El Sistema de Números Reales Á C LCULO DIFERENCIAL E ...

El Sistema de Números Reales CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

Podemos considerar el como el conjunto de números reales lR con dos operaciones: Suma (+), multiplicación (.) y una relación de orden menor ( ) las cuales satisfacen los siguientes axiomas ó leyes:1.- Clausura ó cerradura: a, b lR se tiene que a+b lR a, b lR se tiene que a.b lR2.- Conmutativa: a, b lR se tiene que a+b = b+a a,b lR se tiene que a.b = b.a3.- Asociativa: a, b, c lR se tiene que (a+b)+c = a+(b+c) a, b, c lR se tiene que (a.b).c = a.(b.c)4.- Elemento neutro: a lR 0 lR tal que a+0 = a = 0+a a lR 1 lR tal que a.1 = a = 1.a5 Elemento inverso: a lR (-a) lR tal que a+(-a) = 0 = (-a)+a a 0 a -1 lR tal que a.a-1 = 1 = a-1.a6.- Distributiva: a, b, c lR se tiene a.(b+c) = a.b+a.c7.- Tricotomía: a, b lR se tiene a = b ó a < b ó b < a 8 Signos:

8 Signos: Dados a, b lR entonces [ (a < 0 0 < b) (0 < a b < 0) ] a.b < 0 [ (0 < a 0 < b) (a < 0 b < 0) ] 0 < a.b 9.- Transitiva: a, b, c lR , a < b y b < c se tiene a < c10.- Monotonía de la suma: Sí a < b y c lR entonces a + c < b + c 11.- Monotonía del producto: Sí a, b, c lR , a < b y 0 < c entonces a.c < b.c

Los elementos de los axiomas anteriores son únicos.Por ejemplo en (4) si existe 0’ lR / a + 0’ = a = a + 0 , a lR entonces a+0’ = a+0En particular si a = 0 se tiene 0’ = 0 + 0’ = 0 + 0 = 0 0’ = 0

Según la axiomática real podemos definir:Dados a, b lR la de a con b se define a - b = a + (-b)

1.1. AXIOMÁTICA EN LOS NUMEROS REALES.

sistema de los números reales<

- 11 -

Observación:0 , -a , 1 , a-1

Derfinición 1.1. diferencia

∀ ∈ ∈∀ ∈ ∈

∀ ∈∀ ∈

∀ ∈∀ ∈

∀ ∈ ∃ ∈∀ ∈ ∃ ∈

∀ ∈ ∃ ∈∀ ≠ ∃ ∈

∀ ∈

∀ ∈

∈∧ ∨ ∧ ⇔∧ ∨ ∧ ⇔

∀ ∈

∈

∈

∈ ∈⇒

• ∈

Dado a lR, n se define ........... , ............

Dados a, b lR , b 0 el de a con b se define = a.b-1

La relación ( ) se define a > b b < aLa relación ( ) se define a b a < b a = bLa relación ( ) se define a b b aLa igualdad ( = ) se tiene por tricotomía a = b a b b a

Dado lR , 0 se define 0 como la de ( = ) si 2 = .

Más general la del número real será definida = si

1,

1,0,0,

El de un número real “a” se define por: | a | = 0;

0;

| - 2 | = 2 , | 0 | = 0 , | ½ | = ½

El de un número real x denotado por x es el mayor de los enteros menor ó igual que x.

Sí x lR n / n x < n+1

Luego por definición: x = n n x < n+1 x x < x +1

0 = 0 , 2

1= 0 , 2 = 1

2

Sean a, b, c lR entonces:1) a.0 = 0 , (-1).a = -a 2) a.b = 0 a = 0 ó b = 03) a = b a b a b4) (a.b)-1 = a-1 b-1 = b-1a-1 Sí a.b 0

5) Si b 0 y d 0 entonces

6) Si a 0 entonces a = 09) Si a, b lR , a b + , > 0 entonces a b 10) Si a 0 entonces a2 > 0 11) Si a b.c12) Si a 0 entonces a-1 tiene igual signo que a13) Sí a y b tienen el mismo signo y a b-1

14) Si a 0 , b 0 entonces [ a2 > b2 a > b ]

15) Si b 0 entonces a2 > b [ ( a > ) ( a < - ) ]

• ∈ ∈−

+++=−

=

• ∈ ≠

• ⇔• ≤ ⇔ ∨• ≥ ⇔ ≤• ⇔ ≤ ∧ ≤

• ∈ ≥ ≥

>=

>≥≥=

<−

≥

� �

∈ ⇒ ∃ ∈ ≤

� � ⇔ ≤ ⇔ � � ≤ � �

� � � � � �

∈

⇔⇔ ≥ ∧ ≤

≠

≠ ≠+

=+

≥ ε ∀ε∈ ≤ ε ∀ε ≤

≠

≠

≥ ≥ ⇔

≥ ⇔ ∨

N

Z

444 3444 21 43421vecesn

aaanavecesn

n aaaa

b

a

a a b a b a b a

a b n a

imparnab

parnbaabn

n

aa

aa

bd

cbad

d

c

b

a

b b

cociente

>

Raiz cuadrada

raiz n-esima

Definición 1.2. valor absoluto

Ejemplo:

Definición 1.3. máximo entero

Observación:

Ejemplo:

- 12 -

Teorema 1.1.

£³

16) Si b > 0 entonces a2 0 a < b2 ) ]

18) > b [ a 0 [ b < 0 v ( b 0 a > b2 ) ] ]

19) Si a 0 , b 0 entonces [ 0 a b]

20) Si a 0 , b > 0 entonces [ < 0 a < b]

1) 0 = 0+0 entonces a.0 = a.(0+0) = a.0+a.0 Por unicidad del 0 se tiene a.0 = 0. La segunda parte se tiene por unicidad de -a

2) Supongamos que b 0 entonces b-1 0 Como a.b = 0 entonces a.b.b-1 = 0 entonces a = 0 Análogamente si a 0 entonces b = 0. El recíproco es fácil.

3) Se tiene por la ley de tricotomía.

4) Como (ab)(a-1 b-1) = (aba-1)b-1 = ( aa-1 b )b-1 = (aa-1)(bb-1) = 1 Usando la unicidad del inverso multiplicativo para ab se tiene a-1 b-1 = ( ab )-1

5) Como b 0 y d 0 entonces = ab-1 +cd-1 = (ab-1)(1)+ (cd-1)(1)

= (ab-1)(dd-1)+(cd-1)(bb-1) = (ad)(b-1d-1)+(cd)(b-1d-1)

= (ad)(bd)- 1+(cd)(bd)-1 = [ (ad)+(cb) ](bd)-1 =

6) Como a 0 ac < bc y como b > 0 bc < bd Por transitividad ac < bd

8) Como a 0 entonces a > 0 ó a = 0 i) Si a = 0 no hay nada que probar. ii) Si a > 0 , a < , > 0 entonces para = a se tiene < contradicción. Por tanto a = 0

9) Por el absurdo supongamos que a > b , a b + , > 0

En particular para 2

se tiene 22

b+ < a contradicción.

Por tanto a b

10) i) Si a > 0 entonces a.a > a.0 = 0 a2 > 0 ii) Si a < 0 entonces -a > 0, (-a).(-a) > (-a).0 = 0 a2 = (-a)2 > 0

11) Si a 0 a(-c) < b(-c) –(a.c) < -(bc) Entonces (bc) – (ac) < 0 bc < ac ac > bc

12) Trabajar por el absurdo.

⇔ ∧

⇔ ≥ ∧ ∧

⇔ ≥ ∧ ≥ ∧

≥ ≥ ≤ ⇔ ≤ ≤

≥ ⇔ ≤

≠ ∃ ≠

≠

≠ ≠ +

+

∧ ⇒ ∧

⇒ ⇒⇒ ⇒⇒

≥

ε ∀ε ε ε ε

≤ ε ∀ε−

= =+

<+

=+ ⇒ ε

≤

⇒⇒

⇒ ⇒⇒ ⇒

b b

a

a

a b

a b

d

c

b

a

bd

cbad

baa

aabab

Demostración:

- 13 -

e e

13) Como a y b tienen igual signo por (7) a.b > 0 (a.b)-1 > 0 por (2) a-1 b-1 > 0 Como a b2 a > b es verdadero por lógica proposicional. ii) Sí a > 0, b = 0 y a2 > b2 = 0 a 0 y a > 0 = b iii) Sí a 0, b > 0 y a2 > b2 > 0 a 0, b > 0 , a2 > b2 > 0 a2 – b2 > 0 (a-b)(a+b) > 0 a-b y a+b tienen igual signo y como a+b > 0 (pues a > 0 y b > 0) a - b > 0 a > b Recíprocamente: i) Si a = 0, b = 0 a > b a2 > b2 es verdadero por lógica proposicional. ii) Sí a > 0, b = 0, a > b a > 0 a2 > 0 a2 > b2 = 0 iii) Si a 0, b > 0, a > b a > 0 , b > 0, a > b a.a > b.a >b.b a2 > b2

15) i) Sí a 0 [ a2 > b = ( )2 a > ]

ii) Sí a < 0 (-a) > 0 [ (-a)2 = a2 > b = ( )2 (-a) > a < - ]

16) a 0 a < 0

i) Sí a 0 b > 0 a + > 0 y a2 0 a- < 0 a + > 0

a < a > - - < a a <

ii) Sí a < 0 b > 0 ( - a) > 0 y (- a) + > 0 (-a) 2 = a 2 0 a < a > - - < a <

17) i) Si b > 0, b > 0 a 0, b > 0 por (14) a < b217) i) Si b > 0, b > 0 a 0, b > 0 por (14) a < b2

ii) Si a 0, b > 0 , a < b2 a = 2< b2

18) Trabajar con b < 0 , b = 0 , b > 0.

19) Observar que 2 2

a b , a 0, b 0 0 a b

20) Trabajar análogamente a (19)

Sean a, b lR entonces:1) | a | 0 a lR 2) | a | = 0 a = 0

3) | a | 2 = a 2 , | a | a , | a | = 2 , | -a | = | a |

4) | ab | = | a | | b | , ||||

|| para b 0

5) | a + b | | a | + | b | 6) Si b 0 entonces [ | a | = b a = b a = -b]

⇒ ⇒⇒ ⇒

⇒ ⇒⇒ ≠

≥ ⇒ ≥ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒

⇒ ⇒⇒ ⇒ ⇒

≥ ⇒ ⇒ ⇒

≥ ⇒ ⇔

⇒ ⇒ ⇔ ⇔

≥ ∨

≥ ∧ ⇒ ⇔

⇔ ⇔

⇔ ∧

⇔ ∧ ⇔ ∧

∧ ⇒ ,

⇔ ⇔ ⇔

⇔ ∧

⇔ ∧ ⇔ ∧ ⇔

≥ ⇒ ≥ ⇒≥ ⇒ ≥ ⇒

≥ ⇒ ( )

≤ ⇔ ( ) ≤ ( ) ⇔ ≤ ≥ ≥ ⇔ ≤ ≤

∈≥ ∀ ∈

⇔

≥

= ≠

≤≥ ⇔ ∨

b b

b b b

b b b

b b b b

b b b

b b b b

b b

b b b b b

b b b

b b b b b b

aa

a

a b a b

a

b

a

b

a

- 14 -

Teorema 1.2.

7) | a | = | b | a = b a = -b8) Sí b 0 entonces [ | x | b x > b x < -b]10) Sí b 0 entonces [ | x | b -b x b]11) Sí b 0 entonces [ | x | b x b x -b]

1) i) Sí a 0 | a | = a 0 ii) Si a < 0 | a | = -a > 0 Por lo tanto | a | 0

2) ( ) Si | a | = 0 y a 0 | a | = a = 0 a < 0 | a | = -a = 0 Por lo tanto a = 0 ( ) Si a = 0 | a | = 0

3) i) Sí a 0 | a | 2 = a 2 , Sí a < 0 | a | 2 = (-a) 2 = a 2

ii) Sí a 0 | a | = a , Sí a < 0 -a > 0 > a | a | = -a > a

iii) Sí a 0 | a | = a | a | 2 = a 2 | a | = 2

Si a < 0 | a | = -a | a | 2 = (-a) 2 = a 2 | a | = 2

4) i) Sí a = 0 b = 0 | a | | b | = | a.b | Sí a > 0 b > 0 | a.b | = a.b = | a | | b | Sí a > 0 b < 0 | a.b | = -(a.b) = a(-b) = | a | | b | Sí a < 0 b > 0 | a.b | = -(a.b) = (-a)b = | a | | b | Sí a < 0 b < 0 | a.b | = a.b = (-a)(-b) = | a | | b |

ii) Hagamos = . = | .b | = | |

| . | = | | | | = . | | = | | ||

||

5) | a + b | 2 = (a + b) 2 = a 2 +2ab + b 2 | a | 2 + 2| a | | b | + | b | 2 = ( | a | + | b |) 25) | a + b | = (a + b) = a +2ab + b | a | + 2| a | | b | + | b | = ( | a | + | b |) | a + b | | a | + | b |

6) b 0 , | a | = b | a | 2 = b 2 a 2 = b 2 a 2 – b 2 = 0 (a + b)(a - b) = 0 a - b = 0 a+b = 0 a = b a = -b

7) Sí | a | = | b | | a | 2 = | b | 2 a 2 = b 2 a 2 – b 2 = 0 (a - b)(a + b) = 0 a - b = 0 a + b = 0 a = b a = -b

8) Sí b > 0 , | x | b | x | 2 > b 2 x 2 > b 2 x > 2 x < - 2

x > b x < -b

10) Sí b 0 , | x | b | x | 2 b 2 x 2 b 2 - 2 x 2 -b < x ⇔≥ ⇔ ∨≥ ≤ ⇔ ≤ ≤≥ ≥ ⇔ ≥ ∨ ≤

≥ ⇒ ≥⇒ ≥

⇒ ≥ ⇒⇒

⇐ ⇒

≥ ⇒ ⇒≥ ⇒ , ⇒

≥ ⇒ ⇒ ⇒

⇒ ⇒ ⇒

∨ ⇒∧ ⇒∧ ⇒∧ ⇒∧ ⇒

α ⇒ α ⇒ α

α α ⇒ =

≤≤⇒ ≤

≥ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔⇔ ∨ ⇔ ∨

⇔ ⇔ ⇔ ⇔⇔ ∨ ⇔ ∨

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

≥ ⇔ ⇔ ⇔ ∨⇔ ∨

≥ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔

≥ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ∨ ≤⇔ ≥ ∨ ≤

Demostración:

- 15 -

a

a

b

ab a a

b bb

ab a

b

a

b

a

b b

b b

b b

b b

Sean x lR, n entonces:

1) x = x x

2) x = x ,

3) x+n = x + n , n

4) Si n entonces [ x n x n ]

5) Si n entonces [ x n x < n+1 ]

6) Si n entonces [ x > n x n+1 ]

7) Si n entonces [ x < n x < n ]

1) Es evidente usando la definición

2) Como x x < x + 1 x x x < x + 1

x x x x

3) Sea x = k , k k x < k+1 k + n x + n < (k + n) + 1 k’ x + n < k’+ 1 ; k’ = k + n

x+n = k’ = k + n = x + n

4) ( ) Como x = k x < k + 1 y x n n x = k x x n

( ) Si x n k , k n tal que k+1 > x k x = k n x n

5) ( ) k = x n x = k x < k+1 x - 1 < k n x - 1 < n x < n+1

( ) x < n + 1 x = n ó x n x n

6) Sí se tiene dos enteros k, n tal que k > n n+1 k

En particular x = k x > n n+1 x por (4) x n+1

En particular x = k x > n n+1 x por (4) x n+1

7) Sí se tiene dos enteros k y n tal que k < n k+1 n En particular x = k x < n x n-1 y por (5) x < (n-1)+1 x < n

En lR se tienen los siguientes subconjuntos:

[a, b] = { x lR / a x b }

a, b = { x lR / a < x < b }

[a, b = { x lR / a x < b }

a, b] = { x lR / a < x b }

a bx

Teorema 1.3.

Demostración:

- 16 -

1.2. CONJUNTOS Y ELEMENTOS DISTINGUIDOS EN lR.

Definición 1.4. (Intervalos)

Intervalo Cerrado:

Intervalo Abierto:

Intervalo Semiabierto:

∈ ∈

� � ⇔ ∈� � � � � �� ∀ ∈

∈ � � ≥ ⇔ ≥

∈ � � ≤ ⇔

∈ � � ⇔ ≥

∈ � � ⇔

� � ≤ � � ⇒ � � � � ≤ � � ∧ � � � � � �� ≤ � � ∧ � � ≤ � � � �

� � ∈ ⇒ ≤ ⇒ ≤⇒ ≤

⇒ � � � �

⇒ � � ≤ � � ≥ ⇒ ≤ � � ≤ ⇒ ≥

⇐ ≥ ⇒ ∃ ≥ ≥ ⇒ � � ≥ ⇒ � � ≥

⇒ � � ≤ ∧ � � ≤ ⇒ ≤ ⇒ ⇒

⇐ ⇒ � � � � < ⇒ � � ≤

⇔ ≤� � ⇒ � � ⇔ ≤ � � ⇔ ≥

� � ⇒ � � ⇔ ≤ � � ⇔ ≥

⇔ ≤� � ⇒ � � ⇔ � � ≤ ⇔

∈ ≤ ≤

⟨ ⟩ ∈

⟩ ∈ ≤

⟨ ∈ ≤

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

a, = { x lR / x > a }

[a, = { x lR / x a } - , b = { x lR / x 0 al conjunto conformado por los reales que están tan cerca de “a” en un radio menor que

O sea V (a) = { x lR / | x-a | < } = { x lR / a- < x < a+ }

V ’(a) = V (a)-{a} es llamada .

Un punto a lR es un punto de del conjunto A lR sí toda vecindad abierta reducida de “a” interceptada con A es distinta del vacío. “ a lR es punto de acumulación de A > 0 , V ’(a) A ”

Un punto a A se dice que es si no es punto de acumulación de A.

A = 0,1] {6} 0, , 1 son puntos de acumulación de A y 6 es punto aislado de A pues existe V1 (6) tal que V1’(6) A = .

aa- a+x

V (a)

a x

Del ejemplo el punto de acumulación de A no necesariamente pertenece a A.

Dado A lR se dice que a A es de A si existe V (a) A.El conjunto de puntos interiores de A es denotado por Ao.

Dado A lR se dice que b Ao es de A si para toda V (b) A se tiene V (b) Ao ó “b” es punto aislado de A.

Se dice que A lR es un si A = Ao ó para toda a A existe V(a) tal que V (a) A = V (a).

i) Si Ai es abierto entonces es abierto.

ii) Si A1, A2, ….., An son abiertos entonces 1

es abierto.

0 1 65 71/2

Intervalos Infinitos:

Definición 1.5. vecindad abiertaV (a)

Observación: vecindad abierta reducida

Definición 1.6. acumulación ó punto límite

aislado

Ejemplo:

- 17 -

Observación:

Definición 1.7. punto interior

Definición 1.8. punto frontera

Definición 1.9. conjunto abierto

Caracterización de los conjuntos abiertos:

⟨ ∞ ⟩ ∈

∞ ⟩ ∈ ≥⟨ ∞ ⟩ ∈⟨ ∞ ∈ ≤⟨ ∞ ∞ ⟩

δδ

δ ∈ δ ∈ δ δ

δ δ

∈⊂

∈ ⇔ ∀ δ δ ∩ ≠ φ

∈

⟨ ∪ ⇒∩ φ

•⟨δ

⟩δ

•

δ

⟨⊂ ∈ δ ⊂

⊂ ∉ δ ⊂δ ∩ ≠ φ

⊂ ∈ δ

δ ∩ δ

=

⟨ ] ο⟨ ⟩

d

½

U

I

iAn

iiA


Los conjunto V (a) , V (́a) son abiertos.

Se dice que A lR es un si todo punto de acumulación de A pertenece a A. El conjunto de todos los puntos de acumulación de A es llamado el

denotado por A´.Inmediatamente A es cerrado si solo si A´ A

i) Si Ai es cerrado entonces es cerrado.

ii) Si A1, A2, ….., An son cerrados entonces 1

es cerrado.

Los conjuntos abiertos no incluyen su frontera. Un conjunto es cerrado si solo si su complemento es abierto. Los conceptos de conjunto abierto y conjunto cerrado o son excluyentes ya que existen conjuntos que no son abiertos ni cerrados. Este es el de la unión de una vecindad abierta y un punto aislado.

Sea A lR diremos que : 1) A es sí: x A k lR / x k 2) A es sí: x A k lR / k x 3) A es sí: x A k lR / | x | kEn los casos (1), (2) k es llamada respectivamente

Dado el conjunto A lR = sup(A) es el de A sí: i) es cota superior de A

ii) Sí 1 x x A 1

O sea el supremo es la menor de todas las cotas superiores.

Sí el supremo A = max(A) es llamado el de A

= inf(A) es el de A sí: i) es cota inferior de A ii) Sí 1 x x A 1

O sea el ínfimo es la mayor de todas las cotas inferiores.Sí el ínfimo A = min(A) es llamado el de A

Dado A = 0,1] lR2 es una cota superior de A , -1 es una cota inferior de A.1 es el supremo de A , 0 es el ínfimo de A.1 es el máximo de A . Como 0 A entonces A no tiene mínimo.

Dado A = { y / y = 3

2 ;

2

1 x 1 }

Hallar el mínimo m y el máximo M para el conjunto A.

Basta observar 2

1 x 1

2

7 x+3 4

4

1

3

1

7

2

Ejemplo:

Definición 1.10. conjunto cerradoderivado

de A

Caracterización de los conjuntos cerrados:

Observación:1.-2.-3.-

1.3. CONJUNTOS ACOTADOS, AXIOMA DE COMPLETITUD EN lR.

acotado superiormenteacotado inferiormenteacotado

cota superior e inferior

Definición 1.11.1) supremo

- 18 -

máximo

2) ínfimo

mínimo

Ejemplo:

Ejemplo:

δ δ

⊂

⊂

=

⊂ ∀ ∈ ∃ ∈ ≤∀ ∈ ∃ ∈ ≤

∀ ∈ ∃ ∈ ≤

⊂α α

α ≥ ∀ ∈ ⇒ α ≤ α

α ∈ ⇒ α

α ∈ ⇒ α

β ββ ≤ ∀ ∈ ⇒ β ≥ β

β∈ ⇒ β

⟨ ⊂

∉

+

+≤ ≤

≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤+

≤

I

U

iAn

iiA

x

x

x

-7

2-

3

1-

4

1 Sumando(1)

7

5

3

2

4

3 .

Por lo tanto m = 7

5 , M =

4

3

Dado A = { 1

/ n + }

1 es cota superior y supremo de A , 0 es cota inferior e infimo de A 1 es el máximo de A . Como 0 A entonces A no tiene mínimo

Dado A = { y / y = (1+1

) n ; n + }

Verificar que A es acotado y que 2 y < 3 y A

Si A es conjunto acotado superiormente entonces tiene supremo.

Según el axioma del supremo A = { y / y = (1+1

) n ; n + } tiene supremo. Este supremo

usualmente es denotado = sup(A) llamado número de Euler.

El conjunto + no está acotado superiormente. De lo contrario tendría supremo

Entonces -1 < n, para algún n + n+1 > (supremo), n+1 + contradicción .

x lR, n + tal que n > x. De lo contrario x lR, n + tal que n x.

Entonces + estaría acotado, contradiciendo (2)

Si x > 0, y lR n + tal que nx > ySi x > 0, y lR n + tal que nx > y

Es un caso particular de la observación (3) anterior para lR, n + tal que n >

A = { 1

/ n + } tiene por único punto de acumulación x = 0

En efecto según la propiedad Arquimediana >0 existe un valor n suficientemente grande

como para que x = 1

< entonces 1

V (0) es decir V *(0) A . Los puntos de A no son

de acumulación pues en un número de A se puede tomar una vecindad reducida de radio la mitad de la distancia entre dos consecutivos, que intersectada con A es el vacío

Una ecuación en una variable real x es una expresión E(x) = 0, x lR.El (C.S) es el conjunto de números reales que satisfacen la ecuación.

⇔ ≤+

≤ ⇔ ≤+

+≤

∈

∉

∈

≤ ∀ ∈

∈

α

α ∈ ⇒ α ∈

∀ ∈ ∃ ∈ ∃ ∈ ∀ ∈ ≤

∈ ⇒ ∃ ∈∈ ⇒ ∃ ∈

∈ ∃ ∈

∈

∀ε

ε ∈ ε ε ∩ ≠ Φ

∈

x x

x

n

n

n

x

y

x

y

n

n n

Ejemplo:

Ejercicio

Axioma del Supremo ó de completitud:

Observaciones:

1.-

e

2.-

3.-

Teorema 1.4. (Propiedad Arquimediana)

- 19 -

Teorema 1.4. (Propiedad Arquimediana) Demostración:

Ejemplo:

1.4. ECUACIONES E INECUACIONES EN UNA VARIABLE REAL.

Definición 1.12. Conjunto Solución

Z

Z

Z

Z

Z Z

Z Z

Z

ZZ

Z

Z

Dada la siguiente ecuación | x2+2 | = 2x+1 Por propiedad valor absoluto 2x+1 0 [ x2 +2 = 2x+1 x2 +2 = -1-2x ]

x -2

1 [x2–2x+1 = 0 x2 +2x+3 = 0 ]

x [-2

1, [ x {1} x lR ] x {[-

2

1, {1}}

Por lo tanto C.S. = {1}

Dada la siguiente ecuación 3x = 2x+2

Hacemos 2x+2 = k Z x = 2

2

Por definición k 3x < k+1 k 32

2 < k+1 6 k < 8

Se quiere todos los x tal que x = 2

2, k Z k [ 6, 8

O sea k = 6, 7 x = 2, 5/2

Hallar el conjunto solución de: E(x) = x - |x-2| = 0 Usemos la definición de valor absoluto y máximo entero:

i) Si x-2 0 x = x-2 = k , k x < k+1 k k+2 < k+1 0 2 < 1 lo cuál es falso.

ii) Si x-2 < 0 x = 2-x = k , k 2-k < k+1 0 2-2k < 1

1 k > 2

1 k = 1 x = 1, x-2 < 0 x = 1 C. S = {1}

Las en una variable real x son expresiones de la forma: [ E(x) > 0 ó E(x) 0 ó E(x) < 0 ó E(x) 0 ], x lR. El es el conjunto de los números reales los cuales satisfacen la inecuación

-1

El es el conjunto de los números reales los cuales satisfacen la inecuación y se puede hallar aplicando la teoría estudiada hasta ora(axiomática(ley de signos), definiciones, teoremas).

Dada la siguiente inecuación E(x) = x2 – x – 2 < 0 Como x2 – x – 2 = (x+1)(x-2) < 0 Podemos usar la ley de signos:

[( x+1 < 0 x-2 > 0) ( x+1 > 0 x-2 < 0 )] [( x < -1 x > 2) ( x > -1 x < 2)] [ x x -1, 2 ] x -1, 2 . Por tanto C.S = -1, 2 .

Resolver: 13142 < x+1

Usando teorema(1.1) parte(17) tenemos:x2 -14x+13 0 ( x+1 > 0 x2 -14+13 < x+1 )i) x2 -14x+13 0 (x-7)2 36 x-7 6 x-7 -6 x - , 1] [13, ii) x+1 > 0 x > -1 x -1,

2

Ejemplo:

Ejemplo:

EjercicioSolución:

Definición 1.13. inecuaciones

Conjunto Solución

- 20 -

Conjunto Solución

Ejemplo:

Ejercicio

Solución:

≥ ∧ ∨

⇔ ≥ ∧ ∨

⇔ ∈ ∞⟩ ∧ ∈ ∨ ∉ ⇔ ∞ ⟩ ∩

� �

∈ ⇒−

≤ ⇔ ≤

−

⇔ ≤

−∈ ∧ ∈ ⟩

⇒

� �

≥ ⇒ � � ∈ ≤ ⇒ ≤⇒ ≤

⇒ � � ∈ ≤ ⇒ ≤

⇒ ≥ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

≥ ≤ ∈

⟨

∧ ∨ ∧ ⇒ ∧ ∨ ∧⇒ ∈∅ ∨ ∈⟨ ⟩ ⇒ ∈⟨ ⟩ ⟨ ⟩

+−

≥ ∧ ∧≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ∨ ≤ ⇒ ∈⟨ ∞ ∪ ∞ ⟩

⇔ ⇒ ∈ ⟨ ∞ ⟩

⟩

k

k

k

xx

Z

Z

iii) x2 -14x +13 < (x+1)2 x > 4

3 x

4

3 ,

Por tanto C.S. = 4

3 , 1] [13,

En la solución de inecuaciones polinomiales podemos emplear el llamado

en este caso se tienen expresiones de la forma: h(x) > 0 ó h(x) 0 ó h(x) < 0 ó h(x) 0 donde h(x) es conformada por polinomios en x.

De manera muy particular si tenemos:h(x) = a0+a1x+a2x2 > 0, donde r1, r2 son raíces(h(r1) = 0 = h(r2)), r1 < r2 entonces h(x) = (x-r1)(x-r2) > 0 entonces según la ley de signos se tiene:[(x-r1 > 0 x-r2 > 0) ( x-r1 < 0 x-r2 < 0)] [(x > r1 x > r2) ( x < r1 x < r2)]Entonces x - , r1 x r2, ó sea en estos intervalos (x-r1)(x-r2) > 0 por lo cuál en la recta real a estos intervalos les podemos colocar un signo positivo(+) y llamar a r1, r2 puntos críticos, notar que en este caso los puntos críticos y el intervalo r1, r2 no conforman el conjunto solución pues allí (x-r1)(x-r2) > 0 es falso y podemos colocar en la recta real a este intervalo un signo negativo(-).En conclusión esta rutina simplifica la ley de signos para hallar el conjunto solución.

En los casos más generales también podemos aplicar esto:

h(x) > 0 a) Si h(x) = a0+a1 x +a2 x2 +........+an xn > 0 : an > 0

0]1 13

(3/4

r1 r2

_++

a) Si h(x) = a0+a1 x +a2 x +........+an x > 0 : an > 0Hallar todos los puntos críticos luego ubicarlos en la recta real.

Marcar los intervalos separados por los puntos críticos con (+) y (-) en forma alternada iniciando con signo (+) de derecha a izquierda.Obsérvese aquí también que si an = 1 entonces h(x) = (x-r1)(x-r2)…..(x-rn) donde r1, r2, …., rn

son las raíces de h(x) pueden ser reales ó complejas tal factorización para h(x) corresponde a uno de los teoremas fundamentales del algebra. Ver I.N. Herstein Algebra abstracta Los puntos críticos de multiplicidad par no separan intervalos. Pues si ri es de multiplicidad k par entonces k = 2n. Luego dado que si x C. S entonces (x-ri)2n > 0 y la inecuación: h(x) = (x-r1)(x-r2)….(x-ri)2n….(x-rn) > 0 es equivalente a (x-r1)(x-r2)…..(x-rn) > 0 en la cuál el factor (x-ri)2n ya no aparece. Los ri complejos no ceros son despreciables. Pues para ri = a+bi existe = a-bi conjugado

que también será raíz ó punto crítico satisface ri. = (a+bi)(a-bi) = a2+b2 > 0, además el factor

(x-ri)(x- ) = (x-a)2 + b2 > 0 .

⇔ ⇒ ∈ ⟨ ∞ ⟩

⟨ ∪ ∞ ⟩

≥ ≤

∧ ∨ ∧ ⇒ ∧ ∨ ∧∈⟨ ∞ ⟩ ∨ ∈⟨ ∞⟩

⟨ ⟩

⟨

∈

Observación: método de los Puntos Críticos

1er caso

- 21 -

ir

ir

ir

Ahora la inecuación h(x) = (x-r1)(x-r2)…(x-ri)(x- )….(x-rn) > 0 es equivalente a (x-r1)(x-

r2)…..(x-rn) > 0 en la cuál el factor (x-ri)(x- ) ya no aparece. Tomando en cuenta las indicaciones anteriores el conjunto solución en el gráfico es la reunión de intervalos abiertos con signo (+)

Dada la inecuación (x-1)(x+1)2 > 0En este caso el punto crítico r = -1 tiene multiplicidad 2 y no pertenece al conjunto solución. La inecuación es equivalente a x-1 > 0 y el conjunto solución será dado por: C. S = 1,

b) Sí h(x) = .......

.......

)()(

10

10 > 0 : an > 0 , bm > 0

Hallar los valores reales que hacen f(x) = 0 y g(x) = 0 (Son los puntos críticos)La solución es obtenida como en (a) excepto los P.C. obtenidos por g(x) = 0

Dada la inecuación 0)1)(12(

)13)(12(2

2

En este caso r = -1, -3

1, 1,

2

1i ; son los puntos críticos, 1 tiene multiplicidad 2.

Por tanto la inecuación es equivalente a 0)1()13(

y el conjunto solución será dado por:

C. S = - , -1 -3

1,

h(x) 0 a) Sí h(x) = a0 + a1 x +......+ an xn 0 : an > 0 La solución es obtenida como en (a) de (i) excepto ue todos los puntos críticos son considerados en el C. S. Inclusive los de multiplicidad par.considerados en el C. S. Inclusive los de multiplicidad par.

b) Sí h(x) = .......

.......

)()(

10

10 0 : an > 0 y bm > 0

La solución es obtenida como en (b) de (i) excepto q los puntos críticos obtenidos de hacer g(x) = 0 no son considerados en el conjunto solución.

h(x) < 0a) Sí h(x) = a0 + a1 x + a2 x2 +........+ an xn < 0 : an > 0El conjunto solución es obtenido como en (i) de (a) excepto que la solución es la reunión de intervalos abiertos con signo (-).

b) Si h(x) = .......

.......

)()(

10

10 < 0 : an > 0 , bm > 0

El conjunto solución es obtenido considerando (i), (b); (iii), (a).

h(x) 0a) Sí h(x) = a0 + a1 x + a2 x2 +........+ an xn 0 : an > 0La solución es obtenida considerando (ii), (a); (iii), (a).

ir

ir

mm

nn

xbxbb

xaxaa

xg

xf

xxx

xx

x

x

mm

nn

xbxbb

xaxaa

xg

xf

mm

nn

xbxbb

xaxaa

xg

xf

Ejemplo:

Ejemplo:

2do Caso

- 22 -

3er Caso

4to Caso

⟨ ∞ ⟩

+++

+++=

>++−

++

±

>++

⟨ ∞ ⟩ ∪ ⟨ ∞ ⟩

≥≥

+++

+++= ≥

+++

+++=

≤≤

b) Sí h(x) = .......

.......

)()(

10

10 0 : an > 0 , bm > 0

La solución es obtenida considerando (ii), (b); (iii), (b).

Dada la inecuación 1

22 0 0

1

)2)(1(

1

22

Usando los puntos críticos r = -1, 1, 2 . El conjunto solución: - , -1] 1, 2]

Resolver: | 3x+2 | < | x-6 |Usando propiedad de números reales | 3x+2 | 2 < | x-6 | 2 (3x+2) 2 < (x-6) 2

(3x+2) 2 – (x-6) 2 < 0 (3x+2+x-6)(3x+2-(x-6)) < 0 (4x-4)(2x+8) < 0 Usando puntos críticos x -4, 1 C.S. = -4, 1

Resolver: | x-1 | + | x+1 | < 4 Primer Método usando valores críticos:i) x 1 (x-1) + (x+1) < 4 x 1 x < 2 C.S1 = [1, 2ii) -1 x < 1 (1-x) + (x+1) < 4 -1 x < 1 x lR C.S2 = [-1, 1iii) x < -1 (1-x) + (-x-1) < 4 x < -1 x > -2 C.S3 = -2, -1C.S. = C.S1 C.S2 C.S3 = -2, 2

Segundo Método usando Desigualdad Triangular: | 2x | = | (x-1) + (x+1) | | x-1 | + | x+1 | < 4 | x | < 2 x -2, 2 = C.S.

Resolver 2x+2 > x +1

Por la propiedad 2x+2 = 2x + 2 2x + 2 > x + 1

2x > x – 1 = r(entero) Por propiedad 2x r + 1 2x x

Además 2x + 1 x + 1 > x x > - 1 x > - 1 2x x Además 2x + 1 x + 1 > x x > - 1 x > - 1 2x x

i) Sí -1 < x < 0 2x x = - 1 x [-1/2 , 0

ii) Sí x 0 siempre se tiene 2x x ( Basta sumar x 0 x x )De (i) y (i) x [-1/2, +

Resolver 125

25102

2

5;55

)5)(5(

)5(

25

2510 2

2

2

Entonces 155

; x - 5 15

5 ; x - 5

5

10 < 0 ; x - 5 . Usando puntos críticos: x - , 5 - { -5 }

mm

nn

xbxbb

xaxaa

xg

xf

x

xx

x

xx

x

xx

x

xx

xx

x

xx

x

x

xx

x

x

x

x

x

+++

+++= ≤

−

−−≤ ⇒ ≤

−

−+=

−

−−

⟨ ∞ ∪ ⟨

⇔⇔ ⇔ ⇔⇔ ∈ ⟨ ⟩ ∴ ⟨ ⟩

≥ ∧ ⇔ ≥ ∧ ⇒ ⟩≤ ∧ ⇔ ≤ ∧ ∈ ⇒ ⟩

∧ ⇔ ∧ ⇒ ⟨ ⟩∪ ∪ ⟨ ⟩

≤ ⇔ ⇔ ∈ ⟨ ⟩

� � � �� ⇒ � � � �

⇔ � � � � ⇔ ≥ ⇔ ≥ � �≥ � � ⇒ ⇒ ∧ ≥ � �≥ � � ⇒ ⇒ ∧ ≥ � �∧ ≥ � � ⇒ ∈ ⟩

≥ ≥ � � ≥ ∧ ≥ � �∈ ∞⟩

<

−

++

−≠

−+

=

−+

+=

−

++

<

−+

≠ ⇔ <−

+≠

⇔−

≠ ∈ ⟨ ∞ ⟩

Ejemplo

Problemas resueltos:

1)

2)

3)

- 23 -

4)

00Sí.1 1

0,0Sí.2

20Sí.3 1

.2.positivosson,Sí.4

..8))()((positivosson,,Sí.5

221Sí.6 22

8

11Sí.7 44

||...

0,,Sí.8

1.- -7 – 3x < 5x + 29 2.- 3241

2

2;3

1

2

32.3 4.-

32

1

5.- 2

8

4

22

6.- 334

232

2

7.- 2224 8.- 3131427.- 2224 8.- 313142

9.- | 3x – 1 | = 2x + 5 10.- | 2x + 2 | = | 16x – 18 |

11.- | 9x – 3 | < 6x + 15 12.- | 9x – 3 | > | 6x + 15 |

13.- | x – 6 | - | x – 3 | | x – 1 | 14.- | | x | + 2 | | x | 2

||16

4.15 3|6||52|

.16

17.- 2x + 1 = -3 18.- ]][[ = 0 19.- 2 - | x | = 1

21.- 2

12

< 2 22. 5

5 < 1 23.-

3

1|1| =2

1.5. RELACIÓN DE EJERCICIOS:

I. Probar:

II. Resolver:

- 24 -

>⇒>− −

>+

+⇒>>>−

≥+⇒>− −

+≥⇒−

≥+++⇒−

≤+≤−⇒=+−

≥+⇒=+−

++≥++⇒−

+>−

−≠<+

−−

−<

−

+

+≤

−

−<

+−

−+−

<−− −≥+−<−− −≥+−

≤ ≤

+≥− <

−−

−

� � � − � � �

�+

+ � �−

+ � � −− �

aa

b

a

cb

cacab

aaa

ba

bababa

cbabacacbcba

baba

baba

cbac

ba

b

ca

a

cbsonnocba

xx

xx

x

x

x

x

x

x

x

xx

xx

xx

xxx xxxxxx xxx

x

x

x

x

xx

x

x

x

x x

El Sistema de Números Reales Á C LCULO DIFERENCIAL E ...

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