El Producto Escalar

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El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman . Ejemplo Expresión analítica del producto escalar Ejemplo Expresión analítica del módulo de un vector Ejemplo

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Descripción sobre el producto escalar entre dos vectores.

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Page 1: El Producto Escalar

El producto escalar de dos vectores es un número real que

resu l ta a l multipl icar el producto de sus módulos por el coseno del

ángulo que forman .

Ejemplo

Expresión anal ít ica del producto escalar

Ejemplo

Expresión anal ít ica del módulo de un vector

Ejemplo

Page 2: El Producto Escalar

Expresión anal ít ica del ángulo de dos vectores

Ejemplo

Condición anal ít ica de la ortogonal idad de dos vectores

Ejemplo

Interpretación geométrica del producto escalar

Page 3: El Producto Escalar

El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de

uno de el los por la proyección del otro sobre él .

Ejemplo

Hal lar la proyecc ión de l vector = (2 , 1) sobre e l vector = (−3,

4) .

Propiedades del producto escalar

1Conmutativa

2 Asociativa

Page 4: El Producto Escalar

3 Distributiva

4

El producto escalar de un vector no nulo por s í mismo

siempre es posit ivo.

Producto escalarDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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En matemática, el producto escalar, también conocido como producto

interno, interior o punto (en inglés, dot product), es una operación definida sobre

dos vectores de un espacio euclídeo cuyo resultado es un número o escalar. Esta

operación permite explotar los conceptos de la geometría euclidiana tradicional:

longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El producto escalar

puede definirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en

general en los espacios vectoriales reales y complejos. Los espacios vectoriales

dotados de producto escalar reciben el nombre de espacios prehilbertianos.

Page 5: El Producto Escalar

Contenido[ocultar]

1 Definición general 2 Definición geométrica del producto escalar en un espacio euclídeo real

o 2.1 Proyección de un vector sobre otro o 2.2 Ángulos entre dos vectores o 2.3 Vectores ortogonales o 2.4 Vectores paralelos o en una misma dirección

3 Observación 4 Propiedades del producto escalar 5 Expresión analítica del producto escalar 6 Norma o Módulo de un vector 7 Productos interiores definidos en espacios vectoriales usuales 8 Generalizaciones

o 8.1 Formas cuadráticas o 8.2 Tensores métricos

9 Referencias o 9.1 Véase también o 9.2 Bibliografía o 9.3 Enlaces externos

[editar] Definición general

El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio

vectorial es una forma bilineal, hermítica y definida positiva, por lo que se puede

considerar una forma cuadrática definida positiva.

Un producto escalar se puede expresar como una aplicación

donde V es un espacio vectorial y es el cuerpo sobre el

que está definido V. debe satisfacer las siguientes condiciones:

1. Linealidad por la izquierda y por la derecha: , y

análogamente

2. Hermiticidad : ,

3. Definida positiva: , y si y sólo si x = 0,

donde son vectores de V, representan escalares del

cuerpo y es el conjugado del complejo c.

Page 6: El Producto Escalar

Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., ), la propiedad de ser

sesquilineal se convierte en ser bilineal y el ser hermítica se convierte en ser simétrica.

También suele representarse por o por .

Un espacio vectorial sobre el cuerpo o dotado de un producto escalar se

denomina espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si además es completo, se dice

que es un espacio de hilbert, y si la dimensión es finita, se dirá que es un espacio

euclídeo.

Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que está

definido, de la siguiente manera:

.

[editar] Definición geométrica del producto escalar en un espacio euclídeo real

A • B = |A| |B| cos(θ).|A| cos(θ) es la proyección escalar de A en B.

El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo se define como el

producto de sus módulos por el coseno del ángulo θ que forman.

En los espacios euclídeos, la notación usual de producto escalar es

Page 7: El Producto Escalar

Esta definición de carácter geométrico es independiente del sistema de coordenadas

elegido y por lo tanto de la base del espacio vectorial escogida.

[editar] Proyección de un vector sobre otro

Puesto que A cos θ representa el módulo de la proyección del vector A sobre la

dirección del vector B, esto es A cos θ = proy AB, será

de modo que el producto escalar de dos vectores también puede definirse como

el producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

[editar] Ángulos entre dos vectores

La expresión geométrica del producto escalar permite calcular el coseno del

ángulo existente entre los vectores:

[editar] Vectores ortogonales

Dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando forman ángulo recto

entre sí. Si el producto escalar de dos vectores es cero, ambos vectores son

ortogonales.

ya que el valor del coseno de 90º es cero.

[editar] Vectores paralelos o en una misma dirección

Dos vectores son paralelos o llevan la misma dirección si el ángulo que forman

es de 0 grados o de 180 grados.

Page 8: El Producto Escalar

Cuando dos vectores forman un ángulo cero, el valor del coseno es la unidad,

por lo tanto el producto de los módulos vale lo mismo que el producto escalar.

[editar] Observación

Una importante variante del producto escalar estándar se utiliza en el espacio-

tiempo de Minkowski, es decir, dotado del producto escalar:

.

[editar] Propiedades del producto escalar

1. Conmutativa:

2. Distributiva respecto a la suma vectorial:

3. Asociativa respecto al producto por un escalar m:

[editar] Expresión analítica del producto escalar

Si los vectores A y B se expresan en función de sus componentes cartesianas

rectangulares, tomando la base canónica en formada por los vectores unitarios {i , j

, k} tenemos:

El producto escalar se realiza como un producto matricial de la siguiente forma:

Page 9: El Producto Escalar

[editar] Norma o Módulo de un vector

Se define como la longitud del segmento orientado (vector) en el espacio

métrico considerado.

Se calcula a través del producto interno del vector consigo mismo.

Efectuado el producto escalar, tenemos:

de modo que

Por componentes, tomando la base canónica en formada por los vectores

unitarios {i, j, k}

de modo que

[editar] Productos interiores definidos en espacios vectoriales usuales

En el espacio vectorial se suele definir el producto interior (llamado, en este caso en concreto, producto punto) por:

Page 10: El Producto Escalar

En el espacio vectorial se suele definir el producto interior por:

Siendo el número complejo conjugado de

En el espacio vectorial de las matrices de m x n elementos

donde tr(A) es la traza de la matriz A y BT es la matriz traspuesta de B.

En el espacio vectorial de las funciones continuas sobre el intervalo acotado por a y b :

C[a, b]

En el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a n:

Dado tal que

 :

[editar] Generalizaciones

[editar] Formas cuadráticas

Dada una forma bilineal simétrica definida sobre un espacio vectorial

puede definirse un producto escalar diferente del producto escalar euclídeo

mediante la fórmula:

Page 11: El Producto Escalar

Donde:

es una base del espacio vectorial

Puede comprobarse que la operación anterior satisface todas las

propiedades que debe satisfacer un producto escalar.

[editar] Tensores métricos

Se pueden definir y manejar espacio no-euclídeos o más exactamente

variedades de Riemann, es decir, espacios no-planos con un tensor de curvatura

diferent ede cero, en los que también podemos definir longitudes, ángulos y

volúmenes. En estos espacios más generales se adopta el concepto de geodésica en

lugar del de segmento para definir las distancias más cortas en entre puntos y,

también, se modifica ligeramente la definición operativa del producto escalar habitual

introduciendo un tensor métrico , tal que la restricción del tensor a

un punto de la variedad de Riemann es una forma bilineal .

Así, dados dos vectores campos vectoriales y del espacio tangente a la

varieda de Riemann se define su producto interno o escalar como:

La longitud de una curva rectificable C entre dos puntos A y B se puede definir

a partir de su vector tangente de la siguiente manera:

Page 12: El Producto Escalar

Producto vectorialDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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Esquema

En álgebra lineal, el producto vectorial es una operación binaria entre dos

vectores de un espacio euclídeo tridimensional que da como resultado un vector

ortogonal a los dos vectores originales. Con frecuencia se lo denomina también

producto cruz (pues se lo denota mediante el símbolo ×) o producto externo (pues

está relacionado con el producto exterior).

Page 13: El Producto Escalar

Contenido[ocultar]

1 Definición o 1.1 Producto vectorial de dos vectores o 1.2 Ejemplo

2 Propiedades o 2.1 Bases ortonormales y producto vectorial o 2.2 Vectores axiales o 2.3 Dual de Hodge

3 Generalización 4 Otros productos vectoriales 5 Véase también 6 Referencias 7 Bibliografía 8 Enlaces externos

[editar] Definición

Relaciones entre los vectores.

Sean dos vectores y en el espacio vectorial . El producto vectorial entre

y da como resultado un nuevo vector, . Para definir este nuevo vector es necesario

especificar su módulo y dirección:

El módulo de está dado por

Page 14: El Producto Escalar

donde θ es el ángulo determinado por los vectores a y b.

La dirección del vector c, que es ortogonal a a y ortogonal a b, está dada por la regla de la mano derecha.

El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama

también producto cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra

x (equis), es frecuente denotar el producto vectorial mediante a ∧ b.

El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la

siguiente manera:

donde es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su dirección está

dada por la regla de la mano derecha y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la

regla de la mano derecha se la llama a menudo también regla del sacacorcho.

[editar] Producto vectorial de dos vectores

Sean y dos vectores

concurrentes de , el espacio afín tridimensional según la base anterior.

Page 15: El Producto Escalar

Se define el producto , y se escribe , como el

vector:

En el que

, es el determinante de orden 2.

O usando una notación más compacta, mediante el desarrollo de un

determinante de orden 3 por la primera fila, también decimos:

Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del sacacorchos:

girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, la dirección de

es el de un sacacorchos que gire en la misma dirección.

Con la notación matricial esto se puede escribir:

[editar] Ejemplo

El producto vectorial de los vectores y se

calcula del siguiente modo:

Page 16: El Producto Escalar

Expandiendo el determinante:

Puede verificarse fácilmente que es ortogonal a los vectores y

efectuando el producto escalar y verificando que éste es nulo (condición de

perpendicularidad de vectores).

[editar] Propiedades

Cualesquiera que sean los vectores , y :

1. , (anticonmutatividad)

2. Si con y , ; esto es, la anulación del producto vectorial proporciona la condición de paralelismo entre dos direcciones.

3. .

4. , conocida como regla de la expulsión.

5. , conocida como identidad de Jacobi.

6. , en la expresión del término de la derecha, sería el módulo de los vectores a y b, siendo θ ,el ángulo menor entre los vectores y ; esta expresión relaciona al producto vectorial con el área del paralelogramo que definen ambos vectores.

7. El vector unitario es normal al plano que contiene a los vectores y .

[editar] Bases ortonormales y producto vectorial

Sea un sistema de referencia en el espacio vectorial . Se

dice que es una base ortonormal derecha si cumple con las siguientes condiciones:

1. ; es decir, los tres vectores son ortogonales entre sí.

2. ; es decir, los vectores son vectores unitarios (y por lo tanto, dada la propiedad anterior, son ortonormales).

3. , , ; es decir, cumplen la regla de la mano derecha.

[editar] Vectores axiales

Page 17: El Producto Escalar

Cuando consideramos dos magnitudes físicas vectoriales, su producto vectorial

es otra mangitud física aparentemente vectorial que tiene un extraño comportamiento

respecto a los cambios de sistema de referencia. Los vectores que presentan esas

anomalías se llaman pseudovectores o vectores axiales. Esas anomalías se deben a que

no todo ente formado de tres componentes es un vector físico.

[editar] Dual de Hodge

Artículo principal: Dual de Hodge

En el formalismo de la geometría diferencial de las variedades riemannianas la

noción de producto vectorial se puede reducir a una operación de dual de Hodge del

producto de dos formas diferenciales naturalmente asociadas a dos vectores. Así el

producto vectorial es simplemente:

Donde denotan las 1-formas naturalmente asociadas a los dos vectores.

[editar] Generalización

Aunque el producto vectorial está definido solamente en tres dimensiones, éste

puede generalizarse a n dimensiones, con y sólo tendrá sentido si se usan n

− 1 vectores, dependiendo de la dimensión en la que se esté. Así, por ejemplo, en dos

dimensiones el producto vectorial generalizado sólo tiene sentido si se usa un vector, y

el resultado es un vector ortogonal.

Desde un punto de vista tensorial el producto generalizado de n vectores vendrá

dado por:

[editar] Otros productos vectoriales

Dados dos vectores, se definen tres operaciones matemáticas de tipo producto

entre ellos:

Page 18: El Producto Escalar

producto escalar producto vectorial producto tensorial

El producto escalar de vectores permite determinar ángulos y distancias (véase

operador norma) de una forma fácil y directa. El producto vectorial proporciona un

modo para determinar ángulos y áreas de paralelogramos definidos por dos vectores

de una forma tal que permitirá expresar volúmenes fácilmente mediante el llamado

producto mixto de tres vectores.

En el espacio afín bidimensional, , el producto vectorial es una operación

externa, ya que da como resultado un vector que no pertenece al mismo espacio

vectorial, esto es al plano definido por los dos vectores que se operan, por ser un

vector perpendicular a dicho plano. En el espacio afín tridimensional, , el producto

vectorial es una operación interna.

[editar] Véase también

Producto escalar Doble producto vectorial Producto mixto Producto tensorial Espacio vectorial Combinación lineal Sistema generador Independencia lineal Base (álgebra) Base ortogonal Base ortonormal Coordenadas cartesianas

[editar] Referencias

[editar] Bibliografía

Ortega, Manuel R. (1989-2006) (en español). Lecciones de Física (4 volúmenes). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7.

Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001) (en inglés).

El producto vectorial de dos vectores es ot ro vector cuya

dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido ser ía

Page 19: El Producto Escalar

igua l a l avance de un sacacorchos a l g i rar de u a v . Su módulo es

igua l a :

El producto vectorial se puede expresar mediante un

determinante :

Ejemplos

Calcu lar e l producto vectorial de los vectores = (1 , 2 , 3) y =

(−1, 1 , 2) .

Dados los vectores y , ha l lar e l producto

vectorial de d ichos vectores . Comprobar que e l vector ha l lado es

ortogonal a y .

Page 20: El Producto Escalar

El producto vector ia l de es or togonal a los vectores y .

Área del paralelogramo

Geométr icamente, e l módulo del producto vectorial de dos

vectores co inc ide con e l área del paralelogramo que t iene por

lados a esos vectores .

Ejemplo

Dados los vectores y , ha l lar e l área de l

para le logramo que t iene por lados los vectores y ·

Área de un tr iángulo

Page 21: El Producto Escalar

Ejemplo

Determinar e l área del tr iángulo cuyos vér t ices son los puntos

A(1 , 1 , 3) , B(2 , −1, 5) y C(−3, 3 , 1) .

Propiedades del producto vectorial

1. Ant iconmutat iva

x = − x

2. Homogénea

λ ( x ) = (λ ) x = x (λ )

3. Dist r ibut iva

x ( + ) = x + x ·

Page 22: El Producto Escalar

4. El producto vectorial de dos vectores paralelos en igua l a l

vector nulo .

x =

5. El producto vectorial x es perpendicular a y a .