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a u t o r i d a d e s

PRESIDENTE DE LA NACINDra. Cristina Fernndez de Kirchner

MINISTRO DE EDUCACINDr. Alberto E. Sileoni

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DIRECTORA EJECUTIVA DEL INSTITUTO NACIONAL DEEDUCACIN TECNOLGICALic. Mara Rosa Almandoz

DIRECTOR NACIONAL DEL CENTRO NACIONAL DEEDUCACIN TECNOLGICALic. Juan Manuel Kirschenbaum

DIRECTOR NACIONAL DE EDUCACIN TCNICO PROFESIONAL YOCUPACIONALIng. Roberto Daz

Ministerio de Educacin.Instituto Nacional de Educacin Tecnolgica.Saavedra 789. C1229ACE.Ciudad Autnoma de Buenos Aires.Repblica Argentina.2010

Moreschi, OsvaldoEnerga. Su relevancia en mecnica termodinmica, tomos, agujerosnegros y cosmologa / Osvaldo Moreschi; dirigido por Juan ManuelKirschenbaum.- 1a ed. - Buenos Aires: Ministerio de Educacin de la Nacin. InstitutoNacional de Educacin Tecnolgica, 2010.172 p.: il.; 24x19 cm. (Las ciencias naturales y la matemtica / JuanManuel Kirschenbaum).

ISBN 978-950-00-0795-5

1. Fsica.2. Enseanza Secundaria.I. Kirschenbaum, Juan Manuel, dir.II. Ttulo

CDD 530.712

Fecha de catalogacin: 30/07/2010

Impreso en Anselmo L. Morvillo S. A., Av. Francisco Pienovi 317 (B1868DRG),Avellaneda, Pcia. de Buenos Aires, Argentina.

Tirada de esta edicin: 100.000 ejemplares

Coleccin Las Ciencias Naturales y la Matemtica.Director de la Coleccin: Juan Manuel KirschenbaumCoordinadora general de la Coleccin: Hayde Noceti.

Queda hecho el depsito que previene la ley N 11.723. Todos los de-rechos reservados por el Ministerio de Educacin - Instituto Nacional deEducacin Tecnolgica.

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ISBN 978-950-00-0795-5

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Diseo didctico y correccin de estilo:Lic. Mara Ins Narvaja

Ing. Alejandra SantosCoordinacin y produccin grfica:

Toms AhumadaDiseo grfico:

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Ilustraciones:Diego Gonzalo Ferreyro

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Cristina CaratozzoloNstor Hergenrether

Colaboracin:Tc. Op. en Psic. Soc. Cecilia L. Vazquez

Jorgelina Lemmi

Nuestro agradecimiento al personaldel Centro Nacional de Educacin

Tecnolgica por su colaboracin.

El Autor

El Dr. Osvaldo M. Moreschi es Profesor Titular con de-dicacin exclusiva en la Facultad de Matemtica, Astro-noma y Fsica de la Universidad Nacional de Crdoba.Es miembro de la Carrera del Investigador del CONI-CET desde 1988. Obtuvo el ttulo de Licenciado en F-sica, en el IMAF, Instituto de Matemtica, Astronoma yFsica, Universidad Nacional de Crdoba.Fue becario doctoral obteniendo ttulo de Doctor of Phi-losophy (Ph.D.),Department of Physics and Astronomy,University of Pittsburgh, Estados Unidos. Profesor visi-tante en el Department of Statistics and Mathematics,University of Pittsburgh, Estados Unidos. Ejerci posiciones posdoctorales en el instituto MaxPlanck Institut fr Astrophysik, Alemania; en la ScuolaInternazionale Superiore di Studi Avanzati, Italia y en elInternational Centre for Theoretical Physics, Italia. Ha publicado decenas de artculos cientficos en revistasinternacionales.Actualmente es miembro del Directorio del Instituto deFsica Enrique Gaviola, CONICET.

Dr. Osvaldo Moreschi

Captulo 1:La energa como concepto bsico de sistemas mecnicos sencillos 8 1.1. Introduccin 8 1.2. Masa atada a un resorte 10 1.3. Proyectil en las cercanas de la superficie terrestre 11 1.4. Sistema de un planeta movindose alrededor del Sol 13Captulo 2:La energa en sistemas mecnicos compuestos 17 2.1. El concepto de trabajo 17 2.2. Fuerzas conservativas 19Captulo 3:La energa en sistemas mecnicos con muchsimas partculas: el gas ideal 22 3.1. Sistema de partculas no interactuantes: gases ideales 22Captulo 4:Sistemas termodinmicos y la relevancia de la energa 25 4.1. La variable termodinmica fundamental: temperatura 25 4.2. Gases ideales 27Captulo 5:Primer principio de la termodinmica 30 5.1. Paredes adiabticas 30 5.2. Energa interna 30 5.3. Primer principio de la termodinmica 31 5.4. Nota histrica 31 5.5. Mvil perpetuo de primera especie 32 5.6. Capacidad calorfica, la calora 32 5.7. Nota histrica 33 5.8. Calores especficos 33 5.9. Propagacin del calor 34 5.10. Aplicaciones del primer principio 39 5.11. Cambios de fase 41Captulo 6:Segundo principio de la termodinmica 43 6.1. Procesos termodinmicos reversibles e irreversibles 43 6.2. Procesos termodinmicos cclicos en diagramas P-V 44 6.3. Segunda ley de la termodinmica 44Captulo 7:Detalle de sistemas termodinmicos 54 7.1. Distribucin de velocidades del gas ideal 54 7.2. Radiacin trmica como gas de fotones 56Captulo 8:Energa de partculas relativistas 59 8.1. Introduccin histrica a la relatividad especial 59 8.2. Transformaciones de cuadrivectores 62Captulo 9:Energa de los electrones en tomos y la materia 69 9.1. Introduccin histrica a la mecnica cuntica 69 9.2. Niveles de energas continuas de dos partculas clsicas con carga elctrica 72 9.3. Niveles de energas discretos de un electrn en el tomo de hidrgeno 73 9.4. Comportamiento de los electrones en la materia 74

NDICE

Introduccin al estudio de la Fsica 7

Captulo 10:Energa en sistemas gravitatorios relativistas 77 10.1. Partculas de prueba en relatividad general 77 10.2. Observaciones locales 82 10.3. Agujeros negros 84 10.4. Relacin entre: energa de fotones, frecuencia de fotones y tiempo propio 86 10.5. Emisin de energa en forma de radiacin gravitacional 89Captulo 11:Energa en cosmologa 92 11.1. Introduccin histrica a la cosmologa 92 11.2. Pasando la pelcula para atrs: la gran explosin 96 11.3. La radiacin csmica de fondo 97 11.4. La abundancia csmica de los elementos y la densidad de materia 100 11.5. La singularidad inicial y el horizonte cosmolgico 103 11.6. Evolucin de la densidad de energa 106 11.7. Resumen de la historia del Universo 107 11.8. Recapitulacin 108Captulo 12:Energa de los ncleos atmicos 109 12.1. Introduccin 109 12.2. Constituyentes del ncleo atmico 109 12.3. Interacciones nucleares 110 12.4. Nota histrica: el problema de la conservacin de la energa en el decaimiento 110 12.5. Energa nuclear 111 12.6. Reactores nucleares 113 12.7. La vida de las estrellas 115Captulo 13:Energa en el choque de partculas elementales 123 13.1. Laboratorios de choques de partculas de altas energas 123 13.2. La estructura de la materia 129 13.3. Notas histricas 133Captulo 14:Importancia de la energa en el contexto social 136 14.1. La energa en las actividades de la sociedad 136 14.2. Balance energtico en Argentina 136 14.3. Balance energtico en otros pases 138 14.4. Datos energticos del mundo 141 14.5. Otros aspectos de la energa en el contexto social 143Apndice A: Sistema Internacional de Unidades 148 A.1. Definicin de magnitudes fundamentales y unidades en el sistema SI 148Apndice B: Sistemas de coordenadas cartesianas y polares 150 B.1. Sistema cartesiano y polar en dos dimensiones 150Apndice C: Tasas de variacin medias e instantneas 152 C.1. Tasas de variaciones medias 152 C.2. Tasas de variaciones instantneas 152 C.3. Sobre la velocidad y la aceleracin 155Apndice D: Solucin de ejercicios 156Referencias 169ndice alfabtico 170

1.1. Introduccin

La primera pregunta que, probablemente, uno se puede hacer, en relacin con la energa, es

por qu estudiar el concepto de energa?

En fsica, se han desarrollado distintos marcos tericos que son tiles para describir,exitosamente, distintos tipos de sistemas fsicos. A continuacin mencionaremosalgunos de los marcos tericos que se utilizan.

1.La mecnica clsica. Este marco terico es el que se desarroll, histricamente, enprimer trmino. Est asociado, principalmente, a los nombres de Galileo Galilei(1564-1642), quien aport en la nocin de espacio, tiempo y simetras; y de IsaacNewton (1642-1727), quien aport con las leyes dinmicas y de la gravitacin.Naturalmente, muchos otros investigadores han aportado a la construccin de estadisciplina.

2.La mecnica relativista o relatividad especial. Surgi de la necesidad de integrarel conocimiento de las interacciones electromagnticas. Sucede que, en el siglo XIX,James Clerk Maxwell (1831-1879) escribi las ecuaciones que describen los camposelectromagnticos; pero dichas ecuaciones introducan una velocidad caractersticaque, por el momento, denominaremos c, que no apareca en el marco terico de lafsica clsica.Posteriormente, en 1905, Albert Einstein sugiere una manera de interpretar lascosas, lo que da origen a la llamada relatividad especial. Ahora entendemos que lavelocidad c es una caracterstica fundamental de la nocin de espaciotiempo y que,en particular, constituye un lmite para la velocidad de propagacin de las interac-ciones, cualquiera que ellas sean, electromagnticas o de otra clase.El vocablo espaciotiempo merece una mencin especial. El estudio de la fsica nosha obligado a introducir neologismos. Este es un caso paradigmtico, en el quehemos aprendido, por medio de la relatividad especial, a que en realidad existe un

8 E n e r g a

Captulo

1 La energa como concepto bsicode sistemas mecnicos sencillos

La respuesta corta es porque es un concepto muy til que se puede aplicar a unagran cantidad de situaciones y nos ayuda a comprender sistemas variados.

En trmino de este marco terico se describen muy bien, por ejemplo, el movi-miento de los planetas y muchos sistemas de la vida cotidiana.

La energa como concepto bsico de sistemas mecnicos sencillos 9

solo objeto que mezcla las nociones clsicas de espacio y tiempo en una sola unidad.Es por ello que el trmino se escribe junto, esto es: espaciotiempo; y no con unguin en el medio, pues esto ltimo indicara todava una nocin clsica de separa-bilidad de los conceptos espacio y tiempo.

3.Teora de la gravedad relativista o relatividad general. La teora de la gravitacinsugerida por Newton dentro del marco terico de la mecnica clsica, no incluaninguna nocin relativista, es decir, la velocidad c no aparece en ninguna de susecuaciones; por lo que se estaba en frente de una incgnita. Nuevamente, las con-tribuciones de Albert Einstein han sugerido un nuevo marco terico donde se puedehacer una descripcin consistente de efectos gravitatorios con relatividad incluida.Lo importante de remarcar, es que constituye un nuevo marco terico que no coin-cide con la relatividad especial. Por ello, se la llama tambin relatividad general. En1916, Albert Einstein publica las ecuaciones fundamentales que gobiernan la estruc-tura del espaciotiempo de la relatividad general.Se dice que en este caso se est en presencia de un espaciotiempo curvo; mientrasque la relatividad especial trata un espaciotiempo plano. Ms adelante profundiza-remos sobre estos trminos.

4.Mecnica cuntica. Cuando en las primeras dcadas del siglo XX se comenz elestudio detallado de la estructura atmica de la materia, se confront, inmediatamen-te, que los marcos tericos existentes no eran satisfactorios para la descripcin de lossistemas atmicos. Es as como comienza el desarrollo de la mecnica cuntica (norelativista). Erwin Schrdinger y Werner Heisenberg, en la dcada del 1920, hicieronimportantes contribuciones a la dinmica de la mecnica cuntica.

5.Mecnica cuntica relativista. La primera versin de la mecnica cuntica noinclua tampoco la mencionada velocidad caracterstica c, por lo que era necesarioconstruir una versin relativista de la misma. Paul A.M. Dirac hizo importantesaportes a la descripcin dinmica relativista del electrn; lo que constituy el primerpaso en la direccin de la construccin del marco terico de una mecnica cunti-ca relativista. La descripcin que se hace al presente de las llamadas partculaselementales es por medio de campos cunticos relativistas; por lo que, frecuente-mente, se habla de la teora de campos cunticos.

En los primeros siete captulos comenzaremos por estudiar la nocin de energa enel primer marco terico de la mecnica clsica. En el captulo 8 veremos el concep-to de energa en el marco terico de la mecnica relativista. En el captulo 9 y 12estudiaremos la nocin de energa en sistemas de la mecnica cuntica. En el cap-tulo 10 discutiremos sistemas gravitatorios relativistas, mientras que en el 11 suincidencia en el sistema cosmolgico. En el captulo 13 veremos sistemas de part-culas elementales relativistas, que precisan de una descripcin cuntica relativista.

En cada uno de estos marcos tericos podemos agregar los sistemas tratados porla mecnica estadstica, o tambin llamada fsica estadstica. O sea, sistemas demuchos subsistemas (partculas). En todos estos marcos tericos la nocin deenerga adquiere la forma de un concepto preciso.

10 E n e r g a

Veamos a continuacin algunos ejemplos mecnicos sencillos en los que podemoshacer uso del concepto de energa. En ellos la energa E aparece como suma de laenerga cintica E ms la energa potencial U para cada caso.

1.2. Masa atada a un resorte

Consideremos una masa M atada a un resorte de longitud natural l0. Supongamosque la masa se puede mover, solamente, a lo largo del eje x. Diremos que tenemosun resorte ideal si la fuerza, cuando se aparta al resorte de su posicin de equilibrioen x = x - l0, es

(1.1)donde k es una constante. Notar el signo menos. La ley de la dinmica de Newtonnos dice que

la aceleracin a de la partcula est dada por(1.2)

donde estamos definiendo a x como el apartamiento de la posicin de equilibrio. Lasolucin a esta ecuacin es de la forma

(1.3)donde

(1.4)En este caso la energa E del sistema est dada por

(1.5)donde la energa cintica est dada por

(1.6)y la energa potencial es

(1.7)por lo que

(1.8)donde la velocidad v para este movimiento es

(1.9)Vemos, entonces que

La energa como concepto bsico de sistemas mecnicos sencillos 11

(1.10)donde hemos usado que sen2() + cos2() = 1. Notamos que la energa se conservaen este movimiento; es decir, no cambia con el tiempo.En los sistemas en los que uno sabe que hay cantidades conservadas se puede usarestas cantidades para describir los mismos. Por ejemplo, si se conoce que vale laecuacin

(1.11)

entonces se puede usar esta ecuacin para calcular v2 si cono-ce x ; sin tener que resolver la ecuacin de movimiento (1.2).En la grfica 1.2 se muestra la energa potencial Ucomo funcin de la posicin x. Vemos que la energacintica se anula en los extremos del movimiento y esmxima cuando x = l0.

Este movimiento se lo denomina oscilatorio armnico.

1.3. Proyectil en las cercanas de la superficie terrestre

Consideremos el movimiento de un proyectil de masa M en las cercanas de la super-ficie terrestre. Elijamos un sistema de coordenadas, de tal forma, que la coordenada yes vertical, dirigida hacia arriba y la coordenada x es horizontal. Despreciaremos lainfluencia del aire sobre el proyectil. En esta aproximacin el movimiento del proyec-til ser una parbola y se puede expresar en funcin del tiempo por:

(1.12) (1.13)donde x0 e y0 son coordenadas iniciales, Vx0 y Vy0 son velocidades iniciales y g es laaceleracin de la gravedad.

Ejercicio 1.1 Sea la situacin de una masa M =1kgatada a un resorte de constante k =1N/m, como la des-cripta anteriormente, donde el movimiento es tal quela amplitud es A = 0,1m. Cul es el valor mximo dela velocidad v?

E

Las velocidades como funcin del tiempo estn dadas por:

(1.14)

(1.15)

En este caso la energa potencial es

(1.16)

por lo que la energa E del proyectil est dada por:

(1.17)que es una constante; es decir, no depende del tiempo. Vemos que, en este caso tam-bin la energa se conserva.

12 E n e r g a

Ejercicio 1.2 En poca de carnaval, un nio deja caer una bombita que contiene 250 g de agua, desdela ventana que est 30 m sobre la vereda. Usando la ley de conservacin de la energa, a qu veloci-dad llega la bombita al piso? Cul es su energa cintica al arribar al piso?

Ejercicio 1.3 Una pistola de 9 mm dispara, horizontalmente, una bala de 8 g de masa con una velo-cidad de 305 m/s. Despreciando el frenado por el aire, cunto desciende el proyectil luego de haberviajado 20 m horizontales? Cunto vale su energa cintica 20 en ese momento? Es mayor o menorque la energa cintica inicial E0?

Ejercicio 1.4 Estudiemos la situacin combinada de los temas tra-tados en las secciones 1.2 y 1.3. Sea la situacin en que una masaM = 1kg est suspendida de un resorte de constante k = 100 , enpresencia de la aceleracin gravitatoria constante g = 9,8 m/s2 en ladireccin vertical hacia abajo; como indica la figura 1.4. El resortetiene longitud natural l0 = 0,8 m.

a) Cul es la longitud del resorte cuando el sistema est enequilibrio?

b) Asumiendo un movimiento vertical, defina la coordenada y conorigen en la posicin de equilibrio. Suponga que, inicialmente,la masa es desplazada hacia arriba de la posicin de equilibrio

kgs2

La energa como concepto bsico de sistemas mecnicos sencillos 13

1.4. Sistema de un planeta movindose alrededor del Sol

El movimiento de los planetas se explica, muy bien, con las leyes de la dinmica yla ley de la gravitacin de Newton. Sin embargo, histricamente las trayectorias delos planetas fueron descriptas, inicialmente, por las llamadas leyes de Kepler.

Si bien las leyes de Newton explican las leyes de Kepler, usaremos, en esta ocasin, estas ltimaspor cuestiones de simplicidad.

Haciendo uso de observaciones astronmicas de Tycho Brahe y suyas, Kepler (1571-1630)dedujo las tres clebres leyes del movimiento de los planetas alrededor del Sol; ellas son:

Haciendo uso de un sistema cartesianode coordenadas, de tal forma que la elip-se, recorrida por un planeta, est en elplano (x, y), podemos describir al movi-miento del planeta por las funciones x(t),y(t) del tiempo t.Similarmente, haciendo uso de un sis-tema de coordenadas polares en elplano (r; ), tambin podemos descri-bir el movimiento en trmino de lasfunciones r(t), (t) del tiempo t. Eneste caso r es la distancia del origen delsistema de coordenadas al planeta y elngulo que forma el vector posicincon el eje x. Ver el Apndice B para unadescripcin de coordenadas polares.Un punto en la elipse se lo puede repre-sentar por la relacin

(1.18)

(1.19)

por una distancia de 0,05 m y se la suelta.b.1) Escriba la ecuacin de movimiento en este sistema de coordenadas.b.2) Escriba la solucin general a la ecuacin de movimiento.b.3) Elija las constantes de la solucin general para adaptarlas a la condicin inicial del movimiento.b.4) Haga el chequeo explcito de que la energa mecnica de este sistema se conserva.

K1Los planetas se mueven describiendo elipses, ubicndose el Sol en uno de sus focos.K2La lnea que une al Sol con cada planeta barre reas iguales en tiempos iguales.K3Los cubos de la distancia media de los planetas al Sol son proporcionales a los cuadrados de su

tiempo de revolucin.

14 E n e r g a

donde la funcin r(), que representa la distancia del Sol al planeta, viene dada por

(1.20)donde p y e son constantes. Al parmetro e se lo llama excentricidad de la rbita.

Slo basta considerar ahora la dependencia del ngulo conel tiempo t; para esto hacemos uso de la segunda ley deKepler. El rea barrida en un pequeo lapso de tiempo t porel planeta, se puede expresar por 1_2r

2; donde es el incre-mento del ngulo en el lapso de tiempo t. Esta expresinpara el rea barrida proviene del hecho que podemos aproxi-mar dicha rea por un tringulo rectngulo de altura r y baser. Consideremos que el radiovector de la derecha que semuestra en la figura 1.6 tiene mdulo r y que dibujamos untringulo rectngulo por medio de un pequeo segmentoque enlaza el dibujo de los dos radiovectores. El rea de estetringulo rectngulo es igual al rea barrida por el radio vector,en primer orden del ngulo entre los radiovectores; cuyovalor est dado por 1_2 r r; o sea, base por altura sobre dos.

La segunda ley de Kepler, afirma entonces que:

(1.21)donde j es una constante. En el lmite para t muy pequeo; es decir, tendiendo acero, llamaremos a la relacin velocidad angular del ngulo , o simplemente v.

La energa E de este movimiento est dada por

(1.5)donde E es la energa cintica del planeta y U la energa potencial. La energacintica est dada por

(1.22)donde vx y vy son las velocidades asociadas a las coordenadas cartesianas x e y, res-pectivamente, y m es la masa del planeta.La energa potencial est dada por

(1.23)donde G es la constante de la gravitacin y M la masa del Sol.El parmetro de la rbita p se puede expresar en trmino de las otras constantes quehemos visto, teniendo el valor:

(1.24)Llamando vr a la tasa de variacin instantnea de la coordenada r como funcin del

t

La energa como concepto bsico de sistemas mecnicos sencillos 15

tiempo t y haciendo uso de las relaciones explicadas en el Apndice C se puedededucir que:

(1.25) (1.26)de donde se puede ver fcilmente que

(1.27)Notemos que, haciendo uso de la ecuacin (1.20), vr se puede expresar por

(1.28)mientras que v satisface

(1.29)Por lo tanto, el cuadrado de la velocidad viene dado por

(1.30)Luego la energa de este sistema es:

(1.31)donde hemos usado la ecuacin (1.24). Vemos, entonces que la energa E se conser-va en este caso.La ecuacin (1.31) provee de una relacin entre la excentricidad e y la energa E. Enparticular se tiene: para energas negativas, (E < 0), se tiene e < 1 y el movimiento es elptico. para energa nula, (E = 0), se tiene e = 1 y el movimiento es parablico. para energas positivas, (E > 0), se tiene e > 1 y el movimiento es hiperblico.

16 E n e r g a

Las elipses tambin son caracterizadas por el semieje mayor a y el semieje menor b;que se miden desde el centro geomtrico de la elipse, como se muestra en la figura 1.7.Los semiejes estn relacionados a los parmetros p y e por las siguientes ecuaciones:

(1.32) (1.33)

1.4.1. Aplicacin a objetos cercanos a la Tierra

Los objetos cercanos a la Tierra, que en ingls se denominan Near Earth Objetcs(NEO), son objetos del sistema solar, como cometas y asteroides, cuyas rbitaspasan muy cerca de la Tierra.En las ltimas dcadas ha aumentado el estudio de estos objetos debido a la crecien-te preocupacin sobre el posible impacto sobre la Tierra de algn objeto que puedaproducir dao.En la actualidad existen varios programas, que incluyen cooperacin internacionalpara observar y detectar objetos que puedan representar un peligro. En la pginahttp://neo.jpl.nasa.gov/risk/ se puede observar una lista de objetos cuyas rbitas pasancerca de la Tierra. De entre ellos nos concentramos en el objeto denominado 2007VK184; que es un objeto que se estima tiene 130 m de dimetro y tiene chances dechocar contra la Tierra en el ao 2048 con una velocidad de 19 km/s.De los elementos orbitales de 2007 VK184 vemos que su semieje mayor esa = 1,72647u.a. y que su excentricidad es e = 0,56991. El semieje mayor estexpresado en la llamada unidad astronmica que es la distancia media Tierra-Sol ytiene el valor de u.a.=149.597.870,66 km.

Ejercicio 1.6 Usando los datos del cuerpo 2007 VK184 que hemos presentado en el texto y que lamasa del Sol es M = 1,99 1030 kg realice lo siguiente:a) asumiendo que el objeto tiene la densidad del agua (lo que, probablemente, es una cota inferior)

calcule la masa total m del mismo.b) si el objeto chocase con la Tierra, cul sera la energa cintica del mismo al momento del impacto?

Haciendo uso de la tabla de conversin del Apndice A exprese el resultado en megatones de TNT.c) Calcule la energa mecnica total del cuerpo.

Ejercicio 1.5 Mostrar que para elmovimiento elptico vale la relacin

(1.34)O sea, el semieje mayor est completa-mente determinado por la energa yviceversa, el semieje mayor determinala energa.

17

Captulo

2

La energa en sistemas mecnicos compuestos

2.1. El concepto de trabajo

En el captulo anterior hemos visto diversos ejemplos mecnicos sencillos donde secomprob, explcitamente, que la energa se conserva. En lo que sigue, generaliza-remos el estudio a sistemas con muchas partculas y veremos que a la propiedad deconservacin de la energa la satisface un gran conjunto de sistemas. Con este obje-tivo repasaremos la nocin de trabajo y fuerzas conservativas.

2.1.1. Trabajo en una dimensin

Consideremos el caso de una partcula que slo se puedemover a lo largo del eje x de coordenadas. Supongamos quesobre la misma acta una fuerza Fx y que la partcula se hamovido en una pequea distancia x. El trabajo W que lafuerza Fx ha hecho sobre la partcula en este movimiento es:

(2.1)

Si el movimiento de la partcula es por un trecho ms largo,digamos de la posicin xa a la posicin xb, podemos dividiresta distancia en pequeos trechos x1, x2, x3, ..., xn; detal forma que el trabajo hecho por la fuerza actuante a lolargo de este movimiento ser

(2.2)donde en cada trmino la fuerza Fx se evala en el trecho correspondiente.En la figura 2.1 vemos un ejemplo del trabajo hecho por la fuerza del peso de unobjeto de masa m que asciende una distancia y = y2 - y1. El trabajo en este caso estdado por

(2.3)donde hemos usado que la componente y de la fuerza de peso es (-mg) siendo g la ace-leracin de la gravedad. En este caso la fuerza total F coincide con el peso P del cuerpo;donde estamos usando la notacin usual de poner una flechita encima de una cantidadque denota un vector.En este ejemplo hemos notado que el trabajo ha resultado negativo; lo que sugiere la pre-gunta natural, qu sucede con el signo del trabajo si hubisemos elegido que el eje yapuntase hacia abajo? Es decir, la eleccin del sistema de coordenadas es arbitrario, por

La energa en sistemas mecnicoscompuestos

18 E n e r g a

lo que podramos haber elegido que la coordenada y crezca haciaabajo. En la figura 2.2 presentamos la situacin del mismo pro-ceso, pero descripto respecto de un sistema de coordenadas yque crece hacia abajo.Con esta eleccin del sistema de coordenadas, calculamos nue-vamente el trabajo realizado en este proceso y encontramos que:

(2.4)dado que en este caso, la componente de la fuerza cambia designo, pero el desplazamiento de la coordenada tambin cam-bia de signo (ahora y 2 es menor que y 1, por lo que sudiferencia es negativa). Concluimos que el trabajo es un esca-lar asociado al proceso mecnico y no depende de la eleccinde los sistemas de coordenadas.Como segundo ejemplo, consideremos un cuerpo que es ele-vado por una cuerda que est atada en su parte superior, en unescaln que tiene altura h = y2 - y1. En su posicin inicial y finalel cuerpo est en reposo (Figura 2.3). Para fijar ideas podemospensar que todo el movimiento se lo ha hecho muy lentamen-te. En este caso el trabajo de la fuerza total est dado por

(2.5)donde hemos usado que en el lmite de un movimiento infinita-mente lento, la componente y de la fuerza total es Fy = T - P = 0,dado que las fuerzas se deben cancelar. En trminos de trabajo,uno podra decir que la cuerda hizo el mismo trabajo que el peso.En el movimiento real de levantar una caja desde el piso a unamesa, por ejemplo, la situacin es ms complicada, pues inicial-mente, uno hace una fuerza mayor que el peso para poderacelerar al cuerpo hacia arriba, pero luego se hace una fuerzamenor para dejar que el peso gane y podamos depositar la caja enla mesa. Pero como veremos ms adelante, el trabajo hecho porcada fuerza en el movimiento total se cancela.

2.1.2. Trabajo en tres dimensiones

Si el movimiento es en tres dimensiones, la expresin (2.1) se puede generalizar dela forma

(2.6)

Ejercicio 2.1 Calcular el trabajo hecho por la fuerza de tensin T de la cuerda enel ejemplo anterior.

La energa en sistemas mecnicos compuestos 19

donde Fy y Fz son las componentes del vector fuerza en lasdirecciones cartesianas y y z , respectivamente.Como ejemplo de trabajo hecho por una fuerza que implicams de una dimensin podemos mencionar el caso de un blo-que que se desliza sobre una superficie horizontal rgida, sujetoa la fuerza de peso P , la correspondiente fuerza de reaccin Nde la superficie rgida, una fuerza de friccin constante R y lafuerza de aplicacin f, cuyo vector forma un ngulo con el ejecartesiano x, como muestra la figura 2.4. En este caso el traba-jo Wf realizado por la fuerza f est dado por

(2.7)donde se usa la notacin f para el mdulo del vector f y el hecho de que y = 0.

2.1.3. Trabajo en un sistema de partculas

Si el sistema est compuesto por muchas partculas, el trabajo hecho sobre el siste-ma, es la suma de los trabajos hechos sobre cada partcula. En este caso la energacintica tambin es la suma de las energas cinticas de cada partcula; esto es:

(2.8)para un sistema compuesto de N partculas.Un resultado conocido [IK66, Mor00] en la mecnica de un sistema de partculases que, el trabajo de la resultante de las fuerzas hecho sobre el sistema, est relacio-nado a la variacin de la energa cintica de la siguiente manera:

(2.9)donde Eb es la energa cintica final y Ea la inicial. A este resultado se lo conocecomo teorema del trabajo-energa.

2.2. Fuerzas conservativas

Consideremos, nuevamente, un sistema compuesto slo por una partcula. Se dice quela fuerza actuante es conservativa si el trabajo hecho por la fuerza desde la posicin ini-cial Xa a la posicin final Xb slo depende de las posiciones iniciales y finales; o sea,

Ejercicio 2.2 Un auto de competicin de rally, de 1.000 kg de masa, comienza a cru-zar un vado con agua, de 7 m de ancho, a una velocidad de 120 km/h. Mientras cruzael vado, recibe una fuerza constante de frenado de 50.000 N. Asumiendo que el con-ductor solt el acelerador en esa maniobra, cul es la velocidad a la salida del vado?

20 E n e r g a

(2.10)donde estamos usando, nuevamente, la notacin con una flechita arriba para deno-tar un vector. Enfatizamos que esto quiere decir que el trabajo no depende delcamino, sino que slo depende de las posiciones iniciales y finales.En estos casos la fuerza F se puede calcular a partir de un potencial U que se lopuede definir de la siguiente manera:

(2.11)donde X0 es una posicin de referencia.En sistemas conservativos se define la energa total E como la suma de la energacintica y la potencial:

(2.12)Anteriormente afirmamos que

(2.9)que podemos expresar por

(2.13)La primera igualdad se deduce del hecho que, por ser un sistema conservativo, en elclculo de Wab, podemos pensar en un camino que va de Xa a X0 y luego a Xb. Enla segunda igualdad hemos usado que W0b = -Wb0 dado que, cuando uno invierte elcamino, se cambian de signo los desplazamientos. Por ejemplo xi se cambia a -xi .Entonces vemos que

(2.14)Acabamos de probar que para un sistema conservativo, es decir, un sistema para elcual tanto las fuerzas de interaccin como las externas son derivables de una funcinpotencial, vale la siguiente ley:

Es importante notar que si las fuerzas dependen slo de la posicin de las partcu-las, entonces el sistema es conservativo.Los casos vistos en el captulo anterior son de sistemas conservativos.A continuacin presentamos algunos ejemplos de fuerzas conservativas.Fuerza de un resorte con un extremo fijo al origen de constante k y longitud natu-

ral despreciable:F = -kX; (2.15)

donde X = (x, y, z) es el vector posicin. Su energa potencial es

(2.16)

donde X 2 = x2 + y2 + z2.

La energa en sistemas mecnicos compuestos 21

Una masa m en la cercana de la superficie de la Tierra est sometida a la fuerzade su peso P = m.g ; donde g es el vector de la aceleracin de la gravedad que, enun sistema de coordenadas cartesianas donde el eje z es vertical y apuntando haciaarriba, est dado por g = (0, 0, -g). Para la cantidad g, normalmente, se toma elvalor de g = 9,81m/s2 . La energa potencial est dada para este sistema por

(2.17)

Masa central M que interacciona gravitatoriamente con una masa m que se puedemover libremente. La fuerza gravitatoria actuante sobre la masa m es

(2.18)

donde n es el vector de mdulo uno dado por . La energa potencialpara este caso es

(2.19)Aqu vemos que, mientras la fuerza depende como la inversa de la distancia entrelas masas al cuadrado, la energa potencial depende como la inversa de la distan-cia entre las masas.

22 E n e r g a

Captulo

3

Hasta aqu hemos considerado sistemas mecnicos conteniendo un nmero limita-do de partculas. En captulos posteriores estudiaremos sistemas termodinmicosque suelen contener un inmenso nmero de partculas. A modo de introduccin alos sistemas termodinmicos, en este captulo estudiaremos el sistema de gases idea-les desde un punto de vista mecanicista; lo que nos permitir encontrar relacionesentre variables macroscpicas y microscpicas.

3.1. Sistema de partculas no interactuantes: gases ideales

Consideremos un conjunto de N partculas encerradas en un volumen V, que nointeractan, pero que s pueden chocar entre ellas.Cuando una partcula de masa m choca sobre una pared, en forma elstica, forman-do un ngulo con la normal a la misma, que coincide con el plano x = 0; seproduce una transferencia de momento a la pared. Descomponiendo el momentovectorial

(3.1)de la partcula antes del choque en trmino de sus componentes cartesianas

(3.2)vemos que el momento despus del choque ser

(3.3)como se muestra en la figura 3.1. Por lo que la variacin de momento ser

(3.4)

Notemos que(3.5)

Denotemos con n(v, d) el nmero de partculas porunidad de volumen con velocidad v provenientes delelemento de ngulo slido d. Dado un origen 0, unelemento de ngulo slido se puede pensar como unapequea rea en la esfera de direcciones alrededor de0, que indica una pequea zona de direcciones; comomuestra la figura 3.2.

La energa en sistemas mecnicos conmuchsimas partculas: el gas ideal

La energa en sistemas mecnicos con muchsimas partculas: el gas ideal 23

Como asumimos que el gas es isotrpico, o sea, que suspropiedades no dependen de las direcciones, se puedeexpresar

(3.6)

donde nv es el nmero total de partculas por unidad devolumen con velocidad v y el denominador 4 es, casualmente, la superficie de laesfera unidad; por lo que el cociente es la relacin entre la superficie del nguloslido d y la superficie de la esfera unidad 4.

Denotemos con A un elemento de superficie ubicado en la pared que limita al volu-men. Deseamos expresar el volumen dV que encierra las partculas que chocarn conA en el intervalo de tiempo dt. En este lapso de tiempo, partculas con velocidad vrecorren una distancia l = v dt.

Por lo tanto las partculas que chocan sobre la superficie A estn en un cilindro dealtura l = v dt y seccin S = Acos(); por lo que el volumen dV est dado por

(3.7)donde el factor cos() toma en cuenta que este haz de partculas incide sobre lapared con ngulo .

El cambio de momento, en este intervalo de tiempo, debido a estas partculas es

(3.8)de donde se deduce que

(3.9)Luego, sumando sobre todas las direcciones, la presin sobre la pared, debida a laspartculas con velocidad v, resulta

(3.10)La presin total debido a la contribucin de todas las partculas con distintas velo-cidades, se estima por

(3.11)donde el smbolo significa promedio y n es el nmero total de partculas porunidad de volumen.Si V es el volumen, se tiene que el nmero total de partculas en dicho volumen es

(3.12)

24 E n e r g a

por lo que se tiene

(3.13)Notando que la energa cintica media por partcula es

(3.14)se obtiene

(3.15)

Esta ecuacin nos da una relacin entre la presin P, el volumen V, el nmero totalde partculas N del gas ideal y la energa cintica media por partcula < E > delmismo. Lo interesante de esta ecuacin es que del lado izquierdo se tienen cantida-des macroscpicas, mientras que del lado derecho las cantidades tienen informacinmicroscpica del sistema.La rama de la fsica estadstica es la que se encarga de relacionar la informacinmicroscpica del sistema con las variables macroscpicas.

Ejercicio 3.1 Se tiene un mol de un gas monoatmico, cuya masa atmica coin-cide con la del oxgeno molecular, encerrado en un volumen de 1 metro cbicoa una presin de una atmsfera[atm], esto es 101.325 pascales[Pa]. Notar que,usualmente, se usa la unidad de hectopascales para medir la presin atmosfricapor lo que 1atm=1.013,25 hPa. Calcule la raz cuadrada de la velocidad cuadr-tica media .

4.1. La variable termodinmica fundamental: temperatura

4.1.1. Introduccin a los sistemas termodinmicos

Imaginemos un sistema que consta de un bloque de madera de masa m que al tiem-po t = 0 se mueve con velocidad v sobre un piso horizontal de baldosas y sobre elque no se ejercen otras fuerzas ms que la de su propio peso y la interaccin con elpiso. Por la experiencia de la vida diaria sabemos que el bloque de madera se frena-r, rpidamente, hasta detenerse por completo.

Qu es lo que ha sucedido desde un punto de vista mecnico?

Inicialmente, se tiene una energa cintica Ei = mv2. Como el movimiento serealiza siempre a la misma altura, no hay variacin de la energa potencial; por loque la energa mecnica total es Ei . Pero al tiempo final el bloque est en reposo,por lo que la energa mecnica final Ef es cero. Esto nos dice que, en este siste-ma, la energa mecnica no se ha conservado. Toda la energa mecnica inicial Eise ha perdido.

Pero, realmente se ha perdido la energa?

La energa mecnica parece haber cambiado; pero es factible que se haya transformado en otraclase de energa.Hasta aqu hemos estado considerando sistemas sencillos en los que era posible cal-cular la energa de los mismos. Pero en un trozo de materia comn, como un bloquede madera, sabemos que intervienen muchsimos tomos que pueden estar forman-do molculas complejas, las que, a su vez, forman estructuras macroscpicas queobservamos con nuestros sentidos.En la vida cotidiana, surge naturalmente la distincin entre el mundo microscpico, descriptopor las propiedades moleculares y atmicas de los materiales, y el mundo macroscpico, quepodemos observar con nuestros sentidos.Volviendo al caso del bloque de madera que se desplaza sobre un piso horizontalde baldosas, vemos que en este movimiento hay una transferencia de energa delmundo macroscpico al mundo microscpico. En un estado normal, todo cuer-po muestra que sus constituyentes microscpicos, las molculas o tomos encuestin, no estn en reposo, sino que tienen una agitacin promedio. Por ejemploen el caso del gas ideal considerado en el captulo anterior, vemos que existe una energa cin-tica media por partcula.Cuando uno frota dos superficies, normalmente, transfiere energa mecnicamacroscpica, en mayor agitacin de las molculas de las superficies; las cuales a su

Sistemas termodinmicos yla relevancia de la energa

Captulo

4

Sistemas termodinmicos y la relevancia de la energa 25

26 E n e r g a

vez van transfiriendo esta agitacin al resto de las molculas vecinas. Podemos hacerun experimento, en el cual luego de frotar dos superficies, nos resultarn ms clidas al tacto,que antes de comenzar el mismo. En particular, cuando sentimos fro, solemos frotar las manoscontra la parte de la piel donde sentimos fro, para contrarrestar el mismo.Los cambios de agitacin interna de los cuerpos pertenecen a la parte de la fsica queestudia los mismos, que se llama termodinmica.Cuando se estudian sistemas termodinmicos, normalmente, se hace uso de pocasvariables macroscpicas para determinar el estado del sistema.Algunas de las variables termodinmicas que podemos usar para determinar los esta-dos de los sistemas son: la presin P, el volumen V, la temperatura T y la energainterna U. El concepto de energa interna ser estudiado en el prximo captulo.Notemos que cada vez que aparezca la temperatura en la descripcin de un sistema, estamos enpresencia de un sistema termodinmico; por lo que se suele decir que la temperatura es la varia-ble fundamental de sistemas termodinmicos.Existe una nocin bsica importante en el estudio de los sistemas termodinmicosque introduciremos ahora. Un sistema termodinmico tal, que su entorno no cam-bia con el tiempo, alcanza un estado de equilibrio en el cual sus variablestermodinmicas no cambian con el tiempo. A estos estados se los llama estados deequilibrio termodinmico.

4.1.2. La temperatura

Sensaciones trmicas, termmetros, escalas termomtricas. Cotidianamente, esnormal obtener informacin de los noticieros sobre la temperatura del aire y el pro-nstico de la variacin de la misma. En particular, cuando las temperaturas sonbajas, tenemos la sensacin de fro en la piel, mientras que con temperaturas altastenemos la sensacin de calor. Sin embargo, nuestra piel no es un buen medidor detemperaturas. Esto lo podemos comprobar con el siguiente experimento:

Es por ello que recurrimos a los termmetros para medir la temperatura. Los term-metros suelen usar alguna propiedad de los cuerpos que cambia con la temperaturapara medir la misma. Una de estas propiedades es la de dilatacin. Slidos y lqui-dos muestran el efecto de dilatacin; por medio del cual, cuando aumentamos latemperatura de los mismos, en general, aumentan sus dimensiones.El agua sin embargo es un fluido excepcional, dado que muestra un mximo de den-sidad a 4 C; por lo que desde 0 a 4 grados el volumen disminuye con el aumentode la temperatura.Acabamos de usar la escala de grados centgrados C, que acostumbramos emplearpor aqu. Sin embargo, en fsica, se usa ms frecuentemente la temperatura absolu-ta, o escala de Kelvin, con unidad K. Si T es la temperatura en la escala Kelvin y t

Supongamos que llenamos dos jarras, una con agua caliente y otra con agua fra; de tal forma queno sea molesto introducir una mano en cada jarra. Luego de unos segundos, vertemos el conte-nido de las jarras en una olla y luego de un par de segundos introducimos las manos en la misma.Notaremos que la mano que estaba sumergida inicialmente en el agua fra, siente al agua tibia;mientras que la mano que estaba sumergida en el agua caliente siente al agua fresca. Esto es apesar de que el agua en la olla tiene, aproximadamente, la misma temperatura en todas partes.

Sistemas termodinmicos y la relevancia de la energa 27

la misma temperatura en la escala centgrada, la relacin entre estas dos escalas es:

(4.1)

que denominaremos temperatura absoluta.De ahora en ms usaremos esta escala de temperaturas.Se debe remarcar que el incremento de un grado centgrado coincide con el incremento deun grado Kelvin; es por ello que la ecuacin anterior tiene sentido a pesar de que T tieneunidades de K.La relevancia fsica de esta escala de temperaturas se estudiar en la prxima seccin.

4.2 Gases ideales

4.2.1. Dependencia con la temperatura

Se denomina gas ideal a un fluido que cumple las leyes de Boyle-Mariotte y GayLussac.Recordemos que la Ley de Boyle-Mariotte, debida a Robert Boyle y Edme Mariotte,es una ley fenomenolgica que afirma que, si dos estados, digamos 1 y 2 de un gas,son tales que las temperaturas son iguales y la masa del gas permanece constante,entonces:

(4.2)o sea, el producto de presin por volumen en el estado 1 coincide con el productode presin y volumen en el estado 2.Observaciones ms precisas, demostraron que esta ley observacional no se cumpleexactamente para los distintos gases reales; sin embargo, se cumple exactamente enel rgimen asinttico de altas temperaturas y bajas densidades. Por lo tanto es leg-timo tomarla para definir una clase de gas ideal.Por otro lado recordemos que la ley de Gay-Lussac, frecuentemente tambin llama-da ley de Charles, es una ley fenomenolgica que afirma que si dos estados, digamos1 y 2, de un gas son tales que las presiones son iguales y la masa del gas permanececonstante entonces:

(4.3)La primera discusin de esta ley se le atribuye a Jacques Charles cerca del 1787. Pero la primerapublicacin de la misma fue realizada por Louis Joseph Gay-Lussac en 1802. Observaciones msprecisas, demostraron que esta ley observacional no se cumple, exactamente, para los distintosgases reales; sin embargo, como en el caso anterior se cumple exactamente, en el rgimen asin-ttico de altas temperaturas y bajas densidades. Por lo tanto tambin es legtimo tomarla paradefinir una clase de gas ideal.Un estudio detallado de estas dos leyes muestra que la dependencia de presin P yvolumen V con la temperatura est expresada por la siguiente ecuacin:

PV = CT ;donde estamos denotando con C una constante que no depende de la temperatura;por lo que, solamente, puede depender de la cantidad de materia del gas.

28 E n e r g a

4.2.2. Ecuacin de estado de los gases ideales

Manteniendo V y T constantes queda claro que la presin debe ser proporcional alnmero de moles n del gas; dado que a ms partculas, mayor presin, con una claradependencia lineal.Por lo tanto debe ser

(4.4)donde ahora R no puede depender ni de la temperatura ni de la cantidad de mate-ria; en otras palabras R tiene que ser la misma constante para todo gas ideal. A R se ladenomina la constante universal de los gases ideales, cuyo valor mostramos ms abajo.Esta ecuacin constituye una ecuacin de estado de los gases ideales.Existe otra forma de expresar esta ecuacin de estado. Notemos que en 1 mol hay NAmolculas; donde NA denota el nmero de Avogadro, cuyo valor mostramos msabajo. Luego en n moles tenemos N = n NA molculas; por lo que se puede escribir

(4.5)donde hemos definido la constante

(4.6)llamada constante de Boltzmann. Luego tambin podemos expresar

(4.7)para la ecuacin de estado de los gases ideales.Los valores de estas constantes son:

(4.8)Recordemos que del estudio microscpico de los gases ideales obtuvimos

(3.15)donde < E > es la energa cintica media de una partcula. Comparando con la ecua-cin de los gases ideales se deduce la relacin

(4.9)que se puede interpretar como que hay una contribucin por cada grado delibertad del microsistema. En este caso el microsistema es una partcula que tiene 3grados de libertad. Los grados de libertad de un sistema son el nmero de coorde-nadas necesarias para determinar un estado en el espacio de configuraciones delsistema.

Sistemas termodinmicos y la relevancia de la energa 29

4.2.3. Positividad de la temperatura absoluta

Conviene remarcar que:

1. a volumen constante cuando la temperatura tiende a cero, la presin tiende a cero;2. a presin constante cuando la temperatura tiende a cero, el volumen tiende a

cero; adems,3. cuando la temperatura tiende a cero la energa cintica media por partcula tien-

de a cero que, en forma abreviada, se puede expresar por:

a volumen constante: (T 0) (P 0); a presin constante: (T 0) (V 0); (T 0) (< E > = < mv2 >0).

De todas stas se deduce que la temperatura absoluta no puede ser negativa y que elcero absoluto no se puede traspasar.Cuando enfriamos un material al cero absoluto, se ha quitado toda la energa dis-ponible para la agitacin trmica y las molculas estn en reposo. Llegado a estepunto, ya no es posible seguir enfriando al sistema.

Ejercicio 4.1 Asumiendo que el aire fuese un gas monoatmico, para simplificar,cuntas molculas hay en un metro cbico de aire, a una atmsfera de presin,esto es 101.325 Pa, a 20 C, asumiendo que el aire fuese un gas monoatmico,para simplificar?Cul sera la velocidad cuadrtica media vc bajo estas condiciones?

30 E n e r g a

Captulo

5

Con el objeto de presentar la formulacin del primer principio de la termodinmi-ca, se necesita introducir algunos conceptos bsicos primeramente.

5.1. Paredes adiabticas

Se denominan fronteras o paredes adiabticas a aquellas tales que el estado del sis-tema puede ser cambiado slo moviendo las paredes o poniendo al sistema en uncampo externo de fuerzas (como un campo elctrico, gravitatorio, etc.).En contraposicin diremos que una pared es diatrmica si es posible cambiar el esta-do del sistema sin mover las paredes.

5.2. Energa interna

Denominaremos trabajo adiabtico, al trabajo realizado cuando el siste-ma est rodeado por paredes adiabticas.Un ejemplo de trabajo adiabtico se muestra en la figura 5.1.En este ejemplo, el trabajo mecnico externo es usado para cambiar elestado termodinmico del sistema (el lquido).Es un hecho experimental que, dado un sistema termodinmico, siem-pre se puede conectar dos estados del mismo por medio de un procesodonde slo intervenga trabajo adiabtico.Dados dos estados termodinmicos, digamos A y B, se puede llevar al sis-tema de A a B por varias trayectorias adiabticas, en el espacio de estados

de equilibrio. En este sentido, estamos usando la imagen geomtrica de una trayecto-ria en el espacio de estados de equilibrio para sealar una transformacintermodinmica.

Un hecho observacional importante es que: el trabajo adiabtico realizado para llevar al sistemade un estado inicial a otro final, slo depende de dichos estados. O sea, para toda trayectoria adia-btica, que une A con B, el trabajo adiabtico realizado es el mismo.

Este hecho nos permite definir un escalar U que slo depende de los estados deequilibrio termodinmico. Dados el estado inicial A y el estado final B definimos

(5.1)o sea, la diferencia del escalar U evaluado en B, menos el evaluado en A, est dada

Primer principio de la termodinmica

Primer principio de la termodinmica 31

por el trabajo externo realizado a lo largo de un proceso adiabtico que lleva al sis-tema del estado A al B. Al escalar U se lo llama energa interna.Normalmente, se prefiere usar la nocin del trabajo hecho por el sistema, en vez deusar la nocin de trabajo externo. Denotando con W al trabajo hecho por el siste-ma, vemos que uno es menos el otro, por lo que vale W = -Wext. Esto quiere decirque podemos expresar la relacin anterior por:

(5.2)

5.3. Primer principio de la termodinmica

Pensemos ahora en la situacin mediante la cual llevamos al sistema del estado Aal B, pero donde no usamos paredes adiabticas, como se indica en la figura 5.2.En este caso el sistema realiza un trabajo W, que no es un trabajo adiabti-co; por lo que no coincidir con U(B) - U(A).La exigencia de la conservacin de la energa en este proceso implica que exis-te una cantidad de energa Q, absorbida por el sistema, tal que se satisface

(5.3)donde a la cantidad Q se la llama calor. A esta afirmacin se la conoce comoprimera ley de la termodinmica o primer principio de la termodinmica.

Para fijar ideas conviene enfatizar algunos puntos: el primer principio de la termodinmica no es otra cosa que la ley de conserva-

cin de la energa para sistemas termodinmicos; el calor es una forma de energa; es ms, se podra decir que es energa en trn-

sito (microscpico); el calor representa ganancia o prdida de energa por medios distintos a la reali-

zacin de trabajo; las paredes adiabticas impiden el paso del calor; dado que la energa interna U es una funcin de estado, su variacin del estado

inicial A al estado final B no depende de la transformacin (proceso) termodi-nmica que se emplee;

el calor Q no es una funcin de estado, por lo que su variacin depende del pro-ceso termodinmico;

el trabajo W hecho por el sistema no es una funcin de estado, por lo que su varia-cin depende del proceso termodinmico.

De estas observaciones se desprende que es incorrecto hablar del calor de un cuer-po o un estado, o referirse al trabajo de un cuerpo o un estado.

5.4. Nota histrica

El concepto de calor entendido como una forma de energa ha tenido una larga evolucin histrica.Comentaremos los aportes y un poco de la biografa de Benjamin Thompson, quien mstarde se llam tambin Conde Rumford de Baviera. Benjamin Thompson, Jr. 1753-1814

32 E n e r g a

[Sew68, Res08] naci el 26 de marzo de 1753 en Woburn, Massachusetts,Estados Unidos, y fue un cientfico e inventor. Contribuy al entendimien-to de la naturaleza del calor. En 1776 se traslada a Inglaterra; viajando conlos soldados ingleses que evacuaban Boston. En 1783 conoce al prncipeMaximiliano y por su intermedio obtiene trabajo en la Corte del Elector deBaviera. Posteriormente, regresa a Londres donde da a conocer sus tcnicaspara mejorar las chimeneas de los hogares. Thompson observ que en elproceso de fabricacin de los caones, estos permanecan calientes mientrasprosegua el proceso de taladrar los mismos. Lleg a la conclusin que el tra-bajo mecnico de taladrar era lo que produca calor. Tambin hizo unclculo de la equivalencia mecnica del calor.

5.5. Mvil perpetuo de primera especie

Con frecuencia se dice que el primer principio de la termodinmicaimpide la posibilidad de construir un mvil perpetuo de primera especie.Entenderemos por mvil perpetuo de primera especie un dispositivo omquina, capaz de realizar procesos cclicos indefinidamente, que pro-duce trabajo externo sin necesidad de energa externa adicional.

Un proceso cclico es una transformacin termodinmica donde el estado inicialy final coinciden. Entonces en un proceso cclico la energa interna no cambia;dado que la energa interna es una funcin de estado y al cabo de un ciclo se havuelto al estado inicial.

5.6. Capacidad calorfica, la calora

Si al adquirir una cantidad de calor Q, que puede ser negativa, el sistemamuestra un cambio de una temperatura inicial Ti a otra final Tf , se definela capacidad calorfica media C del sistema a la relacin

(5.4)donde estamos usando T = Tf - Ti .En el lmite de que tanto T como Q tienden a cero, se obtiene la nocin decapacidad calorfica C ; o sea,

(5.5)

Es conveniente enfatizar que como el calor no es una funcin de estado, se debesiempre especificar el tipo de proceso que se tiene en mente. Es usual considerarprocesos a volumen constante o a presin constante.A la cantidad de calor necesaria para aumentar de 14,5 C a 15,5 C un gramo de

(a)

(b)

.

Primer principio de la termodinmica 33

agua a la presin de una atmsfera se le llama calora y se la denota por cal. Es muyfrecuente usar las caloras como unidades de calor y por lo tanto para capacidadescalorficas. En otras ocasiones se usa tambin la kilocalora que denota por Cal.Las mediciones que determinan el equivalente mecnico del calor establecen que

(5.6)donde J denota un joule, la unidad de energa.Para conversiones entre distintas unidades ver: Recordemos que un joule es igual a . Notar que existen otras definiciones de calo-ra, por lo que se debe estar atento cuando se lee un texto a cul de ellas se refiere.

5.7. Nota histrica

James Prescott Joule (1818-1889) naci [Ab05] el 24 de diciembre de 1818 en Inglaterra.Su familia tena una fbrica de cerveza, por lo que l tambin se dedic a la misma.Fue enviado para que estudiara con John Dalton. Mostr mucho inters en los fenmenos elec-tromagnticos. Construy un laboratorio en su propia casa para llevar a cabo experimentos.Realiz una serie de experimentos que establecieron la equivalencia mecnica del calor; sentan-do as las bases para una formulacin del primer principio de la termodinmica. Tambin estudi fsica molecular y contribuy a una descripcin de la velocidad del soni-do en el aire.

5.8. Calores especficos

En el estudio de la termodinmica se suelen distinguir entre cantidades globales quevaran con la cantidad de materia, a las que se llaman variables extensivas y cantida-des puntuales que no varan con la cantidad de materia, denominadas variablesintensivas. Ejemplos de variables extensivas son el volumen V, la cantidad de masam o el nmero de moles n. Mientras que los ejemplos de las cantidades intensivasson la presin P y la temperatura T.La capacidad calorfica definida, anteriormente, constituye entonces una cantidadextensiva. Sin embargo, es posible definir una cantidad intensiva si dividimos por lacantidad de masa del sistema. As se llega a la nocin de calor especfico.Se define la capacidad calorfica molar c de una sustancia a la relacin

(5.7)donde C es la capacidad calorfica, n es el nmero de moles y cuyas unidades son J/(mol K).Se suele usar, indistintamente, el trmino capacidad calorfica especfica o calor espe-cfico; por lo que tambin nos podemos referir al calor especfico molar c.

5.8.1. Calor especfico de los gases ideales

Hemos visto que la ecuacin de estado de los gases ideales se puede expresar por

(4.7)donde recordemos que N es el nmero total de partculas.

http://physics.nist.gov/Pubs/SP811/appenB8.html

34 E n e r g a

Adems, hemos visto, en el estudio de la presin del gas ideal, que

(3.15)De esta ltima expresin vemos que en un gas ideal slo se cuenta con la energacintica media por partcula; dado que no se consideran posibles energas potencia-les. Luego, la energa interna U debe ser

(5.8)donde en la ltima expresin hemos usado el nmero de moles n. Esta ltima cons-tituye una ecuacin de estado para el gas ideal involucrando la energa interna. Para calcular el calor especfico molar de los gases ideales podemos hacer uso del pri-mer principio de la termodinmica que indica que una variacin de calor Q sepuede expresar por medio de

(5.9)En particular, para un proceso a volumen constante, el ltimo trmino no contribu-ye, por lo que el calor especfico del gas ideal a volumen constante cV est dado por

(5.10)Similarmente, podemos calcular el calor especfico molar de los gases ideales a pre-sin constante cP , obtenindose

(5.11)Vemos, entonces que, para los gases ideales la relacin entre cP y cV es un nmerosin unidades cuyo valor es

(5.12)donde la cantidad de seis en el ltimo nmero es indefinida.

5.9. Propagacin del calor

Hemos visto que el calor es energa. Por medio de la propagacin del calorde un cuerpo a otro es que se puede alcanzar el equilibrio trmico. Existendiversas formas de propagacin del calor. En lo que sigue veremos ejemplosde conduccin de calor, conveccin de calor y radiacin de calor.

5.9.1. Conduccin del calor

En la figura 5.5 se muestra un cuerpo A que, inicialmente, est a una temperaturamayor que el cuerpo B; que est en contacto a su lado derecho. Ambos sistemas estnrodeados por paredes adiabticas. Con el correr del tiempo, observaremos que se pro-paga calor por conduccin del cuerpo A hacia el cuerpo B; de tal forma que siesperamos lo suficiente, finalmente se observar la misma temperatura en ambos siste-

Primer principio de la termodinmica 35

mas. En esta situacin diremos que se ha alcanzado el equilibrio trmico del sistema.Para hacer un experimento que se asemeje a esta situacin ideal, podemos tomar dosladrillos. A uno lo ponemos al sol en el piso, para que se caliente (eleve su temperatu-ra). Al otro lo mantenemos a la sombra. Luego de que el primer ladrillo se ha calentado,los ponemos uno al lado del otro, pero envueltos en una manta de lana. Al cabo de unosquince minutos desenvolvemos los ladrillos y notaremos que su temperatura es mayorque la ambiente y similar entre ellos.La conduccin del calor es diferente en distintas sustancias. Por ejemplo, un cuerpode madera conduce con ms dificultad el calor que un cuerpo de la misma geome-tra, pero de metal. Es por ello que decimos que la madera es mala conductora delcalor y los metales buenos conductores del calor.Hay una observacin que podemos hacer fcilmente. Es probable que est en una habitacin donde seencuentre un objeto de madera y otro de metal; por ejemplo una puerta de cedro y su correspondien-te picaporte. Normalmente, ambos objetos estarn a la misma temperatura; sin embargo si latemperatura ambiente es fresca y tocamos el objeto de madera y al objeto de metal, sentiremos al lti-mo ms fresco. En cambio si los dos objetos estn bajo la luz del sol, sentiremos al metal ms clidoque la madera. Esto se entiende del hecho que nuestra piel es sensible al paso del calor y no a la tem-peratura. En la primera situacin el metal nos extrae ms calor que la madera; en el segundo caso elobjeto de metal nos entrega ms calor que el objeto de madera.

5.9.2. Conveccin del calor

Cuando las sustancias involucradas son fluidas se pueden tener procesos complica-dos. Pensemos, por ejemplo, en el aire encerrado en una habitacin que es calentadapor un calefactor radiador por el que circula algn lquido caliente. Un ejemplo sonlos calefactores radiadores, como el mostrado en la figura 5.6. Otro ejemplo son loscalefactores radiadores elctricos que contienen aceite.En la figura 5.7 se esquematiza una habitacin donde en su lado derecho hay un calefac-tor radiador. El radiador, al alcanzar una temperatura elevada, calienta el aire circundante;el que por lo tanto se expande y disminuye su densidad. Al hacerse ms liviano, este aireprovoca un movimiento convectivo, de tal forma que el aire en las cercanas del calefac-tor asciende, provocando una circulacin como muestran las flechas. De esta forma, setransporta aire caliente por conveccin por la habitacin y as se calientan los cuerpos den-tro de ella, como mesa y silla que pueden estar en ella.

5.9.3. Radiacin del calor

Radiacin electromagnticaEs preciso, primeramente, decir unas palabras sobre la radiacin electromag-ntica. Dependiendo del tipo de observacin que se realice, la radiacinelectromagntica se puede entender de dos formas:

a) como fenmeno ondulatorio,b) como lluvia de fotones (los fotones son partculas que viajan a la ve-

locidad de la luz).Un ejemplo de radiacin electromagntica como fenmeno ondulatoriopuede ser la recepcin de un aparato de radio, de una emisora que trans-mite en la llamada banda de onda larga. Por ejemplo Radio Universidad en

36 E n e r g a

la ciudad de Crdoba transmite con una frecuencia de 580 kilociclos por segundo.Frecuencia y longitud de onda son nmeros caractersticas de una onda. Paralos fenmenos electromagnticos estos nmeros estn relacionados por la ecuacin

(5.13)donde c es la velocidad de las interacciones electromagnticas, tambin llamadavelocidad de la luz en el vaco.La descripcin de los fenmenos electromagnticos en el mundo atmico es realiza-

da en vez por medio del concepto de fotn. El fotn es una partcula queporta energa E. De tal forma que se puede hablar de frecuencia asociada aun fotn por medio de la ecuacin

(5.14)donde h es una constante universal llamada constante de Planck. Estaconstante aparece en la descripcin de los fenmenos cunticos.En la figura 5.8 se muestra una foto que el autor tom en un atardecer enla laguna Mar Chiquita. El fenmeno de calentamiento del sol sobre la

superficie terrestre es un ejemplo de radiacin del calor. En lo que sigue estudiare-mos la naturaleza de este fenmeno.

Radiacin trmicaTodo cuerpo, con temperatura T > 0, emite radiacin electromagntica. Esto quieredecir que, incluso a temperatura ambiente, los cuerpos estn constantemente emi-tiendo y absorbiendo radiacin de los otros cuerpos circundantes. Esta entrada ysalida de energa puede o no estar balanceada.La velocidad con la cual un cuerpo emite energa radiante depende del tamao de lasuperficie, de su temperatura y de la naturaleza de la supeficie.La potencia radiante total P emitida por unidad de superficie se llama emitanciaradiante del cuerpo.Una radiacin incidente se dice istropa si tiene las mismas propiedades en todas lasdirecciones.La radiacin istropa sobre un cuerpo puede ser en parte absorbida, en parte refleja-da y en parte transmitida.La fraccin de la radiacin incidente istropa de todas las longitudes de onda que esabsorbida puede depender de la temperatura y de la naturaleza de la superficie delcuerpo. A la relacin entre la radiacin absorbida y la incidente se le llama coefi-ciente de absorcin; por lo que el valor mximo de es uno.A la substancia ideal que es capaz de absorber toda la radiacin trmica incidentesobre su superficie se le llama cuerpo negro; por lo que el cuerpo negro tiene coefi-ciente de absorcin

(5.15)Si construimos una caja cbica de unos 30 cm de lado, con un material opaco, a la que se le haceun pequeo orificio, digamos de no ms de un centmetro de dimetro, veremos que el orificio sepresenta muy oscuro. Esto se debe a que la poca radiacin entrante es reflejada entre las caras inte-riores de la caja, escapando slo una pequea cantidad de la radiacin incidente en el orificio. Esas que la superficie del orificio de la caja, se comporta, para la radiacin diurna, como la superfi-cie de un cuerpo negro. Notemos que en esta observacin, no se ha tomado en cuenta el detalle

Primer principio de la termodinmica 37

de la naturaleza de las paredes, slo hemos pedido que sean opacas.

Cavidad en equilibrio trmico, radiacin de cuerpo negroConsideremos, ahora, una cavidad cerrada en equilibrio trmico cuyas paredes estna temperatura T.Denotemos con I a la irradiacin dentro de la caja; esto es, a la energa radiante queincide por unidad de tiempo sobre la unidad de rea.La figura 5.9 indica la situacin de una cavidad cuyas paredesestn a temperatura T, que contiene a un cuerpo negro que tam-bin est a temperatura T. Como tanto las paredes como el cuerponegro estn a la misma temperatura T, estamos en situacin deequilibrio trmico y la irradiacin I es la misma que cuando noestaba el cuerpo negro.En esta situacin, la cantidad de potencia radiante absorbida porel cuerpo negro ser

(5.16)mientras que la potencia radiante emitida por el cuerpo negro ser

(5.17)Como estamos asumiendo la situacin de equilibrio trmico, estas doscantidades se deben compensar; pues de otra manera la temperaturadel cuerpo negro variara con el tiempo. Por lo tanto se tiene:

(5.18)o sea, la emitancia radiante de un cuerpo negro a temperatura T coincide con la irra-diacin dentro de una cavidad cuyas paredes estn a la misma temperatura. Es porello que la radiacin dentro de una cavidad se le llama radiacin de cuerpo negro.No hemos tomado en cuenta el detalle del material de las paredes para llegar a estaconclusin, por lo que se deduce que la emitancia radiante de un cuerpo negro PNslo es funcin de la temperatura.

Ley de KirchhoffSupongamos ahora la situacin en que un cuerpo general, no negro, es introducidoen una cavidad a temperatura T. En el equilibrio trmico, el cuerpo tambin est ala misma temperatura. Debido a que el sistema est en equilibrio trmico, la irra-diacin en su interior, sigue siendo I; dado que estamos considerando la mismatemperatura T que en el caso anterior.El coeficiente de absorcin del cuerpo no negro es ; por lo que la potencia radian-te absorbida por unidad de rea es

(5.19)mientras que la potencia radiante emitida por unidad de rea la denotamos por

(5.20)En la situacin de equilibrio trmico estas dos cantidades deben coincidir por lo quetenemos

(5.21)En el caso anterior del cuerpo negro habamos hallado que la emitancia radiante de

cuerpo negro a T

paredes a T

38 E n e r g a

un cuerpo negro a temperatura T coincide con la irradiacin den-tro de una cavidad cuyas paredes estn a la misma temperatura,dado por la ecuacin (5.18); por lo que finalmente tenemos

(5.22)Esta ecuacin establece que la emitancia radiante de cualquiercuerpo, a una temperatura dada, coincide con el producto delcoeficiente de absorcin de dicho cuerpo por la emitancia radian-te de un cuerpo negro a dicha temperatura. A esta afirmacin sela conoce como ley de Kirchhoff.

Ley de Stefan-Boltzmann, aplicacionesDe lo anterior, hemos visto que la emitancia radiante de un cuerpo negro PN debedepender slo de la temperatura, pero no hemos determinado todava esa depen-dencia. Se comprueba experimentalmente y se puede deducir tericamente tambinque la relacin funcional est dada por

(5.23)donde es una constante. A esta relacin se la conoce como ley de Stefan-Boltzmann y es la constante de Stefan-Boltzmann, cuyo valor es:

(5.24)donde distinguimos la constante de Boltzmann kB , la velocidad mxima de las inte-racciones c, la constante de Planck h y estamos usando la letra W para indicar launidad de watt, o sea W=J/s.

Si colocamos un pequeo cuerpo a temperatura T en un ambiente vaco, cuyas paredesestn a temperatura T0 , estaremos en una situacin fuera de equilibrio. Para fijar ideassupongamos que T < T0. Luego si la superficie total del cuerpo es A absorber la potencia

(5.25)y perder por la misma superficie la potencia

(5.26)por lo que el calor neto absorbido por unidad de tiempo ser

(5.27)

Aqu podemos usar todo lo que hemos visto antes; esto es, que I(T0) = PN(T0), queP(T) = (T)PN(T); por lo que

(5.28)

Queda claro que el signo de esta expresin depende de la relacin entre las temperaturas; para elejemplo que estamos considerando es positivo.

paredes a T

cuerpo a T

Ejercicio 5.1 Considerando al Sol como una esfera de rS = 696.000 km de radio,que se comporta como un cuerpo negro a T = 5.775 K. Tomando en cuenta quela distancia media Tierra-Sol es la unidad astronmica (ua), 1ua = 1,496 X 1011m.

Primer principio de la termodinmica 39

5.9.4. Enfriamiento de los cuerpos

Si colocamos un cuerpo de temperatura T, en un ambiente con temperatura Ta ,siendo T mayor que la temperatura ambiente Ta , el cuerpo perder calor por susuperficie de tal forma que su temperatura ir disminuyendo con el tiempo hastaalcanzar la temperatura ambiente.En general, el enfriamiento ser consecuencia de varios mecanismos, dependiendode la situacin. Si las diferencias de temperatura son importantes, los efectos de con-veccin y radiacin pueden jugar un rol determinante. En situaciones normales dela vida cotidiana, el mecanismo suele ser gobernado por la conduccin del calor delcuerpo al medio circundante.Con la intencin de disminuir este efecto, uno debe rodear al cuerpo en cuestinpor paredes malas conductoras del calor. En la fabricacin de los termos, se intenta lograr esta situacin; con el objeto demantener la temperatura de los lquidos en su interior. La mayora de los termosincluyen un compartimiento vaco que separa al cuerpo del exterior; con el obje-to de disminuir la conduccin calorfica.

5.10. Aplicaciones del primer principio

5.10.1. Dos cuerpos rodeados por paredes adiabticas

Supongamos dos cuerpos A y B que estn rodeados por pare-des adiabticas. Para fijar ideas podemos pensar que son gases.El sistema compuesto parte de un estado inicial i y terminaen un estado final f. Para cada cuerpo vale el primer princi-pio de la termodinmica por lo que tenemos

(5.30)

(5.31)pero como el conjunto de los dos sistemas estn rodeados por paredesadiabticas, (figura 5.11) el calor total del sistema AB debe ser cero; esto es

(5.32)lo que indica que el calor absorbido por uno de los cuerpos debe ser elcalor perdido por el otro; en esta situacin. Ms concretamente se tiene:

(5.33)

Y la aplicacin del primer principio al sistema compuesto es, en este caso:(5.34)

A B

Estimar la energa radiante que incide por metro cuadrado sobre la superficie exte-rior terrestre.

y

40 E n e r g a

5.10.2. Cuerpo humano: relacin entre trabajo fsico y consumo energtico

Gasto de energa en una sesin en un gimnasio con aparatosRealicemos una estimacin del gasto energtico de una persona que realiza unasesin de gimnasia con aparatos de pesas. En vez de hacer un clculo preciso reali-zaremos un clculo aproximado.Un ejercicio tpico bastante demandante es el levantamiento de pesas desde unabanca, desde la posicin de acostado, para ejercitar los msculos pectorales.Supongamos que la persona levanta una masa m = 40 kg una altura h de 50 cm encada movimiento; realizando 12 movimientos en cuatro series. Tenemos que tomaren cuenta que el ejercicio se realiza en presencia de la aceleracin gravitatoria terres-tre g de 9,8 m/s2. Supongamos que entre cada serie descansa un poco, tomando unos6 minutos para realizar todo el ejercicio. Si se ejercita por una hora realizando otrosejercicios, pero gastando energa al mismo ritmo, habr realizado el trabajo

(5.35)

A cunto equivale esta cantidad en trmino del contenido energtico de los ali-mentos? Normalmente, en los alimentos empaquetados viene especificado elcontenido energtico de los mismos; por ejemplo en el paquete de una barrita decereal de 23 g se indica que su equivalente energtico es de 104 Cal. Debemosremarcar que una Cal es equivalente a 1.000 cal.Anteriormente hemos visto que el equivalente mecnico del calor est dado por laecuacin (5.6), por lo que la sesin ejercicios mencionado anteriormente equivale a

(5.36)lo cual parece una cantidad pequea, cuando se la compara con cualquier ingestade comida normal.Notemos que cantidades normales para la alimentacin de un hombre por da, son alrededor de2.200 Cal; mientras que para una mujer son alrededor de 1.800 Cal. Estos son slo nmerosindicativos, dado que cada persona consume en funcin del tamao de su cuerpo, de la activi-dad llevada a cabo durante el da, del clima, etc.

Gasto energtico en una trepada en bicicletaSupongamos un ciclista de 90 kg que en un paseo en bicicleta realiza una trepadade 600 m. El trabajo realizado es

(5.37)

Nuevamente parece un nmero relativamente pequeo en comparacin con el con-tenido energtico, digamos, de un almuerzo.No todo es balance energticoHemos visto que, en realidad, cuando realizamos ejercicios fsicos relativamenteduros, no se gasta mucha energa, si la comparamos con la ingesta de un almuerzo,o una cena normal. Sin embargo, mucha gente realiza ejercicio fsico con la idea decontrolar o bajar de peso; pensando que la realizacin del ejercicio forzar al orga-nismo a quemar las grasas que estn en exceso.El equivalente de 10 g de manteca en caloras es de 64 Cal y el de 15 g de aceite de

Primer principio de la termodinmica 41

maz es de 122 Cal.Vemos entonces que habra que realizar muchsimo ejercicio para quemar, diga-mos 100 g de grasa.Las justificaciones para realizar ejercicios, entonces deben venir por otro lado. Lafundamental, es que el ejercicio normaliza el metabolismo en el organismo; por loque no dejen de hacer ejercicio.No queremos terminar esta seccin en la cual estamos relacionando el ejercicio fsico con laingesta energtica sin remarcar lo siguiente: es errneo plantear un plan nutricional slo consi-derando el balance energtico que necesita una persona; pues uno podra correr el riesgo de teneruna dieta poco variada. De los 20 aminocidos que forman las protenas, hay al menos 8 amino-cidos esenciales que necesita el cuerpo humano; por lo que es imprescindible una dieta variadaque garantice la ingesta de todos los aminocidos esenciales.

5.11. Cambios de fase

5.11.1. Las fases de la materia

El agua es una substancia fundamental para nosotros, pues es esencial para el de-sarrollo de la vida. En nuestra actividad diaria podemos encontrar ejemplos de aguaen estado gaseoso, lquido o slido.Una sustancia est en la fase gaseosa cuando sus molculas no estn ligadas y pue-den moverse libremente. En la fase lquida, si bien el movimiento es posible, seobserva una interaccin intermolecular importante; lo que da origen a los fenme-nos de tensin superficial.En el estado slido, o fase slida, las molculas ya no son libres de moverse respectode las otras y se observa una interaccin intermolecular ms fuerte; lo que se traduceen un aspecto relativamente rgido del cuerpo formado por una sustancia slida.A estos tres estados de la materia, se puede agregar tambin el plasma. Si calentamosmucho un gas, lograremos que algunos de los electrones externos de las molculasse separen de las mismas; con lo que tendramos una mezcla de molculas neutras,molculas ionizadas positivamente y electrones libres con carga negativa. Este es unejemplo de un plasma; donde los efectos electromagnticos sern importantes.Podemos encontrar plasma en el interior de tubos fluorescentes.Cuando una sustancia sufre un cambio de fase, como por ejemplo de slido a lqui-do, se debe entregar calor a la misma para que el cambio de fase se lleve a cabo. Esas que se habla del calor latente de licuefaccin, para el cambio slido a lquido. Seusa el trmino calor latente de vaporizacin para el cambio de fase de lquido a gas.

5.11.2. Enfriamiento de los cuerpos por evaporacin

Si en verano nos zambullimos en un ro para refrescarnos, luego se suele experimen-tar la situacin paradjica que cuando salimos del agua sentimos fro.

Por qu se siente fro cuando uno sale del ro, si la temperatura del agua sueleser menor que la temperatura del aire?

El aire nos tendra que estar calentando, sin embargo sentimos fro. Y sentiremosms fro an si hay una brisa, o viento.

42 E n e r g a

Lo que sucede es que mientras se est evaporando el agua que tenemos en la piel, elproceso nos est quitando calor de nuestro cuerpo. Para entender esto pensemos enla situacin simplificada en que tenemos un sistema donde hay una parte con agualquida cuya superficie est en contacto con aire, como indica la figura 5.12. Lasmolculas de agua que estn cerca de la superficie, se mueven con diferentes veloci-dades. Las ms veloces, o sea las que tienen mayor energa cintica, son las quetienen ms probabilidad de escaparse del lquido e integrar la masa de aire. En esteproceso de evaporacin, se selecciona las molculas ms energticas para disminuirla masa del lquido. Es por este motivo que a medida que transcurre el tiempo en elproceso de evaporacin, la energa cintica media de las molculas del lquido dis-minuye. Y como la temperatura es una medida de la energa cintica media, se tieneque la temperatura del lquido disminuye en el proceso de evaporacin.Si el aire est en movimiento, el proceso de evaporacin es ms eficiente, por lo queel lquido se evapora ms rpidamente, con lo que se logra una disminucin de latemperatura mayor por unidad de tiempo. Esto explica la experiencia en el ro men-cionada anteriormente.El proceso de enfriamiento por evaporacin, es el mecanismo que usa el cuerpo humano pararegular la temperatura en los das clidos; esto es, la transpiracin. Por cada gramo de agua quese evapora de la piel, se extraen aproximadamente 580 caloras.

Prdida de lquido durante ejercicios bajo la radiacin solarConsideremos nuevamente el ejemplo de un ciclista que realiza una trepada, para lacual emplea 30 minutos. Durante este ejercicio el ciclista estaba expuesto a la radia-cin solar. Asumiremos que si bien, la superficie efectiva de exposicin es de 0,5 m2,aunque la superficie de la piel expuesta directamente al sol es menor. Dado que radia-cin solar implica una potencia de unos 1000 W/m2, la energa absorbida total es de

(5.38)

De aqu deducimos que para compensar este calentamiento, con un correspondiente enfria-miento por evaporacin de la transpiracin, se debe perder la siguiente cantidad de agua:

(5.39)

En este clculo no hemos tenido en cuenta que probablemente fuese un da de calor,que obligase al ciclista a perder ms agua para compensar el calentamiento de sucuerpo debido al aire caliente.Si comparamos este resultado con los clculos de la relacin del trabajo fsico conla ingesta energtica, vemos que en definitiva el ciclista perder ms peso evapo-rando agua para regular su temperatura, que quemando grasas para compensarel trabajo realizado.

aire

agua

Segundo principio de la termodinmica 43

Captulo

6

6.1. Procesos termodinmicos reversibles e irreversibles

Un proceso termodinmico reversible es aquel que podemos realizartambin en el sentido inverso, sin ningn inconveniente, de tal formaque el sistema y el entorno vuelven a sus estados iniciales. Si podemosrealizar un proceso por medio de una sucesin de estados de equilibriotermodinmico; entonces el proceso es reversible, pues podremos reali-zarlo en sentido inverso.Un ejemplo de proceso reversible puede ser la expansin adiabtica lenta deun gas ideal como muestra la figura 6.1. En realidad un proceso reversiblese puede caracterizar por una sucesin de estado de equilibrio que se reco-rren muy lentamente. Muy lentamente significa que en todo momento elsistema se puede considerar en equilibrio termodinmico. Es por ello queun proceso reversible se lo puede identificar por medio de una curva en ungrfico del espacio de estados de equilibrio.Para caracterizar un proceso irreversible denotaremos tambin los esta-dos termodinmicos del entorno del sistema. Digamos que existe unproceso termodinmico tal que el estado inicial del sistema de inters esAs ; mientras que el estado inicial del entorno es Ae . El proceso termo-dinmico es tal que el sistema de inters llega al estado Bs ; mientras queel entorno se encuentra finalmente en el estado Be . Siempre es posiblerealizar un proceso termodinmico que lleve al sistema de inters delestado Bs al estado inicial As ; diremos que el proceso inicial es irrever-sible si cuando llevamos al sistema al estado inicial el entorno no vuelvea su estado inicial Ae sino a otro estado termodinmico. O sea que parallevar al sistema al estado original uno es forzado a cambiar el estado delentorno desde su estado inicial.Un ejemplo de proceso irreversible puede ser la expansin adiabticalibre de un gas ideal como muestran las figuras 6.2 y 6.3.Este proceso parte de un estado inicial que no muestra equilibrio termo-dinmico; sin embargo, el sistema, con el correr del tiempo adquieredicho equilibrio. El estado final mostrado esquemticamente en la figu-ra 6.3 es un estado de equilibrio y vemos que no retornar por s solo alestado inicial.Adems notamos que en este proceso particular, nada cambia en el entorno,dado que no se ha hecho trabajo ni ha habido intercambio de calor.Es posible por medio de una sucesin de compresiones infinitesimaleslograr que el sistema vuelva al estado termodinmico inicial, donde slo

Segundo principio de la termodinmica

gas

gas

44 E n e r g a

ocupaba el compartimiento izquierdo y manteniendo la misma temperatura inicial;pero esto necesariamente ocasionar cambios en el entorno del sistema. Por lo que elproceso es irreversible.

Experimento de la expansin libre de Gay-Lussac y Joule

El experimento de Joule consiste en medir la temperatura en el estado inicial y final de la expan-sin adiabtica libre de un gas.Originalmente se observ que la temperatura no cambi en dicho experimento; que es lo quecorresponde al comportamiento de gases ideales. Experimentos con gases reales muestran peque-os apartamientos del comportamiento de gases ideales.

6.2. Procesos termodinmicos cclicos en diagramas P-V

Un proceso se dice cclico cuando regresa a algn estado inicial.Supongamos un proceso reversible cclico en un diagrama presin-volu-men. Como la energa interna es una funcin de estado, al recorrer unciclo, la energa interna no cambia. Por otro lado, dado que en una trans-formacin infinitesimal el trabajo W se puede expresar por P V , sededuce que si el ciclo es en sentido horario el trabajo W es el rea ence-rrada en el ciclo; mientras que si el ciclo tiene el sentido anti-horario, eltrabajo W es menos el rea encerrada en el ciclo (ver la figura 6.4).A los procesos cclicos se los suele llamar motores trmicos.Un motor trmico es entonces una mquina que repite sus estados con eltranscurso del tiempo, intercambiado calor con el entorno y produciendotrabajo (posiblemente negativo).La aplicacin del primer principio de la termodinmica implica el balan-ce entre el calor intercambiado y el trabajo producido en un procesocclico, como indica la figura 6.5.

6.3. Segunda ley de la termodinmica

Se usa indistintamente el nombre de segunda ley o segundo principio dela termodinmica. El segundo principio de la termodinmica restringean ms los procesos termodinmicos que pueden ocurrir en la natura-leza. Veremos varios enunciados del segundo principio.

6.3.1. Enunciado de Kelvin-Planck

L 6.1 Es imposible en un proceso cclico que el resultado sea el intercambio de calorcon un sol