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Elementos de Teoría de la Medida,Análisis Funcional y Teoría deDistribuciones

Thelma: Mr. Dodd, how do you occupy your leisure?Dodd: Mrs. Cherie, all the excitement, the romance, the adventure that Iwant I find in my own way.Thelma: Your own way?Dodd: Well, if you must know, in the science of mathematics.Thelma: Wow, fascinating.(Stand–in, Tay Garnett, 1937).

La Teoría de la Medida, el Análisis Funcional y la Teoría de Distribu-ciones proporcionan los cimientos necesarios para diseñar el marco fun-cional apropiado bajo el que se desarrolla la teoría débil de las ecuacionesen derivadas parciales. A lo largo de éste y de los siguientes capítulos se-rán extensamente discutidos los aspectos más relevantes que estas teoríasaportan al estudio de los espacios de Lebesgue y de Sobolev, así como ala construcción y al sentido matemático de las soluciones de diversos pro-blemas de valores iniciales y de contorno.

Medibilidad

Comenzamos revisando algunas propiedades básicas relacionadas con lamedibilidad de conjuntos y funciones.

Definición 1. Sea Σ una familia de subconjuntos de un conjunto Ω. Deci-mos que Σ es una σ–álgebra sobre Ω si satisface las siguientes propiedades:

1

2

(a) Ω ∈ Σ.

(b) Si A ∈ Σ entonces Ac ∈ Σ, donde Ac denota el conjunto complemen-tario de A en Ω.

(c) Si An ∈ Σ para todo n ∈ N, entonces⋃∞

n=1 An ∈ Σ; es decir, Σ escerrada para uniones infinitas numerables.

Las propiedades (a), (b) y (c) conducen inmediatamente al hecho deque

(d) ∅ = Ωc ∈ Σ

y

(e) Σ es también cerrada para intersecciones infinitas numerables, es de-cir: si An ∈ Σ para todo n ∈N, entonces

∞⋂n=1

An =( ∞⋃

n=1

Acn

)c∈ Σ .

Ejemplo 1. Sean Ω un conjunto cualquiera y X un espacio topológico.

(a) El ejemplo más elemental de σ–álgebra sobre Ω es Σ = ∅, Ω.

(b) Otro ejemplo obvio de σ–álgebra sobre Ω es el conjunto P(Ω) de laspartes de Ω, cuyos elementos son todos los subconjuntos de Ω.

(c) Cualquier familia F de subconjuntos de Ω puede extenderse a unaσ–álgebra (por ejemplo, a P(Ω)). De entre todas estas extensioneshay una distinguida, a la que denotaremos ΣF , que se construye to-mando la intersección de todas las σ–álgebras construidas sobre Ωque contienen a F . ΣF recibe el nombre de σ–álgebra generada por F ,la cual es de hecho la σ–álgebra sobre Ω más pequeña que contienea F .

(d) Un ejemplo relevante de σ–álgebra sobre un conjunto X lo constituyela llamada σ–álgebra de Borel, a la que denotaremos BX, generada porlas bolas abiertas de X. Sus elementos reciben el nombre de conjuntosde Borel. En particular,

BRd = ΣF con F =

BR(x) : x ∈ Rd, R > 0

,

Medibilidad 3

donde BR(x) = y ∈ Rd : ‖y− x‖ < R. Por supuesto y mientras nose indique lo contrario, estamos asumiendo que el espacio X = Rd

está dotado de la topología usual.

Definición 2. Sea Σ una σ–álgebra sobre Ω.

(a) El par (Ω, Σ) recibe el nombre de espacio medible (o espacio muestral enel lenguaje de la Teoría de Probabilidades) y los subconjuntos de Ωpertenecientes a Σ son los conjuntos medibles de Ω (también llamadossucesos en el lenguaje de la Teoría de Probabilidades).

(b) Si (Ω, Σ), (X, Υ) son dos espacios medibles y f : Ω → X una aplica-ción de Ω en X, decimos que f es una aplicación medible (con respectoa las σ–álgebras Σ y Υ) si f−1(A) ∈ Σ para todo conjunto A ∈ Υ.Un caso particular que reviste especial interés es aquél en que X esun espacio topológico y Υ = BX es la σ–álgebra de Borel sobre X.En estas condiciones f se dice medible si f−1(O) es un subconjuntomedible de Ω (es decir, f−1(O) ∈ Σ) para todo abierto O de X. Lasfunciones medibles (entendiendo ahora que X = [−∞,+∞] al hablarde funciones, toda vez que permitimos que f pueda tomar los valo-res −∞ y +∞) reciben el nombre de variables aleatorias en Teoría deProbabilidades. Destacamos asimismo como una familia importan-te de funciones medibles la constituida por aquéllas en las que Ω estambién un espacio topológico y la σ–álgebra asociada al mismo esla de Borel: Σ = BΩ. Se trata de las funciones de Borel.

Observación 1. La topología considerada en [−∞,+∞] es de ahora enadelante la del orden a menos que se especifique lo contrario, entendién-dose ésta como la constituida por los conjuntos (abiertos) que resultan deefectuar intersecciones finitas de uniones numerables de intervalos de laforma (a,+∞] y [−∞, b), con a, b ∈ [−∞,+∞]. Para evitar ambigüedadesaritméticas y garantizar la coherencia de las operaciones funcionales bási-cas (cf. Proposición 2) adoptaremos de antemano aquellos convenios quepermitan resolver todas las situaciones eventuales de indeterminación, asaber:

x±∞ = ±∞ ∀ x ∈ R , ∞−∞ = 0 , ±∞±∞ = ±∞ ,

x · (±∞) = (±∞) · x =

±∞ si x > 0∓∞ si x < 0 , 0 · (±∞) = (±∞) · 0 = 0 .

José L. López

4

Proposición 1 (Caracterización de las funciones medibles). Sean (Ω, Σ)un espacio medible y f : Ω → [−∞,+∞] una función. Las siguientespropiedades son equivalentes:

(a) f es medible.

(b) f−1((a,+∞]) ∈ Σ ∀ a ∈ [−∞,+∞].

(c) f−1([a,+∞]) ∈ Σ ∀ a ∈ [−∞,+∞].

(d) f−1([−∞, b)) ∈ Σ ∀ b ∈ [−∞,+∞].

(e) f−1([−∞, b]) ∈ Σ ∀ b ∈ [−∞,+∞].

(f) f−1((a, b)), f−1(−∞), f−1(+∞) ∈ Σ ∀ a, b ∈ [−∞,+∞].

Demostración. Probaremos en primer lugar la cadena de equivalencias(a)⇔ (b)⇔ (c)⇔ (d)⇔ (e) y finalmente (a)⇔ (f).

(a) implica (b) por definición de función medible. Que (b) implica (c) esuna consecuencia de la identidad

f−1([a,+∞]) =∞⋂

n=1

f−1((

a− 1n

,+∞])

.

Para comprobar que (c) implica (d) basta con escribir

f−1([−∞, a)) =(

f−1([a,+∞]))c

.

La implicación (d)⇒ (e) se obtiene como consecuencia de la propiedad

f−1([−∞, b]) =∞⋂

n=1

f−1([−∞, b +

1n

)).

Para concluir con el primer ciclo de equivalencias comprobamos que (e)implica la medibilidad de f . Para ello hay que demostrar que f−1(O) ∈ Σpara todo abiertoO de [−∞,+∞]. Como f−1 respeta uniones e interseccio-nes, podemos restringirnos al caso en que O es de una de las tres formassiguientes: (a, b), [−∞, b) o bien (a,+∞], con a, b ∈ [−∞,+∞] (cf. Obser-vación 1). Por hipótesis f−1([−∞, a]) ∈ Σ, de donde se deduce inmediata-mente que f−1((a,+∞]) ∈ Σ por paso al complementario. Por otra parte,podemos expresar

[−∞, b) =∞⋃

n=1

[−∞, bn] , bn < b ∀n ∈N , lımn→∞bn = b ,

Medibilidad 5

de donde se desprende que

f−1([−∞, b)) = f−1( ∞⋃

n=1

[−∞, bn])=

∞⋃n=1

f−1([−∞, bn]) ∈ Σ ,

ya que f−1([−∞, bn]) ∈ Σ para todo n ∈ N por hipótesis. Para acabar,basta con tener en cuenta que (a, b) = [−∞, b) ∩ (a,+∞], de modo que

f−1((a, b)) = f−1([−∞, b) ∩ (a,+∞])

= f−1([−∞, b)) ∩ f−1((a,+∞]) ∈ Σ . (1)

Estudiamos en último lugar la equivalencia (a) ⇔ (f). El enunciado(a) ⇒ (f) es evidente por definición de función medible, sin más que con-siderar (1), escribir

−∞ = [−∞,+∞] \ (−∞,+∞] ,+∞ = [−∞,+∞] \ [−∞,+∞) ,

y tener en cuenta que f−1 respeta pasos al complementario. Para verificar(f)⇒ (a) es suficiente con demostrar que las preimágenes por f de interva-los de la forma (a,+∞] y [−∞, b), con a, b ∈ [−∞,+∞], son elementos deΣ, basándonos nuevamente en que f−1 respeta uniones e intersecciones yen la Observación 1. En efecto:

f−1((a,+∞]) = f−1((a,+∞)) ∪ f−1(+∞) ∈ Σ ,

f−1([−∞, b)) = f−1((−∞, b)) ∪ f−1(−∞) ∈ Σ .

Ejemplo 2. Sean Ω un conjunto cualquiera y X un espacio topológico.

(a) Toda función f : (X,BX) → [−∞,+∞] continua es una función deBorel. En efecto: si f es continua satisface por definición que f−1(O) es unconjunto abierto en X, luego (BX–)medible, para cualquier abierto O en[−∞,+∞].

(b) Sean Σ una σ–álgebra sobre Ω y A ∈ Σ. Entonces la función caracte-rística del conjunto A (también llamada función indicatriz), definida como

χA : Ω→ [−∞,+∞] , χA(x) =

1 si x ∈ A0 si x /∈ A ,

José L. López

6

es medible. Podemos verificar la medibilidad de χA aplicando, por ejem-plo, la caracterización (b) de la Proposición 1:

χ−1A ((a,+∞]) =

∅ ∈ Σ si a ≥ 1Ω ∈ Σ si a < 0A ∈ Σ si 0 ≤ a < 1

.

El siguiente resultado expresa la gran estabilidad de que goza el con-cepto de medibilidad funcional frente a operaciones aritméticas, conjun-tistas y de paso al límite, entre otras. La prueba del mismo se deja al lectorcomo ejercicio (cf. Ejercicio 2).

Proposición 2 (Propiedades de las funciones medibles). Sean (Ω, Σ) y(Γ, Υ) dos espacios medibles.

(a) Si f , g : (Ω, Σ) → [−∞,+∞] son funciones medibles, entonces lasfunciones α f + βg, f g y f

g (si g 6= 0 en Ω) son también medibles paracualesquiera α, β ∈ R.

(b) Si f : (Ω, Σ) → (Γ, Υ) y g : (Γ, Υ) → [−∞,+∞] son medibles,entonces g f : (Ω, Σ)→ [−∞,+∞] es también una función medible.

(c) Si f : (Ω, Σ) → [−∞,+∞] es una función medible, entonces lasfunciones f+ = max f , 0 y f− = max− f , 0 también lo son. Comoconsecuencia, | f | = f+ + f− es una función medible.

(d) Si fn : Ω → [−∞,+∞] es una sucesión de funciones medibles,entonces supn∈N fn, ınfn∈N fn, lım supn∈N fn y lım infn∈N fn sontambién funciones medibles. Además, el conjunto

L =

x ∈ Ω : ∃ lımn→∞ fn(x) = f (x)

es medible y la función límite f es medible en L (respecto de la σ–álgebraΣ ∩ L; véase la Definición 3 (b)).

Enumeramos a renglón seguido algunas nociones importantes relacio-nadas con el concepto de medida así como algunas de sus propiedadesmás interesantes de cara a futuros usos.

Definición 3. Sea Σ una σ–álgebra sobre Ω.

Medibilidad 7

(a) La función de conjuntos µ : Σ→ [0,+∞] es una medida (positiva) sisatisface la propiedad de aditividad numerable (o σ–aditividad), es decir: da-da una familia numerable y disjunta An∞

n=1 de elementos de Σ, entonces

µ( ∞⋃

n=1

An

)=

∞

∑n=1

µ(An) .

(b) Un espacio de medida (Ω, Σ, µ) es un espacio medible (Ω, Σ) en el quese ha definido una medida µ sobre la σ–álgebra Σ. Si Ω = Rd y Σ = BRd ,µ : BRd → [0,+∞] recibe el nombre de medida de Borel. Además, dadoA ∈ Σ se puede definir el subespacio de medida (A, ΣA, µ|A), donde

ΣA := Σ ∩ A = E ∩ A : E ∈ Σ

es la σ–álgebra (compruébese) formada por los subconjuntos medibles deA y µ|A : ΣA → [0,+∞] es la restricción de µ a A.

Ejemplo 3. Algunos ejemplos de espacios de medida son los siguientes:

(a) Sea Ω un conjunto cualquiera y Σ = P(Ω) el conjunto de las partesde Ω. Para cada subconjunto A de Ω (en particular, A ∈ Σ) se define µ(A)como el número de elementos de A si A tiene cardinal finito y µ(A) = +∞si A es un conjunto con cardinal infinito. La medida µ así construida recibeel nombre de medida discreta sobre Ω.

(b) Sea Ω un conjunto cualquiera, Σ = P(Ω) y x ∈ Ω. Se define µx :Σ→ [0,+∞] como

µx(A) =

1 si x ∈ A0 si x /∈ A ,

para cualquier A ⊆ Ω. Esta medida recibe el nombre de masa unidad con-centrada en x o masa de Dirac. Nótese que la función medible χA : Ω →0, 1 definida como χA(x) = µx(A) es la función característica del con-junto A, como se estudió en el Ejemplo 2 (b).

(c) Sean (Ω, Σ) un espacio medible y P : Σ → [0, 1] una medida. Si lapropiedad P(Ω) = 1 es satisfecha, entonces P recibe el nombre de medi-da de probabilidad y el espacio de medida (Ω, Σ, P) se denomina espacio deprobabilidad.

Finalmente establecemos algunas propiedades elementales de las me-didas que serán empleadas más adelante.

José L. López

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Proposición 3 (Propiedades de las medidas). Sean Σ una σ–álgebra y µ :Σ → [0,+∞] una medida sobre Σ. Entonces se verifican las siguientespropiedades:

(a) µ(∅) = 0.

(b) [Aditividad finita] Para toda familia finita y disjunta Aini=1 de ele-

mentos de Σ se tiene

µ( n⋃

i=1

Ai

)=

n

∑i=1

µ(Ai) .

(c) [Monotonía] Si A, B ∈ Σ con A ⊂ B, entonces µ(A) ≤ µ(B).

(d) [Subaditividad finita] Para toda familia finita Aini=1 de elementos de

Σ se tiene

µ( n⋃

i=1

Ai

)≤

n

∑i=1

µ(Ai) .

(e) Si An∞n=1 es una familia numerable de elementos de Σ tales que

A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ . . .

y A =⋃∞

n=1 An , entonces µ(An) → µ(A) cuando n→ ∞.

(f) Si An∞n=1 es una familia numerable de elementos de Σ tales que

A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ . . . ,

µ(A1) < +∞ y A =⋂∞

n=1 An , entonces µ(An) → µ(A) cuandon→ ∞.

(g) [σ–subaditividad] Para toda familia numerable An∞n=1 de elementos

de Σ se tiene

µ( ∞⋃

n=1

An

)≤

∞

∑n=1

µ(An) .

Demostración. (a) Sea A ∈ Σ con µ(A) < +∞ y tomemos

A1 = A , A2 = A3 = . . . = ∅ .

Medibilidad 9

Entonces, dado que tales conjuntos son disjuntos entre sí, de la σ–aditividadde µ se deduce

+∞ > µ(A) = µ( ∞⋃

n=1

An

)= µ(A) +

∞

∑n=2

µ(∅) ,

por lo que ha de ser µ(∅) = 0.(b) es también una consecuencia de la σ–aditividad de µ, pues basta

con elegir An+1 = An+2 = . . . = ∅ y aplicar el resultado establecido en(a).

(c) se demuestra a partir de (b) sin más que considerar la descomposi-ción B = (B ∩ A) ∪ (B \ A) = A ∪ (B \ A). Claramente A ∩ (B \ A) = ∅,por lo que la propiedad de aditividad demostrada en (b) implica

µ(B) = µ(A) + µ(B \ A) ≥ µ(A) .

La propiedad (d) se obtiene como consecuencia de (b) sin más que es-cribir

µ( n⋃

i=1

Ai

)= µ

(A1 ∪ A2 \ A1 ∪ · · · ∪ An \ (An−1 ∪ · · · ∪ A1)

)= µ(A1) + µ(A2 \ A1) + · · ·+ µ

(An \ (An−1 ∪ · · · ∪ A1)

)≤

n

∑i=1

µ(Ai) ,

donde la última desigualdad resulta de haber aplicado la propiedad (c).Para demostrar (e) tomamos B1 = A1 y Bn = An \ An−1 para n ≥ 2.

Entonces Bn ∈ Σ para todo n ∈ N (nótese que Bn = An ∩ Acn−1 ∀ n ≥ 2) y

Bi ∩ Bj = ∅ si i 6= j. Además,⋃n

i=1 Bi = An y A =⋃∞

i=1 Bi. Por consiguiente

µ(An) = n

∑i=1

µ(Bi)−→

∞

∑i=1

µ(Bi) = µ(A) cuando n→ ∞ ,

donde se ha usado nuevamente la propiedad (b) y la σ–aditividad de µ.Para probar (f) definimos Bn = A1 \ An, de modo que

(i) B1 ⊂ B2 ⊂ B3 ⊂ . . . ⊂ Bn ⊂ . . . ,

(ii) A1 = An ∪ Bn(b)⇒ µ(Bn) = µ(A1)− µ(An) ,

(iii) A1 \ A = A1 \⋂∞

n=1 An =⋃∞

n=1 Bn .

José L. López

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Teniendo en cuenta nuevamente que

A1 = (A1 \ A) ∪ A⇒ µ(A1) = µ(A1 \ A) + µ(A)

gracias a la propiedad de aditividad finita expresada en (b), podemos apli-car (e) a la familia Bn (en virtud de (i)) y obtener

µ(A1)− µ(A)(iii)= µ

( ∞⋃n=1

Bn

)= lım

n→∞µ(Bn)

(ii)= µ(A1)− lım

n→∞µ(An) ,

de donde se concluye que µ(An) → µ(A) cuando n→ ∞.Finalmente, para demostrar (g) se emplean las propiedades (d) y (e):

µ( ∞⋃

n=1

An

)= µ

( ∞⋃n=1

n⋃k=1

Ak

)= lım

n→∞

µ( n⋃

k=1

Ak

)≤ lım

n→∞

n

∑k=1

µ(Ak)=

∞

∑k=1

µ(Ak) .

Tres propiedades básicas de la medida de Lebesgue

La construcción de la medida de Lebesgue es una tarea ardua que es-capa a los propósitos de este compendio. Sin embargo su estudio es unainversión de alta rentabilidad, pues constituye una herramienta matemá-tica tan potente que a la postre permite calcular correctamente el volumeneuclídeo de una gran cantidad de conjuntos. Por ejemplo, la medida de Le-besgue de cualquier bola euclídea de radio R es (como se comprobará enla Proposición 5)

|BR(x)| = Rd

d|Sd−1| , (2)

donde

|Sd−1| = 2πd2

Γ( d

2

) (3)

es la superficie de la esfera unidad en Rd y Γ(λ) es la función Gamma (cf.Observación 4).

La σ–álgebra a considerar en este ámbito es la de Lebesgue, a la quedenotaremos LRd , formada por todos los subconjuntos de Rd medibles enel sentido de Lebesgue (según la Definición 4 de unas líneas más abajo), de

Tres propiedades básicas de la medida de Lebesgue 11

modo que el espacio de medida asociado es (Rd,LRd , λ), donde λ : LRd →[0,+∞] es la llamada medida de Lebesgue. Describamos brevemente cómofunciona esta medida. Actuando sobre conjuntos abiertos, la medida deLebesgue se define como la suma de los volúmenes de las piezas elementalesque los componen:

λ(O) =∞

∑j=1

vol(Ij) , (4)

donde Ij∞j=1 es una familia numerable de intervalos de Rd disjuntos dos

a dos tales que O =⋃∞

j=1 Ij (cf. Lema 1) y donde

vol(I) = (b1 − a1)× · · · × (bd − ad)

es el volumen del intervalo I = [a1, b1]× · · · × [ad, bd] (independientemen-te de que se trate de un intervalo cerrado, abierto o semiabierto). Para elresto de conjuntos medibles, la medida de Lebesgue es la restricción a LRd

de la medida exterior λ? : P(Rd)→ [0,+∞] definida como

λ?(A) = ınfλ(O) : A ⊂ O , O abierto . (5)

Llegado este punto, conviene recordar que una medida exterior es una fun-ción de conjuntos µ? : P(Rd) → [0,+∞] monótona y σ–subaditiva (cf.Proposición 3 (c) y (g)) que asigna el valor cero al conjunto vacío (cf. Pro-posición 3 (a)).1 Sobre esta base podemos destacar que la σ–álgebra LRd

está formada por todos los subconjuntos de Rd que satisfacen la siguientepropiedad.

Definición 4 (Conjunto medible en el sentido de Lebesgue). Decimos queA ⊂ Rd es un conjunto medible en el sentido de Lebesgue (es decir, A ∈LRd) si para todo ε > 0 existen un cerrado F y un abierto G en Rd tales queF ⊆ A ⊆ G y λ(G \ F) < ε. 2

Recordemos algunas de las propiedades más relevantes de la medidade Lebesgue. En lo que sigue usaremos frecuentemente la notación |A| enlugar de λ(A) para hacer referencia a la medida de Lebesgue del conjuntoA ∈ LRd . La antedicha medida es

(a) invariante por traslaciones,

1Nótese que, a pesar del nombre, una medida exterior no es en general una medida2Nótese que G \ F es un conjunto abierto, luego medible en el sentido de Lebesgue

según la fórmula (4)

José L. López

12

es decir: para todo conjunto A ∈ LRd y para todo v ∈ Rd fijo,

|A| = |A + v| = |x + v : x ∈ A| .

Una prueba palpable de la relevancia de esta propiedad la encontramosen la fórmula clásica (2) , en la que se pone de manifiesto que la medidade Lebesgue de cualesquiera dos bolas en Rd con igual radio es invariante(es decir, no depende de dónde estén centradas). De hecho, ésta es (salvoconstantes) la única medida invariante por traslaciones en Rd.

Otras dos propiedades esenciales de la medida de Lebesgue son lassiguientes:

(b) regularidad interior:

|A| = sup|C| : C ⊆ A , C compacto ∀ A ∈ LRd (6)

y

(c) regularidad exterior (cf. (5)):

|A| = ınf|O| : A ⊆ O , O abierto ∀ A ∈ LRd . (7)

Esta última propiedad desempeñará un papel esencial en el siguiente ca-pítulo, a la hora de aproximar funciones que solo satisfacen una propiedadde integrabilidad por medio de funciones regulares.

Ejemplo 4. Para no llevarnos a engaños, a lo largo de este ejemplo ilustra-remos, en particular, la existencia de conjuntos no medibles en el sentido deLebesgue. Además, construiremos algunos conjuntos medibles que revis-ten especial interés.

(a) Los conjuntos de Borel son medibles en el sentido de Lebesgue (jus-tifíquese). De hecho, se dispone del siguiente

Corolario 1. Todo conjunto A ⊂ Rd medible en el sentido de Le-besgue se puede descomponer como una unión disjunta de la formaA = B ∪ N, donde B ⊆ A es un conjunto de Borel y N es un subcon-junto de A que tiene medida nula.

En efecto, en virtud de la Definición 4 basta con elegir B = F yN = A \ F. Claramente B ∈ BRd y |N| = |A \ F| ≤ |G \ F| < ε segúndicta la Proposición 3 (c), luego ha de ser |N| = 0. Una lectura ade-cuada del resultado anterior permite argumentar que los conjuntosmedibles en el sentido de Lebesgue están completamente determi-nados a partir de la σ–álgebra de Borel o, dicho de otro modo, queLRd es la completación de BRd respecto de la medida de Lebesgue.


(b) Q ⊂ R es medible en el sentido de Lebesgue, ya que el conjuntounitario q es medible para cada q ∈ Q y la unión numerable deconjuntos medibles es medible (recuérdese la propiedad (c) de lasσ–álgebras). En efecto:

q =((−∞, q) ∪ (q,+∞)

)c∈ BR ⊂ LR .

Además, como |q| = 0 (en virtud de la propiedad de regularidadexterior (7)) para todo q ∈ Q, la propiedad de σ–aditividad de lasmedidas (cf. Proposición 3 (g)) establece que |Q| = 0.

(c) Consideremos ahora el conjunto de números irracionales contenidosen un intervalo [a, b]: A = [a, b] \ ([a, b] ∩Q). Argumentando comoen el ejemplo anterior se tiene que [a, b] ∩ Q ∈ LR, por lo que Aes también medible en [a, b] en el sentido de Lebesgue por paso alcomplementario (propiedad (b) de las σ–álgebras). Además se puedeescribir [a, b] = A ∪ ([a, b] ∩Q), por lo que

b− a = |[a, b]| = |A|+ |[a, b] ∩Q| ≤ |A|+ |Q| = |A| ,

en virtud de la aditividad finita y la monotonía de las medidas (cf.Proposición 3 (b) y (c)). Por otro lado se tiene que |A| ≤ |[a, b]| =b− a (cf. Proposición 3 (c)), luego |A| = b− a.

(d) El siguiente ejemplo ilustra la existencia de conjuntos no numera-bles que también tienen medida nula. Consideramos para ello el in-tervalo I = [0, 1] y lo dividimos en tres partes iguales. Si tras es-ta división se prescinde del interior del subintervalo central se ob-tiene I1 =

[0, 1

3

]∪[2

3 , 1]. A continuación repetimos el proceso con

cada uno de los dos intervalos que componen I1, obteniéndose asíI2 =

[0, 1

9

]∪[2

9 , 13

]∪[2

3 , 79

]∪[8

9 , 1]. Supongamos construido In, que

estaría formado por la unión de 2n intervalos cerrados y disjuntos,cada uno de ellos de longitud (1/3)n. Procediendo del mismo mo-do sucesivamente encontramos que In+1 ⊂ In para todo n ∈ N. Sedefine entonces

C =∞⋂

n=1

In ,

que recibe el nombre de conjunto ternario de Cantor.

Claramente C es no vacío, pues contiene al menos a los extremos decada uno de los intervalos cerrados de cuya unión resultan los con-juntos In; y es cerrado, porque se obtiene como una intersección nu-merable de conjuntos cerrados. Que C tiene medida nula es también

José L. López

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de fácil comprobación, pues (cf. Proposición 3 (f))

|C| = lımn→∞|In| = lım

n→∞

(23

)n= 0 .

Estudiemos finalmente la no numerabilidad de C. Para ello observa-mos en primer lugar que, según la construcción llevada a cabo, todossus elementos pueden escribirse de la siguiente forma:

C 3 x =a1

3+

a2

32 +a3

33 + · · ·+ an

3n + . . . ,

donde aj = 0 o bien aj = 2 para todo j ∈ N. Es decir, cada elementox ∈ C admite una expresión en base tres del tipo

x = 0.a1a2a3 . . . an . . .

y, recíprocamente, cada expresión de la forma anterior representa unelemento de C. Razonamos entonces por reducción al absurdo, ad-mitiendo para ello que C fuese numerable. En ese caso debería poderescribirse como

C = xnn∈N ,

donde cada uno de los elementos xn adoptaría la siguiente forma:

x1 = 0.a11a1

2a13 . . . a1

n . . .x2 = 0.a2

1a22a2

3 . . . a2n . . .

...xn = 0.an

1 an2 an

3 . . . ann . . .

...

Consideremos ahora el elemento

y = 0.b1b2b3 . . . bn . . .

construido de acuerdo al siguiente convenio: si ann = 0 entonces

bn = 2, mientras que si ann = 2 entonces bn = 0. Dicho de otro modo,

la representación en base tres del elemento y tiene por mantisa el re-sultado de cambiar ceros por doses y viceversa, de forma ordenada,en cada una de las posiciones diagonales de las mantisas de los ele-mentos xn. Claramente y 6= xn para todo n ∈N y sin embargo y ∈ C,lo cual nos conduce a una contradicción. Por tanto, C no puede sernumerable.


Desde que los conjuntos de Cantor vieron la luz en 1883 y a raíz delimpulso experimentado por la geometría fractal de la mano de a Be-noît Mandelbrot, éstos han sido utilizados como modelo en diversasaplicaciones, como por ejemplo en fenómenos de turbulencia, distri-buciones de galaxias en el universo, fluctuaciones de precios en unmercado o control de ruidos en procesos de transmisión digital.

(e) Finalmente ilustramos la existencia de conjuntos no medibles en elsentido de Lebesgue. Diremos para ello que dos elementos x, y ∈[0, 1] están relacionados entre sí si x − y ∈ Q (compruébese que setrata de una relación de equivalencia). Consideremos entonces unconjunto A que contenga solamente un elemento de cada clase deequivalencia.3 Un conjunto de este tipo recibe el nombre de conjun-to de Vitali. Si A fuese medible en el sentido de Lebesgue, podría-mos considerar también la siguiente familia de conjuntos medibles:An = A + qn, n ∈ N, donde qn representa aquí el conjuntoformado por los números racionales del intervalo [−1, 1]. Obsérve-se que (i) cada An sería medible en el sentido de Lebesgue por serel trasladado de un conjunto medible y, además, tendría la mismamedida que A.

Claramente (ii) los conjuntos An son disjuntos dos a dos. En efecto:si para n 6= m se considera x ∈ An ∩ Am, entonces habría de serx = a1 + qn = a2 + qm con a1, a2 ∈ A, de donde se concluye quea2 − a1 ∈ Q. Finalmente, como por construcción el conjunto A solocontiene un elemento de cada clase de equivalencia habría de sera1 = a2, luego qn = qm.

Comprobemos que además

(iii) [0, 1] ⊂ ⋃∞n=1 An ⊂ [−1, 2].

Para ello, sea en primer lugar x ∈ [0, 1] y consideremos el (único)elemento xA de su clase de equivalencia que (por construcción) for-ma parte de A, de modo tal que x y xA están relacionados, es decir,x − xA = qj ∈ Q ∩ [−1, 1]. Entonces se tiene que x = xA + qj ∈ Aj,lo que demuestra la primera de las relaciones de inclusión. Por otraparte, si x ∈ ⋃∞

n=1 An entonces ha de pertenecer a alguno de los An,luego x = a + qn con a ∈ A (⊂ [0, 1]) y qn ∈ Q ∩ [−1, 1]. Por consi-guiente, x ∈ [−1, 2].

3Nótese que para construir un conjunto tal es necesario recurrir al axioma de elección

José L. López

16

Para concluir, de la σ–aditividad (cf. (ii)) y la monotonía de las me-didas (cf. Proposición 3 (c)) se deduce que

∞

∑n=1|A| (i)=

∞

∑n=1|An| =

∣∣∣ ∞⋃n=1

An

∣∣∣ ≤ |[−1, 2]| = 3 ,

por lo que necesariamente ha de ser |A| = 0. En particular se tiene∣∣∣⋃∞n=1 An

∣∣∣ = 0, lo cual contradice (iii).

El lector interesado en un estudio profundo y elegante de la medidade Lebesgue y de la Teoría de la Medida en general puede acudir, porejemplo, a los textos [Rud1] y [Cohn] .

Integración y conjuntos de medida nula

Indudablemente, la teoría de la integración de Lebesgue es uno de losparadigmas de la matemática del siglo XX y la culminación del largo via-je iniciado por Riemann hasta encontrar la perspectiva adecuada desde laque ha de contemplarse la teoría general de la integración. La idea quesubyace a la extensión que la integral de Lebesgue supuso de la integralde Riemann reside, junto a la reparación de algunas limitaciones del teore-ma fundamental del cálculo, en el hecho de que las funciones integrablesen el sentido de Riemann adquieren estructura de espacio métrico con ladistancia

d( f , g) =∫ b

a| f (x)− g(x)| dx ,

si bien ésta no es completa. Uno de los ejemplos clásicos que sirven parailustrar esta situación es el siguiente: considérese la sucesión fn : [0, 1] →R definida por

fn(x) =

1 si x ∈ r1, . . . , rn0 en otro caso ,

donde rn denota el n–ésimo número racional del intervalo [0, 1]. Es cla-ro que cada elemento de la sucesión anterior es una función integrableen el sentido de Riemann, pues presenta un número finito de puntos dediscontinuidad. Sin embargo, su límite puntual es la función de Dirichletf : R→ R definida como

f (x) =

1 si x ∈ Q

0 si x ∈ R \Q, (8)

Integración y conjuntos de medida nula 17

que es discontinua en todos los puntos de [0, 1] y, por consiguiente, nointegrable en el sentido de Riemann.

Es precisamente la completación de este espacio el proceso que con-duce hacia las funciones de módulo integrable en el sentido de Lebesgue(L1(Ω) en la notación del capítulo siguiente). El propósito de esta secciónes hacer un breve recorrido por algunos de los resultados más útiles re-lacionados con la integración de funciones medibles, fundamentalmenteaquéllos que permiten entender cómo y cuándo está permitido intercam-biar límite e integral. Para llevar a cabo un estudio detallado de la teoríade integración de Lebesgue remitimos al lector a [Rud1] y [HS]. Comenza-mos introduciendo algunas nociones y propiedades fundamentales de laantedicha teoría.

Definición 5 (Función simple e integral de Lebesgue). Sea (Ω, Σ, µ) unespacio de medida.

(a) Decimos que una función s : (Ω, Σ, µ)→ [0,+∞] es simple si su ima-gen consiste en un número finito de puntos de [0,+∞]. De hecho, siα1, . . . , αn es el conjunto discreto de valores que toma dicha fun-ción y si denotamos Ai = x ∈ Ω : s(x) = αi, entonces s(x) sepuede expresar de la siguiente forma:

s(x) =n

∑i=1

αi χAi(x) , (9)

donde χAi es la función característica del conjunto Ai. Claramente,la función s es medible si y solamente si cada uno de los conjuntosAi es medible (cf. Ejemplo 2 (b)).

(b) Si A1, . . . , An, E ∈ Σ y s : (Ω, Σ, µ) → [0,+∞] es la función simpledescrita en (9), se define∫

Es dµ :=

n

∑i=1

αi µ(Ai ∩ E) , (10)

donde dado el caso se establecerá el convenio 0 ·∞ = 0. Obsérveseque en particular se dispone de la siguiente identidad:∫

EχA dµ = µ(A) ∀ A ⊆ E , (11)

la cual pone de manifiesto la siguiente máxima que se erige comouno de los pilares de la teoría de la medida: medir un conjunto es inte-grar su función característica. Por otro lado, si f : (Ω, Σ, µ) → [0,+∞]

José L. López

18

es una función medible y E ∈ Σ, se define∫E

f dµ := sup ∫

Es dµ

, (12)

donde el supremo se toma sobre todas las funciones simples y medi-bles s tales que 0 ≤ s(x) ≤ f (x) ∀ x ∈ E. El primer miembro de (12)es la conocida integral de Lebesgue.

El siguiente resultado de aproximación es crucial para la construcciónde la integral de Lebesgue a partir de funciones simples y, en general, muyútil en toda la teoría de integración.

Teorema 1 (Aproximación de funciones medibles por funciones simples).Sean (Ω, Σ) un espacio medible y f : (Ω, Σ) → [0,+∞] una función me-dible. Entonces existe una sucesión creciente sn de funciones simples,medibles y no negativas en Ω tal que

lımn→∞sn(x) = f (x) ∀ x ∈ Ω .

Demostración. Se define la siguiente partición de la imagen de f :

Ain =

x ∈ Ω :

i2n ≤ f (x) <

i + 12n

, i ∈ [0, n2n) ∩ (N∪ 0) ,

Bn = x ∈ Ω : f (x) ≥ n .

Es inmediato comprobar que ambas familias de conjuntos son medibles ala luz de la Proposición 1, luego las funciones simples de la forma

sn =n2n−1

∑i=1

i2n χAi

n+ n χBn , n ∈N ,

también lo son. Además, es evidente que 0 ≤ sn ≤ f .Comprobemos ahora que lımn→∞sn(x) = f (x) para todo x ∈ Ω.

Para ello consideremos en primer lugar aquellos x ∈ Ω para los quef (x) 6= ∞, los cuales permiten seleccionar, para valores suficientementegrandes de n, un valor adecuado de i tal que x ∈ Ai

n. En consecuencia

0 ≤ f (x)− sn(x) <i + 1

2n −i

2n =12n ,


de donde se concluye la convergencia esperada. Por el contrario, si x ∈ Ωes tal que f (x) = ∞, entonces sn(x) = n → ∞ = f (x) cuando n→ ∞.

Únicamente falta por comprobar la monotonía de sn. Observamosen primer lugar que, dado i < n2n, se verifica Ai

n = A2in+1 ∪ A2i+1

n+1 (ve-rifíquese). Las tres posibilidades que se pueden presentar son, pues, lassiguientes:

Si x ∈ A2in+1, entonces

sn+1(x) =2i

2n+1 =i

2n = sn(x) .

Si x ∈ A2i+1n+1 , entonces

sn+1(x) =2i + 12n+1 >

2i2n+1 =

i2n = sn(x) .

Si x ∈ Bn entonces f (x) ≥ n, luego

x ∈

⋃n2n+1≤i≤(n+1)2n+1−1

Ain+1

∪ Bn+1 .

Por consiguiente, sn+1(x) ≥ n = sn(x).

La construcción de la integral de Lebesgue es, por tanto, sutilmente di-ferente a la que culmina con la integral de Riemann. En efecto, el conceptode integral de Riemann se fundamenta en la partición sucesiva del domi-nio de la función, mientras que la idea que sustenta el concepto de integralde Lebesgue se basa en la partición de la imagen de la función (obsérveseel aspecto que adoptan los conjuntos An

i y Bn en la demostración anterior).De este modo es como la integral de Lebesgue extiende a la de Riemann,coincidiendo ambas siempre que esta última existe, con la ventaja de quela integral de Lebesgue hace integrables a muchas más funciones (inclusono acotadas) que la de Riemann, generaliza los intervalos –vistos como re-cintos de integración– a conjuntos medibles cualesquiera y supera algunasde las limitaciones que la integral de Riemann exhibe frente al intercambiocon respecto al proceso de paso al límite.

En el siguiente resultado se recogen algunas de las propiedades másimportantes de la integral de Lebesgue.

José L. López

20

Proposición 4 (Propiedades de la integral de Lebesgue). Sea Ω ⊆ Rd.Dadas dos funciones f y g medibles en (Ω, Σ, µ) y dados cualesquieraE, F ∈ Σ, la integral de Lebesgue satisface las siguientes propiedades:

(a) [Linealidad]∫

E(α f + βg) dµ = α∫

E f dµ + β∫

E g dµ ∀ α, β ∈ R.

(b) [Monotonía] Si f ≤ g, entonces∫

E f dµ ≤∫

E g dµ. En particular,∣∣∣ ∫E

f dµ∣∣∣ ≤ ∫

E| f | dµ .

(c) [Aditividad del dominio] Si E ∩ F = ∅, entonces∫E∪F

f dµ =∫

Ef dµ +

∫F

f dµ .

Demostración. Haremos la prueba para el caso en que f y g son funcionessimples. La extensión al caso general es consecuencia del argumento deaproximación establecido en el Teorema 1. Sean por tanto

f =n

∑i=1

αi χAi , g =m

∑j=1

β j χBj ,

con E =⋃n

i=1 Ai =⋃m

j=1 Bj. Entonces

∫E(α f + βg) dµ =

∫E

(α

n

∑i=1

αi χAi + βm

∑j=1

β jχBj

)dµ

=∫

E

(α

n

∑i=1

αi

m

∑j=1

χAi∩Bj + βm

∑j=1

β j

n

∑i=1

χAi∩Bj

)dµ

=∫

E

n

∑i=1

m

∑j=1

(ααi + ββ j)χAi∩Bj dµ =n

∑i=1

m

∑j=1

(ααi + ββ j)µ(Ai ∩ Bj)

= αn

∑i=1

m

∑j=1

αiµ(Ai ∩ Bj) + βn

∑i=1

m

∑j=1

β jµ(Ai ∩ Bj)

= αn

∑i=1

αiµ(Ai) + βm

∑j=1

β jµ(Bj) = α∫

Ef dµ + β

∫E

g dµ ,

lo cual prueba la propiedad (a).


Para demostrar (b) basta con tener en cuenta que

g− f =n

∑i=1

m

∑j=1

(β j − αi) χAi∩Bj

es una función simple no negativa (por hipótesis), luego su integral deLebesgue también ha de ser no negativa (cf. (10)), lo que combinado con(a) permite concluir que

0 ≤∫

E(g− f ) dµ =

∫E

g dµ−∫

Ef dµ .

Supongamos finalmente que E ∪ F =⋃n

i=1 Ai con E ∩ F = ∅. Se tiene

∫E∪F

f dµ =n

∑i=1

αiµ((Ai ∩ E) ∪ (Ai ∩ F)

)=

n

∑i=1

αi(µ(Ai ∩ E) + µ(Ai ∩ F)

)=

n

∑i=1

αiµ(Ai ∩ E) +n

∑i=1

αiµ(Ai ∩ F) =∫

Ef dµ +

∫F

f dµ ,

lo que demuestra (c). Obsérvese que se ha utilizado la propiedad de aditi-vidad finita de las medidas (cf. Proposición 3 (b)) para escribir

µ((Ai ∩ E) ∪ (Ai ∩ F)

)= µ(Ai ∩ E) + µ(Ai ∩ F) .

Definición 6 (Igualdad casi por doquier). Si f y g son dos funciones me-dibles en (Ω, Σ, µ) que difieren en un conjunto que tiene medida nula, estoes,

µ(x ∈ Ω : f (x) 6= g(x)) = 0 ,

decimos que f = g casi por doquier (c.p.d.) en Ω con respecto a la medida µ.Este concepto depende, por supuesto, de la medida empleada y exclusiva-mente en el caso en que se utilice la medida de Lebesgue nos referiremosa esta propiedad sin hacer mención a la misma: f = g c.p.d. en Ω.

La igualdad c. p. d. constituye una relación de equivalencia (comprué-bese) cuya repercusión en la teoría de integración es fundamental. Nóteseque si f = g c.p.d. en Ω con respecto a µ, entonces∫

Ef dµ =

∫E

g dµ para todo E ∈ Σ .

José L. López

22

En efecto: sea N el subconjunto medible de Ω para el que µ(N) = 0 yf (x) = g(x) en Ω \ N. Entonces cualquier conjunto medible E ∈ Σ sepuede escribir como la unión disjunta E = (E \ N)∪ (E∩N) y se tiene (cf.Proposición 4 (c))∫

Ef dµ =

∫E\N

f dµ +∫

E∩Nf dµ

=∫

E\Ng dµ +

∫E∩N

g dµ =∫

Eg dµ , (13)

ya que f = g en E \ N y µ(E ∩ N) = 0, en cuyo caso (12) y (10) se aplicanpara deducir (13). Por tanto, se puede afirmar que los conjuntos de medidanula son despreciables con respecto a la integración.

A la luz de estas disquisiciones es natural establecer la siguiente

Definición 7 (Convergencia casi por doquier). Sea fn : Ω → R unasucesión de funciones medibles. Decimos que la sucesión fn convergec.p.d. en Ω hacia una función f : Ω→ R si fn(x) → f (x) cuando n→ ∞salvo quizá en un conjunto de medida nula de Ω.

El siguiente resultado expone en qué sentido y bajo qué (extremada-mente flexibles) condiciones se puede afirmar que la convergencia c.p.d. escasi uniforme.

Teorema 2 (Egoroff). Sean (Rd, Σ, µ) un espacio de medida y fn : Rd →R una sucesión de funciones medibles. Supongamos también que A ∈ Σcon µ(A) < ∞ y que fn → g c.p.d. en A cuando n → ∞. Entonces, paratodo ε > 0 existe un conjunto medible B ⊂ A tal que

(i) µ(A \ B) < ε,

(ii) fn → g uniformemente en B cuando n→ ∞.

Demostración. Se definen los conjuntos

Xi,j =∞⋃

n=j

x ∈ Rd : | fn(x)− g(x)| > 1

2i

, i, j ∈N .

Claramente Xi,j+1 ⊂ Xi,j para cualesquiera i, j ∈N, luego para cada i ∈N

(fijo) la sucesión Xi,jj∈N es decreciente (en sentido conjuntista). Comoademás µ(A) < ∞, se tiene que (cf. Proposición 3 (f) y (a))

lımj→∞µ(A ∩ Xi,j) = µ

(A ∩

( ∞⋂j=1

Xi,j

))= µ(∅) = 0 .


Por tanto, para cualesquiera i ∈N y ε > 0 existe ni ∈N tal que

µ(A ∩ Xi,ni) <ε

2i .

Definimos ahora B = A \⋃∞i=1 Xi,ni . Gracias a la σ–subaditividad de µ (cf.

Proposición 3 (g)) obtenemos (i), ya que

µ(A \ B) ≤∞

∑i=1

µ(A ∩ Xi,ni) < ε .

Por consiguiente, para cualesquiera i ∈N, x ∈ B y n ≥ ni se tiene

| fn(x)− g(x)| ≤ 12i ,

de donde se desprende que fn → g uniformemente en B cuando n→ ∞.Esto concluye la prueba de (ii).

Los teoremas que exponemos a continuación son piedras angulares dela teoría de integración y, en general, del análisis matemático.

Teorema 3 (de la convergencia monótona). Sean (Ω, Σ, µ) un espacio demedida y fn una sucesión de funciones medibles en (Ω, Σ, µ) tales que

0 ≤ fn(x) ≤ fn+1(x) ∀ n ∈N , ∀ x ∈ Ω

y fn(x) → f (x) para todo x ∈ Ω cuando n → ∞. Entonces f : Ω → R

es medible y

lımn→∞

∫Ω

fn dµ=∫

Ωlım

n→∞ fn dµ =

∫Ω

f dµ .

Demostración [W. Rudin]. Comprobamos en primer lugar que f es medi-ble. Para ello basta con observar que

f−1((a, b)) =⋃

n∈N

f−1n ((a, b)) ∀ a, b ∈ R .

Entonces, como por hipótesis fn es medible para cada n ∈ N se concluyefácilmente que f es medible (cf. Proposición 1 (f)).

Por otro lado, como consecuencia de la monotonía de la integral deLebesgue (Proposición 4 (b)) se tiene

0 ≤∫

Ωf1 dµ ≤ · · · ≤

∫Ω

fn dµ ≤∫

Ωfn+1 dµ ≤ · · · ≤

∫Ω

f dµ ,

José L. López

24

por lo que la sucesión ∫

Ω fn dµ

se revela monótona y acotada, luegopuede garantizarse la existencia de

0 ≤ L ≤∫

Ωf dµ (14)

tal que

lımn→∞

∫Ω

fn dµ= L . (15)

Demostramos ahora la desigualdad contraria: L ≥∫

Ω f dµ, con lo que con-cluiría la prueba del teorema. Sea para ello

s(x) =k

∑i=1

αi χAi(x)

una función simple y medible cualquiera que satisfaga 0 ≤ s(x) ≤ f (x)(cf. Teorema 1). Sea también 0 < λ < 1 una constante y consideremos lafamilia de conjuntos

En =

x ∈ Ω : fn(x) ≥ λs(x)

, n ∈N .

Es evidente que cada En es medible y que E1 ⊂ · · · ⊂ En ⊂ En+1 ⊂ . . .Además Ω =

⋃∞n=1 En, ya que

(i) si x ∈ Ω es tal que f (x) = 0, entonces s(x) = 0 y x ∈ ⋂∞n=1 En;

(ii) y, por otra parte, si f (x) > 0 entonces se cumple λs(x) < s(x) ≤f (x), por lo que x ha de pertenecer a En para algún n ∈N.4

Consecuentemente, la siguiente cadena de desigualdades es satisfechapara todo n ∈N:

∫Ω

fn dµ ≥∫

Enfn dµ ≥ λ

∫En

s dµ = λk

∑i=1

αi µ(En ∩ Ai) . (16)

Como los conjuntos En son todos medibles y Ω =⋃∞

n=1 En, se deduce que(cf. Proposición 3 (e))

lımn→∞µ(En ∩ Ai) = µ(Ω ∩ Ai) = µ(Ai) ,

4Es éste el momento en que se aprecia la necesidad de introducir el parámetro 0 <λ < 1 para definir convenientemente los conjuntos En


luego ∫

Ens dµ

→∫

Ω s dµ cuando n→ ∞ conforme a la Definición 5 (b).De este modo, pasando al límite en la expresión (16) se tiene que

L ≥ λ∫

Ωs dµ . (17)

Como la desigualdad (17) se verifica cualquiera que sea 0 < λ < 1, tam-bién se tiene

L ≥∫

Ωs dµ

para toda función simple y medible s tal que 0 ≤ s ≤ f , de modo que altomar supremos sobre s se obtiene

L ≥∫

Ωf dµ , (18)

nuevamente en virtud de la Definición 5 (b). La prueba concluye al com-binar (15), (14) y (18).

Teorema 4 (Lema de Fatou). Sean (Ω, Σ, µ) un espacio de medida y fnuna sucesión de funciones medibles en (Ω, Σ, µ) tales que

fn(x) ≥ 0 ∀ x ∈ Ω y f (x) = lım infn→∞

fn(x) .

Entonces ∫Ω

f dµ ≤ lım infn→∞

∫Ω

fn dµ

.

Demostración. Definimos gn(x) = ınfi≥n fi(x). Entonces, conforme a ladefinición de límite inferior se verifica

lımn→∞gn(x) = f (x) .

Además, 0 ≤ gn(x) ≤ gn+1(x) y gn(x) ≤ fn(x) en Ω. Finalmente, aplican-do el teorema de la convergencia monótona (Teorema 3) y la propiedad demonotonía de la integral de Lebesgue (Proposición 4 (b)) se deduce∫

Ωf dµ = lım

n→∞

∫Ω

gn dµ= lım inf

n→∞

∫Ω

gn dµ≤ lım inf

n→∞

∫Ω

fn dµ

.

José L. López

26

Teorema 5 (de la convergencia dominada). Sean (Ω, Σ, µ) un espacio demedida y fn una sucesión de funciones medibles en (Ω, Σ, µ) tales que fn(x) → f (x) para todo x ∈ Ω cuando n → ∞. Supongamos además

que existe una función integrable g, esto es∫

Ωg dµ < ∞, tal que | fn(x)| ≤

g(x) para todo n ∈N y para todo x ∈ Ω. Entonces f es integrable en Ω y

lımn→∞

∫Ω

fn dµ=∫

Ωlım

n→∞ fn dµ =

∫Ω

f dµ .

En particular, la propiedad

lımn→∞

∫Ω| fn − f | dµ

= 0

es satisfecha.

Demostración. La condición | fn(x)| ≤ g(x) expresa el hecho de que lasfunciones | fn| son todas integrables (cf. Proposición 4 (b)). Como tambiénsucede que fn + g ≥ 0 y f + g ≥ 0 en Ω, del Lema de Fatou (Teorema 4)se desprende que∫

Ω( f + g) dµ ≤ lım inf

n→∞

∫Ω( fn + g) dµ

,

luego ∫Ω

f dµ ≤ lım infn→∞

∫Ω

fn dµ

.

Análogamente, como g− fn ≥ 0, se tiene∫Ω(g− f ) dµ ≤ lım inf

n→∞

∫Ω(g− fn) dµ

,

de modo que

−∫

Ωf dµ ≤ lım inf

n→∞

−∫

Ωfn dµ

o, equivalentemente, ∫

Ωf dµ ≥ lım sup

n→∞

∫Ω

fn dµ

en virtud de la conocida relación lım supn→∞xn = − lım infn→∞−xn.Con esto finaliza la primera parte de la prueba, ya que ha de ser

lımn→∞

∫Ω

fn dµ= lım inf

n→∞

∫Ω

fn dµ= lım sup

n→∞

∫Ω

fn dµ=∫

Ωf dµ .


Concluimos aplicando lo ya demostrado a la sucesión | fn − f |. Estasucesión converge a cero c.p.d. en Ω y es tal que | fn − f | ≤ g + | f | paratodo n ∈N. Además, g+ | f | es claramente integrable (g lo es por hipótesisy para comprobar que | f | lo es basta con repetir los argumentos anteriorespara la sucesión | fn|), por lo que todas las hipótesis del teorema sonsatisfechas.

Una aplicación importante del teorema de la convergencia dominadaque resulta de gran utilidad en la práctica es la siguiente.

Corolario 2 (Derivación bajo el signo integral). Sea f : Ω× (a, b)→ R unafunción integrable en Ω ⊂ Rd y derivable en (a, b). Sea también F : Ω→ R

una función integrable que verifica∣∣∣∂ f∂t

(x, t)∣∣∣ ≤ F(x) ∀ (x, t) ∈ Ω× (a, b) .

Entoncesddt

( ∫Ω

f (x, t) dx)=∫

Ω

∂ f∂t

(x, t) dx .

Demostración. Sea hn ⊂ R una sucesión tal que hn → 0 cuandon → ∞. Por el teorema del valor medio, es bien sabido que para cadan ∈N existe ξn ∈ (a, b) tal que

f (x, t + hn)− f (x, t)hn

=∂ f∂t

(x, ξn) .

Por tanto, ∣∣∣∣ f (x, t + hn)− f (x, t)hn

∣∣∣∣ ≤ F(x) .

Del teorema de la convergencia dominada (Teorema 5) se desprende final-mente que

ddt

( ∫Ω

f (x, t) dx)= lım

n→∞

∫Ω

f (x, t + hn)− f (x, t)hn

dx

=∫

Ωlım

n→∞

f (x, t + hn)− f (x, t)

hn

dx =

∫Ω

∂ f∂t

(x, t) dx .

José L. López

28

Observación 2. Tanto en el teorema de la convergencia monótona comoen el lema de Fatou y en el teorema de la convergencia dominada las hi-pótesis de monotonía, no negatividad y acotación uniforme, respectiva-mente, que fueron supuestas ciertas en todo punto, pueden debilitarse yconsiderarse solamente satisfechas c.p.d. sin que las conclusiones de estosresultados experimenten alteración alguna.

Seguidamente exponemos dos de los resultados más provechosos tan-to para el estudio de la integrabilidad de una función como para la eva-luación de integrales múltiples sobre un recinto. Para ello necesitamos dealgunos conceptos preliminares que no serán debatidos con profundidadaquí, aunque los detalles pueden encontrarse en cualquier texto básico deteoría de la medida.

Consideremos (X,A, µ) e (Y,B, ν) dos espacios de medida y denote-mos A × B a la σ–álgebra generada por los rectángulos A × B, dondeA ∈ A y B ∈ B. Si E es un subconjunto del producto cartesiano X × Y,se pueden definir las secciones transversales

Ex = y ∈ Y : (x, y) ∈ E , Ey = x ∈ X : (x, y) ∈ E .

Si además E ∈ A × B es un subconjunto medible de X × Y, entonces sepuede demostrar que Ex ∈ B y Ey ∈ A. Las siguientes propiedades (con-súltese, por ejemplo, [Che])

(P1) la función y 7→ µ(Ey) es medible;

(P2) la función x 7→ ν(Ex) es medible;

(P3)∫

X ν(Ex) dµ =∫

Y µ(Ey) dν;

permiten definir la llamada medida producto µ⊗ ν sobre A× B, que actúade la siguiente forma:

(µ⊗ ν)(E) =∫

Yµ(Ey) dν =

∫X

ν(Ex) dµ ,

o equivalentemente5

(µ⊗ ν)(E) =∫

Y

(∫X

χEy dµ

)dν =

∫X

(∫Y

χEx dν

)dµ .

De este modo, (X × Y,A× B, µ⊗ ν) es un espacio de medida. Así las co-sas, ya podemos demostrar uno de los resultados fundamentales de todala teoría de integración.

5Recuérdese que medir un conjunto es integrar su función característica


Teorema 6 (Fubini). Sean (X,A, µ), (Y,B, ν) dos espacios de medida y seaf : X × Y → [0,+∞] una función medible definida sobre el productocartesiano de X e Y. Entonces

ϕ(x) =∫

Yf (x, y) dν , ψ(y) =

∫X

f (x, y) dµ

son funciones medibles y positivas. Además, se verifica∫X

ϕ(x) dµ =∫

Yψ(y) dν =

∫X×Y

f (x, y) d(µ⊗ ν) . (19)

Demostración. Si f es la función característica de un conjunto E ∈ A×B,entonces la función y 7→ f (x, y) = χE(x, y) = χEx(y) es medible para todox ∈ X y, análogamente, x 7→ χEy(x) es medible para todo y ∈ Y, dado queEx ∈ A y Ey ∈ B. Por tanto

ϕ(x) =∫

YχE(x, y) dν =

∫Y

χEx(y) dν = ν(Ex)

es medible en virtud de la propiedad (P2), al igual que ψ(y) (cf. (P1)). Lapositividad de ambas funciones deriva de la propiedad de monotonía dela integral de Lebesgue establecida en la Proposición 4 (b), toda vez quef ≥ 0. Finalmente, se tiene∫

X×Yf (x, y) d(µ⊗ ν) = (µ⊗ ν)(E)

=∫

Yµ(Ey) dν =

∫Y

ψ(y) dν

=∫

Xν(Ex) dµ =

∫X

ϕ(x) dµ .

Por consiguiente, el teorema es cierto para funciones características desubconjuntos medibles de X×Y y, a su vez, para funciones simples graciasa la linealidad de la integral (Proposición 4 (a)). Si f : X × Y → [0,+∞]es ahora cualquier función medible, se puede garantizar la existencia deuna sucesión de funciones simples, medibles y no negativas que convergemonótonamente hacia f gracias al Teorema 1. Como el límite puntual defunciones medibles es medible (compruébese), se deduce fácilmente queϕ(x) y ψ(y) son funciones medibles. Finalmente, (19) es una consecuenciainmediata del teorema de la convergencia monótona (Teorema 3).

José L. López

30

Observación 3. La extensión del teorema de Fubini al caso en que f :X × Y → R toma valores reales (no necesariamente positivos) pasa sim-plemente por descomponer la función en sus partes positiva y negativa,en tanto que para funciones con valores complejos se procede tratando se-paradamente sus partes real e imaginaria. Esta última versión del teoremade Fubini adquirirá especial relevancia en el ámbito de la transformada deFourier, a la que se dedica el Capítulo 3.

Corolario 3 (Tonelli–Hobson). Sean (X,A, µ), (Y,B, ν) dos espacios de me-dida y f : X × Y → R una función medible definida sobre el productocartesiano de X e Y. Entonces f es absolutamente integrable con respectoa la medida producto, es decir∫

X×Y| f (x, y)| d(µ⊗ ν) < ∞ ,

si y solamente si ∫X

(∫Y| f (x, y)| dν

)dµ < ∞

o bien ∫Y

(∫X| f (x, y)| dµ

)dν < ∞ .

Concluimos esta sección con uno de los resultados más frecuentementeempleados en las aplicaciones: el teorema de cambio de variable. Comen-zamos para ello recordando el concepto de difeomorfismo.

Definición 8 (Difeomorfismo C1 regular). Sea Ω ⊆ Rd un abierto. Deci-mos que una aplicación ϕ : Ω → Rd es un difeomorfismo C1 regular si esinyectiva, ϕ ∈ C1(Ω) y ϕ−1 ∈ C1(ϕ(Ω)).

El siguiente lema recoge algunas propiedades topológicas del espacioeuclídeo (e incluso en algunos casos válidas en espacios más generales,aunque aquí nos limitaremos a Rd por simplicidad) de uso frecuente enlas aplicaciones analíticas.

Lema 1. Las siguientes afirmaciones son satisfechas:

(a) [Descomposición de un abierto en intervalos diádicos] Todo abiertoen Rd puede expresarse como una unión numerable de intervalos deRd. Es más, eligiendo intervalos de la forma I = Ik

1 × · · · × Ikd con

Ikj =

(aj

2k ,aj + 1

2k

], aj ∈ Z , k ∈N∪ 0 , 1 ≤ j ≤ d , (20)


puede conseguirse que la unión sea disjunta. Además, cada uno delos Ik

j –y por tanto cualquier abierto en Rd– puede expresarse comouna unión numerable de intervalos cerrados con interiores disjuntos.

(b) Para cualquier compacto K ⊂ Rd y cualquier abierto O ⊂ Rd talesque K ⊂ O, existe un abierto U relativamente compacto6 que satis-face K ⊂ U ⊂ U ⊂ O.

(c) Sean Ω ⊆ Rd un abierto, E ⊂ Ω un subconjunto medible en el senti-do de Lebesgue y ϕ : Ω → Rd un difeomorfismo C1 regular. Enton-ces ϕ(E) es medible y

|ϕ(E)| ≤∫

E|det(Jϕ(x))| dx ,

donde Jϕ(x) =(

∂∂xi

ϕj(x))

, 1 ≤ i, j ≤ d, es la matriz jacobiana de ϕ

en x y |ϕ(E)| denota la medida de Lebesgue del conjunto ϕ(E).

Demostración. Comprobamos en primer lugar que todo abierto en Rd

puede expresarse como una unión numerable de intervalos de Rd de laforma Ik

1 × · · · × Ikd , con Ik

j como en (22). Es evidente que, para cada k ∈N∪ 0, los intervalos de la forma

Ik =d

∏j=1

Ikj =

d

∏j=1

(aj

2k ,aj + 1

2k

], aj ∈ Z , k ∈N∪ 0 ,

constituyen un recubrimiento de Rd. Sea entonces Ω ⊆ Rd un abierto cual-quiera. Consideramos en primer lugar la familia Λ0 formada por todos losintervalos de la forma anterior con k = 0, es decir I0 = ∏d

j=1(aj, aj + 1],contenidos en Ω. Seguidamente consideramos la familia Λ1 formada portodos los intervalos de la forma I1 = ∏d

j=1

(aj2 ,

aj+12

]contenidos en Ω y no

contenidos en ninguno de los anteriores. Continuando con este proceso seobtiene un conjunto numerable Λii∈N∪0 de familias de intervalos dis-juntos dos a dos cuya unión está contenida en Ω. Para concluir la pruebade (a) basta con observar que se satisface también la inclusión contraria, asaber, Ω ⊆ ∪∞

i=0Λi. Sean para ello ε > 0, x ∈ Ω, Bε(x) ⊂ Ω y k ∈ N ∪ 0suficientemente grande para que los intervalos Ik tengan diámetro menorque ε. Entonces x ha de pertenecer a alguno de los Ik que, obviamente, ha

6Esto es, cuya clausura topológica es un conjunto compacto

José L. López

32

de estar contenido en Ω. Como consecuencia, x o bien forma parte de al-guno de los intervalos que conforman Λk o bien de alguno de los de Λr conr < k, con lo que la primera parte del enunciado (a) queda demostrada.Para concluir la prueba de lo expuesto en (a) observamos que(

aj

2k ,aj + 1

2k

]=

∞⋃n=1

[aj

2k +1

2k+n ,aj

2k +1

2k+n−1

], (21)

intervalos estos últimos con interiores disjuntos.

La prueba de (b) la llevaremos a cabo en dos etapas.

Primera etapa: Si x ∈ O ⊂ Rd, entonces existe un abierto U ⊂ Rd relativa-mente compacto tal que x ∈ U ⊂ U ⊂ O.

Como Rd es localmente compacto, cualquier x ∈ Rd debe admitir unentorno V relativamente compacto. En esta situación, se tiene queO∩V esun abierto en Rd relativo a V que contiene a x. Entonces V \ (O∩V) es, porpaso al complementario, un cerrado relativo a V que no contiene a x, luegola regularidad de Rd (como espacio topológico)7 implica la existencia deabiertos O1 y O2 relativos a V para los que

(i) x ∈ O1 , (ii)V \ (O ∩ V) ⊂ O2 , (iii)O1 ∩O2 = ∅ .

En particular, se tiene que

A∩ V = O1 ⊂ O1(iii)⊂ V \ O2

(ii)⊂ O ∩ V ,

para algún abierto A en Rd. Definimos finalmente U := A∩ V , que satis-face claramente la propiedad del enunciado.

Segunda etapa: Prueba de la propiedad enunciada en (b).

Sean K ⊂ Rd un compacto y O ⊂ Rd un abierto tales que x ∈ K ⊂O. Según lo demostrado en la etapa anterior, ha de existir un abierto re-lativamente compacto (al que denotaremos Ux) que cumpla x ∈ Ux ⊂Ux ⊂ O. En particular, la familia Uxx∈K constituye un recubrimientopor abiertos de K, del que se ha de poder extraer un subrecubrimientofinito Ux1 , . . . ,Uxn en virtud de la compacidad de K. Definimos enton-ces U := Ux1 ∪ · · · ∪ Uxn , que se trata de un abierto en Rd relativamentecompacto que cumple trivialmente lo deseado.

7Un espacio topológico X se dice regular si pueden separarse puntos y cerrados pormedio de abiertos disjuntos, esto es: Dados x ∈ X y C ⊂ X un cerrado cualquiera que nocontenga a x, existen U y V abiertos disjuntos tales que x ∈ U y C ⊂ V


La prueba de (c) la efectuaremos también en varias etapas.

Primera etapa: Si ϕ : Rd → Rd es un isomorfismo lineal y Ω ⊆ Rd es unabierto, entonces8

|ϕ(Ω)| = |det(ϕ)||Ω| .

En efecto: observamos en primer lugar que podemos reducirnos al casoen que Ω es un intervalo de Rd de la forma

(a1, b1]× · · · × (ad, bd] , (22)

y ϕ responde a uno de los tres modelos siguientes:

(i) ϕ(x1, . . . , xd) = (λx1, x2, . . . , xd) , λ ∈ R \ 0,

(ii) ϕ(x1, . . . , xi, . . . , xj, . . . , xd) = (x1, . . . , xj, . . . , xi, . . . , xd),

(iii) ϕ(x1, . . . , xd) = (x1 + x2, x2, . . . , xd),

pues

(I) si Ω ⊆ Rd fuese un abierto arbitrario podría descomponerse (cf. ítem(a) del lema) como unión numerable de intervalos disjuntos de laforma (22), por lo que sería suficiente con usar la σ–aditividad de lamedida de Lebesgue para concluir el razonamiento;

(II) si ϕ fuese un isomorfismo lineal arbitrario podría escribirse

ϕ = ϕn ϕn−1 · · · ϕ1 ,

donde cada una de las aplicaciones ϕj, 1 ≤ j ≤ n, son como en (i),(ii) o bien (iii). En ese caso se tendría

|ϕ(Ω)| = |det(ϕn)| · · · |det(ϕ1)||Ω| = |det(ϕ)||Ω| ,

y con ello el resultado esperado.

Basta entonces con verificar el resultado para los conjuntos de la forma(22) y las aplicaciones lineales establecidas en (i), (ii) y (iii).

Para el caso (i) se tiene

ϕ(Ω) = (λa1, λb1]× (a2, b2]× · · · × (ad, bd] ,

8Obsérvese que a lo largo de la prueba identificaremos tácitamente cada isomorfismolineal ϕ con su matriz asociada según convenga, de ahí que tengan sentido las expresio-nes del tipo det(ϕ)

José L. López

34

de donde se concluye que ϕ(Ω) es medible y

|ϕ(Ω)| = λ|Ω| si λ > 0 , |ϕ(Ω)| = −λ|Ω| si λ < 0 ,

luego|ϕ(Ω)| = |λ||Ω| = |det(ϕ)||Ω| ∀λ 6= 0 .

Por tanto, el resultado es trivialmente satisfecho para la clase de isomor-fismos lineales especificada en (i). Para el caso de (ii) se tiene claramente|ϕ(Ω)| = |Ω|, que a su vez coincide con |det(ϕ)||Ω| pues |det(ϕ)| = 1,luego el resultado es nuevamente satisfecho. Finalmente, para el caso (iii)se tiene

ϕ(Ω) =(x1, . . . , xd) ∈ Rd tales que

a1 + x2 < x1 ≤ b1 + x2, a2 < x2 ≤ b2, . . . , ad < xd ≤ bd

,

por lo que, en virtud del teorema de Fubini (Teorema 6),

|ϕ(Ω)| =∫

Rdχϕ(Ω) dx =

∫ϕ(Ω)

dxd dxd−1 . . . dx1

=∫ bd

ad

∫ bd−1

ad−1

· · ·∫ b3

a3

∫ b2

a2

(∫ b1+x2

a1+x2

dx1

)dx2 . . . dxd

=∫ bd

ad

∫ bd−1

ad−1

· · ·∫ b2

a2

∫ b1

a1

dx1 . . . dxd = |Ω| = |det(ϕ)||Ω|

toda vez que |det(ϕ)| = 1.

Segunda etapa: Si ϕ : Rd → Rd es un isomorfismo lineal y E ⊂ Rd unconjunto medible, entonces ϕ(E) es un conjunto medible y

|ϕ(E)| = |det(ϕ)||E| .

En efecto: fijado ε > 0, existen un abierto G y un cerrado F que satisfa-cen

F ⊆ E ⊆ G , |G \ F| < ε

|det(ϕ)|gracias a la medibilidad de E (cf. Definición 4). Claramente ϕ(G) es abier-to, ϕ(F) es cerrado y ϕ(F) ⊆ ϕ(E) ⊆ ϕ(G). Además, usando lo demostra-do en la primera etapa de la prueba se tiene

|ϕ(G) \ ϕ(F)| = |ϕ(G \ F)| = |det(ϕ)||G \ F| < ε ,


luego ϕ(E) es medible en el sentido de Lebesgue. Por otro lado, en virtudde la regularidad exterior de la medida de Lebesgue (cf. (7)),

|ϕ(E)| = ınf|O| : ϕ(E) ⊂ O,O abierto= ınf|ϕ(G)| : E ⊂ G, G abierto= ınf|det(ϕ)||G| : E ⊂ G, G abierto= |det(ϕ)| ınf|G| : E ⊂ G, G abierto = |det(ϕ)||E| ,

con lo que concluye la prueba de esta etapa.

Tercera etapa: Si Ω ⊆ Rd es un abierto, I un intervalo compacto de Rd con-tenido en Ω y ϕ un difeomorfismo C1 regular, entonces se verifica

|ϕ(I)| ≤∫

I|det(Jϕ(x))| dx .

La prueba de esta parte de la demostración es algo más laboriosa. Co-menzamos destacando que el conjunto ϕ(I) es claramente medible por sercompacto y que la función x ∈ I 7→ |det(Jϕ(x))| es integrable por sercontinua (e I compacto). Denotemos a = (a1, . . . ad) el centro de I y r susemiarista, es decir,9

I =

x ∈ Rd : ‖x− a‖ ≤ r

.

Aplicando el teorema del valor medio para cualquier x ∈ I se obtiene

‖ϕ(x)− ϕ(a)‖ ≤ supλ∈(0,1)

‖Jϕ(a + λ(x− a))‖

‖x− a‖

≤ supz∈I

‖Jϕ(z)‖

‖x− a‖ ≤ sup

z∈I

‖Jϕ(z)‖

r .

Dicho de otro modo, ϕ(I) está contenido en el intervalo cerrado centradoen ϕ(a) con semiarista igual a supz∈I

‖Jϕ(z)‖

r. Por tanto,

|ϕ(I)| ≤(

supz∈I

‖Jϕ(z)‖

)d

|I| . (23)

Fijado x ∈ I, se define ψ := Jϕ(x)−1 ϕ. Aplicando a ψ la desigualdad (23)se obtiene

|ψ(I)| ≤(

supz∈I

‖Jϕ(x)−1 Jϕ(z)‖

)d

|I| . (24)

9A lo largo de la prueba de este resultado usaremos siempre, por comodidad, la normadel máximo. Por tanto, cada vez que escribamos ‖ · ‖ debe entenderse ‖ · ‖∞

José L. López

36

Es evidente que este supremo se alcanza, pues z 7→ ‖Jϕ(x)−1 Jϕ(z)‖ esuna función continua en I. Por otra parte, según lo demostrado en la se-gunda etapa de la prueba se sabe que

|ψ(I)| = |det(Jϕ(x)−1)||ϕ(I)| = |ϕ(I)||det(Jϕ(x))| . (25)

Combinando ahora (24) y (25) se llega a que

|ϕ(I)| ≤ |det(Jϕ(x))|(

supz∈I

‖Jϕ(x)−1 Jϕ(z)‖

)d

|I| . (26)

Por consiguiente, podemos concluir que para cada x ∈ I existe z0 ∈ I talque

|ϕ(I)| ≤ |det(Jϕ(x))|‖Jϕ(x)−1 Jϕ(z0)‖d|I| . (27)

No es menos cierto que la función (x, z) ∈ I × I 7→ ‖Jϕ(x)−1 Jϕ(z)‖ escontinua en el compacto I × I, luego uniformemente continua. Por tanto,fijado ε > 0 podemos considerar, en virtud de la compacidad de I y delLema 1 (a), la descomposición finita

I =n⋃

k=1

Ik , Ik intervalos cerrados y disjuntos dos a dos ,

de modo que si x, z ∈ Ik para algún 1 ≤ k ≤ n, entonces se verifica

|‖Jϕ(x)−1 Jϕ(z)‖ − ‖Jϕ(x)−1 Jϕ(x)‖| < ε

y, consecuentemente,

‖Jϕ(x)−1 Jϕ(z)‖ < 1 + ε en Ik .

Para cada intervalo Ik, sea ahora xk ∈ Ik tal que

|det(Jϕ(xk))| = ınfz∈Ik

|det(Jϕ(z))|

.

Entonces existe zk ∈ Ik tal que la fórmula (27) puede aplicarse en Ik paradeterminar que

|ϕ(Ik)| ≤ |det(Jϕ(xk))|‖Jϕ(xk)−1 Jϕ(zk)‖d|Ik|

< |det(Jϕ(xk))|(1 + ε)d|Ik| ≤ (1 + ε)d∫

Ik

|det(Jϕ(z))| dz ,


luego

|ϕ(I)| =n

∑k=1|ϕ(Ik)| < (1 + ε)d

n

∑k=1

∫Ik

|det(Jϕ(z))| dz

= (1 + ε)d∫

I|det(Jϕ(z))| dz

en virtud de las Proposiciones 3 (b) y 4 (c). Haciendo finalmente ε → 0concluye esta etapa de la demostración.

Cuarta etapa: Si O es un abierto en Rd contenido en Ω y ϕ un difeomorfismoC1 regular, entonces ϕ(O) es medible y

|ϕ(O)| ≤∫O|det(Jϕ(x))| dx .

En efecto: ϕ(O) es claramente abierto y, por consiguiente, un conjuntomedible. Basta entonces con considerar (cf. (a) del Lema 1)

O =∞⋃

n=1

In , In intervalos cerrados y disjuntos dos a dos ,

en cuyo caso se tiene (nuevamente en virtud de las Proposiciones 3 (b) y 4(c))

|ϕ(O)| =∞

∑n=1|ϕ(In)| ≤

∞

∑n=1

∫In|det(Jϕ(x))| dx =

∫O|det(Jϕ(x))| dx ,

para lo que se ha usado el resultado demostrado en la tercera etapa de laprueba.10

Quinta etapa: Si E es un subconjunto medible de Ω y ϕ un difeomorfismo C1

regular, entonces ϕ(E) es medible y

|ϕ(E)| ≤∫

E|det(Jϕ(x))| dx .

Para probar este resultado podemos reducirnos al caso en que la fun-ción x 7→ |det(Jϕ(x))| es acotada en Ω. En efecto, de no ser así bastaríacon considerar

Ω =∞⋃

n=1

Ωn , con Ωn = x ∈ Ω : |det(Jϕ(x))| < n ,

10Nótese que los In son, de hecho, compactos (cf. (21))

José L. López

38

y argumentar sobre cada Ωn. Supongamos entonces que

|det(Jϕ(x))| ≤ M ∀ x ∈ Ω

y sea ε > 0. Como E es medible, ha de cumplirse la consabida propiedad

F ⊆ E ⊆ G ⊆ Ω , |G \ F| < ε

M,

para algún abierto G y algún cerrado F en Ω. Entonces ϕ(G) es abierto,ϕ(F) es cerrado y ϕ(F) ⊆ ϕ(E) ⊆ ϕ(G). Además, gracias al resultadodemostrado en la cuarta etapa de la prueba se tiene

|ϕ(G) \ ϕ(F)| = |ϕ(G \ F)| ≤∫

G\F|det(Jϕ(x))| dx ≤ M|G \ F| < ε ,

de donde se sigue que ϕ(E) es medible. Finalmente

|ϕ(E)| ≤ |ϕ(G)| ≤∫

G|det(Jϕ(x))| dx

=∫

F|det(Jϕ(x))| dx +

∫G\F|det(Jϕ(x))| dx

≤∫

E|det(Jϕ(x))| dx + M|G \ F| <

∫E|det(Jϕ(x))| dx + ε

como consecuencia de las Proposiciones 3 (c), 4 (b) y (c) y la etapa anteriorde la demostración. Al hacer ahora ε→ 0 se obtiene

|ϕ(E)| ≤∫

E|det(Jϕ(x))| dx ,

con lo que concluye la prueba de esta etapa y, con ella, la del lema.

Teorema 7 (Teorema del cambio de variable). Sean Ω ⊆ Rd un abierto,ϕ : Ω → Rd un difeomorfismo C1 regular y f : ϕ(Ω) → R una funciónintegrable en el sentido de Lebesgue. Entonces∫

ϕ(Ω)f (x) dx =

∫Ω( f ϕ)(x)|det(Jϕ(x))| dx .

Demostración. Observamos en primer lugar que si se prueba la desigual-dad ∫

ϕ(Ω)f (x) dx ≤

∫Ω( f ϕ)(x)|det(Jϕ(x))| dx (28)


para cualquier difeomorfismo C1 regular ϕ : Ω → Rd, entonces la de-sigualdad contraria se demuestra de forma inmediata sin más que aplicar(28) a ϕ−1. En efecto: si definimos g(x) := ( f ϕ)(x)|det(Jϕ(x))| se obtie-ne ∫

Ω( f ϕ)(x)|det(Jϕ(x))| dx =

∫ϕ−1(ϕ(Ω))

g(x) dx

≤∫

ϕ(Ω)(g ϕ−1)(x)|det(Jϕ−1(x))| dx

=∫

ϕ(Ω)f (x) dx .

Por consiguiente, es suficiente con demostrar que la desigualdad (28) essatisfecha. Supongamos inicialmente que f ≥ 0 en ϕ(Ω) y demostremosen primera instancia la desigualdad (28) para funciones simples de la for-ma

s(x) =n

∑i=1

αi χAi(x) , 0 ≤ s(x) ≤ f (x) ,

donde los conjuntos Ai ⊂ ϕ(Ω) son medibles para todo 1 ≤ i ≤ n, disjun-tos dos a dos y tales que su unión coincide con ϕ(Ω). En ese caso∫

ϕ(Ω)s(x) dx =

n

∑i=1

αi|Ai| ≤n

∑i=1

αi

∫ϕ−1(Ai)

|det(Jϕ(x))| dx

≤n

∑i=1

∫ϕ−1(Ai)

( f ϕ)(x)|det(Jϕ(x))| dx

=∫

Ω( f ϕ)(x)|det(Jϕ(x))| dx

gracias al Lema 1 (c) y a la Proposición 4 (b) y (c). Tomando ahora supre-mos sobre el conjunto s simple : 0 ≤ s ≤ f se obtiene (recuérdese laDefinición 5 (b) de la integral de Lebesgue)∫

ϕ(Ω)f (x) dx ≤

∫Ω( f ϕ)(x)|det(Jϕ(x))| dx .

Finalmente, si no fuese f ≥ 0 bastaría con considerar la descompo-sición f = f+ − f−, donde f+ y f− denotan respectivamente las partespositiva y negativa de f (cf. Proposición 2 (c)).

José L. López

40

Aplicación: Coordenadas polares en Rd y medida de bolas y esferas

Para d > 1 se considera la siguiente transformación:

ϕ : (0, ∞)× [0, π]× · · · × [0, π]× [0, 2π] ⊂ Rd → Rd ,

definida como ϕ(r, θ1, . . . , θd−1) := (x1, . . . , xd) = x, donde

x1(r, θ1, . . . , θd−1) = r cos(θ1) ,xj(r, θ1, . . . , θd−1) = r sen(θ1) . . . sen(θj−1) cos(θj) , 2 ≤ j ≤ d− 1 ,xd(r, θ1, . . . , θd−1) = r sen(θ1) . . . sen(θd−1) .

Claramente r = |x| y ϕ es una parametrización de la esfera (d − 1)–dimensional de radio r. Un sencillo ejercicio de cálculo nos permite afirmarque

|det(Jϕ(x))| = rd−1 sen(θ1)d−2 sen(θ2)

d−3 . . . sen(θd−2) .

Por tanto, si f es integrable en Rd ha de cumplirse, según el teorema decambio de variable (Teorema 7) y el teorema de Fubini (Teorema 6), lasiguiente identidad:∫

Rdf (x) dx

=∫ 2π

0

∫ π

0. . .∫ π

0

∫ ∞

0rd−1 sen(θ1)

d−2 . . . sen(θd−2) f (rω) dr dθ1 . . . dθd−1

=∫ ∞

0rd−1

(∫Sd−1

f (rω) dω

)dr , (29)

donde ω = ω(θ1, . . . , θd−1) denota la parametrización de la esfera unidadinducida por ϕ y donde además hemos hecho la identificación∫

Sd−1f (rω)dω

:=∫ 2π

0

∫ π

0. . .∫ π

0f (rω) sen(θ1)

d−2 . . . sen(θd−2) dθ1 . . . dθd−1 . (30)

Las nuevas coordenadas (r, θ1, . . . , θd−1) reciben el nombre de coordenadaspolares en Rd. Demostramos finalmente las fórmulas (2) y (3).

Proposición 5 (Superficie y volumen de la esfera). Para todo d > 1 se tiene

|Sd−1| = 2πd2

Γ(

d2

) , |BR(x)| = |B1(0)|Rd =Rd

d|Sd−1| = 2π

d2 Rd

d Γ(

d2

) ,

donde Sd−1 es la esfera unidad en Rd, Br(z) es la bola euclídea d–dimensionalde radio r centrada en z y Γ(λ) es la función Gamma.


Demostración. El teorema de Fubini (Teorema 6) nos permite escribir

∫Rd

e−‖x‖2

dx =d

∏j=1

∫ ∞

−∞e−x2

j dxj =

(∫ ∞

−∞e−x2

dx)d

= πd2 ,

donde la última igualdad se obtiene como consecuencia del siguiente cálcu-lo: (∫ ∞

−∞e−x2

dx)2

=∫

R2e−‖x‖

2dx =

∫ 2π

0

(∫ ∞

0r e−r2

dr)

dθ = π ,

para el que se han introducido coordenadas polares en R2. Aplicando aho-ra la fórmula de integración (29) resulta∫

Rde−‖x‖

2dx =

∫Sd−1

∫ ∞

0rd−1 e−r2

dr dω

=|Sd−1|

2

∫ ∞

0u

d2−1 e−u du =

|Sd−1|2

Γ(

d2

),

donde se ha utilizado el teorema de cambio de variable (Teorema 7) aplica-do a la transformación ϕ : u 7→

√u. Por otra parte, es claro que |BR(x)| =

|B1(x)|Rd = |B1(0)|Rd en virtud de lo probado en la primera etapa de lademostración del Lema 1 (b) y de la propiedad de invariancia por trasla-ciones de la medida de Lebesgue. La prueba concluye tras observar que

|B1(0)| =∫

Rdχ‖x‖≤1 dx =

∫Sd−1

∫ 1

0rd−1 dr dω =

|Sd−1|d

,

para lo que se ha empleado nuevamente la fórmula (29).

Observación 4 (Sobre la función Gamma). Por comodidad para el lectorrecordamos brevemente la definición y algunas de las propiedades másimportantes de la función Gamma. La función Gamma se define por me-dio de la siguiente expresión integral:

Γ(λ) =∫ ∞

0e−t tλ−1 dt ,

la cual es convergente para valores positivos del parámetro λ. Integrandopor partes es fácil comprobar que

Γ(λ) =Γ(λ + 1)

λ. (31)

José L. López

42

-3 -2 -1 1 2 3

-20

-10

10

20

Figura 1: Representación gráfica de la función Gamma en el intervalo (−3, 3).

Asimismo, por integración directa se observa que Γ(1) = 1. Combinandoesta última propiedad con (31) se concluye que

Γ(n) = (n− 1)! ∀ n ∈N .

Por tanto, se puede afirmar que la función Gamma interpola a los datos(n− 1)! cuando se consideran como nodos los números naturales. Final-mente, se puede extender la definición de Γ(λ) para valores λ < 0 talesque λ /∈ Z, de forma que la ecuación funcional Γ(λ) = (λ− 1)Γ(λ− 1) sesiga cumpliendo. Por consiguiente, la función Gamma tiene singularida-des en Z−0 (véase Figura 4).

Fundamentos de Topología y Análisis Funcional

Esta sección está dedicada a asentar algunos conceptos generales y es-tablecer varios resultados clásicos de Topología y de Análisis Funcional

Fundamentos de Topología y Análisis Funcional 43

que harán acto de presencia en repetidas ocasiones a lo largo del desarro-llo del presente curso. Para indagar sobre la temática que (brevemente) seexpone a continuación son muy recomendables los textos [Yos], [Rud2],[Bre], [Lax], [Mor], [RS1] y [Zei], entre otros. Comenzamos recordando al-gunas nociones clave y destacando los aspectos más relevantes relaciona-dos con la completitud de un espacio métrico. En adelante X′ denotaráel dual topológico de X, es decir, el espacio vectorial formado por todoslos operadores lineales y continuos L : X → R. El dual topológico de unespacio admite una norma natural definida del siguiente modo:

‖L‖X′ = sup‖x‖X≤1

|L(x)| . (32)

Análogamente X′′ denotará el bidual topológico de X, constituido por to-dos los operadores lineales y continuos definidos sobre X′.

Definición 9. Un espacio métrico X se dice

(a) completo si toda sucesión de Cauchy en X es convergente;

(b) separable si existe un subconjunto D ⊂ X numerable y denso.

Un espacio vectorial es

(c) un espacio de Banach si es normado y completo;

(d) un espacio de Hilbert si admite un producto escalar que lo hace com-pleto.

Un espacio de Banach X (dotado de la norma ‖ · ‖X) se dice

(e) reflexivo si la aplicación canónica i : X → X′′ definida como

〈i(x), f 〉X′′,X′ = 〈 f , x〉X′,X , f ∈ X′ , x ∈ X , (33)

es sobreyectiva, donde los corchetes 〈·, ·〉A,B hacen referencia a ladualidad existente entre los espacios A y B a que pertenecen los ele-mentos considerados y a su correspondiente acción;

(f) uniformemente convexo si para todo ε > 0 existe δ = δ(ε) > 0 tal que,dados cualesquiera x, y ∈ X con ‖x‖X ≤ 1, ‖y‖X ≤ 1 y ‖x− y‖X > ε,se tiene ∥∥∥x + y

2

∥∥∥X< 1− δ .

José L. López

44

Es decir: dados cualesquiera dos elementos x, y en la bola unidadde X cerrada y centrada en el origen, separados por una distanciasuperior a ε, el punto medio del segmento que los une cae siempreen el interior de la bola, a una distancia no inferior a δ de la fronterade la misma.

Observación 5. La convexidad uniforme es una propiedad intrínseca dela norma empleada, en tanto que pueden existir otras normas equivalentesen el mismo espacio que no sean uniformemente convexas.

Ejemplo 5. Algunos ejemplos destacados de normas uniformemente con-vexas son los siguientes.

(a) En Rd, la norma euclídea ‖x‖E =√

x21 + · · ·+ x2

d es uniformementeconvexa mientras que la norma de la suma ‖x‖S = |x1|+ · · ·+ |xd|no lo es. Este ejemplo ilustra adecuadamente el hecho de que la con-vexidad uniforme de un espacio está íntimamente ligada a la redon-dez de la bola unidad del mismo (cf. Ejercicio 17).

(b) Todo espacio de Hilbert es uniformemente convexo. En efecto: encualquier espacio vectorial normado (X, ‖ · ‖X) cuya norma derivede un producto escalar (·, ·)X, es decir,

‖x‖X =√(x, x)X ,

se satisface la llamada ley del paralelogramo:11

‖x + y‖2X + ‖x− y‖2

X = 2(‖x‖2

X + ‖y‖2X)

. (34)

Verificar entonces que la norma es uniformemente convexa no pasade un sencillo ejercicio (compruébese que basta con elegir δ(ε) =

1− 12

√4− ε2).

Teorema 8 (Baire). Sea (X, d) un espacio métrico completo no vacío. En-tonces la intersección de cualquier familia numerable de abiertos densosen X es densa en X.

11De hecho, la ley del paralelogramo caracteriza a los espacios de Hilbert


Demostración. Sea On una familia numerable de conjuntos abiertos ydensos en X. Para demostrar queO =

⋂∞n=1On es un conjunto denso en X

bastará con observar que interseca a cualquier bola abierta (no vacía) de X.Sean para ello x1 ∈ X y r1 > 0. Se define entonces B1 = x ∈ X : d(x, x1) <r1. Como O1 es abierto y denso en X, claramente O1 ∩ B1 es abierto yno vacío. En consecuencia, han de poder elegirse x2 ∈ B1 y r2 > 0 talesque B2 ⊂ O1 ∩ B1. En particular, podríamos tomar d(x2, x1) < r2 < r1

2 .Repitiendo este proceso sucesivamente con cada uno de losOn, se obtiene

B3 ⊂ O2 ∩ B2 , B4 ⊂ O3 ∩ B3 , . . .

Incluso puede construirse la sucesión de radios para que satisfaga rn →0 cuando n→ ∞ (por ejemplo, eligiendo sistemáticamente rn < r1

2n−1 ), conlo que

Bn+1 ⊂ On ∩ Bn ⊂ On ∩ B1 ∀n ∈N . (35)

Por otro lado, la sucesión xn así construida es de Cauchy, ya que paracualesquiera p, q ≥ n0 ∈N se tiene que xp, xq ∈ Bn0 y

d(xp, xq) ≤ d(xp, xn0) + d(xn0 , xq) < 2rn0 <r1

2n0−2 .

Como X es completo, ha de existir x ∈ X tal que xn → x cuando n→ ∞.Es claro que, en virtud de (35),

xk ∈ Bn+1 ⊂ On ∩ B1 , ∀ k > n ,

luego al hacer k→ ∞ se desprende que x ∈ Bn+1 ⊂ On ∩ B1 para todo n ∈N. Por consiguiente, queda patente que O interseca a B1. Esto concluye laprueba.

El siguiente corolario refleja la forma en que habitualmente se empleael teorema de Baire en las aplicaciones.

Corolario 4. Si un espacio métrico completo no vacío puede expresarsecomo unión numerable de una familia de conjuntos cerrados, entonces almenos uno de ellos ha de tener interior no vacío.

Demostración. Razonamos por reducción al absurdo. Sea X un espaciométrico completo no vacío y supongamos que pudiera escribirse como

X =∞⋃

n=1

Cn , (36)

José L. López

46

donde los conjuntos Cn son todos cerrados con interior vacío. En ese casosus complementarios, a saber On = X \ Cn, serían abiertos densos en X,luego por el teorema de Baire se concluye que el conjunto

⋂∞n=1On ha de

ser denso en X y, por consiguiente, no vacío. Sin embargo

x ∈∞⋂

n=1

On ⇒ x ∈ X \∞⋃

n=1

Cn ,

lo cual es contradictorio con (36).

Ejemplo 6. Q no puede expresarse como una intersección numerable deabiertos de R. En efecto: como Q es denso en R, de poderse hacer tendríaque tratarse de una intersección numerable de abiertos densos en R, demodo que R \Q y, por tanto,

R = Q∪(R \Q

)=⋃

q∈Q

q ∪(R \Q

),

podrían expresarse como uniones numerables de cerrados con interior va-cío, lo cual es contradictorio con la tesis del Corolario 4. Dicho en otrostérminos, no existe una distancia completa en Q capaz de generar la topo-logía usual inducida por R.

Teorema 9 (de la aplicación abierta). Sean X, Y espacios de Banach y T :X → Y una aplicación lineal, continua y sobreyectiva. Entonces T llevaabiertos de X en abiertos de Y.

Demostración. Denotemos BZr la bola abierta de Z de radio r centrada en

el origen. Efectuaremos la prueba en tres etapas.

Primera etapa: Para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que BYδ ⊂ T(BX

2ε).

Dado ε > 0, por ser T sobreyectiva y lineal se tiene

Y = T(X) = T( ∞⋃

n=1

nBX

ε

)=

∞⋃n=1

T(nBX

ε )=

∞⋃n=1

nT(BX

ε )

.

Aplicando entonces el Corolario 4 (al teorema de Baire) se deduce la exis-tencia de algún n ∈ N para el que nT(BX

ε ) contiene alguna bola de Y,pongamos BY

r (y), luego

BYrn

( yn

)⊂ T(BX

ε ) . (37)


De este modo, si definimos los conjuntos

A =

y1 − y2 : y1, y2 ∈ BYrn

( yn

), B =

x1 − x2 : x1, x2 ∈ BX

ε

,

se tiene que A ⊂ T(B) ⊂ T(BX2ε) en virtud de (37) (compruébese). Fi-

nalmente observamos que cualquier elemento yδ ∈ BYδ puede expresarse

como un elemento de A:

yδ =(

yδ +yn

)− y

n,

para δ > 0 suficientemente pequeño (δ < rn ), con lo que concluye esta

etapa de la demostración.

Segunda etapa: Para todo ε0 > 0 existe δ0 > 0 tal que BYδ0⊂ T(BX

2ε0).

Consideremos una sucesión positiva εn tal que ∑∞n=1 εn < ε0. Usando

el resultado de la primera etapa de la prueba se concluye la existencia deuna sucesión δn tal que

BYδn⊂ T(BX

εn) , n ∈N∪ 0 . (38)

De hecho, δn puede elegirse de forma que satisfaga δn → 0 cuandon → ∞. En efecto: sea y ∈ BY

δ0. Aplicando (38) con n = 0 se deduce la

existencia de x0 ∈ BXε0

tal que ‖y− T(x0)‖Y < δ1. Como y− T(x0) ∈ BYδ1

,aplicando nuevamente (38), ahora con n = 1, se verifica que existe x1 ∈ BX

ε1tal que ‖y− T(x0)− T(x1)‖Y < δ2. Repitiendo este proceso sucesivamentese concluye además (mediante un simple argumento inductivo) que existeuna sucesión xn, con xn ∈ BX

εn para todo n ∈N∪ 0, tal que∥∥∥y− T( n

∑k=0

xk

)∥∥∥Y< δn+1 . (39)

Es claro que la serie ∑∞n=1 xn converge absolutamente, puesto que

∞

∑n=1‖xn‖X ≤

∞

∑n=1

εn < ε0 ,

luego la serie ∑∞n=1 xn es convergente (pongamos que ∑∞

n=1 xn = x).12 En-12En efecto: si sn =

∑n

k=1 xk

denota la sucesión de sumas parciales asociada a laserie ∑∞

k=1 xk, entonces para cualesquiera n, m ∈N (con n < m) se satisface

‖sm − sn‖X

≤

m

∑k=n+1

‖xk‖X

< ε0 ,

luego sn es de Cauchy en X y, por tanto, convergente

José L. López

48

tonces

‖x‖X ≤∞

∑n=0‖xn‖X ≤

∞

∑n=0

εn < 2ε0 .

Finalmente, de (39) se desprende que ha de ser y = T(x) en virtud de lacontinuidad de T y teniendo presente que la sucesión δn se ha construi-do convergente hacia cero.

Tercera etapa: Para cualquier abierto O ⊂ X y para todo y = T(x) con x ∈O, existe una bola BY

ξ tal que y + BYξ ⊂ T(O). En particular esto demostraría

que T(O) es abierto, con lo que concluiría la prueba del teorema.

En efecto: como O es abierto en X, para cualquier x ∈ O existen ε > 0y una bola BX

ε tales que x + BXε ⊂ O. Usando ahora lo demostrado en la

segunda etapa se deduce la existencia de ξ > 0 tal que BYξ ⊂ T(BX

ε ), luego

y + BYξ = T(x) + BY

ξ ⊂ T(x) + T(BXε ) = T(x + BX

ε ) ⊂ T(O)

en virtud de la linealidad de T.

El siguiente resultado se nos presenta muy útil porque permite dedu-cir estimaciones uniformes a partir de estimaciones que en principio sonúnicamente puntuales.

Teorema 10 (principio de acotación uniforme13). Sean X un espacio deBanach, Y un espacio vectorial normado y Ti : X → Yi∈I una familia deoperadores lineales y continuos de X en Y. Supongamos que

supi∈I‖Ti(x)‖Y < ∞ ∀ x ∈ X . (40)

Entoncessupi∈I‖Ti‖L(X,Y) < ∞ .

Demostración. Se definen los conjuntos

Cn =

x ∈ X : supi∈I‖Ti(x)‖Y ≤ n

.

Claramente X =⋃∞

n=1 Cn gracias a (40). Teniendo en cuenta que los con-juntos Cn son cerrados en X al ser los operadores Ti continuos, alguno de

13También se encuentra en la literatura con el nombre de teorema de Banach–Steinhaus


ellos (léase Cm) ha de contener una bola en virtud del Corolario 4 al teore-ma de Baire. Supongamos, por tanto, que dados x0 ∈ X y r > 0 se tiene

Br(x0) = x ∈ X : ‖x− x0‖X < r ⊂ Cm .

Dado cualquier x ∈ B1(x0) es evidente que x0 + rx ∈ Br(x0), luego

‖Ti(x)‖Y =∥∥∥Ti

(x0 + rx− x0

r

)∥∥∥Y

≤ 1r

(‖Ti(x0 + rx)‖Y + ‖Ti(x0)‖Y

)≤ 2m

r,

donde se ha usado la linealidad de los operadores Ti. Por consiguiente

‖Ti‖L(X,Y) ≤2mr∀ i ∈ I ,

con lo que concluye la prueba.

Teorema 11 (Urysohn14). Sea (X, τ) un espacio topológico normal, esto es:dados cualesquiera cerrados C1 y C2 de X tales que C1 ∩C2 = ∅, existenO1y O2 abiertos disjuntos de X tales que C1 ⊆ O1 y C2 ⊆ O2. Entonces, si Ay B son cerrados disjuntos de X existe una función continua f : X → [0, 1]tal que

f (x) = 0 ∀x ∈ A , f (x) = 1 ∀x ∈ B .

Demostración15. La llevaremos a cabo en tres etapas.

Primera etapa: dado n ∈N, se puede asignar a cada elemento r del conjunto

Dn = k

2n , k = 1, 2 . . . , 2n − 1

,

14El recíproco también es cierto, si bien la implicación más útil en futuras aplicacioneses la establecida en el enunciado del Teorema 11. En efecto: si (X, τ) es un espacio topo-lógico y para cualesquiera dos cerrados disjuntos A y B de X existe una función continuaf : X → [0, 1] que satisface f (A) = 0 y f (B) = 1, entonces los conjuntos

O1 = f−1([0, a)) , O2 = f−1((a, 1])

son, cualquiera que sea a ∈ (0, 1), abiertos disjuntos de X tales que A ⊆ O1 y B ⊆ O215Reproducimos aquí la demostración del teorema de Urysohn siguiendo las pautas de

[AP], donde esta fue presentada con un espíritu didáctico y un nivel de detalles dignosde mención

José L. López

50

formado por los números (racionales) diádicos del intervalo [0, 1], un abiertoOr ⊂X tal que

(i) A ⊆ Or , (ii) B ⊆ X \ Or , (iii) Or ⊆ Os si r < s ∈ Dn .

Para comprobarlo haremos uso del principio de inducción completa.

(a) Estudiamos en primer lugar el caso n = 1. Existen, por hipótesis,abiertos disjuntos U y V que separan A de B, es decir, que verificanA ⊆ U , B ⊆ V y U ∩ V = ∅. Basta entonces con elegir O 1

2= U , pues

de esa forma ha de cumplirse B ⊆ X \ O 12

y las propiedades (i) y(ii) son satisfechas. Al repetir este proceso para n = 2, partiendo esta

vez de los pares de cerrados(

A, X \ O 12

)y(O 1

2, B)

, se obtienen losabiertos O 1

4y O 3

4, respectivamente, los cuales han de satisfacer

A ⊆ O 14

, X \ O 12⊆ X \ O 1

4, O 1

2⊆ O 3

4, B ⊆ X \ O 3

4.

Es evidente entonces que

O 14⊆ O 1

2⊆ O 1

2⊆ O 3

4,

luego se verifican las condiciones (i)–(iii).

(b) Se plantea ahora la hipótesis de inducción: suponemos construidoslos abiertos Or asociados a r = k

2n−1 , con k = 1, 2, . . . , 2n−1 − 1, demodo que las condiciones (i)–(iii) son satisfechas. Esto es:

A ⊆ O 12n−1⊆ O 1

2n−1⊆ O 2

2n−1⊆ · · · ⊆ O 2n−1−2

2n−1⊆ O 2n−1−1

2n−1,

B ⊆ X \ O 2n−1−12n−1

.

(c) Aplicando repetidamente la propiedad de normalidad de X conclu-ye el proceso inductivo con la siguiente construcción:

Del par de cerrados(

A, X \ O 12n−1

)se obtiene un abierto O 1

2n

que satisfaceA ⊆ O 1

2n⊆ O 1

2n⊆ O 1

2n−1.


Del par de cerrados(O 1

2n−1, X \ O 2

2n−1

)se obtiene un abierto

O 32n

que satisface

O 12n−1⊆ O 3

2n⊆ O 3

2n⊆ O 2

2n−1.

Y así sucesivamente, de modo que:

En el penúltimo paso, del par de cerrados(O 2n−1−2

2n−1, X \O 2n−1−1

2n−1

)se obtiene un abierto O 2n−3

2nque satisface

O 2n−1−22n−1

⊆ O 2n−32n⊆ O 2n−3

2n⊆ O 2n−1−1

2n−1.

En el último paso, del par de cerrados(O 2n−1−1

2n−1, B)

se obtiene

un abierto O 2n−12n

que satisface

O 2n−1−12n−1

⊆ O 2n−12n

, B ⊆ X \ O 2n−12n

.

Segunda etapa: Construcción de f .

DenotamosD =

⋃n∈N

Dn .

Entonces se define la función f : X → [0, 1] de la siguiente forma:

f (x) =

1 si x /∈ ⋃r∈DOrınfr : x ∈ Or si x ∈ ⋃r∈DOr

.

Se tiene pues, en virtud de (i) y (ii), que f = 0 en A y f = 1 en B.

Tercera etapa: f es continua.

Distinguiremos tres casos.

(a) f es continua en X0 = x ∈ X : f (x) = 0.

En efecto: como D es denso en [0, 1], para cualquier ε > 0 existenn ∈ N (suficientemente grande) y r0 ∈ Dn tales que 0 < r0 < ε. Seax0 ∈ X0. Como f (x0) = 0, ha de ser x0 ∈ Or0 en virtud de la propiadefinición de f . Además, es fácil observar que siempre que x ∈ Ospara algún s ∈ D se tiene f (x) ≤ s; nótese, para ello, que si fuese

José L. López

52

f (x) > s existirían k ∈N y r ∈ Dk tales que s < r < f (x), por lo quex no podría pertenecer a Or (nuevamente en virtud de la definiciónde f ), lo cual contradice claramente la condición (iii). Por tanto

0 ≤ f (x) ≤ r0 < ε ∀ x ∈ Or0 ,

luego Or0 es un entorno abierto de x0 que satisface

f (Or0) ⊆ [0, ε) .

Esto equivale a afirmar que f es continua en X0.

(b) f es continua en X1 = x ∈ X : f (x) = 1.

En efecto: como en el caso anterior, para cualquier ε > 0 han de exis-tir n ∈ N y r1 ∈ Dn tales que 1− ε < r1 < 1. Sea x1 ∈ X1. Comof (x1) = 1, se verifica x1 /∈ ⋃r∈DOr por definición de f . En particular,x1 /∈ Or cualquiera que sea r ∈ D. Además, se puede observar fácil-mente que si x /∈ Or entonces f (x) ≥ r; en efecto, nótese que si fuesef (x) < r existirían k ∈ N y s ∈ Dk tales que x ∈ Os y f (x) < s < r,de donde se concluiría que x ∈ Os ⊆ Or en virtud de (iii), lo cualconduce nuevamente a contradicción. Por consiguiente

1− ε < r1 ≤ f (x) ≤ 1 ∀ x ∈ X \ Or1 ,

luego X \ Or1 es un entorno abierto de x1 que satisface

f (X \ Or1) ⊆ (1− ε, 1] .

Esto equivale a afirmar que f es continua en X1.

(c) f es continua en Xα = x ∈ X : 0 < f (x) = α < 1.

En efecto: se tiene que, para cualesquiera x ∈ Xα y ε > 0, han deexistir r, s ∈ D tales que

f (x)− ε < r < f (x) < s < f (x) + ε .

Claramente x ∈ Os \ Or, pues de no ser así sucedería lo siguiente:

• x /∈ Os ⇒ f (x) ≥ s en virtud del argumento expuesto en (b), locual es contradictorio con las anteriores desigualdades. O bien

• x ∈ Or ⇒ f (x) ≤ r en virtud (de una extensión inmediata)del argumento expuesto en (a), lo cual es también obviamentecontradictorio.


Haciendo uso nuevamente de los argumentos esgrimidos en (a) y en(b) se obtiene

r ≤ f (x) ≤ s ∀x ∈ Os \ Or ,

luego Os \ Or es un entorno abierto de x que satisface

f (Os \ Or) ⊆ [r, s] ⊆(

f (x)− ε, f (x) + ε)

.

Esto equivale a afirmar que f es continua en Xα.

Desembocamos así en el teorema de Hahn–Banach, que constituye unade las piezas clave del Análisis Funcional. En el siguiente capítulo lo em-plearemos, a través de algunos de sus corolarios más importantes, a lo lar-go del proceso de identificación de los duales topológicos de los espaciosde Lebesgue (recogido en el teorema de representación de Riesz).16

Teorema 12 (Hahn–Banach). Sean X un espacio vectorial real, U un subes-pacio vectorial de X y p : X → R una función que verifica la siguientepropiedad de sublinealidad:

p(λx) = λp(x) , p(x + y) ≤ p(x) + p(y) ∀ x, y ∈ X , ∀ λ ≥ 0 .

Entonces cualquier operador lineal T : U → R mayorado por p, esto es,tal que T(u) ≤ p(u) para todo u ∈ U, admite una extensión lineal T :X → R que se mantiene mayorada por p. Si, en particular, X es normadoy φ : U → R es un operador lineal tal que φ(u) ≤ C‖u‖X ∀ u ∈ U y algúnC > 0, entonces φ admite una extensión lineal a X que satisface la mismadesigualdad.

Demostración. Comenzamos construyendo la extensión de T a U + 〈y〉,para cualquier elemento y de X que no pertenece a U. Para ello basta conespecificar cuánto ha de valer T(y) para que se satisfagan las relaciones

T(x + λy) = T(x) + λT(y) ≤ p(x + λy) , x ∈ U, λ ∈ R .

La desigualdad es cierta por hipótesis si λ = 0. Por otro lado se tiene:

si λ > 0, ha de cumplirse T(x1) + T(y) ≤ p(x1 + y), donde hemosdenotado x1 = x

λ ;

16Si bien no es necesario. Algunos autores prefieren prescindir de la generalidad delos resultados analíticos abstractos en favor de cálculos y argumentos exclusivamentevinculados al ambiente en que se desarrollan las demostraciones, en este caso el de losespacios Lp(Ω) (véase, por ejemplo, [LL])

José L. López

54

si λ < 0, ha de cumplirse T(x2) + T(y) ≥ p(x+λy)λ = −p(−x2 − y),

donde hemos denotado x2 = xλ .

Combinando ambas condiciones se llega a que

−p(−x2 − y)− T(x2) ≤ T(y) ≤ p(x1 + y)− T(x1) . (41)

La cuestión es entonces: ¿existe un número T(y) tal que las relaciones ex-puestas en (41) son satisfechas? Para comprobar que la respuesta es afir-mativa basta con calcular

T(x1)− T(x2) = T(x1 − x2) ≤ p(x1 − x2)

= p(x1 + y− x2 − y) ≤ p(x1 + y) + p(−x2 − y) .

Por consiguiente, acabamos de probar que es posible construir una exten-sión lineal de T a U + 〈y〉 que esté dominada por la función p.

Para concluir la demostración es necesario hacer uso del Lema de Zorn.17

Consideremos para ello el orden parcial inducido por la relación de inclu-sión de conjuntos (R = ⊂), de modo que diremos que dos extensioneslineales de T dominadas por p, llamémoslas T1 y T2, están relacionadas(pongamos que T2 ⊂ T1) si el dominio de T1 contiene al de T2 y además T1y T2 coinciden sobre el dominio de T2. Con vista a aplicar el lema de Zornconsideraremos una cadena arbitraria en el conjunto de operadores linea-les que extienden a T y están dominados por p, ordenada por medio de larelación ⊂. Para verificar que este conjunto tiene una cota superior bastacon considerar la unión de todos los elementos de la cadena, luego por ellema de Zorn existe un elemento maximal F en el conjunto que ha de serun operador lineal que extiende a T y está dominado por p. Finalmentedestacamos que F ha de estar definido en X, ya que de no ser así se podríaseguir extendiendo linealmente el operador según el patrón descrito en laprimera parte de la prueba (en particular, F no sería maximal en contra delo dictado por el lema de Zorn). La última parte del enunciado del teorema

17Un conjunto parcialmente ordenado es un par (X,R) en el que X es un conjunto y R esuna relación en X tal que las dos siguientes propiedades son satisfechas:

(a) [Reflexividad] xRx ∀ x ∈ X;

(b) [Transitividad] si xRy e yRz, entonces xRz.

Si, además, dados dos elementos x, y cualesquiera de X se cumple que xRy o bien yRx,entonces X se dice totalmente ordenado (o cadena). El lema de Zorn establece que cualquierconjunto parcialmente ordenado contiene un elemento maximal (es decir, un elementom ∈ X tal que el único x ∈ X que satisface m ≤ x es x = m) si cada subconjuntototalmente ordenado admite una cota superior


es un caso particular del mismo que resulta de elegir p(x) = C‖x‖X, conC ∈ R.

Muchos son los resultados que emanan del tronco principal que con-forma el teorema de Hahn–Banach. En particular, el que presentamos acontinuación constituye una herramienta muy provechosa para demostrarque un subespacio es denso en el total.18

Corolario 5. Sea (X, ‖ · ‖) un espacio vectorial normado y U un subespa-cio vectorial de X. Si x ∈ X y

d(x, U) := ınfu∈U‖x− u‖ > 0 ,

entonces existe un operador lineal y continuo φ : X → R tal que φ(u) = 0para todo u ∈ U, φ(x) = 1 y

‖φ‖L(X,R) =1

d(x, U).

Demostración. Sea V = 〈U, x〉 el subespacio vectorial generado por U yx. Claramente todo elemento v ∈ V admite una representación única dela forma v = u + λx, donde u ∈ U y λ ∈ R. Se define φ(u + λx) := λ.Entonces φ(u) = 0 y φ(x) = 1. Además

‖φ‖L(V,R) = supu∈U,λ∈R : 0 6=u+λx∈V

|φ(u + λx)|‖u + λx‖V

= sup

u∈U,λ∈R : 0 6=u+λx∈V

|λ|

‖u + λx‖V

= supu∈U,λ∈R : 0 6=u+λx∈V

1∥∥∥ uλ + x

∥∥∥V

=

1ınf‖x− w‖V : w ∈ U =

1d(x, U)

.

Finalmente, el (último enunciado del) teorema de Hahn–Banach permiteextender linealmente el operador φ a todo el espacio sin que aumente sunorma, de lo que se desprende su continuidad.

18En efecto, leído en su forma contrarrecíproca, el resultado afirma que si el único ope-rador lineal y continuo que se anula sobre el subespacio U es el constantemente nulo,entonces la clausura de U ha de coincidir con el espacio total

José L. López

56

El teorema de Milman para espacios uniformemente convexos será lapieza clave que nos permita deducir la reflexividad de los espacios de Le-besgue en el siguiente capítulo. Para llegar a demostrarlo comenzamosestableciendo el siguiente resultado preliminar.

Teorema 13 (Helly). Sean X un espacio de Banach, fi : X → R1≤i≤n unafamilia finita de operadores lineales y continuos en X y λ1, . . . , λn ∈ R. Entales condiciones, para todo ε > 0 existe xε ∈ X tal que

(a) fi(xε) = λi, 1 ≤ i ≤ n,

(b) ‖xε‖X ≤ α + ε,

si y solamente si ∣∣∣ n

∑i=1

µiλi

∣∣∣ ≤ α∥∥∥ n

∑i=1

µi fi

∥∥∥X′

(42)

para algún α > 0 y cualesquiera µ1, . . . , µn ∈ R.

Demostración. De izquierda a derecha: Fijemos µ1, . . . , µn arbitrariamente.De (a) y (b) se desprende entonces que, para cualquier ε > 0, existen xε ∈X y α > 0 tales que∣∣∣ n

∑i=1

µiλi

∣∣∣ = ∣∣∣ n

∑i=1

µi fi(xε)∣∣∣ ≤ ∥∥∥ n

∑i=1

µi fi

∥∥∥X′‖xε‖X ≤

∥∥∥ n

∑i=1

µi fi

∥∥∥X′(α + ε) ,

de donde se deduce el resultado deseado.

De derecha a izquierda: Podemos suponer, sin pérdida de generalidad,que la familia f1, . . . , fn es linealmente independiente; si no lo fuese,algún subconjunto suyo habría de serlo a buen seguro y generaría el mis-mo subespacio vectorial que la familia original. Definimos entonces Φ :X → Rn como Φ(x) = ( f1(x), . . . , fn(x)) y denotamos λ = (λ1, . . . , λn)y BX

α+ε la bola de X de radio α + ε centrada en el origen. Claramente Φes lineal, continua y sobreyectiva (si damos por cierto lo establecido en lapropiedad (a)), por lo que el teorema de la aplicación abierta (Teorema 9)permitiría asegurar que Φ(BX

α+ε) contiene al vector nulo de Rn como pun-to interior. La prueba concluye vía un argumento de reducción al absurdosobre la condición (b). En efecto: si suponemos que λ /∈ Φ(BX

α+ε), lo queen particular supone que ha de ser λ 6= 0, el Corolario 5 (al teorema deHahn–Banach) garantiza la existencia de L ∈ (Rn)′ tal que

0 = L(Φ(x)) < L(λ) = 1 ∀ x ∈ BXα+ε . (43)


Además, el operador L : Rn → R puede ser representado mediante unvector µ := (µ1, . . . , µn) ∈ Rn del siguiente modo:

L(λ) =n

∑i=1

µiλi ,

que no es más que el isomorfismo canónico que permite identificar (Rn)′

con Rn. Entonces, de (43) se deduce∣∣∣ n

∑i=1

µi fi(x)∣∣∣ < n

∑i=1

µiλi ∀ x ∈ BXα+ε .

Tomando finalmente supremos en BXα+ε se concluye que (cf. (32))

(α + ε)∥∥∥ n

∑i=1

µi fi

∥∥∥X′≤

n

∑i=1

µiλi ,

lo cual contradice (42).

Teorema 14 (Milman19). Todo espacio de Banach uniformemente convexoes reflexivo.

Demostración [Kakutani]. Sea X un espacio de Banach uniformementeconvexo. El objetivo de la prueba consiste en demostrar que, dado F ∈X′′, existe x ∈ X tal que i(x) = F, donde i : X → X′′ es la aplicacióncanónica definida en (33). Esta propiedad es obvia si F = 0, por lo quepodemos reducirnos al caso en que ‖F‖X′′ = 1 sin perder generalidadalguna. Efectuamos la demostración en varias etapas.

Primera etapa: Dado F ∈ X′′ con ‖F‖X′′ = 1, existen una sucesión xk yuna familia finita f1, . . . , fn ⊂ X′ tales que

xk ∈ BX1+ 1

k∀ k ∈N , lım

k→∞‖xk‖ = 1 y fi(xk) = F( fi) ∀ 1 ≤ i ≤ n .

En efecto: como ‖F‖X′′ = 1, existe una sucesión fk ⊂ X′ que satisface‖ fk‖X′ ≤ 1 y |F( fk)| ≥ 1− 1

k para todo k ∈N (cf. (32)). Aplicando entoncesel teorema de Helly (Teorema 13, implicación de derecha a izquierda) con

λi = F( fi) , α = ‖F‖X′′ = 1 , ε =1k

,

19En ocasiones este resultado (Milman, 1938) aparece referido en la literatura comoteorema de Milman–Pettis, ya que este último publicó una demostración del mismo en1939 [Pettis, B. J. A proof that every uniformly convex space is reflexive. Duke Math. J. 5(2),249–253, 1939]

José L. López

58

se deduce la existencia de una sucesión xk ⊂ X tal que

fi(xk) = F( fi), 1 ≤ i ≤ n , (44)

que además satisface

‖xk‖X ≤ 1 +1k

, (45)

pues ∣∣∣ n

∑i=1

µiF( fi)∣∣∣ = ∣∣∣F( n

∑i=1

µi fi

)∣∣∣ ≤ ‖F‖X′′∥∥∥ n

∑i=1

µi fi

∥∥∥X′

.

Como

1− 1k≤ |F( fk)| = | fk(xk)| ≤ ‖ fk‖X′‖xk‖X ≤ ‖xk‖X ≤ 1 +

1k

para todo 1 ≤ k ≤ n y n ∈N es arbitrario, se tiene también que

lımk→∞‖xk‖X = 1 . (46)

Segunda etapa: xk converge fuertemente hacia un elemento x ∈ X queresuelve el sistema de ecuaciones (44) en BX

1 .

En efecto: de no producirse la convergencia fuerte de xk en X, exis-tirían ε > 0 y n1 < m1 < n2 < m2 < · · · < nk < mk < . . . tales que

‖xmk − xnk‖X > ε , k ∈N .20 (47)

Entonces ∥∥∥∥∥ xnk

1 + 1nk

∥∥∥∥∥X

≤ 1 ,

∥∥∥∥∥ xmk

1 + 1nk

∥∥∥∥∥X

<

∥∥∥∥∥ xmk

1 + 1mk

∥∥∥∥∥X

≤ 1

conforme a (45) y ∥∥∥∥∥xmk − xnk

1 + 1nk

∥∥∥∥∥X

>ε

2

en virtud de (47). Por otra parte, gracias a la convexidad uniforme de X sesatisface ∥∥∥∥∥∥∥

xmk + xnk

2(

1 + 1nk

)∥∥∥∥∥∥∥

X

< 1− δ ,

20Nótese que es aquí donde se pone de manifiesto el hecho de que X es un espacio deBanach, luego completo


luego

‖xmk + xnk‖X < 2(1− δ)(

1 +1nk

)y, por consiguiente,

lım supk→∞

‖xmk + xnk‖X ≤ 2(1− δ) < 2 . (48)

Además, como consecuencia de (44) se tiene

fnk(xnk) = fnk(xmk) = F( fnk) ,

por lo que

2(

1− 1nk

)≤ 2|F( fnk)| = | fnk(xmk + xnk)|

≤ ‖ fnk‖X′‖xmk + xnk‖X ≤ ‖xmk + xnk‖X ,

lo cual contradice (48). Luego lımk→∞xk = x tal que ‖x‖X = 1 (según lodemostrado en la etapa anterior), y las siguientes igualdades son satisfe-chas en virtud de la continuidad de fi:

fi(x) = F( fi), 1 ≤ i ≤ n . (49)

Tercera etapa: La solución del sistema de ecuaciones (49) es única en BX1 .

En efecto: de no serlo existiría un elemento y ∈ BX1 (distinto de x) que

satisfaría las mismas ecuaciones, por lo que, en vista de la convexidad uni-forme de X, habría de cumplirse ‖x + y‖X < 2. Además, conforme a (49)y a la linealidad de los operadores fi también serían válidas las relaciones

fi(x + y) = 2F( fi) , 1 ≤ i ≤ n ,

luego

2(

1− 1i

)≤ 2|F( fi)| = | fi(x + y)| ≤ ‖ fi‖X′‖x + y‖X ≤ ‖x + y‖X

y por tanto

‖x + y‖X ≥ lımi→∞

2(

1− 1i

)= 2 ,

lo que nos conduce a una nueva contradicción.

Cuarta etapa: X es reflexivo.

José L. López

60

Sea un elemento cualquiera f0 ∈ X′. Probaremos a continuación queF( f0) = f0(x), a raíz de lo cual podremos afirmar que la aplicación canóni-ca i : X → X′′ es sobreyectiva y, con ello, que X es reflexivo. Consideremospara ello la familia de operadores f0, f1, . . . , fn en lugar de f1, . . . , fn.Repitiendo los argumentos anteriores se obtiene y ∈ X con ‖y‖X = 1 y talque

fi(y) = F( fi), i ∈ 0, . . . , n .

Finalmente, en virtud de la unicidad de solución en BX1 para el sistema

de ecuaciones (49) se deduce que ha de ser y = x, con lo que concluye laprueba.21

Ejemplo 7. Los espacios de Banach de dimensión finita son todos reflexi-vos como consecuencia del teorema de Milman y de la convexidad unifor-me de la norma euclídea ‖ · ‖2, pues cualquiera de ellos es topológicamenteisomorfo a (Rd, ‖ · ‖2).

A continuación abordamos algunos de los teoremas de completación yextensión más significativos.

Teorema 15 (Completación de un espacio métrico). Sea (X, d) un espaciométrico (no completo). Entonces existe un espacio métrico completo (X, d)tal que X es isométrico a un subconjunto denso de X.

Demostración. Consideremos la familia formada por todas las sucesionesde Cauchy xn ⊂ X relacionadas entre sí de la siguiente forma:

xn ∼ yn si lımn→∞d(xn, yn) = 0 .

Es sencillo comprobar que esta relación es de equivalencia. Se define en-tonces el conjunto cociente (X,∼) formado por todas las clases de equiva-lencia x = [xn] de sucesiones de Cauchy en X según la relación anterior.Se define también la siguiente métrica en X:

d(x, y) = d([xn], [yn]) := lımn→∞d(xn, yn) . (50)

21Aunque no se haya hecho notar previamente, conviene observar que el hecho de ha-ber elegido F unitario en la primera etapa de la demostración no supone pérdida algunade generalidad, pues cualquier otra elección no trivial de un elemento de X′′ puede nor-malizarse convenientemente a la unidad sin más que dividir por su norma


Efectuaremos la demostración en varias etapas.

Primera etapa: La métrica d está bien definida.

Para garantizar que la definición de d tiene sentido se ha de comprobarque

(i) el límite de (50) existe

y que

(ii) la definición hecha no depende del representante escogido en cadaclase de equivalencia, es decir: si x1

n ∼ x2n e y1

n ∼ y2n, enton-

ceslım

n→∞d(x1

n, y1n) = lım

n→∞d(x2

n, y2n) .

Comenzamos verificando (i). Sean xn e yn dos sucesiones de Cauchyen X. En virtud de la desigualdad triangular de d se tiene

|d(xn, yn)− d(xm, ym)| ≤ |d(xn, yn)− d(xn, ym)|+ |d(xn, ym)− d(xm, ym)|≤ d(yn, ym) + d(xn, xm) .

Por tanto, dados n, m ∈ N suficientemente grandes el segundo miembrode la desigualdad anterior puede hacerse tan pequeño como se desee, lue-go la sucesión d(xn, yn) es de Cauchy en R y, por consiguiente, conver-gente.

Para hacer la comprobación de (ii) se usa nuevamente la desigualdadtriangular de la métrica, que garantiza en este caso que

|d(x1n, y1

n)− d(x2n, y2

n)| ≤ |d(x1n, y1

n)− d(x1n, y2

n)|+ |d(x1n, y2

n)− d(x2n, y2

n)|≤ d(y1

n, y2n) + d(x1

n, x2n) .

Basta entonces con observar que el segundo miembro de esta desigualdadconverge hacia cero en virtud de la relación de equivalencia definida. Seconcluye, por tanto, que d define una métrica sobre X.

Segunda etapa: (X, d) es completo.

Tomemos una sucesión de Cauchy

xk = [xkn]

k∈Nen X, donde se ha

denotado xknn∈N a un representante destacado de la clase de equivalen-

cia que ocupa el k–ésimo término de la sucesión xk. Por ser de Cauchyse verifica la siguiente condición:

∀ε > 0 ∃n0 ∈N : p, q ≥ n0 ⇒ d(xp, xq) = lımn→∞d(xp

n, xqn) < ε . (51)

José L. López

62

Para demostrar que xk es convergente en X se considera la sucesiónxn

n construida de la forma típica a través de un proceso de extraccióndiagonal (basado en el principio de selección de Cantor). Veamos que xn

nes de Cauchy en X.

Como xlnn∈N es de Cauchy en X para todo l ∈ N, existe N0 ∈ N

tal que si n, k ≥ N0 entonces d(xnn, xn

k ) <ε3 .

De (51) se desprende la existencia de N1 ∈ N tal que si k, n, m ≥ N1entonces d(xn

k , xmk ) <

ε3 .

Por consiguiente, si k, n, m ≥ N = maxN0, N1, se verifica

d(xnn, xm

m) ≤ d(xnn, xn

k ) + d(xnk , xm

k ) + d(xmk , xm

m) < ε ,

luego xnn es de Cauchy en X. Además, para k ∈N suficientemente gran-

de se tiene (cf. (51))

d([xkn], [xn

n]) = lımn→∞d(xk

n, xnn) < ε ,

por lo que[xk

n]→ [xn

n] en X cuando k→ ∞, de donde se desprendeque X es completo.

Tercera etapa: X es isométrico a un subconjunto denso de X.

Para ello se construye f : (X, d)→ (X, d) de la siguiente forma:

f (x) := [x] , con [x] = [x, x, x, . . . ] .

De este modo

d( f (x), f (y)) = d([x], [y]) = d(x, y)

para cualesquiera x, y ∈ X, es decir, X y f (X) son isométricos. Concluimosla prueba observando que f (X) es denso en X. En efecto: si la sucesiónxn es de Cauchy en X, dados ε > 0 y x = [xn] ∈ X han de existirn0 ∈N y [xn0 ] ∈ f (X) tales que

d(x, [xn0 ]) = lımn→∞d(xn, xn0) < ε .

Por consiguiente, f (X) es denso en X.


Teorema 16 (Teorema B. L. T.22). Sean (X, ‖ · ‖1) un espacio vectorial nor-mado, (Y, ‖ · ‖2) un espacio de Banach y T : X → Y una aplicación li-neal y continua. Entonces T admite una única extensión lineal y continuaT : X → Y, donde X denota la completación de X, tal que ‖T‖L(X,Y) =

‖T‖L(X,Y).

Demostración. Conforme al Teorema 15, para cada x ∈ X existe una su-cesión xn ⊂ X tal que xn → x cuando n → ∞. La sucesión xn espor tanto de Cauchy,23 de modo que para todo ε > 0 podemos encon-trar n0 ∈ N tal que, si p, q ≥ n0, entonces se tiene ‖xp − xq‖1 < ε

‖T‖ . Porconsiguiente ‖T(xp) − T(xq)‖2 = ‖T(xp − xq)‖2 ≤ ‖T‖‖xp − xq‖1 < ε,de donde se desprende que T(xn) es también una sucesión de Cauchyen Y. Por ser Y completo, puede concluirse que lımn→∞T(xn) = y paraalgún y ∈ Y. Definamos entonces T(x) = y y veamos que T está biendefinida de esta forma. Para ello se consideran dos sucesiones, xn yx′n, tales que lımn→∞xn = lımn→∞x′n = x. Entonces la sucesiónx1, x′1, x2, x′2, . . . → x, luego T(x1), T(x′1), T(x2), T(x′2), . . . → y segúnel argumento anterior. Por tanto, lımn→∞T(xn) = lımn→∞T(x′n) = y,de donde se deduce que T está bien definida. Además T es (trivialmente)lineal y continua, pues

‖T(x)‖2 = ‖y‖2 =∥∥ lım

n→∞T(xn)

∥∥2 = lım

n→∞‖T(xn)‖2

≤ lımn→∞‖T‖‖xn‖1 = ‖T‖‖x‖1 .

Finalmente, la prueba que corrobora la unicidad de T es el fruto de unsencillo ejercicio.

Los resultados siguientes jugarán un papel primordial a la hora de de-tectar cuáles son los espacios de Lebesgue no reflexivos.

Corolario 6. Sea X un espacio vectorial normado. Las siguientes propie-dades son satisfechas:

(a) Para todo x ∈ X existe f ∈ X′ tal que ‖ f ‖X′ = 1 y f (x) = ‖x‖X.

22B. L. T. = Bounded Linear Transformation23Aquí el abuso del lenguaje es palpable. Técnicamente es f (X) el subconjunto denso

de X, donde f : (X, d) → (X, d) es la isometría construida en la prueba del Teorema15. De este modo, lo que rigurosamente se puede afirmar es que existe xn ⊂ X talque f (xn) → x cuando n → ∞ y, por tanto, f (xn) es de Cauchy. Sin embargo, lassucesiones f (xn) y xn preservan las distancias entre sus términos ya que f es unaisometría, luego xn es también de Cauchy

José L. López

64

(b) Para todo x ∈ X se cumple

‖x‖X = sup‖ f ‖X′≤1

| f (x)| .

(c) La aplicación canónica i : X → X′′ definida en (33) es una isometría.

Demostración. (a) Sea x ∈ X y consideremos el funcional g : genx → R

definido por g(y) = g(λx) := λ‖x‖X, λ ∈ R, donde hemos denotadogenx el subespacio vectorial de X generado por el elemento x. Clara-mente g ∈

(genx

)′ y ‖g‖(genx

)′ = 1, pues se tiene

‖g‖(genx

)′ = sup‖λx‖X≤1

|g(λx)|

= 1 .

Finalmente, el Teorema B. L. T. (Teorema 16) garantiza la existencia de unelemento f ∈ X′ que extiende a g y satisface ‖ f ‖X′ = ‖g‖(genx

)′ = 1.

Basta entonces con elegir λ = 1 para concluir que f (x) = g(x) = ‖x‖X.(b) Por una parte es claro que, para el elemento f ∈ X′ del enunciado

(a), se tiene que ‖x‖X = | f (x)| ≤ sup‖ f ‖X′≤1| f (x)|. Recíprocamente,

como | f (x)| ≤ ‖ f ‖X′‖x‖X, también se tiene que sup‖ f ‖X′≤1| f (x)| y con

ello la anunciada igualdad.

Teorema 17. Sea X un espacio de Banach reflexivo. Las siguientes afirma-ciones son satisfechas:

(a) Todo subespacio vectorial cerrado de X es reflexivo.

(b) Si Y es un subespacio vectorial cerrado de X′ que verifica la siguien-te propiedad:

〈 f , x〉X′,X = 0 ∀ f ∈ Y ⇒ x = 0 ,

entonces Y = X′.

Demostración. (a) Sea U un subespacio vectorial cerrado de X. Se defineen primer lugar la restricción de X a U de la siguiente forma:

R : X′ → U′ , R(ϕ) = ϕ|U ∀ϕ ∈ X′ .

Por otra parte, dado F ∈ U′′ se define

u := i−1(F R) ∈ X ,


donde i : X → X′′ es la aplicación canónica descrita en (33). Obsérvese quetal elemento u ha de existir porque X es reflexivo. El resto de la prueba laefectuaremos en dos etapas.

Primera etapa: u ∈ U.

En efecto: si fuese u /∈ U, según el Corolario 5 (al teorema de Hahn–Banach) habría de existir ϕ ∈ X′ tal que ϕ(U) = 0 y ϕ(u) = 1. Entonces setendría que R(ϕ) = 0 y, por tanto, la siguiente contradicción:

ϕ(u) = 〈ϕ, i−1(F R)〉X′,X = 〈F R, ϕ〉X′′,X′ = 0 .

Segunda etapa: 〈F, ψ〉U′′,U′ = 〈ψ, u〉U′,U para todo ψ ∈ U′.

Consideremos para ello la extensión ψ de ψ a X proporcionada por elteorema de Hahn–Banach (Teorema 12). Entonces ψ = R(ψ) y

〈F, ψ〉U′′,U′ = 〈F, R(ψ)〉U′′,U′ = 〈i(u), ψ〉X′′,X′ = 〈ψ, u〉X′,X = 〈ψ, u〉U′,U .

(b) Razonamos por reducción al absurdo, para lo cual supondremosque Y 6= X′. Nuevamente el Corolario 5 garantiza la existencia de F ∈ X′′

(no idénticamente nulo) que se anula sobre Y. Como además X es reflexivopor hipótesis, existirá algún elemento x ∈ X tal que 〈F, f 〉X′′,X′ = 〈 f , x〉X′,Xpara todo f ∈ X′. En particular ha de ser 〈F, f 〉X′′,X′ = 0 para todo f ∈ Y,luego x = 0 por hipótesis. Esto contradice, sin embargo, el hecho de que Fno pueda ser idénticamente nulo.24

Proposición 6. Sean X e Y espacios vectoriales normados y T : X → Y unisomorfismo isométrico. En tal caso, si uno de los dos espacios es reflexivotambién lo es el otro. Dicho de otro modo, la propiedad de reflexividad sepreserva por la acción de un isomorfismo isométrico.

Demostración. Comenzamos definiendo las aplicaciones T? : X′ → Y′ yT?? : X′′ → Y′′ del siguiente modo:

T? f (y) := f(T−1y

)para cualesquiera f ∈ X′, y ∈ Y , (52)

T??F(g) := F(T?−1g

)para cualesquiera F ∈ X′′, g ∈ Y′ , (53)

a la vez que denotamos i : X → X′′ y j : Y → Y′′ las correspondientesinyecciones canónicas (cf. (33)). Observamos en primer lugar que T? es un

24En ambos casos, el hecho de que tanto U ⊂ X como Y ⊂ X′ sean cerrados es esencial.¿Cómo se utiliza?

José L. López

66

isomorfismo isométrico, dado que se trata de un homomorfismo biyectivoque satisface

‖T? f ‖Y′ = sup‖y‖Y≤1

∣∣T? f (y)∣∣ = sup

‖y‖Y≤1

∣∣ f (T−1y)∣∣

= sup‖Tx‖Y≤1

| f (x)|

= sup‖x‖X≤1

| f (x)|

= ‖ f ‖X′

para cualesquiera x ∈ X y f ∈ X′. Un argumento análogo basado enel hecho anterior permite afirmar que T?? es asimismo un isomorfismoisométrico. Sea ahora F0 ∈ X′′ y definamos x0 := T−1(j−1(T??F0

))∈ X.

Comprobaremos que si Y es reflexivo entonces X ha de serlo también. Setiene 25

F0( f )(53)= T??F0

(T? f

)= T? f

(j−1(T??F0

)) (52)= f

(T−1(j−1(T??F0

)))= f (x0) ,

de donde se deduce que ha de ser i(x0) = F0, luego i : X → X′′ es sobre-yectiva y, en consecuencia, X es reflexivo.

Proposición 7. Sea X un espacio de Banach. Las siguientes propiedadesson satisfechas:

(a) Si X es separable, cualquier M ⊂ X también lo es.

(b) Si X′ es separable, entonces X también lo es.

(c) Si X es separable y reflexivo, entonces X′ es separable.

(d) X es reflexivo si y solamente si X′ es reflexivo.

En particular, X es separable y reflexivo si y solamente si X′ es separa-ble y reflexivo.

Demostración. (a) Sea xj ⊂ X un subconjunto numerable y denso. En-tonces podemos construir un subconjunto numerable de M sin más queconsiderar mn

j ⊂ M ∩ B 1n(xj), salvo cuando dichas intersecciones sean

vacías. Veamos que también es denso en M. Para ello, sean m ∈ M y0 < ε < 1, y tomemos xj ∈ B ε

4(m). Tomemos asimismo un valor adecuado

25En este punto se emplea de forma esencial la reflexividad de Y. Deberías de ser capazde discernir en qué momento


de n (a saber, tal que ε4 ≤

1n ≤

ε2 ) para poder asegurar que M∩ B 1

n(xj) 6= ∅.

De esta manera se concluye la existencia de mnj tal que ‖mk

j − xj‖X ≤ 1n .

Finalmente se tiene

‖mnj −m‖X ≤ ‖mn

j − xj‖X + ‖xj −m‖X ≤ε

2+

ε

4,

luego la densidad de mnj en M.

(b) Por ser X′ separable, sabemos que ha de existir una familia fn ⊂X′ numerable y densa, con ‖ fn‖X′ = sup‖x‖≤1

| fn(x)|

para todo n ∈ N.

De este modo tenemos también garantizada la existencia de xn ⊂ BX1 tal

que

| fn(xn)| ≥12‖ fn‖X′ . (54)

Denotemos

EQ =

n

∑j=1

λjxj : λj ∈ Q, n ∈N

y ER =

n

∑j=1

λjxj : λj ∈ R, n ∈N

los espacios constituidos por todas las combinaciones lineales finitas deelementos de xn con coeficientes racionales y reales, respectivamente.En primer lugar es fácil observar que EQ es numerable, pues se puedeescribir como una unión numerable de conjuntos numerables:

EQ =∞⋃

k=1

gen

x1, . . . , xk

,

donde gen

x1, . . . , xk

denota el espacio vectorial generado por la familiax1, . . . , xk. También es de comprobación inmediata el hecho de que EQ

es denso en ER, toda vez que Q es denso en R. Bastará pues con verificarque ER es denso en X, pues en tal caso se tendría que EQ es un conjuntonumerable y denso en X, lo que concluiría la prueba. Tómese para ellof ∈ X′ tal que

f = 0 en ER . (55)

Al ser el conjunto fn denso en X′, se cumple que para cada ε > 0 ha deexistir n ∈N (suficientemente grande) para el que

‖ fn − f ‖X′ < ε , (56)

en cuyo caso se tendrá

12‖ fn‖X′ ≤ | fn(xn)| ≤ | fn(xn)− f (xn)|+ | f (xn)| ≤ ‖ fn − f ‖X′‖xn‖X < ε

José L. López

68

en virtud de (54), (55) y (56). Por consiguiente ‖ f ‖X′ ≤ ‖ f − fn‖X′ +‖ fn‖X′ < 3ε, y necesariamente ha de ser f = 0. Aplicando en última ins-tancia el (contrarrecíproco del) Corolario 5 deducimos que ER ha de serdenso en X.

(c) El hecho de que X sea reflexivo conlleva que i(X) = X′′, dondei : X → X′′ es la aplicación canónica definida en (33). Por otra parte, comoX es separable existirá una familia xn ⊂ X numerable y densa. Com-probemos para concluir que el conjunto Fn := i(xn) ⊂ X′′ es tambiénnumerable y denso. En efecto: Dados ε > 0 y F ∈ X′′, existe x ∈ X talque i(x) = F (por la sobreyectividad de i) y ‖xn − x‖X < ε para valoressuficientemente grandes de n ∈ N (por la densidad del conjunto xn enX). Siendo así, se tiene que

‖Fn − F‖X′′ = ‖i(xn)− i(x)‖X′′ = ‖i(xn − x)‖X′′ = ‖xn − x‖X < ε ,

de donde se desprende que X′′ es separable. Finalmente, aplicando elenunciado demostrado en (a) se concluye que X′ es separable.

(d) De izquierda a derecha: Sea Φ ∈ X′′′ y el funcional fΦ : X → R

definido del siguiente modo: fΦ(x) := 〈Φ, i(x)〉X′′′,X′′ . Es claro que fΦ ∈X′. Asimismo se tiene que

〈i(x), fΦ〉X′′,X′ = 〈 fΦ, x〉X′,X = 〈Φ, i(x)〉X′′′,X′′ ,

en virtud de las definiciones de i : X → X′′ y fΦ : X → R. Como ies sobreyectiva por hipótesis, se cumple 〈Φ, F〉X′′′,X′′ = 〈F, fΦ〉X′′,X′ paratodo F ∈ X′′, luego la inyección canónica de X′ en X′′′ es sobreyectiva y,en consecuencia, X′ es reflexivo.

De derecha a izquierda: Si X′ es reflexivo, la implicación anterior garan-tiza que también lo es X′′. Basta entonces con observar que i(X) es unsubespacio cerrado de X′′ 26 para poder afirmar que i(X) es reflexivo, se-gún lo expuesto en el Teorema 17 (a). Finalmente, X es reflexivo comoconsecuencia de la Proposición 6.

El siguiente es un resultado clásico de aproximación por funciones re-gulares, especialmente ventajoso para demostrar algunos de los teoremasde densidad más representativos. Comenzamos definiendo el concepto desoporte de una función continua.

Definición 10 (Soporte de una función continua). Se define el soporte deuna función continua f : Rd → R, y lo denotamos sop( f ), como la clau-sura topológica del conjunto x ∈ Rd : f (x) 6= 0.

26Justifíquese


En adelante denotaremos C∞c (Ω) el espacio de funciones test en Ω ⊆ Rd,

formado por todas aquellas funciones f : Ω→ R de clase C∞ cuyo soportees compacto en Ω.

Teorema 18 (Partición de la unidad). Sea A = On una familia nume-rable de abiertos de Rd. Entonces puede construirse una sucesión ψn ⊂C∞

c (Rd) (a la que típicamente se denomina partición de la unidad subordina-da a A) que verifica las siguientes propiedades:

(a) 0 ≤ ψn ≤ 1 ∀ n ∈N.

(b) Para cada n ∈N, existe On ∈ A tal que sop(ψn) ⊂ On.

(c) Para todo conjunto compacto K ⊂ ⋃∞n=1On, existe m ∈N tal que

ψ1 + · · ·+ ψm = 1 en un entorno de K .

Demostración [Rudin]. Consideremos la familia

Brn(xn)

formada porlas bolas cerradas de Rd que están centradas en puntos xn ∈ Rd con coor-denadas racionales y cuyos radios rn son también racionales, que ademássatisfacen que cada una de ellas está contenida en un elemento de A:Brn(xn) ⊂ On ∀ n ∈ N. Por otra parte, es sabido que para cada n ∈ N

existe una función test φn tal que 0 ≤ φn ≤ 1, φn(x) = 1 en B rn2(xn) y

φn(x) = 0 en el exterior de Brn(xn).27 Para construir la sucesión ψn delteorema basta con elegir ψ1 := φ1 y

ψn := (1− φ1)(1− φ2) . . . (1− φn−1)φn , n ≥ 2 .

Con esta definición la condición (a) es claramente satisfecha. Para compro-bar (b) es suficiente con tener en cuenta que ψn se anula en el exterior deBrn(xn), por lo que sop(ψn) ⊂ Brn(xn) ⊂ On. Concluimos con la prueba de(c). Usando el principio de inducción completa se demuestra la siguienteidentidad:

ψ1 + · · ·+ ψn = 1− (1− φ1)(1− φ2) . . . (1− φn) . (57)

En efecto: es obvio que la ecuación (57) es válida para n = 1. Si suponemosque también lo es para n− 1, se tiene que

ψ1 + · · ·+ ψn = 1− (1− φ1) . . . (1− φn−1) + ψn

= 1− (1− φ1) . . . (1− φn−1) + (1− φ1) . . . (1− φn−1)φn

= 1− (1− φ1) . . . (1− φn−1)(1− φn) ,

27Véase el Ejercicio 18

José L. López

70

luego (57) también es cierta para n, con lo que concluye el proceso induc-tivo. Por otro lado, si x ∈ ⋃m

n=1 B rn2(xn) ocurre que φn(x) = 1 para algún

n ∈ 1, 2, . . . , m, luego ψ1(x) + · · · + ψm(x) = 1 como se desprende de

(57). Por último, como la familia de bolas

B rn2(xn)

constituye un recu-

brimiento por abiertos de⋃∞

n=1On, cada compacto K ⊂ ⋃∞n=1On está a

su vez contenido en una unión finita⋃m

n=1 B rn2(xn), lo cual concluye la de-

mostración.

Sobre topologías fuertes y débiles

En el ámbito de las ecuaciones en derivadas parciales es común preten-der demostrar la existencia de soluciones de un determinado problema nolineal, pongamos L[u] = 0, en un espacio funcional de dimensión infini-ta. Esto suele hacerse mediante un proceso de regularización del proble-ma original consistente en construir una sucesión convergente adecuada,un → u, de modo que el correspondiente problema regularizado (o li-nealizado) L[un] = 0 sea más adecuado o tratable desde una perspectivaanalítica (lo que en el caso que nos trae significa simplemente que admitasolución). Así, toda vez que se haya verificado que un resuelve L[un] = 0para cada n ∈ N, es de esperar que L[un] → L[u] para poder deducirque u resolverá nuestra ecuación original. Esto quiere decir, en definitiva,que este tipo de problemas serán tanto más abordables cuantas más suce-siones convergentes puedan construirse; o, dicho de otro modo, cuantosmás conjuntos compactos admita la topología en cuestión, lo cual debetraducirse a su vez en un déficit de abiertos.

Sea X un espacio de Banach dotado de la norma ‖ · ‖X. Dada f ∈ X′,denotaremos L f : X → R la aplicación definida como L f (x) = 〈 f , x〉X′,X.

Definición 11 (Topología débil). La topología débil sobre X, habitualmentedenotada por σ(X, X′), es la topología menos fina (es decir, la que tiene elmenor número de abiertos) sobre X que hace continuas a todas las aplica-ciones de la familia L f f∈X′ .

Definición 12 (Convergencias fuerte y débil). Sea xn ⊂ X. Se dice que

(a) xn converge fuertemente hacia x en X (y se denota xn → x) si ysolamente si

lımn→∞‖xn − x‖X = 0 .

Sobre topologías fuertes y débiles 71

(b) xn converge débilmente hacia x en X (y se denota xn x) si ysolamente si para todo f ∈ X′ se tiene

lımn→∞

L f (xn − x)

= 0 .

Observación 6. La convergencia fuerte implica de forma inmediata la con-vergencia de las normas, ya que |‖xn‖X − ‖x‖X| ≤ ‖xn − x‖X. Nótese queesta propiedad se ha usado ya con anterioridad en varias ocasiones.

Recordemos brevemente, antes de continuar avanzando en la teoría, quese puede definir una inyección canónica i : X → X′′ que sea continuade la siguiente forma (cf. (33)): 〈i(x), f 〉X′′,X′ = L f (x). La aplicación i esisométrica, como se desprende de la igualdad de normas siguiente:

‖i(x)‖X′′ = sup‖ f ‖X′≤1

∣∣〈i(x), f 〉X′′,X′∣∣ = sup

‖ f ‖X′≤1

∣∣〈 f , x〉X′,X∣∣ = ‖x‖X ,

pero no es en general sobreyectiva puesto que X′′ es un espacio típicamen-te más grande que X (caso de serlo es cuando X se dice reflexivo). En elsiguiente resultado se contemplan algunas propiedades elementales rela-cionadas con las convergencias fuerte y débil.

Proposición 8. Sean X un espacio de Banach y xn ⊂ X. Se verifican:

(a) Si xn → x en X, entonces xn x en X.

(b) Si xn x en X, entonces la sucesión ‖xn‖X es acotada.

(c) Si xn x en X y fn → f en X′, entonces

L fn(xn)→ L f (x).

Demostración. La propiedad (a) se deduce inmediatamente de la defini-ción de convergencia débil, puesto que |L f (xn − x)| ≤ ‖ f ‖X′‖xn − x‖X.

La propiedad (b) es una consecuencia del principio de acotación unifor-me (Teorema 10). En efecto: considérese la sucesión de operadores linealesy continuos Fn := i(xn) : X′ → R definida como 〈Fn, f 〉X′′,X′ = L f (xn),donde i : X → X′′ es la aplicación canónica introducida en (33). Se tiene

supn∈N

|〈Fn, f 〉X′′,X′ |

= sup

n∈N

|L f (xn)|

< ∞ ∀ f ∈ X′ ,

José L. López

72

puesto que la sucesión L f (xn) converge por hipótesis hacia L f (x) pa-ra todo f ∈ X′, por lo que en particular ha de ser acotada. Entonces elTeorema 10 garantiza que

supn∈N

‖xn‖X

= sup

n∈N

‖Fn‖X′′

< ∞ ,

donde se ha usado el hecho de que la aplicación i : X → X′′ es una isome-tría.

Finalmente, para demostrar (c) observamos que

|L fn(xn)− L f (x)| ≤ |L fn− f (xn)|+ |L f (xn − x)|≤ ‖ fn − f ‖X′‖xn‖X + |L f (xn − x)| ,

lo cual nos permite concluir a sabiendas de que la sucesión ‖xn‖X esacotada como consecuencia de (b).

Antes de analizar la relación existente entre las topologías fuerte y dé-bil, veamos cómo puede obtenerse una base de entornos para la topologíaσ(X, X′).

Proposición 9. Para cualquier x0 ∈ X, la familia constituida por todos losconjuntos de la forma

Uε(x0) =

x ∈ X : |L fi(x− x0)| < ε ∀ i ∈ I

es una base de entornos de x0 para la topología débil σ(X, X′), donde I esun conjunto finito de índices, fi ∈ X′ ∀i ∈ I y ε > 0.

Demostración. Es claro que Uε(x0) puede reescribirse como la siguienteintersección finita de abiertos para la topología débil σ(X, X′) que contie-nen a x0:

Uε(x0) =⋂i∈I

L−1fi

(]L fi(x0)− ε, L fi(x0) + ε[

).

Por otra parte, es bien conocido que dado un punto x0 ∈ X los conjuntosde la forma

⋂i∈I L−1

fi(ωi), con I finito, forman una base de entornos de

x0 para la topología σ(X, X′), donde ωi es un entorno de L fi(x0) en R. Portanto, si V(x0) es un entorno cualquiera de x0 en σ(X, X′) ha de existir otroentorno W(x0) de x0 tal que W(x0) =

⋂i∈I L−1

fi(ωi) ⊂ V(x0). Finalmente,

existe ε > 0 (suficientemente pequeño) tal que

]L fi(x0)− ε, L fi(x0) + ε[⊂ ωi ∀ i ∈ I ,


de donde se deduce que x0 ∈ Uε(x0) ⊂ W(x0) ⊂ V(x0), lo que concluyela prueba.

Proposición 10. Si dim(X) = d < ∞, la topología débil σ(X, X′) y latopología fuerte coinciden. En particular, una sucesión en X converge dé-bilmente si y solamente si converge fuertemente.

Demostración. Una inclusión es evidente, ya que en general la topologíadébil tiene menos abiertos que la topología fuerte. Recíprocamente, hemosde comprobar que todo abierto para la topología fuerte lo es también parala topología débil. Sean para ello x0 ∈ X, r > 0 y U(x0) un entorno de x0 enla topología fuerte que contiene a la bola Br(x0) de X. Tomemos una basee1, . . . , ed de X con ‖ei‖X = 1 para todo 1 ≤ i ≤ d. Entonces, cualquieraque sea x ∈ X existirán λ1, . . . , λd ∈ R tales que x = ∑d

i=1 λiei. Las dproyecciones pi : x 7→ λi son claramente elementos de X′, por lo que

‖x− x0‖X =∥∥∥ d

∑i=1

Lpi(x− x0)ei

∥∥∥X≤

d

∑i=1|Lpi(x− x0)| . (58)

Dado ε > 0 se define

Vε(x0) :=

x ∈ X : |Lpi(x− x0)| < ε ∀ 1 ≤ i ≤ d

,

que es una base de entornos de x0 para la topología σ(X, X′) según lo de-mostrado en la Proposición 9. Entonces, de (58) se desprende que ‖x −x0‖X < εd para todo x ∈ Vε(x0). Finalmente, basta con elegir ε = r

d paraconcluir que Vε(x0) ⊂ U(x0). De este modo, podemos afirmar que cual-quier abierto de la topología fuerte se genera a partir de conjuntos de laforma Vε(x0), luego es también un abierto en la topología débil.

Por el contrario, si dim(X) = ∞ la topología débil es estrictamente me-nos fina que la topología fuerte, esto es, existen abiertos fuertes que no sonabiertos débiles. En este caso se pueden encontrar sucesiones que son dé-bilmente convergentes y sin embargo no convergen en la topología fuerte,lo que sirve para enlazar con lo que se dijo en el preámbulo de la sección.Ésta es una de las mayores ventajas de las topologías débiles: en espaciosvectoriales de dimensión infinita, la topología débil permite que converjan muchasmás sucesiones que la topología fuerte. En tal caso, abordar el estudio de unproblema en derivadas parciales no lineal, planteado por ejemplo en unespacio de Lebesgue o de Sobolev (que serán el objeto de los capítulos II

José L. López

74

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.5

0.5

1

Figura 2: Representación gráfica de los cuatro primeros elementos de la sucesiónde funciones del Ejemplo 8.

y IV, respectivamente), a través de una secuencia conveniente de proble-mas aproximados, se convierte en una técnica a priori más exitosa desde laperspectiva de las correspondientes topologías débiles.

Ejemplo 8. Considérese la sucesión de funciones

fn(x) =√

2 sen(nπx)

en Ω = (0, 1). Esta sucesión converge débilmente hacia cero en L2(Ω).28

En efecto: tomando ϕ ∈ C∞c (Ω) e integrando por partes se obtiene

Lϕ( fn) = 〈ϕ, fn〉 =√

2∫ 1

0sen(nπx)ϕ(x) dx =

√2

nπ

∫ 1

0cos(nπx)ϕ′(x) dx ,

luego

|〈ϕ, fn〉| ≤Cn→ 0 cuando n→ ∞ ,

con C =√

2π max

|ϕ′(x)| : x ∈ [0, 1]

. Finalmente, un sencillo argumen-

to de densidad (más adelante comprobaremos que C∞c (Ω) es denso en

28Aunque los espacios Lp(Ω) serán estudiados exhaustivamente en el siguiente capí-

tulo, retengamos por el momento que f ∈ L2(Ω) si ‖ f ‖L2(Ω) :=(∫

Ω f (x)2 dx) 1

2 < ∞,y que L2(Ω) está dotado del siguiente producto escalar: 〈 f , g〉 =

∫Ω f (x)g(x) dx. Esto,

junto con el hecho de que L2(Ω)′ y L2(Ω) son isomorfos, es suficiente para afrontar conéxito este ejemplo


L2(Ω), que a su vez es isomorfo a L2(Ω)′) nos permite concluir. Sin em-bargo, fn no puede converger en la topología fuerte de L2(Ω), pues dehacerlo también convergería la sucesión de las correspondientes normas(cf. Observación 6). No obstante

‖ fn‖2L2(Ω) = 2

∫ 1

0sen2(nπx) dx =

∫ 1

0

(1− cos (2nπx)

)dx = 1 6= 0 .

Sean fn ⊂ X′ y f ∈ X′. Se pueden definir tres topologías destacadassobre X′:

(a) la topología fuerte: fn → f si

lımn→∞‖ fn − f ‖X′ = 0 ;

(b) la topología débil: fn f si

lımn→∞

〈Φ, fn〉X′′,X′

= 〈Φ, f 〉X′′,X′ ∀Φ ∈ X′′ ;

(c) la topología débil ?: fn f débil ? si

lımn→∞

L fn(x)

= L f (x) ∀x ∈ X .

En general la topología débil ? es estrictamente menos fina que la topolo-gía débil, que a su vez es menos fina (como ya sabemos) que la topologíafuerte. Si X es reflexivo, las topologías débil y débil ? en X′ son claramentela misma.

En X = R es bien sabido, gracias al teorema de Bolzano–Weierstrass,que basta con que una sucesión sea acotada para poder extraer de ellauna subsucesión convergente. Por el contrario, cuando X es un espaciode Banach de dimensión infinita la condición de acotación no es en gene-ral suficiente. Sin embargo, en el caso de espacios duales se dispone delsiguiente resultado.

Teorema 19 (Banach–Alaoglú). Para todo espacio vectorial normado X, labola unidad cerrada de X′, BX′ = f ∈ X′ : ‖ f ‖X′ ≤ 1, es compacta en latopología débil ?.

José L. López

76

Observación 7. La bola unidad cerrada de un espacio vectorial normadode dimensión infinita nunca es compacta en la topología fuerte (consúlteseal respecto el teorema de Riesz VI.5 en [Bre]), de ahí la importancia delresultado anterior para establecer propiedades de compacidad en algunosespacios de Banach de interés.

Demostración del Teorema 19. Consideremos el espacio

Z = RX = ∏x∈X

R ,

cuyos elementos son listas de la forma z = (zx)x∈X con zx ∈ R para todox ∈ X, dotado de la topología producto, es decir, la topología menos finaque hace continuas a cada una de las proyecciones canónicas Px : z 7→ zxcuando x recorre X. Consideremos asimismo la topología débil ? sobreX′. Se define entonces Φ : X′ → Z como Φ( f ) =

(L f (x)

)x∈X. La apli-

cación Φ es claramente continua e inyectiva. Es más, puede demostrar-se fácilmente que Φ : X′ → Φ(X′) es un homeomorfismo sin más queverificar la continuidad de Φ−1 : Φ(X′) → X′ (nótese que Φ(X′) he-reda la topología producto de Z). Para ello es suficiente con comprobarque, para cualquier x ∈ X, la aplicación Ψx : Φ(X′) → R definida co-mo z 7→ LΦ−1(z)(x) es continua en Φ(X′). En efecto: para todo f ∈ X′ setiene que Ψx(Φ( f )) = L f (x) = Px(Φ( f )), luego Ψx coincide con la pro-yección Px, que es continua, al actuar sobre Φ(X′). Por consiguiente, BX′

es compacto si y solamente si Φ(BX′) lo es. Observamos en primer lugarque, para cada x ∈ X, se tiene |Φ( f )| = |L f (x)| ≤ ‖ f ‖X′‖x‖X ≤ ‖x‖Xcualquiera que sea f ∈ BX′ , luego

Φ(BX′) ⊂ A := ∏x∈X

[− ‖x‖X, ‖x‖X

],

que es un compacto29 para la topología producto de Z, de donde se des-prende que basta con verificar que Φ(BX′) es cerrado en A para concluirla prueba.30

Sea g ∈ Φ(BX′). En primer lugar comprobaremos que el funcional f :X → R definido como

f (x) := gx = coordenada x–ésima de g (59)29En virtud del teorema de Tychonoff, que establece que el producto cartesiano de una

familia arbitraria de compactos es compacto para la topología producto. La prueba de es-te resultado requiere del axioma de elección. El lector interesado en ella puede consultar,por ejemplo, § 4.11 de [Fri-1]

30Cualquier subconjunto cerrado de un espacio topológico compacto es también com-pacto

77

es lineal. En efecto: dado ε > 0, tómense cualesquiera dos puntos x1, x2 ∈X y cualesquiera escalares λ1, λ2 ∈ R. Sea U un entorno de g formado porlos elementos (zx)x∈X tales que

|zx1 − gx1 | < ε , |zx2 − gx2 | < ε , |zλ1x1+λ2x2 − gλ1x1+λ2x2 | < ε

y zx arbitrario si x 6= x1, x 6= x2 y x 6= λ1x1 + λ2x2. Como g ∈ Φ(BX′), hade existir un elemento h ∈ Φ(BX′) ∩U. En particular, tal elemento ha deresponder a la forma h = Φ( f0) para algún funcional f0 : X → R lineal ycontinuo. Además, se verifica

|hx1 − gx1 | < ε , |hx2 − gx2 | < ε , |hλ1x1+λ2x2 − gλ1x1+λ2x2 | < ε ,hλ1x1+λ2x2 = λ1hx1 + λ2hx2 . (60)

Por consiguiente

|λ1gx1 + λ2gx2 − gλ1x1+λ2x2 |≤ |λ1||gx1 − hx1 |+ |λ2||gx2 − hx2 |+ |gλ1x1+λ2x2 − hλ1x1+λ2x2 |≤ (|λ1|+ |λ2|+ 1)ε ,

tras sumar y restar las cantidades apropiadas y haber empleado las pro-piedades expuestas en (60). Como ε es arbitrario, se concluye que el fun-cional f definido en (59) es lineal. Además, como g ∈ A se tiene que| f (x)| ≤ ‖x‖X, luego f ∈ X′ y ‖ f ‖X′ ≤ 1. Es por ello que f ∈ BX′ y,por tanto, g = Φ( f ) ∈ Φ(BX′), lo que prueba que Φ(BX′) es cerrado en A.

Una exposición amplia y detallada de diversas técnicas relacionadascon criterios de compacidad débil en el ámbito del cálculo de variacionesy de las ecuaciones en derivadas parciales puede encontrarse en [Eva2].

Distribuciones: la delta de Dirac y su papel en elámbito de las ecuaciones en derivadas parciales

Como se vio en el Ejemplo 3 (b), una masa puntual se describe mate-máticamente por medio de la llamada medida de Dirac. En efecto: si supo-nemos una masa unidad concentrada en el origen de coordenadas (Ω = R

y A = 0 en el Ejemplo 3 (b)), entonces la medida de Dirac asociada (a lacual denotaremos ρ0) no es otra que

ρ0(x) =

1 si x = 00 si x 6= 0 .

José L. López

78 Distribuciones: la delta de Dirac y su papel en el ámbito de las EDPs

Sin embargo, si nuestro propósito fuese medir la densidad de masa aso-ciada a un punto material la situación se torna algo más compleja. Para elcaso particular de un intervalo I, es bien sabido que la densidad de masaasociada es la razón entre la masa total m contenida en I y el volumen deI (que no es otra cosa que su medida de Lebesgue |I|):

ρ(I) =m|I| .

En nuestra situación se ha considerado una masa unidad concentrada enun intervalo puntual (m = 1, I = 0), por lo que |I| = 0 y se tendría

ρ(x) =

∞ si x = 00 si x 6= 0 . (61)

Es obvio que esta expresión no tiene sentido matemático como función,de modo que hemos de recurrir a una aproximación distinta de la reali-dad física subyacente. Para ello se consideran promedios de densidad enentornos pequeños del punto material Iε = [−ε, ε] (véase [Vla1]), de ma-nera que la densidad puntual de masa pueda caracterizarse (al menos anivel intuitivo) como el límite cuando ε→ 0 de una sucesión de funciones(discontinuas) δε(x) definidas como

δε(x) =

1|Iε| =

12ε si |x| ≤ ε

0 si |x| > ε.

Es evidente que, para cualquier ε > 0, el área de la región delimitada porla gráfica de la función δε(x) es unitaria, y que al calcular su límite puntualcuando ε→ 0 se obtiene (61).

Llegado este punto un nuevo problema nos aguarda. Es físicamenteexigible que la integral de la densidad de masa asociada a cualquier inter-valo I (que en nuestro caso contenga al punto x = 0) proporcione la masatotal distribuida en el interior de I; en particular, habría de cumplirse∫

Ilımε→0δε(x) dx =

∫I

ρ(x) dx = ρ0 .

Esto, sin embargo, es contradictorio con el hecho de que

lımε→0

∫I

δε(x) dx= 1

siempre que el intercambio de límite e integral fuese factible, lo cual vienea significar que el límite puntual de la sucesión δε(x) no es el adecuado

79

para recuperar la densidad de masa puntual a partir de la densidad demasa asociada a un intervalo. ¿Cómo debemos definirla entonces?

Para dar una respuesta satisfactoria a esta pregunta se introdujo el con-cepto de distribución o función generalizada. Comencemos calculando el lí-mite débil de la sucesión de promedios de densidad δε(x) (cf. CapítuloII), esto es: para toda función continua ϕ : [a, b] → R, tal que 0 ∈ [a, b], secalcula

lımε→0

∫ b

aδε(x)ϕ(x) dx

.

Es fácil comprobar que este límite es ϕ(0). En efecto:∣∣∣ ∫ b

aδε(x)ϕ(x) dx− ϕ(0)

∣∣∣ ≤ 12ε

∫ ε

−ε|ϕ(x)− ϕ(0)| dx .

La continuidad de ϕ permite hacer el segundo miembro tan pequeño comose desee, lo que prueba la afirmación anterior. Luego el límite débil de lasucesión de promedios de densidad δε es el operador que asocia a cual-quier función continua ϕ su evaluación en el punto en que se concentrala masa (en nuestro caso, ϕ 7→ ϕ(0)). Es este operador, al que denotamosδ0, el que se usa para describir la densidad de masa asociada a un puntomaterial. El operador δ0 definido como

〈δ0, ϕ〉 := lımε→0

∫ b

aδε(x)ϕ(x) dx

= ϕ(0)

recibe el nombre de delta de Dirac en honor a Paul Dirac, quien introdujolas distribuciones en la ciencia a raíz de los estudios que llevó a cabo enel terreno de la Mecánica Cuántica y sistematizó el uso de la distribucióndelta que lleva su nombre.

De modo análogo, si es una masa total m la que se concentra en el pun-to x = 0, se tiene que la densidad correspondiente viene dada por mδ0. Sila masa m se concentra en cualquier otro punto x0, entonces la densidadde masa asociada es mδx0 , entendiendo que δx0 es el operador que asocia acada función continua ϕ su evaluación en x0. Si, por el contrario, se dispo-ne de una distribución finita de masas mj1≤j≤n que se concentran en lospuntos xj1≤j≤n, entonces la densidad de masa del sistema es ∑n

j=1 mj δxj .

Con la mirada puesta en el ejemplo anterior presentamos la siguiente

Definición 13 (Distribución). Se define una distribución como un opera-dor lineal y continuo que actúa sobre el espacioD(Rd) = C∞

c (Rd) formadopor las funciones de clase C∞ con soporte compacto en Rd; es decir, comoun elemento del dual topológico de D(Rd). Es por ello que el espacio delas distribuciones se denota habitualmente D′(Rd).

José L. López


Ejemplo 9. Algunos ejemplos de distribuciones son los siguientes:

(a) La delta de Dirac: δx(Φ) = Φ(x), para toda Φ ∈ D(Rd). En efecto:

(i) δx es lineal, pues

δx(λ1Φ1 + · · ·+ λkΦk) = (λ1Φ1 + · · ·+ λkΦk)(x)= λ1Φ1(x) + · · ·+ λkΦk(x)= λ1δx(Φ1) + . . . λkδx(Φk) .

(ii) δx es continua. Basta con demostrar la continuidad en 0, ya queacabamos de comprobar que es un operador lineal. Sea Φn ⊂D(Rd) tal que Φn → 0 en D(Rd), entendiendo que la conver-gencia de una sucesión enD(Rd) no es más que la convergenciauniforme de dicha sucesión y de las sucesiones de derivadas decualquier orden en un compacto K que contenga a los soportesde todos los elementos de la sucesión, es decir: fn → f enD(Rd) si existe un compacto K ⊂ Rd, tal que sop( fn) ⊂ K paratodo n ∈N, para el que

lımn→∞

supx∈K

∣∣Dα fn(x)− Dα f (x)∣∣ = 0 , (62)

donde α = (α1, α2, . . . , αd) es cualquier multiíndice y

Dα =∂|α|

∂α1x1 . . . ∂

αdxd

. (63)

Entonces es de comprobación inmediata la siguiente propiedad:

lımn→∞δx(Φn) = lım

n→∞Φn(x) = 0 = δx(0) ∀ x ∈ Rd ,

y con ella la continuidad de la distribución delta de Dirac.

(b) Asociada a toda función continua f : Rd → R hay una distribu-ción definida de la siguiente forma:

Tf (Φ) =∫

Rdf (x)Φ(x) dx , Φ ∈ D(Rd) .

La linealidad de Tf es obvia. Sean entonces Φn ⊂ D(Rd) una suce-sión tal que Φn → 0 enD(Rd) y K ⊂ Rd un compacto que contieneal soporte de Φn para todo n ∈N. En consecuencia

|Tf (Φn)| =∣∣∣ ∫

Kf (x)Φn(x) dx

∣∣∣ ≤ |K| supx∈K| f (x)| sup

x∈K|Φn(x)| ,

81

de modo que lımn→∞Tf (Φn) = 0 = Tf (0) (cf. (62)), de donde sedesprende que Tf es continua.

(c) La distribución de Heaviside unidimensional H : D(R) → R sedefine como

H(Φ) =∫ ∞

0Φ(x) dx .

Se trata de un operador lineal y continuo sobre D(R) puesto que laintegral lo es.

Estos primeros ejemplos ponen ya de manifiesto que el espacio de lasdistribuciones es muy amplio. Piénsese que acabamos de verificar quecualquier función continua genera una distribución, luego hay al menostantas distribuciones como funciones continuas. Pero sabemos tambiénque el espacio de las distribuciones contiene incluso operadores defini-dos en D(Rd) que no son (identificables con) funciones, como es el casode la delta de Dirac.

Esta sección no pretende ser una revisión exhaustiva de los principiosmatemáticos relacionados con la teoría de distribuciones, sino únicamenteuna exposición elemental del andamiaje necesario para alcanzar el resulta-do fundamental que nos concierne en el ámbito de las ecuaciones diferen-ciales, a saber: que toda ecuación en derivadas parciales lineal y con coeficientesconstantes admite una solución en el sentido de las distribuciones. En pos deeste objetivo comenzamos estudiando los conceptos de derivada de una dis-tribución, convolución de una distribución con una función de D(Rd) y soluciónfundamental de un operador diferencial.

Definición 14 (Derivada de una distribución). Sean T ∈ D′(Rd) y α =(α1, . . . , αd) un multiíndice. Se define la α–derivada de T, y se denota ∂αT,como la distribución que viene dada por

∂αT := (−1)|α| (T Dα) ,

donde Dα denota la α–derivada clásica (cf. (63)) y |α| = α1 + · · ·+ αd.

Tanto la linealidad como la continuidad de la derivada distribucionalse desprenden de las correspondientes propiedades de linealidad y conti-nuidad de los operadores T : D(Rd)→ R y Dα : D(Rd)→ D(Rd).

Ejemplo 10. Se plantean seguidamente algunas situaciones interesantesque relacionan las funciones signo y de Heaviside con la delta de Dirac através de la noción de derivada distribucional.

José L. López


(a) La derivada de la distribución de Heaviside es la delta de Dirac cen-trada en el origen. En efecto: para toda función Φ ∈ D(R) se tiene

∂H(Φ) = −H(Φ′) = −∫ ∞

0Φ′(x) dx = Φ(0) = δ0(Φ) .

(b) Sea f (x) = |x|. Es claro que f ∈ C(R) pero no admite derivada clá-sica. Calculemos en su lugar la derivada distribucional de f . Como fes continua, sabemos (cf. Ejemplo 9 (b)) que puede identificarse conuna distribución Tf definida como

Tf (Φ) =∫ ∞

−∞f (x)Φ(x) dx ∀Φ ∈ D(R) .

Se trata, por tanto, de encontrar otra distribución Tg tal que

∂Tf = Tg , (64)

aunque como veremos g ya no habrá de ser necesariamente continua.Para toda Φ ∈ D(R), la función g ha de verificar∫ ∞

−∞g(x)Φ(x) dx = −

∫ ∞

−∞f (x)Φ′(x) dx

=∫ 0

−∞xΦ′(x) dx−

∫ ∞

0xΦ′(x) dx

= −∫ 0

−∞Φ(x) dx +

∫ ∞

0Φ(x) dx

para que la identidad (64) sea satisfecha, donde la última igualdadprocede de haber aplicado la fórmula clásica de integración por par-tes. Luego

g(x) =−1 si x < 01 si x ≥ 0 = signo(x) . (65)

(c) La función h : R→ R definida como

h(x) =

0 si x < 01 si x ≥ 0

recibe el nombre de función de Heaviside. Claramente Th = H (cf.Ejemplo 9 (c)) y g(x) = 2h(x)− 1 para la función g de (65). Entoncesla derivada distribucional de segundo orden de f (x) = |x| vienedada por ∂2Tf = ∂Tg = 2∂H = 2δ0, pues Tg = 2H −

∫ ∞−∞ Φ(x) dx.

83

Definición 15 (Convolución de una distribución con una función test ycon otra distribución). Sean T, S ∈ D′(Rd) y Φ ∈ D(Rd).

(a) Se define la convolución de T con Φ, y se denota T ∗ Φ, como lafunción

(T ∗Φ)(x) := T(τxRΦ) , (66)

donde τx y R son los operadores (lineales) de traslación y reflexión,respectivamente:

(τx f )(y) = f (y− x) , (R f )(y) = f (−y) .

La función T ∗Φ induce una distribución, a la que denotaremos λT∗Φ,que viene dada por

λT∗Φ(Ψ) = T(RΦ ∗Ψ) ∀Ψ ∈ D(Rd) . (67)

En efecto, haciendo uso de la aproximación estándar de la integralpor las sumas de Riemann se dispone de la siguiente cadena deigualdades:

λT∗Φ(Ψ) =∫

Rd(T ∗Φ)(x)Ψ(x) dx

= lımn→∞

n

∑j=1

(T ∗Φ)(xj)Ψ(xj)(xj − xj−1)

= lımn→∞

n

∑j=1

T(Φ(xj − y)

)Ψ(xj)(xj − xj−1)

= lım

n→∞

T( n

∑j=1

Φ(xj − y)Ψ(xj)(xj − xj−1))

= T(RΦ ∗Ψ) .

(b) Diremos que T se anula en Ω ⊂ Rd si T(Φ) = 0 cualquiera quesea Φ ∈ D(Rd) con sop(Φ) ⊂ Ω. Se define entonces el soporte deT como sop(T) = Rd \ O, donde O denota la unión de todos losabiertos Oj ⊂ Rd en los que T se anula.31 En tal caso, si al menos

31Puede demostrarse que si T se anula en una familia numerable de abiertos, enton-ces se anula también en la unión de los mismos. En efecto: sean Φ ∈ D(O) y ψj unapartición de la unidad subordinada a la familia de abiertos Oj en los que T se anu-la. Entonces T(Φ) = ∑m

j=1 T(ψjΦ) = 0, en virtud de las consabidas propiedades de lapartición (cf. Teorema 18)

José L. López


una de las dos distribuciones tiene soporte compacto, se define T ∗ Scomo la (única) distribución que satisface

(T ∗ S) ∗Φ = T ∗ (S ∗Φ) .

Observación 8. Las siguientes especificaciones son fundamentales paradar sentido a la Definición 15:

(a) Si S tiene soporte compacto, es claro que S ∗ Φ ∈ D(Rd), luego laacción T ∗ (S ∗Φ) está bien definida en virtud de (66). Por otra par-te, si fuera T la distribución que tiene soporte compacto, T ∗ (S ∗Φ)representaría la convolución de una distribución con soporte com-pacto y una función de clase C∞ (tal como quedará patente en elTeorema 20). Veremos a continuación que esta operación está biendefinida, en tanto que cualquier distribución con soporte compactopuede identificarse con un elemento del dual topológico de C∞(Rd)con la topología derivada de la familia de seminormas

‖ f ‖β,K = supx∈K

|Dβ f (x)|

, K ⊂ Rd compacto.

En efecto: si sop(T) es compacto, existirá una función χ ∈ D(Rd) talque χ = 1 en un entorno de sop(T) (cf. Ejercicio 18). Definimos

T(φ) := T(χφ) para toda φ ∈ C∞(Rd) .

• T es lineal.

• T es continua en C∞(Rd). Si se considera φn → 0 en C∞(Rd)es claro que χφn → 0 en D(Rd), toda vez que sop(χφn) ⊂sop(χ) para todo n ∈N, luego

T(φn)

= T(χφn) → 0.

• T extiende a T. Dada Φ ∈ D(Rd) se cumple que sop(Φ− χΦ)∩sop(T) = ∅, luego T(Φ) − T(Φ) = T(Φ − χΦ) = 0 o, lo quees equivalente, la restricción de T a D(Rd) coincide con T. Ade-más, T es la única extensión de T a C∞(Rd) que satisface la pro-piedad

T(φ) = 0 si sop(T) ∩ sop(φ) = ∅ . (68)

En efecto, cualquier otra extensión T que satisficiera la propie-dad (68) habría de verificar

0 = T(φ− χφ) = T(φ)− T(χφ) = T(φ)− T(φ) .

85

(b) Si hubiese dos distribuciones T y T tales que T ∗Φ = T ∗Φ para todaΦ ∈ D(Rd), habría de cumplirse (cf. (66))

T(Φ) =(T ∗ (RΦ)

)(0) =

(T ∗ (RΦ)

)(0) = T(Φ) ,

con lo que ambas habrían de coincidir.

(c) La convolución conmuta con el operador de traslación:

(T ∗ τhΦ)(x) = T(τxRτhΦ) = T(τx−hRΦ) = (T ∗Φ)(x− h)= τh

(T ∗Φ)(x) .

(d) Si T ∈ D′(Rd), la aplicación FT : D(Rd) → C∞(Rd) definida comoFT(Φ) := T ∗Φ es lineal y continua (compruébese).

(e) Sea F : D(Rd)→ C∞(Rd) un operador lineal y continuo que conmu-ta con el operador de traslación. Entonces existe T ∈ D′(Rd) tal queF = FT (compruébese).

El siguiente resultado establece la forma en que se deriva la convolución(66):

Teorema 20. Si T ∈ D′(Rd) y Φ ∈ D(Rd), entonces

Dα(T ∗Φ) = ∂αT ∗Φ = T ∗ DαΦ

para todo multiíndice α. En particular, T ∗ Φ se revela como una funciónde clase C∞. Un resultado análogo es válido para la derivada de la convo-lución de dos distribuciones.

Demostración.32 Se observa en primer lugar que

(∂αT ∗Φ)(x) = ∂αT(τxRΦ) = (−1)|α| (T Dα)(τxRΦ)

= (−1)|α| T(τxDα(RΦ)) = T(τxRDαΦ) = (T ∗ DαΦ)(x) .

Por tanto, bastaría con probar que

Dα(T ∗Φ) = T ∗ DαΦ (69)

32Es muy recomendable intentar resolver el Ejercicio 18 antes de proceder con estademostración

José L. López


para concluir la demostración. Consideramos para ello el caso más simpleposible, es decir, aquel que resulta de elegir α = ei en (63), donde he-mos utilizado ei para denotar el i–ésimo vector de la base canónica de Rd:DαΦ = ∂Φ

∂xipara algún 1 ≤ i ≤ d. Se tiene entonces que

∂Φ∂xi

(y) = lımh→0

Φ(y)−Φ(y− hei)

h

= lım

h→0

(τ0 − τhei)Φ

h

(y) ,

de donde se deduce fácilmente que

lımh→0

(τ0 − τhei)Φ

h

=

∂Φ∂xi

en la topología de D(Rd)

(cf. Ejercicio 19 (a)). Además (cf. Observación 8 (c) y Ejercicio 18 (d))

(τ0 − τhei)(T ∗Φ)

h= T ∗

(τ0 − τhei)Φh

,

luego haciendo h→ 0 se obtiene (cf. Ejercicio 18 (g))

∂(T ∗Φ)

∂xi= T ∗ ∂Φ

∂xi. (70)

La propiedad (69) es entonces una sencilla consecuencia de aplicar (70)repetidamente.

Definición 16 (Solución fundamental). Un operador diferencial lineal concoeficientes constantes es cualquier suma finita del tipo

P(D) = ∑|α|≤k

λαDα . (71)

Se dice que una distribución T es una solución fundamental del operadordiferencial (71) si

P(D)[T] = ∑|α|≤k

λα∂αT = δ0 , (72)

donde δ0 denota la distribución delta de Dirac centrada en el origen.

Enunciamos acto seguido los resultados principales de esta sección.

Teorema 21 (Malgrange–Ehrenpreis). Todo operador diferencial lineal concoeficientes constantes admite una solución fundamental.

87

Teorema 22. Sean P(D) un operador diferencial lineal con coeficientesconstantes y T una distribución que es solución fundamental de P(D).Entonces P(D)[T ∗Φ] = Φ para toda función Φ ∈ D(Rd).

Este resultado permite invertir el operador diferencial P(D) sin másque efectuar la convolución con una solución fundamental, lo cual se tra-duce inmediatamente en la posibilidad de construir una solución de cual-quier ecuación en derivadas parciales lineal, con coeficientes constantesy no homogénea toda vez que se conozca una solución fundamental dela misma. En efecto: si T es una solución fundamental de P(D), entoncesu = T ∗ f resuelve la ecuación diferencial P(D)[u] = f .

Demostración del Teorema 22. Sea P(D) = ∑|α|≤k λαDα. Como T esuna solución fundamental de P(D), se cumple (72). Calculamos finalmen-te

P(D)[T ∗Φ] = ∑|α|≤k

λαDα(T ∗Φ) =(

∑|α|≤k

λα∂αT)∗Φ = δ0 ∗Φ = Φ ,

para lo que se ha utilizado el Teorema 20 y el hecho de que

(δ0 ∗Φ)(x) = δ0(τxRΦ) = (τxRΦ)(0) = (RΦ)(−x) = Φ(x) .

Una demostración elemental del Teorema de Malgrange–Ehrenpreispuede encontrarse en [Ros]. Una exposición detallada y profunda de lateoría de distribuciones y algunas de sus conexiones con la teoría de ope-radores diferenciales pueden encontrarse en [Sch], [Rud2], [Che], [Vla1],[Hor] y [DK].

Semigrupos de evolución y argumentos de puntofijo

Demostramos en esta sección el resultado general que soporta el análi-sis de existencia y unicidad de solución para una amplia familia de proble-mas de evolución no homogéneos representados por ecuaciones en deri-vadas parciales. Para ello establecemos en primer lugar el marco abstractoen el que se desarrolla la teoría. Comenzamos con la siguiente

Definición 17 (Semigrupo fuertemente continuo y generador infinitesi-mal). Sea X un espacio de Banach. Diremos que una familia uniparamé-trica S(t) : X → Xt≥0 de operadores lineales y continuos constituye

José L. López

88 Semigrupos de evolución y argumentos de punto fijo

un semigrupo fuertemente continuo si las siguientes propiedades son satisfe-chas:

(a) S(0) = I, donde I : X → X denota el operador identidad;

(b) S(t + s) = S(t)S(s) para cualesquiera t, s ≥ 0;

(c) lımt→0S(t)x = x para todo elemento x ∈ X.

El operador lineal A : DA ⊂ X → X con dominio

DA =

x ∈ X : ∃ lım

t→0

S(t)x− x

t

,

definido por

Ax := lımt→0

S(t)x− x

t

= S′(t)|t=0 x ∀ x ∈ DA ,

recibe el nombre de generador infinitesimal del semigrupo S(t)t≥0.

Ejemplo 11. Sea X un espacio de Banach y A : X → X un operador linealy continuo. Entonces la familia uniparamétrica de operadores lineales ycontinuos

S(t) := eAt =∞

∑n=0

(At)n

n!, t ≥ 0,

define un semigrupo fuertemente continuo en X cuyo generador infinite-simal es A.33 En efecto:

(i) S(0) =(

I + At + A2t2

2 + . . .)(t = 0) = I.

(ii) S(t)S(s) =(

∑∞n=0

(At)n

n!

)(∑∞

m=0(As)m

m!

)= ∑∞

l=0(A(t+s))l

l! = S(t + s).

(iii) lımt→0S(t)x = lımt→0(

I + At + A2t2

2 + . . .)x= x.

33En las condiciones expuestas es claro que A : X → X es un operador acotado, luego‖A‖ = M < ∞. Se tiene entonces que

‖eAt‖ ≤∞

∑n=0

(Mt)n

n!= eMt ,

de donde se desprende que el operador eAt está bien definido a través de una serie queconverge en virtud del principio de comparación de Weierstrass

89

(iv) Comprobemos finalmente que A es el generador infinitesimal delsemigrupo. Introducimos para ello la sucesión de sumas parciales

de la serie, Sn(t) := ∑nk=0

(At)k

k! . Se tiene

S′n(t) =n

∑k=1

Ak(ktk−1)

k!= A

n

∑k=1

(At)k−1

(k− 1)!= ASn−1(t) .

Entonces∥∥S′n(t)− AeAt∥∥X =

∥∥ASn−1(t)− AeAt∥∥X ≤ M

∥∥Sn−1(t)− eAt∥∥X

≤ M

∥∥∥∥∥n−1

∑k=0

(At)k

k!−

∞

∑k=0

(At)k

k!

∥∥∥∥∥X

= M

∥∥∥∥∥ ∞

∑k=n

(At)k

k!

∥∥∥∥∥X

= M

∥∥∥∥∥ lımm→∞

m

∑k=n

(At)k

k!

∥∥∥∥∥X

≤ M lımm→∞

m

∑k=n

∥∥∥∥∥ (At)k

k!

∥∥∥∥∥X

≤ M∞

∑k=n

(Mt)k

k!

,

cantidad esta última que converge claramente a cero cuando n → ∞. Porconsiguiente, S′(t)|t=0 = AeAt|t=0 = A.

Contemplamos a continuación algunas de las características más rele-vantes de los semigrupos fuertemente continuos en lo que concierne altratamiento de ecuaciones en derivadas parciales.

Lema 2. Sea A el generador infinitesimal de un semigrupo fuertementecontinuo S(t) : X → Xt≥0. Entonces, las siguientes propiedades sonsatisfechas para todo t ≥ 0:

(i) Para todo x ∈ DA, se cumple que S(t)x ∈ DA y AS(t)x = S(t)Ax.

(ii) Existen constantes λ > 0 y M ≥ 1 tales que ‖S(t)‖ ≤ Meλt.

(iii) Para todo x ∈ X, la aplicación t 7→ S(t)x es continua de [0, ∞) en X.

(iv) ddt(S(t)x

)= S(t)Ax para todo x ∈ DA.

(v) Para todo x ∈ X,∫ t

0 S(s)x ds ∈ DA y A∫ t

0 S(s)x ds = S(t)x− x.

(vi) S(t)x− S(s)x =∫ t

s S(τ)Ax dτ para todo x ∈ DA.

José L. López


Demostración. (i) Para todo x ∈ DA y t ≥ 0 fijo, se tiene

lıms→0+

S(s)S(t)x− S(t)x

s

= lım

s→0+

S(t)S(s)x− S(t)x

s

= lım

s→0+

S(t)

S(s)x− xs

= S(t)Ax

en virtud de la linealidad y la continuidad de los operadores que confor-man el semigrupo.

(ii) Como el conjunto‖S(t)x‖X : 0 ≤ t ≤ 1

es acotado para todo x ∈

X, el principio de acotación uniforme (Teorema 10) garantiza la existenciade M > 0 tal que sup

‖S(t)‖ : 0 ≤ t ≤ 1

= M < ∞. Entonces

‖S(t)‖ = ‖S(t− [t])S([t])‖ =∥∥S(t− [t])S(1)[t]

∥∥ ≤ M1+[t] ,

donde hemos denotado [t] a la parte entera de t. Bastaría, pues, con tomarλ = ln(M) para obtener la estimación deseada. 34

(iii) Basta con observar que se satisfacen las siguientes estimaciones:

‖S(t + h)x− S(t)x‖X = ‖S(t)S(h)x− S(t)x‖X ≤ ‖S(t)‖‖S(h)x− x‖X

≤ Meλt‖S(h)x− x‖X , h ≥ 0,‖S(t)x− S(t− h)x‖X = ‖S(t− h + h)x− S(t− h)x‖X

= ‖S(t− h)S(h)x− S(t− h)x‖X

≤ ‖S(t− h)‖‖S(h)x− x‖X

≤ Meλt‖S(h)x− x‖X , t ≥ h ≥ 0,

para lo que se ha empleado en ambos casos la propiedad establecida en(ii).

Para verificar (iv) consideramos h > 0 y calculamos las correspondien-tes derivadas laterales, comprobando que ambas existen y coinciden conS(t)Ax. En efecto:

lımh→0

S(t + h)x− S(t)x

h

= lım

h→0

S(t)S(h)x− S(t)x

h

= lım

h→0

S(t)

S(h)x− xh

= S(t)Ax

34El hecho de que M ≥ 1 se debe a que ‖S(0)‖ = ‖I‖ = 1

91

y

lımh→0

S(t)x− S(t− h)x

h− S(t)Ax

= lım

h→0

S(t− h)S(h)x− S(t− h)x

h− S(t)Ax

= lım

h→0

S(t− h)

(S(h)x− x

h− Ax

)+ lım

h→0

(S(t− h)− S(t)

)Ax

= 0 ,

en virtud de las propiedades (ii) (para el primer término) y (iii) (para elsegundo).

(v) Dado h > 0, se tiene

1h

(S(h)

∫ t

0S(s)x ds−

∫ t

0S(s)x ds

)=

1h(S(h)− I

) ∫ t

0S(s)x ds

=1h

∫ t

0

(S(h)− I

)S(s)x ds =

1h

∫ t

0

(S(s + h)x− S(s)x

)ds

=1h

∫ t+h

hS(s)x ds− 1

h

∫ t

0S(s)x ds

=1h

∫ t+h

tS(s)x ds− 1

h

∫ h

0S(s)x ds .

Haciendo finalmente h→ 0 obtenemos

A∫ t

0S(s)x ds = lım

h→0

1h

∫ t+h

tS(s)x ds− 1

h

∫ h

0S(s)x ds

= S(t)x− S(0)x = S(t)x− x .

Por último, la propiedad (vi) resulta directamente de integrar la fórmu-la establecida en (iv).

Discutimos a renglón seguido el papel que los semigrupos fuertemente

continuos desempeñan en el ámbito de las ecuaciones de evolución en de-rivadas parciales. Consideramos en primer lugar el siguiente problema devalores iniciales para una ecuación de evolución genérica (posiblementeno lineal):

u′(t) = Au(t) + f (t, u(t))u(t0) = u0

, (73)

e introducimos el concepto de solución con el que trataremos.

José L. López


Definición 18 (Solución mild). Decimos que una función u : [0, T] → Xcontinua es una solución mild del problema de valores iniciales (73) si sa-tisface la siguiente ecuación integral:

u(t) = S(t− t0)u0 +∫ t

t0

S(t− s) f (s, u(s)) ds . (74)

En lo que sigue consideraremos t0 = 0 por simplicidad.

Teorema 23 (Pazy). Sean X un espacio de Banach, f : [0, ∞)× X → X unafunción continua en [0, ∞)× X y localmente lipschitziana con respecto ala segunda variable (uniformemente en intervalos acotados de t), y −Ael generador infinitesimal de un semigrupo fuertemente continuo S(t) :X → Xt≥0. Entonces, dado u0 ∈ X existe t∗ ≤ ∞ tal que el problema devalores iniciales (73) admite una única solución mild u : [0, t∗)→ X.

Además, si t∗ < ∞ puede concluirse que la solución ha de tener unaasíntota en t = t∗, esto es:

lımt→t∗‖u(t)‖X = ∞ .

Demostración. Consideremos un intervalo arbitrario [0, δ] con

δ = δ(‖u0‖X) = mın

1,‖u0‖X

LK + N

,

donde hemos denotado

K = 2 sup0≤t≤1

‖S(t)‖X

‖u0‖X ,

N = sup0≤t≤1

‖ f (t, 0)‖X

,

y L a la constante de lipschitzianidad local (que recordemos es, por hi-pótesis, uniforme con respecto a t en intervalos acotados), de modo queL = L(K) satisface

‖ f (t, u)− f (t, v)‖X ≤ L‖u− v‖X

para cualesquiera u, v ∈ X con ‖u‖X ≤ K, ‖v‖X ≤ K y 0 ≤ t ≤ 1. Con-sideremos también la aplicación F : C([0, δ]; X) → C([0, δ]; X) definidapor

F[u](t) = S(t)u0 +∫ t

0S(t− s) f (s, u(s)) ds ,

93

donde C([0, δ]; X) denota el espacio formado por las funciones u : [0, δ]→X continuas.

Observamos en primer lugar que F aplica la bola del espacio C([0, δ]; X)de radio K y centro el origen en sí misma. En efecto:

‖F[u](t)‖X ≤ sup0≤t≤1

‖S(t)‖X

‖u0‖X

+∫ t

0‖S(t− s)‖X

(‖ f (s, u(s))− f (s, 0)‖X + ‖ f (s, 0)‖X

)ds

≤ sup0≤t≤1

‖S(t)‖X

[‖u0‖X + (LK + N)δ

]≤ 2 sup

0≤t≤1

‖S(t)‖X

‖u0‖X = K .

Veamos ahora que F posee un único punto fijo en la citada bola. Sepuede comprobar fácilmente a partir de la definición de F que

sup0≤t≤δ

‖F[u](t)− F[v](t)‖X

≤ sup

0≤t≤1‖S(t)‖X Lδ sup

0≤t≤δ

‖u(t)− v(t)‖X

≤ KL

2(LK + N)sup

0≤t≤δ

‖u(t)− v(t)‖X

≤ 1

2sup

0≤t≤δ

‖u(t)− v(t)‖X

,

luego F es contractiva. Del teorema de punto fijo de Banach se desprende,por consiguiente, la existencia de un único punto fijo de F que es ademásla solución mild de (73) en el intervalo [0, δ].

De todo lo hecho hasta el momento puede deducirse fácilmente quesi u(t) es una solución mild del problema de valores iniciales (73) en elintervalo [0, τ], esta puede extenderse al intervalo [0, τ + ε] sin más quedefinir u(t) = v(t) para todo t ∈ [τ, τ + ε], donde v(t) es la solución de laecuación integral

v(t) = T(t− τ)u(τ) +∫ t

τT(t− s) f (s, v(s)) ds .

Sea pues [0, t?) el intervalo maximal de existencia de una solución mildde (73). Si t? < ∞ habría de ocurrir que lımt→t∗‖u(t)‖X = ∞, ya que encaso contrario35 existirían una sucesión tn → t? y una constante C > 0

35Para ser precisos tendríamos que escribir lım inft→t∗‖u(t)‖X < ∞, pues podríadarse el caso de que no existiese lımt→t∗‖u(t)‖X

José L. López


para las que ‖u(tn)‖X ≤ C, n ∈ N. Usando entonces los argumentos ex-puestos anteriormente podríamos concluir que, para cualquier tn suficien-temente próximo a t?, la solución u(t) definida en [0, tn] puede prolongarsea [0, tn + ε], con ε > 0 independiente de tn, y en consecuencia u(t) existiríamás allá de t?, lo cual contradice la definición de t∗. Por consiguiente, hade ser lımt→t∗‖u(t)‖X = ∞.

Demostremos finalmente la unicidad de solución maximal. Suponga-mos para ello que u(t) y v(t) son dos soluciones mild de (73). Entonces,en cualquier intervalo cerrado [0, τ] en el que ambas soluciones existan severifica

‖u(t)− v(t)‖X ≤∫ t

0‖S(t− s)[ f (s, u(s))− f (s, v(s))]‖X ds

≤ sup0≤t≤τ

‖S(t)‖X L∫ t

0‖u(s)− v(s)‖X ds .

Una aplicación directa de la desigualdad de Gronwall nos permite con-cluir que ha de ser u(t) = v(t) para todo 0 ≤ t ≤ τ, y con ello la propiedadde unicidad.

Denotemos Y = (DA, ‖ · ‖A) el espacio de Banach consistente en el

dominio del (opuesto del) generador infinitesimal A dotado de la normade la gráfica:

‖u‖A := ‖u‖X + ‖Au‖X .

Claramente Y ⊂ X. Además, como S(t) aplica DA en DA en virtud delLema 2 (i), se tiene que S(t)t≥0 es también un semigrupo fuertementecontinuo en Y. En el siguiente resultado se proporciona una condición su-ficiente que dota de regularidad clásica a la solución mild obtenida en elTeorema 23.

Teorema 24. Sea f : [0, ∞)× Y → Y una función continua en [0, ∞)× Yy localmente lipschitziana con respecto a la segunda variable (uniforme-mente en intervalos acotados de t). Entonces, para cualquier u0 ∈ Y elproblema de valores iniciales (73) admite una única solución clásica defi-nida en un intervalo maximal [0, t∗). Además, si t∗ < ∞ se concluye que

lımt→t∗

‖u(t)‖A

= lım

t→t∗

‖u(t)‖X + ‖Au(t)‖X

= ∞ .

Demostración. Aplicando el Teorema 23 se obtiene una solución mild delproblema (73) en Y, es decir, una función continua u : [0, t∗) → Y que

95

satisface la ecuación integral (cf. (74))

u(t) = S(t)u0 +∫ t

0S(t− s) f (s, u(s)) ds . (75)

Definamos g(t) := f (t, u(t)). Como por hipótesis f toma valores en Y, sedesprende de forma inmediata que

g(t) ∈ DA ∀ t ∈ [0, t∗) . (76)

Por otra parte, de la continuidad y la lipschitzianidad (local) de f así comode la continuidad de la solución u en [0, t∗) se deduce que la aplicación

Ag : [0, t∗)→ X es continua. (77)

Definamos ahora

v(t) :=∫ t

0S(t− s)g(s) ds , t ≥ 0 . (78)

Como consecuencia del Lema 2 (v) se tiene que

v(t) ∈ DA ∀ t ≥ 0 . (79)

Además, la aplicación

t 7→ Av(t) = A∫ t

0S(t− s)g(s) ds =

∫ t

0S(t− s)Ag(s) ds (80)

es continua de [0, t∗) en X, esta vez en virtud de (77) y el Lema 2 (ii).Observemos finalmente que (79) y (80) son condiciones suficientes pa-

ra garantizar la existencia de una solución clásica de nuestro problema devalores iniciales, que a posteriori identificaremos con la solución mild u. Co-menzamos escribiendo la siguiente identidad, cuya validez es fácilmenteverificable para cualquier h > 0 en virtud de la propia definición de v:

S(h)− Ih

v(t) =v(t + h)− v(t)

h− 1

h

∫ t+h

tS(t + h− s)g(s) ds . (81)

Como v(t) ∈ DA según lo aseverado en (79), de (81) se deduce que v(t) esderivable (por la derecha) en el punto t y que la correspondiente derivada,D+v(t), satisface

D+v(t) = Av(t) + g(t) .

José L. López


En efecto, una sencilla aplicación de la regla de L’Hôpital en combinacióncon el Lema 2 (iv) asegura que

lımh→0+

1h

∫ t+h

tS(t + h− s)g(s) ds

= lım

h→0+

∫ t+h

tS(t + h− s)Ag(s) ds + S(0)g(t + h)

= g(t) ,

pues S(t− s)g(s) ∈ DA (cf. Lema 2 (i)) y

ddh

[S(t + h− s)g(s)] =d

dh[S(h)S(t− s)g(s)]

= S(h)AS(t− s)g(s) = S(t + h− s)Ag(s) ,

nuevamente en virtud del Lema 2 (i). El caso de la derivada lateral por laizquierda, D−v(t), es totalmente análogo, sin más que considerar ahora lasiguiente relación:

S(h)− Ih

v(t− h) =v(t)− v(t− h)

h− 1

h

∫ t

t−hS(t− s)g(s) ds .

Atendiendo a (80) encontramos que D±v(t) es continua, luego v(t) esde clase C1 y v′(t) = Av(t) + g(t). Además, u(t) = S(t)u0 + v(t) (cf. (75)–(78)), luego

u′(t) = AS(t)u0 + v′(t) = AS(t)u0 + Av(t) + g(t)= A

(S(t)u0 + v(t)

)+ g(t) = Au(t) + g(t) ,

donde se ha empleado la propiedad de derivación expuesta en el Lema2 (i). Por consiguiente, la función u(t) satisface la ecuación diferencial ensentido clásico. Si a ello añadimos que u(0) = S(0)u0 + v(0) = u0, dispo-nemos de una solución clásica del problema de valores iniciales (73).

Para verificar la propiedad de unicidad bastará con observar que cual-quier otra solución clásica es también solución mild, por lo que debe serúnica en virtud de lo estipulado por el Teorema 23. Sea pues u ∈ C1([0, t∗))tal que u′(t) = Au(t) + f (t, u(t)) y u(0) = u0. Haciendo actuar S(t− s) eintegrando luego entre 0 y t obtenemos∫ t

0S(t− s)u′(s) ds =

∫ t

0S(t− s)Au(s) ds +

∫ t

0S(t− s) f (s, u(s)) ds .

La prueya concluye tras observar que∫ t

0S(t− s) f (s, u(s)) ds =

∫ t

0S(t− s)

(u′(s)− Au(s)

)ds

=∫ t

0

dds(S(t− s)u(s)

)ds = u(t)− S(t)u0

97

en virtud del Lema 2 (iv), o equivalentemente

u(t) = S(t)u0 +∫ t

0S(t− s) f (s, u(s)) ds .

José L. López

Ejercicios

1. Justifíquese la necesidad de introducir el concepto de σ–álgebra so-bre Ω para desarrollar con éxito la Teoría de la Medida. ¿Acaso nohabría bastado con considerar el conjunto de las partes de Ω y definirel concepto de medida en dicho ambiente?

2. Sean (Ω, Σ) un espacio de medida, (X, τ) un espacio topológico y f :Ω→ X una aplicación medible. Demuéstrese que Σ( f ) = f−1(O) :O ∈ τ es una σ–álgebra sobre Ω. Σ( f ) recibe el nombre de σ–álgebragenerada por f y se trata de la sub–σ–álgebra más pequeña de Σ conrespecto a la cual f es medible.

3. Demuéstrese la Proposición 2.

4. Este ejercicio ilustra el hecho de que no siempre el límite y la integralson intercambiables. Constrúyase una sucesión de funciones (no ne-cesariamente continuas, aunque podríamos conseguir que lo fuesen)fn : [0, 1]→ [0, 1] para la que

lımn→∞

∫ 1

0fn(x) dx

= 0

y, sin embargo, la sucesión fn(x) no converja, cuando n→ ∞, paraningún x ∈ [0, 1].

5. ¿Existe alguna medida de Borel µ : R → [0, 1] que asigne la mismamedida positiva a cada intervalo abierto (0, 1

n ), n ∈N?

6. Sea Aknk=1 una familia de n subconjuntos medibles del intervalo

[0, 1]. Si cada elemento de [0, 1] pertenece a tres o más de tales con-juntos, demuéstrese que al menos uno de ellos ha de tener medidamayor o igual que 3

n .

7. Sea fn una sucesión de funciones medibles y acotadas c.p.d. en A,donde A es un conjunto de medida finita. Demuéstrese que fn → 0

si y solamente si∫

A

| fn(x)|

1+| fn(x)|

dx → 0 cuando n→ ∞.

99

100 Ejercicios

8. Pruébese que

lımn→∞

∫ n

0

(1− x

n

)ne

x2 dx

= 2 , lım

n→∞

∫ n

0

(1 +

xn

)ne−2x dx

= 1 .

9. Este ejercicio pone de manifiesto la propiedad de unicidad del límitede una sucesión de funciones medibles en la clase de funciones queson iguales c.p.d. Sean (Ω, Σ) un espacio medible, fn : Ω → Runa sucesión de funciones medibles y f , g : Ω → R dos funcionesmedibles. Demuéstrense las siguientes afimaciones:

(a) Si fn → f y fn → g c.p.d. en Ω, entonces f = g c.p.d. en Ω.

(b) Si fn → f y f = g c.p.d. en Ω, entonces fn → g c.p.d. en Ω.

10. Úsese el teorema de Fubini y la relación

1x=∫ ∞

0e−xt dt , x > 0 ,

para demostrar que ∫ ∞

0

sen(x)x

dx =π

2.

11. En este ejercicio se ensayan distintas situaciones en las que el teore-ma de Fubini puede o no ser aplicado.

(a) Se considera la función f : R2 → R definida como

f (x, y) =

1 si x > 0, y > 0, 0 ≤ x− y ≤ 1−1 si x > 0, y > 0, 0 < y− x ≤ 10 en otro caso

.

Calcúlense∫ ∞

−∞

( ∫ ∞

−∞f (x, y) dy

)dx ,

∫ ∞

−∞

( ∫ ∞

−∞f (x, y) dx

)dy

y discútase la eventual aplicación del teorema de Fubini.

(b) Se considera la función g : R2 → R definida como

g(x, y) =

4xy−x2−y2

(x+y)4 si x > 0, y > 00 si (x, y) = (0, 0)

.

101

Pruébese que∫ ∞

0

(∫ ∞

0g(x, y) dx

)dy =

∫ ∞

0

(∫ ∞

0g(x, y) dy

)dx = 0

y, sin embargo,∫[0,∞)×[0,∞) g(x, y)d(x, y) no existe. ¿Qué hipóte-

sis del teorema de Fubini no es satisfecha?

12. Se consideran las sucesiones de funciones fn, gn : (0, 1) → R y hn :R→ R definidas como

fn(x) =1 + nx(1 + x)n , gn(x) =

nx1 + n2x2 , hn(x) =

12n

χ[−n,n] .

Para cada una de ellas estúdiese la convergencia puntual, calcúleselımn→∞

∫y compárese con

∫lımn→∞.

13. Se considera la sucesión de funciones definida como

fn(x) = an sen(nx) + bn cos(nx) ∀ x ∈ R , ∀ n ∈N .

Demuéstrese que si fn → 1 c.p.d. en [0, 2π], entonces la sucesión|an|+ |bn| no es acotada.

14. Obténganse los valores de la constante α ∈ R para los que∫ 1

0lım

n→∞

nα(1− x)xn dx = lım

n→∞

∫ 1

0nα(1− x)xn dx

.

¿Para qué valores de α es aplicable el teorema de la convergenciadominada (Teorema 5)?

15. Establézcase la veracidad de la igualdad∫ ∞

0

dxex2 + e−x2 =

√π

2

∞

∑n=0

(−1)n√

2n + 1.

Sugerencia: Escríbase

1ex2 + e−x2 =

1ex2

(1

1 + e−2x2

).

16. Demuéstrese el apartado (a) del Ejemplo 5 e interprétese gráficamen-te en ese contexto el comentario que hace referencia a la redondez dela bola unidad.

José L. López

102 Ejercicios

17. Dados x0 ∈ Rd y R > r > 0, demuéstrese que existe una funciónΦ ∈ C∞

c (Rd) que satisface las siguientes propiedades:

(a) 0 ≤ Φ ≤ 1.

(b) Φ(x) = 1 en B(x0, r).

(c) Φ(x) = 0 en B(x0, R)c.

Sugerencia: Para la construcción de Φ, úsese la función f : R → R

definida como

f (x) =

g(x− 1) si x ≤ 11 en otro caso ,

donde g : R→ R viene dada por

g(x) =

e

x2

x2−1 si |x| < 10 si |x| ≥ 1

.

18. Este ejercicio consiste en demostrar una lista de propiedades de losoperadores de traslación τx y de reflexión R que son muy útiles a lolargo de la demostración del Teorema 20.

(a) Para toda función Φ ∈ D(Rd), se verifica

lımh→0

(τ0 − τhei)

hΦ

=∂Φ∂xi

en la topología de D(Rd), donde 0 < |h| < 1 y ei denota eli–ésimo vector de la base canónica de Rd.

(b) τxτy = τx+y.

(c) Rτx = τ−xR.

(d) τx(T ∗ Φ) = (τxT) ∗ Φ = T ∗ (τxΦ), para cualesquiera T ∈D′(Rd) y Φ ∈ D(Rd).

(e) R y τx son aplicaciones lineales y continuas deD(Rd) enD(Rd).

(f) Dada T ∈ D′(Rd), la aplicación Φ 7→ T ∗Φ es lineal de D(Rd)en C∞(Rd).

(g) Si T ∈ D′(Rd) y Φn → Φ en D(Rd), entonces T ∗ Φn →T ∗Φ puntualmente.

Apéndice: Soluciones a algunos de los ejercicios planteados 103

19. Discútase razonadamente si las siguientes afirmaciones son verda-deras o falsas:

(a) La aplicación que lleva cualquier función Φ ∈ C∞c (R2) en su in-

tegral sobre el círculo de radio unidad define una distribución.

(b) Si h es la función de Heaviside, u(x) = ah(x) + b es una so-lución distribucional de la ecuación diferencial u′(x) = 0 paracualesquiera a, b ∈ R.

(c) La ecuación diferencial x′′ + λx′ − x = Φ admite solución cua-lesquiera que sean λ ∈ R y Φ ∈ C∞

c (R).

Apéndice: Soluciones a algunos de los ejerciciosplanteados

1. NO, debido a la existencia de conjuntos no medibles. Si nos ceñimospor ejemplo a la medida de Lebesgue, es bien sabido que puedenconstruirse conjuntos que no son medibles en el sentido de Lebesgue,por lo que dicha medida no puede definirse sobre el conjunto detodas las partes.

2. Por ser f medible, la preimagen de cualquier abierto de X es por de-finición un elemento de Σ, luego Σ( f ) ⊂ Σ. Veamos que Σ( f ) es unaσ–álgebra. En primer lugar, es evidente que Ω = f−1(X) ∈ Σ( f ). Porotra parte, si An = f−1(Bn) para alguna familia Bn ⊂ B, entonces⋃

n∈N

An =⋃

n∈N

f−1(Bn)= f−1

( ⋃n∈N

Bn

)∈ Σ( f ) .

Comprobemos finalmente que Σ( f ) es cerrada para pasos al comple-mentario. Si A = f−1(B) para algún B ∈ B, entonces

Ac =(

f−1(B))c

=(

f−1(Bc))∈ Σ( f ) .

3. (a) Sean f , g : (Ω, Σ) → [−∞,+∞] funciones medibles. Es claro quecualquier múltiplo de ellas también lo es, pues (cf. Teorema 1)

(α f )−1(−∞, b) =

x ∈ Ω : f (x) ≤ bα

= f−1

(−∞,

bα

).

José L. López

104

Por otra parte, respecto de su suma se tiene que

( f + g)−1(−∞, b) =⋃

q1,q2∈Qq1+q2<b

(f−1(−∞, q1) ∩ g−1(−∞, q2)

)∈ Σ .

Veamos ahora que el producto es medible. Se cumple que

( f 2)−1(−∞, b) = f−1(−∞,√

b) \ f−1(−∞,−√

b) ∈ Σ

para todo b ≥ 0, luego f g = 12

(( f + g)2 − f 2 − g2

)es medible.

Finalmente, si g no se anula en Ω observamos que

(1g

)−1

(−∞, b) =

g−1(

1b , 0)

, b < 0

g−1(−∞, 0), b = 0

g−1(−∞, 0) ∪ g−1(

1b ,+∞

), b > 0

∈ Σ .

Por consiguiente, 1g es medible y, como se vio anteriormente que el

producto de medibles también lo es, se concluye que fg también es

medible.

(b) Dadas f : (Ω, Σ) → (Γ, Υ) y g : (Γ, Υ) → [−∞,+∞] medibles,es claro que g−1(−∞, b) ∈ Υ (nuevamente en virtud del Teorema 1),luego se tiene que

(g f )−1(−∞, b) = f−1 g−1(−∞, b) ∈ Σ .

(c) Evidente.

(d) Supongamos ahora que fn : Ω → [−∞,+∞] es una sucesiónde funciones medibles. Entonces(

ınfn∈N fn

)−1[−∞, b) =

∞⋃n=1

f−1n [−∞, b) ,

(supn∈N

fn)−1

[−∞, b) =∞⋂

n=1

f−1n [−∞, b) ,

luego ınfn∈N fn y supn∈N fn son funciones medibles. Finalmen-te, basta con notar que

lım infn∈N

fn = supk≥1

ınfn≥k fn

, lım sup

n∈N

fn = ınfk≥1

supn≥k fn

,


para concluir que tanto lım infn∈N fn como lım supn∈N fn sonfunciones medibles.

4. Consideramos la descomposición n = i + 2j−1 ∈ N con i, j ∈ N y0 ≤ i < 2j−1 (obsérvese que para cada n dado existe un único i y unúnico j que satisfacen las condiciones anteriores) y definimos (verFigura 1.1)

fn(x) =

1 si x ∈

[i

2j−1 , i+12j−1

]0 en otro caso

.

Entonces ∫ 1

0fn(x) dx =

∫ i+12j−1

i2j−1

dx =1

2j−1 ,

luego

lımn→∞

∫ 1

0fn(x) dx

= lım

j→∞

1

2j−1

= 0 .

Por otro lado, dados x ∈ [0, 1] y n ∈ N cualesquiera es posible en-contrar N 3 n1, n2 ≥ n tales que fn1(x) = 0 y fn2(x) = 1, de modoque la sucesión fn(x) no converge, cuando n → ∞, para ningúnx ∈ [0, 1].

5. NO. Caso de existir se tendría que µ(An) = λ > 0 ∀ n ∈ N, dondehemos denotado

An =(

0,1n

).

Pero entonces una aplicación directa de los enunciados (e) y (a) de laProposición 3 conduciría a la siguiente conclusión:

µ(An) = λ → µ( ∞⋂

n=1

An

)= µ(∅) = 0 cuando n→ ∞

y, por tanto, habría de ser λ = 0.

6. Razonamos por reducción al absurdo. Supongamos que

|Ak| <3n∀ 1 ≤ k ≤ n ,

José L. López

106

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.5

1

1.5

2

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 3: Representación gráfica de los ocho primeros elementos de la sucesiónde funciones del Ejercicio 4.


por lo que ∑nk=1 |Ak| < 3. Como cada x ∈ [0, 1] está en al menos tres

de los Ak, se tiene quen

∑k=1

χAk ≥ 3 ,

luego

3 >n

∑k=1|Ak| =

n

∑k=1

∫ 1

0χAk dx =

∫ 1

0

( n

∑k=1

χAk

)dx ≥

∫ 1

03 dx = 3 ,

que es contradictorio. Obsérvese que se han usado las propiedadesde linealidad y monotonía de la integral de Lebesgue.

7. Claramente

| fn(x)|1 + | fn(x)| < 1 ∀ n ∈N , ∀ x ∈ A .

Como |A| < ∞, por el teorema de la convergencia dominada (Teore-ma 5) se tiene

lımn→∞

∫A

| fn(x)|1 + | fn(x)| dx

=∫

Alım

n→∞

| fn(x)|

1 + | fn(x)|

dx ,

que se anula si y solamente si

lımn→∞

| fn(x)|

1 + | fn(x)|

= 0 ,

lo que equivale a afirmar que lımn→∞ fn(x) = 0 c.p.d. en A.

8. El primero de los límites se puede escribir como

lımn→∞

∫ ∞

0fn(x) dx

, (82)

dondefn(x) =

(1− x

n

)ne

x2 χ(0,n) .

Observemos en primer lugar que el límite y la integral son intercam-biables. En efecto, como la sucesión fn es creciente en n ∈ N y

José L. López

108

fn(x) → e−x2 cuando n → ∞, el teorema de la convergencia mo-

nótona implica la existencia del límite (82) y permite calcularlo:

lımn→∞

∫ ∞

0fn(x) dx

=∫ ∞

0lım

n→∞ fn(x) dx =

∫ ∞

0e−

x2 dx = 2 .

Denotemos ahora

gn(x) =(

1 +xn

)ne−2xχ(0,n) .

Para demostrar la segunda identidad podemos aplicar el teorema dela convergencia dominada, ya que(

1 +xn

)n< ex ∀ n ∈N ,

luego gn es siempre menor que e−x, que es integrable en R+. Portanto se pueden intercambiar límite e integral y obtenemos

lımn→∞

∫ n

0

(1+

xn

)ne−2x

dx =

∫ ∞

0lım

n→∞gn(x) dx =

∫ ∞

0e−x dx = 1 .

9. Sean (Ω, Σ) un espacio medible, fn : Ω → R una sucesión defunciones medibles y f , g : Ω→ R dos funciones medibles.

(a) Dado ε > 0, existen n1, n2 ∈N tales que

| fn(x)− f (x)| < ε

2, | fn(x)− g(x)| < ε

2para todo n ≥ N = maxn1, n2 c.p.d. en Ω. Luego para cadan ≥ N se tiene que

| f (x)− g(x)| ≤ | fn(x)− f (x)|+ | fn(x)− g(x)| < ε

2+

ε

2= ε ,

lo cual implica f = g c.p.d. en Ω ya que ε es arbitrariamentepequeño.

(b) Dado ε > 0, existe N ∈N tal que

| fn(x)− f (x)| < ε ∀n ≥ N , c.p.d. en Ω .

Luego

| fn(x)− g(x)| ≤ | fn(x)− f (x)|+ | f (x)− g(x)| < ε

para todo n ≥ N c.p.d. en Ω, de donde se concluye que fn →g c.p.d. en Ω.


0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.5

1

1.5

2

2.5

3

1!1

Figura 4: Recinto de integración del Ejercicio 10 (a).

10. La función f (x, t) = sen(x) e−xt es medible en (0, ∞)× (0, ∞), porlo que el teorema de Fubini (Teorema 6) nos permite concluir que

∫ ∞

0

sen(x)x

dx =∫ ∞

0sen(x)

(∫ ∞

0e−xt dt

)dx

=∫ ∞

0

(∫ ∞

0sen(x) e−xt dx

)dt =

∫ ∞

0

dt1 + t2 =

π

2.

12. Claramente las tres sucesiones convergen puntualmente hacia cerocuando n→ ∞, luego

∫ 1

0lım

n→∞ fn(x) dx =

∫ 1

0lım

n→∞gn(x) dx =

∫ ∞

−∞lım

n→∞hn(x) dx = 0 .

José L. López

110

Por otro lado

lımn→∞

∫ 1

0fn(x) dx

= lım

n→∞

21−n − 1 +

n2− n

(22−n − 1

)= 0 ,

lımn→∞

∫ 1

0gn(x) dx

= lım

n→∞

log(1 + n2)

2n

= 0 ,

lımn→∞

∫ ∞

−∞hn(x) dx

= 1 .

13. Razonamos por reducción al absurdo. Supongamos que existe M >0 tal que |an| + |bn| ≤ M ∀ n ∈ N. Si es este el caso, se tendríaque | fn(x)| ≤ M ∀ n ∈ N, luego podemos aplicar el teorema de laconvergencia dominada para concluir que

0 = lımn→∞

∫ 2π

0fn(x) dx

=∫ 2π

0lım

n→∞ fn(x) dx =

∫ 2π

0dx = 2π ,

lo cual es obviamente contradictorio.

14. Denotamos fn(x) = nα(1− x)xn. Claramente

lımn→∞ fn(x) = 0 ∀ x ∈ [0, 1] ,

luego ∫ 1

0lım

n→∞ fn(x) dx = 0 ∀ α ∈ R .

Por otro lado, se tiene que∫ 1

0fn(x) dx =

nα

(n + 1)(n + 2)

como consecuencia de un cálculo directo. Por tanto, la identidad delenunciado ocurre si y solamente si α < 2. Estudiamos finalmentela aplicabilidad del teorema de la convergencia dominada (Teorema5). Es evidente que el teorema no se puede aplicar para α ≥ 2, yaque de no ser así la igualdad del enunciado sería cierta para esterango de valores de α y sabemos que no lo es. Si α ≤ 0 es claro que| fn(x)| ≤ 1 para todo n ∈ N y 0 ≤ x ≤ 1, por lo que estamosen condiciones de aplicar el teorema de la convergencia dominada.


Abordamos finalmente el caso en que 0 < α < 2. Para ello definimosen primer lugar la siguiente sucesión auxiliar:

gn(x) = nα(1− x)αxn , 0 < α < 2 .

Obsérvese que, para cada n ∈ N, el máximo global de gn se alcanzaen el punto n

n+α , de modo que

gn

(n

n + α

)≤ αα .

Por consiguiente,

fn(x) ≤ αα

(1− x)α−1 .

Además el segundo miembro de esta desigualdad es integrable yaque α < 2, luego el teorema de la convergencia dominada es aplica-ble.

15. Usando la sugerencia podemos escribir

1ex2 + e−x2 = e−x2

∞

∑k=0

(−1)ke−2kx2= lım

n→∞Sn(x) ,

donde la sucesión de sumas parciales Sn viene dada por

Sn(x) =n

∑k=0

(−1)ke−(2k+1)x2.

Claramente

|Sn(x)| ≤ S0(x) = e−x2 ∀ n ∈N, ∀ x > 0 .

Como ∫ ∞

0e−x2

dx =

√π

2,

el teorema de la convergencia dominada garantiza que∫ ∞

0

1ex2 + e−x2 dx = lım

n→∞

∫ ∞

0Sn(x) dx

= lımn→∞

(n

∑k=0

(−1)k∫ ∞

0e−(2k+1)x2

dx

).

José L. López

112

Finalmente, haciendo el cambio de variable x 7→ t√2k+1

obtenemos∫ ∞

0e−(2k+1)x2

dx =1√

2k + 1

∫ ∞

0e−t2

dt =√

π

2√

2k + 1

y con ello la identidad que buscábamos.

16. Sean x, y ∈ B1 ⊂ Rd tales que ‖x − y‖2 > ε, donde ‖ · ‖2 denota lanorma euclídea. Entonces la siguiente desigualdad

2xTy < ‖x‖22 + ‖y‖2

2 − ε2

es fruto de un sencillo cálculo. Por consiguiente,∥∥∥x + y2

∥∥∥2

=12

√‖x‖2

2 + ‖y‖22 + 2xTy ≤ 1

2

√2 + 2xTy

<12

√2 + ‖x‖2

2 + ‖y‖22 − ε2 ≤ 1

2

√4− ε2 ,

luego basta con elegir

δ = 1−√

4− ε2

2para concluir que la norma euclídea es uniformemente convexa. Paraobservar que la norma de la suma ‖ · ‖1 no lo es, tómense los vectoresde R2

x = (1, 0) , y = (0, 1) .

Entonces ‖x‖1 = ‖y‖1 = 1, ‖x− y‖1 = 2 y∥∥∥x + y2

∥∥∥1= 1 > 1− δ ∀ δ > 0 .

La última parte de este ejercicio aparece ilustrada en la Figura 1.2.

17. DefinimosΦ(x) = 1− f (a|x− x0|2 − b) ,

cona =

1R2 − r2 , b = r2a .

Si |x − x0| ≤ r, entonces a|x − x0|2 − b ≤ ar2 − b = 0 de modo queΦ(x) = 1. Si |x − x0| ≥ R, entonces a|x − x0|2 − b ≥ aR2 − b =a(R2 − r2) = 1, luego Φ(x) = 0.


-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

Figura 5: De izquierda a derecha: bolas unitarias de R2 asociadas a la normaeuclídea y a la norma de la suma, respectivamente.

-3 -2 -1 1 2 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 6: Representación gráfica de Φ (Ejercicio 17) con x0 = 0, r = 1 y R = 2.

José L. López

114

18. (a) Denotemos

FhΦ =(τ0 − τhei)

hΦ .

Como |h| < 1, existe un conjunto compacto K ⊂ Rd que contie-ne a los soportes de FhΦ y ∂Φ

∂xi. Entonces∣∣∣∣(FhΦ)(x)− ∂Φ

∂xi(x)∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∂Φ∂xi

(x− θhei)−∂Φ∂xi

(x)∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∂2Φ∂x2

i(x− θ′hei)

∣∣∣∣∣ |θh| ≤∥∥∥∥∥∂2Φ

∂x2i

∥∥∥∥∥∞

|h| ,

donde ‖ · ‖∞ denota la norma del supremo sobre K. Obsérveseque se ha aplicado dos veces el teorema del valor medio paraobtener la desigualdad anterior. Si ahora hacemos h → 0, en-contramos que

(FhΦ)(x) → ∂Φ∂xi

(x) uniformemente en x ∈ K .

Como Φ ∈ D(Rd) es una función test arbitraria, la misma con-clusión es cierta para DαΦ cualquiera que sea el multiíndice α:

(FhDαΦ)(x) → ∂DαΦ∂xi


Finalmente, como Dα conmuta con Fh y con cualquier otra deri-vada, obtenemos

DαFhΦ(x) → Dα ∂Φ∂xi


(b) (τxτy f )(z) = (τy f )(z− x) = f (z− x− y) = (τx+y f )(z).

(c) (Rτx f )(y) = (τx f )(−y) = f (−y− x) = (R f )(y+ x) = (τ−xR f )(y).

(d) Tenemos

[τx(T ∗Φ)](y) = (T ∗Φ)(y− x) = T(τy−xRΦ) ,[(τxT) ∗Φ](y) = (τxT)(τyRΦ) = T(τ−xτyRΦ) = T(τy−xRΦ) ,[T ∗ (τxΦ)](y) = T(τyRτxΦ) = T(τyτ−xRΦ) = T(τy−xRΦ) .


(e) Linealidad:

[τx(λ1 f + λ2g)](y) = (λ1 f + λ2g)(y− x) = λ1(τx f )(y) + λ2(τxg)(y) ,[R(λ1 f + λ2g)](y) = (λ1 f + λ2g)(−y) = λ1(R f )(y) + λ2(Rg)(y) .

Continuidad:

Sean ϕn → 0 en D(Rd) y K ⊂ Rd un compacto que contienea los soportes de ϕn. Tenemos

(τx ϕn)(y) = ϕn(y− x) → 0 ,(Rϕn)(y) = ϕn(−y) → 0 .

A completar por el alumno.

(f) Gracias a la linealidad de los operadores τx y R establecida enel apartado (e), se deduce que

[T ∗ (λ1Φ1 + λ2Φ2)](x) = T(τxR(λ1Φ1 + λ2Φ2))

= T(λ1τxRΦ1 + λ2τxRΦ2)

= λ1T(τxRΦ1) + λ2T(τxRΦ2)

= λ1(T ∗Φ1)(x) + λ2(T ∗Φ2)(x) .

(g) Como la convolución con una distribución es lineal (revisar apar-tado (f)), basta con considerar el caso en que Φ = 0 (continuidaden 0 de la convolución con una distribución). Por tanto, supon-gamos que Φn → 0 en D(Rd). Entonces se tiene

(T ∗Φn)(x) = T(τxRΦn) → 0

para todo x ∈ Ω, en virtud de la continuidad de T y de losoperadores τx y R (revisar apartado (e)).

19. Los enunciados (a) y (c) son verdaderos, en tanto que (b) es falso.

(a) Consideramos la aplicación T : D(R2)→ R definida como

T(Φ) :=∫

S1Φ(ω) dω =

∫ 2π

0Φ(cos(θ), sen(θ)) dθ ,

para lo cual se ha efectuado un cambio a coordenadas polares(cf. (30)). La aplicación T es claramente lineal. Para observar su

José L. López

116

continuidad, basta con tomar Φn ⊂ D(R2) tal que Φn → 0en D(R2). Entonces

|T(Φn)| ≤∫ 2π

0|Φn(cos(θ), sen(θ))| dθ ≤ 2π sup

K|Φn(x)| → 0 ,

donde hemos denotado K ⊂ R2 un compacto que contiene lossoportes de Φn para todo n ∈N. Por consiguiente, T(Φn) →0 = T(0).

(b) La distribución generada por u viene dada por Tu = aTh + Tb =aH + b, donde H denota la distribución de Heaviside introdu-cida en el Ejemplo 9 (c). Tomando la derivada de primer ordenen el sentido de las distribuciones se tiene ∂Tu = a∂H = aδ0 (cf.Ejemplo 10 (b)), luego

(∂Tu)(Φ) = aδ0(Φ) = aΦ(0) ,

que no tiene por qué anularse.

(c) Puede entenderse como una consecuencia directa del teoremade Malgrange–Ehrenpreis (Teorema 21). Si T ∈ D′(R) es unasolución fundamental del operador diferencial P(D) = D2 +λD − I, donde I denota el operador identidad, entonces bastacon considerar x = T ∗ Φ para obtener una solución de la co-rrespondiente ecuación diferencial.

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