Energía potencial y Conservación de la energía

1

Control inicial1. La friccion es un tipo de fuerza:

a) Conservativab) No conservativac) Potenciald) Cinetica

2. Las fuerzas conservativas:a) El trabajo realizado no depende de la trayectoria del cuerpob) El trabajo realizado depende de la trayectoria del cuerpo.c) Se disipa energia cuando se realiza el trabajo.d) Ninguna

3. El equilibrio es estable si:a) La energia potencial es minimab) La energia potencial es maximac) La energia potencial no es ni maxima ni minima, esta estacionariad) Ninguna

4. La ley de conservacion de la energia mecanica se cumplea) Solo para fuerzas conservativasb) Solo para fuerzas disipativasc) Para todas las fuerzasd) Ninguna

5. La energia mecanica se conserva quiere decir que:a) La suma total de energias cinetica y potencial en cualquier punto es constanteb) La suma de los cambios de energias cinetica y potencial es igual a ceroc) Si aumenta la energia cinetica disminuye la energia potencial por una fuerza restauradora.d) Todas las anteriorese) Ninguna de las anteriores 2

Esquema• Leyes de conservación

– Ley de conservación de la energía

• Fuerzas conservativas• Fuerzas no conservativas• Trabajo realizado por fuerzas conservativas

– Energía potencial gravitatoria• Trayectoria unidimensional• Trayettoria bidimensional

– Energía potencial elástica– Determinación de la energía potencial gravitatoria y elástica– Conservación de la energía mecánica (para fuerzas conservativas)

• Trabajo realizado por fuerzas no conservativas• Determinación de la fuerza a partir de la energía potencial

– Operador nabla– Diagramas de energía potencial– Equilibrio estable, neutro, inestable– Pozo de potencial

• Trabajo realizado en un sistema por una fuerza externa• Conservación de la energía

3

Leyes de conservacion• Las leyes de conservación son la consecuencia de una

simetría fundamental en la naturaleza.• Son importantes porque:

– Las leyes de conservación son independientes de los detalles de la trayectoria y, de las fuerza en particular.

– Las leyes de conservación pueden utilizarse aun cuando no se conozca la fuerza

– Las leyes de conservacion tienen una conexión íntima con la invarianza

– Sirven para obtener el movimiento de partíulas.• Los fisicos utilizan las leyes de cons. Más importantes una a una• Luego se trabaja con las ecuaciones diferenciales, metodos

variacionales y de perturbaciones, intuicion, etc.

4

Leyes de conservacion

• Ejemplos

• Ley de conservación de

– Energia

– Cantidad de movimiento

– Numero de bariones (protones, neutrones, particulas elementales mas pesadas)

– Carga

– Extrañeza

5

Fuerzas conservativas y no conservativas

Hay dos tipos de fuerzas

• conservativas (fuerza gravitatoria, fuerza

elastica de resorte)

•Todas las fuerzas microscopicas son conservativas:

Gravedad,

Electromagnetismo,

Fuerza nuclear debil,

Fuerza nuclear fuerte

• no conservativas (fricción, tensión)

Fuerzas macroscopicas son no -conservativas,

6

Fuerzas conservativas

Una fuerza conservativa es aquella en la que el trabajorealizado por un cuerpo para moverlo entre dos puntoses independiente de la trayetoria que se elija.

el trabajo realizado dependeúnicamente de ri y rf

)2()1( atrayectoriWatrayectoriW PQPQ

7

Si un cuerpo se mueve en un camino cerrado (ri = rf ) el trabajo total realizado es igual a cero.

0)2()1(

)2()1(

atrayectoriWatrayectoriW

atrayectoriWatrayectoriW

QPPQ

QPPQ

8

Fuerzas no conservativas o disipativas

Las fuerzas no conservativas disipan la

energia

El trabajo realizado depende de la trayectoria

)2()1( atrayectoriWatrayectoriW PQPQ

0)2()1(

)2()1(

atrayectoriWatrayectoriW

atrayectoriWatrayectoriW

QPPQ

QPPQ

9

Trabajo realizado por fuerzas conservativas

Energia potencial: es aquella energia asociada a la posicion de un cuerpo.

Ejemplo: Cuando se levanta una bola una ciertadistancia, la gravedad realiza un trabajo negativosobre la bola. Este trabajo puede recuperarse comoenergia cinética si se deja caer la bola. La energia“almacenada” en la bola es la energia potencial.

Wc = -DU =-[Ufinal – Uinicial]

Wc = trabajo realizado por una fuerzaconservativa

DU = cambio en la energia potencial

10

Energia potencial

• Veamos dos tipos de energia potencial

• Energia potencial gravitatoria, debida a la gravedad.

• Energia potencial elástica de un resorte

11

Energia Potencial Gravitatoria

La energia potencial gravitatoria

U = mg(y-y0) donde y = altura

U=0 en y=y0 (ej., la superficie de

la tierra)

El trabajo realizado por la gravedad:

Wg = -mg Dy = -mg (y- y0)

12

Energia potencial gravitacional para un movimiento en trayectoria curva

Conclusión: la expresión para determinar la energía potencial es la misma tanto para una trayectoria curva como recta.

13

Energia potencial elastica

Uf – Ui = - [Trabajo realizado por un

resorte sobre la masa]

La masa m inicia enx=0 (Ui =0) y se

mueve hasta que el resorte es deformado a

la posicion x.

Trabajoresorte = - ½ kx2

U(x) – 0 = - (-1/2 kx2)

Uresorte(x) = ½ kx2

x = desplazamiento respecto a la

posición de equilibrio

x

F=-kx

Area del triangulo

= - kx veces el incremento en x

= trabajo realizado por el resorte

14

La Energia mecanica E es la suma de las energias potencialy cinetica de un cuerpo.

E = U + K

La energia mecanica total en un sistema aislado de objetoses constante si los objetos intecturan solo con fuerzasconservativas:

E = constante

Ef = Ei Uf + Kf = Ui+ Ki

DU + DK = DE = 0

Energia mecanica (Fuerzas conservativas)

15

Ejemplo: Una bola de masa m se deja caer desde una altura h por

encima del piso, como se ve en la figura:

(A) Despreciando la resistencia del aire, determine la rapidez de

bola cuando esta a una altura y encima de piso.

2 2

2

1 1

2 2

10

2

2 ( )

f i

f f i i

f f i i

f

f

E E

U K U K

mgy mv mgy mv

mgy mv mgh

v mg h y

-

(B) Despreciando la resistencia del aire, determine la rapidez de

la bola cuando esta en el piso.

16

Ejemplo: Un bloque de 0.5 kg se utiliza para comprimir un

resorte que tiene una constante de 80.0 N/m, a una distancia de

2.0 cm. Despues se libera al resorte, que rapidez final tiene el

bloque?

2 2 2 2

2 2

2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

1 10 0

2 2

80 / (0.02 )0.25 /

0.5

f f i i

f f i i

f i

if

U K U K

kx mv kx mv

mv kx

kx N m mv m s

m kg

Solución

17

Ejemplo: Una particula de masa m = 5.00 kg es liberada desde un

punto A y se deliza sin friccion en el camino mostrado en la Figura.

Determine:

(a) La rapidez de la particula en el punto B y C y

(b) El trabajo neto hecho por la fuerza gravitacional para mover la

particula desde A hasta C.

18

2 2

2

2

1 1

2 2

15 9.8 3.20 5 5 9.8 5 0

2

156.8 2.5 245

245 156.85.94 /

2.5

B B A A

B B A A

B

B

B

U K U K

mgy mv mgy mv

v

v

v m s

-

(a) La rapidez de la particula en el punto B

Encuentre la rapidez de la particula en el punto C luego

encuentre el trabajo con la relacion

W U -D19

Trabajo realizado por fuerzas no conservativasLas fuerzas no conservativas cambian la cantidad de energia

mecanica de un sistema

0

0f i

nc

E

E E

E W

D

-

D

Wnc = trabajo realizado por una fuerza no

conservativa

20

Problema: Unos niños montado en un trineo con masa total de 50 kg se

deslizan cuesta abajo con una alturra de 0.46 m. Si el trineo arranca desde el

reposo y tiene una rapidez de 2.6 m/s al llegar abajo, ¿cuanta energia térmica se

pierde por la friccion(i.e. cual es el trabajo que realiza la fuerza de friccion)? Si

la inclinacion es de un angulo de 20° por encima de la horizontal ¿cuál era la

fuerza de fricción.

2 2

( ) ( )

1 1

2 2

f f i i nc

f f i i

U K U K W

mgh mv mgh mv Wnc

-

-

Ya que vi = 0, and hf =

0,

JW

mghmvW

nc

fnc

5646.08.9506.2502

1

2

11

2

--

-

21

La fuerza hecha por la fricci`0n se determina por

cos

5642

cos 1.24 cos180

fr

fr

W F d

WF N

d

-

22

Diagrama de energia

Equilibrio

Estable (U minima)

Inestable (U maxima)

Neutro (U constante)

Punto de retorno: energia cinetica K=0

28

29

Determinación de la fuerza a partir de la energia potencial

Para un pequeño desplazamiento, el trabajo realizado por una fuerza Fx es

x

UxF

UxxF

x

x

D

D-

D-D

)(

)(

dx

dUxFx -)(

Para tres dimensiones,

Uz

Uk

y

Uj

x

UiF -

- )ˆˆˆ(

30

Conservacion de la energia

• La energia ni se crea ni se destruye solo se transforma.

• La energia de un sistema aislado permanececonstante.

int

1 1 1 2 2 2

0erna

grav elas otras grav elas

K U U

K U U W K U U

D D D

31

Ejemplos adicionales

32

33

[1] Una fuerza F = (4xˆi + 3yˆj) N actua en un objeto que se

mueve en la direccion x desde el origen a x = 5.00 m.

Encuentre el trabajo realizado sobre el objeto por la fuerza.

Jx

dxxidxjyixdrFW

f

i

r

r

50)2

(4)4(ˆ).ˆ3ˆ4(.5

0

25

0

5

0

[2] Un objeto de 3.00 kg tiene una velocidad (6.00ˆi - 2.00ˆj) m/s.

(a) Cuanto es su energia cinetica en ese tiempo? (b) Encuentre el

trabajo total realizado en el objeto si su velocidad cambia a (8.00ˆi

+ 4.00ˆj) m/s.

JvvmKWb

JmvKa

vv

if

ii

fi

60)4080(2

3)(

2

1][

60)40)(3(2

1

2

1][

801664,40436

22

2

--D

33

34

[3] Un carrro de 1300 kg car viaja en 17.0 m cuesta arriba. Durante el viaje

actuan dos fuerzas no conservativas que realiza trabajo sobre el carro:

(i) La fuerza de friccion, y

(ii) La fuerza generada por el motor del carro.

El trabajo realizado por la friccion es –3.31 105 J;

El trabajo realizado por el motor es +6.34 105 J.

Encuentre el cambio de energia cinetica en el carro desde abajo hasta arriba en la

cuesta.

5 5

5 5 5

-3.31 10 6.34 10 1300 9.8 17

3.03 10 2.16 10 6.5 10

ncW k u

k

k J

D D

D

D -

34

35

Un carro de 1500 kg car acelera uniformemente desde el

reposo a una velocidad de 10 m/s en 3s. Encuentre (a) el

trabajo realizado sobre el carro en este tiempo, (b) la potencia

promedio entregada al motor en los primeros 3s.

2 21( )

2

11500 (100 0) 75000

2

f i

f i

W k k k

W m

W J

D -

-

-

750002500

3

WP wat

t

a)

b) Watt

35

36

[5] Cuando una masa de 4 kg se cuelga verticalmente en un

resorte ligero que cumple con la Ley de de Hooke, el resorte se

estira 2.5cm. Si se quita la masa de 4 kg, (a) cuanto se estira el

resorte si se cuelga una masa de 1.5kg, y (b) cuanto trabajo debe

realizar un agente externo para estirar el mismo resorte 4.0 cm

desde la posicion de equilibrio?

1568

0.9

mgF kx k N m

x

mgF kx x cm

k

-

- - -

a)

b)

J

mNmmN

kxkx

UW elas

25.1

)0)/1568(2

1)04.0()/1568(

2

1(

]2

1

2

1[

22

2

1

2

2

-

--

--

D-

36

37

[6] Una fuerza conservativa Fx = (2x + 4) N actua sobre una

particula de 5kg, donde x esta expresada en m. Al moverse una

particula en el eje x desde x = 1 m a x = 5 m, calcule (a) el trabajo

realizado por esta fuerza (b) el cambio en la energia potencial de la

particula, y (c) su energia cinetica en x = 5 m si su velocidad en x

=1m es de 3 m/s.

55

2

11

(2 4) 4 40W x dx x x J

40

W u

u J

-D

D -

40

W K

K J

D

D

c)

b)

a)

37

General Physics 1 ,ceL14nayelE .A.T /yB , 38

[7] Use la conservacion de la energia para determinar la velocidad

final de una masa de 5.0kg atada a una cuerda ligera, en una polea

sin friccion y atada a otra masa de 3.5 kg cuando la masa de 5.0

kg mass cae (iniciando desde el reposo) una distancia de 2.5 m

como se muestra en la figura

2 2

1 2 1 2

0

1 1

2 2

f f i i

E

k u k u

m m m gh m gh

D

Sustituya y encuentre v

38

39

[8] Un bloque de 5kg se pone en movimiento hacia arriba en un

plano inclinado como se ve en la Figura con una velocidad inicial

de 8 m/s. El bloque llega al reposo despues de viajar 3 m en el

plano, tal como se aprecia en el diagrama. El plano esta

inclinado en un angulo de 30° respecto a la horizontal. (a)

Determine el cambio de energia cinetica. (b) Determine el

cambio en energia potencial. (c) Determine la fuerza de friccion

en el bloque. (d) Cual es el coeficiente de friccion cinetica?

39

40

2

k

10

2

( ) ( )

f = mg cos30

f i

i

f i

f i

nc f i

f f i i

k k k

k m

u u u

u mgh mgh

W E E

fs k u k u

D -

D -

D -

D -

-

- -

a)

b)

c)

d)

40

41

[9] Un bloque con masa de 3 kg inicia a una altura h = 60 cm sobre

un plano con un angulo de inclinacion de 30°, como se muestra en la

Figura. Al llegar al fondo de la rampa, el bloque se desliza en una

superficie horizontal. Si el coeficiente de friccion en ambas

superficies es Uk = 0.20, que tan lejos el bloque se deslizara en la

superficie horizontal hasta llegar al reposo?

41

42

2

1

2

2

2

2

1( 0) (0 )2

1(0 0) ( 0)

2

1=

2

nc f i

f

i

i

W E E

fs mv mgh

fs mv

fs mv

-

- -

- -

-

Y encuentre v

Y encuentre s2

42

43

[10] Inicialmente un bloque se desliza a una velocidad de 1.7 m/s, a

1.7 kg block y colisiona con un resorte al cual comprime 0.35 m

antes de llegar al reposo. Cual es la constante de fuerza del resorte?

2 21 10 0

2 2

40.1 /

f i

resorte

E E

kx m

K N m

43