se denota por ,

es la matriz de n x m que se obtiene escribiendo las filas de A, por orden, como columnas.

Ejemplo:

Suma y resta de matrices. La suma (diferencia) A B de dos matrices del mismo tamaño se

obtiene sumando o restando los elementos correspondientes de las matrices, ejemplos:

Suma Dadas las matrices hallar la suma de A y B.

A+B = + =

Diferencia Dadas las matrices hallar la diferencia B y A

B-A =

Multiplicación por un escalar. El producto de una matriz A por un escalar k denotado

como kA se obtiene multiplicando todos los elementos de A por k. Ejemplo:

Hallar 3A

Producto de matrices El producto de AB de una matriz A de mxn y B una matriz de nxm

resulta una matriz C de mxn, en donde cada elemento se obtiene multiplicando los

elementos correspondientes de la fila “i” de la matriz A con los elementos de la columna

“j” de la matriz B y se suman todos los resultados. Ejemplo:

Dadas encontrar BA =

2.3 Clasificación de matrices

Matriz fila. La matriz fila, como su nombre lo indica esta constituida básicamente por una

sola fila. Ejemplo:

Matriz columna. La matriz columna solamente tiene una columna. Ejemplo:

Matriz rectangular. La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas,

siendo su dimensión mxn. Ejemplo:

Matriz cuadrada. La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1. Ejemplo:

Matriz nula. En una matriz nula todos los elementos son ceros. Ejemplo:

Matriz triangular superior. En una matriz triangular superior los elementos situados por

debajo de la diagonal principal son ceros. Ejemplo:

Matriz triangular inferior: En una matriz triangular inferior los elementos situados por

encima de la diagonal principal son ceros. Ejemplo:

Matriz diagonal: En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por

debajo de la diagonal principal son nulos. Ejemplo:

Matriz escalar. Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la

diagonal principal son iguales. Ejemplo:

Matriz de identidad, o de unidad: Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que

los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. Ejemplo:

Matriz transpuesta. Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se

obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. Ejemplo:

Matriz simétrica: Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = At.

Matriz anti simétrica o hemisimétrica. Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = -At.

2.4 Transformaciones elementales por renglón. Escalonamiento de una matriz. Rango de una matriz

La idea que se persigue con las transformaciones elementales es convertir una matriz concreta en otra matriz más fácil de estudiar. En concreto, siempre será posible conseguir una matriz escalonada, en el sentido que se define a continuación.

Sea A una matriz y F una fila de A. Diremos que F es nula si todos los números de F coinciden con el cero. Si F es no nula, se llama pivote de F al primer número distinto de cero de F contando de izquierda a derecha.

Matriz escalonada es aquella que verifica las siguientes propiedades:

Todas las filas nulas (caso de existir) se encuentran en la parte inferior de la matriz. El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente más a la derecha que el

pivote de la fila de encima. Ejemplo:

A no es escalonada, mientras que B y C si lo son.

Dada una matriz escalonada E se define el Rango de una matriz de E, que se representa por rg (E), como el número de filas no nulas de E.

En los ejemplos B y C de arriba se tiene rg (B) = rg(C) = 2, sin embargo no podemos decir que rg(A) = 3 ya que A no está escalonada. Otro ejemplo, las matrices nulas tienen rango cero y la matriz identidad de orden n cumple rg (In) = n.

2.5 Cálculo de la inversa de una matriz

El producto de una matriz por su inversa es igual al matriz identidad. A · A-1 = A-1 · A = I

Cálculo de determinantes

Ejemplo:

Calculamos el determinante de la matriz, en el caso que el determinante sea nulo la matriz

no tendrá inversa.

Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se sustituye por su

adjunto.

Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.

La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz traspuesta

de la adjunta.

2.6 Definición de determinante de una matriz

Sea una matriz de 2x2. El determinante se define como:

El determinante de 3x3 se encuentra definido como: Entonces el

determinante será:

Ejemplo Sea Calcular

2.7 Propiedades de los determinantes

1. El determinante de una matriz A y de su traspuesta son iguales, es decir:

2. Siendo A una matriz cuadrada

a) Si A posee dos filas (columnas) iguales, necesariamente

b) Si A es triangular, esto es, A solo tiene ceros por encima o por debajo de la

diagonal principal entonces es igual al producto de los elementos de la diagonal

3. Suponiendo que B se ha obtenido de A mediante una operación elemental entre filas

o columnas:

a) Si se han intercambiado dos filas (columnas9 de A. Entonces:

b) Si se ha sumado un múltiplo de una fila (columna) a otra, entonces

4. Sea A cualquier matriz n-cuadrada son equivalentes los siguientes principios_

d) A es invertible, es decir, A tiene inversa ( )

e) Ax=0 tiene solamente la solución trivial

f) El determinante de A no es nulo

5. El determinante es una función multiplicativa, es decir el determinante de producto

de matrices A y B es el producto de los determinantes

6. Suponiendo que A y B son similares, entonces

2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta.

Sea A una matriz nxn. Entonces A es invertible, si, y solo si , entonces:

Si se demuestra que es inversa de la A

multiplicándola por A y obteniendo la matriz de identidad:

. SI AB=1, entonces

Asi entonces:

Ejemplo : Sea Determine si A es invertible y, des ser así, calcule

Como se ve que A es invertible

Asi pues:

Comprobación

2.9 Aplicación de matrices y determinantes

Las matrices y determinantes se utilizan en la vida diaria para clasificar valores numéricos

dados ciertos criterios, o variables.

Ejemplo dado Un importador de globos los importa de dos colores, naranja (N) y fresa (F).

Todos ellos se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que se venden al precio (en

euros) indicado por la tabla siguiente:

Color / Unidades 2 5 10

N 0.04 0.08 0.12

F 0.03 0.05 0.08