elaboraci³n, comparaci³n y ejercitaci³n de procedimientos

INSTITUTO

POLITÉCNICO

NACIONAL

CENTRO DE INVESTIGACIÓN EN

CIENCIA APLICADA Y TECNOLOGÍA

AVANZADA DEL IPN

ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE

PROCEDIMIENTOS: UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE

PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN

Tesis para obtener el grado de

Maestra en Ciencias en Matemática Educativa

Presenta:

Claudia Barajas Arenas

Directores de la tesis:

Dra. Sandra Evely Parada Rico

M.C. Juan Gabriel Molina Zavaleta

México D.F., julio de 2015

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

Secretaría de Investigación y Posgrado

AUTORIZACIÓN DE USO DE OBRA

Bajo protesta de decir verdad el que suscribe, Claudia Barajas Arenas, manifiesto ser autor

y titular de los derechos morales patrimoniales de la obra titulada: “Elaboración,

comparación y ejercitación de procedimientos: una mirada desde la resolución de

problemas que implican fenómenos de variación”, en adelante “La Tesis” y de la cual se

adjunta copia, por lo que por medio del presente y con fundamento en el Artículo 27,

Fracción II, inciso b, de la Ley Federal del Derecho de Autor, otorgo a el Instituto

Politécnico Nacional, en adelante El IPN, autorización no exclusiva para comunicar y

exhibir públicamente total o parcialmente en medios digitales e impresos “La Tesis” por un

periodo de 10 años contado a partir de la fecha de la presente autorización, dicho periodo se

renovará automáticamente en caso de no dar aviso a “El IPN” de su terminación.

En virtud de lo anterior, “El IPN” deberá reconocer en todo momento mi calidad de autor

de “La Tesis”. Adicionalmente, y en mi calidad de autor y titular de los derechos morales y

patrimoniales de “La Tesis”, manifiesto que la misma es original y que la presente

autorización no contraviene ninguna otorgada por el suscrito respecto de “La Tesis”, por lo

que deslindo de toda responsabilidad a El IPN en caso de que el contenido de “La Tesis” o

la autorización concedida afecte o viole derechos autorales, industriales, secretos

industriales, convenios o contratos de confidencialidad o en general cualquier derecho de

propiedad intelectual de terceros y asumo las consecuencias legales y económicas de

cualquier demanda o reclamación que puedan derivarse del caso.

México, D.F., 13 de julio de 2015.

Atentamente,

Claudia Barajas Arenas

Número de registro B130394

Dedicatoria

A mi madre quien nos ha venido enseñando

que los sueños se posponen, pero no se

pierden de vista.

A mi hermoso sobrino porque cada día le da

más sentido a esa decisión que algún día

tomé de formarme como profesora.

Agradecimientos

A Sandra Evely Parada Rico por su apoyo incondicional, por su inmensa confianza y por su

cariño sincero. Su pasión y entrega a la investigación fueron los ingredientes que

posibilitaron este trabajo. Gracias por ser mi Maestra: más que enseñanzas

académicas me queda un puñado de ilusiones que concretar. Infinitas gracias por

tanto, Sandrita.

Al profesor Jorge Enrique Fiallo Leal por su valioso apoyo desde el momento que inicié mi

formación como magíster; agradezco inmensamente el haber propiciado las

oportunidades laborales que me permitieron aprovechar al máximo todo mi proceso

de formación.

Al profesor Juan Gabriel Molina Zavaleta por su inmensa apertura durante todo el proceso

de la investigación y por sus valiosos aportes.

A la profesora Avenilde Romo Vázquez por su acompañamiento en la fase final de la

construcción de este documento. Al profesor Mario Sánchez Aguilar por su confianza

en este estudio.

A Edwin López Velandia por su inmensa y constante motivación, por su valiosa compañía

y por darle a mis días el calor de su amor.

Al Grupo EDUMAT-UIS de la Universidad Industrial de Santander por brindarme la

oportunidad de concretar mis proyectos profesionales y el estar en constante

aprendizaje.

A quienes hicieron la valiosa tarea de motivar mi espíritu y posibilitar la culminación de

este logro: mi más sincero agradecimiento por su confianza y apoyo.

Resumen

ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS: UNA

MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN

FENÓMENOS DE VARIACIÓN

Este estudio intentó caracterizar algunas de las dificultades que enfrentan los estudiantes

cuando resuelven problemas que implican fenómenos de variación, específicamente desde

el proceso matemático de elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos

(proceso ECEP). Los elementos teóricos con que se sustenta la investigación se basaron en

documentos oficiales del Ministerio de Educación Nacional de Colombia para caracterizar

y categorizar tanto el pensamiento variacional como el proceso ECEP.

Para el logro del objetivo de investigación se desarrolló un proceso metodológico

cuantitativo en una primera parte, y posteriormente en forma cualitativa interpretando el

proceso ECEP en un instrumento aplicado a estudiantes de nuevo ingreso a la universidad.

El estudio nos permitió categorizar los hallazgos en dificultades asociadas a procedimientos

de tipo aritmético, geométrico, métrico y analítico, de tal suerte que observamos, entre

otros resultados, que los estudiantes tienen dificultad para establecer correctamente la

interdependencia entre las magnitudes variables y para transferir los datos a otra forma de

representación.

Abstract

ELABORATION, COMPARISON AND EXERCISE OF PROCEDURES: A VIEW

FROM THE RESOLUTION OF PROBLEMS THAT INVOLVE PHENOMENA OF

VARIATION

This study aimed to characterize some of the difficulties faced by students when solving

problems involving phenomena of variation, specifically from the mathematical process,

comparison and exercise procedures (ECEP process). The theoretical elements with which

the research is based is based on official documents of the Ministry of National Education

from Colombia to characterize and categorize both the variational thinking as the EPEC

process.

To achieve the objective of a quantitative research methodology process developed in the

first part, and then qualitatively interpreting the process ECEP an instrument applied to new

students to the university. The study allowed us to categorize the findings in difficulties

associated procedures arithmetic, geometric, metric and analytic, in such a way that we

observed, among other results, that students have difficulty in properly establish the

interdependence between the variable quantities and to transfer data to another form of

representation.

Tabla de Contenido

Introducción

CAPÍTULO 1.17

GÉNESIS DE LA INVESTIGACIÓN .............................................................................. 17

1.1 EL CÁLCULO DIFERENCIAL, UNA PROBLEMÁTICA EN LA UIS .................... 17

1.2 ANTECEDENTES ......................................................................................................... 22

1.2.1 Estudios que caracterizan los procesos matemáticos .................................................. 22

1.2.2 De los errores hacia las dificultades en el aprendizaje de las matemáticas: Cálculo .. 27

1.2.3 Alternativas para atender las dificultades en matemáticas: Cálculo ............................ 31

CAPÍTULO 2.36

MARCO CONCEPTUAL .................................................................................................. 36

2.1 PENSAMIENTO VARIACIONAL ............................................................................... 36

2.1.1 Ejes temáticos del pensamiento variacional ................................................................ 40

2.2 ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS

ASOCIADOS A SITUACIONES DE VARIACIÓN .......................................................... 43

2.2.1 Taxonomía de los Procedimientos ............................................................................... 45

2.2.2 Habilidades a priori de los procedimientos asociados al pensamiento variacional ..... 47

CAPÍTULO 3.51

PROCEDIMIENTO METODOLÓGICO ....................................................................... 51

3.1 FASE 1: ELECCIÓN DEL CONTEXTO DE ESTUDIO ............................................. 51

3.1.1 Instrumento Formato DIPEVA .................................................................................... 52

3.1.2 Primera aproximación a las dificultades en el pensamiento variacional ..................... 54

3.2 FASE 2: DISEÑO DEL EXPERIMENTO I ................................................................. 55

3.2.1 Instrumentos para refinar la mirada a las dificultades ................................................. 57

3.2.2 Segunda aproximación a las dificultades en el pensamiento variacional .................... 59

3.3 FASE 3: DISEÑO DEL EXPERIMENTO II ................................................................ 63

3.4 FASE 4: CARACTERIZACIÓN DE LAS DIFICULTADES ...................................... 64

3.4.1 Análisis de los problemas de fenómenos variacionales............................................... 65

ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS:

UNA MIRADA DESDE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN FENÓMENOS DE VARIACIÓN

9

CAPÍTULO 4.77

DIFICULTADES EMERGENTES DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

VARIACIONALES ............................................................................................................ 77

4.1 DIFICULTADES EN PROCEDIMIENTOS ARITMÉTICOS ..................................... 79

4.2 DIFICULTADES EN PROCEDIMIENTOS GEOMÉTRICOS .................................... 94

4.3 DIFICULTADES EN PROCEDIMIENTOS MÉTRICOS ............................................ 99

4.4 DIFICULTADES EN PROCEDIMIENTOS ANALÍTICOS ...................................... 103

4.4.1 Dificultades analíticas asociadas a los patrones y las regularidades ........................ 103

4.4.2 Dificultades analíticas asociadas a los procesos algebraicos .................................... 119

4.4.3 Dificultades analíticas asociadas al análisis de funciones ........................................ 135

CONCLUSIONES ............................................................................................................ 158

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................... 177

ANEXOS

Lista de Ilustraciones

Ilustración 1. Momento en el que los estudiantes universitarios colombianos desertan ...... 17

Ilustración 2. Variables explicativas de la deserción en IES en Colombia .......................... 18

Ilustración 3. Rendimiento académico en Cálculo I de estudiantes UIS, 2012-2013 .......... 19

Ilustración 4. Estructura general del proyecto institucional de la UIS para atender ............ 21

Ilustración 5. Categorización de errores por Orton (1983) ................................................... 30

Ilustración 6. Taxonomía de los Procedimientos ................................................................. 46

Ilustración 7. Esquema de los ejes temáticos de la Seduca .................................................. 52

Ilustración 8. Componentes de la estructura del Formato DIPEVA para ASAE ................. 53

Ilustración 9. Visión cuantitativa de los datos de los 17 alumnos-profesores de ASAE ...... 54

Ilustración 10. Conexión de estándar-indicador-problema................................................... 56

Ilustración 11. Reporte de las pruebas diagnóstico del Curso de Precálculo UIS ................ 56

Ilustración 12. Muestra del instrumento "Hoja de Procesos" de la PDI ............................... 57

Ilustración 13. Muestrario del Formato de Evaluación DIPEVA ......................................... 59

Ilustración 14. Distribución de estudiantes por nivel de dificultad en el Estándar 1 ........... 60




Ilustración 18. Procedimiento metodológico de la investigación ......................................... 64

Ilustración 19. Estrategia para tratar los decimales .............................................................. 80

Ilustración 20. Uso indiscriminado de decimales ................................................................. 80

Ilustración 21. Quitar o adicionar cifras decimales para sumar decimales .......................... 81

Ilustración 22. Resultados erróneos del algoritmo de la división ......................................... 81

lustración 23. Uso de operaciones sin monitoreo ................................................................. 82

Ilustración 24. Elaboración de un nuevo algoritmo de división erróneo .............................. 83

Ilustración 25. Dificultades en el uso del algoritmo de la multiplicación ............................ 83

Ilustración 26. Enunciado del problema del cuadrado ......................................................... 84

Ilustración 27. Uso de fracciones para plantear el procedimiento de solución .................... 85

Ilustración 28. Agregando ceros para suplir el algoritmo de la división .............................. 85

Ilustración 29. Errores en la multiplicación con decimales .................................................. 86

Ilustración 30. Dificultad en la jerarquía de operaciones ..................................................... 86

Ilustración 31. Confusión de algoritmos con decimales ....................................................... 87

Ilustración 32. Multiplicación de decimales errada .............................................................. 87

Ilustración 33. Error al multiplicar fraccionarios ................................................................. 88

Ilustración 34. Errores en la simplificación de polinomios aritméticos ............................... 89

Ilustración 35. Procedimiento que desconoce el valor absoluto ........................................... 90

Ilustración 36. Dificultades para emplear el valor absoluto como operador ........................ 91

Ilustración 37. Valor absoluto, uso correcto del operador .................................................... 91

Ilustración 38. Errores con el valor absoluto como operador e indeterminaciones .............. 92

Ilustración 39. Errores reincidentes con números racionales .............................................. 92

Ilustración 40. Ratificando dificultades con los fraccionarios ............................................. 93

Ilustración 41. Representaciones geométricas del problema de la pelota ............................ 94

Ilustración 42. Sistema de referencia para el problema de la pelota .................................... 95



11

Ilustración 43. Representaciones geométricas del problema del cuadrado .......................... 96

Ilustración 44. Procedimiento geométrico-aritmético inconcluso ........................................ 96

Ilustración 45. Representaciones geométricas del problema del folleto .............................. 97

Ilustración 46. Representaciones geométricas del problema del folleto .............................. 97

Ilustración 47. El círculo unitario como representación geométrico .................................... 98

Ilustración 48. Cambio indiscriminado de unidad de medida ............................................ 100

Ilustración 49. Uso correcto de unidades de medida .......................................................... 101

Ilustración 50. Procedimientos métricos sin unidades de medida ...................................... 101

Ilustración 51. La pulgada como unidad de medida ........................................................... 101

Ilustración 52. Sumando cantidades de longitud ................................................................ 102

Ilustración 53. Representaciones pictóricas del problema de la pelota .............................. 104

Ilustración 54. Diseño de una tabla de valores ................................................................... 105

Ilustración 55. Ecuación que relaciona los datos del problema .......................................... 106

Ilustración 56. Simbolización de una relación funcional ................................................... 107

Ilustración 57. Procedimientos con datos sesgados ............................................................ 108

Ilustración 58. Errores en procedimientos aritméticos y analíticos .................................... 110

Ilustración 59. Aritmetizar, una tendencia en la resolución de problemas ......................... 110

Ilustración 60. Modelo para el área del folleto en función de uno de sus lados ................. 111

Ilustración 61. Modelo del folleto erróneo ......................................................................... 112

Ilustración 62. Expresar una variable en términos de otra: una dificultad ......................... 112

Ilustración 63. Respuesta correcta al problema del coseno ................................................ 113

Ilustración 64. Calculando el ángulo para hallar el 𝑐𝑜𝑠 (2𝛼) ............................................ 113

Ilustración 65. Ángulos de referencia en la solución del problema del coseno .................. 114

Ilustración 66. Dificultades en lo trigonométrico ............................................................... 114

Ilustración 67. Dificultades para diferenciar el ángulo de una función .............................. 115

Ilustración 68. Creando procedimiento sin fórmulas ......................................................... 115

Ilustración 69. Tratamiento del ángulo y del seno en lo algorítmico ................................. 116

Ilustración 70. El seno y su ángulo tratados como relación multiplicativa ........................ 117

Ilustración 71. Problema de la temperatura ........................................................................ 117

Ilustración 72. Problema de la variación de la temperatura del agua ................................. 118

Ilustración 73. Sumando funciones trigonométricas .......................................................... 118

Ilustración 74. Tendencia de la suma a 19,9 m considerando una o dos cifras decimales . 119

Ilustración 75. Tendencia de la suma a 19,9 m considerando varias cifras decimales ....... 120

Ilustración 76. Registro de que la imposibilidad de convergencia ..................................... 121

Ilustración 77. Puntos suspensivos como registro del infinito ........................................... 122

Ilustración 78. Solución correcta del problema de la pelota ............................................... 123

Ilustración 79. Generalización del proceso infinito del problema de la pelota .................. 123

Ilustración 80. Elaboración de procedimientos analíticos desde la Física ......................... 124

Ilustración 81. Procedimientos analíticos para el problema de la pelota ............................ 124

Ilustración 82. Dato del problema es un distractor en la resolución ................................... 125

Ilustración 83. El infinito como respuesta en procesos de convergencia ........................... 126

Ilustración 84. Razonamiento sobre el área sombreada ..................................................... 127

Ilustración 85. Razonamiento proceso interminable .......................................................... 127

Ilustración 86. Un registro incoherente .............................................................................. 129

Ilustración 87. Diferentes procedimientos en una solución ................................................ 129



12

Ilustración 88. Error de ejecución procedimiento analítico de representación gráfica ...... 130

Ilustración 89. Procedimientos que se complementan........................................................ 131

Ilustración 90. Elaboración fallida de procedimientos analíticos ....................................... 132

Ilustración 91. Procedimiento analítico destacado ............................................................. 133

Ilustración 92. Opciones de respuesta del problema del límite .......................................... 135

Ilustración 93. Uso de una tabla de valores ........................................................................ 136

Ilustración 94. Tabulación de datos .................................................................................... 136

Ilustración 95. Graficación de la función comprometida en el límite ................................ 136

Ilustración 96. Representación gráfica errónea .................................................................. 137

Ilustración 97. Contexto analítico del valor absoluto ......................................................... 138

Ilustración 98. Valor absoluto contemplado como función por partes ............................... 138

Ilustración 99. Estructura de los modelos y significados del valor absoluto ...................... 138

Ilustración 100. Justificación verbal a un problema de límites .......................................... 139

Ilustración 101. Elaboración de procedimientos analíticos sin conocer de límites ............ 139

Ilustración 102. Graficando la función del límite ............................................................... 140

Ilustración 103. Sustituir para hallar el límite .................................................................... 140

Ilustración 104. Análisis de límite lateral por la derecha ................................................... 141

Ilustración 105. Representaciones gráficas erróneas .......................................................... 142

Ilustración 106. Soluciones al límite desde lo gráfico ........................................................ 142

Ilustración 107. Vestigios de la definición épsilon-delta de límite .................................... 143

Ilustración 108. Una solución satisfactoria......................................................................... 143

Ilustración 109. El problema del carrito de juguete............................................................ 144

Ilustración 110. Uso de la derivada para calcular la velocidad instantánea ....................... 145

Ilustración 111. Evaluando la función para hallar la velocidad instantánea ...................... 145

Ilustración 112. Influencia de contextos de física en los procedimientos .......................... 146

Ilustración 113. “Velocidad instantánea” asociada con la “velocidad en un instante” ..... 146

Ilustración 114. Usos de la tabla de valores para obtener información .............................. 147

Ilustración 115. Problema de la partícula con una solución ............................................... 148

Ilustración 116. Solución correcta del problema de la derivada ......................................... 148

Ilustración 117. Infinitas tangentes ..................................................................................... 149

Ilustración 118. Tabular para graficar una función ............................................................ 149

Ilustración 119. Evaluando la función ................................................................................ 150

Ilustración 120. Conclusiones erradas con imágenes mentales antiguas ............................ 150

Ilustración 121. Asociación de ideas incorrectas................................................................ 151

Ilustración 122. Interpretación errónea de los extremos de un intervalo ............................ 151

Ilustración 123. Problema de la función cúbica ................................................................. 152

Ilustración 124. Intención de reemplazar ........................................................................... 153

Ilustración 125. Dificultades para resolver problemas con derivadas ................................ 153

Ilustración 126. Problema de la empresa láctea ................................................................. 155

Ilustración 127. Sustituir como procedimiento para modelar ............................................. 155

Ilustración 128. Análisis para obtener el modelo de los tanques........................................ 156

Ilustración 129. Organización de la educación en Colombia ............................................. 168

Ilustración 130. Elementos directrices del currículo de Matemáticas en Colombia .......... 170

Ilustración 131. Estructura de los Estándares Básicos en Competencias en Matemáticas . 175

Lista de Tablas

Tabla 1. Porcentajes de deserción acumulada UIS ............................................................... 19

Tabla 2. Los procesos matemáticos desde tres posturas ....................................................... 23

Tabla 3. Recopilación de categorización de errores en Matemáticas ................................... 28

Tabla 4. Referentes teóricos sobre constructos conceptuales asociados al Cálculo ............. 40

Tabla 5. Tres perspectivas sobre tipo de procedimientos ..................................................... 44

Tabla 6. Aproximación teórica a "destreza", "procedimiento" y "dominio de concepto" .... 44

Tabla 7. Resumen resultados en estándares e indicadores de la PDI_2014_I (Nivel 5) ...... 62

Tabla 8. Desempeño en la PDI de 2014-I de estudiantes de nuevo ingreso ......................... 63

Tabla 9. Tabla de Análisis problema de la pelota................................................................. 66

Tabla 10. Tabla de Análisis problema del cuadrado ............................................................ 67

Tabla 11.Tabla de Análisis problema del límite ................................................................... 68

Tabla 12. Tabla de Análisis problema del carrito de juguete ............................................... 69

Tabla 13. Tabla de Análisis problema de la partícula .......................................................... 70

Tabla 14. Tabla de Análisis problema de la empresa láctea ................................................. 71

Tabla 15. Tabla de Análisis problema de la cúbica .............................................................. 72

Tabla 16. Tabla de Análisis problema del folleto ................................................................. 73

Tabla 17. Tabla de Análisis problema del coseno ................................................................ 74

Tabla 18. Tabla de Análisis problema de la temperatura del agua ....................................... 76

Tabla 19. Puntajes promedio y desviaciones estándar en matemáticas, PISA 2012 ............ 77

Tabla 20. Problemas que incorporan objetos matemáticos de procedimientos métricos ..... 99

Tabla 21. Contrastando acciones de conversión ................................................................. 100

Lista de Anexos

Anexo 1. Organización de la educación en Colombia........................................................ 168

Anexo 2. Lineamientos Curriculares de Matemáticas ........................................................ 170

Anexo 3. Estándares Básicos en Competencias en Matemáticas ....................................... 172

Anexo 4. Conjuntos de grado para los Estándares ............................................................. 175

Anexo 5. Estándares asociados a los ejes temáticos de Seduca (2005) .............................. 176

Introducción

Tras el salto del colegio a la universidad a los 17 años, en promedio, los estudiantes se

enfrentan a los cursos de Cálculo Diferencial, Cálculo Integral, Cálculo Multivariable,

Ecuaciones Diferenciales, etc., cursos en los cuales la reprobación y la retención de

estudiantes son fenómenos preocupantes. Artigue (2003, p. 123), quien ha estudiado las

dificultades del aprendizaje del cálculo con el ánimo de comprenderlas y describirlas,

expresa que una posible justificación a ello se debe a que “la transición hacia

aproximaciones más formales [de los conceptos matemáticos], que tiene lugar en la

universidad, representa un salto tremendo, tanto conceptual como técnicamente”.

Recientes resultados del seguimiento al fenómeno de deserción escolar presentados por el

MEN (2009), Huesca y Castaño (2007) demuestran que el principal factor determinante del

abandono de estudios está asociado al potencial o capital cultural y académico con el cual

ingresan los estudiantes a la educación superior y esto lo evidencian los estudiantes de la

Universidad Industrial de Santander (Colombia). Algunos estudios realizados por la

Vicerrectoría Académica de la universidad han identificado que el curso de Cálculo I

(Cálculo Diferencial) se ubica en el primer y segundo lugar en cuanto a reprobación,

cancelación y repitencia, curso que está en el pensum de las ingenierías y de las carreras de

la Facultad de Ciencias de la universidad.

Desde 2012, a un porcentaje de los estudiantes de nuevo ingreso a la universidad que son

identificados como estudiantes en riesgo académico por el Sistema de Apoyo a la

Excelencia Académica de la institución, se les ofrece un curso de precálculo con el

propósito de fortalecer su pensamiento variacional, esto desde una estructura curricular

basada en los procesos matemáticos y en la mediación de un software matemático

interactivo.

Esta investigación es de metodología mixta pues responde a métodos cuantitativos y

cualitativos. Se desarrolló desde el contexto del curso de precálculo buscando caracterizar

las dificultades que emergen en la resolución de problemas variacionales de los estudiantes

de nuevo ingreso a la universidad. Esto desde el proceso matemático elaboración,

comparación y ejercitación de procedimientos contemplado por el Ministerio de Educación

Nacional de Colombia en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas (MEN, 1998) y

por los Estándares Básicos en Competencias de Matemáticas (MEN, 2006).

Para realizar la caracterización de las dificultades en torno al proceso mencionado, se

contempló la categorización que realiza el MEN (1998) de los procedimientos, de tal modo

que ésta viene a ser la directriz del análisis de los datos que nos llevará a alcanzar el

objetivo de la investigación. Dicha categorización responde a los procedimientos de tipo

aritmético, geométrico, métrico y analítico.

Este documento, se constituye en reporte final de investigación y consta de las siguientes

partes:



16

Capítulo 1. Génesis de la Investigación. Aquí se exponen el contexto donde emerge la

problemática de esta investigación al mismo tiempo que se da cuenta de la pregunta y el

objetivo general de este trabajo. Además se presentan los antecedentes de la investigación

en torno a las dificultades del aprendizaje del cálculo, pensamiento variacional, procesos

matemáticos y se ofrece una visión rápida del sistema educativo de Colombia.

Capítulo 2. Marco Conceptual. Aquí se exponen de manera profunda los aspectos

teóricos sobre los cuales se sustenta esta investigación en cuanto a “cambio y variación”,

“resolución de problemas”, “proceso de elaboración, comparación y ejecución de

procedimientos” (proceso ECEP) y la categorización de los procedimientos mencionada.

Capítulo 3. Proceso Metodológico. En este apartado se da cuenta de la metodología

empleada para la obtención de los datos y su respectivo tratamiento estadístico; de las

técnicas e instrumentos de recolección de datos que se emplearon; la delimitación de la

muestra del estudio; el procedimiento a seguir para llevar a cabo el estudio y de la técnica

de análisis de los datos.

Capítulo 4. Caracterización de las Dificultades en los Procedimientos. Aquí se

presentan los resultados del análisis de los datos en relación a la categorización de los

procedimientos realizados por 113 estudiantes de nuevo ingreso en la resolución de 10

problemas de la prueba diagnóstica inicial del curso de precálculo.

Conclusiones. Es el último apartado del cuerpo de esta disertación, en éste se sintetizan los

hallazgos de la caracterización y se ofrecen algunas recomendaciones para dar continuidad

a este trabajo en futuras investigaciones.

CAPÍTULO 1.

GÉNESIS DE LA INVESTIGACIÓN

Este capítulo se desarrollará en dos grandes partes: la primera de ellas revelará una

problemática que se vive al interior de la Universidad Industrial de Santander el cual será,

en la segunda parte, enmarcado en una problemática de la Matemática Educativa a partir

del análisis de diversas investigaciones.

1.1 EL CÁLCULO DIFERENCIAL, UNA PROBLEMÁTICA EN LA UIS

El Ministerio de Educación Nacional (MEN, 2010) de Colombia reportó que un logro de la

política educativa responde al cumplimiento de las metas propuestas en cobertura: 34,7%

según el Plan de Desarrollo Sectorial 2007-2010; las tasas de cobertura han crecido en 10

puntos, pasando del 25,6% en 2003 al 35,5% en 2009.

La ampliación de cobertura que ha tenido la educación superior durante los últimos

años ha traído consigo un cambio estructural en la composición de la población

estudiantil. Efectivamente, están ingresando más estudiantes, pero a su vez, en

condiciones de mayor riesgo en lo académico y económico.

Consecuentemente, el tema de la deserción ha venido impactando los escenarios educativos

y es hoy un tema de primer orden: las mediciones más recientes identifican una deserción

para todo el sector de Educación Superior del 49%, tasa que incluye la deserción en el nivel

técnico profesional, tecnológico y profesional universitario (ibíd.).

Ilustración 1. Momento en el que los estudiantes universitarios colombianos desertan Fuente: MEN (2009).



18

Como se aprecia de la Ilustración 1, en sus estudios sobre esta problemática, el MEN

encuentra que el momento con mayor índice de deserción es el primer semestre el 37% del

total de estudiantes desertores se va en primer semestre y el 16% en segundo; es decir, más

de la mitad de la deserción se concentra en los primeros dos semestres; y más aún, el 78%

de la deserción tiene lugar en la primera mitad de la carrera

Es decir, cerca de uno de cada dos estudiantes que ingresa no se gradúa; uno de cada cinco

se retira en primer semestre o emigra hacia otras áreas. Adicional a esto se tiene

información de que son cuatro las variables que inciden en el fenómeno de la deserción:

personales, académicas, socioeconómicas e institucionales, como se aprecia en la

Ilustración 2.

Ilustración 2. Variables explicativas de la deserción en IES en Colombia Fuente: MEN (2009).

Para centrarnos en la variable académica, es necesario saber que en Colombia para ingresar

a la educación superior los estudiantes presentan el examen obligatorio Prueba Saber (antes

Examen del ICFES), elemento que ofrece al país una medida de la calidad de la educación.

Al hacerse una aproximación a los resultados obtenidos en la prueba, el MEN encuentra

que mientras en 1998 el 32% traía un puntaje valorado como alto, en 2008 sólo el 13% tuvo

una calificación de este tipo. En contraste, la participación del puntaje bajo pasó de 25% a

46% durante el mismo periodo (MEN, 2010, p. 4). Esto implica que para enfrentar el reto

de cursar exitosamente sus estudios los estudiantes que accedieron a la educación superior

en 2007 presentan condiciones académicas menos favorables que los de 1998.

La Universidad Industrial de Santander (UIS, por sus siglas) vive la problemática de bajo

rendimiento académico de los estudiantes de nuevo ingreso a la institución. La UIS es una

institución de educación pública de carácter oficial con cuatro sedes a nivel departamental.

En su sede principal tiene cinco facultades con un total de 32 programas de pregrado a

2013: facultad de Ciencias Humanas, de Ingenierías Fisicoquímicas, de Ciencias (con cinco

programas), de Ingenierías Fisicomecánicas, y la de Salud.



19

En el ciclo básico de las carreras de Física, Matemáticas, Licenciatura en Matemáticas y de

Ingenierías se cursa en el primer nivel Cálculo I (Cálculo Diferencial), carreras que han

experimentado por años los altos índices de fracaso escolar y deserción como se puede

apreciar en la Tabla 1 que sigue.

Tabla 1. Porcentajes de deserción acumulada UIS

Facultad/Programa 2009 2010 2011 2012 2013

Ciencias1

Física 70,45 75,56 59,77 63,04 71,43

Licenciatura en

Matemáticas 60,24 65,22 47,06 72,09 71,74

Ingenierías

Fisicomécanicas 45,31 40,40 42,38 45,41 42,47

Ingenierías

Fisicoquímicas 39,52 38,05 40,33 39,36 27,24

Fuente: Universidad Industrial de Santander (2013)

La universidad realizó un estudio con el que encontró que los cursos de matemáticas son

los que mayor dificultad le generan a los estudiantes de nuevo ingreso (Botello, 2013).

Recientes estudios de la Vicerrectoría Académica muestran que, por ejemplo, en 2012 y

2013 se ofrecieron 40 cursos en promedio, cada uno de ellos con 40 estudiantes, el

porcentaje aproximado de reprobación en Cálculo Diferencial (Cálculo I) fue entre 49 y

64% (ver Ilustración 3) siendo esta situación preocupante para las diferentes instancias

educativas de la universidad.

Ilustración 3. Rendimiento académico en Cálculo I de estudiantes UIS, 2012-2013

1 Para la Facultad de Ciencias se especifican los programas de Física y Licenciatura en Matemáticas ya que

Biología y Química están adscritas a la facultad. Matemáticas no aparecen en esta tabla porque no es

reportada por la UIS ya que su creación fue en 2007 y los datos corresponden a la deserción acumulada a

décimo semestre de cada programa en los últimos cinco años.

2012-I 2012-II 2013-I 2013-II

% Cancelaron 4,18 6,41 9,95 6,96

% Aprobaron 32,04 31,74 31,40 41,94

% Reprobaron 63,77 61,84 58,65 49,80

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

Porcentaje

de

estudia

ntes



20

Para el caso de Cálculo II (Cálculo Integral), el porcentaje de aprobación oscila entre el 41

y 50%, esto para un promedio de 29 cursos con 40 estudiantes. De lo expuesto

anteriormente, tenemos que:

(i) Los estudiantes de nuevo ingreso son quienes tienen mayor riesgo académico

tras su ingreso al sistema educativo universitario.

(ii) La formación escolar que antecede a los estudios de posgrados incide en el nivel

de permanencia y graduación de los nuevos estudiantes de la educación

superior. Esto, a su vez, impacta el desempeño de los estudiantes en asignaturas

como el Cálculo Diferencial (asignatura que es tomada por los estudiantes de

primer nivel de 16 carreras de la UIS).

En aras de aportar soluciones a la problemática en la UIS, la Vicerrectora Académica de la

institución desarrolló el proyecto “Diagnóstico de las causas de deserción y retención

estudiantil en los programas de pregrado presencial de la Universidad Industrial de

Santander” (UIS, 2011), cuya población de estudio fueron los estudiantes que ingresaron a

la universidad durante el periodo 2002-2008. Los datos de retención de los estudiantes que

ingresaron desde 1998 hasta el primer periodo académico de 2005 a los programas de

pregrado presencial mostraron que la materia con el más alto porcentaje de dificultad es

precisamente Cálculo Diferencial. Botello (2013) nos dice que otra alternativa de la

universidad es el trabajo en los programas de asesoría académica; estos se caracterizan

porque estudiantes de niveles superiores (tutores) resuelven dudas de otros estudiantes

(estudiantes beneficiarios) de cualquier semestre, y en diversas asignaturas (cálculo,

álgebra, química, física, etc.).

Por su parte, la Escuela de Matemáticas de la universidad, convencida de la necesidad de

apoyar a los estudiantes en sus procesos de enseñanza y aprendizaje del Cálculo, con el

liderazgo de sus profesores e investigadores, la Escuela ha desarrollado estudios para

comprender la problemática alrededor de Cálculo I; por ejemplo, Fiallo y Parada (2014),

han identificado que las causas de la reprobación en la asignatura podrían ser de tipo:

curricular, de metodologías de enseñanza o de procesos de aprendizaje. Con relación a los

aspectos curriculares, los autores pensaron en causas como:

1. Los estudiantes no traen los conocimientos necesarios de álgebra y de

precálculo lo cual podría deberse a que los contenidos no son trabajados o vistos

en el colegio.

2. La inclusión de fundamentos matemáticos en plan de estudios del curso de

Cálculo I, lo que hace más extenso el programa y obliga al profesor a ir rápido en

el estudio de los contenidos trazados y, consecuentemente, los estudiantes no

logran procesar toda la información.

3. El cambio del sistema de evaluación; en el colegio se les ofrecen muchas

alternativas para que ellos recuperen una y otra vez una “valoración” lo que se

modifica en la universidad.

La Escuela ha considerado la puesta en marcha de alternativas curriculares para atender a la

problemática: desde 2009 se creó un plan de estudios unificado. Éste se ajusta cada

semestre en cuanto a ejercicios sugeridos y planificación de la evaluación, pero se mantiene

el diseño curricular. Así mismo, Botello (2013) nos indica que se definió un texto guía



21

(Stewart, 2008) y que, para cada semestre, la Escuela realiza el examen final para todos los

estudiantes de Cálculo I de la institución. De otra parte, en 2012 se consolida una propuesta

curricular desde dos flancos: preventivo (estudiantes admitidos) y remedial (estudiantes

matriculados). En la Ilustración 4 se muestra un esquema de todo lo que comprende la

propuesta, la cual se empezó a implementar parcialmente desde ese mismo año y es

precisamente desde la implementación de este proyecto y desde una de las actividades de

las alternativas preventivas que se desprende el estudio que aquí reportamos.

Ilustración 4. Estructura general del proyecto institucional de la UIS para atender

la problemática alrededor del Cálculo

Fuente: Parada (2012)

Parada (2012) nos explica que las alternativas preventivas plantean entre una de sus

actividades una prueba diagnóstica aplicada a estudiantes admitidos al primer nivel de

carreras de ingeniería y de la Facultad de Ciencias que son invitados a participar de un

curso de precálculo. Dicha prueba se realiza con el fin de detectar algunas de las

dificultades en matemáticas con las que ingresan los estudiantes a la universidad para con

ello poder planear las demás alternativas remediales que ofrece la universidad como lo son

las tutorías individuales.

Tanto la prueba diagnóstica como las actividades del curso de precálculo pretenden valorar

y posibilitar el desarrollo del pensamiento variacional y de los procesos matemáticos

asociados a la variación (objeto cognitivo del Cálculo Diferencial) como el razonamiento,

la resolución y el planteamiento de problemas, la comunicación, la modelación y la

elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos (MEN, 1998, pág. 35).



22

El curso de precálculo y el proyecto general, se han constituido en espacios de reflexión

para la comunidad de profesores investigadores en educación matemática adscritos al

Grupo de Investigación en Educación Matemáticas (Grupo EDUMAT-UIS) de la Escuela

de Matemáticas, quienes actualmente adelantan varias investigaciones que pretenden

estudiar los procesos matemáticos en torno a la resolución de problemas de fenómenos

variacionales, con el objetivo de caracterizar las habilidades básicas del pensamiento

variacional necesarias para la comprensión del Cálculo Diferencial (precisamente los

resultados de esta investigación pretende contribuir teórica y empíricamente con dicho

estudio).

Por todo lo anterior, se proyecta un estudio que pretende responder al siguiente

interrogante: ¿con cuáles dificultades llegan los estudiantes a la universidad para resolver

problemas que implican situaciones de variación, específicamente desde el proceso

matemático de elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos? Esto nos lleva a

direccionar la investigación con el siguiente objetivo de investigación: caracterizar

algunas dificultades que enfrentan los estudiantes cuando resuelven problemas que

implican fenómenos de variación, específicamente desde el proceso matemático de

elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos.

1.2 ANTECEDENTES

En este apartado recuperamos algunos resultados de investigaciones alrededor de la

problemática de las dificultades asociadas al cálculo diferencial (§1.3.2), lo cual nos

permitirá vislumbrarlas como un campo de investigación muy amplio y complejo que

requiere de su comprensión para ayudar a los estudiantes y a las universidades a sortear el

fenómeno a través del diseño de estrategias curriculares de apoyo (§1.3.3). Veremos que

los procesos matemáticos (§1.3.1) son un eje curricular importante para el desarrollo del

pensamiento matemático del estudiante, que le permiten enfrentarse a la resolución de

problemas de fenómenos de variación con éxito superando el conocimiento procedimiental.

1.2.1 Estudios que caracterizan los procesos matemáticos

Recientemente se ha venido reconociendo entre la comunidad de educadores matemáticos

la importancia de promover en los estudiantes un aprendizaje que supere lo memorístico; se

afirma que en el estudio de las matemáticas es necesario atender tanto a las líneas de

contenidos como a los procesos donde los estudiantes tengan oportunidades de examinar

casos particulares, formular conjeturas, presentar argumentos y comunicar resultados

(MEN, 1998).

Tall (1988, citado por Gómez, 2009) introduce los procesos matemáticos al hablar del

pensamiento matemático avanzado (PMA) cuando los procesos de la actividad matemática

se refieran a demostrar, definir y abstraer o en objetos matemáticos avanzados como

función, límite, espacio topológico, etc.



23

Rico señala que los procesos matemáticos describen lo que hacen los individuos para

relacionar el contexto de un problema con las matemáticas.

los procesos que deben activarse para conectar el mundo real, donde surgen los

problemas con las matemáticas y resolver entonces la cuestión planteada, lo cual

permite concretar el significado general mediante diversos tipos de capacidades de

análisis, razonamiento y comunicación que los estudiantes ponen en juego cuando

resuelven o formulan problemas matemáticos en una variedad de dominios y

situaciones (2006, p. 282).

Como se observará en la Tabla 2, la revisión de los antecedentes nos condujo a tres autores

que teorizan sobre procesos matemáticos de diferente forma aunque con aspectos comunes

de fondo:

Principios y Estándares para la Educación Matemática (NCTM, 2003).

Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas (MEN, 1998).

PISA (OCDE, 2012).

Tabla 2. Los procesos matemáticos desde tres posturas

NCTM (20032) MEN (1998) OCDE (20123)

Estándares

de Procesos

Procesos

Generales de la

Actividad

Matemática

Procesos

Matemáticos

Resolución de

Problemas

Razonamiento y

Demostración

Comunicación,

Conexiones y

Representación.

Resolución de

Problemas

Comunicación

Razonamiento

Modelación

Elaboración,

comparación y

ejercitación de

procedimientos

Formulación matemática

de las situaciones

Empleo de conceptos,

datos, procedimientos y

razonamientos matemáticos

Interpretación, aplicación

y valoración de los

resultados matemáticos.

Fuente: Elaboración de la investigadora.

Los Principios y Estándares para la Educación Matemática son una pieza esencial en el

debate sobre el currículo de matemáticas en Colombia. La propuesta destaca además de

estándares de contenido (números y operaciones; geometría y sentido espacial; patrones,

relaciones y álgebra; medición, análisis de datos y probabilidad), cinco estándares de

procesos del pensamiento matemático los cuales apoyan el aprendizaje de los estándares de

contenidos y se desarrollan a través de éstos. Los investigadores del NCTM (2003) dejan

claro que los estándares de procesos ponen de relieve las formas de adquisición y uso de los

contenidos, por lo que integran los unos con los otros al describirlos en cada nivel

educativo tratando de diferenciar los procesos de contenidos, de manera que sea más

comprensible para los profesores el cómo desarrollar procesos matemáticos.

2 Corresponde a la versión en español. 3 La versión anterior corresponde al 2004, tiempo en el cual las competencias elegidas por el proyecto PISA

eran siete: Pensar y razonar, Argumentar, Comunicar, Modelizar, Plantear y resolver problemas, Representar

y Utilizar el lenguaje simbólico, formal y técnico y las operaciones (Rico, 2006).



24

En Colombia, tomando como referencia el trabajo del NCTM y tratando de contextualizar

los cincos estándares de procesos a las expectativas que sobre estos se tienen de la

formación de los estudiantes, el MEN (1998) consideró cinco procesos matemáticos que

también se espera sean transversales en el currículo durante toda la escolaridad; con gran

dificultad en los Estándares Básicos en Competencias en Matemáticas (MEN, 2006) se

intenta explicar que los procesos matemáticos están conectados los unos con los otros, a la

vez que con el pensamiento matemático.

La Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE, 2012) concibe al

estudiante como individuo que resuelve problemas de forma activa, y bajo este principio se

estructuran las pruebas PISA pretendiendo “englobar el razonamiento matemático y la

utilización de conceptos, procedimientos, datos y herramientas matemáticas para describir,

explicar y predecir fenómenos” (p. 9). En concreto, los verbos «formular», «emplear» e

«interpretar» señalan los tres procesos en los que van a participar los estudiantes como

individuos que resuelven problemas de forma activa. Estos tres procesos se refieren a las

tres categorías que la OCDE emplea para presentar los resultados del proyecto PISA desde

siete capacidades matemáticas que subyacen a los procesos matemáticos (2012):

1. Comunicar

La lectura, descodificación e interpretación de enunciados, preguntas, tareas u objetos le

permite formar un modelo mental de la situación, que es un paso importante para la

comprensión, clarificación y formulación de un problema. Durante el proceso de solución

puede ser necesario resumir y presentar los resultados intermedios. Posteriormente, una vez

que se ha encontrado una solución, el individuo que resuelve el problema puede tener que

presentarla a otros y tal vez una explicación o justificación.

2. Matematizar

Puede suponer transformar un problema definido en el mundo real en una forma

estrictamente matemática (que puede incluir la estructuración, conceptualización,

elaboración de suposiciones y/o formulación de un modelo) o la interpretación o valoración

de un resultado o modelo matemático con relación al problema original.

3. Representar

Esto puede suponer la selección, interpretación, traducción entre y utilización de distintas

representaciones para reflejar una situación, interactuar con un problema o presentar el

propio trabajo. Las representaciones a las que se hace referencia incluyen gráficos, tablas,

diagramas, imágenes, ecuaciones, fórmulas y materiales concretos. También incluye el uso

de herramientas físicas (calculadoras y herramientas informáticas), que favorecen en varios

casos el desarrollo de actividad matemática profunda además de las diferentes

representaciones de un mismo objeto matemático.

4. Razonamiento y argumentación

Esta capacidad implica procesos de pensamiento arraigados de forma lógica que exploran y

conectan los elementos del problema para realizar inferencias a partir de ellos, comprobar

una justificación dada o proporcionar argumentos de los enunciados o soluciones a los

problemas.



25

5. Diseño de estrategias para resolver problemas

Esto implica un conjunto de procesos de control fundamentales que guían al individuo para

que reconozca, formule y resuelva problemas eficazmente. Esta destreza se caracteriza por

la selección o diseño de un plan o estrategia cuyo fin es utilizar las matemáticas para

resolver los problemas derivados de una tarea o contexto, además de guiar su

implementación.

6. Utilizar operaciones y algoritmos

Esto implica la comprensión, interpretación, manipulación y utilización de expresiones

simbólicas en un contexto matemático (incluidas las expresiones y operaciones aritméticas)

regido por convenciones y reglas matemáticas. También supone la comprensión y

utilización de constructos formales basados en definiciones, reglas y sistemas formales, así

como el uso de algoritmos con estas entidades. Los símbolos, las reglas y los sistemas

empleados varían en función de los conocimientos concretos de contenido matemático que

se requieren en un ejercicio específico para formular, resolver o interpretar las matemáticas.

7.Utilización de herramientas matemáticas

El uso de herramientas físicas, como los instrumentos de medición, además de calculadoras

y herramientas informáticas que cada vez son más accesibles. El conocimiento y la

habilidad para utilizar las distintas herramientas que pueden favorecer la actividad

matemática, así como el conocimiento de sus limitaciones están implícitos en esta

capacidad. Asimismo, las herramientas matemáticas pueden desempeñar un papel crucial

en la comunicación de los resultados.

Al revisar cuidadosamente la conceptualización de las tres posiciones reseñadas se tiene

que todos coinciden en que los procesos matemáticos son requeridos en la resolución de

problemas ya que en el proceso de resolución los sujetos ejecutan los conocimientos y

procesos matemáticos necesarios para obtener resultados y encontrar una solución

matemática del problema, bajo la premisa de que cada uno de los procesos que apoya la

resolución de problemas recurre a habilidades cognitivas que ayudan a comprender un

problema y resolverlo.

Los procesos matemáticos también se constituyen en elementos importantes y transversales

del diseño curricular de matemáticas en Colombia; el MEN (1998, 2006) orienta en que los

profesores deben propender por una formación matemática que integre conceptos y

procesos matemáticos (premisa que también promueven el NCTM y la OCDE).

Estos procesos están muy relacionados con las competencias […] pues ser

matemáticamente competente requiere ser diestro, eficaz y eficiente en el desarrollo

de cada uno de esos procesos generales, en los cuales cada estudiante va pasando por

distintos niveles de competencia. Además de relacionarse con esos cinco procesos,

ser matemáticamente competente se concreta de manera específica en el pensamiento

lógico y el pensamiento matemático, el cual se subdivide en los cinco tipos de

pensamiento propuestos en los Lineamientos Curriculares: el numérico, el espacial, el

métrico o de medida, el aleatorio o probabilístico y el variacional (MEN, 2006, p.

56)4.

4 En el Anexo 3 se ofrece una visión sintética y detallada de cada pensamiento.



26

En el caso particular del Cálculo Diferencial, se espera que cuando un estudiante termine su

escolaridad cuente con los recursos conceptuales y cognitivos necesarios para el

aprendizaje del mismo, ya que el MEN (1998) señala que desarrollo del pensamiento

variacional se debe dar desde los primeros años de la educación primaria, para que el

estudiante al llegar a la universidad haya alcanzados los estándares básicos en competencias

en matemáticas propios del pensamiento variacional (MEN, 2006, p. 89):

Utilizar las técnicas de aproximación en procesos infinitos numéricos.

Interpretar la noción de derivada como razón de cambio y como valor de la

pendiente de la tangente a una curva y desarrollar métodos para hallar las derivadas

de algunas funciones básicas en contextos matemáticos y no matemáticos.

Analizar las relaciones y propiedades entre las expresiones algebraicas y las gráficas

de funciones polinómicas y racionales y de sus derivadas.

Modelar situaciones de variación periódica con funciones trigonométricas e

interpretar y utilizar sus derivadas.

Esto implica, dado que en el pensamiento variacional confluyen los procesos matemáticos

que coadyuvan a su desarrollo, que el estudiante cuente con la capacidad de poner en juego

los procesos matemáticos adquiridos durante el aprendizaje de los objetos matemáticos del

cálculo y en la resolución de problemas de fenómenos variacionales. No obstante, existe

una distancia importante entre los cuatro estándares señalados para el pensamiento

variacional que deberían ser del haber cognitivo de los estudiantes al ingresar a la

educación superior y la realidad académica de los estudiantes. Y es precisamente en esa

brecha, en donde esta investigación se sitúa para caracterizar algunas dificultades que

enfrentan los estudiantes cuando resuelven problemas que implican fenómenos de

variación, específicamente desde el proceso matemático de elaboración, comparación y

ejercitación de procesos contemplado por el MEN (2008) (sobre éste profundizaremos en

§2.2).

La búsqueda de antecedentes sobre el proceso matemático de “elaboración, comparación y

ejecución de procedimientos” (ECEP, en adelante) nos llevó a algunas investigaciones que

distinguen el conocimiento conceptual y el conocimiento procedimental (Rico, 1995;

NCTM, 1998; Rittle-Jhonson, Siegler y Wagner, 2001; Star, 2004; OCDE, 2012) como

parte de la competencia matemática.

El conocimiento conceptual se caracteriza más claramente como conocimiento que es

rico en relaciones. Puede pensarse como una membrana conectada de conocimiento,

una red en la que las relaciones de conexión son tan importantes como las piezas

discretas de información. Las relaciones saturan los hechos y proposiciones

individuales de modo que todas las piezas de información están conectadas a alguna

red. De hecho, una unidad de conocimiento conceptual no puede ser una pieza aislada

de información; por definición es una parte del conocimiento conceptual sólo si su

poseedor reconoce su relación con otras piezas de información” (Rico, 1995, p. 14

citando a Hiebert y Lefevre, 1986).

Rico (1995) señala que los procedimientos se pueden caracterizar en términos de destrezas,

razonamientos y estrategias como los niveles diferentes del campo de los procedimientos:

a. destrezas que se ejecutan procesando hechos [unidades de información];



27

b. razonamientos que se presentan al procesar relaciones entre conceptos, y permiten

establecer conexiones entre los mismos; y,

c. estrategias, que se ejecutan sobre representaciones de conceptos y relaciones.

Star (2005, en Rittle-Johnson y Schneider, 2012) reconoce que la definición de

conocimiento procedimental en ocasiones ha incluido restricciones importantes dentro de la

educación matemática, al considerarlo como los modos de ejecución ordenada de una tarea

asemejándolo a los pasos de una receta.

En Colombia, la noción de “ser matemáticamente competente” está conectada con la

distinción del conocimiento matemático en dos tipos: conocimiento básico y conocimiento

procedimental.

El primero está más cercano a la reflexión y se caracteriza por ser un conocimiento

teórico, producido por la actividad cognitiva, muy rico en relaciones entre sus

componentes y con otros conocimientos […].

Por su parte, el procedimental está más cercano a la acción y se relaciona con las

técnicas y las estrategias para representar conceptos y para transformar dichas

representaciones; con las habilidades y destrezas para elaborar, comparar y ejercitar

algoritmos y para argumentar convincentemente. El conocimiento procedimental

ayuda a la construcción y refinamiento del conocimiento conceptual y permite el uso

eficaz, flexible y en contexto de los conceptos, proposiciones, teorías y modelos

matemáticos; por tanto, está asociado con el saber cómo (MEN, 2006, p. 50).

Aunque existe cierta variabilidad en cómo se definen y miden estas construcciones, existe

un consenso general en que las relaciones entre el conocimiento conceptual y

procedimental a menudo son bidireccionales e iterativas. Por ejemplo, los autores Rittle-

Johnson y Schneider (2012) señalan que este conocimiento se desarrolla a través de la

práctica de resolución de problemas, por lo que dicha relación está ligada a determinados

tipos de problemas.

Para efectos de esta investigación nos apartaremos del conocimiento procedimental dada su

ambigüedad ya que consideramos que la resolución de problemas responde al engranaje de

conceptos, procedimientos y procesos lo cual supera la suficiencia de la dupla conceptos-

procedimientos para la resolución de problemas. También enfatizamos en que intentaremos

ir un paso delante de los errores cometidos por los estudiantes en la resolución de

problemas que implican fenómenos variacionales para hacer emerger, desde el análisis de

los errores, las dificultades que llevan a su ocurrencia.

1.2.2 De los errores hacia las dificultades en el aprendizaje de las matemáticas: Cálculo

Los reportes de investigaciones alusivas a las dificultades en el pensamiento matemático se

refieren a ellas en términos de errores. Una explicación encontrada en la misma literatura es

que éstos son una manifestación de las dificultades y los obstáculos propios del aprendizaje

(Díaz, 2009).

Rico (1995, p. 5) señala que “cuando un alumno proporciona una respuesta incorrecta a una

cuestión matemática que se le plantea se puede decir que su respuesta es errónea, y la



28

solución proporcionada es un error en relación con la cuestión propuesta”. Por ende, es en

los procesos de aprendizaje donde se develan las dificultades siendo éstas de una gran

variedad y potencialmente generadoras de los errores. Tales dificultades son categorizadas

(Di Blasi Regner y otros 2003, en Abrate, Pochulu y Vargas, 2006, pp. 31-34) en los

siguientes tópicos:

1. Dificultades asociadas a la complejidad de los objetos matemáticos.

2. Dificultades asociadas a los procesos de pensamiento matemático.

3. Dificultades asociadas a los procesos de enseñanza.

4. Dificultades asociadas al desarrollo cognitivo de los alumnos.

5. Dificultades asociadas a las actitudes afectivas y emocionales.

Tabla 3. Recopilación de categorización de errores en Matemáticas

INVESTIGACIÓN CATEGORÍA

Radatz

(1979, citado por Rico,

1995)

Errores debidos a dificultades de lenguaje.

Errores debidos a dificultades para obtener información

espacial.

Errores debidos a un aprendizaje deficiente de hechos,

destrezas y conceptos previos.

Errores debidos a asociaciones incorrectas o a rigidez del

pensamiento. Errores debidos a la aplicación de reglas o

estrategias irrelevantes.

Davis

(1984)

Errores inducidos por el lenguaje o la notación.

Errores por recuperación de un esquema.

Errores producidos por una representación inadecuada y

reglas que producen reglas.

Booth

(1984)

Errores comunes cometidos por los alumnos atribuidos a:

La naturaleza y el significado de los símbolos y las letras.

El objetivo de la actividad y la naturaleza de las respuestas en

álgebra.

La comprensión de la aritmética por parte de los estudiantes.

El uso inapropiado de “fórmulas” o “reglas de

procedimiento”.

Esteley – Villarreal

(1990, 1992, 1996)

Errores al operar con números reales en cálculos, planteo y

resolución de ecuaciones.

No empleo o uso parcial de la información.

No verificación de resultados parciales o totales

Empleo incorrecto de propiedades y definiciones (de números

o funciones).

No verificación de condiciones de aplicabilidad de teoremas,

definiciones, etc. En un caso particular.

Fuente: Adaptación de la investigadora de Engler, Gregorini, Müller, Vrancken y Hecklein (2004, p. 26-30)

El análisis de errores en el aprendizaje tomó una gran relevancia en las investigaciones en

Educación Matemática. Engler, Gregorini, Müller, Vrancken y Hecklein (2004) realizaron

un acercamiento a las investigaciones sobre errores en el aprendizaje de las matemáticas;

de ellas surgen otras categorías de errores (presentadas en la Tabla 3 anterior, en la cual

podremos observar algunas intersecciones).

Artigue (1998) reporta que diferentes investigaciones didácticas desarrolladas han mostrado

la existencia de dificultades fuertes y persistentes (tanto en áreas específicas de la

Matemática, o en la transición de la enseñanza secundaria-universidad) y enfatiza en que



29

éstas se implican y refuerzan mutuamente lo cual hace la problemática muy compleja, por

lo que las ha organizado en estructuras coherentes a saber:

• Las dificultades ligadas a la complejidad matemática de los objetos básicos de este

campo conceptual: los números reales, las funciones y las sucesiones, objetos que

están siempre en fase de construcción cuando se empieza la enseñanza del Análisis.

• Las dificultades ligadas a la conceptualización de la noción de límite, que es la

noción central del campo, y a su dominio técnico.

• Las dificultades ligadas a la necesaria ruptura con modos característicos de

pensamiento del funcionamiento algebraico.

Esta autora presenta resultados de investigaciones en los cuales se muestra que es común

entre los estudiantes la dificultad para diferenciar lo que es una función y el reconocimiento

de que las sucesiones son también funciones; los estudiantes tienen base en ejemplos que se

les han presentado con frecuencia y los toman como prototipos para emplearlos como

criterios para decidir qué es y qué no es función, asumiendo que una función es una

fórmula o una curva en lugar de considerar la definición formal que conocen.

Carlson, Jacobs, Coe, Larsen y Hsu (2003) afirman que los estudiantes ingresan a la

universidad con una comprensión deficiente sobre las funciones y que, incluso, estudiantes

académicamente talentosos tienen dificultad para modelar relaciones funcionales de

situaciones que involucran la razón de cambio de una variable cuando varía continuamente

en una relación dependiente con otra variable.

El límite es otro de los objetos matemáticos del cálculo cuyo aprendizaje es muy

problemático; se ha detectado la dificultad de los estudiantes entorno a su

conceptualización dada la significación que en la vida cotidiana tiene este término. Otro de

los aspectos que se suma a las dificultades en el dominio de este concepto se debe en la

enseñanza secundaria ya que los profesores no precisan en los procesos infinitos que

subyacen al límite pues su enseñanza se centra en sustituir, técnica que prevalece a lo largo

de los estudios de los estudiantes y son pocos los que logran sobrepasar el obstáculo (Hitt,

2003).

Hitt (ibíd.) explica que la manipulación algebraica relativa al concepto produce una

limitación en su comprensión, lo cual se agrandará a medida que se avanza en el

aprendizaje del cálculo además de que no les permitirá a los estudiantes enfrentarse a la

complejidad del pensamiento matemático avanzado. Se ha documentado también la

existencia de diversas dificultades para hacer traducciones del lenguaje gráfico al analítico.

Incluso al trabajar en el mismo lenguaje hay problemas, por ejemplo, al trabajar en el

lenguaje gráfico se presentan dificultades para establecer relaciones entre la gráfica de una

función y la de su derivada, o de sus primitivas (Artigue, 1998).

Viendo las dificultades desde el álgebra, Engler, Gregorini, Müller, Vrancken y Hecklein,

(2004) señalan que los errores comunes cometidos por los estudiantes se remiten a

problemas de comprensión de la aritmética ya que

las dificultades que los estudiantes presentan en el álgebra muchas veces no son tanto

dificultades en el álgebra como problemas que se quedan sin corregir en la aritmética.



30

En la mayoría de los errores cometidos en aritmética, los alumnos reflejan

dificultades de interiorización del concepto o falta de percepción (p. 27).

En cuanto al álgebra, Díaz (2009) señala que pese a que esta asignatura se le dedica

bastante tiempo de enseñanza en los niveles de secundaria y preparatoria, los estudiantes

que ingresan a la universidad tienen dificultades con la comprensión y manejo de conceptos

fundamentales relacionados con ella. Estas consideraciones llevaron al autor a profundizar

en la comprensión de las dificultades que tienen los estudiantes al resolver ejercicios y

problemas que involucran conocimientos algebraicos que son básicos para el curso del

cálculo.

Orton (1983) presenta una clasificación de los errores cometidos por 110 estudiantes

británicos en una prueba concerniente a derivadas e integrales; dichas categorías responden

a tres tipos de errores que se señalan en la Ilustración 5 que sigue.

Ilustración 5. Categorización de errores por Orton (1983) Fuente: Adaptación de la investigadora

Por otro lado, respecto a la enseñanza de los números reales que se da en la educación

básica, en Colombia le precede la presentación de la construcción de los sistemas

numéricos: naturales, enteros, racionales e irracionales. La enseñanza de los mismos se

acentúa en la estructura algebraica, enfatizando en el uso de símbolos algebraicos y en el

manejo de operadores. García, Serrano, y Díaz (1999) afirman que la realidad cognitiva de

los estudiantes para pensar e interpretar los reales muestra la profunda contradicción entre

la estructura ideal e incuestionable de los reales y las nociones, ideas y concepciones de los

estudiantes. Como resultado de su investigación, los autores señalan que los estudiantes

universitarios presentan dificultades al:

Asociar el número real con la idea de número como cantidad pues está “construido

por la abstracción de fenómenos físicos”. Esta idea es coherente con los estudiantes

para quienes el adjetivo “real” es indicación de objetos tangibles pues representan

objetos de la vida diaria.

Establecer la coherencia de número real con representaciones propias del número

como los son √2, √3, π.

Interpretar procesos infinitos y límites.

Emplear el lenguaje matemático formal.

ERRORES

Estructurales Arbitrarios Ejecutivos

Relacionados con los

conceptos esenciales implicados

Cuando el alumno se

comporta arbitrariamente sin tener en cuenta los datos del problema.

Errores en la

manipulación, si bien los conceptos implicados pueden ser comprendidos



31

Dada la formación matemática que reciben los estudiantes antes de ingresar a la

universidad, podríamos decir que los estudiantes conocen ciertas propiedades de los

conceptos básicos: números reales, funciones, limites, continuidad, diferenciación e

integración, pero también es cierto que

una construcción del concepto de variación cognitivamente efectiva presenta

dificultades considerables y es, necesariamente, lenta; puesto que supone, por una

parte, del dominio e integración de distintos campos numéricos, N, Z, Q, R, C, cada

uno con sus propias especificidades simbólicas, operatorias, estructurales y de

representación, junto con la comprensión en profundidad de procesos específicos

complejos como el paso al límite y la noción paramatemática de variable o la

articulación del pensamiento predictivo con su eventual matematización (Solache y

Díaz, 1999, pp. 22-23).

Tras lo expuesto se puede deducir que las dificultades en el aprendizaje del cálculo no son

solo del terreno universitario sino que, pareciera ser, hay un gran lastre de conexión con los

procesos de enseñanza y aprendizaje de la secundaria.

Es por esta razón que una de las metas que se debe proponer la educación matemática

es la de desarrollar en los estudiantes las competencias necesarias para “entender y

controlar el mundo cambiante en que vivimos” (Stewart, 1998, p. 193), por

consiguiente el reto que se le plantea es conseguir una enseñanza del Cálculo

cognitivamente eficiente. Pero la enseñanza de esta área de la Matemática, no puede

seguir siendo aquella que se reduce a la presentación formal de los conceptos, pues la

investigación en educación matemática ha demostrado que las posibilidades de su

comprensión reposan sobre nociones e ideas básicas como la de infinito, procesos

infinitos, aproximación y variación (García, Serrano y Díaz, 1999, p. 1).

Es claro que la problemática de los errores y las dificultades en matemáticas es muy amplia

y ha sido siendo estudiada por diferentes investigadores en educación matemática pues,

como afirma Cadenas (2007), el hallazgo de los errores de los estudiantes permite diseñar

y retomar estrategias que les permite identificar e intentar superar sus dificultades y

obstáculos para lograr nuevos aprendizajes, y realimentar los conocimientos existentes. Al

respecto, actores de diferentes universidades de diferentes países han pensado estrategias

institucionales para acompañar a los estudiantes en las dificultades del aprendizaje de las

matemáticas asumiéndolas como parte del proceso de construcción del conocimiento y

como una oportunidad para ajustar los conocimientos anteriores a las exigencias nuevas de

la universidad. Veamos algunas de ellas en el siguiente apartado.

1.2.3 Alternativas para atender las dificultades en matemáticas: Cálculo

Diferentes universidades a nivel local, nacional e internacional coinciden en la

implementación de estrategias que coadyuven a mejorar el desempeño académico de los

estudiantes en Cálculo pues la falta de aptitud académica para lograr cubrir los

requerimientos mínimos institucionales, sin lugar a duda, es una señal de fragilidad en los

aprendizajes que supuestamente debió adquirir.



32

Tales estrategias se consideran en los mismos escenarios institucionales como fuente

importante para la prevención e intervención de dicho problema. Veamos las estrategias

que en la UIS y en otras universidades internacionales se han venido desarrollando.

a) Programas de Seguimiento y Acompañamiento

Los antecedentes más próximos a la idea de tutoría académica son los de la Universidad de

Oxford, en la que el estudiante tiene un encuentro semanal con el profesor (tutor) que le es

asignado; el estudiante prepara un ensayo semanal para discutir oralmente con su tutor.

Pero en Argentina, el concepto de tutorías se extiende a tutorías entre pares, es decir,

estudiantes de los últimos cursos de carreras facilitan el proceso de aprendizaje de sus

compañeros ingresantes al sistema universitario.

En este espacio, los estudiantes podrán compartir los logros y dificultades de sus

experiencias y tendrán la posibilidad de capacitarse a través de distintos talleres. “En

este espacio de intercambio, cobrarán un rol protagonista los tutores estudiantes de la

UNT [Universidad Nacional de Tucumán] que serán anfitriones y coordinadores de

otras universidades […]” (Jeber, López, Médina, López, 2011, p. 7).

En el oriente, el sistema educativo japonés pone énfasis en la actividad cooperativa, la

disciplina de grupo y el cumplimiento de las normas. “Las escuelas de tutoría académica

tienen una finalidad más general de ayudar a los estudiantes a mantenerse al día y a

superarse en su labor escolar diaria, aunque a menudo se pone el acento en la preparación

de los exámenes” (Ministerio de Relaciones Exteriores de Japón, 2011, pp. 4-5).

Cambiando de continente, “sensibilizar a los actores del proceso educativo sobre la

importancia de reconocer al estudiante como joven y como sujeto activo de su formación,

en el contexto de un ejercicio institucional responsable de la acción tutorial” fue el objetivo

del V Encuentro Nacional de Tutoría “re-conocer para acompañar” celebrado en México

en 2012 y liderado por la Asociación Nacional de Universidades de Educación Superior

(ANUIES). En este evento se reúnen investigadores y profesores de diferentes

universidades de México, Argentina, Venezuela y Brasil, entre otros, países que han

implementado sistemas tutoriales encaminados a disminuir la deserción y generar procesos

de acompañamiento que propicien la formación integral con pertinencia social.

En 2008, se realizó en México la propuesta de una modalidad alterna de tutorías en el

Instituto Tecnológico de Sonora que, según Valdez, Cruz y Cisneros (2009), “descentraliza

la actividad tutorial en la universidad que permite el abordaje de necesidades específicas de

cada perfil profesional. […]”, esta propuesta es el Programa de Seguimiento Tutorial

basado en una Red de Apoyo Tutorial entre Pares.

Pero no solo en el contexto hispanoamericano se están movilizando los esfuerzos

institucionales hacia la implementación de programas de acompañamiento y seguimiento

académico. Por ejemplo, la actual reforma educativa española considera que la tutoría y

orientación del alumno son factores indispensables para mejorar la calidad educativa.

Además, se puede entonces palpar una evolución en la definición de tutoría pues en varios

escenarios esta involucra a estudiantes siendo de tutores de otros estudiantes.

En Colombia, en la Universidad del Valle, se desarrolla una propuesta de tutorías que busca

reducir el porcentaje de deserción de los estudiantes de población indígena y



33

afrocolombiana, por lo que en 2005 se incluyó en el Plan Estratégico de la institución una

acción de acompañamiento en Cálculo Diferencial e Integral para los estudiantes

pertenecientes a la población mencionada.

Localmente, en la UIS, desde 2012 se viene implementando desde la Escuela de

Matemáticas el programa de tutorías entre pares ASAE que brinda Atención, Seguimiento y

Acompañamiento a Estudiantes que presentan dificultades en el aprendizaje de asignaturas

del área de matemáticas; de manera similar a las tutorías argentinas, son facilitadas por

profesores en formación (estudiantes del curso de Didáctica del Cálculo), y coordinado por

formadores de profesores5. Cabe señalar que el programa logró institucionalizarse tras la

formación del Sistema de Apoyo a la Excelencia Académica al que pertenece el programa

(UIS, 2014).

b) Cursos de precálculo

El término “curso de precálculo” tiene dos acepciones: (1) curso del último grado del

bachillerato o (2) curso preparatorio de cálculo para ingresar a la universidad y ofrecido por

instituciones de educación superior (nos queda la impresión de que, según la literatura

revisada, en la tradición anglosajona al primero se le llama como al segundo). Respecto a

ellos Cantoral y Farfán (1998) expresan lo siguiente:

Tradicionalmente los cursos de precálculo (o de preparación al análisis) se conforman

por un repertorio de procedimientos y algoritmos provenientes esencialmente del

álgebra y de la geometría analítica, tocando con mayor o menor énfasis el estudio del

concepto de función, habitualmente entendido en el sentido de la definición de

Dirichlet-Bourbaki. […] A lo anterior se aúnan los efectos del contrato didáctico, que

como parte de la negociación entre los agentes educativos impide que el estatus del

profesor sea demeritado en su relación didáctica, pues si éste no resuelve

satisfactoriamente los problemas planteados en su curso la relación estará puesta en

crisis; de modo que el recurso algorítmico le permite subsanar decorosamente lo

establecido en el contrato y en esa medida se aligera, eliminando dificultades

subyacentes al contenido matemático, el tratamiento didáctico (p. 355).

De modo que realizando una revisión de la estructura curricular de los cursos de precálculo,

ya sean los referidos a los colegios o a la universidad, predominan los conceptos sobre

sistemas numéricos, geometría analítica, funciones y límites. Esta formación matemática

llevaría a pensar que los estudiantes al ingresar a la universidad deberían estar preparados

para afrontar las exigencias del aprendizaje matemático de este nivel, pero no es así del

todo.

En diferentes universidades públicas de Colombia se ofrece a los estudiantes que están

terminando su bachillerato, o a estudiantes ya admitidos a la universidad pero que no han

empezado calendario académico, el curso de precálculo con el propósito de subsanar las

falencias de su formación colegial.

En la UIS se ofreció desde 2009 hasta 2012 el curso de precálculo para estudiantes de

bachillerato que estuvieran cursando los dos últimos grados de escolaridad y cuya

5 Para consultar información adicional: http://www.uis.edu.co/webUIS/es/estudiantes/excelenciaAcademica/asae.html



34

proyección fuera ingresar a la universidad. El curso se desarrolló con una metodología

tradicional pues el profesor exponía en su cátedra definiciones, propiedades y teoremas;

planteaba ejercicios (incluso demostraciones), dejaba tareas y se realizaban las

evaluaciones de rigor.

En 2013 el curso de precálculo de la UIS cambió de paradigma y se integró al programa

ASAE del Sistema de Apoyo a la Excelencia Académica. Fiallo y Parada (2014) señalan

que el propósito del curso es coadyuvar en el desarrollo del “pensamiento variacional”,

orientando el trabajo en el aula como un proceso activo de resolución de problemas y la

mediación de artefactos digitales alrededor de las dos ideas centrales del Cálculo: el cambio

y la variación.

Como ya hemos mencionado, en el estudio que aquí se reporta nos enfocamos en el análisis

del proceso de elaboración, comparación y ejecución de procedimientos, es para nosotros

importante rescatar lo que expresa Schoenfeld (1992, citado por Sigarreta y Laborde,

2004):

el alumno no debe partir del vacío, debe contar con recursos cognitivos, que irá

demostrando al trabajar con el problema, como la intuición (conocimientos

informales relacionados con el dominio), los hechos, los procedimientos algorítmicos

y no algorítmicos, así como las comprensiones (conocimiento preposicional) acerca

de las reglas admitidas en el dominio (p. 18).

Este autor propone cuatro dimensiones que influyen en el proceso de resolver problemas:

recursos; estrategias cognitivas; estrategias metacognitivas y sistemas de creencias.

Precisaremos a continuación en los recursos pues se refieren, interpretando la

conceptualización de Santos (2007), a las “herramientas” con que cuenta el individuo para

superar un problema particular y teniendo en cuenta además que el autor, refiriéndose al

trabajo de Shoenfeld, afirma que hay cinco tipos de conocimientos que influyen en relación

con el conocimiento relevante asociado al dominio de los recursos, estos son: el

conocimiento informal e intuitivo; el conocimiento acerca del discurso del dominio; los

hechos y definiciones; los errores consistentes o recursos débiles y los procedimientos

rutinarios.

El conocimiento informal e intuitivo influye porque muchas veces éste obstaculiza la

resolución del problema; al igual que la forma en que el estudiante recuerde los hechos

(éstos se refieren a unidades de información y sirven como registros de acontecimientos),

definiciones y procedimientos rutinarios requeridos por el problema; también inciden en

ese dominio los errores consistentes pues existe la posibilidad de que tras cada nuevo

problema, el estudiante los cometa otra vez.

El documento de PISA (OCDE, 2012, p. 12) señala que “la competencia para la resolución

de problemas es la capacidad del individuo para emprender procesos cognitivos con el fin

de comprender y resolver situaciones problemáticas en las que la estrategia de solución no

resulta obvia de forma inmediata…”. Esto es, el desarrollo de las ideas matemáticas

conllevan un proceso de reflexión donde el estudiante constantemente refina o transforma

sus ideas y formas de pensar, ésta es una característica que asumimos en la resolución de

problemas que entenderemos como



35

el proceso de interpretar una situación matemáticamente, la cual involucra varios

ciclos interactivos de expresar, probar y revisar interpretaciones –y de ordenar,

integrar, modificar, revisar o redefinir grupos de conceptos matemáticos desde varios

tópicos dentro y más allá de las matemáticas (Lesh y Zawojewski, 2007 en Santos,

2008, p. 3).

A continuación el marco teórico que orienta la investigación y que nos llevará a la

consecución del objetivo de la misma.

CAPÍTULO 2.

MARCO CONCEPTUAL

“Aprender matemáticas es más que conocer y aplicar un

conjunto de procedimientos para resolver problemas:

involucra que los estudiantes desarrollen valores, creencias y

actividades consistentes con el quehacer matemático”

(Santos, 2003, p. 322).

Al querer caracterizar algunas dificultades que enfrentan los estudiantes cuando resuelven

problemas que implican fenómenos de variación, específicamente desde el proceso

matemático de elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos, se hizo

necesario sumergirnos en la teoría sobre el pensamiento variacional para comprender cómo

éste incide en el desarrollo conceptual del Calculo Diferencial.

En este capítulo se describen los elementos conceptuales asociados al pensamiento

variacional y a una taxonomía de procedimientos que posteriormente orientará el análisis de

los datos para caracterizar algunas dificultades que emergen en la resolución de problemas

de fenómenos variacionales.

2.1 PENSAMIENTO VARIACIONAL

Recientemente en Latinoamérica se ha dado un creciente interés por el estudio de la

variación y el cambio: en México, se gestó un programa de investigación en el seno de la

socioepistemología denominado Pensamiento y Lenguaje Variacional (PyLV) que permite

tratar la articulación, la investigación y las prácticas sociales que dan vida a la matemática

de la variación y el cambio en los sistemas didácticos (Cantoral y Farfán, 1998).

Diferentes investigaciones se han tejido en el seno de la Matemática Educativa alrededor

del PyLV entre los cuales resaltan los trabajos del Centro de Investigación y estudios

Avanzados del Instituto Politécnico Nacional de México y el Centro de Investigación en

Matemática Educativa de la Universidad Autónoma de Guerrero con Dolores (2001)

quienes además han dirigido diversas investigaciones en el tema y direccionado

indirectamente otros trabajos.

En Colombia, el pensamiento variacional es considerado como uno de los cinco

pensamientos matemáticos y se refiere a él como

un campo conceptual, que involucra conceptos y procedimientos interestructurados y

vinculados que permitan analizar, organizar y modelar matemáticamente situaciones

y problemas tanto de la actividad práctica del hombre, como de las ciencias y las

propiamente matemáticas donde la variación se encuentre como sustrato de ellas. En

esta forma se amplía la visión de la variación, por cuanto su estudio se inicia en el



37

intento de cuantificar la variación por medio de las cantidades y las magnitudes

(MEN, 1998, p. 72).

Por su parte, Vasco nos dice que éste

puede describirse aproximadamente como una manera de pensar dinámicamente, que

intenta producir mentalmente sistemas que relacionen sus variables internas de tal

manera que covaríen en forma semejante a los patrones de covariación de cantidades

de la misma o distinta magnitud en los subprocesos recortados de la realidad (2006, p.

6-7).

En los Estándares Curriculares de Matemáticas se indica, además, que se desarrolla en

estrecha relación con los otros tipos de pensamiento porque

la variación y el cambio, aunque se representan usualmente por medio de sistemas

algebraicos y analíticos, requieren de conceptos y procedimientos relacionados con

distintos sistemas numéricos (en particular, del sistema de los números reales,

fundamentales en la construcción de las funciones de variable real), geométricos, de

medidas y de datos y porque todos estos sistemas, a su vez, pueden presentarse en

forma estática o en forma dinámica y variacional (MEN, 2006, p. 66).

Vasco (2006) nos explica que el pensamiento variacional requiere del pensamiento métrico

y el pensamiento numérico si las mediciones superan el nivel ordinal. Requiere también el

pensamiento espacial si se trata de una o varias variables son espaciales.

No obstante, consideramos que cuando los estudiantes ingresan a la educación superior, su

pensamiento variacional requiere a su vez de una madurez de sus pensamientos métrico,

numérico, geométrico e incluso aleatorio, ya que la actividad matemática que se espera que

éstos realicen requiere entrelazar los objetos matemáticos propios de cada pensamiento

(datos, números, medidas, espacios y formas), los cuales requieren engranarse para

desarrollar los procesos matemáticos necesarios para la resolución de problemas (engranaje

entendido como el mecanismo utilizado para transmitir potencia y dinamismo de un

proceso a otro y desarrollar la actividad matemática propia del pensamiento variacional).

En Colombia se sugiere a los profesores de matemáticas trabajar sobre la variación desde

temprana edad diseñando estrategias significativas para favorecer el desarrollo de este

pensamiento desde la claridad de que “el significado y sentido acerca de la variación puede

establecerse a partir de las situaciones problemáticas cuyos escenarios sean los referidos a

fenómenos de cambio y variación de la vida práctica” (MEN, 1998, p. 73). Sin embargo,

los documentos oficiales no dieron mucha claridad sobre cómo podrían los profesores

posibilitar dichas estrategias, específicamente en los niños.

En el 2004 el MEN implementó el proyecto “Incorporación de Nuevas Tecnologías al

Currículo de Matemáticas de la Educación Básica Secundaria y Media de Colombia” con el

propósito de ofrecer una herramienta más entendible para los profesores de matemáticas de

educación media alrededor del pensamiento variacional favoreciendo su desarrollo con las

tecnologías digitales.

En ese proyecto se ratifica que el poder identificar el fenómeno de cambio, describirlo,

interpretarlo, predecir sus consecuencias, cuantificarlo y modelarlo, son las características

del pensamiento variacional que se pretenden desarrollar desde el currículo. Al incorporar



38

la mediación de las tecnologías digitales se ampliaron las posibilidades de enseñanza y

aprendizaje de los fenómenos de variación y de poder pasar de manera versátil de un

sistema de representación a otro.

La comunidad de investigadores de educación matemática del proyecto sugirió tomar en

cuenta unos indicadores de logro que permitirían monitorear el progreso del pensamiento

variacional de los estudiantes (MEN, 2004, pp. 31-32); a continuación algunos de ellos:

Detectar, reproducir y extender patrones o esquemas que se repiten en varias

situaciones y analizar situaciones de cambio en varios contextos.

Modelar diversas situaciones de cambio a través de funciones y expresar dichas

funciones inicialmente en palabras y luego simbólicamente, representándolas en

forma gráfica, tabular y mediante expresiones algebraicas.

Representar y analizar funciones utilizando para ello tablas, expresiones orales,

expresiones algebraicas, ecuaciones y gráficas y hacer traducciones entre estas

representaciones.

Formular conjeturas sobre el comportamiento de una gráfica teniendo en cuenta el

fenómeno que representa y usar la calculadora para comprender dicho

comportamiento.

Interpretar gráficos que describen diversas situaciones.

Analizar tablas y gráficas para descubrir patrones, hacer predicciones e identificar

propiedades y relaciones.

Investigar y comprender contenidos matemáticos a través del uso de distintos

enfoques para el tratamiento y resolución de problemas del mundo real aplicando

modelos matemáticos e interpretar resultados a la luz de la situación inicial.

Organizar y modelar matemáticamente situaciones y problemas tanto de la

actividad práctica del hombre como de las ciencias y las matemáticas donde la

variación se encuentra como sustrato de ellos.

Según lo anterior, y como bien lo señaló posteriormente el MEN (2006) a través de los

Estándares Básicos en Competencias en Matemáticas, este pensamiento:

Cumple un papel preponderante en la resolución de problemas sustentados en el

estudio de la variación y el cambio, y en la modelación de procesos de la vida

cotidiana, las ciencias naturales y sociales y las matemáticas mismas.

Tiene que ver con el reconocimiento, percepción, identificación y caracterización de

la variación y el cambio en diferentes contextos, así como con su descripción,

modelación y representación en distintos sistemas o registros simbólicos, ya sean

verbales, icónicos, gráficos o algebraicos.

Es decir, lo que se quiere es desarrollar una forma de pensamiento que identifique de

manera natural fenómenos de cambio y que sea capaz de modelarlos y transformarlos

(MEN, 2004). El Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas en relación a la variación

y el cambio, prescribió que los estudiantes deben ser capaces de analizar patrones de

cambio en varios contextos; además recomiendan que ellos aprendan a interpretar

enunciados tales como “la tasa de inflación está decreciendo” y, en general, apoyaron la

idea de que los estudiantes deben desarrollar una “comprensión más profunda de las

maneras en que los cambios en las cantidades se pueden representar matemáticamente”



39

(NCTM, 2003, p. 305). De modo que se resalta que el estudio de la variación se inicia en el

intento de cuantificar la variación por medio de las cantidades y las magnitudes.

El estudio de la variación se remonta a los griegos de la antigüedad clásica como bien lo

exponen Solache y Díaz (1999) quienes nos llevan de la mano desde el problema de las

tangentes a la introducción de las magnitudes variables señalando que esto no fue producto

del libre juego de la mente humana, sino que respondió a la necesidad de resolver

problemas concretos derivados del desarrollo de las fuerzas productivas alcanzado en los

siglos XVI y XVII.

Al respecto, Aleksandrov, Kolmogorov, Laurentiev y otros explican sucintamente que

en el siglo XVI, el problema central de la física fue el estudio del movimiento. Las

necesidades de la vida diaria y el desarrollo del conjunto de la ciencia condujeron a la

física a este problema, así como a otros en los que aparece la interdependencia de

magnitudes variables. Como reflejo de las propiedades generales del concepto de

cambio aparecen en la matemática los conceptos de magnitud variables y de función,

y fue esta extensión capital del objeto de la matemática que determinó la transición a

una etapa nueva: a la matemática de las magnitudes variables (1994, p. 67).

Los autores hacen algunas precisiones importantes sobre los objetos matemáticos del

Cálculo Diferencial (ibíd.):

El concepto de número real es la imagen abstracta del valor real de una magnitud

arbitraria. La variable es una imagen abstracta de una magnitud que varía. Una

función es una generalización de la interdependencia entre magnitudes variables; es

una imagen abstracta de la dependencia de una magnitud respecto a otra (p. 66).

Los conceptos de variable y función no surgieron de forma definitiva […] sino que

fueron construidos por muchos matemáticos gradualmente; incluso la definición

actual, dicen los autores, ni es totalmente rigurosa ni seguramente la última (p. 68).

El nombre “análisis infinitesimal” no dice nada sobre el objeto de estudio, sino que

enfatiza el método matemático especial de los infinitésimos. Los límites se refieren

al estudio de los infinitesimales (p. 92).

El método matemático del límite fue el fruto de la persistente labor de muchas

generaciones sobre problemas que no podían resolverse por lo métodos sencillos de

la aritmética, el álgebra o la geometría elemental. Dicho método produce un

resultado como aproximación al valor exacto de una cierta magnitud por lo que ese

proceso es también considerado un movimiento: no hacemos una aproximación sino

una serie de ellas, cada una de las cuales es más precisa que la anterior (p. 95).

El movimiento, el cambio y la variación permean las anteriores precisiones enfatizando su

surgimiento, el cual se da mucho antes de llegar a las aulas, a partir de una colección de

problemas físicos, mecánicos y astronómicos que se concretaron en dos problemas

fundamentales: el problema de las tangentes (que da paso al Cálculo Diferencial) y el

problema de las cuadraturas (Cálculo Integral).

Tenemos entonces que en los últimos años, parte de la literatura en educación matemática

resalta la importancia que tiene el reconocimiento de aspectos dinámicos de algunos

conceptos matemáticos y el estudio de procesos de variación, lo cual hace necesario

desmenuzar los conceptos, procedimientos y métodos que involucra la variación para poner



40

al descubierto las interpelaciones entre ellos. El MEN (1998) señala que un primer

acercamiento en la búsqueda de las interrelaciones permite identificar algunos de los

núcleos conceptuales matemáticos en los que está involucrada la variación.

2.1.1 Ejes temáticos del pensamiento variacional

Precisamos que un eje temático más que a un tema se refiere a un constructo conceptual

que se encuentra en uno o más objetos matemáticos, siendo éste un referente cognoscitivo

que articula los objetos matemáticos y que, por ende, los hace inseparables. En nuestra

búsqueda de referentes teóricos, encontramos dos propuestas nacionales (ver Tabla 4) que

exponen los constructos conceptuales sobre los que se desarrolla el pensamiento variacional

siendo, para nosotros, complementarios entre ellos: MEN (1998) y la Seduca (Secretaría de

Educación para la Cultura de Antioquia, 2005).

Tabla 4. Referentes teóricos sobre constructos conceptuales asociados al Cálculo

MEN

(1998)

Seduca

(2005)

Núcleos Conceptuales Ejes Temáticos

Continuo numérico

Función

Magnitudes

Álgebra

Modelos matemáticos

Patrones y

regularidades

Procesos Analíticos

Análisis y funciones

Fuente: Elaboración de la investigadora

1. El MEN (1998)

El Ministerio señala los siguientes núcleos conceptuales en donde está involucrada la

variación en el currículo de matemáticas:

El continuo numérico, reales, en su interior los procesos infinitos, su tendencia,

aproximaciones sucesivas, divisibilidad;

la función como dependencia y modelos de función;

las magnitudes;

el álgebra en su sentido simbólico, liberada de su significación geométrica,

particularmente la noción y significado de la variable es determinante en este

campo;

modelos matemáticos de tipos de variación: aditiva, multiplicativa, variación para

medir el cambio absoluto y para medir el cambio relativo. La proporcionalidad

cobra especial significado.

Sin embargo, el MEN no explícita cómo estos núcleos se articulan en el pensamiento

variacional ni explica cómo convergerían en los objetos matemáticos del Cálculo

Diferencial tomados en cuenta en la educación secundaria6, lo cual es inquietante cuando el

6 En los Estándares Básicos en Competencias en Matemáticas se contemplan los números reales, funciones,

límites y derivadas.



41

marco de referencia para establecer los contenidos y los procesos matemáticos son los

Lineamientos Curriculares de Matemáticas.

2. Seduca (2005)

Ante la necesidad de comprender los lineamientos, la Seduca (representada por una

comunidad de investigadores en educación matemática) diseñó una estructura conceptual

que sirve de orientación en el desarrollo del currículo de la educación básica y media.

Luego de hacer una revisión de los lineamientos curriculares y los estándares, determinaron

tres ejes temáticos relacionados con el pensamiento variacional: patrones y regularidades,

procesos algebraicos y análisis de funciones.

Al estudiar esta propuesta observamos que los ejes se articulan entre sí, además de que cada

uno está permeado por los pensamientos numérico, métrico, aleatorio y espacial además de

los procesos matemáticos; esto hace de la propuesta un apoyo claro y coherente para el

trabajo de los profesores de matemáticas en las aulas escolares.

A continuación intentaremos rescatar los aspectos más relevantes de cada eje conceptual:

a) Patrones y regularidades

Los autores explican que un patrón es una propiedad, una regularidad, una cualidad

invariante que expresa una relación estructural entre los elementos de una determinada

configuración, disposición, composición, etc. Los patrones y las regularidades pueden ser

reconocidos, ampliados y generalizados mediante la construcción de situaciones que

involucren procesos de variación y cambio lo cual habla de la relación con cada uno de los

pensamientos ya que un mismo patrón se puede encontrar en muchas formas diferentes,

tales como: situaciones físicas, geométricas, aleatorias y numéricas.

El análisis cuidadoso de patrones y regularidades permite establecer diferentes

representaciones y generalizaciones, por lo que este eje está relacionado con el

razonamiento algebraico ya que al expresar las generalizaciones de patrones y relaciones

usando símbolos se ponen de manifiesto diferentes procesos matemáticos tales como el

razonamiento, la comunicación y la resolución de problemas.

b) Procesos algebraicos

Los procesos algebraicos desde los contextos de variación y cambio hacen referencia a la

forma de emplear las expresiones algebraicas desde las diversas situaciones que posibilitan

expresar la generalización. Esto implica reflexionar lo variante e invariante, pero

fundamentalmente, comunicar lo que se observa y explicitar las relaciones estructurales de

diferentes formas.

Se contempla en este núcleo al álgebra como una nueva forma de pensar la matemática; es

decir, como la expresión de la generalidad (o generalización), lo cual implica analizar,

explorar, sistematizar, expresar lo que se ve.

c) Análisis de funciones

El tratamiento de las funciones tiene estrecha relación con los procesos algebraicos, no

tanto por el uso del lenguaje simbólico del álgebra, sino por las diferentes formas de



42

representación que ésta ofrece para estudiar las situaciones de variación y cambio y por las

relaciones que se pueden establecer entre ellas.

Según los autores, este eje temático está fuertemente relacionado con la modelación de

procesos de variación; además enfatizan significativamente en la coordinación e

interrelación entre los diferentes sistemas de representación de una función a fin de lograr

una construcción conceptual compleja que permita hacer predicciones en un fenómeno de

cambio.

Para dotar de sentido la estructura conceptual, los autores explicitaron los estándares que se

corresponden con cada eje conceptual en cada uno de los grupos de grados contemplados

por los Estándares Básicos en Competencias de Matemáticas (ver Anexo 5). La propuesta

presentada por la Seduca, entonces, explícita de manera un poco más entendible las

relaciones entre la matemática de la variación y el cambio por un lado, y los procesos

matemáticos por el otro, lo cual aporta mayor sentido a los núcleos planteados por el MEN

(1998).

De modo tal que nosotros, con el propósito de delimitar los constructos conceptuales que

subyacen al pensamiento variacional, acudiremos en el desarrollo de esta investigación a

los ejes temáticos presentados por la Seduca. Esta elección obedece a que consideramos

que la conceptualización del MEN está inmersa en aquella: en situaciones de variación y

cambio hablar de patrones y regularidades implica tratar con las magnitudes y con la

noción de la variable; hablar de procesos algebraicos involucra ineludiblemente al

continuo numérico base del álgebra como expresión simbólica del cambio y la variación de

un fenómeno, del mismo modo hablar que análisis de funciones es tratar con la modelación

de la variación y del cambio, modelación que se concreta en las funciones y en los demás

objetos matemáticos de orden superior como la derivada para medir cambios instantáneos.

Síntesis de la sección

Los lineamientos, los estándares, el trabajo de Vasco alrededor del pensamiento variacional

y las propuestas que identifican y caracterizan sus ejes temáticos, conforman una

conceptualización local muy rica que presupone que los estudiantes de nuevo ingreso a la

universidad no enfrentarán mayor dificultades en el aprendizaje del Cálculo o en la

resolución de problemas variacionales, pues si bien es cierto que al término de un curso de

Cálculo se puede decir que los estudiantes conocen ciertas propiedades de los conceptos

básicos: números reales, funciones, límites, continuidad, diferenciación e integración,

también es cierto que

una construcción del concepto de variación cognitivamente efectiva presenta

dificultades considerables y es, necesariamente, lenta; puesto que supone, por una

parte, del dominio e integración de distintos campos numéricos, N, Z, Q, R, C, cada

uno con sus propias especificidades simbólicas, operatorias, estructurales y de

representación, junto con la comprensión en profundidad de procesos específicos

complejos como el paso al límite y la noción paramatemática de variable o la

articulación del pensamiento predictivo con su eventual matematización (Solache y

Díaz, 1999, pp. 22-23).



43

Por tal razón, el MEN (2004, p. 14) no niega que en el desarrollo del pensamiento

variacional, se asume por principio que “las estructuras conceptuales se desarrollan en el

tiempo, que su aprendizaje es un proceso que se madura progresivamente para hacerse más

sofisticado, y que nuevas situaciones problemáticas exigirán reconsiderar lo aprendido para

aproximarse a las conceptualizaciones propias de las matemáticas”.

La maduración cognitiva se da a medida que el pensamiento matemático del estudiante está

en capacidad de construir una representación mental significativa de los conceptos

matemáticos que coadyuvan a la construcción del Cálculo Diferencial, a la par que

desarrolla los procesos matemáticos que le permitirán afrontar con éxito las nuevas

exigencias de aprendizaje y la puesta en marcha del conocimiento y los procedimientos

para la resolución de problemas de fenómenos variacionales.

A continuación abordaremos el proceso de elaboración, comparación y ejecución de

procedimientos, su taxonomía y algunas habilidades del proceso asociadas al pensamiento

variacional.

2.2 ELABORACIÓN, COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS

ASOCIADOS A SITUACIONES DE VARIACIÓN

Barringer, Pohlman y Robinson (2010) señalan que la comprensión de los procedimientos

en matemáticas fomenta la comprensión de los conceptos matemáticos y la capacidad de

resolver problemas; incluso al “pensar con números” los autores señalan que el uso de las

reglas básicas y secuencias de pasos (algoritmos) ayuda a los estudiantes de matemáticas a

calcular de manera más efectiva ya que los algoritmos nos proporcionan un modelo, o un

conjunto de directrices, para trabajar con los problemas de matemáticas. No obstante,

reconocen que para algunos estudiantes el aprendizaje y la aplicación de algoritmos puede

ser un desafío ya que deben confiar en muchas habilidades que incluyen la capacidad de:

Mantener la atención a los detalles, para planificar y monitorear el progreso de una

solución.

Acceder a los algoritmos de la memoria a largo plazo y llevar a cabo una serie de

acciones en sus mentes mientras se trabaja a través de soluciones de varios pasos.

Tener en cuenta el hecho de que los algoritmos son secuenciales lo cual implica que

tiene un orden en el que los pasos deben ser completados.

Recordar y seguir la secuencia correcta de resolver el problema correctamente.

Teniendo en cuenta que el trabajo de Rittle-Johnson y Schneider (2012) nos sugirió que

ciertos problemas responden a cierto tipo de procedimientos, veamos lo que estos autores

nos aportan al respecto (ver Tabla 5):

Rico (1995) distingue dentro de los procedimientos cinco destrezas según el campo

de las matemáticas escolares en el que operan.

En Colombia, el MEN (1998) señala cinco tipos de procedimientos tomando como

referencia la conceptualización de Rico. Éstos son contemplados para los cinco

tipos de pensamientos que conforman el pensamiento matemático.



44

Tabla 5. Tres perspectivas sobre tipo de procedimientos

Rico

(1995)

MEN

(1998)

Bronzina, Chemello, y

Agrasar (2009)

Destrezas de los

procedimientos

Tipo

de procedimientos

Dominio

de contenidos

Aritméticas

Métricas

Geométricas

Gráficas y de

representación.

Aritméticos

Geométricos

Métricos

Analíticos

Numérico

De la medida

Geométrico

Tratamiento de la

información

Variacional


Bronzina, Chemello, y Agrasar (2009) en el Segundo Estudio Regional

Comparativo y Explicativo (SERCE) de la Unesco establecieron cinco dominios de

contenidos para evaluar lo que saben los latinoamericanos de los grados tercero y

sexto de educación primaria en el área de matemática desde el enfoque de

habilidades para la vida, cuyo foco está en la resolución de problemas.

En la Tabla 6 que sigue se podrán cómo define cada autor “destreza”, “procedimiento” y

“dominio conceptual”.

Tabla 6. Aproximación teórica a "destreza", "procedimiento" y "dominio de concepto"

Rico

(1995)

MEN

(1998)

Bronzina, Chemello, y Agrasar

(2009)

Destrezas Procedimientos Dominio

de conceptos

Son uno de los tres niveles en

el campo de los procedimientos

(destrezas, razonamientos y

estrategias).

Las destrezas consisten en

transformar una expresión

simbólica desde una forma

dada hasta otra forma, y para

ello hay que ejecutar una

secuencia de reglas sobre

manipulación de símbolos

(p. 15).

Las actuaciones,

destrezas, estrategias,

métodos, técnicas,

usos y aplicaciones

diversas que un

estudiante realiza

para resolver

problemas de manera

cada más hábil e

independiente

(p. 103).

Se refiere al campo semántico

relacionado con los saberes

específicos de la matemática para

tercer y sexto grado es decir, al

conjunto de conceptos, propiedades,

procedimientos y relaciones entre

ellos, así como a los sistemas de

representación, formas de

razonamiento y de comunicación, a

las estrategias de estimación,

aproximación, cálculo y a las

situaciones problemáticas asociadas

(p. 16).


Queremos precisar algunas similitudes y diferencias en las propuestas de estos tres trabajos:

Las tres propuestas consideran “lo aritmético”, “lo métrico”, y “lo geométrico” pese

a que lo hacen en términos diferentes (destreza, tipo de procedimiento, y dominio de

contenido).

Solo en el SERCE se aborda “lo estadístico”.

Rico no conceptualiza explícitamente sobre las destrezas alrededor de los conceptos

del Cálculo Diferencial pero considera dentro de las destrezas gráficas y de

representación el emplear una gráfica para expresar una relación entre dos variables.

Mientras que en el SERCE y el MEN consideran el cambio y la variación de manera

más explícita.



45

En Colombia la conceptualización de Rico fue tomada para enunciar los tipos de

procedimientos empleados en la resolución de problemas, realizando dos cambios

semánticos: i. no se habla de destrezas sino, como se mencionó, de tipo de

procedimientos; ii. se habla de procedimientos analíticos en lugar de hablar de

gráficas y de representación aunque desde una perspectiva más amplia para incluir

el cálculo diferencial e integral.

Es importante señalar que no solo el MEN ha considerado los procedimientos como parte

del pensamiento matemático: las autoras Valdivé y Garbin (2013) se han aproximado a

ellos desde los esquemas conceptuales de Tall y Vinner (1981) expresando que “estos

autores describieron el esquema conceptual que tiene el alumno de un concepto

matemático como toda la estructura cognitiva asociada al concepto, la cual incluye todas

las imágenes mentales, las propiedades y los procesos asociados a la noción matemática”,

pero enfatizan en que éste tiene diferentes matices por lo que ellas, como producto de sus

investigaciones y trabajos, señalan que hablar de esquema mental es referirse a (Valdivé y

Garbin, 2013):

1. Las ideas que asocia el sujeto al concepto;

2. Las representaciones asociadas que hacen emerger la noción y representaciones

propias de ésta. Ambas son imágenes (dibujos, gráficas, palabras, símbolos) que el

sujeto percibe del objeto o concepto y que evoca ante una situación problema o

tarea;

3. Los procedimientos (algorítmicos, aritméticos, algebraicos, geométricos,

manipulaciones simbólicas) que el sujeto activa ante la tarea cognitiva;

4. Las ideas más representativas asociadas al objeto matemático;

5. El contexto (geométrico, analítico, algebraico, aritmético o físico, no técnico) que

el sujeto asocia ante la situación y

6. Los ejemplos y contraejemplos que el sujeto implementa para explicitar sus ideas.

Según lo anterior, el acercarnos a los procedimientos nos llevará, de manera

complementaria, a tener una mirada a las ideas, imágenes, representaciones y a los

contextos que los estudiantes evocan en la resolución de los distintos problemas de los

objetos matemáticos del Cálculo Diferencial tomados en cuenta en los problemas de la

prueba diagnóstica inicial realizada por los estudiantes. Dejamos explícito que

entenderemos los procedimientos como las actuaciones, destrezas, estrategias, métodos,

técnicas, usos y aplicaciones diversas que un estudiante realiza para resolver problemas de

manera cada más hábil e independiente.

2.2.1 Taxonomía de los Procedimientos

Del apartado anterior notamos que las definiciones de Rico, MEN; Bronzina, Chemello, y

Agrasar; y Valdivé y Garbin se integran y complementan, razón por la cual decidimos

alimentar la acepción del MEN (1998) sobre los tipos de procedimientos empleando la

definición de los dominios conceptuales de la Bronzina, Chemello, y Agrasar (2009) bajo

la premisa de que al revisar los procedimientos estaremos también analizando los

esquemas conceptuales de los estudiantes.



46

Ilustración 6. Taxonomía de los Procedimientos Fuente: Adaptación de la investigadora de MEN (1998)

La taxonomía responde a los tipos de procedimientos en los cuales se clasifican los

procedimientos referidos al proceso ECEP, la cual servirá de base para la caracterización

que pretende este trabajo alrededor del proceso. A continuación definimos los cuatros tipo

de procedimientos señalados en la Ilustración 6.

• Procedimientos Aritméticos

Relacionados con el dominio del número y la estructura del sistema de numeración

decimal; de las operaciones en diversos contextos; de sus propiedades y de las

relaciones entre ellas.

• Procedimientos Métricos

Implica la construcción de conceptos de cada magnitud, procesos de conservación,

unidades de medida, estimación de magnitudes y de rangos, selección y uso de

unidades de medida y de patrones, sistemas monetarios y sistema métrico decimal.

• Procedimientos Geométricos

Comprende atributos y propiedades de figuras y objetos 2D y 3D y su ubicación en

el plano o el espacio; las nociones de horizontalidad, verticalidad, paralelismo y

perpendicularidad; los diseños y construcciones utilizando representaciones de

cuerpos y figuras geométricas; las representaciones verbales y gráficas de recorridos

y el reconocimiento de ángulos y polígonos, su clasificación y propiedades.

• Procedimientos Analíticos

Tienen que ver con “álgebra”, “funciones” y “cálculo diferencial e integral”; con el

reconocimiento de regularidades y patrones, la caracterización de la variación, la

identificación de variables, la descripción de fenómenos de cambio y dependencia

en contextos aritméticos y geométricos.

Dentro de cada procedimiento, además, consideramos los procedimientos algorítmicos y no

algorítmicos ya que en cada tipo responde a un conjunto de directrices para trabajar con los

problemas de matemáticas. Específicamente, el proceso ECEP alrededor de la resolución

de problemas que implican fenómenos de variación: Diremos que este proceso implica la

ARITMÉTICOS MÉTRICOS

GEOMÉTRICOS ANALÍTICOS



47

capacidad del estudiante para transformar procedimientos fijando su atención en las ideas

centrales del cálculo diferencial (cambio y variación) y estableciendo relaciones entre ejes

temáticos (patrones y regularidades; procesos algebraicos, y análisis de funciones) para

efectuar nuevos procedimientos específicos que respondan al fenómeno variacional que

subyacen en el problema.

2.2.2 Habilidades a priori de los procedimientos asociados al pensamiento variacional

El contexto del cual se desprende esta investigación nos ofreció la oportunidad de analizar

el proceso ECEP desde la resolución de problemas de cambio y variación, esto se convierte

en una fortaleza que nos permite hablar, casi que de manera paralela, de dificultades y de

habilidades. De acuerdo con RAE, y tomando las acepciones en el marco de la

investigación, transcribimos las siguientes definiciones:

Capacidad: aptitud, talento, cualidad que dispone a alguien para el buen ejercicio de

algo.

Competencia: Pericia, aptitud, idoneidad para hacer algo o intervenir en un asunto

determinado.

Destreza: Habilidad, arte, primor o propiedad con que se hace algo.

Dominio: Buen conocimiento de una ciencia, arte, idioma, etc.

Habilidad: capacidad y disposición para algo o cada una de las cosas que una

persona ejecuta con gracia y destreza.

La palabra destreza se construye por substantivación del adjetivo diestro. Una persona

diestra, en el sentido estricto de la palabra, es una persona cuyo dominio reside en el uso de

la mano derecha. Diestro tiene también la acepción de referirse a toda persona que

manipula objetos con gran habilidad. El significado de destreza reside en la capacidad o

habilidad para realizar algún trabajo, primariamente relacionado con trabajos físicos o

manuales.

Si buscamos sinónimos de habilidad encontramos capacidad, destreza y competencia. Sin

embargo, en educación sabemos que no todos son empleados como sinónimos. Entonces,

nosotros discernimos entre procedimiento y habilidad vinculados con la Matemática como

lo hace Williner (2014, p. 104):

Si realizamos un paralelo entre todos estos autores, más allá de las diferencias de

denominación, consideran por un lado toda la información que recibe una persona

(conceptos, teorías, hechos, definiciones, propiedades, atributos) que podríamos

englobarlos en “conocimiento”, y por otro, las acciones y aplicaciones que puede

realizar el individuo con ese conocimiento: las habilidades. […] el procedimiento es

la acción o tarea que debemos realizar para lograr un objetivo o fin en el cual la

Matemática está involucrada. En tanto que una habilidad matemática es la facultad

personal de efectuar el procedimiento eficientemente, es decir, la capacidad de

realizar acciones correctamente en relación al logro del objetivo planteado.

Las habilidades más conocidas son las de dominio cognitivo que corresponde a la

Taxonomía de Bloom en la que se establecen seis categorías básicas según la función de la

acción en la que la habilidad se manifiesta: conocimiento, comprensión, aplicación,



48

análisis, síntesis, evaluación. El NCTM (1989) y Barringer, Pohlman y Robinson (2010)

señalan algunas habilidades que los estudiantes deben esgrimir frente a los procedimientos

en la resolución de problemas. Estas habilidades las consideraremos como “habilidades de

control” del proceso ECEP al suponer que el desarrollo de ellas implica reconocer,

entender, juzgar y usar procedimientos en una variedad de contextos y situaciones en los

que la Matemática juega un papel importante.

Reconocer cuando un procedimiento es apropiado.

Verificar los pasos de un procedimiento y justificarlos (por ejemplo, usando modelos

o analíticamente).

Ejecutar procedimientos fiable y eficientemente,

Generar nuevos procedimientos y ampliar o modificar los ya conocidos.

Acceder a los algoritmos de la memoria a largo plazo y llevar a cabo una serie de

acciones mentales mientras se trabaja a través de soluciones de varios pasos.

Tener en cuenta que los algoritmos implican que tiene un orden en el que los pasos

deben ser completados.

Recordar y seguir la secuencia correcta para resolver el problema.

Seleccionar los procedimientos apropiados para problemas concretos y modificarlos

cuando las condiciones lo justifican.

Por tal razón, consideramos necesario establecer unas habilidades a priori desde cada tipo

de procedimiento para el pensamiento variacional, las cuales (al igual que las habilidades

de control) se espera sean evidenciadas en la resolución de problemas de fenómenos

variacionales y que nos permitirán categorizar los datos del estudio que estamos

reportando.

Definimos dichas habilidades por medio de descriptores los cuales son concebidos como

expresiones verbales escritas, relacionadas con la habilidad y que tiene como fin

contribuir a describir las actuaciones de los estudiantes en las diferentes tareas

variacionales. La estructura conceptual de Seduca (2005) contempla para cada eje temático

la definición de algunos estándares, algunos de los cuales fueron interpretados y

categorizados como descriptores de las habilidades a priori que acabamos de presentar (en

el Anexo 5 se exponen los estándares de cada eje temático).

Habilidades de tipo aritmético:

Estas requieren del dominio correcto del sistema de numeración decimal y de las cuatro

operaciones básicas. Entre los más destacados procedimientos podemos señalar la

lectura y escritura de números, el cálculo mental con dígitos y algunos números de dos

cifras, el cálculo con lápiz y papel y el empleo de la calculadora. Específicamente en la

resolución de problemas el pensamiento variacional, podríamos definir los siguientes

descriptores:

Domina del campo de los números reales y de las operaciones básicas y superiores.

Usa diferentes notaciones de los números reales y establece relaciones para decidir

sobre su uso en una situación dada.

Establece relaciones que involucran números naturales y utiliza propiedades de los

números para justificarlas.



49

Habilidades de tipo métrico:

Estas tienen que ver con el empleo correcto de los aparatos de medida más comunes de

las magnitudes longitud, tiempo, amplitud, capacidad, peso y superficie. También se

incluye aquí el dominio del sistema métrico decimal. Descriptores de esta habilidad

presentes en situaciones de variación pueden ser:

Emplea correctamente los aparatos de medida más comunes de las magnitudes

longitud, tiempo, amplitud, capacidad, peso y superficie.

Domina el sistema métrico decimal.

Habilidades de tipo geométrico:

Capacidad para construir un modelo de un concepto geométrico, para manipularlo o para

hacer una representación del mismo en el plano. También se incluye el dominio y

empleo correcto de determinados convenios para expresar relaciones entre conceptos

geométricos, estas habilidades las podríamos describir así:

Realiza representaciones en el plano.

Emplea un procedimiento de tipo gráfico que supone expresar una imagen visual de

un concepto o relación variacional.

Modela fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones

trigonométricas.

Habilidades de tipo analítico:

Tienen que ver específicamente con “álgebra”, “funciones” y “cálculo diferencial e

integral”. Algunos ejemplos de este tipo de procedimientos son: modelar situaciones de

cambio a través de las funciones, las gráficas y las tablas; traducir de una a otra de las

distintas representaciones de una función; resolver ecuaciones. Estas habilidades las

podríamos evidenciar si el estudiante:

Determina las variables de una situación.

Establece correctamente la interdependencia de las magnitudes variables.

Representa situaciones de cambio a través de las funciones, las gráficas y las tablas.

Traduce de una a otra de las distintas representaciones de una función.

Relaciona las expresiones algebraicas y gráfica empleando sus propiedades.

Determina procesos infinitos que subyacen en las notaciones decimales.

Hasta este punto se exponen los elementos teóricos de esta investigación los cuales están

interrelacionados e interactúan entre sí para caracterizar algunas dificultades en la

resolución de problemas que implican variación, específicamente desde el proceso

matemático de elaboración, comparación y ejercitación de procesos. Articulando los

elementos del marco conceptual, partimos del reconocimiento de que el aprendizaje del

cálculo requiere la construcción de los conceptos de cambio y variación los cuales

demandan de procesos cognitivos complejos y lentos dados los diferentes sistemas y

elementos matemáticos que se integran y articulan para su comprensión.

De modo que las dificultades y los errores en la construcción de estos conceptos se

presentan inevitablemente. El pensamiento matemático permitirá, entonces, comprender los

fenómenos de variación, pero más en particular el pensamiento variacional ya que tiene que



50

ver con el reconocimiento, la percepción, identificación y caracterización de la variación y

el cambio en diferentes contextos.

Por lo tanto, asumimos que un estudiante ha desarrollado su pensamiento variacional si

tiene la capacidad de resolver situaciones de variación y cambio esgrimiendo algunas de las

habilidades reseñadas (y otras que se espera emerjan de los datos); en caso de no evidenciar

dicha capacidad hablaremos de dificultad en el pensamiento variacional.

CAPÍTULO 3.

PROCEDIMIENTO METODOLÓGICO

Para alcanzar el objetivo de esta investigación se usó una metodología mixta ya que

inicialmente nos acercamos al problema desde lo cuantitativo y, posteriormente

manteniendo el uso de datos porcentuales, se empleó una metodología cualitativa que nos

permitiera comprender de manera más fina las dificultades emergentes de la resolución de

problemas variacionales. Esta investigación se tipifica como una investigación

fenomenológica de tipo experimental.

En este capítulo explicamos el procedimiento que se siguió en la investigación que aquí

reportamos, además describimos los instrumentos diseñados para recolectar y sistematizar

los datos. Dado que nuestra pregunta de investigación tiene un enfoque cualitativo, los

hallazgos obtenidos del análisis cuantitativo se presentan en este capítulo.

El procedimiento metodológico responde a cuatro fases empezando por la elección del

contexto de estudio para realizar el diseño y análisis del primer experimento de

investigación; posteriormente se diseñaría el segundo experimento que nos llevaría a la

caracterización. A continuación desglosamos las fases.

3.1 FASE 1: ELECCIÓN DEL CONTEXTO DE ESTUDIO

Como se mencionó, en la Escuela de Matemáticas de la UIS se desarrolla desde 2012 una

alternativa curricular que intenta aportar a la problemática de reprobación en Cálculo

Diferencial desde la implementación de tutorías entre pares y de un curso de precálculo. De

modo tal que esta fase tuvo sus inicios en el programa de tutorías Acompañamiento y

Seguimiento Académico de Estudiantes de Cálculo (ASAE) y culminó al hallar en el

contexto del curso de precálculo de la UIS las características necesarias para desarrollar

esta investigación.

Las tutorías de ASAE son facilitadas por profesores en formación (tutores y estudiantes del

curso de Didáctica del Cálculo), y coordinado por formadores de profesores. Los alumnos-

tutores realizan, tras cada tutoría, un reporte del desempeño de los estudiantes en el

“Formato para las tutorías de Cálculo I” relacionando fortalezas y dificultades del

estudiante detectadas en la tutoría, además de las actividades tratadas. Dichos formatos se

consideraron como una primera fuente de exploración para este trabajo, por lo que se

diseñó el primer instrumento (Formato DIPEVA7) para realizar la recolección de datos de

37 alumnos-tutorados atendidos por 17 alumnos-profesores del segundo semestre de 2012.

7 DIPEVA responde a la abreviatura de “dificultades en el pensamiento variacional”.



52

3.1.1 Instrumento Formato DIPEVA

Este formato surge de la necesidad de sistematizar los datos ofrecidos por los alumnos-

tutores del programa ASAE en los “Formatos para las Tutorías de Cálculo I”. La revisión

de los datos contempló distinguir en los informes dificultades reportadas sobre los seis

procesos matemáticos emanados por el MEN (2006).

Para refinar la sistematización decidimos apoyarnos en la propuesta de la Seduca

(Secretaría de Educación para la Cultura de Antioquia, 2005) la cual está organizada, como

recordará el lector, en tres ejes temáticos: patrones y regularidades, procesos algebraicos y

análisis de funciones. El siguiente esquema nos permitió ver cómo los autores consideran

que los ejes posibilitan el desarrollo de habilidades asociadas los procesos matemáticos en

contextos de variación.

Ilustración 7. Esquema de los ejes temáticos de la Seduca Fuente: Secretaría de Educación para la Cultura de Antioquia (2005, p. 57)

De modo tal que la estructura propuesta divulgada por la Seduca nos resultó oportuna para

analizar los datos de ASAE porque toma en cuenta los procesos matemáticos y los ejes

temáticos del pensamiento variacional, aspecto que nos permitió tener un primer

acercamiento minucioso a las dificultades de los estudiantes que participaban de las

tutorías. Para ello consideramos diseñar una matriz que permitiera incorporar las

dificultades encontradas en los formatos en función de los procesos, asignando, a su vez, el

eje temático al cual correspondía la dificultad. Fue así como emergió el Formato DIPEVA

para ASAE, el cual se muestra en la Ilustración 8 que sigue.



53

Ilustración 8. Componentes de la estructura del Formato DIPEVA para ASAE

Fuente: Adaptación de la investigadora

Tabla vertebral

donde

se clasificaba la

dificultad

reportada según

el eje temático al

que más

apuntara.

Sistematización (en

porcentajes y gráfica de

barras) de las frecuencias de

ocurrencia de las dificultades

reportadas en los procesos. Sistematización (en

porcentajes y gráfica de

barras) de las frecuencias de

ocurrencia de las dificultades

reportadas en los ejes

temáticos.

CONVENCIONES

DE LOS PROCESOS:

M: Modelar

RyA: Razonar y Argumentar

RPP: Resolver y plantear problemas

F: Formular, elaborar y comparar

procedimientos

R: Representar

C: Comunicar

Espacio designado para consignar

las dificultades encontradas en los

formatos de las tutorías; se

copiaban y pegaban, una vez se

clasificará según el proceso al que

apuntaba con mayor incidencia.

Celdas designadas para indicar

la cantidad de estudiantes con la

misma dificultad.

Columna programada para realizar

la sumatoria de las dificultades de

cada tipo, y en cada proceso.



54

De la versión del segundo semestre de 2012 de ASAE, se generó un Formato DIPEVA por

cada tutor-profesor de ASAE, de tal suerte que al final pudimos observar cuantitativamente

las dificultades de 34 alumnos-tutorados; el siguiente es el ejemplo de un alumno-profesor

quien acompañó a tres estudiantes.

3.1.2 Primera aproximación a las dificultades en el pensamiento variacional

El haber establecido categorías para analizar los datos que aportaban los formatos de las

tutorías nos permitió obtener los resultados que se presentan en la Ilustración 9 que sigue.

Ilustración 9. Visión cuantitativa de los datos de los 17 alumnos-profesores de ASAE8

De las dificultades reportadas por los alumnos-profesores sobre los procesos matemáticos

se obtuvo que:

el 46,57% corresponden al proceso de formular, elaborar y manejar procedimientos

(F) (equivalente al ECEP), en particular en la ejecución de: casos de factorización,

operaciones con fracciones, uso de representaciones gráficas de funciones

(racionales y a trozos); uso de la calculadora, usar y aplicar propiedades de límites y

derivadas.

El 23,47% corresponden al proceso de resolución y planteamiento de problemas

entre lo que destacan dificultades para usar flexiblemente los conceptos,

procedimientos y diversos lenguajes para expresar las ideas matemáticas

pertinentes.

Respecto a los ejes temáticos:

el 57,93% de los estudiantes tienen dificultades en los procesos algebraicos, en

particular al despejar ecuaciones y relacionar lo algebraico con otras

representaciones del objeto matemático.

8 La cantidad de dificultades en relación a los procesos y los ejes temáticos es diferente porque, por ejemplo,

la dificultad “no emplea las derivada para analizar el crecimiento o decrecimiento de una función” la

presentaron los tres estudiantes, pero ella corresponde a un único eje temático: análisis de funciones.



55

El 38,41% de los estudiantes tienen dificultades en el análisis de funciones, en

particular en la comprensión del dominio y el recorrido de una función; en el

entendimiento de la derivada como razón de cambio y en el dominio de la

trigonometría en particular.

Los resultados anteriores no son sorprendentes ya que Díaz (2009) señala que los

estudiantes de nuevo ingreso a la educación superior traen dificultades en la apropiación y

el dominio de conceptos fundamentales relacionados con el álgebra escolar como lo es la

factorización. Pero aunque no es sorprendente la situación, sí es preocupante ya que en la

visión del NCTM (2003, p. 301) “el Álgebra de la escuela secundaria deberá proporcionar

ideas a los estudiantes sobre la abstracción y las estructuras matemáticas. Deberían

desarrollar la comprensión de las propiedades algebraicas que rigen la manipulación de los

símbolos […]”.

Lo que sí nos sorprende es el porcentaje de dificultad en el eje de análisis de funciones

comparado con el de procesos algebraicos ya que, interpretando a Seduca (2005), estos dos

están en estrecha relación por las diferentes formas de representación de la variación y el

cambio y las relaciones funcionales, además de que el álgebra es la expresión de la

generalización y el análisis de funciones es la forma de comunicarla.

Los hallazgos que obtuvimos de ASAE fueron valiosos, sin embargo el curso de precálculo

se presentó como un contexto más rico y pertinente para la investigación por ser el primer

espacio universitario, desde 2013, con el cual tienen contacto los estudiantes de primer

nivel de programas de ingenierías y de la Facultad de Ciencias de la universidad, lo cual

resultó adecuado para este trabajo con la añadidura de que el curso se ofrece a estudiantes

caracterizados en riesgo académico por el Sistema de Apoyo a la Excelencia Académica

(SEA) de la universidad9.

3.2 FASE 2:DISEÑO DEL EXPERIMENTO I

Para los semestres académicos de 2014, la selección de los estudiantes que ingresaron al

curso fue producto de la correlación de los desempeños más bajos en la Prueba Diagnóstica

Inicial (PDI) y en la Prueba Saber 11 (Examen de Estado de carácter obligatorio que deben

presentar los estudiantes que están finalizando la educación media como requisito de

ingreso a la educación superior).

En el primer semestre de 2014, la coordinación del curso de precálculo diseñó la PDI con

14 problemas, cada uno con un indicador que pretendían dar cuenta de los cuatro estándares

del pensamiento variacional propuestos por el MEN (2012) para el grado undécimo (ver

Ilustración 10), estos fueron incorporados la nueva malla de evaluación que acompañaría el

informe.

9 Desde 2013, el SEA ha venido realizando la caracterización de los estudiantes que son admitidos en la

universidad, lo cual permite identificar aquellos que tienen algún tipo de vulnerabilidad en las dimensiones

social, biopsicosocial, económica, académica y cognitiva, que pueda llegar a afectar su desempeño

académico. Los estudiantes identificados con algún tipo de vulnerabilidad son invitados a participar de

manera voluntaria en los diferentes programas de acompañamiento que ofrece el SEA (mayor información en

https://www.uis.edu.co/webUIS/es/estudiantes/excelenciaAcademica/index.html).

https://www.uis.edu.co/webUIS/es/estudiantes/excelenciaAcademica/index.html



56

Ilustración 10. Conexión de estándar-indicador-problema

La prueba diagnóstica inicial (y final) fue de selección múltiple y soportada por un software

adquirido por la universidad; éste arroja para cada estudiante un reporte con la evaluación

de cada uno de los indicadores (ver Ilustración 11).

Ilustración 11. Reporte de las pruebas diagnóstico del Curso de Precálculo UIS

Fuente: Coordinación Curso Precálculo UIS



57

Estos elementos emergentes del diseño curricular del curso de precálculo nos llevaron a ver

en la prueba diagnóstica (como en los datos de los reportes como los problemas), el

vehículo que nos llevaría a aproximarnos a las dificultades de los estudiantes de nuevo

ingreso al enfrentarse a los problemas de fenómenos variacionales.

3.2.1 Instrumentos para refinar la mirada a las dificultades

El segundo instrumento de la investigación surge como consecuencia de una acción de

intervención en la evaluación del curso de precálculo: desde sus inicios, cada semestre, los

profesores del curso entregan un informe cualitativo que reporta la asistencia, el desempeño

de cada estudiante (fortalezas y debilidades) alrededor del pensamiento variacional, esto

considerando las pruebas diagnóstica inicial y final, y el desarrollo del curso. Este informe

se realizaba a criterio personal, por lo que algunos informes resultaban superficiales y otros

un tanto más elaborados y con criterios de evaluación diferentes.

En esa brecha vislumbramos una oportunidad para tener una nueva (y más precisa)

aproximación a las dificultades en el pensamiento variacional de los estudiantes de nuevo

ingreso a la universidad; por ello consideramos conveniente ajustar el Formato DIPEVA de

ASAE a las necesidades de evaluación del curso, de manera que también lográramos

unificar los criterios de evaluación del mismo al incorporar los indicadores de los

estándares del pensamiento variacional que sustentan la prueba diagnóstica inicial.

Para hacer más detallada esta nueva aproximación a las dificultades, consideramos

importante que el profesor observara los procesos matemáticos, referidos a los

procedimientos, que el estudiante realizaba para dar respuesta a cada problema, esto nos

llevó al diseño del tercer instrumento de la investigación: la Hoja de Procesos la cual surge

de la necesidad de “atrapar” los procedimientos matemáticos que el estudiante emplea en la

resolución de los problemas de la prueba (ver Ilustración 12).

Ilustración 12. Muestra del instrumento "Hoja de Procesos" de la PDI



58

El uso de un registro escrito cobró sentido para nosotros dado los antecedentes de Barajas

(2008) quien expone que “el estudiante recurre al lenguaje escrito en su discurso como

mediador didáctico con dos funciones básicas: (1) para aprender o (2) para demostrar lo

aprendido” (p. 20).

Tomando las citas directas de aquella investigación, se tiene que los autores Britton et ali

(1975 en Atienza, 1998, p. 29-30) se refieren de la siguiente manera a la segunda de esas

funciones así:

El modo que normalmente tiene el estudiante de demostrar en las disciplinas

académicas la adquisición de conocimientos es mediante una prueba de ensayo o

examen, donde debe dar cuenta de tales conceptos a partir de la exposición de los

mismos. Se trata del discurso presentado como producto, hecho para demostrar a un

tercero la construcción del conocimiento. Dicha escritura se plasma en los exámenes,

trabajos monográficos, esto es, en ejercicios expositivos diversos que el estudiante

entrega al profesor.

A esto Valery (2000, p. 40) aporta que

mientras el lenguaje oral aparece como una actividad espontánea, el lenguaje escrito

exige un trabajo consciente y analítico, porque si bien el lenguaje oral abstrae la

realidad y la representa en palabras, el escrito requiere de un mayor nivel de

abstracción, un segundo nivel de simbolización porque en él no sólo las palabras son

remplazadas por signos alfabéticos sino también los elementos no verbales como la

sonoridad, los gestos, las intenciones deben ser puestos en palabras escritas,

sintácticamente organizadas para ser transmitidas en toda su significación.

La escritura nos permitiría acceder al conocimiento matemático que empleara el estudiante

en la resolución del problema, a los procedimientos empleados para elaborar la solución, a

las representaciones mentales que tenga de los conceptos y, quizás, a la respuesta de los

problemas. El instrumento, entonces, corresponde a un plegable que contiene, además de

los datos de presentación, instrucción e identificación de rigor, un espacio para escribir el

procedimiento de solución de cada problema.

La adaptación del Formato DIPEVA de ASAE se transformó en el Formato de Evaluación

DIPEVA el cual se diseñó pensando en obtener una visión global de evolución de las

dificultades en el pensamiento variacional de los estudiantes, esto valorando el nivel de

dificultad de cada indicador en tres tiempos:

i. En la prueba diagnóstica inicial; aquí se toma en cuenta la Hoja de Procesos y el

reporte de plataforma;

ii. el desarrollo del curso de precálculo, que sería evaluado a criterio profesional de

cada uno de los profesores; y

iii. en la prueba diagnóstica final.

El Formato de Evaluación DIPEVA nos permitiría realizar una primera toma de datos y

obtener una visión cuantitativa de las dificultades en términos de los indicadores de los

estándares básicos en competencias de matemáticas del pensamiento variacional de los

estudiantes de nuevo ingreso en el primer semestre de 2014. Para evaluar los indicadores en

el formato que se muestra en la Ilustración 13, en acuerdo con la coordinación del curso, de

cada indicador se consideró como una variable métrica y se le asignó una escala de tipo



59

Likert para señalar la dificultad en cada indicador en un nivel de 0 hasta 5, significando

cero “ausencia de dificultad” y cinco “máximo nivel de dificultad”; las valoraciones 1, 2, 3

y 4 quedaban a criterio de evaluación de los profesores al revisar las hojas de procesos de la

PDI.

Ilustración 13. Muestrario del Formato de Evaluación DIPEVA

Fuente: Coordinación Curso Precálculo UIS

Para la coordinación del curso y para nosotros, se determinó que el término dificultad

indicará el mayor o menor grado de éxito de los estudiantes ante una tarea variacional. Si el

porcentaje de respuestas incorrectas (índice de dificultad) en la evaluación es elevado se

dice que la dificultad del estudiante en el pensamiento variacional es alta, mientras que si

dicho porcentaje es bajo, la dificultad es baja.

3.2.2 Segunda aproximación a las dificultades en el pensamiento variacional

Garbanzo (2007, p. 52) afirma que uno de los factores que habla del posible rendimiento

académico de los estudiantes universitarios es la nota de acceso a la universidad: “estudios

realizados en la enseñanza superior asociados al rendimiento académico enfatizan el valor

de la nota obtenida en las pruebas de admisión a la universidad como un predictor de los

más importantes en el rendimiento académico, junto con los rendimientos previos a la

universidad”. Aclaramos, por supuesto, que la PDI no es una prueba de admisión pues los

estudiantes del curso de precálculo ya están admitidos en los programas de la universidad,

pero sí es la primera prueba que presentan centrada en nociones del cálculo en el marco de

la educación superior.

En la Ilustración 14 se representan los resultados para el estándar Analizo las relaciones y

propiedades entre las expresiones algebraicas y las gráficas de funciones polinómicas y

racionales y de sus derivadas.

Se observará que en promedio el 52,45% de los estudiantes que presentaron la PDI_2014-I

fueron valorados con un nivel 5 de dificultad en los cuatro indicadores del estándar



60

mencionado. El indicador en el cual los estudiantes presentaron mayor nivel dificultad, con

el 56,86%, fue en el que señala que no reconocen las pendientes de funciones polinómicas.

Ilustración 14. Distribución de estudiantes por nivel de dificultad en el Estándar 1

Para el estándar Interpreto la noción de derivada como razón de cambio y como valor de la

pendiente de la tangente a una curva y desarrollo métodos para hallar las derivadas de

algunas funciones básicas en contextos matemáticos y no matemáticos, como se apreciará

en la Ilustración 15, en promedio el 56,06% de los estudiantes de nuevo ingreso a la

universidad fueron valorados con un nivel 5 de dificultad en los cuatro indicadores del

estándar mencionado. El indicador en el cual los estudiantes presentaron mayor nivel

dificultad, con el 63,08%, fue en el que señala que no interpretan la derivada como razón de

cambio de cantidades variables y funciones en contextos matemáticos o no matemáticos.


0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

Dif. 0 Dif. 1 Dif. 2 Dif. 3 Dif. 4 Dif. 5

Relaciona correctamente losdiferentes registros derepresentación de una funciónen una situación problema.

Modela con propiedad unasituación de cambio a través deuna función.

Identifica con claridad unafunción, la relación que existeentre la gráfica y la expresiónalgebraica.

Reconoce las pendientes defunciones polinómicas oracionales, y las relaciona con elcrecimiento o decrecimiento delas mismas.

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%


Reconoce e interpreta situacionesque implican variación.

Interpreta la derivada como razónde cambio de cantidades variables yfunciones en contextosmatemáticos o no matemáticos.Desarrolla o aplica métodos parahallar las derivadas de algunasfunciones básicas en contextosmatemáticos y no matemáticos.Interpreta la derivada en un puntocomo la pendiente de la rectatangente a la curva.



61

Para el estándar Utilizo las técnicas de aproximación en procesos infinitos numéricos, se

presentaron menos dificultades pues la media de la distribución de dificultades de 37,92%

siendo el indicador con mayor porcentaje de dificultad en nivel 5 utiliza aproximaciones

numéricas o gráficas para deducir intuitivamente el límite de una función. Veamos en la

Ilustración 16 la distribución porcentual de dificultad en los tres indicadores del estándar:


En el estándar Modelo situaciones de variación periódica con funciones trigonométricas e

interpreto y utilizo sus derivadas, la mayoría de estudiantes presentó mayor dificultad en la

resolución de problemas de este estándar pues en promedio el 62,50% de la población

evidenció nivel 5 de dificultad teniendo en cuenta que el 64,37% de los estudiantes

presentan dificultad en el indicador Modela situaciones de variación periódica con

funciones trigonométricas, como se aprecia en la Ilustración 17.


-10%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%


Reconoce características de losprocesos infinitos utilizandodiversas representaciones: gráficas,tablas o explicaciones verbales.

Utiliza aproximaciones numéricas ográficas para deducirintuitivamente el límite de unafunción.

Aplica procedimientos aritméticospara resolver problemas queinvolucran procesos infinitos.

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%


Modela situaciones de variaciónperiódica con funcionestrigonométricas.

Interpreta la derivada comorazón de cambio de cantidadesvariables y funcionestrigonométricas en contextosmatemáticos o no matemáticos.

Comprende y aplica la definiciónde las razones trigonométricas enel triángulo rectángulo en lasolución de problemastrigonométricos.



62

En la Tabla 7 que sigue se sintetizan los resultados de los estándares y sus respectivos

indicadores:

Tabla 7. Resumen resultados en estándares e indicadores de la PDI_2014_I (Nivel 5)

ESTÁNDAR

ESTUDIANTES

CON NIVEL

DE

DIFICULTAD

5

(Promedio)

INDICADORES

ESTUDIANTES

CON NIVEL

DE

DIFICULTAD 5

1. Analizo las

relaciones y

propiedades entre las

expresiones

algebraicas y las

gráficas de funciones

polinómicas y

racionales y de sus

derivadas

52,45%

1. Relaciona correctamente los diferentes

registros de representación de una función

en una situación problema. 54,77%

2. Modela con propiedad una situación de

cambio a través de una función. 54,52%

3. Identifica con claridad una función, la

relación que existe entre la gráfica y la

expresión algebraica. 43,66%

4. Reconoce las derivadas de funciones

polinómicas o racionales, y las relaciona

con el crecimiento o decrecimiento de las

mismas.

56,86%

2. Interpreto la

noción de derivada

como razón de

cambio y como valor

de la pendiente de la

tangente a una curva

y desarrollo métodos

para hallar las

derivadas de algunas

funciones básicas en

contextos

matemáticos y no

matemáticos.

56,06%

5. Reconoce e interpreta situaciones que

implican variación. 47,67%

6. Interpreta la derivada como razón de

cambio de cantidades variables y funciones

en contextos matemáticos o no

matemáticos.

54,66%

7. Desarrolla o aplica métodos para hallar

las derivadas de algunas funciones básicas

en contextos matemáticos y no

matemáticos.

58,82%

8. Interpreta la derivada en un punto como

la pendiente de la recta tangente a la curva. 63,08%

3. Modelo

situaciones de

variación periódica

con funciones

trigonométricas e

interpreto y utilizo

sus derivadas.

62,50%

9. Domina correctamente las razones y las

identidades trigonométricas en contextos

matemáticos o no matemáticos. 64,37%

10. Modela situaciones de variación

periódica con funciones 64,30%

11. Comprende y aplica la definición de las

razones trigonométricas en el triángulo

rectángulo en la solución de problemas

trigonométricos.

58,82%

4. Utilizo las

técnicas de

aproximación en

procesos infinitos

numéricos.

37,92%

12. Reconoce características de los

procesos infinitos utilizando diversas

representaciones: gráficas, tablas o

explicaciones verbales.

34,88%

13. Utiliza aproximaciones numéricas o

gráficas para deducir intuitivamente el

límite de una función. 40,98%

14. Aplica procedimientos aritméticos para

resolver problemas que involucran procesos

infinitos. 37,90%

Analizando los indicadores, tenemos que los siguientes se desarrollan a la luz del proceso

de comparación, elaboración y ejecución de procedimientos con un promedio del 46,28%

de dificultad en nivel cinco: 7, 9, 11, 12, 13, y 14 pues consideramos que describen

acciones cognitivas relacionadas al proceso ECEP: desarrollar, aplicar, y utilizar. Se tiene

también que los estándares 1 y 3 evidencian un importante porcentaje de estudiantes con

dificultades relacionadas explícitamente con los procesos algebraicos y el análisis de



63

funciones. Esto ratifica los resultados de la Fase 1: los estudiantes de nuevo ingreso a la

universidad tienen dificultades en la elaboración, y ejecución de procedimientos para

resolver problemas variacionales.

Lo anterior destaca que las dificultades no aparecen al azar sino que surgen en un marco

consistente formado por conocimientos adquiridos previamente, y del proceso de enseñanza

que, como lo señala Pochulu (2005), es potencialmente generador de errores, debido a

diferentes causas, algunas de las cuales se presentan inevitablemente. Precisamente estos

resultados sugirieron el diseño del experimento II, con el fin de profundizar en los

resultados aquí encontrados.

3.3 FASE 3: DISEÑO DEL EXPERIMENTO II

Consideramos que para este experimento nos concentraríamos en los estudiantes de las

carreras que reportaron menor porcentaje de desempeño en la PDI del primer semestre.

Como se puede deducir de la Tabla 8, las carreras fueron Matemáticas, Licenciatura en

Matemáticas e Ingeniería de Sistemas.

Tabla 8. Desempeño en la PDI de 2014-I de estudiantes de nuevo ingreso

PROGRAMA

Dis

eño

In

du

stri

al

Fís

ica

Geo

log

ía

Ing

enie

ría

Civ

il

Ing

enie

ría

de

Pet

róle

os

Ing

enie

ría

de

Sis

tem

as

Ing

enie

ría

Elé

ctri

ca

Ing

enie

ría

Ele

ctró

nic

a

Ing

enie

ría

Ind

ust

rial

Ing

enie

ría

Mec

ánic

a

Ing

enie

ría

Met

alú

rgic

a

Ing

enie

ría

Qu

ímic

a

Lic

enci

atu

ra

Mat

emát

icas

Mat

emát

icas

Qu

ímic

a

Cantidad

Estudiantes 20 21 40 56 50 67 45 50 60 63 40 52 20 37 33

%

Desempeño

(0 - 100)

24,6 19,4 26,5 22,8 28,6 18,4 23,1 23,4 28,9 22,8 21,4 28 19,2 12,5 22,3

Fuente: Coordinación Curso de Precálculo de la UIS, 2014-I

Para el segundo semestre de 2014, decidimos que los estudiantes de estas tres carreras

usarían la Hoja de Procesos conformarían nuestra muestra de estudio. Se definieron para

esta fase las siguientes etapas:

i. Selección y Análisis de los problemas para identificar los procedimientos que se

esperaba el estudiante empleara para la solución de cada uno (en §3.4 precisaremos

sobre esta etapa).

ii. Recolección de los datos; etapa que fue realizada tras la ejecución del curso.

iii. Análisis minucioso de las Hojas de Procesos para entrar a categorizar las

dificultades que emergieran de cada problema, esto a luz de las habilidades a priori

para el proceso ECEP ya mencionadas, de manera que esto nos llevará a la última fase

del procedimiento metodológico y al objetivo de la investigación.

En el siguiente esquema de la Ilustración 18 se sintetiza el proceso metodológico que

hemos venido presentando; desplegamos después la última fase de esta investigación.



64

Ilustración 18. Procedimiento metodológico de la investigación

3.4 FASE 4: CARACTERIZACIÓN DE LAS DIFICULTADES

Para realizar la caracterización se sistematizarían y analizarían las hojas de procesos de 113

estudiantes de las carreras seleccionadas como muestra para identificar aquellos

procedimientos que nos permitieran dar cuenta de las dificultades con las cuales ingresan

los estudiantes a la universidad, de tal suerte que podamos profundizar desde lo teórico en

las dificultades halladas desde diferentes autores de educación matemática desde quienes

interpretaremos las evidencias de las dificultades que serán reportadas, como señalamos en

§2.3.2, en términos de descriptores de los procedimientos asociadas al pensamiento

variacional.

Para realizar la caracterización fue necesario, como mencionamos anteriormente, revisar

cada problema para hacernos a una idea del posible procedimiento que elaboraría el

estudiante al solucionarlo; paralelamente explicitamos los tipos de procedimientos que

podrían ser empleados en el problema.

Análisis preliminar

PROCESO METODOLÓGICO

FASE 4Caracterización de

Dificultades

Formato de Evaluación

DIPEVA

Prueba

Diagnóstica Inicial

(Plataforma)

*Reporte de la Prueba del

Sistema

Desarrollo del curso

Prueba

DiagnósticaFinal

Talleres

ASAE

CoP

ASAE

*Hoja de Procesos

*Reporte de la Prueba del

Sistema

Curso de precálculo

de la UIS

FASE 2Diseño del

Experimento 1

FormatoDIPEVA

FASE 3Diseño del

experimento II

Selección y Análisis de problemas

Recolección dedatos

Análisis

Hoja de Procesos

Curso de Precálculo 2014-IIExploración del

Programa ASAE

FASE 1Elección del contexto

de estudio.

Curso de Precálculo 2014-I



65

3.4.1 Análisis de los problemas de fenómenos variacionales

Santos (2007) señala que el término “problema” resulta difícil de definir dada la

subjetividad del individuo que intenta resolverlo pues si para algunos estudiantes resulta un

esfuerzo resolver un problema, para otros resulta solo un ejercicio rutinario. Esto señala la

interacción entre el individuo y la tarea matemática.

Los problemas pueden ser de tipo no rutinarios que son aquellos con varios métodos de

solución o que requieren más que la aplicación de reglas, fórmulas o algoritmos para

solucionarlo o, para más precisión, aquél que al leer el enunciado no viene a la mente un

algoritmo predeterminado, o una idea a desarrollar para resolverlo. Si la lectura del

enunciado indica qué tipo de algoritmo o camino seguir, estamos frente a problemas

rutinarios los cuales van orientados por procesos mecanizados o memorísticos.

Los problemas que serán analizados en esta investigación son no rutinarios y fueron

diseñados (o ajustados de otras fuentes) por la coordinación del curso de precálculo con la

idea fundamental de que los estudiantes de nuevo ingreso a la universidad se enfrentaran a

una variedad de situaciones variacionales que dieran cuenta de su desempeño alrededor de

los cuatro Estándares Básicos en Competencias de Matemáticas contemplados por el

Ministerio de Educación Nacional para el grado undécimo, ya referidos en la sesión

anterior la Fase 2.

Con el propósito de identificar los procedimientos involucrados, se analizaron 10

problemas de la prueba diagnóstica inicial. Para ello se estiló una tabla de análisis para cada

problema (ver Tablas 9 a la 18) que considera cuatro columnas, así:

en la primera columna, de izquierda a derecha, se presenta el problema y las opciones

de selección múltiple del mismo;

en la segunda columna se presentan las posibles soluciones que se esperaba realizaran

los estudiantes de nuevo ingreso a la universidad;

en la tercera columna se relacionan de manera sucinta los procesos matemáticas (no

solo el proceso de elaboración, comparación y ejecución de procedimientos –ECEP–

ya que es imposible excluir los demás procesos de la resolución del problema) y

procedimientos implicados en cada solución presentada en la columna anterior; y,

en la cuarta columna de la tabla se puso en juego la taxonomía de los procedimientos,

explicitando los correspondientes al problema.

Recomendamos que al realizar la lectura de las tablas de análisis se trate de relacionar el

problema con las palabras clave que lo representan (el problema de la pelota, del cuadrado,

del folleto, de la empresa láctea, etc.) ya que éstas se emplearán constantemente durante el

reporte del análisis de los datos para referirnos a los problemas.

Por último, cabe señalar que la Coordinación del Curso de Precálculo para el segundo

semestre de 2014 consideró la aplicación de 13 problemas; nosotros no tomamos tres ellos

para la investigación porque uno de ellos era muy similar al problema de la pelota; y los

otros dos porque, más que un procedimiento que se lograra registrar en las hojas, requerían

del razonamiento sobre la derivada.



66

Tabla 9. Tabla de Análisis problema de la pelota

PROBLEMA SOLUCIÓN ANÁLISIS PROCEDIMIENTO

Una pelota de tenis se lanza hacia

arriba de modo que alcanza una

altura de 5 m desde el piso, y se deja

rebotar hasta que quede en reposo.

Supóngase que en cada rebote sube

hasta la mitad de la altura máxima

anterior. La distancia total

(aproximada) que recorre la pelota

antes de quedar en reposo es:

a) 10 metros

b) 9,99 metros

c) 20 metros

d) 19,99 metros

e) No sabe

Solución 1

10 +10

2+

10

4+

10

8+ ⋯ ≈ 20

Recurrir a una representación gráfica

para visualizar la situación. Utilizar

una sucesión para representar el

cambio. Expresar la suma de los

términos la distancia total. Concluir,

al conectar lo gráfico y lo numérico,

que la distancia es 20 m pues, de a

poco, se re-construye la distancia del

primer lanzamiento de la pelota.

Aritmético

Analítico

Solución 2

= 10 +10

2+

10

4+

10

8+ ⋯

= 10 +10

2+

10

22+

10

23+ ⋯

= ∑ 10 (1

2)

𝑖∞

𝑖=0

=10

1 −12

= 20

Emplear los números reales y sus

propiedades. Interpretar y representar

la regularidad existente a través de

una sumatoria. Establecer el término

general de la sumatoria. Aplicar y

dominar propiedades de la sumatoria.

Aritmético

Analítico

Solución 3 Lanzami

ento

(sube y

baja)

Distancia Distancia

Acumulada

1 10 10

2 5 10+5=15

3 2,5 10+5+2,5=17,5

4 1,25 10+5+2,5+1,25=18,75

5 0,625 10+5+2,5+1,25+0,625=19,375

6 0,3125 19,375+0,3125=19,6875

… Tiende a 0 ≈20

Elaborar una tabla para explorar los

cambios que se producen entre las

variables. Analizar la convergencia

de la sumatoria.

Aritmético

Analítico



67

Tabla 10. Tabla de Análisis problema del cuadrado


Un cuadrado de lado 1 cm se divide

en dos partes iguales y se sombrea

una de ellas (paso 1). La mitad no

sombreada se divide a la mitad y

nuevamente se sombrea una de las

partes (paso 2), Si se continúa el

proceso indefinidamente, ¿a cuánto

se aproxima la suma de las áreas

sombreadas del cuadrado?

a. 0.5 cm2

b. 1 cm2

c. A infinito

d. 0.9 cm2

e. No sabe

Solución 1

En cada paso, se suma al área anterior un poco más de área. Es

decir, al infinito la suma de las áreas es la misma del cuadrado.

Distinguir un proceso infinito.

Razonar sobre el infinito actual.

Geométrico

Analítico

Solución 2

P ÁREA SOMBREADA

1 0,5

2 0,5+0,25=0,75

3 0,5+0,25+0,125=0,875

4 0,5+0,25+0,125+0,0625=0,9375

… ≈1

Elaborar una tabla para explorar

los cambios que se producen entre

las variables. Manejar la noción

de convergencia.

Aritmético

Analítico



68

Tabla 11.Tabla de Análisis problema del límite


Para determinar el límite de 𝑓(𝑥) =|𝑥|

𝑥 cuando 𝑥 se acerca a cero, basta

con reconocer la siguiente gráfica de

la función y decir que:

Solución 1

𝑓(𝑥) =|𝑥|

𝑥

x 𝑓(𝑥)

-3 -1

-2 -1

-1 -1

0 Error

1 1

2 1

3 1

Conocer la función valor

absoluto, tabular e identificar

que el límite de la función

cuando x→0- es diferente

cuando x→0+ y, por tanto,

conclir que el límite no existe

por la propiedad de unicidad.

Analítico

a.

b.

c.

d.

e. No sabe

lim𝑥→0

𝑓(𝑥) = 1

∄ lim𝑥→0

𝑓(𝑥)

lim𝑥→0

𝑓(𝑥) = 0

lim𝑥→0

𝑓(𝑥) = 0

Solución 2

Graficar y observar que al

acercarse a cero por izquierda

y por derecha, la función tiene

imágenes diferentes y concluir

que el límite cuando x→0 no

existe por la propiedad de

unicidad.

Analítico



69

Tabla 12. Tabla de Análisis problema del carrito de juguete


Un carrito de juguete se desliza a lo

largo de un plano inclinado, de tal

manera que su función de posición

después de 𝑡 segundos está dada por

𝑠 = 𝑓(𝑡) = 4,5𝑡2 + 2𝑡, donde 𝑠 está

en metros. La siguiente tabla muestra

los datos de tiempo y posición del

carrito.

Tiempo

(seg)

Posición

(mts)

2,1 24,05

2,05 23,01

2,02 22,40

2 22

1,99 21,80

1,95 21,01

1,5 13,13

Según la tabla anterior, ¿cuál es la

velocidad instantánea en 𝑡 = 2 segundos?

a. La velocidad instantánea en t=2

seg se aproxima a 20 m/s.

b. La velocidad instantánea en t=2

seg es aproximadamente 22 m/s

c. No se puede determinar la

velocidad instantánea con los datos

suministrados por la tabla.

d. La velocidad instantánea en t=2

seg es igual a 11 m/s

e. No sabe

Solución 1

t s ∆s/∆t

2,1 24,05 20,8

2,05 23,01 20,3333333

2,02 22,4 20

2 22 20

1,99 21,8 19,75

1,95 21,01 1 ,5111111

1,5 13,13 8,7533 333

Conocer y emplear la definición

de velocidad instantánea.

Observar el comportamiento de

los valores de ∆s/∆t cuando t se

acerca a 2 por izquierda y por

derecha, entendiendo esto como

la velocidad instantánea en t =2

seg.

Aritmético

Analítico

Solución 2

𝑠 = 𝑓(𝑡) = 4,5𝑡2 + 2𝑡

𝑓′(𝑡) = 9𝑡 + 2

𝑓′(2) = (9.2) + 2

𝑓′(2) = 20

Emplear la derivada para

calcular que la velocidad

instantánea en t = 2 seg ya que

la derivada de la función

posición evaluada en ese

tiempo.

Aritmético

Analítico



70

Tabla 13. Tabla de Análisis problema de la partícula


Supóngase que una partícula se

desplaza de acuerdo a la función

posición 𝑠(𝑡) = |1

2𝑡 − 1|, donde 𝑠

está dada en metros y 𝑡 en segundos.

¿Para qué valores de 𝑡, cuando 0 <

t < 5, 𝑠’(𝑡) no existe?

a. En t=2, porque la derivada no

existe cuando s(2) es igual a cero

b. No hay puntos donde la derivada

no exista, ya que la función es

continua en el intervalo [0,5].

c. En t=0 y t=5.

d. En t=2, ya que se tiene un pico en

la función, por lo tanto la derivada no

existe.

e. No sabe

Solución 1

𝑠(𝑡) = {− (

𝑡

2− 1) , 𝑡 < 2

𝑡

2− 1, 𝑡 ≥ 2

𝑠′(𝑡) = {−

1

2, 𝑡 < 2

1

2, 𝑡 ≥ 2

Emplear la definición de valor

absoluto. Conocer y emplear las

reglas de derivación. Usar la

propiedad de que si existe la

derivada en un punto, las

derivadas laterales deben ser

iguales para que la función sea

derivable en el punto.

Analítico

Solución 2

En 𝑡 = 2 hay un pico, entonces la función no es derivable

en ese punto.

Graficar la función dada. Aplicar

el criterio de que si una función

tiene un punto anguloso, la curva

cambia drásticamente de

dirección en él, entonces no tiene

derivada la función allí.

Analítico

Solución 3

𝑠(𝑡) = {− (

𝑡

2− 1) , 𝑡 < 2

𝑡

2− 1, 𝑡 ≥ 2

ℎ < 2, limℎ→2ℎ<2

𝑠(2 + ℎ) − 𝑠(2)

ℎ= lim

ℎ→2ℎ<2

−ℎ

2ℎ= −

1

2

ℎ ≥ 2, limℎ→2ℎ≥2

𝑠(2 + ℎ) − 𝑠(2)

ℎ= lim

ℎ→2ℎ≥2

ℎ

2ℎ=

1

2

Por lo tanto 𝑠´(2) no existe.

Emplear la definición de valor

absoluto. Emplear la definición de

derivada y la propiedad de

existencia de la derivada en un

punto.

Analítico

Al no coincidir la

derivada por la derecha e

izquierda, la función no

es derivable en ese punto.



71

Tabla 14. Tabla de Análisis problema de la empresa láctea


En una empresa láctea se registran los datos de

dos tanques que almacenan leche. La siguiente

gráfica representa la relación entre volumen y el

tiempo de dos tanques A y B, respectivamente.

Se tiene que estos tanques descargan la leche

por un orificio en la parte inferior de cada uno

de ellos.

¿Cuáles son las expresiones algebraicas que

modelan el desagüe para los tanques de leche A

y B, respectivamente?

a)Tanque A: 𝑓(𝑥) = 6 cos (1

2(𝑥 − 3.2) + 1.5) − 1.99

Tanque B: 𝑔(𝑥) = −1

3𝑥 + 4

b) Tanque A: 𝑓(𝑥) = −1

2𝑥2 +

1

43𝑥 + 8


3𝑥 − 4

c) Tanque A: 𝑓(𝑥) = −𝑒𝑥−3/2 + 8.17


3𝑥 + 4

d) Tanque A: 𝑓(𝑥) = −1

2𝑥2 +

1

43𝑥 + 8

Tanque B: g(x)= = −1

3𝑥 + 4

e)No sabe

Solución 1 (gráfico→algebraico)

Tanque A:

𝑓(𝑥) = −1

2𝑥2 +

1

43𝑥 + 8

𝑓(0) = −1

20 +

1

430 + 8 = 8 → 𝑉(0, 8)


3𝑥 + 4

𝑔(0) = −1

30 + 4 = 4 → 𝑃(0, 4)

Determinar las ecuaciones de las curvas

que modelan el desagüe para cada tanque,

interpretar de las gráficas que el Tanque B

es modelado por una función lineal de

pendiente negativa y punto de corte (0, 4).

El Tanque A es modelado por la función

cuadrática con 𝑎 < 0 y 𝑉(0, 8). Usar

estos datos para verificar sobre las

opciones b y d.

Analítico

Solución 2 (algebraico→gráfico)

Tanque A: 𝑓(𝑥) = −1

2𝑥2 +

1

43𝑥 + 8

Tanque B: g(x)= = −1

3𝑥 + 4

Analizar cada opción de respuesta usando

como control los puntos de corte con el eje

y para su elección.

Analítico



72

Tabla 15. Tabla de Análisis problema de la cúbica


A continuación se encuentra la gráfica de la

función 𝑓(𝑥) = −𝑥3 − 5𝑥2 + 18𝑥 + 72, indica en qué intervalos se tiene que

𝑓′(𝑥) < 0 y 𝑓(𝑥) > 0.

a) Si 𝑥 ∈ (−∞, −6) ∪ (−5+√79

3, 4).

b) Si 𝑥 ∈ (−∞,−5−√79

3) ∪ (

−5+√79

3, ∞).

c) Si 𝑥 ∈ (−∞, −6) ∪ (−3,4)

d) Si 𝑥 ∈ (−∞, −6)

e) No sabe.

Solución 1

Comprender que la derivada de

las funciones se relaciona con el

crecimiento o decrecimiento de la

función.

Analítico

Solución 2

𝑓(𝑥) = −𝑥3 − 5𝑥2 + 18𝑥 + 72

𝑓′(𝑥) = −3𝑥2 − 10𝑥 + 18

0 = −3𝑥2 − 10𝑥 + 18

𝑥 =10 ± √100 − (4. −3.18)

−6

𝑥 =10 ± √100 + 216

−6

𝑥 =10 ± √316

−6

𝑥 =10 ± 2√79

−6=

2(5 ± √79)

−6=

−5 ± √79

3

𝑥1=

−5 + √79

3, 𝑥2 =

−5 − √79

3

Comprender que la derivada de

las funciones se relaciona con el

crecimiento o decrecimiento de

las mismas y emplear la

derivación para determinar los

puntos de inflexión.

Analítico

Numérico



73

Tabla 16. Tabla de Análisis problema del folleto


Un folleto debe contener 48 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠2 de

espacio impreso, con márgenes de 3

pulgadas en la parte superior e inferior, y

márgenes laterales de 1 pulgada.

¿Cuál será el modelo que representa el área

del folleto respecto a uno de sus lados?

a) 𝐴(𝑥) =48

𝑥−2+ 6

b) 𝐴(𝑥) = 𝑥𝑦

c) 𝐴(𝑥) = 6𝑥 + 2𝑦 + 42

d) 𝐴(𝑥) =6𝑥2+36𝑥

𝑥−2

e) No sabe

Solución 1

Área impresa→48 pulg2

Ancho→ 𝑥 − 2

Alto→𝑦 − 6

𝐴𝑇 = (y − 6)(x − 2)

48 = (𝑦 − 6)(𝑥 − 2)

(𝑦 − 6) =48

𝑥 − 2

𝑦 =48

𝑥 − 2+ 6 =

48 + 6(𝑥 − 2)

𝑥 − 2=

48 + 6𝑥 − 12

𝑥 − 2

𝑦 =6𝑥 + 36

𝑥 − 2

Entonces 𝐴 = 𝑥𝑦 → 𝐴 = 𝑥 (6𝑥+36

𝑥−2) =

6𝑥2+36𝑥

𝑥−2

Interpretar el problema y los datos

para realizar un apoyo visual.

Representar lo visual de manera

algebraica. Establecer la relación

funcional entre las variables y

expresarla algebraicamente.

Geométrico

Analítico

3 pulg

3 pulg

x

y

1 pulg



74

Tabla 17. Tabla de Análisis problema del coseno


¿Cuál es el valor de cos(2𝛼), si se tiene que

sen 𝛼 =√3

2 y 𝛼 está en el segundo

cuadrante?

a) −1

2

b) 1

2

c) cos2 𝛼 − sen2 𝛼

d) cos √3

e) No sabe

Solución 1

sen 𝛼 =√3

2→ 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛−1 √3

2=

𝜋

3

cos(2𝛼) = cos2 𝛼 − sen2 𝛼

= cos2𝜋

3− sen2

𝜋

3

=1

4−

3

4= −

2

4= −

1

2

Emplear identidades

trigonométricas.

Analítico

Aritmético

Sigue →

Solución 2

sen 𝛼 =√3

2→ 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛−1 √3

2=

𝜋

3

cos(2𝛼) = 1 − 2 sen2 𝛼

= 1 − 2 sen2𝜋

3

= 1 − (2.3

4) = 1 −

6

4=

4 − 6

4

=−2

4= −

1

2

Solución 3

sen 𝛼 =√3

2→ 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛−1 √3

2=

𝜋

3

cos(2𝛼) = 2 cos2 𝛼 − 1

= (2.1

4) − 1 =

2

4− 1 = −

1

2



75

Solución 4

sen 𝛼 =√3

2→ 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛−1 √3

2=

𝜋

3

entonces cos(2𝛼) = 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋

3)

por tanto 2𝛼 está en el segundo cuadrante

𝛼𝑅 = 𝜋 −2𝜋

3=

𝜋

3

Entonces cos (𝜋

3) =

1

2

Pero como el ángulo está en el segundo cuadrante,

allí el coseno es negativo entonces

cos (𝜋

3) = −

1

2

Emplear identidades

trigonométricas y asociar los

datos con los ángulos de

referencia para determinar el

valor del ángulo.

Analítico

Solución 5

sen 𝛼 =√3

2→ 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛−1 √3

2= 60°

cos(2𝛼) = 𝑐𝑜𝑠(2.60°) = cos(120°) = −1/2

Usar las funciones

trigonométricas y calcular para un

ángulo notable o un múltiplo de

éste tomando en cuenta el signo

de las funciones según el

cuadrante.

Analítico

Solución 6

Como el ángulo está en el segundo cuadrante, el

coseno de 90° < 𝛼 <180° es negativo.

Relacionar el signo de las

funciones con el cuadrante en el

cual está el lado terminal del

ángulo.

Analítico



76

Tabla 18. Tabla de Análisis problema de la temperatura del agua

De las Tablas de Análisis tenemos por hipótesis que los procedimientos en los cuales habrá riqueza de hallazgos para la caracterización

de las dificultades del pensamiento variacional desde el proceso ECEP serán los aritméticos y analíticos, y en menor proporción los

geométricos y métricos.


En la siguiente gráfica se muestra la

variación de la temperatura del agua en

una determinada bahía durante 24 horas, la

cual presenta un comportamiento periódico

y es modelada por la función 𝑓(𝑡) =2 sen 𝑡 + 1.

¿Cuál será el modelo equivalente que

describa la variación de la temperatura del

agua respecto al número de horas

transcurridas?

a. 𝑓(𝑡) = 2 cos (𝑡 +3𝜋

2) + 1

b. 𝑓(𝑡) = 2 sen(𝑡 + 𝜋) + 1

c. 𝑓(𝑡) = 2 cos (𝑡 +𝜋

2) + 1

d. 𝑓(𝑡) = 2 sen (𝑡 +3𝜋

2) + 1

e. No sabe

Solución 1

Como sen(α) = cos (α +3𝜋

2)

Entonces

𝑓(𝑡) = 2 sen 𝑡 + 1

𝑓(𝑡) = 2 cos (t +3𝜋

2) + 1

Emplear la identidad

sen(α) = cos (α +3𝜋

2)

Analítico

CAPÍTULO 4.

DIFICULTADES EMERGENTES DE LA RESOLUCIÓN

DE PROBLEMAS VARIACIONALES

Antes de exponer los resultados del análisis, consideramos importante aterrizar y enlazar la

información que se maneja alrededor de las pruebas estandarizadas nacionales e

internacionales sobre la formación en matemáticas de los estudiantes colombianos, así

como de los resultados mostrados en el capítulo anterior. Para ello nos preguntamos:

¿Existe información sobre las dificultades en matemáticas que presentan los estudiantes

colombianos en los diferentes niveles educativos?

Frente a esta pregunta, quisimos mirar el desempeño de los estudiantes colombianos

cuando aplican a pruebas de conocimiento externas como la de PISA que evalúa las

competencias de los estudiantes en matemáticas, lectura y ciencias naturales. En 2012 la

prueba enfatizó en matemáticas; la muestra en Colombia se compuso de 9.073 estudiantes

de 15 años de edad de 352 instituciones educativas (oficiales y privadas, urbanas y rurales),

que representan a 559.674 estudiantes a nivel nacional.

Infortunadamente Colombia volvió a figurar entre los países de mayor rezago académico,

ubicándose en el puesto 62 en el área de matemáticas, pero también se tiene que en todas

las áreas, los puntajes promedio de los países latinoamericanos que participaron en la

prueba son significativamente inferiores al promedio de la OCDE (MEN, 2013, p. 7), como

se puede apreciar en la Tabla 19 en donde los países latinoamericanos están ordenados de

mayor a menor puntaje promedio en matemáticas.

Tabla 19. Puntajes promedio y desviaciones estándar en matemáticas, PISA 2012

Países

Matemáticas

Promedio Desviación

estándar

Chile 423 81

México 413 74

Uruguay 409 89

Costa Rica 407 68

Brasil 391 78

Argentina 388 77

Colombia 376 74

Perú 368 84

Promedio OCDE 494 92

Shanghái 613 101

Fuente: MEN (2013, p. 7)



78

Del informe que el MEN (2013) realizó de los resultados de la prueba, rescatamos dos

interpretaciones que evidencian que las dificultades que emergieron en esta investigación

tienen sus raíces en la educación básica primaria y secundaria:

Solo dos de cada diez estudiantes pueden hacer interpretaciones literales de los

resultados de problemas matemáticos; además, emplean algoritmos básicos,

fórmulas, procedimientos o convenciones para resolver problemas de números

enteros, e interpretan y reconocen situaciones en contextos que requieren una

inferencia directa.

Tres de cada mil estudiantes pueden seleccionar, comparar y evaluar estrategias de

resolución de problemas; conceptuar, generalizar y utilizar información; aplicar

conocimientos en contextos poco estandarizados; reflexionar sobre su trabajo y

formular y comunicar sus interpretaciones y razonamientos.

Entonces, sí, sí hay informes de las dificultades en matemáticas de los estudiantes de la

educación secundaria de Colombia. Esos resultados nos sirvieron de referente para

comprender que nuestros hallazgos estaban en concordancia tanto con lo que diferentes

investigaciones de la educación matemática han reportado en cuanto a dificultades

alrededor de los objetos matemáticos del cálculo diferencial, como a resultados de

evaluación externa que desmienten que es una osadía mantenerse en la universidad: claro

que es difícil mantenerse, pero no por ser “la universidad” sino por las dificultades en

matemáticas con las que los estudiantes ingresan al sistema de educación superior, ésta

entre otras razones.

Los resultados del análisis los categorizamos en los cuatro tipos de procedimientos

señalados en la Taxonomía de los Procedimientos (ver §2.3.1). Empezaremos con las

dificultades en los procedimientos aritméticos, después veremos lo que emergió alrededor

de los procedimientos geométricos y métricos. En estas dos categorías, como se previó en

el análisis de los problemas, los hallazgos son pocos aunque importantes para la

caracterización que pretendemos. Culminaremos con la categorización de dificultades en

los procedimientos analíticos, en donde hay una gran riqueza de hallazgos.

Para realizar la caracterización se revisaron las 113 hojas de trabajo que acompañaron la

prueba diagnóstica inicial que se aplicó a los estudiantes de nuevo ingreso de las carreras de

Ingeniería de Sistemas, Licenciatura en Matemáticas y Matemáticas (54, 25 y 34

respectivamente) en el segundo período académico de 2014.

La estructura de cada categoría precede al proceso de triangulación de los datos y por ello

en cada uno se presentan los problemas y los hallazgos correspondientes; la interpretación

de evidencias se acompañará de ilustraciones y en ocasiones con cuadros de textos que

transcriben la escritura de los estudiantes que en ocasiones no es legible.

Es importante señalar que algunos procesos de solución se encuentran en más de una

categoría dada la imposibilidad de aislar los procedimientos ya que en su elaboración los

estudiantes emplean no solo un tipo sino dos y hasta tres procedimientos.



79

4.1 DIFICULTADES EN PROCEDIMIENTOS ARITMÉTICOS

Recordemos que los procedimientos aritméticos están relacionados con el dominio del

número y la estructura del sistema de numeración decimal; de las operaciones en diversos

contextos; de sus propiedades y de las relaciones entre ellas. En el currículo nacional de

Colombia (MEN, 2006) se establece que la construcción de los sistemas numéricos se

realiza gradualmente a lo largo de la escolaridad básica y media, por lo que se esperaría

entonces que los estudiantes usen los números reales y sus propiedades con cierto dominio

en diferentes situaciones. No obstante, las relaciones existentes entre los diferentes

conjuntos de números distan de ser claras para los estudiantes, particularmente el uso

competente de los números expresados de forma decimal suele provocar dificultades ya que

se acepta la idea de “decimal reducido” lo cual entorpece, la mayoría de las veces, la

construcción y el uso de nociones importantes como el infinito.

Para empezar a presentar las dificultades alrededor de los números expresados de forma

decimal que emergieron de las hojas de procesos revisadas, recuperamos el planteamiento

del problema de la pelota de tenis:

Una pelota de tenis se lanza hacia arriba de modo que alcanza una altura de 5 m desde

el piso, y se deja rebotar hasta que quede en reposo. Supóngase que en cada rebote

sube hasta la mitad de la altura máxima anterior. La distancia total (aproximada) que

recorre la pelota antes de quedar en reposo es [..]

Este problema permitía la elaboración de procedimientos aritméticos empleando números

racionales en su forma decimal o fraccionaria. Como dato interesante tenemos que el

90,2% de los estudiantes de nuevo ingreso a la UIS en el segundo semestre de 2014

emplearon la expresión decimal para realizar los cálculos de este problema, lo cual nos

permitió observar diferentes dificultades alrededor de su uso.

Para lo que sigue, es necesario explicar que en Colombia, la organización de la escolaridad

obligatoria está dada así: un grado de preescolar, cinco grados de Educación Básica

Primaria, cuatro grados de Educación Básica Secundaria y dos de Media vocacional; los

cuales generalmente se enuncian de preescolar a 11 grado.

Un análisis preliminar a esa situación surge de la inquietud de por qué los estudiantes

llegan a la universidad con tan poco dominio de los decimales si se estudian desde cuarto

grado de primaria y se profundiza su estudio hasta séptimo grado. Al respecto, Brousseau

(1998) ya había expresado que “el estudio de la enseñanza de los números decimales es a

la vez un objeto de investigación en didáctica y una fuente de problemas didácticos”.

Un primer aspecto que llamó nuestra atención en la solución de este problema es que

algunos estudiantes consideraron el cambio de unidades de medida. Frente a esta

estrategia, que no era necesaria en la solución del problema, podríamos interpretar que los

estudiantes buscaban evitar las cifras decimales o cometer errores operativos con los

decimales al no contar con la calculadora.

En el siguiente procedimiento el estudiante, después de representar pictóricamente y

numéricamente la altura que la pelota alcanzaba en cada rebote: en los dos primeros

rebotes empleó el metro como unidad de medida, y en los siguientes centímetros, el

resultado final lo dio en metros.



80

Ilustración 19. Estrategia para tratar los decimales

Interpretamos del procedimiento, que el estudiante consideró la conversión de unidades

para, posiblemente, evitar la aparición de cifras decimales a medida que obtenía una nueva

altura. Como se puede ver en la Ilustración 19 no existe coherencia entre las

representaciones y la respuesta que eligió.

El procedimiento que se presenta en la Ilustración 20 tiene en común algunas

características del anterior:

1. El estudiante empleó arbitrariamente submúltiplos del metro (emplea m y mm).

2. Ausencia de ceros decimales.

3. Existen significativos errores operativos con los decimales, más precisamente con

el algoritmo de la división: registró que la mitad de 1,25 m era 17,5 cm (ver óvalo

rojo).

Ilustración 20. Uso indiscriminado de decimales

Conectando las razones anteriores, interpretamos que el estudiante consideró que el cero a

la izquierda no tiene valor y usó submúltiplos del metro para justificar la “ausencia” de

ceros y realizar la suma. Al ser esto una interpretación, no podemos afirmar que los

5 m

25 m

1.25 m

62 cm

31 cm

15.5 cm

7.75 cm

3.6 cm

1.8 cm



81

estudiantes tenían dicha concepción. Lo que sí podemos afirmar de estos procedimientos, y

otros como el de la Ilustración 21a, es que los estudiantes prefieren manejar pocas cifras

decimales en sus procedimientos aunque, como en el caso de la Ilustración 21b, el 4,4%

de los estudiantes adicionaron ceros en diferentes posiciones decimales como estrategia

para sumar evidenciando, por ejemplo, que no hay dificultad en reconocer que 2,5 = 2,50 =

2,500 = 2,5000 = … etc.

a

b

Ilustración 21. Quitar o adicionar cifras decimales para sumar decimales

Sabemos que para obtener cada nueva altura se ejecuta el algoritmo de la división; se

esperaría que en estudiantes de nuevo ingreso a la universidad las dificultades para ejecutar

el algoritmo fueran mínimas (o, mejor, nulas) dada la madurez que se esperaría en su

formación matemática. No obstante, y como ya hemos visto, parece ser que el 47% de los

estudiantes no alcanzó esa madurez operativa ya que los datos de las alturas registradas en

las hojas de procesos distan mucho de lo datos que corresponden a cada nueva altura: En la

Ilustración 22 que sigue, el óvalo rojo señala el error en la ejecución del algoritmo de la

división para calcular la altura de la pelota a partir del tercer rebote: para el tercero no es

1,75 sino 1,25 metros, y para el cuarto rebote la altura no es 0,87 sino 0,625 metros, y así

sucesivamente.

Ilustración 22. Resultados erróneos del algoritmo de la división



82

Podríamos interpretar que quienes incurrieron en este error no lo percibieron debido a que

en cada nueva altura se cumplía la concepción heredada de los números naturales: al dividir

un número entre otro, se obtendrán un número más pequeño lo cual no sorprende pues,

frente a esto, Artigue (1990) dice que

“un cierto número de fuertes convicciones sobre las propiedades que poseen los

números [naturales] y las operaciones que son realizadas (números que tienen un

predecesor y un sucesor, la multiplicación que produce números más grandes, la

división que produce números más pequeños...) y sus propiedades, ligadas de forma

definitiva a la concepción de número, importadas en los decimales en el caso de la

extensión del concepto, crean errores particularmente resistentes”.

Sin embargo, el conocimiento “la división produce números más pequeños” tiene su

contraejemplo en los procedimientos de la lustración 23 que evidencia que los estudiantes

quienes no se alertaron ante el incremento significativo obtenido en cada nuevo rebote:

En la solución a, particularmente el estudiante llegó a la respuesta correcta pero

incurriendo en errores al dividir pues obtuvo 12,5 como resultado del cociente

1,25:2, resultado que es significativamente más grande que 2,5.

En la solución b, el estudiante obtuvo que la mitad de 1,25 mt es 50,14 mt siendo

éste aproximadamente cuarenta veces más grande que 1,25.

a

b

lustración 23. Uso de operaciones sin monitoreo

Podríamos afirmar que estos estudiantes no están en capacidad de monitorear sus

procedimientos pues no se percatan de que la altura obtenida no es “más pequeña” que la

anterior, como indican las condiciones del problema. También podríamos deducir que los

estudiantes en sus prácticas escolares empleaban la calculadora para este tipo de

operaciones y por ello incurren en los errores señalados al trabajar a lápiz y papel o

realizando cálculos mentales en los cuales, evidentemente, no tienen mucha destreza.

La ausencia de la calculadora y la dificultad para emplear el algoritmo de la división

motivaron la elaboración de un procedimiento para estimar algunas alturas de la pelota

tratando de emplear el cálculo mental. En la Ilustración 24 se podrá apreciar que más que

“tantear” lo que el estudiante intentó fue elaborar un nuevo algoritmo para la división de

decimales empleando nociones de las propiedades de los números reales: el estudiante

descompuso 2,5= 2 + 0,5 para dividir el 0,5 y obtener 2 + 0,25 =2,25.



83

Ilustración 24. Elaboración de un nuevo algoritmo de división erróneo

Si observamos con detalle veremos que desde el segundo dato de la Ilustración 24 el

estudiante dejó el número entero del decimal inmodificable para dividir solamente la parte

decimal del número; es decir de 2,5 dividió el cinco para obtener 2,5 y “juntarlo” con el

número entero dos y obtener 2,25, para el siguiente dato “desapareció” un dos y en su

lugar escribió el cero para después poner los dígitos del resultado de dividir la última cifra

del dato anterior entre dos, así que de 2,25 obtuvo 2,025. Este procedimiento pese a ser

erróneo permite rescatar que el cálculo mental, requiere de la habilidad de poner en juego

relaciones y propiedades numéricas pues

El cálculo mental se constituye en una práctica relevante para la construcción del

sentido del sistema de numeración y las operaciones. Y se constituye en una vía de

acceso para la comprensión y construcción de los algoritmos, debido a que la

reflexión se centra en el significado de los cálculos intermediarios (Lanza y Schey,

2007, p. 8).

Resulta importante que los estudiantes antes de ingresar a la universidad usen las

propiedades de los números reales para establecer relaciones entre ellos y las propiedades y,

así, cuando empleen algoritmos puedan tener el control sobre éstos. O, en el caso de este

problema, estar en capacidad de determinar si es necesario realizar cálculos o dejarlos

expresados para identificar patrones y regularidades.

Otro algoritmo que emergió para calcular la distancia total recorrida por la pelota fue el de

la multiplicación; veamos la Ilustración 25:

Ilustración 25. Dificultades en el uso del algoritmo de la multiplicación

El estudiante calculó 5 𝑥 2,5 después de hallar correctamente la mitad de cinco; el

procedimiento elaborado se podría interpretar como:



84

1. Un intento para resolver el producto usando propiedades: 5 x 2,5 = 5 (2 + 0,5),

multiplicando 5 por 2 y obviando el producto con el decimal para apegarse a una de

las respuestas.

2. Estimar y al estar 10 m como opción de respuesta, consideró correcto el

procedimiento lo cual hizo factible el procedimiento como una aproximación, en

donde el margen de error aceptable lo determina la situación particular que se está

resolviendo.

Los hallazgos nos permiten ver que nuestros estudiantes trabajaron con preferencia los

decimales pero difícilmente los usaron para acercarse al proceso infinito subyacente en el

problema, cuestión que no debe sorprender porque en otrora Brousseau (1989, p. 13) ya

mencionaba:

Los números decimales constituyen una estructura muy ingeniosa, apta para resolver

problemas […]. Por esto plantean un problema original a la enseñanza. Por una parte

se parecen tanto a los naturales que es muy fácil emplearlos y aprender muy pronto

una cierta manera de usarlos: fueron inventados para eso. Pero, por otra parte, esta

primera comprensión se convierte en un obstáculo para un uso más refinado y para

una buena comprensión de cuestiones fundamentales para el estudio de las

matemáticas.

De modo tal que al analizar los procedimientos registrados en las hojas de procesos de la

prueba notamos que los estudiantes de nuevo ingreso a la UIS tienen dificultades para

“aplicar procedimientos aritméticos para resolver problemas que involucran procesos

infinitos” lo cual es concordante con el 37,90% de los 409 estudiantes que presentaron la

prueba en el primer semestre y lo solucionaron mal. Esto es consecuente de la dificultad

para emplear un sistema numérico adecuado para representar el cambio y la variación del

fenómeno, de manera que permita identificar una regularidad que lleve a una

generalización y a la vez a analizar una tendencia en los datos; esto impactó la elaboración

de procedimientos para resolver el problema del cuadrado que se muestra en la Ilustración

26.

Un cuadrado de lado 1 cm se divide en dos partes iguales y se sombrea una de

ellas (paso 1). La mitad no sombreada se divide a la mitad y nuevamente se

sombrea una de las partes (paso 2), Si se continúa el proceso indefinidamente,

¿a cuánto se aproxima la suma de las áreas sombreadas del cuadrado?

Ilustración 26. Enunciado del problema del cuadrado

Respecto a quienes consideraron el uso de los fracciones (8,9%), la elaboración de los

procedimientos llegó hasta el tratamiento numérico y el uso de la noción de que sumando y

sumando indefinidamente un número pequeño se acumularía el área en 0,9 cm2, esto como



85

estrategia para suplir la ausencia del conocimiento para establecer el término general de la

sucesión y la sumatoria. Veamos la Ilustración 27:

Ilustración 27. Uso de fracciones para plantear el procedimiento de solución

Cabe señalar que el 22,12% de los estudiantes no elaboraron procedimiento alguno para

este problema o expresaron que “no era necesario hacer justificación”, “no sé”, “no sé

cómo hacerlo ya que hace rato salí del colegio y no me acuerdo de los temas vistos”, “no

me acuerdo de la fórmula”, “no me acuerdo de cómo resolverlo”, etc. Estas expresiones

reflejan la creencia de considerar que todo problema tiene una receta para ser resuelto y que

si no se tiene memorizada, el problema no puede ser abordado ni se pueden diseñar

estrategias para construir su solución. Estas justificaciones a la usencia de procedimientos

van en sentido opuesto, en términos de Santos (2007), a las habilidades de pensamiento

para resolver problemas en diversos campos el cual incluye el desarrollo del pensamiento

no algorítmico (aquel en el que no existe un camino determinado por seguir y éste puede

anticiparse) que resiste cierto nivel de incertidumbre ya que no siempre se conoce lo que se

tiene al alcance en una situación o tarea.

El procedimiento de la Ilustración 28 llamó nuestra atención ya que ante la dificultad para

emplear el algoritmo de la división con números decimales para el estudiante fue correcto

agregar un cero decimal tras cada nuevo paso de partición del cuadrado, acción que lo llevó

a una suma cuyo resultado sería un decimal periódico infinito.

Ilustración 28. Agregando ceros para suplir el algoritmo de la división

Este procedimiento señala que nuestros estudiantes tienen arraigadas sus experiencias con

los números naturales pese a que en octavo grado (tres años antes de graduarse) empiezan a

hablar de Números Reales. Podríamos, incluso, interpretar de la Ilustración 28 que el



86

estudiante elaboró su procedimiento de división a la luz del siguiente conocimiento

heredado de los naturales: dados dos números, el que tenga más cifras es el mayor,

empleándolo en este sentido: dados dos números, dividir reiteradamente un número (cinco,

que es el primer dato de altura) entre el mismo número (dos, para el caso del problema) es

agregar un cero decimal cada vez pues así el número es más pequeño.

Las dificultades u obstáculos cognitivos que se derivan de lo anterior podrían aparecer al

trabajar con límites de funciones, y al determinar tendencias pues, como veremos a

continuación, los estudiantes evalúan la función en números enteros y no reconocen valores

racionales muy próximos a un número dado. En la Ilustración 29 se puede observar que las

dificultades para operar racionales aparecen una y otra vez, en este caso, en el problema del

carrito de juguete.

Ilustración 29. Errores en la multiplicación con decimales

Se puedo observar la dificultad al calcular el producto 4,5(2)2 cuyo resultado es 18 y no

18,40; esta dificultad se ratifica en la siguiente solución de la Ilustración 30:

Ilustración 30. Dificultad en la jerarquía de operaciones

Del segundo al tercer renglón de la sustitución, es clara la dificultad en el dominio de las

propiedades los números reales para realizar cálculos con operaciones combinadas: al

sustituir t=2 el estudiante separó el 4 del producto con 4,5, y lo sumó con el otro 4; en el



87

tercer renglón al multiplicar el decimal con el 8 que obtuvo de la suma también evidenció

dificultades con el operador pues multiplicó como si tuviera enteros y erró al obtener 360.

El procedimiento de la Ilustración 31 enfatiza en que los estudiantes realizan intentos

razonables pero no exitosos de adaptar un conocimiento adquirido a una nueva situación;

veamos:

Ilustración 31. Confusión de algoritmos con decimales

Podríamos decir que el estudiante comparó el procedimiento de la suma con la

potenciación (22 = 2+2), para luego elaborar el procedimiento para el producto 4,5(4)

considerando erróneamente que 4x4=8, viendo el operador de la multiplicación como

adición. Se desprende de este particular la dificultad para entender la potenciación, y que

además algunos estudiantes aplican procedimientos sin razonar. Otra cuestión que se

desglosa es que los errores son producto de esquemas cognitivos equivocados y no solo

son consecuencia de falta de conocimiento o de un despiste. Esto nos permite afirmar que

las dificultades se originan por los obstáculos que no son posibles de superar e impiden

avanzar en la construcción del nuevo conocimiento (Brousseau, 1989). Un obstáculo es un

conocimiento adquirido, no una falta de conocimiento que podría manifestarse como una

dificultad para resolver problemas. En el caso de los últimos tres procedimientos

ilustrados, los errores son el resultado de un procedimiento sistemático imperfecto que los

estudiantes utilizan de modo consistente y con confianza. Otro ejemplo de esto se observa

en el procedimiento de la Ilustración 32 que sigue:

Ilustración 32. Multiplicación de decimales errada

Se observa que para multiplicar 4,5(2)2 el estudiante usó incorrectamente sus presaberes

sobre propiedades de números reales: Multiplicó los enteros de cada número (4 x 4) y sumó

las partes decimales respectivas (0,5 del primer número, con 0,0 del segundo) para obtener



88

la parte decimal del resultado. Formalizando lo que trató de realizar el estudiante

tendríamos:

4,5(2)2 = 4,5 x 4 = (4 + 0,5) x (4 + 0,0).

Sin embargo, si ese fuera el caso, el estudiante erró al desarrollar la propiedad distributiva.

Otra explicación a este procedimiento podría ser que el estudiante ha generalizado que la

suma y la multiplicación se operan con el mismo procedimiento; esto se corrobora al

revisar la suma de 16,5+4 la cual es correcta (óvalo azul).

Los hallazgos nos han mostrado que en cualquier situación, cuando un estudiante no

domina las reglas para realizar operaciones con decimales sin calculadora, cometerá los

errores que ya hemos señalado y éstos se manifestaran indistintamente en la resolución de

problemas sin el uso de las tecnologías (para el caso de la prueba diagnóstica). Socas (1997

en Puerto, Minnaard, y Seminara, 2006) dice que los números decimales son,

necesariamente, más complicados que los números enteros, y la experiencia con números

enteros conduce a la generalización implícita de que la “multiplicación agranda”, lo que

provoca un obstáculo cognitivo pues el estudiante al multiplicar bajo la lógica interna usada

en el último procedimiento no notará que el producto está mal porque el resultado es más

grande, pese a que no es el resultado correcto. Esta concepción aparece nuevamente en la

Ilustración 33: como se señala en el óvalo, para el estudiante “un medio por dos es igual a

cuatro”; resultado que debería llamar la atención del estudiante si tuviera claro que dados

dos números reales a y b con 0 < a <1, y b > 1 el producto ab no siempre es mayor que

los dos números.

Ilustración 33. Error al multiplicar fraccionarios

Resulta inquietante que estudiantes universitarios de primer nivel ejecuten procedimientos

aritméticos faltando a razonamientos adecuados sobre los números que manejan, sorprende

la confianza con que ejecutan procedimientos aritméticos en los cuales los algoritmos se

ajustan a concepciones que se apoyan en los números naturales evidenciando dificultad

para avanzar a conjuntos numéricos como los racionales, en donde el producto de dos

racionales puede ser menor que cualquiera de ellos. Sin embargo, la experiencia nos

permite afirmar que cuando en la clase de Matemáticas aparecen los fraccionarios, la

mayoría de estudiantes prefieren utilizar calculadora, razón por la cual las dificultades en el



89

dominio de los números reales y sus propiedades en el nivel de educación superior no sería

sorprendente sino consecuencia de esas prácticas matemáticas.

Los hallazgos que hemos observado se conglomeran en la dificultad para resolver

problemas y simplificar cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y

de las operaciones entre ellos (MEN, 2002, p. 86); las dificultades a las que se han

enfrentado los estudiantes con números racionales en su expresión decimal surgen también

en su representación fraccionaria en el problema de la partícula y en los problemas que

involucran funciones trigonométricas. El problema de la partícula pedía determinar los

valores de 𝑡 , para los cuales 𝑠’(𝑡) no existe sabiendo que 𝑠(𝑡) = |1

2𝑡 − 1| modela la

posición de una partícula.

Como se aprecia en la Ilustración 34 el estudiante registró en tres oportunidades

dificultades para resolver el polinomio aritmético del valor absoluto que define la función

del problema: en los tres óvalos se puede apreciar que el estudiantes primero restó y

después multiplicó los factores; por ejemplo:

1

21 − 1 =

1

20 = 0

Ilustración 34. Errores en la simplificación de polinomios aritméticos

En el óvalo azul se señala que la multiplicación fue sustituida por una diferencia que dio

como resultado “un medio” escrito en expresión decimal (el estudiante relacionó la

notación fraccionaria y decimal de los números racionales, para este caso).

Particularmente, en la ejecución de los procedimientos el estudiante, al igual que el 34,5%

de los estudiantes, no hizo uso del operador del valor absoluto sino que lo dejó expresado

quizás por el desconocimiento del mismo. Algo similar sucedió en la solución que se

muestra en el procedimiento de la Ilustración 35 en donde el estudiante ignoró “las barritas”

y calculó las imágenes de la función para obtener coordenadas para graficar; veamos.



90

Ilustración 35. Procedimiento que desconoce el valor absoluto

Al rastrear trabajos que reportan errores cuando se involucra el valor absoluto de los

números y su notación, encontramos a Cerizola, Pérez y Martínez (2000) quienes dicen que

el valor absoluto de un número real es una noción básica de la Matemática, en particular del

Cálculo Diferencial en tanto que en éste se cimentan definiciones de conceptos

fundamentales como límite y continuidad. Sin embargo, las autores expresan

explícitamente una problemática que refuerza las dificultades alrededor del valor absoluto:

[…] hemos podido constatar que en la enseñanza de Precálculo no se pone suficiente

énfasis en diseñar situaciones para que los alumnos comprendan este concepto. Sus

propiedades son simplemente enumeradas y sus primeras aplicaciones, como

resolución de igualdades y desigualdades con valor absoluto se tratan muy

someramente (p. 1).

Las autoras expresan además que los profesores al enseñar ecuaciones e inecuaciones con

valor absoluto usan procedimientos que responden al registro algebraico, relegando el

registro gráfico, recurso visual muy útil para encontrar la solución; esta representación era

parte importante (aunque no indispensable) para obtener la solución del problema de la

prueba diagnóstica.

Colín y Lázaro (2009) encontraron evidencias de que en la educación básica secundaria en

México, el tema de valor absoluto de un número es tratado con mayor frecuencia como

distancia y no se presenta su definición analítica. Precisamente, Wilhelmi, Godino y

Lacasta (2007) señalan cuatro contextos en los cuales aparece la noción de valor absoluto:

Aritmético, permite caracterizar la noción de valor relativo y valor absoluto, desde

lo numérico.

Algebraico, como una expresión equivalente a 2x .

Geométrico, como la distancia entre puntos, y

Analítico como una función definida a trozos o la función máximo.

Los autores señalan que cada una de estas definiciones lleva al estudiante a conocer

parcialmente el objeto matemático, por ende la elección de una de ellas establece las

diversas formas en que un estudiante realiza la solución de actividades con valor absoluto.

Por ejemplo, en la Ilustración 36 se podrá observar cómo las dificultades para reconocer el



91

valor absoluto como operador inciden en la elaboración de los procedimientos del problema

el límite de una función, pese a que para analizar el límite los estudiantes tomaron algunos

valores enteros de la variable independiente y los llevaron a la función para calcular sus

imágenes y observar su variación. (Recordemos que el problema del límite pedía

determinar el límite de 𝑓(𝑥) =|𝑥|

𝑥 cuando 𝑥 → 0).

Ilustración 36. Dificultades para emplear el valor absoluto como operador

Destaca de la Ilustración 36 el error consistente al calcular las imágenes para (-3, -2, -1, 1,

2): el valor absoluto de cada número dio uno (ver óvalos rojos), esto señala que los recursos

del estudiante para solucionar el problema eran pocos pues no recordaba la definición ni el

procedimiento rutinario requerido por el problema.

Santos (2007) nos dice que los errores consistentes en la resolución de problemas inciden

significativamente en el proceso pues existe el riesgo de que el estudiante los efectúe otra

vez. De manera análoga sucede cuando se tienen claras las definiciones y los

procedimientos, pues éstas se constituyen en un inventario que permitirá al individuo

transitar hacia la solución de manera natural, como se aprecia en la Ilustración 37 que

sigue.

Ilustración 37. Valor absoluto, uso correcto del operador



92

Como se observa, en el procedimiento anterior el estudiante consideró algunos números

negativos y otros positivos, pero no tomó el cero como lo hizo el 12,3% de los estudiantes

(ver a Ilustración 38).

a

b

Ilustración 38. Errores con el valor absoluto como operador e indeterminaciones

El 26,5% de los estudiantes que presentaron la prueba diagnóstica dejaron su hoja de

procesos en blanco o escribieron que no sabían cómo hacer el problema, lo cual es

preocupante pues la comprensión del concepto de valor absoluto (no solo en su aspecto

numérico sino analítico) es importante para la construcción del concepto de límite en su

definición épsilon-delta.

El análisis de los procedimientos nos ha llevado una y otra vez a observar las limitaciones

de los estudiantes en el dominio de procedimientos aritméticos que involucran números

racionales, cuestión que llama nuestra atención pues, en cualquier contexto donde estén

inmersos, emergerán las dificultades alrededor de ellos. Por ejemplo, el contexto del

problema de la Ilustración 39 es trigonométrico; en ese procedimiento se observa que el

estudiante empleó la regla de que para realizar una suma de fraccionarios, se debe tener

un común denominador, sin controlar el procedimiento que elaboraba para responder a ese

conocimiento heredado de su formación matemática anterior.

Ilustración 39. Errores reincidentes con números racionales



93

Lo que llamó nuestra atención es que el estudiante, para responder a esa regla y avanzar en

el procedimiento, asumió que 2 =1

2 (lo indicaba la flecha) y operó la adición de los

irracionales con el número entero como si estuviera multiplicando por uno: 1 + 𝜋

2=

𝜋

2 .

Una primera percepción que nos quedó de este procedimiento es que si las experiencias

matemáticas de los estudiantes se han centrado principalmente en el aprendizaje y la

práctica de algoritmos sin contexto, esto los conducirá a errores que aparecerán

persistentemente y dificultarán el aprendizaje de nuevos conceptos y la resolución acertada

de problemas ya que no tienen elementos asociados al control de la técnica. En la

Ilustración 40 que sigue, por ejemplo, influye en el procedimiento realizado por el

estudiante la regla aprendida de que cuando hay un cociente en donde el numerador y el

denominador son iguales, se “cancela”. Se puede observar la ausencia de control en la

ejecución de la regla pues el estudiante no observó que 2 +3𝜋

2 es diferente de

2

2+ 3𝜋.

Ilustración 40. Ratificando dificultades con los fraccionarios

El uso correcto de los algoritmos también ha sido una dificultad con la cual no dejamos de

encontrarnos, aspecto en el cual se esperaría que los estudiantes de nuevo ingreso a la

universidad no presenten dificultades ya que, como señala Brousseau,

el “algoritmo” constituye un instrumento de liberación y de solución de los conflictos

didácticos, en el sentido que permite momentáneamente una clara división de las

responsabilidades. El maestro muestra el algoritmo, el alumno lo aprende y lo

“aplica” correctamente: si no es así debe ejercitarse, pero su incertidumbre es casi

nula […] (1993 en Martínez, 2000, p. 56).

No obstante, pese a las actividades de repetición a las cuales se enfrentan los estudiantes

para aprender a dividir y multiplicar números reales, las dificultades prevalecen porque el

algoritmo se olvida o se distorsiona por lo que se convierten en causa de dificultades para

muchos estudiantes para aprenderlas, y para los profesores enseñarlas (ibíd.).

De modo que los hallazgos de la Fase 1 con el Formato DIPEVA de ASAE se constatan

con la prueba diagnóstica inicial del curso de precálculo aplicada a los estudiantes de

Matemáticas, Licenciatura en Matemáticas y Sistemas quienes evidenciaron en sus hojas de

procesos dificultades comunes en el uso de los números reales, en particular, con los

fraccionarios y los decimales: el 76,1% de los estudiantes presentó por lo menos una vez

alguna dificultad en algún problema de la prueba; una cantidad nada despreciable de

estudiantes que registraron errores comunes debido al aprendizaje deficiente de

conocimientos previos y al escaso manejo de destrezas en los procedimientos aritméticos.

Sin embargo, pese a que podríamos sorprendernos porque los estudiantes universitarios

tienen dificultades con el tratamiento de los números decimales, Centeno (1988, en Piñero,



94

y Azcárate, 2011, p. 19) nos da cuenta de estudios que corroboran la lentitud en la

adquisición del concepto de número decimal, afirmando que

el tiempo necesario para realizar este camino que va del primer contacto con los

números decimales hasta el dominio de los mismos, puede extenderse desde los ocho

o nueve años hasta los trece o catorce, sin que se pueda asegurar que a esta edad están

resueltas todas las dificultades que este aprendizaje plantea.

Esto nos llevaría a aceptar de manera natural que los estudiantes de nuevo ingreso a la

universidad, cuyas edades oscilan entre 16-18 años, aún evidencien dificultades en

procedimientos aritméticos aceptando que los estudiantes, como hemos documentado, aún

razonan con las reglas heredadas de los números naturales, llamando “normal” al hecho de

que los estudiantes realicen inadaptaciones que conllevan pérdidas del sentido numérico

(Ruiz, 2004).

A pesar de eso, estaremos de acuerdo en que este tipo de dificultades no se esperan que

ocurran en estudiantes universitarios quienes en el haber de sus presaberes deberían

dominar la elaboración y ejecución de procedimientos aritméticos para establecer

relaciones y diferencias entre diferentes notaciones de los números reales para decidir

sobre su uso en una situación dada (MEN, 2006).

4.2 DIFICULTADES EN PROCEDIMIENTOS GEOMÉTRICOS

Los procedimientos geométricos, como señalamos en §2.3.1, comprenden atributos y

propiedades de figuras y objetos 2D y 3D y su ubicación en el plano o el espacio; las

nociones de horizontalidad, verticalidad, paralelismo y perpendicularidad; los diseños y

construcciones utilizando representaciones de cuerpos y figuras geométricas; las

representaciones verbales y gráficas de recorridos y el reconocimiento de ángulos y de

polígonos, su clasificación y propiedades.

Las representaciones geométricas fueron empleadas por los estudiantes con la intención de

aportar ciertos rasgos de claridad en el entendimiento de tres de los problemas analizados

de la prueba diagnóstica, como se puede apreciar en la Ilustración 41 que sigue.

a

b

Ilustración 41. Representaciones geométricas del problema de la pelota



95

El fenómeno del rebote de la pelota fue representado de diferentes maneras por el 38,9%;

aproximadamente de los estudiantes; la mitad de ellos (19 estudiantes) hizo una

representación similar a la Ilustración 42a. En la representación de la Ilustración 42 (única

por sus características) se explicita el plano cartesiano que subyace en las gráficas, señaló

cuidadosamente la escala del eje x para el número del rebote, empleando puntos que

representan cada golpe de la pelota en el piso, al mismo tiempo que trató de cuantificar el

eje y con las alturas de la pelota siendo el punto máximo 5 metros.

Ilustración 42. Sistema de referencia para el problema de la pelota

En consecuencia, los estudiantes emplearon su capacidad para construir una imagen

geométrica de la relación funcional de las variables del problema para hacerse una

representación de la misma en el plano.

No obstante, como se explicitará con más detalle en §4.4, las dificultades en el

entendimiento del fenómeno impactó, en este caso, directamente la percepción espacial

que no sólo se reduce a lo geométrico, pues se trata de una representación que favorecerá

(o no) la resolución de problemas: en este problema era importante comprender que no se

trataba de la altura que alcanzaba la pelota en cada rebote, sino de representar la relación

funcional entre el número de rebotes de la pelota y la distancia recorrida por la misma, con

base en las condiciones del problema.

Godino y Ruiz (2002) llaman la atención sobre el problema crucial de la enseñanza de las

matemáticas para dibujar objetos matemáticos que son de naturaleza abstracta que “como

entidades abstractas que son, parece obvio que no se puede dibujar una recta o un triángulo.

Lo que se dibuja es un objeto perceptible que evoca o simboliza el objeto abstracto

correspondiente” (p. 456).

Sin embargo, los estudiantes desde temprana edad escolar dibujan, por ejemplo, polígonos

sin pensar en las características geométricas de, por ejemplo, el cuadrado. En el problema

del cuadrado, que recordaremos a continuación, los estudiantes intentaron representar la

situación empleando dibujos geométricos diferentes procurando, posteriormente, trasladar

las ideas geométricas al lenguaje algebraico sin mucho éxito: el 38,05% de los estudiantes

consideró pertinente realizar nuevos pasos en el proceso de partición del cuadrilátero o

representar el proceso en un único cuadrado como se puede apreciar en la Ilustración 43.



96

a

b

Ilustración 43. Representaciones geométricas del problema del cuadrado

De los datos de esta investigación resulta necesario resaltar que los procedimientos

geométricos empleados en la prueba se dieron a la luz del uso de representaciones

geométricas como apoyo para el respectivo proceso de resolución; aunque para este

problema el 22,1% de los estudiantes no avanzó en la solución del mismo. Algunos

estudiantes (14,1%) asociaron a la representación geométrica el área correspondiente a

cada nuevo paso, pero la efectividad en la ejecución de los procedimientos aritméticos no

les permitió solucionar completamente el problema, como se aprecia en la Ilustración 44.

Ilustración 44. Procedimiento geométrico-aritmético inconcluso

De manera similar sucedió en el problema del folleto en el cual la representación gráfica

del cuadrado tuvo lugar en el 17,6% de los procesos de solución; el problema del folleto

pedía encontrar el modelo que representaba su área respecto a uno de sus lados. El proceso

de solución del problema requería que el estudiante interpretara el problema, quizá con el

apoyo de una representación pictórica para identificar variables, establecer los lados del

margen y crear la función que daría cuenta del modelo del área del folleto en función de

uno de sus lados (poner en juego procesos algebraicos y el análisis de funciones).

Los procedimientos de la Ilustración 45 ejemplifican que los estudiantes expresaron los

lados del rectángulo usando variables.



97

a

b

c

Ilustración 45. Representaciones geométricas del problema del folleto

Sin embargo, solo el 3,5% de los estudiantes restó la medida del margen en cada lado a la

respectiva dimensión de la hoja, de modo que la representación geométrico-algebraica no

fue elaborada para representar en su totalidad el problema, salvo el procedimiento de la

Ilustración 46 en donde se observa que el estudiante empleó adecuadamente una

representación geométrica para expresar una imagen visual de la relación variacional.

Ilustración 46. Representaciones geométricas del problema del folleto

Es importante abrir un paréntesis para señalar que las representaciones matemáticas las

entendemos en sentido amplio desde Castro, Rico y Romero (1997, p. 1) “como aquellas

herramientas –signos o gráficos– mediante las cuales los sujetos particulares abordan e

interactúan con el conocimiento matemático”. El NCTM señala que “el término

representación se refiere tanto al proceso como al producto (resultado), esto es, al acto de

captar un concepto matemático o una relación en una forma determinada y a la forma en sí

misma” (2003, p. 71). Afirman además que las representaciones son procedimientos de

comunicación y, a la vez, poderosas herramientas de pensamiento e insisten en que los

programas de enseñanza de todas las etapas deberían capacitar a todos los estudiantes para:

1. Crear y utilizar representaciones para organizar, registrar y comunicar ideas

matemáticas.

2. Seleccionar, aplicar y traducir representaciones matemáticas para resolver

problemas.



98

3. Usar representaciones para modelizar e interpretar fenómenos físicos, sociales y

matemáticos.

Otro aspecto que notamos respecto a las representaciones geométricas para la resolución de

problemas es que si la representación elaborada es producto de un proceso de recuperación

de la memoria, su puesta en escena no resulta significativa para la elaboración de nuevos

procedimientos, como le sucedió al estudiante que, al querer calcular el valor de 𝑐𝑜𝑠(2𝛼)

sabiendo que sen α =√3

2, y α está en el segundo cuadrante, empleó infructuosamente al

círculo trigonométrico para analizar la variación del seno y coseno en relación a un ángulo

coterminal (Ilustración 47).

Ilustración 47. El círculo unitario como representación geométrico

De modo que el estudiante que empleó este procedimiento, intentó sin éxito hallar con un

proceso geométrico el valor del coseno pues no logró atribuirle significado a la

representación para solucionar el problema, lo cual llama la atención sobre el aprendizaje

memorístico: aunque ayude al estudiante a recuperar conocimiento, no será un recurso que

apoye la resolución de problemas si el estudiante no logra elaborar procedimientos ni

razonamientos nuevos con él.

En los estándares de matemáticas del grado noveno (dos años antes de terminar la

secundaria) el MEN (2006) señala que el estudiante usará representaciones geométricas

para resolver y formular problemas en las matemáticas y en otras disciplinas. No obstante,

los procedimientos en la solución de la prueba diagnóstica no evidencian que las

representaciones geométricas les permitan resolver los problemas; durante la revisión de las

hojas de procesos fue claro que los estudiantes intentaron crear y utilizar representaciones

geométricas. Sin embargo la dificultad para la construcción de procedimientos (ya fueran

aritméticos o variacionales) sobre ellos nos resulta inquietante dado que el aprendizaje del

Cálculo Diferencial exige la conexión entre las diferentes representaciones de los objetos

matemáticos para favorecer no solo la resolución de problemas, sino la construcción de

conceptos (esto no quiere decir que no reconozcamos, incluso, que las representaciones

asiladas podrían ser una limitante para generar ciertos conceptos).



99

4.3 DIFICULTADES EN PROCEDIMIENTOS MÉTRICOS

En la prueba diagnóstica identificamos seis problemas que incorporan objetos matemáticos

de los procedimientos métricos; en la Tabla 20 se relacionan.

PROBLEMA ENUNCIADO

De la pelota

Una pelota de tenis se lanza hacia arriba de modo que alcanza una

altura de 5 m desde el piso, y se deja rebotar hasta que quede en

reposo. Supóngase que en cada rebote sube hasta la mitad de la altura

máxima anterior. La distancia total (aproximada) que recorre la pelota

antes de quedar en reposo es: […].

Del cuadrado

Un cuadrado de lado 1 cm se divide en dos partes iguales y se

sombrea una de ellas (paso 1). La mitad no sombreada se divide a la

mitad y nuevamente se sombrea una de las partes (paso 2), Si se

continúa el proceso indefinidamente, ¿a cuánto se aproxima la suma

de las áreas sombreadas del cuadrado? […].

Del carrito de

juguete

Un carrito de juguete se desliza a lo largo de un plano inclinado, de tal

manera que su función de posición después de segundos está dada por

𝑠 = 𝑓(𝑡) = 4,5𝑡2 + 2𝑡 , donde s está en metros. La siguiente tabla

muestra los datos de tiempo y posición del carrito. […]. Según la tabla

anterior, ¿cuál es la velocidad instantánea en t=2 segundos?

Del folleto

Un folleto debe contener 48 de espacio impreso, con márgenes de 3

pulgadas en la parte superior e inferior, y márgenes laterales de 1

pulgada. ¿Cuál será el modelo que representa el área del folleto

respecto a uno de sus lados? […].

De la empresa

láctea

En una empresa láctea se registran los datos de dos tanques que

almacenan leche. La siguiente gráfica representa la relación entre

volumen y el tiempo de dos tanques A y B, respectivamente. Se tiene

que estos tanques descargan la leche por un orificio en la parte inferior

de cada uno de ellos. ¿Cuáles son las expresiones algebraicas que

modelan el desagüe para los tanques de leche A y B, respectivamente?

[…].

Tabla 20. Problemas que incorporan objetos matemáticos de procedimientos métricos

Como se puede deducir de la tabla, la elaboración de procedimientos para solucionar los

problemas no exigía procedimientos métricos. No obstante, el 46,9% de los estudiantes

realizó algún procedimiento con el sistema métrico decimal, lo que llamó nuestra atención

ya que en la fase de análisis de los problemas no contemplamos que los estudiantes

consideraran la conversión de unidades en el problema de la pelota.

Chamorro (1995 citado por Abrate, Pochulu, y Vargas, 2006, p. 124) hace una precisión

importante sobre la línea que diferencia lo “aritmético” de lo “métrico” en el currículo de

matemáticas:

En la enseñanza habitual se evitan las prácticas efectivas de medición, lo que

convierte la enseñanza de la medida en un discurso teórico, que versa

fundamentalmente sobre cuestiones aritméticas más que de medida. (...) Esta invasión

de la medida por parte de la aritmética, fundamentalmente por razones de comodidad

práctica: es más fácil manejar números, puede a nuestro juicio constituir un obstáculo

en la concepción de la medida por parte de los alumnos y alumnas.

Ciertamente nosotros nos enfrentamos a ese dilema de distinguir el siguiente procedimiento

como aritmético o métrico, pero concluimos que era métrico dado que está dando cuenta de



100

la longitud de la altura de la pelota. Para facilitar la lectura de la Ilustración 48, realizamos

en la Tabla 21 la conversión correcta de metros a centímetros para los nueve datos que

consideró el estudiante y trascribimos también el registro del estudiante.

Ilustración 48. Cambio indiscriminado de unidad de medida

Tabla 21. Contrastando acciones de conversión

CONVERSIÓN Metros

5

2,5

1,25

6,25

0,3125

0,15625

0,078125

0,3980625

0,01953125

Sumatoria: 15,96446875 m

a

=

=

=

=

=

=

=

=

=

Centímetros

500

250

125

62,5

31,25

15,625

7,8125

3,980625

1,953125

Del Estudiante

5 m

2,5 m

1,25 m

62 cm

31 cm

15 cm

7,75 cm

3,6 cm

1,8 cm

Diremos que el estudiante intentó seleccionar unidades de medida apropiadas para cada

nueva medición de la altura, pero salta a la vista que realizó mal la conversión de unidades

además de que las mezcló arbitrariamente. Se podría decir que el estudiante no prestó

suficiente atención para planificar y monitorear el progreso de su solución al no inquietarse

frente al contraste entre la opción elegida como respuesta (9,99 metros) y la suma de los

datos recolectados: solo al sumar los tres primeros datos obtendría 8,75 m.

Según lo anterior, podríamos decir que algunos estudiantes presentan dificultades para

identificar relaciones entre distintas unidades utilizadas para medir cantidades de la

misma magnitud (MEN, 2006), siendo este un estándar para el grado séptimo (segundo año

escolar de secundaria). No obstante, algunos estudiantes fueron cuidadosos al emplear en el

procedimiento de solución las unidades de medida, como bien se puede observar en la

Ilustración 49 (el 26,5% de los estudiantes empleó unidades en el problema del cuadrado).

metros

centímetros



101

Ilustración 49. Uso correcto de unidades de medida

En lo que hemos visto del estudio, hemos notado que en algunos procedimientos, como los

anteriores, los estudiantes emplean la unidad de medida en sus respuestas, sin embargo esto

podría estar influenciado porque en las opciones de respuesta de los problemas se

emplearon las unidades de medida pues en varios procedimientos los estudiantes

proporcionaron resultados numéricos carentes de unidades (ver Ilustración 50), lo cual

evidencia que las opciones de respuesta juegan un rol en el control de los procedimientos.

Ilustración 50. Procedimientos métricos sin unidades de medida

Las unidades del sistema internacional de unidades suelen ser familiares para los

estudiantes, por lo que al enfrentarse a problemas que incluyan una unidad de medida

distinta podrían tener dificultades a tal punto que no elaboran ningún tipo de procedimiento

(Ilustración 51a) o bien trabajan con ellas sin inconvenientes (Ilustración 51b).

a

b

Ilustración 51. La pulgada como unidad de medida



102

De los 67 estudiantes que realizaron procedimientos analíticos para resolver este problema,

el 43,2% no tuvo dificultades con la pulgada pues hicieron uso de la cantidad de la

magnitud dada en el problema. De modo que ese porcentaje de estudiantes no tuvo

dificultad para reconocer que la unidad es un atributo de la magnitud y que no es necesario

comparar unidades.

El siguiente procedimiento elaborado para solucionar el problema de la pelota destacó entre

todos por ser un procedimiento no rutinario elaborado, desde el cálculo mental de sumar

cantidades de longitud las cuales se pueden comparar entre sí. Godino, Batanero y Roa

(2002, p. 626-627) definen la suma de longitudes como sigue:

Dados dos segmentos generales [a] y [b] (caracterizados cada uno de ellos por una

longitud), siempre es posible encontrar dos representantes consecutivos y que, por

tanto, se pueden sumar. Este nuevo segmento suma pertenece a una nueva clase de

equivalencia, que por definición se considerará el segmento general (cantidad de

longitud) suma de [a] y [b]. O sea [c] = [a] + [b]

Como L es el conjunto de las cantidades de longitud (o conjunto de longitudes) se

acaba de definir la suma de longitudes.

Los autores también señalan que en el trabajo con magnitudes es necesario comparar

distintas cantidades. La comparación se ve facilitada si se toma una cierta cantidad [u]

como referente y se determina cuántas veces contiene una cantidad dada [a] a [u]. Esto

lleva a considerar la suma como operación de las magnitudes la cual debe tener

propiedades de asociatividad y conmutatividad, para que se pueda hablar de magnitud.

Veamos el procedimiento en la Ilustración 52.

Ilustración 52. Sumando cantidades de longitud

Interpretando la Ilustración 52 notamos que el estudiante, después del primer rebote,

acumuló en un segmento las alturas para los siguientes cuatro rebotes; señaló cada rebote

con una marca en el segmento; de manera que completó otro segmento de igual longitud al

que representa la máxima altura del primer rebote concluyendo que la distancia total es 10

m.

Esta representación fue considerada en una de las soluciones del problema de nuestro

análisis del problema, pero el estudiante intuitivamente aprovechó la representación para

comparar y ordenar las distintas alturas de la pelota determinando que ellas se podían

contener en sí mismas de manera que al “unir” (sumar) los extremos de los segmentos que



103

representan cada altura nueva, obtendría de referente otra altura igual a la primera, análisis

que nosotros no contemplamos pues recurrimos a la sumatoria de términos. El análisis

realizado por el estudiante del fenómeno de cambio de la pelota no fue correcto pues

consideró la altura de la pelota lo cual inválida el procedimiento; sin embargo, destaca su

habilidad para desarrollar referentes de medida para hacer comparaciones y estimaciones

(NCMT, 2003).

A lo largo de esta sesión ratificamos la postura del NCTM (ibíd.) al afirmar que “las

representaciones que hacen los estudiantes cuando resuelven problemas e investigan ideas

matemáticas, pueden jugar un importante papel ayudándoles a comprender y resolver los

problemas” (p. 72). Sin embargo, el mismo Consejo nos dice que “investigaciones indican,

sin embargo, que los estudiantes de todos los niveles necesitan trabajar para desarrollar su

comprensión de las complejas ideas encerradas en las representaciones convencionales”

(ibíd.). Una representación tan aparentemente clara como la variable x puede resultar difícil

de entender para los estudiantes, como lo veremos en la siguiente categoría.

4.4 DIFICULTADES EN PROCEDIMIENTOS ANALÍTICOS

La revisión de los datos de esta investigación, a la luz del pensamiento variacional, resulta

muy interesante porque distinguimos los ejes conceptuales en la taxonomía de

procedimientos. Subcategorizamos los resultados de los procedimientos analíticos, de

modo tal que a través de éstas expondremos aquellas actuaciones en que los estudiantes

emplearon tablas de valores, ecuaciones y conceptos como el de variable, sumatoria,

infinito, límite y derivadas empleando los ejes temáticos así:

Dificultades analíticas asociadas a los patrones y las regularidades.

Dificultades analíticas asociadas a los procesos algebraicos.

Dificultades analíticas asociadas al análisis de funciones.

Para ubicar los datos en alguna subcategoría nos centraremos en eje temático que más

incidencia tenga en el proceso de solución ya que, al igual que los procedimientos, resultan

fuertemente conectados unos con otros. A medida que desarrollemos el análisis, iremos

trayendo a mención algunos resultados de las categorías anteriores para articularlos con los

hallazgos emergentes de las dificultades detectadas en los procedimientos analíticos.

4.4.1 Dificultades analíticas asociadas a los patrones y las regularidades

El cambio como noción articuladora del Cálculo se halla en situaciones que implican

determinar y emplear variables como cantidades mensurables de fenómenos de variación.

Las evidencias de este estudio dejan ver que los estudiantes de nuevo ingreso no reconocen

la interdependencia de las variables involucradas en una situación, independientemente de

la representación involucrada en ella. Dichas derivaciones constatan la existencia de

dificultades para generalizar los resultados de operaciones aritméticas y para manipular

operaciones algebraicas; Escalante y Cuesta (2012, p. 109) dicen que “ambas dificultades

se hallan en estrecha relación con la experiencia personal del estudiante, lo cual hace

suponer que algunos de los problemas de comprensión emergen, precisamente, del

contexto de representación de los problemas planteados”.



104

Precisamente, el problema de la pelota puso en jaque a los estudiantes al momento de

analizar la situación para representarla pues debían interpretar correctamente la variación

del fenómeno físico: establecer que por cada acción hay una reacción igual y opuesta. La

variación implica distinguir cómo se relacionan las magnitudes en el problema particular,

así como medir y analizar cómo éstas cambian. Los dibujos en las hojas de procesos nos

comunican la dificultad de los estudiantes para comprender el fenómeno y considerar todas

sus características.

En efecto, la mayoría de estudiantes realizó un modelo gráfico para representar y

solucionar el problema (Ilustración 53); este ejercicio de dibujar supone el empleo de

convenios para expresar una imagen visual de un concepto o relación; en este caso la

representación de la relación de la altura máxima con el desplazamiento de la pelota en el

piso.

Ilustración 53. Representaciones pictóricas del problema de la pelota

Los estudiantes, entonces, evidenciaron dificultades asociadas con la interpretación del

movimiento del objeto (el cambio de un rebote a otro implicaba que la altura máxima

alcanzada por la pelota se recorría tanto subiendo como bajando), esta dificultad condujo a

los estudiantes a considerar los procedimientos ejecutados como correctos pese a ser

erróneos, como algunos de los presentados en las categorías de los procedimientos

aritméticos.

Según los datos, el 38,9% de los estudiantes de las tres carreras escribieron en sus hojas de

procesos que la distancia total recorrida por la pelota antes de quedar en reposo era de 9,99

metros, y el 23,1% que era 10 metros, estando estas dos opciones influenciadas por la

atención estricta sobre la altura alcanzada por la pelota en cada rebote. Por lo tanto, las

dificultades en la resolución de este problema se produjeron, fundamentalmente, porque los

estudiantes no analizaron correctamente la situación de cambio, lo cual incidió en la



105

creación de una representación inadecuada de la situación y en la elaboración de

procedimientos errados.

Desde ese punto de vista, podríamos interpretar que los estudiantes no ven en el Álgebra

una manera de pensar la Matemática ya que encontraron muchas dificultades para

trascender de lo numérico en la solución de este y otros problemas de fenómenos

variacionales.

Al respecto, el MEN (1998) dice que desde la educación básica primaria se deben

favorecer experiencias en el aula para que los estudiantes desarrollen su pensamiento

variacional desde el reconocimiento de patrones y regularidades, enfrentándolos a

situaciones relacionadas con la búsqueda de un patrón que implica reflexionar frente a lo

que cambia, frente a lo que se conserva. Seduca (2005) enfatiza en que fundamentalmente

se debe permitir a los estudiantes comunicar lo que observan y explicitar dichas relaciones,

que las transformen, que las expresen de diferentes formas, que hagan conjeturas y por

tanto, que formulen hipótesis sobre la situación que analizan.

Al llegar a la universidad se espera que los estudiantes empleen sin dificultad tablas de

valores para comprender el cambio de la variable y, a su vez, observar patrones o

regularidades que les permitan establecer procesos de generalización, pese a ello solo el

5,3% de los estudiantes consideró el uso de tablas para observar el cambio y la

interdependencia de las magnitudes variables del problema de la pelota. Como se observa

en la Ilustración 54, el estudiante consideró como variable independiente “pelota tenis” y

como variable dependiente los “rebotes”:

Ilustración 54. Diseño de una tabla de valores

Llaman la atención del procedimiento anterior los siguientes aspectos:

La manera de registrar de las alturas, aunque comprendemos que quizás solo

intentaba expresar el cociente entre dos en cada nuevo rebote.

La falta de claridad sobre qué hacer con la tabla de valores, lo que indica que el

estudiante no reconoce la variación conjunta de las variables.

El estudiante invirtió las columnas de las magnitudes involucradas considerando

como variable independiente a la altura de la pelota, esto señala su dificultad para

establecer correctamente la interdependencia entre las magnitudes variables y para

transferir los datos a otra forma de representación (ecuación).



106

Lo anterior evidencia, en términos de Aleksandrov et al. (1994), que los estudiantes tienen

dificultades para reconocer que una variable es una imagen abstracta de una magnitud que

varía al no identificar un proceso de generalización en el problema.

Al respecto de las tablas de valores, el MEN señala que la organización de la variación en

tablas permite la comprensión de la variable y de las fórmulas, e incluso pueden usarse para

iniciar en los estudiantes el desarrollo del pensamiento variacional a temprana edad pues

“el uso de filas con variables ayuda a que el estudiante comprenda que una variable puede

tener un número infinito de valores de reemplazo” (1998, p. 73).

Además, el uso de variables en la tabla también ayuda a la escritura de las expresiones

algebraicas, tipo retórico o fórmulas para describir la variación o el cambio”; el 5,3% de los

estudiantes intentó elaborar una tabla de valores en el problema de la pelota; insistimos en

el verbo “intentar” porque los estudiantes evidenciaron dificultades para coordinar valores

de dos columnas diferentes y responder preguntas referentes a la situación con el propósito

de explorar relaciones entre ambas columnas.

El procedimiento presentado en la Ilustración 55 muestra la dificultad para identificar y

relacionar las variables, usando más bien los datos numéricos que aporta el problema para

introducirlos en una ecuación.

Ilustración 55. Ecuación que relaciona los datos del problema

Como se puede observar en los óvalos, para el estudiante fue ambiguo qué representaba la

variable equis pues en la parte superior derecha establece que es el número de rebotes, pero

al montar la ecuación vendría siendo la altura de la pelota pues ésta está relacionada con

“la mitad”. Se puede apreciar que el estudiante entendía a la variable como incógnita

específica al reconocer la existencia de algo desconocido que se puede determinar.

En lo que no queda duda es que el estudiante simbolizó la cantidad desconocida y la utilizó

para plantear la ecuación; determinó correctamente la cantidad desconocida que aparece en

la ecuación y realizó las operaciones algebraicas pertinentes para despejar. Estos primeros

resultados nos han acercado a un hallazgo que reportaron Ursini y Trigueros (2006, p. 5)

respecto al concepto de variable: “se ha demostrado que el concepto de variable es difícil

para los estudiantes de distintas edades, y que en los diferentes niveles educativos, los

estudiantes tienen dificultades para comprender los varios usos y aspectos que caracterizan

a la variable”.



107

Las autoras comprobaron que en los cursos de álgebra elemental, aparecen esencialmente

tres usos (o niveles de abstracción) de la variable: el número general, las variables en

relación funcional y la incógnita específica (como lo observamos en el anterior

procedimiento).

1. Se entiende a la variable como incógnita específica, cuando se reconoce la

existencia de algo desconocido que se puede determinar; cuando se simboliza y

posteriormente se comprueba dicho resultado mediante una sustitución.

2. La variable como número general, abarca la interpretación de una literal como la

representación de un número, el reconocimiento de patrones y deducción de

métodos generales: tautologías, fórmulas y parámetros en ecuaciones.

3. La variable en una relación funcional se refiere al reconocimiento de que existe una

correspondencia entre los valores de las variables involucradas, la determinación de

una de las variables cuando se conoce el valor de la otra; identificando a su vez la

relación entre cantidades y la variación de una cantidad que afecta a la otra

independientemente de cómo se proporcione la información (verbal, tabla o

gráfica).

Un aspecto que corresponden al tercer nivel de abstracción de la variable es simbolizar una

relación funcional, basados en el análisis de los datos de un problema; este nivel fue

revelado por un estudiante quien además puso en juego sus “nociones formales” de cálculo

diferencial en la ejecución del procedimiento de la Ilustración 56 que sigue.

Ilustración 56. Simbolización de una relación funcional

Observamos en la ilustración anterior que el estudiante obtuvo una función RNf :

para simbolizar la altura de la pelota en función del número del rebote, esto nos sorprendió

en gran manera ya que en el análisis del problema no consideramos este procedimiento. Al

revisar el procedimiento podemos decir que:

𝑓(𝑟) no modela bien el fenónemo porque el estudiante no analizó correctamente la

situación de cambio (la pelota, en su caso, solo bajó o subió); además, al revisar la

función para casos particulares, falla significativamente:

20

555)0(f no está definida;



108

,5051

555)1(

2

f ,

4

35

4

155

2

555)2(

2

f

,...9

85

9

405

3

555)3(

2

f

El estudiante tuvo dificultad para expresar acertadamente el hecho de que tras cada

nuevo rebote, la pelota alcanza la mitad de la altura anterior. Esto podría deberse a

una dificultad en el uso del lenguaje algebraico pues confundió 5/2r con 5/r2 .

Podríamos entonces interpretar que el estudiante trabajó con la noción de que como

para expresar “la mitad” con una fracción el 2 “está abajo” entonces está bien

expresar la “mitad” de cada r-paso como 5/r2 ya que el 2 está abajo.

Pero estas dificultades no quitan que el procedimiento sea interesante (incluso es el único):

El estudiante intentó modelar el cambio de la nueva altura considerando una

diferencia que implica que para cada nuevo r obtendrá la distancia total acumulada.

Intentó capturar la tendencia de la distancia total cuando el número de rebotes

tienden a infinito, aproximando la convergencia de la serie con el límite cuando n

tiende a infinito de )(rf .

Nos queda la inquietud de cómo el estudiante llegó a la función pues no hubo evidencia de

ello en su registro. Podríamos considerar que el estudiante podría estar familiarizado con el

problema: el estudiante construyó, desde esas experiencias previas, la función pero tuvo

dificultad para compararlas con las exigencias de esta y generar un nuevo procedimiento

acorde con la situación, lo cual podría ser efecto de la enseñanza que siempre propone a la

función como modelo matemático.

El problema del cuadrado implicaba la coordinación del creciente número de divisiones y

la decreciente área que va quedando. Los procedimientos de la Ilustración 57 muestran que

algunos estudiantes resolvieron el problema teniendo en cuenta una parte de la información

presentada en el enunciado, sesgando con ello el análisis para la elaboración de los

procedimientos.

a

b

Ilustración 57. Procedimientos con datos sesgados

Estas interpretaciones muestran que los estudiantes no establecen correctamente las

variables del fenómeno; es decir, en lugar de analizar qué sucedía con el área del cuadrado

a medida que los pasos de sombreado tendían a infinito, analizaron “cuántas veces se puede



109

realizar el proceso de sombreado a medida que el número de pasos aumenta” por lo que

bajo esta relación incorrecta de las magnitudes se tejieron diferentes razonamientos y

procedimientos: “se aproxima la suma a infinito porque cada vez que se divide el cuadrado

por la mitad hay otro que se puede seguir dividiendo y llegar a infinito”.

Las evidencias de los problemas de la pelota y el cuadrado han resultado un significativo y

rico conjunto de procedimientos y dificultades que nos permiten unirnos a una conclusión

preocupante que reportaron Ursini y Trigueros (2006) respecto al concepto de variable

[…] la capacidad de pensamiento algebraico de los estudiantes no está tan

desarrollada como sería deseable y que, aunque los estudiantes de secundaria ya

muestran cierta capacidad para integrar los distintos usos de la variable y sus distintos

aspectos, esta capacidad no se desarrolla en su paso por la escuela (p. 35).

La comprensión del concepto de variable proporciona la base para la transición de la

aritmética al álgebra y es necesario para el uso significativo de toda la matemática

avanzada. El no explorar las distintas caracterizaciones del uso de la variable se torna

frecuentemente un obstáculo que bloquea el aprendizaje de la matemática; en otras

palabras, los estudiantes no sólo deben aprender a utilizar muchos tipos de símbolos

literales en un problema, sino que deben aprender que un símbolo literal puede asumir más

de un papel dentro de un problema dado (Morales y Díaz, 2003, p. 110).

Otra dificultad marcada en las actuaciones de los estudiantes frente al problema de la

pelota fue el paso del lenguaje natural a una expresión algebraica, por lo que hemos visto

en los procedimientos revisados que la lectura analítica del enunciado del problema se

redujo a realizar una lista de cantidades de magnitud de la altura. Se pudo constatar que los

estudiantes no tienen la competencia para trasladar las ideas geométricas ni aritméticas a

sistemas analíticos. El problema del cuadrado corrobora este resultado; otro problema en el

cual se asientan los hallazgos de las dificultades alrededor de procesos algebraicos es el de

la empresa láctea:

En una empresa láctea se registran los datos de dos tanques que almacenan leche. La

siguiente gráfica representa la relación entre volumen y el tiempo de dos tanques A y B,

respectivamente. Se tiene que estos tanques descargan la leche por un orificio en la

parte inferior de cada uno de ellos. ¿Cuáles son las expresiones algebraicas que

modelan el desagüe para los tanques de leche A y B, respectivamente? […]

De las 113 hojas de procesos, en el 77% de ellas no hallamos procedimientos matemáticos

alrededor de este problema; la mayoría de los estudiantes dejó la hoja en blanco o escribió

que no entendía la situación. En el 23% restante, como se mencionó, la acción

predominante fue elegir una de las respuestas de selección múltiple para evaluar la función

en algún valor, en particular en 𝑥 = 2. En la ejecución de esos procedimientos advertimos

que los estudiantes, como se puede observar en la Ilustración 58, interpretaron la variable

como una incógnita específica porque sin dificultad asociaron que hay que despejar para

encontrar un valor para la variable (procedimiento que es válido para conocer el

comportamiento de 𝑓(𝑥) para algunas preimágenes y luego contrastarlas con los datos

proporcionados en el problema, sin embargo no hay evidencia de esto). Observando el

procedimiento de la Ilustración 58 podemos encontrar errores para despejar.



110

Ilustración 58. Errores en procedimientos aritméticos y analíticos

Lo anterior nos permiten señalar un hallazgo muy valioso: los fenómenos de variación no

pueden ser comprendidos, interpretados, representados, etc. si no se ha consolidado la

noción de variable; una noción que se supone según nuestros estándares se empieza a

manejar en los primeros grados de la educación básica primaria.

Los procesos de solución de la Ilustración 59 que responden al problema del folleto que

pedía encontrar el modelo que representa el área respecto a uno de los lados. En ellos se

puede observar que los estudiantes tomaron algún valor de la variable independiente para

reemplazar y hallar una respuesta numérica que representara la magnitud del área, actividad

que no se solicitaba en el problema.

a

b

Ilustración 59. Aritmetizar, una tendencia en la resolución de problemas

El problema del folleto resultó exigente para los estudiantes pues ninguno estableció

algebraicamente la relación entre las variables que daban cuenta de las dimensiones del

rectángulo para expresar el área en términos de un lado. En la Ilustración 60 se observa el

procedimiento en el que uno de ellos estableció la relación funcional entre los lados del

folleto determinando sin dificultad la altura en función del ancho del folleto. El estudiante



111

relacionó correctamente los datos en el problema sin necesidad de realizar algún

procedimiento geométrico para visualizar la información.

Ilustración 60. Modelo para el área del folleto en función de uno de sus lados

Los hallazgos alrededor de la variable ratifican que el aprendizaje del concepto de variable

logrado por los estudiantes a través de su paso por el sistema escolar es poco significativo;

en relación a esto Ursini y Trigueros (1997 en Morales y Díaz, 2003) afirman que aunque

ellos reconocen el papel que juega la variable en expresiones y problemas muy simples, un

leve aumento en la exigencia de los mismos induce a generalizaciones incorrectas y a la

búsqueda de soluciones memorizadas o por inspección que no son afines al nivel requerido

para el estudio de matemáticas más avanzadas.

Las estrategias de los estudiantes están dominadas por procedimientos que no han

sido interiorizados, lo cual los deja anclados a un nivel de acción que se manifiesta,

por ejemplo, en la necesidad de hacer explícitos los pasos que siguen en el proceso

mental de solución y usarlos como soporte para continuar, sin ser capaces de

analizarlos, y detectar posibles errores (ibid., p. 109).

Estar en capacidad de expresar una variable en términos de otra resultaba, determinante en

este problema pero los estudiantes reflejaron no tener claridad de lo que esto significa. De

los estudiantes que intentaron generalizar, encontramos que el 20,3% empleó la fórmula del

área del rectángulo para concluir que éste era el modelo que representa el área del folleto

respecto a uno de sus lados, como se observa en la Ilustración 61.



112

a

b

Ilustración 61. Modelo del folleto erróneo

Las tres primeras líneas del registro Ilustración 62 nos hicieron pensar que el estudiante

sabía lo que analizaba en relación al problema; sin embargo, en las dos últimas líneas se

evidencia su dificultad para distinguir una relación funcional apoyado en el análisis de los

datos del problema.

Ilustración 62. Expresar una variable en términos de otra: una dificultad

Nuevamente las evidencias de las hojas de procesos muestran que los hallazgos de la Fase 2

no fueron al azar sino que responden ciertamente a dificultades relacionadas con los

procesos algebraicos y el tratamiento del cambio y la variación: en el indicador “Modela

con propiedad una situación de cambio a través de una función” el 54,52% de los

estudiantes solucionaron mal el problema del folleto, el cual está asociado al anterior

indicador.

Alimentamos, por último, esta categoría con los procedimientos emergentes en la

resolución de los dos problemas que implican las relaciones y funciones trigonométricas.

El problema del coseno (¿cuál es el valor de cos(2α), si se tiene que sen α =√3

2 y α está

en el segundo cuadrante?) admitía diferentes soluciones, la más sencilla de ellas relacionar

el signo de la función coseno con el cuadrante en el cual está el lado terminal del ángulo y

observar que solo una de las opciones de respuesta tenía esta cualidad.

Para contextualizar un poco sobre la Trigonometría en el currículo de Colombia, en los

Lineamientos Curriculares (MEN, 1998), en torno al aprendizaje y enseñanza de la

trigonometría pareciera que quedó relegada porque no se dan orientaciones acerca de su

enseñanza; pareciera además que podría ser parte de los conocimientos básicos del

pensamiento espacial y variacional sin mencionar específicamente la trigonometría en

alguna parte. En los estándares para los grados 10° y 11° (MEN, 2003, 2006), se propone



113

que el estudiante debe estar en capacidad de describir y modelar fenómenos periódicos del

mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas, esto en el marco del

pensamiento espacial; y de modelar situaciones de variación periódica con funciones

trigonométricas, para el pensamiento variacional. El problema de la prueba diagnóstica

busca saber si el estudiante domina correctamente las razones y las identidades

trigonométricas en contextos matemáticos o no matemáticos; no obstante no todos los

estudiantes no emplearon razones, ni identidades trigonométricas en sus procedimientos;

veamos la Ilustración 63 que sigue.

Ilustración 63. Respuesta correcta al problema del coseno

Como se puede apreciar en la anterior ilustración, la respuesta del estudiante fue muy

precisa y sus argumentos también. Al revisar las opciones de respuesta del problema

observamos que en éstas había una única respuesta negativa lo cual, consideramos facilitó

el trabajo matemático a realizar para quienes tenían claro el comportamiento del coseno en

posición normal. En la Ilustración 64, como se previó en el análisis del problema, el

estudiante elaboró el procedimiento determinando 𝛼 , calculó el 𝑐𝑜𝑠 (2𝛼) tomando en

cuenta el signo de las funciones según el cuadrante (sin embargo, de esto no hay evidencia

en el registro).

Ilustración 64. Calculando el ángulo para hallar el 𝑐𝑜𝑠 (2𝛼)



114

Otro procedimiento correcto es el de la Ilustración 65, allí se observa que el estudiante

logró: determinar el ángulo para el cual se cumple la igualdad dada con el seno, relacionó el

ángulo obtenido con 2𝛼 para obtener su valor; graficó el ángulo en posición normal y halló

el ángulo de referencia para finalmente dar el valor de 𝑐𝑜𝑠 2𝛼.

Ilustración 65. Ángulos de referencia en la solución del problema del coseno

También se puede observar el orden con el cual él ejecutó el procedimiento, lo cual hace

destacable su trabajo y habla de cómo aprendió a solucionar este tipo de problemas que, al

parecer, son rutinarios para él.

Aunque presentamos tres procedimientos que llevan a la solución esperada, el 27,4% de los

estudiantes no realizó el problema manifestando que no sabía hacerlo o dejó la hoja en

blanco, el porcentaje restante intentó elaborar procedimientos que no llevaron a la solución

pero que sí nos permitieron ver las dificultades para trascender de lo aritmético a lo

analítico. Por ejemplo, en la Ilustración 66 llama la atención que el estudiante introdujo el

dato 1sen y después intentó “cancelar” elementos para obtener 𝑐𝑜𝑠 √3.

Ilustración 66. Dificultades en lo trigonométrico



115

En la Ilustración 67 la respuesta del procedimiento es la misma de la Ilustración 66. Se

observará que el estudiante interpretó erróneamente que 𝛼 =√3

2 y sustituyó este dato en el

𝑐𝑜𝑠 (2𝛼 ). Además son evidentes, incluso, las dificultades para operar números racionales

ya que para el estudiante 2.√3

2= 2

√3

4= √3 lo cual es incorrecto.

Ilustración 67. Dificultades para diferenciar el ángulo de una función

En los dos procedimientos anteriores se observa la tendencia a “aritmetizar” la actividad

trigonométrica propuesta ejecutando procedimientos aritméticos desmedidamente. Las

dificultades vistas resultan concordantes con los hallazgos de la Fase 2, en la cual el

64,37% de los estudiantes que presentaron la prueba realizaron incorrectamente este

problema. No obstante, Van Hiele (1957) señala que normalmente se suelen enseñar

muchas fórmulas en trigonometría lo cual le deja la estudiante la noción de que para

dominar la trigonometría se necesitan muchas fórmulas. Pero cuando éstas faltan el

estudiante no hace ningún esfuerzo por alcanzar resultados a pesar de que se pueden

alcanzar perfectamente con los medios de que dispone, como sí se realizó en el

procedimiento de la Ilustración 68, en la cual el estudiante no se empleó fórmula alguna

pero evidenció habilidad para interpretar la gráfica como información geométrica y

numérica combinada, de manera que conectando sus saberes logró justificar por qué la

respuesta al problema es -1/2.

Ilustración 68. Creando procedimiento sin fórmulas



116

Los procedimientos que hemos visto reflejan el derrotero de la enseñanza de la

trigonometría que señalan algunos libros del país: se definen y analizan las funciones

trigonométricas en el plano cartesiano, para luego introducir algunas identidades con

ángulos de referencia y el círculo unitario; después se proponen las funciones

trigonométricas definidas en la circunferencia unitarias para realizar las representaciones y

el análisis gráfico de las mismas. Después aparecen las leyes del seno y del coseno y sus

aplicaciones. Y al final las identidades y ecuaciones trigonométricas, de tal suerte que los

estudiantes, ante la resolución de problemas que impliquen conceptos trigonométricos,

contarán con un buen bagaje de conocimientos para emplear.

En la Ilustración 69 se elaboró una representación geométrica con los datos del problema

empleando un triángulo, esto orientó al estudiante hacia el procedimiento analítico para

obtener el valor del cateto faltante y, posteriormente, obtener el valor del coseno; sin

embargo, el estudiante no tuvo en cuenta que el ángulo estaba en el segundo cuadrante y

allí el valor del coseno es negativo. Además de que en la escritura del resultado de lo que

sería el valor del coseno omitió el ángulo en su notación simbólica.

Ilustración 69. Tratamiento del ángulo y del seno en lo algorítmico

Para entender una operación trigonométrica como función Weber (2008, en Montiel, 2013,

p. 21) señala que “los estudiantes necesitan conocer un proceso que puedan usar para

evaluar dicha función para cualquier ángulo dado, y deben ser capaces de anticipar

aproximadamente el resultado de este método y razonar sobre las propiedades del resultado

sin llevar a cabo los pasos del proceso”. Sin embargo estas dos habilidades resultaron de

gran dificultad para nuestros estudiantes partiendo del hecho de que los errores con los

números racionales tuvieron su protagonismo aquí también.

En la Ilustración 70 se observa que el estudiante trató el seno y el ángulo como dos

elementos que están en una relación multiplicativa por lo que aplicó el criterio heredado de

los números naturales “lo que está multiplicando, pasa a dividir” para despejar el ángulo

(ver óvalo morado). Además resaltan errores alrededor de las operaciones con los

fraccionarios (ver óvalos rojos), más exactamente en el cociente.



117

Ilustración 70. El seno y su ángulo tratados como relación multiplicativa

En el problema de la temperatura se pidió modelar un fenómeno periódico del mundo real

usando relaciones y funciones trigonométricas; sin embargo el 61,9% de los estudiantes

escribió en la hoja de procesos no saber cómo hacer el modelo; ese porcentaje es muy

cercano al obtenido en los resultados de la Fase 2: el 64,30% de los estudiantes no

contestaron acertadamente el problema.

Ilustración 71. Problema de la temperatura

El 4,4% de los estudiantes encontró que el modelo que corresponde a la gráfica de la

función es 𝑓(𝑡) = 2 cos (𝑡 +𝜋

2) + 1 (este no es el modelo que corresponde a la respuesta

esperada); en la Ilustración 72 se podrá observar uno de estos procedimiento en el cual el

estudiante encontró el modelo analizando las opciones de respuesta y hallando una

característica en la gráfica que validara su elección: 𝑓(0) = 1.



118

Ilustración 72. Problema de la variación de la temperatura del agua

Se ratifica que un porcentaje muy bajo de estudiantes logró establecer conexiones entre las

representaciones de las funciones, en este caso, trigonométricas. El 32,7% de los

estudiantes elaboró algún procedimiento inconcluso entre los cuales destacan aquellos que

reemplazaban en la función para obtener algún valor. Llamó nuestra atención el

procedimiento de la Ilustración 73 en el cual el estudiante tomó una de las funciones de las

opciones de respuestas que también relaciona al seno y, pareciera, que la sumó con la

original, veamos:

Ilustración 73. Sumando funciones trigonométricas

De modo tal que, según los datos de las hojas de procesos, ningún estudiante de las tres

carreras dejó evidencia de realizar correctamente el problema por lo que salta como

conclusión de ello que la formación matemática alrededor de la trigonometría presentan

dificultades para reconocer el cambio y la variación en los problemas propios del área pues

las prácticas escolares de la trigonometría están arraigadas al tratamiento algebraico de las

situaciones presentadas. Pero ese “tratamiento algebraico” está muy lejano de tratar las

variables de un fenómeno variacional bajo una relación funcional que conciba el cambio en

ella.

Por lo que de esta categoría, las dificultades que más nos resultan alarmantes en la

resolución de problemas que implican fenómenos de variación son las que competen a la

variable pues ésta es la base para la generalización, para las funciones y los demás

“No sé como abordar el problema

pero creo que la respuesta

es: 𝑓(𝑡) = 2 𝑐𝑜𝑠 (𝑡 +𝜋

2) + 1,

porque: 𝑐𝑜𝑠𝜋

2= 0, lo cual

no afecta a t, como en la

fórmula genérica”.



119

constructos del Cálculo Diferencial, sin embargo, esta preocupación no deja de reconocer

que el concepto de variable es sorprendentemente difícil de definir, además de que al

interior de las Matemáticas se utiliza de distintas formas; pero pese a esto, Ursini (1993,

citado por Morales y Díaz, 2003) afirma que, las variables se emplean habitualmente en

textos escolares sin preparar una práctica introductoria que pudiera servir como plataforma

en la cual la idea de variable se desarrolle en sus diferentes significados.

Veamos cómo las dificultades reportadas en esta subcategoría impactan como “efecto

dominó” a las nociones de tendencia y aproximación.

4.4.2 Dificultades analíticas asociadas a los procesos algebraicos

Un patrón es una propiedad, una regularidad, una cualidad invariante que expresa una

relación estructural entre los elementos de un fenómeno; el análisis cuidadoso de patrones y

regularidades permite establecer generalizaciones por lo que es importante elegir una

representación que permita identificar ese patrón para alcanzar la generalización, cuestión

en la cual los estudiantes que presentaron la prueba diagnóstica tuvieron dificultades: en el

análisis de la primera categoría quedó explícito que cuando los estudiantes realizan sus

procedimientos aritméticos no analizan la incidencia de “evitar” las cifras decimales en

situaciones en las cuales subyace el infinito, noción en el cual los decimales no son

menospreciables al hacer un acercamiento numérico.

En el problema de la pelota, los estudiantes cuantificaron la situación pero no lograron

identificar el patrón de cambio en la situación, ni la tendencia de la sucesión; la tendencia

exige una visualización de tipo numérico de los procesos infinitos de aproximación como

un todo (García, Serrano y Díaz, 2002), aspecto en el cual los estudiantes evidenciaron

significativas y preocupantes dificultades. A continuación precisaremos cómo los

estudiantes trataron la noción de infinito que subyace en el problema.

Empecemos revisando el procedimiento de un estudiante (Ilustración 74) que tomó 10

rebotes en los cuales la pelota sí “subía y bajaba” (por ello multiplicó por dos cada altura) y

concluyó que la distancia recorrida es 19,9 metros.

Ilustración 74. Tendencia de la suma a 19,9 m considerando una o dos cifras decimales



120

Podríamos deducir que el estudiante elaboró un procedimiento aritmético despreciando

arbitrariamente decimales en cada nueva altura para aproximarse al resultado final, lo cual

nos resulta válido. Particularmente que la suma le haya dado 19,9 metros nos lleva a pensar

que el estudiante “forzó” el procedimiento diseñado al compararlo con las respuestas de

selección múltiple ya que al realizar la suma, el resultado sería 20,77 metros. No obstante,

esta fue la respuesta considerada por quienes contemplaron más de dos cifras decimal en la

recolección de datos, como se aprecia a continuación.

Ilustración 75. Tendencia de la suma a 19,9 m considerando varias cifras decimales

En la Ilustración 75 la respuesta 19,99 metros puede tener por justificación que los

estudiantes (el 7,9%) interpretaron la aparición de ceros a la izquierda en cada nuevo rebote

como un proceso que nunca va a terminar, por lo que esto los pudo conducir a no

considerar la convergencia de la aproximación numérica realizada. El “infinito”

interpretado por el estudiante es aquel relacionado con una cantidad de cifras tan grande

como se desee. Si bien acepta que tiene infinitas cifras decimales, las corta en determinado

momento con “tantas cifras como desea”, pero opera con estas aproximaciones sin

comprender que no se trata del número correspondiente, sino de una aproximación (Crespo,

2009).

Por ende, esa noción del infinito condujo al estudiante a no considerar la convergencia de la

sucesión a un número entero en un proceso numérico de números racionales, por lo que se

podría afirmar que la elección de la notación decimal para registrar los datos llevó al

estudiante a no considerar 20 metros como la convergencia de la sucesión pues la notación

lo indujo a pensar que la respuesta sería también en notación decimal.

En la categoría de los procedimientos aritméticos encontramos que el 38,7% de los

estudiantes eligió trabajar con los números racionales en su expresión decimal, un sistema

de representación numérico en el cual a veces no es sencillo encontrar una regularidad y

esto podría acentuarse si se consideran pocos datos, estos dos aspectos podrían haber

dificultado la caracterización de la sucesión a través de su término general. De modo que

los pocos datos considerados y el sistema simbólico elegido por los estudiantes dificultó

reconocer la regularidad entre los términos conocidos de la sucesión para obtener el

término general; todo esto representó para nuestros estudiantes una cadena cognitivamente

exigente por el alto grado de abstracción que supone.



121

Resulta interesante mencionar que Mason (1999 en Seduca, 2005, p. 51) relaciona tres

habilidades que se pueden movilizar desde el estudio de patrones:

Ver, que hace relación a la identificación mental de un patrón o una relación, y con

frecuencia esto sucede cuando se logra la identificación de un algo común.

El decir, ya sea a uno mismo o alguien en particular, es un intento de articular, en

palabras, esto que se ha reconocido.

Registrar para hacer visible el lenguaje, lo cual requiere un movimiento hacia los

símbolos y la comunicación escrita (incluyendo los dibujos).

De modo que la manera como un estudiante vea el cambio, entendido “una modificación

de estado, en tanto que el vocablo variación la (sic) entendemos como cuantificación de

dicho cambio” (Cantoral, 2013, p. 5), le permitirá comunicarlo y realizar un registro que

contribuya a la solución del problema, o que lo aleje de la misma. En el procedimiento de la

Ilustración 76 se observa que el estudiante, a través de un registro lingüístico, señaló que

“nunca va a poder llegar a 20 porque va a dar infinidad de decimales…” evidenciando la

dificultad ya señalada respecto a la incidencia de elección de la representación numérica

para cuantificar el cambio.

Ilustración 76. Registro de que la imposibilidad de convergencia

El infinito ha sido un concepto inspirador, pero difícil para los matemáticos y aún más para

los estudiantes.

El concepto de infinito desde la perspectiva filosófica ha sido ampliamente discutido

pues induce a contradicciones y paradojas, desde Euclides, (el todo no es mayor que

las partes), la paradoja de Zenon (¿cómo recorrer una infinidad de mitades en un

tiempo finito?) o la Russell (el conjunto de conjuntos que no pertenecen a sí mismo).

O el Hotel de Hilbert. Fue en el siglo XVII cuando se introdujo lo que se podría

llamar la concepción moderna al considerar que el mundo finito y el infinito están

regidos por leyes y preceptos diferentes (Costa y Otto, 2005, p. 3).

Las dificultades frente a este concepto no son nuevas, se corroboran en estudios como los

que han puesto en evidencia que estudiantes de los últimos años de la educación secundaria

e incluso en la universidad, encuentran dificultades de conceptualización cuando se



122

enfrentan con situaciones que implican el infinito (Artigue, 1995; Fischbein, Tirosh y

Hess, 1979; Moreno-Armella y Waldegg, 1991).

En los dos siguientes procedimientos, además de observar un registro numérico de la forma

a/b, podremos notar que los estudiantes esgrimieron dos acciones matemáticas que dan

cuenta de la noción del infinito (aunque construyeron los procedimientos sobre la

dificultad para identificar que la pelota “subía y bajaba” en cada rebote). En la Ilustración

77 el estudiante usó los puntos suspensivos, como expresión algebraica, para representar

que la suma, como un proceso numérico, es infinita: la posibilidad de dividir infinitamente

al número 1.

Ilustración 77. Puntos suspensivos como registro del infinito

Siendo más específicos tenemos que en la Ilustración 77, el estudiante usó las fracciones

para registrar numéricamente la mitad de la altura en cada nuevo repique, por ello dejó

invariante el denominador de cada fracción, y concluyó en términos de la altura máxima

que ésta sería 9,99 metros justificando el resultado con la expresión “… la pelota siempre

va alcanzar casi su altura máxima…”.

Dicha expresión da cuenta de que el estudiante razonó que la tendencia de la altura máxima

no podría ser 10 metros porque siempre le faltaría a la pelota una cantidad

infinitesimalmente pequeña que cubrir en su rebote. Esta percepción manifiesta un

tratamiento intuitivo del infinito que viene a convertirse en obstáculo cognitivo para la

resolución del problema.

Hitt (2003) señala que los estudiantes que ingresan por primera vez a un curso de cálculo,

generalmente han tenido un acercamiento intuitivo del infinito, muy probablemente con

aspectos de la “vida real” (p.e. que el universo es infinito), sin haber reflexionado sobre

aspectos propios del infinito en matemáticas; ello impide en cierta medida su comprensión

en un contexto matemático.

Esta situación resulta preocupante ya que en la enseñanza secundaria prevalecen los

esquemas concretos y finitos; razón por la cual los profesores debemos estar prestos a que

el estudiante supere sus esquemas finitos para que conozca el mundo de lo infinito, que

hablando desde lo cognitivo no es fácil de manejar ni comprender al entrar en conflicto con

los esquemas finitos previos: ¿la pelota hará un número infinito de rebotes?

En medio de las dificultades que hemos reportado, nos encontramos que las nociones de

infinito y convergencia fueron puestas en juego por un estudiante en la elaboración del



123

siguiente procedimiento razonado sobre la tendencia de las alturas al infinito; veamos la

Ilustración 78.

Ilustración 78. Solución correcta del problema de la pelota

El procedimiento anterior, como se observaba, se elaboró desde la aproximación numérica

a lo analítico; veamos el procedimiento de la Ilustración 79 que, desde un análisis numérico

y empleando otro sistema de registro para los datos, en el cual el estudiante elaboró una

generalización.

Ilustración 79. Generalización del proceso infinito

del problema de la pelota

“2(5) + 2(2,5)

2 (5

20) + (

5

21) + (

5

22)

∑ 2 (5

2𝑛)?𝑛=0 ”

En la Ilustración 79, el estudiante construyó el término n-ésimo de la sucesión 2 (5

2𝑛) y la

llevó a la sumatoria pero su conocimiento conceptual no le permitió avanzar en lo

procedimental para registrar una respuesta. No está demás resaltar que en este

procedimiento la generalización realizada está, de una manera u otra, favorecida por el

sistema simbólico de los números racionales empleado por el estudiante: fraccionarios.

Las actuaciones alrededor de la resolución del problema de la pelota también recuperaron

elementos del contexto de la física. En la solución de la Ilustración 80a se puede observar

que el estudiante conectó el saber de otra disciplina para dar respuesta al problema, sin



124

embargo, el único dato que empleó en su procedimiento, y que corresponde al problema es

“la mitad”.

a b

Ilustración 80. Elaboración de procedimientos analíticos desde la Física

En la Ilustración 80b, el estudiante tomó las alturas máxima y mínima de la pelota y

consideró que ésta rebotaba cuatro veces antes de quedar en reposo, de modo que parece

que el estudiante intentó usar los datos proporcionados para llegar a una de las respuestas

de las opciones dadas.

Como se ha observado a través del análisis, el proceso de resolución de problemas suele

evocar antiguas experiencias y conocimientos. Incluso notamos, al revisar los datos, que

los estudiantes recurren a concepciones y nociones vagas para resolver los problemas. Por

ejemplo, la palabra "límite" en sí tiene muchas connotaciones en la vida cotidiana que

están en desacuerdo con la idea matemática. Tall (1992) señala que a diario un límite es a

menudo algo que no puede o no debe ser pasado, como un "límite de velocidad".

Efectivamente nuestros estudiantes evidenciaron en sus soluciones dicha concepción al

considerar que la sumatoria de la sucesión no puede ser igual al límite: el 15,1% de los

estudiantes señaló que la respuesta al problema es 9,99 metros, mientras que el 7,9% que

era 19,99 metros.

La Ilustración 81 muestra que el estudiante elaboró un procedimiento intentando poner en

juego conocimientos de sumatoria y límite sin éxito:

Ilustración 81. Procedimientos analíticos para el problema de la pelota

Al observar la anterior ilustración se pueden interpretar varias cosas:

1. El estudiante intentó emplear la propiedad genérica del límite.



125

2. Intentó emplear los recursos de sucesiones y límites vistos en el colegio que, según

la evidencia, no aprendió completamente como tampoco los procedimientos

implicados para la solución, sino que trató de emplear la memoria para adaptarlos

ya que mezcló las notaciones de límites y sumatoria arbitrariamente.

Del registro realizado podemos afirmar que el estudiante:

1. No expresó correctamente el término general de la sucesión pues no notó que 1

2

𝑥5 =

5

2 y no

1

2𝑥 5 como quizás lo razonaba.

2. Tiene dificultades para simbolizar la sumatoria de una sucesión y para comprender

que ∑𝑖=0 𝑥=∞ no expresa nada.

3. No tiene claridad sobre el problema a resolver, esto se convierte en un factor que

obstruye la resolución de problemas acertadamente.

Si bien es cierto, en las hojas de procesos que respaldaron la prueba diagnóstica no

encontramos sino dos estudiantes que emplearon la sumatoria, esto nos permite afirmar que

algunos estudiantes tienen dificultades con las series numéricas al considerar una suma

infinita como una operación aritmética, evidenciando dificultades en el paso de lo finito a

lo infinito.

De la experiencia podemos afirmar que, según las directrices del MEN y de la planeación

curricular de las instituciones educativas, las sucesiones se enseñan formalmente en el

grado noveno y se retoman en el grado undécimo, precisamente tiempo antes de enseñar

límites. No obstante, la realidad es que sucesiones no se suele enseñar por lo que no son

extraños los resultados obtenidos frente a este concepto, los cuales reflejan

desconocimiento del mismo. Por lo que, como afirma Socas (1997), las dificultades del

aprendizaje de las matemáticas derivan generalmente el microsistema educativo: estudiante,

asignatura, profesor e institución escolar.

El problema del cuadrado respeta la divisibilidad infinita en mitades y subyace un proceso

de convergencia en él. Veamos algunos procedimientos y las dificultades que emergen

desde un contexto geométrico que exigía analizar la tendencia de la serie infinita que

resultaba de particiones infinitamente pequeñas para pasos muy grandes en el proceso.

Ilustración 82. Dato del problema es un distractor en la resolución

“Rta: 0,5 cm2 porque

siempre se dividirá a la

mitad de su área normal”.



126

En la Ilustración 82 anterior, el estudiante representó la variación del área del cuadrado

hasta el cuarto paso empleando las medidas correspondientes a cada nueva partición; no

obstante terminó concluyendo que la respuesta era “0,5 cm2 porque siempre se dividirá a la

mitad de su área normal”, esto evidencia que el estudiante no analizó el problema sino que

comparó un dato específico del problema con las opciones de selección múltiple y escogió

la que más coherencia tuviera con el dato.

En los procedimientos de la Ilustración 83 se evidencia la postura de los estudiantes frente a

que la suma infinita de las mitades del cuadrado, no converge a un número finito:

a

b

Ilustración 83. El infinito como respuesta en procesos de convergencia

En la solución Ilustración 83a, el estudiante empleó lenguaje simbólico para

expresar el área de la mitad de cada nueva partición, señalando con los puntos

suspensivos el proceso infinito de esa suma; concluyó que la suma es indeterminada

empleando los puntos suspensivos y el signo de infinito juntos.

En la solución Ilustración 83b, el estudiante usó la lengua natural como registro

lingüístico para expresar que la convergencia no es posible porque en el problema

no se dice “el número de veces (que se divide el cuadrado) para dar un resultado”.

Con estos hallazgos se fortalece el resultado de que los estudiantes tienen dificultades

superar la noción de intuitiva del infinito lo cual representa un obstáculo para la

construcción del infinito matemático.

Es valioso observar en la Ilustración 84 que sigue que el estudiante inicialmente consideró

“a infinito” como solución (está tachado), sin embargo parece que reflexionó sobre su

respuesta y la evaluó tomando en cuenta las características del proceso de partición en un



127

área limitada lo que lo llevó a pensar en que “con los pasos cada vez se va tapando más de

sombreado”.

Ilustración 84. Razonamiento sobre el área sombreada

En la solución de la Ilustración 85, la representación escrita evidencia que el estudiante

también observó que a medida que se realizan los pasos, el área sombreada iba llenando el

área del cuadrado pero como es un proceso interminable, consideró que siempre hará falta

una pequeña parte para llenar, por ello no consideró 1 cm2 como solución al problema;

razonamiento que se ajusta a la concepción que señaló Tall (1992) de que la sumatoria de

la sucesión no puede ser igual al límite.

Ilustración 85. Razonamiento proceso interminable

Las siguientes son respuestas (transcritas de las hojas de trabajo de los estudiantes) que se

acercan a dicha concepción:

“se aprox a 0,9 cm2 pues el cuadrado se seguirá dividiendo infinitas veces y la

suma de áreas sombreadas no podrá dar 1 cm2”,



128

“al final el área sombreada va a ocupar la mayoría del cuadrado, pero NUNCA lo

va a llenar completamente asi que NUNCA va a ser 1 m2 el área sombreada se

aproxima a 0,999 m2”,

“0,9 el proceso sera infinito por pequeño que sea siempre habrá un cuadrilátero

que se divida y se sombreará →nunca se llenara la mitad de ese cuadrado porq’

siempre se le sacara mitad”.

Observamos que en la imagen mental que los estudiantes tienen sobre un proceso infinito

está asociada con los números racionales que consideran los decimales periódicos infinitos.

Interpretando lo que dice Tall (1992), los estudiantes que no tienen bien desarrolladas las

estructuras cognitivas, son engañados por las falsas imágenes.

Lo anterior nos permite afirmar que quienes esgrimieron el razonamiento “como nunca se

deja de dividir el cuadrado, entonces el área nunca será 1 cm2” tienen sus propios esquemas

conceptuales asociados al concepto de infinito potencial y a la noción de tendencia,

esquemas desarrollados a través de (y desde) sus propias experiencias previas y que se

convierten en un obstáculo epistemológico: ¿cuándo terminaríamos de contar la arena del

mar?: Nunca.

Estas concepciones han sido reportadas por investigadores como Fischbein (1989) y

D’Amore, Bonilla, Fandiño, et al. (2006), quienes en su estudio encontraron que las

personas asocian 0,9 con la sucesión 0.9, 0,99, 0,999, … por lo que argumentan que nunca

será 1 pese a algunos sujetos declaran que no se excluye que matemáticamente esta

igualdad pueda ser válida, pero, en la realidad esto no es posible, manifestando la conocida

“divergencia” entre matemática y realidad.

«Si yo escribo 0,9, esto es casi 1, pero no es 1 porque le falta 0,1; pero si yo agrego

0,09 me encuentro a 0,99 que es siempre más cerca de 1, pero no es 1 porque le falta

0,01; pero si yo agrego 0,009 me encuentro ya a 0,999; siempre así, la suma crece y

crece pero le falta siempre 0,0000001 también con infinitos ceros, siempre alguna

cosa falta, a 1 no se llega nunca porque cada vez le falta un poco» (ibíd., p. 21).

Hemos venido observando a través del análisis de los procedimientos alrededor del

problema de la pelota y el cuadrado que los estudiantes interpretan el infinito en su sentido

intuitivo.

Garbin (2005) nos orienta al decir el infinito potencial se diferencia del infinito actual

porque éste no acepta significados conductuales como sí lo hace el concepto aristotélico de

infinito potencial cuya noción descansa en lo conductual: “un objeto potencialmente

infinito (por ejemplo una línea que puede ser extendida indefinidamente) tiene un

significado <<conductual>>” (p. 5).

La autora interpreta el “infinito actual, como el que está asociado a la idea de totalidad, de

completes y de unidad. Un proceso (potencialmente infinito en sus orígenes) se considera

acabo y los límites alcanzados”.

En el siguiente procedimiento (Ilustración 86) veremos que el estudiante obtuvo la

respuesta correcta pero en el razonamiento sobre el infinito emerge nuevamente la

concepción potencial del infinito que ha caracterizado la elaboración de los procedimientos

alrededor de este problema respuestas que acabamos de señalar, veamos:



129

Ilustración 86. Un registro incoherente

Se ratifica entonces el uso de la noción del infinito potencial que se ha caracterizado en

nuestros estudiantes por la idea de uno más pues es interpretado por ellos como un proceso

acumulativo; la idea que prima es que siempre hay uno más (menos), uno posterior

(anterior) que si bien no acepta “el límite” sí habla de una tendencia, un comportamiento

que nunca llega a su fin. Aunque aquí se presentan incoherencias pues las respuestas 0,9

cm2 no representa precisamente ese estado de nunca llegar a su fin.

Particularmente en esa solución se aprecian tres tipos de representaciones en la elaboración

de procedimientos: geométrico, algebraico y escrito-analítico, lo mismo sucede en la

Ilustración 87 que muestra el procedimiento de otro estudiante.

Ilustración 87. Diferentes procedimientos en una solución

“El area total sombreada

esde 0,9 por que al final

siempre debe quedar un

recuadro asi sea lo mas

minimo sin sombrear”.



130

Este último procedimiento tiene algo interesante: el tratamiento rico en representaciones

que llevó al estudiante a concluir que el área era un centímetro cuadrado. El estudiante

utilizó las representaciones gráfica, tabular y algebraica de un proceso infinito para

analizar su comportamiento en cuanto a: cómo cambia la variable, qué comportamiento

sigue, cuáles son los valores siguientes, qué tan parecidos son y, a la larga, cómo son

éstos.

Hipotéticamente consideramos, según esto, que cuando un estudiante tiene la capacidad de

esgrimir diferentes procedimientos y representaciones en un mismo problema, la estrategia

de solución puede ser más acertada que cuando considera uno solo ya que se favorece la

mediación entre el objeto matemático y sus representaciones para favorecer la resolución

de problemas. Moreno (2014) ofrece un argumento para nuestra consideración: los objetos

matemáticos tienen una naturaleza semiótica y, por lo tanto, solo se puede entrar en

contacto con ellos mediante alguna de sus representaciones. En el caso de la cognición

matemática, los sistemas de representación aritméticos, geométricos, algebraicos, métricos,

gráficos, analíticos, entre otros, desempeñan la función de mediación. El acceso a los

objetos matemáticos no sería posible sin dichos sistemas.

De la Ilustración 88 notamos, además, que el estudiante representó correctamente el

proceso de partición de cada nuevo paso, pero esto no ocurrió en todos los casos: se podrá

notar en el siguiente procedimiento que a partir del paso cinco el estudiante se equivocó al

realizar las particiones; además el estudiante halló suficiencia en lo perceptivo de la

representación para concluir que el área es de 0,9 cm2.

Ilustración 88. Error de ejecución procedimiento analítico de representación gráfica

Respecto a 0,9 cm2 como respuesta a la pregunta del problema, esto lo interpretamos de dos

formas que están conectadas entre sí:



131

1. En términos no formales podríamos decir que los estudiantes que consideraron

como respuesta 0,9 cm2 razonaron así: la cantidad de cuadrados que se obtendrán

del proceso de partición es infinita y todos están contenidos en el grande. Se sabe

que el todo es mayor que las partes; en este caso el todo (que es el cuadrado

inicial) contiene a la infinitud de cuadriláteros sombreados pero el cuadrado que

los contiene es mayor entonces ambos infinitos deberían ser distintos: el uno menor

que el otro.

2. También podríamos decir que las opciones de respuesta del problema reforzaron las

nociones débiles de los estudiantes alrededor del proceso infinito que algunos

alcanzaron a vislumbrar y que bajo el razonamiento de sus concepciones no

consideraron que el área fuera 1 cm2 porque se habla de un proceso que se daría

indefinidamente: el límite no se alcanza.

Este problema se repite una y otra vez; Hitt (2013) nos dice que este tipo de razonamiento

no es único de los estudiantes universitarios pues frente a un problema de cuadrados

encajados, unos profesores de matemáticas “creen que no se llega a un valor, que estas

sumas se acercan cada vez más a la unidad pero nunca se llegará a este valor, esto debido a

que el proceso de construcción de los cuadrados es infinito, o sea, no se llega a un fin…”

(p. 115).

El autor también dice que el infinito y su aprendizaje en cálculo no es fácil porque en la

historia de la matemática misma, esto ha inspirado distintas posiciones a lo largo del

tiempo. Y enfatiza: “La historia nos ha mostrado que la manipulación del infinito merece

que lo tratemos con respeto y de acuerdo a la noción de obstáculo epistemológico [citando

a Brousseau], se le trate como tal” (ibíd., p. 111).

Analizamos a continuación unas soluciones que llegan a la respuesta correcta pero

evidencian dificultades en el proceso de elaboración, comparación y ejecución de

procedimientos relacionadas al pensamiento variacional: para la Ilustración 89 el estudiante

registró primero su respuesta y después elaboró sus procedimientos para sustentarla

expresando que el área se aproxima “a 1 cm2 porque al infinito se aproximará al total del

cuadrado”. Veamos.

“a 1 cm2

porque al infinito se aproximará

al total del cuadrado.

1

2+

1

4+

1

8+

1

16

𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

1

2𝑛 “”

Ilustración 89. Procedimientos que se complementan



132

Como se observa, el estudiante empleó un procedimiento aritmético (con racionales) para

expresar el área sombreada hasta el cuarto paso (n) y construyó un límite para cuando n→∞

empleando el término n-ésimo de la serie. El estudiante no tuvo dificultad para definir una

sucesión como una función cuyo dominio son los números enteros positivos que

representan los pasos de la partición.

Lo que queremos resaltar es que aun cuando el estudiante elaboró procedimientos

significativos no halló suficiencia en su conocimiento conceptual para establecer ni

desarrollar la sumatoria ∑1

2𝑛𝑛→∞𝑖=0 , ni para llegar a 1 cm2 desde el procedimientos analítico

que planteó pues lim𝑛→∞

1

2𝑛 = 0. Ante esto, incluso, podríamos decir que el estudiante evadió

la suma infinita, observando sólo el comportamiento de la sucesión 1

2𝑛 . Rescatamos que el

estudiante usó sus presaberes sobre límites como un recurso para intentar capturar la

convergencia de la sucesión.

En el siguiente procedimiento, ante las limitaciones de los presaberes, el estudiante

concluyó que “no recuerdo mucho hacerca de sumatorias y límites pero va a tender al

Area del cuadrado total” como se aprecia en la Ilustración 90 que sigue.

Ilustración 90. Elaboración fallida de procedimientos analíticos

De modo tal que tanto el lenguaje simbólico empleado y el lenguaje natural registrado son

coherentes ya que en el primero hay rezagos de que en algún momento trabajó con

sumatorias, esto señala la dificultad del estudiante para reconocer que el álgebra es una

manera razonar para generalizar y no información que recuperar para aplicar

indiscriminadamente.

La siguiente actuación resalta entre todas ya que el estudiante realizó una elaboración de

procedimientos significativa en contraste con los demás estudiantes de las tres carreras:

inicialmente el estudiante relacionó el área del cuadrado, el área no sombreada y el área

sombreada para afirmar que el área no sombreada era 1

𝑥2. Veamos la Ilustración 91.



133

Ilustración 91. Procedimiento analítico destacado

Se puede apreciar que el estudiante escribió las unidades de la magnitud en la expresión

analítica y que además dio el resultado del límite sin mostrar el procedimiento rutinario que

le corresponde. Nos queda la inquietud de dónde obtuvo la certeza para la igualdad

establecida pues si analizamos la función cuando x→∞, efectivamente el límite es 1.

El estudiante incurrió en un error que analizamos en la primera categoría: expresar la

“mitad” de cada x-paso como 1/x2 y no como 1/2x, aspecto que se presentó en otro

procedimiento anteriormente. En esta solución también se usó la notación del límite, lo que

habla de que el estudiante ha conectado este constructo con situaciones que tratan la

tendencia de una variable cuando el infinito está involucrado pues expresa x→∞ sin

dificultad (aquí salta una dificultad: el estudiante no tiene claridad de que equis la está

usando como una variable real en una situación discreta). De aquí es importante señalar,

evocando a Tall (1992), que el símbolo ∞ representa la idea de infinito potencial pues el

estudiante representó con él el proceso inacabado de la partición del cuadrado.

Los hallazgos de los problemas de la pelota y el cuadrado nos hacen reflexionar sobre las

dificultades para, incluso, reconocer la presencia de una sucesión, aumentado la

complejidad al tratarse de una sucesión con números racionales. Castro, Rico y Romero

(1997) señalan que de por sí el concepto de sucesión de números naturales es un concepto

complejo, en cuya base se encuentran las nociones de conjunto totalmente ordenado con

primer elemento y de proceso infinito: para todo término de la sucesión hay uno siguiente.

Es importante señalar que al revisar cuidadosamente los Estándares en Competencias en

Matemáticas, no encontramos un estándar asociado directamente con el límite de

sucesiones; sin embargo, el MEN (2006, p. 66) señala que al “identificar en qué se parecen

y en qué se diferencian los términos de estas sucesiones o secuencias, se desarrolla la

capacidad para identificar en qué consiste la repetición de un patrón y la capacidad para



134

reproducirlo por medio de un cierto procedimiento, algoritmo o fórmula”, por lo que se

esperaría que los estudiantes estén en capacidad de establecer el término general de la serie,

actividad que realizaron pocos estudiantes que presentaron la prueba diagnóstica.

Los dos problemas, además, tienen algo en común: la convergencia de la sucesión. La

característica más importante que se estudia en una sucesión es su comportamiento en el

infinito, es decir, la tendencia de los términos de la sucesión hacia un valor. Sin embargo,

hemos visto la magnitud de la dificultad en torno a la convergencia de las sucesiones la cual

se distinguió porque los estudiantes no reconocen el carácter de variable del número de

rebotes (problema de la pelota) y de los pasos (problema del cuadrado). Por lo que resultan,

entonces, inquietantes las dificultades observadas para modelar situaciones y problemas

tanto de la actividad practica del hombre como de las ciencias y las matemáticas donde la

variación se encuentra como sustrato de ellos (MEN, 1998).

En general, los estudiantes respondieron los problemas:

a) Dejándose llevar por la intuición o por el contexto del problema.

b) Sumando y / o aproximando valores.

c) Aceptando sin demostración, la convergencia o divergencia de la serie 1/2n.

En general los estudiantes usaron pocos argumentos matemáticos formales para responder

a las preguntas, y un menor número de estudiantes recurrieron a los conceptos de límite,

sucesiones o series. Fue visible la dificultad de los estudiantes para evidenciar coherencia

entre procedimientos y respuesta elegida porque en algunos casos los primeros apuntaban a

la divergencia del proceso pero la respuesta hablaba de convergencia.

Adicionalmente, los estudiantes generalmente necesitaron un cambio de representación, la

mayoría de las veces el dibujo de la situación descrita en el problema. También

observamos que los estudiantes trataron de “aproximar” un resultado en los problemas de

la pelota y el cuadrado, movidos por la concepción de que el comportamiento de la

sucesión jamás podrá ser el límite. Notamos que en el problema del cuadrado,

precisamente la figura geométrica finita causó conflictos frente a un proceso infinito de

partición, por ello la elección de las respuestas con notación decimal.

Como recordaremos, en los resultados de la prueba diagnóstica realizada en el período

2014-1 del curso de precálculo, el estándar “utilizo las técnicas de aproximación en

procesos infinitos numéricos” registró un 37,92% de dificultad en nivel cinco lo cual llama

la atención frente a los hallazgos emergentes en las hojas de procesos de los estudiantes

pues los procedimientos registrados se inclinan más hacia una dificultad generalizada en el

uso de las técnicas de aproximación en procesos infinitivos que una fortaleza.

Para concluir esta subcategoría, traemos a mención a Garbin (2005) quien empleó el

problema del cuadrado en un estudio con jóvenes de 16-17 años para analizar la percepción

de los estudiantes preuniversitarios y universitarios frente al “infinito pequeño” en

preguntas planteadas en distintos lenguajes matemáticos y contextos matemáticos, los

resultados obtenidos en nuestra investigación están en consonancia con los hallazgos de la

autora quien concluyó que

las respuestas de los estudiantes son sensibles al nuevo registro de representación

semiótica que usa el alumno al convertir el enunciado del problema que está escrito

en lenguaje natural. La limitación del problema está sujeto a la limitación del nuevo



135

registro de representación semiótica empleado por el alumno, dibujo del recorrido de

la pelota, cálculo de la distancia recorrida por la pelota, la suma infinita o infinita del

recorrido, influenciado éste por el objeto: la pelota. La finitud o infinitud del proceso

dependerá de cada representación, así mismo si la infinitud es actual o potencial

(ibíd., p. 182).

Resulta muy significativo entonces cómo la representación ha venido resaltando en este

análisis pues parece que es, entonces, trascendental en la resolución del problemas: cada

una de las representaciones ayuda a producir sentido, no produce todos los sentidos, y un

cambio de representación puede activar un sentido diferente, que facilite o dificulte la

resolución de una determinada actividad.

4.4.3 Dificultades analíticas asociadas al análisis de funciones

A lo largo de la historia, los tópicos de sucesiones y series numéricas han sido objeto de

controversia por arrastrar consigo conceptos tan complejos como el de infinito, el límite y

la derivada ya que “ante la incapacidad de poder adelantar el tiempo para observar los

resultados de los acontecimientos, se han desarrollado diversas herramientas basadas en el

estudio del cambio para lograr anticipar el comportamiento de sistemas complejos”

(Cantoral, 2013, p. 45).

El siguiente problema trata con uno de los temas más abordados en la investigación en

educación matemática: el límite; el cual se aborda desde su noción ya que no tiene por

objetivo el uso de la definición métrica de épsilon-delta.

El problema del límite solicitaba elegir una pareja de representaciones (gráfica y algebraica;

ver Ilustración 92) para determinar el límite de 𝑓(𝑥) =|𝑥|

𝑥 cuando x se acerca a cero.

a)

b)

c)

d)

lim𝑥→0

𝑓(𝑥) = 1 lim𝑥→0

𝑓(𝑥) 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 lim𝑥→0

𝑓(𝑥) = 0 lim𝑥→0

𝑓(𝑥) = 0

Ilustración 92. Opciones de respuesta del problema del límite

Las preguntas que el estudiante debería hacerse frente a este problema son: ¿qué tipo de

función es ésta? ¿Para cuáles valores no está definida la función? ¿Cómo afecta el valor

absoluto del numerador a la función? ¿Conozco la gráfica de la función? ¿Cómo elaboro

la gráfica?, entre otras. Para empezar diremos que 30,9% de los estudiantes escribieron

que no sabían el tema, no lo habían tratado en el colegio o simplemente no lo recordaban.

Sin embargo, encontramos esbozos de procedimientos que fueron abandonados, veamos:



136

Ilustración 93. Uso de una tabla de valores

En las Ilustración 93 y 94 los estudiantes usaron una representación numérica dentro de un

procedimiento analítico empleando el cálculo del valor numérico de una expresión

algebraica y, en el caso de la Ilustración 92, construyendo una tabla de valores

Ilustración 94. Tabulación de datos

Tenemos de estos procedimientos que los estudiantes intentaron analizar el

comportamiento de la función tomando valores “cercanos” a x = 0 para estudiar la

tendencia de las imágenes correspondientes para, interpretamos nosotros, obtener una

noción del límite. El análisis numérico de ambas soluciones tiene en común el uso de

números enteros, particularmente en la solución b el estudiante escribió “No” para señalar

la indeterminación para x=0. Lamentablemente no hay registro de la solución a la cual

condujeron estos procedimientos (en el caso de haber existido).

De éstas soluciones se podría decir que se puso en juego la interpretación numérica de

límites laterales para observar el comportamiento de la función, sin embargo, el

acercamiento con números enteros cercanos a x=0 evidencia dificultades en la

comprensión de lo infinitesimalmente cercano que debe ser la aproximación.

Ilustración 95. Graficación de la función comprometida en el límite

En las soluciones de la Ilustración 95 se observa que el valor absoluto en el numerador de

la función llevó a los estudiantes a no considerar los valores negativos del denominador



137

que sí afectan a la función, esto podría deberse a un obstáculo didáctico (relacionado con

los procesos de transposición) pues el valor absoluto suele enseñarse como “el número sin

el signo o la distancia a partir del cero sobre la recta numérica la distancia” (Colín y

Lázaro, 2009). Esto llevó a que los estudiantes obtuvieran una recta paralela al eje x con

corte en (0, 1) definida en todos los reales (Ilustración 95; el 7,9% realizó lo mismo); o en

los reales no negativos (Ilustración 96; el 15,1% hizo la misma gráfica), esto como

resultado de un análisis de lo que ocurre con un conjunto de imágenes de la función.

Ilustración 96. Representación gráfica errónea

Precisamos en el procedimiento anterior algunas confusiones que nos quedan: no es claro si

el estudiante intentó expresar en su primera línea lim𝑥→𝑜

𝑓(𝑥) = 1 o si escribió lim𝑥→𝑜

por un

lado y por otro 𝑓(𝑥) = 1; esta confusión se debe a dos razones:

i. La gráfica corresponde a 𝑓(𝑥) = 1 para un dominio restringido a los reales no

negativos.

ii. La conclusión que realiza daría por sentado que pensaba en 𝑓(𝑥) = 1 por lo que

podría razonar que lim𝑥→𝑜

𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑜

1 =kte.

Este procedimiento nos hace resaltar una de las habilidades de control señaladas para el

proceso ECEP (tratadas en §4.3.2 las cuales tratan de habilidades que los estudiantes deben

esgrimir frente a los procedimientos en la resolución de problemas: Recordar y seguir la

secuencia correcta de los procedimientos para resolver el problema. Nos permitimos intuir

la influencia del trabajo algorítmico alrededor de los límites ya que una de las propiedades

de límites versa: El límite de la función constante f(x)=k es la misma constante, cualquiera

sea el valor al que tiende. Se observa además la ligereza sobre la representación en el plano

cartesiano: ausencia de variables y el manejo de la escala.

El siguiente procedimiento (ver Ilustración 97) se desarrolla sobre un contexto analítico del

valor absoluto (recordemos que §4.1 mencionamos que Wilhelmi, Godino y Lacasta (2007)

señalan cuatro contextos en los cuales aparece la noción de valor absoluto: aritmético,

algebraico, geométrico, analítico); resaltamos del procedimiento que:

El estudiante analizó la función y razonó que “como |x| siempre va a ser positivo el

signo lo determina x”,

luego emplea lenguaje simbólico para indicar el comportamiento de la función por

partes.



138

Ilustración 97. Contexto analítico del valor absoluto

En el siguiente procedimiento de la Ilustración 98, destacable también, el estudiante empleó

el valor absoluto como una función por partes:

Ilustración 98. Valor absoluto contemplado como función por partes

Estos tratamientos del valor absoluto son uno de las tres que están contempladas como

modelo analítico del valor absoluto. Los autores Wilhelmi, Godino y Lacasta (2007) nos

ofrecen una visión completa de los modelos y significados asociados a este objeto

matemático; veamos la Ilustración 99 siguiente.

Ilustración 99. Estructura de los modelos y significados del valor absoluto Fuente: Original del Wilhelmi, Godino y Lacasta (2007, p. 5).

Los autores señalan que cada definición representa un objeto que emerge de un sistema de

prácticas en un contexto dado de uso, por lo que ninguna definición puede ser privilegiada a

priori.



139

Continuando con el problema, la variable de la función es una variable real, sin embargo el

manejo discreto de conjuntos densos y la tendencia a generalizar el comportamiento de la

variable con pocos datos predominó en las soluciones; las conclusiones presentadas en

lenguaje no simbólico también tuvieron lugar, como se aprecia en la Ilustración 100.

Ilustración 100. Justificación verbal a un problema de límites

En la anterior ilustración se observan dificultades en dos habilidades de control

importantes: ejecutar procedimientos fiable y eficientemente, y verificar los pasos de un

procedimiento ya que el estudiante no notó que el segundo cociente estaba errado ni

analizó que la generalización 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2 ) … = 𝑓(𝑥𝑛) = 1 era apresurada para el pobre

análisis cuantitativo realizado con números enteros positivos. El 20,3% de los estudiantes

usó 𝑍+ para observar la variación de f(x) a medida que x cambiaba; uno, dos y cuatro

números enteros máximo fueron condición necesaria y suficiente para los estudiantes darse

una idea de la gráfica de la función; esto se ve en el procedimiento de la Ilustración 101.

Ilustración 101. Elaboración de procedimientos analíticos sin conocer de límites

Un aspecto a resaltar de ese procedimiento es que pese a que el estudiante escribió que no

sabía límites, elaboró un procedimiento analítico cuya conclusión usó la notación de límite,

“Ya que se dividen por el mismo

numero el límite siempre va

a ser uno por ello es una

grafica lineal y siempre seguirá

asi con valores positivos”.

“No vi limites en el

colegio

No se responder a la

pregunta.

Sin embargo según el

problema dice que

cuando el limite se

acerca a cero se

puede evidenciar en la

gráfica”.



140

lo cual nos resulta contradictorio; sin embargo, también podríamos dar una explicación a

ello: el estudiante usó las opciones de respuesta.

Al momento de realizar el análisis del problema del límite esperábamos que los estudiantes

no tuvieran mucha dificultad para analizar el límite de una función usando la gráfica

correspondiente para luego analizar lo que sucede con el comportamiento de la función en

las vecindades de x = 0; el 23% de los estudiantes realizaron sin éxito una gráfica para

analizar el límite de la función.

Ilustración 102. Graficando la función del límite

Observando la Ilustración 102, nos llama la atención de éste y el anterior procedimiento

que los estudiantes graficaron la función constante 𝑓(𝑥) = 1 considerando con ello que el

haber analizado la función con dos o tres valores de x era suficiente para obtener la gráfica

de 𝑓(𝑥) =|𝑥|

𝑥 pasando por alto, por ejemplo, que la función no está definida para 𝑥 = 0. En

contraste, el siguiente procedimiento evidencia que los estudiantes no tienen presente los

conceptos matemáticos a la hora de elaborar procedimientos pues hacen cálculos

arbitrariamente, como se aprecia en la Ilustración 103 donde el estudiante sustituyó en la

función el valor al cual tiende 𝑥 para obtener el valor del límite de la función; veamos:

Ilustración 103. Sustituir para hallar el límite



141

En la solución de la Ilustración 104 el estudiante sustituyó empleando números decimales

positivos para:

i. Realizar la gráfica considerando que los dos valores positivos de 𝑥 eran

suficientes para trazar la recta 𝑦 = 1 sin tener conocimiento del comportamiento

de la función para algún valor de 𝑥 < 0.

ii. Analizar el límite lateral por la derecha teniendo en cuenta que primero evalúa la

función en x = 0,5 y después en x = 0,3 y después relacionar los resultados con la

representación gráfica que valida su inicial conjetura.

Ilustración 104. Análisis de límite lateral por la derecha

No obstante, salta a la vista que el estudiante no tiene clara la condición para que un límite

exista en un punto dado. Las evidencias anteriores nos permiten señalar que los

procedimientos que emergen de la solución de problemas son, de una manera u otra, reflejo

de la formación matemática recibida. Hitt, por ejemplo, señala que

algunas dificultades que los estudiantes tienen en el aprendizaje del concepto de

límite, son debidas por la manera como el profesor introduce el tema pues no se

introduce en ningún momento un proceso al infinito sino que todo se reduce a una

sustitución lo cual influye a lo largo de los estudios de los estudiantes y son pocos los

que logran sobrepasar el obstáculo (2003, p. 11).

De modo que las dificultades halladas en este aspecto podrían deberse a un obstáculo

didáctico que viene desde el colegio, y que ahora debe ser resuelto en la universidad o por

el propio el estudiante pues este obstruye su desempeño en la resolución de problemas de

fenómenos variaciones, por lo que afectará negativamente las competencias necesarias

para la construcción de conceptos como el límite.

Emplear lo que se sabe para diseñar nuevos procedimientos que se ajusten a nuevos

problemas se considera importante para resolver problemas; sin embargo, esto reincide



142

como dificultad porque siendo la función de valor absoluto y las funciones racionales

conocidas por los estudiantes, el conocimiento sobre ellas es usado de manera aislada para

dar respuesta al problema, es decir pasaron por alto que la función es una función racional

que contiene el valor absoluto por lo que esto no implica que la gráfica sea de la función de

valor absoluto, como sucedió con el 16,8% de los estudiantes que así lo consideraron;

observemos las representaciones de la Ilustración 105.

a b

Ilustración 105. Representaciones gráficas erróneas

La gráfica fue empleada como representación acertada para resolver el problema por pocos

estudiantes (el 8,8%), como se puede apreciar en la Ilustración 106.

a

b

Ilustración 106. Soluciones al límite desde lo gráfico

Precisando en los óvalos, tenemos que en la solución a hubo un error en la escritura del

límite; sin embargo el estudiante evidenció que está en capacidad de aproximarse al límite

de una función al analizar en la representación gráfica el comportamiento de la función en

un punto dado. En la solución b el estudiante se confundió al escribir qué era lo que no

existía cuando x→0.

Recordando la Fase 2 de la investigación, mencionaremos que este problema tiene

asociado el indicador “Utiliza aproximaciones numéricas o gráficas para deducir

intuitivamente el límite de una función”, en esa etapa de la investigación se obtuvo que el

40,98% de los 409 estudiantes que presentaron la prueba presentaron dificultad de nivel

cinco en la solución del problema, es decir, lo solucionaron mal. De modo tal, que las hojas



143

de procesos nos han permitido entender que tales resultados se deben a que los estudiantes

tienen dificultad para reconocer las funciones en sí mismas, que no tienen claridad de que

sus diferentes representaciones sirven como recurso para aproximarse a nociones

importantes del cálculo diferencial como lo es el límite.

Volviendo al problema, en nuestro análisis de los problemas la definición delta-épsilon no

la consideramos para éste por no ser pertinente para este problema. No obstante, como se

aprecia en la Ilustración 107 un estudiante recurrió a ella empleándola vagamente.

Ilustración 107. Vestigios de la definición épsilon-delta de límite

Se podría inferir, de la Ilustración 107, el esfuerzo que el estudiante más que elaborar un

procedimiento intentaba ejecutar uno ya conocido tratando de recuperar de la memoria

cómo emplear la técnica aprendida. El procedimiento de la Ilustración 108 que no fue

contemplada en el análisis del problema, al revisarlo notamos que el estudiante analizó la

función como una función racional determinando la indeterminación presente (ver óvalo).

Ilustración 108. Una solución satisfactoria



144

En esta solución se aprecia que el estudiante ordenó sus razonamientos para ejecutar los

procedimientos: analizó la función y encontró la indeterminación, clasificó la función y la

llamó “función por secciones”, recuperó la definición de valor absoluto y con ello revisó

los límites laterales algebraicamente, y concluyó en términos de la continuidad de la

función en x = 0 que el límite no existe.

En relación al análisis de los procedimientos y las soluciones emergentes en la resolución

de problemas de los 113 estudiantes de las carreras de Matemáticas, Licenciatura en

Matemáticas e Ingeniería en Sistemas alrededor del problema de la pelota, el cuadrado y el

límite, se observa el impacto de las representaciones en los problemas: una representación

gráfica, se conecta con las potencialidades conceptualizadoras de la visualización y se

relaciona con la geometría; la representación en forma de tabla, pone de manifiesto los

aspectos numéricos y cuantitativos; las expresiones simbólicas, se relacionan con el

pensamiento variacional (Godino y Font, 2003, p. 777), por lo que se esperaría que los

estudiantes, como resultado de una formación en funciones desde noveno grado, no

presenten dificultades para establecer conexiones entre sus representaciones ni menos

ponerlas en marcha en la resolución de problemas.

El análisis además nos ha permitido acercarnos a las imágenes mentales que los

estudiantes evocan y que resultan conflictivas en la solución del problema ya que son

imágenes vagas de conceptos o procedimientos que en algún momento quedaron de rezago

de una etapa de enseñanza que, quizás, favoreció la construcción de obstáculos didácticos;

cuestión que se validada con el 26,5% de las respuestas halladas en las hojas de procesos

en el problema del límite que acabamos de revisar, fueron en las cuales los estudiantes

expresaron: “no reconozco la gráfica”, “no recuerdo el tema”; “no sé”, “lastimosamente

no vi límites en el colegio”.

El porcentaje de estudiantes que manifestó no recordar o no saber cómo solucionar el

problema de velocidad instantánea es cercano al 21,2%. Veamos los hallazgos sobre este

problema; recordémoslo con la Ilustración 109.

Ilustración 109. El problema del carrito de juguete

La velocidad es un concepto que emerge de la física, en especial la velocidad media (v) de

una partícula se define como la razón del desplazamiento (𝛥𝑥) y el intervalo de tiempo

(𝛥𝑡) ; y la velocidad instantánea es el límite de tal razón cuando 𝛥𝑡 → 0 . Cuatro



145

estudiantes (3,5%) emplearon la derivada de la función posición evaluada en 𝑡 = 2 para

dar solución del problema, veamos en la Ilustración 110 dos de ellas:

a

b

Ilustración 110. Uso de la derivada para calcular la velocidad instantánea

Una diferencia que salta a la vista entre las dos soluciones es la economía del simbolismo

empleado en la solución b; en la solución a el estudiante tuvo dos descuidos en la escritura

señalados con el óvalo rojo: al evaluar la función escribió 𝑓’(𝑡) en lugar de 𝑓(2), y

𝑓’(2) = 2 en lugar de 𝑓’(2) = 20; no obstante eso no obstaculizó el procedimiento pues

concluyó con palabras que la velocidad instantánea es 20 𝑚/𝑠. La Ilustración 111 muestra

otro procedimiento considerado por el 26,5% de los estudiantes en este problema fue

evaluar la función posición en 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔.

Ilustración 111. Evaluando la función para hallar la velocidad instantánea

Otros estudiantes además de evaluar la función posición en t = 2 también dividieron entre

2 el resultado, como se puede apreciar en la Ilustración 112 que sigue.



146

a b

Ilustración 112. Influencia de contextos de física en los procedimientos

Una explicación a esto la ofrece la misma solución b de la Ilustración 112: el

procedimiento elaborado es orientado por las imágenes mentales que trae la palabra

“velocidad” por lo que relacionaron el procedimiento con la fórmula v = s / t (hallaron la

posición y luego dividieron entre el tiempo); 11 m/s fue la respuesta registrada en el

44,2% de las hojas de procesos. De esto se infiere, como lo señalaron Valdivé y Garbin

(2013), que la estructura cognitiva asociada a los conceptos está permeada por las ideas

que el sujeto tiene asociadas al concepto.

Continuando con esa idea, para otro estudiante la “velocidad instantánea” estaba asociada

con la velocidad “en exactamente el tiempo que se pide”, es decir la velocidad instantánea

se refiere a la velocidad que lleva el coche en “exactamente 2 seg”; en la Ilustración 113 se

observa que para ello el estudiante determinó el cambio de una variable respecto de otra en

un instante; es decir calculó la velocidad media Δ𝑠

Δ𝑡 y con ello llegó a la respuesta correcta.

Ilustración 113. “Velocidad instantánea” asociada con la “velocidad en un instante”



147

Al calcular Δ𝑠

Δ𝑡 y después decir que “pues creo que al referirse a la velocidad instantanea

es el valor de velocidad que lleva en exactamente 2 sg” se evidencia un conflicto en los

esquemas del estudiante pues según lo último que dijo no era necesario calcular Δ𝑠

Δ𝑡 sino

que hubiese dicho que era 22 m/seg tomando ese dato de la tabla de valores dada en el

problema, como sí lo consideró el 13,5% de los estudiantes de las tres carreras, veamos

dos ejemplos en los procedimientos de la Ilustración 114 que sigue.

a

b

Ilustración 114. Usos de la tabla de valores para obtener información

Estos últimos procedimientos nos permiten señalar una fortaleza de los estudiantes a

diferencia del 68,7% que evaluó la función en t=2: usar la tabla de valores proporcionada

en el problema para obtener la posible posición del carrito en ese tiempo lo cual significa

que este porcentaje de estudiantes relacionan las representaciones de la función, pese a que

el procedimiento no es correcto. Quienes no emplearon la tabla para identificar la

correspondencia entre 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔 y 𝑓(2) evidencian dificultades para identificar y analizar

la información que encierra la representación numérica en lo relativo a la aproximación

covariacional, siendo este un acercamiento variacional mínimo que se espera traigan los

estudiantes de su formación del colegio.

La tabla de datos es una representación de una función, la claridad sobre esto fue una

dificultad para los estudiantes al igual que considerar la gráfica de la función como

procedimiento para solucionar el problema. El problema de la partícula, se podía resolver a

través de la gráfica, como fue previsto en una de las soluciones del análisis del problema

(Ilustración 115).



148

Supóngase que una partícula se desplaza de acuerdo a la función posición

𝑠(𝑡) = |1

2𝑡 − 1|, donde 𝑠 está dada en metros y 𝑡 en segundos. ¿Para qué

valores de 𝑡, cuando 0 < t < 5, 𝑠’(𝑡) no existe?

Solución 2

En 𝑡 = 2 hay un pico, entonces la

función no es derivable en ese punto.

Ilustración 115. Problema de la partícula con una solución

Sin embargo, en las hojas de procesos encontramos que el 15,9% de los estudiantes no

resolvieron el problema dejando la hoja en blanco, el 30,9% manifestaron no recordar el

tema, el 39,8% evaluó la función en algunos puntos (por lo general, los extremos del

intervalo y otro entero) y el 13,2% razonó sobre los extremos del intervalo para dar una

respuesta.

Este problema está asociado al indicador “desarrolla métodos para hallar las derivadas

de algunas funciones básicas en contextos matemáticos y no matemáticos” pero, como se

infiere de los porcentajes anteriores, nuestros estudiantes tienen dificultades para resolver

problemas en los cuales la derivada esté involucrada; salvo el caso de la Ilustración 116

donde se puede apreciar que el estudiante evaluó la función en 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔 y al obtener

𝑠(2) = 0, el estudiante concluyó que la derivada no existe en 𝑡 = 2 porque la función

tiene un pico en ese punto.

Ilustración 116. Solución correcta del problema de la derivada

Este procedimiento nos causa inquietud pues no hay evidencia de cómo el estudiante llega

a esa conclusión; pensaríamos que quizás empleó su conocimiento sobre el tema y al hallar

𝑠(2) usó una imagen mental de la gráfica y la coordenada (2, 0) para visualizar el pico que

allí se presenta. Aplicar el criterio si en la gráfica de una función existe un pico o punto

anguloso, entonces en ese punto no existe la derivada surgió en el 3,5% de los estudiantes,



149

sin embargo ellos no supieron cómo aplicar ese conocimiento como bien lo explícita la

Ilustración 117.

Ilustración 117. Infinitas tangentes

Este procedimiento llama la atención por la situación subyacente: una formación

matemática que ha priorizado proporcionarle a los estudiantes recetas para emplear en

lugar de facilitar la construcción del conocimiento, esto se infiere porque el estudiante

conoce el criterio del pico pero no cuenta con las habilidades para elaborar un

procedimiento que le permita llegar a la solución del problema.

Al revisar todas las hojas de procesos encontramos que un único estudiante tabuló para

graficar (ver Ilustración 118); sin embargo, la gráfica es incorrecta por errores en los

procedimientos aritméticos que corresponden al valor absoluto, los cuales fueron tratados

en la primera categoría.

Ilustración 118. Tabular para graficar una función

Hallamos que el 17,6% de los estudiantes evaluó la función con uno y hasta seis números

enteros positivos sin dejar escrita alguna conclusión ni haber graficado; tres estudiantes

emplearon algunos números decimales (ver Ilustración 119).



150

Ilustración 119. Evaluando la función

Dos estudiantes realizaron la gráfica tomando como referencia sus conocimientos sobre la

función, no obstante la función graficada corresponde a 𝑓(𝑥) = |𝑥| restringida (ver

Ilustración 120). Esto nos permite afirmar, desde lo que hemos venido observando, que las

imágenes mentales que los estudiantes traen de algunos conceptos nos son aprovechadas

para elaborar nuevos procedimientos sino, la tendencia que hemos observado es,

ejecutarlas sin comparar con la exigencia nueva que trae el concepto y el problema.

Ilustración 120. Conclusiones erradas con imágenes mentales antiguas

Otro procedimiento que vale la pena revisar corresponde al de un estudiante que evaluó la

función en 𝑡 = 2 y al obtener que 𝑓(2) = 0 concluyendo que la derivada no existía en ese

punto (ver Ilustración 121). Ciertamente, esta es la respuesta correcta al problema pero

percibimos que la interpretación de este estudiante fue dada pensando en que ésta no

existía porque en ese tiempo t no existía posición para la partícula, mas no porque supiera

que allí había un pico (por ejemplo) y que esta es una razón gráfica para afirmar que la

derivada no existe.



151

Ilustración 121. Asociación de ideas incorrectas

Por otra parte, el dominio de los números reales y sus propiedades supondría que pensar un

intervalo como subconjunto IR, y comprender que en los extremos de éste la función

podría no estar definida no tendría dificultades ni conflictos. Esta idea de que “los

extremos del intervalo no se toman” incidió en que los estudiantes relacionaran conceptos

que no tienen relación entre sí: relaciones de orden de los números con “la no existencia de

la derivada”. Observemos los tres procedimientos de la Ilustración 122.

a

b

c

Ilustración 122. Interpretación errónea de los extremos de un intervalo



152

Interpretamos que estos procedimientos se deben a la influencia de las opciones de

respuesta y a la notación presentada en el problema para expresar el subconjunto del

dominio de la función en el cual se debía analizar la derivada, lo cual evocó un análisis

erróneo que llevó a los estudiantes a concluir que la derivada no está definida en t=0 y t=5.

El 7,07% de los estudiantes halló la misma solución pero la expresaron en palabras, como

se ejemplificó en el procedimiento c de la ilustración anterior. También podríamos inferir

que este grupo de estudiantes no reconoce la notación de la derivada de la función posición

empleada en el enunciado del problema (s’(t)) lo cual los llevó a validar que los extremos

del intervalo eran la respuesta al problema (en ellos no existe la función o en los puntos

donde s(t)=0, es decir en t=2).

Con los datos analizados, tenemos entonces que nuestros estudiantes tienen dificultades

para usar su conocimiento sobre la derivada en la resolución de problemas y, por ende,

para desarrollar métodos para hallar las derivadas de algunas funciones básicas en

contextos matemáticos y no matemáticos pues, como Cantoral (2013) lo señala:

Se enseña el cálculo como un aparato algorítmico, la derivada por ejemplo, se

presenta como la “regla de los cuatro pasos” y se apoya en el empleo de fórmulas

para derivar, inhibiendo de este modo el desarrollo de ideas propiamente

variacionales. Es decir, a pesar de que la derivada surge como una herramienta para

el estudio del cambio, y con ello sirve para predecir comportamientos futuros, no

obstante, el discurso escolar reduce su tratamiento a la enseñanza de técnicas de

derivación y métodos de integración. (p. 22)

Cuando hay una expresión algebraica (sea o no función) la predilección (como se ha

observado) de los estudiantes es reemplazar valores en ella y no saber qué hacer con ese

procedimiento (o forzar la respuesta para que se ajuste al problema). Esto se observó en

los problemas de la función cúbica y de la empresa de lácteos. Recordemos el problema de

la función cúbica con la Ilustración 123.

A continuación se encuentra la gráfica de la función

𝑓(𝑥) = −𝑥3 − 5𝑥2 + 18𝑥 + 72, indica en qué

intervalos se tiene que 𝑓′(𝑥) < 0 y 𝑓(𝑥) > 0.

Ilustración 123. Problema de la función cúbica

Este problema requería de la habilidad analítica de relacionar la derivada de la función con

el crecimiento o decrecimiento de la misma, además de reconocer que la función no es

monótona pues en algunos intervalos crece y en otros decrece. En nuestro análisis de

problema consideramos que los estudiantes podrían emplear la recta tangente para analizar

el comportamiento de la función, no obstante, el 61,9% manifestó no saber del tema (e



153

incluso dejaron en blanco el espacio de trabajo). El 15,9% reemplazó valores en la función

o dejaron implícita la intención de realizar este procedimiento (Ilustración 124).

Ilustración 124. Intención de reemplazar

Del procedimiento de la Ilustración 125 no podemos decir si el estudiante reconoce o no la

notación para la derivada de la función ya que transcribió parte del enunciado y luego

reescribió incorrectamente los intervalos (podríamos interpretar esto como una respuesta a

la necesidad de elaborar un procedimiento).

Ilustración 125. Dificultades para resolver problemas con derivadas

De los procedimientos anteriores emerge que los estudiantes:

No comprenden que la derivada de las funciones se relaciona con el crecimiento o

decrecimiento de la función.

No reconocen la derivada de una función a partir de la gráfica (la pendiente de la

recta tangente asociada a cada punto de la gráfica); por ende,



154

No identifican dónde las rectas tangentes a la curva tienen pendientes negativas,

(como sí lo consideramos nosotros en el análisis del problema).

Las dificultades anteriores resultan significativas frente a las expectativas que señala el

MEN (2006) en los estándares respecto a la derivada: Interpreto la noción de derivada

como razón de cambio y como valor de la pendiente de la tangente a una curva y

desarrollo métodos para hallar las derivadas de algunas funciones básicas en contextos

matemáticos. No obstante, las dificultades halladas en los datos de las hojas de procesos

están en concordancia con los resultados de la Fase 2 de este trabajo: los resultados de la

prueba diagnóstica inicial de 2014-1 fueron que el 35,20% de ellos tenían dificultad de

nivel cinco en el indicador “interpreta la derivada en un punto como la pendiente de la

recta tangente a la curva”, el cual está asociado a este problema.

Ante esta situación nada insignificante, Artigue (1995) señala que aunque se puede enseñar

a los alumnos a realizar de forma más o menos mecánica algunos cálculos de derivadas, se

encuentran grandes dificultades para que los estudiantes logren alcanzar una comprensión

satisfactoria de los conceptos y métodos de pensamiento de esta rama de las matemáticas.

Godino, Pino-Fan y Font (2010, p. 208) señalan un aspecto importante a dicha

problemática: “si bien es cierto que los múltiples problemas a los que se enfrentan los

alumnos se deben, en cierto modo, a la naturaleza compleja de la noción de derivada, esta

problemática, en gran parte, se debe a cómo el profesor enseña los conocimientos sobre

dicho concepto a los alumnos”.

En concordancia con lo anterior, los autores realizan una afirmación que nos pone de frente

a otra realidad que va ligada a la problemáticas de las dificultades de los estudiantes en la

resolución de problemas de fenómenos variaciones: “El desarrollo del pensamiento y de las

competencias matemáticas de los alumnos de una institución, depende de manera esencial

de la formación de sus respectivos profesores”10 (ibíd.).

Esto coincide con la posición de Hitt (2003, p. 9) quien manifiesta qu, para el caso del

límite de una función, las prácticas de enseñanza centradas en la sustitución se constituyen

en un obstáculo didáctico que traerán “encima todas las dificultades del mundo” para el

estudiante: “unas que son naturales por la complejidad de la noción de límite, que

involucra el uso coherente de los procesos infinitos, y la otra por las ideas erróneas que

recibe por parte del profesor”.

Volvamos a los procedimientos de los estudiantes; queremos ejemplificar con el problema

de las empresas lácteas (ver Ilustración 126) cómo se articulan las dificultades que hemos

señalado alrededor de variable, y la dificultad de los estudiantes para reconocer que las

distintas representaciones de la función hablan en sí mismas del cambio y la variación de

las magnitudes involucradas en el fenómeno de variación.

10 De los 113 estudiantes que hacen de muestra de esta investigación el 93,8% egresaron de colegios oficiales

que están distribuidos en instituciones educativas de Santander –ciudad de ubicación de la UIS– y Santiago

de Cali; a Santander están adscritas 56 instituciones educativas de 19 municipios diferentes; del municipio de

Bucaramanga (donde está la sede principal de la UIS) ingresó a la universidad el 64,6% de nuestros

estudiantes, siendo estos egresados de 32 instituciones diferentes.



155

En una empresa láctea se registran los datos de dos tanques que almacenan leche.

La siguiente gráfica representa la relación entre volumen y el tiempo de dos

tanques A y B, respectivamente. Se tiene que estos tanques descargan la leche por

un orificio en la parte inferior de cada uno de ellos. ¿Cuáles son las expresiones

algebraicas que modelan el desagüe para los tanques de leche A y B,

respectivamente?

Ilustración 126. Problema de la empresa láctea

Para resolver este problema se requería analizar la tabla adjunta en el problema y que da

cuenta la variación de las variables; si tomamos en cuenta las opciones de respuesta del

problema, también exigiría analizar las ecuaciones de las funciones presentadas y transitar

de una representación a otra para establecer las expresiones algebraicas que modelan el

desagüe para los tanques de leche. No obstante los resultados fueron que:

El 59,2% de los estudiantes escribieron en sus hojas de procesos no conocer el tema

o no saber qué hacer o, dejaron su hoja en blanco.

El 17,6% sustituyó algunos valores en la función (un ejemplo de ello es la

Ilustración 127b);y,

Otros realizaron procedimientos que no aportan a la solución del problema, como

podemos apreciar en la Ilustración 127a que sigue.

a

b

Ilustración 127. Sustituir como procedimiento para modelar

Sorprende la solución a de la ilustración anterior: la imagen mental “pasar a un lado del

igual las equis, y dejar en el otro los números” emergió como respuesta en una tarea



156

matemática de modelación. También llaman la atención los errores señalados con los

óvalos:

𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) sencillamente desaparecieron.

Las funciones son tratadas como una ecuación.

La variable equis es tratada como un número.

Los procedimientos errados al simplificar.

La solución b ratifica la dificultad de reconocer el uso de la sustitución de valores de la

variable independiente en la ecuación de una función: analizar cuantitativamente la

covariación de las variables; en otras palabras, reconocer la variación conjunta de las

variables involucradas en la relación funcional.

El 1,76% de los estudiantes realizaron procedimientos puntuales y acertados al

problema. En la solución Ilustración 128a se observa que el estudiante estableció

relaciones entre las gráficas dadas y las características de las funciones polinómicas

correspondientes; la solución b de la Ilustración 128 responde a la solución

contemplada para el problema en nuestro análisis (ver Tabla 14 de §3.4.1): el

estudiante analizó cada opción de respuesta usando como control los puntos de

corte con el eje y de cada gráfica, lo cual le permitió asociar cada gráfica con la

ecuación correspondiente de la función (en el registro lingüístico el estudiante se

equivocó al escribir “lineal” en lugar de “cuadrática”).

a

b

Ilustración 128. Análisis para obtener el modelo de los tanques

Al contrastar los pares de soluciones de la Ilustración 127 y 128 salta la diferencia de la

enseñanza orientada por procesos y aquella centrada en procedimientos aislados y

descontextualizados lo cual incide directamente en la competencia matemática de los

estudiantes. Morales y Díaz (2003) señalan que “históricamente se ha observado la

enseñanza actual no produce los resultados deseados pues no forma en el estudiante



157

nociones y operaciones nuevas”; afirman que incluso se origina un conjunto de ideas

confusas que difícilmente el estudiante asimila y retiene, lo cual provoca una serie de

dificultades para la correcta comprensión de las nociones y conceptos matemáticos.

Desde el inicio de este análisis hemos encontrado que la mayoría de los estudiantes tienden

a “aritmetizar” y “algebrizar” los problemas para dar una solución sin revisar, incluso, qué

tan pertinente resulta la respuesta al fenómeno variacional que enmarca al problema (frente

a esta reflexión emergente del análisis, es importante sentar la siguiente advertencia:

Empleamos el término “aritmetizar” para referirnos a que los estudiantes emplean los

números y su operatividad en los problemas sin reflexionar en si tienen o no cabida. Esta

apreciación se aleja significativamente del término “aritmetización” que se refiere al

proceso de fundamental del cálculo como fue la construcción o la validación de los

números reales buscando con ello independizarlo del apoyo geométrico).

Los problemas pusieron a prueba los contenidos y los procesos matemáticos que los

estudiantes tienen para aplicar en la resolución de problemas de fenómenos variacionales

con una exigencia de diferente nivel al que, quizás, enfrentaron en sus colegios. De manera

tal que las dificultades establecidas en este trabajo surgieron de un proceso que pone en

evidencia las herramientas conceptuales y cognitivas que los estudiantes tienen desde una

plataforma en la cual priman sus elecciones y decisiones sobre los procedimientos a

ejecutar.

CONCLUSIONES

“Las oportunidades para

reflexionar sobre la práctica educativa y

perfeccionarla son fundamentales”,

NCTM (2003, p. 19).

El NCTM (2003) dice que las decisiones tomadas por los diferentes actores (directos e

indirectos) de la educación en relación con el contenido y el carácter de las matemáticas

escolares tienen consecuencias importantes tanto para los estudiantes como para la

sociedad. Los Principios y Estándares del NCTM, los Lineamientos Curriculares de

Matemáticas y los Estándares Básicos en Competencias en Matemáticas del MEN

constituyen una visión para orientar a los profesores de matemáticas en su esfuerzo por

formar a los estudiantes no solo en conocimientos sino en procesos matemáticos que les

enseñe a aprender a aprender y a resolver problemas a lo largo de la vida. Sin embargo, este

trabajo nos ha mostrado que no se comprenden lo que los lineamientos curriculares

pretenden orientar pues pese a los esfuerzos y estrategias que se desarrollan desde el MEN

y el NCTM para alentar la enseñanza y el aprendizaje que supere los procedimientos

algorítmicos, estas exigencias aún no se han adaptado del todo en los colegios ya que los

estudiantes que recién ingresan a la universidad evidencian dificultades en el pensamiento

variacional desde el dominio conceptual y procedimental de los números reales aun cuando

su construcción se realiza desde temprana edad escolar. Por lo anterior, hace falta fortalecer

la formación de profesores de la educación básica y media.

Recordemos que para dar respuesta al objetivo de caracterizar algunas de las dificultades

que enfrentan los estudiantes cuando resuelven problemas que implican fenómenos de

variación, específicamente desde el proceso matemático de elaboración, comparación y

ejercitación de procedimientos (proceso ECEP), consideramos analizar la resolución de 10

problemas de la prueba diagnóstica inicial del curso de precálculo de la UIS, curso en el

cual participan estudiantes de nuevo ingreso a la universidad.

Las conclusiones de esta investigación las presentaremos en tres secciones que formulamos

desde la categorización planteada para el análisis de los datos. Paralelamente procederemos

a dar cuenta de algunas cuestiones que quedaron abiertas en la investigación las cuales

ofrecen, por otro lado, posibles líneas de profundización.

La caracterización de las dificultades a las cuales se enfrentaron los estudiantes la

relacionaremos explicitando los descriptores que surgieron paulatinamente a través del

análisis de los datos en cada categoría pues, como definimos en §2.3.2, estos son

expresiones verbales escritas, relacionadas con la habilidad de tipo aritmético, geométrico,

métrico o analítico y que tiene como fin contribuir a describir las actuaciones de los

estudiantes en las diferentes tareas variacionales que exigían los problemas.

Pero antes de dar cuenta de las sesiones, recapitulemos, de acuerdo a lo desarrollado en el

marco teórico respecto al proceso ECEP, que:



159

Los procedimientos son las actuaciones, destrezas, estrategias, métodos, técnicas,

usos y aplicaciones diversas que un estudiante realiza para resolver problemas de

manera cada vez más hábil e independiente;

Dichos procedimientos pueden ser de tipo aritmético, geométrico, métrico y

analítico.

Este proceso, desde la resolución de problemas que implican fenómenos de

variación, implica la capacidad del estudiante para transformar procedimientos

fijando su atención en las ideas centrales del cálculo diferencial (cambio y

variación) y estableciendo relaciones entre sus ejes temáticos para efectuar nuevos

procedimientos específicos que respondan al fenómeno variacional que subyacen en

el problema.

1. Dificultades emergentes a los procedimientos de tipo aritmético

Los problemas de la prueba diagnóstica nos permitieron observar diferentes dificultades

asociadas al estándar del pensamiento numérico “establezco relaciones y diferencias entre

diferentes notaciones de números reales para decidir sobre su uso en una situación dada”

(MEN, 2006), lo cual nos resulta muy preocupante dado que los Números Reales

constituyen la base del Cálculo Diferencial. Al revisar cuidadosamente la elaboración y la

ejecución de este tipo procedimientos en las hojas de procesos, encontramos que los

estudiantes tienen dificultades específicamente para:

Establecer relaciones y diferencias entre diferentes notaciones de números reales

para decidir sobre su uso en una situación dada (habilidad a priori).

Realizar cálculos mentales poniendo en juego relaciones y propiedades numéricas.

Utilizar las propiedades asociativa, conmutativa de la suma y propiedad distributiva

de la multiplicación para simplificar los cálculos con números racionales tanto en su

expresión fraccionaria y decimal.

Reconocer y usar el valor absoluto como operador.

Emplear diferentes representaciones para escribir los números y reconocer el efecto

de una representación u otra en la resolución de un problema.

Identificar y analizar la información que encierra la representación numérica en lo

relativo a la aproximación covariacional.

Emplear correctamente las razones y las identidades trigonométricas en contextos

matemáticos o no matemáticos.

Durante el análisis observamos una fuerte incidencia de concepciones concernientes a los

números naturales en los procedimientos con los números racionales, entre ellos

destacaron:

El cero a la izquierda no tiene valor.

El todo es mayor que las partes.

Dados dos números, el que tenga más cifras es el mayor.

Al multiplicar dos números se obtiene siempre uno más grande.

Al dividir reiteradamente un número decimal entre un entero es suficiente agregar

un cero decimal cada vez pues así el resultado es más pequeño.



160

De otra parte, observamos que las dificultades en la resolución de problemas se producen,

inicialmente, porque los estudiantes no comprenden la situación problemática lo cual se

reflejaba en no crear una representación adecuada de la situación denotada por el

enunciado, o porque no cuentan con el conocimiento conceptual específico necesario para

cada problema, aunque estos aspectos están íntimamente relacionados ya que el

conocimiento conceptual en muchos casos es necesario para acceder a dicha representación

la cual, como expusimos a través del análisis, es imprescindible para comunicar ideas

matemáticas e interviene de manera importante en los procesos de construcción de nuevos

conceptos y desarrollo de procedimientos matemáticos. Consideramos que esta observación

vale la pena estudiarse y documentarse en futuras investigaciones de la educación

matemática.

2. Dificultades emergentes a los procedimientos de tipo geométrico y métrico

Los hallazgos en estas categorías fueron escasos ya que los problemas, como expusimos,

no ameritaron procedimientos de este tipo. De la ejecución del proceso ECEP asociados a

los procedimientos geométricos fue importante observar que pocos estudiantes emplearon

representaciones geométricas en los problemas como recurso para la elaboración de

procedimientos nuevos que llevaran a la solución, lo cual llama la atención teniendo en

cuenta que el MEN (2006) espera a que, al terminar su formación matemática, el estudiante use representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y

en otras disciplinas. Respecto a los procedimientos métricos, se observaron debilidades

para:

Identificar relaciones entre distintas unidades utilizadas para medir cantidades de la

misma magnitud.

Emplear las operaciones entre magnitudes, sus propiedades y las relaciones entre

ellas para representar y analizar procesos infinitos.

Desarrollar referentes de medida para hacer comparaciones y estimaciones.

Particularmente notamos que los estudiantes, en la resolución de problemas, brindaban

respuestas que prescinden de las unidades de medida en problemas que involucran

magnitudes. Durante la revisión de las hojas de procesos fue claro que los estudiantes

intentaron crear y utilizar representaciones geométricas, sin embargo la dificultad para la

construcción de nuevos procedimientos merece atención ya que, como lo hemos venido

mencionando, el aprendizaje del Cálculo Diferencial exige la conexión entre las diferentes

representaciones de los objetos matemáticos para favorecer no solo la resolución de

problemas, sino la construcción de conceptos.

3. Dificultades emergentes a los procedimientos de tipo analítico

Al subcategorizar las evidencias con los ejes temáticos surgió un resultado importante de

esta categoría: la emergencia de el cambio, la tendencia y la aproximación como elementos

articuladores de los fenómenos de variación y, por ende, de los ejes temáticos. El eje de

patrones y regularidades está fuertemente articulado por el cambio en tanto que este eje

pretende estudiar las modificaciones del estado del fenómeno de variación; en los procesos

algebraicos la tendencia articula en tanto que se refiere a procesos variacionales en los



161

cuales el continuo numérico y el infinito permean el comportamiento del cambio; en el

análisis de funciones la aproximación surge como esencia de la modelación que se deriva

de la necesidad de predecir los fenómenos de variación (este resultado es de gran

importancia para la comunidad de investigadores matemáticos del Grupo EDUMAT-UIS

ya que sobre este referente se viene adelantando una estructura conceptual).

Como se observó en el capítulo anterior, los hallazgos de esta categoría fueron muy

significativos en cantidad y en profundidad. Las dificultades emergentes en el proceso nos

resultan muy inquietantes pues los estudiantes evidenciaron conflictos en la puesta en

marcha de su pensamiento variacional al no reconocer ni caracterizar la variación ni el

cambio en los diferentes contextos ya que éstos demandan conocimientos más allá de los

matemáticos y eso suma complejidad a los estudiantes.

Veamos los descriptores que nos permiten ver específicamente en qué radican las

dificultades de los estudiantes al momento de elaborar, comparar y ejecutar procedimientos

asociados al pensamiento variacional:

Dificultades analíticas asociadas a los patrones y regularidades

De manera preocupante encontramos en los hallazgos que los estudiantes de nuevo ingreso

tienen significativas dificultades para:

Identificar mentalmente un patrón o una relación.

Reconocer que una variable es una imagen abstracta de una magnitud que varía.

Distinguir una relación funcional apoyado en el análisis de los datos del problema

(Ursini y Tigueros, 2013).

Reconocer la variación conjunta de las variables involucradas en una relación

funcional, independientemente de la representación utilizada (tablas, gráficas,

problemas verbales, expresiones analíticas) (Ursini y Trigueros, 2006).

Distinguir cómo se relacionan las magnitudes en el problema particular, por ende,

reflexionar frente a lo que cambia, frente a lo que se conserva.

Establecer correctamente la interdependencia entre las magnitudes variables para

transferir los datos a otra forma de representación.

Generalizar los resultados de operaciones aritméticas y para manipular operaciones

algebraicas.

Usar tablas para observar el cambio y la interdependencia de las magnitudes

variables del problema.

Emplear tablas de valores para observar patrones o regularidades que permitan

establecer procesos de generalización.

Simbolizar una relación funcional apoyándose en el análisis de los datos del

problema (Ursini y Tigueros, 2013).

Establecer conexiones entre las representaciones de la funciones y asociar la

información proporcionada por éstas con los esquemas mentales sobre funciones

para la resolución de problemas.

Utilizar tablas, expresiones orales, expresiones algebraicas, ecuaciones y gráficas y

hacer traducciones entre estas representaciones para analizar funciones (MEN,

2004).



162

Al revisar los descriptores propuestos por Seduca (2005) para este eje encontramos que a

las dificultades que acabamos de señalar les preceden otras que corresponden a estándares

que los estudiantes deberían alcanzar al término de la educación básica primaria, a saber:

Reconocer y describir regularidades y patrones en distintos contextos (numérico,

geométrico, musical, entre otros).

Describir cualitativamente situaciones de cambio y variación utilizando el lenguaje

natural, dibujos y gráfica.

Describir e interpretar variaciones representadas en gráfico.

Predecir patrones de variación en una secuencia numérica, geométrica o gráfica.

Estas dificultades señalan que los fenómenos de variación no podrán ser comprendidos,

interpretados, representados, etc. si no se ha consolidado la noción de variable ni se han

explorado las distintas caracterizaciones del uso de la variable lo cual podría tornarse en un

obstáculo que bloquea el aprendizaje de la matemática ya que la comprensión del concepto

de variable proporciona la base para la transición de la aritmética al álgebra y es necesario

para el uso significativo de toda la matemática avanzada.

Dificultades analíticas asociadas a los procesos algebraicos

Como mencionamos en §4.4.2, la tendencia exige una visualización de tipo numérico de

los procesos infinitos de aproximación como un todo, aspecto en el cual los estudiantes

evidenciaron significativas y preocupantes dificultades. De esta subcategoría quedó

explícita la dificultad que los estudiantes tienen para comprender el infinito actual pues sus

razonamientos se desarrollaron, mayoritariamente, a la luz del infinito potencial. De la

misma manera que observamos dificultades para:

Analiza los procesos infinitos que subyacen en las notaciones decimales (descriptor

a priori).

Identificar en qué se parecen y en qué se diferencian los términos una sucesión.

Encontrar la expresión de una sucesión a partir de sus términos.

Emplear métodos numéricos y analíticos para analizar la convergencia de una serie.

Reconocer características de los procesos infinitos utilizando diversas

representaciones: gráficas, tablas o explicaciones verbales.

En general los estudiantes usaron pocos argumentos matemáticos formales para responder

a las preguntas, y un menor número de estudiantes recurrieron a los conceptos de límite,

sucesiones o series. Generalmente necesitaron un cambio de representación, la mayoría de

las veces el dibujo de la situación descrita en el problema.

Con relación a los procesos algebraicos los documentos oficiales del país siguieren que

cuando los estudiantes culminan sus estudios de educación básica primaria, deben estar en

capacidad de:

Reconocer y generar equivalencias entre expresiones numéricas.

Construir secuencias numéricas y geométricas utilizando propiedades de los

números y de las figuras geométricas.



163

Un hecho importante que queda del análisis es la emergente necesidad de ofrecer a los

estudiantes discusiones acerca del infinito que les permita avanzar en la construcción del

infinito matemático ya que en la universidad se asume que el infinito potencial ha perdido

fuerza en los razonamientos matemáticos de los estudiantes de nuevo ingreso. También se

refuerza la necesidad de tomar siempre en cuenta los obstáculos epistemológicos y

didácticos de los conceptos ya que estos le permitirán al profesor de matemáticas conocer y

comprender las dificultades a las cuales se enfrentan sus estudiantes en el proceso de

aprendizaje del Cálculo. Estas dos ideas nos llevan a considerar la problemática

relacionada con el infinito como una plataforma didáctica que podría permitirle a los

estudiantes construir imágenes mentales correctas del concepto.

Dificultades analíticas asociadas al análisis de funciones

Esta subcategoría emergieron dificultades alrededor del tratamiento de las funciones

específicamente al:

Analizar en representaciones gráficas cartesianas los comportamientos de cambio de

funciones racionales.

Utilizar aproximaciones numéricas o gráficas de la función para deducir

intuitivamente el límite de una función.

Ante estas dificultades es necesario que el estudio de las funciones contemple, desde la

básica primaria, sus diferentes representaciones y las conexiones entre ellas, de manera que

esto propenda por mayores niveles de comprensión de los conceptos que se desprenden de

este objeto matemático que actualmente parecen inalcanzables por nuestros jóvenes en la

educación básica secundaría, media y universitaria, como se ha ratificado este trabajo.

Llamó nuestra atención el escaso tratamiento de los conceptos de límites y derivadas que se

observó en las hojas de procesos, más aún fue significativo el número de estudiantes que en

los problemas de fenómenos variacionales que involucraba estos conceptos no encontramos

estudiantes que los dominaran pero sí muchos jóvenes que escribieron en sus hojas que no

habían visto el tema en el colegio.

Consecuentemente, los hallazgos de dificultades alrededor de la derivada fueron escasos

pues los estudiantes no realizaron procedimientos usando la derivada en los dos problemas

de la prueba diagnóstica donde se empleaba este concepto, por lo que éstas se sintetizan en

que los estudiantes que han recibido alguna enseñanza sobre este objeto matemático, no

desarrollan ni aplican métodos para hallar las derivadas de algunas funciones básicas en

contextos matemáticos y no matemáticos; no emplean la representación geométrica de

derivada de una función para analizar el crecimiento o decrecimiento de una función.

Otra dificultad común que hallamos en el análisis de esta subcategoría fue la inclinación de

los estudiantes a “aritmetizar” y “algebrizar” los conceptos, un fenómeno que fue

generalizado en la mayoría de los problemas de la prueba diagnóstica. Un concepto, como

el del límite o de la derivada, se aritmetiza cuando se reduce a cálculos numéricos; a su vez

que se algebriza cuando el estudiante aplica algoritmos algebraicos sin razonar en la

pertinencia de su aplicación, de manera que lo que expone en la elaboración de

procedimientos son unas cuantas “recetas” que ayudan a obtener una respuesta, por lo



164

general, numérica, tarea en la que los estudiantes tampoco mostraron fortalezas. Es posible

que en las clases se dedique atención a los conceptos en los cuales emergieron dificultades,

pero si en las evaluaciones y en las actividades de aula sólo se proponen ejercicios

rutinarios, la formación que propenda por la resolución de problemas que implican

fenómenos variacionales resultará insignificante.

De otra parte, consideramos que esta investigación fue muy rica en tanto que no solo

permitió observar las dificultades alrededor del proceso de elaboración, comparación y

ejecución de procedimientos sino que, adicionalmente, encontramos que los estudiantes

tienen dificultades para seleccionar el sistema matemático (ya sea numérico, algebraico o

analítico) más apropiado para elaborar y ejecutar los procedimientos necesarios para

elaborar y completar la solución de un problema; para contener los aspectos del problema

en la mente mientras que acceden y aplican procedimientos; para emplear la capacidad de

mantener la atención al detalle, para planear una solución, para monitorear el progreso y

verificar los pasos de un procedimiento.

Otras consideraciones y nuevas perspectivas de investigación

Es deber nuestro, como parte de la objetividad que debe caracterizar la investigación,

reconocer que gran parte de nuestro marco teórico es local. No obstante, estamos seguros

de que esta investigación, y los descubrimientos emergentes, servirán de base para analizar

otros contextos ya que la problemática alrededor del Cálculo Diferencial es tanto de

carácter nacional como internacional.

Este trabajo, más que concretar, desde el proceso de elaboración, comparación y ejecución

de procedimientos, las dificultades a las cuales se enfrentan los estudiantes cuando resuelve

problemas que implican fenómenos variacionales, es una invitación para que la comunidad

de educación matemática centre esfuerzos en indagar con mayor profundidad en la

Didáctica del Cálculo Diferencial desde la resolución de problemas ya que, aunque

nosotros aunamos esfuerzos por rescatar los hallazgos importantes sobre dificultades

alrededor de números reales, variables, funciones, infinito, tendencia, convergencia y

aproximación, sabemos que dejamos abierta la puerta para estudiar con más fineza cada

objeto matemático11.

El proceso desde cual estudiamos las dificultades alrededor del Cálculo Diferencial de

estudiantes de nuevo ingreso a la universidad amplió nuestra propia visión y comprensión

del mismo: aunque es importante que los estudiantes sepan cómo ejecutar procedimientos

matemáticos de forma fiable y eficiente, un conocimiento de los procedimientos implica

mucho más que simple ejecución, aspecto que resultó determinante para 113 estudiantes

quienes aplicaron a la prueba diagnóstica del curso de precálculo.

El análisis de las soluciones de la prueba diagnóstica evidenció que los estudiantes

responden a los problemas planteados en función de las ideas previas, percepciones y

experiencias que han aprendido a lo largo de su formación escolar. Establecer conexiones

11 Estamos a la expectativa por conocer resultados de investigaciones relacionadas con los demás procesos

matemáticos (comunicación, representación y demostración) referentes a los fenómenos de variación, tanto de

los estudios realizados al interior de nuestro grupo de investigación (EDUMAT-UIS) como en otros contextos

o comunidades de investigación.



165

entre las experiencias antiguas y las nuevas no fue una destreza que destacara en la

resolución de problemas, muy posiblemente por la significativa tendencia de los profesores

a trabajar con problemas rutinarios y descontextualizados.

Una evidencia de ello es que los problemas en los cuales los estudiantes presentaron más

dificultades fueron: el de la pelota, el cuadrado, la empresa de lácteos, el del folleto y el de

la variación de la temperatura del agua. Mientras que los problemas de la derivada, del

coseno, la velocidad instantánea, la función cúbica y el de la partícula presentaron más

elaboración de procedimientos independientemente de su calidad.

Otra dificultad que emergió del estudio de las hojas de procesos y de la resolución de

problemas fue la dificultad de los estudiantes para analizar e interpretar correctamente el

fenómeno variacional que caracterizaba al problema.

De lo anterior surge una conclusión importante sobre la incidencia de los contextos, los

cuales el MEN considera que tienen que ver con los ambientes que rodean al estudiante y

que le dan sentido a la Matemática que aprende: los contextos en los problemas demandan

conocimientos más allá de los matemáticos y eso suma complejidad a la actividad

matemática que requiere la resolución de problemas. Consideramos este hallazgo muy

interesante para ser analizado a profundidad en próximos estudios.

Otro aspecto importante que tomó fuerza durante el análisis responde a las opciones de

respuesta; para futuras investigaciones consideramos que sería interesante analizar cómo

éstas influyen en los procedimientos realizados por los estudiantes ya que observamos que

las opciones resultaban ser una herramienta de control que validaba el procedimiento

elaborado, lo cual aumentaba la confianza de los estudiantes ignorando la posibilidad de un

razonamiento y, por ende, un procedimiento errado (lo cual está atado, incluso, a las

habilidades de control del proceso ECEP en las cuales nuestros estudiantes evidenciaron

significativas dificultades, en particular para reconocer si un procedimiento es fiable y

eficiente).

El análisis además nos permitió acercarnos a las imágenes mentales que los estudiantes

evocan en la resolución de problemas y que resultan conflictivas en la puesta en marcha

del proceso ECEP ya que son imágenes vagas de conceptos o procedimientos que en algún

momento quedaron de rezago de una etapa de enseñanza que, quizás, favoreció la

construcción de obstáculos didácticos. Incluso, observamos que la estructura cognitiva que

los estudiantes tienen de los conceptos está permeada por las ideas asociadas al mismo y

que las imágenes mentales no son aprovechadas para elaborar nuevos procedimientos.

Los resultados obtenidos en este trabajo sugieren que no es de sorprender el desempeño

bajo de los estudiantes de nuevo ingreso en el curso de Cálculo Diferencial el cual requiere

(y así lo asumen los profesores universitarios) el dominio de las habilidades emergentes del

proceso ECEP asociadas al pensamiento variacional, las cuales vienen a definir la

competencia matemática del estudiante frente a situaciones de variación y cambio. Los

conceptos (o nociones de ellos) y procedimientos que los estudiantes han adquirido en el

colegio requieren fortalecerse para restablecer la conexión entre ellos de manera que se

favorezcan su competencia matemática.

Para ayudar a los estudiantes a desarrollar el proceso ECEP, sería necesario, a la luz de los

resultados de este trabajo, ofrecerles un mayor número de oportunidades para resolver



166

problemas no rutinarios que les permita reflexionar sobre sus nociones conceptuales y

socializar las imágenes mentales que construyen en el diario escolar para llevarlos a tomar

conciencia de sus debilidades y fortalezas conceptuales, procedimentales y a fortalecer el

desarrollo de mecanismos internos de control.

De modo que, frente a la enseñanza reducida a las definiciones de los conceptos de

función, límite, y derivada, es imprescindible una ruptura con las formas algebraicas de

tratamiento de estos objetos, para dar lugar a las ideas de cambio y variación. De los

hallazgos de esta investigación (y de otros estudios importantes) es emergente la necesidad

de desarrollar una acción didáctica a partir de la educación básica secundaria y media

vocacional (tanto para profesores como estudiantes) que coadyuve a la formación del

pensamiento variacional desde sus nociones conceptuales (el cambio y la variación).

Finalmente, el estudio del proceso ECEP y su influencia en la resolución de problemas

permitió palpar la conexión entre ambos procesos, resaltando que las dificultades

relacionadas con un cierto concepto (en este caso del Cálculo Diferencial) permitirá

proponer algunas acciones en la universidad para apoyar a los estudiantes en el tratamiento

de las mismas. En este sentido las dificultades estudiadas y reportadas en este trabajo

resultan ser ahora un abanico de oportunidades de intervención. Pensar en cómo

concretar esas acciones y cómo, incluso, llevar estos resultados a la educación básica y

media es ahora una tarea de la comunidad investigadora de la educación matemática y

nuestra.

ANEXOS

Anexo 1. Organización de la educación en Colombia

La educación en Colombia se estructura en tres niveles diferenciados: educación preescolar,

la educación básica (incluye los ciclos primaria y secundaria), la educación media, y la

educación superior; en la Ilustración 129 se puede observar con más detalle dicha

organización. El Ministerio de Educación Nacional asume la responsabilidad de formular y

difundir lineamientos curriculares para guiar el proceso de formulación del Proyecto

Educativo Institucional; de modo que da orientaciones curriculares que se centran en ideas

relacionadas con expectativas de aprendizaje: objetivos (MEN, 1994), logros e indicadores

de logros (MEN,1998b), competencias y estándares (MEN, 2006).

Ilustración 129. Organización de la educación en Colombia Fuente: Adaptación de la investigadora de lo publicado en MEN (2012)

El Instituto Colombiano para la Evaluación de la Educación (ICFES) es una entidad

especializada en ofrecer servicios de evaluación de la educación en todos sus niveles, y en

particular apoya al Ministerio de Educación Nacional en la realización de los Exámenes de

Estado y en adelantar investigaciones sobre los factores que inciden en la calidad educativa,

para ofrecer información pertinente y oportuna para contribuir al mejoramiento de la

calidad de la educación.

A partir de la década de los 90´s, el ICFES ha adelantado una serie de acciones con el fin de

obtener información relacionada con las competencias de los estudiantes. Específicamente,

en el área de matemáticas evaluando a los estudiantes de los grados tercero, quinto, séptimo

y noveno de la educación básica (Prueba Saber) y undécimo en la educación media (Prueba

Saber 11), esta última prueba es requisito de admisión de las universidades públicas

nacionales para ingresar a cualquier programa de pregrado.

Los resultados de estas pruebas y el análisis de los factores que inciden en los mismos

permiten que los establecimientos educativos, las secretarías de educación, el

Ministerio de Educación Nacional y la sociedad en general identifiquen los

conocimientos, habilidades y valores que todos los estudiantes colombianos



169

desarrollan durante la trayectoria escolar, independientemente de su procedencia,

condiciones sociales, económicas y culturales y, a partir de las mismas, definan

planes de mejoramiento en sus respectivos ámbitos de actuación (ICFES, 2014).

El ministerio establece las normas técnicas curriculares y pedagógicas para los niveles de la

educación preescolar, básica y media, sin que esto vaya en contra de la autonomía de las

instituciones educativas y de las características regionales. El currículo que se adopte en

cada establecimiento educativo debe tener en cuenta los siguientes tres elementos:

La Ley General de Educación (MEN, 1994) señala los fines de la educación y los

objetivos de cada nivel y ciclo educativo, prescribe la autonomía curricular de los centros

educativos que se responsabilizan de la formulación y registro de un Proyecto Educativo

Institucional (PEI). La intención de superar la enseñanza tradicional que favorece la

trasmisión del conocimiento y la memorización de los contenidos motivó la formulación de

los Lineamientos Curriculares de Matemáticas (MEN, 1998) y de los Estándares

Básicos en Competencias en Matemáticas (MEN, 2006) con el ánimo de dar paso a una

pedagogía que promueva la comprensión de conceptos para usarlos dentro y fuera del

contexto educativo, según las exigencias de cada contexto.

.

Anexo 2. Lineamientos Curriculares de Matemáticas

Empecemos citando la definición que el MEN (2003) da a “lineamientos curriculares”:

Son las orientaciones epistemológicas, pedagógicas y curriculares que define el MEN

con el apoyo de la comunidad académica educativa para apoyar el proceso de

fundamentación y planeación de las áreas obligatorias y fundamentales definidas por

la Ley General de Educación en su artículo 23.

En el documento de los lineamientos se declara además que “el enfoque de estos

lineamientos está orientado a la conceptualización por parte de los estudiantes, a la

comprensión de sus posibilidades y al desarrollo de competencias que les permitan afrontar

los retos actuales como son la complejidad de la vida y del trabajo, el tratamiento de

conflictos, el manejo de la incertidumbre y el tratamiento de la cultura para conseguir una

vida sana” (MEN, 1998b, p. 7). Así, el MEN da orientaciones para la formulación del

currículo de matemáticas e introduce tres ideas claves, todos expuestos en la Ilustración

130Ilustración 12.

Ilustración 130. Elementos directrices del currículo de Matemáticas en Colombia Fuente: Adaptación de la investigadora de lo publicado en MEN (1998)

Los procesos generales que tienen que ver con el aprendizaje matemático y que explicitan

lo que significa ser matemáticamente competente; los conocimientos básicos están

organizados en cinco tipos de pensamiento matemático y el contexto tiene que ver con los

ambientes que rodean al estudiante y que le dan sentido a la Matemática que aprende.

Es así, como enriqueciendo el contexto [el profesor] deberá crear situaciones

problemáticas que permitan al alumno explorar problemas, construir estructuras,

plantear preguntas y reflexionar sobre modelos; estimular representaciones

informales y múltiples y, al mismo tiempo, propiciar gradualmente la adquisición de

niveles superiores de formalización y abstracción; diseñar además situaciones que

generen conflicto cognitivo teniendo en cuenta el diagnóstico de dificultades y los

posibles errores (MEN, 1998, p. 20).

El documento de los lineamientos intenta mostrar que los tres componentes están

relacionados y concretan el espacio para el diseño de situaciones problemáticas. Para



171

finalizar, en los lineamientos se habla de los cinco tipos de pensamiento matemático ya

mencionados, sin incluir en ellos el lógico ya que en todos estos cinco tipos es necesario

atender al uso y al desarrollo del pensamiento lógico de los estudiantes y, a su vez, el

progreso en el pensamiento lógico potencia y refina los cinco tipos de pensamiento

matemático (MEN, 2006, p. 58).

Anexo 3. Estándares Básicos en Competencias en Matemáticas

En Colombia, como en Chile y Guatemala, la elaboración de estándares educativos fue

iniciativa del propio Estado, lo cual supuso varios años de trabajo. El proceso fue una

decisión del Ministerio de Educación Nacional en el período 2002-2003, a través del

Instituto Colombiano para la Evaluación de la Educación (ICFES) y la División de

Evaluación y Estándares. Allí también se partió de los Lineamientos Curriculares existentes

desde 1998, organizados no por contenidos temáticos sino por procesos y competencias.

Los estándares fueron definidos como “un criterio claro y público que permite juzgar si un

estudiante, una institución o el sistema educativo en su conjunto cumplen con unas

expectativas comunes de calidad” (MEN, 2006, p. 11). Estos estándares cumplen una

función de guía para diversos instrumentos educativos, como: el currículo, el plan de

estudios, los proyectos y trabajos en aula, la producción de textos y materiales escolares, las

evaluaciones y la capacitación docente. Además, resultan ser un referente para evaluar los

niveles de desarrollo de las competencias que van alcanzando los estudiantes en el

transcurrir de su vida escolar aunque el MEN (2012) aclara que un estándar no es un

objetivo, una meta o un propósito sino que éste específica lo mínimo que el estudiante debe

saber y ser capaz de hacer para el ejercicio de la ciudadanía, el trabajo y la realización

persona

Los estándares señalan que cada estudiante, al terminar su formación matemática, debe “ser

matemáticamente competente” lo cual no es definido explícitamente pero para aproximarse

a una interpretación enriquecida de esta expresión se dice que está estrechamente ligada

tanto al hacer como al comprender; es decir, la competencia está relacionada con el saber

qué, el saber qué hacer y el saber cómo, cuándo y por qué hacerlo por lo que el ser

matemáticamente competente (MEN, 2006, p. 56):

Requiere ser diestro, eficaz y eficiente en el desarrollo de cada uno de los procesos

generales, en los cuales cada estudiante va pasando por distintos niveles de

competencia en su trayectoria escolar.

Se concreta de manera específica en el pensamiento lógico y el pensamiento

matemático el cual también es contemplado en los cinco tipos de pensamiento

propuestos en los lineamientos.

Los estándares contemplados para el pensamiento variacional en décimo y undécimo grado

en relación a las competencias matemáticas que se espera habrán de desarrollar los

estudiantes al culminar su colegiatura son:

1. Utilizo las técnicas de aproximación en procesos infinitos numéricos;

2. Interpreto la noción de derivada como razón de cambio y como valor de la

pendiente de la tangente a una curva y desarrollo métodos para hallar las derivadas de

algunas funciones básicas en contextos;

3. Analizo las relaciones y propiedades entre las expresiones algebraicas y las gráficas

de funciones polinómicas y racionales y de sus derivadas;

4. Modelo situaciones de variación periódica con funciones trigonométricas e

interpreto y utilizo sus derivadas.

Las directrices de los estándares y de los lineamientos suponen la calidad en la formación

matemática de los estudiantes del país; no obstante, las tasas de deserción universitaria y



173

los estudios de la UIS alrededor de esta problemática muestran la disonancia que existe

entre la realidad académica y las expectativas del MEN lo cual, consideramos, señala la

pertinencia de esta investigación para el contexto universitario y nos lleva (tras múltiples

reflexiones) a aproximarnos a las dificultades del pensamiento variacional desde lo

procedimental, en particular, desde la acción escrita que ejecuta el estudiante en la

resolución de problemas de fenómenos variacionales.

A continuación señalaremos cómo es entendido cada uno de los pensamientos desde los

lineamientos y los estándares colombianos precisando que no se presenta una definición

como tal de cada uno.

PENSAMIENTO NUMÉRICO (MEN, 1998)

“…el pensamiento numérico se refiere a la comprensión en general que tiene una

persona sobre los números y las operaciones junto con la habilidad y la inclinación a

usar esta comprensión en formas flexibles para hacer juicios matemáticos y para

desarrollar estrategias útiles al manejar números y operaciones”.

PENSAMIENTO ESPACIAL (MEN, 2006, p. 61)

Entendido como “… el conjunto de los procesos cognitivos mediante los cuales se

construyen y se manipulan las representaciones mentales de los objetos del espacio,

las relaciones entre ellos, sus transformaciones, y sus diversas traducciones o

representaciones materiales” contempla las actuaciones del sujeto en todas sus

dimensiones y relaciones espaciales para interactuar de diversas maneras con los

objetos situados en el espacio, desarrollar variadas representaciones y, a través de la

coordinación entre ellas, hacer acercamientos conceptuales que favorezcan la

creación y manipulación de nuevas representaciones mentales.

PENSAMIENTO MÉTRICO (MEN, 2006, p. 63)

Los conceptos y procedimientos propios de este pensamiento hacen referencia a la

comprensión general que tiene una persona sobre las magnitudes y las cantidades, su

medición y el uso flexible de los sistemas métricos o de medidas en diferentes

situaciones.

PENSAMIENTO ALEATORIO (MEN, 2006, p. 64-65)

Este tipo de pensamiento, llamado también probabilístico o estocástico, ayuda a

tomar decisiones en situaciones de incertidumbre, de azar, de riesgo o de ambigüedad

por falta de información confiable, en las que no es posible predecir con seguridad lo

que va a pasar. El pensamiento aleatorio se apoya directamente en conceptos y

procedimientos de la teoría de probabilidades y de la estadística inferencial, e

indirectamente en la estadística descriptiva y en la combinatoria. Ayuda a buscar

soluciones razonables a problemas en los que no hay una solución clara y segura,

abordándolos con un espíritu de exploración y de investigación mediante la

construcción de modelos de fenómenos físicos, sociales o de juegos de azar y la



174

utilización de estrategias como la exploración de sistemas de datos, la simulación de

experimentos y la realización de conteos.

PENSAMIENTO VARIACIONAL (MEN, 2006, p. 66)

Este tipo de pensamiento tiene que ver con el reconocimiento, la percepción, la

identificación y la caracterización de la variación y el cambio en diferentes contextos,

así como con su descripción, modelación y representación en distintos sistemas o

registros simbólicos, ya sean verbales, icónicos, gráficos o algebraico.

Anexo 4. Conjuntos de grado para los Estándares

Los Estándares Básicos en Competencias en Matemáticas son instaurados por grados de

acuerdo con conocimientos verticales que dan cuenta la relación de un estándar con los

demás estándares del mismo pensamiento en los otros conjuntos de grados; además se teje

una coherencia horizontal del currículo que comprende la relación que tiene un estándar

determinado con los estándares de los demás pensamientos dentro del mismo conjunto de

grados. La Ilustración 131 que sigue nos ayuda a comprender lo anterior.

Ilustración 131. Estructura de los Estándares Básicos en Competencias en Matemáticas

Fuente: Adaptación de la investigadora de lo publicado en MEN (2006, pp. 80-89).

Anexo 5. Estándares asociados a los ejes temáticos de Seduca (2005)

EJE

CONCEPTUAL 1º a 3º 4º a 5º 6º a 7º 8º a 9º 10º a 11º

PA

TR

ON

ES

Y

RE

GU

LA

RID

AD

ES

Reconocer y describir

regularidades y patrones

en distintos contextos

(numérico, geométrico,

musical, entre otros).

Describir cualitativamente

situaciones de cambio y

variación utilizando

el lenguaje natural,

dibujos y gráfica

Describir e interpretar

variaciones

representadas

en gráfico.

Predecir patrones de

variación en una

secuencia numérica,

geométrica o gráfica.

Describir y representar

situaciones de

variación

relacionando

diferentes

representaciones

(diagramas,

expresiones

verbales generalizadas

y tablas).

Analizar los procesos

infinitos que

subyacen en las

notaciones

decimales.

PR

OC

ES

OS

AL

GE

BR

AIC

OS

Reconocer y generar

equivalencias entre

expresiones numéricas.

Construir secuencias

numéricas y

geométricas utilizando

propiedades de los

números y de las figuras

geométricas.

Construir ecuaciones

e inecuaciones

aritméticas como

representación

de las relaciones

entre datos numéricos.

Utilizar métodos

informales

(ensayo – error,

complementación) en

la solución de

ecuaciones.

Construir expresiones

algebraicas

equivalentes

a una expresión

algebraica dada.

Usar procesos

inductivos

y lenguaje algebraico

para verificar

conjeturas.

Identificar diferentes

métodos para

solucionar sistemas

de ecuaciones

lineales.

Identificar relaciones

entre propiedades de

las gráficas y

propiedades

de las ecuaciones

algebraicas.

Utilizar las técnicas

de aproximación en

procesos infinitos

numéricos.

Analizar las

relaciones

y propiedades entre

las expresiones

algebraicas y las

gráficas

de funciones

polinómicas y

racionales.

FU

NC

ION

ES

Analizar y explicar

relaciones

de dependencia

en situaciones

económicas,

sociales y de

las ciencias naturales.

Representar y

relacionar

patrones numéricos

con tablas y reglas

verbales.

Reconocer el conjunto

de valores de una

variable en situaciones

concretas de cambio

(variación).

Analizar las

propiedades

de variación lineal

e inversa en contextos

aritméticos y

geométricos.

Identificar las

características

de las diversas

gráficas cartesianas

(de puntos, continuas,

formadas por

segmentos,

etc) en relación

con la situación

que representan.

Modelar situaciones

de variación con

funciones

polinómicas.

Interpretar la relación

entre el parámetro de

funciones con la

familia de funciones

que genera.

Interpretar los

diferentes

significados de la

pendiente en

situaciones de

variación.

Analizar en

representaciones

gráficas

cartesianas los

comportamientos

de cambio de

funciones

polinómicas,

racionales y

exponenciales.

Interpretar la noción

de derivada como

razón de cambio

instantánea en

contextos

matemáticos y no

matemáticos.

Modelar situaciones

de variación

periódica con

funciones

trigonométricas

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