EMMY NOETHER: DE L'LGEBRA NOCOMMUTATIVA A LA TEORIA DE NOMBRES

PILAR BAYER

Resum. Els treballs d'Emmy Noether en lgebra no commutati-va constitueixen la darrera etapa de la seva producci. Resultatsremarcables obtinguts en aquest perode foren el clcul del grupde Brauer d'un cos local i del grup de Brauer d'un cos global, ques'aconseguiren al mateix temps que diversos teoremes de la teo-ria de cossos de classes. La participaci de Noether en aquestesdescobertes i, molt especialment, en les tcniques inherents a lesseves demostracions exerc una notable inuncia en el desenvo-lupament posterior de la cohomologia de grups i en la formulacicohomolgica de la teoria de cossos de classes.

Emmy Noether (18821935)

Ats que aquesta s l'ltima conferncia del curs Noether, far un breuresum de la trajectria matemtica d'Emmy Noether, abans d'entrara parlar de les seves recerques en lgebra no commutativa, que corres-ponen a la darrera etapa de la seva producci.

Nascuda a Erlangen (Baviera, Alemanya), el 23 de mar de l'any 1882,Emmy Noether era lla de Max Noether, tamb matemtic. Es doctorals 25 anys a la Universitat d'Erlangen sota la direcci de Paul Gor-dan, un dels especialistes de l'poca en teoria d'invariants. Del 1907 al1915 treball a l'Institut de Matemtiques d'Erlangen, instituci de laqual el seu pare tamb n'era professor i al qual ella suplia en algunade les classes. L'any 1915 s'incorpor a la Universitat de Gttingen, ainstncies de F.Klein i de D.Hilbert. El 1919, quan comptava 37 anys,esdevingu la primera dona matemtica habilitada per la Universitatde Gttingen; el tribunal estava format per Klein, Hilbert, Courant,Landau i Debye. Li fou concedida la venia legendi amb el ttol de Pri-vatdozent, crrec que li permetia impartir docncia a l'alumnat que ho

169

170 PILAR BAYER

sollicits. L'any 1922 fou nomenada Nichtbeamter ausserordentlicherProfessor (s a dir, professor extraordinari no funcionari).

Les seves classes solien tractar temes de la seva prpia recerca, enels quals estava treballant. Aquest fet dotava les seves llions d'uncarcter poc metdic, per viu i participatiu per part dels estudiants(que, sovint, n'editaven apunts). Durant el semestre d'hivern de l'any1928 fou convidada a impartir un curs d'lgebra a la Universitat deMoscou. L'any 1932 fou la primera dona matemtica en presentar unaconferncia plenria en un International Congress of Mathematicians(ICM), celebrat aquell any a Zrich. L'any 1933, i desprs de l'arribadadels nazis al poder, hagu d'emigrar als EUA per la seva condici dejueva. A Amrica la trobem com a professora del Bryn Mawr College,de Pennsylvania. Mor l'any 1935, a l'edat de 53 anys.

Emmy Noether

Sota el mestratge de Klein i de Hilbert, la Universitat de Gtingens'havia convertit en un pol d'atracci per a estudiants de matemtiquesd'arreu. Crida l'atenci la quantitat d'aquests que hi feien estades (jafossin predoctorals o postdoctorals), becats pels seus propis governs, abanda de nombrosos professors visitants. De 1890 a 1920, Klein haviadirigt 27 tesis a Gttingen i, de 1898 a 1934, Hilbert n'hi dirig 74.

LGEBRA NO COMMUTATIVA 171

Entre els matemtics que collaboraren amb Emmy Noether arran delseu pas per Gtingen, esmentarem H.Weyl (18851955), E.Artin (18981962), H.Hasse (18981979), W.Krull (18991971), R.Brauer (19011977), B. van der Waerden (19031996), G.Kthe (19051989), OlgaTaussky (19061995), A.Weil (19061998), M.Deuring (19071984),J. Herbrand (19081931) i E.Witt (19111991).

Artin feu estades a Gttingen els anys 19211922 i mantingu desprsun contacte permanent amb Noether.

Hasse hi feu una estada predoctoral l'any 1920 i en fou professor durantels anys 1934 al 1939, com a successor de Weyl. Tal com veurem,mantingu durant molts anys correspondncia matemtica amb EmmyNoether.

Van der Waerden hi feu una estada postdoctoral l'any 1924, becatper la fundaci Rockefeller, i una altra l'any 1928, com a professorvisitant. A banda, com s ben conegut, a partir dels cursos de Noetheri dels d'Artin escriuria el seu fams text Moderne Algebra, editat endos volums els anys 1930 i 1931, i que encara es continua reeditant.

Kthe fou alumne de Gttingen l'any 1928. Posteriorment no es dedica l'lgebra, sin que ho feu a l'anlisi funcional.

Krull estudi a Gttingen en el decurs dels anys 19201921, en el semi-nari de Klein. Noether exerc una gran inuncia en l'obra de Krullsobre la teoria d'ideals i mantigu amb ell una amistat durant tota lavida.

Olga Taussky, quan ja era doctora, hi fou contractada en els anys 19311932, amb l'encrrec especc de revisar i preparar l'edici de les obresde Hilbert.

Weil visit Gttigen l'any 1927, com a alumne predoctoral, i hi tornl'any 1931, ja com a doctor. Herbrand i Deuring hi sn l'any 1931 iWitt, l'any 1934.

Deuring i Witt formen part dels 13 estudiants a qui Noether dirig latesi, entre els quals hi trobem H.Fitting, C.Tsen i O. Schilling. Fittings conegut per les seves recerques en grups nits. Schilling fou un delsdifusors de la teoria de valoracions. De Tsen es recorda especialmentel teorema fonamental de la seva tesi (llegida l'any 1936, cf. [20]) sobre

172 PILAR BAYER

el carcter quasi-algebraicament tancat dels cossos de funcions en unavariable sobre un cos algebraicament tancat. Aquest mateix resultat esretroba anys desprs en la tesi de S. Lang, llegida el 1951 i publicadael 1952, i que fou dirigida per E.Artin (cf. [11]).

Weyl, que prviament havia fet la tesi a Gttingen sota la direcci deHilbert, fou el successor d'aquest. Fou professor de la Universitat deGttingen durant els anys 1930 al 1933. Desprs tornaria a coincidiramb Noether als EUA, quan Weyl era professor a l'Institut d'EstudisAvanats de Princeton i Noether era professora del Bryn Mawr Collegede Pennsylvania.

Noether s una gura fora propera, doncs dels matemtics abans es-mentats encara he tingut la sort de conixer personalment Witt (a Bar-celona), Deuring (a Regensburg) i Olga Taussky i Hasse (a Oberwol-fach).

Hasse havia tingut dos directors de tesi: K.Hensel i E.Hecke. Del pri-mer, que era el creador dels nombres p-dics, recordo que li agradavarememorar que havia aprs a valorar la bellesa de les matemtiques (encanvi, del segon l'espantaven les frmules). En la seva tesi demostrla validesa del principi local-global per a la classicaci i la represen-taci de nombres per formes quadrtiques denides sobre cossos denombres. La seves recerques generalitzaven resultats previs, deguts aH.Minkowski, per a formes quadrtiques denides sobre el cos dels ra-cionals (i obtinguts mitjanant congruncies, sense l's dels nombresp-dics).

Les cartes de Hasse a Noether s'han perdut, per no aix les de Noethera Hasse. Les cartes del perode 19251935 han estat editades recent-ment per P.Roquette (a qui Hasse dirig la tesi) i per F. Lemmermeyer(a qui Roquette dirig la tesi). Aquestes cartes, d'un alt contingut ma-temtic i que posen de manifest la infatigable energia de Noether, espresenten en l'edici [12] acompanyades de comentaris molt precisos.En elles s'hi troben allusions de Noether a estudiants que feien estadesa Gtingen, com ara Herbrand o Weil.

LGEBRA NO COMMUTATIVA 173

E.Artin (18981962); H.Hasse (18981979) R.Brauer (19011977)

B. van der Waerden (19031996) G.Kthe (19051989)

174 PILAR BAYER

W.Krull (18991971) O.Taussky (19061995)

A.Weil (19061998) J.Herbrand (19081931)

LGEBRA NO COMMUTATIVA 175

M.Deuring (19071984) E.Witt (19111991)

H.Weyl (18851955) T.Takagi (18751960)

176 PILAR BAYER

ndex

Emmy Noether (18821935) 169

1. Resum de la producci de Noether 176

2. lgebra no commutativa 178

3. La teoria de cossos de classes 183

4. Cursos de Noether a Gttingen 188

5. Treballs de Noether en lgebra no commutativa 189

6. L'estada a Bryn Mawr 198

Referncies 201

1. Resum de la producci de Noether

D'acord amb Hermann Weyl, en la producci de Noether s'hi distin-geixen tres etapes:

En la primera etapa, del 1908 al 1919, el seu inters se centra en lateoria d'invariants, el problema invers de la teoria de Galois i el clculde variacions.

A aquesta etapa pertanyen els treballs segents:

Noether, E.: ber die Bildung des Formensystems der ternren bi-quadratischen Formen. J. reine u. angew.Math. 134 (1908), 2390.

Aquesta extensa publicaci cont la seva tesi. Gordan, el seu director,havia obtingut un sistema complet format per 54 invariants per a laforma qurtica particular X31X2 + X

32X3 + X

33X1. Ella proporciona

un sistema complet d'invariants per a qualsevol forma qurtica en tresvariables. Noether calcula sistemes complets d'invariants que contenenms de 300 frmules. (Del seu director de tesi, Noether deia: Er war einAlgorithmiker.) Indirectament, s possible que el seu inters posteriorper la recerca d'estructures algebraiques i per principis generals fosmotivat per l'esfor de clcul tan extraordinari que l'elaboraci de latesi li va reportar.

LGEBRA NO COMMUTATIVA 177

Noether, E.: Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe. Math.Ann.78 (1918), 221229.

Aquest treball don lloc a l'anomenat problema de Noether, en el con-text del problema invers de la teoria de Galois. Donat un grup nit Gque opera en una extensi transcendent pura k(X1, . . . , Xn)/k, es trac-ta de trobar condicions sobre G que permetin armar que l'extensiproporcionada pel cos d'invariants k(X1, . . . , Xn)G/k s, tamb, trans-cendent pura. Noether demostr que aix s aix per a n 4. L'any1969, R.G. Swan trob un contraexemple per a n = 47 i G un grupcclic d'aquest ordre. El problema de Noether s encara avui motiud'una intensa recerca (cf. [10]).

Noether, E.: Invariante Variationsprobleme. (Vorgelegt von F.Klein.)Nachr. v. d.Gesellsch. d.Wiss. zu Gttingen, 1918, 235257.

Aquest treball fou pre