En nuestra vida cotidiana tenemos experiencia con relación o correspondencias de magnitudes....
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En nuestra vida cotidiana tenemos experiencia con relación o correspondencias de magnitudes .
Ejemplos :
• En un almacén , a cada producto le corresponde un precio.
• Para una temperatura expresada en º C le corresponde un equivalente en º F.
• A una profundidad determinada en un líquido le corresponde una presión hidrostática.
• Un gas encerrado en un recipiente tiene una presión especifica.
• El consumo de energía eléctrica se halla relacionado con el costo.
• EL crecimiento poblacional se halla relacionado con el tiempo.
• El cambio de rapidez en el movimiento de un móvil con respecto al tiempo.
• El decaimiento de una sustancia radiactiva en función del tiempo.
• El área de un circulo con el radio.
Funciones
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INTRODUCCIONINTRODUCCION. Tipo especial de relaciones entre elementos de dos . Tipo especial de relaciones entre elementos de dos conjuntos A y B , llamadas funciones de A en B.conjuntos A y B , llamadas funciones de A en B.Una función expresa la idea de una cantidad o magnitud que depende Una función expresa la idea de una cantidad o magnitud que depende de otra u otras , o que está determinada por esta (s). de otra u otras , o que está determinada por esta (s). Ejemplo. La longitud L de una circunferencia depende de su radio “r” Ejemplo. La longitud L de una circunferencia depende de su radio “r”
Se lee:Se lee:“ “ L es función de r. ” o “ L depende de r.”L es función de r. ” o “ L depende de r.”Ejemplo. El volumen V de un cilindro recto depende de su radio (r) y Ejemplo. El volumen V de un cilindro recto depende de su radio (r) y su altura (h).su altura (h).
Se lee:Se lee: “ “ V es función de r y h” o “V depende de r y h”V es función de r y h” o “V depende de r y h”
)(2 rfrL
h)(r, fh r 2 V
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Definición. Una función de A en B es una relación f С (A × B) que hace corresponder a cada elemento x del conjunto A a lo más con un elemento y del conjunto B , denotado por :
También se dice que f es una función definida en A y con valores en B , si a cada elemento x ε A le corresponde un único elemento y ε B
Piense en una función como en una máquina, una máquina de calcular . Ésta toma un número (la entrada) y le produce un resultado ( la salida) . A cada número en la entrada le corresponde un único número como salida, pero puede suceder que varios valores diferentes de entrada den el mismo valor de salida.
y= f (x) ε B
Función : f• ●A BEntrada Salida
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Al conjunto A se le llama conjunto de PARTIDA , y al conjunto B de LLEGADA.
Notación: f : A B
x y=f (x)
Se lee “ f es una función de A en B. ” o
“ f es una función definida en A y con valores en B.”
La notación y=f (x) se lee:
“ y es el valor de la función f evaluada en x. ” o
“ y es la imagen de x mediante f. ”
Además : y=f (x) es equivalente a ( x , f ( x ) ) ε G r (f).
G r (f) : Gráfico de la función
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Domino y Rango de una función
Dominio. Es el conjunto de todos sus primeras componentes o antecedentes de los pares ordenados de f y se le denota por:
Rango. Denominado también recorrido de la función f, al conjunto de las segundas componentes (imágenes o consecuentes) de todos los elementos Avía f ; y se le denota por:
A f(x)y /B ε y / Aεx D f Dom
o
A f ε y) ,x ( /B ε y / Aεx D f Dom
f
f
BByR f f(x)y / Ax /
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●
●
●
●
●
●
●
●●
f
Es una función
●
●
●
●
●
●
●
No es una función
●
●
●
●
●
●
●
●
Es una función
f
A B AA B
BA
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REGLA O LEY DE CORRESPONDENCIA
Es una expresión que permite calcular para cualquier
su correspondiente imagen en el conjunto de llegada
Por ejemplo : ( regla o ley de correspondencia )
al valor de x se le denomina variable independiente, y al valor
se le llama variable dependiente.
Más aún , una función está completamente determinada cuando se especifica su Dominio y Regla o Ley de correspondencia.
Algunos ejemplos más de reglas o leyes de correspondencia.
fDx
)(xfy
1)( 2 xxfy
)(xfy
2x siny 1-2x y x y 4)log(xy
2xy 1-xy e 3y 1-x
2 y
32
21-x
1
83x
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Ejemplo 1. Sea .
Si , entonces y
Ejemplo 2. a) Halle el valor de K para que la relación :
sea una función .
b) Escribe el rango o recorrido.
d , c , b, a B 4 , 3 , 2 , 1 A y
) b , 3 (, ) b, 2 ( , ) a1, ( f 4 , 3 , 2 , 1 f Dom
b , a R f
),(,) 1- k 2 4 1k 2 7, ( , ) k 5 , 2 ( , ) k , 4 ( R 2
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Resolución. Como no pueden existir dos pares ordenados diferentes con la misma primera componente ,para que R sea una función los pares ordenados deben ser iguales , de tal manera que :
a)
Remplazando , tenemos:
b)
Ejemplo3. Dado el conjunto de pares ordenados :
a) Halle los valores de a y b para que f sea una función.
b) Determine el dominio y el recorrido de f.
) 1-2k , 4 () k , 4 (
1k 1-2kk
3) , 7 ( , 5) , 2 ( , 1) , 4 ( f
5 , 3 , 1 R f
2)- , (-1, 2b)-a , (5 , ) a-2b , b -(a, ) ba , (-1 , 7) , 5 ( f 22
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Resolución. Por las consideraciones tomadas en el problema anterior: , entonces se forman
las siguientes ecuaciones :
Al resolver las ecuaciones se obtiene :
a)
Luego la función:
b)
) 2b-a , 5 () 7 , 5 ( y ) 2- , 1- (b)a , (-1
7 2b-a
2 - b a
-3b ; 1a
) 7- , 4 (, 2)- , 1- (, ) 7 , (5 f
,-7 2- , 7 R ; 4 , 1- , 5 Dom ff
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GRÁFICA DE UNA FUNCIÓNGRÁFICA DE UNA FUNCIÓN• Cuando los conjuntos de partida y de llegada A y B de una función f son
conjuntos de números reales, esta función es llama una FUNCIÓN (de valor) REAL DE UNA VARIABLE REAL.
• Una Función Real de una Variable Real es un conjunto de pares ordenados de números reales , y por lo tanto tiene una representación gráfica como conjunto de puntos en el plano (plano XY),
.
La variable (independiente) x se representa en el eje X (eje de abscisas) , mientras que la variable dependiente y=f (x) se representa en el eje Y (eje de ordenadas).
2R
f(x)y D x R /x R ) y,x ( f f ,
R R :f
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Aplicación de A BAplicación de A B a) Una aplicación es un caso particular de una función.
b) Una función f se llama aplicación de A en B si y sólo si Dom f =A.
c) Un subconjunto f C ( A x B) es una aplicación de A en B si y sólo si
Se lee para todo x perteneciente al conjunto A , existe un único elemento y perteneciente al conjunto B ,tal que y=f (x) Notación. f es una aplicación de A en B se denota por:
donde Dom f =A.
f y),(x ó (x) fy /B y , Ax
(x) f x o (x) fx
B f
Ao B A:f
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B
Ejemplo. El conjunto si es una función
de A en B , pues cada elemento x ε A tiene asignado un único
elemento y ε B. Asimismo , vemos que f es también una
aplicación de A en B, pues :
El Rango de la función es:
),4(,),3(,),2(,),1( abbaf
4 , 3 , 2 , 1 Af Dom
A
1
2
3
4
a
b
c
d
e
f
baR f ,
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Haga clic en las ecuaciones que están ubicadas en el recuadro de la derecha, las que Ud. considere que son funciones
¿Por qué algunas de las ecuaciones son Funciones?
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Reconocimiento de una función geométricamente.
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FUNCIÓN LINEAL FUNCIÓN LINEAL
Ecuación de la Recta.
) Horizontal Recta ( )(constante ky
) Vertical Recta ( )(constante kx
a)Segmentari o Canónica Ecuación ( b
y
a
x
) Pendiente Punto ( 0x-(x m 0y-y
)(implícita o Recta) la de general Ecuación ( 0cbyax
)(explícita o ) ónintersecci - Pendiente ( bmxy
1
))(
) Horizontal Recta ( )(constante ky
) Vertical Recta ( )(constante kx
a)Segmentari o Canónica Ecuación ( b
y
a
x
) Pendiente Punto ( 0x-(x m 0y-y
)(implícita o Recta) la de general Ecuación ( 0cbyax
)(explícita o ) ónintersecci - Pendiente ( bmxy
1
))(
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PENDIENTE DE UNA RECTAPENDIENTE DE UNA RECTA
21
21
12
12
x x
y y
x x
y y tg m
x
y
●
●
B
.A
1x 2x
2y
1y
12 x x
12 y y
d
(b)
(a) -mpendiente
0cbyax :recta En
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Distancia entre dos puntos de una Recta (d).
Distancia de un Punto a una Recta.
22 )() 1212 y y x (xd
22
11
b a
c y b x a d
)11 y , (x P ● L
d
Ecuación general de la recta L : a x+ b y+c = 0
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Ángulo entre dos Rectas ( ) .
1 2
1L 2L
12
11 tg m
2 tg m 2
21
12
21
12
m m1
m m
tg tg 1
tg tgtg
x
)( m m1
m m tg
12
121-
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Si las rectas son paralelas:
1 2
x
1L 2L
21
12
21o
1
m m
m m 1
m m 0 tg tg
0
2
Si las rectas son perpendiculares:
x
1L 2L
2 1
o90 o901 2
10
1m 2m 1m 2m1
:entonces ; existe no
1m 2m1
1m 2m 90 tg
o
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Proporcionalidad entre segmentos en una Recta.
A
B
P
),( 11 y x
),( 22 y x
),( y x
P ε al segmento AB y además AP=r PB.
C D
0 r ;r PB
AP
Además utilizando la semejanza de triángulos rectángulos entre
ACP y PEB :
E
r x x
x-x
PB
AP
x x
PB
x-x
AP
2
1
21
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Despejando x :
1r
x xr x 12
De la misma manera con y :
1r
y yr y 12
Si r = 1 , encontramos que las coordenadas de P , corresponden a :
2
x x x 12
2
y y y 12
Por lo tanto: P es punto medio.
;
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PROBLEMAS1.Determine el valor de la pendiente de la recta que
contiene a los puntos dados.
i) (2 , 3 ) y ( 4 , 8 ) ii) ( 2 , -4 ) y ( 0 , -8 ).
Resolución.
2 2 -
4
) 2 ( -) 0 (
4)- ( -) -8m
,-8) 0 2
y2
(x ; ) ,-4 2 1
y1
(x ii)
2.5 2
5
2-4
3-8m
) 8 , 4 2
y 2
(x ; ) 3 , 2 1
y 1
(x 1
x 2
x1
y 2
ym Pendiente i)
(
(),(),
(),(),
:
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2. Halle la ecuación para cada recta . Escribe después
su respuesta en la forma A x+B y+C=0.
i) Pasa por (2,3) con pendiente 4.
ii) Con ordenada al origen 5 y pendiente 0.
iii) Pasa por (2,-3) y (2,5).
Resolución.
(Canónica) 5-
y
4
5x
implícita) (Forma 05-y-4x
explícita) (Forma 5-4xy
2)-(x 43-y
x -x ( m y-y
entonces , 4m 3 2, y (x : Pendiente-Punto i)
00
00
1
)
)(),
y
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ii) Se conoce la pendiente: m = 0 y b =5 , y la forma de
la recta , entonces : , que es la
ecuación de una recta horizontal.
Se pide expresarla en la forma: .
También se puede usar la forma punto pendiente:
Considerando:
)00 x-(x m y-y
bx my 50x y
051y0x
5y
implícita) forma ( 051y0x
explícita) forma ( 5x 0y
0)-(x 05)-y (
: entonces , 0m y 5) , 0 y x ( 0 0
(),
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x
y iii)
) 5 , 2 (
) 3- , 2 (
5
3-
0 2
1
90º
1-
2-
1
2
3
4
2x : es , L recta la de ecuación La
existe notg90ºPendiente
L
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.
Y = f (x) = a x2 + b x + c ; a , b y c ε Reales y a≠0.
Completando cuadrados : y = a ( x- h )2 + k , donde
( h , k ) corresponden a las coordenadas del vértice
de la parábola.
:
Corta al eje x en dos puntos
(dos raíces reales y diferentes)
La ecuación del eje de simetría
(recta vertical) , corresponde a :
x
y
Eje de Simetría
x=h
FUNCIÓN CUADRÁTICA
V : (h ,k)
V =Vértice
x1 x2
Las raíces son x1 y x2.
parábola
El valor mínimo de la función:
También :
Ymin= k
a > 0 = b2- 4 a c > 0
V
h =- (b)/(2a) = ( x1+x2 )/2 ; k = f (h).
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ii) = b2- 4 a c=0 , la parábola corta al eje x en un
punto (dos raíces reales e iguales).
x
y
X =h
iii) =b2-4 a c < 0 , la parábola no corta al eje x.
x
y
Existen dos raíces complejas y conjugadas
No existen soluciones reales
ntediscrimina
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FUNCIÓN CONSTANTE
Sea la recta de ecuación : .Si se
considera , su gráfica es :
0B y 0CByAx
K BC
- y :entonces , 0A
x
yy=k
Dominio : Reales
Rango : { k }
L
0 (B)(0)
- mPendiente
Recta Horizontal
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k
90º
Si en la ecuación se considera :
su gráfica es:
0A y 0CByAx
k A C
-x : entonces , 0B
x
y x=k : Recta Vertical.
No es una función.
L
existe No90º Tg
existe No (0)(A)
-mPendiente
Dominio : { k }
Rango : Reales
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FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
+x
+y
0 x si , (x) -
0x si , 0
0x si , (x)
x
2(x) x : También
, 0 : Rango
Reales : Dominio
x y
Simetría con respecto al eje y (recta: x=0)
(0 ,0)
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FUNCIÓN EXPONENCIAL
+x
+y
y = ax
, 0 : Rango
Reales : Dominio
1 a y 0 a
y = ax
1 a 0 1 a
+x
+y
(0 ,1) (0 ,1)
Las Gráficas no cortan al eje x
Decreciente Creciente
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FUNCIÓN LOGARITMO
+x +x
+y +y
(1,0)
b > 1
(1,0)
0< b <1
1 b y o b ; 0 x
xlogy b
y - : Rango
x 0 : Dominio
Creciente
Decreciente
![Page 34: En nuestra vida cotidiana tenemos experiencia con relación o correspondencias de magnitudes. Ejemplos : En un almacén, a cada producto le corresponde un.](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022050804/54f96b484a795996568b4b83/html5/thumbnails/34.jpg)
FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA
+x
+y
0 x ; x y
(0,0)
, 0 : Rango
, 0 : Dominio
Creciente
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FUNCIÓN RECÍPROCA
+x
+y
0 -R : Rango
0 -R :Dominio x1
y
El nombre de la gráfica es hipérbola equilátera.
No corta al eje x e y.
Simetría con respecto al origen : Función impar
(0,0) Decreciente.
Decreciente.
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1086420-2-4-6-8-10
6
4
2
0
-2
-4
-6
1086420-2-4-6-8-10
6
4
2
0
-2
-4
-6
1086420-2-4-6-8-10
6
4
2
0
-2
-4
-6
1086420-2-4-6-8-10
6
4
2
0
-2
-4
-6
1086420-2-4-6-8-10
6
4
2
0
-2
-4
-6
1086420-2-4-6-8-10
6
4
2
0
-2
-4
-6
1086420-2-4-6-8-10
6
4
2
0
-2
-4
-6
1086420-2-4-6-8-10
6
4
2
0
-2
-4
-6
FUNCIÓN : Y=(2/X) .
D0MINIO : R - {0}.
RANGO: R - {0}.
NO CORTA AL EJE X e Y.
SIMETRÍA RESPECTO
AL ORIGEN : FUNCIÓN IMPAR.
SIEMPRE DECRECIENTE.
FUNCIÓN : Y=(2/X) .
D0MINIO : R - {0}.
RANGO: R - {0}.
NO CORTA AL EJE X e Y.
SIMETRÍA RESPECTO
AL ORIGEN : FUNCIÓN IMPAR.
SIEMPRE DECRECIENTE.
+X
+Y
HIPÉRBOLA EQUILÁTERA
I
III
I y III : CUADRANTES
X=0 : Asíntota Vertical.
Y=0 : Asíntota Horizontal.
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FUNCIÓN IDENTIDAD
Dominio: Reales.
Rango : Reales.
Simetría con respecto al origen (Función Impar).
Bisectriz de los cuadrantes
l y lll .
Función Creciente. y=x
Siempre pasa por el punto ( 0,0)
l
lll l y lll :Cuadrantes
Ejemplo
Dominio:[-8,8]
Rango :[-8,8]
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FUNCIÓN CÚBICA
Dominio : Reales.
Rango: Reales.
Función Creciente.
Simetría con respecto
al origen (función impar).
Pasa por (0,0).
Dominio : Reales.
Rango: Reales.
Función Creciente.
Simetría con respecto
al origen (función impar).
Pasa por (0,0).
y=x3
Ejemplo
Dominio:[-3,3]
Rango : [-27,27]
I
III
I y III: Cuadrantes
![Page 39: En nuestra vida cotidiana tenemos experiencia con relación o correspondencias de magnitudes. Ejemplos : En un almacén, a cada producto le corresponde un.](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022050804/54f96b484a795996568b4b83/html5/thumbnails/39.jpg)
FUNCIONES RACIONALES
Es una función de la forma : donde P y Q
son funciones polinomiales y Q no es el polinomio cero. El dominio de una función racional está constituido por todos los números reales excepto aquellos donde el denominador Q es cero.
Ejemplos :
Q(X)P(X)
R(x) Q(X)P(X)
R(x)
1 xx
h) 65x x
3x g)
3)(x1) (x 1) (x
f)
4)-(x x3)-(x 2)(x 1)-(x
e) 9) (x 1)(x
4-d)
1 xx 3x
c) 4 x
x b)
5x 4 2x
a)
4
2
22
23
22
3
24
2
2
1 xx
h) 65x x
3x g)
3)(x1) (x 1) (x
f)
4)-(x x3)-(x 2)(x 1)-(x
e) 9) (x 1)(x
4-d)
1 xx 3x
c) 4 x
x b)
5x 4 2x
a)
4
2
22
23
22
3
24
2
2
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Ejemplo. Graficar .
Operaciones: Función racional propia
1 xx
) (x f y 2
Igualando el denominador a cero:
x2 -1 = 0 , entonces:
x = 1 y x = -1.
Dominio: R - { -1 , 1 }
Rango: Reales.
Función Decreciente.
Asíntota vertical :
x =-1 y x= 1.
Asíntota horizontal: y = 0.
Simetría con respecto al origen (si se cambia x por – x : f (- x ) = - f ( x ) ).
Igualando el denominador a cero:
x2 -1 = 0 , entonces:
x = 1 y x = -1.
Dominio: R - { -1 , 1 }
Rango: Reales.
Función Decreciente.
Asíntota vertical :
x =-1 y x= 1.
Asíntota horizontal: y = 0.
Simetría con respecto al origen (si se cambia x por – x : f (- x ) = - f ( x ) ).
Decreciente
Decreciente
Ejemplo
Decre
cie
nte
y=0
x=-1
x=1
Decre
cie
nte
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Ejemplo. Graficar .
Al dividir obtenemos :
1-x2x
y
e.Decrecient Función
. 2 -R : Rango
. 1 -R : Dominio
vertical. asíntota : 1x
y horizontal asíntota : 2y
donde , 1-x
22
1-x
2xf(x) y
Decreciente
Decrecientex=1
y=2
![Page 42: En nuestra vida cotidiana tenemos experiencia con relación o correspondencias de magnitudes. Ejemplos : En un almacén, a cada producto le corresponde un.](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022050804/54f96b484a795996568b4b83/html5/thumbnails/42.jpg)
Ejemplo. Graficar: .
Operaciones: Es una función racional impropia.
1xx
f(x)y 2
0 , 1- 1- , 2- de eDecrecient
, 0 2- , - de Creciente
). ,0 (0 origen el por Pasa
y. eje al respecto con ni origen al
respecto con simetría hay No
. , 0 4- , - :Rango
1- -Reales ó
. , 1 1- , - :Dominio
1. -x :vertical Asíntota
. 1-xy : oblicua Asíntota
1)(x
11)-(x
1x
2x f(x)y
y=
x-1
x=-1
Decre
cie
nte
Creci
ente
Creci
ente
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Aplicaciones1. Se presenta la siguiente tabla para el movimiento de un
proyectil que se lanza verticalmente hacia arriba.
t (s) v (m/s)
0 30
1 20
2 10
3 0
4 10
5 20
6 30
Gráfico : rapidez vs tiempo
t 10 - 30 v
6 t 0
(m/s) V
) s ( t
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2. Se presenta la siguiente tabla para el movimiento de un proyectil que se lanza verticalmente hacia arriba.
t (s) v (m/s)
0 30
1 20
2 10
3 0
4 -10
5 -20
6 -30
Gráfico : Velocidad vs Tiempo
V
t
6 t 0 t10 - 30 V
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3. Mitosis ( división celular en el cuerpo humano ).
t ( min ) P
0 1
1 2
2 4
3 8
4 16
5 32
6 64
Gráfico : Población vs Tiempo.
P
t
0 t ; 2 P t
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4. La vida media del berilio 11 es de 14 segundos. Digamos que Ud
comenzó con 16 g . Espere 14 segundos y le quedarán 8 g ; el resto
se habrá desintegrado en Boro 11. Espere otros 14 segundos y le
quedarán 4 g y así sucesivamente ( ver tabla )
t M
0 16
14 8
28 4
42 2
56 1
70 0.5
84 0.25
) g ( M
t ( s )
Gráfico : Masa vs Tiempo.
e M 3.45 t 0.0495-
0 t ; 0 M
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5. Determine una expresión que nos permita convertir de ºC a ºK y
viceversa ( relación entre º C Y º K ).
º C º K
0 273
100 373
Gráfico: ºk vs º C
ºC
ºk
273 C º k º
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Cálculo de la pendiente : x - x
y - y m
12
12
C º 1K º 1
C º 0 - Cº 100K º 273 -K º 373
m
Si la temperatura cambia un grado en la escala Celsius , entonces en la escala Kelvin cambiará también un grado.
Se conoce al menos un punto y la pendiente : , entonces:
)x - x ( m y - y 00
) 0y , 0x ( ) 273 , 0 (
) 0 - Cº ( 1 273-K º
273 C º k º
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Tabla de Demanda y Curva de Demanda.
6. La tabla muestra las cantidades demandadas de un bien para cada precio diferente.
P
C
6 C 0.5- P
Cantidad Precio
10 1
8 2
6 3
4 4
2 5
La curva de demanda representa gráficamente la relación entre cantidad demandada de un bien y su precio.
Gráfico : Precio vs Cantidad
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LEY DEL ENFRIAMIENTO DE NEWTON
Establece que la temperatura de un objeto caliente disminuye en forma exponencial con el tiempo hacia la temperatura del medio ambiente , mediante la siguiente expresión :
e ) T - u ( T u k t 0
) ... 82.71828182 e ( neperianos logaritmos de Base : e
. u atemperatur tenga caliente objeto el que para Tiempo : t
negativo. real Número :K
) 0 t ( caliente objeto del inicial aTemperatur : u
. t instante el en caliente objeto del aTemperatur : u
0
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7. Un objeto caliente a 100°C se deja enfriar en un cuarto
cuya temperatura del aire es de 30°C. Si la temperatura
del objeto es de 80°C después de 5 minutos , ¿ en qué
momento llegará a 50° C .
Resolución . e ) T - u ( T u k t0
?? t ; C50 u
;min 5 t ; C80 u
; C30 T ; C100 u 0
Datos :
e 7
5
e ) 30 - 100 ( 30 80 :k de Cálculo
5k
5k
![Page 52: En nuestra vida cotidiana tenemos experiencia con relación o correspondencias de magnitudes. Ejemplos : En un almacén, a cada producto le corresponde un.](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022050804/54f96b484a795996568b4b83/html5/thumbnails/52.jpg)
75
ln 51
k
eln 5k 75
ln
eln 75
ln
: miembros ambosen e baseen logaritmos Tomando
5k
0.0673- k
e 72
e ) 30- 100 ( 30 50
. C 50 T para t de Cálculo
t 0.0673 -
t 0.0673 -
![Page 53: En nuestra vida cotidiana tenemos experiencia con relación o correspondencias de magnitudes. Ejemplos : En un almacén, a cada producto le corresponde un.](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022050804/54f96b484a795996568b4b83/html5/thumbnails/53.jpg)
e ln ) t 0.0673 -72
ln
e ln 72
ln
: miembros ambos en e base de logaritmos Tomando
t 0.0673-
(
minutos 18.6 t
Llegará a la temperatura de 50ºC después de 18.6 minutos aproximadamente.
Se puede utilizar un programa o la GDC para comprobar lo desarrollado anteriormente.
![Page 54: En nuestra vida cotidiana tenemos experiencia con relación o correspondencias de magnitudes. Ejemplos : En un almacén, a cada producto le corresponde un.](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022050804/54f96b484a795996568b4b83/html5/thumbnails/54.jpg)
Química : El pH de una solución química está dado aproximadamente por la fórmula:
H log - pH
donde es la concentración de iones de hidrógeno en moles por litro . Los valores de pH varían de 0 (ácido) a 14 alcalino.
H
8. a) Determine el pH del agua en un recipiente de1litro , con 0.0000001 moles de iones de hidrógeno.
b) Determine la concentración de iones de hidrógeno en una solución semiácida con un pH 4.2.
Resolución. H log - pH a)
10 log 7 PH
) 10 ( log - pH -7
7 pH
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H 10 H log - 4.2
H log - pH b)
4.2 -
litropor moles 0.0000631 H
Magnitud de un terremoto en la Escala de Richter
Es una forma de convertir las lecturas sismográficas en números que proporcionen una referencia sencilla para medir la magnitud M de un terremoto. La escala que se utiliza es logarítmica. Todos los terremotos se comparan con un terremoto de nivel cero cuya lectura sismográfica mide 0.001mm a una distancia de 100 Km del epicentro. Un terremoto cuya lectura sismográfica mide x mm tiene una magnitud M (x) dada por :
) x x
( log ) x ( M 0
x0 =10-3 mm , lectura de terremoto de nivel cero a 100 km de distancia
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9. ¿Cuál es la magnitud de un terremoto cuya lectura sismográfica es 0.01mm a una distancia de 100 km del epicentro?.
Resolución. X = 0.1 mm , x0 = 0.001 mm , M ( x= 0.1 ) = ??
) 10 ( log ) 0.1 ( M
) 10
10 ( log )
0.001 0.1
( log ) 0.1 ( M
) x x
( log ) x ( M
2
3-
1-0
2 ) 0.1 ( M
El terremoto mide 2.0 en la escala Richter y es 100 veces más intenso que el de nivel cero.
![Page 57: En nuestra vida cotidiana tenemos experiencia con relación o correspondencias de magnitudes. Ejemplos : En un almacén, a cada producto le corresponde un.](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022050804/54f96b484a795996568b4b83/html5/thumbnails/57.jpg)
10. El devastador terremoto de San Francisco en 1906 midió 8.9 en la escala Richter .¿ Cómo se compara ese terremoto con el de Papúa , Nueva Guinea 1988 , midió 6.7 en la misma escala.
Rp. El terremoto de San Francisco fue 182 veces más intenso que el terremoto de Papúa , Nueva Guinea.
![Page 58: En nuestra vida cotidiana tenemos experiencia con relación o correspondencias de magnitudes. Ejemplos : En un almacén, a cada producto le corresponde un.](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022050804/54f96b484a795996568b4b83/html5/thumbnails/58.jpg)
76543210-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
14
12
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
76543210-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
14
12
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
76543210-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
14
12
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
76543210-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
14
12
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
y
x
Recta y=2x+5 : abscisa al origen -2.5 , ordenada al origen 5
y pendiente: m = 2
B
A
B=(0 , 5)
A=(-2.5 , 0)
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x
y
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
5
6
7
Y=2X+5
Gráfico de la recta : y = 2x +5
x
y
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
5
6
7
Y=2X+5
Gráfico de la recta : y = 2x +5