Jorge Arroyo Gallegos Universidad Insurgentes

E N S A Y O D E T E O R A S C O G N I T I V A S Y S U A P L I C A C I N

El trabajo en matemticas con material operativo

Jorge Arroyo Gallegos

El trabajo con las matemticas ha constituido un serio problema para los

docentes, ya que en su mayora, los alumnos muestran cierta resistencia a

trabajar con ellas. Mucho de esto se debe a la manera en que se han venido

abordando, con cuestiones abstractas y sin sentido para los alumnos, partiendo

de la idea de que los alumnos pueden acceder a los conceptos y formulas sin

mayor necesidad de operar en la realidad con letras y signos que no le dan

sentido al trabajo en el aula.

En lo que sigue, me propongo plantear una manera de trabajar las

matemticas en la primaria, que si bien es cierto no es novedoso, si lo es el

hecho de tenerlo como un taller paralelo a la clase que expone cada maestra

en el Colegio Lafontaine. La idea central es que si se acerca a los alumnos a

las matemticas operando objetos y realizando juegos, estos tendrn una

experiencia ldica que les permita acceder a las matemticas de manera

amigable.

El punto de partida es la teora cognitiva, y ms concretamente la de Jerome

Bruner, quien a partir de la idea de representacin del conocimiento nos dice

que la gente representa el conocimiento en tres modalidades que surgen en

una secuencia de desarrollo: por medio de la accin, icnica y simblica. Esas

modalidades no son estructuras sino formas distintas de procesamiento

cognoscitivo, es decir, funciones.

En la tarea de presentar, de modo somero, lo esencial de estas ideas

permtaseme decir algunas cosas bien sabidas. Se puede afirmar que el

enfoque cognitivo basa todos sus estudios en las representaciones mentales,

es decir, las imgenes mentales que un sujeto genera respecto a su realidad.

La accin del individuo se encuentra determinada por sus representaciones.

De este modo, se puede diferenciar la idea del Conductismo contra la del

Cognoscitivismo afirmando que la conducta no est determinada por el medio

P g i n a 1 | 8

externo sino que son las representaciones mentales que cada sujeto construye

o elabora, las que la generan. Esto permite diferenciar la perspectiva de un ser

activo, que construye y elabora la informacin que recibe del medio y que es a

travs de sus interacciones de manera dinmica con ste que logra adaptarse.

Bruner destaca la importancia de la formacin de conceptos, de la

construccin de generalizaciones coherentes y de la creacin de gestalts

cognitivos. Comparte la idea central de la teora cognitiva, donde cada sujeto

es considerado como un ser activo que construye su propio conocimiento a

travs de la interaccin con la informacin que recibe del medio, es decir,

procesa la informacin y la reelabora de manera que l pueda comprenderla y

asimilarla en su memoria.

Siguiendo las ideas de Bruner (1964): El desarrollo del funcionamiento

intelectual humano, desde la infancia hasta la perfeccin que puede alcanzar,

es determinado por una serie de avances tecnolgicos en el uso de la mente

(p. 1). Esos avances tecnolgicos dependen de una facilidad cada vez mayor

en el uso del lenguaje y la exposicin a la instruccin sistemtica (Bruner,

1966). A medida que los nios se desarrollan, sus acciones son menos

restringidas por los estmulos inmediatos. Los procesos cognoscitivos, como

los pensamientos y las creencias, median la relacin entre el estmulo y la

respuesta, de modo que los aprendices pueden seguir respondiendo igual en

un ambiente cambiante o responder de diferentes maneras en el mismo

ambiente, dependiendo de lo que consideren ms adaptativo.1

En esta teora, las representaciones son un elemento fundamental y que ms

desarrolla Bruner desde su perspectiva. Seala que hay tres modos de

representacin. Los cuales constituyen a su vez la mejor manera en que cada

individuo trata o hace manejable la informacin del ambiente o de la realidad y

la reduce de una forma lo ms manejable o comprensible para esa persona.

Los individuos representamos mentalmente el ambiente para manejarnos en el

de la mejor manera posible.

Los tres modos de representacin son: representacin mediante la accin,

icnica y simblica.

La Representacin mediante la accin, implica respuestas motrices o formas

de manipular el ambiente. Las acciones como andar en bicicleta o hacer un

nudo se representan en buena parte en acciones musculares. Los estmulos

1 Bruner, J. S. (1964). The course of cognitive growth. American Psychologist, 19, 1-15. Citado en Shunk, Dale, (2012) Teoras del Aprendizaje Una perspectiva Educativa, Pearson Educacin p. 457

P g i n a 2 | 8

son definidos por las acciones que los provocan. Entre los nios pequeos una

pelota (un estmulo) se representa como algo que se lanza y se hace rebotar

(acciones) (Shunk 2012).

La Representacin icnica se refiere a imgenes mentales sin acciones. Los

nios adquieren la capacidad para pensar en objetos que no estn fsicamente

presentes. Transforman los objetos a nivel mental y piensan en sus

propiedades de manera separada de las acciones que se pueden realizar con

ellos. La representacin icnica permite reconocer los objetos (Shunk 2012)

La Representacin simblica utiliza sistemas de smbolos, como el lenguaje y

la notacin matemtica, para codificar el conocimiento. Dichos sistemas

permiten entender conceptos abstractos, por ejemplo, la variable x en 3x 5 =

10, y modificar la informacin simblica como resultado de la instruccin verbal.

Los sistemas simblicos representan conocimiento con caractersticas remotas

y arbitrarias. La palabra Filadelfia no es ms parecida a la ciudad que una

slaba sin sentido (Bruner, 1964).

En esta ltima forma de representacin la persona se ve libre e

independiente del medio de sus acciones inmediatas con l y puede crear,

pensar, organizar e integrar su conocimiento. Esta tercera forma de

representacin constituye un marco conceptual que le permite al individuo

manipular libremente, y de manera independiente, los eventos, los objetos, los

conceptos, etc. lo que lo lleva a ir ms all de la informacin que inicialmente

tiene presente y consolida sus habilidades para solucionar problemas de mayor

complejidad y cada vez de mayor abstraccin.

Bruner insiste sobre los elementos del aprendizaje humano donde resalta la

necesidad de que el aprendizaje sea por descubrimiento, donde el profesor

pasa a ser un facilitador del aprendizaje que tiene como funcin formular

preguntas clave acerca de la informac8iin y proporcionar los recursos para

que el propio alumno sea capaz de aprender por s mismo por medio de los

elementos con que cuenta y de su activa interaccin con ellos.

Para que ocurra el aprendizaje por descubrimiento se requiere considerar el

aprendizaje como descubrimiento de relaciones entre la informacin; considera

que el conocimiento se construye a travs de la relaciones con la informacin

para sintetizarla, comprenderla y almacenarla en la memoria. La habilidad para

solucionar problemas de mayor complejidad y cada vez de mayor abstraccin

est presente en todos los individuos.

P g i n a 3 | 8

La teora de Bruner tiene otros principios fundamentales: la motivacin. La

estructura, la secuencia y el refuerzo. Bruner afirma que el inters por el

aprendizaje solamente surge cuando existe una motivacin intrnseca. El

aprendizaje y la solucin de problemas requieren del anlisis de distintas

opciones tales como la activacin, el mantenimiento y direccin.

De acuerdo a esto, la Activacin implica que al comenzar las exploraciones

loa alumnos deben experimentar un cierto nivel de incertidumbre. Una vez que

la exploracin se activa debe mantenerse por cierto tiempo, a esta etapa

Bruner le denomina Mantenimiento. Para que la exploracin tenga significado

debe estar dirigida haca un objetivo. La Direccin de la exploracin est en

funcin del conocimiento de la meta y de y de la exploracin de alternativas

que resulten relevantes para la obtencin de la meta.

Bruner seala que la estructura establece que el conocimiento procedente de

una asignatura debe organizarse, la estructura de cualquier rea de

conocimiento estara caracterizada por tres elementos: modo de presentacin,

economa y p9oder explicativo.

a) Modo de presentacin. Se refiera a la tcnica, el mtodo por el cual

se comunica la informacin. En este momento es donde entran los

tres modos de representacin sealados lneas arriba: enactiva,

icnica y simblica.

b) Economa de presentacin: Mientras menos unidades de informacin

se presenten al aprendiz menos tendr que recordar y esto es

favorable para el principio de economa. La mayor o menor cantidad

de informacin que se presente a los alumnos depende de la

cantidad de informacin que ellos deben recordar para ser capaces

de continuar aprendiendo.

c) El poder de la presentacin, Bruner sostiene que la naturaleza tiene

una estructura simple, y que por lo tanto una presentacin de

cualquier aspecto de la realidad, para ser poderosa, debe reflejar

simplicidad.

Las dificultades que encuentran los estudiantes para aprender en una materia

especfica depende de la secuencia en que se presente la informacin. En este

sentido, Bruner sugiere que el aprendizaje de una asignatura debe iniciarse

presentando los contenidos en una secuencia que vaya desde una

representacin enactiva a una icnica, para acabar con una simblica,

P g i n a 4 | 8

involucrando cuando sea posible, movimientos musculares, representaciones

pictricas y al final palabras. Esto es la secuencia.

Tambin propone que es conveniente recibir retroalimentacin sobre las

estrategias de resolucin de problemas., es decir dar un refuerzo.

Con base en las ideas anteriores. Y partiendo de la necesidad de dar a los

alumnos del Colegio Lafontaine (primaria) elementos amigables para acercarse

a las matemticas sin generar rechazo, se procedi a proyectar una nueva

forma de trabajo. Para ello se estableci una Laboratorio de Matemticas

donde se cambi el mobiliario por mesas de trabajo donde se privilegiara el

trabajo en equipo por encima del individual. A esta nueva aula se le asignaron

3 perodos de clase a la semana para trabajar de acuerdo al programa de

matemticas establecido por la SEP.

Se reuni material para trabajar en el laboratorio y se opt por tener regletas,

geoplanos, tangram, ajedrez, bacos verticales, rompecabezas y juegos de

domino.

Se seleccion a una docente que tuviera experiencia en primaria y una

formacin especfica en el mbito de las matemticas. Despus de revisar

varios currculums y entrevistar a ms de 12 candidatas se opt por la que

supusimos era la ideal. Maestra normalista con un posgrado en enseanza de

las matemticas y con 10 aos de experiencia en grupo.

Se procedi a establecer la metodologa de trabajo de acuerdo a los principios

del aprendizaje por descubrimiento de Bruner quedando las indicaciones de la

siguiente manera:

a) Establecer una atmosfera relajada. Para que esta aproximacin

funcione adecuadamente, los alumnos necesitan expresar sus

ideas libremente sin el temor a la crtica o al ridculo.

b) Establecer las condiciones de aprendizaje de tal forma que el

descubrimiento pueda tener lugar: La idea es arreglar la situacin

de aprendizaje para que se d del insight. En algunos casos se

pueden presentar tpicos que sean material de opiniones.

Debates, figuras, cuadros o videos. En otras ocasiones se puede

estructurar la clase exponiendo a t6odos la misma informacin,

que lean el mismo libro, texto o historia.

P g i n a 5 | 8

c) Se debe estructurar la sesin alrededor de una pregunta o

problema, de tal manera que se involucren los estudiantes en la

discusin.

d) Se debe favorecer la discusin y el debate en equipos. Se debe

procurar que todos los alumnos participen y opinen.

e) El trabajo en equipos no debe ser mayor a cuatro integrantes. Los

equipos debern contar siempre con un moderador y un

secretario que anote los datos ms importantes del trabajo dentro

del equipo.

f) Se debe procurar que los alumnos que antes de empezar a

discutir encuentren relaciones y reacciones iniciales del material

que se ha de comentar.

g) Hay que estar al pendiente del trabajo dentro de los equipos y

reorientar la discusin si se desvan del tema. Es necesario evitar

contesta las preguntas y minimizar la participacin de la docente

en la discusin del equipo.

h) Se debe dejar constancia del trabajo de cada equipo, se debe

cerrar la clase con una conclusin que permita a los alumnos que

sinteticen e integren la informacin.

Como consecuencia de lo anterior, la secuencia didctica que sigue la

docente es la siguiente:

I.- Induccin: donde muestra un material que conect de manera

indirecta con el tema a tratar, esto busca motivar a los alumnos al

trabajo en clase.

II.- Objetivos: La docente especfica el objetivo de la sesin para dar

direccin a la misma y evitar que los alumnos se pierdan.

III: Produccin. En esta etapa el alumno tiene contacto directo con

los materiales del laboratorio, comienza accionando con ellos,

normalmente produce representaciones icnicas y se busca que en

los grados mayores se produzcan representaciones simblicas

apoyadas en los materiales concretos utilizados. En esta etapa se

usa lo que llamamos interaccin social positiva donde el trabajo en

equipo es indispensable.

P g i n a 6 | 8

IV Conclusiones: En esta etapa los equipos muestran sus

soluciones a los problemas revisados y comparan sus respuestas

con las de los otros equipos.

Los primeros resultados han sido satisfactorios, los alumnos acuden gustosos

al Laboratorio de Matemticas, prosiguen experimentando con sus materiales

fuera del horario de trabajo e incluso, buscan a la docente en los recreos para

continuar presentando hiptesis. Es comn ver a nios jugando ajedrez y

domino en los recreos.

Las conductas de los alumnos apoyan la idea central de este ensayo, la

posibilidad de un acercamiento ldico a las matemticas a partir del manejo de

material concreto y los postulados de la Teora Cognoscitiva.

Sin embargo, queda an pendiente la tarea de comparar los resultados

acadmicos de esta forma de trabajo, estableciendo los indicadores que

puedan contrastar si hay mejora en las evaluaciones formales comparndolas

con las anteriores a la puesta en marcha del proyecto.

P g i n a 7 | 8

Bibliografa y fuentes de informacin

Bruner, J. (1991). Actos de significado: ms all de la revolucin cognitiva.

Madrid: Alianza.

Bruner, J. S. (1963). El proceso de la educacin. Mxico: UTEHA

Buner, J. (2001) El Proceso mentales en el Aprendizaje. Narcea

Goode, Thomas, (1996) Psicologa Educativa Contempornea, Mxico Mc

GrawHill

Guilar, M. E. (2009). De la revolucin cognitiva a la revolucin cultural de

Bruner. Madrid Gedisa

Shunk, Dale, (2012) Teoras del Aprendizaje Una perspectiva Educativa,

Mxico Pearson Educacin