Elementos basicos de la teora del interesMagdaLilianaReyesMorenoFacultaddeMatematicasFundacionUniversitariaKonradLorenzJuniode2005Indicegeneral1. CONCEPTOSGENERALES 11.1. Concepto de Interes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Tasa de Interes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. INTERESSIMPLE 32.1. Formula del valor futuro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2. Tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.1. Clases de tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3. Interes simple exacto e interes simple ordinario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3.1. Interes simple exacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3.2. Interes simple ordinario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3.3. Diagrama de ujo o linea del tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4. Ecuacion de Equivalencia o Ecuacion de valor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4.1. Componentes de una ecuacion de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5. Descuento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5.1. Clases de descuento: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.6. Pagos Parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.6.1. Metodos o reglas comerciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153. INTERESCOMPUESTO 193.1. Formula de valor futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2. Formula de valor presente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3. Equivalencia entre tasas de interes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3.1. Tasa periodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3.2. Tasa Nominal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3.3. Tasa efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.4. Tasa Continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3.5. Tasa Anticipada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3.6. Equivalencia entre tasas efectivas y tasas anticipadas. . . . . . . . . . . . 3113.3.7. Tasas Multiples: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4. DEVALUACION. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.5. INFLACION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.6. SISTEMA DE VALOR CONSTANTE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.7. DEPOSITO A TERMINO FIJO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414. ANUALIDADESORDINARIASYANTICIPADAS 454.1. Renta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.1.1. Periodo de Renta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2. ANUALIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2.1. Plazo de una anualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2.2. Valor Final (V F) o (V S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2.3. Valor Presente (V P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2.4. Anualidades Anticipadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2.5. Anualidad ordinaria en valor presente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.2.6. Anualidad anticipada en valor presente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.3. AMORTIZACION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.4. CAPITALIZACION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625. ANUALIDADESDIFERIDAS,PERPETUASYGENERALES 655.1. Anualidades perpetuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2. Anualidades generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676. GRADIENTES 706.1. Gradiente aritmetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.1.1. Formula del valor presente de un gradiente aritmetico . . . . . . . . . . . 726.1.2. Formula del valor nal del gradiente aritmetico. . . . . . . . . . . . . . . 746.2. Amortizacion con cuota creciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.2.1. Gradiente aritmetico innito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.3. Gradiente geometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.3.1. Formula del valor presente del gradientegeometrico. . . . . . . . . . . . . 796.3.2. Formula del valor nal del gradiente geometrico . . . . . . . . . . . . . . 806.4. Gradiente geometrico innito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847. TERMINOSODEFINICIONESIMPORTANTES 857.1. Bolsa de Valores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.1.1. Comisionista de la bolsa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858. CONCLUSIONES 892Indicedeguras2.1. Diagrama tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Diagrama de ujo banco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3. Diagrama de ujo prestamista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4. Diagrama de ujo comprador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5. Ubicacion fecha focal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.6. Diagrama linea del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.7. Linea del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2. Graca perodos de conversion y de referencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3. Diagrama de ujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4. inacion causa devaluacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.5. La devaluacion puede ser buena para un expotador . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.6. situaicon en dolar y en pesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.1. graca de una anualidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2. No representa anualidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.3. representacion de una anualidad vencida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.4. Representacion de una anualidad anticipada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.5. No representa anualidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.6. Ejemplo anualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.1. Diagrama anualidad diferida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2. Diagrama anualidad general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.1. Diagrama gradiente aritmetico de 6 pagos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.2. Diagrama gradiente aritmetico creciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743Indicedecuadros2.1. tabla de Das . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64INTRODUCCIONEs indiscutible la necesidad que actualmente tenemos los profesionales, en las distintas ramas,de adquirir un conocimiento de los elementos basicos de la teora del interes. Cualquier proyectopor peque no que sea, dentro de su contenido debe incluir un estudio de viabilidad, fundamentadoen la teora del interes, actualmente llamada ingeniera nanciera.Todaslasactividadesnancierasdescansanenlacostumbredepagarunreditoporelusodeldineroprestado. Lamayorpartedelosingresosdelosbancosycompa nasinversionistassederivadelosinteresessobreprestamosoderetornodeutilidadesporinversiones. Engeneraltodas las operaciones comerciales estan relacionadas con los reditos sobre los capitales en juegoen los cuales inuye en gran parte el tiempo empleado. Toda persona que obtiene un prestamoqueda obligada a pagar un redito (renta de un capital) o interes, por el uso del dinero tomadoen prestamo. As mismo, desde tiempos muy antiguos se ha implantado la costumbre de cobrarinteresesporadelantadosobreelvalordelospagares,calculandolossobreelvaloranotadoendichosdocumentos. Estoademasdepermitiral prestamistadisponerdeinmediatodel dinerocorrespondiente a los intereses, le da un mayor rendimiento que la tasa se nalada en la operacion; adicha operacion se le llama descuento. De igual forma en las actividades comerciales, es frecuentela costumbre de utilizar obligaciones en las que se aceptan pagos parciales o abonos dentro delplazo de la obligacion, en lugar de un solo pago en la fecha de su vencimiento.Por lo anterior este proyecto tiene como principal objetivo adquirir los conocimientos basicos dela teora del interes de una forma sencilla, por tal motivo en el primer capitulo se encontraranconceptos generales sobre el interes, en el segundo capitulo se analiza en detalle el interes simple.Enlosproblemasdeinteressimpleel capital quegeneranlosinteresespermanececonstantetodoel tiempodeduraciondel prestamo. Si encadaintervalodetiempoconvenidoenunaobligacionseagreganlosinteresesal capital, formandounmontosobreel cual secalcularanlos intereses en el siguiente intervalo o periodo de tiempo y, as, sucesivamente, se dice que losintereses se capitalizan y la operacion nanciera es a interes compuesto, este tipo de situacion ylos elementos que pueden intervenir se estudiaran en el capitulo tercero. En el capitulo cuarto seestudiaranlasanualidadesordinariasylasanualidadesanticipadas:enmatematicananciera,laexpresionanualidadseempleaparaindicarel sistemadepagodesumasjas, aintervalosiguales de tiempo; en los negocios, es frecuente que los pagos periodicos se efect uen al comienzode cada perodo; tal es el caso de la renta de terrenos, edicios y ocinas, cuyo alquiler se pagaiaprincipiodelperodoyenlamayoradeloscasosseutilizaunprocesonancieromedianteel cual seextingue, gradualmenteunadeudaporintermediodepagosperiodicosal cual seledenomina amortizacion. En capitulo quinto se complementa el estudio de las anualidades ya quees frecuente que en algunas circunstancias obliguen que el primer periodo de pago comience enuna fecha futura, hasta despues de transcurrido un cierto tiempo desde el momento inicial o deconvenio. En pases con alto ndice de inacion el uso de los gradientes es el modelo matematicoque mas se ajusta al proceso economico. Por ultimo en el capitulo octavo, se encuentran algunosterminos o deniciones importantes, utilizados en las nanzas donde lo estudiado anteriormentees una base fundamental para su aplicacion.iiCaptulo1CONCEPTOSGENERALESEl principio fundamental del sistema economico capitalista,o regla de oro del sistema, estableceque:EldinerodebeproducirmasdineroatravesdeltiempoEs mejor recibir $100.000 hoy que dentro de un a no ; el valor del dinero depende del punto en eltiempo donde se este ubicado. Cuando se dice que $100.000 de hoy son iguales a $125.000 dentrode un a no, se esta estableciendo una equivalencia nanciera. Esta equivalencia es, hasta ciertopunto, subjetiva. Los $25.000 de diferencia es lo que se conoce comointereses. El concepto deequivalenciaeslabaseparapodercomprar,enterminosmonetarios,dosomaspropuestasdeinversion.1.1. ConceptodeInteresEs la utilidad o ganania que genera el capital. Por lo general, devenga sobre la base de un tantopor ciento del capital y en relacion con el n umero de perodos de tiempo en que se disponga elcapital. Se nota (I).Lacantidaddedineroquesepagoporelalquilerde$100oporelalquilerde$1enelprimercaso se denomina tasa porcentual y en el segundo, tasa por uno. Por ejemplo si tengo que pagar$3, de interes por un prestamo de $100, entonces la tasa sera del 3 porciento que se escribe 3 %y si tengo que pagar 3 centavos por el prestamo de 1 la tasa sera 0.03 por uno que tambien sepuede escribir como 3 % desde que 3 %=3/100=0.03 anual (sino hay especicacion contraria).11.2. TasadeInteresLa tasa de interes devengada por la sumaP, un perodo, esta dada por la siguiente relacion:i =Intereses en el perodoSuma inicial=IPSi el interesIganado por el prestamoPde $100 es $25 tenemos que la tasa de interes es:i =25100= 0, 25 en otros terminos la tasa de interes es del 25 %.Denicion1.1. i= Tasa de interes en un perodoClases de interes:Existen dos clases de interes simple y compuesto.Interes simple. Cuando los interes no devengan mas intereses; es decir no son capitalizables.Interes compuesto. Cuando los intereses devengan mas intereses; es decir, los intereses son capi-talizables, se van acumulando al nal de cada perodo, incrementando el valor del capital posedo.Veamosladiferenciaatravesdelaevoluciondeunainversionde100dolares, aunatasadeinteres del 2 % mensual, durante 12 meses, considerada primero a interes simple y luego a interescompuesto, as:Valor equivalente de la inversionA interes simple A interes compuestoHoy 100 100, 00En 1 mes 100 + 1000, 02 = 102 100, 00 + 100, 000, 02 = 102, 00En 2 meses 102 + 1000, 02 = 104 102, 00 + 102, 000, 02 = 104, 04En 3 meses 104 + 1000, 02 = 106 104, 00 + 104, 000, 02 = 106, 12En 4 meses 106 + 1000, 02 = 108 106, 12 + 106, 120, 02 = 108, 24En 5 meses 108 + 1000, 02 = 110 108, 24 + 108, 240, 02 = 110, 41En 6 meses 110 + 1000, 02 = 112 110, 41 + 110, 410, 02 = 112, 62En 7 meses 112 + 1000, 02 = 114 112, 62 + 112, 620, 02 = 114, 87En 8 meses 114 + 1000, 02 = 116 114, 87 + 114, 870, 02 = 117, 17En 9 meses 116 + 1000, 02 = 118 117, 17 + 100, 000, 02 = 119, 51En 10 meses 118 + 1000, 02 = 120 119, 51 + 119, 510, 02 = 121, 90En 11 meses 120 + 1000, 02 = 122 121, 90 + 121, 900, 02 = 124, 34En 12 meses 122 + 1000, 02 = 124 124, 34 + 124, 340, 02 = 126, 83El interessimpletieneuncrecimientoaritmeticomientrasqueel interescompuestotieneuncrecimiento geometrico.2Captulo2INTERESSIMPLEDenicion2.1. El interes simple se caracteriza porque los intereses devengados en un perodono devengan mas intereses en el siguiente; es decir, los intereses no son capitalizables.2.1. FormuladelvalorfuturoHoysedepositaunasumaP, aunatasadeinteressimplei. Sedeseadeterminarcuandoesequivalente, o cual sera su valor futuro, dentro den perodos.Al nal de cada perodo, el valor acumulado es el siguiente:Hoy: PDentro de 1 perodo: P +Pi = P(1 +i)Dentro de 2 perodo: P(1 +i) +Pi =P(1 + 2i)Dentro de 3 perodo: P(1 + 2i) +Pi =P(1 + 3i). .. .. .Dentro den perodos: =P(1 +ni)En conclusion el valor futuroF, en el caso de interes simple es:F= P(1 +ni)F=Valor futuroP=Valor presentei =Tasa de interes por perodo, en tanto por uno.3n =N umero de perodosDebehabercorrespondenciaentreelperododelatasadeinteresylaunidaddetiemposdelperodo. As, la tasa de interes es anual, la unidad de tiempo de los perodos debe ser el a no; sila tasa es mensual la unidad de tiempo de los perodos debe ser el mes.Ejemplo2.1. Calcular el interes simple sobre $750, al 4 % anual, durante dos a nos. Cual esel valor futuro?.Solucion2.1. F= P(1 +ni) dondeP= 750, n = 2, i =4100= 0, 04.F= 750(1 + 20, 04)F= $810intereses= Valor futuro - Valor presenteIntereses= F PIntereses= 810 750 = $60 en dos a nos2.2. TiempoEsladuraciondelprestamolacualpuedeserdadaen,a nos,semestres,trimestres,bimestres,meses,daentreotros,porlocualconstadeuninicioyunnal,asutranscursolellamamosperodos.Figura 2.1: Diagrama tiempoLa tabla das nos sera de gran ayuda, cuando necesitamos conocer, en forma exacta, los das quetranscurrenentreunafechayotra.Estoocurreenelinteresbancarioyenelinteresracional.La elaboracion de la tabla de das consiste en asignar a cada da del a no un n umero en forma4consecutiva; esta asignacion va desde el n umero 1, que corresponde al 1 de enero, hasta el n umero365 que corresponde al 31 de diciembre (cuando el a no sea bisiesto, habra que agregar un da, apartir del primero de marzo, entonces, el 31 de diciembre sera el da 366). Es necesario aclarar,que por facilidad, utilizaremos la siguiente clave para identicar fechas: el primer n umero indicaralos das del mes, por tanto varia entre 1 y 31; el segundo n umero, indicara el mes y podra variarentre1y12, yel tercern umerose nalarael a no. Laseparacionentreesosn umerosseharautilizando guiones. Por ejemplo el 13 de mayo de 1991 se podra representar 13-05-91.2.2.1. ClasesdetiempoTiempo exacto y tiempo aproximado:Cuando el n umero de perodos es en das, se puede medir en forma exacta o en forma aproximada.Tiempo exacto: se calcula sobre la base de un a no igual a 365 das (366 en a nos bisiestos)Ejemplo 2.2.Determinar, en forma exacta, el tiempo transcurrido entre el 28 de enero y el 23de octubre.Solucion 2.2.Para calcular este tiempo en forma exacta se emplea la tabla 2.1. donde aparecennumerados todos los das del a no, as:Fecha 28 de enero 23 de octubreN umero 28 296N umero exacto de das =296 28 = 268 dasNota: al n umero mayor de das le restamos el menor, teniendo en cuenta que no podemos tenerdas negativos en este caso.Tiempo aproximado: se supone que un mes tiene 30 das.Ejemplo 2.3. Determinar, en forma aproximada, el tiempo transcurrido entre el 28 de enero yel 23 de octubre.Solucion2.3. Paracalcularestetiempodebemostenerencuentaquecuandosedicedesdetalfechadebemosrestaralmesde30daseln umeroindicado, cuandosedicehastatalfechatomamos dicho n umero ya que pertenece al tiempo transcurrido, luego.1. Hallemos el n umero de meses utilizados: de enero a octubre hay 10 meses.5DIA MESmes ene. feb. mar abr. may. jun. jul. ago. sep. oct. nov. dic.1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 3352 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 3363 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 3374 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 3385 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 3396 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 3407 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 3418 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 3429 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 34310 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 34411 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 34512 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 34613 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 34714 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 34815 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 34916 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 35017 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 35118 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 35219 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 35320 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 35421 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 35522 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 35623 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 35724 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 35825 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 35926 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 36027 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 36128 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 36229 29 .. 88 119 149 180 210 241 272 302 333 36330 30 .. 89 120 150 181 211 242 273 303 334 36431 31 .. 90 ... 151 ... 212 243 ... 304 ... 365Cuadro 2.1: tabla de Das62. Tomemos el primer mes y veamos cuantos das hemos utilizado de este mes, esto se hace conuna resta partiendo del punto en que todos los meses tienen 30 das: 30-28=2, quiere decir quede enero utilizamos 2 das.3.Tomemos el ultimo mes y como estamos diciendo que es hasta el 23, sabemos que se utilizaron23 das de dicho mes.Ahoravemosquehemoscalculadoeltiempoutilizadoenelmesinicialyenelmesnal,luegosolo nos queda calcular el tiempo utilizados en los meses restantes los cuales constan de 30 das:10(mesesutilizados)2(mesescalculados)= 8, luego8(meses) x30(dias/meses)= 240,porlotanto 2 + 23 + 240 = 2652.3. Interessimpleexactoeinteressimpleordinario2.3.1. InteressimpleexactoSe calcula sobre la base de un a no igual a 365 das (366 en a nos bisiestos).2.3.2. InteressimpleordinarioSecalculaconlabasedeuna noigual a360das. El usodel a node360dassimplicaloscalculos, pero aumenta el interes cobrado por el acreedor.Ejemplo2.4. Cual es el valor futuro de$2.000, al 36 % anual de interes simple, el 1 de abrilal 27 de octubre?. Resolver el problema utilizando interes simple exacto y ordinario. Calcular eltiempo exacto y ordinario en cada caso.Solucion2.4. Tiempo exacto en el cuadro 2.1 se tiene :Fecha abril 1 octubre 27N umero 91 300N umero exacto de das: 300-91=209Tiempo aproximado:Meses Das27 de octubre 10 271 de abril 4 1total 6 267Luego, 6 30 (das/mes)+26=206 dasDebemos tener en cuenta que el interes i debe ir sobre el n umero de das del a no 365, teniendoencuentaqueel valorfuturolovamosacalcularendas,sifueraenmesesdebemosdividirientre el n umero de meses del a no 12. Correspondencia entre periodos.Interes simple exactoCon tiempo exacto:F= P(1 +ni)F= 2,000(1 + 2090, 36/365) = $2,412, 29Intereses=2.412,29-2.000=$412,29Con tiempo aproximadoF= P(1 +ni)F= 2,000(1 + 2060, 36/365) = $2,406, 36Intereses=2.406,36-2.000=$406,36Interes simple ordinarioCon tiempo exacto:F= P(1 +ni)F= 2,000(1 + 209 0, 36/360) = $2,418Intereses=2.418-2.000=$418Con tiempo aproximadoF= P(1 +ni)F= 2,000(1 + 206 0, 36/360) = $2,412Intereses=2.412-2.000=$412Como puede observarse, la modalidad que causa mayor interes es la de interes simple ordinariocon tiempo exacto, la cual es ampliamente utilizda en el sector nanciero. A esa modadalidadse le denomina Regla de Banqueros.82.3.3. DiagramadeujoolineadeltiempoPara representar en forma graca las siguiente transacciones nancieras, se emplean los diagra-mas de ujo de efectivo, o simplemente diagramas de ujo, para lo cual se tiene en cuenta queentodatransaccionnancierahaydospartes, unaquerecibeyotraqueentrega, unplazoon umero de perodos y una tasa de interes.Por tal motivo, parafacilitar lacomprensiondeunproblema, es convenienterepresentar eltiemposobreunalneaqueseledenominalneadeltiempoodiagramadeujoenlacualseubican las fechas de las operaciones nancieras y sus correspondientes valores.Se acostumbra a representar con echa que parte de la lnea hacia abajo a los egresos, natural-mente que el dibujo que se construya para el prestamista sera inverso al que se construya parael deudor.Un diagrama de ujo es una recta metrizada , en la cual se representa el n umero de perodos,completando con rectas verticales ubicadas en diferentes puntos en el tiempo , las cuales repre-sentan las diferentes transacciones o ujos de efecivo. Arbitrariamente se puede acordar que lasechas hacia arriba representan ingresos y hacia abajo egresos. Siempre se debe indicar la tasade interes pactada en la transaccion nanciera.Hoy presta el banco $100.000 acondicion de recibir, dentro de 7 meses la suma de $117.500.El diagrama de ujo de efectivo, correspondiente al banco es el siguiente:Figura 2.2: Diagrama de ujo bancoEl diagrama de ujo de efectivo, correspondiente al prestamista, se ve en la gura [?]:Se compra un televisor a plazos, cuyo costo es de 380 dolares. Se paga 130 dolares de cuota inicialy se adquiere un credito de 250 dolares, para pagarlo en 10 cuotas mensuales, de 28 dolares, cadauna.El diagrama de ujo de efectivo para el comprador del televisor es el siguiente:9Figura 2.3: Diagrama de ujo prestamistaFigura 2.4: Diagrama de ujo comprador2.4. EcuaciondeEquivalenciaoEcuaciondevalorEsunaecuacionalgebraicaquepermiteestablecerlaiguldadnacieraentredosconjuntosdeobligaciones nancieras, teniendo siempre presente el valor del dinero en el tiempo.Paraestablecerlaecuaciondeequivalenciaeneltiempoesnecesarioseleccionaroacordarunpunto en el tiempo, el cual se denomina fecha focal denotada porff, indispensable para hacerefectiva una de las reglas basicas en la ingeniera nanciera que dice:Solo se pueden relacionar(sumar, restar, igualar o comparar)cantidades que esten en el mismo punto en el tiempo.German ArboledaLafechafocal (ff)eslafechaenquehacemoslacomparaciondeingresosconegresosyserepresentaporunalneaatrazos,laubicaciondelafechafocalpuedeserescogidadecom un10acuerdo entre las partes pero principalmente es el acreedor (due no del dinero) quien determinala posicion de la echa focal.(Ingresos) =(Egresos) (en laff)Naturalmente, el trasladodecualquieringresoodecualquieregresoenlaechafocal deberahacerse, usandolasformulasdel montoodel valorpresenteunatasadeinteresllamadaderendimiento, la cual es jada de com un acuerdo entre las partes.Figura 2.5: Ubicacion fecha focalEn sntesis, la fecha focal es el punto acordado para establecer la ecuacion de equivalencia. Todoslos valores de las obligaciones, tanto actuales como propuestos, se llevan a dicho punto.Cuando el valor esta ubicado antes de la fecha focal, se requiere hallarFconociendoP, para locual se emplea la formula:F= P(1 +ni)Cuando el valor esta ubicado despues de la fecha focal, se requiere hallarPconociendoF, paralo cual se emplea la formula:P= F/(1 +ni)En todos los casos, n es el n umero de perodos entre el punto 0 fecha focal y la fecha de vencimien-to de cada obligacion.112.4.1. ComponentesdeunaecuaciondeequivalenciaLoscomponentesdeunaecuaciondeequivalenciasonlosingresos, losegresos, lafechafocal,el n umerodeperodos ylatasadeinteres. Todos estos componentes sepuedenindicar enel diagramadeujo. Porlogeneral, unodeelloseslaincognitadel problemaquesequieresolucionar.2.5. DescuentoDenicion2.2. Descuento: El tenedordeunefectocomercial, necesitadodeactivolquido,puedesolicitarel descuentodeaquel porunbanco, el cual leabonasuimportemenosciertacantidad, en concepto de interes y gastos diversos.2.5.1. Clasesdedescuento:Eldescuentopuedeserdedasclases:descuentosimpleaunatasadeinteres,denominadode-scuento racional, Dr, y descuento simple a una tasa de descuento, llamado tambien descuentobancario,Db.1. Descuento simple a una tasa de interes (Dr)No se utiliza en la practica porque da un menor valor. Su caracterstica primordial es queel descuento se efect ua sobre el valor presente del documento en cuestion; es decir, el valorestimado del documento en la fecha de la operacion de descuento.2. Descuento simple a una tasa de descuento (Db)Este es el tipo de descuento que se efect ua sobre el valor futuro del documento en cuestion;es decir, el valor del documento en su fecha de vencimiento. Esto hace que el Db sea siempremayor que elDr.La costumbre, en el sistema nanciero, ha establecido, ademas del descuento, una comisionpor toda operacion de descuento de un documento.Una operacion de descuento puede ser: se tiene una carta de credito por 3.000 dolares, convencimiento en cuatro meses; es decir, a los cuatro meses se entrega la carta y se reciben3.000 dolares. Si existe alguna urgencia por efectivo, se visita una entidad o persona espe-cializada en el descuento de documentos, la cual ofrecera por la carta de credito una sumainferior a 3.000 dolares. La diferencia con 3.000 dolares es el descuento mas la comision.Latasadedescuentomasutilizada, enmuchospaseslatinoamericanos, enlos ultimosa nos, esta cercana al 3 % mensual.123. Descuento racionalSi seaplicael descuentoracional, el valordel documentodescontado, enlafechadelaoperacion de descuento, no es mas que el valor presente, P, en dicha fecha, del valor Fqueel documento tiene en su fecha de vencimiento. Es decir:Valor del documento descontado :P=F1 +niValor del descuento racional,Dr = Pni (i = tasa de interes)Al aplicar lo anterior, al caso de la carta de credito, se obtiene :YValor del documento descontado:P= 3,000/(1 + 4x0, 03) = 2,678, 57d olaresYDescuento racional:Dr = Pni = $2,678, 57x4x0, 03 = 321, 43d olaresVale la pena notar queDr = F P= 3,000 2,678, 57 = 321, 43d olares4. Descuento bancarioEl valor del descuento bancario, Db, se calcula en forma directa sobre el valor del documentoen su fecha de vencimiento. Es decir:Db = Fdn; (d =tasa de descuento)YEl valor del documento descontado es:P= F FdnP= F(1 dn)A1 aplicar lo anterior, al caso de la carta de credito, se obtiene:YDescuento bancario:Db = Fdn = 3,000x0, 03x4 = 360d olaresP= F(1 dn) = 3,000(1 0, 03x4) = 2,640d olaresYEl valor del documento descontado se pude calcular como:P= F Db = 3,000 360 = 2,640 dolaresEnconclusioncomopodemosobservarenlosvaloresobtenidosel descuentobancrioesmayor que el descuento racional.13Ejemplo 2.5.Se tiene un certicado de deposito a termino, por un valor de$4.000.000, el cualvenceen5meses.SerequieredescontarenlaFinancieraPalmira,lacual cobraunacomisionde 2,5 % y aplica una tasa de descuento de 2 % mensual. Cual es el valor presente que se recibey cual la tasa efectiva de descuento? Resolver el mismo caso aplicando descuento racional,Dr.Solucion2.5. YDescuento bancario:Comisin = $4,000,000x0, 025 = $100,000Db = Fdn = $4,000,000x0, 02x5 = $400,000YDescuento efectivo:Comisin $100,000Descuentobancario $400,000$500,000Hoy entregan, P =$4.000.000 - 500.000 =$3.500.000YTasa efectiva de descuento:Db=Fdn.Enestecaso, Db = $500,000eseldescuentoefectivo.500,000 = 4,000,000 d 5500,000 = 20,000,000 dd = 500,000/20,000,000 = 0, 025YTasa de descuento efectivo:d = 2,5 % mensual Descuento racionalF= P(l +ni)P= F/(I +ni)P= $4,000,000/(1 + 5 0, 02) = $3,636,363, 63Comisin = $3,636,363, 63 0, 025 = $90,909Dr = Pni = $3,636,363, 63 5 0, 02 = $363,636, 36YDescuento efectivo:Comisin $90,909, 00Descuentoracional $363,636, 36$454,545, 3614Valor presente:P = F- Dr =$4.000.000 - 454.545,36=$3.545.454,64YTasa efectiva de descuento:Dr = Pni.En este caso,Dr = $454,545, 36eseldescuentoefectivo.454,545, 36 = 3,636,363, 64 5 ii = 454,545, 36/18,181,818, 2 = 0, 0249i = 2, 5 %mensual2.6. PagosParcialesDenicion2.3. Lospagosparcialessonlospagosquesehaceneneltranscursodelplazoquetieneunaobligacion.Paracalcularel valordel ultimopagoparcial,quesedebeefectuarenlafecha de vencimiento de la obligacion, se utilizan dos reglas: la regla comercial y la regla de losEstados Unidos.2.6.1. Metodosoreglascomerciales1. Regla comercialCon esta regla, el interes se calcula sobre la deuda original y sobre cada pago parcial a lafecha de vencimiento. La cantidad por liquidar en la fecha de vencimiento es la diferenciaentreel montodeladeudaylasumadelospagosparciales. Estaclasedeproblemaseresuelve con la ayuda de una ecuacion de equivalencia, a interes simple, que tenga la fechade vencimiento como fecha focal.2. Regla de los Estados UnidosCon esta regla, el interes se calcula sobre el saldo no pagado (o saldo insoluto) de la deuda,cada vez que se efect ua un pago parcial. Si el paga parcial es rnayor o igual que los interesescalculados se resta del valor total de la deuda. Si el pago parcial menor que los interesesno se tiene en consideracion y se agregara al siguiente pago parcial.Ejemplo2.6. Calcularel valordel ultimopagoparcial enlafechadevencimientodeunaobligacionde150,000,contratadaal 2, 5mensual,conunplazodeuna noymedio,sabiendo que se efect uan los siguiente pagos parciales:15A los 4 meses 25.000A los 6 meses 1.200A los 10 meses 12.000A los 11 meses 48.000Recordemos que un a no y medio, corresponde a 18 meses.Resolver el problema aplicando las dos reglas. Solucion:Solucion2.6. Reglacomercial:Figura 2.6: Diagrama linea del tiempoAl plantearla ecuacion de equivalencia, con fecha focal la de vencimiento:150,000(1 + 0, 025 189 = 25,000(1 + 0, 025 14) + 1,200(1 + 0, 025 12) + 12,000(1 + 0, 025 8)+48,000(1 + 0, 025 7) +X217,500 = 33,750 + 1,560 + 14,400 + 56,400 +X217,500 106,110 = XX = $111,39016RegladelosEstadosUnidos:V alorinicialdelaobligacin 150,000, 00Interesesdelpunto0al4 :150,000 4 0,025 = 15,000 +15,000, 00V alordelaobliacinalfinaldelmes4 165,000, 00Primerpagoparcial 25,000, 00Saldoinsoluto 140,000, 00Interesesdelpunto4al6 : 140,000 2 0,025 = 7,000Basadosenladeniconnoseconsiderael pagoparcial de1.200,porsermenorquelosintereses, 7.000. Este pago se suma al siguiente pago parcial que ocurre al nal del mes 10.Intereses del punto 4 al 10: 140.000 6 0,025=21.000Tampoco se tiene en cuenta el pago parcial al nal del mes 10, porque los intereses $21.000,son mas altos que el pago parcial,$1.200+12.000=$13.200Interesesdelpunto4al11 :140,000 7 0,025 = 24,500 +24,500, 00V alordelaobligacinalfinaldemes 164,500, 00Cuartopagoparcial($1,200 + $12,000 + $48,000) 61,200, 00Saldoinsoluto 103,00, 00Interesesdelpunto11al18 :103,300 7 0, 025 = 18,077, 50 +18,077, 00Ultimopago, enlafechadevencimiento $121,377, 50En conclusion la regla de los Estados Unidos produce mas intereses que la regla comercial.Denicion 2.4.Es muy frecuente encontrar una o varias obligaciones, que van a ser canceladasmediante uno o varios pagos, operacion que se le denomina renanciacion de deudas; pero, debidoaqueel poderadquisitivodel dinerocambiaconel tiempo,lasoluciondeesteproblemanoestan elemental y, por ello, se hace necesario el uso de las llamadas ecuaciones de valor, que sonigualdades de valores ubicados en una sola fecha, denominada fecha focal.Ejemplo2.7. Debecancelarseunpagarepor$300.000, en3meses: otro, por$500.000, convencimientoen5mesesyunterceropor$800.000conunvencimientodeuna no.Siseofrecepagar hoy$250.000y el resto en 8 meses. Cual debe ser el valor del pago, para que las deudasqueden canceladas? Suponga un interes del 30 % y la en 5 meses.17Figura 2.7: Linea del tiempoSolucion 2.7. El 0 representa el da de hoy; los demas n umeros en la lnea del tiempo representanlas demas fechas de los vencimientos de las deudas o de los pagos.Para el planteamiento de la ecuacion de valor, debemos trasladar todas las deudas y pagos a lafecha focal usando la tasa del 30 %.El pagare de $300.000 debe ubicarse en el mes 5, es decir, que sino se paga en el mes 3 sino en elmes 5, cual hubiese sido su valor? Por tanto este pagare se convertira en 300.000(1+0.3+2/12).El segundo pagare esta sobre la fecha focal, consecuencia, no debe sufrir ning un cambio; pero eltercer pagare debera trasladarse desde el mes 12 hasta el mes 5, es decir, que si no pagara en elmes 12, sino en el mes 5, cual hubiese sido su valor?Por lo tanto este pagare se convertira en:P=F(1 +in)=800,0001 + 0, 3 712Si aplicamos el principio fundamental tenemos:300,000(1 + 0, 3212) + 500,000 +800,0001 + 0, 3 712= 250,000(1 + 0, 3512) +X1 + 0, 3 312Entonces despejamos y se obtieneX = $1300,569, 6118Captulo3INTERESCOMPUESTODenicion3.1. El interescompuestosecaracterizaporquelosinteresesdevengadosenunperodo devengan intereses en el perodo siguiente; es decir , los intereses son capitalzables.Ladiferenciafundamental entreel interessimpleyel interescompuestoestribaenque, enelprimero,el capital permanececonstantedurantetodoel tiempodelainversion;encambio,ensegundo, el capital cambiaal nal decadaperiodo, debidoaquelosinteresesseadicionanalcapital paraformarunnuevocapital denominadomontoysobreel montovolveracalcularelinteres.3.1. FormuladevalorfuturoHoy se deposita una sumaP, a una tasa de interes compuestoi.Se desea determinar a cuantoes equivalente, o cal sera su valor futuro,F, dentro den perodos.Figura 3.1:19La suma que se tendra acumulada al nal de cada perodo es:Perodo Capital inicial Interes Capital nal1 P Pi F1 = P +Pi = P(1 +i)2 P(1 +i) P(1 +i)i F2 = P(1 +i) +P(1 +i)i = P (1 +i)23 P (1 +i)2P (1 +i)2i F3 = P (1 +i)2+P (1 +i)2i = P (1 +i)34 P (1 +i)3P (1 +i)3i F4 = P (1 +i)3+P (1 +i)3i = P (1 +i)4... ... ... ...n P (1 +i)n1P (1 +i)n1i Fn = P (1 +i)nEs decir:F= P (1 +i)nLa formula para el valor futuro de una sumaP, a interes compuesto se puede escribir:F= P(F/P, i, n)3.2. FormuladevalorpresenteF= P(1 +i)nP=F(1 +i)n= F(1 +i)nluego,P= F(1 +i)nLa formula para el valor presente de una sumaF, a interes compuesto se puede escribir:P= F(P/F, i, n) (3.1)3.3. Equivalenciaentretasasdeinteres3.3.1. TasaperiodicaEslatasaefectivaquesedevengaenunperododeconversionodepagodeintereses.Latasaperodica es la que siempre se considera en la solucion de problemas nancieros. Se nota (i).i = 2 % mensual;i = 32 % anual;ia = 9 % trimestre anticipado203.3.2. TasaNominalHace mencion a dos perodos: aun perodo que se toma como referencia y aun perodo de pagode intereses o capitalizacion.No es una tasa efectiva. la tasa nominal se nota (r).Se debe ser supremamente cuidadoso cuando la informacion no es una tasa nominal!La relacion entre la tasa nominal y la tasa periodica esta dada por la siguiente expresion:i = tasa periodicam = n umero de perodos de la conversion o de capitalizacion en el perodo de referencia.i =rmEjemplo3.1. r = 32 % anual, convertible semestralmenteSolucion3.1. Anual es el perodo de referencia.Semestral es el perodo de converion o de pago de intereses o de capitalizacion. La tasa efectivasemestral es:i =rm=32 %2= 16 % semestralEjemplo3.2. r = 42 % en a no y medio, convertible trimestralmenteSolucion3.2. r =42 %6= 7 % trimestralEjemplo3.3. r = 32 % anual, convertible diariamenteSolucion3.3. i =32 %365= 0,087 % diarioEjemplo 3.4.A que tasa semestral, convertible mensualmente, es equivalente el 2 % mensual?Solucion3.4. En este caso se conoce la tasa periodica y se desea conocer una tasa nominal.r = im = 2 %6 = 12 % semestral, convertible mensualmente.213.3.3. TasaefectivaAlgunasvecessedeseaconocerlatasadeinteresquerealmentesedevengaenunperododereferencia dado. Dicha tasa se denomina tasa efectiva y se nota (E). As, por ejemplo, se tienela tasa nominalr = 32 % anual, convertible semestralmente. De esta informacion, de inmediatose obtiene:i =32 %2= 16 % semestral.Ejemplo3.5. Sir = 24 % anual, convertible mensualmente, la tasa efectiva mensual es:Solucion3.5. i =24 %12= 2 % mensualEn forma efectiva, cada semestre se paga 16 %. en forma efectiva, cuanto se paga anualmente?El conocimiento de la relacion entre la tasa periodica y la tasa efectiva permite dar respuesta ala pregunta planteada. Para el efecto, se consideran dos situaciones:1. Se invierten Punidades monetarias, durante m perodos de conversion. a la tasa periodicai.2. Se inviertenPunidades monetarias, durante un perodo de conversion, equivalente a losm perodos de la anterior situacion, y a la tasa de interesE.Cual debe ser la relacion entre las tasas de interesi yEpara que el valor futuro sea igual enambas situaciones?Los diagramas de ujo, correspondientes a cada una de las dos situaciones anteriores, son:Al comparara (1) y (2):P(1 +i)m= P(1 +E)(1 +i)m= 1 +Ei corresponde al perodo mas peque no. Ecorresponde al periodo mas grande. Tantoi comoEson tasas efectivas vencidas. La expresion (1 +i)m= 1 +Erelaciona tasas efectivas vencidas.Ejemplo3.6. Aquetasaefectivaanual esequivalenteel 32 %anual, convertiblesemestral-mente?22Figura 3.2: Graca perodos de conversion y de referenciaSolucion3.6. Lainformacionsuministradaesunatasanominal,apartirdelacualsepuedeconocer la tasa periodica semestral.i =32 %2= 16 % semestral.Para hallar la tasa efectiva anual, se debe utilizar la formula:(1 +i)m= 1 +E(1 + 0,16)2= (1 +E)(1 +E) = 1, 3456E = 0, 3456 = 34, 54 % anual.Ejemplo3.7. A que tasa efecctiva anual es equivalente el 2 % mensual?Solucion 3.7. En este caso se debe utilizar la formula 1 +E = (1 +i)m, en la cual se conoce la23tada efectiva del perodo de menor duracion:i = 2 % mensual(1 + 0,02)12= 1 +EE = 1, 2682 1E = 0, 2682E = 26, 82 anual.Ejemplo3.8. A que tasa mensual es equivalente 32 % anual?Solucion3.8. Enestecasoseconocelatasaefectivacorrespondienteal perododemayorduracion:1 +E = (1 +i)mE = 32 % anual1 + 0,32 = (1 +i)121, 32 = (1 +i)12(1 +i)1/12= 1 +i1 +i = 1, 0234057i = 0, 0234057i = 2, 34 % mensualEjemplo 3.9.A que tasa anual, convertible semestral, es equivalente el 36 % anual, convertiblemensualmente?Solucion3.9. La solucion del problema se planica como sigue:1. Apartirdelatasanominal anual, convertiblemensualmente, seobtienelatasaperiodicamensuali =36 %12= 3 % mensual2. Con la tasa mensual se obtiene la tasa semestral, mediante uso de la formula:241 +E = (1 +i)m1 +E = (1 +i)m;1 +E = (1 + 0, 03)61 +E = 1, 194523E = 0, 1940523E = 19, 41 % semestral3. Despues de conocer la tasa semestral se obtiene la tasa nominal anual, convertible semestral-mente, aplicando:r = imr = 19, 41 %2 = 38, 82 % anual, convertible semestralmente.3.3.4. TasaContinuaSe pretende hallar la tasa efectiva equivalente a una tasa nominal con capitalizacion continua.Se pueden tener los siguientes casos de tasas nominales, para cada uno de los cuales se indica elvalor dem:r = 36 %anual, convertibleanualmente : m = 1r = 36 %anual, convertiblesemestralmente : m = 2r = 36 %anual, convertiblebimestralmente : m = 6r = 36 %anual, convertiblemensualmente : m = 12r = 36 %anual, convertiblediariamente : m = 365r = 36 %anual, convertiblecadahora : m = 8,760r = 36 %anual, convertiblecadaminuto : m = 525,600r = 36 %anual, convertibleenformacontinua : m Oseaqueenelcasodeinterscontinuo : m Lo que se desea conocer es la tasa efectiva anual anual equivalente al 36 % anual, convertible enforma continua.En terminos generales: (1 +E) = (1 +i)m25Peroi =rm. Por lo tanto: (1 +E) = (1 +rm)mSi el interes es continuo m (1 +E) =lmm(1 +rm)m1 +E = ere es la base de los logaritmos naturales o neperianos, igual a 2,718281828...E = er1NOTASir es diaria, convertible en forma continua,Ees la tasa efectiva diaria.Sir es mensual, convertible en forma continua,Ees la tasa efectiva mensual.Sir es anual, convertible en forma continua,Ees la tasa efectiva anual.Ejemplo3.10. Aquetasaefectivaanual esequivalenteel 36 %anual,convertibleenformacontinua?Solucion3.10. E = er1; E = e0,361Ejemplo3.11. A que tasa anual, convertible trimestralmente, es equivalente el 3 % mensual,convertible en forma continua?Solucion3.11. La solucion del problema se planica como sigue:1. Conlatasanominal mensual,convertibleenformacontinua,seobtienelatasaefectivaanual, mediante aplicacion de la formulaE = er1E = er1E = e0,031E = 1,0304545 1E = 0, 03045E = 3, 05 % mensual(tasaefectiva)262. Conlatasamensual,ymedianteempleodelaformula1 + E= (1 + i)m,obtienelatasatrimestral.1 +E = (1 +i)m1 +E = (1 + 0, 0305)3E = 1, 094319 1E = 0, 094319E = 9, 43 % trimestral3. Despues de conocer la tasa trimestral se obtiene la tasa nominal anual, convertible trimes-tralmente, aplicando:r = imr = 9, 43 %4 = 37, 72 % anual, convertible trimestralmente.Ejemplo3.12. Aquetasamensual, convertibleenformacontinua, esequivalenteel 18 %semestral?Solucion3.12. 1. Conlatasasemestral seobtienelatasamensual,medianteel usodelaformula:1 +E = (1 +i)m(1 + 0, 18) = (1 +i)61, 18 = (1 +i)6(1, 18)116= 1 +i;(1, 18)116 1 = i1, 02796 1 = i;%0, 02796 = ii = 2, 79 % = 2, 8 % mensual.2. Despues de conocer la tasa mensual se obtiene la tasa mensual, convertible en forma con-tinua , mediante el empleo de la formulaE = er1, en la cual se conoceE(tasa efectivamensual).27E = er10, 028 = er1er= 1, 028r = Ln1, 028r = 0, 02761r = 2, 76 % mensual, convertibleenformacontinuaEl valor futuro, F, de una suma P, invertida a una tasa nominal continua, r, durante n perodos, es:F= PernLo anterior quiere decir que si hoy se invierte un millon de dolares, al 12 % semestral, convertibleen forma continua, dentro de 5 a nos se tendra acomulados:n = 2 5 = 10, un a no tiene dos semetres.F= 1,000,000e0,1210= 3,320,000 dolares.3.3.5. TasaAnticipadaLaformuladel interesimplicaunatasaiordinaria; esdecirqueel pagodeinteresessehacealnaldecadaperodo.Hayocasionesenquelosinteresessepagananticipadamente.oseaalprincipiodelperiodo;enestecasosecalculansobreelvalornaldeldocumento;entonces,latasaserepresentaporiaperodebemostenerencuentaque, encasi todaslasformulasdelamatematica nanciera, se utilizai. Cuando la informacion que tengamos de la tasa seaiay noi , en la mayora de los casos lo primero que debemos hacer es convertirla ai, de acuerdo a lasiguiente formula:La tasa de interesi viene siendo igual al interes ganadoI, sobre el capital invertidoP, esto es:i =IP ,Cuando se cobra anticipado el interes se tiene queI = Fiay tambien sabemos queP= F I, entonces:28i =IP=FiaF Fia=FiaF(1 ia)=ia1 ia;Por tanto:Paradeterminarlatasaperiodicavencida, i, equivalentealatasaanticipada, ia, seaplicalaformula de interes compuesto, para lo cual se adopta como fecha focal al nal del perodo:P= P(1 ia)(1 +i)1(1 ia)(1 +i) = 11 +i =11 iai =11 ia1i =1 1 +ia1 ialuego , i =ia1iaes la tasa periodica vencida en funcion de la tasa periodica anticipada.i =ia1 iaA veces, es necesario cambiar de una tasai, a una tasaia, en consecuencia si despejamos aia,de la formula anterior tenemos:ia =i1 +iLa tasa de interes anticipada es aquella que se aplica al principio del perodo de capitalizacion.Dicha tasa siempre es un poco menor que i, esto se puede observar en con la forma en que estanplanteadas las ecuaciones parai yia.Ejemplo3.13. La forma como opera la tasa anticipada es la siguiente:Si se prestan $100 (Pdolares, en forma general) al 3 % mensual anticipado (ia,en forma general),hoy se reciben $100 (Pdolares) menos los intereses; es decir,$100-100(0,03). (O sea,P Pia,enformageneral). Dentrodeunperodo, paracancelarel prestamo, sedebenpagar$100(Pdolares).29Solucion3.13. El diagrama de ujo de esta operacion es:Ejemplo3.14. A que tasa efectiva anual es equivalente el 36 % anual, trimestre anticipado?Solucion3.14. La solucion del problema se planica como sigue:1. Apartirdelatasanominalanual,trimestreanticipado,seobtienelatasatrimestralan-ticipada, empleando:ia =rmia =36 %4= 9 % trimestre anticipado.2. Conocidalatasatrimestral anticipada,seobtienelatasatrimestral vencida,medianteeluso de la expresion:i =ia1 iai = 0, 09(1 0, 09) = 0, 0989 = 9, 89 % trimestre vencido3. Conlatasatrimestral seobtienelatasaanual, medianteel usodelaformula1 + E=(1 +i)m, en la cual cual se conocei (tasa trimestral).1 +E = (1 +i)m(1 +E) = (1 + 0, 0989)4E = 1, 4582 1E = 0, 4582 = 45, 82 % anualUn desarrollo algebraico, similar al ejecutado anteriormente, permite obtener la expresion de latasa periodica anticipada en funcion de la tasa periodica vencida, la cual es:ia =i1+iTasa periodica anticipada en funcion de la tasa periodica vencida.303.3.6. EquivalenciaentretasasefectivasytasasanticipadasSe sabe que:1 +E = (1 +i)mpero i =ia1ia, por lo tanto:1 +E =1 +ia1 ia

m1 +E =1 ia +ia1 ia

m1 +E =11 ia

mOsea,1 +E = (1 ia)mEjemplo3.15. A que tasa efectiva es equivalente el 36 % anual, trimestre anticipado?Solucion3.15. ia = 36 %/4 = 9 % trimestre anticipado:1 +E = (1 ia)m1 +E = (1 0, 09)4E = 0, 4583 = 45, 83 % anual.Relacion de equivalencia entre dos tasas efectivas:Se acaba de obtener que:1 +E = (1 ia)m.Esdecir :E = (1 ia)m1 (1)Si Eeslatasaefectivavencidaenunperododereferencia, sutasaefectivaanticipada, Ea,equivalente en el mismo perodo, esta dada por:Ea =E1 +E(2)Al reemplazar (1) en (2) se tiene:31Ea =(1 ia)m1(1 ia)m= 1 1(1 ia)m1 Ea = (1 ia)mia corresponde al perodo mas peque noEa corresponde al perodo mas grandeTantoia comoEa son tasas efectivas anticipadas.Ejemplo3.16. A que tasa anual anticipada es equivalente el 9 % trimestral anticipado?Solucion3.16.1 Ea = (1 ia)m1 Ea = (1 0, 09)4Ea = 0, 3143 = 31, 43 % anualanticipada3.3.7. TasasMultiples:Existen situaciones en las cuales al mismo tiempo operan dos o mas tasas de interes. El efectototal de dichas tasas, denominadas tasas m ultiples, es lo que se pretende analizar a continuacion.Las tasas m ultiples se presentan con los prestamos en moneda extranjera y en UVRs (Unidadesde Valor Real) o UPACs (Unidades de Poder Adquisitivo Constante). Los ultimos, muy utiliza-dos en los sistemas de nanciacion de vivienda.Prestamo en moneda extranjera:Ejemplo3.17. Seefect uaunprestamode100dolares,sobreelcualcobraunbanconorteam-ericanoel6 %anual.Esteprestamo,enMexico,seconvierteenpesos.Sidentrodeuna nosedesea cancelar el prestamo, es necesario cambiar pesos por dolares. En resumen, la situacion esla siguiente (prestamo en moneda extranjera):32Hoy Dentro de un a noValor del prestamo en US$ 100 106Tasa de cambio ($/US$) 73 75,43Valor del prestamo en pesos 7.300 7.995,58Que tasa efectiva se esta cobrando sobre el prestamo?Solucion3.17. Hay dos procedimientos para calcularla:Procedimiento 1: Hoy se prestan$7.300 y se pagan$7.995,58 dentro de un a no. El correspondi-ente diagrama de ujo es:Al tomar como fecha focal el punto nal, se establece la siguiente ecuacion de equivalencia:7,995, 58 = 7,300F= P(1 +i)n1, 0952849 = F= P(1 +i)n(1 +i)1= 1, 0952849i = 0, 0952849 = 9, 53 % anual.Procedimiento 2: Hay dos tipos de tasas operando en el prestamo:1.i1 = 6 % anual, sobre el prestamo en US$2. La variacion en la tasa de cambio,i2,la cual se mide con la tasa de devaluacion.El correspondiente diagrama de ujo es:i2 = Variacion de la realcion de cambio=tasa de devaluacion33Conociendodostasasdecambioenel tiempoyel n umerodeperodosentreellas, sepuededeterminarlatasadedevaluacion. Conlainformaciondel diagrama, ytomandocomofechafocal el nal de a no, se establece la siguiente ecuacion de equivalencia:75, 43 = 73F= P(1 +i2)n1, 03328 = (1 +i2)i2 = 0, 03328 = 3, 33 % anualEn conclusion, sobre el prestamo act uan dos tasas de interes:i1 = 6 % anual, sobre el prestamo en dolaresi2 = 3, 33 % anual, tasa de devaluacionConociendo esas dos tasas, se puede calcular la tasa efectiva, mediante la formula que se deter-minara mas adelante.Prestamo en UVRs o en UPACsEjemplo3.18. Seprestan100UVRs, pagaderas enuna no, sobrelas cuales laentidad-nanciera carga el 7 % anual.La situacion hoy en el momento de calcular el prestamo es:Hoy Dentro de un a noValor del prestamo en UVRs 100 107Tasa de cambio 1UVR=$598,46 1UVR=$724,14Valor del prestamo en pesos 59.846,00 77.482,98Que tasa efectiva se esta cargando sobre el prestamo?Solucion3.18. Hay dos procedimientos para calcualrla:34Procedimiento 1: Se prestan $59,846 y se pagan $77.482,98 dentro de un a no. El correspondientediagrama de ujo es:Al tomar como fecha focal el punto nal, se establece la siguiente ecuacion de equivalencia:77,482, 98 = 59,846F= P(1 +i)n; n = 11, 2947 = (F/P, i, 1)1 +i = 1, 2947i = 0, 2947 = 29, 47 %anualProcedimiento 2: determinando las diferentes tasas de interes que act uan sobre el prestamo. Sedenen dos:1.i1 = 7 % anual, sobre el prestamo en UVRs2.Hayunavariacionenel valordelaUVR, i2,(aproximadamenteigual alainacion),cor-respondientealacorreccionmonetaria. ConociendodosvaloresdelaUVRenel tiempoyenel n umerodeperodos(tiempo)entreellos, seencuentralatasaaproximadadelainacionocorreccion monetaria. Para el ejemplo, se tiene el siguiente diagrama de ujo:35Al tomar como fecha focal el punto 1, se establece la siguiente ecuacion de equivalencia:724, 14 = 598, 46F= P(1 +i2)n; n = 11, 21 = (1 +i2)1i2 = 0, 21 = 21 % anualEn resumen, sobre el prestamo hay dos tasas de interes:i1 = 7 % anual, sobre el prestamo en UVRsi2 = 21 % anual, tasa de correccion moneraria (aproximadamente igual a la tasa de inacion)Formulasdetasasm ultiplesLa tasa efectiva se determinara mediante la aplicacion de la formula que se deduce en seguida:En forma general el problema de las tasas m ultiples se puede analizar diciendo que hoy se recibenPpesos y dentro de un perodo se deben pagarFpesos, si el deseo es cancelar el prestamo. Latasa de interes involucrada en dicha operacion es la tasa efectiva, i , que se cobra periodicamentesobre el prestamo.P(1 +i) = P(1 +i1)(1 +i2).Al simplicar,1 +i = (1 +i1)(1 +i2) (Formula de tasas multiples)Al despejari:i = (1 +i1)(1 +i2) 1Mas adelante veremos la formula general para tasas m ultiples.Ejemplo3.19. En el caso del prestamo en UVRs, se tiene:Solucion3.19.i1 = 7 % anuali2 = 21 % anuali = (1 + 0, 07)(1 + 0, 21) 1i = 0, 2947 = 29, 47 % anualEn el caso del prestamoe n dolares, se tiene:36i1 = 6 % anuali2 = 3, 33 % anuali = (1 + 0, 06)(1 + 0, 033) 1i = 0, 09498 = 9, 5 % anual.Ejemplo3.20. Conlasiguienteinformacion, determinarlatasadeinteresefectivacobradasobre un prestamo en dolares, efectuado por una compa na chilena:1. Tasa de interes cobrada por le banco de New York: 15 % anual, trimestre anticipado.2. Valor del dolar en el da del prestamo: 1 dolar=$71,233. Valor del dolar en el da del pago del prestamo, 125 das despues: 1 dolar =$74,50.Solucion3.20. Para determinar la tasa de interes efectiva, se aplica la siguiente expresion:i = (1 +i1)(1 +i2) 1 (1)i1 = tasa efectiva cobrada por el banco en New Yorki2 = tasa de devaluacion del peso chilenoDeterminaciondei1r = 15 %anualtrimestre,anticipado.Conestainformacionseobtienelatasa trimestral anticipada:ia =rm=15 %4= 3, 75 % trimestre anticipadoLa tasa trimestral vencidad =ia1iaesi1. Por lo tanto,i1 =0,037510,0375= 0, 03896i1 = 3, 896 % trimestral (2)Determinacion dei2La variacion en el valor del dolar permite plantear el siguiente diagrama de ujo:i2es la tasa efectiva de devaluacion diaria.Ecuacion de equivalencia, con fecha focal en el punto 125.74, 50 = 71, 23(F/P, i2, 125)(F/P, i2, 125) = (1 +i2)125= 1, 0459076231 +i2 = 1, 000359145i2 = 0, 0359 % diaria(tasadedevaluacindiaria)37Figura 3.3: Diagrama de ujoComo la tasai1es trimestral,i2tambien debe serlo. Esto implica que es necesario encontrar latasa efectiva trimestral equivalente a 0,0359 % diaria, para lo cual se hace uso de la formula:1 + E=(1 + i)m, dondeseconocei=0, 0359 %diaria. m=90: 1 + E=(1 + 0, 000359)90E= 0, 0328E=i2 = 3, 28 %trimestral(tasadedevaluaciontrimestral) (3)Alreemplazar(2) y (3) en (1):i = (1 + 0, 03896)(i + 0, 0328) 1i = 0, 07304i = 7, 30 % trimestralObservaciones:La formula de tasas m ultiples se puede extender a tres o mas tasas de interes, as:1 +i = (1 +i1)(1 +i2)(1 +i3)...(1 +in)3.4. DEVALUACIONLa perdida de valor de la moneda frente a otra moneda se denomina devaluacion, por ejemplohabra devaluacion si inicialmente hay que pagar $2300 por US$1 y despues de un a no hay quepagar $2450 por el mismo dolar, en este caso se dice que la devaluacion del a no con respecto aldolar fue:variacion del precioprecio inicial=2450 23002300= 0, 07 = 7 %38Lo contrario de la devaluacion es la revaluacion que signica que habra que pagar menos pesospor el mismo dolar, por ejemplo si al principio del a no hay que pagar $2300 por un dolar y alnal del a no hay pagar $2250 por el mismo dolar entonces la revaluacion con respecto al dolarsera:variacion del precioprecio inicial=2450 23002300= 0, 07 = 7 %3.5. INFLACIONEl proceso economico en el cual se presenta un aumento general de precios se denomina inacion,porejemplo, hayinacioncuandosesubeel preciodeloscombustibles, sesubelepreciodeltransporte y se aumenta el salario mnimo, etc. En general la inacion es un fenomeno internode un pas.Aunque la inacion y la devaluacion son fenomenos economicos diferentes s tienen relacion entreellosdadoqueelunotieneinuenciasobreelotropor,ejemplosienunpassepresentaunafuertedevaluaciondelpesosignicaquehabraquepagarmaspesosporelmismodolarylasimportacionesdebienesyservicios, tendranunpreciointernomayoryporlotantocausaninacion.Ahora veamos como la inacion puede ser la causa de una devaluacion. Supongamos que actual-mente un industrial fabrica un artculo en Colombia a un costo de $2300 y que el cambio actualdel dolar es US$1=$2300 entonces ese artculo podra ser vendido en Estados Unidos de AmericaaunpreciodeUS$1,sienColombiasellegaapresentarunainaciondeun22 %anual(porsimplicidad supondremos que el ndice de precios al producto es igual al ndice de inacion) y sino hubiese la devaluacion entonces el precio en dolares tambien se incrementara en un 22 % yel costo al nal de este mismo artculo sera de 2300(1+0.22)=$2806 que en dolares equivaldraa US$1.22 tal como se puede apreciar en el siguiente cuadro: Lo anterior no es bueno para unaindustria que exporte sus productos a los Estados Unidos puesto que alla no habran subido losartculos en un 22 % sino en el equivalente a la inacion de alla que puede ser de un 3 % lo cualimplicaqueartculossimilaresseestaranvendiendoenunUS$1.03yelindustrialandenoperder los mercados tendra que rebajar el precio de sus artculos lo cual lo podra hacer siendomas eciente en la produccion y/o reduciendo su margen de utilidad. Sin embargo, si se produceuna devaluacion se salvaran sus exportaciones porque recibira mas pesos por el mismo dolar queexporte sin aumentar los precios en el exterior. Esto signica que sus productos recuperaran sucompetitividad internacional.Ahora supongamos que en Colombia se presentara una devaluacion del 18.45 % esto signica queel industrial recibira un 18.45 % mas pesos por cada dolar exporte y el cambio al nal del a nosera 2300(1+0.1845)=$2724.35.39Figura 3.4: inacion causa devaluacionSi el industrial vende sus artculos a US$1.03 entonces recibira 1.03X2724.35=$2806.08 aproxima-do a $2807 que es la cantidad necesaria que debe recibir en pesos sin que halla habido necesidadde subir el precio de sus productos en el exterior mas alla de la inacion que se presento en aquelpas, lo cual se puede apreciar en el siguiente cuadro: Lo anterior nos muestra que la devaluacionFigura 3.5: La devaluacion puede ser buena para un expotadorpuedeserbuenaparaelexportadorpuedesermalaparaunimportadorporquelosproductosimportados saldran mas costosos.Cuando en un pas la devaluacion es baja y se preve que va a permanecer as durante un tiempo,el sectorprivadopuedepensarensolicitarprestamosenel exterior, porejemploenEstadosUnidos, y pagarlo en dolares (con el objeto de adquirir materia prima o maquinaria) porque latasa de interes en dolares pueden ser del orden del 12 % y habra que adicionarle la devaluacion,perosiladevaluacionesaltaprobablementeelresultadonalpuedesersuperioralatasadeinteres que le cubren por un prestamo en la moneda de su propio pas.403.6. SISTEMADEVALORCONSTANTEEn algunos pases, debido a la inacion y la devaluacion (puesto que la inacion causa devaluacionyviceversa)el dinerovaperdiendolacapacidaddecompra. Deestemodosedesestimulaelahorro, sefavorecealosdeudores, quienesdevuelvenel dineroconunacapacidaddecomprainferior, los cual hace que los prestamistas presionen la subida del interes como compensacion.A n de evitar estos inconvenientes, al menos en forma parcial, se ha experimentado, en algunospases, el sistemadevalorconstante, queconsisteenreconocerlealosdinerosinvertidosuninteres llamado interes de correccion monetaria. El ndice de correccion monetaria se representaporic ; teoricamente es una tasa de interes a la cual debe colocarse un dinero, de tal forma quelo que hoy pueda hacerse con $X, pueda hacerse con el monto de ese dinero, en un futuro, estoequivale a una tasa de inacion.El UVR es un sistema que trabaja en valor constante, en Colombia.Ejemplo3.21. Supongamos que le indice de correlacion monetaria es del 21 % efectivo anual:1. cual sera el indice diario de correccion monetaria?2. Si se invierten hoy$1.000, cual sera su valor al cabo de 20 das?Solucion3.21. 1. Paracalcularel ndicediariodecorreccionmonetariaharemosusodelconcepto de tasas equivalentes.(1 + 0,21)1= (1 +ic)365de donde ic = 0, 000522384 % efectivo diario.2. El monto en 20 das sera:1,000(1 + 0, 000522384)20= $1,010, 503.7. DEPOSITOATERMINOFIJOLasentidadesnancierastalescomobancosycorporacionesnancieras,conelobjetodecap-tar dinero del p ublico, emiten unos ttulos valores, denominados depositos a termino jo en loscuales se paga un interes al inversionista cuya tasa se denomina tasa de captacion. Los dinerosas recolectados son vueltos aprestar a una tasa mas alta denominada tasa de colocacion, obte-niendo de esta forma utilidades cuya tasa se denomina margen de intermediacion.Como norma general los depositos a termino jo no deben ser emitidos a plazos mayores de una no, debido a la incertidumbre en la tasa de interes pues si la tasa de colocacion llega a bajar, el41margen de intermediacion se reduce y puede llegar a no ser rentable para la entidad nanciera,cuando el deposito a termino jo se constituye a un plazo mayor de un a no es costumbre de lasentidades nancieras pagar una tasa inferior a la vigente en el mercado, o al menos pagar unatasa de captacion que varie de acuerdo a las condiciones del mercado y en este caso se dice quepaga una tasa de captacion atada a la DTF.Paracalcularel valornal aundepositoaterminojoantesdeimpuestosbastaaplicarlaformula de interes compuesto.El deposito a termino jo tambien puede ser efectuado en una moneda extranjera en cuyo casose gana la tasa de interes que estipule el documento mas la devaluacion o menos la revaluacionque se haya presentado durante la vigencia del documento.Ejemplo3.22. Un inversionista residente en un pas cuya moneda es el peso, tiene un capitalde$900.000 y desea hacer una inversion durante 2 a nos en una moneda extranjera (en dolaresdelosEstadosUnidos)quelegarantizaunatasadel 12 %efectivoanual, el cambioactual esdeUS$1 = $2300. Se estima que la tasa de devaluacion de la moneda local frente a la monedaextranjera va a ser del 6 % en el primer a no y del 10 % en el segundo a no, calcular la rentabilidadque producira la inversion.Solucion3.22. Hacemos un cuadro del problema poniendo a un lado la situacion en dolares yen otro lado la situacion pesos.Las condiciones iniciales quedan as:Inversion inicial en pesos $900,000Cambio US$1 = 2300Inversion inicial en dolares 900,000/2300 = US$391, 304Las condiciones nales seran:Monto en dolares al nal de 2 a nos: 391, 304(1 + 0,12)2= US$490, 85Valor de un dolar despues de 2 a nos:42al nal del primer a no 2300x1,06 = 2438al nal del segundo a no 2438x1,1 = 2681, 8si al nal de2a nostieneUS$490, 85queconvertidosenpesosarazonde$2681, 8porcadadolar daran:490, 852681, 8 = $1,316,367, 36.Figura 3.6: situaicon en dolar y en pesosTomando las condiciones iniciales y las condiciones nales del cuadro anterior podemos obtenerlasrentabilidadestantoenpesoscomoendolares,perocomolapersonaresideenel pascuyamoneda es el peso la rentabilidad que le interesa calcular es la que corresponde a pesos debido aque el gasta pesos y gana pesos, entonces su rentabilidad se puede calcular usando la formula deinteres compuesto as :1,316,367, 36 = 900,000(1 +i)22

1,316,667, 36900,000, 00= 1 +i1, 2093926 1 = ientoncesi = 20, 94 % anual efectivo.43Ejemplo3.23. Si un inversionista no quiere desaparecer del mercado nanciero, su tasa indi-vidual de interes debe cubrir la tasa de inacion y una tasa de interes realSolucion3.23. Si la inacion es del 12 % anual y, hoy, se tienen 1.000 dolares, entonces, conunatasadeinteresdel 18 %anual setendran1.180dolares, dentrodeuna no; esdecir, seobtendrauninteresde180d olares,deloscualessolo53,57dolaresconstituyenunagananciareal, ya que los 126,43 dolares restantes contrarrestan el efecto de la inacion, talcomo se puededemostrar despues de estudiar tasas multiples, donde se establesce:1 +imercado = (1 +iinacion )(1 +ireal)imercado = 18 % anualiinacion = 12 % anualLaireales:1 + 0, 18 = (1 + 0, 12)(1 +ireal)ireal = 5, 357 % anualtasa deinteres del mercadoEs un promedio de las tasas de interes individuales. En algunos pases de Latinoamerica la tasade interes vara entre el 1 % y el 2 % mensual. Los gobernantes buscan la disminucion de la tasade interes del mercado, con miras a incrementar la inversion.44Captulo4ANUALIDADESORDINARIASYANTICIPADASUna anualidad es una serie de pagos:Figura 4.1: graca de una anualidad4.1. RentaEsel pagoperiodicodeigual valorquecorrespondealos$Rdel ejemploanterior. Alarentatambien se le conoce como; cuota, deposito, retiro o pago, seg un sea el caso.4.1.1. PeriododeRentaEs el tiempo que transcurre entre dos pagos periodicos consecutivos.4.2. ANUALIDADESUna anualidad es una serie de pagos que cumple con las siguientes condiciones:451. Todos los pagos son de igual valor2. Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo3. A todos los pagos se les aplica la misma tasa de interes4. El n umero de pagos es igual al n umero de perodosPorejemplo,laprimeracondicionesindispensableparapoderfactorizarcomosehizocuandose plantearon las ecuaciones de valor del ejemplo.Lasegundacondicionestablecequelos pagos debenhacerseaiguales intervalos detiempo,estoesnecesarioparaquelosexponentesseanascendentesodescendentestal comoseveenlas ecuaciones del ejemplo anterior. Esta condicion se cumple a un si los pagos son trimestrales,semestrales o anuales, sin embargo a la serie se le sigue denominando anualidad.La tercera condicion establece que todos los pagos deben ser llevados a valor presente o a valornal, seg unesel caso, alamismatasadeinteres. Estonosgarantizaquetodoslosterminosdentrodel parentesisangulartienenlamismabase, porlotanto, laseriequeestadentrodelparentesis angular forma una progresion geometrica.La cuarta condicion establece que el n umero de pagos debe ser igual al n umero de perodos.Portantolaseriequesemuestraenlasiguientegracanorepresentaunaanualidadporquetiene tres pagos y solo hay dos perodos.Figura 4.2: No representa anualidadPara que la graca anterior represente una anualidad bien conformada es necesario agregarla unperodo que bien puede quedar al principio o al nal. En primer caso se tendra:La anualidad as conformada recibe el nombre de Anualidad Ordinaria o Anualidad Vencida queviene a ser aquella en que los pagos se efect uan al nal del perodo por ejemplo el pago de lossueldos de un empleado (primero viene el perodo de trabajo y despues viene el pago)En el segundo caso se tendra:Laanualidadas conformadarecibeel nombredeAnualidadAnticipadaporquelospagosseefect uan al principio del por ejemplo el pago mensual del arriendo de una casa (primero paga ydespues tiene derecho a ocupar la casa durante el mes pago).46Figura 4.3: representacion de una anualidad vencidaFigura 4.4: Representacion de una anualidad anticipadaEl siguiente dibujo representa una anualidad porque hay tres pagos y cuatro perodos.Figura 4.5: No representa anualidadClaramente puede observarse que cuando se inicia el dibujo con pago y se termina con un pago,como ocurre en la graca 4.2, no hay una anualidad bien conformada y cuando el dibujo iniciacon un perodo y termina con un perodo, como en el caso de la graca 4.5, tan poco hay unaanualidad bien conformada. Las gracas 4.3 y 4.4 si representan anualidades bien conformadas ytienen una caracterstica en com un, que su inicio y su n son diferentes, en la graca 2 se iniciacon perodo y se termina con pago y en la graca 3 se inicia con un perodo y se termina con unpago.En conclusion para que una anualidad este bien conformada su inicio y su n deben ser diferentes.Ejemplo4.1. Unapersonacompraunterrenocuyovalor,alcontado,esde$2.000.000.Siledan la facilidad para pagarlo en cuatro cuotas trimestrales de$Rc/u, que se efectuaran al nal47decadatrimestrey,ademasselecargarauninteresdel 40 %CT,hallarel valordelacuotatrimestral de amortizacion.Solucion 4.1. Primero construimos un dibujo que muestre las echas, el valor de la deuda y elvalordelospagos(estotambienseconoceconel nombredeujodecaja).Puestoquelatasatiene efectividad trimestral y los pagos son trimestrales usaremos el trimestre como perodo.Figura 4.6: Ejemplo anualidadSi planteamos la ecuacion de valor poniendo la fecha focal en cero nos quedara la ecuacion as.2,000,000 = R(1 + 0, 1)1+R(1 + 0, 1)2+R(1 + 0, 1)3+R(1 + 0, 1)4FactorizandoR se tendra:2,000,000 = R

(1, 1)1+ (1, 1)2+ (1, 1)3+ (1, 1)4

2,000,000 = R[3, 169865]R = $630,941, 61Si hubiesemos planteado la ecuacion de valor con la echa focal al nal habra quedado as:2,000,000(1, 1)4= R(1, 1)0+R(1, 1)1+R(1, 1)2+R(1, 1)3Factorizando se tiene:2,000,000(1, 1)4= R

(1, 1)0+ (1, 1)1+ (1, 1)2+ (1, 1)3

2,928,200 = R[44, 641]R = $630,941, 6148Se observa a primera vista que la ecuacion tiene una presentacion muy distinta pero el resultadonal es el mismo.El problema no presento dicultad para resolverlo; pero, si el n umero de pagos hubiese aumentadoconsiderablemente, lasolucionnohubiesesidotansencilla, comoel casodepagarunadeudamediantepagosmensuales,durante20a nos.Lasoluciondeesteproblemaadadoorigenaunmodelo matematico llamado anualidad.4.2.1. PlazodeunaanualidadEl tiempoquetranscurreentreel iniciodel primer perodoyel nal del ultimoperodosedenomina el plazo de una anualidad y se representa porn.Una anualidad tiene dos valores el valor nal y el valor presente en el primer caso, todos los pagosson trasladados al nal de la anualidad y en el segundo caso todos los pagos son trasladados alprincipio de la anualidad.4.2.2. ValorFinal(V F)o(V S)Hagamos los calculos para hallar el valor nal de una anualidad ordinaria. El valor nal puedeser representado de dos maneras:La primera usando la notacion tradicional:(F/A, n, i %)dondeSsignica valor nal, A signica que se trata de una anualidad, n indica el n umero depagos de la anualidad y lai % signica la tasa a la cual todos los pagos son trasladados al valornal.La segunda forma de representacion es con la notacion actuarial:Sn|i =(1 +i)n1idonde lan (cantidad que se escribe dentro del angulo) indica el n umero de pagos y lai indicala tasa a la cual seran llevados todos los pagos a valor nal.Debido a que la notacion actuarial es mas condensada se utilizara esta forma.Ahora procedamos a calcular el valor nal de una anualidad. No se pierde generalidad si suponemosque la renta es de $1, pues como se puede apreciar ( factoricemosR).2,000,000 = R

(1, 1)1+ (1, 1)2+ (1, 1)3+ (1, 1)4

49Lo que esta dentro del parentesis angular es el valor presente de $1 en un perodo, seguido delvalor presente de $1 en 2 perodos y as sucesivamente hasta llegar al valor presente en 4 perodos.En forma general se tendra:Para plantear la ecuacion del valor con fecha focal en n trasladamos cada uno de los pagos de $1a valor nal usando la ecuacion del interes compuesto a cada pago, pero en cada paso . El pagoque esta en 1 se traslada porn 1 perodos, el que esta en 2 se traslada porn 2 perodos yas sucesivamente hasta llegar al pago que esta enn el cual no se traslada por estar en la fechafocal entonces:Sn|i = 1 + (1 +i) + (1 +i)2+... + (1 +i)n1[1]Si la ecuacion [1] la multiplicamos por (1 +i) obtenemos la ecuacion [2] entonces:Sn|i(1 +i) = (1 +i) + (1 +i)2+... + (1 +i)n[2]Sustrayendo la ecuacion [1] de la ecuacion [2], tenemos la ecuacion [3]:Sn|i(1 +i) = (1 +i) + (1 +i)2+... + (1 +i)n[2]Sn|i = 1 + (1 +i) + (1 +i)2+... + (1 +i)n1[1]Sn|i(1 +i) Sn|i = (1 +i)n1 [3]factorizandoSn|i se tiene la ecucion [4]Sn|i(i) = (1 +i)n1nalmente despejandoSn|i se tiene la ecuacion [5](S/A, n, i %) = Sn|i =(1 +i)n1i504.2.3. ValorPresente(V P)El caso del valor presente lo representamos por an|i en la notacion actuarial y por (P/A, n, i %)en la notacion tradicional y signicara el valor presente de una anualidad de n pagos puesto envalor presente a la tasai %.La formula se obtiene al plantear la ecuacion de valor con fecha focal al principio y trasladandotodos los pagos a valor presente a la tasai (nuevamente, no se pierde generalidad si se suponeque todos los pagos son de $1)(P/A, n, i %) = an|i = (1 +i)1+ (1 +i)2+... + (1 +i)nPara simplicar esta ecuacion podra seguirse un procedimiento similar al, realizado para el valornal; sin embargo el camino mas corto consiste en actualizar el valor nalan|i = Sn|i(1 +i)nSi reemplazamosSn|i por su equivalente(1+i)n1i, se tiene:an|i =(1 +i)n1i(1 +i)n=1 (1 +i)nide donde se concluye que(P/A, n, i %) = an|i =1 (1 +i)ni51Las formulas anteriores fueron deducidad para una renta de $1 pero si la renta hubiese sido de$R,elvalornal V SoelvalorpresenteV PhubiesesidoRvecesmayor.Portantopodemosescribir:V S = RSn|i = R

(1 +i)n1i

y tambienV P= Ran|i) = R

1 (1 +i)ni

Ejemplo4.2. Undocumentoestipulapagostrimestralesde$80.000, durante6a nos. Si estedocumento se cancela con un solo pago de:(a)1. $A al principio o2. Sal nal, con una tasa del 32 %CT.Solucion4.2. El n umero de pagos esn = 46 = 24, R = $80,000i =324= 8 % efectivo trimestralV P= A = R

1 (1 +i)ni

= Ran|iV F= S = R

(1 +i)n1i

= RSn|iA = 80,0001(1+0,08)240,08= $842,301S = 80,000(1+0,08)2410,08= $5,341,18152Ejemplo 4.3. Una persona empieza el da 1 de julio de 1986 a hacer depositos de$1.000 men-sualmente el da primero de cada mes. Estos depositos son efectuados en una entidad nancieraque le paga el 24 % CM; pero, a partir del 1 de octubre de 1987, decidio que de ah en adelante,susdepositosserande$2.500.El ultimodepositolohizoel primerodeagostode1989.Sielprimero de diciembre de 1989 decide cancelar la cuenta. Cual sera el monto a sus ahorros?.Solucion 4.3.Observemos que hay 2 anualidades: la de renta de $1.000 y la de renta de $2.500.Laprimeraanualidadempiezael 1-6-86(primerodejuniode1986)yterminael 1-9-87ylasegundaanualidadempiezael 1-9-87yterminael 1-8-89.deestaformalaprimeraanualidadtendra15perodosysuvalornal debesertrasladadopor27perodosparallevarloalafechafocal (desde el 1-9-87 hasta el 1-12-89). l asegunda anualidad tendra 23 perodos y su valor nallo debemos trasladar por 4 perodos y as la ecuacion de valor sera:V S = R

(1+i)n1i

= RSn|i531,000

(1+0,02)1510,02

(1 + 0, 02)27+ 2,500

(1+0,02)2310,02

(1 + 0, 02)4= X1,000S15|2 %(1, 02)27+ 2,500S23|2 %(1, 02)4= Xde donde se obtiene que: X = $107,574, 69Ejemplo 4.4.Una deuda de$50.000 se va a cancelar mediante 12 pagos uniformes de$R. Conuna tasa de 2 % efectivo para el perodo, hallar, el valor de la cuota R situado:a. la fecha focal el da de hoyb. poniendo la fecha focal en 12 mesesSolucion 4.4. En este caso se usaan|i porque todo el ujo de caja debe ser puesto al principioque es donde esta la fecha focal y la ecuacion de valor quedara as:54V P= R

1(1i)ni

= Ran|i50,000 = R

1(10,02)120,02

50,000 = Ra12|2 % de dondeR = $4,727, 98En este caso puede usarseSn|i porque todo el ujo de caja debe ser puesto en el punto 12 quees donde esta la fecha focal , pero la deuda de los$50.000 sigue en 0 lo cual implica que deberaser trasladada a valor nal junto con todos pagos, entonces la ecuacion quedara as:50,000(1 + 0, 02)12= R

(1+0,02)1210,02

50,000(1, 02)12= RS12|2 %y vuelve a darR = $4,727, 984.2.4. AnualidadesAnticipadasComo ya se dijo una anualidad anticipada es aquella en que los pagos se hacen al principio delperodo. El valor presente y el valor nal se representaran respectivamente por: an|i = (P/ A, n, i %) ySn|i = (F/ A, n, i %)Los dos puntos o dieresis indican que es anticipado.55Existen relaciones entre las anualidades ordinarias y las anualidades anticipadas, las cuales po-dran ser deducidas del analisis de las siguientes gracas:a. Para facilitar el planteamiento de la ecuacion de valor comenzamos con el pago que esta en n,siguiendo con el que esta en n1 y as sucesivamente hasta llegar al pago situado en 1, entoncespara valor nal con anualidad ordinaria la ecuacion de valor quedara as:Sn|i = 1 + (1 +i) + (1 +i)2+... + (1 +i)nPara anualidad anticipada en valor nal, la graca de ujo de caja quedara as:Observese que en este caso hemos usado una doble numeracion la que esta encima de la lnea detiempo indica el n umero del pago, mientras que la que se encuentra debajo de la lnea de tiempo56se nala los perodos y as en el perodo 0 que es el comienzo del primer perodo se esta haciendoel pago n umero 1, en perodo uno que es el nal del primer perodo pero a su vez es comienzodel segundo perodo y por eso se realiza el segundo pago y as sucesivamentehasta que lleguemosal punton 1 pero tambien es el comienzo del perodon y por tanto ah debe estar el pagon ysu ecuacion de valor sera:Sn|i = (1 +i)1+ (1 +i)2+... + (1 +i)n1+ (1 +i)nLa diferencia entre las dos anualidades estriba en que la serie de la anualidad ordinaria empiezacon1con(1 + i)n1, encambio, laseriedelaanualidadanticipadacomienzacon(1 + i)ytemina con (1 +i)n. Si a la serie anticipada se le agrega un 1 y se le resta al nal y, si ademas,le introducimos el parentesis angular, el resultado no se altera.Sn|i = 1 + (1 +i) + (1 +i)2+ (1 +i)3... + (1 +i)n1

+ (1 +i)n1Observese que la parte que esta dentro del parentesis es igual a la serie ordinaria, por tanto, sepuede decir que:Sn|i = Sn|i + (1 +i)n1Si se reemplazaSn|i por su equivalente(1+i)n1ise tendra:Sn|i =(1 +i)n1i+ (1 +i)n1reduciendo a un com un denominador el miembro de la derecha se tendra:Sn|i =(1 +i)n1i+i(1 +i)n1isi se factoriza(1+i)n1ise tendra:Sn|i =(1+i)n1i(1 +i) pero como(1+i)n1i= Sn|ientonces se tieneSn|i = Sn|i(1 +i)que es equivalente a(F/ A, n, i %) = (F/A, n, i %)(1 +i)57Ejemplo 4.5.Una persona arrienda una casa em$50.000 pagaderos por mes anticipado, si tanpronto como recibe cada arriendo, lo invierte en un fondo que le paga el 2 % efectivo mensual .Cual sera el monto de sus ahorros al nal de un a no?Solucion4.5. Observesequedetodosmodoshay12 perodosy12pagos. El valornal deesta anualiad esta en el punto 12 (porque si comienza con pago debe terminar con perodo) y laecuacion sera:X = 50,000S12|2 % = 50,000S12|2 %(1, 02) = $684,016, 584.2.5. AnualidadordinariaenvalorpresenteLa ecuacion de valor se comienza a plantear con el pago que esta en 1 terminando con el pagoque esta enn.(P/A, n, i %) = an|i = (1 +i)1+ (1 +i)2+ (1 +i)3+... + (1 +i)(n1)+ (1 +i)n4.2.6. AnualidadanticipadaenvalorpresenteLa diferencia entre las dos series estriba en que la ordinaria empieza con 1 y termina con (1+i)ny la anticipada comienza con 1 termina con(1 +i)(n1)58.luego la correspondiente ecuacion de valor es:(P/ A, n, i %) = an|i = 1 + (1 +i)1+ (1 +i)2+ (1 +i)3+... + (1 +i)(n1)Si a la serie de la anualidad anticipada se le agrega (1 +i)ny le restamos esa misma cantidady ademas le introducimos un parentesis angular, el resultado no se altera entonces: an|i = 1 +

(1 +i)1+ (1 +i)2+ (1 +i)3+... + (1 +i)(n1)+ (1 +i)n

(1 +i)nahora se puede observar que la serie que esta dentro del parentesis angular corresponde a la serieordinaria, por tanto podemos decir que: an|i = 1 +an|i (1 +i)n59si los ultimos terminos de la ecuacion anterior se encierran en un parentesis angular y se multi-plican y dividiendo pori, no se altera la igualdad, por tanto se tiene: an|i = an|i +i [1 (1 +i)n]i= an|i +ian|ifactorizandoan|i se tiene la formul nal an|i = an|i(1 +i)Ejemplo4.6. El contratodearriendodeunacasaestipulapagosmensualesde$40.000, alprincipiodecadames, duranteuna no. Si suponemosuninteresdel 30 %CM. Cual seraelvalor del pago unico que, hecho al principio del contrato, lo cancelara en su totalidad?Solucion4.6. i =30 %12= 2, 5 %X = R

1(1+0,025)120,025

(1 + 0, 025); dondeR = 40,000X = 40,000 a12|2, 5 % = 40,000a12|2, 5 %(1 + 0, 025)X = $420,568, 35604.3. AMORTIZACIONLa amortizacion consiste en pagar una deuda, mediante una serie de pagos; el comportamientode la deuda y los intereses se pueden mostrar en una tabla denominada tabla de amortizacion.Unatabladeamortizaciondebetenercomomnimo, cincocolumnas: laprimeramuestraeln umero del perodo, la segunda nos muestra el saldo de la deuda, es decir, el capital insoluto amedida que van pasando los perodos , la tercera nos muestra los intereses que se van causandoperodoaperodo, lacuartocolumnanosmuestralacuotaocantidadquesepagaencadaperodo y la quinta columna nos muestra la porciomn de la cuota que se usa para disminuir ladeuda, es decir, la cantidad que se amortiza, tambien se le denomina abono a capital.Ejemplo 4.7. Un prestamo de $ 4.000 se va a amortizar por medio de 8 pagos mensuales iguales.Hallar el valor del pago mensual si la tasa de interes es del 34 % capitalizable mensualmente, yelaborar una tabla de amortizacion.Solucion4.7. an|i = 1 (1+i)ni; P= Ran|i luego R =Pan|iV P= R

1 (1 i)ni

ReemplazamosV P= 4,000R =4,0001(1+0,3412)80,3412= 565, 83Se necesitan 8 pagos mensuales de $ 565,83 cada uno con el n de amortizar la deuda de $ 4.000.R Ri R Ri P (R Ri)Perodo Abono Interes Amortizacion Saldo insolutoP= 4,0001 565,83 113,33 452,50 3.547,502 565,83 100,51 465,32 3.082,193 565,83 87,33 478,50 2.603,684 565,83 73,77 492,06 2.111,635 565,83 59,83 506,00 1.605,626 565,83 45,49 520,34 1.085,297 565,83 30,75 535,08 550,218 565,83 15,59 550,21 0,004526,64 526,61 4.000Donde Abono=R, Interes=Ri, Amortizacion=R Ri y Saldo insoluto=P (R Ri).61Comentarios en relacion a la construccion de la tabla :1. Los intereses se calcularon multiplicando el saldo insoluto por la tasa por periodo .I = (1)(0, 34/12)(4, 000) = $113, 33I = (1)(0, 34/12)(3, 547,70) = $100, 51I = (1)(0, 34/12)(3, 082,59) = $87, 332. La amortizacion al capital se calculo restando el interes al abono.Amortizacion n del periodo 1 = 585,63 - 113,33 =$ 452,30Amortizacion n del periodo 2 = 585,63 - 100,52 =$ 465,11Amortizacion n del periodo 3 = 585,63 - 87,34 =$ 478,293. El saldo insoluto se puede calcular como sigue :V P= 565, 831(1+0,3412)40,3412

= 2,111, 64Periodo 4V P= 565, 831(1+0,3412)30,3412

= 1,605, 62Periodo 5V P= 565, 831(1+0,3412)20,3412

= 1,085, 31Periodo 6Cada una de las cantidades del saldo insoluto representa el valor actual de los pagos mensualespor realizar.4.4. CAPITALIZACIONLapalabracapitalizaciontieneotrossignicadosanes,enestecasoporcapitalizacionenten-deremos el reunir un capital mediante depositos periodicos.Una tabla de capitalizacion nos muestra , perodo a perodo, la forma como se va reuniendo uncapital,suconformacionessimilaraladeamortizacionybasicamentedebetener5columnas62que en su orden las denominaremos: perodo, capital reunido o monto, intereses, deposito o cuotay la ultima columna que se denomina capitalizacion o incremento por perodo.Ejemplo 4.8. Antonio compra de una casa valuada en$ 230.000 y paga$ 15.000 de enganche.Antonio obtiene un prestamo hipotecario a 20 a nos por el saldo. Si se cobra un interes del 29 %capitalizable cada mes,cual sera el valor del pago mensual? Elaborese una tabla de amortizacionpara los primeros 10 meses.Solucion4.8. R = 230,00 15,000 = 215,000V P= R

1 (1 i)ni

V P= 215,000

1

1 +0,2912

2400,2912 = $5,212, 74Perodo Abono Interes Amortizacion Saldo Insoluto215.0001 5.212,74 5.195,83 16,91 214.983,092 5.212,74 5.195,42 17,32 214.965,783 5.212,74 5.195,01 17,73 214.948,044 5.212,74 5.194,58 18,16 214.929,885 5.212,74 5.194,14 18,60 214.911,286 5.212,74 5.193,69 19,05 214.892,237 5.212,74 5.193,23 19,51 214.872,728 5.212,74 5.192,76 19,98 214.852,749 5.212,74 5.192,27 20,47 214.832,2710 5.212,74 5.191,78 20,96 214.811,31Ejemplo4.9. Elaboraruna tablaparacapitalizarla sumade$300.000en 15meses,haciendodepositos trimestrales iguales en un fondo que paga el 32 % CT.Solucion4.9. Elaboremoslagraca,colocandoelcapitalquesedeseareuniralnal.Entodacapitalizacion para que la ecuacion de valor resulte lo mas sencilla posible, es aconsejable colocarla fecha focal al nalAhora se plantea la ecuacion de valor y se calcula la cuota.63300,000 = RS5|8 % de donde se obtiene que R = $51,136, 94En este caso no tiene objeto que empecemos la tabla con el perodo cero, porque seg un la graca,nohayningunacantidadenceroytampocohayintereses,asque comenzaremoslatablaenelperodo 1.Perodo Acumulado Intereses Deposito Incremento1 51.136,94 0,00 51.136,94 51.136,942 106.364,84 4.090,96 51.136,94 55.227,903 166.010,97 8.509,19 51.136,94 59.646,134 230.428,79 13.280,88 51.136,94 64.417,825 300.000,00 18.434,27 51.136,94 69.571,21El analisisdelascantidadescorrespondientesalosperodos1y2esel siguiente: al nal delprimer perodo se hace un deposito de$51.136,94. Intereses no hay puesto que estos se calculansobre el capital acumulado al nal del perodo inmediatamente anterior y en ese momento es cero.El incremento es la variacion total que sufre el fondo, por concepto de intereses mas deposito ycomodijimosqueenel primerperodonohabainteresesentoncesel incrementoseraigual aldeposito o sea$51.1396,94. Para el segundo perodo calculamos los intereses aplicando la tasa alcapital acumulado en el perodo anterior esto es: 0,08 51.136,94=$4.090,96, el incremento esigual a intereses mas deposito, esto es: 4.090,96+51.136,94=$55.227,90. El acumulado es igualal acumuladoanteriormasel incrementoestoes:51.136,94+55.227,90=$106.364,84.El restode la tabla continua en forma similar.64Captulo5ANUALIDADESDIFERIDAS,PERPETUASYGENERALESLasanualidadesvistasencapituloanterioreraninmediatasporqueconel primerpagoseen-contrabaelprimerperodo,peropuedeserqueelprimerpagoseencuentredespuesdehaberpasadociertacantidaddeperodos, enestecasosedenominaanualidaddiferida, tal comosepuede apreciar en el ejemplo:Ejemplo 5.1. Un industrial vende toda su produccion y si pudiera producir mas vendera mas,por tal motivo le ha solicitado al banco de donde el es cliente que le preste$8.000.000 para sercanceladoen20pagostrimestralesde$Rc/u,perotambiensolicitaquelepermitanefectuarelprimerpagoexactamenteal a nodequeseleconcedael prestamo, estasolicitudlahacede-bido a que con el dinero del prestamo va a comprar en el exterior la maquinaria necesaria parahacerlasampliacionesensufabricalocual requieredel tiemponecesarioparalaimportacion,nacionalizacion, transporte, perodo de montaje y pruebas hasta dejarla a punto para la produc-cion. Calcular $R con una tasa del 36 % CT.Solucion5.1. Observequeel primerpagoestaenel perodo4, quecorrespondeal nal delprimera no. Laanualidaddebecomenzarenel punto3 yterminarenel punto23, ademassuvalorpresentedeberatrasladarseal punto0dondehemospuestolafechafocal. (ladoblenumeracionnosiempreesnecesaria, sehapuestopardarmayorclaridadenel ejemplo)Laecuacion de valor sera:V P= R

1(1+0,09)200,09

(1 + 0, 09)365Figura 5.1: Diagrama anualidad diferida8,000,000 = R1(1,09)200,09(1, 09)3de dondeR = $1,134,926, 905.1. Anualidadesperpetuasunaanualidadquetieneinniton umerodepagos,sedenominaanualidadinnitaoperpetua,enrealidad, lasanualidadesinnitasnoexisten, porqueenestemundotodotienen, pero,supondremos que una anualidad es innita cuando el n umero de pagos es muy grande o cuandono se sabe cuantos pagos son, pero se sospecha que son muchos.Estetipodeanualidadessepresenta,cuandosecolocauncapitaly unicamenteseretiranlosintereses.Al deducir la formula de una anualidad innita debe tenerse en cuenta que solo existe el valorpresente, porque el valor nal de una anualidad innita sera innito.V P= lmn R1(1+i)ni= lmn R10i=RiV P=RiEjemplo 5.2. Hallar el valor presente de una renta perpetua de$10.000 mensuales, suponientointeres del 33$ CM.Solucion5.2. V P=Ri=10,0000,0275= $363,636, 36665.2. AnualidadesgeneralesLas anualidades vistas hasta el momentos son aquellas en que el perodo de interes coincide conel perododepago. Todasellassedenominananualidadessimples. Porejemplo: unaseriedepagosmensualesconunatasaefectivamensualesunaanualidadsimple,tambienloseraunaserie de pagos trimestrales con una tasa efectiva trimestral, pero el caso de una anualidad generales cuando el perodo de pago no coincide con el perodo de interes, por ejemplo: si tenemos unaserie de pagos mensuales con una tasa efectiva anual o una serie de pagos trimestrales con unatasa efectiva trimestral.Una anualidad general puede ser reducida a una anualidad simple, si hacemos que los perodosde tiempo y los perodos de intereses coincidan, hay dos formas como podemos realizarlo:La primera forma consiste en calcular pagos equivalentes que deben hacerse en concordancia conlos perodos de interes. Dicho en otras palabras, consiste en encontrar el valor de los pagos que,hechos al nal de cada perodo de interes, sean equivalentes al pago unico que se hace al nal deun perodo de pago.La segunta forma consiste en modicar la tasa, haciendo uso del concepto de tasas equivalentes,para hacer que coincidan los perodos de interes y de pago.Ejemplo5.3. Hallarel montoSde30pagostrimestralesde$25.000suponiendounatasade24 % CM .Solucion5.3. La situacion planteada en el problema es:Figura 5.2: Diagrama anualidad general67Paraponeraplicarel simboloSn|itienequehabercoincidenciaentreel perododepagoyelperododeinteresyparallegaraestacoincidenciacambiaremoslospagosdetrimestralesamensuales,entoncesunpagode$25.000deberaserreempladoportrespagosmensualesde $Xque se calcularan as:como el valor nal de las gracas debe ser igual, entonces:25,000(1+1,02)310,02= Xde donde se obtiene que : X = $8,168, 87Estosignicaque cadpagode $25.000podraser reemplazadopor tres pagos mensuales de$8.168,87deestamaneraresultaran90pagos ylalneadetiempoquehemos dibujadoini-cialmente podra ser reemplazada por:S = 8,168, 87(1,02)9010,02= $2,018,990Ejemplo5.4. Resolvamos el ejercicio anterior modicando la tasa.Solucion5.4. Buscamos una tasa efectiva trimestral equivalente al 24 % CM.(1 + 0, 02)12= (1 +i)4i = 6, 1208 %efectivo trimestral68entonces:S = 25,000(1,061208)3010,061208= $2,018,99069Captulo6GRADIENTESDebido a la inacion se observa que casi todos los renglones de la economa van aumentando deprecios, por esta razon es necesario elaborar modelos matematicos que ajustandose a los ndicesde inacion puedan compensar los efectos erosionantes en el dinero, a traves del tiempo, entrelos modelos matematicos que puedan suplir esta necesidad estan los gradientes.Un gradiente es una serie de pagos que cumple con las siguientes condiciones:1. Todos los pagos cumplen con una ley de formacion.2. Los pagos se efect uan a iguales intervalos de tiempos.3. Todos los pagos se trasladan al principio o al nal a la misma tasa de interes.4. El n umero de pagos es igual n umero de periodos.La ley de formacion de la que habla la primera condicion, puede ser de varias clases, sin embargo,las mas utilizadas son: la que corresponde al gradiente lineal o aritmetico y la que correspondeal gradiente geometrico.Lasanualidades, vienenaseruncasoparticulardelosgradientes, enel cual, el crecimientoescero, loquehacequetodoslospagosseandeigual valor, portal motivoel manejodelosgradientes es similar al de las anualidades.Las otras leyes son las mismas de las anualidades.6.1. GradientearitmeticoEn el gradiente aritmetico cada pago es igual al anterior, mas una constante L; si esta constantees positiva, el gradiente sera creciente; si la constante es negativa el gradiente sera decreciente,siL = 0 todos los pagos son iguales y la serie se convierte en una anualidad.70Como en un gradiente todos los pagos son de diferente valor, sera necesario distinguir un pagodeotroyporestoal primerpagolorepresentaremospor R1; el segundopagopor R2 yassucesivamente, el ultimo pago los representaremos porRnDe acuerdo a la denicion de gradiente lineal se tendra:R2 = R1 +LR3 = R2 +L = R1 + 2LR4 = R3 +L = R1 + 3LRn = Rn1 +L = R1 + (n 1)LDe lo anterior se deduce que la formula del ultimo termino sera:Rn = R1 + (n 1)LEjemplo6.1. Hacerlagracadelgradientearitmeticode6pagosconprimeracuotade$100y a) crecimiento de$25 y b) decrecimiento en$25Solucion6.1.Figura 6.1: Diagrama gradiente aritmetico de 6 pagosObserveseenlagurab)que,enel periodo5,el pagoesceroyque,enel periodo6,el valordel pago viene a ser -$25, lo cual se representa colocandolo como positivo pero al otro lado de lalnea de tiempo.716.1.1. FormuladelvalorpresentedeungradientearitmeticoEn igual forma como se hizo con las anualidades, planteamos la ecuacion de valor, trasladandocada uno de los p