El problema de la estimación de la proporción de la población

Es frecuente, en los sondeos de opinión, investigar las preferencias de la población por una determinada opción A, frente a otra opción B.

Por ejemplo : ¿qué proporción de posibles votantes optan por un candidato A frente a otro B?.

Otras veces interesa saber, qué proporción de individuos de una población, presentan una característica A, frente a los que no la presentan.

En cualquier caso, como normalmente no podemos estudiar a todos los individuos de una población porque, o es muy caro o sencillamente es imposible, tenemos que tomar una muestra

Estudiamos la proporción de individuos que presentan la característica, objeto de estudio, en la muestra que hemos tomado, así tenemos la proporción de la muestra, que representaremos por P ( p mayúscula) ; en general, no coinciden la proporción de la población, p y la proporción de la muestra P

Sea la muestra que hemos tomado, de n individuos, si al individuo que presenta la característica objeto de estudio, le asignamos el valor 1 y al que no la presenta le asignamos el valor 0, tenemos el parámetro de la muestra Sj, que representa el número j de individuos de la muestra, que presentan la propiedad objeto de estudio.

La proporción de la muestra, P, es:

Si tomamos aleatoriamente muestras de tamaño n, el parámetro Sj de las muestras sigue, una distribución binomial b(n,p), donde p es la proporción de la población.

Y podemos definir la variable xj :

Que también sigue una distribución binomial y que bajo ciertas condiciones, se puede aproximar por una distribución normal estándar.

Como :

Y xj se ajusta a una distribución normal estándar, la proporción de las muestras de tamaño n, P sigue una distribución normal, de media p (proporción de la población) y desviación típica :

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Así pues, el valor más esperado (la media) de las proporciones de las muestras , P, es la proporción de la población p y además cuando aumenta el tamaño de las muestras, P se aproxima a p.

Estimación puntual de la proporción de la población

La proporción de la muestra, P, es un buen estimador para la proporción de la población, p. En los párrafos anteriores hemos visto, como, bajo ciertas condiciones, la distribución de P , cuando n aumenta, tiende a una distribución normal de media p y desviación típica :

En la práctica, las concidiones que se consideran suficientes para que la estima sea aceptable, son :

Sabemos como se distribuyen las proporciones muestrales, sólo desconocemos la proporción de la población. Si supiéramos la proporción de la población, podríamos calcular un intervalo, alrededor de la media de las proporciones de las muestras (proporción de la población) , tal que con una probabilidad dada, las proporciones de las muestras estuvieran dentro de ese intervalo.

Por ejemplo, supongamos que queremos que la probabilidad de que la proporción de una muestra esté dentro de un intervalo a calcular, sea de 0,95; sólo tenemos

que tipificar P y mediante la tabla de la distribución normal estándar, calcular tα para α = 1-0,95=0,05.

Como no conocemos la proporción de la población, p, la sustituimos por la proporción de la muestra, P, con lo cual el intervalo será diferente para cada muestra, pero, con probabilidad 1-α , la proporción de la población, estará dentro del intervalo así calculado y tendremos una estimación de la proporción de la población por un intervalo.

Estimación de la proporción de la población por un intervalo

El intervalo de confianza, para la proporción de una población, con un nivel de confianza de 1-α, teniendo la proporción, P, de una muestra de tamaño n, es :

Donde tα queda determinado en la tabla de la distribución normal estándar en función de α.

Error máximo con una confianza de 1-α

Tamaño de la muestra