El Producto Escalar
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El producto escalar de dos vectores es un número real que
resu l ta a l multipl icar el producto de sus módulos por el coseno del
ángulo que forman .
Ejemplo
Expresión anal ít ica del producto escalar
Ejemplo
Expresión anal ít ica del módulo de un vector
Ejemplo
Expresión anal ít ica del ángulo de dos vectores
Ejemplo
Condición anal ít ica de la ortogonal idad de dos vectores
Ejemplo
Interpretación geométrica del producto escalar
El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de
uno de el los por la proyección del otro sobre él .
Ejemplo
Hal lar la proyecc ión de l vector = (2 , 1) sobre e l vector = (−3,
4) .
Propiedades del producto escalar
1Conmutativa
2 Asociativa
3 Distributiva
4
El producto escalar de un vector no nulo por s í mismo
siempre es posit ivo.
Producto escalarDe Wikipedia, la enciclopedia libre
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En matemática, el producto escalar, también conocido como producto
interno, interior o punto (en inglés, dot product), es una operación definida sobre
dos vectores de un espacio euclídeo cuyo resultado es un número o escalar. Esta
operación permite explotar los conceptos de la geometría euclidiana tradicional:
longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El producto escalar
puede definirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en
general en los espacios vectoriales reales y complejos. Los espacios vectoriales
dotados de producto escalar reciben el nombre de espacios prehilbertianos.
Contenido[ocultar]
1 Definición general 2 Definición geométrica del producto escalar en un espacio euclídeo real
o 2.1 Proyección de un vector sobre otro o 2.2 Ángulos entre dos vectores o 2.3 Vectores ortogonales o 2.4 Vectores paralelos o en una misma dirección
3 Observación 4 Propiedades del producto escalar 5 Expresión analítica del producto escalar 6 Norma o Módulo de un vector 7 Productos interiores definidos en espacios vectoriales usuales 8 Generalizaciones
o 8.1 Formas cuadráticas o 8.2 Tensores métricos
9 Referencias o 9.1 Véase también o 9.2 Bibliografía o 9.3 Enlaces externos
[editar] Definición general
El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio
vectorial es una forma bilineal, hermítica y definida positiva, por lo que se puede
considerar una forma cuadrática definida positiva.
Un producto escalar se puede expresar como una aplicación
donde V es un espacio vectorial y es el cuerpo sobre el
que está definido V. debe satisfacer las siguientes condiciones:
1. Linealidad por la izquierda y por la derecha: , y
análogamente
2. Hermiticidad : ,
3. Definida positiva: , y si y sólo si x = 0,
donde son vectores de V, representan escalares del
cuerpo y es el conjugado del complejo c.
Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., ), la propiedad de ser
sesquilineal se convierte en ser bilineal y el ser hermítica se convierte en ser simétrica.
También suele representarse por o por .
Un espacio vectorial sobre el cuerpo o dotado de un producto escalar se
denomina espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si además es completo, se dice
que es un espacio de hilbert, y si la dimensión es finita, se dirá que es un espacio
euclídeo.
Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que está
definido, de la siguiente manera:
.
[editar] Definición geométrica del producto escalar en un espacio euclídeo real
A • B = |A| |B| cos(θ).|A| cos(θ) es la proyección escalar de A en B.
El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo se define como el
producto de sus módulos por el coseno del ángulo θ que forman.
En los espacios euclídeos, la notación usual de producto escalar es
Esta definición de carácter geométrico es independiente del sistema de coordenadas
elegido y por lo tanto de la base del espacio vectorial escogida.
[editar] Proyección de un vector sobre otro
Puesto que A cos θ representa el módulo de la proyección del vector A sobre la
dirección del vector B, esto es A cos θ = proy AB, será
de modo que el producto escalar de dos vectores también puede definirse como
el producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
[editar] Ángulos entre dos vectores
La expresión geométrica del producto escalar permite calcular el coseno del
ángulo existente entre los vectores:
[editar] Vectores ortogonales
Dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando forman ángulo recto
entre sí. Si el producto escalar de dos vectores es cero, ambos vectores son
ortogonales.
ya que el valor del coseno de 90º es cero.
[editar] Vectores paralelos o en una misma dirección
Dos vectores son paralelos o llevan la misma dirección si el ángulo que forman
es de 0 grados o de 180 grados.
Cuando dos vectores forman un ángulo cero, el valor del coseno es la unidad,
por lo tanto el producto de los módulos vale lo mismo que el producto escalar.
[editar] Observación
Una importante variante del producto escalar estándar se utiliza en el espacio-
tiempo de Minkowski, es decir, dotado del producto escalar:
.
[editar] Propiedades del producto escalar
1. Conmutativa:
2. Distributiva respecto a la suma vectorial:
3. Asociativa respecto al producto por un escalar m:
[editar] Expresión analítica del producto escalar
Si los vectores A y B se expresan en función de sus componentes cartesianas
rectangulares, tomando la base canónica en formada por los vectores unitarios {i , j
, k} tenemos:
El producto escalar se realiza como un producto matricial de la siguiente forma:
[editar] Norma o Módulo de un vector
Se define como la longitud del segmento orientado (vector) en el espacio
métrico considerado.
Se calcula a través del producto interno del vector consigo mismo.
Efectuado el producto escalar, tenemos:
de modo que
Por componentes, tomando la base canónica en formada por los vectores
unitarios {i, j, k}
de modo que
[editar] Productos interiores definidos en espacios vectoriales usuales
En el espacio vectorial se suele definir el producto interior (llamado, en este caso en concreto, producto punto) por:
En el espacio vectorial se suele definir el producto interior por:
Siendo el número complejo conjugado de
En el espacio vectorial de las matrices de m x n elementos
donde tr(A) es la traza de la matriz A y BT es la matriz traspuesta de B.
En el espacio vectorial de las funciones continuas sobre el intervalo acotado por a y b :
C[a, b]
En el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a n:
Dado tal que
:
[editar] Generalizaciones
[editar] Formas cuadráticas
Dada una forma bilineal simétrica definida sobre un espacio vectorial
puede definirse un producto escalar diferente del producto escalar euclídeo
mediante la fórmula:
Donde:
es una base del espacio vectorial
Puede comprobarse que la operación anterior satisface todas las
propiedades que debe satisfacer un producto escalar.
[editar] Tensores métricos
Se pueden definir y manejar espacio no-euclídeos o más exactamente
variedades de Riemann, es decir, espacios no-planos con un tensor de curvatura
diferent ede cero, en los que también podemos definir longitudes, ángulos y
volúmenes. En estos espacios más generales se adopta el concepto de geodésica en
lugar del de segmento para definir las distancias más cortas en entre puntos y,
también, se modifica ligeramente la definición operativa del producto escalar habitual
introduciendo un tensor métrico , tal que la restricción del tensor a
un punto de la variedad de Riemann es una forma bilineal .
Así, dados dos vectores campos vectoriales y del espacio tangente a la
varieda de Riemann se define su producto interno o escalar como:
La longitud de una curva rectificable C entre dos puntos A y B se puede definir
a partir de su vector tangente de la siguiente manera:
Producto vectorialDe Wikipedia, la enciclopedia libre
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Esquema
En álgebra lineal, el producto vectorial es una operación binaria entre dos
vectores de un espacio euclídeo tridimensional que da como resultado un vector
ortogonal a los dos vectores originales. Con frecuencia se lo denomina también
producto cruz (pues se lo denota mediante el símbolo ×) o producto externo (pues
está relacionado con el producto exterior).
Contenido[ocultar]
1 Definición o 1.1 Producto vectorial de dos vectores o 1.2 Ejemplo
2 Propiedades o 2.1 Bases ortonormales y producto vectorial o 2.2 Vectores axiales o 2.3 Dual de Hodge
3 Generalización 4 Otros productos vectoriales 5 Véase también 6 Referencias 7 Bibliografía 8 Enlaces externos
[editar] Definición
Relaciones entre los vectores.
Sean dos vectores y en el espacio vectorial . El producto vectorial entre
y da como resultado un nuevo vector, . Para definir este nuevo vector es necesario
especificar su módulo y dirección:
El módulo de está dado por
donde θ es el ángulo determinado por los vectores a y b.
La dirección del vector c, que es ortogonal a a y ortogonal a b, está dada por la regla de la mano derecha.
El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama
también producto cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra
x (equis), es frecuente denotar el producto vectorial mediante a ∧ b.
El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la
siguiente manera:
donde es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su dirección está
dada por la regla de la mano derecha y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la
regla de la mano derecha se la llama a menudo también regla del sacacorcho.
[editar] Producto vectorial de dos vectores
Sean y dos vectores
concurrentes de , el espacio afín tridimensional según la base anterior.
Se define el producto , y se escribe , como el
vector:
En el que
, es el determinante de orden 2.
O usando una notación más compacta, mediante el desarrollo de un
determinante de orden 3 por la primera fila, también decimos:
Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del sacacorchos:
girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, la dirección de
es el de un sacacorchos que gire en la misma dirección.
Con la notación matricial esto se puede escribir:
[editar] Ejemplo
El producto vectorial de los vectores y se
calcula del siguiente modo:
Expandiendo el determinante:
Puede verificarse fácilmente que es ortogonal a los vectores y
efectuando el producto escalar y verificando que éste es nulo (condición de
perpendicularidad de vectores).
[editar] Propiedades
Cualesquiera que sean los vectores , y :
1. , (anticonmutatividad)
2. Si con y , ; esto es, la anulación del producto vectorial proporciona la condición de paralelismo entre dos direcciones.
3. .
4. , conocida como regla de la expulsión.
5. , conocida como identidad de Jacobi.
6. , en la expresión del término de la derecha, sería el módulo de los vectores a y b, siendo θ ,el ángulo menor entre los vectores y ; esta expresión relaciona al producto vectorial con el área del paralelogramo que definen ambos vectores.
7. El vector unitario es normal al plano que contiene a los vectores y .
[editar] Bases ortonormales y producto vectorial
Sea un sistema de referencia en el espacio vectorial . Se
dice que es una base ortonormal derecha si cumple con las siguientes condiciones:
1. ; es decir, los tres vectores son ortogonales entre sí.
2. ; es decir, los vectores son vectores unitarios (y por lo tanto, dada la propiedad anterior, son ortonormales).
3. , , ; es decir, cumplen la regla de la mano derecha.
[editar] Vectores axiales
Cuando consideramos dos magnitudes físicas vectoriales, su producto vectorial
es otra mangitud física aparentemente vectorial que tiene un extraño comportamiento
respecto a los cambios de sistema de referencia. Los vectores que presentan esas
anomalías se llaman pseudovectores o vectores axiales. Esas anomalías se deben a que
no todo ente formado de tres componentes es un vector físico.
[editar] Dual de Hodge
Artículo principal: Dual de Hodge
En el formalismo de la geometría diferencial de las variedades riemannianas la
noción de producto vectorial se puede reducir a una operación de dual de Hodge del
producto de dos formas diferenciales naturalmente asociadas a dos vectores. Así el
producto vectorial es simplemente:
Donde denotan las 1-formas naturalmente asociadas a los dos vectores.
[editar] Generalización
Aunque el producto vectorial está definido solamente en tres dimensiones, éste
puede generalizarse a n dimensiones, con y sólo tendrá sentido si se usan n
− 1 vectores, dependiendo de la dimensión en la que se esté. Así, por ejemplo, en dos
dimensiones el producto vectorial generalizado sólo tiene sentido si se usa un vector, y
el resultado es un vector ortogonal.
Desde un punto de vista tensorial el producto generalizado de n vectores vendrá
dado por:
[editar] Otros productos vectoriales
Dados dos vectores, se definen tres operaciones matemáticas de tipo producto
entre ellos:
producto escalar producto vectorial producto tensorial
El producto escalar de vectores permite determinar ángulos y distancias (véase
operador norma) de una forma fácil y directa. El producto vectorial proporciona un
modo para determinar ángulos y áreas de paralelogramos definidos por dos vectores
de una forma tal que permitirá expresar volúmenes fácilmente mediante el llamado
producto mixto de tres vectores.
En el espacio afín bidimensional, , el producto vectorial es una operación
externa, ya que da como resultado un vector que no pertenece al mismo espacio
vectorial, esto es al plano definido por los dos vectores que se operan, por ser un
vector perpendicular a dicho plano. En el espacio afín tridimensional, , el producto
vectorial es una operación interna.
[editar] Véase también
Producto escalar Doble producto vectorial Producto mixto Producto tensorial Espacio vectorial Combinación lineal Sistema generador Independencia lineal Base (álgebra) Base ortogonal Base ortonormal Coordenadas cartesianas
[editar] Referencias
[editar] Bibliografía
Ortega, Manuel R. (1989-2006) (en español). Lecciones de Física (4 volúmenes). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7.
Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001) (en inglés).
El producto vectorial de dos vectores es ot ro vector cuya
dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido ser ía
igua l a l avance de un sacacorchos a l g i rar de u a v . Su módulo es
igua l a :
El producto vectorial se puede expresar mediante un
determinante :
Ejemplos
Calcu lar e l producto vectorial de los vectores = (1 , 2 , 3) y =
(−1, 1 , 2) .
Dados los vectores y , ha l lar e l producto
vectorial de d ichos vectores . Comprobar que e l vector ha l lado es
ortogonal a y .
El producto vector ia l de es or togonal a los vectores y .
Área del paralelogramo
Geométr icamente, e l módulo del producto vectorial de dos
vectores co inc ide con e l área del paralelogramo que t iene por
lados a esos vectores .
Ejemplo
Dados los vectores y , ha l lar e l área de l
para le logramo que t iene por lados los vectores y ·
Área de un tr iángulo
Ejemplo
Determinar e l área del tr iángulo cuyos vér t ices son los puntos
A(1 , 1 , 3) , B(2 , −1, 5) y C(−3, 3 , 1) .
Propiedades del producto vectorial
1. Ant iconmutat iva
x = − x
2. Homogénea
λ ( x ) = (λ ) x = x (λ )
3. Dist r ibut iva
x ( + ) = x + x ·
4. El producto vectorial de dos vectores paralelos en igua l a l
vector nulo .
x =
5. El producto vectorial x es perpendicular a y a .