electroR.193.36

Coordenadas Curvilıneas.Cambio de coordenadas.

Operadores Diferenciales.Factores de integracion.

Repaso de Analisis Vectorial para el curso deTeorıa Electromagnetica.

Dr. Samuel Domınguez Hernandez.

UPIITA-IPN.

15 de octubre de 2009

Dr. Samuel Domınguez Hernandez. Repaso de Analisis Vectorial



Indice

1 Coordenadas Curvilıneas.Coordenadas Cılindricas.Coordenadas EsfericasPropiedades Geometricas.

2 Cambio de coordenadas.Cambio de coordenadas de cılindricas a cartesianas.Cambio de coordenadas de esfericas a cartesianas

3 Operadores Diferenciales.Operadores diferenciales en coordenadas cilındricas.Operadores diferenciales en coordenadas esfericas.

4 Factores de integracion.Integrales de Lınea.Integrales de superficie.Integrales de volumen




Coordenadas Cılindricas.Coordenadas EsfericasPropiedades Geometricas.

Coordenadas Curvilıneas.

Es un sistema coordenado (u1, u2, u3) curvilıneo, se tiene el vector deposicion

~r = ~r(u1, u2, u3),

con el cual, definimos los factores de escala

hi =∣∣∣∣ ∂~r∂ui

∣∣∣∣ con i = 1, 2, 3

y los vectores unitarios curvilıneos

ai =1hi

∂~r

∂uicon i = 1, 2, 3.





Coordenadas Cılindricas.

Y

Z

X

ρ

z

• (x, y, z)

φx

y

Por trigonometrıa elemental

x = ρ cosφ,

y = ρ senφ

y claramente

z = z.





De tal manera que el vector de posicion esta dado por

−→r = (ρ cosφ, ρ senφ, z) ,

de donde, para la coordenada ρ

∂−→r∂ρ

= (cosφ, senφ, 0)

luego, el factor de escala es

hρ =∣∣∣∣∂−→r∂ρ

∣∣∣∣ =√

cos2 φ+ sen2 φ = 1

y el vector unitario asociado a ρ es

aρ =1hρ

∂−→r∂ρ

= (cosφ, senφ, 0) .





Y

Z

X

ρ

z

• (x, y, z)

φx

y

ρ

aρ





ademas, para la coordenada φ

∂−→r∂φ

=∂

∂φ(ρ cosφ, ρ senφ, z)

= (−ρ senφ, ρ cosφ, 0) ,

luego

hφ =∣∣∣∣∂−→r∂φ

∣∣∣∣ =√ρ2 sen2 φ+ ρ2 cos2 φ =

√ρ2 (sen2 φ+ cos2 φ) = ρ

y

aφ =1hφ

∂−→r∂φ

= (− senφ, cosφ, 0) .






∂−→r∂φ

=∂

∂φ(ρ cosφ, ρ senφ, z) = (−ρ senφ, ρ cosφ, 0) ,

luego

hφ =∣∣∣∣∂−→r∂φ

∣∣∣∣ =√ρ2 sen2 φ+ ρ2 cos2 φ =


y

aφ =1hφ

∂−→r∂φ

= (− senφ, cosφ, 0) .






∂−→r∂φ

=∂


luego

hφ =∣∣∣∣∂−→r∂φ

∣∣∣∣ =√ρ2 sen2 φ+ ρ2 cos2 φ

=√ρ2 (sen2 φ+ cos2 φ) = ρ

y

aφ =1hφ

∂−→r∂φ

= (− senφ, cosφ, 0) .






∂−→r∂φ

=∂


luego

hφ =∣∣∣∣∂−→r∂φ

∣∣∣∣ =√ρ2 sen2 φ+ ρ2 cos2 φ =

√ρ2 (sen2 φ+ cos2 φ)

= ρ

y

aφ =1hφ

∂−→r∂φ

= (− senφ, cosφ, 0) .






∂−→r∂φ

=∂


luego

hφ =∣∣∣∣∂−→r∂φ

∣∣∣∣ =√ρ2 sen2 φ+ ρ2 cos2 φ =


y

aφ =1hφ

∂−→r∂φ

= (− senφ, cosφ, 0) .





Y

Z

X

ρ

z

•(x, y, z)

φx

y

ρaφ





Finalmente, para z tenemos que

∂−→r∂z

=∂

∂z(ρ cosφ, ρ senφ, z)

= (0, 0, 1) ,

luego

hz =∣∣∣∣∂−→r∂z

∣∣∣∣ =√

12 = 1

y

az =1hz

∂−→r∂z

= (0, 0, 1) .





Finalmente, para z tenemos que

∂−→r∂z

=∂

∂z(ρ cosφ, ρ senφ, z) = (0, 0, 1) ,

luego

hz =∣∣∣∣∂−→r∂z

∣∣∣∣ =√

12 = 1

y

az =1hz

∂−→r∂z

= (0, 0, 1) .





Y

Z

X

ρ

•(x, y, z)

φx

y

ρ

z

az





Resumen

Numero Coordenada Vector unitario Factor de es-cala

1 ρ aρ = cosφ ax + senφ ay hρ = 12 φ aφ = − senφ ax + cosφ ay hφ = ρ3 z az = az hz = 1

Y

Z

X

ρ

z

• (x, y, z)

φx

y

ρ

aρ

aφ

az





Coordenadas Esfericas

Y

Z

X

ρz

• (x, y, z)r

φ

θ

θ

x

y

Por trigonometrıa elemental, del

triangulo rectangulo blanco,

z = r cos θ,

yρ = r sen θ,

mientras que del triangulorectangulo azul,

x = ρ cosφ = r sen θ cosφ

y

y = ρ senφ = r sen θ senφ.





El vector de posicion esta dado por

−→r = (r sen θ cosφ, r sen θ senφ, r cos θ) ,

de donde, para la coordenada r,

∂−→r∂r

= (sen θ cosφ, sen θ senφ, cos θ) ,

luego

hr =∣∣∣∣∂−→r∂r

∣∣∣∣ =√

sen2 θ cos2 φ+ sen2 θ sen2 φ+ cos2 θ

=√

sen2 θ (cos2 φ+ sen2 φ) + cos2 θ =√

sen2 θ + cos2 θ

= 1

y

ar =1hr

∂−→r∂r

= (sen θ cosφ, sen θ senφ, cos θ) .








∂−→r∂r


luego

hr =∣∣∣∣∂−→r∂r

∣∣∣∣ =√


=√

sen2 θ (cos2 φ+ sen2 φ) + cos2 θ

=√

sen2 θ + cos2 θ

= 1

y

ar =1hr

∂−→r∂r









∂−→r∂r


luego

hr =∣∣∣∣∂−→r∂r

∣∣∣∣ =√


=√

sen2 θ (cos2 φ+ sen2 φ) + cos2 θ =√

sen2 θ + cos2 θ

= 1

y

ar =1hr

∂−→r∂r






Y

Z

X

ρ

z

• (x, y, z)

r

φ

θ

θ

x

y

r

ar





ademas, para la coordenada θ,

∂−→r∂θ

=∂

∂θ(r sen θ cosφ, r sen θ senφ, r cos θ)

= (r cos θ cosφ, r cos θ senφ,−r sen θ) ,

luego

hθ =∣∣∣∣∂−→r∂θ

∣∣∣∣ =√r2 cos2 θ cos2 φ+ r2 cos2 θ sen2 φ+ r2 sen2 θ

=√r2 cos2 θ (cos2 φ+ sen2 φ) + r2 sen2 θ

=√r2 cos2 θ + r2 sen2 θ =

√r2 (cos2 θ + sen2 θ) =

√r2 = r

y

aθ =1hθ

∂−→r∂θ

= (cos θ cosφ, cos θ senφ,− sen θ) .






∂−→r∂θ

=∂



luego

hθ =∣∣∣∣∂−→r∂θ



=√r2 cos2 θ + r2 sen2 θ

=√r2 (cos2 θ + sen2 θ) =

√r2 = r

y

aθ =1hθ

∂−→r∂θ







∂−→r∂θ

=∂



luego

hθ =∣∣∣∣∂−→r∂θ




√r2 (cos2 θ + sen2 θ)

=√r2 = r

y

aθ =1hθ

∂−→r∂θ







∂−→r∂θ

=∂



luego

hθ =∣∣∣∣∂−→r∂θ




√r2 (cos2 θ + sen2 θ) =

√r2

= r

y

aθ =1hθ

∂−→r∂θ







∂−→r∂θ

=∂



luego

hθ =∣∣∣∣∂−→r∂θ




√r2 (cos2 θ + sen2 θ) =

√r2 = r

y

aθ =1hθ

∂−→r∂θ






Y

Z

X

ρ

z

• (x, y, z)

r

φ

θ

θ

x

y

aθ





Finalmente, para la coordenada φ,

∂−→r∂φ

=∂

∂φ(r sen θ cosφ, r sen θ senφ, r cos θ)

= (−r sen θ senφ, r sen θ cosφ, 0) ,

luego

hφ =∣∣∣∣∂−→r∂φ

∣∣∣∣ =√r2 sen2 θ sen2 φ+ r2 sen2 θ cos2 φ

=√r2 sen2 θ (sen2 φ+ cos2 φ) =

√r2 sen2 θ

= r sen θ

y

aφ =1hφ

∂−→r∂φ

=1

r sen θ(−r sen θ senφ, r sen θ cosφ, 0)

= (− senφ, cosφ, 0) .






∂−→r∂φ

=∂



luego

hφ =∣∣∣∣∂−→r∂φ


=√r2 sen2 θ (sen2 φ+ cos2 φ)

=√r2 sen2 θ

= r sen θ

y

aφ =1hφ

∂−→r∂φ

=1


= (− senφ, cosφ, 0) .






∂−→r∂φ

=∂



luego

hφ =∣∣∣∣∂−→r∂φ


=√r2 sen2 θ (sen2 φ+ cos2 φ) =

√r2 sen2 θ

= r sen θ

y

aφ =1hφ

∂−→r∂φ

=1


= (− senφ, cosφ, 0) .





Y

Z

X

ρ

z

• (x, y, z)

r

φ

θ

θ

x

y

aφ tangente al circulo azul.





Resumen

Vector unitario Factor de es-cala

1 r ar = sen θ cosφ ax + sen θ senφ ay + cos θ az hρ = 12 θ aθ = cos θ cosφ ax + cos θ senφ ay − sen θ az hθ = r3 φ aφ = − senφ ax + cosφ ay hφ = r sen θ

Y

Z

X

ρ

z

• (x, y, z)

r

φ

θ

θ

x

y

ar

aθ

aφ





Propiedades Geometricas.

Los vectores unitarios cilındricos y esfericos son ortonormales, es decir,

a1 • a1 = a2 • a2 = a3 • a3 = 1,a1 • a2 = a1 • a3 = a2 • a3 = 0.

y forman un sistema derecho, cumpliendo

a1 × a2 = a3

a2 × a3 = a1

a3 × a1 = a2

a1 × a3 = −a2

a3 × a2 = −a1

a2 × a1 = −a3





Diagrama didactico para el producto cruz

a1 a2

a3

×

××

El producto cruz de vectores unitarios en coordenadas curvilineas puederesumirse en el diagrama de arriba,

multiplicando en el sentido delas flechas, el vector ai con el vector aj se obtiene el vector akcon el signo positivo, donde i, j, k ∈ {1, 2, 3} y son diferentes entresı, en caso de multiplicar en sentido contrario a las flechas, elsigno sera negativo.






a1 a2

a3

×

××

El producto cruz de vectores unitarios en coordenadas curvilineas puederesumirse en el diagrama de arriba, multiplicando en el sentido delas flechas, el vector ai con el vector aj se obtiene el vector akcon el signo positivo, donde i, j, k ∈ {1, 2, 3} y son diferentes entresı,

en caso de multiplicar en sentido contrario a las flechas, elsigno sera negativo.






a1 a2

a3

×

××

El producto cruz de vectores unitarios en coordenadas curvilineas puederesumirse en el diagrama de arriba, multiplicando en el sentido delas flechas, el vector ai con el vector aj se obtiene el vector akcon el signo positivo, donde i, j, k ∈ {1, 2, 3} y son diferentes entresı, en caso de multiplicar en sentido contrario a las flechas, elsigno sera negativo.




Cambio de coordenadas de cılindricas a cartesianas.Cambio de coordenadas de esfericas a cartesianas

Cambio de Coordenadas.

En coordenadas cilıdricas tenemos la base de vectores unitarios

aρ = cosφ ax + senφ ay,aφ = − senφ ax + cosφ ay, (1)az = az.

Por otro lado en coordenadas esfericas tenemos que

ar = sen θ cosφ ax + sen θ senφ ay + cos θ az,aθ = cos θ cosφ ax + cos θ senφ ay − sen θ az, (2)aφ = − senφ ax + cosφ ay,

Nota: En otros textos el vector unitario a se denota por e y los vectoresunitarios ax, ay y az son los vectores unitarios canonicos ı, y k.





Cambio de coordenadas de cılindricas a cartesianas.

La matriz de cambio de base de cilıdricas a cartesianas esta dada por

[~r]Cart =(

[aρ]Cart [aφ]Cart [az]Cart

)[~r]Cil

=

cosφ − senφ 0senφ cosφ 0

0 0 1

[~r]Cil . (3)

La notacion [~r]Cil significa que el vector ~r esta escrito en terminos dela base cilındrica como un vector columna. Por ejemplo: para el vectoraφ = (0)aρ + (1)aφ + (0)az se tiene en la ecuacion (3):

[aφ]Cart =

cosφ − senφ 0senφ cosφ 0

0 0 1

010

=

− senφcosφ

0

, (4)

esto significa que aφ = − senφ ax + cosφ ay.





De esfericas a cartesianas

Por otro lado, la matriz de cambio de base de coordenadas esfericas acartesianas esta dada por

[~r]Cart =(

[ar]Cart [aθ]Cart [aφ]Cart

)[~r]Esf

=

sen θ cosφ cos θ cosφ − senφsen θ senφ cos θ senφ cosφ

cos θ − sen θ 0

[~r]Esf . (5)

Las matrices de cambio de base de las ecuaciones (3) y (5) son matricesortonormales, es decir, que su inversa es igual a su traspuesta.





De tal manera, que la ecuacion de cambio de base de coordenadascartesianas a cilındricas, podemos obtenerla de la ecuacion (3),

[~r]Cil =

cosφ senφ 0− senφ cosφ 0

0 0 1

[~r]Cart (6)

y la ecuacion de cambio de base de coordenadas cartesianas a esfericas,la obtenemos de la ecuacion (5)

[~r]Esf =

sen θ cosφ sen θ senφ cos θcos θ cosφ cos θ senφ − sen θ− senφ cosφ 0

[~r]Cart . (7)





En analogıa al ejemplo dado en la ecuacion (4) o bien de las columnasde la ecuacion (6) tenemos que en coordenada cilındricas:

ax = cosφ aρ − senφ aφay = senφ aρ + cosφ aφaz = az.

De la ecuacion (7), en coordenadas esfericas se tiene que:

ax = sen θ cosφ ar + cos θ cosφ aθ − senφ aφay = sen θ senφ ar + cos θ senφ aθ + cosφ aφaz = cos θ ar − sen θ aθ.




Operadores diferenciales en coordenadas cilındricas.Operadores diferenciales en coordenadas esfericas.

Operadores Diferenciales.

Sean Ψ una funcion escalar y−→A = A1a1 + A2a2 + A3a3 una funcion

vectorial, de las coordenadas curvilıneas ortogonales u1, u2 y u3, ten-dremos que:

∇Ψ = 1h1

∂Ψ∂u1

a1 + 1h2

∂Ψ∂u2

a2 + 1h3

∂Ψ∂u3

a3.

∇ •−→A = 1

h1h2h3

[∂∂u1

(h2h3A1) + ∂∂u2

(h3h1A2) + ∂∂u3

(h1h2A3)].

∇×−→A = 1

h1h2h3

∣∣∣∣∣∣h1a1 h2a2 h3a3∂∂u1

∂∂u2

∂∂u3

h1A1 h2A2 h3A3

∣∣∣∣∣∣.∇2Ψ =

1h1h2h3

[∂∂u1

(h2h3h1

∂Ψ∂u1

)+ ∂

∂u2

(h3h1h2

∂Ψ∂u2

)+ ∂

∂u3

(h1h2h3

∂Ψ∂u3

)].

donde hk =∣∣∣ ∂−→r∂uk ∣∣∣, con k = 1, 2, 3.





Operadores diferenciales en coordenadas cilındricas.

Para el gradiente , u1 = ρ, u2 = φ, u3 = z, h1 = 1, h2 = ρ y h3 = 1,con lo cual,

∇Φ =1h1

∂Ψ∂u1

a1 +1h2

∂Ψ∂u2

a2 +1h3

∂Ψ∂u3

a3

=11∂Ψ∂ρ

aρ +1ρ

∂Ψ∂φ

aφ +11∂Ψ∂z

az

=∂Ψ∂ρ

aρ +1ρ

∂Ψ∂φ

aφ +∂Ψ∂z

az.





Para la divergencia , u1 = ρ, u2 = φ, u3 = z, h1 = 1, h2 = ρ y h3 = 1,con lo cual,

∇ •−→A =

1h1h2h3

[∂

∂u1(h2h3A1) +

∂

∂u2(h3h1A2) +

∂

∂u3(h1h2A3)

]

=1

(1) (ρ) (1)

[∂

∂ρ((ρ) (1)Aρ) +

∂

∂φ((1) (1)Aφ)

+∂

∂z((1) (ρ)Az)

]=

1ρ

[∂

∂ρ(ρAρ) +

∂

∂φ(Aφ) +

∂

∂z(ρAz)

]=

1ρ

∂

∂ρ(ρAρ) +

1ρ

∂Aφ∂φ

+∂Az∂z

.






∇ •−→A =

1h1h2h3

[∂

∂u1(h2h3A1) +

∂

∂u2(h3h1A2) +

∂

∂u3(h1h2A3)

]=

1(1) (ρ) (1)

[∂

∂ρ((ρ) (1)Aρ) +

∂

∂φ((1) (1)Aφ)

+∂

∂z((1) (ρ)Az)

]

=1ρ

[∂

∂ρ(ρAρ) +

∂

∂φ(Aφ) +

∂

∂z(ρAz)

]=

1ρ

∂

∂ρ(ρAρ) +

1ρ

∂Aφ∂φ

+∂Az∂z

.






∇ •−→A =

1h1h2h3

[∂

∂u1(h2h3A1) +

∂

∂u2(h3h1A2) +

∂

∂u3(h1h2A3)

]=

1(1) (ρ) (1)

[∂

∂ρ((ρ) (1)Aρ) +

∂

∂φ((1) (1)Aφ)

+∂

∂z((1) (ρ)Az)

]=

1ρ

[∂

∂ρ(ρAρ) +

∂

∂φ(Aφ) +

∂

∂z(ρAz)

]

=1ρ

∂

∂ρ(ρAρ) +

1ρ

∂Aφ∂φ

+∂Az∂z

.






∇ •−→A =

1h1h2h3

[∂

∂u1(h2h3A1) +

∂

∂u2(h3h1A2) +

∂

∂u3(h1h2A3)

]=

1(1) (ρ) (1)

[∂

∂ρ((ρ) (1)Aρ) +

∂

∂φ((1) (1)Aφ)

+∂

∂z((1) (ρ)Az)

]=

1ρ

[∂

∂ρ(ρAρ) +

∂

∂φ(Aφ) +

∂

∂z(ρAz)

]=

1ρ

∂

∂ρ(ρAρ) +

1ρ

∂Aφ∂φ

+∂Az∂z

.





Para el rotacional, u1 = ρ, u2 = φ, u3 = z, h1 = 1, h2 = ρ y h3 = 1,con lo cual,

∇×−→A =

1h1h2h3

∣∣∣∣∣∣h1a1 h2a2 h3a3∂∂u1

∂∂u2

∂∂u3

h1A1 h2A2 h3A3

∣∣∣∣∣∣

=1

(1) (ρ) (1)

∣∣∣∣∣∣(1) aρ (ρ) aφ (1) az

∂∂ρ

∂∂φ

∂∂z

(1)Aρ (ρ)Aφ (1)Az

∣∣∣∣∣∣=

1ρ

∣∣∣∣∣∣aρ ρaφ az∂∂ρ

∂∂φ

∂∂z

Aρ ρAφ Az

∣∣∣∣∣∣ .






∇×−→A =

1h1h2h3

∣∣∣∣∣∣h1a1 h2a2 h3a3∂∂u1

∂∂u2

∂∂u3

h1A1 h2A2 h3A3

∣∣∣∣∣∣=

1(1) (ρ) (1)

∣∣∣∣∣∣(1) aρ (ρ) aφ (1) az

∂∂ρ

∂∂φ

∂∂z


∣∣∣∣∣∣

=1ρ


∂∂φ

∂∂z

Aρ ρAφ Az

∣∣∣∣∣∣ .






∇×−→A =

1h1h2h3

∣∣∣∣∣∣h1a1 h2a2 h3a3∂∂u1

∂∂u2

∂∂u3

h1A1 h2A2 h3A3

∣∣∣∣∣∣=

1(1) (ρ) (1)

∣∣∣∣∣∣(1) aρ (ρ) aφ (1) az

∂∂ρ

∂∂φ

∂∂z


∣∣∣∣∣∣=

1ρ


∂∂φ

∂∂z

Aρ ρAφ Az

∣∣∣∣∣∣ .





Para el laplaciano, u1 = ρ, u2 = φ, u3 = z, h1 = 1, h2 = ρ y h3 = 1,con lo cual,

∇2Ψ =1

h1h2h3

[∂

∂u1

(h2h3

h1

∂Ψ∂u1

)+

∂

∂u2

(h3h1

h2

∂Ψ∂u2

)+

∂

∂u3

(h1h2

h3

∂Ψ∂u3

)]

=1

(1) (ρ) (1)

[∂

∂ρ1

((ρ) (1)

(1)∂Ψ∂ρ

)+

∂

∂φ

((1) (1)

(ρ)∂Ψ∂φ

)+∂

∂z

((1) (ρ)

(1)∂Ψ∂z

)]=

1ρ

[∂

∂ρ

(ρ∂Ψ∂ρ

)+

∂

∂φ

(1ρ

∂Ψ∂φ

)+

∂

∂z

(ρ∂Ψ∂z

)]=

1ρ

∂

∂ρ

(ρ∂Ψ∂ρ

)+

1ρ2

∂2Ψ∂φ2

+∂2Ψ∂z2

.






∇2Ψ =1

h1h2h3

[∂

∂u1

(h2h3

h1

∂Ψ∂u1

)+

∂

∂u2

(h3h1

h2

∂Ψ∂u2

)+

∂

∂u3

(h1h2

h3

∂Ψ∂u3

)]=

1(1) (ρ) (1)

[∂

∂ρ1

((ρ) (1)

(1)∂Ψ∂ρ

)+

∂

∂φ

((1) (1)

(ρ)∂Ψ∂φ

)+∂

∂z

((1) (ρ)

(1)∂Ψ∂z

)]

=1ρ

[∂

∂ρ

(ρ∂Ψ∂ρ

)+

∂

∂φ

(1ρ

∂Ψ∂φ

)+

∂

∂z

(ρ∂Ψ∂z

)]=

1ρ

∂

∂ρ

(ρ∂Ψ∂ρ

)+

1ρ2

∂2Ψ∂φ2

+∂2Ψ∂z2

.






∇2Ψ =1

h1h2h3

[∂

∂u1

(h2h3

h1

∂Ψ∂u1

)+

∂

∂u2

(h3h1

h2

∂Ψ∂u2

)+

∂

∂u3

(h1h2

h3

∂Ψ∂u3

)]=

1(1) (ρ) (1)

[∂

∂ρ1

((ρ) (1)

(1)∂Ψ∂ρ

)+

∂

∂φ

((1) (1)

(ρ)∂Ψ∂φ

)+∂

∂z

((1) (ρ)

(1)∂Ψ∂z

)]=

1ρ

[∂

∂ρ

(ρ∂Ψ∂ρ

)+

∂

∂φ

(1ρ

∂Ψ∂φ

)+

∂

∂z

(ρ∂Ψ∂z

)]

=1ρ

∂

∂ρ

(ρ∂Ψ∂ρ

)+

1ρ2

∂2Ψ∂φ2

+∂2Ψ∂z2

.






∇2Ψ =1

h1h2h3

[∂

∂u1

(h2h3

h1

∂Ψ∂u1

)+

∂

∂u2

(h3h1

h2

∂Ψ∂u2

)+

∂

∂u3

(h1h2

h3

∂Ψ∂u3

)]=

1(1) (ρ) (1)

[∂

∂ρ1

((ρ) (1)

(1)∂Ψ∂ρ

)+

∂

∂φ

((1) (1)

(ρ)∂Ψ∂φ

)+∂

∂z

((1) (ρ)

(1)∂Ψ∂z

)]=

1ρ

[∂

∂ρ

(ρ∂Ψ∂ρ

)+

∂

∂φ

(1ρ

∂Ψ∂φ

)+

∂

∂z

(ρ∂Ψ∂z

)]=

1ρ

∂

∂ρ

(ρ∂Ψ∂ρ

)+

1ρ2

∂2Ψ∂φ2

+∂2Ψ∂z2

.





Operadores diferenciales en coordenadas cilındricas.

∇Ψ =∂Ψ∂ρ

aρ +1ρ

∂Ψ∂φ

aφ +∂Ψ∂z

az.

∇ •−→A =

1ρ

∂

∂ρ(ρAρ) +

1ρ

∂Aφ∂φ

+∂Az∂z

.

∇×−→A =

1ρ


∂∂φ

∂∂z

Aρ ρAφ Az

∣∣∣∣∣∣ .∇2Ψ =

1ρ

∂

∂ρ

(ρ∂Ψ∂ρ

)+

1ρ2

∂2Ψ∂φ2

+∂2Ψ∂z2

.





Operadores diferenciales en coordenadas esfericas.

Para el gradiente , u1 = r, u2 = θ, u3 = φ, h1 = 1, h2 = r y h3 = r sen θ,con lo cual,

∇Ψ =1h1

∂Ψ∂u1

a1 +1h2

∂Ψ∂u2

a2 +1h3

∂Ψ∂u3

a3

=11∂Ψ∂r

ar +1r

∂Ψ∂θ

aθ +1

r sen θ∂Ψ∂φ

aφ

=∂Ψ∂r

ar +1r

∂Ψ∂θ

aθ +1

r sen θ∂Ψ∂φ

aφ.





Para la divergencia , u1 = r, u2 = θ, u3 = φ, h1 = 1, h2 = r yh3 = r sen θ, con lo cual,

∇ •−→A =

1h1h2h3

[∂

∂u1(h2h3A1) +

∂

∂u2(h3h1A2) +

∂

∂u3(h1h2A3)

]

=1

(1) (r) (r sen θ)

[∂

∂r((r) (r sen θ)Ar)

+∂

∂θ((r sen θ) (1)Aθ) +

∂

∂φ((1) (r)Aφ)

]=

1r2 sen θ

[∂

∂r

(r2 sen θAr

)+

∂

∂θ(r sen θAθ) +

∂

∂φ(rAφ)

]=

1r2 sen θ

[sen θ

∂

∂r

(r2Ar

)+ r

∂

∂θ(sen θAθ) + r

∂

∂φ(Aφ)

]=

1r2

∂

∂r

(r2Ar

)+

1r sen θ

∂

∂θ(sen θAθ) +

1r sen θ

∂

∂φ(Aφ) .






∇ •−→A =

1h1h2h3

[∂

∂u1(h2h3A1) +

∂

∂u2(h3h1A2) +

∂

∂u3(h1h2A3)

]=

1(1) (r) (r sen θ)

[∂


+∂

∂θ((r sen θ) (1)Aθ) +

∂

∂φ((1) (r)Aφ)

]

=1

r2 sen θ

[∂

∂r

(r2 sen θAr

)+

∂


∂

∂φ(rAφ)

]=

1r2 sen θ

[sen θ

∂

∂r

(r2Ar

)+ r

∂


∂

∂φ(Aφ)

]=

1r2

∂

∂r

(r2Ar

)+

1r sen θ

∂

∂θ(sen θAθ) +

1r sen θ

∂

∂φ(Aφ) .






∇ •−→A =

1h1h2h3

[∂

∂u1(h2h3A1) +

∂

∂u2(h3h1A2) +

∂

∂u3(h1h2A3)

]=

1(1) (r) (r sen θ)

[∂


+∂

∂θ((r sen θ) (1)Aθ) +

∂

∂φ((1) (r)Aφ)

]=

1r2 sen θ

[∂

∂r

(r2 sen θAr

)+

∂


∂

∂φ(rAφ)

]

=1

r2 sen θ

[sen θ

∂

∂r

(r2Ar

)+ r

∂


∂

∂φ(Aφ)

]=

1r2

∂

∂r

(r2Ar

)+

1r sen θ

∂

∂θ(sen θAθ) +

1r sen θ

∂

∂φ(Aφ) .






∇ •−→A =

1h1h2h3

[∂

∂u1(h2h3A1) +

∂

∂u2(h3h1A2) +

∂

∂u3(h1h2A3)

]=

1(1) (r) (r sen θ)

[∂


+∂

∂θ((r sen θ) (1)Aθ) +

∂

∂φ((1) (r)Aφ)

]=

1r2 sen θ

[∂

∂r

(r2 sen θAr

)+

∂


∂

∂φ(rAφ)

]=

1r2 sen θ

[sen θ

∂

∂r

(r2Ar

)+ r

∂


∂

∂φ(Aφ)

]

=1r2

∂

∂r

(r2Ar

)+

1r sen θ

∂

∂θ(sen θAθ) +

1r sen θ

∂

∂φ(Aφ) .






∇ •−→A =

1h1h2h3

[∂

∂u1(h2h3A1) +

∂

∂u2(h3h1A2) +

∂

∂u3(h1h2A3)

]=

1(1) (r) (r sen θ)

[∂


+∂

∂θ((r sen θ) (1)Aθ) +

∂

∂φ((1) (r)Aφ)

]=

1r2 sen θ

[∂

∂r

(r2 sen θAr

)+

∂


∂

∂φ(rAφ)

]=

1r2 sen θ

[sen θ

∂

∂r

(r2Ar

)+ r

∂


∂

∂φ(Aφ)

]=

1r2

∂

∂r

(r2Ar

)+

1r sen θ

∂

∂θ(sen θAθ) +

1r sen θ

∂

∂φ(Aφ) .





Para el rotacional, u1 = r, u2 = θ, u3 = φ, h1 = 1, h2 = r y h3 = r sen θ,con lo cual,

∇×−→A =

1h1h2h3

∣∣∣∣∣∣h1a1 h2a2 h3a3∂∂u1

∂∂u2

∂∂u3

h1A1 h2A2 h3A3

∣∣∣∣∣∣

=1

(1) (r) (r sen θ)

∣∣∣∣∣∣(1) ar (r) aθ (r sen θ) aφ

∂∂r

∂∂θ

∂∂φ

(1)Ar (r)Aθ (r sen θ)Aφ

∣∣∣∣∣∣=

1r2 sen θ

∣∣∣∣∣∣ar raθ r sen θaφ∂∂r

∂∂θ

∂∂φ

Ar rAθ r sen θAφ

∣∣∣∣∣∣ .






∇×−→A =

1h1h2h3

∣∣∣∣∣∣h1a1 h2a2 h3a3∂∂u1

∂∂u2

∂∂u3

h1A1 h2A2 h3A3

∣∣∣∣∣∣=

1(1) (r) (r sen θ)

∣∣∣∣∣∣(1) ar (r) aθ (r sen θ) aφ

∂∂r

∂∂θ

∂∂φ


∣∣∣∣∣∣

=1

r2 sen θ


∂∂θ

∂∂φ

Ar rAθ r sen θAφ

∣∣∣∣∣∣ .






∇×−→A =

1h1h2h3

∣∣∣∣∣∣h1a1 h2a2 h3a3∂∂u1

∂∂u2

∂∂u3

h1A1 h2A2 h3A3

∣∣∣∣∣∣=

1(1) (r) (r sen θ)

∣∣∣∣∣∣(1) ar (r) aθ (r sen θ) aφ

∂∂r

∂∂θ

∂∂φ


∣∣∣∣∣∣=

1r2 sen θ


∂∂θ

∂∂φ

Ar rAθ r sen θAφ

∣∣∣∣∣∣ .





Para el laplaciano, u1 = r, u2 = θ, u3 = φ, h1 = 1, h2 = r y h3 = r sen θ,con lo cual,

∇2Ψ =1

h1h2h3

[∂

∂u1

(h2h3

h1

∂Ψ∂u1

)+

∂

∂u2

(h3h1

h2

∂Ψ∂u2

)+

∂

∂u3

(h1h2

h3

∂Ψ∂u3

)]

=1

(1) (r) (r sen θ)

[∂

∂r

((r) (r sen θ)

(1)∂Ψ∂r

)+∂

∂θ

((r sen θ) (1)

(r)∂Ψ∂θ

)+

∂

∂φ

((1) (r)

(r sen θ)∂Ψ∂φ

)].





Para el laplaciano, u1 = r, u2 = θ, u3 = φ, h1 = 1, h2 = r y h3 = r sen θ,con lo cual,

∇2Ψ =1

h1h2h3

[∂

∂u1

(h2h3

h1

∂Ψ∂u1

)+

∂

∂u2

(h3h1

h2

∂Ψ∂u2

)+

∂

∂u3

(h1h2

h3

∂Ψ∂u3

)]=

1(1) (r) (r sen θ)

[∂

∂r

((r) (r sen θ)

(1)∂Ψ∂r

)+∂

∂θ

((r sen θ) (1)

(r)∂Ψ∂θ

)+

∂

∂φ

((1) (r)

(r sen θ)∂Ψ∂φ

)].





∇2Ψ =1

r2 sen θ

[∂

∂r

(r2 sen θ

∂Ψ∂r

)+

∂

∂θ

(sen θ

∂Ψ∂θ

)+∂

∂φ

(1

sen θ∂Ψ∂φ

)]

=1

r2 sen θ

[sen θ

∂

∂r

(r2 ∂Ψ∂r

)+

∂

∂θ

(sen θ

∂Ψ∂θ

)+

1sen θ

∂

∂φ

(∂Ψ∂φ

)]=

1r2

∂

∂r

(r2 ∂Ψ∂r

)+

1r2 sen θ

∂

∂θ

(sen θ

∂Ψ∂θ

)+

1r2 sen2 θ

∂

∂φ

(∂Ψ∂φ

).





∇2Ψ =1

r2 sen θ

[∂

∂r

(r2 sen θ

∂Ψ∂r

)+

∂

∂θ

(sen θ

∂Ψ∂θ

)+∂

∂φ

(1

sen θ∂Ψ∂φ

)]=

1r2 sen θ

[sen θ

∂

∂r

(r2 ∂Ψ∂r

)+

∂

∂θ

(sen θ

∂Ψ∂θ

)+

1sen θ

∂

∂φ

(∂Ψ∂φ

)]

=1r2

∂

∂r

(r2 ∂Ψ∂r

)+

1r2 sen θ

∂

∂θ

(sen θ

∂Ψ∂θ

)+

1r2 sen2 θ

∂

∂φ

(∂Ψ∂φ

).





∇2Ψ =1

r2 sen θ

[∂

∂r

(r2 sen θ

∂Ψ∂r

)+

∂

∂θ

(sen θ

∂Ψ∂θ

)+∂

∂φ

(1

sen θ∂Ψ∂φ

)]=

1r2 sen θ

[sen θ

∂

∂r

(r2 ∂Ψ∂r

)+

∂

∂θ

(sen θ

∂Ψ∂θ

)+

1sen θ

∂

∂φ

(∂Ψ∂φ

)]=

1r2

∂

∂r

(r2 ∂Ψ∂r

)+

1r2 sen θ

∂

∂θ

(sen θ

∂Ψ∂θ

)+

1r2 sen2 θ

∂

∂φ

(∂Ψ∂φ

).





Operadores diferenciales en coordenadas esfericas

∇Ψ = ∂Ψ∂r ar + 1

r∂Ψ∂θ aθ + 1

r sen θ∂Ψ∂φ aφ.

∇ •−→A = 1

r2∂∂r

(r2Ar

)+ 1

r sen θ∂∂θ (sen θAθ) + 1

r sen θ∂∂φ (Aφ).

∇×−→A = 1

r2 sen θ


∂∂θ

∂∂φ

Ar rAθ r sen θAφ

∣∣∣∣∣∣.∇2Ψ = 1

r2∂∂r

(r2 ∂Ψ

∂r

)+ 1

r2 sen θ∂∂θ

(sen θ ∂Ψ

∂θ

)+ 1

r2 sen2 θ∂∂φ

(∂Ψ∂φ

).




Integrales de Lınea.Integrales de superficie.Integrales de volumen

Integrales de Lınea.

En coordenadas curvilineas (u1, u2, u3) , el vector de posicion esta dadopor

−→r = −→r (u1, u2, u3) ,

si ui con i = 1, 2 o 3 es variable y las otras coordenadas son constantes,la ecuacion precedente nos caracteriza una curva dada por la funcion

−→r = −→r (ui) , donde i = 1, 2, 3.

y la diferencial de lınea de esa funcion esta dada por

d−→r =d−→rdui

dui = hiaidui.







−→r = −→r (u1, u2, u3) ,


−→r = −→r (ui) , donde i = 1, 2, 3.



dui

= hiaidui.







−→r = −→r (u1, u2, u3) ,


−→r = −→r (ui) , donde i = 1, 2, 3.



dui = hiaidui.





Diferenciales de lınea en coordenadas cilındricas.

En coordenadas cilındricas, cuan-do ρ es variable, mientras que φ yz permanecen constantes, se tienela funcion

−→r (ρ) = (ρ cosφo, ρ sinφo, zo) ,

que representa una lınea saliendoperperndicular desde el eje z y ladiferencial de lınea viene dada por

d−→r = hρaρdρ = (1)aρdρ = aρdρ.

Y

Z

X

ρ

z

• (x, y, z)

φx

y

ρ

d−→r





Si φ es variable, pero ρ y z per-manecen constantes, tendremos lafuncion

−→r (φ) = (ρo cosφ, ρo sinφ, zo) ,

que geometricamente representauna circunferencia con centro en eleje z, paralela al plano XY y el e-lemento diferencial viene dado por

d−→r = hφaφdφ = ρoaφdφ.

Y

Z

X

ρ

z

•(x, y, z)

φx

y

ρd−→r





Finalmente, si z es variable, mien-tras que ρ y φ permanecen con-stantes, se tiene la funcion

−→r (z) = (ρo cosφo, ρo sinφo, z) ,

siendo esta una lınea paralela aleje z y el elemento diferencial es

d−→r = hzazdz = (1)azdz = azdz.Y

Z

X

ρ

•(x, y, z)

φx

y

ρ

z

d−→r





Diferenciales de lınea en coordenadas esfericas.

En coordenadas esfericas, cuando r es variable, pero θ y φ permanecenconstantes, se tiene la curva

~r = r sin θo cosφoax + r sin θo sinφoay + r cos θoaz,

que nos representa una lıneasaliendo desde el origen, cuyo el-emento diferencial viene dado por

d−→r = hrardr = (1)ardr = ardr.

Y

Z

X

ρ

z

• (x, y, z)

r

φ

θ

θ

x

y

r

d−→r





Cuando θ es variable, mientras que φ y r permanecen constantes, elvector de posicion en coordenadas esfericas nos da la funcion

~r = ro sin θ cosφoax + ro sin θ sinφoay + ro cos θaz,

la cual nos representa a una cir-cunferencia con centro en el origeny el plano que la contiene hace unangulo de φo con el plano ZX, sien-do su elemento diferencial de lınea,

d−→r = hθaθdθ = roaθdθ.

Y

Z

X

ρ

z

• (x, y, z)

r

φ

θ

θ

x

y

d−→r





Finalmente, si φ es variable, pero r y θ son constantes, del vector deposicion obtenemos la funcion

~r = ro sin θo cosφax + ro sin θo sinφay + ro cos θoaz,

que es una circunferencia con cen-tro en el eje z, paralela al planoXY, mientras que el elementodiferencial asociado a esta curvaesta dado por

−→r = hφaφdφ = ro sin θoaφdφ.

Y

Z

X

ρ

z

• (x, y, z)

r

φ

θ

θ

x

y

d−→r





Integrales de superficie.

En este tipo de integrales, en coordenadas curvilıneas (u1, u2, u3) , elvector de posicion es

−→r = −→r (u1, u2, u3) ,

si ui, uj con i, j = 1, 2 o 3 e i 6= j son variables y la otra coordenada esconstante, caracteriza una superficie dada por la funcion

−→r = −→r (ui, uj) , donde i, j = 1, 2, 3.

y la diferencial de superficie asociada a esta superficie estara dada por

d−→S = ±d

−→rdui× d−→rduj

duiduj = ±hihj ai × ajduiduj .







−→r = −→r (u1, u2, u3) ,


−→r = −→r (ui, uj) , donde i, j = 1, 2, 3.


d−→S = ±d


duiduj

= ±hihj ai × ajduiduj .







−→r = −→r (u1, u2, u3) ,


−→r = −→r (ui, uj) , donde i, j = 1, 2, 3.


d−→S = ±d


duiduj = ±hihj ai × ajduiduj .





Diferenciales de superficie en coordenadas cilındricas.

Cuando ρ y φ son variables, mientras que z permanece constante, unasuperficie importante viene dada por vector de posicion

−→r = (ρ cosφ, ρ sinφ, zo) ,

con 0 ≤ ρ ≤ ρo y 0 ≤ φ ≤ 2π conz = zo, nos representa un cırculocon centro en el eje z, paralelo alplano XY, de tal manera que ladiferencial de superficie viene da-da por

d−→S = ±hρhφaρ × aφdρdφ

= (1)(ρ)azdρdφ= ±ρazdρdφ.

Y

Z

X

ρ

z

• (x, y, z)

φx

y

d−→S








con 0 ≤ ρ ≤ ρo y 0 ≤ φ ≤ 2π conz = zo, nos representa un cırculocon centro en el eje z, paralelo alplano XY,

de tal manera que ladiferencial de superficie viene da-da por



Y

Z

X

ρ

z

• (x, y, z)

φx

y

d−→S











Y

Z

X

ρ

z

• (x, y, z)

φx

y

d−→S










= (1)(ρ)azdρdφ

= ±ρazdρdφ.

Y

Z

X

ρ

z

• (x, y, z)

φx

y

d−→S











Y

Z

X

ρ

z

• (x, y, z)

φx

y

d−→S





Si φ, z son variables y ρ permanece constante, una superficie dada porel vector de posicion viene dada por

−→r = (ρo cosφ, ρo sinφ, z) ,

para 0 � φ � 2π y 0 � z � zocon ρ = ρo, tenemos la envolturade un cilindro, siendo su diferen-cial de superficie

d−→S = ±hφhzaφ × azdz

= ±(ρ)(1)aρdφdz= ±ρoaρdφdz.

Y

Z

X

ρ

•(x, y, z)

φx

y

ρ

z d−→S







para 0 � φ � 2π y 0 � z � zocon ρ = ρo, tenemos la envolturade un cilindro,

siendo su diferen-cial de superficie



Y

Z

X

ρ

•(x, y, z)

φx

y

ρ

z d−→S










Y

Z

X

ρ

•(x, y, z)

φx

y

ρ

z d−→S









= ±(ρ)(1)aρdφdz

= ±ρoaρdφdz.

Y

Z

X

ρ

•(x, y, z)

φx

y

ρ

z d−→S










Y

Z

X

ρ

•(x, y, z)

φx

y

ρ

z d−→S





Finalmente, si z y ρ mientras que φ es constante, una superficie dadapor el siguiente vector es

−→r = (ρ cosφo, ρ sinφo, z) ,

con 0 � z � zo y 0 � ρ � ρocon φ = φo, es un plano perpen-dicular al plano XY, haciendo unangulo φo con el plano ZX, siendosu diferencial de superficie

d−→S = ±hzhρaz × aρdzdρ

= ±(1)(1)aφdzdρ= ±aφdzdρ.

Y

Z

X

ρ

•(x, y, z)

φx

y

ρ

z

d−→S







con 0 � z � zo y 0 � ρ � ρocon φ = φo, es un plano perpen-dicular al plano XY, haciendo unangulo φo con el plano ZX,

siendosu diferencial de superficie



Y

Z

X

ρ

•(x, y, z)

φx

y

ρ

z

d−→S










Y

Z

X

ρ

•(x, y, z)

φx

y

ρ

z

d−→S









= ±(1)(1)aφdzdρ

= ±aφdzdρ.

Y

Z

X

ρ

•(x, y, z)

φx

y

ρ

z

d−→S










Y

Z

X

ρ

•(x, y, z)

φx

y

ρ

z

d−→S





Diferenciales de superficie en coordenadas esfericas

Cuando r, θ son variables y φ es constante, una superficie viene dadapor el siguiente vector de posicion

−→r = r sin θ cosφo ax + r sin θ sinφo ay + r cos θ az,

si 0 � r � ro y 0 � θ � π conφ = φo, tenemos medio circulo ha-ciendo un angulo φ con respecto alplano ZX, cuya diferencial de su-perficie viene dada por

d−→S = ±hrhθar × aθdrdθ

= ±(1)(ro)aφdrdθ= ± aφdrdθ.

Y

Z

X

ρ

z

• (x, y, z)

r

φ

θ

θ

xy

d−→S








si 0 � r � ro y 0 � θ � π conφ = φo, tenemos medio circulo ha-ciendo un angulo φ con respecto alplano ZX,

cuya diferencial de su-perficie viene dada por



Y

Z

X

ρ

z

• (x, y, z)

r

φ

θ

θ

xy

d−→S











Y

Z

X

ρ

z

• (x, y, z)

r

φ

θ

θ

xy

d−→S










= ±(1)(ro)aφdrdθ

= ± aφdrdθ.

Y

Z

X

ρ

z

• (x, y, z)

r

φ

θ

θ

xy

d−→S











Y

Z

X

ρ

z

• (x, y, z)

r

φ

θ

θ

xy

d−→S





Si θ y φ son variables, mientras que r permanece constante, tendremosuna superficie descrita por el vector de posicion

−→r = ro sin θ cosφ ax + ro sin θ sinφ ay + ro cos θ az,

con 0 � θ � π, 0 � φ � 2π yr = ro, nos representa una esferade radio ro, con diferencial de su-perficie

d−→S = ±hθhφ aθ × aφdθdφ

= ±(ro)(ro sin θ)ardθdφ= ±r2

o sin θardθdφ.

d−→S

d−→S

d−→S

d−→S

d−→S

d−→S

d−→S

d−→S

Y

Z

X

ρ

z

• (x, y, z)

r

φ

θ

θ

xy







con 0 � θ � π, 0 � φ � 2π yr = ro, nos representa una esferade radio ro,

con diferencial de su-perficie



o sin θardθdφ.

d−→S

d−→S

d−→S

d−→S

d−→S

d−→S

d−→S

d−→S

Y

Z

X

ρ

z

• (x, y, z)

r

φ

θ

θ

xy










o sin θardθdφ.

d−→S

d−→S

d−→S

d−→S

d−→S

d−→S

d−→S

d−→S

Y

Z

X

ρ

z

• (x, y, z)

r

φ

θ

θ

xy









= ±(ro)(ro sin θ)ardθdφ

= ±r2o sin θardθdφ.

d−→S

d−→S

d−→S

d−→S

d−→S

d−→S

d−→S

d−→S

Y

Z

X

ρ

z

• (x, y, z)

r

φ

θ

θ

xy










o sin θardθdφ.

d−→S

d−→S

d−→S

d−→S

d−→S

d−→S

d−→S

d−→S

Y

Z

X

ρ

z

• (x, y, z)

r

φ

θ

θ

xy





Finalmente si φ y r son variables, pero θ es constante, entonces el vectorde posicion en coordenadas esfericas

−→r = r sin θo cosφ ax + r sin θo sinφ ay + r cos θo az,

con 0 � φ � 2π, 0 � r � roy θ = cte, es un doble cono, condiferencial de superficie

d−→r = ±hφhr aφ × ardφdr

= ±(1)(r sin θo)aθdφdr= ±r sin θo aθdφdr.

Y

Z

X

ρ

z

• (x, y, z)

r

φ

θ

θ

x

y

d−→S







con 0 � φ � 2π, 0 � r � roy θ = cte, es un doble cono,

condiferencial de superficie



Y

Z

X

ρ

z

• (x, y, z)

r

φ

θ

θ

x

y

d−→S










Y

Z

X

ρ

z

• (x, y, z)

r

φ

θ

θ

x

y

d−→S









= ±(1)(r sin θo)aθdφdr

= ±r sin θo aθdφdr.

Y

Z

X

ρ

z

• (x, y, z)

r

φ

θ

θ

x

y

d−→S










Y

Z

X

ρ

z

• (x, y, z)

r

φ

θ

θ

x

y

d−→S





Integrales de volumen

En este caso el vector

−→r = −→r (u1, u2, u3)

caracteriza a un solido y su diferencial de volumen esta dada por

dV =∣∣∣∣(d−→rdu1

× d−→rdu2

)• d−→rdu2

∣∣∣∣ du1du2du3

= h1h2h3 |(a1 × a2) • a3| du1du2du3

= h1h2h3 |a3 • a3| du1du2du3 = h1h2h3du1du2du3.







−→r = −→r (u1, u2, u3)


dV =∣∣∣∣(d−→rdu1

× d−→rdu2

)• d−→rdu2


= h1h2h3 |(a1 × a2) • a3| du1du2du3

= h1h2h3 |a3 • a3| du1du2du3

= h1h2h3du1du2du3.







−→r = −→r (u1, u2, u3)


dV =∣∣∣∣(d−→rdu1

× d−→rdu2

)• d−→rdu2


= h1h2h3 |(a1 × a2) • a3| du1du2du3

= h1h2h3 |a3 • a3| du1du2du3 = h1h2h3du1du2du3.





Ası pues para integrar en un cilin-dro

dV = ρdρdφdz

Y

Z

X

ρ

•(x, y, z)

φx

y

ρ

z

con 0 � ρ � ρo, 0 � φ � 2π y0� z � zo.

Mientras que para el interior deuna esfera

dV = r2 sin θdrdθdφ

Y

Z

X

ρ

z

• (x, y, z)

r

φ

θ

θ

x

y

con 0 � r � ro, 0 � θ � π y0� φ� 2π.


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