La madre del lgebra moderna

Emmy Amalie Noether

1. Introduccin

El siglo XIX merece ser llamado ms que ningn otro periodo anterior, la edad de Oro de la Matemtica.

En lgebra hay que tener en cuenta los trabajos de Abel y Galois sobre la resolucin de ecuaciones

algebraicas en radicales. Ellos promovieron a un primer lugar en el lgebra una serie de conceptos

generales muy abstractos, entre los cuales merece el primer lugar el concepto de grupo, dando lugar

al nacimiento del lgebra Moderna. El lgebra Moderna es un campo extraordinariamente amplio y

ramicado en el que se recogen un gran nmero de disciplinas cientcas e independientes, cuyo objeto

comn son las operaciones algebraicas, las cuales representan abstracciones lejanas de las operaciones

del lgebra elemental.

Teora General de las Ecuaciones algebraicas

Este fue el problema fundamental del lgebra durante el siglo XIX, entendindose como la bsqueda de

las races de la ecuacin con ayuda de operaciones racionales y la operacin de la extraccin de la raz.

Tengamos en cuenta los trabajos de K.F. Gauss, N.H. Abel y E. Galois, relativos a la demostracin de

la no resolubilidad en radicales de las ecuaciones de grado mayor que cinco y la creacin de

la teora de Galois.

Karl Friedrich Gauss hizo sus primeros descubrimientos en lgebra siendo muy joven, advirtiendo ya en

1796 la relacin entre la bsqueda de races de la ecuacin xn 1 = 0 y la divisin de la circunferenciaen partes iguales. Tres aos ms tarde demostraba el teorema fundamental del lgebra, dando en 1815,

1816 y 1849 tres nuevas demostraciones. Para la demostracin de este teorema necesit construir los

campos de desarrollo de los polinomios.

El objeto fundamental de las investigaciones de Evaristo Galois, fue el determinar cuando son resolubles

mediante radicales las ecuaciones polinmicas. El aparato algebraico introducido tuvo, sin embargo,

una signicacin que sala de los marcos del problema indicado. Su idea del estudio de la estructura

de los campos algebraicos y la comparacin con ellos de la estructura de los grupos de un nmero

nito de sustituciones, fue la base fructfera del lgebra Moderna. La teora actual de Galois, se ha

convertido en una disciplina matemtica compleja y ramicada, que incluye un amplio material sobre

las relaciones entre las propiedades de las ecuaciones, los nmeros algebraicos y los grupos.

Teora de Grupos

Galois y Runi introdujeron de forma independiente el concepto de grupo. Los resultados de la teora

de grupo jugaron un papel auxiliar, especialmente en la teora de las ecuaciones algebraicas, formndose,

predominantemente, la teora de los grupos nitos. Posteriormente, ya en los aos 50, en trabajos de

Cayley y otros, comenzaron a aparecer deniciones abstractas ms generales de grupo. Este proceso

se aceler desde el ao 1870 con los trabajos de C. Jordan, quien hizo un resumen de los resultados

de la teora de grupos nitos en su aplicacin a la teora de nmeros, teora de funciones y geometra

algebraica.

En la conuencia de los siglos XIX y XX la teora de grupos se ramic desmesuradamente, formando

el ncleo del lgebra actual. Ella se compone de una serie de teoras altamente desarrolladas: los

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grupos nitos, los grupos discretos innitos, los grupos continuos, entre ellos los grupos de Lie. Los

mtodos tericos de grupos penetraron en una serie de disciplinas matemticas y sus aplicaciones. Los

descubrimientos de De Broglie, Schrdinger, Dirac y otros, en la mecnica cuntica y en la teora de

la estructura de la materia mostraron que la fsica moderna, deben apoyarse en la teora de los grupos

continuos, en particular en la teora de la representacin de grupos por operadores lineales, la teora

de los caracteres y otras elaboradas por Cartan, H. Weyl y otros cientcos. Pas medio siglo desde los

trabajos de Gauss, Abel y Galois y el centro de gravedad en las investigaciones algebraicas se traslad

a la teora de grupos, subgrupos, anillos, estructuras.

2. Emmy Noether

Emmy Noether fue una matemtica alemana de origen judo que realiz sus investigaciones en las

primeras dcadas del siglo XX. Mediante su primera especializacin sobre invariantes algebraicos con-

sigui demostrar dos teoremas esenciales para la teora de la relatividad que permitieron resolver el

problema de la conservacin de la energa. Su aportacin ms importante a la investigacin matemtica

fueron sus resultados sobre la axiomatizacin y el desarrollo de la teora algebraica de anillos, mdulos,

ideales, grupos con operadores, etc. En este contexto, aplic sus conocimientos sobre invariantes dando

rigor y generalidad a la geometra algebraica. Sus investigaciones en lgebra no conmutativa desta-

can, por el carcter unicado y general que dio a los conocimientos acumulados durante dcadas. Sus

publicaciones seran sucientes para valorar su decisiva contribucin a las matemticas, pero hay que

considerar, adems, que nunca le interes publicar y siempre permiti a sus colegas y a sus estudiantes

desarrollar resultados interesantes a partir de las sugerencias que ella les haca.

Vida

El 23 de marzo de 1882 naci en Erlangen, Baviera, Emmy Amalie Noether. Su padre, Max Noether

(1844-1921), era profesor de matemticas en la universidad de Erlangen y era conocido por sus inves-

tigaciones sobre funciones algebraicas, su madre Ida Kaufmann, proceda de una familia de Colonia.

Ambos eran de origen judo. Hasta los 15 aos asisti al Hhere Tchter Schule en Erlangen donde

estudi alemn, ingls, francs, aritmtica, piano y danza. Despus de esta formacin bsica estudi

francs e ingls, para ser profesora de idiomas y en 1900 super los Exmenes de Estado que la cua-

licaban para ensear idiomas en cualquier institucin educativa femenina. Despus de obtener este

ttulo, el medio matemtico en el que se desarrollaba su vida, entre su padre y los amigos de ste,

orient sus estudios hacia las matemticas.

El Senado de la Universidad de Erlangen haba declarado en 1898 que la admisin de mujeres estu-

diantes destrozara todo orden acadmico. Sin embargo se les autorizaba a asistir a clase con un

permiso especial, que no les daba derecho dar exmenes. Fue la nica alumna entre 984 estu-

diantes. Despus de pasar los exmenes en Nuremberg en 1903, fue a Gttingen donde asisti a cursos

impartidos por Hilbert, Klein y Minkowski. En 1904 regres a Erlangen, donde haban cambiado los

estatutos de la Universidad, y pudo proseguir sus estudios de doctorado sobre la teora de invariantes

bajo la inuencia de Paul Gordan, quien era conocido como el rey de la teora de invariantes. En

1907 obtuvo el grado de doctora cum laude con la memoria titulada: Sobre los sistemas completos de

invariantes para las formas bicuadrticas ternarias, que fue publicada en 1908.

A pesar de que su fama creci rpidamente, su trabajo en la Universidad de Erlangen consista en

ayudar a su padre pero sin salario alguno. Durante estos dos aos tuvo dos tutores (Emst Fischer y

Bernhard Schmidt) que despertaron su inters por el lgebra abstracta. Con ellos pas de la corriente

constructivista al pensamiento axiomtico conceptual. En 1915 fue invitado por David Hilbert y Flix

Klein a trabajar con ellos a la Universidad de Gttingen, que en aquel momento era el principal centro

matemtico de Alemania y probablemente de Europa. Esta etapa de su vida estuvo marcada por una

intensa produccin cientca que determin su aportacin a las matemticas y la fsica. Pese a toda

una serie de importantsimos trabajos sobre invariantes diferenciales y pese a los apoyos de Hilbert y

Klein, el reglamento vigente de la Universidad de Gttingen indicaba explcitamente que los candidatos

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deban ser hombres, por lo que Noether no pudo presentarse a oposiciones como docente universita-

rio. Hilbert quiso corregir esa injusticia, pero sus esfuerzos no tuvieron xito, pues ciertos miembros de

la facultad, no matemticos, se opusieron. Se cuenta, como ancdota, que Hilbert dijo en un Consejo

de la Universidad de Gttingen: ...no veo por qu el sexo de la candidata es un argumento contra su

nombramiento como docente. Despus de todo no somos un establecimiento de baos. Hilbert y Noether

encontraron un sistema para que ella pudiera impartir como docente, las clases se anunciaban bajo

el nombre de Hilbert y ella guraba como ayudante.

As pudo probar su competencia y ser mejor conocida. Emmy, ya con un estilo propio ms abstracto y

general, escribi sus ideas sobre conservacin de la energa, lo que trajo como consecuencia los famosos

resultados conocidos por los fsicos como los Teoremas de Noether, publicados en dos artculos en

1918. Finalizada la Primera Guerra Mundial Alemania pas a ser una repblica. Por primera vez las

mujeres tuvieron derecho a voto y fue derogado el anterior reglamento de oposiciones. En 1919 Emmy

present como tesis de habilitacin su trabajo Invariante Variationsprobleme junto con doce artculos

ya publicados y dos manuscritos adicionales, en uno de los cuales haban varias ideas importantes que

tuvieron un impacto signicativo en el reciente desarrollo del lgebra Abstracta. En 1922 fue nombra-

da profesor extraordinario y no ocial. No tena derecho a sueldo, pero pudo obtener pequeas

retribuciones, por su grado de experta en lgebra, que en ese momento le eran imprescindibles, ya que

la inacin de la posguerra estaba acabando con su pequea herencia.

El periodo de Gttingen slo fue interrumpido por dos breves estancias como profesor invitado en

Mosc (1928/29) y en Frankfurt Am Main (1930). En septiembre de 1932 fue invitada al Congreso In-

ternacional de Matemticos de Zurich y ese mismo ao recibi con Artin, el Alfred Ackermann-Teubner

Memorial, premio al Avance del Conocimiento Matemtico. A pesar del reconocimiento obtenido por

este xito, los cambios polticos y la llegada de Hitler al poder le obligaron a reorientar su carrera. Ser

una intelectual, pacista, juda y liberal le oblig a abandonar Alemania. En abril de 1933 se le retir

su derecho a ejercer como docente por ser juda y las leyes raciales la empujaron al exilio. A nales

de ese ao se march a los Estados Unidos como profesora invitada durante un ao a una universidad

femenina, el Bryn Mawr College (Pennsylvania). En febrero de 1934 comenz a trabajar en Princeton,

New Jersey, en el Instituto de Estudios Avanzados, donde tambin se encontraba Albert Einstein. Mu-

ri el 14 de abril de 1935 como consecuencia de una operacin. Tena 53 aos y estaba en el apogeo de

su fuerza creadora.

Legado

A Emmy nunca le preocup especialmente publicar, sin embargo siempre ayud sus estudiantes y

colegas a desarrollar resultados interesantes a partir de las observaciones, sugerencias o comentarios

que ella les hacia. Un ejemplo es la introduccin del concepto de nilradical por Koethe en 1931. Otro

es el caso de Van der Waerden, que en 1924 fue a Gttingen un ao para estudiar con Emmy, y al

volver a Amsterdam escribi su libro lgebra Moderna en dos volmenes. La mayor parte del segundo

volumen es el trabajo de Emmy, claricado y ordenado por l.

Emmy Noether fue una mujer fuerte e intensa, con un gran carcter; de ideas claras y decisiones rmes.

Logr sus metas y no hay duda de que obtuvo el reconocimiento que mereca. Sufri discriminaciones

y persecuciones, sin embargo, defendi sus ideas, su trabajo y sus posiciones polticas. Siempre ha

sido recodada como tranquila, calida y generosa. Cuentan adems, que era una gran amiga. En la

Sociedad Matemtica de Mosc, su amigo Pavel Sergeevich Aleksandrov (1896-1982) la recordaba

con este tributo: Emmy Noether fue la ms grande de las mujeres matemticas, una gran

cientca, magnca profesora y una inolvidable persona.

3. Referencias

Extracto de "LA MADRE DEL LGEBRAMODERNA: EMMY NOETHER", Noelia Jimnez Listn,

Historia de las Matemticas

https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/historia/Emmy%20Noether.pdf

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IntroduccinEmmy NoetherReferencias