ELEMENTO FINITO

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ELEMENTO FINITO

CESAR ORLANDO CALERO RUBIO 2070673

KAREN VANNESSA PÉREZ CABALLERO 2070686

GRUPO D1

DOCENTE

LUIS ENRIQUE FUENTES

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER

ESCUELA DE INGENIERÍA QUÍMICA

BUCARAMANGA

2010

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ELEMENTO FINITO

Uno de los grandes problemas como ingenieros es cuando se presentan fenómenos físicos que tienen

una ecuación diferencial característica del fenómeno pero se encuentra descrito en derivadas parciales.

Existen varios métodos analíticos para solucionar este tipo de ecuaciones diferenciales, pero en la

mayoría de los casos no es posible resolverlos por ese método y nos toca recurrir a métodos menos

precisos pero que nos pueden llevar a un valor que sea útil al momento de evaluar el fenómeno.

El método del Elemento Finito se basa en dividir la zona, superficie, volumen, etc.; que se desea conocer

su comportamiento el cual esta descrito por una ecuación diferencial parcial, en elementos finitos. La

idea principal de este método es suponer una función solución entre dos o más puntos de la

discretización (conocidos como nodos), de esta forma se pasa a hallar una “ecuación interpolante” para

conocer las soluciones en cualquier punto de la zona que se resuelve.

1. El primer paso consiste en dividir el dominio en elementos finitos. Los puntos de intersección

entre líneas de los elementos se conocen como nodos y las líneas o planos que los unen se

conocen como líneas nodales o planos nodales respectivamente.

2. Se debe escoger una función de aproximación. Como son fáciles de manipular y de calcular sus

coeficientes se suele utilizar polinomios para suponer la función solución, donde el grado de

precisión de los valores obtenidos dependerá del grado del polinomio que se piensa utilizar, pero

al mismo tiempo, aumenta la complejidad matemática del método.

3. Una vez se haya escogido la función de aproximación, se debe obtener la ecuación que rige el

comportamiento del elemento, aunque esta en realidad no es más que una aproximación o

ajuste a la solución real de la ecuación diferencial. Existen varios métodos para este propósito,

de los cuales los más comunes son, el método directo (que es posible usar cuando se conocen

comportamientos físicos de los elementos, pero no siempre se cuenta con esta información), el

método de los residuos ponderados y el método variacional (este último no lo explicaremos, pero

los resultados de estos dos últimos métodos nos llevan a ecuaciones de elementos similares).

Matemáticamente, las ecuaciones del elemento resultante generalmente consisten en un

sistema de ecuaciones lineales que se pueden expresar en forma matricial:

, -* + * +

Donde , - es una propiedad del elemento o matriz de rigidez, * + es el vector de incógnitas en los

nodos y * + es el vector determinado por el efecto de cualquier efecto externo aplicado en los

nodos. No necesariamente el sistema debe ser de ecuaciones lineales, pero por practicidad se

manejan este tipo de ecuaciones pues son más fáciles de solucionar.

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4. Una vez se hayan obtenido las ecuaciones individuales de cada elemento, estas se deben unir o

“ensamblar” para poder caracterizar el comportamiento de todo el sistema, para esto, se

considera que los valores en cada nodo es continuo, es decir, si un nodo pertenece a varios

elementos, el valor del nodo deberá ser el mismo para cada elemento, de esta forma se

considera la continuidad en todo el sistema.

Cuando finalmente se han ensamblado los comportamientos de cada uno de los elementos, el

sistema completo se expresa en forma de matriz:

, -* + * +

Donde , -es la matriz propiedad de ensamble y * + y * + son los vectores de las incógnitas y

efectos externos, marcadas con un apóstrofo (‘) para denotar que son ensambles de los vectores

* + y * + de los elementos individuales.

El término “ensamble” se refiere a unir todas las matrices de los elementos individuales, por lo

tanto es unificar todas la matrices en una sola, lo que es un proceso netamente algebraico.

5. Para poder obtener una solución particular, se debe incluir los valores en las fronteras, ya sean

valores puntuales o funciones, por lo tanto el sistema de ecuaciones se debe alterar para que

estos valores sean incluidos, dando como resultado:

[ ]* + * +

Donde la barra superior indica que los valores en las fronteras ya se han introducido en el

sistema.

6. Para solucionar el sistema de ecuaciones (obtenido al ensamblar las ecuaciones individuales de

cada elemento) existen varios métodos que ya se han estudiado con anterioridad (en otro nivel

académico), como el método de Gauss-Seidel o por medio de la inversa de la matriz si es un

sistema lineal, o métodos como el de Broyden o Newton si no son lineales.

Ejemplo:

Consideremos un problema unidimensional de la forma:

( )

Lo primero es dividir la zona donde la ecuación diferencial se aplica, por lo tanto, si

consideramos que es una lámina, donde solo nos interesa el efecto en x, se divide dejando

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igualmente espaciado la distancia entre un x anterior y un x siguiente (para facilitar los cálculos).

Una vez tengamos discretizado el dominio, pasamos a definir la ecuación aproximación, en este

caso usaremos una ecuación lineal por facilidad de cálculos:

( )

Por lo tanto, si consideramos los valores en las fronteras del elemento:

De donde ( ) y ( ). De estas ecuaciones se puede obtener que:

Si sustituimos estas dos constantes en la función aproximación, quedaría de la forma:

( )

(

)

Si agrupamos términos, podemos expresar la ecuación anterior de la forma:

Donde:

La ecuación de se conoce como una función de aproximación, y y se denominan

funciones interpolantes.

Como más adelante vamos a necesitar algunas definiciones. La derivada de se puede definir de

la siguiente forma:

( )

( )

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Entonces quedaría:

( )

Como podemos ver, esta derivada no es más que una diferencia dividida, esto se debe a que

nuestro polinomio era de primer grado.

La integral la hallamos de la misma forma:

∫ ( )

( ) ∫

( )

Entonces nos quedaría:

( )

( )

Donde, si se analiza bien, es simplemente la regla del trapecio, esto también se debe a que la

función entre y es lineal.

Ahora debemos obtener la ecuación del elemento, como el Método Directo depende de algún

conocimiento extra del fenómeno (como ecuaciones teóricas o experimentales, o relaciones

semi-empiricas) lo dejaremos para el final y nos dedicaremos al Método de los Residuos

Ponderados.

Método de los Residuos Ponderados:

( )

Como lo que deseamos hallar es ( ), comenzamos con nuestra función aproximación, pero

como sólo es una aproximación, debemos incluir el “residuo” que lo podríamos definir como la

diferencia del valor real menos el aproximado, por lo tanto, al reemplazar en la ecuación

diferencial inicial, obtendríamos:

( )

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Donde la viñeta superior determina que es la función aproximación y es el residuo para poder

crear la igualdad.

El Método de los Residuos Ponderados consiste en encontrar un valor mínimo para el residuo de

acuerdo a la fórmula:

Donde dominio de la solución y funciones de ponderación linealmente independientes.

Se tienen múltiples opciones para escoger la función de ponderación, pero nos limitaremos al

método más común el cual consiste que para cada elemento finito, sus funciones de

ponderación son . Cuando estas se sustituyen en la ecuación anterior, el resultado se conoce

como el método de Galerkin:

Para nuestro ejemplo, la ecuación anterior al reemplazar y respectivamente, nos quedaría:

∫ [

( )]

Por lo tanto, también podemos escribirla de la siguiente forma:

( )

∫ ( ) ( )

Ahora aplicaremos algunos métodos matemáticos para poder hallar nuestras ecuaciones del

elemento. Primero resolveremos el término de la izquierda partiendo de la regla de la cadena

que se define:

Si escogemos ( ) como , y .

/ como , se obtiene:

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∫ ( )

Si nos podemos dar cuenta, el grado de la ecuación diferencial cayó de 2 a 1, por lo tanto ahora

será más fácil trabajarla (recordemos que ya conocemos los valores de las integrales y derivadas

para la función aproximación). A continuación evaluaremos las condiciones límites:

Para :

( )

( ) ( )

( )

( )

Como ya conocemos ( ), al evaluarlo en y , obtenemos que ( ) y ( ) ,

por lo tanto, la ecuación anterior nos queda de la forma:

( )

( )

De manera análoga para i=2, obtenemos:

( )

( )

Ahora reuniremos todo en nuestra ecuación inicial que obtuvimos de la ponderación y

reemplazaremos lo que hasta el momento llevamos, por lo tanto, nos quedaría:

Para :

( )

∫ ( ) ( )

Para :

( )

∫ ( ) ( )

Reagrupando:

Para :

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( )

∫ ( ) ( )

Para :

( )

∫ ( ) ( )

Como podemos ver, el segundo término de la derecha está relacionado con los efectos externos

(llamados así porque no se ven afectados por el comportamiento de la variable dependiente), el

primer termino de la derecha es una condición de frontera del elemento, y el termino de la

izquierda podemos solucionarlo fácilmente, para esto partimos de las derivadas que obtuvimos

anteriormente, por lo tanto:

Para :

( )

Para :

( )

Si reemplazamos, obtenemos dos ecuaciones:

( ) ( )

∫ ( ) ( )

( ) ( )

∫ ( ) ( )

Las cuales podemos representar matricialmente de la forma:

0

1 2

3 {

( )

( )

}

{

∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( )

}

Donde, los términos de la izquierda lo llamamos anteriormente matriz de rigidez del elemento, el

primer termino de la derecha son las condiciones de frontera del elemento y el segundo termino

de la derecha son los efectos externos.

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De esta forma se pudo obtener la ecuación del elemento, aunque los pasos para llegar a ella

fueron algo complicados, en realidad es un método demasiado sencillo y la forma de aplicarlo es

siempre la misma.

Después de obtener la matriz de rigidez de cada elemento (haciendo el mismo tratamiento a los

demás elementos, aunque de manera análoga se pueden obtener sin necesidad de volver a

realizar todos los pasos matemáticos que se realizaron), se ensamblan en una sola matriz (una

forma sería sumando todas las matrices) y considerando que los valores de y ( ) al igual

que sus derivadas son continuas.

Método Directo

Para poder utilizar este método, debemos tener información extra. En este caso consideremos

que y ( ) , por lo tanto nuestra ecuación diferencial sería de la forma:

El considerar el fenómeno que ocurre, podemos utilizar la Ley de Fourier, la cual nos define:

Donde es el flujo de calor por unidad de área y es el coeficiente de conductividad térmica. Si

aplicamos nuestra función aproximación nos queda para cada uno de los nodos del elemento:

También sabemos que:

( )

( )

Por lo tanto, si reemplazamos en cada ecuación, obtenemos dos ecuaciones de la forma:

( ) ( )

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( ) ( )

Si lo reorganizamos en forma matricial, la ecuación del elemento por este método sería

0

1 {

} {

( )

( )

}

Como podemos ver, al lado izquierdo de la ecuación tenemos la matriz rigidez del elemento, y al

lado derecho tenemos las condiciones de frontera ya reemplazadas. Si lo comparamos con el

método de los residuos ponderados, podemos ver que llegamos a la misma expresión

(considerando que los efectos externos son cero). Por desgracia este método no siempre se

puede aplicar (como por ejemplo cuando hay generación de calor), pero en ocasiones nos puede

ayudar y nos ahorra todo el tratamiento matemático de los demás métodos.

El paso posterior consiste en ensamblar cada una de las matrices de rigidez de cada elemento en

una sola matriz (considerando nuevamente la continuidad de los elementos), posteriormente, se

resuelve la matriz por el método que más se facilite, de esta forma obtenemos los valores en las

fronteras de los elementos (los valores de en los nodos) y/o los valores de las derivadas en los

extremos de todo el dominio que estemos trabajando. Los demás valores los podemos hallar

aplicando la definición de derivada en los nodos que obtuvimos al comienzo de este ejemplo.

En este ejemplo solo resolvimos el problema para un elemento unidimensional, pero de forma

análoga se puede resolver para elementos de n dimensiones teniendo en cuenta que los pasos a

seguir son exactamente iguales (en este caso los elementos pueden tener cualquier forma,

desde lo más sencillo que sería un triangulo hasta la forma poligonal o esférica que se desee

tomar, de igual forma no existe una limitación por parte del tamaño de los elementos , tampoco

todos los elementos deben ser iguales). La dificultad de este método radica más en su mecánica

que en su concepto, pues como vimos al inicio, nos basamos en suponer una función aproximada

para cada elemento que se ve afectada por la ecuación diferencial.

La forma más fácil de aplicar este método para diferentes dimensiones es con paquetes de

software, estos mismo otorgan mayor flexibilidad para implementar este método, incluso

existen programas especializados para solucionar fenómenos físicos (en donde tiene mayor

aplicación) por medio de este método de elementos finitos; recordemos que la mayoría de

fenómenos se encuentran descritos por ecuaciones diferenciales y en muy pocas ocasiones estas

son ordinarias (un claro ejemplo es cuando se considera un estado transitorio).

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EJERCICIOS

1) En una empresa que fabrica tarjetas madres para computadores se han propuesto tres diseños

diferentes para el disipador de calor del chip principal de la tarjeta (un chip G41 de Intel), las

condiciones para su diseño fueron:

1. Como será una tarjeta económica, su costo de producción no debe ser muy altos, por lo

tanto se debe diseñar con formas sencillas y principalmente rectas, al mismo tiempo que

se piensa utilizar aluminio para fabricarlos.

2. El chip funciona entre 15 °C y 55 °C, donde las temperaturas optimas están entre 20 °C y

40 °C, por lo tanto la temperatura del chip no debe superar los 55 °C o de lo contario este

mismo podría terminar quemándose.

3. Se tienen planeado que las tarjetas madres tendrán como compradores principalmente a

empresas, por lo tanto después de 10 horas de funcionamiento continuo con una

refrigeración normal (coeficiente de película del aire ), el chip no debe

sobrecalentarse.

4. Las dimensiones de la placa que estará en contacto con el chip deben ser de 5.4 x 6.12 cm y

no deben ser más pequeñas.

El ingeniero a cargo de la producción de la placa madre debe escoger cual de las 3 utilizar. Si

consideramos que las tres tienen costos de producción prácticamente iguales, el calor que disipa el

chip es de (considere que la temperatura ambiental es de 25 °C), ¿cuál de los tres disipadores

debe escoger el ingeniero? Explique el por qué llego a esta conclusión. Utilice algún simulador o

paquete de software para obtener la distribución de temperaturas de la placa inferior del disipador.

La ecuación que rige este fenómeno es la de transporte de calor en estado transitorio, que se define de la

forma:

Pues no existe generación de calor (el chip está en contacto en la placa inferior del disipador pero no hace

parte del sistema) y por ser sólido no existe el termino de transporte por convección, ni disipación viscosa.

Las condiciones de frontera y valores iniciales serán:

( ) ( )

( )

Donde es el flujo de calor en las superficies que están en contacto con el aire.

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El programa que se utilizo para poder obtener la distribución de temperaturas de la placa inferior de

cada disipador fue COMSOL Multiphysics (para conocer las dimensiones de cada disipador, se anexan los

archivos que se obtuvieron al final de la simulación). Los valores entregados a continuación

corresponden a la distribución de temperaturas en 10 horas de trabajo continuo.

Disipador 1:

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Temperatura máxima de la superficie en contacto con el Chip: 309.9 K (36.75 °C)

Temperatura promedio de la superficie en contacto con el Chip: 309.25 K (36.1 °C)

Disipador 2:

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Temperatura máxima de la superficie en contacto con el Chip: 308.47 K (35.32 °C)

Temperatura promedio de la superficie en contacto con el Chip: 308.34 K (35.19 °C)

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Disipador 3.

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Temperatura máxima de la superficie en contacto con el Chip: 307.55 K (34.4 °C)

Temperatura promedio de la superficie en contacto con el Chip: 307.43 K (34.28 °C)

Como se puede observar, a partir de casi 1 hora de trabajo la temperatura del chip permanece continua a

lo largo del tiempo, por lo tanto no hay problema por sobrecalentamiento si se expone a más tiempo de

trabajo, de igual forma, los tres disipadores mantienen la temperatura del chip por debajo de los 55 °C y

al mismo tiempo por debajo de los 40 °C con una temperatura ambiental de 25 °C, por lo tanto

cualquiera de los tres cumple con las condiciones del diseño. Sabiendo que el calor que sale de los

disipadores es proporcional a la temperatura ambiente, el incremento de un grado en esta temperatura

debería aumentar en un grado aproximadamente la temperatura máxima en el disipador (que se localiza

en la superficie de contacto con el chip), por lo tanto, el disipador 3, al otorgar la temperatura máxima

más pequeña de los 3 disipadores es más útil si consideramos que la temperatura ambiente varía (sin

llegar a ambientes extremos que excedan los 40 °C o estén por debajo de los 0 °C), también, teniendo en

cuenta que a menor temperatura, mayor es la vida útil del chip (sin superar la barrera de los 15 °C), esta

opción debería ser la que escoja el ingeniero. Los otros 2 disipadores sólo varían en 1 o 2 grados con

respecto al tercero, y también pueden ser opciones viables si su costo de producción es significativamente

menor (lo cual no corresponde a este problema).

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2) Se desea cambiar parte de la tubería de cierta fábrica; para el prototipo de la nueva tubería hecha de

acero 4340, y de geometría no concéntrica, pasa a través de ella un flujo de vapor a una temperatura

de 600 K, y en su exterior un flujo de agua de 283.15 K. Si el tubo llega a una temperatura máxima de

300 °C podría pandearse, es decir, curvarse debido a la gravedad y al peso de los fluidos, por lo tanto se

desea conocer el intervalo de temperaturas que experimenta la tubería en su interior, con el propósito

de analizar si es necesario hacer algún tipo de recubrimiento o pensar en cambiar el material de la

tubería. Desprecie la difusividad del vapor y del agua líquida en el acero 4340. Los radios de los

cilindros internos de la tubería son de 3 cm cada uno, y sus radios externos son de 5 cm, la distancia

entre los ejes de los cilindros es de 3 cm.

La ecuación que rige este fenómeno es la de transporte de calor, que se define de la forma:

Pues no existe generación de calor (sólo transporte a través de las paredes de la tubería) y se encuentra en

estado estacionario, además que se desprecia cualquier movimiento de los fluidos dentro de la tubería. Por

ser de una geometría no concéntrica, la ecuación diferencial no se puede reducir a una EDO, por lo tanto es

necesario resolverla por algún método numérico.

Para este problema, se trabaja con el prototipo en el simulador (COMSOL Multiphysics), donde se establecen

las variables necesarias, tales como los coeficientes de transferencia de calor, h, y las temperaturas de los

flujos, respectivos, al igual que las condiciones de frontera:

( ) ( )

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Los resultados arrojados para esta simulación, señala que se tendrá un rango de temperaturas entre los

469.01 K y 519.05 K, rango que no cobija el límite de temperatura de 300 °C (573.15 K), y evitar así

alguna deformación en el material, pandeo. Esto nos lleva a pensar que sí es viable trabajar este modelo

de tubería.