Elasticidad 2014 II

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

FACULTAD DE INGENIERIA

M.Sc. N. TEJADA CAMPOS

1

ELSTICIDAD Por: M.Sc. Norbil Tejada Campos

Compilacin de Informacin

0. INTRODUCCIN

- Toda fuerza cuando acta sobre un cuerpo, puede producir efectos: a) Movimientos de

Traslacin y/o rotacin sin deformacin, b) Deformaciones (cambios de forma, volumen, etc.).

- Toda materia se caracteriza por la tendencia relativa a recuperarse de las deformaciones tales

como un cambio de forma y/o volumen, como resultado de la aplicacin de fuerzas. Segn la

naturaleza de los cuerpos y la intensidad de las fuerzas, as como el tiempo de actuacin, existen

deformaciones elsticas y plsticas.

- La propiedad, por medio de la cual la materia tiende a resistirse a las deformaciones y a

recuperarse de ellas se llama ELASTICIDAD.

1. ELASTICIDAD y LEY DE HOOKE

1.1. ELASTICIDAD:

Llamado as a la propiedad que tienen los cuerpos, de recuperar su forma y dimensiones originales

cuando la fuerza aplicada cesa de actuar. Las deformaciones que se producen son reversibles y el

trabajo realizado por la fuerza se transforma en Energa Potencial de deformacin. La elasticidad

depende del material, de la magnitud de la fuerza y de la historia previa del cuerpo.

1.2. DEFORMACIN (L, S, V):

Son todas las variaciones que se producen en la longitud, superficie, volumen y la forma de los

cuerpos.

Deformacin unitaria () o deformacin relativa (), es la relacin entre la deformacin absoluta

(L, S, V) y su dimensin lineal (Lo, So, Vo). As tendremos deformacin unitaria longitudinal

(L=L/Lo), deformacin superficial (S=S/So) y deformacin volumtrica (V=V/Vo).

1.3. FATIGA ():

Sea: F

una fuerza que acta sobre una rea S , en algn punto de un cuerpo, entonces la Fatiga

o Esfuerzo dentro de sta rea es:

S

FEsfuerzoFatiga

A

lim

0

. . . . . . . . . . . (ec. 01)




2

0

H Z

Deformacin relativa

E

s

f

u

e

r

z

o

0

H Z

Deformacin relativa

E

s

f

u

e

r

z

o

Si la fuerza F

esta distribuida uniformemente sobre el rea S, entonces la fatiga, sobre dicha rea

es:

S

F

S

F

. . . . . . . . . . . . (ec. 02)

Unidades: N/m2; din/cm2; lbf/pie2; etc.

Tipos de Fatiga: a) Fatiga Normal Tensora (Fig. 01-a); b) Fatiga Normal Compresora (Fig. 01-b) y,

c) Fatiga Tangencial o Cortante (Fig. 02). Si la fuerza no es normal a la superficie A, la fuerza F se

puede descomponer en sus componentes normal y tangencial.

F FA

FF

Fig. 01 (a)

F FA

FF

Fig. 01 (b)

A A AA

F FA

FF

Fig. 01 (a)

F FA

FF

Fig. 01 (b)

A A AA

F FA

FF

Fig. 01 (a)

F FA

FF

Fig. 01 (b)

A A AA

F FA

FF

Fig. 01 (a)

F FA

FF

Fig. 01 (b)

A A AA

Fig. 02Fig. 02

1.4. LEY DE HOOKE: Es la relacin fundamental entre la fatiga (o esfuerzo) y la deformacin,

mientras no se alcance el lmite elstico del material se cumple:

Fatiga = (constante de proporcionalidad)x(deformacin)

Representando el esfuerzo en funcin de la deformacin unitaria para un metal obtenemos una curva

caracterstica semejante a la que se muestra en la figura.




3

Durante la primera parte de la curva, el esfuerzo es proporcional a la deformacin unitaria, estamos

en la regin elstica. Cuando se disminuye el esfuerzo el material vuelve a su longitud inicial. La

lnea recta termina en un punto denominado lmite elstico (punto H).

Si se sigue aumentando el esfuerzo la deformacin unitaria aumenta rpidamente, pero al reducir el

esfuerzo, el material no recobra su longitud inicial. La longitud que corresponde a un esfuerzo nulo

es ahora mayor que la inicial L0, y se dice que el material ha adquirido una deformacin permanente.

El material se deforma hasta un mximo, denominado punto de ruptura. Entre el lmite de la

deformacin elstica y el punto de ruptura tiene lugar la deformacin plstica.

Si entre el lmite de la regin elstica y el punto de ruptura tiene lugar una gran deformacin plstica

el material se denomina dctil. Sin embargo, si la ruptura ocurre poco despus del lmite elstico el

material se denomina frgil.

Lmite elstico (H).- Valor numrico que indica el esfuerzo unitario mximo soportable por un

cuerpo sin que en l se produzca una deformacin permanente. Tambin es entendido como la

mnima fuerza, por unidad de seccin capaz de producir en el slido una cierta modificacin

permanente. Si aumentamos gradualmente la fuerza exterior por encima del lmite de elasticidad, el

slido sigue deformndose hasta romperse.

Lmite de Ruptura (Z).- Es la mnima fuerza, por unidad de seccin, capaz de producir la ruptura

del cuerpo. Este valor, que se mide experimentalmente para cada tipo de material, es solamente

representativo, el valor real para un determinado objeto puede variar de forma considerable en

funcin de sus defectos internos, de su historia e incluso de circunstancias ambientales; por ello se

emplea frecuentemente el llamado COEFICIENTE DE SEGURIDAD (S): cociente de la fuerza

aplicada por unidad de seccin y el lmite de ruptura. AR

FS ; conocindose tambin como

FACTOR DE SEGURIDAD al inverso del Coeficiente de Seguridad.




4

Histrisis Elstica: Cuando un material elstico es sometido a esfuerzos durante un tiempo muy

largo, no recobra inmediatamente su forma original al desaparecer los esfuerzos empleando algunas

veces un intervalo de tiempo muy largo, fenmeno denominado Histrisis Elstica.

En la figura se representa el comportamiento tpico de esfuerzo-deformacin unitaria de un material

como el caucho. El esfuerzo no es proporcional a la deformacin unitaria (curva de color rojo), sin

embargo, la sustancia es elstica en el sentido que si se suprime la fuerza sobre el material el caucho

recupera su longitud inicial. Al disminuir el esfuerzo la curva de retorno (en color azul) no es

recorrida en sentido contrario.

La falta de coincidencia de las curvas de incremento y disminucin del esfuerzo se denomina

histresis elstica. Un comportamiento anlogo se encuentra en las sustancias magnticas.

Nota.- Puede demostrarse que el rea por ambas curvas es proporcional a la energa disipada en el

interior del material elstico. La gran histresis elstica de algunas gomas las hace especialmente

apropiadas para absorber las vibraciones.

Si a un cuerpo no perfectamente elstico se le aplican tracciones y compresiones consecutivas se

producen las desviaciones de la ley de Hooke que se representan en la curva de HISTERESIS

ELASTICA. La primera deformacin (recta OA), no se recupera al hacer nula la traccin, el cuerpo

tiene remanencia (punto B). Al comprimir se reduce primero la longitud hasta la original (punto C) y

contina reducindose hasta la compresin mxima (punto D). Cuando se anula la compresin queda

la deformacin representada por OE, que desaparece con una nueva traccin, para as completar el

ciclo. Por otra parte la energa que se consume al producir una deformacin es devuelta totalmente

por el cuerpo al cesar la accin exterior solamente si este es perfectamente elstico, en caso contrario

la energa gastada, en la extensin de O hasta A, proporcional al rea OAP, es mayor que la devuelta

al volver el cuerpo de A a B en una cantidad proporcional al rea sombreada en la misma figura; la

diferencia de energa se ha disipado en calor.




5

1.5. MODULO DE ESLASTICIDAD (M.E.).- Se define como la razn de la fatiga (esfuerzo) a la

deformacin producida por la fatiga. As, tenemos:

nDeformaci

FatigaEM . . . . . . . . . . . . . (ec. 03)

Segn la clase de deformacin se definen tres clases de mdulos simples de elasticidad: a) Modulo

de Young, b) Modulo de compresibilidad cubica y, c) Modulo de corte.

2. MODULO DE YOUNG (Y) y RAZON DE POISSON ()

2.1. MODULO DE YOUNG (Y):

El modulo de elasticidad Y, esta relacionado con el estiramiento producido por una simple

tensin. El valor de Y caracteriza la resistencia de un material ante el alargamiento.

Existe una relacin de proporcionalidad entre la fuerza F aplicada al hilo y el incremento L de su

longitud o bien, entre le esfuerzo F/S y la deformacin unitaria L/L0.

allongitudinnDeformaci

FatigaY

De donde: L

L

S

FY O

. . . . . . . . . . (ec. 04)




6

RAZON DE POISSON ():

Deformacin longitudinal: 00

0

L

L

L

LL

y Deformacin transversal:

00

0

d

d

d

dd

A la razn de estas dos deformaciones es llamado la razn de Poisson:

0

0

0

0

/ dL

Ld

LL

dd

allongitudinndeformaci

ltransversandeformaci

. . . . . . . . . . . (ec. 05)

Nota.- Para la mayora de sustancias el valor de esta comprendido entre 0,25 y 0,5. En la mayora de casos el cambio en el rea de la seccin transversal del alambre puede considerarse

despreciable dentro del lmite elstico.




7

F

fluido

F

fluido

3. MODULO VOLUMETRICO KV (MODULO DE COMPRESIBILIDAD CUBICA) y

COEFICIENTE DE COMPRESIBILIDAD B.

Un segundo tipo de deformacin simple es el cambio en el

volumen por unidad de volumen cuando una sustancia est

sujeta a fatigas normales sobre toda la superficie. Estas

fatigas normales son producidas ms fcilmente mediante

la inmersin de la sustancia en un fluido sujeto a una

presin P. Si bajo estas condiciones, una fuerza normal

interior F, acta sobre cada elemento de rea A de una

sustancia de volumen V, para producir un decrecimiento

del volumen (- V), donde la deformacin cbica es V/V0

(llamada tambin deformacin unitaria por unidad de

volumen) entonces el mdulo de compresibilidad Kv

para esta sustancia es:

V

PV

V

VA

F

cbica

ndeformaci

FatigaKv

0

0

. . . . . (ec. 06)

Donde: P: incremento en la presin

Definicin general: El mdulo de compresibilidad es definido como la razn de un cambio

diferencial de presin dP a la deformacin unitaria de volumen producida dV/V; As, tenemos:

dV

dPV

V

dV

dPKv 0

0

. . . . . . . . . . . . . . . . . (ec. 07)

El valor del mdulo de compresibilidad para metales ms comunes es del orden de 1012 din/cm2.

El coeficiente de compresibilidad B, describe la variacin del volumen que ocupa una

determinada cantidad de fluido al aplicarle presin a una temperatura dada. Este coeficiente de

define mediante la expresin:

dP

dV

VdP

V

dV

KB

v

11 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . (ec. 08)

Por ejemplo.- Si el coeficiente de compresibilidad del agua es 50x10-6 atm-1, significa que el

volumen disminuye en 50 millonsimas del volumen inicial por cada atmsfera que aumente la

presin (1 atm = 1,02x105 N/m2 = 1,033 kgf/cm2).




8

H H

K

I I

J

H H

K

I I

J

4. MODULO DE CORTE o MODULO DE RIGIDEZ " "

Ahora, examinaremos la deformacin por cizallamiento en el que no hay cambio de volumen pero si

de forma. El mdulo de cizallamiento es caracterstico de cada material.

Sea un cuerpo en forma de paraleppedo de base A y de

altura h. Cuando la fuerza F que acta sobre el cuerpo es

paralela a una de las caras mientras que la otra cara

permanece fija, se presenta otro tipo de deformacin

denominada de cizallamiento en el que no hay cambio de

volumen pero si de forma. Si originalmente la seccin

transversal del cuerpo tiene forma rectangular, bajo un

esfuerzo cortante se convierte en un paralelogramo.

Definimos el esfuerzo como F/A la razn entre la fuerza

tangencial al rea A de la cara sobre la que se aplica. La

deformacin por cizalla, se define como la razn x/h, donde

x es la distancia horizontal que se desplaza la cara sobre la

que se aplica la fuerza y h la altura del cuerpo, tal como

vemos en la figura. El mdulo de cizallamiento es una

propiedad mecnica de cada material.

Siendo pequeos los ngulos de desplazamiento podemos escribir:

tagHK

HHcortedeocizallapornDeformacicortedeunitarianDeformaci

. (ec. 09)

Donde: es el ngulo de corte o cizalladura y siempre es muy pequeo si no excede el lmite

elstico

h

x tan .

En este caso la fatiga de corte o cizalladura es la fuerza tangencial F dividida por el rea A sobre la

cual acta. As, el modulo de rigidez esta definido como la razn de una fatiga cortante a la

deformacin unitaria cortante. As tenemos:

A

F

tan

A

F

cortanteunitariandeformaci

cortantefatiga . . . . . . . . (ec. 10)

El mdulo de rigidez solo tiene significado para materiales slidos. Un lquido o un gas no pueden

soportar permanentemente una fatiga cortante, y fluyen bajo la accin de la misma. Para la

mayora de los materiales ste mdulo es igual a la mitad o a un tercio del modulo Young.

Definicin general: dx

dF

A

h

h

dxA

dF

. . . . . . . . (ec. 11)




9

Relacin entre los mdulos Elsticos para un cuerpo Isotrpico Homogneo:

5. DEFORMACION POR TORSION

Torsin es la deformacin producida a un cuerpo por un par de fuerza sin que vare su volumen.

Ejemplos de deformacin de un cilindro y una barra cuadrada por torsin:

As tenemos:

4

2

r

Ml

. . . . . . . . (ec. 12)

Donde: = mdulo de rigidez (N/m2).

l = longitud (m).

M = momento torsor (N*m).

r = radio (m).

= ngulo de torsin (radianes).

= constante, de valor 3,14159

V

VV

K

KKY

3

9)1(2)21(3




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6. DEFORMACION POR FLEXION

Flexin es el fenmeno de deformacin de un cuerpo por efecto de una fuerza proporcional a su

dimensin mayor, y el slido se deforma de tal modo que el sistema de laminas planas paralelas se

encorvan formando un haz de superficies curvas.

(a) 3

34

ah

l

Y

Fd (b) 3

3

4 ah

l

Y

Fd

. . . . . . . . (ec. 13)

Donde: Y = mdulo de Young (N/m2).

h = canto (m).

a = ancho (m).

l = longitud (m).

F = esfuerzo al que est sometido (N).

d = deformacin (m).

TABLA DE MDULOS DE ELASTICIDAD.

Metal Mdulo de Young, (x1010 ) N/m2

Cobre estirado en fro 12.7

Cobre, fundicin 8.2

Cobre laminado 10.8

Aluminio 6.3-7.0

Acero al carbono 19.5-20.5

Acero aleado 20.6

Acero, fundicin 17.0

Cinc laminado 8.2

Latn estirado en fro 8.9-9.7

Latn naval laminado 9.8

Bronce fundido 8.1

Bronce fosforado 12.0

Plata 8.27

Oro 8.0

Plomo 1.6

Metal Razon de Poisson

Cobre estirado en 0.34




11

fro

Cobre, fundicin 0,34

Cobre laminado 0,34

Aluminio 0,34

Acero al carbono 0,33

Acero aleado 0,33

Acero, fundicin 0,33

Plata 0,37

Bronce fundido 0.18

Oro 0.42

Plomo 0.45

Estao 0.31

Fibra de cuarzo 0,37

Vidrio 0.24

Metal Mdulo Volumetrico, ( x 1010 ) N/m2

Aluminio 7.5

Bronce fundido 9.6

Bronce fosforado -----

Cobre 13.6

Oro 16.6

Plomo 5.0

Plata 10.9

Acero 18.1

Estao 5.1

Metal Mdulo de Corte, ( x 1010 ) N/m2

Cobre estirado en

fro

4.8

Aluminio 2.5 - 2.6

Acero al carbono 0.8

Acero aleado 8.0

Cinc laminado 3.1

Latn estirado en

fro

3.4 3.6

Latn naval

laminado

3.6

Bronce de aluminio 4.1

Titanio 4.4

Nquel 7.9

Plata 3.03

TABLA DE MDULOS DE ELASTICIDAD.

MATERIAL Mdulo de

Young (Y)

(N/m2)

Mdulo de

rigidez () (N/m2)

Mdulo de

compresibilidad

(Kv) (N/m2)

Carga de

rotura por

traccin.

(N/m2)

Carga de

rotura por

traccin.

(N/mm2)

Acero 1,96 *1011 7,84 *1010 1,56 *1011 1,47 *109 1470

Aluminio 6,86 *1010 2,45 *1010 6,86 *1010 - -

Cobre 11,76 *1010 3,92 *1010 1,17 *1011 2,94 *108 294

Hierro fundido 8,82 *1010 - 9,4 *1010 3,92 *108 392

Plomo 1,47 *1010 4,9 *109 7,8 *109 19,6 *106 19,6

Plata 7,84 *1010 2,94 *1010 - 1,96 *107 196

Oro 8,04 *1010 2,94 *1010 - 1,47 *108 147

Agua - - 1,96 *109 - -

Glicerina - - 4,4 *109 - -

Mercurio - - 2,54 *1010 - -




12

7. ENERGIA DE DEFORMACION:

Para deformar un cuerpo es necesario aplicar fuerzas, que consecuentemente realizan un trabajo

durante el proceso de deformacin. En consecuencia la energa interna de un cuerpo deformado

aumenta. Consideremos, por ejemplo, el caso de una varilla sometida a una tensin o una

compresin longitudinal. La fuerza, cuando la deformacin lineal es L se obtiene mediante la

relacin: L

LYAF

.

La fuerza media durante la deformacin es: L

LYAFF

2

10

2

1 . . . . . . . . (ec. 14)

El trabajo al deformar la varilla es:

2

2

1

2

1

L

LYALL

L

LYALFW . . . . . . . . (ec. 15)

Pero: El volumen del cuerpo es: AL = V, y la deformacin longitudinal es: L=L/L, de donde

resulta:

2

2

2

1

2

1LYV

L

LYALW

. . . . . . . . (ec. 16)

Por lo tanto, el aumento de energa interna por unidad de volumen ser:

2

2

1Li Y

V

WE . . . . . . . . (ec. 17)

En general: El resultado obtenido es tambien valido para otros tipos de deformaciones, es decir:

2)()(mod2

1ndeformacioxicidadulodeelast

V

WEi . . . . . . . . (ec. 18)

BIBLIOGRAFIA:

FISICA GENERAL. Santiago Burbano y otros. Editorial Tebar S.L. Madrid, Espaa. 2001. FISICA, Vol. I MECANICA, M. Alonso E. Finn; Edit. Fondo Educativo Interamericano. Mexico. 1980 MANUAL DE FISICA ELEMENTAL. Koshkin N. I., Shirkvich M. G. Editorial Mir 1975.

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