Enquadramento - webx.ubi.ptwebx.ubi.pt/~fantunes/disciplinas/2016-2017/CalculoFinanceiroEcono... ·...

1

CAPÍTULO IICAPÍTULO IIRENDASRENDAS

CálculoCálculo FinanceiroFinanceiroCálculo Cálculo FinanceiroFinanceiro**

Francisco AntunesFrancisco AntunesPaulo Paulo MêdaMêda

EnquadramentoEnquadramento

Regime de Juro CompostoRegime de Juro Composto SabeSabe se que utilizando o factor dese que utilizando o factor de SabeSabe--se que utilizando o factor de se que utilizando o factor de

actualização (1+i)actualização (1+i)--nn ou o de capitalização ou o de capitalização (1+i)(1+i)nn é possível movimentar no tempo um é possível movimentar no tempo um capital de cada vez.capital de cada vez.

Mas e se forem 10 ou 30 ouMas e se forem 10 ou 30 ou

33

Mas e se forem 10 ou 30 ou Mas e se forem 10 ou 30 ou 1.000? Pode dar uma trabalheira 1.000? Pode dar uma trabalheira enorme!!!enorme!!!

2

Conceito de rendaConceito de renda

Conjunto de capitais (termos) que Conjunto de capitais (termos) que i l d i ii l d i iocorrem em intervalos de tempo iguais ocorrem em intervalos de tempo iguais

(equidistância temporal).(equidistância temporal).Não interessa que os diferentes capitais Não interessa que os diferentes capitais

(os termos) sejam de igual montante.(os termos) sejam de igual montante.A i di id d d d é d fi id lA i di id d d d é d fi id l

44

A periodicidade da renda é definida pelo A periodicidade da renda é definida pelo período de tempo entre dois termos período de tempo entre dois termos consecutivos.consecutivos.

Conceito de rendaConceito de renda

Para definir uma renda é preciso saber:Para definir uma renda é preciso saber:–– o momento de referência;o momento de referência;–– o momento de vencimento do primeiro o momento de vencimento do primeiro

termo;termo;–– o número de termos;o número de termos;

55

–– o valor de cada termo;o valor de cada termo;–– o intervalo de tempo (constante) entre os o intervalo de tempo (constante) entre os

termos.termos.

3

Representação de uma rendaRepresentação de uma renda

t1 t2 t3 (…) tn-1 tnTermos

0 (origem) 1 2 3 (…) n-1 n

Tempo

66

p

Valor actual de uma rendaValor actual de uma renda

t1 t2 t3 (…) tn-1 tn

VV00= t= t11.(1+i).(1+i)--11 + t+ t22.(1+i).(1+i)--22 + t+ t33.(1+i).(1+i)--33 + … + t+ … + t(n(n--1)1).(1+i).(1+i)--(n(n--1)1) + t+ tnn.(1+i).(1+i)--nn

0 1 2 3 (…) n-1 n

77

4

Valor acumulado de uma rendaValor acumulado de uma renda

t1 t2 t3 (…) tn-1 tn

VVnn= t= t11.(1+i).(1+i)(n(n--1)1) + t+ t22.(1+i).(1+i)(n(n--2)2) + t+ t33.(1+i).(1+i)(n(n--3)3) + … + t+ … + t(n(n--1)1).(1+i).(1+i) + t+ tnn

0 1 2 3 (…) n-1 n

88

nn 11 ( )( ) 22 ( )( ) 33 ( )( ) (n(n--1)1) ( )( ) nn

nn é o momento em que é o momento em que ocorre o último termoocorre o último termo

Tipos de rendasTipos de rendas

Quanto à sua duração:Quanto à sua duração:ÁÁ–– TEMPORÁRIASTEMPORÁRIAS

O número de termos é finito.O número de termos é finito.

–– PERPÉTUASPERPÉTUASO ú d t d id dO ú d t d id d

99

O número de termos pode ser considerado O número de termos pode ser considerado ilimitado.ilimitado.

5


Quanto à sua duração:Quanto à sua duração:ÁÁ–– TEMPORÁRIASTEMPORÁRIAS

–– PERPÉTUASPERPÉTUAS

€12 €33 €34 (…) €45 €49

0 1 2 3 (…) n-1 n

€12 €33 €34 ( )

1010

€12 €33 €34 (…)

0 1 2 3 (…) +∞


Quanto ao período da renda:Quanto ao período da renda:–– INTEIRASINTEIRASO período da renda corresponde ao período O período da renda corresponde ao período

da taxa (ex: ano/tx anual, mês/tx mensal,…).da taxa (ex: ano/tx anual, mês/tx mensal,…).

–– FRACCIONADASFRACCIONADAS

1111

–– FRACCIONADASFRACCIONADASO período da renda difere do período da taxa.O período da renda difere do período da taxa.

6


Quanto ao período da renda:Quanto ao período da renda:–– INTEIRASINTEIRAS

FRACCIONADASFRACCIONADAS

€1.000 €1.000 €1.000 (…) €1.000 (i mensal)

0 1 2 3 (…) 34 meses

1212

–– FRACCIONADASFRACCIONADAS€2.000 €2.500 (i anual)

0 1 2 3 4 meses


Quanto ao valor dos termos:Quanto ao valor dos termos:CONSTANTESCONSTANTES–– CONSTANTESCONSTANTES Todos os termos têm o mesmo valor.Todos os termos têm o mesmo valor.

–– VARIÁVEISVARIÁVEIS

1313

Os termos têm valores diferentes:Os termos têm valores diferentes:–– Sem regularidade matemática;Sem regularidade matemática;–– Com progressão aritmética;Com progressão aritmética;–– Com progressão geométrica.Com progressão geométrica.

7


Quanto ao valor dos termos:Quanto ao valor dos termos:–– CONSTANTESCONSTANTES

VARIÁVEISVARIÁVEIS

€1.000 €1.000 €1.000 (…) €1.000

0 1 2 3 (…) 34

1414

–– VARIÁVEISVARIÁVEIS€1.000 €750 €320 (…) €238

0 1 2 3 (…) 103


Quanto ao momento de referência:Quanto ao momento de referência:–– IMEDIATASIMEDIATAS Coincide com a origem.Coincide com a origem.

DIFERIDASDIFERIDAS

1515

–– DIFERIDASDIFERIDASO momento de referência é anterior à origem.O momento de referência é anterior à origem.

8


Quanto ao momento de referência:Quanto ao momento de referência:–– IMEDIATASIMEDIATAS

DIFERIDASDIFERIDAS

€1.000 €1.000 €1.000 (…) €1.000

0 1 2 3 (…) 34

1616

–– DIFERIDASDIFERIDAS€1.000 (…) €1.000

0 1 2 3 (…) 34


Quanto ao vencimento dos termos:Quanto ao vencimento dos termos:–– NORMAIS (OU POSTECIPADAS)NORMAIS (OU POSTECIPADAS)Os termos vencem no final de cada período.Os termos vencem no final de cada período.

ANTECIPADASANTECIPADAS

1717

–– ANTECIPADASANTECIPADASOs termos vencem no início de cada período.Os termos vencem no início de cada período.

9


Quanto ao vencimento dos termos:Quanto ao vencimento dos termos:–– NORMAIS (OU POSTECIPADAS)NORMAIS (OU POSTECIPADAS)

–– ANTECIPADASANTECIPADAS

€1.000 €1.000 €1.000 (…) €1.000 €1.000

0 1 2 3 (…) 34 35

1818

€1.000 €1.000 €1.000 €1.000 (…) €1.000

0 1 2 3 (…) 34 35

Quadro Resumo Quadro Resumo

1919

10

Quadro Resumo Quadro Resumo

2020

Não interessa!!!Não interessa!!!

2121

11

Só nos interessam:Só nos interessam:

TEMPORÁRIASTEMPORÁRIAS ou ou PERPÉTUASPERPÉTUASÁÁ CONSTANTESCONSTANTES ouou VARIÁVEISVARIÁVEIS

INTEIRASINTEIRAS–– basta converter a taxa das fraccionadasbasta converter a taxa das fraccionadas

IMEDIATASIMEDIATAS e e DE TERMOS NORMAISDE TERMOS NORMAISb l / l é db l / l é d

2222

–– basta actualizar/capitalizar através de basta actualizar/capitalizar através de (1+i)(1+i)--nn/(1+i)/(1+i)nn

RENDAS TEMPORÁRIASRENDAS TEMPORÁRIAS

TERMOS CONSTANTESTERMOS CONSTANTES

2323

12

Valor actual: renda constanteValor actual: renda constante

VV00= t= t11.(1+i).(1+i)--11 + t+ t22.(1+i).(1+i)--22 + t+ t33.(1+i).(1+i)--33 + … + t+ … + t(n(n--1)1).(1+i).(1+i)--(n(n--1)1) + t+ tnn.(1+i).(1+i)--nn

mas como tmas como t1 1 = t= t2 2 = t= t3 3 = … = t= … = tnn--1 1 = t= tnn vem que:vem que:

VV00 = =

i

︶i︵11t.n

2424

n ia

n iA

Valor actual: renda constanteValor actual: renda constante1) Considere uma taxa mensal de 2%

t1 t2 t3 t4 t5

0 1 2 3 4 5 6 7 meses

€100 €100 €100 €100 €100

2525

Qual é o valor actual da renda no momento 0?ou

Qual é o capital equivalente no momento 0?

13

Valor actual: renda constanteValor actual: renda constante1) Considere uma taxa anual de 26,82417946%

0 1 2 3 4 5 6 7 meses

€100 €100 €100 €100 €100

2626




0 1 2 3 4 5 6 7 meses

€100 €100 €100 €100 €100

2727



14


0 1 2 3 4 5 6 7 meses

€100 €100 €100 €100 €100

2828




0 1 2 3 4 … 69 70 meses

€100 €150 €100 €150 €100 … €150 €100

2929



15

Valor acumulado: r. constanteValor acumulado: r. constante

VVnn= V= V00.(1+i).(1+i)nn

vem que:vem que:

VVnn = = nn

︶ i︵1i

︶i︵11t.

.

3030

i

n is

Valor acumulado: r. constanteValor acumulado: r. constante

VVnn= V= V00.(1+i).(1+i)nn

vem que:vem que:

VVnn = =

i1︶i︵1t.

n

3131

n is

n iS

16

Valor acumulado: r. constanteValor acumulado: r. constante1) Considere uma taxa mensal de 2%

t1 t2 t3 t4 t5

0 1 2 3 4 5 6 7 meses

€100 €100 €100 €100 €100

3232

Qual é o valor acumulado da renda no momento 5?ou

Qual é o valor da renda no final do prazo?

Valor acumulado: r. constanteValor acumulado: r. constante1) Considere uma taxa anual de 26,82417946%

0 1 2 3 4 5 6 7 meses

€100 €100 €100 €100 €100

3333



17


0 1 2 3 4 5 6 7 meses

€100 €100 €100 €100 €100

3434




0 1 2 3 4 5 6 7 meses

€100 €100 €100 €100 €100

3535

Qual é o valor acumulado da renda no momento 7?

18


0 1 2 3 4 … 69 70 meses

€100 €150 €100 €150 €100 … €150 €100

3636


Qual é o valor da renda no momento 70?

RENDAS TEMPORÁRIASRENDAS TEMPORÁRIAS

TERMOS VARIÁVEISTERMOS VARIÁVEIS–– Sem regularidade matemática;Sem regularidade matemática;–– Com termos em progressão aritmética;Com termos em progressão aritmética;–– Com termos em progressão geométrica.Com termos em progressão geométrica.

3737

19

TERMOS SEM REGULARIDADETERMOS SEM REGULARIDADE

EfectuaEfectua--se o cálculo (actualizar/capitalizar) se o cálculo (actualizar/capitalizar) d d áli !d d áli !termo a termo para a data de análise!termo a termo para a data de análise!

0 1 2 3 4 5 6 7 meses

€100 €37 €11 €143 €20 (i mensal = 3%)

3838

TERMOS EM P. ARITMÉTICATERMOS EM P. ARITMÉTICAr é a RAZÃORAZÃO da progressão aritmética

t t+r t+2r t+3r t+4r … t+(n-2)r t+(n-1)r

0 1 2 3 4 5 … n-1 n

A RAZÃO tanto pode ser maior que 0 ou menor que 0

3939

A RAZÃO tanto pode ser maior que 0 ou menor que 0Se r < 0, então o n.º de termos possíveis é n = t ÷ | r |(é óbvio que quando a razão é zero os termos são constantes…)

20

Valor actual com termos em PAValor actual com termos em PA

VV00= t.(1+i)= t.(1+i)--11 + (t+r).(1+i)+ (t+r).(1+i)--22 + (t+2r).(1+i)+ (t+2r).(1+i)--33 + … + + … + [t+(n[t+(n--2).r].(1+i)2).r].(1+i)--(n(n--1)1) + [t+(n+ [t+(n--1).r].(1+i)1).r].(1+i)--nn[t (n[t (n 2).r].(1 i)2).r].(1 i) [t (n [t (n 1).r].(1 i)1).r].(1 i)

VV00 = = i

nrnr

ir

t.

i︶i︵11 n

4040

n ia

a n iA

Valor actual com termos em PAValor actual com termos em PA1) Considere uma taxa mensal de 2%

t t+r t+2r t+3r t+4r

0 1 2 3 4 5 6 7 meses

€100 €120 €140 €160 €180

4141



21

Valor actual com termos em PAValor actual com termos em PA1) Considere uma taxa anual de 26,82417946%

0 1 2 3 4 5 6 7 meses

€100 €120 €140 €160 €180

4242




0 1 2 3 4 5 6 7 meses

€100 €90 €80 €70 €60

4343



22


0 1 2 3 4 5 6 7 meses

€100 €85 €70 €55 €40

4444




0 1 2 3 4 … 69 70 meses

€10 €70 €12 €68 €14 … €150 €80

4545



23

Valor acumulado em PAValor acumulado em PA

VVnn= V= V00.(1+i).(1+i)nn

vem que:vem que:

VVnn = = = = a n iS 1

n

a n iA i

4646

TERMOS EM P. GeométricaTERMOS EM P. Geométricar é a RAZÃORAZÃO da progressão geométrica

t t.r1 t.r2 t.r3 t.r4 … t.r(n-2) t.r(n-1)

0 1 2 3 4 5 … n-1 n

4747

24

Valor actual com termos em PGValor actual com termos em PG

VV00= t.(1+i)= t.(1+i)--11 + (t.r).(1+i)+ (t.r).(1+i)--22 + (t.r+ (t.r22).(1+i)).(1+i)--33 + … + + … + [t.r[t.r(n(n--2)2)].(1+i)].(1+i)--(n(n--1)1) + [t.r+ [t.r(n(n--1)1)].(1+i)].(1+i)--nn[t.r[t.r ].(1 i)].(1 i) [t.r [t.r ].(1 i)].(1 i)

VV00 = =

i1r

i1r .

i)(1

t nn

n

4848

g n iA

Valor actual com termos em Valor actual com termos em PGPG1) Considere uma taxa mensal de 2%

0 1 2 3 4 5 6 7 meses

€100 €110 €121 €133,1 €146,41

4949



25

Valor actual com termos em Valor actual com termos em PGPG1) Considere uma taxa anual de 26,82417946%

0 1 2 3 4 5 6 7 meses

€100 €110 €121 €133,1 €146,41

5050




0 1 2 3 4 5 6 7 meses

€100 €110 €121 €133,1 €146,41

5151



26


0 1 2 3 4 5 6 7 meses

€100 €110 €121 €133,1 €146,41

5252



Valor acumulado em PGValor acumulado em PG

VVnn= V= V00.(1+i).(1+i)nn

vem que:vem que:

VVnn = == =

i1r

i1r t.

nn

1n

g n iA i

5353

27

Caso particular da PGCaso particular da PG

r =(1+i)r =(1+i)

0 1 2 3 4 5 6 7

€100 €110 €121 €133,1 €146,41

Considere uma taxa de 10% ao período (i = 0,1)

5454

r = 1+ 0,1 = 1,1

= = n.n.tt..(1+i)(1+i)--11 g n i

A

RENDAS PERPÉTUASRENDAS PERPÉTUAS

TERMOS CONSTANTESTERMOS CONSTANTES

0 1 2 3 4 5 … 100 meses

€1.000 €1.000 €1.000 €1.000 €1.000 … €1.000

1) Calcule o valor actual do último termo:

5555

1) Calcule o valor actual do último termo:

1.1) Considere uma taxa mensal de 10%

1.2) Considere uma taxa mensal de 20%

28


︶i︵11VV00 = =

i

︶i︵11t.

Como (1+i)-∞ → 0, vem que

5656

Como (1+i) → 0, vem que


1VV00 = =

i1t.

ia

5757Não faz sentido falar de valor acumulado…Não faz sentido falar de valor acumulado…

i

iA

29


0 1 2 3 4 5 6 ∞ meses

€100 €100 €100 €100 €100 €100 …

5858



Valor actual: renda constanteValor actual: renda constante1) Considere uma taxa anual de 26,82417946%

0 1 2 3 4 5 6 ∞ meses

€100 €100 €100 €100 €100 €100 …

5959



30


0 1 2 3 4 5 6 ∞ meses

€100 €100 €100 €100 €100 €100 €100 …

6060




0 1 2 3 4 5 6 ∞ meses

€100 €100 €100 €100 …

6161



31

RENDAS PERPÉTUASRENDAS PERPÉTUAS

TERMOS VARIÁVEISTERMOS VARIÁVEIS–– Com termos em progressão aritmética;Com termos em progressão aritmética;–– Com termos em progressão geométrica.Com termos em progressão geométrica.

6262

TERMOS EM P. ARITMÉTICATERMOS EM P. ARITMÉTICAr é a RAZÃORAZÃO da progressão aritmética

t t+r t+2r t+3r t+4r … t+(n-1)r …

0 1 2 3 4 5 … n ∞

A RAZÃO tanto pode ser maior que 0 ou menor que 0

6363

A RAZÃO tanto pode ser maior que 0 ou menor que 0Se r < 0, então o n.º de termos possíveis é n = t ÷ | r |(é óbvio que quando a razão é zero os termos são constantes…)

32

Valor actual com termos em PAValor actual com termos em PA

VV00 ==nr

nrr

t.

︶i︵11 n

VV00 i

nri

t.

iComo (1+i)-∞ → 0, vem que

nr

nrr

t1 rt

6464

inr

it.

i 2ii

a iA


t t+r t+2r t+3r t+4r …

0 1 2 3 4 5 ∞ meses

€100 €120 €140 €160 €180 …

6565



33

Valor actual com termos em PAValor actual com termos em PA1) Considere uma taxa anual de 26,82417946%

0 1 2 3 4 5 ∞ meses

€100 €120 €140 €160 €180 …

6666




0 1 2 3 4 ∞??? meses

€100 €90 €80 €70 €60 …

6767



34


0 1 2 3 4 5 6 ∞ meses

€100 €120 €140 €160 …

6868



TERMOS EM P. GeométricaTERMOS EM P. Geométricar é a RAZÃORAZÃO da progressão geométrica

t t.r1 t.r2 t.r3 t.r4 … t.r(n-1)

0 1 2 3 4 5 … n ∞

6969

35

Valor actual com termos em PGValor actual com termos em PG

VV ==

i1

i1r.

i)(1

t nn

nVV00 = = i1ri)(1 n

i1r

i1.

i)(1

t

i1r

r .

i)(1

t n

n

n

n ri1

t

7070

[r ÷ (1+i)]∞ → 0, apenas se r < (1+i)

i1ri)(1i1ri)(1 ri1

g iA


0 1 2 3 4 5 ∞ meses

€100 €110 €121 €133,1 €146,41 …

7171



36

Valor actual com termos em Valor actual com termos em PGPG1) Considere uma taxa anual de 791,6100448%

0 1 2 3 4 5 ∞ meses

€100 €110 €121 €133,1 €146,41 …

7272




0 1 2 3 4 ∞ meses

€100 €110 €121 €133,1 €146,41 …

7373



37


0 1 2 3 4 5 6 ∞ meses

€100 €110 €121 €133,1 …

7474



Enquadramento - webx.ubi.ptwebx.ubi.pt/~fantunes/disciplinas/2016-2017/CalculoFinanceiroEcono... ·...

Documents

Transcript of Enquadramento - webx.ubi.ptwebx.ubi.pt/~fantunes/disciplinas/2016-2017/CalculoFinanceiroEcono... ·...