El tipo homot opico de los posets de...

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Departamento de Matematica

Tesis de Licenciatura

El tipo homotopico de los posets de p-subgrupos

Kevin Ivan Piterman

Director: Gabriel Minian

Fecha de Presentacion: Junio de 2016

Agradecimientos

A Gabriel, por todo su apoyo y dedicacion. Por todos sus consejos y correcciones. Aprendımuchısimo junto a el y espero seguir aprendiendo mucho mas. ¡Muchas gracias Gabriel!

A Jonathan y Leandro, por haber leıdo este trabajo en tan poco tiempo. Por sussugerencias y correciones.

A mis viejos, que me han brindan toda su ayuda y apoyo para que haya podido estudiar.A Vanesa, mi hermana y amiga de toda la vida.A mis companeros de la facu, que me ayudaron con muchısimos ejercicios y me hicieron

ver las cosas desde otro punto de vista.A mis amigos de Mendoza, por mostrarme otras formas de vida.A mis hermosas sobrinas del alma Freya y Frida, por estar.Al profe Lucas, por iniciarme en el hermoso deporte de la natacion y por todos sus

consejos.A los chicos del club, por esos pequenos momentos y sufrimientos compartidos. Por

su apoyo todos estos anos.A la UBA y a todos aquellos que hacen posible que pueda estudiar en esta gran facultad.

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Contenidos

Introduccion 7

Lista de sımbolos 11

1 Preliminares 151.1 Teorıa basica de grupos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2 Espacios topologicos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3 G-posets y tipos homotopicos equivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2 Los posets de p-subgrupos de un grupo 392.1 La conjetura de Quillen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.2 La relacion entre Sp(G1 ×G2) y Sp(G1) ∗ Sp(G2) . . . . . . . . . . . . . . . 552.3 Conexion y simple conexion de Sp(G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.4 Otros posets de p-subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.5 Caracterıstica de Euler y posets de puntos fijos . . . . . . . . . . . . . . . . 732.6 Espacios de orbitas y una conjetura de P. Webb . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3 Tipo homotopico del poset Ap(G) 833.1 Contractibilidad en pasos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.2 Casos para los que Ap(G) ' Sp(G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.3 El subgrupo de Fitting y una equivalencia para la contractibilidad de Sp(G) 933.4 Una reduccion para el poset Ap(G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.5 El grupo diedral Dn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.6 Grupos de orden pαq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.7 Algunos contraejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Bibliografıa 109

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Introduccion

En el artıculo [15] del ano 1975, Kenneth Brown hace referencia por primera vez al posetde p-subgrupos no triviales de un grupo G, que denotamos Sp(G). Al complejo asociadoal poset Sp(G) se lo denomina a menudo “complejo de Brown” y lo denotamos K(Sp(G)).Recordemos que en general, a todo poset X podemos asignarle el complejo simplicialK(X) cuyos sımplices son las cadenas finitas no vacıas de X. De esta manera, pasando ala realizacion geometrica del complejo K(X), tiene sentido hablar de grupos de homotopıay de homologıa del poset X. En [15], Brown demuestra entre otras cosas que la carac-terıstica de Euler de K(Sp(G)) es congruente a 1 modulo |G|p, es decir, χ(|K(Sp(G))|) ≡ 1mod (|G|p), donde G es un grupo finito y |G|p es la potencia mas grande de p que divideal orden de G. En 1978 D. Quillen [28] estudia con mas profundidad el tipo homotopicodel complejo K(Sp(G)) para G un grupo finito comparandolo con un nuevo poset, al quedenota Ap(G) y que consiste de los p-subgrupo elementales abelianos G. Recordemos queun p-grupo es elemental abeliano si es abeliano y de exponente p. Equivalentemente, si esisomorfo a Znp para algun n ≥ 1. A su complejo asociado se lo conoce como “Complejo deQuillen”. Utilizando una version para posets de su reconocido teorema A, Quillen pruebaque K(Sp(G)) y K(Ap(G)) son homotopicamente equivalentes. Tambien observa que si Gposee un p-subgrupo normal no trivial entonces K(Sp(G)) es contractil, y luego conjeturaque vale la recıproca. Es decir, si K(Sp(G)) es contractil entonces G posee un p-subgruponormal no trivial. Quillen demuestra algunos casos de la conjetura en su artıculo, comopor ejemplo el caso en que G es un grupo resoluble. Hasta el momento, la conjetura sigueabierta, pero se hicieron importantes avances sobre ella. El estudio del tipo homotopico deestos dos complejos ha despertado mucho interes entre la comunidad matematica. Uno delos trabajos mas importantes es el Aschbacher y Smith [3] donde logran reducir la conje-tura a ciertos casos particulares, habiendola demostrado para la “mayorıa” de los grupos.Sus trabajos se basan esencialmente en la Clasificacion de grupos finitos simples. Estode alguna manera nos dice que en el fondo hay una estrecha relacion entre la estructuradel grupo y la estructura de los posets Ap(G) y Sp(G), pareciendo casi imposible evadirargumentos que involucren teoremas fuertes sobre clasificacion de grupos finitos. Tambien,en [3], Aschbacher utiliza los teoremas de clasificacion de grupos para describir los grupos,modulo cierta conjetura, cuyos Sp(G) son simplemente conexos. Tambien se utilizaronotros tipos de argumentos para avanzar sobre este tema. Por ejemplo, en el trabajo deHawkes e Isaacs (ver [19]), utilizan argumentos mas combinatorios para ver que si G esun grupo resoluble con p-Sylows abelianos, entonces G posee un p-subgrupo normal notrivial si y solo si χ(Sp(G)) = 0.

En 1984 R.E. Stong investiga la conjetura de Quillen y la relacion entre los posets

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Contenidos Kevin Piterman

Ap(G) y Sp(G) desde un enfoque totalmente novedoso, analizando a ambos posets comoespacios finitos. Un poset finito puede ser visto como un espacio topologico finito en elcual los abiertos son los “downsets” del poset. En la decada del 60, Stong ([31]) y McCord([25]) investigaron la topologıa de los espacios finitos comparandola con la topologıa de loscomplejos simpliciales asociados a los posets correspondientes. Lo que demuestra McCordes que un poset X visto como espacio finito es debilmente equivalente a su complejo aso-ciado K(X). Esto resalta la diferencia que existe entre una equivalencia homotopica entrecomplejos simpliciales y una equivalencia homotopica entre espacios finitos: mientras quepara los complejos simpliciales una equivalencia homotopica es lo mismo que una equiv-alencia debil (teorema de Whitehead), para espacios finitos no lo es (no vale el teoremade Whitehead). De esta manera, tener un complejo simplicial K(X) contractil, en unprincipio solo nos dice que el poset X es homotopicamente trivial. Aplicando esto a losposets de Sp(G) y Ap(G), Stong demuestra que la existencia de un p-subgrupo normal notrivial es equivalente a que el poset Sp(G) sea contractil, y que por lo tanto la conjetura deQuillen se puede estudiar desde otro punto vista: si K(Sp(G)) es contractil, entonces Sp(G)es contractil. O de manera equivalente, si Sp(G) es homotopicamente trivial, entonces escontractil.

Este enfoque de Stong dio lugar a muchas nuevas preguntas relacionadas sobre el tipohomotopico del poset. Por ejemplo, Stong muestra que el poset Ap(G) que introdujoQuillen no es homotopicamente equivalente a Sp(G). Sin embargo, observa que si Ap(G)es contractil entonces Sp(G) es contractil, y una de las cosas que se pregunta es si valdrala recıproca.

En [6], Jonathan Barmak retoma el enfoque de Stong sobre el estudio del tipo ho-motopico de los posets Sp(G) y Ap(G) y muestra, por ejemplo, que en realidad tienenel mismo tipo homotopico simple como espacios finitos. Esto le permitio reformular laconjetura de diversas formas, mostrando que la existencia de un p-subgrupo normal notrivial en G es equivalente, por ejemplo, a que el poset Sp(G) sea G-colapsable.

A partir de todo esto y de la pregunta de Stong sobre si la contractibilidad de Sp(G)implica la del poset Ap(G), en este trabajo investigamos un poco mas a fondo que significala contractibilidad del poset Ap(G) y cuando es homotopicamente equivalente a Sp(G).Respondemos a la pregunta de Stong mostrando que existe un grupo G para el cual Sp(G)es contractil y Ap(G) no, por lo que el estudio de este ultimo poset parece requerir de masteorıa. Para buscar y analizar ejemplos utilizamos los programas SageMath y GAP. Vimospor ejemplo que el grupo de orden mas chico para el cual Sp(G) es contractil y Ap(G) noes de orden 576 = 26.32 y para p = 2. Ademas pudimos probar que para grupos de ordenpα ∗ q, ambos posets son homotopicamente equivalentes, lo cual nos permite descartaruna gran cantidad de casos a la hora de buscar contraejemplos y probar, junto con otrosresultados, que el orden mas chico para el cual existe un grupo G con Sp(G) y Ap(G)no homotopicamente equivalentes es 72 y con p = 2, mientras que el que habıa exhibidoStong era S5 de orden 120. Para p = 3 el grupo mas chico para el que Sp(G) 6' Ap(G) esde orden 1728 = 26.33. Si uno quisiera buscar un contraejemplo para la contractibilidadcon otro primo, por ejemplo, para p = 3, uno piensa que como mınimo tal primo deberıaestar con potencia 6, ya que cuando analizamos para el primo 2 el primer contraejemploque encontramos fue con potencia sexta. En tal caso, el orden mas chico que deberıamoschequear es 22.36 = 4.729 = 2916, y este no esta en la tabla de grupos chicos GAP, por lo

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Kevin Piterman Contenidos

cual no tenemos una manera directa de buscar un contraejemplo. De hecho, tanto para 2como para 3 probamos con potencias cuartas y quintas, y no encontramos contraejemplosrespecto de la contractibilidad. Queda abierta entonces la pregunta de si la contractibilidadde Sp(G) implica la de Ap(G) para primos impares.

En el estudio de la contractibilidad del poset Ap(G), introdujimos la nocion de con-tractibilidad en n pasos, la cual solo tiene sentido cuando estamos trabajando con posets,o equivalentemente, espacios finitos T0. Un poset X es contractil en n pasos si existenn + 1 morfismos de posets f0, f1, . . . , fn : X → X y un elemento distinguido x0 ∈ X demanera que f0 = idX , fn = ctex0 y f0 ≤ f1 ≥ f2 ≤ . . . o bien f0 ≥ f1 ≤ f2 ≥ . . .. En elcaso del poset Ap(G), la contractibilidad en 0, 1, 2 y 3 pasos se puede describir en terminosde cierto subgrupo de G. Hasta el momento, no pudimos encontrar una caracterizaciongeneral para la contractibilidad de Ap(G) en n pasos en terminos de un subgrupo en par-ticular sin necesidad de pasar por el poset Ap(G). Sin embargo, cuando probamos enSageMath, luego de introducir algunas restricciones coherentes para los grupos, vimos quehay muy pocos grupos G para los que Ap(G) es contractil en mas de dos pasos. Esto noshace preguntar que tan exoticos son tales grupos, si hay alguna relacion entre todos ellosy en cuantos pasos son contractiles, o si no lo son. De esta manera, pudimos restringirsignificativamente la busqueda de grupos G para los que Sp(G) es contractil y Ap(G) noes contractil en menos de tres pasos, con el primo p = 2. Una vez que obtuvimos unalista mucho mas pequena (de tan solo 28 grupos), con otro programa hecho en SageMathanalizamos si el poset Ap(G) era contractil o no. Esto nos llevo a la conclusion de que elprimer grupo para el cual Ap(G) no es contractil y Sp(G) sı, es el grupo de orden 576 eid 8654 de la tabla de SmallGroups de GAP. Ademas nos dio que es el unico grupo de talorden con esa propiedad.

En el capıtulo 1, damos los resultados teoricos basicos que necesitaremos a lo largo deeste trabajo. En el capıtulo 2, recordamos la definicion de los posets Sp(G) y Ap(G), estu-diamos algunas propiedades homotopicas basicas y demostramos la conjetura de Quillenpara el caso resoluble, traduciendo todo al lenguaje de espacios finitos y en algunos casoshaciendo demostraciones alternativas a las que se encuentran en la literatura. Describi-mos brevemente otros casos de la conjetura y el trabajo de Aschbacher-Smith sobre lamisma. Tambien probamos de manera alternativa que los espacios topologicos |K(Sp(G))|y |K(Ap(G))| tienen el mismo tipo homotopico G-equivariante y damos distintos enfo-ques sobre la conjetura de P. Webb (actualmente probada) que afirma que |K(Sp(G))|/Ges contractil. Finalmente en el capıtulo 3 describimos la nocion de contractibilidad enpasos y trabajando con retıculos reducidos atomicos y coatomicos, logrando describirexplıcitamente la cantidad de pasos necesarios para la contractibilidad de este tipo deposets. En particular, esto se aplica al poset Ap(G). Ademas incluimos varios resulta-dos parciales que nos permiten decidir cuando los posets Ap(G) y Sp(G) tienen el mismotipo homotopico. Por ejemplo, describimos explıcitamente cuando Ap(G) ⊂ Sp(G) es unretracto, que quiere decir la contractibilidad de Ap(G) en a lo sumo 3 pasos, si el grupoes de orden pαq entonces ambos posets son homotopicamente equivalentes. Por ultimo,cerramos ese capıtulo con un analisis del grupo diedral y algunos ejemplos que desafıannuestra intuicion.

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Lista de sımbolos

Sean G,H dos grupos finitos y π ⊂ N un conjunto finito de numeros primos.1 elemento neutro o grupo trivialGop grupo opuesto a GH ≤ G H subgrupo de GH < G H subgrupo propio de G1 < H H grupo no trivialH E G H subgrupo normal de GH charG H subgrupo caracterıstico de GZn grupo cıclico de orden n|G| orden del grupo Gord(g) orden del elemento g[g, h] es el elemento ghg−1h−1

gh es el elemento h−1ghHg es el subgrupo g−1HggH coclase a izquierdaHg coclase a derechaG/H conjunto de coclases, grupo cociente si H E G|G : H| ındice de H en G, el cardinal del conjunto G/HG×H producto directo de G y HGoH producto semidirecto de G por H〈S〉 subgrupo generado por los elementos de SXY para X,Y ⊂ G, es el conjunto xy : x ∈ X, y ∈ Y |G|π mayor divisor de |G| que es potencia y producto de los primos de π|G|p es |G|π para π = pmp(G) la potencia de p mas grande que divide a |G|rp(B) si B es un p-toro finito, es la dimension de B como Fp-espacio vectorialZ(G) el centro de G: x ∈ G : xg = gx para todo g ∈ G[G,H] el conmutador de G y H: 〈[g, h] : g ∈ G, h ∈ H〉G′ el derivado de G, el subgrupo [G,G]CG(h) el centralizador de h en G: g ∈ G : [g, h] = 1CG(H) el centralizador de H en G: g ∈ G : [g,H] = 1NG(H) el normalizador de H en G: g ∈ G : Hg = H

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Ω1(H) subgrupo de H generado por los elementos x ∈ H tales que xp = 1SylP (G) conjunto de p-subgrupos de Sylow de Gnp cantidad de p-Sylows de GOπ(G) π-subgrupo normal mas grande de GKer(f) nucleo del morfismo de grupos fIm(f) imagen del morfismo de grupos fcg automorfismo de G que es conjugar por gEnd(G) endomorfismos del grupo GAut(G) automorfismos del grupo GInn(G) automorfismos interiores del grupo GCGSF Clasificacion de grupos simple finitosSn grupo simetrico en n letrasAn grupo alterno de n letrasF (G) subgrupo de Fitting de GF ∗(G) subgrupo de Fitting generalizado de G

Supongamos que G actua a derecha en un conjunto X.

Sym(X) grupo de funciones biyectivas de X con la composicionxg notacion para la accion a derecha (x, g) 7→ xg

Xg el conjunto de elementos de la forma xg, con x ∈ X y g ∈ GXG es el conjunto de puntos fijos de la accion de G en XOx es la orbita por la accion de G del elemento x ∈ XGx es el estabilizador por la accion de G del elemento x ∈ X

Sean X, Z dos G-posets, sea Y ⊂ X y sean x, y ∈ Y .

UYx abierto mas chico en Y que contiene a xF Yx clausura de x en Y

UYx es UYx − xY<x es UYxF Yx es F Yx − xY>x es F YxK(X) complejo simplicial asociado al poset XX (K) poset de caras del complejo simplicial Kx ≺ y el elemento y cubre a xh(X) altura del poset Xh(x) altura del elemento x, o sea h(x) = h(Ux)

X Y colapso fuerte de X a Y

X G Y colapso fuerte equivariante de X a Y

X e Y colapso elemental de X a Y

X Y colapso de X a Y

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Kevin Piterman Contenidos

X Ge Y colapso elemental equivariante de X a Y

X G Y colapso equivariante de X a Y

X Z X se deforma a Z, mismo tipo homotopico simple

X G Z X se G-deforma a Z, mismo tipo homotopico simple equivarianteX ' Z mismo tipo homotopicoX ∼

wZ mismo tipo homotopico debil

µX equivalencia debil canonica µX : |K(X)| → X, definida porµX (

∑i tixi) = mini xi

X →≈w

Z equivalencia debil

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Capıtulo 1

Preliminares

1.1 Teorıa basica de grupos finitos

En este trabajo asumimos que todos los grupos que utilizamos son finitos. La mayorıade las definiciones y proposiciones que nombramos pueden encontrarse en cualquier librobasico de algebra que incluya teorıa de grupos. Para una demostracion y entendimientomas profundo de los teoremas mas avanzados que aparecen hacia el final de esta seccionrecomendamos el excelente libro de I. Martin Isaacs [24]. El lector que posea un mınimode conocimiento sobre teorıa de grupos finitos puede saltearse esta seccion tranquilamente.La mayorıa de las notaciones que damos sobre grupos pueden consultarse en la Lista deSımbolos.

Sea G un grupo finito. Para referirnos a un subgrupo H de G, notamos H ≤ G. Alsubgrupo trivial lo notamos como 1 o 1, y para decir que H es un grupo no trivialescribimos 1 < H. En general, para decir que H es un subgrupo propio de G notamosH < G. Si X ⊂ G es un subconjunto, el subgrupo generado por X lo notamos 〈X〉. Elgrupo opuesto de G lo denotamos Gop.

Si X,Y ⊂ G son dos subconjuntos, entonces XY = xy : x ∈ X, y ∈ Y . Esteconjunto no es necesariamente un subgrupo de G. En el caso de que X,Y ≤ G sonsubgrupos, entonces XY ≤ G si y solo si XY = Y X.

El orden del grupo G es la cantidad de elementos que posee y lo notamos |G|. El ordende un elemento g ∈ G es el orden del subgrupo cıclico 〈g〉. Lo notamos |g| = ord(g) y tienela siguiente propiedad: si gn = 1, entonces ord(g) | n. Si p es un primo, el numero |G|p esla potencia de p mas grande que divide a G. Esto es, si |G| = pαm con p y m coprimos,entonces |G|p = pα. Tambien escribimos m = |G|p′ . Mas en general, si p1, . . . , pn esun conjunto de primos tales que |G| = pα1

1 . . . pαnn , y π ⊂ p1, . . . , pn es un subconjunto,entonces

|G|π =∏i:pi∈π

pαii

y

|G|π′ =∏i:pi /∈π

pαii

Notamos π′ = p1, . . . , pn − π al complemento de π. Un π-grupo es un grupo G tal que

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Capıtulo 1. Preliminares Kevin Piterman

|G|π = |G|. Ası, un p-grupo es un grupo G cuyo orden es una potencia de p. El grupotrivial es considerado un π-grupo. De la misma manera se tiene la nocion de π-subgrupo.Tambien podemos escribir π(G) para denotar al conjunto de primos p que dividen al ordende G. De esta manera, G es un π-grupo si y solo si π(G) ⊂ π.

De los teoremas de Sylow (ver teorema 1.1.11), si p es un primo que divide al ordende G, entonces existen subgrupos de orden |G|p, que llamamos p-Sylows, y son todosconjugados. Ademas, si np denota a la cantidad de p-Sylows, entonces p | np−1 y np | |G|p′ .Los teoremas de Sylow tambien nos dicen que todo p-subgrupo de G esta contenido enalgun p-Sylow. Es inmediato ver que los p-Sylows son los p-subgrupos maximales de G.Notamos por Sylp(G) al conjunto de p-subgrupos de Sylow de G. Si p no divide al ordende G, entonces Sylp(G) = 1. Escribiremos mp(G) para denotar el mayor entero α talque pα | |G|. Es decir, mp(G) = logp(|G|p).

Si H ≤ G es un subgrupo, el conjunto de coclases a derecha de H en G es

G/H = Hg : g ∈ G

donde Hg = hg : h ∈ H. De manera analoga tenemos las coclases a izquierda. Recorde-mos que dos coclases son iguales o disjuntas y que G es union disjunta de estas. El ındicede H en G es el cardinal del conjunto de coclases G/H y lo notamos |G : H|. Del teo-rema de Lagrange, tenemos que |G| = |H||G : H|. Ademas, si K ≤ H ≤ G, entonces|G : K| = |G : H||H : K|. En particular, si g ∈ G entonces ord(g) | |G|.

Si g ∈ G, notamos por cg : G→ G al morfismo de grupos dado por

cg(h) = ghg−1

Tambien escribimos hg = cg−1(h) = g−1hg. Si X ⊂ G es un subconjunto, entonces

Xg = cg−1(X) = g−1xg : x ∈ X

Tenemos un morfismo canonicoΦ : G→ Aut(G)

g 7→ cg

El nucleo de este morfismo son los g ∈ G tales que cg = idG. Esto es, los g ∈ G talesque ghg−1 = h para todo h ∈ G. Este subgrupo es el centro de G y lo notamos Z(G).Un grupo G es abeliano si Z(G) = G. La imagen de este morfismo Φ es Inn(G), elconjunto de automorfismos interiores. Esto es, el conjunto de automorfismos dados porla conjugacion por un elemento de G. De los teoremas de isomorfismos 1.1.6 se tiene queInn(G) ' G/Z(G).

Supongamos que G actua a derecha en un conjunto X, y tomemos elementos g ∈ Gy x ∈ X, entonces denotamos xg a la accion de g en x. Si Y ⊂ X es un subconjunto,entonces Y g = yg : y ∈ Y . Si x ∈ X, la orbita de x por la accion de G es el conjuntoOx = ϕ(x,G) y el estabilizador de x en G es el subgrupo de G

Gx = g ∈ G : xg = x

El conjunto de puntos fijos de la accion es

XG = x ∈ X : xg = x para todo g ∈ G

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Kevin Piterman Capıtulo 1. Preliminares

Si H ≤ G es un subgrupo, podemos considerar la accion de H en X que es la restriccion dela accion de G. De manera analoga, si Y ⊂ X es un subconjunto invariante por la accion deG, podemos restringir la accion de G a Y . Recordemos que Y es invariante, o G-invariante,si Y g = Y para todo g ∈ G. Recordemos que si x ∈ X, entonces |Ox| = |G : Gx|, y enparticular |G| = |Gx||Ox|.

La accion regular de G es la accion de G sobre sı mismo que esta dada por multiplicar.Esto es, la accion que proviene de la funcion G×G→ G dada por (g, h) 7→ gh.

La accion de G sobre sı mismo por conjugacion (a derecha) esta dada por la funcionc : G × G → G, c(g, h) = gh = h−1gh. Si g ∈ G, entonces la orbita de g por esta acciones la clase de conjugacion de g en G. Si restringimos la accion a un subgrupo H ≤ G, laorbita es la clase de conjugacion de g en H. La notamos ClH(g). Dos elementos de G queestan en la misma clase de conjugacion se dicen conjugados. El estabilizador de g ∈ Ges el subgrupo h ∈ G : gh = g, es decir, es el centralizador de g en G, que notamosCG(g). Mas en general, si L(G) denota el reticulado de subgrupos de G, entonces G actuaen L(G) por conjugacion. Si H ∈ L(G), la orbita de H es la clase de conjugacion de Hy es el conjunto ClG(H) = Hg : g ∈ G. Dos subgrupos que estan en la misma clase deconjugacion decimos que son conjugados. Un subgrupo normal de G es un H ≤ G tal queClG(H) = H, y lo denotamos H E G. Es decir, si para todo g ∈ G, Hg = H. Por otrolado, el estabilizador de H es el subgrupo g ∈ G : Hg = H = NG(H), que llamamos elnormalizador de H en G. Ası, H es normal en G si y solo si NG(H) = G. Si K ≤ G esun subgrupo, entonces podemos considerar NK(H) = NG(H) ∩K, que es simplemente elestabilizador de H con la accion restringida a K. Cuando H ≤ K, tiene sentido entoncesdecir que H es normal en K. Recordemos que ser normal no es una propiedad transitiva.El nucleo de cualquier morfismo de grupos es un subgrupo normal del dominio. Ademas,si H E G entonces G/H posee una estructura de grupo y lo llamamos grupo cociente. Hayun morfismo de grupos canonico q : G→ G/H tal que q(g) = g = Hg. Al grupo cocienteG/H a veces lo notaremos G. Del teorema de correspondencia (ver teorema 1.1.7), existeuna biyeccion entre los subgrupos de G que contienen a H y los subgrupos de G. Masaun, si H ≤ K ≤ G se corresponde con K ≤ G, entonces K E G si y solo si K E G, y[G : K] = [G : K].

Sea X un conjunto. Notamos por Sym(X) al grupo de funciones biyectivas de X conla operacion de la composicion. Si G actua a derecha en un conjunto X, tenemos unmorfismo de grupos ϕ : G→ Sym(X)op dado por g 7→ ϕ(g), donde ϕ(g)(x) = xg. Cuandola accion es a izquierda, no necesitamos tomar el opuesto de Sym(X). El nucleo de laaccion de G en X es el nucleo de este morfismo, y cuando este es trivial, decimos que laaccion es fiel. Decimos que la accion es transitiva si para todo x, y ∈ X, existe g ∈ G talque xg = y.

Por ejemplo, la accion regular es fiel y transitiva.

Para la accion de G por conjugacion (a derecha), el morfismo es Φ : G → Aut(G)op,g 7→ cg−1 , y el nucleo es el centro de G.

Si H ≤ G, podemos considerar el conjunto G/H = Hx : x ∈ G de las coclases aderecha. Entonces G actua en este conjunto por multiplicacion a derecha. El estabilizadorde Hx es el conjunto g ∈ G : Hxg = Hx = g ∈ G : gx

−1 ∈ H = Hx. El nucleo de

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esta accion es lo que se llama el core de H:

coreG(H) =⋂x∈G

xHx−1

Este es el subgrupo normal de G mas grande contenido en H.

Definicion 1.1.1. Para π un conjunto de primos, el subgrupo Oπ(G) es el π-subgruponormal mas grande de G. A menudo lo llamamos π-core de G. De la misma manera sedefine el π′-core. Cuando π = p, el p-core de G es el grupo Op(G) = Op(G).

Observacion 1.1.2. El p-core de G coincide con la interseccion de todos los p-Sylows deG. Para ver esto, notemos que un p-subgrupo normal de G debe estar contenido en lainterseccion de todos los p-Sylows, ya que si K E G es un p-grupo y P ≤ G es un p-Sylowcon K ≤ P , entonces K ≤ P g para todo g ∈ G. Por otro lado, la interseccion de todos losp-Sylows coreG(P ), con P ∈ Sylp(G), es normal en G, y ası

coreG(P ) ≤ Op(G) ≤ coreG(P )

Para dos elementos k, h ∈ G, el conmutador de h y k es el elemento [k, h] = khk−1h−1.Si K,H ≤ G son dos subgrupos, el conmutador de K y H es el grupo

[K,H] = 〈[k, h] : k ∈ K,h ∈ H〉

El conmutador de G es el grupo [G,G], que tambien se llama derivado de G y se nota G′.El grupo G es perfecto si G′ = G.

Si G1 y G2 son dos grupos, el producto directo (externo) lo notamos G1×G2. Si G esun grupo y H,K son dos subgrupos, decimos que G es el producto directo interno de H yK si ambos son normales en G, H ∩K = 1 y HK = G. Equivalentemente, todo elementode G se escribe de forma unica como hk con h ∈ H y k ∈ K, y ademas [H,K] = 1.

En general, si H,K ≤ G y K ≤ NG(H), entonces HK ≤ G. Si ademas H ∩ K = 1y HK = G, decimos que G es el producto semidirecto interno de H por K. Notar queen tal caso H E G. Por otro lado, si G1 y G2 son dos grupos junto con un morfismoα : G2 → Aut(G1), entonces podemos formar el producto semidirecto externo de G1 porG2, que notamos por G1oG2. Se puede chequear que todo producto (semi)directo internoproviene de un externo y viceversa.

Definicion 1.1.3. Un subgrupo H ≤ G se dice que es caracterıstico en G, y se notaH charG, si para cada automorfismo ϕ : G→ G se tiene que ϕ(H) = H.

Ejemplo 1.1.4. Los subgrupos Z(G), G′, Oπ(G), 1, G son caracterısticos en G.

Observacion 1.1.5. Es facil chequear que la propiedad de ser caracterıstico es transitivay que todo subgrupo caracterıstico es normal. Ademas si H charG y K E H entoncesK E G.

A continuacion, enunciamos algunos resultados basicos de la teorıa de grupos.

Teorema 1.1.6. (Teoremas de isomorfismo)

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1. Si f : G→ H es un morfismo de grupos, entonces G/Ker(f) ' Im(f)

2. Si K ≤ H ≤ G y ambos subgrupos son normales en G, entonces K es normal en Hy (G/H)/(H/K) ' G/H

3. Si H,K ≤ G y K ≤ NG(H), entonces HK ≤ G y K/(K ∩H) ' HK/H.

Teorema 1.1.7. (Teorema de correspondencia) Sea G un grupo y sea N un subgruponormal de G. Notemos por q : G → G = G/N al morfismo cociente. Entonces se tieneuna biyeccion de conjuntos

H ≤ G : N ≤ H ↔ H ≤ G

que esta dada H 7→ q(H) = H/N con inversa H 7→ q−1(H). Si N ≤ H,K ≤ G, se tienenlas siguientes:

• H ≤ K si y solo si H ≤ K

• H E K si y solo si H E K

• Si H ≤ K, entonces |K : H| = |K : H|

• Si H E K, entonces K/H ' K/H

Proposicion 1.1.8. Sea G un grupo finito. Se tienen las siguientes:

1. Si x ∈ G entonces |ClG(x)| = |G : CG(x)|

2. Si H ≤ G entonces |ClG(H)| = |G : NG(H)|

Teorema 1.1.9. (Ecuacion de clases) Si G actua sobre un conjunto finito X, entoncesexiste un subconjunto x1, . . . , xs de X tal que |Oxi | > 1 para todo i, las orbitas de estosson todas distintas y

|X| = |XG|+s∑i=1

|Oxi | = |XG|+s∑i=1

|G : Gxi |

En particular, cuando X = G y la accion es la conjugacion,

|G| = |Z(G)|+s∑i=1

|G : CG(xi)|

con (G : CG(xi)) ≥ 2 para todo i.

Proposicion 1.1.10. (Cauchy) Si p | |G|, entonces G tiene un elemento de orden p.

Teorema 1.1.11. (Sylow) Sea G un grupo finito y sea p un primo que divide al orden deG. Notemos np a la cantidad de p-subgrupos de Sylows de G. Entonces:

(E) Existen p-subgrupos de Sylow, es decir, np > 0.

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(C) Dos p-subgrupos de Sylow son conjugados en G.

(S) Todo p-subgrupo de G esta contenido en algun p-Sylow.

(D) Si np > 1 y S, T son dos p-Sylows distintos tales que |S ∩ T | es maximal, entoncesnp(G) ≡ 1 mod |S : S ∩ T |. En particular, np ≡ 1 mod p. Mas aun, np = |G :NG(P )| para P ≤ G un p-Sylow. Tambien se tiene que np | |G|p′

Corolario 1.1.12. De la parte (D) del teorema anterior, np = 1 si y solo si hay un p-Sylownormal.

Proposicion 1.1.13. Supongamos que P es un p-subgrupo de Sylow de un grupo G ysea Q ≤ NG(P ) un p-subgrupo. Entonces Q ≤ P .

Las siguientes proposiciones nos seran de gran utilidad en este trabajo, y como nosiempre se demuestran en los cursos basicos de algebra, incluimos sus demostraciones.

Proposicion 1.1.14. Sea P un p-grupo y sea 1 < N E P un subgrupo normal. EntoncesN ∩ Z(P ) > 1. En particular Z(P ) > 1 y si N es normal minimal entonces N ≤ Z(P ).

Demostracion. Como N es normal en P , podemos considerar la accion por conjugacionde P sobre N . Ası, el conjunto de puntos fijos de la accion es

NP = n ∈ N : ng = n para todo g ∈ P = CN (P ) = N ∩ Z(P )

Del teorema de la ecuacion de clases 1.1.9, tenemos que

|N | = |NP |+r∑i=1

(P : Pxi)

para ciertos elementos xi ∈ N con (P : Pxi) > 1. Como N y P son p-grupos no triviales,se tiene que p | |N | y p | (P : Pxi) para todo i. Tomando resto modulo p en esta ecuacionde clases, deducimos que |N ∩ Z(P )| = |NP | ≡ 0 mod p. En consecuencia, N ∩ Z(P ) esun p-grupo no trivial.

Si N = P , tenemos que Z(P ) = N ∩Z(P ) > 1. Por otro lado, si N es normal minimalen P , entonces N ∩ Z(P ) es un subgrupo no trivial y normal en P . Por minimalidad deN debe ser que N = N ∩ Z(P ) ≤ Z(P ).

Lema 1.1.15. Sea N E G y sea H ≤ G tal que N ≤ H. Notemos G = G/N . EntoncesNG(H) = NG(H).

Demostracion. La demostracion se basa puramente en el teorema de correspondencia.Como N ≤ H E NG(H), tomando cociente tenemos que H E NG(H). Si H E K ′, por elteorema de correspondencia, existe K ≤ G que contiene a H y tal que K = K ′. LuegoH E K y ası K ≤ NG(H). Por lo tanto K ′ = K ≤ NG(H). Esto prueba que NG(H) es elsubgrupo mas grande en el que H es normal, y entonces NG(H) = NG(H).

Proposicion 1.1.16. Sea G un p-grupo. Si H < G es un subgrupo propio, entoncesH < NG(H).

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Demostracion. Por induccion en |G|. Si |G| = p no hay nada que decir. Supongamosque |G| > p y sea H < G un subgrupo propio. Si H = 1 ya estamos, por lo quepodemos suponer que 1 < H. Sea Z = Z(G), que es no trivial. Supongamos por elabsurdo que H = NG(H). Entonces Z(G) ≤ NG(H) = H. Consideremos G = G/Z(G).Sea H = H/Z(G). Como Z(G) ≤ H < G, vale que H < G. Por hipotesis inductiva,H < NG(H). Del lema anterior, NG(H) = NG(H), y del teorema de correspondencia,H < NG(H), lo cual es una contradiccion.

Proposicion 1.1.17. Sea G un grupo de orden p2, con p primo. Entonces G ' Zp2 oG ' Zp ⊕ Zp.

Recordamos ahora algunos conceptos y resultados relacionados con resolubilidad degrupos.

Definicion 1.1.18. Si G es un grupo, una serie es una sucesion de subgrupos Hn ≤Hn−1 ≤ . . . ≤ H0. La serie se dice normal si Hi E H0 para todo i, y se dice subnormal siHi+1 E Hi para todo i < n. Los factores de una serie subnormal son los grupos Hi/Hi+1.

Definicion 1.1.19. La serie derivada de un grupo G es la serie Hi = G(i), donde G(1) = G′

y G(n+1) = (G(n))′. Por convencion, H0 = G(0) := G.

Definicion 1.1.20. Un grupo finito G se dice resoluble si cumple alguna (y por lo tanto,todas) de las siguientes condiciones equivalentes:

1. Existe una serie normal que empieza en 1 y termina enG cuyos factores son abelianos.

2. Existe una serie subnormal que empieza en 1 y termina en G cuyos factores soncıclicos.

3. Su serie derivada termina en el grupo trivial

4. Existe una serie de subgrupos caracterısticos cuyos factores son abelianos.

Definicion 1.1.21. Un grupo G se dice π-separable si posee una serie normal cuyosfactores sucesivos son π-grupos o π′-grupos.

Un grupo G se dice π-resoluble si posee una serie normal cuyos factores sucesivos sonπ-grupos resolubles o π′-grupos.

Proposicion 1.1.22. Todo cociente y todo subgrupo de un grupo resoluble es resoluble.Si H E G entonces G es resoluble si y solo si H y G/H son resolubles.

Proposicion 1.1.23. Si G es un p-grupo y pα | |G| entonces G posee un subgrupo normalde orden pα. En particular, todo p-grupo es resoluble.

La proposicion anterior nos dice que en particular un grupo p-separable es un grupop-resoluble.

Finalizamos esta seccion enunciando algunos resultados sobre grupos finitos que nece-sitaremos en los proximos capıtulos. Las demostraciones pueden encontrarse en [24].

Teorema 1.1.24. (Burnside) Todo grupo de orden pαqβ, con p, q primos, es resoluble.

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Definicion 1.1.25. Un π-subgrupo de Hall de G en un π-subgrupo cuyo ındice en G escoprimo con su orden. Es decir, es un H ≤ G tal que |H|π = |H| y |G : H|π′ = |G : H|.

Teorema 1.1.26. (Schur–Zassenhaus) Sea G un grupo finito y sea N un π-subgrupo deHall que es normal en G. Entonces existe un π′-subgrupo H ≤ G tal que NH = G. Esdecir, G ' N o G/N . Un tal H se llama un complemento de N . Mas aun, todos loscomplementos de N son conjugados.

Proposicion 1.1.27. Un grupo resoluble es π-separable para todo π conjunto de primos.En particular, un grupo resoluble es p-resoluble para todo p primo.

Teorema 1.1.28. (Hall-Higman Lemma 1.2.3) Si G es un grupo π-separable y Oπ′(G) = 1entonces Oπ(G) ⊃ CG(Oπ(G)).

En particular el teorema anterior vale para grupos resolubles y p-resolubles.

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1.2 Espacios topologicos finitos

En esta seccion haremos un breve repaso de la teorıa de espacios topologicos finitos, quecomenzo a desarrollarse con los trabajos de Alexandroff ([1]), McCord ([25]) y Stong ([31])y luego, mas recientemente, se profundizo con los trabajos de Barmak y Minian ([8], [10],[6], [7]). En general no daremos las demostraciones de los resultados que enunciemos, ypara ello referimos al lector el libro [6] de Jonathan Barmak, el cual vamos a seguir enesta seccion.

Un espacio topologico finito (o espacio finito para abreviar) es un espacio topologicoX con finitos puntos. Dado un punto x ∈ X, consideramos el conjunto Ux que es lainterseccion de todos los abiertos que contienen a x. Como X es finito, hay una cantidadfinita de tales abiertos y por lo tanto Ux es un abierto. Es facil ver que estos abiertosforman una base para la topologıa de X y que si U ⊂ X es un abierto entonces

U =⋃x∈U

Ux

Con esto, obtenemos una relacion

y ∈ Ux si y solo si Uy ⊂ Ux

lo cual nos permite definir un preorden en X

y ≤ x si Uy ⊂ Ux

Recıprocamente, si uno tiene un preorden ≤ en un conjunto X, podemos asignarle latopologıa generada por la base que consiste de los conjuntos Ux = y ∈ X : y ≤ x parax ∈ X. Es inmediato chequear que esto efectivamente es una base para una topologıay que tal construccion es inversa a la que realizamos anteriormente. Esto nos da unaequivalencia entre espacios finitos y preordenes en conjuntos finitos.

Dado un espacio finito X, la relacion Ux = Uy nos dice, en terminos del preorden quele asignamos, que x ≤ y e y ≤ x. El espacio finito X sera T0 si y solo si Ux = Uy implicax = y. En terminos de la correspondencia significa que X es un poset. A lo largo de estetrabajo no vamos a hacer distincion entre posets y espacios finitos T0.

Dado un elemento x de un espacio finito X, podemos considerar Fx el cerrado mas chicoque contiene a x, es decir, la clausura de x. Es facil ver que en terminos del preorden quele asignamos esto significa que Fx = y ∈ X : y ≥ x. Cuando sea necesario notaremosFXx y UXx para referirnos a los conjuntos Fx y Ux del espacio X. Si consideramos Xop, elposet finito cuyo conjunto subyacente es X y con el preorden opuesto. Ası, UX

op

x = FXx yFX

op

x = UXx . Notamos Ux = Ux − x y Fx = Fx − x.

Un elemento minimal de un poset X es un x ∈ X tal que y ≤ x implica que y = x. Unmınimo para X es un x ∈ X tal que para todo y ∈ X se tiene que x ≤ y. Analogamente setiene la nocion de elemento maximal y de maximo. Un poset finito siempre tiene elementosminimales y maximales, aunque no siempre tiene maximo o mınimo. Si x ∈ X, decimosque y ∈ X cubre a x si x < y y cada vez que x ≤ z ≤ y entonces z = x o bien z = y. Ental caso notamos x ≺ y. Esto es equivalente a decir que Fx ∩ Uy = x, y.

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Una cadena en un poset X es un subconjunto c ⊂ X que esta totalmente ordenado,mientras que una anticadena es un subconjunto a ⊂ X en el que dos elementos distintoscualesquiera no son comparables. La altura o dimension de un poset X es el numero

h(X) = sup |c| − 1 : c ⊂ X cadena

y si x ∈ X definimos su altura (o dimension) como h(x) := h(Ux).Si A ⊂ X es un subespacio, entonces para todo x ∈ A vale que UAx = A ∩ Ux y

FAx = A ∩ Fx. Esto nos dice que la topologıa de subespacio de A se corresponde con elpreorden de X restringido a A. Si X e Y son espacios finitos y consideramos la topologıaproducto en X × Y , entonces U(x,y) = Ux × Uy para cada x ∈ X e y ∈ Y . Es decir, elorden en X × Y es el orden coordenada a coordenada.

Una funcion f : X → Y entre espacios finitos es continua si y solo si preserva el orden:x ≤ y implica que f(x) ≤ f(y). En general a las funciones continuas entre espacios finitosT0 las llamaremos morfismos de posets o simplemente morfismos.

Es inmediato verificar que f : X → Y es continua si y solo si fop : Xop → Y op, lafuncion que toma los mismos valores que f pero vista con la topologıa opuesta, es continua.

Conexion y funciones homotopicas en espacios finitos

Si X es un espacio finito, entonces dos elementos x, y ∈ X estan arcoconectados si y solosi existen puntos x0, x1, . . . , xn ∈ X de manera que x0 = x, xn = y y para todo i se lospuntos xi y xi+1 son comparables. Ademas, para cada x ∈ X, el abierto Ux es conexo,por lo que X es localmente arcoconexo. Luego un espacio finito X es conexo si y solo sies arcoconexo, si y solo si el preorden que le asignamos es conexo.

Si X e Y son dos espacios finitos y consideramos el espacio Y X de las funcionescontinuas de X a Y con la topologıa compacto abierta, entonces el preorden de Y X conesta topologıa se corresponde con el orden f ≤ g si f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ X, dondef, g : X → Y son continuas.

Una funcion H : [0, 1] ×X → Y es continua si y solo si H : [0, 1] → Y X es continua,donde H(t) = (x 7→ H(t, x)) (ver discusion debajo de [6, Proposition 1.2.5] para masdetalles). De esta manera, dos funciones f, g : X → Y son homotopicas si y solo si estanarcoconectadas en Y X . Esto equivale a decir que existen funciones continuas f0, f1, . . . , fn :X → Y tales que f0 = f , fn = g y fi, fi+1 son comparables para todo i. En particular, sif ≤ g entonces f ' g.

Si A ⊂ X es un subespacio, entonces dos funciones f, g : X → Y son homotopicasrelativas a A si y solo si estan arcoconectadas en XY vıa funciones que restringidas a Avalen lo mismo. En tal caso notamos f ' g rel A.

En conclusion, tenemos el siguiente teorema.

Teorema 1.2.1. ([6, Corollary 1.2.6]) Si f, g : X → Y son dos funciones continuas entredos espacios finitos entonces f ' g si y solo si existen f0, f1, . . . , fn : X → Y continuastales que f0 = f , fn = g y fi, fi+1 son comparables para todo i. Mas aun, si A ⊂ Xentonces f ' g rel A si existen fi como antes y que ademas fi|A = f |A para todo i.

En particular, f ' g si y solo si fop ' gop. De esta manera, dos espacios finitos tienenel mismo tipo homotopico si y solo si sus opuestos tienen el mismo tipo homotopico.

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Por ultimo, destacamos que para estudiar espacios finitos basta con considerar sololos que son T0, ya que si X es un espacio finito entonces existe un subespacio X0 de Xque es un retracto por deformacion fuerte. Para una construccion del mismo vease [6,Proposition 1.3.1, Remark 1.3.2]. En este trabajo consideraremos siempre espacios finitosT0.

Beat Points y espacios minimales

Una de las ideas de Stong para estudiar el tipo homotopico de espacios finitos T0 fue la dever que sucedıa cuando se realizaban movimientos dentro del poset, los cuales consistıanen sacar o agregar puntos. Mas precisamente, si x ∈ X es un punto que verifica ciertapropiedad, entonces ¿que relacion homotopica existe entre X − x y X? Esto es lo que daorigen a la nocion de beat point.

Definicion 1.2.2. Un punto x en un espacio finito T0 X se dice que es un up beat pointsi Fx posee un mınimo. Decimos que x es un down beat point si Ux posee un maximo.Si sucede alguna de estas dos decimos que x es un beat point. Cuando X no tiene beatpoints se dice que es un espacio minimal.

Observacion 1.2.3. Un x ∈ X es un down beat point si y solo si existe un unico y talque y ≺ x. Analogamente, x es un up beat point si y solo si existe un unico y tal quex ≺ y.

Notemos que x ∈ X es un beat point si y solo si es un beat point de Xop.

Proposicion 1.2.4. Si x ∈ X es un beat point en un poset X, entonces X − x → X esun retracto por deformacion fuerte.

Demostracion. Supongamos que x es un up beat point y sea y el mınimo de Fx. Entoncesla funcion r : X → X − x definida como r(x) = y y la identidad en el resto es el retractoque buscamos.

Definicion 1.2.5. Un core de un espacio finito T0 es un retracto por deformacion fuerteque es un espacio minimal.

Con este metodo de sacar puntos, podemos ir reduciendo el estudio del tipo homotopicodel poset X a uno mas chico, hasta llegar a uno minimal, es decir, a un core. Lo sorpren-dente de este metodo es que no importa en que orden se vayan extrayendo los beat points,los espacios minimales a los que llegamos son siempre homeomorfos. O sea, todo espaciofinito T0 posee un unico core, modulo homeomorfismos.

Para ver esto, necesitamos la siguiente proposicion.

Proposicion 1.2.6. Si X es un espacio minimal y f : X → X es homotopica a laidentidad, entonces f = idX .

Demostracion. De teorema 1.2.1, aplicando un argumento inductivo y tomando posetsopuestos, basta analizar el caso f ≤ idX . Si x ∈ X es minimal, entonces f(x) ≤ ximplica que f(x) = x. Supongamos entonces que x no es minimal y que ya sabemosque f |Ux = idUx . Veamos que f(x) = x. Si no fuese ası, entonces f(x) < x, por lo que

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y = f(x) ∈ Ux. Ademas, si z ∈ Ux, entonces z = f(z) ≤ f(x) = y. Es decir, x es un downbeat point, en contradiccion con nuestra hipotesis de que X era un espacio minimal. Porlo tanto f(x) = x.

Corolario 1.2.7. (Teorema de Clasificacion) Una equivalencia homotopica entre espaciosminimales es un homeomorfismo. Por lo tanto, todos los posibles cores de un espacio finitoson homeomorfos.

Demostracion. Sea f : X → Y una equivalencia homotopica con inversa g : Y → X entreespacios finitos T0. Entonces gf : X → X y fg : Y → Y son dos funciones homotopicas ala identidad idX e idY respectivamente. Por la proposicion anterior, debe ser que gf = idXy fg = idY .

Si X0 y X1 son dos cores de X, entonces X0 ' X ' X1, y como son espacios minimales,de lo anterior deducimos que son homeomorfos.

Observacion 1.2.8. Del teorema de clasificacion, un espacio finito es contractil si y solo sisu core posee un solo punto. Es decir, si existe un punto que es un retracto por deformacionfuerte. Sin embargo, no es verdad que todo punto sea un retracto por deformacion fuerteen tal caso (ver [6, Example 2.2.6]), y en general esta propiedad es falsa en espacios nofinitos.

La teorıa de McCord y equivalencias debiles

Recordemos que una equivalencia debil es una funcion continua entre dos espacios topologicosque induce una biyeccion en todos los grupos de homotopıa. En general, una equivalenciadebil no es una equivalencia homotopica, y que dos espacios tengan los mismos grupos dehomotopıa no implica que exista una equivalencia debil entre ellos. Sin embargo, lo quesı vale es que para todo espacio topologico X existe un CW complejo y una equivalenciadebil del CW a X (CW-aproximacion), y toda equivalencia debil entre CW complejos esuna equivalencia homotopica (teorema de Whitehead).

El teorema de McCord es una herramienta fundamental en la teorıa de espacios finitos.A todo espacio finito T0 X podemos asignarle un complejo simplicial K(X) cuyos sımplicesson las cadenas no vacıas de elementos de X. Utilizando el teorema de McCord veremosque existe una equivalencia debil entre |K(X)| y X. Esto nos dice que todo espacio finitotiene el mismo tipo homotopico debil que un complejo simplicial.

Definicion 1.2.9. Si X es un espacio topologico y U es un cubrimiento por abiertos deX, decimos que U es una base como cubrimiento si U verifica las condiciones para servirde base a una topologıa (no necesariamente la que ya tiene X). Esto es, si si U, V ∈ U yx ∈ X entonces existe W ∈ U tal que x ∈W ⊂ U ∩ V .

En el caso de un espacio finito X, los abiertos basicos Uxx∈X forma una base comocubrimiento, y es la que usaremos en general para espacios finitos.

Teorema 1.2.10. (McCord) Supongamos que X e Y son dos espacios topologicos, quef : X → Y es una funcion continua y que existe U una base como cubrimiento de Y demanera que f |f−1(U) : f−1(U) → U es una equivalencia debil para todo U ∈ U . Entoncesf es una equivalencia debil.

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El teorema de McCord esta muy relacionado con el Teorema A de Quillen. La de-mostracion original de McCord se encuentra en [25, Theorem 6]. Para ver la relacionentre el teorema de McCord y el Teorema A de Quillen, ver [7].

Observacion 1.2.11. Si X e Y son dos espacios finitos T0 y f : X → Y es una funcioncontinua entre ellos, entonces K(f) : K(X) → K(Y ) definida por K(f)(x) = f(x) es unmorfismo simplicial. De hecho, K(X) = K(Xop) y K(f) = K(fop).

Sea X un espacio finito T0. Si α ∈ |K(x)|, entonces existe una cadena x0 < x1 < . . . <xn de elementos de X y escalares t0, . . . , tn > 0 tales que α =

∑ni=0 tixi y

∑ni=0 ti = 1.

Definimos entonces Supp(α) = x0, . . . , xn y µX(α) = min(Supp(α)) = x0. El siguienteteorema nos dice que la funcion µX : |K(X)| → X es una equivalencia debil. Aquı solocomentaremos la idea general de la demostracion. Los detalles pueden verse en [6, Theorem1.4.6].

Teorema 1.2.12. La funcion µX : |K(X)| → X es una equivalencia debil.

Demostracion. (Idea) Tenemos que ver que µX es una funcion continua y que es unaequivalencia debil. Lo primero que notamos, es que para ver que es continua basta conprobar que µ−1X (Ux) es abierto en |K(X)| para todo x ∈ X. Por otro lado, la idea paraver que es una equivalencia debil es utilizar el teorema de McCord.

Si L = K(X −Ux), entonces L es el subcomplejo de K(X) que consiste de las cadenasde elementos de X que no son menores o iguales a x. Es decir, el subcomplejo pleno deK(X) generado por los vertices que no estan en Ux. Notar que podrıa suceder que L = ∅.De esta manera, es facil chequear que

µ−1X (Ux) = |K(X)| − |L|

En particular esto nos dice que µX es continua.Para aplicar el teorema de McCord, debemos chequear que

µX |µ−1X (Ux)

: µ−1X (Ux)→ Ux

es una equivalencia debil. Como Ux es contractil, es suficiente con ver que µ−1X (Ux) =|K(X)| − |L| es contractil. De hecho, lo que se puede probar es que |K(Ux)| es un retractopor deformacion fuerte de |K(X)| − |L|, y |K(Ux)| es contractil por ser un cono.

Observacion 1.2.13. Si f : X → Y es una funcion continua entre espacios finitos T0,entonces fµX = µY |K(f)|. Es decir, el siguiente diagrama conmuta

|K(X)||K(f)|

//

µX

|K(Y )|µY

Xf

// Y

En particular, f es una equivalencia debil si y solo si |K(f)| es una equivalencia debil, siy solo si es una equivalencia homotopica.

De esto mismo, como |K(X)| = |K(Xop)| y |K(f)| = |K(fop)|, es decir, desde elcomplejo simplicial no distinguimos entre un poset y su opuesto, se sigue que f : X → Yes una equivalencia debil si y solo si fop es una equivalencia debil.

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Si K es un complejo simplicial finito, podemos asociarle el poset de caras de K quees el poset X (K) cuyos elementos son los sımplices de K ordenados por la inclusion. Sif : K → L es un morfismo entre complejos simpliciales, podemos asignarle un morfismoentre los posets de caras X (f) : X (K) → X (L) definida por X (f)(σ) = f(σ). Que f seaun morfismo simplicial nos asegura que X (f) sea un morfismo de posets bien definido.

Recordemos que K ′, la subdivision baricentrica de K, es el complejo simplicial cuyosvertices son los sımplices de K y cuyos sımplices son las cadenas no vacıas de sımplices deK. Con la notacion de lo anterior, vemos que K ′ = K(X (K)), y que si f : K → L es unmorfismo simplicial entonces K(X (f)) : K ′ → L′ es el morfismo inducido en la subdivisionbaricentrica.

Sea hK : |K ′| → |K| el homeomorfismo hK(σ) = b(σ), donde b(σ) =∑

v∈σ1#σv es el

baricentro de σ, y definamos µK : |K| → X (K) como µK = µX (K)h−1K . Como µX (K) es

una equivalencia debil y hK es un homeomorfismo, resulta que µK es una equivalenciadebil. Ademas, para todo morfismo simplicial f : K → L entre complejos finitos, se tieneun diagrama conmutativo salvo homotopıa

|K||f |

//

µK

|L|µL

X (K)X (f)

// X (L)

Para una demostracion precisa de este hecho ver [6, Proposition 1.4.13]. En particular,|f | : |K| → |L| es una equivalencia homotopica si y solo si X (f) : X (K) → X (L) es unaequivalencia debil.

Del teorema de McCord y de estas observaciones, se puede deducir el famoso Quillen’sFiber Theorem, que puede ser enunciado de la siguiente manera:

Teorema 1.2.14. (McCord, Quillen) Sea f : X → Y un morfismo entre posets tal quef−1(Uy) es homotopicamente trivial para todo y ∈ Y . Entonces f es una equivalenciadebil. Lo mismo vale si suponemos que f−1(Fy) es homotopicamente trivial para todoy ∈ Y .

Demostracion. Que |K(f−1(Uy))| sea contractil es equivalente a decir que f−1(Uy) es ho-motopicamente trivial, y por lo tanto del teorema de McCord obtenemos que f : X → Yes una equivalencia debil. Luego |K(f)| es una equivalencia homotopica.

Para el otro caso podemos tomar los posets opuestos y proceder de la misma manera.

El teorema anterior se puede encontrar tambien en [28, Proposition 1.6], donde Quillenrefiere a [27, Theorem A] y al final de [27, Section 7] para una demostracion.

Por ultimo, veamos la relacion que existe entre equivalencias homotopicas entre posetsy morfismos contiguos entre complejos simpliciales.

Recordemos que si f, g : K → L son dos morfismos simpliciales, decimos que sonelementalmente contiguos si f(σ) ∪ g(σ) es un sımplex de L para todo sımplex σ deK. En general, f y g se dicen contiguos si existe una serie de morfismos simplicialesf0, f1, . . . , fn : K → L de manera que fi y fi+1 son elementalmente contiguos para todo i.

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Un hecho estandar de topologıa algebraica es que dos morfismos contiguos entre com-plejos simpliciales inducen funciones homotopicas en la realizaciones geometricas.

Si f, g : X → Y son dos funciones continuas entre espacios finitos tales que f ≤ gentonces K(f) y K(g) son contiguos. En particular, si f ' g entonces K(f) y K(g) soncontiguos (ver [6, Proposition 2.1.2]).

Analogamente, si ϕ,ψ : K → L son dos morfismos simpliciales contiguos entoncesX (ϕ),X (ψ) : X (K)→ X (L) son homotopicas.

Algunas construcciones especiales

En esta seccion veremos algunas construcciones a partir de espacios finitos que nos resul-taran de gran utilidad a lo largo de nuestro trabajo. Todas ellas se pueden encontrar enel libro de Barmak [6].

Colapsos fuertes y colapsos

Definicion 1.2.15. Si X es un poset y x ∈ X es un beat point, decimos que hay un

colapso fuerte elemental de X a X − x y notamos X e X − x. Decimos que X colapsafuertemente a un subespacio Y si existe una serie de colapsos fuertes elementales queempiezan en X y terminan en Y . Notamos X Y .

Observacion 1.2.16. De la definicion se deduce que X colapsa fuertemente a un subespa-cio Y si y solo si Y se obtiene de X removiendo beat points. En particular, Y ⊂ X es unretracto por deformacion fuerte. Lo sorprendente es que estos movimientos caracterizancompletamente los retractos por deformacion fuertes.

Proposicion 1.2.17. Si X es un poset, entonces Y ⊂ X es un retracto por deformacionfuerte si y solo si X Y .

Demostracion. Ver [6, Section 2.2, “Minimal Pairs”].

La condicion de beat point es bastante fuerte, puesto que un x ∈ X es un beat pointsi y solo si Fx posee un mınimo o Ux posee un maximo. Uno podrıa requerir algo un pocomas debil, como por ejemplo, que Fx o Ux sea contractil. Esto da la nocion de weak pointy describe lo que se llama tipo homotopico simple en espacios finitos, teorıa desarrolladapor Barmak y Minian en [8].

Definicion 1.2.18. Sea X un poset. Decimos que x ∈ X es un up weak point si Fx escontractil. Decimos que x es un down weak point si Ux es contractil. Si alguna de estasdos sucede, decimos que x es un weak point.

Definicion 1.2.19. Decimos que un poset X colapsa elementalmente a X−x, con x ∈ Xcuando x ∈ X es un weak point. Notamos X e X −x. Si Y ⊂ X decimos que X colapsaa Y , y notamos X Y si Y se obtiene de X a partir de ir sacando weak points. Decimosque Y se expande a X, y notamos Y X, si X Y . Un weak core de X es un Y ⊂ Xtal que X Y e Y no tiene weak points.

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Observacion 1.2.20. En los colapsos fuertes, cuando llegabamos a un espacio que notiene mas beat points decıamos que era un core de nuestro poset y probamos que estoseran todos homeomorfos entre sı, es decir, que no importaba como iba eligiendo los beatpoints para ir sacando, siempre llegaba al mismo espacio. En el caso de los colapsos estono es necesariamente cierto. De hecho existen espacios finitos que colapsan a distintossubespacios que no son homotopicamente equivalentes. Vease [6] para tales contraejemp-los.

Definicion 1.2.21. Si X e Y son dos posets, decimos que X e Y tienen el mismo tipohomotopico simple si existe una serie de espacios finitos X = X0, X1, . . . , Xn = Y demanera que para todo i se tiene que Xi Xi+1 o bien Xi+1 Xi. Es decir, si puedollegar de X a Y a partir de colapsos y expansiones. Notamos X Y .

El siguiente lema nos permitira ver que los colapsos preservan el tipo homotopico debil.Es decir, que dos espacios que tienen el mismo tipo homotopico simple, en particular tienenel mismo tipo homotopico debil.

Lema 1.2.22. Si x ∈ X es un weak point, entonces la inclusion i : X − x → X es unaequivalencia debil.

Demostracion. Pasando por los opuestos podemos suponer sin perdida de generalidadque x es un down weak point. Apliquemos el Quillen’s Fiber Theorem 1.2.14. Si y ∈ Xentonces i−1(Uy) = Uy−x tiene como maximo a y si y 6= x y si y = x entonces Uy−x = Uxes contractil.

Del lema anterior se deduce de que si X Y entonces la inclusion Y → X es unaequivalencia debil. Por lo tanto, si X Y , pasando por los complejos asociados, vemosque X e Y tienen el mismo tipo homotopico debil.

Lo interesante de la homotopıa simple de espacios finitos es que describe la clasicahomotopıa simple entre complejos simpliciales (ver [6, Theorem 4.2.11] y [8])

El join de espacios finitos

Cuando trabajamos con espacios topologicos en general, tenemos la idea del join entredos espacios X e Y el cual es el espacio que une a cada punto de X con uno de Y vıaun segmento. Si repetimos esta construccion para espacios finitos perdemos la finitud.Por lo tanto, a continuacion daremos una definicion de join en espacios finitos que verificapropiedades analogas a la del join usual.

Definicion 1.2.23. Si X e Y son dos espacios finitos T0, el join no-Hausdorff es el espaciofinito X ∗ Y cuyo conjunto subyacente es X

∐Y que mantiene el orden en X y el orden

de Y y que ademas x < y si x ∈ X e y ∈ Y .

Basicamente, el join de espacios finitos T0 a nivel del diagrama de Hasse lo que hacees poner un diagrama arriba del otro, o sea, poner todo minimal de Y por encima de todomaximal de X.

Definicion 1.2.24. Si X es un poset y x ∈ X, el star de x en X es el subespacioCx = Ux ∪ Fx y el link de x en X es el subespacio Lk(x) = Ux ∗ Fx.

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La siguiente proposicion es de gran utilidad para estudiar la contractibilidad del joinde espacios finitos.

Proposicion 1.2.25. Si X e Y son dos espacios finitos T0 entonces X ∗ Y es contractil siy solo si X o Y es contractil.

Demostracion. Ver [6, Proposition 2.7.3].

Definicion 1.2.26. Si K y L son complejos simpliciales (disjuntos), el join de estos dos esel complejo K ∗L cuyos sımplices son de la forma σ ∪ τ con σ ∈ K y τ ∈ L, posiblementealguno de los dos vacıo (no ambos). Es decir,

K ∗ L = K ∪ L ∪ σ ∪ τ : σ ∈ K, τ ∈ L

A partir de las definiciones, es inmediato verificar lo siguiente:

Proposicion 1.2.27. Si X e Y son espacios finitos, entonces K(X ∗ Y ) = K(X) ∗ K(Y ).Si K,L son complejos simpliciales finitos entonces X (K ∗ L) = X (K) ∗ X (L)

Corolario 1.2.28. Si x es un elemento de un poset x y K = K(X), entonces LkK(x) =K(Lk(x)) y StK(x) = K(Cx)

El cilindro no-Hausdorff

La nocion de cilindro no-Hausdorff fue introducida por Barmak y Minian en [8] y es unaherramienta muy util a la hora de demostrar teoremas con espacios finitos.

Definicion 1.2.29. Si f : X → Y es un morfismo de posets, definimos el cilindro no-Hausdorff de f como el espacio finito Bf con conjunto subyacente X

∐Y y cuyo orden es

x ≤ y si f(x) ≤ y para x ∈ X e y ∈ Y , manteniendo el orden en X y en Y .

Veamos que esta construccion tiene propiedades analogas a las del cilindro clasico queconocemos de topologıa.

Proposicion 1.2.30. Si f : X → Y es un morfismo de posets, entonces Y ⊂ Bf es unretracto por deformacion fuerte y f es una equivalencia homotopica si y solo si la inclusioni : X → Bf es una equivalencia homotopica.

Demostracion. Sean i : X → Bf y j : Y → Bf las inclusiones y sea r : Bf → Y la funciondada por r(x) = f(x) si x ∈ X. Entonces r es un morfismo de posets que es la identidadsobre Y y que ademas ri = f , jr ≤ idBf y rj = idY . Luego Y ⊂ Bf es un retracto pordeformacion fuerte y f es una equivalencia homotopica si y solo si i : X → Bf lo es.

Retıculos reducidos

Si X es un poset, decimos que x, y ∈ X poseen un supremo si Fx ∩ Fy posee un mınimo(y en particular es no vacıo). En tal caso, notamos x ∨ y = supx, y = minFx ∩ Fy. Demanera analoga, decimos que existe el ınfimo entre x e y si Ux ∩ Uy posee un maximo, yen tal caso notamos x ∧ y = infx, y = maxUx ∩ Uy.

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Definicion 1.2.31. Un retıculo (reticulado, red o lattice) es un poset X tal que para todopar de elementos x, y ∈ X existen x ∨ y e x ∧ y.

En particular, todo retıculo posee un maximo y un mınimo: si x ∈ X es un elementomaximal, entonces para todo y ∈ X se debe tener que x ≤ x ∧ y, y de la maximalidadx = x ∧ y ≥ y. Analogamente se hace el mınimo. Por lo tanto, desde el punto de vistahomotopico, los retıculos no son muy interesantes puesto que son siempre contractiles.

Lo que sı podemos hacer es estudiar aquellos posets que provienen de un retıculo alque le sacamos el maximo y el mınimo. Esto es, los posets X tales que ∗ ∗X ∗ ∗ esun retıculo. La siguiente definicion fue introducida por Barmak en [6].

Definicion 1.2.32. Un retıculo reducido es un poset X tal que ∗∗X ∗∗ es un retıculo.

Se pueden chequear las siguientes equivalencias.

Proposicion 1.2.33. En un poset X son equivalentes:

1. X es un retıculo reducido

2. Para todo par de elementos x, y ∈ X acotados superiormente, existe el supremox ∨ y ∈ X

3. Para todo par de elementos x, y ∈ X acotados inferiormente, existe el ınfimo x∧ y ∈X

4. Todo conjunto acotado inferiormente posee un ınfimo y todo conjunto acotado su-periormente posee un supremo.

Proposicion 1.2.34. Si X es un reticulado reducido e Y ⊂ X es un retracto por defor-macion fuerte, entonces Y es un reticulado reducido.

Demostracion. Por induccion, basta ver el caso Y = X − x con x ∈ X un beat point.Tomando el poset opuesto, podemos suponer sin perdida de generalidad que x es un downbeat point. Sean y, z ∈ Y acotados superiormente en Y . Entonces existe w = y ∨ z ∈ Xel supremo por ser X un retıculo reducido. Si w 6= x ya estamos. En caso contrario,x = y ∨ z. Como x es un down beat point, existe un unico x′ ≺ x. Luego y, z ≤ x implicaque y, z ≤ x′ y por lo tanto x = y ∨ z ≤ x′, una contradiccion.

Para un poset X, consideramos los conjuntos M(X) = x ∈ X : maximal y m(X) =x ∈ X : minimal.

Definicion 1.2.35. Si X es un retıculo reducido, definimos los subposets

i(X) = inf(A) : A ⊂M(X) acotado inferiormente

s(X) = sup(A) : A ⊂ m(X) acotado superiormente

Sea X un poset y sea x ∈ X. Definimos M(x) como el subconjunto de maximales de Xque estan por encima de x, es decir, M(x) = M(Fx). Analogamente, definimos m(x) comoel subconjunto de minimales de X que estan por debajo de x, es decir m(x) = m(Ux).

La siguiente proposicion fue demostrada por Stong en [32].

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Proposicion 1.2.36. (Stong) Si X es un retıculo reducido, entonces i(X), s(X) ⊂ X sonretractos por deformacion fuertes.

Demostracion. Si ri : x ∈ X 7→ inf(M(x)) ∈ i(X) y rs : x ∈ X 7→ sup(m(x)) ∈ s(X) yii : i(X) → X, is : s(X) → X son las inclusiones, entonces

riii = idi(X) iiri ≥ idX

rsis = ids(X) isrs ≤ idX

Observacion 1.2.37. Si X es un retıculo reducido, entonces i(i(X)) = i(X). De la mismamanera, s(s(X)) = s(X). Por lo tanto, tenemos dos sucesiones

X ⊃ i(X) ⊃ s(i(X)) ⊃ i(s(i(X))) ⊃ . . .

X ⊃ s(X) ⊃ i(s(X)) ⊃ s(i(s(X))) ⊃ . . .

que en algun momento se estancan por finitud. Al (n + 1)-esimo termino de la primerasucesion lo notamos Xn. Analogamente, notamos Xn al (n + 1)-esimo termino de lasegunda sucesion.

Proposicion 1.2.38. Sea X un retıculo reducido. Son equivalentes:

1. X es un espacio minimal

2. X = i(X) = s(X)

Demostracion. Si X es un espacio minimal, como i(X) y s(X) son retractos por defor-macion fuertes de X, debe ser que X = i(X) = s(X).

Supongamos entonces que X = i(X) = s(X) y veamos que X es minimal. Si no fueseası, existe un beat point x ∈ X. Supongamos que x es un down beat point. Entoncesexiste un unico y ≺ x. Como x ∈ s(X), existen minimales x1, . . . , xn ∈ X tales quex = supx1, . . . , xn. Pero entonces xi ≤ x implica que xi ≤ y para todo i, y de estamanera x = supx1, . . . , xn ≤ y, una contradiccion. Analogamente se hace el caso en quex es un up beat point.

Observacion 1.2.39. De la observacion y proposicion anterior deducimos que el subposetdonde se estancan las sucesiones Xn y Xn son cores de X.

Definicion 1.2.40. Un retıculo reducido X se dice atomico si todo elemento de X es elsupremo de un conjunto de minimales. Equivalentemente, X = s(X)

Decimos que X es coatomico si Xop es atomico. Esto es, si todo elemento de X es elınfimo de un conjunto de maximales. Equivalentemente, X = i(X).

Con estos nombres podemos reescribir la proposicion 1.2.38 de la siguiente manera:

Proposicion 1.2.41. Un retıculo reducido es un espacio minimal si y solo si es atomicoy coatomico.

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Existe otra caracterizacion para los puntos de i(X) y s(X). La demostracion de lasiguiente proposicion es simple y la evitaremos.

Proposicion 1.2.42. Para un retıculo reducido X se tiene que i(X) = x ∈ X : x =inf(M(x)) y analogamente s(X) = x ∈ X : x = sup(m(x)).

Tambien podemos describir como se obtiene i(X) a partir de X en termino de beatpoints.

Si tenemos una serie de inclusiones del estilo A ⊂ Y ⊂ X con X,Y retıculos reducidosy A un subconjunto acotado superiormente o inferiormente en Y , entonces infY (A) ysupY (A) denotan el ınfimo y el supremo de A respectivamente visto dentro del poset Y .

Proposicion 1.2.43. Sea X un retıculo reducido. Entonces i(X) se obtiene de X re-moviendo up beat points. Analogamente, s(X) se obtiene de X removiendo down beatpoints. Ademas, si y /∈ i(X) entonces i(X − y) = i(X). Analogamente, si y /∈ s(X)entonces s(X − y) = s(X).

Demostracion. Si y ∈ X − i(X), utilizando la proposicion 1.2.42 no es difıcil verificar quei(X − y) = i(X).

Si y un elemento maximal del poset X − i(X) entonces inf(M(y)) = min(Fy). Luegoy es un up beat point de X.

Ası, vimos que si elegimos y ∈ X − i(X) entonces i(X) = i(X − y). Si ademas loelegimos maximal, entonces y es un up beat point de X. Como X − y es un retıculoreducido con menos puntos, inductivamente podemos llegar de X − y a i(X − y) = i(X)removiendo up beat points.

El caso de s(X) se obtiene tomando el poset opuesto y notando que i(Xop) = s(X).

Proposicion 1.2.44. Un retıculo reducido atomico no posee down beat points, y uncoatomico no posee up beat points.

Demostracion. Sea X un retıculo reducido atomico. Sea x ∈ X. Como X = s(X), valeque x = sup(m(x)). Si x es un down beat point, entonces existe un unico y ≺ x. De estamanera, para todo z ∈ m(x) vale que z ≤ y, y en consecuencia x = sup(m(x)) ≤ y. Estoes absurdo.

El caso de coatomico es analogo.

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1.3 G-posets y tipos homotopicos equivariantes

En esta seccion analizaremos brevemente los G-espacios y en particular los G-posets. Estosson espacios topologicos con una accion continua de un grupo finito G. En general vamosa seguir [6, Chapter 8]. Las ideas originales de estos resultados pueden encontrarse en [32].

Sea G un grupo finito. Un G-espacio es un espacio topologico X junto con una accion(a derecha) del grupo G de manera que si g ∈ G entonces la funcion x ∈ X 7→ xg ∈ X escontinua. Una funcion continua f : X → Y entre dos G-espacios X e Y se dice equivarianteo G-equivariante si f(xg) = f(x)g para todo g ∈ G y para todo x ∈ X. Si f0, f1 : X → Yson dos funciones equivariantes, una homotopıa G-equivariante o G-homotopıa entre f0 yf1 es una funcion continua H : X × I → Y tal que H(−, 0) = f0, H(−, 1) = f1 y paracada t ∈ I, la funcion H(−, t) es G-equivariante. En tal caso decimos que f0 y f1 sonG-homotopicas y notamos f0 'G f1.

Un subespacio A de un G-espacio X se dice G-invariante, o invariante, si cada vez quea ∈ A y g ∈ G, entonces ag ∈ A. Es decir, si A es cerrado para la accion de G.

Si f0, f1 : X → X, decimos que f0 'G f1 rel A, para un subespacio invariante A ⊂ Xsi existe una G-homotopıa H : X × I → X entre f0 y f1 que induce la identidad en loselementos de A.

Un subespacio invariante A es un retracto por deformacion fuerte equivariante si existeuna funcion G-equivariante r : X → A tal que ri = idA e ir 'G idX rel A, donde i : A→ Xes la inclusion.

Una funcion G-equivariante f : X → Y entre dos G-espacios es una G-equivalencia siexiste otra funcion G-equivariante g : Y → X de manera que gf 'G idX y fg 'G idY . Ental caso decimos que f es una G-equivalencia y que los espacios X e Y son G-equivalentes,y notamos X 'G Y . Tambien decimos que X e Y tienen el mismo tipo homotopicoG-equivariante.

Un G-poset es un poset X que es un G-espacio cuando lo vemos como espacio finito.Esto equivale a decir que G actua en el conjunto X y que la accion preserva el orden:cada vez que x < y y g ∈ G, se tiene que xg < yg. Una funcion G-equivariante entre dosG-posets es equivalente a tener un morfismo de posets que preserve la accion. Tambien lollamaremos G-morfismo o G-mapa.

Se pueden chequear las siguientes proposiciones.

Proposicion 1.3.1. Sean f, g : X → Y dos G-morfismos entre dos G-posets, y sea A ⊂ Xun subespacio G-invariante. Entonces f 'G g rel A si y solo si existen G-morfismosf0, f1, . . . , fn : X → Y tales que f0 = f , f1 = g, y para cada i vale que fi|A = idA y fi,fi+1 son comparables.

Proposicion 1.3.2. Si f : X → Y y g : Y → Z son G-equivalencias entre G-espacios,entonces fg es una G-equivalencia.

Recordemos que si X es un G-conjunto y x ∈ X, entonces Ox = xg : g ∈ G es laorbita de x por la accion de G y que XG es el subconjunto de los puntos fijos de la accion.

A continuacion damos algunos resultados basicos sobre G-posets.

Lema 1.3.3. Consideremos un poset X, un elemento x ∈ X y sea f : X → X unautomorfismo. Si x y f(x) son comparables, entonces f(x) = x. Mas aun, si f1, f2 : X →X son dos automorfismos con f1(x) y f2(x) comparables, entonces f1(x) = f2(x).

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Demostracion. Tomando f = f1f−12 , basta con probar la primera parte del lema. Supong-

amos que x ≤ f(x), ya que en caso contrario repetimos la demostracion pero con f−1.Como f preserva el orden,

x ≤ f(x) ≤ f(f(x)) ≤ f(f(f(x))) ≤ . . . ≤ fn(x)

Por finitud, para algun n ≥ 1 tendremos que fn(x) = fn+1(x). Como fn es un automor-fismo, deducimos que x = f(x).

Lema 1.3.4. Sea X un G-poset. Entonces existe un core de X que es G-invariante y esun retracto por deformacion fuerte equivariante de X.

Demostracion. Si X no es minimal, entonces existe x ∈ X que es un beat point. Supong-amos por ejemplo que es un down beat point y sea y ∈ X el punto cubierto por x.Definimos r : X → X − Ox como r(xg) = yg. Debemos ver que r esta bien definidoy es continuo. Notemos que el mapa z ∈ X 7→ zg ∈ X es un automorfismo de X coninversa z 7→ zg

−1, para todo g ∈ G. Si yg = xh para alguna eleccion de h, g ∈ G, entonces

ygh−1

= x, por lo que y ≤ x = ygh−1

, y del lema anterior y = ygh−1

. Ası, yh = yg = xh,contradiciendo que actuar por h es un automorfismo. Esto prueba que r esta bien definida.Ademas es claro que preserva el orden y que si i : X −Ox → X es la inclusion, entoncesir ≤ idX . Como ri = idX−Ox , se tiene que ir 'G idX rel X − Ox por la proposicion1.3.1.

Definicion 1.3.5. Un G-core de un G-poset es un core del poset que es G-invariante.

Del lema anterior, todo G-poset posee un G-core.

Proposicion 1.3.6. Todo G-poset contractil posee un punto fijo.

Demostracion. Si X es un G-poset contractil, entonces existe un G-core. Como todoslos cores son isomorfos y X es contractil, este core equivariante debe consistir de un solopunto, y tal punto tiene que ser un punto fijo de la accion.

Proposicion 1.3.7. Sean X e Y dos G-posets y sea f : X → Y un G-morfismo. Si f esuna equivalencia homotopica, entonces es una G-equivalencia.

Demostracion. De la proposicion anterior, existen Xc y Yc dos G-cores de X e Y re-spectivamente. Sean iX : Xc → X, iY : Yc → Y las inclusiones y rX : X → Xc,rY : Y → Yc los retracto por deformacion fuerte equivariantes. Entonces rY fiX : Xc → Yces un G-morfismo que es una equivalencia homotopica. Como son espacios minimales,es un isomorfismo y es G-equivariante. En particular, es una G-equivalencia. Luegof = iY (rY fiX)rX es composicion de G-equivalencias y de la proposicion 1.3.2, resulta unaG-equivalencia.

Observacion 1.3.8. Notar que en la proposicion anterior pedimos que f fuese un G-morfismo. En general, si X e Y son dos G-posets homotopicamente equivalentes, puedeque no sean G-equivalentes. Ver por ejemplo [6, Remark 8.1.7].

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Definicion 1.3.9. Sea X un G-poset. Si x ∈ X es un beat point, decimos que hay

G-colapso elemental fuerte de X a X − Ox y notamos X Ge X − Ox. Decimos que XG-colapsa fuertemente a un subespacio Y si existe una serie de G-colapsos elementales

fuertes que comienzan en X y terminan en Y . En este caso notamos X G Y .

Proposicion 1.3.10. Sea X un G-poset y sea Y ⊂ X un subespacio G-equivariante. Sonequivalentes:

1. X G Y

2. Y ⊂ X un retracto por deformacion fuerte equivariante.

3. Y ⊂ X es un retracto por deformacion fuerte.

Demostracion. De la demostracion del lema 1.3.4, todo G-colapso elemental fuerte induce

un retracto por deformacion fuerte equivariante. Luego si X G Y , componiendo loscolapsos elementales intermedios, llegamos a que Y es un retracto por deformacion fuerteequivariante de X.

La tercera claramente es implicada por la segunda, por lo que solo resta probar que

si Y ⊂ X es un retracto por deformacion fuerte entonces X G Y . Si x ∈ X − Y es un

beat point, entonces Ox ∩ Y = ∅ pues Y es G-invariante, por lo que X Ge X − Ox e

Y ⊂ X −Ox. Por induccion, X −Ox G Y , y por lo tanto X G Y .

Ahora veremos la nocion de tipo homotopico simple equivariante para posets.

Definicion 1.3.11. Sea X un G-poset. Si x ∈ X es un weak point, entonces xg es un weakpoint para todo g ∈ G. Decimos entonces que hay un G-colapso elemental de X a X−Oxy lo notamos X Ge X − Ox. Observemos que X − Ox es G-invariante. Decimos que XG-colapsa a un subespacio Y si existe una serie de G-colapsos elementales que comienzan

en X y terminan en Y . Lo denotamos X G Y , y en tal caso Y resulta G-invariante.Decimos que X es G-colapsable si X G-colapsa a un punto. De manera analoga se definenG-expansiones elementales y G-expansiones. Decimos que X e Y son dos G-posets con

el mismo tipo homotopico simple equivariante, y notamos X G Y , si existe una serie deG-colapsos y G-expansiones que comienzan en X y terminan en Y .

Observacion 1.3.12. Todo G-colapso fuerte es un G-colapso, y todo G-colapso es uncolapso (en el sentido clasico de la definicion para posets). De la proposicion 1.3.10, Xcolapsa fuertemente a un subespacio G-invariante Y si y solo si Y ⊂ X es un retractopor deformacion fuerte, si y solo si X G-colapsa fuertemente a Y . En particular, X escontractil si y solo si es fuertemente colapsable, si y solo si es G-fuertemente colapsable.Sin embargo, esto no vale en general para G-colapsos (ver [6, Example 8.3.3])

Proposicion 1.3.13. Sea X un G-poset tal que X G Y para un subespacio invarianteY . Entonces X/G Y/G y XG Y G. En particular, si X es contractil entonces X/Gy XG lo son.

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Demostracion. Basta ver el caso en que Y = X − Ox, con x ∈ X un beat point. Sinperdida de generalidad, supongamos que x es un down beat point y sea y ∈ X el puntoque esta cubierto por x. Ası, en el cociente, y < x, y si z ≤ x entonces existe g ∈ G talque zg ≤ x, por lo que z = zg ≤ yg = y. En consecuencia, x es un down beat point deX/G y tenemos un colapso fuerte de X/G a Y/G = X/G− x.

Si x no queda fijo por G, entonces Y G = XG y no hay mas nada que decir. En casocontrario, x ∈ XG y afirmo que y ∈ XG. Si g ∈ G, entonces yg ≤ xg = x implica queyg ≤ y, y por el lema 1.3.3 deducimos que yg = y. Luego x cubre a y en XG y por lotanto XG colapsa fuertemente a XG − x = Y G.

La ultima parte sale de considerar Y = ∗.

De lo anterior, podemos deducir algo un poco mas general para los G-colapsos, perosolo para el poset de los puntos fijos. Para el cociente en general no sera cierto.

Proposicion 1.3.14. Si un G-poset X G-colapsa a un subespacio Y , entonces XG colapsaa Y G. En particular, si X es G-colapsable entonces XG es colapsable.

Demostracion. Solo basta ver el caso en que Y = X −Ox con x ∈ X un weak point. Pordefinicion, su link CXx es contractil. Si x no es un punto fijo, entonces XG = Y G y listo.Supongamos entonces que x ∈ XG es un punto fijo. Entonces CXx es G-invariante y ası

CXG

x = (CXx )G. Este ultimo es contractil por la proposicion anterior, de lo que resulta quex ∈ XG es un weak point. Por lo tanto XG XG − x = (X − x)G = Y G.

Para el cociente no vale en general que si X G Y entonces X/G Y/G. Para uncontraejemplo ver [6, Example 8.3.16].

De todo lo anterior, obtenemos el siguiente corolario.

Corolario 1.3.15. Si X e Y son dos G-posets con el mismo tipo homotopico simpleequivariante, entonces XG e Y G tienen el mismo tipo homotopico simple.

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Capıtulo 2

Los posets de p-subgrupos de ungrupo

Dado un grupo finito G y un primo p, el poset de p-subgrupos de G consiste de todos losp-subgrupos no triviales de G. Lo notaremos Sp(G). Si p divide al orden de G, de losteoremas de Sylow, Sp(G) es no vacıo y sus elementos maximales son los p-Sylows. Encaso contrario sera vacıo y no tiene mucho interes. El complejo K(Sp(G)) fue estudiadopor primera por Brown en [15], donde prueba, entre otras cosas, que la caracterıstica deEuler del complejo asociado al poset es congruente a 1 modulo el orden de los p-Sylows.Es por eso que en la literatura del tema muchas veces se lo denomina complejo de Brown.

Mas adelante, Quillen en [28] trabaja con el complejo de Brown y describe algunasde sus propiedades. Demuestra que K(Sp(G)) es homotopicamente equivalente a otrocomplejo simplicial, que a menudo se lo llama complejo de Quillen, que es K(Ap(G)), dondeAp(G) es el poset de los p-subgrupos elementales abelianos de G. Luego observa que si Gtiene un p-subgrupo normal no trivial, entonces K(Sp(G)) es contractil, y conjetura quevale la recıproca. Esto dio lugar a la denominada conjetura de Quillen sobre el poset delos p-subgrupos. Hasta el momento, la conjetura sigue abierta. En [28], Quillen demuestraalgunos casos particulares de la conjetura. Por ejemplo, si Ap(G) es un poset de alturaa lo sumo 1, entonces la conjetura es cierta. Tambien prueba el caso que G es un gruporesoluble y analiza algunos casos de grupos de tipo de Lie. Actualmente, el trabajo deAschbacher y Smith [3] es el que mas avanzo sobre la conjetura de Quillen, demostrandoque es valida para p > 5 y G sin componentes unitarias Un(q) con q impar y q ≡ −1mod p.

En este capıtulo estudiaremos el tipo homotopico de Sp(G) desde el punto de vista dela teorıa de espacios finitos. Si bien hay propiedades homotopicas que se pueden estudiaren K(Sp(G)), obtendremos resultados mas fuerte que los que dio Quillen en [28] si vemosa dicho poset como un espacio finito con la accion de G. Ademas, veremos que otrosposets de p-subgrupos se pueden formar a partir de G y como se relacionan con Sp(G)desde el punto de vista homotopico. Comenzamos en la seccion 2.1 con las definiciones yresultados basicos sobre los posets Sp(G) y Ap(G), junto con un analisis de la conjeturade Quillen y los avances al respecto. En la seccion 2.2 veremos la relacion que existe entreSp(G1 × G2) y Sp(G1) ∗ Sp(G2), para G1, G2 grupos finitos, probando que en general no

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Capıtulo 2. Los posets de p-subgrupos de un grupo Kevin Piterman

son homotopicamente equivalentes como espacios finitos. En la seccion 2.3 estudiamosla conexion y simple conexion de Sp(G). Para la conexion, Quillen demostro que esequivalente a la existencia de cierto subgrupo en G. Sin embargo, la simple conexion esmucho mas compleja de abordar. Una descripcion casi completa se debe a Aschbacher en[5], donde caracteriza los grupos con Sp(G) simplemente conexo modulo una conjetura queesta probada en casi todos los casos. En la seccion 2.4 veremos que otras construccionespodemos considerar en lo que respecta a posets y complejos de p-subgrupos. En estaseccion veremos una demostracion alternativa a la que dieron Thevenaz y Webb en [35]de que |K(Sp(G))| y |K(Ap(G))| son G-equivalentes, utilizando el concepto de G-colapsossimpliciales. En la seccion 2.5 probamos el resultado de Brown sobre la caracterısticade Euler de Sp(G). Finalmente, en la seccion 2.6 analizamos los espacios de orbitas quesurgen naturalmente de tener un G-poset X y lo relaciones con una conjetura de P. Webb.

2.1 La conjetura de Quillen

Recordemos que Sp(G) denota al poset de p-subgrupos no triviales de un grupo G. Acontinuacion definimos el ya mencionado poset Ap(G).

Definicion 2.1.1. Sea G un grupo finito y sea p un primo. Un p-subgrupo no trivial deG se dice que es p-elemental abeliano (o un p-toro) si es abeliano y de exponente p. Elposet de los p-toros de G se nota Ap(G).

Observacion 2.1.2. Un p-toro es un grupo isomorfo a Znp para algun n ≥ 1.

En la literatura, al poset Ap(G) se lo denomina “poset de Quillen” y a K(Ap(G))“complejo de Quillen”.

Uno de los primeros resultado en el artıculo [28] es que la inclusion deson K(Ap(G))en K(Sp(G)) induce una equivalencia homotopica. A nivel de espacios finitos a priorisolo significa que la inclusion de Ap(G) en Sp(G) es una equivalencia debil. Mas adelanteveremos que en realidad hay una relacion mas fuerte entre estos dos posets.

Proposicion 2.1.3. (Quillen) La inclusion i : Ap(G) → Sp(G) es una equivalencia debilentre espacios finitos. En particular, K(Ap(G)) y K(Sp(G)) son homotopicamente equiv-alentes.

Demostracion. La demostracion consiste en utilizar el Quillen’s Fiber Theorem (ver [28,Proposition 1.6]) que aca lo enunciamos en el teorema 1.2.14.

Si B ∈ Sp(G), entonces

i−1(UB) = A ∈ Ap(G) : A ≤ B = Ap(B)

La proposicion siguiente muestra que Ap(B) es contractil. Luego i es una equivalenciadebil.

Proposicion 2.1.4. Si P es un p-grupo no trivial, entonces Ap(P ) es contractil.

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Kevin Piterman Capıtulo 2. Los posets de p-subgrupos de un grupo

Demostracion. Como P es un p-grupo, su centro es no trivial (ver proposicion 1.1.14) y porlo tanto este ultimo tiene elementos de orden p (teorema de Cauchy 1.1.10). ConsideremosN = Ω1(Z(P )). Como Z(P ) es abeliano, N resulta un subgrupo abeliano no trivial deZ(P ) generado por elementos de orden p. Esto nos dice que N tiene exponente p, y porlo tanto N ∈ Ap(P ).

Por otro lado, si A ≤ P es elemental abeliano, el producto AN es un p-subgrupoelemental abeliano de P . Luego tenemos un morfismo f : Ap(P ) → Ap(P ) dado porf(A) = AN , que esta bien definido y tal que idAp(P ) ≤ f ≥ cteN . En consecuencia, Ap(P )es contractil.

Observemos que el grupo G actua en los p-subgrupos y en particular en los p-torospor conjugacion. Esto define una G-accion en los posets Ap(G) y Sp(G). En general,entenderemos por poset de p-subgrupos de G a un subposet G-invariante de Sp(G), comoes el caso de Ap(G). De esta manera, podemos preguntarnos si por ejemplo dos posets dep-subgrupos son G-equivalentes o tienen el mismo tipo homotopico simple equivariante.

La siguiente proposicion esta motivada por lo que dice Barmak en [6, Corollary 8.4.1],aunque el resultado tal como lo enunciamos es mas fuerte.

Proposicion 2.1.5. El poset Sp(G) G-colapsa al poset Ap(G). En particular, estos posetsposeen el mismo tipo homotopico simple equivariante.

Demostracion. Para ello debemos ver que podemos obtener Ap(G) de Sp(G) extrayendo

orbitas de weak points. Sea A0 ∈ Sp(G) − Ap(G) de orden minimal. Entonces USp(G)A0

=Ap(A0) pues lo elegimos minimal. De la proposicion 2.1.4, este poset es contractil, y ası

el elemento A0 es un weak point. Luego Sp(G) Ge Sp(G) − OA0 . Notemos que ningunelemento de OA0 es un p-toro, ya que son todos isomorfos a A0. Sea S1 = Sp(G) − OA0 .Es claro que Ap(G) ⊂ S1. Si la inclusion es estricta tomamos A1 ∈ S1 −Ap(G) de ordenmınimo. De esta manera, si B ∈ S1 y B < A1, entonces B es un p-toro ya que A1 erade orden minimal. Recıprocamente, si B < A1 es un p-toro, como A0 no era un p-toro,el subgrupo B no podrıa estar en la orbita de A0, por lo que B ∈ S1. Esto nos dice

que US1A1

= Ap(A1), el cual es contractil. Luego S1Ge S1 − OA1 = S2 y Ap(G) ⊂ S2.

Podemos continuar este proceso inductivamente y, por finitud, para algun n tendremos

que Sn = Ap(G). Luego Sp(G) G Ap(G).

Lo siguiente que remarca Quillen en su artıculo [28], es que si G posee un p-subgruponormal no trivial, entonces K(Sp(G)) es contractil. En realidad, vale algo mucho masfuerte: el poset Sp(G) resulta contractil. Esta observacion fue hecha por Stong en [32].

Proposicion 2.1.6. (Stong) Si G posee un p-subgrupo normal no trivial, entonces Sp(G)es contractil.

Demostracion. Sea N E G un p-subgrupo normal no trivial. Entonces si A es un p-subgrupo no trivial, tenemos que AN es un p-subgrupo no trivial. Luego la funcionf : Sp(G) → Sp(G) definida por f(A) = AN es un morfismo de posets que verifica queidSp(G) ≤ f ≥ cteN . En consecuencia, Sp(G) es contractil.

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Como la interseccion de todos los p-Sylows, que notamos Op(G), es el p-subgruponormal mas grande en G, la hipotesis de la proposicion anterior es equivalente a decirque Op(G) > 1. Por otro lado, los p-subgrupos normales no triviales son exactamente lospuntos fijos del poset Sp(G), y todos ellos deben estar incluidos enOp(G) por maximalidad.Es decir, G tiene un p-subgrupo normal no trivial si y solo si Op(G) > 1, si y solo si Sp(G)G

es no vacıo.Recıprocamente, si Sp(G) es contractil, de la proposicion 1.3.13, Sp(G)G es contractil,

y en particular no vacıo. En definitiva, vale lo siguiente.

Teorema 2.1.7. (Stong) El poset Sp(G) es contractil si y solo si Op(G) > 1.

La demostracion que dimos de este teorema fue hecha por Stong en [32].Stong muestra en [32] que en general los posetsAp(G) y Sp(G) no son homotopicamente

equivalentes. Esto lo veremos mas adelante en la seccion 3.7 del capıtulo 3. Sin embargo,prueba que la contractibilidad del poset Ap(G) implica la del Sp(G).

Proposicion 2.1.8. (Stong) Si Ap(G) es contractil, entonces Sp(G) es contractil.

Demostracion. Como Ap(G) es contractil, por la proposicion 1.3.13, Ap(G)G es contractily en particular no vacıo. Luego existe un p-subgrupo normal no trivial, es decir, Op(G) >1.

En realidad, lo que utilizamos en el teorema anterior es el hecho de que Ap(G)G esno vacıo. Como Sp(G) G-colapsa a Ap(G), de la proposicion 1.3.14, tenemos que Sp(G)G

colapsa a Ap(G)G. En particular, Sp(G)G es no vacıo si y solo si Ap(G)G es no vacıo, yesto equivale a decir que Sp(G) es contractil. Tambien hay un argumento algebraico paraesta ultima equivalencia: si Sp(G)G es no vacıo y tomamos N ≤ G un p-subgrupo normalno trivial, podemos definir A = Ω1(Z(N)) ≤ N , que es un p-subgrupo no trivial (por laproposicion 1.1.14 y el teorema de Cauchy 1.1.10) y es normal en G (pues es caracterısticoen N y este es normal en G). Como A ∈ Ap(G), tenemos que A ∈ Ap(G)G. ComoAp(G)G ⊂ Sp(G)G, concluimos que Ap(G)G es no vacıo si y solo si Sp(G)G es no vacıo.

Con esto tenemos la siguiente proposicion.

Proposicion 2.1.9. Sea G un grupo finito y sea p un primo. Son equivalentes:

1. Sp(G) es contractil

2. G posee un p-subgrupo normal no trivial

3. Op(G) > 1

4. Sp(G)G es no vacıo

5. Ap(G)G es no vacıo

Observacion 2.1.10. Otra cosa que observamos es que tanto Sp(G) como Ap(G) sonretıculos reducidos. Esto es porque si dos elementos estan acotados inferiormente, entoncesexiste el ınfimo y es la interseccion. Mas precisamente, si A,B ∈ Sp(G) o A,B ∈ Ap(G),el ınfimo (si estan acotados inferiormente) esta dado por A ∧B = A ∩B y el supremo (siestan acotados superiormente) por A ∨B = 〈A,B〉.

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Ademas, Ap(G) es un retıculo reducido atomico: todo elemento A ∈ Ap(G) es elsupremo de los minimales que estan por debajo de este, es decir, A = supH ≤ A : |H| =p (ver proposicion 1.2.42).

La formulacion original de la conjetura de Quillen no utiliza la topologıa de los posetssino de los complejos simpliciales asociados. Por lo visto anteriormente, en terminos deespacios finitos la conjetura de Quillen se puede reformular de la siguiente manera.

Conjetura 2.1.11. (Quillen) Si Sp(G) es homotopicamente trivial, entonces es contractil.

Esto es falso para espacios finitos en general. Ver [6, Example 4.2.1, “The Wallet”].De las equivalencias de la proposicion 2.1.9 y razonando por la contrarrecıproca, pode-

mos reescribir la conjetura de la siguiente manera:

Conjetura 2.1.12. Si Op(G) = 1 entonces Sp(G) no es homotopicamente trivial.

En lo que sigue, comentaremos, sin mucho detalle, algunos casos particulares que sesaben de la conjetura de Quillen 2.1.11. En general, en vista de 2.1.12, para probar alguncaso de la conjetura se argumenta por la contrarrecıproca suponiendo que Op(G) = 1 yviendo luego que alguna homologıa de Sp(G) es no trivial. Esto a priori es mas fuerteque la conjetura en sı, ya que estamos viendo que si Sp(G) no es contractil entonces no esacıclico.

En su artıculo [28], Quillen demuestra primero que la conjetura vale si el poset Ap(G)tiene altura a lo sumo 1. Nosotros daremos una demostracion alternativa utilizando lateorıa de espacios finitos.

Proposicion 2.1.13. (Quillen) Si Ap(G) tiene altura a lo sumo 1, entonces Sp(G) verificala conjetura.

Demostracion. Como Ap(G) contractil implica Sp(G) contractil, basta con probar que siAp(G) tiene altura a lo sumo 1 y es homotopicamente trivial, entonces es contractil. Elresultado vale en general para un espacio finito X de altura a lo sumo 1. Supongamosentonces que X es un espacio finito de altura a lo sumo 1 y homotopicamente trivial. Ental caso, el diagrama de Hasse del espacio finito X al no tener ciclos y ser conexo, debeser un arbol, y por lo tanto es contractil.

Si bien la conjetura de Quillen no esta probada, en lo que sigue comentaremos algunoscasos en los que sı esta probada.

El caso resoluble

Quillen prueba en [28] que la conjetura es cierta para los grupos resolubles. Daremos acontinuacion una demostracion de este hecho, que sigue en general las ideas originales deQuillen, pero simplificando algunos de los pasos con demostraciones alternativas.

Para probar la conjetura para un grupo resoluble G, suponemos que Op(G) = 1 yvemos que la homologıa del poset Ap(G) es no nula. Siguiendo a Quillen, lo que haremoses ver que si A ∈ Ap(G) es un p-toro maximal de rango s, entonces Hs−1(Ap(G)) 6= 0.

Para ello vamos a necesitar utilizar [28, Theorem 9.1], junto con algunas definicionesprevias.

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Definicion 2.1.14. Un espacio topologico X se dice n-conexo, con n ≥ −1 si para cadax ∈ X, los grupo πi(X,x) son triviales para todo 0 ≤ i ≤ n.

Definicion 2.1.15. Un poset X se dice n-esferico, o esferico cuando el n esta implıcito,si tiene dimension n y es (n− 1)-conexo.

Definicion 2.1.16. Un morfismo f : X → Y se dice n-esferico, con n ≥ 0, si F Yy es(n− h(y)− 1)-esferico y f−1(Uy) es h(y)-esferico para todo y ∈ Y .

Inmediatamente de la definicion se tiene el siguiente resultado.

Proposicion 2.1.17. Si f : X → Y es un morfismo n-esferico entonces dim(X) =dim(Y ) = n y los elementos maximales de Y tienen todos la misma altura.

Teorema 2.1.18. ([28, Theorem 9.1]) Sea f : X → Y un morfismo n-esferico. EntoncesX es n-esferico. Mas aun, existe una filtracion canonica

0 = Fn+1 ⊂ Fn ⊂ . . . ⊂ F−1 = Hn(X)

e isomorfismos

F−1/F0 ' Hn(Y )

Fq/Fq+1 '⊕

y:h(y)=q

Hn−q−1(FYy )⊗ Hq(f

−1(Uy))

para 0 ≤ q ≤ n.

Observemos que de la condicion de esfericidad de los posets involucrados, todas lashomologıas que aparecen son grupos abelianos libres (posiblemente triviales), y por lotanto hay un isomorfismo (no canonico)

Hn(X) ' Hn(Y )⊕⊕y∈Y

Hn−h(y)−q(FYy )⊗ Hh(y)(f

−1(Uy)) (2.1)

Para demostrar este teorema, Quillen utiliza cierta sucesion espectral y tecnicas querecurren a sistemas locales. Aquı daremos una demostracion alternativa de este teoremautilizando teorıa de espacios finitos, pero sin exhibir la filtracion: simplemente vemos elisomorfismo 2.1, que es todo lo que necesitaremos

Daremos algunos resultados previos siguiendo las ideas de Barmak en [7].

Observacion 2.1.19. Por convencion, −1-conexo quiere decir que el espacio es no vacıo.Por Hurewicz, si n ≥ 1, un espacio X es n-conexo si y solo si es simplemente conexo yHi(X) = 0 para todo 0 ≤ i ≤ n.

Definicion 2.1.20. Un par topologico (X,A) es n-conexo si πi(X,A) = 0 para todo0 ≤ i ≤ n.

Definicion 2.1.21. Una funcion continua entre espacios topologicos f : X → Y se diceuna n-equivalencia, con n ≥ 0, si para todo x ∈ X, el morfismo inducido f∗ : πi(X,x) →πi(Y, f(x)) es un isomorfismo para 0 ≤ i < n y un epimorfismo para i = n.

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Observacion 2.1.22. Notar que (X,A) es n-conexo si y solo si la inclusion i : A → X esuna n-equivalencia.

Observacion 2.1.23. Podrıamos definir de manera analoga una n-equivalencia homologica,y llamar n-equivalencia homotopica a la dada en la definicion. Notar que por el teoremade Hurewicz para pares topologicos, una f : X → Y es una n-equivalencia si y solo si elpar (Mf , X) es n-conexo (donde Mf es el cilindro de f). Lo mismo vale para el cilindrono-Hausdorff en espacios finitos.

Lema 2.1.24. Sean n y m dos enteros no negativos. Consideremos un poset finito X yun elemento x ∈ X tal que Ux es (n − 1)-conexo y Fx es (m − 1)-conexo. Entonces lainclusion X − x → X es una (n+m+ 1)-equivalencia.

Demostracion. Pasando por los complejos simpliciales asociados a cada espacio finito queaparece, podemos utilizar los teoremas clasicos de topologıa algebraica.

El link de x,

Lk(x) = Ux ∗ Fx

es (n+m+1−1) = (n+m)-conexo por [26, Lemma 2.3]. Ası, el par (St(x),Lk(x)) resulta(n+m+ 1)-conexo por la sucesion exacta larga de los grupos de homotopıa.

Suponiendo sin perdida de generalidad que X es conexo, el par (X − x,Lk(x)) es 0-conexo. Es decir, Lk(x) interseca a todo componente de X − x. Para ver esto, tomemosy ∈ X−x y veamos que esta conectado con algun vertice de Lk(x). Como y esta conectadocon x en X, existen puntos x0, x1, . . . , xn ∈ X tales que x0 = y, xn = x, xi 6= xi+1 y soncomprables para todo i, y xi 6= x si i 6= n. En particular, xn−1 ∈ Lk(x) e y esta conectadocon xn−1 en X − x.

Aplicando escision homotopica con X = St(x) ∪ (X − x) y St(x) ∩ (X − x) = Lk(x),como (St(x),Lk(x)) es (n + m + 1)-conexo y (X − x,Lk(x)) es 0-conexo, la inclusioni : (St(x),Lk(x)) → (X,X − x) es una (n+m+ 1)-equivalencia (ver [18, Theorem 4.23]).Por lo tanto X − x → X es una (n+m+ 1)-equivalencia.

Teorema 2.1.25. Si f : X → Y es un morfismo n-esferico, entonces f es una n-equivalencia.

Demostracion. Sea B(f) el cilindro no-Hausdorff de f . Sean i : X → B(f) y j : Y → B(f)las inclusiones. Sabemos que j es una equivalencia homotopica entre posets (ver [8], [6])y que i ' jf . Luego para ver que f es una n-equivalencia, basta con probar que i lo es.Sea y1, . . . , ym una extension lineal de Y . Es decir, si yi ≤ yj entonces i ≤ j. Paracada 0 ≤ r ≤ m, consideremos el poset Xr = X ∪ yr+1, yr+2, . . . , ym. Ası, X0 = B(f) yXm = X. Veamos que la inclusion Xr+1 → Xr es una n-equivalencia para todo r. Paraello notemos que

UXryr = a ∈ Xr : a < yr = f−1(Uy)

FXryr = a ∈ Xr : a > yr = F Yyr

Del lema anterior, la inclusion Xr+1 → Xr es una (n−h(y)−1+h(y)+1 = n)-equivalencia.Componiendo todas las inclusiones, deducimos que i : X → B(f) es una n-equivalencia.

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Recordemos que si X es un espacio finito, la suspension no-Hausdorff de X es elespacio SX = X ∗ a, b. Inductivamente, Sk+1X = S(SkX). Ademas, si f : X → Yes una funcion continua entre espacios finitos, entonces Sf : SX → SY es la funcioninducida en las suspensiones tal que Sf(x) = f(x) si x ∈ X, Sf(a) = a′ y Sf(b) = b′,donde SX = X ∗ a, b y SY = Y ∗ a′, b′.

Recordemos tambien que un poset tiene altura −1 si es vacıo, y que todo espacio es(−2)-conexo.

Proposicion 2.1.26. Si f : X → Y es un morfismo n-esferico entonces Sf es (n + 1)-esferico. Inductivamente, si k ≥ 0 entonces Skf : SkX → SkY es (n + k)-esferica, y enparticular una (n+ k)-equivalencia.

Demostracion. Sea y ∈ SY = Y ∗ a′, b′.

• Si y ∈ Y , entonces hY (y) = hSY (y) y Sf−1(USYy ) = f−1(UYy ) es h(y)-esferico.

Ademas, FSYy = SF Yy es (n− h(y)− 1 + 1) = ((n+ 1)− h(y)− 1)-esferico.

• Si y = a′ entonces hSY (y) = n + 1 y FSYy = ∅ es ((n + 1) − (n + 1) − 1) = (−1)-

esferico. Ademas, SF−1(USYa′ ) = X ∗ a es contractil y de altura n + 1, y enparticular (n+ 1)-esferico.

• Si y = b′ es analogo al caso anterior.

Ejemplo 2.1.27. Sea X = a, b el espacio discreto de dos puntos y sea Y = c elespacio de un punto. Consideremos f : X → Y el morfismo constante. Entonces f es0-esferica y no es una equivalencia debil. Inductivamente, Snf : SnX → SnY es n-esfericay no es una equivalencia debil, puesto que SnX ∼

wSn mientras que SnY es contractil para

todo n ≥ 0.

Ahora veamos como probar el isomorfismo 2.1 utilizando la teorıa de espacios finitos.

Teorema 2.1.28. Si f : X → Y es un morfismo n-esferico, entonces se tiene un isomor-fismo (no canonico)

Hn(X) ' Hn(Y )⊕y∈Y

Hn−h(y)−1(FYy )⊗ Hh(y)(f

−1(Uy))

Demostracion. Siguiendo la notacion de la demostracion del teorema 2.1.25, tomemos uny = yr. Observemos que

Fy ∗ f−1(Uy) = LkXr−1(y)

Su dimension es

dim LkXr−1(y) = dim Fy + dim f−1(Uy) + 1 = n− h(y)− 1 + h(y) + 1 = n

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y de [26] tenemos una formula para la homologıa del join

Hn(LkXr−1(y)) = Hn(Fy ∗ f−1(Uy))

=∑

i+j=n−1Hi(Fy)⊗ Hj(f

−1(Uy)) +∑

i+j=n−2Tor(Hi(Fy), Hj(f

−1(Uy))

= Hn−h(y)−1(Fy)⊗ Hh(y)(f−1(Uy))

La ultima igualdad proviene de la hipotesis de esfericidad de Fy y de f−1(Uy). Estacondicion tambien nos dice que LkXr−1(y) es (n−1)-conexo (ver [26]), es decir, es esferico.

Por otro lado, notemos que dimXi = n+ 1 para i < m. Esto es porque una cadena decardinal maximo en Xi es de la forma

x0 < x1 < . . . < xr < y0 < y1 < . . . < yk

donde yk es un elemento de altura maximal de Y y xr es maximal en f−1(Uy0). Como esteposet tienen dimension h(y0), concluimos que r = h(y0). Por otro lado, y0 < y1 < . . . < yk

es una cadena maximal en F Yy0 , que tiene dimension n− h(y0), por lo que k = n− h(y0).Luego esta cadena tiene longitud r + k + 1 = n+ 1.

Escribamos Lr = LkXr−1(yr). Utilizando Mayer-Vietoris para Xr−1 = Xr ∪StXr−1(yr)y observando que

Lr = LkXr−1(y) = Xr ∩ StXr−1(y)

obtenemos una sucesion exacta larga

0→ Hn+1(Xr)⊕ Hn+1(StXr−1(y))→ Hn+1(Xr−1)→ Hn(Lr)→

→ Hn(Xr)⊕ Hn(StXr−1(y))→ Hn(Xr−1)→ Hn−1(Lr)→

→ Hn−1(Xr)⊕ Hn−1(StXr−1(y))→ Hn−1(Xr−1)→ . . .

donde el primer cero es porque dimLr = n. Como este link es (n− 1)-conexo y el starStXr−1(y) es contractil, la cola de la sucesion nos queda

0→ Hn+1(Xr)→ Hn+1(Xr−1)→ Hn(Lr)→ Hn(Xr)→ Hn(Xr−1)→ 0

Luego para todo r existen inclusiones Hn+1(Xr) ⊂ Hn+1(Xr−1). Tomando r = 1 ycomponiendo estas inclusiones, tenemos que

Hn+1(Xi) ⊂ Hn+1(X0) = Hn+1(B(f)) ' Hn+1(Y ) = 0

para todo 0 ≤ i ≤ r. Esto nos da una sucesion exacta corta (SEC):

0→ Hn(Lr)→ Hn(Xr)→ Hn(Xr−1)→ 0

Para r = 1 tenemos la sucesion

0→ Hn(L1)→ Hn(X1)→ Hn(Y )→ 0

donde usamos que X0 = B(f) ' Y . Como las puntas son libres, deducimos que Hn(X1)es libre y que la SEC se parte. Suponiendo que Hn(Xr−1) es libre, como Hn(Lr) es libre

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por ser Lr de dimension n, vemos que Hn(Xr) es libre. Por lo tanto, todas las SEC separten

Hn(Xr) ' Hn(Lr)⊕ Hn(Xr−1)

e inductivamente llegamos a que

Hn(X) ' Hn(Y )⊕r

Hn(Lr) ' Hn(y)⊕y∈Y

Hn−h(y)−1(FYy )⊗ Hh(y)(f

−1(Uy))

En la demostracion del caso resoluble, Quillen se reduce a un producto semidirecto LA,donde L es un p′-grupo resoluble y A es un p-toro que actua fielmente en L. Como veremosa continuacion, que la accion sea fiel es equivalente a que Op(LA) = 1. Recordemos queun p′-grupo es un grupo cuyo orden es coprimo con p.

Lema 2.1.29. Si A es un p-grupo y L es un p′-grupo de manera que A actua por auto-morfismos en L, entonces CA(L) = Op(LA).

Demostracion. Probemos las dos contenciones. Como CA(L) es un p-subgrupo normal enA y esta contenido en el normalizador de L, concluimos que es un p-subgrupo normal deLA. Luego CA(L) ≤ Op(LA).

Recıprocamente, veamos queOp(LA) ≤ CA(L). Como A es un p-Sylow de LA, tenemosque Op(LA) ≤ A. Ademas, Op(LA) y L son dos subgrupos normales de LA de ordenescoprimos. En particular, su interseccion es trivial, y esto nos dice que Op(LA) ≤ CLA(L).Intersecando a ambos lados con A, deducimos que

Op(LA) = Op(LA) ∩A ≤ CLA(L) ∩A = CA(L)

Nuestro objetivo ahora es probar el siguiente resultado.

Teorema 2.1.30. Supongamos que L es un p′-grupo resoluble y que A es un p-toro derango s ≥ 0 que actua por automorfismos en L. Si la accion es fiel, entonces Hs−1(Ap(LA)) 6=0.

Observacion 2.1.31. En el caso s = 0 del teorema anterior tendrıamos que A es el grupotrivial, y ası Ap(LA) = ∅ y H−1(Ap(LA)) = Z. Luego podemos suponer que s > 0.

Antes de probar este teorema, veamos como reducir la prueba de la conjetura deQuillen 2.1.11 para un grupo resoluble G al caso de un grupo de la forma LA como indicael teorema 2.1.30. Seguimos las ideas de [28, Theorem 12.1].

Teorema 2.1.32. Sea G un grupo resoluble y p un primo. Si Op(G) = 1 y A es un p-toromaximal de rango s, entonces Hs−1(Ap(G)) 6= 0. En particular, la conjetura vale paragrupos resolubles.

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Demostracion. En el caso de que p no divida al orden de G razonamos de la misma maneraque en la observacion 2.1.31. Luego podemos suponer que p divide al orden de G.

Sea A un p-toro maximal de rango s > 0. Sea L = Op′(G). Como L es normal en G,A actua por conjugacion en L. Aplicando el lema de Hall-Higman (ver teorema 1.1.28),tenemos que CG(L) ≤ L. Luego CA(L) = A ∩ CG(L) ≤ A ∩ L = 1 puesto que son gruposde ordenes coprimos. Esto nos dice que la accion de A en L es fiel, y por lo tanto elsubgrupo LA ≤ G esta en las condiciones del teorema 2.1.30. Luego Hs−1(Ap(LA)) 6= 0.

Para concluir con la demostracion, veamos que Hs−1(Ap(LA)) ⊂ Hs−1(Ap(G)). SeanX = Ap(G), Y = Ap(LA) y Z el subposet de Ap(G) de los p-toros que estan contenidosen algun p-toro que no esta en Ap(LA). Mas precisamente, si

I = H ∈ Ap(G) : Hes maximal y H /∈ Ap(LA)

entoncesZ =

⋃H∈IAp(H)

En particular, tanto Y como Z son abiertos. Veamos que si B ∈ Y ∩ Z entonces B tienerango < s. Sea C un p-toro maximal que contiene a B y que no esta en Y . EntoncesB < C. Como A es un p-Sylow, existe x ∈ LA tal que x−1Bx ≤ A. Si fuese x−1Bx = A,tendrıamos que B es maximal, lo cual contradice B < C. Luego x−1Bx < A y asırp(B) < s. Esto nos dice que Y ∩ Z tiene dimension < s − 1. Utilizando Mayer-Vietorispara este cubrimiento, tenemos una sucesion exacta

Hs−1(Y ∩ Z)→ Hs−1(Y )⊕ Hs−1(Z)→ Hs−1(X)

y como Hs−1(Y ∩ Z) = 0, deducimos que Hs−1(Y ) ⊂ Hs−1(X), y en particular es notrivial.

Observacion 2.1.33. Otro argumento para probar que Hs−1(Ap(LA)) ⊂ Hs−1(Ap(G))puede encontrarse en [30] y es el siguiente. Como tenemos una inclusion Ap(LA) ⊂ Ap(G),basta ver que un ciclo no trivial z en Hs−1(Ap(LA)) es no trivial en Hs−1(Ap(G)). Pordimension, z es la suma de cadenas de la forma A0 < A1 < . . . < As, donde As esconjugado de A en LA. Si fuese un borde, es decir, trivial en Hs−1(Ap(G)), la cadenaanterior A0 < A1 < . . . < As tendrıa que provenir de quitarle un elemento a otra cadenamas grande. Pero de la maximalidad de A y como dimAs = s, se tiene que dimAi = ipara todo i y no existe un B ∈ Ap(G) tal que As < B.

Antes de probar el caso LA, necesitamos una definicion.

Definicion 2.1.34. Un poset finito X de dimension n se dice que es Cohen-Macaulay(CM) si se satisfacen las siguientes condiciones:

• X es n-esferico

• Ux y Fx son (h(x)− 1)-esferico y (n− h(x)− 1)-esferico respectivamente para todox ∈ X

• Fx′ ∩ Ux es (h(x)− h(x′)− 2)-esferico para todo x′ < x ∈ X

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Proposicion 2.1.35. Sea f : X → Y un morfismo de posets estrictamente creciente.Supongamos que Y es CM de dimension n y que para cada y ∈ Y , los posets f−1(UYy )

y F Yy son CM de dimension h(y) y (n − h(y) − 1) respectivamente. Entonces X CM dedimension n.

La demostracion de esta proposicion es bastante basica y utiliza repetidas veces elteorema 2.1.18, por lo que la omitiremos. El lector puede consultar [28, Corollary 9.7]para los detalles.

Por ultimo, veamos un lema algebraico que nos sera de gran utilidad en la demostraciondel teorema 2.1.30

Lema 2.1.36. Si A es un p-toro y L es un p′-grupo con una A-accion, entonces CA(L) =x ∈ Z(LA) : xp = 1 = Ω1(Z(LA)).

Demostracion. Veamos las dos inclusiones. Si x ∈ Z(LA) y xp = 1, por ser A un p-Sylowde LA, existe un y ∈ LA tal que xy ∈ A. Como x es central, x = xy ∈ A. Ademasconmuta con todos los elementos de L, por lo que x ∈ CA(L).

Recıprocamente, si x ∈ CA(L) entonces xp = 1 y conmuta con todo elemento de L.Como ademas conmuta con todo elemento de A, concluimos que x ∈ Z(LA).

Demostracion del Teorema 2.1.30. Siguiendo a Quillen, demostraremos que Ap(LA) es unposet Cohen-Macaulay, independientemente si la accion es fiel o no. La idea de pasar poresta propiedad, es que podemos aplicar el teorema 2.1.18 a un cierto morfismo para deducirque Hs−1(Ap(LA)) 6= 0.

Como L es un p′-grupo resoluble, existe una cadena de subgrupos caracterısticos

L = L0 ⊃ L1 ⊃ . . . ⊃ Lr = 1 (2.2)

de manera que los cocientes sucesivos son abelianos. Procedemos a probar por induccion enel orden de LA (asumiendo el caso L abeliano) que Ap(LA) es CM de dimension n = s−1,y que si ademas la accion es fiel, entonces Hs−1(Ap(LA)) 6= 0.

Supongamos que L es un p′-grupo resoluble no abeliano. De la descomposicion 2.2,existe H un subgrupo propio no trivial caracterıstico en L. De esta manera, H es A-invariante. Es facil chequear que la aplicacion

ϕ : LA/H → (L/H)A (2.3)

la 7−−−−→ la (2.4)

es un isomorfismo. Como (L/H) es un p′-grupo resoluble de orden menor al de L, podemosaplicar la hipotesis inductiva.

Ahora notemos que la proyeccion al cociente π : LA → LA/H ' (L/H)A induce unmorfismo de posets π : Ap(LA)→ Ap(LA/H). Mas aun, si B ∈ Ap(LA), entonces

π(B) = B/H = HB/H ' B/H ∩B ' B

puesto que H y B son grupos de ordenes coprimos. Esto nos dice que π preserva la alturade los elementos del poset y en particular es estrictamente creciente.

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Veamos que Ap(LA) es CM. La idea es usar la proposicion 2.1.35. De la hipotesisinductiva, el poset Y = Ap(LA/H) es CM de dimension n. Basta ver que π−1(UYB ) es CMde dimension h(B). Observemos que

π−1(UYB ) = C ∈ Ap(LA) : πC ≤ B = Ap(π−1(B))

Tenemos una sucesion exacta corta

1→ H → π−1(B)→ B → 1

y sabemos que H es un p′-grupo resoluble y B es un p-toro. Podemos aplicar el teoremade Schur–Zassenhaus 1.1.26 para deducir que π−1(B) = HC donde C es un complementode H. Mas aun, B = π−1(B)/H ' C. Aplicando la hipotesis inductiva a este grupo,deducimos que π−1(UYB ) = Ap(π−1(B)) es CM de dimension h(B). Por lo tanto Ap(LA)es CM de dimension n.

Asumiendo que la accion de A en L es fiel, es decir, que CA(L) = 1, veamos queHs−1(Ap(LA)) 6= 0. Del lema 2.1.36, CA(L) = Ω1(Z(LA)) son los elementos centrales deorden 1 o p.

Sea B = Ω1(Z(LA/H)) y sea m = h(B). Veamos que

a) Ω1(Z(π−1(B))) = CB(π−1(B)) = 1, es decir, la accion de B en H es fiel.

b) Hn−m−1(FAp(LA/H)B ) 6= 0

Una vez probado esto, por hipotesis inductiva en π−1(B) y por a) tendremos queHm(Ap(π−1(B))) 6= 0. Del teorema 2.1.18, usando b), deducimos que Hn(Ap(LA)) 6= 0.

a) Escribamos π−1(B) = HC con C ' π−1(B)/H = B = Ω1(Z(LA/H)). Del lema2.1.36, Ω1(Z(π−1(B))) = CC(H) ≤ C. Sea b ∈ CC(H). Entonces b ∈ Ω1(Z(LA/H)) 'CA(L/H), donde el iso es a 7→ a. Luego b = a para cierto a ∈ A. Existe h ∈ H tal queb = ha. Entonces a = h−1b ∈ HC y en particular, [a, b] = 1 por ser b central. Comohp = (ba−1)p = 1, vemos que h = 1. Esto prueba que Ω1(Z(π−1(B)) ≤ A.

Veamos ahora que Ω1(Z(π−1(B))) ≤ CA(L). Sean l ∈ L y b ∈ Ω1(Z(π−1(B))) yprobemos que [b, l] = 1. Como b ∈ Ω1(Z(LA/H)),

[b, l] = [b, l] = 1

por lo que existe h ∈ H tal que h = [b, l] = blb−1l−1. Sea c = lb−1l−1. Entoncesc = b−1h = hb−1 por ser b central. Como c es un conjugado de b−1,

1 = cp = (b−1h)p = hp

y ası h = 1.

b) Como B es un subgrupo caracterıstico de LA/H, en particular es normal y se tiene unisomorfismo entre posets

FAp(LA/H)B = C ∈ Ap(LA/H) : B < C = Ap((LA/H)/B)

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como consecuencia del teorema de correspondencia. Del isomorfismo 2.3,

(LA/H)/B ' ((L/H)A)/CA(L/H) ' (L/H)(A/CA(L/H)) = L′A′

donde L′ = L/H es un p′-grupo con una accion fiel de A′ = A/CA(L/H). Notar que|A′| = |A|/|CA(L/H)| = pn+1/pm+1 = pn−m. Por hipotesis inductiva,

Hn−m−1(FAp(LA/H)B ) = Hn−m−1(Ap(L′A′)) 6= 0

Para el caso de L abeliano los argumentos son puramente algebraicos y repiten lasideas expuestas. El lector puede seguir esta parte de la demostracion en [28, Theorem11.2].

Otros casos demostrados por Quillen y el caso p-resoluble

Quillen en [28] demuestra otros casos de su conjetura 2.1.11 ademas del caso resoluble. En-tre ellos esta el ya mencionado caso en que Ap(G) tiene altura a lo sumo 1 (ver proposicion2.1.13). Los otros dos casos que prueba tienen que ver con grupos simples y requieren otrasherramientas que no veremos aquı.

De la clasificacion de grupos finitos simples, un grupo simple no abeliano puede ser ungrupo alternado An (n ≥ 5), un grupo de tipo de Lie o uno de los 26 grupos esporadicos.

Teorema 2.1.37. ([28, Theorem 3.1]) Si G es un grupo de tipo de Lie en (la misma)caracterıstica p, entonces vale la conjetura 2.1.11.

Precisamente, lo que dice [28, Theorem 3.1] es que el complejo simplicial K(Ap(G)) eshomotopicamente equivalente al building T asociado a tal grupo (en el sentido de Tits,ver [34]). En consecuencia, K(Ap(G)) tiene el mismo tipo homotopico que un wedge deesferas de dimension l − 1, donde l es cierto invariante del building T .

En general, el complejo simplicial T tiene dimension mas chica que K(Ap(G)), y porlo tanto, a diferencia del caso resoluble, en general no sucede que la homologıa de grador, con r = h(Ap(G)) sea no trivial. Los grupos G que verifican que Hr(Ap(G)) 6= 0 conr = h(Ap(G)) se dice que satisfacen la Quillen Dimension Property para p, y se abrevia(QD)p (definicion introducida por Aschbacher y Smith). Por ejemplo, en el caso de Gresoluble vimos que G satisface (QD)p. Es claro que (QD)p implica la conjetura, pero notodos los grupos que satisfacen la conjetura verifican (QD)p. Un ejemplo de esto son losgrupos como en el teorema anterior.

El otro caso que demuestra Quillen es cuando G = GLn(q) con q ≡ 1 mod p. Dehecho, la validez de la conjetura para estos grupos esta implıcita en la demostracion delsiguiente teorema.

Teorema 2.1.38. ([28, Theorem 12.4]) Ap(GLn(q)) es Cohen-Macaulay de dimensionn− 1.

El entendimiento de las demostraciones de estos dos teoremas requiere de un desarrollobasico sobre buildings y de grupos de tipo de Lie, lo cual escapa a los objetivos de estetrabajo. El lector puede consultar los artıculos [28] y [34] para obtener definiciones masprecisas y ver las demostraciones correspondientes.

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Por otro lado, en [28, Problem 12.3], Quillen propone ver que el teorema 2.1.30 es validosi suponemos solamente que L es un p′-grupo con una accion fiel de A. De esta manera,la demostracion del teorema 2.1.32 sigue siendo valida si restringimos nuestras hipotesisa G p-resoluble, ya que se basa principalmente en la aplicacion del lema de Hall-Higman(ver teorema 1.1.28) que vale para grupos p-resolubles. Sin embargo, la demostracion delcaso LA para L un p′-grupo con la accion fiel de un p-toro A, no es tan simple. Lasdemostraciones que hemos encontrado al respecto (ver [30] o [16]) utilizan en un momentola CGSF para descartar casos.

La demostracion del caso p-resoluble que presenta Smith en [30] se puede resumir dela siguiente manera. Vıa la reduccion que propone Quillen, basta con probar el teorema2.1.30 cuando L es solo un p′-grupo. Es decir, si A es un p-toro que actua fielmente en Lpor automorfismos, entonces Hs−1(Ap(LA)) 6= 0, donde s ≥ 0 es el rango de A. De estamanera, tomamos L que sea un p′-grupo minimal respecto a tener una A-accion fiel. Vıaargumentos basicos de teorıa de grupos, se puede deducir que L = F ∗(L), donde F ∗(L) esel subgrupo de Fitting generalizado de L (ver [4, Section 31] o [24, Section 9.A]). A partirde esto, la idea es construirse un subgrupo L0 ≤ L que sea resoluble y tal que A actuaen L0 de manera fiel. Por minimalidad de L, debe ser que L0 = L y ası se puede aplicarlo que ya esta demostrado en el teorema 2.1.30. La construccion de tal subgrupo L0 seobtiene a partir del producto del subgrupo de Fitting F (L) con otros subgrupos Ti queverifican determinadas condiciones. Para probar que tal subgrupo L0 posee una A-accionfiel, Smith utiliza la clasificacion de grupos simples finitos.

Smith en [30] presenta una demostracion distinta del caso LA con L resoluble. Se tomanuevamente un L que sea minimal respecto a tener una A-accion fiel y a partir de esto,realizando una serie de reducciones, se construye un producto central de s-subgrupos querepresentan 0-esferas. El producto central de grupos se traduce en el join de los complejosasociados. Como un join de s 0-esferas pasa a ser una s− 1-esfera dentro de K(Ap(LA)),obtenemos un elemento no trivial de Hs−1(Ap(LA)).

Estos argumentos que aparecen en [30] son debidos a Alperin, aunque no estan publi-cados oficialmente.

Por otro lado, la demostracion de Dıaz Ramos en [16] del caso p-resoluble, si bien utilizala CGSF para descartar casos, se basa en las siguientes reducciones. Al igual que Alperin,se reduce al caso LA con L un p′-grupo con una A-accion fiel. Vıa [16, Theorem 5.6], sereduce al caso en que K = B×S es el producto directo de un p′-grupo abeliano B por unp′-grupo S que es el producto directo de grupos simples no abelianos. Luego utilizando [16,Theorem 5.3] y la CGSF, deduce [16, Theorem 5.2]. A partir de este resultado demuestrael caso LA con L un p′-grupo viendo que cierto subgrupo de la homologıa de grado s− 1,donde |A| = ps, con coeficientes en un grupo cıclico Zd, es no trivial. Concluye ası queHs−1(Ap(LA)) 6= 0.

Por ultimo, remarcamos que tanto la demostracion de Alperin como la de Dıaz Ramosdel caso p-resoluble, se basan en probar (QD)p para un grupo G es p-resoluble conOp(G) =1.

Otra demostracion del caso p-resoluble se puede encontrar en el artıculo de Aschbachery Smith [3].

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El resultado mas general de la conjetura

A partir del artıculo [28], ha habido grandes avances sobre la conjetura 2.1.11. Ademasde los casos demostrados por Quillen y el caso p-resoluble, en este apartado veremos queotros resultados se obtuvieron.

En [19], Hawkes e Isaacs demostraron la siguiente equivalencia, con tecnicas algebraicasy combinatorias.

Teorema 2.1.39. (Hawkes-Isaacs, [19, Theorem A]) Si G es p-resoluble con p-Sylowsabelianos, entonces Op(G) > 1 si y solo si χ(SP (G)) = 1.

Si Op(G) > 1 entonces la caracterıstica de Euler es 1 porque el poset Sp(G) escontractil. Luego hay que ver que si Op(G) = 1 entonces χ(Sp(G)) 6= 1. Lo primeroque hacen Hawkes e Isaacs es reducirse al caso LA con L un p′-grupo y A abeliano.Supongamos que Op(G) = 1 y sea L = Op′(G). Si G = G/L y A = LA/L, entoncesOp(G) ≤ A por ser A un p-Sylow de G. Ahora, G es p-resoluble y Op′(G) = 1, por loque del lema de Hall-Higman (ver teorema 1.1.28) tenemos que CG(Op(G)) ⊂ Op(G).Como A es abeliano, en particular centraliza a Op(G) y por lo tanto tiene que ser queOp(G) = A. Esto nos dice que A es normal en G, y ası LA es normal en G. Como A esun p-Sylow, obtenemos que Sp(LA) = Sp(G). Ademas, de la condicion Op(G) = 1 se sigueque Op(LA) = 1. De hecho, lo que se puede hacer es suponer que A es elemental abeliano,ya que Sp(LA) ≈

wAp(LA) = Sp(LΩ1(A)) y Op(LΩ1(A)) = 1. A partir de esto, trabajando

con la funcion de Mobius de un poset, Hawkes e Isaacs demuestran que la caracterısticade Euler es no trivial.

En [30], Smith presenta una demostracion diferente de este teorema, recurriendo nue-vamente a un argumento de Alperin que consiste en la reduccion a un caso minimal y luegoal caso resoluble. Como lo que hay que probar aquı es que la caracterıstica de Euler es notrivial, no sirve con ver solamente que se satisface (QD)p. Una vez reducido al caso LA,donde L es un p′-grupo, A es (elemental) abeliano y LA es p-resoluble con Op(LA) = 1,lo que hace Alperin es construirse un subgrupo L0 ≤ L que sea resoluble, A-invariante ytal que χ(Sp(LA)) = χ(Sp(L0A)). De esta manera, del teorema 2.1.30, como Ap(L0A) esCohen-Macaulay, su caracterıstica de Euler es no trivial.

Por otro lado, lo que Smith remarca en [30], es que, como ya vimos, al fin y al cabosi Op(G) = 1 entonces G satisface (QD)p, a excepcion del caso de grupos de tipo deLie en caracterıstica p. En particular, el caso de G = GLn(q) con q ≡ 1 mod p en [28,Theorem 12.4] que demuestra Quillen tambien satisface (QD)p. Esta nocion de (QD)pfue introducida por Aschbacher y Smith en [3] y sirvio de motivacion para el analisis dela conjetura en casos mas generales. Lo que proponen en su analisis de la conjetura, esverificar si las componentes del subgrupo generalizado de Fitting F ∗(G) verifican (QD)p, yen tal caso utilizar argumento inductivos. Cuando hay componentes que no lo verifican, sedeben recurrir a otros metodos no-inductivos. De esta manera, parte del gran trabajo deAschbacher y Smith es probar para que grupos simples se satisface (QD)p y para cuales no.En realidad, lo que consideran son grupos casi simples G: el subgrupo F ∗(G) es simple.Luego analizan el caso minimal G = LA con L = F ∗(G) simple y A ≤ Out(L) p-elementalabeliano. Bajo estas hipotesis, los grupos LA que no se sabe si satisfacen (QD)p puedenencontrarse en [3, Theorem 3.1] o [30, Theorem 8.2.15]. La demostracion de este teorema

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involucra un profundo estudio de los grupos simples y por lo tanto la utilizacion de laCGSF.

Lo que Smith remarca en [30], es que la mayorıa de los grupos de la lista de excepcionesde grupos LA que no se sabe si satisfacen (QD)p, no causan problemas en el sentido quese puede demostrar la conjetura para tales grupos. Sin embargo, hay una clase de gruposen particular que parece evadir todo tipo de analisis y que es por ello que todavıa no hanpodido probar la conjetura en el caso general. Estos son los grupos unitarios Un(q) encaracterıstica q con q ≡ −1 mod p y con n ≥ q(q − 1). Para Aschbacher y Smith, talesgrupos deberıan satisfacer (QD)p.

Conjetura 2.1.40. ([3, Conjecture 4.1]) Supongamos que p es impar y que si p = 3,excluimos los casos q = 2, 8. Entonces (QD)p deberıa satisfacerse en LA con L = Un(q) yA p-elemental abeliano.

En [3, 4.4(b)], se demuestra la conjetura anterior para el caso q(q − 1) > n.

A continuacion, citamos el teorema principal del artıculo de Aschbacher y Smith [3].

Teorema 2.1.41. (Aschbacher-Smith, [3, Main Theorem]) Sea G un grupo finito y seap > 5 un primo tal que si G contiene componentes unitarias Un(q) con q ≡ −1 mod py q es impar, entonces vale (QD)p para todas las p-extensiones de Um(qp

e) con m ≤ n y

e ∈ Z. Entonces G satisface la conjetura de Quillen 2.1.11 para p.

Una p-extension de un grupo simple L es un producto semidirecto LB con B ≤ Out(L)un p-toro.

Para finalizar esta seccion, remarcamos que hay mas casos probados de la conjetura,incluso en [3]. Por ejemplo, [2, Theorem 3] afirma que si F ∗(G) es simple, entonces Gsatisface la conjetura de Quillen 2.1.11.

2.2 La relacion entre Sp(G1 ×G2) y Sp(G1) ∗ Sp(G2)

Un caso interesante que comenta Quillen en [28] es cuando G es el producto directo de dosgrupos. Lo que el prueba es que si G ' G1 ×G2, entonces K(Sp(G)) es homotopicamenteequivalente a K(Sp(G1) ∗ Sp(G2)). Nosotros en este apartado veremos que este resultadono vale si los vemos como espacios finitos: en general Sp(G1×G2) no es homotopicamenteequivalente a Sp(G1)∗Sp(G2), donde consideramos el join de espacios finitos (ver definicion1.2.23).

Si X es un poset, notamos por C+X al poset X ∗ + que mantiene el orden entrelos elementos de X y le agrega el elemento + en rol de maximo. Analogamente definimosC−X = − ∗X.

Proposicion 2.2.1. Si X e Y son dos posets, entonces C+X ×C−Y −(+,−) ' X ∗ Y

Demostracion. Sea Z = C+X ×C−Y −(+,−) y sea W = X ∗Y . Tenemos una funciong : Z →W dada por

g(x, y) =

y si y 6= −x si y = −

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Es facil chequear que g es un morfismo de posets. Por otro lado, tenemos una funcionf : W → Z dada por

f(w) =

(x,−) si w = x ∈ X(+, y) si w = y ∈ Y

Es inmediato ver que f es morfismo de posets. Veamos que f y g son inversas homotopicasuna de otra:

gf(w) =

g(x,−) w = x ∈ Xg(+, y) w = y ∈ Y

=

x w = x ∈ Xy w = y ∈ X

= w

fg(x, y) =

f(y) y 6= −f(x) y = −

=

(+, y) y 6= −(x,−) y = −

=

(+, y) y 6= −(x, y) y = −

≥ (x, y)

Por lo tanto gf = idW y fg ≥ idZ , por lo que W = C+X ×C−Y − (+,−) y Z = X ∗ Yson homotopicamente equivalentes.

Observacion 2.2.2. Notemos que si X e Y son G-posets, entonces los morfismos de lademostracion anterior f y g son G-inversas, donde la accion de G en los elementos +y − la asumimos trivial. Es decir, los espacios C+X × C−Y − (+,−) y X ∗ Y sonG-equivalentes.

Para los posets de p-subgrupos tenemos ademas otra equivalencia en relacion al pro-ducto directo de grupos. Para un grupo finito G y un primo p, cuando hablemos delposet C−Sp(G) podemos pensar que el elemento que agregamos − es el grupo trivial.Analogamente, en el poset C+Sp(G), el elemento + lo podemos pensar como todo elgrupo G.

Proposicion 2.2.3. Para dos grupos finitos G1 y G2, sea G = G1×G2. Entonces el posetSp(G1 ×G2) es G-equivalente al poset C−Sp(G1)× C−Sp(G2)− (−,−).

Demostracion. Por un lado podemos definir

f : Sp(G1 ×G2) −→ C−Sp(G1)× C−Sp(G2)− (−,−)H 7−−−−−−−−→ p1(H)× p2(H)

donde pi : G1 × G2 → Gi es la proyeccion canonica. Identificamos al subgrupo trivial deGi con el elemento − ∈ C−Sp(Gi). Es facil chequear que f es un morfismo de posets biendefinido. Por otro lado, tenemos

g : C−Sp(G1)×C−Sp(G2)− (−,−) −→ Sp(G1 ×G2)

H1 ×H2 7−−−−−−−−−−−−→H1 ×H2

Es claro que g tambien es un morfismo de posets bien definido. Luego

gf(H) = p1(H)× p2(H) ≥ H

fg(H1 ×H2) = p1(H1 ×H2)× p2(H1 ×H2) = H1 ×H2

Ademas, tanto f como g son morfismos G-equivariantes. Luego los posets C−Sp(G1) ×C−Sp(G2)− (−,−) y Sp(G1 ×G2) son G-equivalentes.

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En vista de las proposiciones anteriores, parece haber cierta relacion homotopica entrelos posets Sp(G1 × G2) y Sp(G1) ∗ Sp(G2). Pero si queremos pasar por los conos delos posets, nos encontramos con ciertas dificultades. De hecho, en general no vale queC−X × C−Y − (−,−) sea homotopicamente equivalente a C+X × C−Y − (+,−).

Ejemplo 2.2.4. Tomemos X un espacio discreto de n puntos e Y un espacio discreto dem puntos, con 1 < n < m. Entonces X ∗ Y 6' Y ∗X. Para ver esto, primero notemos queambos espacios son minimales. Si x ∈ X, como m > 2, hay al menos dos elementos y1, y2de Y que lo cubren en X ∗ Y , donde x es minimal, y estos mismos dos estan cubiertospor x en Y ∗ X, donde x es maximal. Luego x no es beat point en X ∗ Y ni en Y ∗ X.De manera analoga, como n ≥ 2, los elementos de Y no son beat points ni en X ∗ Y nien Y ∗ X. Luego ambos espacios X ∗ Y e Y ∗ X son minimales. Como X ∗ Y tiene nmaximales y Y ∗X tiene m maximales, con n < m, concluimos que no son homeomorfos,y por lo tanto no son homotopicamente equivalentes.

El ejemplo anterior se extiende facilmente a los casos de los Sp(G), puesto que podemosconseguir grupos G para los que Sp(G) sea discreto con mas de un punto.

Ejemplo 2.2.5. Para G = S4 y p = 3, S3(S4) es discreto con 4 puntos. Esto es porque:

1. |G| = 23.3

2. La cantidad de 3-Sylows es 4 pues 2 y 8 no son congruentes a 1 modulo 3 y hay almenos 3 elementos distintos de orden 3: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (1, 2, 4) y los 3-Sylowsson isomorfos a Z3.

De manera analoga se puede probar que S3(S5) es discreto con 10 puntos. Luego delejemplo anterior, S3(S4) ∗ S3(S5) 6' S3(S5) ∗ S3(S4)

Este ultimo ejemplo prueba que en general Sp(G1) ∗ Sp(G2) y Sp(G2) ∗ Sp(G1) no sonhomotopicamente equivalentes.

Retomando a los conos, queremos analizar la conexion entre Sp(G1 × G2) y Sp(G1) ∗Sp(G2). El ejemplo anterior muestra que no son homotopicamente equivalentes en general,ya que Sp(G1 ×G2) ≡ Sp(G2 ×G1). Para dejar en claro esto ultimo, veamos que sucedecon los diferentes espacios que podemos armarnos tomando el producto de dos conos ysacando sus vertices como hicimos en las dos proposiciones anteriores.

Ejemplo 2.2.6. Supongamos que X es un espacio discreto de n puntos y que Y es unespacio discreto de m puntos, con 1 < n < m. Cambiemos un poco la notacion y notemospor x e y a los puntos que agregamos a los espacios X e Y respectivamente cuando letomamos algun cono. Supongamos que X = a1, . . . , an y que Y = b1, . . . , bm.

1. Caso C−X × C−Y − (x, y): es un espacio minimal con mn elementos maximalesy m+ n minimales.

2. Caso C−X ×C+Y −(x, y): es homotopicamente equivalente al espacio Y ∗X porla proposicion 2.2.1. En particular, su core tiene n maximales, m minimales, altura1 y todo maximal cubre a todo minimal.

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3. Caso C+X ×C−Y −(x, y): es homotopicamente equivalente al espacio X ∗ Y porla proposicion 2.2.1. En particular, su core tiene m maximales, n minimales, altura1 y todo maximal cubre a todo minimal.

4. Caso C+X × C+Y − (x, y): es el poset opuesto a C−X × C−Y − (x, y):

(C−X × C−Y − (x, y))op = C+X × C+Y − (x, y)

Esto se verifica facilmente observando que (C−X)op = C+X si X es discreto. Enparticular, tenemos m + n maximales, mn minimales y es un espacio minimal dealtura 1.

Aplicando lo que vimos en el ejemplo 2.2.4, deducimos que los espacios de los casos2 y 3 no son homotopicamente equivalentes. Ademas, como n < m, se tiene que mn ≥2m = m + m > m + n, y ası 1 y 4 no pueden ser homotopicamente equivalentes: sonespacios minimales con distinta cantidad de elementos maximales. Continuando con estetipo de razonamientos, podemos deducir que dos espacios distintos de los anteriores noson homotopicamente equivalentes.

Si tomamos X = S3(S4) e Y = S3(S5) tenemos estos mismos contraejemplos para losposets de la forma Sp(G).

Lo que sı vale en general, es lo siguiente:

Proposicion 2.2.7. El poset Sp(G1 × G2) es contractil si y solo si Sp(G1) ∗ Sp(G2) escontractil.

Demostracion. Notemos por inci : Gi → G1 × G2 a la inclusion canonica inci(g) = (g, 1)o (1, g) si i = 1 o i = 2 respectivamente.

Si Sp(G1) ∗ Sp(G2) es contractil, entonces para algun i, Sp(Gi) es contractil (verproposicion 1.2.25). Luego existe H ≤ Gi un p-subgrupo normal no trivial. Es inmediatoverificar que inci(H) es un p-subgrupo normal no trivial de G1 ×G2.

Recıprocamente, si Sp(G1 × G2) es contractil, existe H ≤ G1 × G2 un p-subgruponormal no trivial. Luego p1(H) ≤ G1 o bien p2(H) ≤ G2 es un p-subgrupo no trivial.Como H E G1 ×G2, si g ∈ Gi, entonces pi(H)g = pi(H

inci(g)) = pi(H). De esta manera,pi(H) E Gi, y como para algun i es no trivial, concluimos que para algun i, Sp(Gi) escontractil. Por lo tanto el join Sp(G1) ∗ Sp(G2) es contractil.

Hasta aca hemos visto que en general Sp(G1×G2) no es homotopicamente equivalentea Sp(G1)∗Sp(G2), pero que si alguno de los dos es contractil, entonces el otro lo es. Quillenprueba en [28] que sus complejos simpliciales asociados son homotopicamente equivalentes,lo que en terminos de posets se traduce en decir que tienen el mismo tipo homotopico debil.

Proposicion 2.2.8. Los posets Sp(G1 × G2) y Sp(G1) ∗ Sp(G2) tienen el mismo tipohomotopico debil. En particular, tienen los mismos grupos de homotopıa.

Demostracion. En vista de las proposiciones 2.2.3 y 2.2.1, basta ver que para dos posets Xe Y , los espacios C+X ×C−Y −(+,−) y C−X ×C−Y −(−,−) tienen el mismo tipohomotopico debil. Esto es consecuencia de la proposicion que viene a continuacion, la cualmuestra que las realizaciones geometricas de sus complejos asociados son homeomorfas.

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Proposicion 2.2.9. Si X e Y son dos posets, entonces las realizaciones geometricas delos complejos K(C+X×C−Y −(+,−)) y K(C−X×C−Y −(−,−)) son homeomorfas.En particular, C+X × C−Y − (+,−) y C−X × C−Y − (−,−) tienen el mismo tipohomotopico debil.

Demostracion. En [6, Proposition 2.7.5], Barmak afirma que la funcion f : |K(X × Y )| →|K(X)| × |K(Y )| definida por

f(

k∑i=0

ti(xi, yi)) = (

k∑i=0

tixi,

k∑i=0

tiyi)

para (x0, y0) < (x1, y1) < . . . < (xk, yk), es un homeomorfismo para cualesquiera Xe Y espacios finitos T0. Recordemos que si x ∈ X, entonces K(X − x) = K(X) − x.Utilicemos este homeomorfismo para ver entonces que |K(C+X × C−Y ) − (+,−)| y|K(C−X × C−Y ) − (−,−)| son homeomorfos. En abuso de notacion, vamos a notarsiempre f a este homeomorfismo, aunque vayamos cambiando los espacios. Observemosque

|K(C+X × C−Y )| ≡ |K(C+X)| × |K(C−Y )|≡ |K(C−X)| × |K(C−Y )|≡ |K(C−X × C−Y )|

donde el homeomorfismo es (∑

i ti(xi, yi)) 7→ f−1(∑

i tixi,∑

i tiyi) y

xi =

xi si xi 6= +

− si xi = +

Uno puede chequear que esta composicion se restringe a un homeomorfismo entre losespacios |K(C+X×C−Y )−(+,−)| y |K(C−X×C−Y )−(−,−)|. Los detalles quedana cargo del lector.

Para una explıcita descripcion de la inversa de f referimos al lector a la demostracionde [6, Proposition 2.7.5].

Si X e Y son dos posets y alguno de los dos es homotopicamente trivial, entonces sujoin X ∗Y lo es. Una forma inmediata de ver esto es pasando por los complejos simplicialesasociados y recordando que |K(X ∗Y )| ≡ |K(X)| ∗ |K(Y )|, y este es el join clasico. Siendoalguno de los dos contractil, el join de los espacios es contractil (ver [26]). Sin embargo,en general no vale que si X ∗Y es homotopicamente trivial entonces alguno de los espacioslo es. Para un contraejemplo de esto, ver el comentario que hace Barmak luego de [6,Proposition 6.2.12].

Curiosamente, para los posets Sp(G) deberıa ser cierto al menos si la conjetura deQuillen fuese cierta. Esto plantea una gran restriccion al nivel de los grupos de homologıaque deberıan tener los posets Sp(G).

Proposicion 2.2.10. Si la conjetura de Quillen 2.1.11 es cierta y Sp(G1) ∗ Sp(G2) eshomotopicamente trivial, entonces Sp(G1) o Sp(G2) es homotopicamente trivial.

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Demostracion. Si Sp(G1) ∗ Sp(G2) es homotopicamente trivial, de la proposicion 2.2.8Sp(G1 × G2) es homotopicamente trivial. Si vale la conjetura de Quillen 2.1.11, estoimplica que G1 ×G2 posee un p-subgrupo normal no trivial (ver proposicion 2.1.9), y dela proposicion 2.2.7 resulta que alguno de los dos, Sp(G1) o Sp(G2), es contractil, y enparticular homotopicamente trivial.

Observacion 2.2.11. Todos los resultados anteriores se pueden expresar en terminos deAp(G). Es decir, Ap(G1×G2) y Ap(G1)∗Ap(G2) tienen los mismos grupos de homotopıa,no tienen el mismo tipo homotopico en general (el mismo contraejemplo que dimos sirve)y si vale la conjetura y Ap(G1) ∗ Ap(G2) es homotopicamente trivial, entonces Ap(G1) oAp(G2) lo es.

2.3 Conexion y simple conexion de Sp(G)

En esta seccion nos dedicaremos a estudiar la conexion del poset Sp(G) y veremos losresultados de Aschbacher sobre la simple conexion del mismo.

La desconexion del poset Sp(G) es equivalente a la existencia de un subgrupo de Gcon cierta propiedad. Esto fue hecho originalmente en [28], donde Quillen deduce estapropiedad de una serie de equivalencias que aquı no daremos. En cambio, haremos unademostracion un poco mas directa aunque siguiendo sus mismas ideas de fondo.

Definicion 2.3.1. Si G es un grupo finito y p es un primo que divide al orden de G, unsubgrupo M ≤ G se dice fuertemente p-embebido si satisface las siguientes condiciones:

1. M < G y p | |M |

2. Para todo g ∈ G−M , M ∩Mg es un p′-grupo

El siguiente lema de caracter algebraico nos sera util para entender un poco que significatener un subgrupo fuertemente p-embebido.

Lema 2.3.2. Si M ≤ G es fuertemente p-embebido, entonces |M |p = |G|p. Es decir, todop-Sylow de M es un p-Sylow de G. Mas aun, la cantidad de p-Sylows es estrictamentemenor. O sea, Sylp(M) ( Sylp(G)

Demostracion. Supongamos que Q ∈ Sylp(M) no es un p-Sylow de G. Entonces existeP ∈ Sylp(G) tal que Q < P . Como Q < NP (Q) ≤ P y este es un p-grupo, se tiene queNP (Q) 6≤ M . Sea x ∈ NP (Q) −M . Entonces Q = Q ∩Qx ⊂ M ∩Mx es un p′-grupo, locual es una contradiccion.

Supongamos que Sylp(M) = Sylp(G). Dados P,Q ∈ Sylp(M) y x ∈ G, existen m,m′ ∈M tal que Pm = Q y Pm

′= Qx. De esta manera,

P = Qm−1

= Qxx−1m−1

= Pm′x−1m−1

por lo que m′x−1m−1 ∈ NG(P ). De las condiciones de la definicion y de que P es unp-grupo, deducimos que NG(P ) ≤ M , y ası m′x−1m−1 ∈ M . En particular, x ∈ M .Como x ∈ G era arbitrario, M = G, lo cual es absurdo.

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Observacion 2.3.3. Una componente conexa de Sp(G) es una clase de equivalencia dela relacion A ∼ B si existen A0, . . . , An ∈ Sp(G) tales que A = A0, B = Bn y Ai, Ai+1 soncomparables para todo i. Por otro lado, si A < B son dos p-subgrupos y g ∈ G entoncesAg < Bg. Esto nos permite definir una accion de G en estas clases de equivalencia, esdecir, en π0(Sp(G)). Ademas, como todo p-subgrupo esta contenido en un p-Sylow, talesclases de equivalencia estan representadas por p-Sylows. Por esto mismo, la accion de Gen π0(Sp(G)) es transitiva.

Ahora estamos en condiciones de enunciar el teorema de Quillen que describe laconexion del poset Sp(G).

Teorema 2.3.4. (Quillen) El poset Sp(G) es disconexo si y solo si G tiene un subgrupofuertemente p-embebido.

Demostracion. Supongamos que Sp(G) es disconexo. Consideremos la accion de G enπ0(Sp(G)) y sea M el estabilizador de alguna de estas componentes conexas. Sea P ∈Sylp(G) un representante de dicha componente, que la notamos [P ]. Como la accion estransitiva, la orbita de [P ] es π0(Sp(G)), y al ser disconexo, tiene mas de un elemento.Luego M < G. Veamos ahora que M es un subgrupo fuertemente p-embebido:

1. p | |M | pues P ⊂ NG(P ) ⊂ G[P ] = M

2. Sea x ∈ G−M y veamos que M ∩Mx es un p′-grupo. Sea K ≤M ∩Mx un p-grupo.Como x /∈M = G[P ], las componentes [P ] y [P x] son distintas. Sea Q = P x. ComoK ⊂ M ∩Mx es un p-grupo, existen m1 ∈ M y m2 ∈ Mx tales que K ⊂ Pm1 yK ⊂ (P x)m2 = Qm2 . Observemos que m1 ∈M = G[P ], por lo que Pm1 ∈ [P ] y

G[Q] = G[Px] = Gx[P ] = Mx

Luego Qm2 ∈ [Q] y K ⊂ Pm1 ∩ Qm2 . Esto ultimo a nivel componentes conexas setraduce en

K ∈ [Pm1 ] ∩ [Qm2 ] = [P ] ∩ [Q] = ∅

Esto es absurdo a no ser que K = 1.

Recıprocamente, veamos que si existe M < G fuertemente p-embebido, entonces Sp(G)es disconexo. Sea P ∈ Sylp(M) y sea P1, . . . , Pn el conjunto de todos los p-Sylowsque estan en la misma componente de P . Es facil verificar que entonces para todo i,existe j 6= i tal que Pi ∩ Pj > 1. Supongamos que Sp(G) es conexo. Del lema previo,Sylp(M) ( Sylp(G), por lo que existen P,Q ∈ Sylp(G) tales que Q ≤ M , P 6⊂ M yP ∩Q > 1. Por otro lado, Q = P y para un cierto y ∈ G y

yNG(Q) = x ∈ G : Q = Qy−1x = x ∈ G : Q = P x = x ∈ G : P = P xy

−1 = NG(P )y

Como P 6⊂ M y NG(Q) ≤ M , debe ser que y /∈ M . Sea x ∈ P ∩ Q ≤ M . Luego xy ∈NG(P )y = yNG(Q) ⊂ yM , por lo que x ∈M ∩My−1

. Entonces 1 < P ∩Q ≤M ∩My−1,

y ası la interseccion M ∩My−1contiene un p-subgrupo no trivial. O sea, p divide al orden

de la interseccion. Ahora, y−1 ∈ G−M y de la propiedad 2., M ∩My−1es un p′-grupo.

Esto ultimo es absurdo.

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Observacion 2.3.5. Si Ap(G) tiene altura 0, entonces es discreto, y por lo tanto es conexosi y solo si es un punto. Es decir, es contractil, o equivalentemente, Op(G) 6= 1.

Los grupos que poseen un subgrupo fuertemente p-embebido estan completamentecaracterizados. La descripcion del caso p = 2 fue dada por Bender en [11] y sirvio para laClasificacion de Grupos Simples Finitos, y esta ultima dio lugar a la caracterizacion paraprimos p > 2. Esta se puede encontrar en los trabajos de Gorenstein-Lyons en [17] y deAschbacher en [5]. En este ultimo artıculo, en la [5, Proposition 6.2] aparece la clasificacionde los grupos G donde su Sp(G) es conexo.

Sabemos que para estudiar los grupos de homotopıa de Sp(G) podemos hacerlo desdeel poset Ap(G). Cuando Ap(G) tiene altura 0, la simple conexion es equivalente a quesea contractil. Es decir, que Op(G) 6= 1. En el caso de altura 1, el complejo simplicialasociado es un grafo, y por lo tanto es simplemente conexo si y solo si es un arbol.De nuevo, esto equivale a que sea contractil, y como aca vale la conjetura, equivale aque Op(G) 6= 1 (ver proposicion 2.1.13). Por lo tanto, si Ap(G) tiene altura 0 o 1, lasimple conexion es equivalente a que Op(G) 6= 1. Recıprocamente, si Op(G) 6= 1 entoncesAp(G) es homotopicamente trivial y en particular simplemente conexo. En conclusion,para estudiar la simple conexion de Ap(G) podemos suponer que Ap(G) es conexo y queOp(G) = 1. Por el razonamiento anterior, este poset tendra altura por lo menos 2.

En [5], Aschbacher da condiciones necesarias y suficientes en los grupos para que Ap(G)sea simplemente conexo, modulo una conjetura que esta probada en la gran mayorıa delos casos.

Teorema 2.3.6. ([5, Theorem 2]) Sea G un grupo finito y sea p un primo que divideal orden del grupo. Supongamos que Ap(G) es simplemente conexo y que Op(G) = 1.Entonces

1. Ap(G) tiene altura al menos 2

2. Para cada minimal B ∈ Ap(G), su link Lk(B) = FB = Ap(G)>B es conexo.

Aschbacher muestra que estas condiciones son casi suficientes para la mayorıa de losgrupos. Primero enuncia una conjetura

Conjetura 2.3.7. Supongamos que G = F ∗(G)A donde A es un p-subgrupo elementalabeliano de dimension ≥ 3 y que F ∗(G) es el producto directo de los A-conjugados de unp′-grupo simple K. Entonces Ap(G) es simplemente conexo.

En [30], Smith menciona que la conjetura esta probada salvo para ciertos grupos es-poradicos K. En [5, Theorem 3], Aschbacher trata todos los casos excepto cuando K esesporadico o de tipo de Lie de rango 1. Este ultimo caso fue cubierto casi por completopor Segev en [29]. La CGSF esta detras de todos estos trabajos.

Teorema 2.3.8. ([5, Theorem 1]) Asumamos la conjetura 2.3.7. Si Ap(G)>B es conexopara todo B minimal, entonces Ap(G) es simplemente conexo o bien se tienen alguno deestos dos casos para H = G/Op′(G):

1. F ∗(H) es el producto directo de dos grupos simples donde cada uno contiene unsubgrupo fuertemente p-embebido.

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2. F ∗(H) es un grupo simple.

La formulacion original es un tanto diferente. La presentada aquı es la que da Smithen [30].

Para demostrar estas cosas, Aschbacher en su artıculo [5] trabaja con el complejo decliques Cp(G), el cual veremos con un poco mas de detalle en la siguiente seccion. Estecomplejo se construye de la siguiente forma. Consideramos el grafo cuyos vertices sonlos minimales de Ap(G) y donde dos vertices A,B estan conectados por una arista si ysolo si AB es un p-subgrupo elemental abeliano, o equivalentemente [A,B] = 1. Luego letomamos el complejo de cliques a este grafo: los sımplices son los conjuntos A1, . . . , Ande minimales de Ap(G) que estan conectados dos a dos en el grafo anterior. O sea, que[Ai, Aj ] = 1 para todo i, j.

La demostracion que hace Aschbacher de estos dos teoremas requiere bastante teorıade grupos y de la CGSF.

Por ultimo, no esta demas nombrar a Rached Ksontini, que en sus artıculos [22] y[23] estudia el grupo fundamental de Sp(G) cuando G es un grupo simetrico. De hecho,caracteriza completamente a los grupos simetricos para los cuales su Sp(G) es simplementeconexo.

Teorema 2.3.9. (Ksontini) El espacio Ap(Sn) es simplemente conexo si y solo si valenalgunas de las siguientes:

1. p = 2 y n = 4 o n ≥ 7

2. p es impar y 3p+ 2 ≤ n < p2 o n ≥ p2 + p

Mas aun, Ksontini calcula el grupo fundamental de Ap(Sn) en todos los casos exceptocuando p ≥ 5 y n = 3p o 3p+1, o bien p = 3 y n = 10. Sus demostraciones son de caractermas combinatorio y utilizan resultados basicos de la teorıa de grupos finitos, sin necesidadde acudir a la clasificacion de grupos simples. Para probar estos resultados, utiliza otrosposets que surgen de estudiar p-toros de Sn: el poset Dp(n) de todas las particiones de1, . . . , n cuyas partes tienen cardinal 1 o p, y el subposet Jp(n) de Ap(Sn) que consistede los p-toros generados por p-ciclos.

2.4 Otros posets de p-subgrupos

En las secciones anteriores vimos que para estudiar el tipo homotopico debil del posetSp(G) a veces era conveniente utilizar otros posets de p-subgrupos o complejos simplicialesque tengan el mismo tipo homotopico debil. Por ejemplo, uno de ellos es el poset de QuillenAp(G) de los p-subgrupos elementales abelianos. En esta seccion analizaremos la conexionentre algunos de los distintos posets y complejos simpliciales que aparecen en la literaturade los complejos de subgrupos.

El complejo de Bouc y su idea de “sacar puntos”

Una de las herramientas que tenemos para describir los tipos homotopicos de espaciosfinitos es vıa la extraccion de puntos que cumplen ciertas condiciones (beat points, weak

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points). Bouc en [12] describe un metodo de extraccion de puntos de un poset X. Lospuntos que extraemos son aquellos x tales que Fx es homotopicamente trivial. Cuandolos extraemos de “abajo hacia arriba” nos permite utilizar un argumento inductivo y lossubposets que vamos obteniendo tienen el mismo tipo homotopico debil. En ese momentoBouc no enuncio sus resultados con el lenguaje de espacios finitos, y cuando hablaba decontractibilidad de un poset, solo querıa decir que era homotopicamente trivial ya queestaba pensando en su complejo asociado. A continuacion describimos sus ideas pero conel lenguaje de espacios finitos.

Definicion 2.4.1. Sea X un poset. Definimos los subposets

X∗∗ = x ∈ X : Ux no es contractil

X∗∗ = x ∈ X : Fx no es contractil

Es decir, X∗∗ es el conjunto de los no down weak points y X∗∗ el de los no up weakpoints. Para Bouc, los subposets anteriores estaban definidos en terminos de que Ux o Fxno sean homotopicamente triviales. Con nuestra definicion podremos llegar a resultadosmas fuertes. Igualmente veremos que sucede en los dos casos.

Proposicion 2.4.2. Si X∗∗ ⊂ Y ⊂ X, entonces X Y . Analogamente, si X∗∗ ⊂ Y ⊂ X,

entonces X Y . Mas aun, si X es un G-poset e Y es G-invariante, entonces X G Y .

Demostracion. Supongamos que X∗∗ ⊂ Y ⊂ X. Si x ∈ X − Y , entonces x /∈ X∗∗, por

lo que Fx es contractil. Luego x es un up weak point y X e X − x ⊃ Y . Tomemos

x0 ∈ X − Y minimal y colapsemos X e X − x0 = X0 ⊂ Y . Ahora, si x ∈ X0 − Y ,entonces x0 /∈ Fx ya que a x0 ∈ X − Y lo elegimos minimal. De esta manera, FX0

x = FXxes contractil. Esto nos dice que X∗∗0 ⊂ Y ⊂ X0. Como X0 tiene menos puntos que X,podemos argumentar de manera inductiva y concluir que X Y .

Para ver que X G-colapsa a Y cuando se trata de G-posets, observemos que el hechode retirar primero los weak points minimales nos permite retirar la orbita entera sin quehaya inconvenientes y ası seguir la demostracion de la misma manera.

El resultado de Bouc es un tanto diferente. El trabaja con los subposets

X∗ = x ∈ X : Ux no es homotopicamente trivial

X∗ = x ∈ X : Fx no es homotopicamente trivial

En particular, X∗ ⊂ X∗∗ y X∗ ⊂ X∗∗.Hay diferentes versiones de la siguiente proposicion que pueden encontrarse en [21] y

[12].

Proposicion 2.4.3. (Kratzer-Thevenaz/Bouc) Si X∗ ⊂ Y ⊂ X, entonces la inclusionY ⊂ X es una equivalencia debil. Analogamente se tiene el resultado para X∗ ⊂ Y ⊂ X.

La siguiente definicion puede encontrarse en [9] o [6] y nos servira para darle un enfoquedistinto a la proposicion anterior.

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Definicion 2.4.4. Si X es un espacio finito T0, un punto x ∈ X es un γ-point si Cx eshomotopicamente trivial.

En particular, si x /∈ X∗ o x /∈ X∗, entonces Ux o Fx es homotopicamente trivial, ypor lo tanto Cx = Ux ∗ Fx es homotopicamente trivial.

Proposicion 2.4.5. Si x ∈ X es un γ-point, entonces la inclusion X − x → X es unaequivalencia debil.

Demostracion. Ver [9, Proposition 3.10] o [6, Proposition 6.2.2].

La demostracion de la proposicion 2.4.3 es analoga a la de la proposicion 2.4.2 peroutilizando el resultado de proposicion 2.4.5.

Observacion 2.4.6. El teorema [6, Theorem 6.2.8] dice que si x ∈ X es un γ-point,entonces X − x X. Por lo tanto, en las hipotesis de la proposicion 2.4.3 podemosconcluir que la inclusion Y → X es una equivalencia simple.

Como aplicacion de lo que probamos, veamos otra demostracion de que Sp(G) colapsaa Ap(G), la cual esta relacionada con las ideas de Bouc de ir sacando puntos y aparece enel libro de Smith [30].

Definicion 2.4.7. Sea G un grupo finito. La interseccion de todos los subgrupos maxi-males de G es el subgrupo de Frattini de G y se lo nota Φ(G).

Lema 2.4.8. Sea P un p-grupo. Entonces:

1. El cociente P/Φ(P ) es el p-toro mas grande como cociente de P , por lo que Φ(P ) < Pes un subgrupo propio.

2. Si Q < P entonces Φ(P )Q < P .

3. P es elemental abeliano si y solo si Φ(P ) = 1.

Demostracion. Ver [24], [4] o en general cualquier libro con teorıa de grupos finitos queincluya p-grupos.

Proposicion 2.4.9. Sea P un p-grupo.

1. Si P no es elemental abeliano, entonces USp(P )P es contractil.

2. Si P es elemental abeliano, entonces USp(P )P es un espacio minimal y no es ho-

motopicamente trivial.

Demostracion. 1. Por el ıtem 2. del lema anterior, si Q ∈ USp(P )P entonces Φ(P )Q ∈

USp(P )P , y ası

Q ≤ Φ(P )Q ≥ Φ(P )

Luego USp(P )P es contractil.

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2. Si P es elemental abeliano, entonces P '⊕n

i=1 Zp es un Zp-espacio vectorial de

dimension n ≥ 1. Luego USp(P )P = T (P ) es el poset de subespacios propios no

triviales de P . Si bien este poset es Cohen-Macaulay de dimension n − 2 (ver [28,Section 8] para una demostracion sencilla), vamos a argumentar de otra manera paraprobar que no es homotopicamente trivial.

Si n = 1, entonces resulta vacıo y en particular no es homotopicamente trivial. Paran = 2 es discreto y no es homotopicamente trivial puesto que P ' Zp ⊕ Zp tienemas de un subespacio de dimension 1. Supongamos que n ≥ 2 y sea v1, . . . , vnuna base de P . Se puede chequear que el elemento

n∑i=1

(−1)i∑

f :1,...,n−1→1,...,i,...,n biyectiva

Sg(f)W (f, 1) ⊂ . . . ⊂W (f, n− 1)

es un elemento no trivial del grupo de homologıa Hn−2(T (P )), donde W (f, j) =⟨vf(1), . . . , vf(j)

⟩y el signo de f quiere decir el signo respecto de la unica permutacion

creciente i : 1, . . . , n− 1 → 1, . . . , i, . . . , n.

Vemos ahora que T (P ) es un subespacio minimal. De hecho esto vale para el posetde subespacios propios no triviales de cualquier espacio vectorial V de dimensionfinita n. Si n = 1 o 2, no hay mucho que decir. Supongamos que n ≥ 3 y sea1 < W < V un subespacio propio no trivial. Si W no es minimal, entonces W poseeuna base B = v1, . . . , vr con 2 ≤ r ≤ n−1. Luego W1 = 〈B − v1〉 y W2 = 〈B − v2〉son subespacios distintos de codimension 1 en W , por lo que W no es down beatpoint. Si W no es maximal, entonces existe una base v1, . . . , vr, vr+1, . . . , vn deV tal que v1, . . . , vr es base de W y r + 2 ≤ n. Luego W1 = 〈v1, . . . , vr, vr+1〉 yW2 = 〈v1, . . . , vr, vr+2〉 son dos subespacios distintos y propios de V que contienen aW y tales que W tiene codimension 1 en estos subespacios. Luego W no es up beatpoint. Finalmente como n ≥ 2, todo punto que es maximal no es minimal, y todoaquel que es minimal no es maximal, por lo que tanto maximales como minimalesno son beat points de lo anterior. Un subespacio que no sea ni maximal ni minimaltampoco es beat point.

De todo esto podemos deducir de manera alternativa que Sp(G) G-colapsa a Ap(G).

Corolario 2.4.10. El poset Sp(G) G-colapsa al poset Ap(G). Mas aun,

Ap(G) = Sp(G)∗ = Sp(G)∗∗

Demostracion. Si P ∈ Sp(G) − Ap(G), entonces USp(G)P = U

Sp(P )P es contractil por la

proposicion anterior. Por lo tanto Sp(G)∗∗ ⊂ Ap(G), y de la proposicion 2.4.2 deducimos

que Sp(G) G Ap(G). De hecho, de la proposicion anterior, si P es elemental abeliano

entonces USp(P )P no es homotopicamente trivial, por lo que P ∈ Sp(G)∗. Luego Ap(G) ⊂

Sp(G)∗ ⊂ Sp(G)∗∗, y por lo tanto son todas igualdades.

66


Observacion 2.4.11. Sea Abp(G) el poset de p-subgrupos abelianos no triviales de G.

Entonces Ap(G) ⊂ Abp(G) ⊂ Sp(G). De la proposicion 2.4.2 vemos que Sp(G) G Abp(G).Ademas, la funcion r : Abp(G) → Ap(G) dada por r(A) = Ω1(A) nos da un retracto pordeformacion fuerte Ap(G) ⊂ Abp(G).

Ası como a partir de Sp(G) obtuvimos el poset Ap(G) = Sp(G)∗ = Sp(G)∗∗, podemosproceder de manera analoga y analizar que subposet de Sp(G) contiene a Sp(G)∗. Ese esel motivo de la definicion del poset de Bouc.

Definicion 2.4.12. Si G es un grupo finito y p es un primo que divide al orden de G,definimos el poset

Bp(G) = B ∈ Sp(G) : Op(NG(B)) = BUn subgrupo B ≤ G tal que Op(NG(B)) = B se dice p-radical. Este poset se lo conocecomo el poset de los subgrupos p-radicales no triviales de G. Tambien se lo llama posetde Bouc.

Utilizando el metodo de Bouc podemos demostrar la siguiente proposicion.

Proposicion 2.4.13. (Bouc) La inclusion Bp(G) → Sp(G) es una equivalencia debil.

Para ello necesitamos unos lemas previos.

Lema 2.4.14. Si P ≤ G es un p-subgrupo no trivial, entonces

Sp(G)>P = FSp(G)P ' FSp(NG(P ))

P ≡ Sp(NG(P )/P )

Demostracion. Sea i : FSp(NG(P ))P → F

Sp(G)P la inclusion canonica, y sea r : F

Sp(G)P →

FSp(NG(P ))P la funcion r(Q) = NQ(P ) = NG(P ) ∩Q. Veamos que r esta bien definida. SiQ > P , por ser p-grupos, P < NQ(P ) = NG(P ) ∩ Q (ver proposicion 1.1.16). Es claroque r es un morfismo de posets y que ri = id

FSp(NG(P ))

P

e ir ≤ idFSp(G)

P

. Esto nos prueba

que FSp(G)P ' F

Sp(NG(P ))P . Finalmente, F

Sp(NG(P ))P ≡ Sp(NG(P )/P ) por el teorema de

correspondencia 1.1.7.

Lema 2.4.15. Si P ∈ Sp(G)− Bp(G), entonces FSp(G)P es contractil.

Demostracion. Como P < Op(NG(P )) E NG(P ), se tiene que

FSp(G)P ' Sp(NG(P )/P ) ' ∗

pues Op(NG(P ))/P E NG(P )/P es un p-subgrupo normal no trivial.

Demostracion de la proposicion 2.4.13. Si P ∈ Sp(G)−Bp(G), entonces P /∈ Sp(G)∗∗ porel lema anterior. Esto nos dice que Sp(G)∗ ⊂ Sp(G)∗∗ ⊂ Bp(G). El resultado se sigueentonces de la proposicion 2.4.3.

En realidad, en terminos de la proposicion 2.4.2, hemos probado algo mas fuerte.

Proposicion 2.4.16. El poset Sp(G) G-colapsa al poset Bp(G).

Observacion 2.4.17. En definitiva, vimos que

Sp(G) G Ap(G) y Sp(G) G Bp(G)

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G-equivalencias homotopicas

En lo que sigue, nuestro objetivo sera probar que las realizaciones geometricas de loscomplejos asociados a los posets Sp(G), Ap(G) y Bp(G) son G-equivalentes.

El siguiente teorema es de gran utilidad a la hora de probar G-equivalencias ho-motopicas entre G-CW complejos.

Teorema 2.4.18. ([14, Chap. II, Corollary 5.5]) Si f : X → Y es una funcion G-equivariante y celular entre dos CW-complejos, entonces f induce una G-equivalenciahomotopica X 'G Y si y solo si para todo H ≤ G, la funcion f |H : XH → Y H induceuna equivalencia homotopica XH ' Y H .

Teorema 2.4.19. (Quillen, Bouc, Thevenaz, Webb) Los espacios |K(Sp(G))|, |K(Ap(G))|y |K(Bp(G))| son todos G-equivalentes.

Una demostracion del teorema anterior puede encontrarse en [35, Theorem 2] y utilizauna version modificada del Quillen’s Fiber Theorem y del teorema de Bredon.

Sin embargo, podemos argumentar de otra manera analizando los G-colapsos entrecomplejos simpliciales. Para ello, necesitamos algunas definiciones previas.

Recordemos que un G-complejo es un complejo simplicial K junto con la accion de ungrupo G en sus vertices que es simplicial. Esto es, si v0, . . . , vn es un sımplex de K,entonces vg0 , . . . , v

gn es un sımplex de K.

Si K es un G-complejo, un par σ, τ se dice G-colapsable si τ es una cara libre de σy Gτ = Gσ. En tal caso decimos que hay un G-colapso elemental de K al subcomplejo

K − G(σ, τ) y notamos K Ge K − G(σ, τ). Un G-colapso de K a un subcomplejoinvariante L es una serie de G-colapsos elementales que comienza en K y termina en L.

Notamos K G L. Tambien decimos que L se G-expande a K. Es claro que L tieneque ser G-invariante. Por ultimo, dos G-complejos K y L se dicen que tienen el mismotipo homotopico simple equivariante si existen G-complejos K = K0,K1, . . . ,Kn = L demanera que para todo i, Ki se G-expande o G-colapsa a Ki+1. En tal caso notamos

K G L.

Si K = K(X) es el complejo asociado a un G-poset X, entonces K es un G-complejo

y si X G Y entonces K(X) G K(Y ) (ver [6, Theorem 8.3.11]).

Teorema 2.4.20. Si K es un G-complejo que G-colapsa a un subcomplejo invariante L,entonces |L| es un G-retracto por deformacion fuerte de |K|.

Demostracion. Supongamos que sabemos que vale en el caso particular que la accion deG en K verifica que si g ∈ Gσ entonces g ∈ Gv para todo v ∈ σ. Es decir, si g ∈ G fija un

sımplex σ entonces fija a todos sus vertices. En este caso, si K G L entonces K ′ G L′

(ver [6, Theorem 8.3.11]). Como en K ′ la accion de G verifica esta propiedad, deducimosque |L| = |L′| ⊂ |K ′| = |K| es un retracto por deformacion fuerte equivariante.

Supongamos entonces que si g ∈ G fija un sımplex de K entonces fija a todos losvertices de este sımplex. Basta ver el caso en que L = K − G(σ, τ) se obtiene de Kvıa un G-colapso elemental, donde τ ≺ σ es cara libre. Sea v ∈ σ el vertice opuesto a τen σ. Como σ y vτ son contractiles (porque son conos) y la inclusion ι : vτ → σ es una

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cofibracion, deducimos que es un retracto por deformacion fuerte. Sea r : |σ| → |vτ | unretracto por deformacion fuerte y sea H : I × |σ| → |σ| una homotopıa entre id|σ| y ιr.

Definimos H : I × |K| → |K| de la siguiente manera. Si x ∈ |L| entonces Ht(x) = x.Si x ∈ |σg|, para cierto g ∈ G entonces Ht(x) = Ht(x

g−1)g. Para chequear que H este bien

definida, supongamos que x ∈ |σg| ∩ |σh|. Si x esta en |L| entonces no hay nada que decir.En caso contrario, como |σg| ∩ |σh| se intersecan fuera de |L|, debe ser que |σg| = |σh|puesto que σ ≺ τ es cara libre. Luego gh−1 fija σ y por hipotesis, fija a todos sus vertices.Esto nos dice que, como xg

−1 ∈ σ, entonces xg−1

= (xg−1

)gh−1

= xh−1

. Luego

Ht(xg−1

)g =(Ht(x

h−1)gh−1)h

= Ht(xh−1

)h

Por lo tanto H esta bien definida.Es claro que H es continua pues lo es restringida a cada sımplex. Ademas, Ht||L| = ι

para todo t ∈ I, H0 = id|K|, H1(x) ∈ |L| para todo x ∈ |K| y si x /∈ |L|, h ∈ G y x ∈ |σg|,entonces xh ∈ |σgh| y

Ht(xh) = Ht

((xh)(gh)

−1)gh

=(Ht(x

g−1)g)h

= Ht(x)h

La demostracion original que dimos de este teorema era mas tecnica y definıa explıcitamentela homotopia en el caso de un G-colapso elemental pero sin la hipotesis de que si la accionfija un sımplex entonces fija sus vertices. Esta ultima idea fue sugerida por J. Barmak.

Inmediatamente de este teorema deducimos que los G-colapsos entre complejos inducenG-equivalencias homotopicas en las realizaciones geometricas.

Corolario 2.4.21. Si K G L entonces |K| y |L| tienen el mismo tipo homotopico G-equivariante, es decir, |K| 'G |L|.

Como todo G-colapso entre G-posets induce un G-colapso en los complejos asociados,tenemos el siguiente corolario.

Corolario 2.4.22. Si X e Y son dos G-posets tales que X G Y , entonces K(X) G K(Y )

y en particular |K(X)| ∼G |K(Y )|. De esta manera, si X G entonces K(X) G K(Y ) yası |K(X)| 'G |K(Y )|.

Corolario 2.4.23. Los espacios |K(Sp(G))|, |K(Ap(G))|, |K(Abp(G))| y |K(Bp(G))| sontodos G-equivalentes.

Demostracion. Se deduce de que Sp(G) G Ap(G) y Sp(G) G Bp(G).

Un complejo que es de gran utilidad, es el complejo Rp(G) que consiste de los sımplicesP0 < P1 < . . . < Pn ∈ K(Sp(G)) tales que Pi E Pn para todo i. Este complejo fueintroducido por G. R. Robinson en su reformulacion de la conjetura de Alperin (ver [20],[37]). Tal complejo aparece tambien en el artıculo de P. Symonds [33] en su demostracionde la conjetura de P. Webb 2.6.1.

En el artıculo [35], Thevenaz y Webb demuestran que los G-espacios |K(Sp(G))|,|K(Ap(G))|, |K(Bp(G))| y |Rp(G)| son todos G-equivalentes. Para ello, utilizan el teo-rema de Bredon y una variante del Quillen’s Fiber Theorem:

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Teorema 2.4.24. ([35, Theorem 1]) Si φ : X → Y es un G-morfismo de posets tales que|K(φ−1(Uy))| es Gy-contractil para todo y ∈ Y entonces φ induce una G-equivalencia enlas realizaciones de los complejos asociados. Se obtiene el mismo resultado tomando laspreimagenes de los Fy.

Este es el teorema principal del artıculo [35] y su demostracion utiliza el teorema 2.4.18.A continuacion de [35, Theorem 1], Thevenaz y Webb enuncian el siguiente teorema, cuyademostracion se basa en la utilizacion del teorema anterior.

Teorema 2.4.25. ([35, Theorem 2])

1. Si X ⊂ Sp(G) es un subposet G-invariante tal que X ⊃ Ap(G) o X ⊃ Bp(G),entonces la inclusion X → Sp(G) es una G-equivalencia.

2. El complejo Rp(G) es G-equivalente a K(Sp(G)).

En particular, K(Ap(G)) 'G K(Bp(G)) 'G K(Sp(G)) 'G Rp(G).

Observacion 2.4.26. Siguiendo a Barmak en [6], un morfismo entre posets φ : X → Y sedice distinguido si φ−1(Uy) es contractil para todo y ∈ Y . En [6, Theorem 4.4.4], Barmak

demuestra que la existencia de un morfismo distinguido φ : X → Y implica que X Y .

Luego observa en [6, Proposition 8.3.21] que si ademas φ es G-invariante entonces X G Y .Del corolario 2.4.22 deducimos que |K(X)| 'G |K(Y )|.

Lo que acabamos de demostrar es mas debil que el teorema 2.4.24 ya que partimos deuna hipotesis mas fuerte que es la contractibilidad de φ−1(Uy) para todo y: esto implicaque es Gy-contractil y, pasando a los complejos y sus realizaciones, que |K(φ−1(Uy))| esGy-contractil para todo y ∈ Y .

Si bien nosotros no vamos a demostrar el teorema 2.4.24, utilizando la observacionanterior veremos una demostracion del teorema 2.4.25 sin pasar por el teorema de Bredon.La primera parte del teorema ya la hemos demostrado, ya que si X ⊃ Bp(G) o X ⊃ Ap(G)

entonces Sp(G) G X (ya que Sp(G)∗∗ ⊂ Bp(G)∗∗ y Sp(G)∗∗ ⊂ Ap(G) y ası estamos en lashipotesis de la proposicion 2.4.2) para aplicar el corolario 2.4.22.

Para la segunda parte, siguiendo la demostracion de Thevenaz y Webb, veremos queexiste un G-morfismo distinguido φ : X (Rp(G)) → Abp(G)op. Una vez conseguido talmorfismo, aplicando la observacion 2.4.26 tendremos que

Sp(G)op G Abp(G)op G X (Rp(G))

y por lo tanto Sp(G)op G X (Rp(G)). Utilizando el corolario 2.4.22 deducimos que

|K(Sp(G))| = |K(Sp(G)op)| 'G |Rp(G)′| ≡G |Rp(G)|

Demostracion. (Parte 2. del teorema 2.4.25) De lo discutido anteriormente, basta verla existencia de tal G-morfismo distinguido φ. Definimos la funcion φ : X (Rp(G)) →Abp(G)op como φ(P0 < . . . < Pn) =

⋂ni=1 Z(Pi). Claramente φ preserva el orden, pero hay

que ver que tal interseccion es no trivial. Es facil chequear que⋂ni=1 Z(Pi) = P0 ∩ Z(Pn).

Por lo tanto, de la proposicion 1.1.14 se deduce que P0 ∩ Z(Pn) es un grupo abeliano no

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trivial. Por otro lado, si A ∈ Abp(G) entonces un elemento (P0 < P1 < . . . < Pn) ∈X (Rp(G)) verifica que φ(P0 < . . . < Pn) = P0 ∩Z(Pn) ≤op A si y solo si P0 ∩Z(Pn) ≥ A,si y solo si A ≤ P0 y A ≤ Z(Pn), es decir, A ≤ P0 y Pn ≤ CG(A). De esta manera, A E Pny tenemos una cadena de desigualdades

(P0 < P1 . . . < Pn) ≤ (A ≤ P0 < P1 < . . . < Pn) ≥ (A)

dentro de φ−1(UAbp(G)op

A ). En consecuencia, φ es un G-morfismo distinguido.

Los posets Sp(G) y Ap(G) como retıculos reducidos

En esta seccion analizamos los diferentes posets y complejos simpliciales que pueden apare-cer cuando vemos a los posets Sp(G) y Ap(G) como retıculos reducidos (ver observacion2.1.10).

Recordemos que si X es un retıculo reducido, entonces i(X) es el poset que consistede los ınfimos de los subconjuntos A ⊂ M(X), siempre y cuando A este acotado infe-riormente. Analogamente, s(X) es el conjunto de los supremos sup(A) con A ⊂ m(X)acotado superiormente.

Observacion 2.4.27. En el poset de los p-subgrupos no triviales Sp(G), el subposeti(Sp(G)) consiste de las intersecciones no triviales de los p-Sylows. En consecuencia,Sp(G) es contractil si y solo si la interseccion de todos los p-Sylows es no trivial, lo cualpara el poset i(Sp(G)) se traduce en tener un mınimo.

Por otro lado, el poset i(Ap(G)) consiste de las intersecciones no triviales de los p-torosmaximales. En la seccion 3.1 del capıtulo 3 veremos que i(Ap(G)) tiene un mınimo si ysolo si Ap(G) es contractil en dos pasos, lo cual es mas fuerte que ser contractil (a secas).

Veamos algunos complejos simpliciales que aparecen con este tipo de construcciones.Si X es un retıculo reducido, podemos considerar L(X) el complejo simplicial cuyos

vertices son los elementos maximales de X y con sımplices los conjuntos de elementos maxi-males acotados inferiormente. De manera analoga definimos Lop(X) = L(Xop) en terminosde elementos minimales. Ası, podemos considerar el morfismo l : Xop → X (L(X)) dadopor l(x) = m ∈ X : x ≤ m. Es facil ver que l esta bien definido y que efectivamente es unmorfismo de posets. Ademas, tenemos un morfismo para el otro lado k : X (L(X))→ Xop

dado por k(σ) = inf(σ), el cual tambien se puede chequear que esta bien definido y esun morfismo. Entonces kl(x) = inf(Ax) ≥ x y lx(σ) ≥ σ, por lo cual Xop y X (L(X))son homotopicamente equivalentes. En particular, X y X (L(Xop)) = X (Lop(X)) sonhomotopicamente equivalentes.

En terminos del poset Sp(G), el complejo L(Sp(G)) es un sımplex si y solo si el conjuntode todos los p-Sylows es un sımplex, si y solo si la interseccion de todos los p-Sylows es notrivial, si y solo si Sp(G) es contractil.

Proposicion 2.4.28. Sp(G) es contractil si y solo si L(Sp(G)) es un sımplex.

En cambio, para el poset Ap(G) se tiene que L(Ap(G)) es un sımplex si y solo si lainterseccion de todos los maximales de Ap(G) es no trivial.

Proposicion 2.4.29. i(Ap(G)) tiene un mınimo si y solo si L(Ap(G)) es un sımplex.

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Por otro lado, veamos que sucede cuando trabajamos con Lop(X) para X = Sp(G)o Ap(G). En ambos casos Lop(X) es un complejo simplicial cuyos vertices son los p-subgrupos minimales, es decir, los subgrupos de orden p. Si A1, . . . , Ar son grupos deorden p, entonces A1, . . . , Ar es un sımplex de L(X) si y solo si 〈A1, . . . , Ar〉 es un p-subgrupo si X = Sp(G) o es un p-toro si X = Ap(G). En consecuencia, Lop(Sp(G)) esun sımplex si y solo si Ω1(G) es un p-grupo, si y solo si todo elemento de orden p estacontenido en Op(G). Del teorema de Cauchy, esto ultimo implica que Op(G) > 1 es notrivial, y en particular Sp(G) es contractil. En cambio para Ap(G) se tiene que Lop(Ap(G))es un sımplex si y solo si Ω1(G) es un p-toro, si y solo si todo par de elementos de ordenp conmutan, si y solo si Ap(G) posee un unico elemento maximal, es decir, un maximo.

Proposicion 2.4.30. L(Sp(G)op) es un sımplex si y solo si Ω1(G) es un p-grupo. Encambio, L(Ap(G)op) es un sımplex si y solo si Ap(G) posee un maximo.

Una propiedad interesante del complejo L(Sp(G)) es que es vertex-homogeneous. Estoquiere decir que para cualquier par de vertices del complejo simplicial, existe un isomor-fismo simplicial que envıa un vertice en el otro. En este caso, tal propiedad se desprendede los teoremas de Sylow, dado que los vertices de L(Sp(G)) son los p-Sylows, dos p-Sylowsson conjugados por un elemento de G y la conjugacion induce un isomorfismo simplicialen este complejo.

Consideremos ahora G el grafo cuyos vertices son el conjunto de grupos de orden pde G y con una arista entre dos grupos A,B si [A,B] = 1. Esto equivale a decir que〈AB〉 = AB es un p-toro de rango 2. Tal grafo se lo denomina commuting graph de Gen p. Ahora consideremos Cp(G) el complejo de cliques del grafo G, tambien denominadocommuting complex de G en p. Esto es, tenemos un sımplex σ = A1, . . . , Ar si paracada i, j se tiene que [Ai, Aj ] = 1. Esto es equivalente a que 〈A1, . . . , Ar〉 sea un p-toro. Sianalizamos su espacio finito asociado Y = X (Cp(G)), vemos que los puntos de Y son losconjuntos σ = A1, . . . , Ar cuyo grupo generado es un p-toro. Si elegimos un generadorxi para cada Ai, podemos identificar al sımplex σ con el conjunto x1, . . . , xr, y por lotanto lo que tenemos es un conjunto de generadores de un p-toro. En definitiva, este posetY es el poset de los conjuntos de generadores no triviales, modulo la relacion x ∼ y si〈x〉 = 〈y〉, de los p-toros de G. Veamos que es G-homotopicamente equivalente al posetAp(G). Sea f : Y → Ap(G) la funcion f(A1, . . . , Ar) = 〈A1, . . . , Ar〉. Es claro que festa bien definida y es un G-morfismo. Recıprocamente, tenemos g : Ap(G) → Y dadapor g(A) = 〈x〉 : x ∈ A, x 6= 1, que esta bien definida y es un G-morfismo de posets.Luego fg(A) = A y gf(σ) ≥ σ. De hecho, como fg = idAp(G), vemos que Ap(G) ⊂ Y esun G-retracto por deformacion fuerte.

Proposicion 2.4.31. Para el complejo de cliques Cp(G) vale que Ap(G) ⊂ X (Cp(G)) es

un G-retracto por deformacion fuerte. Es decir, X (Cp(G)) G Ap(G).

En particular, esta proposicion nos dice que X (Cp(G)) G Ap(G) ya que todoG-colapso

fuerte es un G-colapso. Ası, deducimos que K(X (Cp(G))) G K(Ap(G)) y por lo tanto

|K(Ap(G))| 'G |K(X (Cp(G)))| = |Cp(G)′| ≡G |Cp(G)|

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El complejo de cliques que describimos recien es utilizado por Aschbacher en [5] paraanalizar la simple conexion del poset de p-subgrupos, lo cual hemos comentado en laseccion 2.3 del presente capıtulo.

Para finalizar esta seccion, hacemos un sumario de todo lo que probamos:

Sp(G) = H ≤ G : p-subgrupo no trivial

Abp(G) = H ∈ Sp(G) : abeliano

Ap(G) = H ∈ Sp(G) : p-toro

Bp(G) = H ∈ Sp(G) : p-radical

Rp(G) = P0 < P1 < . . . Pn ∈ K(Sp(G)) : Pi E Pn para todo i

Cp(G) = Complejo de Cliques de G = (A,B) : A,B ∈ m(Ap(G)), [A,B] = 1

Teorema 2.4.32. Valen las siguientes:

1. Sp(G) G Bp(G)

2. Sp(G) G Abp(G)

3. Abp(G) G Ap(G)

4. X (Cp(G)) G Ap(G)

5. X (Rp(G)) G Abp(G)op

y del corolario 2.4.22 tenemos que |K(Sp(G))|, |K(Abp(G))|, |K(Ap(G))|, |K(Bp(G))|,|Rp(G)| y |Cp(G)| son todos G-equivalentes.

2.5 Caracterıstica de Euler y posets de puntos fijos

En [15] K. Brown considera por primera vez el poset Sp(G), en donde prueba una gen-eralizacion del teorema de Sylow. Concretamente, Brown muestra que χ(Sp(G)) ≡ 1mod |G|p. En [28] y en [6] se pueden encontrar demostraciones alternativas de este resul-tado. Aquı daremos una exposicion breve del resultado.

Teorema 2.5.1. (Brown) Si G es un grupo finito y p es un primo, entonces χ(Sp(G)) ≡ 1mod p.

Observacion 2.5.2. Si p no divide al orden de G, entonces Sp(G) = ∅ es vacıo. Enconsecuencia, su caracterıstica de Euler es −1. Por otro lado, |G|p = 1, y ası −1 ≡ 1mod 1 es trivialmente cierto. Luego se puede suponer que p divide al orden de G.

Vamos a seguir la demostracion de Barmak en [6].Primero necesitamos el siguiente lema sobre cierto poset de puntos fijos. Recordemos

que si H ≤ G es un subgrupo y X es un G-conjunto entonces podemos restringir la acciony decir que X es un H-conjunto. Si X = Sp(G), entonces H actua en X por conjugacion.El siguiente lema se deduce de la demostracion de Quillen de [28, Proposition 4.1].

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Lema 2.5.3. Si H ≤ G es un p-subgrupo no trivial, entonces el poset Sp(G)H es contractil.

Demostracion. Como H es un p-grupo y H ≤ NG(H), se tiene que H ∈ Sp(G)H . Luegosi A ∈ Sp(G)H , el conjunto AH es un p-subgrupo no trivial de G puesto que H normalizaA y ambos son p-grupos. De esta manera, A ≤ AH ≥ H y por lo tanto Sp(G)H escontractil.

Recordemos que si X es un espacio finito, la subdivision baricentrica de X es el espaciofinito X ′ = X (K(X)).

Ahora fijemos un p-Sylow P de G y consideremos la accion por conjugacion de P enSp(G)′. Si c = H0 < H1 < . . . < Hn es una cadena de p-subgrupos no triviales, elestabilizador de c por la accion de P es el conjunto

PH = g ∈ P : cg = c = g ∈ P : Hgi = Hi para todo i =

n⋂i=0

NP (Hi)

Consideremos el subposet Y = c ∈ Sp(G)′ : Pc > 1 y veamos que es homotopicamentetrivial.

Proposicion 2.5.4. El poset Y es homotopicamente trivial.

Demostracion. Tomemos la funcion f : Y → Sp(P )op dada por f(c) = Pc. Por definicionde Y , esta funcion f esta bien definida. Ademas, f es continua, ya que si c ≤ c′ son doselementos de Y , entonces

Pc′ =⋂H∈c′

NP (H) ≤⋂H∈c

NP (H) = Pc

Veamos que f es una equivalencia debil aplicando el Quillen’s Fiber Theorem 1.2.14. SiH ∈ Sp(P )op entonces

f−1(UH) = c ∈ Y : H ≤ Pc = c ∈ Y : H ≤ NP (K) para todo K ∈ c = (Sp(G)H)′

Del lema anterior, Sp(G)H es contractil, y por lo tanto su subdivision (SP (G)H)′ es ho-motopicamente trivial (mas aun, es contractil. Ver [10, Corollary 4.18])

Luego f es una equivalencia debil, y como Sp(P )op es contractil (P es un mınimo deeste poset), concluimos que Y es homotopicamente trivial.

Proposicion 2.5.5. χ(Sp(G)′, Y ) ≡ 0 mod (|P |)

Demostracion. Sea Ci el conjunto de las cadenas de longitud i de Sp(G)′ que no soncadenas en Y . Luego χ(Sp(G)′, Y ) =

∑i≥0(−1)iαi, donde

αi = #Ci = #c0 < . . . < ci : existe j tal que Pcj = 1

Entonces P actua sobre Ci y de la ecuacion de clases (ver teorema 1.1.9) tenemos que

αi = #Ci = |CPi |+r∑

k=1

Ocr

Si c ∈ Ci entonces hay algun elemento H ∈ c para el cual P actua trivialmente dado quec no es una cadena en Y . Ası, CPi = ∅ y Pc = 1 para todo c ∈ Ci. Esto nos dice que todaslas orbitas tienen |P | elementos, y por lo tanto αi =

∑rk=1 |P | = r|P |.

74


De esto obtenemos inmediatamente el resultado de Brown.

Corolario 2.5.6. (Brown) Si G es un grupo finito y p es un primo entonces χ(Sp(G)) ≡ 1mod (|P |)

Demostracion. Basta observar que χ(Sp(G)) = χ(Sp(G)′) = χ(Sp(G), Y ) + χ(Y ) ≡ 1mod (|P |) dado que Y es homotopicamente trivial.

Para cerrar esta seccion veamos algunos resultados mas sobre los posets de puntosfijos.

Proposicion 2.5.7. (Cf. [36, Theorem 1, (a)]) Si H ≤ G es un subgrupo tal que Op(H) >1 entonces Sp(G)H ' ∗. En particular, si H ∈ Sp(G) entonces Sp(G)H es contractil.

Demostracion. Siguiendo la misma idea de la demostracion del lema 2.5.3, tenemos queX ≤ XOp(H) ≥ Op(H) en Sp(G)H .

Proposicion 2.5.8. ([28, Remark 4.4]) Si P ∈ Sp(G) entonces Ap(G)P es contractil.

Demostracion. Sea Z = Ω1(Z(P )). Entonces P actua trivialmente sobre Z, por lo queZ ∈ Ap(G)P . Por otro lado, si X ∈ Ap(G)P entonces

X ≥ CX(P ) = x ∈ X : xg = x para todo g ∈ P ≤ CX(P )Z ≥ Z

Las asignaciones X 7→ CX(P ) y X 7→ CX(P )Z preservan el orden. Ademas estas cadenasde desigualdades estan bien definidas dentro deAp(G)P . Por lo tantoAp(G)P es contractil.

2.6 Espacios de orbitas y una conjetura de P. Webb

Si X es un G-espacio, el espacio de orbitas es el espacio topologico X/G = X/ ∼, donde∼ es la relacion x ∼ y si xg = y para algun g ∈ G, y la topologıa es la cociente. Esdecir, X/G = Ox : x ∈ X es el conjunto de orbitas. Vamos a notar π : X → X/G ala funcion cociente y x = π(x) a los elementos del espacio de orbitas. Nuestro interes enesta seccion es interpretar el espacio de orbitas de los posets de p-subgrupos y el de suscomplejos simpliciales asociados.

Si K es un G-complejo podemos considerar el complejo de orbitas K/G cuyos verticesson las orbitas por la accion de G de los vertices de K, que notamos v∗ = Ov si v es unvertice de K, y cuyos sımplices son los conjuntos de orbitas de vertices v0∗, . . . , vr∗ talesque existen wi ∈ vi∗ de manera que w0, . . . , wr es un sımplex de K. Notar que es paraalguna eleccion de wi, lo cual no significa que cualquier conjunto de representantes de lasorbitas v∗i = Ovi vayan a formar un sımplex en K. El sımplex w0, . . . , wr ∈ K se diceque esta por encima del sımplex w∗0, . . . , w∗r ∈ K/G.

Recordemos que K ′ es la primera subdivision baricentrica de K. Esto es, el complejosimplicial cuyos vertices son los sımplices de K y cuyos sımplices son las cadenas desımplices deK ordenados por la inclusion. En terminos de los funtores entre espacios finitosy complejos simpliciales, se tiene que K ′ = K(X (K)). Si K es un G-complejo, entoncestenemos una accion inducida en los sımplices σ = v0, . . . , vn ∈ K 7→ σg = vg0 , . . . , v

gn ∈

75


K para g ∈ G. Esto nos dice que K ′ es una G-complejo. Ademas, la realizacion geometricade K, que notamos por |K|, es un G-espacio con la accion (

∑i tivi)

g =∑

i tivgi . Esto nos

permite ver que el homeomorfismo canonico |K ′| → |K| que manda cada vertice de K ′, esdecir un sımplex σ = v0, . . . , vn de K, a su baricentro

∑i

1n+1vi, es G-equivariante.

En [37] y [38], Peter Webb considera el espacio topologico |K(Sp(G))|/G y demuestraque es acıclico modulo p. Con esto en mente, propone la siguiente conjetura

Conjetura 2.6.1. (P. Webb) El espacio de orbitas |K(Sp(G))|/G es contractil.

Anos mas tarde, Peter Symonds demuestra tal conjetura en [33]. Para ello consid-era el complejo de Robinson Rp(G) que describimos en la seccion 2.4 de este capıtulo.Recordemos que tal complejo consiste de los sımplices P0 < P1 < . . . < Pr ∈ K(Sp(G))donde Pi es normal en Pr para todo i y que resultaba G-homotopico a K(Sp(G)) (ver teo-rema 2.4.32). La demostracion de Symonds de la conjetura de Webb es bastante directa:primero demuestra que es simplemente conexo y luego que sus grupos de homologıa sontriviales.

Veremos aquı que relacion hay entre los distintos espacios de orbitas que surgen deconsiderar un G-poset X y la conexion con la conjetura de Webb. Si bien no demostramossu conjetura, podremos reenunciarla utilizando diferentes espacios finitos.

Las siguientes definiciones y resultados del libro de Bredon [13, Chapter III] nos serande bastante utilidad para entender la diferencia entre los distintos espacios de orbitas queaparezcan.

Definicion 2.6.2. Para un G-complejo K podemos considerar las siguientes propiedades:

(A) Si σ es un sımplex de K y g ∈ G, entonces g fija a cada vertice de σ ∩ σg.

(B) Si g0, . . . , gn ∈ G y tanto (v0, . . . , vn) como (vg00 , . . . , vgnn ) forman sımplices de K,

entonces existe g ∈ G tal que vgii = vgi para todo i.

En la definicion anterior, el elemento (v0, . . . , vn) es un sımplex de K cuando vemos elconjunto v0, . . . , vn. En particular no estamos suponiendo que los vi sean todos distintos.

Observacion 2.6.3. La propiedad (A) es equivalente a esta otra:

(A’) Si v es un vertice de K y g ∈ G es tal que v y vg estan en un mismo sımplex, entoncesv = vg.

Probemos esto:

• Supongamos que vale (A) y sean v ∈ K y g ∈ G tales que v y vg estan en un mismosımplex. Entonces σ = v, vg es un sımplex de K. Como vale (A), se tiene que gfija a los vertices de σ ∩ σg ⊃ v. Es decir, vg = v. Luego (A) implica (A’).

• Supongamos que vale (A’) y sean σ ∈ K un sımplex y g ∈ G. Tomemos v ∈ σ ∩ σg.Entonces v, vg ∈ σg estan en un mismo sımplex. De la validez de (A’) deducimosque v = vg y ası g fija cada vertice de σ ∩ σg. Luego (A’) implica (A).

76


Observacion 2.6.4. Mas aun, podemos ver que la propiedad (B) implica la propiedad(A), o equivalente, la propiedad (A’). En efecto, si v, vg estan en un mismo sımplex,entonces (v, v) y (v, vg) son sımplices de K. Por (B), existe h ∈ G tal que v = vh yvg = vh, y ası v = vg.

Si K es un G-complejo y H ≤ G es un subgrupo, podemos restringir la accion a H yver entonces a K como un H-complejo.

Definicion 2.6.5. Un G-complejo K se dice regular si K satisface la propiedad (B) paracada subgrupo H ≤ G.

La siguiente proposicion nos dice que la condicion de regularidad se puede obtenerpasando a la segunda subdivision baricentrica de un G-complejo K, y que por lo tanto noes una condicion muy restrictiva a la hora de estudiar la topologıa de |K|.

Proposicion 2.6.6. Para cualquier G-complejo K se tiene que K ′ satisface la propiedad(A). Si K satisface la propiedad (A), entonces K ′ satisface la propiedad (B).

Demostracion. Ver [13, Proposition 1.1]

De esta manera, pasando por la segunda subdivision baricentrica podemos suponerque todo G-complejo es regular a la hora de estudiar sus propiedades topologicas.

Si K es un G-complejo regular y (v0, . . . , vn) y (w0, . . . , wn) son sımplices por encimadel sımplex (v∗0, . . . , v

∗n) de K/G, con w∗i = v∗i , entonces existen gi ∈ G tales que vgii = wi.

Por regularidad, existe g ∈ G tal que wi = vgii = vgi para todo i. Luego v0, . . . , vng =w0, . . . , wn. Es decir, los sımplices que estan arriba de v∗0, . . . , v∗n forman una orbitade la accion de G inducida en los sımplices de K. Notemos q : K → K/G al morfismosimplicial q(v) = v∗. Cuando K es regular tenemos que q−1(σ∗) = τ ∈ K : q(τ) = σ =Oσ.

En general, q induce una funcion continua |q| : |K| → |K/G|, que es sobreyectiva ycociente (pues |K| es compacto y |K/G| es T2). Por otro lado, tenemos la funcion cocienteπ : |K| → |K|/G. Como |q| es G-equivariante, tenemos una funcion continua inducidaϕ : |K|/G → |K/G| que es sobreyectiva. Cuando K es un G-complejo regular, esta ϕresulta ser inyectiva. Como |K/G| tiene la topologıa cociente, deducimos que en tal casoϕ(∑

i tivi) =∑

i tiv∗i es un homeomorfismo. Tenemos ası la siguiente proposicion.

Proposicion 2.6.7. Si K es un G-complejo regular, entonces ϕ : |K|/G→ |K/G| definidapor ϕ(

∑i tivi) =

∑i tiv

∗i es un homeomorfismo. En general, si K no es necesariamente

regular, ϕ es una funcion continua y sobreyectiva.

Por ultimo, notemos que si K es un G-complejo que verifica (A), entonces |KG| =|K|G, donde KG es el subcomplejo pleno de K generado por los vertices que quedanfijos por la accion de G. La inclusion |KG| ⊂ |K|G es facil de ver. Por otro lado, six ∈ |K|G, entonces x =

∑ni=0 tivi, con

∑i ti = 1 y ti > 0 para todo i. Si g ∈ G, entonces

v0, . . . , vn = Supp(x) = Supp(xg) = vg0 , . . . , vgn es un sımplex de K. En particular, vi

y vgi estan en un mismo sımplex para todo i. Por (A’), que es equivalente a (A), debe serque vi = vgi para todo i.

77


Notemos h : |K ′| → |K| al homeomorfismo definido en los vertices como

h(v0, . . . , vn) =n∑i=0

1

n+ 1vi

Es facil chequear que h esG-equivariante y que por lo tanto tenemos un homeomorfismoinducido en los cocientes h : |K ′|/G→ |K|/G.

Recordemos que si X es un espacio finito T0 y K = K(X) es su complejo asociado,entonces la funcion µX : |K| → X definida por µX(

∑ni=0 tixi) = minixi es una equiva-

lencia debil, es decir, induce isomorfismos en todos los grupos de homotopıa. Ademas, µXes G-equivariante ya que al formar una cadena los xi, se tiene que minixgi = (minixi)gpara g ∈ G. Luego µX induce una funcion continua µX : |K|/G → X/G dada porµX(

∑i tixi) = minixi.

Antes de proseguir, veamos algunas proposiciones que nos seran de gran utilidad.

Proposicion 2.6.8. Si X es G-poset, entonces K(X) es un G-complejo que verifica lapropiedad (A).

Demostracion. Claramente K(X) es un G-complejo. Si x, xg ∈ VK = X son dos verticesque estan en un mismo sımplex, entonces x, xg es un sımplex de K(X). Como lossımplices de este complejo son las cadenas finitas de X, deducimos que x ≤ xg o bien quexg ≤ x. Del lema 1.3.3 concluimos que x = xg. Por lo tanto K(X) verifica (A’), que esequivalente a (A).

El complejo K(X/G) tiene como vertices a las orbitas de los puntos de X, y comosımplices las cadenas de orbitas. Recordemos que para un G-poset, una orbita O estacontenida en una orbita O′ si para algun representante x ∈ O y otro representante y ∈ O′vale que x ≤ y. Por otro lado, los vertices del complejo K(X)/G son las orbitas delos puntos de X y los sımplices son los conjuntos de orbitas O0, . . . ,On de maneraque existen representantes xi ∈ Oi para los que x0, . . . , xn es un sımplex de K(X).Reenumerando las orbitas, podemos suponer que x0 < x1 < . . . < xn. De esta manera, lasorbitas verifican que O0 < O1 < . . . < On y ası los sımplices de K(X)/G son las cadenasde orbitas de X. En consecuencia, estos dos complejos son iguales.

Proposicion 2.6.9. Si X es un G-poset, entonces K(X)/G = K(X/G). Mas aun, se tieneel siguiente diagrama conmutativo

|K(X)|/G µX //

ϕK(X)

X/G

|K(X)/G| |K(X/G)|

µX/G≈w

OO

En particular, si ϕK es un homeomorfismo, µX es una equivalencia debil.

Demostracion. Solo basta ver que el diagrama conmuta. Notemos ϕ = ϕK(X) y K =K(X). Si x0 < x1 < . . . < xn es una cadena en X, o equivalentemente un sımplex de K,

78


entonces

µX/G

(ϕ

(∑i

tixi

))= µX/G

(∑i

tixi

)= x0 = µX

(∑i

tixi

)

Sea X un G-poset y notemos K = K(X) a su complejo asociado. Al provenir de unG-poset, el G-complejo K verifica la propiedad (A). Luego K ′ es un G-complejo regular.De todo lo demostrado anteriormente, tenemos un homeomorfismo

|K|/G h−1

−→ |K ′|/GϕK′−→ |K ′/G|

De las proposiciones 2.6.7, 2.6.8 y 2.6.9, tenemos el siguiente diagrama donde todoslos cuadrados conmutan.

X ′

π

|K ′|µX′

≈w

oo h≡

//

π

|K|

π

µX

≈w

// X

π

X ′/G

α

&&

|K ′|/GµX′

≈w

oo h≡

//

ϕK′≡

|K|/G µX //

ϕK

X/G

|K(X ′/G)|

µX′/G≈w

OO

|K ′/G| |K/G| |K(X/G)|

µX/G≈w

OO

(X/G)′ |K((X/G)′)|µ(X/G)′

≈w

oo |K(X/G)′|

h≡

OO

(2.5)

La funcion α : X ′/G→ (X/G)′ esta definida como

α(x0 < x1 < . . . < xn) = x0 < x1 < . . . < xn

Es facil verificar que α es un morfismo de posets. Por otro lado, si x0 < x1 < . . . < xnes un elemento de (X/G)′, entonces existen gi ∈ G tales que xi−1 < xgii para 0 < i ≤ n.De esta manera, si y0 = x0 e yi = x

gigi−1...g1i para i > 0, entonces y0 < y1 < . . . < yn y

y0 < y1 < . . . < yn = x0 < x1 < . . . < xn. Esto prueba que α es un morfismo sobreyectivo.Sin embargo, la inyectividad puede fallar.

Lema 2.6.10. El morfismo α es inyectivo si y solo si K(X) tiene la propiedad (B).

Demostracion. Sean c = x0 < x1 < . . . < xn y c′ = y0 < y1 < . . . < ym dos cadenas deX. Si α(c) = α(c′), entonces por longitud tiene que ser n = m y ademas xi = yi paratodo i, por lo que existen gi ∈ G tales que yi = xgii para todo i. Luego c = c′ si y solo siexiste g ∈ G tal que cg = c′, si y solo si para todo i, xgii = yi = xgi . Esto es exactamentela propiedad (B) para K(X).

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Veamos que significa esta propiedad (B) cuando X = Sp(G) es el poset de p-subgruposy K = K(Sp(G)). Si (H0, H1, . . . ,Hn) son p-subgrupos que forman un sımplex de K,entonces sin perdida de generalidad los puedo suponer ordenados H0 ≤ H1 ≤ . . . ≤ Hn.Supongamos que existen gi ∈ G tales que (Hg0

0 , Hg11 , . . . ,H

gnn ) forman un sımplex de K.

Como conjugar preservar el orden, tiene que ser que Hg00 ≤ Hg1

1 ≤ . . . ≤ Hgnn . Buscamos

un g ∈ G tal que Hgi = Hgi

i para todo i. Es decir, un g tal que Hi = Hgg−1i

i . Esto significaque gg−1i ∈ NG(Hi), o equivalentemente, que g ∈ NG(Hi)gi. Por lo tanto, un tal g existesi y solo si la interseccion de las coclases

⋂ni=0NG(Hi)gi es no vacıa.

Sin embargo, hay grupos que no verifican esta propiedad (B) como lo muestra elsiguiente ejemplo que encontramos en el libro de Smith [30].

Ejemplo 2.6.11. Sea G = S4 y notemos X = S2(G) al poset de 2-subgrupos no trivialesy K a su complejo asociado. Entonces un 2-Sylow de G es D = 〈(1 3), (1 2 3 4)〉 ' D8.Luego los elementos (1 3)(2 4) y (1 2)(3 4) estan en D y son conjugados por (2 3) ∈ G.De esta manera, tenemos dos grupos distintos H1 = 〈(1 3)(2 4)〉 y H2 = 〈(1 2), (3 4)〉 quedeterminan el mismo punto en X/G.

Consideremos ahora las aristas H1 ⊂ D y H2 ⊂ D. Afirmo que estan en diferentesorbitas: si H1 ⊂ Dg = H2 ⊂ D, entonces g ∈ NG(D), por lo que cg : D → D esun isomorfismo. En particular, cg(Z(D)) = Z(D). Es decir, g normaliza a Z(D). Sinembargo, se puede probar que Z(D) = H1, por lo que Hg

1 = H1 6= H2, en contradiccioncon nuestra hipotesis.

Observacion 2.6.12. Cuando X = Sp(G), el espacio de orbitas Sp(G)/G es contractil.Esto es porque tiene un maximo que es la orbita de un p-Sylow.

La conjetura de P. Webb 2.6.1 afirma que |K|/G es contractil cuando K = K(Sp(G)).En vista del diagrama 2.5 y de la observacion anterior, como |K|/G es un CW-complejo,tenemos las siguientes equivalencias:

Lema 2.6.13. Las siguientes son equivalentes para K = K(X), donde X es un G-posettal que X/G es homotopicamente trivial.

1. |K|/G es contractil

2. |K ′/G| es contractil

3. X ′/G es homotopicamente trivial

4. µX es una equivalencia debil

5. El morfismo α : X ′/G→ (X/G)′ es una equivalencia debil

Esto nos da diferentes enfoques a la hora de querer probar la conjetura de P. Webbsi elegimos un poset de p-subgrupos X que sea debilmente equivalente a Sp(G) y tal queX/G sea homotopicamente trivial.

En general, si X/G es contractil no implica que |K(X)|/G lo sea, como el siguienteejemplo lo muestra.

80


Ejemplo 2.6.14. Sea X el modelo minimal de S1. Esto es, el poset cuyo diagrama deHasse es

Figure 2.1: Modelo minimal de S1

Consideremos la accion de Z2 sobre X que permuta m1 con m2 y M1 con M2. EntoncesX/Z2 es el poset lineal de dos puntos. En particular es contractil.

Por otro lado, |K(X)| es S1 y la accion de Z2 que tenıamos en X aca se correspondecon la accion antipodal.

Figure 2.2: Accion antipodal en |K(X)|, con g generador de Z2

Por lo tanto, el espacio de orbitas |K(X)|/Z2 es la recta proyectiva P1(R), la cual eshomeomorfa a S1. Luego |K(X)|/Z2 no es homotopicamente trivial.

Uno podrıa preguntarse entonces bajo que hipotesis en un G-poset X vale la conjeturade P. Webb. Es decir, bajo que condiciones |K(X)|/G es contractil. Sabemos que Sp(G)es un retıculo reducido (ver observacion 2.1.10), cosa que el modelo minimal de S1 no loes. Esto podrıa ser entonces una obstruccion. Tampoco sabemos si vale la recıproca, esdecir, si |K(X)|/G es contractil entonces X/G es homotopicamente trivial. Queda tambienabierta la pregunta de si Ap(G)/G es homotopicamente trivial en general.

Observacion 2.6.15. Vimos que el poset de caras del complejo de Robinson Rp(G) tieneel mismo tipo homotopico simple equivariante que Abp(G)op (ver teorema 2.4.32). Sitomamos X = X (Rp(G)) y K = K(X) = Rp(G)′ en el diagrama 2.5, tendremos que|K|/G ≡ϕK |K/G| por ser K regular y por lo tanto para probar la conjetura de Webb2.6.1 basta ver que X (Rp(G))/G es un espacio finito homotopicamente trivial.

81


82

Capıtulo 3

Tipo homotopico del poset Ap(G)

En el artıculo [32], Stong muestra con un ejemplo que en general los posets Ap(G) y Sp(G)no son homotopicamente equivalentes. Para ello considera el grupo G = S5 con el primop = 2 y analiza las estructuras de ambos posets.

Por otro lado, prueba que la contractibilidad del poset Sp(G) es equivalente a la ex-istencia de un p-subgrupo normal no trivial. De esto deduce que la contractibilidad delposet Ap(G) implica la del Sp(G). Sin embargo, deja abierta la pregunta de si vale larecıproca. En la seccion 3.7 de este capıtulo damos un contraejemplo de esto ultimo. Esdecir, la existencia de un p-subgrupo normal no trivial no implica que Ap(G) sea un posetcontractil.

Uno podrıa preguntarse que condiciones debe cumplir el grupo G para que el posetAp(G) sea contractil. Esta pregunta parece requerir de mucha teorıa de grupos y hasta elmomento no hemos encontrado una respuesta general definitiva en terminos de subgruposde G.

En la seccion 3.1 de este capıtulo analizamos el concepto de contractibilidad en pasosy logramos describirlo complemente en retıculos reducidos atomicos. Con estos conceptos,podemos describir de manera combinatoria la contractibilidad de Ap(G). En las seccionessiguientes damos algunos resultados parciales sobre cuando los posets Ap(G) y Sp(G) sonhomotopicamente equivalentes. Analizamos el caso de G = Dn un grupo diedral y vemosque para p 6= 2, los posets Ap(G) y Sp(G) no son muy interesantes ya que poseen un ordenlineal, mientras que si p = 2 son homotopicamente equivalentes pero en general pueden noser contractiles. Probamos tambien que los grupos de orden pαq, con p, q primos distintos,verifican que Sp(G) ' Ap(G). Finalmente cerramos el capıtulo con una serie de ejemplosy contraejemplos que desafıan nuestra intuicion y nos ayudan a entender un poco mas porque los posets Ap(G) y Sp(G) no son homotopicamente equivalentes en general.

3.1 Contractibilidad en pasos

En esta seccion, introducimos la nocion de contractibilidad en pasos de un poset. Un posetX sera contractil en n pasos si existe una cadena de n desigualdades entre la identidad yuna funcion constante. Es decir, si en el 1-esqueleto del complejo K(XX) la funcion iden-tidad esta a una distancia de a lo sumo n de una funcion constante. La contractibilidad en

83

Capıtulo 3. Tipo homotopico del poset Ap(G) Kevin Piterman

pasos nos permitira diferenciar entre distintos tipos de espacios contractiles. Por ejemplo,probamos que cuando consideramos retıculos reducidos atomicos, podemos decir exacta-mente la cantidad de pasos en que es contractil mirando los subposets que se obtienen altomar las intersecciones de maximales o los supremos de minimales de manera alternaday sucesiva.

La idea de contractibilidad en pasos se podrıa decir que tiene su origen en el artıculo deQuillen [28]. Lo que nosotros denominamos contractibilidad en dos pasos es lo que Quillendenomina conicamente contractil. De esta manera, prueba que si Op(G) > 1 entoncesSp(G) es conicamente contractil y en particular homotopicamente trivial. Mas adelante,Smith en [30] hace referencia a la contractibilidad en uno, dos (lo que Quillen llamoconicamente contractil) o mas pasos. Nosotros damos una definicion formal y trabajamoscon esto para obtener una vision mas general de lo que significa en lattices reducidas.

Definicion 3.1.1. Sean X e Y dos posets. Dos morfismos f, g : X → Y son homotopicosen n pasos, y notamos f 'n g, si existen f0, f1, . . . , fn : X → Y tales que f0 = f , fn = gy fi, fi+1 son comparables para todo i.

Los espacios X e Y son homotopicamente equivalentes en n pasos, y notamos X 'n Ysi existen f : X → Y y g : Y → X tales que gf 'n idX y fg 'n idY .

Decimos que X es contractil en n pasos si X 'n ∗.

Observacion 3.1.2. De la definicion es inmediato ver que X es contractil en 0 pasos siy solo si es un punto, y es contractil en 1 paso si y solo si posee un maximo o un mınimo.Esto mismo nos dice que la contractibilidad en pasos no es un invariante homotopico. Esdecir, si X ' Y y X ∼n ∗ entonces esto no implica que Y ∼n ∗. Lo unico que podemosdecir es que si X ∼m Y entonces Y ∼n+m ∗. Por lo tanto, este invariante nos permitedistinguir entre distintos tipos de espacios contractiles.

En lo que sigue nos dedicaremos a estudiar la contractibilidad en pasos de retıculosreducidos atomicos o coatomicos.

Observacion 3.1.3. Si X es un retıculo reducido atomico que tiene un mınimo, entoncesX = ∗ es solo punto, ya que todo elemento de X debe ser el supremo de los minimalesque estan por debajo de este.

Esta observacion nos conduce a la siguiente proposicion cuya demostracion es inmedi-ata.

Proposicion 3.1.4. Sea X un retıculo reducido. Si X es atomico, entonces X ∼1 ∗ si ysolo si X posee un maximo. Analogamente, si X es coatomico, entonces X ∼1 ∗ si y solosi X posee un mınimo.

Proposicion 3.1.5. Si X es un retıculo reducido, entonces X ∼1 i(X) y X ∼1 s(X).

Demostracion. Sea i : i(X) → X la inclusion y sea r : X → i(X) el retracto dado porr(x) = inf(M(x)). Entonces ri = idi(X) e ir ≥ idX . Es decir, ir ∼1 idX .

Para s(X) es analogo.

84

Kevin Piterman Capıtulo 3. Tipo homotopico del poset Ap(G)

En general, ¿Que significa ser contractil en n pasos? Supongamos que X es un retıculoreducido atomico contractil en n pasos. Luego existen morfismos f0, f1, . . . , fn : X → Xy un elemento x0 ∈ X tales que f0 = idX , fn = ctex0 y pasa alguna de las siguientesdesigualdades:

idX = f0 ≤ f1 ≥ f2 ≤ . . . ≥ fn−1 ≤ ctex0 = fn si n es par (3.1)

idX = f0 ≤ f1 ≥ f2 ≤ . . . ≤ fn−1 ≥ ctex0 = fn si n es impar (3.2)

idX = f0 ≥ f1 ≤ f2 ≥ . . . ≤ fn−1 ≥ ctex0 = fn si n es par (3.3)

idX = f0 ≥ f1 ≤ f2 ≥ . . . ≥ fn−1 ≤ ctex0 = fn si n es impar (3.4)

A continuacion veremos como ir cambiando estas cadenas de desigualdades entre laidentidad y la funcion constante de manera que se mantengan la cantidad de pasos y quelos morfismos por los que cambiemos los anteriores sean de alguna manera conocidos.

Para dos morfismos f, g : X → X, notamos f∧g a la funcion wedge o ınfimo (f∧g)(x) =f(x) ∧ g(x). Esta funcion resulta un morfismo bien definido en X siempre y cuandof(x), g(x) este acotado inferiormente para todo x ∈ X. Si fi−1 ≥ fi ≤ fi+1, podemosintercambiar fi por fi−1 ∧ fi+1 ya que fi−1(x), fi+1(x) esta acotado inferiormente porfi(x) para todo x ∈ X. Con esto obtenemos otra homotopıa entre f0 y fn con la mismacantidad de pasos de manera que los morfismos que estan en medio de las desigualdadesfi−1 ≥ fi ≤ fi+1 resultan ser el ınfimo (o wedge) de los dos de la punta.

Con esta idea en mente, si f, g : X → X son dos morfismos, podemos considerar lafuncion supremo f ∨ g : X → X dada por (f ∨ g)(x) = f(x)∨ g(x), que esta bien definidasiempre y cuando f(x), g(x) este acotado superiormente en X. Luego, si fi−1 ≤ fi ≥fi+1, podemos intercambiar fi por fi−1 ∨ fi+1 para obtener otra homotopıa entre f0 y fncon la misma cantidad de pasos.

Ahora observemos lo siguiente. Supongamos que estamos en el caso (3.3) o (3.4) de lasdesigualdades donde f0 ≥ f1 ≤ f2 ≥ . . .. Sea x ∈ X y sea y ∈ m(x) un elemento minimalpor debajo de x. Entonces y ≥ f1(y) implica que y = f1(y) ≤ f2(y) por ser un elementominimal. Como f2 es morfismo de posets,

y ≤ f2(y) ≤ f2(x)

Como y ∈ m(x) era arbitrario y X es atomico, deducimos que x = sup(m(x)) ≤ f2(x).Con esto, podemos intercambiar nuestra cadena original por esta otra

f0 ≤ f2 ≥ f3 ≤ . . .

Ası, redujimos la cantidad de pasos de la homotopıa y caımos en el caso (3.1) o (3.2) delas desigualdades anteriores.

El siguiente teorema resume lo que acabamos de ver.

Teorema 3.1.6. Sea X un retıculo reducido atomico. Si idX ' g, entonces existe n ≥ 0y morfismos de posets f0, . . . , fn : X → X tales que

idX = f0 ≤ f1 ≥ f2 ≤ . . . ≥ fn−1 ≤ fn = g , si n es impar, o

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idX = f0 ≤ f1 ≥ f2 ≤ . . . ≤ fn−1 ≥ fn = g , si n es par

Mas aun, podemos suponer que f2k = f2k−1 ∧ f2k+1 para cada 1 ≤ k < n/2 y que f2k+1 =f2k ∨ f2k+2 para todo 0 ≤ k < n/2

La demostracion se desprende de lo que ya comentamos.

Observacion 3.1.7. Invirtiendo las desigualdades, se pueden obtener resultados analogosen el caso de retıculos reducidos coatomicos.

La siguiente proposicion nos dice que de alguna manera sabemos quien es el morfismof1 de una cadena de desigualdades del estilo idX ≤ f1 ≥ f2 ≤ . . ..

Proposicion 3.1.8. Si X es un retıculo reducido atomico y idX ≤ f , entonces f(x) ≤inf(M(x)) para todo x ∈ X.

Demostracion. Si y ∈ M(x), entonces f(x) ≤ f(y) = y por ser y maximal. Ası, f(x) ≤ ypara todo y ∈M(x) implica que f(x) ≤ inf(M(x)).

Recordemos que para un retıculo reducido tenemos las siguientes dos sucesiones

X ⊃ i(X) ⊃ s(i(X)) ⊃ i(s(i(X))) ⊃ . . .

X ⊃ s(X) ⊃ i(s(X)) ⊃ s(i(s(X))) ⊃ . . .

Al (n+ 1)-esimo espacio de la primera sucesion lo notamos Xn y al (n+ 1)-esimo espaciode la segunda sucesion lo notamos Xn.

Con estas herramientas podemos probar el siguiente teorema que nos da un metodopara calcular la contractibilidad en pasos de retıculos reducidos atomicos o coatomicos.

Teorema 3.1.9. Sea X un retıculo reducido atomico. Son equivalentes:

1. X ∼n ∗

2. i(X) ∼n−1 ∗

3. Xi ∼n−i ∗ para todo i ≥ 0

4. Xn = ∗

con la convencion de que Y ∼m ∗ para m negativo es lo mismo que Y ∼0 ∗. Analogamente,si X es coatomico entonces son equivalentes:

1. X ∼n ∗

2. s(X) ∼n−1 ∗

3. Xi ∼n−i ∗ para todo i ≥ 0

4. Xn = ∗

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Demostracion. El caso n = 0 es tautologico, asique podemos suponer que n ≥ 1.

Veamos que 1) implica 2). Supongamos que X es atomico y contractil en n pasos. Porel teorema 3.1.6, existen morfismos f0, . . . , fn : X → X tales que f0 = idX , fn = ctex0 , severifican las desigualdades

idX = f0 ≤ f1 ≥ f2 ≤ f3 ≥ . . .

y f2i = f2i−1 ∧ f2i+1 para todo i. Sea i : i(X) → X la inclusion y sea r : X → i(X) laretraccion r(x) = inf(M(x)). Para cada i ≥ 1, tomemos fi−1 = rfii. Como i y r sonmorfismos de posets, vale que

f0 ≥ f1 ≤ f2 ≥ . . .

Ahora, de la proposicion 3.1.8 tenemos que f1 ≤ ir, y ası

f0 = rf1i ≤ riri = idi(X)

Por lo tanto conseguimos una sucesion

idi(X) = f0 ≥ f1 ≤ f2 ≥ f3 ≤ . . .

que termina en la funcion constante fn−1 = rfni = cter(x0) y fi : i(X) → i(X) para todoi. Es decir, i(X) es contractil en n− 1 pasos.

Veamos que 2) implica 1). Si i(X) ∼n−1 ∗, de la proposicion 3.1.5 y de la observacion3.1.2 obtenemos que X ∼n ∗.

Si X es coatomico, entonces X ∼n ∗ si y solo si Xop ∼n ∗ si y solo si i(Xop) ∼n−1 ∗,si y solo si s(X) ∼n−1 ∗. Esto prueba la equivalencia de 1) y 2) para X coatomico.

Claramente 3) implica 2) y 4) tanto para X atomico como coatomico.

Veamos que 2) implica 3) para X atomico. Lo hacemos por induccion en i. Si i = 0, 1ya estamos. Supongamos que i ≥ 2. Entonces Xi−1 ∼n−i+1 ∗ por hipotesis inductiva.Como 1) y 2) son equivalentes tanto para X atomico como para X coatomico, y Xi−1 esatomico o coatomico por ser i ≥ 2, vale que Xi = Xi−1+1 ∼n−i ∗. Para X coatomico esexactamente el mismo argumento.

Por ultimo, veamos que 4) implica 1). De la proposicion 3.1.5 tenemos que Xi ∼1 Xi−1para todo i. Como Xn = ∗, es decir, Xn ∼0 ∗, de la observacion 3.1.2 deducimos queXn−1 ∼1 ∗, Xn−2 ∼2 ∗ y ası sucesivamente hasta que X = X0 ∼n ∗. Lo mismo vale parala sucesion Xi del caso coatomico.

Este teorema resuelve el problema a encontrar la cantidad de pasos en que un retıculoreducido atomico o coatomico es contractil. De hecho, lo que tenemos que hacer es ircalculando los posets i y s alternadamente hasta llegar a tener un punto. Si por ejemploX es atomico, entonces X ∼n ∗ si y solo si al aplicar alternadamente i y luego s n vecesllegamos a un punto.

Del tercer item de las equivalencias podemos deducir el siguiente corolario que enun-ciamos solo para atomico pero que se puede traducir facilmente al caso de coatomico.

Corolario 3.1.10. Sea X un retıculo reducido atomico. Entonces X ∼n ∗ si y solo siXn−1 posee un maximo si n es impar o un mınimo si n es par.

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Demostracion. Del teorema anterior, X ∼n ∗ si y solo si Xn−1 ∼1 ∗. Como X = X0 esatomico, se tiene que X2i+1 es coatomico y X2i es atomico para todo i ≥ 0. Por lo tanto,si n es par, Xn−1 es coatomico y si n es impar, Xn−1 es atomico. De la proposicion 3.1.4deducimos que Xn−1 ∼1 ∗ si y solo si posee un maximo si n es impar o si posee un mınimosi n es par.

Sea X un retıculo reducido atomico. Para cada n ≥ 0, sea Mn el conjunto definido por

Mn =

m(Xn) : si n es par

M(Xn) : si n es impar

Es decir, Mn es el conjunto de minimales de Xn si n es par y es el de los maximales sin es impar.

Corolario 3.1.11. Un retıculo reducido atomico X es contractil en n pasos si y solo si|Mn| = 1.

Demostracion. El poset X es contractil en n pasos si y solo si Xn consiste de un solopunto. Como Xn es atomico para n par y coatomico para n impar, esto equivale a decirque Xn posee un solo minimal cuando n es par o un solo maximal cuando n impar. O sea,que |Mn| = 1.

Utilizando estos resultados podemos describir la contractibilidad de Ap(G) ya que esun retıculo reducido atomico. Sin embargo, tal descripcion involucra el calculo del posetAp(G) y no es directo como en el caso de Sp(G).

Observacion 3.1.12. De la observacion 3.1.2, el poset Ap(G) es contractil en 0 pasossi es solo un punto, lo cual equivale a decir que G posee un unico subgrupo de orden p;es contractil en 1 paso si Ap(G) posee maximo o mınimo. Notemos que si Ap(G) tieneun mınimo, entonces es solo un punto, ya que dos puntos distintos nos dan al menos dossubgrupos distintos de orden p. Por otro lado, Ap(G) tiene un maximo si y solo si todo parde elementos de orden p conmutan. Equivalente, Ω1(G) = 〈x ∈ G : xp = 1〉 es un grupoabeliano, y por lo tanto es el maximo de Ap(G).

El siguiente teorema describe en general que quiere decir la contractibilidad de Ap(G)en termino de subgrupos de G.

Para n par, definimos Hn como el subgrupo generado por Mn, y para n impar sea Hn

la interseccion de los subgrupos de Mn. Es decir,

Hn =

〈Mn〉 : si n es par⋂Mn : si n es impar

Teorema 3.1.13. El poset Ap(G) es contractil en n pasos si y solo si n = 0 y Ap(G) =∗, o bien n ≥ 1 y Hn−1 > 1 si n es par o Hn−1 es abeliano si n es impar.

Demostracion. El caso n = 0 ya lo discutimos en la observacion 3.1.2. Podemos asumirentonces que n ≥ 1. Supongamos que Ap(G) es contractil en n pasos.

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• Caso n par: del corolario 3.1.10, Ap(G)n−1 posee un mınimo. Como Mn−1 es elconjunto de maximales de Ap(G)n−1, si A ∈ Ap(G) es el mınimo de Ap(G)n−1,entonces A ≤ B para todo B ∈ Mn−1. En particular, A es un subgrupo no trivialque esta contenido en la interseccion de los subgrupos de Mn−1. Luego la interseccionHn−1 =

⋂Mn−1 es un p-toro.

• Caso n impar: del corolario 3.1.10, Ap(G)n−1 posee un maximo. Como Mn−1 esel conjunto de minimales de Ap(G)n−1, si A ∈ Ap(G) es el maximo de Ap(G)n−1,entonces A ≥ B para todo B ∈ Mn−1. Luego Hn−1 = 〈Mn−1〉 ≤ A es un subgrupoabeliano.

Recıprocamente, supongamos que Hn−1 > 1 si n es par o bien Hn−1 es abeliano si nes impar. En el primer caso, Hn−1 es una cota inferior, dentro de Ap(G), para Mn−1. Enel segundo caso, si Hn−1 es abeliano, como esta generado por p-toros, debe ser que Hn−1es un p-toro y en particular Mn−1 esta acotado superiormente en Ap(G).

Ahora, Ap(G) es contractil en n pasos si y solo si Ap(G)n−1 posee un mınimo si nes par, o un maximo si n es impar (por el corolario 3.1.10). Como Ap(G)n−1 es atomicopara n par y coatomico para n impar, esto es lo mismo que decir que Mn−1 es acotadosuperiormente en el primer caso e inferiormente en el segundo (dentro del poset Ap(G)n−1).Lo que sabemos es que Mn−1 es acotado superiormente si n es par e inferiormente si nes impar dentro de Ap(G). El siguiente lema, cuya demostracion dejamos a cargo dellector, nos dice que en tal caso tambien lo es dentro de Ap(G)n−1, lo cual concluye lademostracion del teorema.

Lema 3.1.14. Sea X un retıculo reducido y sea n ≥ 0. Si A ⊂ Xn entonces A es acotadosuperior o inferiormente en Xn si y solo si lo es en X. Lo mismo vale para la sucesion Xn.

Inmediatamente del teorema anterior obtenemos el siguiente corolario.

Corolario 3.1.15. El poset Ap(G) es contractil en dos pasos si y solo si la interseccionde todos los maximales de Ap(G) es no trivial.

Consideremos L = L(Ap(G)), el complejo simplicial cuyos vertices son los p-torosmaximales y cuyos sımplices son los conjuntos de maximales A0, . . . , An con interseccion⋂ni=0Ai no trivial. De lo anterior deducimos que Ap(G) es contractil en dos pasos si y solo

si L es un sımplex.

Corolario 3.1.16. El poset Ap(G) es contractil en dos pasos si y solo si L es un sımplex.

Tambien podemos deducir que quiere decir la contractibilidad en tres pasos de Ap(G)en termino de subgrupos.

Proposicion 3.1.17. El poset Ap(G) es contractil en tres pasos si y solo si existe unelemento N ∈ Ap(G) que interseca de manera no trivial a toda interseccion no trivial dep-toros maximales.

Demostracion. Supongamos que Ap(G) es contractil en tres pasos. En vista del teorema3.1.13, el grupo H2 = 〈M2〉 es abeliano. Como M2 son los minimales de s(i(Ap(G))),

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que son los mismos que los minimales de i(Ap(G)), deducimos que H2 = N interseca demanera no trivial a toda interseccion no trivial de p-toros maximales.

Recıprocamente, si tenemos un tal N podemos definir f : Ap(G)→ Ap(G) como

f(A) =⋂B ∈ Ap(G) : A ≤ B y B maximal

y tenemos que f(A) ∩N > 1 por hipotesis. Ası

A ≤ f(A) ≥ f(A) ∩N ≤ N

Luego Ap(G) es contractil en tres pasos.

Todavıa no tenemos una caracterizacion precisa de que significa queAp(G) sea contractilen terminos del grupo G sin necesidad de calcular el poset Ap(G).

Por ultimo, dejemos en claro el siguiente resultado que ya ha aparecido en las seccionesprevias.

Corolario 3.1.18. Si G es un p-grupo, entonces Ap(G) es contractil en dos pasos.

Demostracion. Ya vimos que N = Ω1(Z(G)) > 1 es un p-subgrupo elemental abeliano yque AN ∈ Ap(G) para todo A ∈ Ap(G). Luego A ≤ AN ≥ N , y ası Ap(G) es contractilen dos pasos. Para mas detalles ver la proposicion 2.1.3.

En el ejemplo 3.6.7 exhibimos un grupo G para el cual Ap(G) es contractil en trespasos y no en dos.

3.2 Casos para los que Ap(G) ' Sp(G)

En [32], Stong comenta que cuando Ω1(P ) es abeliano para todo p-Sylow P , entoncesAp(G) y Sp(G) son homotopicamente equivalentes. En esta seccion veremos algunos casosmas para los que Sp(G) y Ap(G) son posets homotopicamente equivalentes y que si losp-toros maximales de Ap(G) son todos conjugados, entonces Sp(G) es contractil si y solosi Ap(G) lo es. Sin embargo, daremos un contraejemplo que muestra que si los p-torosmaximales son todos conjugados pero Sp(G) no es contractil, entonces los espacios Sp(G)y Ap(G) no son homotopicamente equivalentes.

Comenzamos enunciando un resultado de Stong que aparece en [32].

Proposicion 3.2.1. (Stong) SiG es un grupo finito, p es un primo que divide al orden deGy los p-Sylows son abelianos, entonces Ap(G) y Sp(G) son homotopicamente equivalentes.

Demostracion. Por las hipotesis, todo p-subgrupo es abeliano. Sea f : Sp(G) → Ap(G)el morfismo que a cada p-grupo H le asigna el subgrupo Ω1(H). Como H es abeliano,Ω1(H) es un p-subgrupo elemental abeliano y ası f es un morfismo de posets bien definido.Notemos por i : Ap(G) → Sp(G) a la inclusion canonica. De esta manera, if ≤ idSp(G) yfi = idAp(G).

Observacion 3.2.2. Notar que de la demostracion anterior se deduce algo mas fuerte:Ap(G) ⊂ Sp(G) es un retracto por deformacion fuerte.

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Corolario 3.2.3. Si G es un grupo finito y p es un primo que divide al orden de G talque mp(G) ≤ 2, entonces Ap(G) ⊂ Sp(G) es un retracto por deformacion fuerte.

Demostracion. Como mp(G) ≤ 2, todo p-Sylow tiene orden p o p2, y en consecuencia esabeliano (ver proposicion 1.1.17).

De hecho, Stong observa que el resultado de la proposicion anterior se puede generalizarun poco mas pidiendo que cualesquiera dos elementos de orden p en un mismo p-Sylow,conmuten. Es decir, si Ω1(P ) es abeliano para todo P ∈ Sylp(G).

Tratando de generalizar un poco mas esta idea, observamos lo siguiente. Si cualesquierados elementos de orden p en un mismo p-Sylow P conmutan, entonces Ap(P ) posee ununico p-toro maximal. Esto es porque Ω1(P ) = 〈x ∈ P : xp = 1〉 es un subgrupo abelianode P , no trivial y de exponente p. Como todo elemento de orden p esta contenido en Ω1(P )y los p-toros maximales estan generados por este tipo de elementos, se sigue que Ω1(P ) debeser el unico p-toro maximal de Ap(P ). En particular, este p-toro maximal es caracterısticoen P y por lo tanto todos los p-toros maximales de Ap(G) son conjugados. Podrıamospreguntarnos entonces que sucede si todos los p-toros maximales son conjugados. ¿Seraque Ap(G) y Sp(G) son homotopicamente equivalentes?

Proposicion 3.2.4. Supongamos que Sp(G) es contractil y que todos los p-toros maxi-males son conjugados. Entonces Ap(G) es contractil en dos pasos.

Demostracion. Sea N = Ω1(Z(Op(G))). Como Op(G) > 1, N ∈ Ap(G). Este subgrupo escaracterıstico en Op(G) y por lo tanto lo es en G (ver observacion 1.1.5). En particular, Nes normal en G. Ahora, N esta contenido en algun maximal de Ap(G) y estos son todosconjugados, por lo que N esta contenido en la interseccion de todos los maximales deAp(G). En consecuencia, este poset es contractil en dos pasos por el corolario 3.1.15.

Ejemplo 3.2.5. Sea G = GL(2,F3) el grupo con id [48, 29] en la tabla de SmallGroupsde GAP. Notemos que 48 = 24.3. Con el primo p = 2, ambos posets Sp(G) y Ap(G)resultan contractiles. La cantidad de 2-Sylows es 3, estos son isomorfos a QD16, el grupoquasidiedral, la cantidad de 2-toros maximales es 6 y son todos conjugados. Este ejemplono esta en las condiciones que decıa Stong y aun ası los posets son homotopicamenteequivalentes. De hecho son contractiles.

Ejemplo 3.2.6. Sea G = Z2×D12 el grupo con id [48, 36] en la tabla de SmallGroups deGAP. Con el primo p = 2, ambos posets Sp(G) y Ap(G) resultan contractiles. La cantidadde 2-Sylows es 3, estos son isomorfos a Z2 ×D4, la cantidad de 2-toros maximales es 6 yno son todos conjugados. Este ejemplo no verifica que todos los 2-toros maximales seanconjugados, y aun ası ambos posets son contractiles.

Si Sp(G) no es contractil, aunque los p-toros maximales sean todos conjugados, puedeno valer que ambos posets sean homotopicamente equivalentes, que es lo que muestra elejemplo a continuacion.

Ejemplo 3.2.7. Sea G = ((Z3 × Z3) o Z8) o Z2 el grupo con id [144, 182] en la tabla deSmallGroups de GAP. El orden es 144 = 24.32. Con el primo p = 2, los cores de Sp(G)y Ap(G) tienen 21 y 39 elementos respectivamente, por lo que no son homotopicamente

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equivalentes. La cantidad de 2-Sylows es 9 y la de 2-toros maximales es 18, los cuales sontodos conjugados. Mas aun, cada 2-Sylow contiene exactamente dos maximales y estosson conjugados dentro del mismo Sylow. Notemos que del teorema de Burnside 1.1.24, elgrupo G es resoluble.

Por otro lado, la observacion de Stong de pedir que dos elementos de orden p en unmismo p-Sylow conmuten caracteriza totalmente los casos para los que Ap(G) ⊂ Sp(G) esun retracto por deformacion fuerte.

Teorema 3.2.8. Si G es un grupo finito y p es un primo, entonces son equivalentes:

1. Ap(G) ⊂ Sp(G) es un retracto por deformacion fuerte

2. Ap(G) ⊂ Sp(G) es un retracto

3. Para B ∈ Sp(G), Ω1(B) es abeliano

4. Si P ∈ Sylp(G) entonces Ω1(P ) es abeliano

Demostracion. Que 1) implica 2) es claro. 3) si y solo si 4) tambien es claro ya que siB ≤ P entonces Ω1(B) ≤ Ω1(P ). 3) implica 1) se deduce de la observacion de Stong.Luego lo unico que debemos ver es que si r : Sp(G)→ Ap(G) es un retracto y P ∈ Sylp(G)entonces Ω1(P ) es abeliano. Si x ∈ P es de orden p, entonces 〈x〉 ∈ Ap(G) y ası

x ∈ 〈x〉 = r(〈x〉) ≤ r(P )

O sea, x ∈ r(P ). Como Ω1(P ) esta generado por los elementos de orden p de P , deducimosque Ω1(P ) ≤ r(P ) ∈ Ap(G). En particular, Ω1(P ) es abeliano.

De la demostracion se deduce como deben comportarse todos los retractos.

Corolario 3.2.9. Si r : Sp(G)→ Ap(G) es un retracto, entonces r(B) ≥ Ω1(B) para todoB ∈ Sp(G).

Tambien podemos deducir como se comporta la contractibilidad de Ap(G) cuando esun retracto de Sp(G).

Corolario 3.2.10. Si Ap(G) ⊂ Sp(G) es un retracto y Sp(G) es contractil, entonces Ap(G)es contractil en dos pasos.

Demostracion. Las hipotesis implican que Op(G) > 1 y que existe un retracto r : Sp(G)→Ap(G). Sea N = r(Op(G)). Si A ∈ Ap(G) es un maximal, entonces AOp(G) ∈ Sp(G)y N = r(Op(G)) ≤ r(AOp(G)) ≥ r(A) = A. De la maximalidad de A concluimos queA = r(AOp(G)). Luego N ≤ A para todo A ∈ Ap(G) maximal. Del corolario 3.1.15,Ap(G) ∼2 ∗.

Ejemplo 3.2.11. Hay muchısimas propiedades de grupos que seguramente nos permitandecidir si Ap(G) y Sp(G) son homotopicamente equivalentes, contractiles o no. Un casobastante particular es el de los grupos nilpotente. Un grupo G se dice nilpotente si es elproducto directo de sus Sylows. Esto equivale a que todo p-Sylow sea normal (ver por

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ejemplo [24]). Luego los posets Ap(G) y Sp(G) son contractiles para todo p primo quedivida al orden de G.

Recordemos que todo grupo nilpotente es resoluble. Sin embargo, los grupos resolublesen general no verifican que Ap(G) ' Sp(G) ni mucho menos que alguno de los dos seacontractil, como de hecho muestra el ejemplo 3.2.7.

Cuando la altura del poset Ap(G) es baja, se pueden decir algunas cosas mas comomuestran las siguientes proposiciones.

Proposicion 3.2.12. Si Ap(G) es un poset de altura 0, entonces es homotopicamenteequivalente a Sp(G). En particular, Sp(G) tiene el tipo homotopico de un espacio discreto.

Demostracion. Si P ∈ Sylp(G), entonces Ap(P ) es contractil (ver corolario 3.1.18), yen particular es conexo. Como Ap(P ) ⊂ Ap(G) y este es discreto, debe ser que Ap(P )consiste de un solo punto. Entonces Ω1(P ) ' Zp es abeliano. Del teorema 3.2.8, lainclusion Ap(G) ⊂ Sp(G) es un retracto por deformacion fuerte.

Proposicion 3.2.13. Si Ap(G) tiene altura a lo sumo 1, entonces Sp(G) es contractil siy solo si Ap(G) es contractil.

Demostracion. Ya sabemos queAp(G) contractil implica que Sp(G) sea contractil. Recıprocamente,si Sp(G) es contractil, entonces Ap(G) es homotopicamente trivial. Como Ap(G) es unposet de altura a lo sumo 1, entonces por la proposicion 2.1.13 es contractil.

Corolario 3.2.14. Si mp(G) = 3 y Sp(G) es contractil, entonces Ap(G) es contractil.

Demostracion. El poset Ap(G) tiene altura 0, 1 o 2. En los primeros dos casos, la con-tractibilidad de Sp(G) es equivalente a la de Ap(G) por la proposicion anterior. Si la alturaes 2, entonces Sp(G) = Ap(G) pues un p-toro maximal de Ap(G) de rango 3 debe ser unp-Sylow de G, ya que por hipotesis mp(G) = 3.

3.3 El subgrupo de Fitting y una equivalencia para la con-tractibilidad de Sp(G)

En esta seccion veremos otra manera de saber si el grupo G posee un p-subgrupo normalno trivial, o lo que es equivalente, que Sp(G) sea contractil.

Definicion 3.3.1. Si G es un grupo finito, el subgrupo de Fitting es el subgrupo normalnilpotente mas grande de G, y se nota F (G).

Observacion 3.3.2. El centro de G, Z(G) es un grupo abeliano, y en particular esnilpotente. Como es normal, se tiene que Z(G) ≤ F (G).

Proposicion 3.3.3. El subgrupo F (G) es nilpotente y es el producto directo de los sub-grupos Op(G) para p | |G| primos. En particular, G posee un p-subgrupo normal no trivialsi y solo si p | |F (G)|.

Demostracion. Ver [24].

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Observacion 3.3.4. La proposicion anterior nos dice que para ver si Sp(G) es contractil,basta con analizar el orden del subgrupo de Fitting.

Proposicion 3.3.5. Para un grupo finito G se tiene que F (G/Z(G)) = F (G)/Z(G)

Demostracion. Ver [24].

Sea p un primo que divide al orden de G. Entonces G tiene un p-subgrupo normalno trivial si y solo si p | |F (G)|. Sean Z0 = 1, G0 = G, y para n ≥ 1, Zn E G tal queZn/Zn−1 = Z(G/Zn−1) con Zn−1 ≤ Zn (es decir, 1 = Z0 E Z1 E Z2 E . . . es la seriecentral ascendente de G) y Gn = G/Zn. Notar que

Gn = G/Zn ' (G/Zn−1)/(Zn/Zn−1) = Gn−1/Z(Gn−1)

Z(Gn) = Z(G/Zn) = Zn+1/Zn

De la proposicion anterior,

F (Gn) = F (Gn−1/Z(Gn−1)) = F (Gn−1)/Z(Gn−1)

Por lo tanto, |F (G)| = |Z(G)||F (G) : Z(G)| y

|F (Gn)| = |Z(Gn)||F (Gn) : Z(Gn)|= |Zn+1 : Zn||F (Gn)/Z(Gn)|= |Zn+1|/|Zn||F (Gn+1)|

y ası vemos que |F (Gn)||Zn| = |Zn+1||F (Gn+1)| para todo n ≥ 0.Sea m ≥ 1 tal que Zm = Zm+1. Entonces Z(Gm) = 1 y si m′ ≥ m, inductivamente se

llega a que Zm′ = Zm. Luego

F (Gm+1) = F (Gm)/Z(Gm) = F (Gm)

e inductivamente F (Gm′) = F (Gm) para todo m′ ≥ m.De la formula anterior para el orden de F (Gn), deducimos que

|F (G)| = |Z1|/|Z0||F (G1)|= |Z1||Z2|/|Z1||F (G2)|= |Z2||Z3|/|Z2||F (G3)|= . . .

= |Zm−1||Zm|/|Zm−1||F (Gm)|= |Zm||F (Gm)|

donde m es el mınimo tal que Zm = Zm+1. Ası, Z(Gm) = Zm+1/Zm = 1.

Lema 3.3.6. Con la notacion anterior, |F (G)| = |Zm||F (Gm)| con Gm = G/Zm tal queZ(Gm) = 1.

De este lema obtenemos mas equivalencias para probar la contractibilidad de Sp(G).

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Proposicion 3.3.7. Sea G un grupo finito y sea

1 = Z0 ≤ Z(G) = Z1 ≤ Z2 ≤ . . . ≤ Zm

la cadena central ascendente de G donde m = mini ≥ 0 : Zi = Zi+1. Entonces sonequivalentes:

1. Sp(G) ' ∗

2. Op(G) > 1

3. p | |F (G)|

4. p | |Zm| o p | |F (Gm)|, con Gm = G/Zm y Z(Gm) = 1

En particular, esta proposicion nos dice que si sabemos que p - Zm, para saber si elposet Sp(G) es contractil basta con estudiar el poset Sp(Gm), el cual corresponde a ungrupo sin centro.

3.4 Una reduccion para el poset Ap(G)

A la hora de estudiar el poset Ap(G), notamos que solo necesitamos conocer los elementosde orden p de G y como conmutan entre sı. Esto nos dice que si queremos estudiar el tipohomotopico y/o contractibilidad del poset Ap(G), solo necesitamos conocer el subgrupoΩ1(G). La siguiente proposicion deja en claro esto.

Proposicion 3.4.1. Sea G un grupo finito y consideremos H = 〈x ∈ G : xp = 1〉 = Ω1(G).Entonces valen las siguientes:

1. H charG

2. x ∈ H : xp = 1 = x ∈ G : xp = 1

3. Ap(H) = Ap(G). En particular, que Ap(G) sea contractil en n pasos solo dependede H.

4. Sp(H) ⊂ Sp(G) es un retracto por deformacion fuerte equivariante. En particular,Sp(H) ' ∗ si y solo si Sp(G) ' ∗.

5. Op(H) ≤ Op(G).

Demostracion. 1. Todo automorfismo de G manda elementos de orden p en elementosde orden p, y por lo tanto manda los generadores de H en los generadores de H.

2. La inclusion ⊂) es clara. Si x ∈ G tiene orden p, entonces x ∈ Ω1(G) = H.

3. Tomemos A ∈ Ap(G) y veamos que A ≤ H. Como A es un p-grupo elemen-tal abeliano, podemos escribirlo como A = 〈x1, . . . , xn〉 donde xpi = 1. Ası, xi ∈Ω1(G) = H para todo i, por lo que A = 〈xi : 1 ≤ i ≤ n〉 ≤ H.

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4. Como H es caracterıstico en G, tenemos una accion por conjugacion de G en lossubgrupos de H. Luego si i : Sp(H) → Sp(G) es la inclusion, entonces i es G-equivariante. Sea r : Sp(G) → Sp(H) la funcion r(B) = B ∩ H. Veamos quer esta bien definida. Si B ∈ Sp(G), entonces existe x ∈ B de orden p. Luegox ∈ B ∩ H y ası 1 < B ∩ H ≤ B,H es un p-subgrupo no trivial de H. Es claroque r es un morfismo de posets G-equivariante y que ri = idSp(H) e ir ≤ idSp(G). Enconsecuencia, Sp(H) ⊂ Sp(G) es un retracto por deformacion fuerte equivariante.

5. Del primer ıtem tenemos que H charG. Como tambien Op(H) charH, se sigueque Op(H) charG. Ası, Op(H) resulta un p-subgrupo normal en G y por lo tantoOp(H) ≤ Op(G).

Esta proposicion nos dice que si queremos estudiar el poset Ap(G) podemos suponerque G = 〈x ∈ G : xp = 1〉, es decir, G esta generado por elementos de orden p.

Definicion 3.4.2. Si G es un grupo y p es un primo, decimos que G es p-generado siG = Ω1(G).

Observacion 3.4.3. Si p no divide al orden de G, entonces es p-generado si y solo siG = 1 por el teorema de Cauchy 1.1.10.

Si G es abeliano, entonces es p-generado si y solo si es p-elemental abeliano.

Con esto en mente, analicemos un poco la contractibilidad de Ap(G).

Proposicion 3.4.4. Supongamos que G es un grupo p-generado no trivial. Entonces valelo siguiente:

1. Ap(G) es contractil en 0 pasos si y solo si G ' Zp

2. Ap(G) es contractil en 1 paso si y solo si G es p-elemental abeliano, o equivalente-mente, G es abeliano.

3. Ap(G) es contractil en 2 pasos si y solo si p | |Z(G)|

Demostracion. 1. De la observacion 3.1.12, Ap(G) es contractil en 0 pasos si y solo siposee un unico subgrupo de orden p. Entonces G posee exactamente p−1 elementosde orden p, y todos conmutan entre sı. Es decir, x ∈ G : xp = 1 posee p elementosy forma un subgrupo de G. Luego G = Ω1(G) ' Zp. La recıproca es inmediata.

2. De la observacion 3.1.12, Ap(G) es contractil en 1 paso si y solo si posee un maximoo un mınimo. En cualquier caso equivale a decir que posee un unico p-toro maximal.Esto implica que si A es tal p-toro maximal, entonces todo elemento de orden pesta en A. En particular, Ω1(G) ⊂ A y ası, G = A es p-elemental abeliano. Por laobservacion anterior, esto equivale a decir que G es abeliano. La recıproca es clara.

3. Del corolario 3.1.15, Ap(G) es contractil en 2 pasos si y solo si la interseccion detodos los p-toros maximales de Ap(G) es no trivial. Esto equivale a decir que existeun elemento x ∈ G de orden p que esta en todos los p-toros maximales. Para que

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suceda esto, es necesario y suficiente que tal x conmute con todo elemento de ordenp de G, ya que los p-toros maximales estan generados por elementos de orden p. Esdecir, tal x existe si y solo si Ω1(G) ⊂ CG(x). Como G es p-generado, esto equivalea decir que G = CG(x), o sea, que x ∈ Z(G). Luego la interseccion de todos losp-toros maximales es no trivial si y solo existe x de orden p en Z(G), si y solo si,por el teorema de Cauchy 1.1.10, p | |Z(G)|.

Corolario 3.4.5. Sea G un grupo finito y sea p un primo. Entonces Ap(G) es contractilen dos pasos si y solo si p | |CG(Ω1(G))|.

Demostracion. De la proposicion anterior, Ap(G) es contractil en dos pasos si y solosi p | |Z(Ω1(G))| = |Ω1(G) ∩ CG(Ω1(G))|. Luego p | |CG(Ω1(G))| si Ap(G) ∼2 ∗.Recıprocamente, si p | |CG(Ω1(G))|, entonces por el teorema de Cauchy, existe x ∈ G deorden p tal que x ∈ CG(Ω1(G)). En particular, x ∈ Ω1(G) y ası x ∈ Ω1(G)∩CG(Ω1(G)) =Z(Ω1(G)), por lo que p | |Z(Ω1(G))|.

3.5 El grupo diedral Dn

En esta seccion haremos un analisis de los posets Sp(G) y Ap(G) cuando G = Dn es ungrupo diedral, con n ≥ 1. Recordemos que Dn esta presentado como

〈s, t | s2, tn, stst〉

Estos grupos poseen las siguientes propiedades:

• Los grupos diedrales quedan caracterizados por ser los grupos finitos no triviales queestan generados por dos elementos que al cuadrado son 1. Es decir, Dn = 〈s, st〉 ysi H = 〈a, b〉 6= 1 con a2 = 1 = b2, entonces H ' Dn para un cierto n ≥ 1. Enparticular, los diedrales son 2-generados.

• Dn es abeliano si y solo si n = 1 o 2.

• Todo subgrupo de un diedral es un diedral o es cıclico. Mas aun, todo subgrupo esexactamente uno de los siguientes:

1. 〈td〉 con d | n y de ındice 2d.

2. 〈td, tis〉 con d | n y 0 ≤ i ≤ d− 1 de ındice d.

En particular, no hay repetidos en la lista anterior.

• Todo cociente de un diedral es un diedral.

Con estas propiedades, analicemos las estructuras de Ap(Dn) y Sp(Dn) para p un primoque divide 2n = |Dn|.

Supongamos que p es un primo impar. Consideremos H = 〈t〉. Entonces H es cıclicode orden n y es normal en Dn. Como p es impar, se tiene que p | n y ası, Sylp(Dn) =Sylp(H) = P por ser cıclico. De esta manera, P ≤ H es cıclico y es el unico p-Sylow de

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G. Luego el poset Sp(Dn) es totalmente ordenado de la forma Zp ≤ Zp2 ≤ . . . ≤ Zpr = Py Ap(Dn) = Zp consiste de un solo punto. En particular, ambos posets son contractilesy homotopicamente equivalentes.

Veamos ahora el caso de p = 2. Tenemos dos situaciones. Si n es impar, entoncesm2(Dn) = 2 y sus 2-Sylows son isomorfos a Z2. Calculemos la cantidad de 2-Sylowsque hay. Todo 2-Sylow debe ser un conjugado del grupo 1, s, y como s es el generador,concluimos que todo 2-Sylow es de la forma 1, gsg−1, con g ∈ Dn. Ahora, todo elementode Dn se puede escribir de forma unica como tisj donde i = 0, . . . , n− 1 y j = 0, 1. Luego

(tisj)s(tisj)−1 = tisjss−jt−i = tist−i = titis = t2is

Por lo tanto, los 2-Sylows son de la forma 1, t2is con i = 0, . . . , n− 1. Supongamos que0 ≤ i, j ≤ n− 1 y que t2is = t2js. Entonces t2(i−j) = 1 y por lo tanto n | 2(i− j). Como nes impar, deducimos que n | i− j, y como −(n− 1) ≤ i− j ≤ (n− 1), debe ser que i = j.Por lo tanto, la cantidad de 2-Sylows es n y A2(Dn) = S2(Dn) es el espacio discretos den puntos.

Ahora veamos el caso en que n es par. Notemos primero lo siguiente. Si A ∈ A2(Dn),al ser un subgrupo de un diedral, debe ser cıclico o diedral. En el primer caso debe serque A ' Z2. En el segundo caso, como A es abeliano y es un diedral, tiene que serA ' D1 ' Z2 o A ' D2 ' Z2 ⊕ Z2. Por lo tanto, el poset A2(Dn) tiene altura a lo sumo1. De la proposicion 3.2.13, el poset A2(Dn) es contractil si y solo si S2(Dn) es contractil,si y solo si Dn posee un 2-subgrupo normal no trivial.

Veamos que estructura tienen los 2-Sylows en este caso. Como n es par, un 2-Sylowno puede ser cıclico de la forma 〈td〉 con d | n, ya que su ındice serıa 2d, contradiciendo lamaximalidad. Luego un 2-Sylow es de la forma P = 〈td, tis〉 con d | n y 0 ≤ i ≤ d− 1, deındice d. Supongamos que n = 2km, con m impar y k > 0. Entonces d = m. Sea r = tm ysea s′ = tis. Como |t| = 2km, el orden de r es |r| = 2k. Ademas s′2 = tistis = tit−iss = 1y s′ 6= 1. Con esta notacion, P = 〈r, s′〉 con |r| = 2k y |s′| = 2. Afirmo que P ' D2k .Como tienen el mismo orden, basta ver que s′rs′ = r−1. En efecto,

s′rs′ = tistmtis = st−itmtis = stms = t−m = r−1

Ya tenemos caracterizados todos los 2-Sylows. Como la lista de subgrupos del diedralno contiene repetidos, tenemos un 2-Sylow para cada 0 ≤ i ≤ m− 1. Es decir, la cantidadde 2-Sylows es m = n/2k = |Dn|2′ .

Tomemos un 2-Sylow P = 〈r, s′〉 con |r| = 2k y |s′| = 2. Si k = 1, entonces P 'D2 ' Z2 ⊕ Z2. En este caso, A2(Dn) = S2(Dn). Supongamos entonces que k > 1 y seaA = 〈rd, s′〉 con d = 2k−2. Este grupo tiene ındice 2k−2 en P y es cıclico o diedral. LuegoA ' Z2 ⊕ Z2. En cualquier caso, A2(Dn) tiene altura exactamente 1.

Por ultimo, calculemos la interseccion de todos los 2-Sylows cuando n es par. Comoantes, escribamos n = 2km con m impar y k > 0. Buscamos entonces un 2-subgruponormal maximal. Sea N = 〈tm〉. Este grupo cıclico tiene orden 2k y es normal en Dn.Ademas, como los 2-Sylows tienen orden 2k+1, se sigue que o bien hay un unico 2-Sylow,y en tal caso m = 1, o bien hay al menos dos distintos y N es el 2-subgrupo normal masgrande.

En resumen, hemos probado el siguiente teorema:

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Teorema 3.5.1. El grupo diedral Dn =⟨t, s|tn, s2, stst

⟩, con n ≥ 1, cumple lo siguiente:

1. Para p primo impar, los p-Sylows son normales y cıclicos de la forma 〈tn/p〉, porlo que Sp(Dn) posee un orden lineal, Ap(Dn) consiste de un solo un punto y ambosposets son contractiles. En particular, son homotopicamente equivalentes.

2. Para p = 2, si n = 2km con m impar y k ≥ 0, la cantidad de 2-Sylows es m y sonisomorfos a D2k .

3. Si n = 2km con m impar y k ≥ 0, entonces

O2(Dn) =

1, s ' Z2 m = 1, k = 0

Dn = D2k m = 1, k > 0

〈tm〉 ' Z2k m 6= 1, k > 0

1 m 6= 1, k = 0

4. A2(Dn) tiene altura 0 si n es impar y altura 1 si n es par.

5. A2(Dn) = S2(Dn) si y solo si n = 2km, con m impar y k = 0, 1.

6. Si n es impar, S2(Dn) es el espacio discreto de n puntos.

7. A2(Dn) es contractil si y solo si S2(Dn) es contractil, si y solo si n es par o 1

De lo anterior, se deduce facilmente que A2(Dn) y S2(Dn) son homotopicamente equiv-alentes: si n es par ambos son contractiles por el ıtem 6, y si n es impar los posets soniguales por el ıtem 5.

Corolario 3.5.2. Para los grupos diedrales Dn, los posets Ap(Dn) y Sp(Dn) son ho-motopicamente equivalentes para todo p primo. Mas aun, Sp(Dn) es contractil si y solo sip es impar o p = 2 y n es par o 1, y en tal caso vale que:

• Si p es impar o p = 2 y n = 1 entonces Ap(Dn) ∼0 ∗

• Si p = 2 y n es par entonces Ap(Dn) ∼2 ∗

Demostracion. Si p es impar, entonces Ap(Dn) = ∗ consiste de un solo punto y escontractil en 0 pasos. Si p = 2, entonces n es par o es 1. Si n = 1, entonces Dn = Z2 yA2(Z2) = ∗ es contractil en 0 pasos. Si n es par entonces tn/2 ∈ Z(Dn) es un elementocentral de orden 2. De la proposicion 3.4.4, A2(Dn) es contractil en dos pasos.

La clave en este ejemplo para poder decir que Ap(Dn) es contractil si y solo si Sp(Dn)es contractil para cualquier primo p que divide a |Dn|, es que tenıamos una caracterizacionprecisa de los subgrupos. Esto ultimo puede probarse con herramientas basicas de algebra.

El contraejemplo dado por Stong para probar que en general Ap(G) y Sp(G) no sonhomotopicamente equivalentes tambien se basa en la descripcion de los 2-subgrupos (queresultan ser subgrupos de diedrales) del grupo G que considera.

Para grupos generales, no podemos hacer esto siempre, y caracterizar los subgrupospara poder decidir sobre el tipo homotopico de los posets de subgrupos no parece ser

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la manera mas efectiva. Sin embargo, los trabajos de M. Aschbacher y S. Smith sobrela conjetura (ver por ejemplo [3]), se basan principalmente en la clasificacion de grupossimples finitos. Mediante una serie de reducciones logran llegar a determinados grupossimples de los cuales sı conocen su estructura. Por lo tanto, en el fondo, parece que estacomplicacion es ineludible. Destacamos que el artıculo [3] de Aschbacher y Smith es eltrabajo que mas avanzo sobre la conjetura original de Quillen.

3.6 Grupos de orden pαq

Un caso curioso que surge de buscar contraejemplos de ordenes bajos para los que Sp(G) yAp(G) no son homotopicamente equivalentes, es cuando el orden del grupo es de la formapαq, donde p y q son primos distintos. En esta seccion nos dedicaremos a analizar quesucede con el tipo homotopico de estos dos posets cuando el orden del grupo es de estaforma.

Sea G un grupo finito de orden pαq donde p y q son primos distintos. La cantidad npde p-Sylows de G verifica que p | np − 1 y np | q. Luego np = 1 o q. Si np = 1, entonces Gposee un unico p-Sylow P y los posets Ap(G) = Ap(P ), Sp(G) = Sp(P ) son contractiles.Supongamos entonces que np = q. Si la interseccion de cualesquiera dos p-Sylows distintoses trivial y P1, . . . , Pq = Sylp(G), entonces

Sp(G) =

q∐i=1

Sp(Pi) 'q∐i=1

∗ 'q∐i=1

Ap(Pi) = Ap(G)

Si existen dos p-Sylows distintos con interseccion no trivial, siguiendo las ideas de lademostracion de [24, Theorem 1.36], si tomamos D = Pi∩Pj , con i 6= j de orden maximal,entonces D = Op(G). Ademas, si P y P ′ son dos p-Sylows distintos cualesquiera, entoncesD = Op(G) ≤

⋂qi=1 Pi ≤ P ∩ P ′, y como D lo tomamos de orden maximal, vale que

D = P ∩ P ′. Por hipotesis, Op(G) > 1, y por lo tanto Sp(G) es contractil.

En definitiva, para grupos |G| = pαq se tiene que Sp(G) es homotopicamente equiva-lente a un espacio discreto.

Veamos que Sp(G) ' Ap(G). Del analisis anterior, basta ver el caso en que Op(G) =P ∩ P ′ > 1 es la interseccion no trivial de dos p-Sylows distintos. Sea H = Ω1(G). De laproposicion 3.4.1, Ap(G) = Ap(H) y Op(H) > 1. Notemos que |H| = pβqi, con 1 ≤ β ≤ αy 0 ≤ i ≤ 1. Si la cantidad de p-Sylows en H es 1, entonces Ap(G) = Ap(H) es contractilen dos pasos (ver corolario 3.1.18). En caso contrario, el orden de H tiene que ser pβqy la cantidad de p-Sylows debe ser exactamente q. Luego H es un grupo de orden pβq,con Op(H) > 1 y con mas de un p-Sylow. Esto nos permite suponer que G = Ω1(G) esp-generado.

Supongamos que Ap(G) no es contractil, con Op(G) > 1 y G = Ω1(G).

Fijemos Q ≤ G un q-subgrupo de Sylow de G. Entonces Q ' Zq es cıclico de orden q.

Recordemos que los p-Sylows no son normales en G ya que estamos suponiendo quenp = q > 1.

Como estamos suponiendo que Ap(G) no es contractil, en particular no es contractilen dos pasos. De la proposicion 3.4.4, deducimos que p - |Z(G)|. Luego |Z(G)| = 1 o q.

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Veamos que Q no puede ser normal en G. En caso contrario, G = PQ es el productosemidirecto de Q por P . Como Op(G) > 1, tomemos 1 < N ≤ G un p-subgrupo normalminimal. Afirmo que N ≤ Z(G):

• Q ≤ CG(N): pues Q y N tienen ordenes coprimos y ambos son normales.

• N ≤ P es un subgrupo normal minimal: como N es normal en G, esta contenido entodo p-Sylow, y ası N E P . Veamos que es normal minimal en P . Si 1 < L ≤ N yL es normal en P , veamos que L es normal en G. Si g ∈ G, entonces g = g1g2 cong1 ∈ P y g2 ∈ Q. Luego Lg = Lg1g2 = (Lg1)g2 = Lg2 por ser g1 ∈ P = NP (L). ComoQ ≤ CG(N) ≤ CG(L) ≤ NG(L), concluimos que Lg2 = L. Luego L E PQ = G. Dela minimalidad de N debe ser que L = N .

• De la proposicion 1.1.14, N ≤ Z(P ), o equivalente, P ≤ CG(N).

• N ≤ Z(G): como Q,P ≤ CG(N), su producto G = PQ ≤ CG(N). Es decir, todoelemento de N conmuta con todo elemento de G. Luego N ≤ Z(G).

Esto ultimo es absurdo ya que 1 < N ≤ Z(G) es un p-grupo y asumimos que p - |Z(G)|.Por lo tanto Q no es normal en G, y ası Op′(G) = 1. Estamos en las hipotesis del lema

de Hall-Higman (ver teorema 1.1.28), y entonces Op(G) ⊃ CG(Op(G)). Es decir, Op(G)es auto-centralizante.

Sea P = ⋂si=1Ai : Ai ∈ Ap(G) maximales con

⋂si=1Ai > 1. Sea r : Ap(G) → P el

morfismo definido por

r(A) =⋂B ∈ Ap(G) : B maximal tal que A ≤ B

Recordemos que r(A) ≥ A para todo A ∈ Ap(G). Veamos que para cada A ∈ P, elsubgrupo A ∩ Op(G) es no trivial. Si A ∈ P, entonces existen maximales A1, . . . , As ∈Ap(G) tales que A =

⋂si=1Ai. Si existen dos ındices 1 ≤ i, j ≤ s, no necesariamente

distintos, tales que Ai ⊂ P1 y Aj ⊂ P2, donde P1 y P2 son dos p-Sylows distintos, entoncesA =

⋂k Ak ≤ Ai ∩ Aj ≤ P1 ∩ P2 = Op(G). Luego A ∩ Op(G) = A > 1. Queda por ver

entonces el caso en que existe un p-Sylow P tal que Ai ≤ P para todo i. En tal situacion,como A es interseccion de algunos maximales de Ap(P ), si llamamos B a la interseccionde todos los maximales de Ap(P ) entonces B > 1 (ver corolario 3.1.18) y B ≤ A. Estonos dice que es necesario y suficiente ver que B ∩ Op(G) > 1. Ahora, si g ∈ Z(P ) es unelemento de orden p, entonces g conmuta con todo elemento de P . Como Op(G) ≤ P , enparticular g conmuta con todo elemento de Op(G), es decir, g ∈ CG(Op(G)). Por lo quevimos antes, Op(G) se auto-centraliza, o sea, CG(Op(G)) ≤ Op(G), y ası g ∈ Op(G). Estonos dice que todo elemento de orden p de Z(P ) esta contenido en Op(G). Por ultimo,como P es un p-grupo, se tiene que

1 < Ω1(Z(P )) ≤ B ∩ Op(G)

ya que Ω1(Z(P )) esta contenido en todos los maximales de Ap(P ) (ver demostracion dela proposicion 2.1.3).

Hemos probado entonces que si A es una interseccion no trivial de maximales de Ap(G)entonces A ∩ Op(G) > 1. En particular, A ∩ Op(G) ∈ Ap(Op(G)). Consideremos ahora

101


la funcion f : Ap(G) → Ap(Op(G)) definida por f(A) = r(A) ∩ Op(G). Por lo quedemostramos recien, f esta bien definida. Ademas, como r es un morfismo de posets, estafuncion f es un morfismo de posets. Sea i : Ap(Op(G)) → Ap(G) la inclusion. Entonces

ir(A) = r(A) ∩ Op(G) ≤ r(A) ≥ A

ri(A) = r(A) ∩ Op(G) ≥ A ∩ Op(G) = A

Luego r es una equivalencia homotopica. Como Ap(Op(G)) es contractil al ser Op(G) unp-grupo no trivial, concluimos que Ap(G) es contractil. Esto es absurdo.

En conclusion, vimos que Ap(G) y Sp(G) tienen el mismo tipo homotopico y que sonhomotopicamente equivalentes a espacios discretos.

Teorema 3.6.1. Sea G un grupo de orden pαq, donde p y q son primos distintos. Entonces

1. La cantidad de p-Sylows es 1 o q.

2. Los posets Sp(G) y Ap(G) son homotopicamente equivalentes.

3. El poset Sp(G) es contractil si y solo si G posee un unico p-Sylow o bien existen dosp-Sylows distintos que se intersecan de manera no trivial.

4. Si G posee un unico q-Sylow Q, entonces G ' Qo P , con P un p-Sylow de G y, obien Sp(G) no es contractil, o Ap(G) es contractil en dos pasos.

5. Si la cantidad de p-Sylows es q y Sp(G) no es contractil, entonces pα | q − 1. Masaun, Sp(G) es homotopico a un poset discreto y la cantidad de q-Sylows es 1.

Demostracion. Lo unico que falta demostrar es el ultimo item, ya que el resto se deducedel razonamiento anterior.

Vimos que Sp(G) no es contractil si y solo si la cantidad de p-Sylows es q y dos distintosse intersecan de manera trivial. En tal caso, Sp(G) =

∐qi=1 Sp(Pi) es la union disjunta de

posets contractiles, por lo que Sp(G) es homotopico a un espacio discreto. Ademas, comola cantidad de p-Sylows es q y dos de ellos se intersecan de manera trivial, la cantidad deelementos no triviales de p-torsion de G es (pα − 1)q = pαq − q, lo cual nos deja lugar asolo q elementos mas que no sean de p-torsion en G. Como hay al menos un q-Sylow, esteme aporta q elementos, y por cantidad, no puede haber mas elementos. Por lo tanto hayexactamente un q-Sylow en G. Es decir, si Sp(G) no es contractil, entonces G posee ununico q-Sylow.

De [24, Theorem 1.16], tenemos que np ≡ 1 mod |S : S ∩ T |, donde S, T son dosp-Sylows distintos tales que |S ∩ T | es maximal. Como estamos suponiendo que dos p-Sylows distintos se intersecan siempre de manera trivial, si S 6= T son dos p-Sylows,entonces |S : S ∩ T | = |S : 1| = |S| = pα. Luego q = np ≡ 1 | pα. Es decir, pα | q − 1.Esto nos dice que si queremos encontrar un grupo de orden pαq con Sp(G) no contractil,debemos pedir al menos que pα | q − 1.

La proposicion a continuacion nos asegura la existencia de grupos G de orden pαq paralos cuales Sp(G) no es contractil. Del teorema anterior, una condicion necesaria es que pα

divida a q − 1. Veamos que esto tambien es suficiente.

102


Proposicion 3.6.2. Consideremos el numero n = pαq, donde p y q son primos distintosy pα divide a q − 1. Entonces existe un unico producto semidirecto, salvo isomorfismos,G = Zq o Zpα tal que Sp(G) no es contractil.

Demostracion. Supongamos que G = Zq o Zpα es un producto semidirecto con Sp(G)no contractil. Veamos que la accion de Zpα en Zq debe ser fiel. Como los p-Sylows sonabelianos, si g ∈ Zpα actua trivialmente en Zq, entonces g conmuta con todo elementode Zpα y con todo elemento de Zq. En particular, g ∈ Z(G) ≤ CG(Ω1(G)). Del teoremaanterior, Ap(G) no es contractil, y del corolario 3.4.5 debe ser que g = 1. Ası, CZpα (Zq) =1. Esto nos dice que la accion es fiel. Ahora, la accion esta representada por un morfismode grupos ϕ : Zpα → Aut(Zq) ' Z∗q , donde el isomorfismo con el grupo de unidades consisteen enviar un automorfismo φ a φ(b), con b un generador del grupo cıclico Zq. Como laaccion es fiel, el morfismo ϕ debe ser un monomorfismo. Ademas, Aut(Zq) ' Zq−1 escıclico de orden q − 1, por lo que posee un unico subgrupo de orden pα. De esta manerase puede probar que todos los productos semidirectos de Zq por Zpα que provienen de unaaccion fiel son isomorfos, lo cual nos da exactamente 1 grupo, salvo isomorfismo, con estapropiedad.

Finalmente, veamos que efectivamente dos p-Sylows distintos de G se intersecan triv-ialmente. Sea A = Zpα y sea B = Zq. Supongamos que A = 〈a〉 y que B = 〈b〉. Basta

ver que Ab ∩ A = 1 ya que todo p-Sylow distinto de A es de la forma Abi, y cambiando b

por una potencia bi con 0 < i < q nos da otro generador de B. Si x ∈ Ab ∩ A, entoncesx = b−1(ai)b = aj , con 0 ≤ i, j < pα. Sin perdida de generalidad supongamos que j ≥ i.Entonces b−1aiba−i = aj−i ∈ A. Como B es normal en G, aj−i = b−1(aiba−i) ∈ B. Esdecir, aj−i ∈ A∩B. Como A∩B = 1 por ser de ordenes coprimos, deducimos que aj−i = 1,y ası j = i. Entonces (ai)b = ai. Esto nos dice que ai conmuta con b, y como b es ungenerador de B, ai conmuta con todo elemento de B. En consecuencia, como la accion deA en B es fiel, debe ser que ai = 1, y por lo tanto x = 1.

Ejemplo 3.6.3. El grupo G = Z17 o Z16 con id [272,50] en la tabla de SmallGroups deGAP es el unico grupo de orden 272 = 24.17 = 16.17 tal que S2(G) no es contractil.

Observacion 3.6.4. Veamos un poco que sucede cuando q − 1 = pα. Esta condicion nosdice que p < q y que p es par y q es impar. Luego los ejemplos q−1 = pα, como el anterior,tienen que ser de la forma 2α(2α + 1), con 2α + 1 un numero primo. Esto esta relacionadocon los denominados primos de Fermat, que son numeros primos de la forma 22

a+ 1. De

hecho, se puede demostrar que si 2α + 1, con α > 0, es un numero primo, entonces α esuna potencia de 2.

Veamos un ejemplo de |G| = pαq donde Sp(G) no es contractil y p no es par.

Ejemplo 3.6.5. El grupo G = Z109 o Z27 con id [2943,16] en la tabla de SmallGroupsde GAP, es el unico grupo de orden 2943 = 33.109 = 27.(108 + 1) = 27.(4.27 + 1) tal queS3(G) no es contractil.

Observacion 3.6.6. En la demostracion del teorema 3.6.1 en un momento supusimosque el grupo G era p-generado y que Ap(G) no era contractil en dos pasos. Es decir, quep - |Z(G)|. Uno podrıa preguntarse si esto en realidad sucede. A continuacion damos

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varios ejemplos de grupos de ordenes pαq donde G = Ω1(G) y Ap(G) es contractil en masde dos pasos.

Ejemplo 3.6.7. El grupo G = S4 de orden 24 = 23.3, con id [24,12] en la tabla deSmallGroups de GAP con el primo p = 2 posee Ap(G) contractil en mas de dos pasos yde altura 1. Como G es un grupo simetrico, esta generado por transposiciones. Es decir,G es 2-generado. De hecho, el poset A2(S4) se puede describir explıcitamente y ver que elsubgrupo N = (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3), 1 nos da la contractibilidad en tres pasossegun la proposicion 3.1.17. Esto es porque el poset de las intersecciones no triviales delos maximales de A2(S4) es

〈(1 2), (3 4)〉〈(1 2)(3 4), (1 3)(2 4)〉〈(1 3), (2 4)〉〈(1 4), (2 3)〉

〈(1 2)(3 4)〉〈(1 3)(2 4)〉〈(1 4)(2 3)〉

3.7 Algunos contraejemplos

Ejemplo 3.7.1. El grupo G = S3 o Z2 de orden 72 = 23.32, con id [72, 40] en la tabla deSmallGroups de GAP con el primo p = 2, es el primer grupo tal que Sp(G) y Ap(G) noson homotopicamente equivalentes. Se tiene que |core(Sp(G))| = 21 y |core(Ap(G))| = 39.Este grupo es el producto wreath de S3 con Z2, donde Z2 actua sobre sı mismo con laaccion regular. En otras palabras, G = (S3 × S3) oZ2 donde la accion de Z2 es permutarlas coordenadas. Los p-Sylows son de orden 8 y uno de ellos es de la forma

(〈(1 2)〉 × 〈(1 2)〉) o Z2 ' (Z2 ⊗ Z2) o Z2 ' D4

Es facil ver que la cantidad de 2-Sylows es 9, y que la cantidad de 2-toros maximales es18. Ademas, estos no son todos conjugados entre sı.

El siguiente grupo tal que Sp(G) 6' Ap(G) es S5, que es el contraejemplo que dio Stong.En este caso, para p = 2, se tiene que |core(Sp(G))| = 30 y |core(Ap(G))| = 45.

Veamos como aplicar la teorıa desarrollada en las secciones anteriores para demostrarde forma analıtica que no existe un grupo de orden menor a 72 tal que su Ap(G) y Sp(G)no sean homotopicamente equivalentes.

Proposicion 3.7.2. Si G es un grupo de orden 1 ≤ n < 72 y p es un primo, entoncesAp(G) y Sp(G) son homotopicamente equivalentes.

Demostracion. Basicamente lo que tenemos que hacer es descartar casos. Sea 1 ≤ n < 72y sea G un grupo de orden n. Tenemos que ver que Ap(G) y Sp(G) son homotopicamenteequivalentes, para p un primo. Si p no divide a n, ambos posets resultan vacıos y no haynada mas que decir. Supongamos que n = pαm, con p y m coprimos y α ≥ 1. Si α = 1o 2, los p-Sylows tienen orden p o p2. En ambos casos resultan abelianos, y por lo tantode la proposicion 3.2.1, los posets son homotopicamente equivalentes. Si α ≥ 3, entonces23.32 = 72 > n = pαm ≥ 23m implica que 1 ≤ m < 9. Es decir, m ∈ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.Si m = 1 entonces n = pα es un p-grupo y no hay mas nada que decir. Si m es primo, como

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p y m son coprimos, del caso pαq deducimos que Ap(G) y Sp(G) son homotopicamenteequivalentes. Resta ver entonces los casos m = 4, 6, 8. Si m = 4 u 8, como p es coprimocon m, debe ser que p ≥ 3, y ası

n = pαm ≥ p3m ≥ 33m = 27m ≥ 27.4 = 108 > 72

Esto es absurdo, asique m no es ni 4 ni 8. Analogamente m no puede ser 6.

Ejemplo 3.7.3. El grupo G isomorfo a

(((Z2 ⊕ Z2)× ((Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2) o Z3)) o Z3) o Z3

de orden 1728 = 26.33, con id [1728, 47861] en la tabla de SmallGroups de GAP conel primo p = 3 es el primero y unico grupo de orden a lo sumo 2000 para el cualSp(G) 6' Ap(G) para un primo impar. Se tiene que |core(Sp(G))| = 256 mientras que|core(Ap(G))| = 512.

Sabemos que la contractibilidad de Ap(G) implica la de Sp(G). Esto lo prueba Stongen [32]. Luego se pregunta si valdra la vuelta. A continuacion, damos un contraejemplode la recıproca que encontramos con el programa SageMath.

Ejemplo 3.7.4. Sea G el subgrupo de S8 generado por las permutaciones (1 2 8 3)(4 7) y(1 6 3 7 8 5)(2 4). El orden de este subgrupo es 576 = 64.9 = 26.32. Utilizando SageMath,obtuvimos las siguientes propiedades:

• Su id en la tabla de SmallGroups de GAP es [576, 8654] y es isomorfo a

((A4 × A4) o Z2) o Z2

• La cantidad de 2-Sylows es 9 y O2(G) es un subgrupo de orden 16, por lo que S2(G)es contractil.

• Es un grupo 2-generado.

• El poset A2(G) posee 297 elementos maximales. El orden de la interseccion de todoslos 2-toros maximales es 1, contiene un 2-toro maximal que es normal en G pero sucore tiene 100 elementos, por lo cual no es contractil.

• Siendo |G| = paqb para p, q primos distintos, del teorema de Burnside, G es un gruporesoluble.

• El grupo G no es un subgrupo de S7 pues 26 no divide a 7! = 24.32.5.7.

• Todo subgrupo de S7 verifica la recıproca (usando SageMath). Luego S8 es el gruposimetrico mas chico que contiene un contraejemplo.

• Todo subgrupo propio de G verifica la recıproca.

• No es nilpotente (ver ejemplo 3.2.11)

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• F (G) = 〈(4, 5)(6, 7), (4, 7)(5, 6), (1, 2)(3, 8), (1, 3)(2, 8)〉 es de orden 16. Es decir,F (G) = O2(G), por lo que O2′(G) = 1. Como G es resoluble, CG(F (G)) ≤ F (G),es decir, el subgrupo de Fitting se auto-centraliza (ver [24]). En este caso, O2(G) seauto-centraliza.

• Del ıtem anterior deducimos que Z(G) = 1 pues Z(G) ≤ F (G) debe ser un 2′-grupo.

• Presentacion finita de G:

〈a, b |a4, b6, a2ba−1b−1a−2bab−1, a−1ba−2b3a−1b−2, a−1b(aba)2ba−1,

b(ba−1)2b−2ab−1a−1, b(ab−1)2(ab)2a−1ba−1〉

Es curioso el metodo que utilizamos en un principio para encontrar dicho contraejem-plo. Con SageMath, hicimos un programa que recorrıa de manera aleatoria subgrupos deS8 y se preguntaba si para el primo p = 2, tal subgrupo verificaba que Sp(G) y Ap(G)fuesen contractiles. Para ello hicimos un programa que repetıa los siguientes pasos unacantidad arbitraria de veces:

1. Tomamos de manera aleatoria dos o tres elementos de S8 de ordenes menores a 50.

2. Consideramos el subgrupo G generado por estos elementos.

3. Si el orden de G es mayor a 1000 o no es par, volvemos al paso 1.

4. Nos preguntamos si Sp(G) es contractil buscando un p-subgrupo normal no trivial.De no ser ası, volvemos al paso 1.

5. Calculamos todos los subgrupos de G y luego filtramos esta lista para quedarnos conlos que son p-elementales abelianos.

6. Construimos el posetAp(G) y luego le calculamos su core. Si da no trivial, mostramosen pantalla los datos del grupo: generadores y orden.

7. Volvemos al paso 1.

Luego de unos dıas de correr este programa, dimos con el contraejemplo.Mas adelante, quisimos probar que este grupo era efectivamente el de orden mas chico

que cumplıa que Sp(G) fuese contractil y Ap(G) no. Sin embargo, calcular los posetsAp(G) de todos los grupos de ordenes mas chicos requerıa de varios dıas, ya que calcularel poset Ap(G) en SageMath es algo que en general lleva mucho tiempo de procesamiento.Con la teorıa que fuimos desarrollando, pudimos ir limitando la cantidad de grupos.

Primero nos preguntamos que primos debemos analizar. Como estamos estudiandocontractibilidad, si mp(G) ≤ 3 entonces del corolario 3.2.14 vemos que Ap(G) es contractilsi y solo si Sp(G) es contractil. Es decir, debemos ver potencias de primos que sean almenos 4. Como 54 = 625 > 576, esto nos reduce a probar solamente los primos 2 y 3.

Una vez que tenemos la lista de los primos que debemos analizar, filtramos los ordenes.Creamos una lista L con los ordenes o tales que 1 ≤ o ≤ 576, 24 | o o bien 34 | o, y tal queo no es una potencia de 2 o de 3. Ademas, filtramos los ordenes de la forma pαq por elteorema 3.6.1.

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Con esta lista, mediante un for recorremos uno por uno los ordenes o de L. Para cadao, seteamos la variable x con la cantidad de grupos de orden o, salvo isomorfismos, quetiene GAP en su base de datos. Luego recorremos la lista de numeros entre 1 y x vıaun iterador que llamamos id. Ahora accedemos al G grupo de id [o, id] de la tabla deSmallGroups de GAP y para cada primo p ∈ 2, 3, nos preguntamos las siguientes cosas(en el orden en que aparecen) sobre el grupo, descartandolo inmediatamente y pasando alsiguiente grupo o primo cuando no cumple alguna:

1. ¿Op(G) > 1?

2. ¿Los p-Sylows son no-normales?

3. ¿Los p-Sylows son no-abelianos? (ver proposicion 3.2.1)

4. ¿Vale que G = Ω1(G)? (ver proposicion 3.4.1)

5. ¿Vale que p - |Z(G)|? (ver proposicion 3.4.4)

La mayorıa de las instrucciones para aplicar estos filtros ya estan programadas en GAPy por lo tanto poseen una gran velocidad de ejecucion. Si el grupo G falla en la condicioni-esima de la tabla anterior, automaticamente se lo descarta y se pasa al siguiente primoo grupo segun corresponda. Si no, nos guardamos el id y el orden del grupo.

De esta manera, para p = 2 obtuvimos tan solo 28 grupos de orden a lo sumo 576que verificaban estas condiciones. Para el primo p = 3, habıa tan solo 1. Por lo tanto,solo tenıamos que analizar la contractibilidad del poset Ap(G) para 29 grupos. Esto lacomputadora lo puede procesar en unas pocas horas. Finalmente pudimos probar queefectivamente el grupo que dimos al principio era el de orden mas bajo y el unico entrelos de orden 576 que servıa de contraejemplo.

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