Elementu Finituen Metodoaren Oinarriak 2014_2015

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  • ELEMENTU FINITUEN METODOAREN OINARRIAK

  • GAI ZERRENDA: 1. Sarrera 2. Metodoaren oinarriak 3. Barra elementua 4. Habe elementua 5. Ariketak

  • 1. INTRODUCCIN

    Diseo preliminar

    DEPARTAMENTO DE INGENIERIA Desarrollo de sistemas mecnicos y procesos de fabricacin

    Clculo de componente: - Dimensionamiento

    - Verificacin del diseo - Seleccin del material

    Clculo de proceso: - Seleccin de parmetros de

    proceso - Diseo de tiles

    Industrializacin

  • 1. INTRODUCCIN:

    Mtodos de clculo

    - Mtodos analticos:

    - Empleo de ecuaciones analticas que representan la pieza, producto o proceso a analizar.

    - Ventajas: relativamente rpidos de resolver.

    - Inconvenientes: difcil de representar fielmente piezas, productos o fenmenos complejos (no siempre aplicables).

  • - Mtodos numricos (Mtodo de los elementos finitos MEF)

    - Dividir un problema complejo en muchos problemas sencillos (elementos).

    - Obtencin de resultados mediante mtodos numricos.

    - Ventajas: capacidad de resolver problemas muy complejos

    - Inconvenientes: proceso de resolucin largo y costoso. necesidad del empleo de ordenadores.

    1. INTRODUCCIN:

    Mtodos de clculo

  • Mecnica de slidos: clculos estructurales estticos

    Puesta a punto Diseo FEM

    1. INTRODUCCIN:

    Aplicaciones

  • Mecnica de slidos: procesos de conformado y mecanizado

    vc = 300 m/min vc = 600 m/min

    1. INTRODUCCIN:

    Aplicaciones

  • Simulacin flujo del aire en un F1

    Mecnica de fluidos: ejemplos lineales y no lineales

    Simulacin de un huracn

    1. INTRODUCCIN:

    Aplicaciones

  • Termodinmica:

    Simulacin de la transferencia de calor en una turbina

    Simulacin del patrn de temperaturas de un tubo y el molde

    1. INTRODUCCIN:

    Aplicaciones

  • Elemento finito (EF): porcin del volumen bajo anlisis, de geometra sencilla, en la cual es sencillo resolver las ecuaciones de comportamiento.

    Nodos: puntos de referencia en los que se van a calcular los desplazamientos (grados de libertad). Por lo general se encuentran en los lmites del elemento (vrtices, aristas, centroide,).

    Funciones de interpolacin: permiten determinar los desplazamientos de cualquier punto mediante la interpolacin de los desplazamientos nodales.

    Elemento finito

    Nodos

    2. FUNDAMENTOS DEL MTODO

    Definiciones

  • u v w x y z

    6 Grado de Libertad (GDL) por nodo en 3D.

    X Y

    Z

    u v

    w

    x

    y z

    u: Desplazamiento en X v: Desplazamiento en Y w: Desplazamiento en Z x: Rotacin respecto de X y: Rotacin respecto de Y z: Rotacin respecto de Z

    =

    Problema real Divisin del problema en sub-problemas de solucin conocida.

    DISCRETIZAR

    2. FUNDAMENTOS DEL MTODO

    Grados de libertad

  • Por geometra:

    - Unidimensionales

    - Bidimensionales

    - Tridimensionales

    Segn el orden de interpolacin:

    - Lineales

    - Parablicos

    -

    2. FUNDAMENTOS DEL MTODO

    Clasificacin de los elementos finitos

  • Lineales Parablicos

    Unidimensionales: una dimensin prima frente al resto

    Bidimensionales: una dimensin es despreciable frente al resto

    Tridimensionales:

    geometras complejas

    2. FUNDAMENTOS DEL MTODO

    Clasificacin de los elementos finitos

  • Atendiendo a la GEOMETRA:

    Menos nodos, ms imprecisos.

    Se adaptan mejor a geometras complejas

    Ms nodos, ms precisos.

    Mayor tiempo de clculo.

    Dificultad de adaptar a geometras complejas

    2. FUNDAMENTOS DEL MTODO

    Clasificacin de los elementos finitos

  • v1 v2 v1 v3 v2

    Interpolacin lineal Interpolacin parablica

    v(x) = m x + b v(x) = a x2 + b x + c

    x x

    Segn el orden de interpolacin:

    2. FUNDAMENTOS DEL MTODO

    Clasificacin de los elementos finitos

    Elementos lineales vs. parablicos:

    Ventaja: los elementos parablicos dan un resultado ms exacto porque aproximan mejor la solucin.

    Inconveniente: mayor nmero de nodos, clculo ms costoso.

    Si se utilizan elementos lineales se debe discretizar con muchos elementos las zonas donde haya cambios de tensin.

  • [M]{} + [C]{}+[K]{} ={Fext} . ..

    [M]: Matriz de masa

    [C]: Matriz de amortiguamiento [K]: Matriz de rigidez {}: Vector desplazamiento

    {}: Vector velocidad .

    {}: Vector aceleracin ..

    {Fext}: Vector de fuerzas externas

    En el campo esttico: Aceleracin = 0 Velocidad = 0

    [K]{} ={Fext} [M]{} + [C]{}+[K]{} ={Fext} . ..

    Ecuacin general del movimiento:

    2. FUNDAMENTOS DEL MTODO

    Ecuacin diferencial del movimiento

  • Se utilizan para determinar los desplazamientos de cualquier punto mediante la interpolacin de los desplazamientos nodales.

    1

    *1 2e e, ,...,

    n

    n

    N N N N

    Ni representa la contribucin del desplazamiento del gdl i en el desplazamiento de cualquier punto del elemento.

    = vector de desplazamientos de cualquier punto del elemento e.

    = desplazamientos nodales del elemento e.

    = matriz de funciones de interpolacin

    e

    *e

    N= funciones de interpolacin del gdl i.

    = desplazamiento del gdl i. i

    iN

    2. FUNDAMENTOS DEL MTODO

    Funciones de interpolacin [N]

    n = nmero de gdl

  • El coeficiente de rigidez Kij representa la fuerza a aplicar en el gdl i para obtener un desplazamiento unitario en el gdl j manteniendo nulos el desplazamiento en el resto de gdl.

    11 1 12 2 1 1

    1 1 2 2

    ...

    ...

    n n

    n n nn n n

    K K K f

    K K K f

    * *

    ee ef K

    [K]e = matriz de rigidez del elemento

    2. FUNDAMENTOS DEL MTODO

    Matriz de rigidez [K]

  • 19

    Once, the nodal displacement vector of the studied system is solved the stress/strain condition at any point can be obtained.

    .

    . ] N,....,N,N [=}{

    n

    1

    n21e

    0 0

    0 0

    0 0

    0

    0

    0

    x

    x

    yy

    z z

    xy

    y xyz

    zx z y

    z x

    u

    v

    w

    Determination of the elongation at the selected point Strain vector determination

    * *N B

    2. FUNDAMENTOS DEL MTODO

    Clculo de deformaciones

  • 20

    The relation between the strain and the stress in the linear elastic domain is given by the generalised Hookes law:

    1

    1

    1

    x x y z

    y y z x

    z z x y

    E

    E

    E

    2 1

    2 1

    2 1

    xyxy xy

    yzyz yz

    zxzx zx

    G E

    G E

    G E

    Generalized Hookes law:

    LAM 's_law :

    2 1E

    G

    For isotropic materials

    2. FUNDAMENTOS DEL MTODO

    Clculo de tensiones

  • 21

    The relation between the strain and the stress in the linear elastic domain is given by the generalized Hookes law:

    1 0 0 0

    1 0 0 0

    1 0 0 0

    1 20 0 0 0 0

    21 2 11 2

    0 0 0 0 02

    1 20 0 0 0 0

    2

    x x

    y y

    z z

    xy xy

    yz yz

    zx

    E

    zx

    D

    2. FUNDAMENTOS DEL MTODO

    Clculo de tensiones

  • 22

    Relation between nodal forces an nodal displacements:

    Based on CAPLEYRON theory, the external work of the nodal forces is represented:

    The internal deformation energy caused by the nodal displacements:

    { } [ ]{ }** Kf =

    * *12

    Tw f

    1

    d2

    Tu v

    * *

    *

    N B

    D D B

    As: T T* *1 d

    2v

    u B D B v

    Being w u

    * *12

    Tw K

    T T* * * *1 1 2 2

    T

    v

    K B D B dv

    T dv

    K B D B v

    2. FUNDAMENTOS DEL MTODO

    Clculo de la matriz de rigidez

  • 23

    Transformation matrix

    [ ]

    =

    zyx

    zyx

    zyx

    cccbbbaaa

    T

    From local coordinate system of the element

    To global coordinate system

    * *T * *f K * *f K T T T* * * *f T f T K T K T * *f T f

    T* *f T f TK T K T

    2. FUNDAMENTOS DEL MTODO

    Determinacin de la matriz de rigidez en coordenadas globales

  • 24

    In a real problem different type of external loads can be found:

    - Punctual forces

    - Moments

    - Distributed loads

    f*

    f

    =

    For FEM modelling all external load should be applied in the element nodes

    - Punctual forces

    - Moments

    - Distributed loads

    NECESITY TO OBTAIN AN EQUIVALENT SYSTEM BASED IN NODAL LOADS

    2. FUNDAMENTOS DEL MTODO

    Determinacin de las fuerzas nodales equivalentes

  • 25

    T11

    d2

    s

    w f s The external work due to all the external load applied to the system is given by

    By using the interpolation functions:

    Thus the work of the equivalent system can be written as:

    T TT T* *1 1 1d d2 2s s

    w N f s N f s

    T* *2 12w f

    1 2w w T TT* * *1 1d2 2

    s

    N f s f

    T* ds

    f N f s

    2. FUNDAMENTOS DEL MTODO

    Determinacin de las fuerzas nodales equivalentes

  • Clculo de desplazamientos

    Clculo de deformaciones

    Clculo de tensiones

    Criterio de rigidez

    Criterio de resistencia

    Ley de Hooke generalizada { }