Curso de Elasticidad 2015Ingeniera Civil/Mecnica - Plan 97Materia: Resistencia de Materiales

Prctico 3Elementos finitos en barras

Ejercicio 3.1

Para el elemento lineal de rea y mdulo de Young uniformes y para fuerzas de volumen lineales, esdecir b = Nbe, muestre que las expresiones analticas correspondientes a Ke y Fe son dadas por:

Ke =EA

`

(1 11 1

), Fe =

`

6

(2 11 2

)be

donde ` = |xe2 xe1|. Utilizando el resultado anterior y la analoga de Duhamel, muestre que para unavariacin de temperatura lineal = Ne , Ke y Fe son dados por:

Ke =EA

`

(1 11 1

), Fe =

EA

2

( 1 11 1

)e

Usando los resultados anteriores halle Fe para b y constantes en el elemento.

Ejercicio 3.2

En un elemento finito de barra de dos nodos, las coordenadas globales de los nodos son: x1 = 15 cmy x2 = 23 cm. Sea un punto P del elemento de coordenada xP = 20 cm.

a) Si las coordenadas naturales de los nodos son 1 = 1 y 2 = 1, determinar la coordenada naturalde P y evaluar las funciones de forma N1 y N2 en el punto P .

b) Para los desplazamientos nodales u1 = 0.020 cm y u2 = 0.025 cm, hallar el desplazamiento delpunto P .

c) Determinar el campo de desplazamientos en el interior del elemento.

Ejercicio 3.3

Para la barra de la figura de seccin y longitud 2`,de mdulo de Young E y coeficiente de dilatacin tr-mica calcular:

a) Campos de desplazamientos, deformaciones y ten-siones considerando solamente la carga P .

b) Obtener las tensiones considerando la carga P yuna variacin de temperatura .

``

P

1

Ejercicio 3.4

Determinar la ecuacin de rigidez de la estructura dela figura si la barra tiene propiedades E, y largo `,y los resortes tienen rigidez k = E/`, con > 0.Los resortes contribuyen a la rigidez de la estructura? 1

k

2

k

F1 F2

Ejercicio 3.5

Para la barra de peso especfico y mdulo de YoungE calcular las reacciones en los extremos A y B, y eldesplazamiento de C considerando:

a) Su peso propio.

b) Su peso propio ms una carga P vertical hacia aba-jo aplicada en C.

c) Su peso propio y una variacin temperatura .

En todos los casos construir los diagramas de despla-zamientos y tensiones y comparar los resultados conlos del Ejercicio 1.5.

`

` rea = 2

rea =

A

C

B

Ejercicio 3.6

Para la estructura de la figura:

a) Seleccionar el elemento de barra ms adecuado pa-ra resolver el problema.

b) Hallar la matriz KG y expresar los vectores U yF.

c) Determinar los desplazamientos y fuerzas noda-les.

d) Modelar computacionalmente y comparar con losresultados de la parte anterior.

e) Modelar computacionalmente el problema con doselementos por barra. Qu ocurre?

1

`

1.5`

2

3

P

Datos: E = 210 GPaP = 100 kN, ` = 50, 0 cm1 = 10.0 cm2

2 = 12.5 cm2

1

2

2

Ejercicio 3.7

Se aplica una carga P = 385 kN al bloque compues-to mostrado en la figura. Determinar las tensiones encada material sabiendo que el material 1 es aluminioy tiene mdulo de Young E = 70 GPa, y el material 2es latn y tiene mdulo de Young E = 105 GPa. 1 2

P

20

cm

A A

Placa rgida

1 2

Seccin A-A

6cm

3 cm 3 cm

Ejercicio 3.8

El reticulado de la figura esta formado por tres barrasde largo `. La barra 1 es metlica, tiene mdulo deYoung E y seccin . Las barras 2 y 3 son de otromaterial con mdulo de Young 5E y seccin 2. Laestructura est en presencia de un campo de fuerzasde masa que solo afecta a la barra 1. Dicho campotiene la forma: b = x2e2 donde es una constanteconocida [] = [F]/[L]2. La constante k del resortecumple la siguiente relacin: k = 5E/`. Se pide:

a) Hallar el desplazamiento del punto B por el mto-do de los elementos finitos.

b) Hallar las reacciones en los apoyos.

1

2k

A

3

B C

D

e2e1

3

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Resultados de Prctico 3Elementos finitos en barras

Ejercicio 3.2

a) P = 0.25, N1(P ) = 0.375, N2(P ) = 0.625.

b) uP = 0.023125 cm.

c) u() = 0.0225 + 0.0025 (cm).

Ejercicio 3.3

a) u1 =1 +

2

P`

2E, u2 =

1 2

P`

2E( es la coordenada natural del elemento),

1 =P

2E, 2 = P

2E,

1 =P

2, 2 = P

2.

b) 1 =P

2 E, 2 = P

2 E.

Ejercicio 3.4

a)E

`

(1 + 11 1 +

)(u1u2

)=

(F1F2

).

Ejercicio 3.6

u2 = 0.0536 cm, R1x = 150 kN, R3x = 150 kN.

v2 = 0.192 cm, R1y = 0 kN, R3y = 100 kN.

Ejercicio 3.7

1 = 85.6 MPa, 2 = 128 MPa.

Ejercicio 3.8

uB =1

57

`3

E, vB =

4

57

`3

E.

RAx = 0, RAy =

9

38`2, RCx =

10

57`2, RCy = 0.

RDx =15

57`2, RDy =

15

57`2, F resx =

5

57`2.

1