Elementos bsicos de unmodelomatemticoUn modelo matemtico esproductode la abstraccin de unsistemareal, eliminando las complejidades y haciendo suposiciones pertinentes; se aplica una tcnicamatemticay se obtiene una representacin simblica del mismo.Un modelo matemtico consta al menos de tres elementos o condiciones bsicas: LasVariablesde decisin, laFuncinObjetivoy las Restricciones. Variables de decisin y parmetrosLas variables de decisin son incgnitas que deben ser determinadas apartirde la solucin del modelo. Los parmetros representanlos valoresconocidos del sistema o que se pueden controlar. Las variables de decisin se representan por:X1, X2, X3,, Xn Xi, i = 1, 2, 3,, n. Funcin ObjetivoLa funcin objetivo es una relacin matemtica entre las variables de decisin, parmetros y una magnitud que representa el objetivo o producto del sistema. Es lamedicinde la efectividad del Modelo formulado en funcin de las variables. Determina lo que se va optimizar (Maximizar o Minimizar).La solucin PTIMAse obtiene cuando elvalorde la Funcin Objetivo es ptimo (valor mximo o mnimo), para un conjunto devaloresfactibles de las variables. Es decir, hay que reemplazar las variables obtenidasX1, X2, X3,, Xn;en la Funcin Objetivo Z =f(C1X1, C2X2, C3X3,, CnXn) sujeto a las restricciones del modelo matemtico.Por ejemplo,si el objetivo es minimizar loscostosde operacin, la funcin objetivo debe expresar la relacin entre elcostoy las variables de decisin, siendo el resultado el menor costo de lassolucionesfactibles obtenidas. RestriccionesLas restricciones son relaciones entre las variables de decisin y losrecursosdisponibles. Las restricciones del modelo limitan el valor de las variables de decisin. Se generan cuando los recursos disponibles son limitados.En el Modelo se incluye, adicionalmente de las restricciones, laRestriccin de No Negatividadde las Variables de decisin, o sea:Xi= 0.Por ejemplo, si una de las variables de decisin representa el nmero de empleados de un taller, el valor de esa variable no puede ser negativo. O tambin, si una de las variables es la cantidad demesasa fabricar, su valor solamente podr ser igual a cero mayor que cero, o sea positivo; sera absurdo obtener como resultado que se va a fabricar 4 mesas.Laprogramacin lineales la interrelacin de los componentes de un sistema, en trminosmatemticos, ya sea en forma deecuacioneso inecuaciones lineales llamadoModelo deProgramacinLineal.Es una tcnica utilizada para desarrollarmodelosmatemticos, diseada para optimizar el uso de los recursos limitados enuna empresauorganizacin.ElModelo deProgramacin Lineal,es una representacin simblica de la realidad que se estudia, o del problema que se va a solucionar. Se forma con expresiones de lgicasmatemticas, conteniendo trminos que significan contribuciones: a lautilidad(con mximo) o al costo (con mnimo) en la Funcin Objetivo del modelo. Y alconsumode recursos disponibles (con desigualdades = = e igualdades =) en las restricciones.En el presentetextodesarrollaremos Modelos Matemticos de Programacin Lineal de: Maximizacin y Minimizacin, los cuales estarn indicados en la Funcin Objetivo del Modelo.

Problemas de aplicacin para formular un modelo1).Procesodeproduccin.-Una fbrica produce dos tipos deproductos: M y N, los costos deproduccinde ambos productos son $3 para el producto M y $5 para el producto N. Eltiempototal de produccin est restringido a 500 horas; y los tiempos de produccin son de 8 horas/unidad para el producto M y de 4 horas/unidad para el producto N. Formule el Modelo matemtico que permita determinar la cantidad de productos M y N a producir, y que optimice el Costo total de produccin de los dos productos.Formulacin del ModeloEn la formulacin del modelo, podemos ayudarnos con la representacin del Problema mediante un organizador grfico o esquema:

Definicin de VariablesSe desea formular un modelo matemtico para determinar la cantidad que debe producirse por cada producto (M y N), por lo tanto tendremos dos variables, representados por: x1 , x2.Siendo:x1= Cantidad a producirse del producto M,x2= Cantidad a producirse del producto N Funcin ObjetivoComo se tieneinformacinde Costos de produccin de los productos M y N, el objetivo ser minimizarlos:

Luego la Funcin Objetivo serMinimizar "C" igual al Costo total de produccin del producto M ms el Costo total de produccin del producto N.Matemticamente la Funcin Objetivo es:

Definicin de RestriccionesEl tipo de recurso en el problema es el tiempo (puede ser horashombreu horas mquina). Formulamos la restriccin, colocando en el lado izquierdo de la inecuacin el consumo unitario de los productos M y N, y en el ladoderechola cantidad disponible del recurso (500 horas).

Resumiendo tenemos el siguiente Modelo matemtico de Programacin Lineal del Problema (un modelo con dos variables y una restriccin, estando listo para aplicar unmtodode solucin:

2). Lneas de Produccin.-Unempresariotiene 80 kg deaceroy 120 kg dealuminio, y quiere fabricar dos modelos de bicicletas: bicicletas de paseo y bicicletas de montaa, para venderlas en elmercadoa S/. 200 y S/. 150 respectivamente cada modelo, a fin de obtener el mximo beneficio. Para la bicicleta de paseo emplear 1 kg de acero y 3 kg de aluminio, y para la bicicleta de montaa usar 2 kg de ambosmetales. Formular el modelo matemtico de programacin lineal, que permita determinar la cantidad ptima de bicicletas a producir, para obtener el mayor beneficio econmico.Formulacin del ModeloRepresentamos el Problema mediante un organizador grfico o esquema

Definicin de Variables:Se desea determinar la cantidad de bicicletas a producir por cada modelo (paseo y montaa), por lo tanto tendremos dos variables.Sean:x1= Cantidad de bicicletas de paseo a fabricarx2= Cantidad de bicicletas de montaa a fabricar Funcin ObjetivoEl objetivo del problema esmaximizar los beneficios econmicos totales (Z)de los modelos de bicicletas que fabricar el empresario.Precio deventade la bicicleta de paseo = S/. 200Precio deventade la bicicleta de montaa = S/. 150Beneficio econmico =Preciode venta unitario x cantidad a fabricarBeneficio econmico total de bicicleta de paseo = 200 x1Beneficio econmico total de bicicleta de montaa = 150 x2Luego la Funcin objetivo ser: Maximizar: Z = 200 x1 + 150 x2 Definicin de RestriccionesElaboramos una tabla demateria primaconsumida (Acero y Aluminio) por cada modelo de bicicleta (paseo y montaa) y su disponibilidad:Modelo de bicicletaAceroAluminio

Paseo1 kg.3 kg.

Montaa2 kg.2 kg.

Disponibilidad demateriaprima80 kg.120 kg.

Restriccin del consumo de Acero en la fabricacin de bicicletas:1 x1 + 2 x2 < 80Restriccin del consumo de Aluminio en la fabricacin de bicicletas:3 x1 + 2 x2 < 120Observacin: El lado derecho de las restricciones, 80 y 120 representa la disponibilidad en kg. de acero y aluminio respectivamente (materia prima). El lado izquierdo en las restricciones indica el consumo unitario de materia prima por cada modelo de bicicleta. Condicin de no negatividad: La produccin de cada modelo de las bicicletas pueden ser cero (0) o mayor que cero, o sea: x1, x2 = 0Luego el Modelo matemtico de Programacin Lineal (con dos variables y dos restricciones) ser:

3). Caso detoma de decisiones.-Suponga con losdatosdel problema 2), anterior, si el empresario por restriccin econmica decide hacer solo un modelo de bicicleta. Cul modelo debe elegir? Por qu?Lasalternativasde fabricacin se desarrollan en las restricciones del Modelo matemtico; y latoma de decisionesse determina evaluando en la Funcin objetivo las alternativas obtenidas.La decisin a tomar, por restriccin econmica, es producir un solo modelo de bicicleta que genere mayor beneficio al empresario. Luego desarrollamos las alternativas evaluando en las restricciones del modelo:

La toma de decisionesse realiza evaluando en la Funcin objetivo las alternativas de fabricacin obtenidas por modelo de bicicleta. A continuacin semuestraelprocedimientoa realizar.

Toma de decisiones:Como la Funcin objetivo es maximizar el beneficio econmico, generado por lasventas, tomamos la decisin defabricar solo bicicletas de paseo, por ser el modelo que va generar mayor ganancia, equivalente aS/. 8,000.Observacin:Hemos demostrado la importancia de formular un modelo matemtico adecuado, ya que un error en la formulacin del Modelo, nos puede llevar a tomar una decisin equivocada que puede generar graves consecuencias parala empresau organizacin.

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