El Teorema de Steiner
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El teorema de Steiner (denominado en honor de Jakob Steiner) establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes: donde: I eje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa; I (CM ) eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa; M (Masa Total) y h (Distancia entre los dos ejes paralelos considerados). La demostración de este teorema resulta inmediata si se considera la descomposición de coordenadas relativa al centro de masas C inmediata: donde el segundo término es nulo puesto que la distancia vectorial promedio de masa en torno al centro de masa es nula, por la propia definición de centro de masa. El centro de gravedad y el centro de masa pueden no ser coincidentes, dado que el centro de masa sólo depende de la geometría del cuerpo, en cambio, el centro de gravedad depende del campo gravitacional en el que está inmerso dicho cuerpo. [editar] Pasos para calcular el momento de inercia de áreas compuestas 1. Dividir el área compuesta en varias partes que sean simples 2. Determinar las áreas de las partes, designarlas por . 3. Determinar las coordenadas del centro de masas de estas partes con respecto a los ejes X e Y. Y calcular el cdm de toda la figura formada por todas las áreas parciales anteriores. 4. Calcular las distancias de los cdm de cada área respecto al cdm total de la figura. 5. Calcular los momentos de inercia de las partes respecto a sus ejes de centro de masas (que serán paralelos a x e y). Designar como: I i, x e I i, y , para el área i-ésima. 6. Calcular el momento de inercia de cada parte respecto a los ejes x e y aplicando el teorema del eje paralelo, es decir, el teorema de Steiner: y
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El teorema de Steiner (denominado en honor de Jakob Steiner) establece que el momento
de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es
igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más elproducto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:
donde: I eje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa;
I (CM )
eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de
masa; M (Masa Total) y h (Distancia entre los dos ejes paralelos considerados).
La demostración de este teorema resulta inmediata si se considera la descomposición de
coordenadas relativa al centro de masas C inmediata:
donde el segundo término es nulo puesto que la distancia vectorial promedio de masa en
torno al centro de masa es nula, por la propia definición de centro de masa.
El centro de gravedad y el centro de masa pueden no ser coincidentes, dado que el centro demasa sólo depende de la geometría del cuerpo, en cambio, el centro de gravedad depende
del campo gravitacional en el que está inmerso dicho cuerpo.
[editar] Pasos para calcular el momento de inercia de áreas compuestas
1. Dividir el área compuesta en varias partes que sean simples
2. Determinar las áreas de las partes, designarlas por .
3. Determinar las coordenadas del centro de masas de estas partes con
respecto a los ejes X e Y. Y calcular el cdm de toda la figura formada portodas las áreas parciales anteriores.
4. Calcular las distancias de los cdm de cada área respecto al cdm total de la figura.5. Calcular los momentos de inercia de las partes respecto a sus ejes de centro de
masas (que serán paralelos a x e y). Designar como: I i, x e I i, y, para el área i-ésima.
6. Calcular el momento de inercia de cada parte respecto a los ejes x e y aplicando elteorema del eje paralelo, es decir, el teorema de Steiner:
y
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7. Calcular los momentos de inercia del área compuesta a partir de los momentos
anteriores: e
Momento de inercia de una distribución de masas puntuales
Tenemos que calcular la cantidad
donde x i es la distancia de la partícula de masa mi al eje de rotación.
Una varilla delgada de 1 m de longitud tiene una masa despreciable. Se colocan 5 masas de 1 kg
cada una, situadas a 0.0, 0.25, 0.50, 0.75, y 1.0 m de uno de los extremos. Calcular el momento de
inercia del sistema respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa a través de
Un extremo
De la segunda masa
Del centro de masa
El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a lavarilla y que pasa por la primera partícula es
I A=1·02+1·0.25
2+1·0.5
2+1·0.75
2+1·1
2=1.875 kgm
2
El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la
varilla y que pasa por la segunda partícula es
IB=1·0.252+1·0
2+1·0.25
2+1·0.5
2+1·0.75
2=0.9375 kgm
2
El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la
varilla y que pasa por la tercera partícula (centro de masas) es
IC =1·0.52+1·0.25
2+1·0
2+1·0.25
2+1·0.5
2=0.625 kgm
2
En vez de calcular de forma directa los momentos de inercia, podemos calcularlos de forma
indirecta empleando el teorema de Steiner. Conocido IC podemos calcular I A e IB, sabiendo las
distancias entre los ejes paralelos AC=0.5 m y BC=0.25 m.
La fórmula que tenemos que aplicar es
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I=IC +Md 2
IC es el momento de inercia del sistema respecto de un eje que pasa por el centro de masa
I es el momento de inercia respecto de un eje paralelo al anterior
M es la masa total del sistema
d es la distancia entre los dos ejes paralelos.
I A=IC +5·0.52=0.625+1.25=1.875 kgm
2.
IB=IC +5·0.252=0.625+0.3125=0.9375 kgm
2.
Momento de inercia de una distribución continua de masa
Pasamos de una distribución de masas puntuales a una distribución continua de masa. La fórmula
que tenemos que aplicar es
dm es un elemento de masa situado a una distancia x del eje de rotación
Resolveremos varios ejemplos divididos en dos categorías
Aplicación directa del concepto de momento de inercia
Partiendo del momento de inercia de un cuerpo conocido
Momento de inercia de una varilla
Vamos a calcular el momento de inercia de una varilla
de masa M y longitud L respecto de un eje
perpendicular a la varilla que pasa por el centro de
masas.
La masa dm del elemento de longitud de la varilla comprendido entre x y x+dx es
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El momento de inercia de la varilla es
Aplicando el teorema de Steiner, podemos calcular el
momento de inercia de la varilla respecto de un eje
perpendicular a la misma que pasa por uno de sus
extremos.
Momento de inercia de un disco
Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R respecto de un eje
perpendicular al plano del disco y que pasa por su centro.
Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un anillo de radio x
y de anchura dx . Si recortamos el anillo y lo extendemos, se convierte en un rectángulo de
longitud 2 x y anchura dx , cuya masa es
El momento de inercia del disco es
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Momento de inercia de un cilindro
Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L respecto de
su eje.
Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es una capa cilíndrica
cuyo radio interior es x , exterior x+dx , y de longitud L, tal como se muestra en la figura. La masa
dm que contiene esta capa es
El momento de inercia del cilindro e
Momento de inercia de una placa rectangular
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Vamos a calcular el momento de inercia de una placa rectangular
delgada de masa M de lados a y b respecto del eje que pasa por la
placa.
Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El
elemento es un rectángulo de longitud a de anchura dx . La masa de
este rectángulo es
El momento de inercia de la placa rectangular es
Momento de inercia de un disco
Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa
M y radio R, respecto de uno de sus diámetros.
Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de
rotación. El elemento es un rectángulo de longitud 2y de
anchura dx . La masa de este rectángulo es
El momento de inercia del disco es
Haciendo el cambio de variable
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x=R·cosθ
y=R·senθ
Llegamos a la integral
Momento de inercia de una esfera
Vamos a calcular el momento de inercia de una esfera de masaM y radio R respecto de uno de susdiámetros
Dividimos la esfera en discos de radio x y de espesor dz. El momento de inercia de cada uno de los
discos elementales es
La masa de cada uno de los discos es
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El momento de inercia de la esfera, es la suma de los momentos de inercia de todos los discos
elementales.
Para resolver la integral tenemos que relacionar la variable x con la z. Como vemos en la figura
x 2+z
2=R
2
Momento de inercia de un cilindro
Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L, respecto
de un eje perpendicular a su generatriz y que pasa por su centro.
Dividimos el cilindro en discos de radio R y espesor dx . El momento de inercia de cada uno de los
discos respecto de uno de sus diámetros es
Aplicando el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de este disco, respecto de un
eje paralelo situado a una distancia x .
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El momento de inercia del cilindro es
Momento de inercia de un paralepípedo
Vamos a calcular el momento de inercia de un paralepípedo de masa M y de lados a, b y c
respecto de un eje perpendicular a una de sus caras.
Dividimos el paralepípedo en placas rectangulares de ladosa y b y de espesor dx .
El momento de inercia de cada una de las placas respecto de su eje de simetría es
Aplicando el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de esta placa respecto de un
eje paralelo situado a una distancia x es
El momento de inercia del sólido en forma de paralepípedo es
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