Elementos de Un Vector y Ejemplos

7/22/2019 Elementos de Un Vector y Ejemplos

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Elementos de un vector y ejemplos

Existe la necesidad de explicar fenmenos fsicos que no pueden ser descritos con un solo

valor, es necesario definir las tres caractersticas mencionadas anteriormente:

Magnitud o mdulo: determina el tamao del vector. Direccin: determina la recta en el espacio en que se ubica el vector.

Sentido: determina hacia qu lado de la recta de accin apunta el vector.

Matemticamente hablando, un vector no puede ponerse encorrespondencia biunvocaycontinua con el conjunto de los nmeros reales, como s es posible hacerlo con las

magnitudes escalares (como la temperatura o el tiempo).

Ejemplos

La distancia final entre dos coches que parten de un mismo sitio no puede quedar

determinada nicamente por susvelocidades.Si stas son 30 y 40 km/h, al transcurrir unahora la distancia entre los mismos podr ser, entre otras posibilidades:

De 10 km, si los dos coches llevan la misma direccin y mismo sentido.

De 70 km, si salen en la misma direccin y sentidos contrarios.

De 50 km, si toman direcciones perpendiculares.

Como se puede ver, la distancia recorrida depende tambin de otras cualidades, adems de

la velocidad de los coches. Es necesario utilizar un vector, que adems de describir su

magnitud (en este caso la velocidad) defina su direccin y sentido.

Representacin grfica y notacin

Representacin grfica

Representacin grfica de dos vectores deslizantes
http://es.wikipedia.org/wiki/Correspondencia_biun%C3%ADvocahttp://es.wikipedia.org/wiki/Correspondencia_biun%C3%ADvocahttp://es.wikipedia.org/wiki/Correspondencia_biun%C3%ADvocahttp://es.wikipedia.org/wiki/Velocidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Velocidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Velocidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Vector_normalization.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Vector_normalization.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Vector_normalization.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Vector_normalization.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Velocidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Correspondencia_biun%C3%ADvoca


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Se representa como un segmento con direccin y sentido, dibujado como una "flecha". Sulargo representa la magnitud, su pendiente la direccin y la "punta de flecha" indica su

sentido.

Notacin

En fsica las variables escalares se representan con una letra: a,x,p, etc., y los vectores con

una flecha encima: , representndose tambin frecuentemente mediante letras ennegrita: . Adems de estas convenciones losvectores unitarioscuyomduloes

igual a uno son representados frecuentemente con un circunflejo encima, por ejemplo

Componentes de un vector

Las coordenadas o componentes del vector en un sistema de referencia pueden escribirseentre parntesis y separadas con comas:

.

Si se desea expresar al vector como combinacin de los vectores, se representar como:

Estas representaciones son equivalentes entre s, y los valores ax, ay, az, se llaman

componentes o coordenadas del vector, que salvo que se indique lo contrarioconsideraremos siempre comonmeros reales.

Enteora de la relatividadlos vectores suelen ser denotados en la notacin abstracta de

ndice y los anteriores vectores se representaran mediante:

Vectores como combinacin lineal

Cualquier vector que se considere es siempre unacombinacin linealde un nmero ndevectores unitarios perpendiculares entre s, que forman labase del espacio vectorialencuestin.

Estos vectores unitarios se suelen llamar versores, y en el espacio tridimensional se

representan por , , , si bien es tambin usual representarlos como , , ,
http://es.wikipedia.org/wiki/Vector_unitariohttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector_unitariohttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector_unitariohttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_%28vector%29http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_%28vector%29http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_%28vector%29http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_relatividadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_relatividadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_relatividadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Combinaci%C3%B3n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Combinaci%C3%B3n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Combinaci%C3%B3n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Base_%28%C3%A1lgebra%29http://es.wikipedia.org/wiki/Base_%28%C3%A1lgebra%29http://es.wikipedia.org/wiki/Base_%28%C3%A1lgebra%29http://es.wikipedia.org/wiki/Base_%28%C3%A1lgebra%29http://es.wikipedia.org/wiki/Combinaci%C3%B3n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_relatividadhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_%28vector%29http://es.wikipedia.org/wiki/Vector_unitario


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siendo el vector unitario segn el eje de la x, el vector unitario en el eje de las y, y enel de las z. En el espacio de dos dimensiones se toman dos de estos versores, quecorresponden a los ejes de coordenadas adoptados.

Tipos de vectores

Segn los criterios que se utilicen para determinar la igualdad de dos vectores, pueden

distinguirse distintos tipos de los mismos:

Vectores libres: no tienen su extremo inicial -u origen- fijado en ningn punto en

particular.

Vectores fijos: tienen su extremo inicial -u origen- fijado en algn punto en

particular.

Vectores equipolentes: son vectores que presentan iguales mdulos, direcciones y

sentidos.

Vectores deslizantes: son vectores equipolentes que actan sobre una misma recta.

Vectores concurrentes: comparten el mismo extremo inicial -u origen-. Vectores unitarios: vectores de mdulo igual a uno. (Vasevector unitario)

Vectores opuestos: vectores de distinto sentido, pero igual magnitud y direccin

(tambin vectores anti - paralelos)

Operaciones con vectores

Suma de vectores

Suma de vectores

Mtodo del paralelogramo

Consiste en disponer grficamente los dos vectores de manera que los orgenes de amboscoincidan, completando el resto del paralelogramo con las paralelas a cada uno (ver grfico

a la derecha). El resultado de la suma se obtiene partiendo del origen de ambos vectores.

Mtodo del tringulo
http://es.wikipedia.org/wiki/Vector_unitariohttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector_unitariohttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector_unitariohttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Vector_addition.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Vector_addition.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Vector_addition.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Vector_addition.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Vector_addition.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Vector_addition.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Vector_addition.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Vector_addition.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Vector_addition.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Vector_addition.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector_unitario


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Consiste en disponer grficamente un vector a continuacin de otro, es decir, el extremo

inicial del vector "b" coincide con el extremo final del vector "a". Luego se traza una

diagonal que une el inicio del vector "a" con el resto de los extremos

Mtodo analtico

El resultado de la suma es:

ordenando los componentes:

Pongamos un ejemplo numrico:

el resultado:

agrupando trminos:

esto es:

Resta de vectores

Para restar dos vectores libres U y V se suma U con el opuesto de V, esto es U - V = U + (-

V).

Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.[1]

Producto por un escalar
http://www.vitutor.com/geo/vec/a_6.htmlhttp://www.vitutor.com/geo/vec/a_6.htmlhttp://www.vitutor.com/geo/vec/a_6.htmlhttp://www.vitutor.com/geo/vec/a_6.html


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Producto por un escalar

Partiendo de la representacin grfica del vector, sobre la misma lnea de su direccin

tomamos tantas veces el mdulo de vector como marque el escalar, que de ser negativocambia el sentido (ver grfico).

Partiendo de un escalar y de un vector , el producto de por es , es el producto

de cada una de las coordenadas del vector por el escalar, representando el vector por suscoordenadas:

si lo multiplicamos por el escalar n:

esto es:
http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Scalar_multiplication_of_vectors.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Scalar_multiplication_of_vectors.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Scalar_multiplication_of_vectors.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Scalar_multiplication_of_vectors.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Scalar_multiplication_of_vectors.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Scalar_multiplication_of_vectors.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Scalar_multiplication_of_vectors.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Scalar_multiplication_of_vectors.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Scalar_multiplication_of_vectors.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Scalar_multiplication_of_vectors.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Scalar_multiplication_of_vectors.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Scalar_multiplication_of_vectors.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Scalar_multiplication_of_vectors.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Scalar_multiplication_of_vectors.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Scalar_multiplication_of_vectors.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Scalar_multiplication_of_vectors.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Scalar_multiplication_of_vectors.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Scalar_multiplication_of_vectors.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Scalar_multiplication_of_vectors.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Scalar_multiplication_of_vectors.png


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Representando el vector como combinacin lineal de los versores:

y multiplicndolo por un escalar n:

esto es:

Hagamos un ejemplo con valores numricos, partimos del vector:

y multiplicamos el vector por 2,5:

esto es:

haciendo las operaciones:

Producto escalar

Producto escalar

Producto vectorial

Producto vectorial

Derivada de un vector

Dado un vector que es funcin de una variable independiente
http://es.wikipedia.org/wiki/Producto_escalarhttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_escalarhttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_escalar


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Podemos calcular laderivadade a respecto de t, para cada una de sus componentes, como si

de un escalar se tratara, siendo el vector de las derivadas:

.

Para calcular esta derivacin hay que tener en cuenta que los vectores son constantes enmdulo, direccin, y sentido. Cuando se deriva sobre un sistema de referencia en

movimiento este punto tiene que ser tenido en cuenta. Veamos un ejemplo de derivacin deun vector, partiendo de una funcin vectorial:

Esta funcin representa una espiral que su eje es el eje z, y de radio 1, en el plano xy, comoel de la figura, partamos de la base que sta es la trayectoria de una partcula y la funcin

determina el vector de posicin en funcin del tiempo. Si derivamos, tendremos:

Realizando la derivada:
http://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttp://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttp://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Vector-valued_function.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Vector-valued_function.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Vector-valued_function.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Vector-valued_function.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Vector-valued_function.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Vector-valued_function.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Vector-valued_function.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Vector-valued_function.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Vector-valued_function.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Vector-valued_function.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Vector-valued_function.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Vector-valued_function.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Vector-valued_function.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Vector-valued_function.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Derivada


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La derivada de la posicin respecto al tiempo, es la velocidad, esta segunda funcin

determina el vector velocidad de la partcula en funcin del tiempo, podemos decir:

Este vector velocidad, tiene su origen en el centro de coordenadas, y determina las

componentes de la velocidad en cada instante, la velocidad de la partcula es un vectorparalelo a este, en el punto donde se encuentra la partcula en ese mismo momento. Siderivsemos de nuevo obtendramos el vector aceleracin, como era fcil de suponer.

Otras operaciones

Mdulo resultante

Dados dos vectores y , de mdulos conocidos y que forman el ngulo entre s, se

puede obtener el mdulo con la siguiente frmula:

La deduccin de esta expresin puede consultarse endeduccin del mdulo de la suma.

ngulo entre dos vectores

Angulo entre 2 vectores en un plano

Para calcular el ngulo entre dos vectores se usa la siguiente frmula:

El cual se puede generalizar a cualquier dimensin con excepcin de los casos superiores A

y B:
http://es.wikipedia.org/wiki/Deducci%C3%B3n_del_m%C3%B3dulo_de_la_sumahttp://es.wikipedia.org/wiki/Deducci%C3%B3n_del_m%C3%B3dulo_de_la_sumahttp://es.wikipedia.org/wiki/Deducci%C3%B3n_del_m%C3%B3dulo_de_la_sumahttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Angle_between_two_vectors.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Angle_between_two_vectors.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Angle_between_two_vectors.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Angle_between_two_vectors.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Angle_between_two_vectors.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Angle_between_two_vectors.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Angle_between_two_vectors.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Angle_between_two_vectors.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Angle_between_two_vectors.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Angle_between_two_vectors.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Angle_between_two_vectors.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Angle_between_two_vectors.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Angle_between_two_vectors.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Angle_between_two_vectors.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Angle_between_two_vectors.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Angle_between_two_vectors.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Deducci%C3%B3n_del_m%C3%B3dulo_de_la_suma


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Cuando se trata algebraicamente en un espacio vectorial el ngulo entre dos vectores est

dado por

Siendo elproducto internodefinido dentro de dicho espacio vectorial

Hay que tener en cuenta que el ngulo que devuelve esta formula est comprendido entre 0y 180, no devuelve el signo del ngulo.

Requerimientos fsicos de las magnitudes vectoriales

No cualquiern-tuplade funciones o nmeros reales constituye un vector fsico. Para que

una n-tupla represente un vector fsico, los valores numricos de las componentes delmismo medidos por diferentesobservadoresdeben transformarse de acuerdo con ciertas

relaciones fijas.

En mecnica newtoniana generalmente se utilizan vectores genuinos, llamados a veces

vectores polares, junto con pseudovectores, llamadosvectores axialesque realmente

representan el dual de Hodge de magnitudes tensoriales antisimtricas. Elmomentoangular,elcampo magnticoy todas las magnitudes que en su definicin usan elproductovectorialson en realidad pseudovectores newtonianos.

Enteora especial de la relatividad,por ejemplo, slo losvectores tetradimensionalescuyas

medidas tomadas por diferentes observadores pueden ser relacionadas mediante alguna

transformacin de Lorentzconstituyen autnticas magnitudes vectoriales. As las

componentes de dos magnitudes vectoriales medidas por dos observadoras y debenrelacionarse de acuerdo con la siguiente relacin:

Donde son las componentes de la matriz que da la transformacin de Lorentz.Magnitudes como elmomento angular,elcampo elctricoo elcampo magnticoo el de

hecho en teora de la relatividad no son magnitudes vectoriales sinotensoriales.
http://es.wikipedia.org/wiki/Producto_internohttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_internohttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_internohttp://es.wikipedia.org/wiki/Tuplahttp://es.wikipedia.org/wiki/Tuplahttp://es.wikipedia.org/wiki/Tuplahttp://es.wikipedia.org/wiki/Tuplahttp://es.wikipedia.org/wiki/Observadorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Observadorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Observadorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector_axialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector_axialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector_axialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Momento_angularhttp://es.wikipedia.org/wiki/Momento_angularhttp://es.wikipedia.org/wiki/Momento_angularhttp://es.wikipedia.org/wiki/Momento_angularhttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_especial_de_la_relatividadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_especial_de_la_relatividadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_especial_de_la_relatividadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrivectorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrivectorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrivectorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Transformaci%C3%B3n_de_Lorentzhttp://es.wikipedia.org/wiki/Transformaci%C3%B3n_de_Lorentzhttp://es.wikipedia.org/wiki/Momento_angularhttp://es.wikipedia.org/wiki/Momento_angularhttp://es.wikipedia.org/wiki/Momento_angularhttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_el%C3%A9ctricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_el%C3%A9ctricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_el%C3%A9ctricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_el%C3%A9ctricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Momento_angularhttp://es.wikipedia.org/wiki/Transformaci%C3%B3n_de_Lorentzhttp://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrivectorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_especial_de_la_relatividadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Momento_angularhttp://es.wikipedia.org/wiki/Momento_angularhttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector_axialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Observadorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tuplahttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_interno


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Definicin de vectores

Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unascaractersticas que son:

Origen

O tambin denominadoPunto de aplicacin. Es el punto exacto sobre el que acta el

vector.

Mdulo

Es la longitud o tamao del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremodel vector, pues para saber cul es el mdulo del vector, debemos medir desde su origen

hasta su extremo.

Direccin

Viene dada por la orientacin en el espacio de la recta que lo contiene.

Sentido

Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando haciaqu lado de la lnea de accin se dirige el vector.

Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estar formadopor un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la

posicin de un punto cualquiera con exactitud.

El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas

Cartesianas.

Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas cartesianas, haremos usode tres vectores unitarios. Estos vectores unitarios, son unidimensionales, esto es, tienen


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mdulo 1, son perpendiculares entre s y correspondern a cada uno de los ejes del sistema

de referencia.

Por ello, al eje de las X, le dejaremos corresponder el vector unitario o tambin

denominado .

Del mismo modo, al eje Y, le corresponder el vector unitario o tambin denominado .

Finalmente, al eje Z, le dejaremos corresponder el vector unitario o tambin denominado

.

Por tanto, obtendramos un eje de coordenadas cartesianas de la siguiente forma:

Magnitudes Escalares

DenominamosMagnitudes Escalaresa aquellas en las que las medidas quedan

correctamente expresadas por medio de un nmero y la correspondiente unidad. Ejemplo de

ello son las siguientes magnitudes, entre otras:

Masa

Temperatura

Presin

Densidad


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Magnitudes vector ia les

Las magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar determinadas precisan de unvalor numrico, una direccin, un sentido y un punto de aplicacin.

Vector

Un vector es la expresin que proporciona la medida de cualquier magnitud vectorial.

Podemos considerarlo como un segmento orientado, en el que cabe distinguir:

Un origen o punto de aplicacin: A. Un extremo: B. Una direccin: la de la recta que lo contiene. Un sentido: indicado por la punta de flecha en B.

Un mdulo, indicativo de la longitud del segmento AB.

Vectores iguales

Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo mdulo y la misma direccin.

Vector libre

Un vector libre queda caracterizado por su mdulo, direccin y sentido. El vector libre esindependiente del lugar en el que se encuentra.

Descompon iendo en un sis tema de ejes cartesianos

a+b=(axi+ayj+ azk)+(bxi+byj+ bzk)=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k


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Propiedades

Conmutativa: a+b=b+a

Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c)

Elemento Neutro: a+0=a

Elemento Simtrico: a+(-a)=a-a=0

Vectores uni tar ios y com ponentes de un vector

Cualquier vector puede ser considerado como resultado de la suma de tres vectores, cada

uno de ellos en la direccin de uno de los ejes coordenados.

Si consideramos ahora sobre cada eje un vector, aplicado en el origen, cuyo sentido es

positivo y cuyo mdulo consideramos como unidad de longitudes, podemos sustituir cadauno de los sumandos de la expresin anterior por el producto de un escalar por el

correspondiente vector unidad.

De ese modo,


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Los escalares , y se denominan componentes del vector y se representan por:

Los vectores son los vectores unitarios y suelen representarserespectivamente por i, j, yk.

Tambin puede representarse de la siguiente forma:

Suma y resta de vectores

La suma de dos vectores libres es otro vector libre que se determina de la siguiente forma:

Se sita el punto de aplicacin de uno de ellos sobre el extremo del otro; el vector suma es

el vector que tiene su origen en el origen del primero y su extremo en el extremo del

segundo.

Por tanto, el vector suma de dos vectores coincide con una de las diagonales, la "saliente",

del paralelogramo que puede formarse con los vectores que se suman; la otra diagonalrepresenta la resta de dichos vectores.

Para efectuar sumas o restas de tres o ms vectores, el proceso es idntico. Basta con

aplicar la propiedad asociativa.

Al vector que se obtiene al sumar o restar varios vectores se le denomina resultante.


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Suma d e Vectores

La suma de los vectores podemos realizarla de dos maneras diferentes, analtica ygrficamente.

Procedimiento Grfico

Para sumar dos vectores de manera grfica utilizaremos la denominada Regla del

paralelogramo, consistente en trasladar paralelamente los vectores hasta unirlos por el

origen, y luego trazar un paralelogramo, del que obtendremos el resultado de la suma, como

consecuencia de dibujar la diagonal de ese paralelogramo, como podemos ver en elsiguiente dibujo:

Otra manera de expresar la suma de manera grfica es trasladar el segundo vector a sumar

de tal manera que el origen de ste, coincida con el extremo del primer vector, y la suma laobtendremos dibujando un vector que vaya desde el origen del primer vector hasta el

extremo del segundo, de la siguiente manera:

Hay que tener muy presente lo siguiente: vectores en la misma direccin se suman (tal y

como ya hemos visto en la seccin de lasuma de vectores), pero vectores con sentidos
http://tochtli.fisica.uson.mx/electro/vectores/definici%C3%B3n_de_vectores.htm#+DVectoreshttp://tochtli.fisica.uson.mx/electro/vectores/definici%C3%B3n_de_vectores.htm#+DVectores


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opuestos se restan (tal y como se puede ver en el apartado correspondiente a la resta de

vectores). A continuacin tenemos un ejemplo de suma y resta de vectores.

Mtod o Algeb raico para l a Sum a de v ecto res

Dados tres vectores

La expresin correspondiente al vector suma es:

o bien

siendo, por tanto,


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La suma de vectores goza de las siguientes propiedades:

Conmutativa

a + b = b + a

Asociativa

(a + b) + c = a + (b + c)

Elemento neutro o vector 0

a+ 0 = 0 + a = a

Elemento simtrico u opuesto a'

a + a' = a' + a = 0

a' = -a

Produc to de un vector po r un escalar

El resultado de multiplicar un escalar kpor un vector v, expresado analticamente por kv,es otro vector con las siguientes caractersticas :

1.- Tiene la misma direccin que v.2.- Su sentido coincide con el de v, si kes un nmero positivo, y es el opuesto, si kes unnmero negativo.3.- El mdulo es kveces la longitud que representa el mdulo de v. ( Si kes 0 el resultadoes el vector nulo).

Analticamente, tenemos que multiplicar el escalar por cada una de las coordenadas del

vector.

Ejemplo : Dado el vector vde componentes : vxi + vyj + vzk, el producto 3 v = 3 vxi + 3 vyj + 3 vzk.

La representacin grfica del producto es igual a sumar el vector tantas veces como indica

el escalar.

Ejemplo :


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Propiedades

El producto de un vector por un escalar cumple las siguientes propiedades:

1.- Conmutativa: k v= v k.

2.- Distributiva: k(v+ u) = (k v) + (k u).3.- Elemento Neutro: 1 v= v.4.- Elemento Simtrico: -1 v= -v.

Produc to escalar de dos vectores

El producto escalar de dos vectores, expresado analticamente como r v, se obtiene de lasuma de los productos formados por las componentes de uno y otro vector. Es decir, dados

dos vectores ry v, expresados en un mismo sistema de coordenadas:

r =rxi + ryj + rzkv =vxi + vyj + vzk

teniendo en cuenta que el producto escalar de los vectores :

i i=j j= k k = 1i j= i k =j k= 0

el resultado de multiplicar escalarmente rpor v es:

r v= rx vx+ ry vy+ rz vz

Esta operacin no solo nos permite el clculo de la longitud de los segmentos orientados

que representan ( sus mdulos ), sino tambin calcular el ngulo que hay entre ellos. Esto esposible, ya que el producto escalar tambin se puede hallar en funcin de sus mdulos y del

coseno del ngulo que forman mediante la frmula:

r v = |r| |v| cos (r, v)


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Propiedades

Conmutativa : r v = v rDistributiva : r ( v + u ) = r v + r uAsociativa : ( k r ) v = k ( r v )= r ( k v ) siendo k escalar.

Adems:

1.- r r = 0 si, y slo s r= 0.2.- Si ry v 0 y r v = 0, esto implica que los vectores son perpendiculares, (cos 90 =0).3.- El producto escalar de dos vectores es equivalente a multiplicar escalarmente uno de

ellos por el vector proyeccin del otro sobre l.

Ejemplo:

Proyeccin ortogonal(rv) de r sobre v

rv= |r| cos (r, v) -> r v= |v| rv

Ejemplo:

Calcular el producto escalar de los vectores r =5 i - 3 j + 2 k y v = -2 i + j + 3 k. Hallar elngulo que forman.

Primero hallamos el producto escalar de los vectores :

r v = 5 (-2) + (-3) 1 + 2 3 = -7

Ahora calculamos el angulo que forman;

Sabemos que:

Como ya calculamos r v, nos queda que hallar el producto de sus mdulos para poder

realizar el cociente:

|r| |v| = 22.17.

Entonces


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Y obtenemos que el ngulo entre los vectores es = 108.06.

Ap licacin: ngulo entre do s vecto res

Producto escalar

El producto escalar de dos vectores es por definicin un escalar.

Propiedades:

Podemos usar ahora el producto escalar para encontrar el ngulo de los vectores ay b:

Con lo que deducimos que:

El cos dar siempre entre 0 y 1

El producto escalar vara como mximo entre el y 0 El cos nos dice si los vectores son paralelos o perpendiculares

Si cos de a yb= 0 vectores perpendiculares.

Si cos de a yb 0 vectores perpendiculares.

En este caso, , podemos sacar como conclusin que a = 0b = 0, o bien que aybson mutuamente perpendiculares.


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Producto vectorial

El producto vectorial de los vectores ay b, se define como un vector, donde su direccin esperpendicular al plano de ay b, en el sentido del movimiento de un tornillo que gira haciala derecha por el camino ms corto de aa b,

Se escribe . Por tanto:

Donde nes un vector unitario perpendicular al plano de ay ben el sentido del movimientode un tornillo que gira hacia la derecha de aa b.

Propiedades:

Mdulo d e un vector

Un vector no solo nos da una direccin y un sentido, sino tambin una magnitud, a esa

magnitud se le denomina mdulo.

Grficamente: es la distancia que existe entre su origen y su extremo, y se representa por:


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Coordenadas cartesianas: En muchas ocasiones es conveniente tomar las componentes

sobre tres direcciones mutuamente perpendiculares OX, OY y OZ que forman un sistemacartesiano tridimensional.

Si tomamos tres vectores unitarios, isobre OX,jsobre OY y k sobre OZ, entoncespodemos encontrar puntos ax, ay, az sobre OX, OY, OZ, respectivamente, tales que:

y aplicando el teorema de Pitgoras nos encontramos con que el mdulo de aes:

Elementos de Un Vector y Ejemplos

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