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Matrices elementales

(Su relacin con las operaciones elementale de filas y columnas)

Ejecucin de operaciones elementales mediante multiplicacin de matrices

Consideremos las siguientes matrices:

E1= 1 0 00 1 0

3 0 1 , E2 =

0 1 01 0 0

0 0 1 , E3 =

1 0 00 1 0

0 0 5 .

Obsrvese que todas ellas son el resultado de realizar una operacin elemental de filas sobre lamatriz identidad 3 3. Ahora calculemos los productos E1A,E2A,E3A, donde A es una matrizcualquiera detresfilas. Por ejemplo:

A=

a bc d

e f

con lo cual: E1A=

a bc d

e+3a f+ 3b

, E2A=

c da b

e f

, E3A=

a bc d

5e 5f

Vemos que cada uno de los productos nos da como resultado el mismo que si hubisemos hechosobre A la operacin elemental con la que se consigui la correspondiente matriz E. Esto es unhecho general y se cumple el siguiente teorema:

Teorema: Sea A una matriz de m filas. Para realizar una operacin elemental sobre A, basta realizardicha operacin elemental sobre las filas de la matriz identidad Im y multiplicar el resultado por A.

Definicin de matrices elementales

Definicin: Se llamamatriz elementala toda matriz obtenida realizando una operacin elemen-tal sobre las filas de una matriz identidad.

Ejemplos: (1) Sea E la matriz obtenida al realizar una operacin elemental de intercambio defilas sobre la matriz identidad 2 2:

I2 =

1 00 1

F1F2 E=

0 11 0

.

Ees la matriz elemental correspon-diente a la operacin elementalintercambiar las filas 1 y 2.

Sea ahora Auna matriz cualquiera con 2 filas. Entonces:

A=

a b cd e f

F1F2

d e fa b c

y tambin: EA=

0 11 0

a b cd e f

=

d e fa b c

(2) SeaE la matriz obtenida al realizar una operacin elemental de reemplazo de filas sobrela matriz identidad 3 3:

I3=1 0 0

0 1 00 0 1 F2+F3 E=

1 0 00 1

0 0 1

.

Ees la matriz elemental correspondiente

a la operacin elemental sumara la fila 2 la 3 multiplicada por .

1 Versinde9deno

viembrede2015,

16:34h.

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Sea ahora Auna matriz cualquiera con 3 filas. Entonces:

A= a bc d

e f F2+F3 a bc+ e d+ f

e f y tambin:

EA= 1 0 00 1

0 0 1a bc d

e f = a bc+ e d+ f

e f

Las inversas de las matrices elementales

Toda matriz elemental tiene inversa y su inversa es otra matriz elemental: La correspondientea la operacin elemental inversa. En consecuencia, es muy sencillo escribir la matriz inversa deuna matriz elemental. Por ejemplo:

SiE =

0 11 0

entoncesE1 =

0 11 0

; siE =

1 0 00 1

0 0 1

entoncesE1 =

1 0 00 1

0 0 1

.

Algoritmo para averiguar si una matriz es inversible y calcular su inversa

Teorema Una matriz cuadrada A es inversible si y slo si es equivalente por filas a la correspondientematriz identidad. En ese caso, cualquier sucesin de operaciones elementales de filas que reducen A a laidentidad I tambin reducen I a la inversa de A.

Demostracin: Cada paso de la reduccin corresponde a la multiplicacin por la izquierda poruna matriz elemental:

A E1A E2E1A Ep(Ep1 E1)A= I

por tanto(Ep E1)A= I, lo que significa que Aes invertible y su inversa es:

A1 = Ep E1.

De esto se deduce que la forma escalonada reducida de la matriz por bloques formada por unafila de dos bloques en la que el primero es la matriz A y el segundo la matriz identidad, es laque tiene como primer bloque la identidad y segundo la inversa de A:

(A|I) (I|A1)

En otras palabras: Las mismas operaciones elementales que transforman una matriz inversibleen la matriz identidad, transforman la matriz identidad en la inversa de la matriz.

Cmo calcular solamente una columna (o fila) particular de la matriz inversa. Para calcularla columna j de A1 basta resolver el sistema

Ax= ej

dondeej es la columna j de la matriz identidad.

Para calcular la fila i de A1 basta calcular la columna i deAT1

, para lo cual, segn lodicho antes, basta resolver el sistema

ATei.

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