EL TRUEQUE INDIOEL TRUEQUE INDIO

En una tribu de indios utilizan ostras En una tribu de indios utilizan ostras como monedas. Sabemos que 4 como monedas. Sabemos que 4 espejos y 2 arcos han costado 26 espejos y 2 arcos han costado 26

ostras y que 3 espejos y 1 arco han ostras y que 3 espejos y 1 arco han costado 16 ostras. ¿Cómo averiguar costado 16 ostras. ¿Cómo averiguar cuantas ostras hay que dar por cada cuantas ostras hay que dar por cada

espejo y por cada arco?espejo y por cada arco?

• Para expresar algebraicamente este Para expresar algebraicamente este enunciado necesitamos dos incógnitasenunciado necesitamos dos incógnitas

• X : para el precio, en ostras, de cada espejoX : para el precio, en ostras, de cada espejo• Y : para el precio, en ostras, de cada arcoY : para el precio, en ostras, de cada arco

• De esta forma pondremos:De esta forma pondremos:

• PRIMER TRUEQUEPRIMER TRUEQUE4X + 2Y = 264X + 2Y = 26

• SEGUNDO TRUEQUESEGUNDO TRUEQUE3X + Y = 163X + Y = 16

• Luego nuestro problema se reduce a Luego nuestro problema se reduce a encontrar valores de X e Y que hagan encontrar valores de X e Y que hagan válidos ambos trueques.válidos ambos trueques.

• Es decir hemos de resolver es Es decir hemos de resolver es siguiente siguiente SISTEMA DE ECUACIONES SISTEMA DE ECUACIONES LINEALESLINEALES

• DEFINICION DE SISTEMA DE DEFINICION DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES:ECUACIONES LINEALES: Llamaremos Llamaremos Sistema de dos ecuaciones lineales Sistema de dos ecuaciones lineales al conjunto de dos ecuaciones de al conjunto de dos ecuaciones de primer grado con dos valores primer grado con dos valores numéricos desconocidosnuméricos desconocidos

• ““Resolver un sistema de ecuaciones Resolver un sistema de ecuaciones es encontrar una solución común a es encontrar una solución común a las dos ecuaciones”las dos ecuaciones”

• Pero ¿Cómo resolver un Sistema de Pero ¿Cómo resolver un Sistema de ecuaciones lineales?ecuaciones lineales?

• Para responder a esta pregunta, Para responder a esta pregunta, primero veamos la representación primero veamos la representación gráfica de las ecuaciones del sistema gráfica de las ecuaciones del sistema anterior.anterior.

• Nuestro sistema es:Nuestro sistema es:

• Despejamos Y de cada ecuación y Despejamos Y de cada ecuación y obtenemos el siguiente sistema de obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones, equivalente al anteriorecuaciones, equivalente al anterior

• DEFINICION DE SISTEMA DE DEFINICION DE SISTEMA DE ECUACIONES EQUIVALENTES:ECUACIONES EQUIVALENTES: Dos Dos sistemas de ecuaciones se dicen sistemas de ecuaciones se dicen equivalentes si ambos admiten el equivalentes si ambos admiten el mismo conjunto solución.mismo conjunto solución.

• Las representaciones gráficas de las Las representaciones gráficas de las ecuaciones anteriores son rectas, ecuaciones anteriores son rectas, esto es:esto es:

• TODOS LOS PUNTOS DE LA RECTA ROJATODOS LOS PUNTOS DE LA RECTA ROJA, verifican la ecuación , verifican la ecuación correspondiente al correspondiente al PRIMER TRUEQUEPRIMER TRUEQUE, por ejemplo:, por ejemplo:

El punto (5; 3) verifica la ECUACION UNO, es decir, 4x5 + 2x3 = El punto (5; 3) verifica la ECUACION UNO, es decir, 4x5 + 2x3 = 2626

• TODOS LOS PUNTOS DE LA RECTA AZULTODOS LOS PUNTOS DE LA RECTA AZUL, verifican la ecuación , verifican la ecuación correspondiente al correspondiente al SEGUNDO TRUEQUESEGUNDO TRUEQUE por ejemplo: por ejemplo:

El punto (4; 4) verifica la ECUACION DOS, es decir, 3x4 + 4 = 16El punto (4; 4) verifica la ECUACION DOS, es decir, 3x4 + 4 = 16

• PERO COMO VEMOS EN EL GRAFICO HAY UN PUNTO S = (3; 7) PERO COMO VEMOS EN EL GRAFICO HAY UN PUNTO S = (3; 7) QUE PERTENECE A AMBAS RECTAS, ES DECIR, ESTE PUNTO QUE PERTENECE A AMBAS RECTAS, ES DECIR, ESTE PUNTO

S = (3; 7) VERIFICA AMBOS TRUEQUES Y LUEGO PODEMOS S = (3; 7) VERIFICA AMBOS TRUEQUES Y LUEGO PODEMOS DECIR QUE X = 3, Y=7 ES LA SOLUCIÓN DE NUESTRO SISTEMA.DECIR QUE X = 3, Y=7 ES LA SOLUCIÓN DE NUESTRO SISTEMA.

LUEGO HAY QUE PAGAR 3 OSTRAS POR CADA ESPEJO Y 7 OSTRAS LUEGO HAY QUE PAGAR 3 OSTRAS POR CADA ESPEJO Y 7 OSTRAS POR CADA ARCOPOR CADA ARCO

• Como notamos hemos resuelto este Como notamos hemos resuelto este problema a partir del gráfico de problema a partir del gráfico de ambas ecuaciones y de allí que este ambas ecuaciones y de allí que este procedimiento se conoce como procedimiento se conoce como METODO GRAFICO.METODO GRAFICO.

• Veamos ahora algunos métodos Veamos ahora algunos métodos analíticos como lo son:analíticos como lo son:

• METODO DE SUSTITUCIONMETODO DE SUSTITUCION• METODO DE IGUALACIONMETODO DE IGUALACION• METODO DE REDUCCIONMETODO DE REDUCCION

METODO DE SUSTITUCIONMETODO DE SUSTITUCION

• El método de sustitución consiste en El método de sustitución consiste en despejar una incógnita de alguna de despejar una incógnita de alguna de las ecuaciones y se sustituye en la las ecuaciones y se sustituye en la otraotra

• Resolvamos por este método el Resolvamos por este método el problema del trueque indio:problema del trueque indio:

1) Despejamos Y en la segunda ecuación y obtenemos:1) Despejamos Y en la segunda ecuación y obtenemos:Y = -3X + 16Y = -3X + 16

2) Sustituimos en la primera ecuación y obtenemos:2) Sustituimos en la primera ecuación y obtenemos:4X + 2(-3X + 16) = 264X + 2(-3X + 16) = 26

3) Resolvemos ahora esta ecuación con una incógnita:3) Resolvemos ahora esta ecuación con una incógnita:4X – 6X + 32 = 264X – 6X + 32 = 264X – 6X = 26 – 324X – 6X = 26 – 32

-2X = --6-2X = --6X = -6/-2X = -6/-2

X = 3X = 34) El valor de X se sustituye en la expresión en la que aparecía 4) El valor de X se sustituye en la expresión en la que aparecía

despejada la Y:despejada la Y:Y = -3X + 16Y = -3X + 16Y = -3.3 + 16Y = -3.3 + 16Y = -9 + 16Y = -9 + 16

Y = 7Y = 7LUEGO HAY QUE PAGAR 3 OSTRAS POR CADA ESPEJO Y 7 LUEGO HAY QUE PAGAR 3 OSTRAS POR CADA ESPEJO Y 7

OSTRAS POR CADA ARCOOSTRAS POR CADA ARCO

METODO DE IGUALACIONMETODO DE IGUALACION

• El método de igualación consiste en El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita de despejar la misma incógnita de ambas ecuaciones y se igualan las ambas ecuaciones y se igualan las expresiones resultantes.expresiones resultantes.

• Resolvamos por este método el Resolvamos por este método el problema del trueque indio:problema del trueque indio:

1) Despejamos Y de ambas ecuaciones y 1) Despejamos Y de ambas ecuaciones y obtenemosobtenemos

De la primer ecuación: Y = -2X + 13De la primer ecuación: Y = -2X + 13De la segunda ecuación: Y = -3X + 16De la segunda ecuación: Y = -3X + 16

2) Igualamos y resolvemos:2) Igualamos y resolvemos:-2X + 13 = -3X + 16-2X + 13 = -3X + 16-2X + 3X = 16 -13-2X + 3X = 16 -13

X = 3X = 33) El valor de X se sustituye en cualquiera de las 3) El valor de X se sustituye en cualquiera de las

expresiones en la que aparecía despejada la Y:expresiones en la que aparecía despejada la Y:Y = -3X + 16Y = -3X + 16Y = -3.3 + 16Y = -3.3 + 16Y = -9 + 16Y = -9 + 16

Y = 7Y = 7LUEGO HAY QUE PAGAR 3 OSTRAS POR CADA LUEGO HAY QUE PAGAR 3 OSTRAS POR CADA

ESPEJO Y 7 OSTRAS POR CADA ARCOESPEJO Y 7 OSTRAS POR CADA ARCO

METODO DE REDUCCIONMETODO DE REDUCCION

• Resolvamos por este método el Resolvamos por este método el problema del trueque indio:problema del trueque indio:

• Multiplicamos cada ecuación por el Multiplicamos cada ecuación por el coeficiente de X en la otracoeficiente de X en la otra

Aplicando propiedad uniforme y propiedad cancelativa se Aplicando propiedad uniforme y propiedad cancelativa se tiene que:tiene que:

2Y = 142Y = 14Y = 7Y = 7

Sustituimos este valor en una de las ecuaciones originales y Sustituimos este valor en una de las ecuaciones originales y se despeja la Xse despeja la X

4X + 2.7 = 264X + 2.7 = 264X + 14 = 264X + 14 = 264X = 26 – 144X = 26 – 14

4X = 124X = 12X = 12/4X = 12/4

X = 3X = 3

LUEGO HAY QUE PAGAR 3 OSTRAS POR CADA ESPEJO Y 7 LUEGO HAY QUE PAGAR 3 OSTRAS POR CADA ESPEJO Y 7 OSTRAS POR CADA ARCOOSTRAS POR CADA ARCO

• Los métodos para resolver Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones sistemas de ecuaciones consisten en obtener la solución consisten en obtener la solución de forma rápida y sencilla sin de forma rápida y sencilla sin recurrir al tanteorecurrir al tanteo

• Los sistemas de ecuaciones de Los sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, primer grado con dos incógnitas, x e y, suelen tener una única x e y, suelen tener una única solución. Sin embargo hay solución. Sin embargo hay excepciones.excepciones.

EJEMPLO DE SISTEMA DE ECUACIONES CON INFINITAS EJEMPLO DE SISTEMA DE ECUACIONES CON INFINITAS SOLUCIONESSOLUCIONES

EJEMPLO DE SISTEMA SIN SOLUCIÓNEJEMPLO DE SISTEMA SIN SOLUCIÓN

En general se pueden dar, gráficamente, los siguientes casos:En general se pueden dar, gráficamente, los siguientes casos:

• En el primer caso, el sistema tiene una única En el primer caso, el sistema tiene una única solución (pues las restas tienen un solo punto solución (pues las restas tienen un solo punto en común) y por ello se dice que es un en común) y por ello se dice que es un SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADOSISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO

• En el segundo caso, el sistema tiene infinitas En el segundo caso, el sistema tiene infinitas soluciones (pues todos los puntos son soluciones (pues todos los puntos son

comunes a ambas rectas) y por ello se dice comunes a ambas rectas) y por ello se dice que es un que es un SISTEMA COMPATIBLE SISTEMA COMPATIBLE

INDETERMINADOINDETERMINADO

• En el tercer caso, el sistema no tiene solución En el tercer caso, el sistema no tiene solución (pues no tienen ningún punto en común) y (pues no tienen ningún punto en común) y

por ello se dice que es un por ello se dice que es un SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADOSISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO

A continuación se presentan algunos ejercicios paraqué A continuación se presentan algunos ejercicios paraqué practiquespractiques

• Tomógrafo y tomografía computadaTomógrafo y tomografía computada