Energía y presión electrostática en Energía y presión electrostática en sistemas de conductores

Antonio González FernándezDpto de Física Aplicada IIIDpto. de Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla

Sinopsis de la presentación

Las fórmulas para la energía electrostática pueden aplicarse a un sistema de conductores

La energía puede expresarse en función de los La energía puede expresarse en función de los coeficientes de capacidad

ez

El resultado puede interpretarse en términos del circuito equivalente

ález

Fer

nánd

e

La repulsión entre las cargas de un conductor produce una presión hacia el exterior

nton

io G

onzá produce una presión hacia el exterior

La presión permite calcular la fuerza neta sobre un

©20

08, A

n

2

conductor

Energía electrostática en un sistema de cargascargas

Una distribución de cargas almacena una energía, igual al t b j i d i ltrabajo necesario para producirla

( )1 1 1' d dU q S= φ + σ φ + ρφ τ∑ ∫ ∫r

La energía electrostática es una función de estado: sólo

( ) d d2 2 2e i i sS V

i

U q S= φ + σ φ + ρφ τ∑ ∫ ∫r

ez

La energía electrostática es una función de estado: sólo depende de la configuración, no del proceso

L í ifi l i i i d i ió

ález

Fer

nánd

e La energía no verifica el principio de superposición, ya que

( ) ( ) ( ) ( )q σ ρφ = φ + φ + φr r r r

nton

io G

onzá

Puede calcularse a partir de la densidad de energía

21d dU E∫ ∫ 21

E 0U ≥

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08, A

n

3

20 d d

2e eU E u= ε τ = τ∫ ∫ 202eu E= ε 0eU ≥

Equilibrio electrostático en un sistema de conductoresconductores

Un conjunto de conductores d d cargados produce un campo

eléctrico entre ellosV1

Q2

Toda la carga de los conductores está en sus superficiesρ

ez

superficies

La superficie de cada conductor es equipotencial

V3

ρ

ález

Fer

nánd

e conductor es equipotencial

Los conductores puede estar aislados (Q cte ) o

Q4

nton

io G

onzá aislados (Q cte.) o

conectados a un generador (V cte.) pero no ambas

Cuando ρ = 0 todo el campo se debe a los conductores

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08, A

n

4

(V cte.) pero no ambas cosas a la vez.

se debe a los conductores

Energía de un sistema de conductores cargados (en ausencia de otras cargas)cargados (en ausencia de otras cargas)

La energía almacenada en un sistema de conductores

1∫

un sistema de conductores es la de una densidad σs

1 1∑∫ ∫1 1∑∫ ∫1 1∑∫ ∫1

d2e sS

U S∀

= σ φ∫1 1

d d2 2 i

e s s iS Si

U S S∀

= σ φ = σ φ∑∫ ∫1 1

d d2 2

1d

ie s s iS S

i

U S S

V S

∀= σ φ = σ φ =∑∫ ∫

∑ ∫

1 1d d

2 2

1d

1

is s iS S

ieU

QV

S S

V S

∀= σ φ φ == σ∑∫ ∫

∑ ∫ ∑

ez

Es similar a la energía de un conjunto de

d2 i

i s iSi

V S= σ∑ ∫ d2 2i

i isi

i iSi

QVV S= σ =∑ ∫ ∑

( )1'U q= φ∑ r

ález

Fer

nánd

e

g jcargas puntuales, pero para los conductores sí incluye la contribución del

i d t

( )2e i i

i

U q= φ∑ r

Para cargas puntuales

nton

io G

onzá propio conductor

Requiere conocer a la vez la carga y el potencial de cada d t l bli l l bl d l

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08, A

n

5

conductor, lo que obliga a resolver el problema del potencial

Los coeficientes de capacidad relacionan las cargas y los potencialeslas cargas y los potenciales

La carga de los conductores se relaciona linealmente con los potenciales (suponemos 0)potenciales (suponemos ρ = 0)

i ik kk

Q C V=∑En forma matricial

k

·=Q VC1 11 12 1 1NQ C C C V

Q C C C V

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

ez

Q2 21 22 2 2·NQ C C C V

Q C C C V

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Vector que contiene

Vector que contiene las

ález

Fer

nánd

e

1 2N N N NN NQ C C C V⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

La matriz de coeficientes de capacidad

contiene las cargas tensiones

nton

io G

onzá

p

Depende sólo de la geometría del sistema

Es simétrica

©20

08, A

n

6

Es simétrica

Cumple que Cii > 0 y Cik ≤ 0 (i ≠ k)

Energía en función de los coeficientes de capacidad

11 1 ⎛ ⎞1 1 ⎛ ⎞1 1 1⎛ ⎞

capacidadSustituyendo en la expresión de la energía

1

2e i ii

U QV= ∑1 1

2 2e i i i ii i

k kk

VU QV V Q⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟⎝ ⎠∑∑ ∑1 1

2 2e i i i ik ki i k

U QV V C V⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑,

1 1 1

2 2 2e i i i ik k ik i ki i k i k

U QV V C V C VV⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑

Los dos sumatorios van de 1 a N Incluyen los casos i = k

11 12 1 1NC C C V⎛ ⎞ ⎛ ⎞

Los dos sumatorios van de 1 a N. Incluyen los casos i = k.

En forma matricial

ez

( )

11 12 1 1

21 22 2 21 2

1 1 1· · · · ·

2 2 2

N

Ne N

C C C V

C C C VU V V V

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

QV V VC

ález

Fer

nánd

e

1 2

2 2 2

N N NN NC C C V⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Es una función cuadrática de los potenciales: a doble carga,

nton

io G

onzá

p g ,cuádruple energía

La condición de que U > 0 impone limitaciones adicionales a

©20

08, A

n

7

La condición de que Ue > 0 impone limitaciones adicionales a los valores de los Cik (p.ej )12 11 22C C C≥ −

Ejemplos: Una esfera; dos esferas concéntricasconcéntricas

En el caso de un solo conductor esféricoesférico

20

20

1 12

2 2eU QV CV RV= = = πε2 2

4 a ab ⎛ ⎞πεEn el caso de dos esferas concéntricas

ez

04 a ab

a bb a

−⎛ ⎞πε= ⎜ ⎟−− ⎝ ⎠

C

Vb ⎛ ⎞⎛ ⎞

ález

Fer

nánd

e

( ) 101 2

2

2

2

e

Va abU V V

Va bb a

b

− ⎛ ⎞⎛ ⎞πε= =⎜ ⎟⎜ ⎟−− ⎝ ⎠⎝ ⎠

nton

io G

onzá ( )2 2

10

1 2 2

22

baV aVV bV

b a

πε= − +

−2 b

©20

08, A

n

8

( ) ( )( )201 2

22

20e

bU a V V b a V

b a

πε= − + − >

−Es siempre positiva

¿Qué ocurre si lo que se conoce es la carga de los conductores?de los conductores?

Si el dato es la carga, se usa la matriz inversa1−Q V V QC C 11 1

U −Q V Q QC1· ·= ⇒ =Q V V QC C 1· · ·2 2eU = =Q V Q QC

Para una sola esfera Si V = cte, Ue

2 2

0

1 1

2 2 8e

Q QU QV

C R= = =

πε

, e

aumenta con R

Si Q = cte, Ue

di i

ez

0

Para dos esferas concéntricas

disminuye con R

ález

Fer

nánd

e

1 1 / 1 /1

1 / 1 /4

a b

b b− ⎛ ⎞= ⎜ ⎟πε ⎝ ⎠

C

nton

io G

onzá 0 1 / 1 /4 b bπε ⎝ ⎠

( ) 1 1 22

22

11 / 1 / 21 1Qa b Q Q Q Q

U Q Q⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞

+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

©20

08, A

n

9

( ) 1 21 2

2

20

1

01 / 1 /8 8e

Q Q Q QU Q Q

Qb b a b b= = + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟πε πε⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Un ejemplo más complicado: problema 3.6

Tenemos una esfera con dos cavidades en la cuales hay cavidades, en la cuales hay sendas esferas.

Datos: V = V Q =0 V =0Datos: V1 = V0, Q2=0, V3=0

El sistema es

ez

El sistema es

( ) ( ) ( )1 0 0 2 0 2 0 3 0 02 0 4 4 2 0Q R V V R V V Q R V= πε − = πε − = πε −

ález

Fer

nánd

e

Y su solución0 0 0 0 0

1 2 3

3

2 4 2

V V RVQ V Q

πε πε= = = −

nton

io G

onzá 2 4 2

La energía almacenada en el sistema1 1 1 23 Vπε

©20

08, A

n

10

1 1 2

1 1

2 2eU QV Q= + 2 3 3

1

2V Q V+ 0 03

4

Vπε=

Si además de conductores hay distribuciones de carga se suman distribuciones de carga se suman

Si tenemos conductores en presencia de distribuciones de Qpresencia de distribuciones de carga, la energía total es V1

Q2

( )1 1∑ ∑ρ

( )1 1'

2 2

1 1d d

e i i i ii i

U q QV

S

= φ + +

φ φ

∑ ∑

∫ ∫

r

ez

V3

Q

d d2 2sS V

S+ σ φ + ρφ τ∫ ∫

ález

Fer

nánd

e Q4Superficies no

conductoras

0i i ik kk

Q Q C V= +∑

nton

io G

onzá

Las cargas de los conductores incluye las contribuciones de

El potencial φ incluye las contribuciones de los

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08, A

n

11

las cargas externas conductores

Energía almacenada en un condensador

Un condensador lo forman dos superficies en influencia total de modo queen influencia total, de modo que

L gí di t l

2 1Q Q= −

1 1U QV Q V ( )1 1 1 1U QV Q V QV Q V( )1 1 1U QV Q V Q V V( ) ( )21 1 1 1U QV Q V Q V V C V V

La energía correspondiente al condensador es

ez

1 1 2 22 2ecU QV Q V= + ( )1 1 2 2 1 1 1 22 2 2 2ecU QV Q V QV Q V= + = + −( )1 1 2 2 1 1 22 2 2ecU QV Q V Q V V= + = −( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 1 22 2 2 2ecU QV Q V Q V V C V V= + = − = −

Puede demostrarse que

ález

Fer

nánd

e Puede demostrarse que

( )2 21 2 0

1 1d

2 2 cecU C V V E

τ= − = ε τ∫ En el volumen del

condensador

nton

io G

onzá

Un condensador es un dispositivo que almacena energía eléctrica en el campo que contiene en su interior

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08, A

n

12

eléctrica en el campo que contiene en su interior

Esta fórmula permite calcular C

Energía en el circuito equivalente: suma de las energías de los condensadoresde las energías de los condensadores

Un sistema de conductores se puede modelar por un circuito puede modelar por un circuito equivalente

ik ik

ii ik

C C

C C

= −

=∑

ez

Operando en la ió d l í

k

ález

Fer

nánd

e expresión de la energía resulta ( )221 1 1

2 2 2e ik i k ii i ik i ki k i i k

U C VV C V C V V= = + −∑ ∑ ∑

nton

io G

onzá , ,2 2 2i k i i k

i k<

La energía total es la suma de las energías almacenadas en cada uno de los condensador del circuito equivalente

©20

08, A

n

13( )2 2

0

1 1d

2 2 ne n n C

n n

U C V E= Δ = ε τ∑ ∑ ∫cada uno de los condensador del circuito equivalente

Ejemplo: un bloque cargado entre las placas de un condensador (3 18)placas de un condensador (3.18)

Tenemos tres conductores:

V1 = V0, Q2 = Q0, V3 = 0

El circuito equivalente está qformado por dos condensadores,

20

12 23

LC C C

b

ε= = =

ez

12 23 b a−una fuente de tensión V0 y una de carga Q0

ález

Fer

nánd

e

0 0 0 0 0 0Q CV V Q Q CVQ V Q

( ) ( )1 0 2 0 2 0 2 3 2Q C V V Q C V V CV Q CV= − = − + = −

nton

io G

onzá 0 0 0 0 0 0

1 2 32 2 2 2 2 2

Q Q QQ V Q

C= − + = + = − −

2 20 0 0 0 0 01 1Q CV V Q CV Q⎛ ⎞ ⎛ ⎞La energía

©20

08, A

n

14

0 0 0 0 0 00 0

1 1

2 2 2 2 2 2 4 4e

Q CV V Q CV QU V Q

C C⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

La energía almacenada

Las dos placas y el bloque: forma alternativa usando el campo eléctricoalternativa usando el campo eléctrico

Entre cada dos superficies planas hay un campo uniformeplanas hay un campo uniforme

12 12 23 23z zE E= =E u E u

L d d t 1 3 VLa d.d.p. entre 1 y 3 es V0

( ) ( )B

0 12 23A·dV E b a E b a= = − + −∫ E r

ez

2 2012 23·d

QE L E L= = − +∫ E S

La carga en el bloque es Q0

ález

Fer

nánd

e

212 23

0

dS

E L E L+ε ∫ E S

Resultan los camposQ V⎛ ⎞

La energía almacenada1 1∫ ∫

nton

io G

onzá

( )0 0

12 202 2 z

Q V

L b a

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟ε −⎝ ⎠⎛ ⎞

E u

( )12 23

2 20 12 0 23

2 2 20

1 1d d

2 2e C CU E E

Q b a L V

= ε τ + ε τ =

− ε

∫ ∫

©20

08, A

n

15( )0 0

23 202 2 z

Q V

L b a

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟ε −⎝ ⎠

E u

( )( )

0 0 02

04 4

Q b a L V

L b a

ε= +

ε −

Fuerza sobre las cargas de un conductor: siempre hacia afuerasiempre hacia afuera

Sobre las cargas de la superficie de un conductor se ejerce una fuerza debido al conductor se ejerce una fuerza debido al resto de cargas del universo

d 'd q=F Edd qF E

Siempre apunta hacia el exterior del conductor

ez

conductor

Las cargas tienden a salir del material pero se lo impide la resistencia de éste (deben saltar una barrera de potencial

ález

Fer

nánd

e resistencia de éste (deben saltar una barrera de potencial para escapar)

El lt d l t i l tid t ió

nton

io G

onzá El resultado es que el material se ve sometido a una tensión

mecánica (presión)

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08, A

n

16

Si la densidad de carga es muy grande, pueden conseguir escapar e incluso romper el material

Relación entre la fuerza sobre dq y el campo en el conductorcampo en el conductor

( )La fuerza sobre el elemento de carga es

Para hallar E′ hay que descontar el campo de la propia

( )dd ' ds qd q S= = σ −F E E E

carga, Edq El campo total es nulo en el conductor

El campo E′ es continuo

ez 'σ

E E E

El campo Edq es simétrico

ález

Fer

nánd

e

2 d0

1 d

'

'

sq

q

σ= = +

ε

= = −

n E E E

0 E E E 0

'2

sσ=ε

E n

nton

io G

onzá

1 dq

La fuerza sobre el 2 2

d d ds sSσ σ

F S

σs produce la mitad del campo; el

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08, A

n

17

La fuerza sobre el elemento de carga es

0 0

d d d2 2

s sS= =ε ε

F n Sp ;

universo la otra mitad

Presión electrostática: da la proporcionalidad entre fuerza y superficieproporcionalidad entre fuerza y superficie

La fuerza sobre un elemento de superficie puede escribirsed dpF Sd dep=F S

La cantidad pe es la presión electrostática2

Establece que la fuerza

220

02 2s

ep Eε

= =εσ

ez

Establece que la fuerza

Va en la dirección y sentido de dS

N l

Depende cuadráticamente del campo o de la densidad

ález

Fer

nánd

e Normal

Hacia fuera del conductor

E á i t d d l l

del campo o de la densidad de carga

Equivale a la densidad de

nton

io G

onzá Es más intensa donde el campo en la

superficie, o σs, es mayorenergía eléctrica justo en la superficie del conductor

©20

08, A

n

18

La fuerza total sobre el conductor es

20

1d d

2eS Sp E= = ε∫ ∫F S S

Ejemplo de presión electrostática: una esfera cargadaesfera cargada

Para una esfera que almacena una carga Q2 2

24s

Q

Rσ =

π

2 2

2 40 02 32e

s Qp

R=

ε π εσ

=

Va como R-4. Si se reduce el radio a la mitad, la presión se lti li di i éi

ez

multiplica por dieciséis

Para 1μC en una esfera de 1cm, pe ~ 36000Pa ~ 0.35 atm

ález

Fer

nánd

e

Para un núcleo de Helio (Q = 2e,R ~10-14m), pe ~ 37×1027Pa

La fuerza sobre la esfera es nula F = 0 ya que dF tira por

nton

io G

onzá La fuerza sobre la esfera es nula, F = 0, ya que dF tira por

igual en todas direcciones

Si lo que se conoce es V R V 2 2E V

©20

08, A

n

19

Si lo que se conoce esla tensión V0

0 02 r r

r R

V R V

r R=

= =E u u2 2

0 0 022 2e

E Vp

R

ε ε= =

Ejemplo: el bloque entre las capas del condensadorcondensador

La presión a ambos lados del bloque central es ( )

2

20 0 0 021 12 2

Q Vp E

⎛ ⎞ε ε= = − +⎜ ⎟⎜ ⎟bloque central es ( )21 12 2

0

2

20 0 0 0

2 2 2 2p E

L b a

Q VE

+⎜ ⎟⎜ ⎟ε −⎝ ⎠

⎛ ⎞ε ε⎜ ⎟( )

20 0 0 023 23 2

02 2 2 2

Qp E

L b a= = +⎜ ⎟⎜ ⎟ε −⎝ ⎠

ez

Las presiones son diferentes, por lo que se produce una fuerza neta sobre el bloque:

ález

Fer

nánd

e fuerza neta sobre el bloque:21 23

21 21 23 23

2 22 2

d dS S

p p

L Q V L Q V

= + =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

∫ ∫F S S

nton

io G

onzá

( ) ( )2 2

0 0 0 0 0 02 2

0 02 2 2 2 2 2z z

L Q V L Q V

L b a L b a

Q

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ε ε= − − + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ε − ε −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

u u

©20

08, A

n

20( )0 0

2 z

Q V

b a=

−u Si no hay carga en el bloque o no

hay d.d.p., la fuerza se anula

Ejemplo: deformación de una gota de agua en un campo externoagua en un campo externo

Una partícula esférica descargada inmersa en un campo uniforme inmersa en un campo uniforme adquiere una densidad de carga

Positiva hacia adonde apunta el Positiva hacia adonde apunta el campo

Negativa en el hemisferio opuesto

ez

g p

Nula en el “ecuador”

ález

Fer

nánd

e

La presión electrostática será máxima en los polos y nula en el ecuador

nton

io G

onzá La fuerza neta es nula, pero la esfera tiende

a alargarse en la dirección del campo

©20

08, A

n

21

Un campo muy intenso puede romper la gota (pulverización electrostática)

Ejemplo: levitación eléctrica de una pequeña partícula conductorapequeña partícula conductora

Una partícula hemisférica de radio a reposa sobre un plano a tierraa reposa sobre un plano a tierra

Si se aplica un campo uniforme hacia arriba la partícula se carga hacia arriba, la partícula se carga positivamenteLa fuerza eléctrica sobre la partícula puede hacerla levitar

ez

3

0 2cos

aE r

r

⎛ ⎞φ = − − θ⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 220 0 09

cos2 2e

E Ep

ε ε= = θ03 cos rr a=

= −∇φ = Ε θE u

La fuerza eléctrica sobre la partícula puede hacerla levitar

ález

Fer

nánd

e ⎝ ⎠

( )2 2 22 /29 9E E aπ πε πε⌠⎮∫ ∫

Integrando sobre la semiesfera (0 < φ <2π, 0< θ < π/2)

nton

io G

onzá ( )/2 2 20 0 0 0

00

9 9d cos sen d d

2 4e r z

E E ap a

πε πε= = θ θ θ ϕ =⌠⎮

⌡∫ ∫F S u u

Igualando al peso se halla el campo necesario

©20

08, A

n

22

Igualando al peso se halla el campo necesario2 2

30 09 2

4 3 m

E aa g

πε π= ρ 0

0

8

27

MV0.7

mma g

Eρ

=ε

∼ Para una partícula de aluminio de Ø=1mm

Resumen de la presentación

Las fórmulas para la energía electrostática pueden aplicarse a un sistema de conductores

La energía puede expresarse en función de los La energía puede expresarse en función de los coeficientes de capacidad

ez

El resultado puede interpretarse en términos del circuito equivalente

ález

Fer

nánd

e

La repulsión entre las cargas de un conductor produce una presión hacia el exterior

nton

io G

onzá produce una presión hacia el exterior

La presión permite calcular la fuerza neta sobre un

©20

08, A

n

23

conductor

Sevilla, Diciembre de 2008