El problema del libro de Kreps

El problema planteado es un problema de señalización. Se sitúa en un bar donde hay un tipo que le gusta pelear. Entra otra persona, que se desconoce si es valiente o cobarde. Al elegir la bebida este jugador manda una señal al peleador; el jugador del cual se desconoce el tipo puede elegir entre cerveza o leche. Si es cobarde prefiere tomar leche, si es valiente prefiere la cerveza; aunque siempre preferirá no pelear.

El siguiente diagrama de árbol muestra las acciones que disponen los jugadores, y las utilidades:

Jugadores:(j1; j2; N) j1 es el emisor; j2 el peleador o receptor, N naturaleza.

SECUENCIA DEL JUEGO 1) Juega la naturaleza y elige el tipo de jugador 12) El jugador 1 observa su tipo y elige entre beber leche o cerveza.3) El jugador 2 observa el mensaje del jugador 1 pero no es capaz de distinguir con total certeza de que tipo es el

uno, con lo cual debe hacer conjeturas dado el mensaje que emitió (Bayes)La naturaleza tiene probabilidades a priori P(cobarde)=π=0,8ESTRATEGIASDado un juego dinámico, las estrategias son las acciones que deben adoptar en cada conjunto de información donde pueden llegar a estar según la trayectoria del juego.Estrategia j1 (C, C) Esto implica que tomará cerveza si es cobarde, y tomará cerveza si es valiente(L, L) Tomará leche si es cobarde, y tomará leche si es valiente.(C, L) Tomará cerveza si es cobarde y tomará leche si es valiente.(L, C) Tomará leche si es cobarde y cerveza si es valiente. Entonces S1=[(C, C);(L, L); (C, L); (L, C)]Estrategia j2 Aunque en el diagrama tenemos cuatro nodos, estos conforman dos conjuntos de información por tanto una estrategia Si será una dupla de acciones para cada nodo.(P, P) El peleador peleará si j1 bebe leche, y peleará si bebe cerveza(NP, NP) El peleador no peleará si j1 bebe leche, y no peleará si bebe cerveza.(P, NP) El peleador peleará si bebe leche j1, y no lo hará si bebe cerveza.(NP, P) El peleador no peleará si bebe leche j1, y peleará si bebe cerveza.Por tanto S2=[(P, P); (NP, NP); (P, NP); (NP, P)]Por otro lado definamos p=P(C/C), es la probabilidad de que el jugador sea cobarde dado que tomó cerveza, una conjetura que se hace j2 sobre el tipo de j1 dada la señal.

0;1 P P 1;12;0 NP J2 C j 1 L J2NP 3;0

Cob π=0,2

N

Val 1-π=0,8

1;0 P P 0;03;1 NP J2 C j1 L J2 NP 2;1

q=P(C/L) es la probabilidad de que j2 sea cobarde dado que tomó leche.

Analicemos cada una de las estrategias de j1 y veamos los posibles equilibrios. Los agrupamos en de agrupación y de separación.

EQUILIBRIOS DE AGRUPACIÓN

Analicemos S1= (C, C). El diagrama con esa trayectoria quedaría de esta forma

La doble raya en el diagrama muestra la trayectoria del equilibrio. Dado que la estrategia adoptada por j1 es (C, C) la probabilidad condicionada se mantiene igual a la a priori debido a que los dos tipos se confunden.Para determinar si las estrategias pueden resultar un EBN debemos calcular la utilidad esperada del j2 con respecto a sus dos estrategias, luego hacer inducción hacia atrás y ver las condiciones para que (C, C) sea una estrategia óptima.

U j2 (P(c))=0,2U j2 (NP (c ) )=0,8Por tanto la estrategia óptima es no pelear para el jugador 2. Si hacemos inducción hacia atrás debemos ver dos posibilidades. Si el jugador 1 es valiente le es indiferente que decisión tome en el otro nodo el jugador 2, ya que siempre estará mejor tomando cerveza y no peleando. Pero se j1 es cobarde estaría mejor tomando cerveza y no peleando; por tanto debemos establecer un q tal que la estrategia óptima de j1 sea P en ese conjunto de información.

U j2 (P (L ) )=q ;U j2 (NP (L ) )=1−q→U j2(P (L ))>U j2(P (L ))→q> 12

Por tanto si el peleador supiera por el INE que la probabilidad de que una persona sea cobarde dado que toma leche es de 60%; si el peleador ve que j1 toma leche tomará la decisión de pelear.Por tanto un equilibrio bayesiano perfecto de agrupación es:

{S1 (C ,C ); S2 (NP, P ) ; p=0,2 ;q }∀ q> 12

Analicemos S1= (L, L)

Las estrategias adoptadas según la trayectoria de equilibrio se plantean según la siguiente forma:

0;1 P P 1;12;0 NP J2 C j 1 L NP 3;0

p=0,2 q=αCob π=0,2

N

Val 1-π=0,8

1;0 P P 0;03;1 NP J2 C j1 L J2 NP 2;1

La doble raya plantea la senda del equilibrio. Si la estrategia es (L, L) nuevamente el j2 deberá decidir según la utilidad esperada ya que no sabe en que nodo de decisión está ubicado.

U j2 (P (L ) )=0,2 ;U j2 (NP (L ) )=0,8Por tanto en ese nodo de información j2 no peleará. Dado este resultado j1 realiza inducción hacia atrás y observa, si es cobarde no cambiará la estrategia de tomar leche, pero si es valiente el único incentivo para que tome leche es que pelee si toma cerveza. Por tanto debemos determinar un p (probabilidad de que j1 sea cobarde dado que tomó cerveza) de tal forma que j2 elija pelear.

U j2 (P (C ) )=p ;U j2 (NP (C ) )=1−p→ p>1−p→ p>12

Entonces en este caso supongamos que el INE publica que la probabilidad de que una persona sea cobarde dado que toma cerveza es del 60%; aunque j2 sea valiente tendrá que pelear por lo que estará mejor tomando leche y no peleando.Por tanto el otro equilibrio bayesiano de agrupación es:

{S1 (L ,L ) ;S2 (N P , P ); p ;q=0,2}∀ p> 12

EQUILIBRIOS DE SEPARACIÓN

Analicemos S1(C, L)

Planteamiento según la senda del equilibrio:

0;1 P P 1;12;0 NP J2 C j 1 L NP 3;0

p q=0,2Cob π=0,2

N

Val 1-π=0,8

1;0 P P 0;03;1 NP J2 C j1 L J2 NP 2;1

Si la estrategia es (C, L) las conjeturas pasan a ser p=1, y q=0. Dada esa estrategia del jugador 1 la opción óptima del jugador 2 es (NP, P). Si hacemos inducción hacia atrás vemos que si el jugador es cobarde tiene incentivos a elegir beber leche ya que tiene mayor utilidad, por tanto no es creíble una estrategia (C, L).

Analicemos (L, C) como posible estrategia de separación

El diagrama de estrategias con dicha senda de equilibrio queda de la siguiente forma:

Una estrategia del jugador del tipo 1 conlleva a una probabilidad q=1, y a p=0. Por tanto la mejor respuesta en esos nodos del jugador 2 será (P, NP). Ante esta estrategia el jugador dos se verá incentivado a cambiar su plan de acción ya que está mejor tomando cerveza y no peleando. Por tanto esta senda de equilibrio no es creíble.En estos casos el jugador 2 cree que el que toma leche es cobarde y por tanto hace las conjeturas sobre esas probabilidades. Conclusiones Los dos equilibrios bayesianos hallados no son tan rebuscados. El primero indica que si hay mucha posibilidad de que una persona que tome leche sea cobarde, entonces evitará la pelea tomando cerveza. El otro equilibrio es como la contraparte anterior, si se evidencia que hay muchos cobardes que se cubren tras la cerveza para no pelear, la probabilidad de ser cobarde dado que se toma cerveza es alta, y por tanto al jugador 1 le conviene tomar leche. Las probabilidades casi ciertas no llevan a equilibrios ya que el jugador 1 siempre tiene incentivos a desviarse de la senda del equilibrio; con lo cual no hay equilibrios bayesianos de separación.

0;1 P P 1;12;0 NP J2 C j 1 L NP 3;0

p=1 q=0Cob π=0,2

N

Val 1-π=0,8

1;0 P P 0;03;1 NP J2 C j1 L J2 NP 2;1

0;1 P P 1;12;0 NP J2 C j 1 L NP 3;0

p=0 q=1Cob π=0,2

N

Val 1-π=0,8

1;0 P P 0;03;1 NP J2 C j1 L J2 NP 2;1