Curso de Elasticidad 2015Ingeniera Civil/Mecnica - Plan 97Materia: Resistencia de Materiales

Prctico 2Principio del Trabajo Virtual

Ejercicio 2.1

Responder las preguntas siguientes:

a) Enuncie el Principio del Trabajo Virtual para una estructura reticulada con fuerzas aplicadas enlos nodos.

b) Cuntos estados virtuales deben ser considerados para hallar los desplazamientos y solicitacionesde la estructura?.

c) Para los ejercicios 2.2 a 2.7 determinar el menor nmero de estados virtuales necesarios sin consi-derar y considerando las simetras del problema.

Ejercicio 2.2

La estructura de la figura est constituida por ba-rras de rea = 1.5 cm2 y mdulo de YoungE = 210 GPa. Considerar `1 = 3 m , `2 = 4 m yP = 1 kN.

a) Hallar los desplazamientos horizontal y verticaldel punto B.

b) Hallar las fuerzas en las barras.

2P

A

C

B`1

`13P

`2

Ejercicio 2.3

El reticulado simtrico de la figura soporta una cargaP en la articulacin E. Las dos barras externas tie-nen secciones de rea y las dos internas de rea 2.El material con que se construyen tiene tensin ad-misible adm y mdulo de Young E. Datos: h = 1 m, = 2 cm2, 1 = 60, 2 = 45, adm = 140 MPa,E = 210 GPa.

a) Calcular el descenso del punto E.

b) Calcular la mxima carga admisible Pmax.

A B C D

EP

h12

Ejercicio 2.4

El reticulado de la figura soporta una carga P en la ar-ticulacin C. El reticulado est construido con barrasde seccin , longitud ` y mdulo de Young E.

a) Hallar los desplazamientos horizontales y vertica-les de los puntos B, C y D.

b) Hallar las fuerzas en las barras.

A

B

D

C P

1

Ejercicio 2.5

La estructura de la figura est construida por barras deun material de mdulo de Young E. Las barras ADy CD tienen secciones transversales de rea y labarra BD 2.

a) Hallar los desplazamientos horizontal y verticaldel punto D.

b) Hallar las fuerzas en las barras.

PD

A

B

C

60

30

`

2PEjercicio 2.6

Considere el reticulado de la figura, de barras de sec-cin de rea variable y mdulo de Young variable, queslo tiene cargas aplicadas en los nodos articulados.Sean `iu y `

iw los alargamientos real y virtual de la

barra i, y Di la constante real dada en la figura.

a) Demuestre que la fuerza directaN i de la barra i esconstante, es decir, no depende de la seccin transver-sal considerada, y puede hallarse mediante la siguien-te frmula: N i = Di`iu.b) Demuestre que el trabajo interno en la barra i de-bido al desplazamiento virtual es igual a Di`iu`

iw.

Di =

[ `i0

1

EAds

]1

Ejercicio 2.7

Sea el reticulado de la figura, donde las barras BC yBD tienen seccin circular uniforme de radio a y es-tn compuestas de un material de mdulo de YoungE. La barra AB es del mismo material y tiene sec-cin circular de radio variable. ste vara linealmentevaliendo r(A) = 2a en el extremo articulado en A yr(B) = a en el extremo articulado en B.

a) Hallar las fuerzas en todas las barras.

b) Si ahora la barra AB tiene seccin uniforme ,hallar la relacin entre y a para que el desplaza-miento vertical del punto B sea el mismo que en elcaso anterior.

B

C D

A

P

`

`

` `

2

Ejercicio 2.8

Examen de Elasticidad - 16 de diciembre de 2013.

En el reticulado 3D de la figura todas las barrastiene mdulo de Young E y rea A. La barra DHtiene largo 2L, las dems barras son de largo L.Estas ltimas forman un ngulo de 45 con la ver-tical.

a) Utilizando el mtodo de los desplazamientos yel principio de trabajo virtual obtener los desplaza-mientos de los puntos D y H .

b) Cules son los desplazamientos del punto me-dio de la barra DH?

D

A

C

B

E

F

G

H

P1

P1

P2

P2

P1P2

P1P2

Figura 3D

A G

D HP1

P2

C

D

B

P1

P2

F

H

E

i

j

k

i

j

k

j

k

j

Ejercicio 2.9

Examen de Elasticidad - 19 de febrero de 2014.

En la estructura de la figura las barras AB y EFtienen mdulo de Young E1 mientras que para lasbarras BC y DE es E2. La barra BE es infinita-mente rgida, el rea y la longitud de las dems ba-rras es y L respectivamente. Los ngulos ABCy DEF son de 90o.

a) Utilizando el mtodo de los desplazamientos yel principio de trabajo virtual obtener el sistema deecuaciones que resuelven la estructura.

b) Obtener el desplazamiento de los puntos B y Een funcin de los parmetros del problema.

A

P1 P2

B

C D

E

F

H

c) Calcule la fuerza axial en la barra BE (NBE).

d) Siendo E1 6= E2, cul debe ser la relacin entre P1 y P2 para que el desplazamiento horizontaldel punto B sea nulo?.

Ejercicio 2.10

Realizar los ejercicios 1.2 y de 1.4 a 1.7 del prctico 1 del curso de Elasticidad utilizando el mtodode los desplazamientos y el principio del trabajo virtual.

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Resultados de Prctico 2Principio del Trabajo Virtual

Ejercicio 2.1

a) No hay fuerzas de volumen, por lo que la directa es constante en cada barra, el principio ser

nBi=1

li0

N iiw(s) ds =nFj=1

~Fc(xj) ~w(xj) ~w

siendo nB y nF nmero de barras y de fuerzas aplicadas conocidas respectivamente.

Ejercicio 2.2

a) uB = 0.25 mm, vB = 0.66 mm.

b) FAB = 3.75 kN, FCB = 1.25 kN.

Ejercicio 2.3

a) vE = 4(1 + 4

2)

Ph

E= P (1.4 108 m/N).

b) Pmax =(1 + 4

2)

2adm = 93.2 kN.

Ejercicio 2.4

a) uC =5P`

3E.

b) FAB = FAD = FBC = FCD =P

3, FBD = P

3.

Ejercicio 2.5

a) uD =(93)8(

3 + 2)

P`

E, vD =

(37 + 5

3)

8(

3 + 2)

P`

E.

b) FAD =(2

3 + 9)

2(

3 + 2)P , FBD =

(3

3 1)(

3 + 2)P , FCD =

(

3 10)2(

3 + 2)P .

Ejercicio 2.7

a) FAB =2

2

1 + 2

2P , FBC = FBD =

2

2(1 + 2

2)P .

b) = 2pia2.

Ejercicio 2.8 y Ejercicio 2.9

Ver examenes de Elasticidad - 16 de diciembre de 2013 y 19 de febrero de 2014.

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